哈工大理论力学 I 第8版_10_动量定理
理论力学第十章PPT
) =0
∑ Fi dt = 0
d(mi vi ) = Fi (e) dt + Fi (i) dt
质点系： ∑d(mi vi ) = ∑ Fi (e) dt + ∑ Fi (i) dt
得 dp = ∑ F dt = ∑dI i
(e)
(e) i
或
dp (e) = ∑ Fi dt
称为质点系动量定理的微分形式 即质点系动量的增量等于作用于质点系的外力 元冲量的矢量和； 或质点系动量对时间的导数等于作用于质点系 的外力的矢量和。
在 t1 t2 内，动量由 p1~ p2 ，有 ~
p2 − p1 = ∑ Ii(e)
i=1
n
称为质点系动量定理的积分形式，即在某一时间 间隔内，质点系动量的改变量等于在这段时间内 作用于质点系外力冲量的矢量和。 动量定理微分形式的投影式
dpx = ∑ Fx(e) dt
dpy dt
= ∑F
(e) y
dpz = ∑ Fz(e) dt
动量定理积分形式的投影式
( p2x − p1x = ∑ I xe)
( p2y − p1y = ∑I ye)
p2z − p1z = ∑ I z(e)
3．质点系动量守恒定律 ．
若 ∑F
(e)
≡ 0 ， 则 p = 恒矢量
若 ∑ Fx
(e)
≡ 0， 则 px = 恒量
解决动量定理习题步骤
第十章 动 量 定 理
§10-1 动量与冲量
1．动量 ． 质点的动量 质点系的动量
mv
n i=1
单位： kg⋅ m/ s
p = ∑mivi
dri d p = ∑mivi = ∑mi = ∑mi ri dt dt ∑mi ri 质心 rc = ， m = ∑mi m
理论力学动量定理共31页
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
理论力学10—动量定理
p 2m1vC m1vC1 m2v A m2v B
B
m2 vB 2m1vC
C
C
C1 m1vC1 O t
m2 v A A
x
v A 2l sin t
vB cos(90 t ) vc cos(90 2t ) B c vB 2l cos t B
10.2
动量定理
F fN C f ( P sin 45 mg cos30 )
从而摩擦力为
0 0 tt 0 tt
动量定理积分形式应用时经常使用投影式：
tt
若作用于质点上的外力主矢恒等于零，则质点的动量守恒， 此即质点的动量守恒定律。 若作用于质点上的外力在某轴上投影的代数和恒等于零，则 质点的动量在该轴上的投影守恒，此即质点对轴的动量守恒 定律。
10.2
动量定理
y
例4 锤的质量m＝3000 kg，从高度h＝1.5 m 处自由下落到受锻压的工件上，工件发生变 形历时τ＝0.01s ；求锤对工件的平均压力。 解：以锤为研究对象，和工件接触后受力如图。 工件反力是变力，在短暂时间迅速变化，用 平均反力N*表示。 锤自由下落时间
d ri vi dt
代入式10—1，注意到质量mi是不变的，则有
d ri d p mi vi mi mi ri dt dt i 1 i 1
令
M mi
n
n
为质点系的总质量
10.1
动量与冲量
m r m r i i i i rC mi M
1 p mvC ml 2
10.1
动量与冲量
vC C
理论力学第十章质心运动定理动量定理习题
yOyO第十章 质心运动定理 动量定理 习题解[习题10-1] 船A 、B 的重量别离为kN 4.2及kN 3.1，两船原处于静止间距m 6。
设船B 上有一人，重N 500，使劲拉动船A ，使两船靠拢。
若不计水的阻力，求当两船靠拢在一路时，船B 移动的距离。
解：以船A 、B 及人组成的物体系统为质点 系。
因为质点系在水平方向不受力。
即：0=∑ixF，设B 船向左移动了S 米， 则A 船向右移动了6－S 米。
由质点系的动量定理得：t v m m v m B B A A x F 0])([＝－－人+0])([＝－人B B A A v m m v m + B B A A v m m v m )(人+= B B A A v m m v m )(人+=tsm m t s m B A)(6人+=- s m m s m B A )()6(人+=-s s )5.03.1()6(4.2+=-s s )5.03.1()6(4.2+=- s s 3)6(4=- )(43.3724m s ==[习题10-2] 电动机重1P ，放置在滑腻的水平面上，还有一匀质杆，长L 2，重2P ，一端与电动机机轴固结，并与机轴的轴线垂直，另一端则刚连一重3P 的物体，设机轴的角速度为ω（ω为常量），开始时杆处于铅垂位置而且系统静止。
试求电动机的水平运动。
rC 3C v →y解：以电动机、匀质杆和球组成的质点系为研究对象。
其受力与运动分析如图所示。
匀质杆作平面运动。
→→→+=1212C C C C v v v ωl v r C =212cos C x C v t l v -=ωω→→→+=1313C C C C v v v ωl v r C 23=13cos 2C x C v t l v -=ωω因为质点系在水平方向上不受力，所以0==∑ix x F F由动量定理得：t F v t l m v t l m v m x C C C =--+-+-0)]cos 2()cos ([111321ωωωω 00)]cos 2()cos ([111321=--+-+-C C C v t l m v t l m v m ωωωω 111132)cos 2()cos (C C C v m v t l m v t l m =-+-ωωωω 11113322cos 2cos C C C v m v m t l m v m t l m =-+-ωωωω 1)(cos 2cos 32132C v m m m t l m t l m ++=+ωωωωt m m m m m l v C ωωcos )(321321+++=At m m m m m l dtdx C ωωcos )(321321+++=tdt m m m m m l dx C ωωcos )(321321+++=tdt m m m m m l x C ωωcos )(321321⎰+++=)(cos )(321321t td m m m m m l x C ωω⎰+++=t m m m m m l x C ωsin )(321321+++=t P P P P P l x C ωsin )(321321+++=这就是电动机的水平运动方程。
理论力学第八章 动量定理
山东大学 土建与水利学院工程力学系
§8-2 质点和质点系的动量定理
四、 质点系的动量计算
如果质点系是由多个刚体组成，则质点系动量为
P Pi mi vci
Pi 、 mi、vCi分别为第 i 个刚体的质量和它的质心的速度。
THEORETICAL MECHANICS
质点系动力学：研究质点系整体运动特征量（动量、 质点系动力学：研究质点系的运动与作用于其上的 动量矩和动能）的变化与作用力间的关系。 力之间的关系。
质点系的整体特征运动量：动量、动量矩和动能
THEORETICAL MECHANICS
山东大学 土建与水利学院工程力学系
动力学普遍定理概述 动量定理
动力学普遍定理 动量矩定理 质点系动力学的基础 －质点动力学
§8-3 质心运动定理
几点讨论
MaC Fi (e)
ma Fi
（1）质系质心的运动，可以视为一质点的运动， 如将质系的质量集中在质心上，同时将作用在质系 上所有外力都平移到质心上，则质心运动的加速度 与所受外力的关系符合牛顿第二定律。
如在定向爆破中，爆破时质系中各质点的运动
轨迹不同，但质心的运动轨迹近似一抛物线，由 此可初步估计出大部分物块堆落的地方。
问题：如何用简便方法计算刚体或刚体系的动量？
mi
z
vi
rC
y
引入质心的概念
质点系
总质量
M mi
i 1
n
ri
mj
质心矢径
rC
m r
i 1
n
i i
M
o
x
rj v j
质心速度 系统动量
第十章.动量定理(哈工大 理论力学课件)
§10-2 动量定理
二、冲量定理
p2 p1
t2 Fedt
I
t1
具体计算时，往往写成投影形式，即
p2x p1x
t2 t1
Fx
e
dt
Ix
p2 y p1y
t2 t1
F
y
e
dt
Iy
p2z p1z
1、如果在上式中
Fe
0，则有 p p0
常矢量
结论
其中：p0 为质点系初始瞬时的动量
在运动过程中，如作用于质点系的所有外力的矢量和始终等 于零，则质点系的动量保持不变。这就是质点系的动量守恒 定理
§10-2 动量定理
§10-2 动量定理
§10-2 动量定理
例10-2
例10-2：火炮(包括炮车与炮筒)的质量是 m1，炮弹的 质量是 m2，炮弹相对炮车的发射速度是 vr，炮筒对 水平面的仰角是α(图a)。设火炮放在光滑水平面上， 且炮筒与炮车相固连，试求火炮的后坐速度和炮弹的
§10-2 动量定理
一、动量定理
dp dt
Fe 质点系动量定理的微分形式
二、冲量定理
设在 t1 到 t2 过程中，质点系的动量由 p1 变为 p2，则对上式积
分，可得
p2 p1
t2 Fedt
t1
I
即，质点系的动量在一段时间内的变化量，等于作用于质点系 的外力在同一段时间内的冲量的矢量和，这就是质点系动量定 理的积分形式。常称为质点系的冲量定理。
t1
§10-1 动量与冲量
从起始点开始的冲量为：
t
I 0 Fdt
理论力学(哈工大版)第十二章动量矩定理(全面版)资料
理论力学(哈工大版)第十二章动量矩定理（全面版）资料第八章 动量矩定理8-1 质点系的动量矩（待强化） 一．动量矩的概念质点对点O 的动量矩：v m r v m m O ⨯=)( 质点对轴 z 的动量矩：)()(xy O z v m m v m m = 对着轴看：顺时针为负 逆时针为正质点对点O 的动量矩与对轴z 的动量矩之间的关系：[])( )(v m m v m m z z O = kg·ｍ2/s 。
二．质点系的动量矩 质系对点O 动量矩：i i i i i OO v m r v m mL ⨯==∑∑)(质系对轴z 动量矩：[]z Oii zz L v m m L)(==∑三．质点系的动量矩的计算c c c mv r L L ⨯+=0质点系对任意定点O 的动量矩，等于质点系对质心的动量矩，与将质点系的动量集中于质心对于O 点动量矩的矢量和。
质点系对质心的绝对运动动量矩，等于质点系对随质心平动的参考系的相对运动动量矩。
结论：在计算质点系对于质心的动量矩时，用质点相对于惯性参考系的绝对速度vi ，或用质点相对于固结在质心上的平动参考系的相对速度vi `，所得结果是一样的。
四、刚体的动量矩 1．平动刚体C C C O O v m r v m m L ⨯==)( )(C z z v m m L =2．定轴转动刚体ωZ z J L =3．平面运动刚体C C C C C O m m L v O C L v r L +⨯=+⨯= ω⋅+=C C z z J v m m L )(平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的动量矩，等于刚体随同质心作平动时质心的动量对该轴的动量矩与绕质心轴作转动时的动量矩之和。
8-2 动量矩定理（待强化） 一．质点的动量矩定理)()]([ , )(F m v m F r v r O O m dtdm dt d =⨯=⨯ 质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一点之矩。
理论力学@10动量定理
第10章 动量定理主要内容10.1.1 质点系动量及冲量的计算质点的动量为v K m =质点系的动量为C i i m m v v K ∑=∑=式中m 为整个质点系的质量；对于刚体系常用i C i i m v k K ∑=∑=计算质点系的动量，式中v Ci 为第i 个刚体质心的速度。
常力的冲量t ⋅=F S力系的冲量⎰∑=∑=21d )(t t i i t t F S S或⎰⎰=∑=2121d )(d )(R t t t t i t t t t F F S10.1.2 质点系动量定理质点系动量定理建立了质点系动量对于时间的变化率与外力系的主矢量之间的关系，即)(d de i tF K ∑= （1）质点系动量的变化只决定于外力的主矢量而与内力无关。
（2）质点系动量守恒定律：当作用于质点系的外力系的主矢量0)(=∑e iF ，质点系动量守恒，即K =常矢量。
或外力系的主矢量在某一轴上的投影为零，则质点系的动量在此轴上的投影守恒，如0=∑x F ，则x K =常量。
10.1.3 质心运动定理质点系的质量与质心加速度的乘积等于外力系的主矢量。
即()())(d d d de i i i c m tM t F v v ∑=∑= 对于刚体系可表示为)(1Cie i ni m F a∑=∑=式中a Ci 表示第i 个刚体质心的加速度。
10.1.4 定常流体流经弯管时的动约束力定常流体流经弯管时，v C =常矢量，流出的质量与流入的质量相等。
若流体的流量为Q ，密度为ρ。
流体流经弯管时的附加动约束力为)(12Nv v F -=''Q ρ 式中v 2,v 1分别为出口处和入口处流体的速度矢量。
基本要求1． 能理解并熟练计算动量、冲量等基本物理量。
2． 会应用动量定理解决质点系动力学两类问题，特别是已知运动求未知约束力的情形。
当外力主矢量为零时，会应用动量守恒定理求运动的问题。
3． 会求解定常流体流经弯管时的附加动反力。
哈工大理论力学课件第一章
04 动能定理和机械能守恒定 律
动能定理
定义
物体由于运动而具有的能量称为 动能，用公式表示为 (E_k = frac{1}{2}mv^2)。
推导过程
动能定理的推导基于牛顿第二定 律和运动学公式，通过分析力对 时间的累积效应来得出动能的变
化。
应用场景
动工具之一。
现代力学
爱因斯坦相对论的出现，对经典力学提出 了挑战，提出了时间和空间的相对性。
随着计算机技术和数值方法的进步，现代 力学得到了迅速发展，广泛应用于工程和 科学领域。
理论力学的重要性与应用
重要性
理论力学是物理学和工程学的重要基础学科，为其他学科提供了基本的原理和 方法。
应用
理论力学的应用广泛，包括航空航天、机械、土木、交通、船舶等领域。例如， 火箭发射需要理解力学原理，飞机设计需要考虑空气动力学和材料力学。
应用
在分析碰撞、火箭推进 等动力学问题时，动量 守恒定律是重要的理论 基础。
质点和质点系的动量定理和动量守恒定律
质点的动量定理和动量守恒定律
对于质点，动量定理和动量守恒定律的表述与上述内容一致。
质点系的动量定理和动量守恒定律
对于多个质点组成的质点系，动量定理和动量守恒定律的表述需要考虑内力和外 力的作用。内力不会改变系统的总动量，而外力则会引起系统动量的变化。
01
02
03
04
定义：物体的加速度与作用力 成正比，与物体的质量成反比
。
数学表达式：F=ma。
意义：揭示了力与加速度之间 的直接关系，是动力学的基本
规律。
应用：用于分析物体的运动状 态变化，以及求解物体的加速 度、速度和位移等物理量。
牛顿第三定律
定义
大学哈工大第八版理论力学课件
C
B
O1
O2
3 AB杆上任一点的速度加速度之间的关系？
4 若杆O1A 加速转动 则C点的加速度？
观察平行四连杆机构中长杆的运动 观察平行四连杆机构中板的运动
铅直平面内的运动机构O1A=O2B =r=20cm , AB=O1O2=40cm
M
AB杆上M点的速度 加速度
A
B
M
M
A
O1
O2
矩形板的运动形式？ A
4.4.滚动摩阻的概念
❖ 要求：了解滚动时存在的阻力的形式?特点?
❖
4.4滚动摩阻的概念
一 滚阻力偶与滚阻力偶矩
P
c
rQ A
Fx = 0 Fy = 0
Q - F S= 0 FN- P = 0
发现了什么问题?
P
c
r A MQf
FS
FN
4.4.滚动摩阻的概念
一 滚阻力偶与滚阻力偶矩
❖2 产生滚阻的原因 3 滚阻力偶矩
vB 速度的方向垂直于该点到
O
轴心的连线，指向图形
B 转动的一方。
§7–3转动刚体内各点的速度与加速度
一 转动刚体内各点的速度与加速度的计算 速度计算的逆运算
vdsRdR
dt dt
vB OB
vB
OB
O
vB
B
§6–3转动刚体内各点的速度与加速度
一 2
转动刚体内各点的速度与加速度的计算
加速度计算
运动方程
二 点的速度
1 自然轴系
§ 5-3 自然法
曲率 曲率半径
2 速度 v ds
dt
3 正、负的含义 联想到了什么？
o
表示速度在切线方向 上的投影
《理论力学Ⅰ》第八版课后习题解析
理论力学Ⅰ第 8 版课后习题答案目录：
第一章静力学公理和物体的受力分析
第二章平面力系
第三章空间力系
第四章摩擦
第五章点的运动学
第六章刚体的简单运动
第七章点的合成运动第
八章刚体的平面运动
第九章质点动力学的基本方程
第十章动量定理
第十一章动量矩定理
第十二章动能定理
第十三章达朗贝尔定理
第十四章虚位移定理
第一章
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第二章
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理论力学哈工大第八版答案
哈尔滨工业大学理论力学教研室理论力学（I）第8版习题答案《理论力学（1 第8版）/“十二五”普通高等教育本科国家级规划教材》第1版至第7版受到广大教师和学生的欢迎。
第8版仍保持前7版理论严谨、逻辑清晰、由浅入深、宜于教学的风格体系，对部分内容进行了修改和修正，适当增加了综合性例题，并增删了一定数量的习题。
本书内容包括静力学（含静力学公理和物体的受力分析、平面力系、空间力系、摩擦），运动学（含点的运动学、刚体的简单运动、点的合成运动、刚体的平面运动），动力学（含质点动力学的基本方程、动量定理、动量矩定理、动能定理、达朗贝尔原理、虚位移原理）。
本书可作为高等学校工科机械、土建、水利、航空、航天等专业理论力学课程的教材，也可作为高职高理论力学（I）第8版哈尔滨工业大学理论力学教研室习题答案专、成人高校相应专业的自学和函授教材，亦可供有关工程技术人员参考。
本书配套的有《理论力学学习辅导》、《理论力学（I）第8版哈尔滨工业大学理论力学教研室习题答案理论力学思考题集》、《理论力学解题指导及习题集》（第3版）、《理论力学电子教案》、《理论力学网络课程》、《理论力学习题解答》、《理论力学网上作业与查询系统》等。
理论力学（I）第8版哈尔滨工业大学理论力学教研室课后答案前辅文静力学关注网页底部或者侧栏二维码回复理论力学（I）第8版答案免费获取答案引言第一章静力学公理哈尔滨工业大学理论力学教研室理论力学（I）第8版课后答案理论力学思考题集》、《理论力学解题指导及习题集》（第3版）、《理论力学电子教案》、《理论力学网络课程》、《理论力学习题解答》、《理论力学网上作业与查询系统》等。
理论力学（I）第8版哈尔滨工业大学理论力学教研室课后答案前辅文静力学引言第一章静力学公理和物体的受力分析第二章平面力系第三章空间力系第四章摩擦理论力学（I）第8版哈尔滨工业大学理论力学教研室习题答案§4-4 滚动摩阻的概念运动学引言第五章点的运动学*§5-5 点的速度和加速度在球坐标中的投影思考题习题第六章刚体的简单运动§6-1 刚体的平行移动§6-2 刚体绕定轴的转动§6-3 转动刚体内各点的速度和加速度§6-4 轮系的传动比§6-5 以矢量表示角速度和角加速度·以矢积表示点的速度和加速度思考题习题第七章点的合成运动第八章刚体的平面运动动力学引言第九章质点动力学的基本方程第十章动量定理第十一章动量矩定理第十二章动能定理第十三章达朗贝尔原理第十四章虚位移原理参考文献习题答案索引Synopsis哈尔滨工业大学理论力学教研室理论力学（I）第8版课后答案第十四章虚位移原理。
理论力学10动量矩定理
在更高维度的空间中，动量矩定理可以通过向量的外积和叉积进行推广，适用于描述更复杂系统的动量矩变化。
n维空间推广
定理在更高维度空间的应用
多体系统
动量矩定理可以应用于多体系统，描述多个刚体之间的相互作用和运动关系，为多体动力学提供了基础。
非惯性参考系
在非惯性参考系中，动量矩定理需要考虑科里奥利力和离心力等因素的影响，以准确描述系统的动量矩变化。
定理证明的思路
在证明过程中，需要引入质点的质量、速度、位置矢量等概念，以及力、力矩等物理量。
引入相关概念
根据物理定律和数学公式，进行详细的数学推导，包括向量的点乘、叉乘等运算。
进行数学推导
经过推导，得出动量矩定理的结论，即质点系的动量矩等于外力矩对时间的积分。
得出结论Βιβλιοθήκη 定理证明的过程通过证明，得出的动量矩定理表述为：质点系的动量矩等于外力矩对时间的积分。
力矩的作用
力矩是描述力对物体运动轴的转动效应的物理量。在动量矩定理中，力矩的作用是改变物体的动量，即改变物体的运动状态。
时间和空间的影响
动量矩定理不仅涉及到物体的运动状态（动量和速度），还涉及到时间的变化率（即加速度），以及力作用的空间效应（即力矩）。因此，这个定理全面地描述了物体在空间和时间中的运动规律。
定理的物理意义
02
CHAPTER
定理的证明
首先明确动量矩定理的定义和意义，即对于一个质点系，其动量矩与外力矩之间的关系。
引入动量矩定理
建立证明框架
推导定理的表达式
根据定理的证明需求，建立证明的框架，包括定义、假设、推导和结论等部分。
根据牛顿第二定律和动量定理，推导出动量矩定理的表达式。
03
理论力学第10章
第 第10 10章 动量定理和 动量定理和动量矩定理动量矩定理第 第10 10章 动量定理和动量矩定理 □ 动量定理、动量矩定理 □ 质心运动定理 □ 讨论□ 质点系相对质心的动量矩定理□动量定理和动量矩定理的应用□ 动量、动量矩动量、动量矩★ 质点动量质点动量 质点的动量质点的动量 (momentum) —— 质点的 质量与质点速度的乘积，称为质点的动量质量与质点速度的乘积，称为质点的动量 = vp m = 动量具有矢量的全部特征，所以动量 是矢量，而且是定位矢量。
是矢量，而且是定位矢量。
所有质点动量的矢量和，称为 所有质点动量的矢量和，称为质点系的动 量 量，又称为 ，又称为动量系的主矢量 动量系的主矢量，简称为 ，简称为动量主矢 动量主矢。
= ii im v p å = ★ 质点系动量质点系动量 质点系运动时，系统中的所有质点在每一瞬时都具有各自的动量矢。
质点系中所有质点动量矢的集合，称为 的动量矢。
质点系中所有质点动量矢的集合，称为动量系。
动量系。
= ) , , , ( 2 2 1 1 nn m m m v v v p × × × = 根据质点系质心的位矢公式根据质点系质心的位矢公式 iii Cmm i i i C å = rr iii Cmm i i i C å = vv Cm v p =★ 冲量冲量 作用力与作用时间的乘积称为常力的冲量，用I 表示即 I = F t若作用力F 为变量，在微小时间间隔d t 内，F 的冲量称为元冲量。
即 d I = F d t力F 在作用时间t 内的冲量是矢量积分ò = ttd F I★ 质点动量矩 ★ 质点系动量矩□ 动量矩动量矩( v r v M mm O ´ = ) ( 质点对于点 质点对于点OO 的位矢与质点 动量叉乘，所得到的矢量称为 质点对于点 质点对于点O O 的动量矩。
动量矩定理 哈尔滨工业大学理论力学
d LOi dt
mo (Fi ) mo (Fie ) mo (Fii )
这样的方程有n个,求和得:
d LO
dt
mo (Fie )
mo (Fii )
(2)
4
计算内力矩的和
mo( Fii ) = 0 把上式代入(2)式得:
d LO
dt
mo
( Fi e
)
M
e o
(3)
5
在直角坐标系中(3)的投影式为:
M
r1 O1
r2 O2
分析：因为两轮分别绕不同的轴转动， 因此，应分别选取两轮为研究对象。
J z mz (Fie )
11
M
r1 O1
O2
M
α1
OY11r1
Pt X1Pn Pn
P1
Pt
解：1、选01轮为研究对象，受力分析：
r2
根据刚体的定轴转动微分方程：
J11 mo1 (Fie ) M Pt r1 (1)
18
计算外力对O点的主矩
Moe = (m1 - m2)gR
YO
XO
O
= 2r(m1 - m2)g
Mg
dL oz dt
M
e
oz
vB
A
B
2r2(M + 2m1 + 2m2) = 2r(m1 - m2)g m1g
(m1 m2 ) g
m2g
r(M 2m1 2m2 )
19
(2)由动量定理
YO
内容提要
第十一章 动量矩定理
三、动量矩定理 四、质点系相对于质心的动量矩定理
1
三、动量矩定理
(1)质点的动量矩定理 LO = r mv
理论力学-动量定理
第10章 动量定理
几个有意义的实际问题 动量定理与动量守恒 质心运动定理 应用举例
几个有意义的实际问题
？ 地面拔河与太空拔河，谁胜谁负
几个有意义的实际问题
？ 偏心转子电动机工作时为什么会左右运动？
这种运动有什么规律？ 会不会上下跳动？
几个有意义的实际问题
蹲在磅秤上的人站起来时， 磅 秤指示数会不会发生的变化？
建立Oxy 坐标系。
yA 2lsin
xB 2lcos
vA yA 2l cos 2l cos
vB
vxB xB 2l sin 2l sin
B p 2lm sini 2lm cosj
2lm (-sini cosj)
参考性例题 1
动量定理与动量守恒
质点系的动量定理
对质点系中第i个质点应用牛顿第二定律有：
d dt
(mi
vi )
Fiபைடு நூலகம்
Fii Fie
其中
F
i i
内力）；
为质点系中其它质点作用在第 i 个质点上的力（即
F
e i
为质点系以外的物体作用在第
i 个质点上的力（即外
力）质。点的动量定理 —— 质点的动量对时间的一阶导数，等于作
p mv
动量具有矢量的全部特征，所以动量是矢量。 动量具有明显的物理意义，它是力的作用效应的一种量度。 如：子弹的质量很小，但由于其运动速度很大，故可穿透坚硬 的钢板；即将靠岸的轮船，虽速度很慢，但由于质量很大，仍 可撞坏用钢筋混凝土筑成的码头。
动量定理
质点系的动量
质点系中所有质点动量的矢量和，称 为质点系的动量。
理论力学第十章
作用于质点系外力的矢量和。 内力不影响质心的运动,只有外力才能改变质心的运动.
2.质心运动定理
在直角坐标轴上的投影式为:
ma Cx F
(e ) x
maCy Fy(e)
maCz F
(e ) z
在自然轴上的投影式为:
2 dvC vC (e) (e) m Ft m Fn dt
第十章 动量定理
§10-1 动量与冲量
1．动量
质点的动量 单位
z
mv
mi
rc
vi
pi mi vi
kg m / s n p mi vi 质点系的总动量
i 1
ri
x mi ri rc 质心 ， m mi m 动量：描述 drc dri m mi mi vi 质点或质点 dt dt 系运动状态 总动量 p mvc 的参量。
l 2m1 m1 2 sin t yC l sin t 2m1 m2 2m1 m2
消去t 得轨迹方程
xc yc 2 [ ] [ ]2 1 2(m1 m2 )l /( 2m1 m2 ) m1l /( 2m1 m2 )
系统动量沿x, y轴的投影为:
px mvCx mxC 2(m1 m2 )l sin t
p p0 pa1b1 pab ( pbb pa b ) ( pa b paa ) 1 1 1 1 pbb1 paa1 qV dt (vb va )
流体受外力如图, 由动量定理,有
即 设
qV dt (vb va ) ( P Fa Fb F )dt qV (vb va ) P Fa Fb F F F F
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或
maC
F (e) i
i 1
称为质心运动定理,即:质点系的质量与质心加速度的乘积
等于作用于质点系外力的矢量和.
内力不影响质心的运动,只有外力才能改变质心的运动.
在直角坐标轴上的投影式为:
m
a
Cx
F (e) x
m aCy
F (e) y
在自然轴上的投影式为:
m aCz
F (e) z
m dvC dt
等于作用于质点系的外力元冲量的矢量和;或质点系动 量对时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和.
在 t1 ~ t2内,
动量 p1 ~ p2 有
n
p2
p1
I (e) i
i 1
称为质点系动量定理的积分形式,即在某一时间间隔内,质点
系动量的改变量等于在这段时间内作用于质点系外力冲量
的矢量和.
动量定理微分形式的投影式
t2 Fdt I
t1
称为质点动量定理的积分形式,即在某一时间间隔内,质点动
量的变化等于作用于质点的力在此段时间内的冲量.
2.质点系的动量定理
外力: Fi(e,)
内力:
F (i) i
内力性质:
（1）
F (i) i
0
（2） M O ( Fi (i ) ) 0
（3） Fi (i)d t 0
质 点: d ( m i vi ) Fi (e )d t Fi (i)d t
质点系: d ( m i v i ) Fi (e )d t Fi (i )d t
得 dp Fi(e)dt dIi(e)
或
dp dt
F (e) i
称为质点系动量定理的微分形式,即质点系动量的增量
dI Fdt
I t2 Fdt t1
单位： N·s
§10-2 动量定理
1.质点的动量定理 d(mv) F dt
或 d(mv) Fdt
称为质点动量定理的微分形式,即质点动量的增量
等于作用于质点上的力的元冲量.
在 t1~ t2 内, 速度由 v1~ v2, 有
m v2 m v1
qv 为单位时间内流过截面的 体积流量，ρ为密度
动量变化为
p p 0 p a1b1 p ab
( p bb1 p a1b ) ( p a1b p aa1 ) p b b1 p a a1
qV dt(vb va )
流体受外力图
由动量定理,有
qV dt(vb va ) (P Fa Fb F )dt 即 qV (vb va ) P Fa Fb F
dp x dt
F (e) x
dp y dt
F (e) y
动量定理积分形式的投影式
p2x
p1x
I (e) x
p2y
p1y
I (e) y
dp z dt
F (e) z
p2z
p1z
I (e) z
3．质点系动量守恒定律
若 F ( e ) 0 , 则 p = 恒矢量
若
F (e) x
解:设
xC1 a
xC2
m1 ( a
s) m 2 (a e sin m1 m2
s)
x 由 C1 x C 2 ,
得 s m 2 e sin
m1 m2
本章完
m1 2
m2
cos
t
应用质心运动定理,解得
Fx
F
r
2
m1 2
m2
cos
t
显然,最大水平约束力为
Fmax
F
r 2 m1
2
m
2
例 10-5 地面水平,光滑,已知 m1, m2, e, 初始静止, ω = 常量.
求:电机外壳的运动.
0,则
px = 恒量
例10-1 电动机外壳固定在水平基础上,定子和外壳的质
量为 m1,转子质量为m2.定子和机壳质心 O1 ,转子质心O2 ,
,角速度 为常量. O 1O 2 e 求基础的水平及铅直约束力.
解: p m 2 e
p x m 2 e c o s t
p y m 2 e s in t
m iz m
i
例10-3 已知:为常量,均质杆OA = AB = l ,两杆质量
皆为 m1 ,滑块 B 质量 m2 .
求:质心运动方程、轨迹及系统动量.
解:设 t=0 时，杆 OA 水平，则有 φ=ωt，质心运动方程为
xC
m1
l 2
m1
3l 2
2m2l
2m1 m2
cos t
2(m1 m2 ) l cos t
力.
动约束力 - 静约束力 = 附加动约束力 本题的附加动约束力为
x 方向: m 2 e 2 sin t y 方向: m 2 e 2 c o s t
例10-2 流体在变截面弯管中流动,设流体不可压缩,流动
是稳定的.求管壁的附加动约束力.
解:时间 dt 内流过截面的质量 qV dt
第十章 动量定理
§10-1 动量与冲量
1．动量
质点的动量
mv
单位
kg m /s
n
质点系的动量
p mivi i 1
质心
Hale Waihona Puke rc mi ri m
，
m
mi
m
d rc dt
mi
d ri dt
mivi
即
p mvc
2．冲量
常力的冲量
I Ft
变力的元冲量
在 t1 ～t2内的冲量
2m1 m2
yC
2 m1
l 2
2m1 m2
sin
t
m1 2m1
m2
l sin
t
消去t 得轨迹方程
[
xc
]2 [
yc
]2 1
2(m1 m 2 )l /( 2m1 m 2 )
m1l /(2m1 m 2 )
系统动量沿x, y轴的投影为:
p x m v C x m x C 2 ( m 1 m 2 ) l s in t
p y m v C y m y C m 1l c o s t
系统动量的大小为:
p
p
2 x
p
2 y
l
4(m1
m
2
)
2
s in
2
t
m
2 1
cos
2
t
2.质心运动定理
由
d dt
( m vC
)
n
i 1
F (e) i
得
m dvC dt
n
F (e) i
i 1
n
由
dpx dt
Fx
dpy dt
Fy
m1g
m2g
得 F x m 2 e 2 s in t Fy (m1 m 2 )g m 2e 2 cost
电机不转时, F x 0,F y ( m 1 m 2 ) g 称静约束力;
电机转动时的约束力称动约束力,上面给出的是动约束
设 F F F F 为静约束力; F 为附加动约束力
由于 P Fa Fb F 0
得 F qV (vb v a )
10-3 质心运动定理
1．质心
rC
m m
i
ri ,
m
m
i
xC
m ix i m
,
yC
mi m
y
i
,
zC
Ft (e )
m vC2
F (e) n
质心运动守恒定律
0
F (e) b
若 F (e) 0
若
F (e) x
0
则 vC 常矢量
则 vCx 常量
例10-4 均质曲柄AB长为r,质量为m1,假设受力偶作用 以不变的角速度ω 转动,并带动滑槽连杆以及与它固连的活
塞D,如图所示.滑槽连杆、活塞总质量为m2,质心在点C .在
活塞上作用一恒力F .不计摩擦及滑块B的质量,求:作用在 曲柄轴A处的最大水平约束力Fx .
解:如图所示
m 1 m 2 a Cx F x F
xC
m
1
r 2
cos
m2 r
cos
b
m1
1 m2
aCx
d 2 xC dt 2
r 2
m1 m2