向量表示的点与三角形的位置关系
平面向量与三角形的关系及三角形的性质
平面向量与三角形的关系及三角形的性质平面向量是解决和研究平面几何问题的有力工具，而三角形是平面几何中最基本的图形之一。
本文将探讨平面向量与三角形之间的关系，并介绍一些与三角形相关的重要性质。
一、平面向量与三角形的关系1. 平面向量的定义平面向量是指既有大小又有方向的量。
用带箭头的小写字母表示，如a→，b→等。
平面向量的起点和终点可以是任意点。
2. 平面向量的表示平面向量可以用有序数对、坐标、自由向量等多种方式表示。
其中，自由向量是指有大小和方向，但起点可以是任意点的向量。
自由向量a→的终点记为A，即a→=OA→。
3. 平面向量的运算平面向量可以进行加法和数乘运算。
加法满足交换律和结合律，数乘满足分配律。
4. 三角形的向量表示定理对于三角形ABC，设向量AB→=a→，向量AC→=b→，则有向量AB→+向量BC→=向量AC→。
即a→+c→=b→。
5. 三角形的重要定理（1）质点法分解定理：对于任意三角形ABC，以任意一点O为起点，作向量OA→、向量OB→、向量OC→，有向量OA→+向量OB→+向量OC→=0→。
（2）垂直定理：已知三角形ABC中，向量AB→与向量BC→垂直，则有向量AB→•向量BC→=0。
（3）共线定理：已知三角形ABC中，向量AB→与向量BC→共线，则有向量AB→×向量BC→=0→。
二、三角形的性质1. 三角形的内角和定理三角形的三个内角之和等于180°。
即∠A + ∠B + ∠C = 180°，其中∠A、∠B、∠C分别表示三角形的三个内角。
2. 三角形的外角定理三角形的任意一个外角等于其他两个内角之和。
即∠D = ∠A + ∠C，其中∠D表示三角形的外角。
3. 三角形的重心三角形的三条中线交于一点，这个点称为三角形的重心，记为G。
重心到三角形各顶点的向量满足质点法分解定理。
即向量GA→+向量GB→+向量GC→=0→。
4. 三角形的垂心三角形的三个高线交于一点，这个点称为三角形的垂心，记为H。
向量表示的点与三角形的位置关系
’
解： 取Ａ Ｃ 的 中 点Ｄ ， 则 ＝ ＋ ｊ Ｌ ‘ Ｔ
＋
：
粤 ， ． ． ： ＋ Ａ （ ＋ ） ． ： Ａ 劢
Ｓ ｌ ａ． ／ Ｊ
Ｂ ｐ ： － Ｄ ｌ ｆ － 啬 ＋
）
则 四边形 Ａ 脚 为菱 形 ， ． ． ． Ａ Ｍ为 Ｚ ＿ Ｂ Ａ Ｃ平 分线 ，
例４ ： 已知 ０是平 面 上 一 定点 ， Ａ 、 Ｂ 、 Ｃ是 平 面 ｔ － 不 共 线 的 三
语数外 学习
Ｎ ｏ ． ０ ４ ． ２ Ｏ ｌ ３
Ｙ ｕ Ｓ ｈ ｕＷ Ｘ ｕ ｅＸ ｉ
Ｂ ． 内心 Ｃ ． 重心 Ｄ ． 垂 心 Ａ ． 外心 Ｂ ． 内心
２ ０ １ ３年第 ４期
ｌ Ｉ
＋
）
Ｃ ． 重心
） ， Ａ ｅ［ ｏ ， ＋
， 则Ｐ
．
ｌ Ａ Ｌ Ｉ
的轨 迹一 定通 过 ＡＡ Ｂ Ｃ的 （
Ａ ． 外心 Ｂ ． 内心
Ｄ ． 垂心
解： ‘ ． ‘
・ ． ．
， ＋
分 别是 仙 ， Ａ Ｃ边 上的单 位 向量 ， 是 ｃ的角平 分线 上 的确定 向量 ，
倍数外 学 习
Ｎ ｏ ． ０ ４ ． ２ ０ １ ３
Ｙ ｕ Ｓ ｈ ｕ Ｗａ ｉ Ｘ ｕ ｅ Ｘ ｉ
２ ０ １ ３ 年第 ４ 期
向量表示 的点 与三角形 的位置关 系
祝 兵
（ 九江一 中， 江西
摘
九江
３ ３ ２ ０ ０ ０ ）
要： 向量表 示 的与三 角形 的位 置 关 系是 高考 中一个 亮点 ， 世 代数 与 几何 的 交汇 点。三 角形 中的 点用 向量表 示 ， 形式 优 美 ， 内涵
向量的知识点总结和解三角形
平面向量复习基本知识点结论总结一、向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。
向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； （3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)；例题 已知向量，则与其共线的单位向量为__________.（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
的相反向量是－。
例题下列命题：（1）若a b =，则a b =。
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。
（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。
（5）若,a b b c ==，则a c =。
（6）若//,//a b b c ，则//a c 。
其中正确的是_______ 二、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；（3）坐标表示法。
三，平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。
例题（1）若(1,1),a b ==(1,1),(1,2)c -=-，则c =（ ）a +（ ）b ；（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是（ ）A. 12(0,0),(1,2)e e ==-B. 12(1,2),(5,7)e e =-=C. 12(3,5),(6,10)e e ==D. 1213(2,3),(,)24e e =-=- （3）已知,AD BE 分别是ABC ∆的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b ==,则BC 可用向量,a b 表示为_____（4）已知ABC ∆中，点D 在BC 边上，且−→−−→−=DB CD 2，−→−−→−−→−+=AC s AB r CD ，则s r +的值是___四、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定如下：()()1,2a a λλ=当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反，当λ＝0时，0a λ=，注意：λa ≠0。
向量与三角形内心外心重心垂心
向量与三角形的重心、垂心、内心、外心的关系一、四心的概念介绍、（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
二、四线与向量的结合121212,PA =1=,=.ABOA OB PB AB λλλλλλ=++u u r u u u r u u u r1.定理：如图，设OP 则，且(记忆:交叉分配系数)=()OA OBAP BPλ+u u u r u u u r2.若M 是OP 上的任意一点，则OM (记忆:分母对应分配系数)应用1:（1）中线: （2）高线:（3）角平分线: （4）中垂线:应用2.四线上的动点表示:(1)中线上的动点: ()AB AC λ+u u u r u u u r 或()||sin ||sin ABAC AB B AC Cλ+u u u ru u u r u u ur u u u r(2)高线上的动点:()cos cos AB ACAB B AC Cλ+u u u r u u u r u u u r u u u r, (3)角平分线上的动点:()AB ACAB AC λ+u u u r u u u r u u u r u u u r(4)中垂线上的动点: ()2||cos ||cos OB OC AB ACOP AB B AC Cλ+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,三、四心与向量的结合 1.BOC AOC AOB O ABC S OA S OB S OC ∆∆∆∆++=u u u r u u u r u u u r r 定理：设是内任意一点，则（记忆：拉力平衡原则） 应用:（1）O 是ABC ∆的重心. ⇔b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆=1:1:1⇔ 0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r（2）O 为ABC ∆的垂心. ⇔ C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆ ⇔0OC C tan OB B tan OA A tan =++（3）O 为ABC ∆的内心.⇔c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆=sin :sin :sin A B C⇔0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或⇔0aOA bOB cOC ++=u u u r u u u r u u u r r （4）O 为ABC ∆的外心⇔ ⇔ 0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++2.四心的向量表示：（1）O 是ABC ∆的重心. ⇔ 1()3PO PA PB PC =++u u u ru u u ru u u ru u u r（2）O 为ABC ∆的垂心. ⇔OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r（3）O 为ABC ∆的内心.⇔()()()0AB AC BC BA CA CBOA OB OC AB AC BC BA CA CB•-=•-=•-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r （4）O 为ABC ∆的外心 ⇔OC OB OA ==四．典型例题：一、与三角形“四心”相关的向量问题题1：已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足||||AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r , [0,)λ∈+∞. 则P 点的轨迹一定通过△ABC 的 A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心题2：已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++u u u r u u u r u u u r u u u r, [0,)λ∈+∞. 则P 点的轨迹一定通过△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心题3：已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()||sin ||sin AB ACOP OA AB B AC Cλ=++u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ,[0,)λ∈+∞, 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的 C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：：A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心题4：已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()||cos ||cos AB ACOP OA AB B AC Cλ=++u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ,[0,)λ∈+∞, 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心题5：已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()2||cos ||cos OB OC AB ACOP AB B AC Cλ+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , [0,)λ∈+∞, 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心题6：三个不共线的向量,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r 满足()||||AB CA OA AB CA ⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =(||BA OB BA ⋅u u u r u u u r u u u r+||CB CB u u u r u u u r ) =()||||BC CA OC BC CA ⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r = 0，则O 点是△ABC 的( )A. 垂心B. 重心C. 内心D. 外心题7：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若OA OB OC ++u u u r u u u r u u u r= 0, 则O 点是△ABC的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心题8：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若1()3PO PA PB PC =++u u u r u u u r u u u r u u u r(其中P 为平面上任意一点), 则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心题9：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则O点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心题10：已知O 为△ABC 所在平面内一点，满足2222||||||||OA BC OB CA +=+u u u r u u u r u u u r u u u r=22||||OC AB +u u u r u u u r ，则O 点是△ABC 的( )A. 垂心B. 重心C. 内心D. 外心题11：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若()OA OB AB +⋅u u u r u u u r u u u r =()OB OC BC +⋅u u u r u u u r u u u r= ()OC OA CA +⋅u u u r u u u r u u u r= 0，则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心 题12：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若aOA bOB cOC ++u u u r u u u r u u u r= 0，则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心题13：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若aPA bPB cPCPO a b c++=++u u u r u u u r u u u ru u u r (其中P 是△ABC 所在平面内任意一点)，则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心题14：△ABC 的外接圆的圆心为O ，两边上的高的交点为H ，OH u u u r =()m OA OB OC ++u u u r u u u r u u u r，则实数m =____________.二、与三角形形状相关的向量问题 题15：已知非零向量ABu u u r 与AC uuu r 满足()||||AB AC BC AB AC +⋅u u u r u u u ru u ur u u u r u u u r = 0且12||||AB AC AB AC ⋅=u u u r u u u ru u u r u u u r ，则△ABC 为( ) A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形 D. 等边三角形 题16：已知O 为△ABC 所在平面内一点，满足|||2|OB OC OB OC OA -=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则△ABC 一定是( )A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形题17：已知△ABC ，若对任意t R ∈，||BA tBC -u u u r u u u r ≥||AC u u u r，则△ABC( )A. 必为锐角三角形B. 必为钝角三角形C. 必为直角三角形D. 答案不确定题18：已知a , b, c 分别为△ABC 中∠A, ∠B, ∠C 的对边，G 为△ABC 的重心，且a GA b GB c GC ⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r= 0, 则△ABC 为( )A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形 三、与三角形面积相关的向量问题题19：已知点O 是△ABC 内一点，23OA OB OC ++u u u r u u u r u u u r= 0, 则：(1) △AOB 与△AOC 的面积之比为___________________； (2) △ABC 与△AOC 的面积之比为___________________； (3) △ABC 与四边形ABOC 的面积之比为_____________. 四、向量的基本关系(共线)题20：如图，已知点G 是△ABC 的重心，若PQ uuu r过△ABC 的重心，记CA u u u r = a ,CB u u u r = b , CP u u u r = m a , CQ uuu r = n b , 则11m n+=_____.练习．O 为ABC ∆平面上一定点，该平面上一动点p 满足{|(sin ABM P OP OA C ABλ==++u u u ru u u r u u u r u u u r sin )0}AC B ACλ>u u u r u u u r ，，则ABC ∆的（ ） 一定属于集合M .（A ）重心 （B ）垂心 （C ）外心 （D ）内心GABCMP Q。
三角形向量定理
三角形向量定理三角形向量定理是解决三角形中各种问题的重要工具。
它将三角形的边和角与向量的数量关系结合起来，使得我们可以通过向量的运算来推导和解决与三角形有关的各种问题。
本文将从三角形向量定理的定义、推导和应用几个方面进行介绍。
我们来看一下三角形向量定理的定义。
三角形向量定理是说，对于任意一个三角形ABC，如果我们以一个点O为原点建立一个坐标系，那么三角形的三个顶点A、B、C对应的向量a、b、c满足以下关系：c = a + b。
也就是说，三角形的一条边的向量等于另外两条边的向量之和。
接下来，我们来推导一下三角形向量定理。
假设三角形ABC的顶点A、B、C对应的向量分别是a、b、c。
我们以点O为原点建立坐标系，那么向量a、b、c的坐标分别是(a1, a2)、(b1, b2)、(c1, c2)。
根据向量的加法规则，我们可以得到：c1 = a1 + b1，c2 = a2 + b2。
这就是三角形向量定理的推导过程。
三角形向量定理可以应用于解决各种与三角形有关的问题。
例如，我们可以利用三角形向量定理来求解三角形的面积。
假设三角形ABC的顶点A、B、C对应的向量分别是a、b、c。
根据三角形的面积公式，我们可以得到三角形的面积S等于底边BC的长度与高h的乘积的一半。
而底边BC的长度可以通过向量c的模长来计算，即|c| = √(c1^2 + c2^2)。
而高h可以通过点A到直线BC的距离来计算，即h = |Proj_AB(c)| = |c| * sin(angle(AB, c))，其中Proj_AB(c)表示向量c在向量AB上的投影，angle(AB, c)表示向量AB与向量c之间的夹角。
因此，三角形的面积S可以表示为：S = 0.5 * |c| * |c| * sin(angle(AB, c)) = 0.5 * |c|^2 * sin(angle(AB, c))。
除了求解三角形的面积，三角形向量定理还可以用于判断三角形的形状。
三角形重心外心垂心的向量关系表达式
三角形重心、外心、垂心向量关系表达式1. 介绍三角形是初中和高中数学课程中重要的几何图形之一。
三角形的重心、外心、垂心是三角形内部重要的点，它们的向量关系表达式对于解决三角形相关问题具有重要意义。
2. 重心、外心、垂心的定义（1）重心：三角形的三条中线交于一点G，称为三角形的重心。
（2）外心：三角形每个外角的平分线交于一点O，称为三角形的外心。
（3）垂心：三角形的三条垂直平分线交于一点H，称为三角形的垂心。
3. 重心、外心、垂心的定位3.1 重心的定位设A、B、C为三角形的三个顶点，重心G到顶点A、B、C的向量分别为\(\overrightarrow{GA}\)、\(\overrightarrow{GB}\)、\(\overrightarrow{GC}\)。
重心G到三角形各顶点的向量关系表达式为：\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC }=0\)3.2 外心的定位假设在三角形ABC的外面，以AB、BC、CA的中线分别为直径画圆，交点为外心O。
外心O到三角形各顶点的向量关系表达式为：\(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{O C}\)3.3 垂心的定位在三角形ABC中，设H为垂心。
垂心H到三角形各顶点的向量关系表达式为：\(\overrightarrow{HA}=2\overrightarrow{DA}\)\(\overrightarrow{HB}=2\overrightarrow{DB}\)\(\overrightarrow{HC}=2\overrightarrow{DC}\)4. 重心、外心、垂心向量关系表达式的应用4.1 证明三角形重心、外心、垂心共线通过向量的加法与减法可以得出，重心、外心、垂心在一条直线上。
假设向量\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC }=0\)，向量\(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{O C}\)，以及向量\(\overrightarrow{HA}=2\overrightarrow{DA}\)，在证明过程中展现了向量加法与减法的运用。
向量在三角形中的应用课件
目录
向量基础向量在三角形中的表示向量在三角形中的应用向量与三角形问题的解决实例分析
01
CHAPTER
向量基础
向量的定义与表示是理解向量在三角形中应用的基础。
总结词
向量是一种具有大小和方向的量，通常用有向线段表示。在数学中，向量常用字母表示，如$vec{A}$、$vec{B}$等。
向量的模等于三角形对应边的长度，即$|overset{longrightarrow}{AB}| = |AB|$。
向量的模与三角形边长的关系
两个向量的夹角等于它们所对应的三角形的内角，例如$angle A = angle overset{longrightarrow}{AB},overset{longrightarrow}{AC}$。
空间向量的表示
空间中的向量可以用三维坐标来表示，例如向量$overset{longrightarrow}{A(x_1, y_1, z_1)}$和$overset{longrightarrow}{B(x_2, y_2, z_2)}$表示从点A到点B的向量。
空间向量的运算
空间向量可以进行加法、数乘、向量的模等运算，这些运算与平面向量类似，但需要考虑三维坐标。
利用向量计算三角形边长
总结词
通过向量的模长，可以计算三角形的边长。
向量法计算边长
假设三角形三个顶点为A(1,2), B(3,4), C(5,6)，则向量a = (2,4)，向量b = (4,6)，计算得边长 = sqrt(a^2 + b^2) = sqrt(2^2 + 4^2) = sqrt(20)
实例
THANKS
感谢您的观看。
总结词
04
CHAPTER
三角形“四心”向量形式的结论及证明
三角形“四心”向量形式的结论及证明三角形的“四心”是指三角形的重心、外心、内心和垂心。
它们的位置可以用向量的形式来描述。
本文将分别介绍三角形“四心”的向量形式以及其证明。
1.重心:重心是指三角形三个顶点的中线交点所在的点，用G表示。
假设三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)，则重心G的坐标可以通过以下公式得到：G=(A+B+C)/3其向量形式为：OG=(OA+OB+OC)/3其中O为坐标原点。
证明：由定义可知，重心是三角形三个顶点的中线交点所在的点。
而中线的坐标可以通过两个顶点的坐标的平均值得到。
因此，重心的坐标是三个顶点坐标的平均值。
根据向量加法的性质，可以得到上述结论。
2.外心:外心是指可以通过三角形的三个顶点作为圆心，找到一个圆使得三条边都是这个圆的切线。
用O表示外心。
假设三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)，则外心O的坐标可以通过以下公式得到：O=(a^2*A+b^2*B+c^2*C)/(a^2+b^2+c^2)其中a、b、c分别表示三角形的边长BC、AC和AB的长度。
其向量形式为：OO=(a^2*OA+b^2*OB+c^2*OC)/(a^2+b^2+c^2)其中O为坐标原点。
证明：设外心为O，连接OA、OB、OC，并设AO的长度为R，BO的长度为R'，CO的长度为R''。
根据定义可知，OA，OB，OC都是截圆半径，可以得到以下关系：OA⊥BC，OB⊥AC，OC⊥AB由于OA、OB、OC是向量，因此上述关系可以写为：OA·BC=0，OB·AC=0，OC·AB=0其中“·”表示点乘。
根据向量的点乘性质可知：OA·(B-C)=0，OB·(C-A)=0，OC·(A-B)=0将向量差展开得：OA·B-OA·C=0，OB·C-OB·A=0，OC·A-OC·B=0进一步展开可得：R^2-R'^2=0，R'^2-R''^2=0，R''^2-R^2=0整理得：R^2-R'^2=R''^2-R^2移项得：2R^2=R'^2+R''^2根据圆的定义可知，外心到三角形的每个顶点的距离都相等，因此R=R'=R''。
用向量证明三角形中线定理
用向量证明三角形中线定理三角形中线定理是指：在任意三角形中，连接两边中点的线段所构成的线段被称为这个三角形的一条中线，三角形的三条中线交于一点，并且这个点离三角形的三个顶点的距离相等，即这个点是三角形重心的位置。
首先，假设三角形的三个顶点分别为A、B、C，且通过AB边的中点D和通过AC边的中点E，那么点G就是三角形ABC的重心。
我们可以用向量表示这些点，即向量AD、向量AE、向量AG以及向量AB和向量AC。
因为D是AB边的中点，所以向量AD=1/2×向量AB，同理，因为E是AC边的中点，所以向量AE=1/2×向量AC。
我们可以把向量AG表示为向量AD和向量AE的平均值，即：向量AG=1/2×(向量AD+向量AE)=1/4×向量AB+1/4×向量AC同样地，可以通过BC边的中点F来表示向量BG，即：因为向量AG和向量BG具有相同的系数，所以它们的和可以表示为：向量AG+向量BG=1/4×向量AB+1/4×向量AC+1/4×向量AB+1/4×向量AC这个向量表示的是重心G与顶点A所形成的向量。
同样地，可以用向量表示重心G与点B和点C所形成的向量，得到：这个向量表示的是三条中线之和，即重心G与三角形的三个顶点所形成的向量之和。
根据向量的基本性质，它们的和应该为零。
因此：向量AG+向量BG+向量CG=0即：将等式两边同时乘以2，得到：根据向量的几何意义可以看出，向量AB、向量AC和向量BC表示三角形ABC三条边的方向和长度，而它们的和恰好为零，说明三条边所形成的三角形ABC是一个平行四边形。
因此，由中线定理可知，通过三角形的三个顶点A、B、C所得到的三条中线交于一点且这个点是重心G。
向量与三角形内心、外心、重心、垂心
向量与三角形的重心、垂心、内心、外心的关系一、四心的概念介绍、（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
二、四线与向量的结合121212,PA =1=,=.ABOA OB PB AB l l l l l l =++1.1.定理：如图，设定理：如图，设定理：如图，设OP OP 则则，且 (记忆:交叉分配系数) =()OA OBAP BP l +2.2.若若M 是OP OP上的任意一点，则上的任意一点，则上的任意一点，则OM OM (记忆:分母对应分配系数) 应用1: （1）中线: （2）高线: （3）角平分线: （4）中垂线: 应用2.四线上的动点表示: (1)中线上的动点: ()AB AC l +或()||sin ||sin AB AC AB B AC Cl +(2)高线上的动点:()cos cos AB AC AB BAC C l +, (3)角平分线上的动点:()AB ACABACl +(4)中垂线上的动点: ()2||cos ||cos OB OCAB AC OP AB B AC Cl +=++,O ABC OA S OB S OC D 定理：设是内任意一点，b a SAOBAOC：：：=D =1:1:1Û0OA OB OC ++=B tan A tan S AOB AOC ：：：=D 0OC OB OA 0aOA bOB cOC 1()3PO PA PB PC =++OA OB OB OC OC OA ×=×=× )))AB AC BC BA CA OC OB OA 已知O 是平面上一定点，||||AB AC AB AC l æö=++ç÷, l 题2：已知O 是平面上一定点，()OP OA AB AC l =++, l ÎO 是平面上的一定点，A ()||sin ||sin AB AC OP OA AB B AC Cl =++是平面上的一定点，A 、B ()||cos ||cos AB AC AB B AC Cl +题5：已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点()OB OCABAC++D. 内心,,OA OB OC 满足()||||AB CA OA AB CA ×+=(||BA OB BA ×+||CB CB ) ()||||BC CAOC BC CA ×+= 0内心 D. 外心OA OB OC ++= 0, 1()PO PA PB PC D. 垂心OA OB OB OC OC OA ×=×=×，则 D. 垂心 2222|||||||OA BC OB CA +=+=22|||OC AB +，则 D. 外心题11：已知O 是△ABC )OA OB AB +×()OB OC BC +×()OC OA CA +×= 0，则 D. 垂心aOA bOB cOC ++= = 00，则D. 垂心aPA bPB cPC =题14：△ABC 的外OH =()m OA OB OC ++，则实数二、与三角形形状相关的向量问题题15：已知||||ABACAB AC 12||||AB AC AB AC ×=，则△等边三角形|||2|OB OC OB OC OA -=+-，则等边三角形||BA tBC -≥||AC ，则△题18：已知a , b, c 分别为△GA b GB c GC ×+×+×= = 00, 则△内一点，23OA OB OC ++= 0, 则：题20：如图，已知点是△ABC 的重心，若PQ 过△ABC 的重心，记CA = a ,则11m n +=_____.|(sin AB OP OA C ABl =++sin )AC B ACG C P Q 。
三角形垂心向量结论及推导_概述说明以及解释
三角形垂心向量结论及推导概述说明以及解释1. 引言1.1 概述在几何学中，三角形是最基本的图形之一，而三角形垂心则是与三角形密切相关的一个概念。
垂心是指三角形内部的一个点，它到三条边的距离都相等，也就是说，垂心到每条边都垂直。
研究三角形垂心有助于我们深入理解三角形的性质和特点，并且在解决一些实际问题时具有重要应用价值。
1.2 目的本文旨在详细介绍和推导三角形垂心向量的结论及其应用。
通过对垂心概念、向量表示与计算等内容进行阐述和推导，我们可以全面了解和掌握垂心向量在几何学中的重要地位和作用。
1.3 结构本文共分为五个主要部分。
首先，在引言部分，我们将对文章进行概述并明确目标。
然后，在第二部分中，我们将详细介绍并定义三角形垂心的概念，并阐述其一些基本性质和特点。
接下来，在第三部分中，我们将介绍向量的定义以及常见运算规则，并推导出垂心向量的表示和计算方法。
在第四部分中，我们将总结垂心向量的结论，并举例说明其在实际问题中的应用场景，同时给出解决实际问题时的具体求解方法。
最后，在第五部分中，我们将对全文进行总结，并展望未来的研究方向。
通过以上安排，本文将全面、系统地介绍和探讨三角形垂心向量的相关知识，为读者提供一个清晰明了的学习和参考指南。
2. 三角形垂心概念：2.1 定义：三角形的垂心是一个重要的几何中心点，定义为通过三角形三条高线的交点。
高线是从三角形的一个顶点到对应边所作的垂线。
具体来说，对于三角形ABC，若AD、BE和CF分别是BC、CA和AB上的高线，则它们相交于一个点H，称为三角形ABC的垂心。
2.2 性质：垂心具有以下性质：- 垂心到各边距离之积最小：对于任意一点P在平面上，PA * BC + PB * CA + PC * AB 的值最小当且仅当P为三角形ABC的垂心H；- 垂足共线定理：若D、E和F分别为三角形ABC三个顶点A、B和C所做的高线上的垂足，则这些垂足D、E和F共线；- 和内切圆关系紧密：垂心与内切圆有关系，在特殊情况下可以证明，内切圆关于垂心对称；- 在等边三角形中居中：在等边三角形中，垂心恰好位于重心和外接圆圆心连线上。
三角函数和角公式向量证明的关系
三角函数和角公式向量证明的关系1. 介绍三角函数和角公式是高中数学中重要的概念，它们在解决三角形及其相关问题中起着至关重要的作用。
而在学习三角函数和角公式的过程中，我们常常需要进行相关的证明和推导，其中向量方法在证明过程中能够起到非常重要的作用。
本文将深入探讨三角函数和角公式与向量证明的关系，从而更好地理解它们之间的通联。
2. 三角函数与向量在平面直角坐标系中，我们可以用向量来表示一个点的位置，从原点到点P的向量称为位置矢量r。
如果点P的坐标为(x, y)，那么其位置矢量r可以表示为r = xi + yj，其中i和j分别是横轴和纵轴上的单位向量。
对于点P(x, y)，我们可以定义它的极坐标(r,θ)，其中r为点P到原点的距离，θ为向量OP与x轴的夹角。
利用向量的知识，我们可以得到点P的位置矢量r与其极坐标(r,θ)之间的关系：r = cosθi + sinθj。
这里的cosθ和sinθ分别为θ的余弦和正弦，它们不仅可以表示点P 的坐标，也可以表示向量OP的方向和大小。
可以看出三角函数与向量的通联非常密切。
通过向量的方法，我们可以更直观地理解三角函数的概念，从而更好地应用它们解决相关的数学问题。
3. 角公式与向量在学习三角函数的过程中，我们也常常需要探讨角的加减、倍角、半角等相关公式。
而这些角公式与向量之间也存在着紧密的通联。
考虑向量OA和向量OB，其夹角为θ。
我们知道，两个向量的夹角可以通过它们的数量积进行求解：cosθ = (OA·OB) / (|OA|·|OB|)，其中OA·OB为向量的数量积，|OA|和|OB|分别为向量OA和向量OB的模长。
从向量的角度来看，两个向量的数量积反映了它们之间夹角的大小关系，而角公式中的cosθ项也与两个向量之间的关系息息相关。
我们可以通过向量的方法来证明和推导角公式，使得角公式的性质更加清晰地呈现在我们眼前，从而更好地理解和应用角公式解决问题。
三角形中向量关系
三角形中向量关系三角形是几何学中的基本图形之一，它由三条边和三个顶点组成。
在三角形中，向量关系是一个重要的概念。
向量是一个有大小和方向的量，它可以表示为一个有向线段。
在三角形中，我们可以利用向量关系来研究和解决各种问题。
下面我将详细介绍三角形中的向量关系。
我们来研究三角形的向量和边的关系。
在三角形ABC中，我们可以定义向量AB、BC和CA。
根据向量的定义，向量AB表示从点A指向点B的有向线段，它的大小等于线段AB的长度，方向与线段AB的方向相同。
同样，向量BC和向量CA也可以类似的定义。
在三角形中，我们可以发现一个有趣的事实：向量AB+向量BC等于向量AC。
这是因为从点A出发，先沿着向量AB指向点B，然后再沿着向量BC 指向点C，最终到达点C，这就等于从点A直接沿着向量AC指向点C。
这个关系在解决三角形问题时非常有用。
我们来研究三角形的向量和角的关系。
在三角形ABC中，我们可以定义向量AB、BC和CA，以及角A、角B和角C。
根据向量的定义，向量AB的方向可以表示为从点A指向点B的方向，而角A的方向可以表示为从边AC转向边AB的方向。
我们可以发现一个有趣的事实：在三角形中，向量AB和角A的方向是一致的。
这是因为在三角形中，向量AB的方向决定了角A的方向，而角A的方向也决定了向量AB 的方向。
这个关系在解决三角形问题时非常有用。
接下来，我们来研究三角形的向量和面积的关系。
在三角形ABC中，我们可以定义向量AB、BC和CA，以及三角形的面积S。
根据向量的定义，向量AB和向量BC的叉积可以表示为一个新的向量，它的大小等于向量AB和向量BC的长度的乘积再乘以它们之间的夹角的正弦值，方向垂直于向量AB和向量BC所在的平面。
同样，向量BC和向量CA的叉积也可以类似的定义。
在三角形中，我们可以发现一个重要的事实：三角形的面积等于它的底边与高的乘积的一半，即S=1/2×AB×h，其中h是从顶点C到底边AB的垂直距离。
高中数学-三角形内心、外心、重心、垂心与向量关系
高中数学-三角形内心、外心、重心、垂心与向量关系（附向量知识点）一、三角形四心知识点（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
二、向量知识点☆零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0与任意向量平行☆单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量⇔｜0a｜＝1☆平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量平行向量也称为共线向量☆向量加法AB BC +=AC向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：AB BC CD PQ QR AR +++++=，但这时必须“首尾相连”．☆实数与向量的积：①实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下： （Ⅰ）a a⋅=λλ；（Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a的方向相反；当0=λ时，0 =a λ，方向是任意的☆两个向量共线定理：向量b 与非零向量a共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =a λ☆平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底☆平面向量的坐标运算：(1) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则()1212,a b x x y y ±=±±，1212a b x x y y ⋅=⋅+⋅(2) 若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =--(3) 若a =(x,y)，则λa =(λx, λy)(4) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则1221//0a b x y x y ⇔-= (5) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则a b ⊥，02121=⋅+⋅y y x x☆向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质☆两个向量的数量积：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ 叫做a 与b 的数量积（或内积） 规定00a ⋅=☆向量的投影：︱b ︱cos θ=||a ba ⋅∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影 ☆数量积的几何意义： a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积☆向量的模与平方的关系：22||a a a a ⋅==☆乘法公式成立： ()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=-；()2222a ba ab b ±=±⋅+222a a b b =±⋅+☆向量的夹角：已知两个非零向量a 与b ，作OA =a , OB =b ,则∠AOB=θ （01800≤≤θ）叫做向量a 与b 的夹角cos θ=cos ,a b a ba b•<>=•=222221212121y x y x +⋅+当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时，θ=00，当且仅当a 与b 反方向时θ=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题补充：线段的定比分点()()()设，，，，分点，，设、是直线上两点，点在P x y P x y P x y P P P 11122212ll 上且不同于、，若存在一实数，使，则叫做分有向线段P P P P PP P 1212λλλ→=→P P P P P P P P 12121200→><所成的比（，在线段内，，在外），且λλx x x y y y P P P x x x y y y =++=++⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪=+=+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪12121212121122λλλλ，为中点时，()()()如：，，，，，，∆ABC A x y B x y C x y 112233则重心的坐标是，∆ABC G x x x y y y 12312333++++⎛⎝ ⎫⎭⎪三、三角形四心与向量关系典型例题：例1：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 分析：如图所示ABC ∆，E D 、分别为边AC BC 、的中点.AD AC AB 2=+ ∴AD OA OP λ2+= AP OA OP += AD AP λ2=∴AP ∴//AD ∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的重心，即选C .例2：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P满足AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ B ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心分析：ACAB分别为AC AB 、方向上的单位向量，∴AC AB +平分BAC ∠,∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的内心，即选B .例3：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心分析：如图所示AD 垂直BC ，BE 垂直AC ， D 、E 是垂足.AC AB +BC ⋅=BC AC BC AB ⋅+=+-=0∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的垂心，即选D .三、四心与向量的结合（1）⇔=++0OC OB OA O 是ABC ∆的重心.证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O⇔=++0OC OB OA ⎩⎨⎧=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=⇔33321321y y y y x x x x ⇔O 是ABC ∆的重心. 证法2：如图OC OB OA ++02=+=OD OA ∴OD AO 2=∴D O A 、、三点共线，且O 分AD 为2：1 ∴O 是ABC ∆的重心（2）⇔⋅=⋅=⋅OA OC OC OB OB OA O 为ABC ∆的垂心.证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足.0)(=⋅=-⇔⋅=⋅CA OB OC OA OB OC OB OB OA AC OB ⊥⇔同理BC OA ⊥，ABOC ⊥⇔O 为ABC ∆的垂心B CDB CD（3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是∆ABC 的内心O OC c OB b OA a ⇔=++0为ABC ∆的内心.证明：bACc AB 、分别为AC AB 、方向上的单位向量， ∴bACc AB +平分BAC ∠, (λ=∴AO bACc AB +)，令c b a bc ++=λ ∴c b a bc AO ++=（bACc AB +) 化简得0)(=++++AC c AB b OA c b a∴0=++OC c OB b OA a（4==⇔O 为ABC ∆的外心。
向量三角形法则
向量的三角形法则
向量的三角形法则是指两个力（或者其他任何矢量）合成，其合力应当为将一个力的起始点移动到另一个力的终止点，合力为从第一个的起点到第二个的终点。
在数学中，向量（也称欧几里得向量、几何向量、矢量）指具有大小和方向的量。
它可以形象化地表示为带箭头的线段。
箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。
与向量对应的量叫做数量（物理学中称标量），数量（或标量）只有大小，没有方向向量的记法：印刷体记作黑体（粗体）的字母（如a、b、u、v），书写时在字母顶上加一小箭头“→”。
如果给定向量的起点（A）和终点（B），可将向量记作AB（并于顶上加→）。
在空间直角坐标系中，也能把向量以数对形式表示。
在物理学和工程学中，几何向量更常被称为矢量。
许多物理量都是矢量，比如一个物体的位移，球撞向墙而对其施加的力等等。
与之相对的是标量，即只有大小而没有方向的量。
一些与向量有关的定义亦与物理概念有密切的联系，例如向量势对应于物理中的势能。
几何向量的概念在线性代数中经由抽象化，得到更一般的向量概念。
此处向量定义为向量空间的元素，要注意这些抽象意义上的向量不一定以数对表示，大小和方向的概念亦不一定适用。
平面内，有n个向量，首尾相连，最后一个向量的末端与第一个向量的始端相连，则最后这一个向量（方向由第一个向量的始端指向最末一个向量的末端）就是n个向量之和。
三角形法则
就是向量AB+向量BC=向量AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则，简记为：首尾相连、连接首尾、指向终点。
三角形各心与向量的关系推导
三角形各心与向量的关系推导在三角形ABC中，0A，0B和0C分别表示三角形狭边AC，BC和AB 的单位向量。
另外，设AO，BO和CO分别表示三角形内心O对顶点A，B，C的向量，即OA，OB，OC.
首先显而易见，向量OA，OB，OC与向量0A，0B和0C成正切，依据正切定理有：OA*0A=OB*0B=OC*0C，并且整个三角形ABC的面积可由矢量叉积求得，即S=OA*0A*(1/2) 。
根据“勾股三边定中心点”的原理可以得出：
OA=|AB|/2=|BC|/2=|AC|/2 * 0A。
因此，OA*0A=(|AC|/2)*0A*0A=(|AC|/2)*1，同理
OB*0B=(|BC|/2)*1，以及OC*0C=(|AB|/2)*1。
整理上述结论可得：
OA*0A=OB*0B=OC*0C=1/2*(|AB|+|BC|+|AC|)/2，而三角形ABC的面积可以间接推出：S=OA*0A*(1/2)=1/4*(|AB|+|BC|+|AC|) 。
综上所述，三角形ABC 各内心与向量之间的关系可以推导出：OA*0A=OB*0B=OC*0C=1/2*(|AB|+|BC|+|AC|)/2，并且可进一步得出：S=OA*0A*(1/2)=1/4*(|AB|+|BC|+|AC|)。
向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇
向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇在三角形中，有四个特殊的点，即内心、外心、重心和垂心，它们可以与向量知识有所交汇。
1. 内心：三角形的内心是三条角平分线的交点，表示为I。
内心到三角形的各个顶点的距离相等，即IA=IB=IC。
如果我们用向量OA、OB、OC表示三条边的向量，并设内心为I的向量为OI，那么可以得到关系式：OI = (IA/2) * (OA/|OA| + OB/|OB| + OC/|OC|)。
根据这个关系式，我们可以通过向量知识计算内心的位置。
2. 外心：三角形的外心是三条垂直平分线的交点，表示为O。
外心到三角形的各个顶点的距离相等，即OA=OB=OC。
如果我们用向量AB、BC、CA表示三条边的向量，并设外心为O的向量为OO，那么可以得到关系式：OO = (OA/2) + (OB/2) + (OC/2)。
根据这个关系式，我们可以通过向量知识计算外心的位置。
3. 重心：三角形的重心是三条中线的交点，表示为G。
重心到三角形的各个顶点的距离按比例为2:1，即GA = GB = GC = 2/3 * OA。
如果我们用向量OA、OB、OC表示三条边的向量，并设重心为G的向量为OG，那么可以得到关系式：OG = (OA + OB + OC)/3。
根据这个关系式，我们可以通过向量知识计算重心的位置。
4. 垂心：三角形的垂心是三个高的交点，表示为H。
垂心到三角形的各个顶点的距离满足HHa/HOa = HHb/HOb = HHc/HOc = -1。
如果我们用向量HA、HB、HC表示三个高的向量，并设垂心为H的向量为OH，那么可以得到关系式：OH = HA + HB + HC。
根据这个关系式，我们可以通过向量知识计算垂心的位置。
向量知识可以帮助我们计算三角形的内心、外心、重心和垂心的位置，从而揭示它们之间的关系。
妙用三角形“四心”的性质解答向量问题
四、妙用三角形垂心的性质
三角形的垂心是三角形三条边上的高的交点.其
性质有：（1）若 O、H 分别为 △ABC 的外心和垂心，则
O∠AB∙AOOB==∠OHB∙AOCC，=∠OACB∙OHA=.∠在O解BC答，向∠量BC问O题= ∠时H，C可A ；以（根2）
据三角形垂心的定义推断出垂心的位置，也可以通过 关 系 式 OA∙OB = OB∙OC = OC∙OA 来 判 定 三 角 形 的 垂
意确定三角形的外心，然后根据题意明确外心与三角
形三个顶点、三个角之间的关系，灵活运用三角形外
心的性质来解题.
共
例 2. 线的
已知 O 是平 三 点. 若 动
面内一点 点P满
，A,B,C 是平 足 OP = OB
面内不
+ 2
O C
+
| | | | æ
λçç è
ABAcBos B +
ACAcCos
C
ö ÷ ÷ ø
三角形边的AB距C离的相外等心，，则都等aO于A 内+ b切OB圆 +的cO半C径= 0；（；（3）4）若∠OBO为C三=
90°+
∠
A 2
，∠BOA
=90°+
∠
C 2
，∠AOC
=90°+
∠
B 2
.在解
答向量问题时，需根据三角形内心的定义确定内心的
位置及其与三条角平分线之间的关系，便可根据三角
形内心的性质来解题.
，λμ A=P45=.m
AD
，
∴
AD
=
λ m
AB
+
μ m
AC
，
∵
三角形中有关内心 外心 垂心 重心的向量的数值关系
三角形中有关内心外心垂心重心的向量的数值关系1. 引言三角形是数学中一个重要的几何形状，具有许多有趣的性质和特征。
在三角形中，内心、外心、垂心和重心是四个与三角形相关的重要点，它们的位置和性质提供了丰富的几何信息。
本文将围绕三角形的内心、外心、垂心和重心展开讨论，并研究它们之间的向量数值关系。
2. 内心内心是一个三角形的最大内切圆的圆心，它与三角形的三条边相切。
记三角形的内心为I，三个顶点为A、B、C，分别到内心的距离记为r。
根据定义，内心到三角形的三条边的距离相等，即IA = IB = IC = r。
那么，我们可以利用向量的知识来研究内心与三角形顶点之间的数值关系。
假设三角形的边向量分别为向量AB、向量BC和向量CA，内心到三角形顶点的向量分别为向量IA、向量IB和向量IC。
根据向量的基本性质，我们可以得到以下关系：1) 向量IA = r * 向量AI，即向量IA与向量AI同方向且长度为r倍关系。
2) 由向量加法的性质，我们可以得到向量IB = 向量AB + 向量AI。
同理，向量IC = 向量BC + 向量BI。
通过这些向量关系，我们可以进一步研究内心与三角形顶点之间的数值关系，并深入探讨内心在三角形内部的位置特性。
3. 外心外心是一个三角形外接圆的圆心，它位于三角形的三条边的垂直平分线的交点处。
记三角形的外心为O，外心到三角形三个顶点的距离分别为R1、R2和R3。
根据定义，外心到三角形的三条边的距离相等，即OA = OB = OC = R。
同样地，我们可以利用向量的知识来研究外心与三角形顶点之间的数值关系。
假设三角形的边向量分别为向量AB、向量BC和向量CA，外心到三角形顶点的向量分别为向量OA、向量OB和向量OC。
根据向量的基本性质，我们可以得到以下关系：1) 向量OA = R * 向量AO，即向量OA与向量AO同方向且长度为R 倍关系。
2) 由向量加法的性质，我们可以得到向量OB = 向量AB + 向量AO。
向量的三角形法则
向量的三角形法则1．向量的三角形法则【知识点的知识】三角形法则：设a →与b →不共线，在平面上任取一点A （如图1），依次作AB →=a ，BC →=b ，则向量 叫做a →与b →的和，记作a →+b →，即a →+b →=AB →+BC →=AC →特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点．坚持希望一天，一个瞎子和一个瘸子结伴去寻找那种仙果，他们一直走呀走，途中他们翻山越岭。
历经千辛万苦，头发开始斑白。
有一天，那瘸子对瞎子说：“天哪！这样下去哪有尽头？我不干了，受不了了。
“老兄，我相信不远了，会找到的，只要心中存有希望，会找到的。
”瞎子却说。
可瘸子执意要留在途中的山寨中，瞎子便一个人上路了。
由于瞎子看不见，不知道该走向何处，他碰到人便问，人们也好心地指引他，他身上捉襟见肘，遍体鳞伤，可他心中的希望未曾改变。
终于有一天，他到达了那座山，他全力以赴向上爬，快到山顶的时候，他感觉自己浑身充满了力量，像年轻了几十岁，他向身旁摸索，便摸到了果子一样的东西，放在嘴里咬一口，天哪！他复明了，什么都看见了，绿绿的树木，花儿鲜艳，小溪清澈。
果子长满了山坡，他朝溪水俯身看去，自己竞变成了一个英俊年轻的小伙子！准备离去的时候，他没有忘记替同行而来的瘸子带上两个仙果，到山寨的时候，他看到瘸子拄着拐棍，变成了一个头发花白的老头，瘸子认不出他了，因为他已是一个年轻的小伙子。
可当他们相认后，瘸子吃下那果子，却丝毫未起任何变化，他们终于知道，只有自己的行动，才能换来成功和幸福。
所谓成功，我们要心存希望，要勇往直前，要坚持，要有毅力，那么，成功早晚属于你。
一饭千金帮助汉高祖打平天下的大将韩信，在未得志时，境况很是困苦。
那时候，他时常往城下钓鱼，希望碰着好运气，便可以解决生活。
但是，这究竟不是可靠的办法，因此，时常要饿着肚子。
幸而在他时常钓鱼的地方，有很多漂母（清洗丝棉絮或旧衣布的老婆婆）在河边作工的，其中有一个漂母，很同情韩信的遭遇，便不断的救济他，给他饭吃。