哈工大理论力学 I 第8版_10_动量定理

活塞上作用一恒力F .不计摩擦及滑块B的质量,求:作用在 曲柄轴A处的最大水平约束力Fx .
解:如图所示
m 1 m 2 a Cx F x F
xC


m
1
r 2
cos

m2 r
cos

b
m1
1 m2
aCx

d 2 xC dt 2

r 2
m1 m2
第十章 动量定理
§10-1 动量与冲量
1．动量
质点的动量
mv
单位
kg m /s
n
质点系的动量
p mivi i 1
质心
rc

mi ri m
，
m

mi
m
d rc dt

mi
d ri dt

mivi
即
p mvc
2．冲量
常力的冲量
I Ft
变力的元冲量
在 t1 ～t2内的冲量

0,则
px = 恒量
例10-1 电动机外壳固定在水平基础上,定子和外壳的质
量为 m1,转子质量为m2.定子和机壳质心 O1 ,转子质心O2 ,
,角速度 为常量. O 1O 2 e 求基础的水平及铅直约束力.
解: p m 2 e
p x m 2 e c o s t
p y m 2 e s in t
dI Fdt
I t2 Fdt t1
单位： N·s
§10-2 动量定理
1.质点的动量定理 d(mv) F dt
或 d(mv) Fdt
称为质点动量定理的微分形式,即质点动量的增量
等于作用于质点上的力的元冲量.
在 t1~ t2 内, 速度由 v1~ v2, 有
m v2 m v1
设 F F F F 为静约束力; F 为附加动约束力
由于 P Fa Fb F 0
得 F qV (vb v a )
10-3 质心运动定理
1．质心
rC


m m
i
ri ,
m


m
i
xC
m ix i m
,
yC


mi m
y
i
,
zC


等于作用于质点系的外力元冲量的矢量和;或质点系动 量对时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和.
在 t1 ~ t2内,
动量 p1 ~ p2 有
n
p2

p1


I (e) i
i 1
称为质点系动量定理的积分形式,即在某一时间间隔内,质点
系动量的改变量等于在这段时间内作用于质点系外力冲量
的矢量和.
动量定理微分形式的投影式
qv 为单位时间内流过截面的 体积流量，ρ为密度
动量变化为
p p 0 p a1b1 p ab
( p bb1 p a1b ) ( p a1b p aa1 ) p b b1 p a a1
qV dt(vb va )
流体受外力图
由动量定理,有
qV dt(vb va ) (P Fa Fb F )dt 即 qV (vb va ) P Fa Fb F
Ft (e )
m vC2



F (e) n
质心运动守恒定律
0


F (e) b
若 F (e) 0
若

F (e) x

0
则 vC 常矢量
则 vCx 常量
例10-4 均质曲柄AB长为r,质量为m1,假设受力偶作用 以不变的角速度ω 转动,并带动滑槽连杆以及与它固连的活
塞D,如图所示.滑槽连杆、活塞总质量为m2,质心在点C .在
2m1 m2
yC

2 m1
l 2
2m1 m2
sin
t

m1 2m1
m2
l sin
t
消去t 得轨迹方程
[
xc
]2 [
yc
]2 1
2(m1 m 2 )l /( 2m1 m 2 )
m1l /(2m1 m 2 )
Hale Waihona Puke Baidu
系统动量沿x, y轴的投影为:
p x m v C x m x C 2 ( m 1 m 2 ) l s in t
由
dpx dt

Fx
dpy dt

Fy
m1g
m2g
得 F x m 2 e 2 s in t Fy (m1 m 2 )g m 2e 2 cost
电机不转时, F x 0,F y ( m 1 m 2 ) g 称静约束力;
电机转动时的约束力称动约束力,上面给出的是动约束
m1 2

m2

cos

t
应用质心运动定理,解得
Fx

F

r
2
m1 2

m2
cos

t
显然,最大水平约束力为
Fmax

F
r 2 m1
2

m
2

例 10-5 地面水平,光滑,已知 m1, m2, e, 初始静止, ω = 常量.
求:电机外壳的运动.
力.
动约束力 - 静约束力 = 附加动约束力 本题的附加动约束力为
x 方向: m 2 e 2 sin t y 方向: m 2 e 2 c o s t
例10-2 流体在变截面弯管中流动,设流体不可压缩,流动
是稳定的.求管壁的附加动约束力.
解:时间 dt 内流过截面的质量 qV dt
p y m v C y m y C m 1l c o s t
系统动量的大小为:
p
p
2 x

p
2 y
l
4(m1

m
2
)
2
s in
2

t

m
2 1
cos
2

t
2.质心运动定理
由
d dt
( m vC
)

n

i 1
F (e) i
得
m dvC dt
n


F (e) i
i 1
n
t2 Fdt I
t1
称为质点动量定理的积分形式,即在某一时间间隔内,质点动
量的变化等于作用于质点的力在此段时间内的冲量.
2.质点系的动量定理
外力: Fi(e,)
内力:
F (i) i
内力性质:
（1）
F (i) i

0
（2） M O ( Fi (i ) ) 0
（3） Fi (i)d t 0
或
maC


F (e) i
i 1
称为质心运动定理,即:质点系的质量与质心加速度的乘积
等于作用于质点系外力的矢量和.
内力不影响质心的运动,只有外力才能改变质心的运动.
在直角坐标轴上的投影式为:
m
a
Cx

F (e) x
m aCy


F (e) y
在自然轴上的投影式为:
m aCz


F (e) z
m dvC dt
质 点: d ( m i vi ) Fi (e )d t Fi (i)d t
质点系: d ( m i v i ) Fi (e )d t Fi (i )d t
得 dp Fi(e)dt dIi(e)
或
dp dt


F (e) i
称为质点系动量定理的微分形式,即质点系动量的增量
dp x dt


F (e) x
dp y dt


F (e) y
动量定理积分形式的投影式
p2x

p1x


I (e) x
p2y

p1y


I (e) y
dp z dt


F (e) z
p2z

p1z


I (e) z
3．质点系动量守恒定律
若 F ( e ) 0 , 则 p = 恒矢量
若
F (e) x
解:设
xC1 a
xC2

m1 ( a

s) m 2 (a e sin m1 m2


s)
x 由 C1 x C 2 ,
得 s m 2 e sin
m1 m2
本章完
m iz m
i
例10-3 已知:为常量,均质杆OA = AB = l ,两杆质量
皆为 m1 ,滑块 B 质量 m2 .
求:质心运动方程、轨迹及系统动量.
解:设 t=0 时，杆 OA 水平，则有 φ=ωt，质心运动方程为
xC

m1
l 2

m1
3l 2

2m2l
2m1 m2
cos t
2(m1 m2 ) l cos t