二维随机变量的独立性

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第三章第二节二维随机变量的独立性

§3.2 二维随机变量的独立性与条件分布1`二维随机变量的独立性定义3.2.1 设(,),(),()X Y F x y F x F y 依次为(,),,X Y X Y 的分布函数,若对任意实数,x y 都有(,)()()X Y F x y F x F y =则称两个随机变量X 与Y 相互独立.(1) 离散型随机变量的独立性定义3.2.2如果（X,Y ）是二维离散型随机变量，如果对于它们的任意一对取值i x 及j y ，对（X ，Y ）的任意一对取值(),i j x y ，都有{,} {} { } i j i j P X x Y y P X x P Y y ===== i ，j =1，2，… (3.2.2) 则称离散型随机变量X 和Y 是独立的。

例3.2.1例3.1.1中两个随机变量X 与Y 是相互独立吗? 解由例3.1可得2222210,,,915p p p ⋅⋅===显见22 2..2,p p p ≠⋅因此X 与Y 不独立.(2) 连续型随机变量的独立性定义3.2.3 如果（X,Y ）是二维连续型随机变量，其联合概率密度为p (x,y ),则X 与Y 也都是连续型随机变量，它们的概率密度分别为(),()X Y p x p y , 若对任意实数,x y 都有(,) (),()X Y p x y p x p y = 则称连续型随机变量X 和Y 是独立的。

例3.2.2本章第一节例3.2中随机变量X,Y 的边缘概率密度分别为p X (x )=⎰+∞∞-p (x,y )dy=2()2042, 0,0, x y x edy e x +∞-+-⎧=≥⎪⎨⎪⎩⎰其它.p Y (y )＝⎰+∞∞-p (x,y )dx=2()2y 04x 2, y 0,0, x y ed e +∞-+-⎧=≥⎪⎨⎪⎩⎰其它.显然有 p (x,y )＝p X (x )·p Y (y )，所以X,Y 相互独立。

二维随机变量独立性的研究

随机变量的独立性是概率统计中十分重要的概念也是许多数学模型的基本前提条件但到目前为止关于随机变量独立性研究的文献较少而且概率参考书中对此问题介绍也比较少一般仅给出定义
第３９卷第４期
Ｊｌｆ０ｒｌｉｔｉｅｓ・ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎｏｕｒｎａｏｆＳｏｕｔｈｗｅｓｔＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＮａｔｉｏｎａ
分布矩阵：
Ｐｌ１Ｐ１２Ｐ２１Ｐ２２
Ｐｌ， … Ｐ２ｊ。 ’ ‘
● ● ● ● ● ●
Ｐ１．Ｐ．１
Ｐ１．Ｐ．２
１．
，
…
Ｐ２．Ｐ．１Ｐｚ．Ｐ．２
● ● ●
Ｐ２．ｐ．ｊ …
ｊ＝ｌｉ＝１
是：对一
，有Ｐｕ＝Ｐｉ．Ｐ
，＝１，２， …．
２主要结果
为了下文更加方便地叙述问题，首先给出本文用到的一些重要概念．
定义１设（，】，）是二维离散型随机变量，其联合分布律Ｐ＝ＪＦ）（＝ｘｉ，Ｙ＝Ｙｊ）ｆ，．，：１，２， … 可以用下
● ● ● ● ● ●
Ａ＝ＰｉｌＰｉｚ
Ｊｆ， “ …
西南民族大
报
‘
自然
学版
Ｊｕ１．２ｏｌ３
ｄｏｉ：ｌ０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００３－４２７１．２０Ｉ３．０４．Ｉ３
二维随机变量独立性的研究

《概率学》3.2_3.3二维随机变量的边缘分布及独立性

i, j=1, 2, ...,
连续型
f (x, y)
第三章多维随机变量及其分布
（X，Y）边缘分布
FX(x) = F（x,＋∞） F Y(y) = F（＋∞, y）
pi .=P{X= xi}= pij i=1, 2, ..., j 1
p.j=P{Y= yj}= pij j=1, 2, ..., i 1
连续型 f (x, y)
第三章多维随机变量及其分布
（X，Y）边缘分布
FX(x)=（
）
F Y(y) =（
）
pi .=P{X= xi}（=
）
p.j=P{Y= yj}=（
）
f X ( x) （
）
fY ( y) （
）
作答
1
8
山东农业大学公共数学系概率统计课程组版权所有
第2节二维随机变量的边缘分布
第三章多维随机变量及其分布
f X (x)
f (x, y)dy
fY ( y)
f (x, y)dx
1
7
山东农业大学公共数学系概率统计课程组版权所有
主第观2节题二维随2机分变量的填边缘空分布填空
( X, Y )联合分布一般 F(x,y)= P{X ≤ x,Y≤y}
离散型 P{X=xi ,Y=y j}= pi j
i, j=1, 2, ...,
1
2
fX (x)
f (x, y)dy
1
exp{ 1 (u2 2u v2)}dv
21 1 2
2(1 2)
1
u2
e2
1
exp{ (v u)2 }dv
2 1
2 1 2
2(1 2)

2.4 概率论——二维随机变量的独立性

y
FY ( y) F(, y) [ f ( x, v)dx]dv,
故X,Y 的边缘密度函数为：
fX ( x) FX ( x)
f ( x, y)dy,
fY ( y) FY ( y)
f ( x, y)dx,
例2：设（X，Y）服从下列区域上的二维均匀分布，
试求X，Y的边缘概率密度。
y
(1)D ( x, y) | 0 x 2,0 y 1 1
2.4 二维随机变量的独立性
一、二维随机变量的边缘分布
随机向量( X ,Y )中, X ,Y的分布分别称为关于X、Y的边缘分布。X, Y的分布函数 FX ( x), FY ( y) 称为边缘分布函数。
巳知 (X, Y) 的联合分布函数为 F(x, y)，则易知：
FX x PX x PX x,Y F x, FY y PY y PX ,Y y F , y
次击中目标所进行的射击次数，以 Y 表示总共进行的射击次数 . 试求 X 和 Y 的联合分布及条件分布.
解依题意，{Y=n} 表示在第n次射击时击中目标 , 且在前n-1次射击中有一次击中目标. {X=m} 表首次击中目标时射击了m次 .
1 2 ……m…………. n-1 n
n次射击击中
击中
j
P{[( X xi ) (Y y j )]}
j
P{X xi ,Y y j }
j
pij pi• (i 1,2, ) j
同理，Y的边缘分布
P{Y y j } pij p• j i
( j 1,2, )
XY
x1 x2 xi
p• j
y1 y2 y j pi•
p11 p12 p1 j p1•
暂时固定

二维随机变量的相互独立性

f(x, y)=fX(x) fY(y) 几乎处处成立(即: 在平面上除去“面积”为零的集合以外, 处处成立).
➢ 因为随机变量是随机事件的量化指标，因此在判断随机变量X与Y是否相互独立时，仍可以像判断随机事件的独立性一样，根据问题的实际意义去判定.
概率论与数理统计
9
❖ 3.连续型随机变量的独立性 1.概念
判断随机变量X与Y是否相互独立.
➢ 解 (2) 不放回摸球, 分布律如表:
P( X 0,Y 0) P( X 0)P(Y 0)
故采用无放回抽取时，可判定
X与Y不是相互独立的，这也
与实际意义一致.
概率论与数理统计
8
❖ 3.连续型随机变量的独立性 1.概念
➢ 定理3.6.2 设二维连续型随机变量(X, Y) 的概率密度为 f(x, y), fX(x), fY(y) 分别为(X, Y) 的边缘概率密度, 则X和Y 相互独立等价于
1, 第一次摸出白球, 1, 第二次摸出白球, X 0, 第一次摸出黑球, Y 0, 第二次摸出黑球.
判断随机变量X与Y是否相互独立.
➢ 解利用古典概型的方法求其
联合分布律及边缘分布律，
根据分布律的结果判断独立性.
(1) 有放回摸球，分布律如下：
概率论与数理统计
6
❖ 2.离散型随机变量的独立性 1.概念
即X 和Y 相互独立.
概率论与数理统计
4
❖ 2.离散型随机变量的独立性 1.概念
➢ 设离散型随机变量(X, Y)的联合分布律、边缘分布律分别为
P( X xi ,Y y j ) pij , P( X xi ) pi , P(Y y j ) p• j
关于离散型随机变量X, Y的相互独立性，有如下的判别法. ➢ 定理3.6.1 离散型随机变量X与Y相互独立的充要条件是：

二维随机变量独立性的判定定理

徐幼学
（湛江广播电＇视大学，广东湛江，５２４００５）
【摘要】二维随机变量及其分布是概率论与数理统计课程的难点和重点。已有的二维随机变量判定定理判断随机变
量的独立性，必须求出边缘分布律，有时计算会比较复杂，另有的两个判定定理更为简明直接，可以参考应用。【关键词】独立性；直接判别法；二维随机变量；判定定理Ｉ中图分类号ｌＯ２１１．５Ｉ文献标识码ｌＡ【文章编号ｌ２０９５－９３２ｘ（２０１５）０２－０１１１－０２
【收稿日期ｌ２０１５ — ０３ —０６【作者简介】徐幼学（１９５７－），男，江西临川人，湛江广播电视大学讲师。
广东开放大学学报
（第２４卷总第１１１期）
２０１５年第３期
＝ｇ）￡；￣ｇ（ｘ）ｈ（ｙ）ｄｘｄｙ＝ｇ）￡￡厂、ｙ）ｄｘｄｙ
Ｐ（２，０）＝＝ × ，Ｐ（２，１）＝＝ ×
（３）肚
叫
且＋；，；＝１，＋＝
Ｏｌ２１／１２１／４
由定理四知，Ｘ与Ｙ独立。
１１／６１／２Ｐ
总第１１１期
ＳｕｍＮｏ．１１１
广东开放大学学报
Ｊ０ＵＲＮＡＬＯＦＯＰＥＮＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹＯＦＧＵＡＮＧＤＯＮＧ
２０１５年第３期
Ｎｏ．３．２０１５

二维随机变量独立性分析及教学案例设计

二维随机变量独立性分析及教学案例设计
贺方超;陈金玉;汪慧
【期刊名称】《科教导刊》
【年(卷),期】2022()27
【摘要】随机变量独立性分析是本科概率统计课程中的重要知识点。

本文首先回顾了二维随机变量独立性的三个性质,接着通过对一道课堂例题结果的观察与思考,从矩阵及向量线性相关的角度给出了二维离散型随机变量相互独立条件下的两个定理,并进一步将二维随机变量独立性的性质推广到连续型的情形。

最后,为使该性质得到更好的理解和运用,将其融入实际问题的求解中,以激发学生的数学思维,从整体掌握三个定理的应用。

【总页数】4页(P136-139)
【作者】贺方超;陈金玉;汪慧
【作者单位】湖北工业大学理学院
【正文语种】中文
【中图分类】G642;O211.5-4
【相关文献】
1.二维随机变量独立性度量及其在独立分量分析中的应用
2.二维随机变量独立性的判定定理
3.二维连续型随机变量独立性的判定
4.二维正态随机变量的线性组合的独立性
5.关于二维随机变量独立性问题的探讨
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

二维连续型随机变量独立性的判定

一
般地，称ｎ个随机变量的整体Ｘ＝（Ｘ，Ｘ， …，Ｘ）为ｎ维随机变量或ｎ维随机向量。
Ｆ（，）＝Ｐ｛Ｆｘ（）＝Ｐ｛｝＝Ｐ｛，ｙ｝，Ｙ＜＋∞｝，
定义２ … 设（，ｙ）是二维随机变量，对任意实数，Ｙ，二元函数
，
ｙ＝
｛Ｌ：Ｏ， ‘ ， ’ 姜其它 ∈ 。，
ｈ２
，
与ｌ，的边缘概率密度分别为ｉｘ（
Ｌ０，其它
。
舳
先证明必要性：
＝ｈ３
Ｌ０，其它
设与ｌ，相互独立，即
摘
要：给出了二维连续型随机变量独立性的一个判定定理、两个推论，并举例说明用此结论判断二维连续型随机
变量的独立性时，不需要计算边缘密度函数，只从联合概率密度的形式上就能判断出Ｘ与ｙ的独立性。
关键词：二维连续型随机变量；独立性；判定
判断二维连续型随机变量的独立性通常是先求出其边缘密度函数，然后利用等价条件，（，Ｙ）＝
（）（Ｙ）来判断。计算边缘密度函数（）（ｙ）需要用到积分的知识，这对于有些学生来说有一定难度，下面介绍一种简单方法只要从ｌ厂（，Ｙ）的形式就能判断出二维连续型随机变量的独立性。
第２５卷
第４期

第三节二维随机变量的独立性

X与Y相互独立 f ( x，y) f X ( x) fY ( y). 由上述结论可知，要判断两个随机变量X与Y 的独立性，只需求出它们各自的边缘分布，再看是否对(X,Y)的每一对可能取值点,边缘分布的乘积都等于联合分布即可.
例1. 设( X，Y )的分布律为 X Y 0 1 0 0.3 0.3
所以00..33
(0.15 (0.15Fra biblioteka) b)
0.15, 0.15.
a 0.35, b 0.35.
例3
设(
X，Y
)～60e,(
2
x
3
y
)
,
x 0, y 其它.
0,
试问X与Y是否独立？
解 : 当x 0时，f X ( x) 0,
当x 0时，f X ( x)
6e(2 x3 y)dy
FX ( x) P{X x} P{ X x，Y
同理有，FY
(
y)
lim F ( x,
x
y).
}
lim F ( x,
y
y).
记 pi. pij , p. j pij ,
j1
i 1
则称pi.(i 1，2，)，p. j ( j 1，2，)分别为( X，Y )关于X，Y
的边缘分布.
设(X, Y)～f (x, y), (x, y)R2, 则称
例2. 设( X，Y )的分布律为且X与 Y独立，求a，b.
XY 1 2 0 0.15 0.15 1 ab
例2. 设( X，Y )的分布律为且X与 Y独立，求a，b.
XY 1 2 0 0.15 0.15 1 ab
解：因为
XY 1
2
pi .
0 0.15 0.15 0.3

二维随机变量相互独立的充要条件

二维随机变量相互独立的充要条件一、引言随机变量是概率论和数理统计中的基本概念，而二维随机变量则是指由两个随机变量组成的随机向量。

在实际问题中，常常需要研究二维随机变量之间的关系，其中一个重要的问题就是如何判断二维随机变量是否相互独立。

本文就二维随机变量相互独立的充要条件进行详细介绍。

二、定义设 $(X,Y)$ 是一个二维随机变量，$F_{X}(x)$ 和 $F_{Y}(y)$ 分别是 $X$ 和 $Y$ 的分布函数，$f_{X}(x)$ 和 $f_{Y}(y)$ 分别是$X$ 和 $Y$ 的概率密度函数。

若对于任意的 $x,y$，有$$F_{XY}(x,y)=F_{X}(x)F_{Y}(y)$$或者$$f_{XY}(x,y)=f_{X}(x)f_{Y}(y)$$则称 $(X,Y)$ 是相互独立的。

三、充要条件二维随机变量相互独立的充要条件有两种形式，分别是基于分布函数和概率密度函数的充要条件。

1. 基于分布函数的充要条件设 $(X,Y)$ 是一个二维随机变量，$F_{X}(x)$ 和 $F_{Y}(y)$ 分别是 $X$ 和 $Y$ 的分布函数，则 $(X,Y)$ 相互独立的充要条件是$$F_{XY}(x,y)=F_{X}(x)F_{Y}(y)$$其中 $F_{XY}(x,y)$ 是 $(X,Y)$ 的联合分布函数。

2. 基于概率密度函数的充要条件设 $(X,Y)$ 是一个二维随机变量，$f_{X}(x)$ 和 $f_{Y}(y)$ 分别是 $X$ 和 $Y$ 的概率密度函数，则 $(X,Y)$ 相互独立的充要条件是$$f_{XY}(x,y)=f_{X}(x)f_{Y}(y)$$其中 $f_{XY}(x,y)$ 是 $(X,Y)$ 的联合概率密度函数。

四、举例说明为了更好地理解二维随机变量相互独立的充要条件，下面举一个例子。

设 $(X,Y)$ 是一个二维随机变量，它的概率密度函数为$$f_{XY}(x,y)=\begin{cases}x+y,&0\leq x\leq 1,0\leq y\leq1\\0,&\text{其他}\end{cases}$$我们需要判断 $(X,Y)$ 是否相互独立。

3.4 二维随机变量的独立性

对离散性和连续性随机变量，也可利用其分布律与概率密度来判定独立性.
(1) 若(X,Y)是离散型随机变量，则 X与Y相互独立的充要条件是：对(X,Y)的所有可能
取值 ( xi , yj ) ,有
P{ X xi ,Y y j } P{ X xi } P{Y y j }
(2) 若(X,Y)是连续型随机变量，则 X与Y相互独立的充要条件是：
3.4 二维随机变量的独立性
回顾：事件A与B独立性 P(AB)=P(A)P(B)
定义3.4.1 设二维随机变量(X,Y),若对任意的x, y 有
P{X x,Y y} P{X x} P{Y y},
即
F ( x, y) FX ( x) FY ( y),
则称随机变量X与Y是相互独立的.
解一
P{|X-Y|≤5}= P{-5≤X-Y≤5}
1 45 x5
[
dy]dx
15 x5 1800
1 6
1 45 60
P{X<Y}= [
dy]dx
15 x 1800
1 2
解二 P{|X-Y|≤5}
1

dxdy
|XY|5 1800
被积函数为常数， 1
直接求面积

作业习题册： 3.3节：P24: 3； 3.4节：P25: 2,3,6
，15
30

x

45，
fY ( y)

1 ，0 60

y

60
0，其它
0，其它
由于X与Y相互独立，故
f ( x, y) 18100，15 x 45, 0 y 60, 0，其它

二维随机变量独立性的判定及其应用

参考文献：［１］董俊超．离散型随机变量独立性的一种判定方法［Ｊ］．
天津师范大学学报．１９９９，１９（３）：１０－１１．［２］汪建均．随机变量独立性的简易判别法［Ｊ］．数学理论
解存在非负Ｌｅｂｅｓｇｕｅ可积函数ｈ（ｘ）＝２ｘ，０
与应用．２００５，２５（１）：７１－７３．
或边缘分布函数和边缘概率密度函数，才能判断
Ｘ与Ｙ的独立性，而一般情况下求边缘分布函数或边缘概率密度函数是较麻烦的，于是文献
［１－４］给出了二维随机变量相互独立的几个简易的判定定理。
４简易判别法对于二维离散型随机变量（Ｘ，Ｙ）的联合分
６０
定理３设二维连续型随机变量（Ｘ，Ｙ）的联合概率密度函数为ｆ（ｘ，ｙ），关于Ｘ，Ｙ的边缘概率密度函数分别为ｆＸ（ｘ），ｆＹ（ｙ），则随机变量Ｘ，Ｙ相互独立的充要条件是：对任意实数ｘ和ｙ都有ｆ（ｘ，ｙ）＝ｆＸ（ｘ）·ｆＹ（ｙ）
上述几种方法必须求出随机变量的分布函数
３０．０６２０．１２８０．００７０．９２８智力因素
４０．２１６０．２４５０．８７２－０．０８１自信程度
５０．９１８－０．１０４０．１６６－０．０６３经验
６０．８６３０．０９９０．２５９０．００４应变能力
７０．２１６－０．２４２０．８６３０．００１理解力
８０．９１７０．２０６０．０８７－０．０５１交际能力
９０．０８３０．８５２－０．０５２０．２１２诚实
１００．７９８０．３５２０．１６１－０．０４９理想和抱负

二维连续型随机变量相互独立的充要条件

二维连续型随机变量相互独立的充要条件
二维连续型随机变量相互独立的充要条件是指，给定两个随机变量X和Y，它们的联合概率密度函数为f(x, y)，如果满足以下条件，则称X和Y是相互独立的：
1. 边缘概率密度函数独立：X和Y的边缘概率密度函数分别为f_X(x)和f_Y(y)，如果f(x, y)可以表示为f_X(x)乘以f_Y(y)的形式，即 f(x, y) = f_X(x) * f_Y(y)，则X 和Y相互独立。

2. 条件概率密度函数独立：对于任意的实数a和b，如果f(x,y)不等于0，那么
条件概率密度函数满足以下条件：f_X|Y(x|y) = f_X(x) 和 f_Y|X(y|x) = f_Y(y)。

其中，f_X|Y(x|y)表示在给定Y=y的条件下，随机变量X的条件概率密度函数。

需要注意的是，这里的相互独立是指X和Y的取值之间没有任何关联，即对
于任意的x和y，知道了X的取值并不能提供任何关于Y的信息，反之亦然。

通过满足上述两个条件，我们可以判断二维连续型随机变量X和Y是否相互
独立。

这种相互独立的情况在概率统计学中是非常重要的，它简化了许多计算和分析的过程，为数理统计学的应用提供了基础。

概率论第三章-随机向量的独立性

f X ( x) =
1 e 2π σ 1
−
( x − µ 1 )2
2 2σ 1
fY ( y ) =
2π σ 2
1
−
( y − µ 2 )2
2 2σ 2
e
X~ N（µ1，σ12 ) , （
Y~ N（µ2，σ22 ) （
二维正态随机向量（二维正态随机向量（X，Y）的两个分量独立的充要条件是）
ρ= 0
P {X ≤ a , X ≤ b} = P {X ≤ a}P { X ≤ b}
对所有实数对(a, b) 均成立. 对所有实数对( 均成立. 随机事件{ 有下述关系： 2) 随机事件{ X≤a } 与{︱X︱ ≤a } 有下述关系：
{X
从而
≤ a} = {− a ≤ X ≤ a} ⊂ {X ≤ a}
P{ X ≤ a , X ≤ a } = P{ X ≤ a }
维随机变量X 相互独立，维随机变量例如3维随机变量 1 ,X2 ,X3 相互独立，则 X12 , X22 , X32 也相互独立相互独立. X1 +X2与X3也相互独立相互独立. sinX1 与X3也相互独立. 相互独立.
X1 +X2与X1 －X2 不一定相互独立. 不一定相互独立
随机变量的独立性本质上是事件的独立性
FX ( x) FY ( y )
∀ i, j
1) 对于离散型的随机变量，X与Y相互独立的充要条件为：
P{ X = xi , Y = y j } = P{ X = xi } ⋅ P {Y = y j }
2) 对于连续型的随机变量， X与Y相互独立的充要条件为：
f ( x , y ) = f X ( x) fY ( y ) 几乎处处成立。

3.4二维随机变量的独立性

f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y )
则称X与Y相互独立。
证明：若 ( X ,Y ) ~ N ( μ1 , μ2 , σ12 , σ 22 , ρ) 则
X与Y相互独立
0
f ( x, y ) f X ( x ) fY ( y )
2 y μ2 x μ1 y μ2 2 ρ σ2 σ1 σ2
将其余数值填入空白处.
X
Y
y1
1 24 1 8 1 6
y2
1 8 3 8 1 2
y3
1 12 1 4 1 3
P X xi pi
1 4 3 4 1
x1 x2
P Y y j p j

二、二维连续型随机变量的独立性定义3.4.2 设(X，Y)为二维连续型随机变量，如果对任意的实数 x 和 y 都有
X
Y
y1
p11 p21 pi 1
y2 ...
p12 ... p22 ... pi 2 ...
yj
p1 j p2 j pij
x1 x2 xi Y
... X ... p1
... ...
p 2 pi
p1
p2 pபைடு நூலகம் j
例设随机变量 X 与 Y 独立, 下表列出二维随机变量 ( X , Y ) 的联合分布律及边缘分布律的部分数值,
证明：X与Y相互独立
f ( x, y ) f X ( x ) fY ( y )
1 2πσ1σ 2 1 ρ
2
e
1 2(1 ρ2 )

x μ1 σ1
2

1 2πσ1

二维离散型随机变量独立性判别定理及应用

ＡｂｔａｔＴｉａｅｉｔｏｕｅｔｅｈｏｅｓｒｃ：ｈｓｐｐｒｎｒｄｃｓｈｔｅｒｍｔｄｃｄｗｈｔｅｂｖｒｔｄｓｒｔｒｎｏｏｅｉｅｅｈｒｉａｉｅｉｃｅｅａｄｍｖｒｂｅｓａｅａａｉｌｓｈｒｍｕｔｌａｌｐｅｉｉｄｐｎｅｃｎｅｅａｔｅｕｔｎ，ｓｌａｅｓｍｐｅａｐｉａｉｎｏｅｄｄｃｉｎ．ｎｅｅｄｎｅａｄｒｌｖｎｄｃｉｓａｌｓｔｉｌｐｌｔｆｈｅｕｔｓｄｏｗｅｈｃｏｔｏ
收稿日期：０００．６２１ —２１
作者简介：彭
刚（９５，男，湖南常德人，广东岭南职业技术学院讲师．要研究方向：不确定性理论１６一）主
２４
湖南理Ｔ学院学报（自然科学版）
第２３卷
＝（ｉｌ，２…，ｐ，＝（１２…，ｊ…）ＰＰ，ｐ， …），，Ｐ，，Ｐｐ
Ｖ０．３ＮＯ２１．２
Ｊｎ２１ｕ．００
二维离散型随机变量独立性判别定理及应用
彭刚，禹辉煌２
（．广东岭南职业技术学院，广州５０６；．湖南理工学院数学学院，湖南岳阳４４０）１１６３２１０６摘要：给出了二维离散型随机变量相互独立与否的判定定理及几个推论，并对推论进行了简单应用
文献标识码：Ａ文章编号：６２５９（０００．０３０１７．２８２１）２０２．３