江苏省南通市高考数学一模试卷(含解析)

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江苏省南通市2020届高三一模数学试卷及答案

南通市2020届高三第一次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．已知集合，，则▲.【答案】2．已知复数满足，其中是虚数单位，则的模为▲.【答案】3．某校高三数学组有5名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为，则这5名党员教师学习积分的平均值为▲.【答案】404．根据如图所示的伪代码，输出的a的值为▲．【答案】115．已知等差数列的公差不为0，且成等比数列，则的值为▲．【答案】16．将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的概率为▲.【答案】7．在正三棱柱中，，则三棱锥的体积为▲.【答案】8．已知函数．若当时，函数取得最大值，则的最小值为▲.【答案】59．已知函数是奇函数．若对于任意的，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是▲．a ←1i ←1While i ≤4a ←a+i i ←i +1End While Print a（第4题）【答案】10．在平面直角坐标系中，已知点A，B分别在双曲线的两条渐近线上，且双曲线经过线段AB的中点．若点的横坐标为2，则点的横坐标为▲．【答案】11．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．2008年5月汶川发生里氏8.0级地震，它释放出来的能量是2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量的▲倍．【答案】100012．已知△ABC的面积为3，且．若，则的最小值为▲．【答案】13．在平面直角坐标系中，已知圆与圆相交于A，B两点．若圆上存在点，使得△ABP为等腰直角三角形，则实数的值组成的集合为▲.【答案】14．已知函数若关于的方程有五个不相等的实数根，则实数的取值范围是▲.【答案】二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥中，平面，，分别为的中点．求证：（1）AB∥平面；（2）平面平面．【证】（1）在中，因为分别为的中点，所以AB∥DE．……3分又因为平面，平面，所以AB∥平面．……6分（2）因为平面，平面，所以．……8分又因为，平面，，所以平面．……11分因为平面，所以平面平面．……14分16．（本小题满分14分）在△ABC中，已知，，．（1）求的值；（2）求的值．【解】（1）在△ABC中，因为，，由，得．……2分又，，由正弦定理，得，……4分所以．……6分（2）（方法一）由余弦定理，得，……8分即，解得或（舍去）．……11分所以．……14分（方法二）在△ABC中，由条件得，所以，所以．所以．……8分所以．……10分由正弦定理，得，所以．……12分所以．……14分17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为，两条准线间的距离为，分别为椭圆的左、右顶点．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知图中四边形是矩形，且，点分别在边上，与相交于第一象限内的点．①若分别是的中点，证明：点在椭圆上；②若点在椭圆上，证明：【解】（1）设椭圆的焦距为，则由题意，得解得所以．所以椭圆的标准方程为．……3分（2）①由已知，得，，，．直线的方程为，直线的方程为．联立解得即．……6分因为，所以点在椭圆上．……8分②（解法一）设，，则，．直线的方程为，令，得．……10分直线的方程为，令，得．……12分所以．……14分（第18题）O（解法二）设直线的方程为，令，得．设直线的方程为，令，得．……10分而．……12分设，，则，所以，所以．……14分18．（本小题满分16分）在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转．如图，小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标，他将边长为的正三角形绕其中心逆时针旋转到三角形，且．顺次连结，得到六边形徽标．（1）当时，求六边形徽标的面积；（2）求六边形徽标的周长的最大值．【解】连结．在正三角形中，，，，．……2分当正三角形绕中心逆时针旋转到正三角形位置时，有，，，所以≌≌，≌≌，所以，．……4分（1）当时，设六边形徽标的面积为，则……6分．答：当时，六边形徽标的面积为．……9分（2）设六边形徽标的周长为，则……11分，．……13分所以当，即时，取最大值．答：六边形徽标的周长的最大值为．……16分19．（本小题满分16分）已知数列满足：，且当时，．（1）若，证明：数列是等差数列；（2）若．①设，求数列的通项公式；②设，证明：对于任意的，当时，都有．【解】（1）时，由，得……2分所以，即（常数），所以数列是首项为1，公差为1的等差数列．……4分（2）时，，时，．①时，所以．……6分所以．又，所以．……8分又，所以（常数）．所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以数列的通项公式为．……10分②由①知，，．所以，所以．……12分所以．……14分当时，，所以；当时，，所以；当时，，所以．所以若，则．……16分20．（本小题满分16分）设函数，其中为自然对数的底数．（1）当时，求函数的单调减区间；（2）已知函数的导函数有三个零点，，．①求的取值范围；②若，是函数的两个零点，证明：．【解】（1）时，，其定义域为，．令，得，所以函数的单调减区间为．……3分（2）①，设，则导函数有三个零点，即函数有三个非零的零点．又，若，则，所以在上是减函数，至多有1个零点，不符合题意，所以．……5分令，．列表如下：所以即解得．……8分又，所以在上有且只有1个非零的零点．因为当时，，，，且，又函数的图象是连续不间断的，所以在和上各有且只有1个非零的零点．所以实数的取值范围是．……10分②（证法一）由，得设，且，所以．又因为，所以．所以或时，；时，．由①知，．因为，所以，，所以，极大值极小值．……14分所以成立．……16分（证法二）依题设知：，由①知，设，由①知，所以，在上单调递减．……12分又由，得：，即，所以，又，故，．于是（Ⅰ），即，又，，所以；……14分（Ⅱ），即，又，，故，又，所以，即．所以，得证．……16分21．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知，向量是矩阵的属于特征值3的一个特征向量．（1）求矩阵；（2）若点在矩阵对应的变换作用下得到点，求点的坐标．【解】（1）因为向量是矩阵的属于特征值3的一个特征向量，所以，即，所以解得所以．……5分（2）设，则，所以解得所以点的坐标为．……10分B．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程（t为参数），椭圆C的参数方程为(为参数)．求椭圆C上的点到直线的距离的最大值．【解】（方法一）直线的普通方程为．……2分设，则点到直线的距离．……8分当，即（）时，．……10分（方法二）直线的普通方程为．椭圆C的普通方程为．……4分设与直线平行的直线方程为，由消，得．令，得．……8分所以直线与椭圆相切．当时，点到直线的距离最大，．……10分C．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知都是正实数，且．证明：（1）；（2）．【证】（1）因为都是正实数，所以．又因为，所以，即，得证．……4分（2）因为都是正实数，所以，①，②．③……6分由①+②+③，得，所以，又因为，所以，得证．……10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出（第22题）文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10分)如图，在直四棱柱中，，，．（1）求二面角的余弦值；（2）若点为棱的中点，点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求的长．【解】在直四棱柱中，因为平面，，平面，所以，．又，以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．由，得，．……2分（1），，设平面的一个法向量，则即不妨取，则，，所以．……4分因为平面，所以平面的一个法向量为．设二面角的平面角的大小为，根据图形可知，．所以二面角的余弦值为．……6分（2）设，则．又为的中点，则，，．设平面的一个法向量，由得取，则，，所以．……8分设直线与平面所成角的大小为，则，所以或（舍去）.所以.……10分23．(本小题满分10分)一只口袋装有形状、大小完全相同的5只小球，其中红球、黄球、绿球、黑球、白球各1只.现从口袋中先后有放回地取球次，且每次取1只球.（1）当时，求恰好取到3次红球的概率；（2）随机变量表示次取球中取到红球的次数，随机变量求的数学期望（用表示）.【解】（1）当时，从装有5只小球的口袋中有放回的取球6次，共有个基本事件.记“恰好取到3次红球”为事件，事件包含基本事件有个.因为上述个基本事件发生的可能性相同，故.答：当时，恰好取到3次红球的概率为.……3分（2）由题意知，随机变量的所有可能取值为.则...……5分所以.……7分令，，则，.，所以.所以.答：的数学期望为.……10分。

江苏省南通市2019-2020学年高考数学一模试卷含解析

江苏省南通市2019-2020学年高考数学一模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．()cos sin xe f x x=在原点附近的部分图象大概是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【分析】分析函数()y f x =的奇偶性，以及该函数在区间()0,π上的函数值符号，结合排除法可得出正确选项. 【详解】令sin 0x ≠，可得{},x x k k Z π≠∈，即函数()y f x =的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()cos cos sin sin x xe ef x f x x x--==-=--，则函数()y f x =为奇函数，排除C 、D 选项；当0πx <<时，cos 0xe >，sin 0x >，则()cos 0sin xe f x x=>，排除B 选项. 故选：A. 【点睛】本题考查利用函数解析式选择函数图象，一般要分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.2．在ABC ∆中，D 为AC 的中点，E 为AB 上靠近点B 的三等分点，且BD ，CE 相交于点P ，则AP =u u u r（）A ．2132AB AC +u u ur u u u rB ．1124AB AC +u u ur u u u rC ．1123AB AC +u u ur u u u rD ．2133AB AC +u u ur u u u r【答案】B 【解析】【分析】设AP xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r，则2AP xAB y AD =+u u u r u u u r u u u r ，32x AP AE y AC =+u u u r u u u r u u u r ，由B ，P ，D 三点共线，C ，P ，E 三点共线,可知21x y +=，312xy +=,解得,x y 即可得出结果. 【详解】设AP xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r，则2AP xAB y AD =+u u u r u u u r u u u r ，32x AP AE y AC =+u u u r u u u r u u u r ，因为B ，P ，D 三点共线，C ，P ，E 三点共线，所以21x y +=，312x y +=，所以12x =，14y =.故选:B. 【点睛】本题考查了平面向量基本定理和向量共线定理的简单应用,属于基础题.3．若x 、y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为（）A ．5B ．9C ．6D ．12【答案】C 【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线32z x y =+，找出直线在y 轴上的截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算即可. 【详解】作出满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩的可行域如图阴影部分（包括边界）所示．由32z x y =+，得322z y x =-+，平移直线322z y x =-+，当直线322zy x =-+经过点()2,0时，该直线在y 轴上的截距最大，此时z 取最大值，即max 32206z =⨯+⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值，一般利用平移直线的方法找到最优解，考查数形结合思想的应用，属于基础题.4．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，56104a a a +=+，则21S =（） A ．7 B ．14C ．28D ．84【答案】D 【解析】【分析】利用等差数列的通项公式，可求解得到114a =，利用求和公式和等差中项的性质，即得解【详解】56104a a a +=+Q ，111111465a d a d a d ∴+-=-+-解得114a =．121211121()21842a a S a +∴===．故选：D 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、求和公式和等差中项，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.5．下列函数中既关于直线1x =对称，又在区间[1,0]-上为增函数的是( )A ．sin y x =π.B ．|1|y x =-C ．cos y x π=D ．e e x x y -=+【答案】C 【解析】【分析】根据函数的对称性和单调性的特点，利用排除法，即可得出答案. 【详解】A 中，当1x =时，sin 01y x =π=≠，所以sin y x =π不关于直线1x =对称，则A 错误；B 中，()()1,111,1x x y x x x ⎧-≥⎪=-=⎨-+<⎪⎩，所以在区间[1,0]-上为减函数，则B 错误；D 中，()xxy f x e e -==+，而()()2202,2f f e e -==+，则()()02f f ≠，所以e e x x y -=+不关于直线1x =对称，则D 错误；故选：C. 【点睛】本题考查函数基本性质，根据函数的解析式判断函数的对称性和单调性，属于基础题.6．从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图：根据频率分布直方图，可知这部分男生的身高的中位数的估计值为 A ．171.25cm B ．172.75cm C ．173.75cm D ．175cm【答案】C 【解析】【分析】【详解】由题可得0.00520.02020.040(1)10a ⨯++⨯+⨯=，解得0.010a =，则(0.0050.0100.020)100.35++⨯=，0.350.040100.750.5+⨯=>，所以这部分男生的身高的中位数的估计值为0.50.3517010173.75(cm)100.040-+⨯=⨯，故选C ．7．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点E 在线段11A C 上，F 、M 分别是AD 、CD 的中点，则下列结论中错误的是（）A ．11//FM AC ，B ．存在点E ，使得平面//BEF 平面11CCD D C ．BM ⊥平面1CC F D ．三棱锥B CEF -的体积为定值【答案】B 【解析】【分析】根据平行的传递性判断A ；根据面面平行的定义判断B ；根据线面垂直的判定定理判断C ；由三棱锥B CEF -以三角形BCF 为底，则高和底面积都为定值，判断D.【详解】在A 中，因为,F M 分别是,AD CD 中点，所以11////FM AC AC ，故A 正确；在B 中，由于直线BF 与平面11CC D D 有交点，所以不存在点E ，使得平面//BEF 平面11CC D D ，故B 错误；在C 中，由平面几何得BM CF ⊥，根据线面垂直的性质得出1BM C C ⊥，结合线面垂直的判定定理得出BM ⊥平面1CC F ，故C 正确；在D 中，三棱锥B CEF -以三角形BCF 为底，则高和底面积都为定值，即三棱锥B CEF -的体积为定值，故D 正确；故选：B 【点睛】本题主要考查了判断面面平行，线面垂直等，属于中档题.8．已知△ABC 中，22BC BA BC =⋅=-u u u v u u u v u u u v ，．点P 为BC 边上的动点，则()PC PA PB PC ⋅++u u u v u u u v u u u v u u u v的最小值为（）A ．2B ．34-C ．2-D ．2512-【答案】D 【解析】【分析】以BC 的中点为坐标原点，建立直角坐标系，可得()()1010B C -，，，，设()()0P a A x y ，，，，运用向量的坐标表示，求得点A 的轨迹，进而得到关于a 的二次函数，可得最小值．【详解】以BC 的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，可得()()1010B C -，，，，设()()0P a A x y ，，，，由2BA BC ⋅=-u u u r u u u r，可得()()120222x y x +⋅=+=-，，，即20x y =-≠，，则()()()101100PC PA PB PC a x a a a y ⋅++=-⋅---+-++u u u r u u u r u u u r u u u r，， ()()()()21312332a x a a a a a =--=---=--21253612a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当16a =时，()PC PA PB PC ⋅++u u u r u u u r u u u r u u u r 的最小值为2512-．故选D ．【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，考查转化思想和二次函数的值域解法，考查运算能力，属于中档题． 9．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则 A ．log a c ＜log b c B ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b【答案】B 【解析】试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gclog c ,log c lg a lg b==，01c <<Q ，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c ==,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1lg c改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用cy x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用xy c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.10．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（） A ．72种 B ．144种 C ．288种 D ．360种【答案】B 【解析】【分析】利用分步计数原理结合排列求解即可【详解】第一步排语文，英语，化学，生物4种，且化学排在生物前面，有2412A =种排法；第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空挡中的2个，有2412A =种排法，所以不同的排表方法共有1212144⨯=种. 选B . 【点睛】本题考查排列的应用，不相邻采用插空法求解，准确分步是关键，是基础题 11．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是34，则判断框中应填入的条件是（）A ．5?i >B ．5?i <C ．4?i >D ．4?i <【答案】D 【解析】【分析】首先判断循环结构类型，得到判断框内的语句性质，然后对循环体进行分析，找出循环规律，判断输出结果与循环次数以及i 的关系，最终得出选项．【详解】经判断此循环为“直到型”结构，判断框为跳出循环的语句，第一次循环：110112122S i =+==+=⨯，；第二次循环：1122132233S i =+==+=⨯，；第三次循环：2133143344S i =+==+=⨯，，此时退出循环，根据判断框内为跳出循环的语句，4i ∴<？，故选D ．【点睛】题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题．解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序，（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可．12．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()3f x x x=+-．若0x ≤，则()0f x ≤的解集是（） A ．[2,1]--B ．(,2][1,0]-∞-⋃-C ．(,2][1,0)-∞-⋃-D ．(,2)(1,0]-∞-⋃-【答案】B 【解析】【分析】利用函数奇偶性可求得()f x 在0x <时的解析式和()0f ，进而构造出不等式求得结果. 【详解】()f x Q 为定义在R 上的奇函数，()00f ∴=.当0x <时，0x ->，()23f x x x∴-=---， ()f x Q 为奇函数，()()()230f x f x x x x∴=--=++<，由0230x x x <⎧⎪⎨++≤⎪⎩得：2x -≤或10x -≤<；综上所述：若0x ≤，则()0f x ≤的解集为(][],21,0-∞--U . 故选：B . 【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，涉及到利用函数奇偶性求解对称区间的解析式；易错点是忽略奇函数在0x =处有意义时，()00f =的情况.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届江苏省南通市高考一模数学试卷试题Word版含解析

2020届江苏省南通市高考一模数学试卷试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．函数的最小正周期为．2．设集合A={1，3}，B={a+2，5}，A∩B={3}，则A∪B= ．3．复数z=（1+2i）2，其中i为虚数单位，则z的实部为．4．口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球．摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，则摸出蓝球的概率为．5．如图是一个算法的流程图，则输出的n的值为．6．若实数x，y满足则z=3x+2y的最大值为．7．抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩（单位：分），结果如下：学生第1次第2次第3次第4次第5次甲6580708575乙8070758070则成绩较为稳定（方差较小）的那位学生成绩的方差为．8．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3cm，AA1=1cm，则三棱锥D1﹣A1BD的体积为cm3．9．在平面直角坐标系xOy中，直线2x+y=0为双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线，则该双曲线的离心率为．10．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为升．11．在△ABC中，若•+2•=•，则的值为．12．已知两曲线f（x）=2sinx，g（x）=acosx，相交于点P．若两曲线在点P处的切线互相垂直，则实数a的值为．13．已知函数f（x）=|x|+|x﹣4|，则不等式f（x2+2）＞f（x）的解集用区间表示为．14．在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x2+y2=4上两点，点A（1，1），且AB⊥AC，则线段BC的长的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A．以OA为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B，AB=．（1）求cosβ的值；（2）若点A的横坐标为，求点B的坐标．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC，BD相交于点O，点E为PC的中点，OP=OC，PA⊥PD．求证：（1）直线PA∥平面BDE；（2）平面BDE⊥平面PCD．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，焦点到相应准线的距离为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P为椭圆上的一点，过点O作OP的垂线交直线于点Q，求的值．18．（16分）如图，某机械厂要将长6m，宽2m的长方形铁皮ABCD进行裁剪．已知点F为AD 的中点，点E在边BC上，裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处（点C，D分别落在直线BC下方点M，N处，FN交边BC于点P），再沿直线PE裁剪．（1）当∠EFP=时，试判断四边形MNPE的形状，并求其面积；（2）若使裁剪得到的四边形MNPE面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．19．（16分）已知函数f（x）=ax2﹣x﹣lnx，a∈R．（1）当时，求函数f（x）的最小值；（2）若﹣1≤a≤0，证明：函数f（x）有且只有一个零点；（3）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．20．（16分）已知等差数列{an }的公差d不为0，且，，…，，…（k1＜k2＜…＜kn＜…）成等比数列，公比为q．（1）若k1=1，k2=3，k3=8，求的值；（2）当为何值时，数列{kn}为等比数列；（3）若数列{kn }为等比数列，且对于任意n∈N*，不等式恒成立，求a1的取值范围．南通市2017届高三第一次调研测试数学Ⅱ（附加题）[选做题本题包括四小题，请选2题作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-1：几何证明选讲]21．（10分）已知圆O的直径AB=4，C为AO的中点，弦DE过点C且满足CE=2CD，求△OCE的面积．[选修4-2：矩阵与变换]22．（10分）已知向量是矩阵A的属于特征值﹣1的一个特征向量．在平面直角坐标系xOy 中，点P（1，1）在矩阵A对应的变换作用下变为P'（3，3），求矩阵A．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，求直线被曲线ρ=4sinθ所截得的弦长．[选修4-5：不等式选讲]24．求函数的最大值．[必做题]共2小题，满分20分）25．（10分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为棱C1D1的中点，Q为棱BB1上的点，且BQ=λBB1（λ≠0）．（1）若，求AP与AQ所成角的余弦值；（2）若直线AA1与平面APQ所成的角为45°，求实数λ的值．26．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线x2=2py（p＞0）上的点M（m，1）到焦点F的距离为2，（1）求抛物线的方程；（2）如图，点E是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E处的切线与x轴相交于点P，直线PF与抛物线相交于A，B两点，求△EAB面积的最小值．2020届江苏省南通市高考一模数学试卷试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．函数的最小正周期为．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的周期等于，得出结论．【解答】解：函数的最小正周期为，故答案为：．【点评】本题主要考查三角函数的周期性及其求法，利用了y=Asin（ωx+φ）的周期等于，属于基础题．2．设集合A={1，3}，B={a+2，5}，A∩B={3}，则A∪B= {1，3，5} ．【分析】由交集的定义，可得a+2=3，解得a，再由并集的定义，注意集合中元素的互异性，即可得到所求．【解答】解：集合A={1，3}，B={a+2，5}，A∩B={3}，可得a+2=3，解得a=1，即B={3，5}，则A∪B={1，3，5}．故答案为：{1，3，5}．【点评】本题考查集合的交集、并集运算，注意运用定义法，以及集合中元素的互异性，属于基础题．3．复数z=（1+2i）2，其中i为虚数单位，则z的实部为﹣3 ．【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案．【解答】解：∵z=（1+2i）2=1+4i+（2i）2=﹣3+4i，∴z的实部为﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．4．口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球．摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，则摸出蓝球的概率为0.17 ．【分析】利用对立事件的概率公式，可得结论．【解答】解：∵摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，∴摸出蓝球的概率为1﹣0.48﹣0.35=0.17．故答案为0.17．【点评】本题考查对立事件的概率公式，熟练掌握概率的基本性质是求解本题的关键．5．如图是一个算法的流程图，则输出的n的值为 5 ．【分析】由已知的程序框图可知，该程序的功能是利用循环计算a值，并输出满足a＜16的最大n值，模拟程序的运行过程可得答案．【解答】解：当n=1，a=1时，满足进行循环的条件，执行循环后，a=5，n=3；满足进行循环的条件，执行循环后，a=17，n=5；满足进行循环的条件，退出循环故输出n值为5故答案为：5．【点评】本题考查的知识点是程序框图，由于循环的次数不多，故可采用模拟程序运行的方法进行．6．若实数x，y满足则z=3x+2y的最大值为7 ．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=3x+2y得y=﹣x+z平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得A（1，2），代入目标函数z=3x+2y得z=3×1+2×2=7．即目标函数z=3x+2y的最大值为7．故答案为：7．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．7．抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩（单位：分），结果如下：学生第1次第2次第3次第4次第5次甲6580708575乙8070758070则成绩较为稳定（方差较小）的那位学生成绩的方差为20 ．【分析】根据题意，分别求出甲、乙的平均数与方差，比较可得S甲2＞S乙2，则乙的成绩较为稳定；即可得答案．【解答】解：根据题意，对于甲，其平均数甲==75，其方差S甲2=[（65﹣75）2+（80﹣75）2+（70﹣75）2+（85﹣75）2+（75﹣75）2]=50；对于乙，其平均数乙==75，其方差S乙2=[（80﹣75）2+（70﹣75）2+（75﹣75）2+（80﹣75）2+（70﹣75）2]=20；比较可得：S甲2＞S乙2，则乙的成绩较为稳定；故答案为：20．【点评】本题考查方差的计算，注意掌握方差的计算公式．8．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3cm，AA1=1cm，则三棱锥D1﹣A1BD的体积为cm3．【分析】三棱锥D1﹣A1BD的体积==，由此能求出结果．【解答】解：∵在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3cm，AA1=1cm，∴三棱锥D1﹣A1BD的体积：=====（cm3）．故答案为：．【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．9．在平面直角坐标系xOy中，直线2x+y=0为双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线，则该双曲线的离心率为．【分析】利用双曲线的渐近线方程得到a，b关系，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：直线2x+y=0为双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线，可得b=2a，即c2﹣a2=4a2，可得=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．10．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为升．，利用等差数列的通项公式、前n项和公式列出方程组，能【分析】设最上面一节的容积为a1求出结果．【解答】解：设最上面一节的容积为a，1由题设知，解得．故答案为：．【点评】本题考查等差数列的首项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式和前n项和公式的灵活运用．11．在△ABC中，若•+2•=•，则的值为．【分析】根据题意，利用平面向量的数量积，结合余弦定理和正弦定理，即可求出的值．【解答】解：在△ABC中，设三条边分别为a、b，c，三角分别为A、B、C，由•+2•=•，得ac•cosB+2bc•cosA=ba•cosC，由余弦定理得：（a2+c2﹣b2）+（b2+c2﹣a2）=（b2+a2﹣c2），化简得=2，∴=，由正弦定理得==．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的数量积以及余弦定理和正弦定理的应用问题，是综合性题目．12．已知两曲线f（x）=2sinx，g（x）=acosx，相交于点P．若两曲线在点P 处的切线互相垂直，则实数a的值为．【分析】联立两曲线方程，可得tanx==，a＞0，设交点P（m，n），分别求出f（x），g （x）的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，再由同角基本关系式，化弦为切，解方程即可得到a的值．【解答】解：由f（x）=g（x），即2sinx=acosx，即有tanx==，a＞0，设交点P（m，n），f（x）=2sinx的导数为f′（x）=2cosx，g（x）=acosx的导数为g′（x）=﹣asinx，由两曲线在点P处的切线互相垂直，可得2cosm•（﹣asinm）=﹣1，且tanm=，则=1，分子分母同除以cos2m，即有=1，即为a2=1+，解得a=．故答案为：．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，同时考查同角三角函数的基本关系式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．13．已知函数f（x）=|x|+|x﹣4|，则不等式f（x2+2）＞f（x）的解集用区间表示为．【分析】令g（x）=f（x2+2）﹣f（x）=x2+2+|x2﹣2|﹣|x|﹣|x﹣4|，通过讨论x的范围，求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可．【解答】解：令g（x）=f（x2+2）﹣f（x）=x2+2+|x2﹣2|﹣|x|﹣|x﹣4|，x≥4时，g（x）=2x2﹣2x+4＞0，解得：x≥4；≤x＜4时，g（x）=2x2﹣4＞0，解得：x＞或x＜﹣，故＜x＜4；0≤x＜时，g（x）=0＞0，不合题意；﹣≤x＜0时，g（x）=2x＞0，不合题意；x＜﹣时，g（x）=2x2+2x﹣4＞0，解得：x＞1或x＜﹣2，故x＜﹣2，故答案为：．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．14．在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x2+y2=4上两点，点A（1，1），且AB⊥AC，则线段BC的长的取值范围为[，] ．【分析】画出图形，当BC⊥OA时，|BC|取得最小值或最大值，求出BC坐标，即可求出|BC|的长的取值范围．【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x2+y2=4上两点，点A（1，1），且AB⊥AC，如图所示当BC⊥OA时，|BC|取得最小值或最大值．由，可得B（，1）或（，1），由，可得C（1，）或（1，﹣）解得BC==，min==．BCmax故答案为：[，]．【点评】本题考查直线与圆的方程的综合应用、考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力，属于难题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A．以OA为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B，AB=．（1）求cosβ的值；（2）若点A的横坐标为，求点B的坐标．【分析】（1）由条件利用余弦定理，求得cosβ的值．（2）利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦、余弦公式，求得点B的坐标．【解答】解：（1）在△AOB中，由余弦定理得，AB2=OA2+OB2﹣2OA•OBcos∠AOB，所以，=，即．（2）因为，，∴．因为点A的横坐标为，由三角函数定义可得，，因为α为锐角，所以．所以，，即点．【点评】本题主要考查余弦定理，任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦、余弦公式的应用，属于基础题．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC，BD相交于点O，点E为PC的中点，OP=OC，PA⊥PD．求证：（1）直线PA∥平面BDE；（2）平面BDE⊥平面PCD．【分析】（1）连结OE，说明OE∥PA．然后证明PA∥平面BDE．（2）证明OE⊥PD．OE⊥PC．推出OE⊥平面PCD．然后证明平面BDE⊥平面PCD．【解答】证明：（1）连结OE，因为O为平行四边形ABCD对角线的交点，所以O为AC中点．又因为E为PC的中点，所以OE∥PA．…4分又因为OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，所以直线PA∥平面BDE．…6分（2）因为OE∥PA，PA⊥PD，所以OE⊥PD．…8分因为OP=OC，E为PC的中点，所以OE⊥PC．…10分又因为PD⊂平面PCD，PC⊂平面PCD，PC∩PD=P，所以OE⊥平面PCD．…12分又因为OE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面PCD．…14分．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，焦点到相应准线的距离为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P为椭圆上的一点，过点O作OP的垂线交直线于点Q，求的值．【分析】（1）由已知条件可得，，然后求解椭圆的方程．（2）由题意知OP的斜率存在．当OP的斜率为0时，求解结果；当OP的斜率不为0时，设直线OP方程为y=kx．联立方程组，推出．OQ2=2k2+2．然后求解即可．【解答】解：（1）由题意得，，，…2分解得，c=1，b=1．所以椭圆的方程为．…4分（2）由题意知OP的斜率存在．当OP的斜率为0时，，，所以．…6分当OP的斜率不为0时，设直线OP方程为y=kx．由得（2k2+1）x2=2，解得，所以，所以．…9分因为OP⊥OQ，所以直线OQ的方程为．由得，所以OQ2=2k2+2．…12分所以．综上，可知．…14分．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．18．（16分）如图，某机械厂要将长6m，宽2m的长方形铁皮ABCD进行裁剪．已知点F为AD 的中点，点E在边BC上，裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处（点C，D分别落在直线BC下方点M，N处，FN交边BC于点P），再沿直线PE裁剪．（1）当∠EFP=时，试判断四边形MNPE的形状，并求其面积；（2）若使裁剪得到的四边形MNPE面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．【分析】（1）当∠EFP=时，由条件得∠EFP=∠EFD=∠FEP=．可得FN⊥BC，四边形MNPE 为矩形．即可得出．（2）解法一：设，由条件，知∠EFP=∠EFD=∠FEP=θ．可得，，．四边形MNPE面积为==，化简利用基本不等式的性质即可得出．解法二：设BE=tm，3＜t＜6，则ME=6﹣t．可得PE=PF，即．，NP=3﹣T+，四边形MNPE面积为==，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）当∠EFP=时，由条件得∠EFP=∠EFD=∠FEP=．所以∠FPE=．所以FN⊥BC，四边形MNPE为矩形．…3分所以四边形MNPE的面积S=PN•MN=2m2．…5分（2）解法一：设，由条件，知∠EFP=∠EFD=∠FEP=θ．所以，，．…8分由得所以四边形MNPE面积为====…12分．当且仅当，即时取“=”．…14分此时，（*）成立．答：当时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE面积最大，最大值为m2．…16分解法二：设BE=tm，3＜t＜6，则ME=6﹣t．因为∠EFP=∠EFD=∠FEP，所以PE=PF，即．所以，．…8分由得所以四边形MNPE面积为==…12分=．当且仅当，即时取“=”．…14分此时，（*）成立．答：当点E距B点m时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE面积最大，最大值为m2．…16分．【点评】本题考查了函数的性质、矩形的面积计算公式、基本不等式的性质、三角函数的单调性应与求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（16分）已知函数f（x）=ax2﹣x﹣lnx，a∈R．（1）当时，求函数f（x）的最小值；（2）若﹣1≤a≤0，证明：函数f（x）有且只有一个零点；（3）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．【分析】（1）当时，．求出函数的导数，得到极值点，然后判断单调性求解函数的最值．（2）由f（x）=ax2﹣x﹣lnx，得．当a≤0时，函数f （x）在（0，+∞）上最多有一个零点，当﹣1≤a≤0时，f（1）=a﹣1＜0，，推出结果．（3）由（2）知，当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上最多有一个零点．说明a＞0，由f）上单调递（x）=ax2﹣x﹣lnx，得，说明函数f（x）在（0，x0，+∞）上单调递增．减；在（x要使得函数f（x）在（0，+∞）上有两个零点，只需要．通过函数h（x）=2lnx+x﹣1在（0，+∞）上是增函数，推出0＜a＜1．验证当0＜a＜1时，函数f（x）有两个零点．证明：lnx≤x﹣1．设t（x）=x﹣1﹣lnx，利用导数求解函数的最值即可．【解答】解：（1）当时，．所以，（x＞0）．…2分令f'（x）=0，得x=2，当x∈（0，2）时，f'（x）＜0；当x∈（2，+∞）时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增．所以当x=2时，f（x）有最小值．…4分（2）由f（x）=ax2﹣x﹣lnx，得．所以当a≤0时，，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，所以当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上最多有一个零点．…6分因为当﹣1≤a≤0时，f（1）=a﹣1＜0，，所以当﹣1≤a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上有零点．综上，当﹣1≤a≤0时，函数f（x）有且只有一个零点．…8分（3）由（2）知，当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上最多有一个零点．因为函数f（x）有两个零点，所以a＞0．…9分由f（x）=ax2﹣x﹣lnx，得，令g（x）=2ax2﹣x﹣1．因为g（0）=﹣1＜0，2a＞0，所以函数g（x）在（0，+∞）上只有一个零点，设为x．当x∈（0，x0）时，g（x）＜0，f'（x）＜0；当x∈（x，+∞）时，g（x）＞0，f'（x）＞0．所以函数f（x）在（0，x0）上单调递减；在（x，+∞）上单调递增．要使得函数f（x）在（0，+∞）上有两个零点，只需要函数f（x）的极小值f（x）＜0，即．又因为，所以2lnx0+x﹣1＞0，又因为函数h（x）=2lnx+x﹣1在（0，+∞）上是增函数，且h（1）=0，所以x＞1，得．又由，得，所以0＜a＜1．…13分以下验证当0＜a＜1时，函数f（x）有两个零点．当0＜a＜1时，，所以．因为，且f（x）＜0．所以函数f（x）在上有一个零点．又因为（因为lnx≤x﹣1），且f（x）＜0．所以函数f（x）在上有一个零点．所以当0＜a＜1时，函数f（x）在内有两个零点．综上，实数a的取值范围为（0，1）．…16分下面证明：lnx≤x﹣1．设t（x）=x﹣1﹣lnx，所以，（x＞0）．令t'（x）=0，得x=1．当x∈（0，1）时，t'（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，t'（x）＞0．所以函数t（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．所以当x=1时，t（x）有最小值t（1）=0．所以t（x）=x﹣1﹣lnx≥0，得lnx≤x﹣1成立．【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的极值，构造法以及分类讨论思想的应用，考查计算能力．20．（16分）已知等差数列{an }的公差d不为0，且，，…，，…（k1＜k2＜…＜kn＜…）成等比数列，公比为q．（1）若k1=1，k2=3，k3=8，求的值；（2）当为何值时，数列{kn}为等比数列；（3）若数列{kn }为等比数列，且对于任意n∈N*，不等式恒成立，求a1的取值范围．【分析】（1）由已知得：a1，a3，a8成等比数列，从而4d2=3a1d，由此能求出的值．（2）设数列{kn}为等比数列，则，推导出，从而，进而．由此得到当时，数列{kn}为等比数列．（3）由数列{kn }为等比数列，a1=d，．得到，恒成立，再证明对于任意的正实数ε（0＜ε＜1），总存在正整数n1，使得．要证，即证lnn1＜n1lnq+lnε．由此能求出a1的取值范围．【解答】解：（1）由已知可得：a1，a3，a8成等比数列，所以，…2分整理可得：4d2=3a1d．因为d≠0，所以．…4分（2）设数列{kn}为等比数列，则．又因为，，成等比数列，所以．整理，得．因为，所以a1（2k2﹣k1﹣k3）=d（2k2﹣k1﹣k3）．因为2k2≠k1+k3，所以a1=d，即．…6分当时，an =a1+（n﹣1）d=nd，所以．又因为，所以．所以，数列{kn}为等比数列．综上，当时，数列{kn}为等比数列．…8分（3）因为数列{kn }为等比数列，由（2）知a1=d，．，an=a1+（n﹣1）d=na1．因为对于任意n∈N*，不等式恒成立．所以不等式，即，恒成立．…10分下面证明：对于任意的正实数ε（0＜ε＜1），总存在正整数n1，使得．要证，即证lnn1＜n1lnq+lnε．因为，则，解不等式，即，可得，所以．不妨取，则当n1＞n时，原式得证．所以，所以a1≥2，即得a1的取值范围是[2，+∞）．…16分【点评】本题考查等差数列的首项与公差的比值的求法，考查满足等比数列的等差数列的首项与公差的比值的确定，考查数列的首项的取值范围的求法，综合性强，难度大，对数学思维要求较高．南通市2017届高三第一次调研测试数学Ⅱ（附加题）[选做题本题包括四小题，请选2题作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-1：几何证明选讲]21．（10分）已知圆O的直径AB=4，C为AO的中点，弦DE过点C且满足CE=2CD，求△OCE的面积．【分析】由相交弦定理，得CD，DE中点H，则OH⊥DE，利用勾股定理求出OH，即可求出△OCE 的面积．【解答】解：设CD=x，则CE=2x．因为CA=1，CB=3，由相交弦定理，得CA•CB=CD•CE，所以1×3=x•2x=2x2，所以．…2分取DE中点H，则OH⊥DE．因为，所以．…6分又因为，所以△OCE的面积．…10分．【点评】本题考查的是相交弦定理，垂径定理与勾股定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．[选修4-2：矩阵与变换]22．（10分）已知向量是矩阵A的属于特征值﹣1的一个特征向量．在平面直角坐标系xOy 中，点P（1，1）在矩阵A对应的变换作用下变为P'（3，3），求矩阵A．【分析】设，根据矩阵变换，列方程组，即可求得a、b、c和d的值，求得A．【解答】解：设，因为向量是矩阵A的属于特征值﹣1的一个特征向量，所以．所以…4分因为点P（1，1）在矩阵A对应的变换作用下变为P'（3，3），所以．所以…8分解得a=1，b=2，c=2，d=1，所以．…10分．【点评】本题考查矩阵的变换，考查方程思想，体现转化思想，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，求直线被曲线ρ=4sinθ所截得的弦长．【分析】极坐标方程化为直角坐标方程，联立，求出A，B的坐标，即可求直线被曲线ρ=4sinθ所截得的弦长．【解答】解：以极点O为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．直线的直角坐标方程为y=x①，…3分曲线ρ=4sinθ的直角坐标方程为x2+y2﹣4y=0②．…6分由①②得或…8分所以A（0，0），B（2，2），所以直线被曲线ρ=4sinθ所截得的弦长AB=．…10分．【点评】本题考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查方程思想，比较基础．[选修4-5：不等式选讲]24．求函数的最大值．【分析】利用二倍角公式化简函数的解析式，利用柯西不等式求解函数的最值即可．【解答】解：…2分由柯西不等式得，…8分所以y=5，此时．max所以函数的最大值为5．…10分．【点评】本题考查是的最值，柯西不等式在最值中的应用，考查转化思想以及计算能力．[必做题]共2小题，满分20分）25．（10分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为棱C1D1的中点，Q为棱BB1上的点，且BQ=λBB1（λ≠0）．（1）若，求AP与AQ所成角的余弦值；（2）若直线AA1与平面APQ所成的角为45°，求实数λ的值．【分析】（1）以为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A﹣xyz．求出，，利用数量积求解AP与AQ所成角的余弦值．（2），．求出平面APQ的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】解：以为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A﹣xyz．（1）因为，，所以=．所以AP与AQ所成角的余弦值为．…4分（2）由题意可知，，．设平面APQ的法向量为=（x，y，z），则即令z=﹣2，则x=2λ，y=2﹣λ．所以=（2λ，2﹣λ，﹣2）．…6分与平面APQ所成角为45°，又因为直线AA1所以|cos＜，＞|==，可得5λ2﹣4λ=0，又因为λ≠0，所以．…10分．【点评】本题考查空间向量数量积的应用，直线与平面所成角的求法，异面直线所成角的求法，考查计算能力．26．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线x2=2py（p＞0）上的点M（m，1）到焦点F的距离为2，（1）求抛物线的方程；（2）如图，点E是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E处的切线与x轴相交于点P，直线PF与抛物线相交于A，B两点，求△EAB面积的最小值．【分析】（1）求出抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为，由抛物线定义，得到p=2，即可求解抛物线的方程．（2）求出函数的．设点，得到抛物线在点E处的切线方程为．求出．推出直线PF的方程，点到直线PF的距离，联立求出AB，表示出△EAB的面积，构造函数，通过函数的导数利用单调性求解最值即可．【解答】解：（1）抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为，因为M（m，1），由抛物线定义，知，所以，即p=2，所以抛物线的方程为x2=4y．…3分（2）因为，所以．设点，则抛物线在点E处的切线方程为．令y=0，则，即点．因为，F（0，1），所以直线PF的方程为，即2x+ty﹣t=0．则点到直线PF的距离为．…5分联立方程消元，得t2y2﹣（2t2+16）y+t2=0．因为△=（2t2+16）2﹣4t4=64（t2+4）＞0，所以，，所以．…7分所以△EAB的面积为．不妨设（x＞0），则．因为时，g'（x）＜0，所以g（x）在上单调递减；上，g'（x）＞0，所以g（x）在上单调递增．所以当时，．所以△EAB的面积的最小值为．…10分．【点评】本题考查抛物线与直线的位置关系的应用，函数的导数与函数的最值的求法，考查转化思想以及构造法的应用，难度比较大．。

江苏省南通市2019-2020学年高考第一次质量检测数学试题含解析

江苏省南通市2019-2020学年高考第一次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．2(1ii +=- ) A ．132i +B ．32i+ C ．32i- D ．132i-+ 【答案】A 【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案. 【详解】()()()()22122313131112222i i i i i i i i i i ++++++====+--+ 本题正确选项：A 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．2．已知m ，n 是两条不重合的直线，α是一个平面，则下列命题中正确的是（） A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若//m α，n ⊂α，则//m n C ．若m n ⊥，m α⊥，则//n α D ．若m α⊥，//n α，则m n ⊥【答案】D 【解析】【分析】利用空间位置关系的判断及性质定理进行判断. 【详解】解：选项A 中直线m ，n 还可能相交或异面，选项B 中m ，n 还可能异面，选项C ，由条件可得//n α或n ⊂α．故选：D. 【点睛】本题主要考查直线与平面平行、垂直的性质与判定等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力，属于基础题.3．已知角α的终边经过点P(0sin 47,cos 47)，则sin(013α-)=11【详解】由题意可得三角函数的定义可知：22cos 47sin cos 47sin 47cos 47α==+o oo o ，22sin 47cos sin 47sin 47cos 47α==+o o o o，则： ()()sin 13sin cos13cos sin13cos 47cos13sin 47sin131cos 4713cos 60.2ααα-=-=-=+==o o o o o o o o o o本题选择A 选项.4．下列不等式成立的是（）A ．11sin cos 22>B ．11231122⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．112311log log 32< D ．11331123⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性和正余弦函数的图象可确定各个选项的正误. 【详解】对于A ，1024π<<Q ，11sin cos 22∴<，A 错误；对于B ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭Q 在R 上单调递减，11231122⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 错误；对于C ，1221log log 313=>Q ，1331log log 212=<，112311log log 32∴>，C 错误；对于D ，13y x =Q 在R 上单调递增，11331123⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎭∴⎝，D 正确.故选：D . 【点睛】本题考查根据初等函数的单调性比较大小的问题；关键是熟练掌握正余弦函数图象、指数函数、对数函数和幂函数的单调性.5．ABC ∆ 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a c b A +=，则角B 的大小为（） A ．23π B ．3π C ．6π D ．56π先利用正弦定理将边统一化为角，然后利用三角函数公式化简，可求出解B. 【详解】由正弦定理可得sin 2sin 2sin cos A C B A +=，即sin 2sin()2sin cos A A B B A ++=，即有sin (12cos )0A B +=，因为sin 0A >，则1cos 2B =-，而(0,)B π∈，所以23B π=.故选：A 【点睛】此题考查了正弦定理和三角函数的恒等变形，属于基础题.6．过抛物线22x py =（0p >）的焦点且倾斜角为α的直线交抛物线于两点A B ，.2AF BF =，且A 在第一象限，则cos2α=（） A ．5B ．35C ．79D ．23【答案】C 【解析】【分析】作1AA l ⊥，1BB l ⊥；1BE AA ⊥，由题意sin AEABα=，由二倍角公式即得解. 【详解】由题意，02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，准线l ：2p y =-，作1AA l ⊥，1BB l ⊥；1BE AA ⊥，设1BF BB t ==，故12AB AA t ==，AE t =，217sin cos212sin 39AE AB ααα==⇒=-=. 故选：C本题考查了抛物线的性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 7．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且130S =，3421a a +=，则7S 的值为（）． A ．21 B ．63C ．13D ．84【答案】B 【解析】【分析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式可求d ，1a ，然后结合等差数列的求和公式即可求解．【详解】解：因为130S =，3421a a +=，所以111313602521a d a d +⨯=⎧⎨+=⎩，解可得，3d =-，118a =，则7171876(3)632S =⨯+⨯⨯⨯-=．故选：B ．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础题． 8．若424log 3,log 7,0.7a b c ===，则实数,,a b c 的大小关系为（） A ．a b c >> B ．c a b >> C ．b a c >> D ．c b a >>【答案】A 【解析】【分析】将a 化成以4 为底的对数，即可判断,a b 的大小关系；由对数函数、指数函数的性质，可判断出,b c 与1的大小关系，从而可判断三者的大小关系. 【详解】依题意，由对数函数的性质可得244log 3log 9log 7a b ==>=.又因为40440.70.71log 4log 7c b =<==<=，故a b c >>.故选:A. 【点睛】本题考查了指数函数的性质，考查了对数函数的性质，考查了对数的运算性质.两个对数型的数字比较大小时，底数相同，则构造对数函数，结合对数的单调性可判断大小；若真数相同，则结合对数函数的图像或者换底公式可判断大小；若真数和底数都不相同，则可与中间值如1,0比较大小.A ．1．1B ．1C ．2．9D ．2．8【答案】C 【解析】【分析】根据程序框图的模拟过程，写出每执行一次的运行结果，属于基础题. 【详解】初始值0n =，1S =第一次循环：1n =，11122S =⨯=；第二次循环：2n =，121233S =⨯=；第三次循环：3n =，131344S =⨯=；第四次循环：4n =，141455S =⨯=；第五次循环：5n =，151566S =⨯=；第六次循环：6n =，161677S =⨯=；第七次循环：7n =，171788S =⨯=；第九次循环：8n =，181899S =⨯=；第十次循环：9n =，1910.191010S =⨯=≤；所以输出190.910S =⨯=. 故选：C 【点睛】本题考查了循环结构的程序框图的读取以及运行结果，属于基础题.10．一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（）A ．1B ．2C ．3D ．22【答案】B 【解析】【分析】根据已知可知水面的最大高度为正方体面对角线长的一半，由此得到结论．【详解】正方体的面对角线长为22，又水的体积是正方体体积的一半，且正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，所以容器里水面的最大高度为面对角线长的一半，即最大水面高度为2，故选B. 【点睛】本题考查了正方体的几何特征，考查了空间想象能力，属于基础题． 11．已知集合A={x|y=lg （4﹣x 2）}，B={y|y=3x ，x ＞0}时，A∩B=（） A ．{x|x ＞﹣2} B ．{x|1＜x ＜2} C ．{x|1≤x≤2} D ．∅ 【答案】B【解析】试题分析：由集合A 中的函数，得到，解得：，∴集合，由集合B 中的函数，得到，∴集合，则，故选B ．考点：交集及其运算．12．设a r ，b r ，c r 是非零向量.若1()2a cbc a b c ⋅=⋅=+⋅r r r r r r r，则（）A ．()0a b c ⋅+=rrrB ．()0a b c ⋅-=rrrC ．()0a b c +⋅=rrrD ．()0a b c -⋅=rrr【答案】D 【解析】试题分析：由题意得：若a c b c ⋅=⋅r r r r ，则()0a b c -⋅=r r r ；若a c b c ⋅=-⋅r r r r ，则由1()2a c b c a b c⋅=⋅=+⋅r r r r r r r考点：平面向量数量积.【思路点睛】几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点，作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识，又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题，实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是：①利用已知条件，结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；②将条件通过向量的线性运算进行转化，再利用①求解(较难)；③建系，借助向量的坐标运算，此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2025届江苏省扬州、泰州、淮安、南通、徐州、宿迁、连云港市高考数学一模试卷含解析

2025届江苏省扬州、泰州、淮安、南通、徐州、宿迁、连云港市高考数学一模试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数1cos23sin23z i=+和复数2cos37sin37z i=+，则12z z⋅为A．1322i-B．3122i+C．1322i+D．3122i-2．函数f(x)＝21xxe-的图象大致为()A．B．C．D．3．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A．193B．4 C．254D．1324．执行如图所示的程序框图后，输出的值为5，则P的取值范围是（）.A ．37,48⎛⎤⎥⎝⎦B ．59,610⎛⎤⎥⎝⎦C ．715,816⎛⎤⎥⎝⎦D ．1531,1632⎛⎤⎥⎝⎦ 5．己知四棱锥-S ABCD 中，四边形ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，120BAD ︒∠=，ΔSAD 是等边三角形，且23SA AB ==P 在四棱锥-S ABCD 的外接球面上运动，记点P 到平面ABCD 的距离为d ，若平面SAD ⊥平面ABCD ，则d 的最大值为（） A 131 B 132 C 151D 1526．若双曲线22214x y b -=的离心率7e =） A ．23B ．2C 3D ．17．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中(0,)2πϕ∈，若,()6x R f x f π⎛⎫∀∈≤ ⎪⎝⎭恒成立，则函数()f x 的单调递增区间为（） A ．,()36k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．2,()33k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C ．2,()33k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．2,()3k k k Z πππ⎡⎤+⎢⎥⎣∈⎦8．已知{}n a 为正项等比数列，n S 是它的前n 项和，若116a =，且4a 与7a 的等差中项为98，则5S 的值是( ) A ．29B ．30C ．31D ．329．二项式522x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（）A ．80-B ．80C ．160-D ．16010．已知20,()1(0),{|()},{|(())()}a f x ax x x A x f x x B x f f x f x x >=-+>=≤=≤≤，若A B φ=≠则实数a 的取值范围是（） A ．(0,1]B ．3(0,]4C ．3[,1]4D ．[1,)+∞11．费马素数是法国大数学家费马命名的,形如()221nn N +∈的素数(如：02213+=)为费马索数,在不超过30的正偶数中随机选取一数,则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是( ) A ．215B ．15C ．415D ．1312．已知集合M ＝{y ｜y ＝，x ＞0}，N ＝{x ｜y ＝lg （2x －）}，则M∩N 为（） A ．（1，＋∞）B ．（1，2）C ．[2，＋∞）D ．[1，＋∞）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2022-2023学年江苏省南通市高三数学第一次全市联考模拟考试数学试题+答案解析(附后)

2022-2023学年江苏省南通市高三数学第一次全市联考模拟考试数学试题1. 已知M，N为R的两个不相等的非空子集，若，则( )A. B.C. D.2. 设i是虚数单位，复数z满足，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 函数的图象大致是( )A. B.C. D.4. 在矩形ABCD中，E是BC的中点，F是AE上靠近E的三等分点，则向量( )A. B. C. D.5. 函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是( )A. 函数的图象可由的图象向左平移个单位得到B. 函数的图象关于直线对称C. 函数在区间上单调递增D. 函数图象的对称中心为6. 记“方程表示椭圆”，“函数无极值”，则p是q的( )A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知、是双曲线的左、右焦点，点A是双曲线C的右顶点，点P在过点A且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则双曲线C的离心率为( )A. B. 2 C. 3 D. 48. 已知O为坐标原点，点P为函数图象上一动点，当点P的横坐标分别为，，时，对应的点分别为，则下列选项正确的是( )A. B.C. D.9. 已知复数，在复平面内对应的点分别为，，O为坐标原点，则下列说法正确的是( )A. 当时，B. 当时，C. 满足的点表示的轨迹为直线D. 满足的点表示的轨迹为椭圆10. 已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是( )A. 若则是等差数列B. 若则是等比数列C. 若是等差数列，则D. 若是等比数列，且则，11. 已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于两点，则( )A. C的准线为B. 直线AB与C相切C. D.12. 已知函数，的定义域为为的导函数，且，，若为偶函数，则( )A. B.C. D.13. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过抛物线的焦点，且与直线相切于坐标原点O，则圆C的标准方程为__________.14. 已知函数的定义域为R，，若对于任意的都有，则当时，不等式的解集为__________.15. 已知圆，过x轴上的点存在一直线与圆M相交，交点为，且满足，则点P的横坐标a的取值范围为__________16. 已知，则的最小值为__________.17. 设为等差数列的前n项和，已知，且，，成等比数列．求数列的通项公式；若，求数列的前n项和18. 已知函数求函数的最小正周期及对称轴方程；将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变､横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，求在上的单调递减区间.19. 椭圆的左右焦点分别为，焦距为，点M为椭圆上位于x轴上方的一点，，且的面积为求椭圆C的方程；过点的直线l与椭圆交于A，B两点，且，求直线l的方程.20. 如图，在四边形ABCD中，，求角A；若，求四边形ABCD的面积.21. 已知双曲线的离心率是，实轴长是求双曲线C的方程；过点的直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A和B，若直线l上存在不同于点P的点D满足成立，证明：点D的纵坐标为定值，并求出该定值.22. 已知函数当时，①求的极值；②若对任意的都有，，求m的最大值；若函数有且只有两个不同的零点，，求证答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了集合的运算及集合的包含关系判断与应用，属于基础题．由题意知M，N为R的两个不相等的非空真子集，且，取，，从而依次判断即可．【解答】解：，N为R的两个不相等的非空真子集，，则，取，，对于A，，对于B，，故，对于D，，故，由排除法，可得C正确.故选2.【答案】D【解析】【分析】本题考查复数的代数表示及其几何意义，共轭复数，复数的四则运算，属于基础题.由题意利用复数的四则运算得，进而可求出在复平面内对应的点所在象限.【解答】解：，，即，故在复平面内对应的点为，在第四象限 .故选3.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数图象的识别，属于基础题.利用奇偶性和函数值的分布即可解答.【解答】解：函数的定义域为R，，则是奇函数，图象关于原点对称，故排除A，B，当时，，则，排除D，故选4.【答案】B【解析】【分析】本题考查了平面向量的线性运算，属于基础题．根据平面向量的线性运算法则，准确化简，即可求解.【解答】解：如图所示，根据平面向量的运算法则，可得故选5.【答案】C【解析】【分析】本题考查由部分图象求三角函数解析式，求正弦型函数的对称轴和对称中心、判断正弦型函数的单调区间以及正弦型函数的图象变换，属于中档题；利用图象求出函数的解析式，利用三角函数图象变换可判断A选项；利用正弦型函数的对称性可判断BD选项；利用正弦型函数的单调性可判断C选项.【解答】解：由图象可知，，可得，因为，则，由图可知函数的最小正周期为，，所以对于A选项，因为，所以函数的图象可由的图象向左平移个单位得到，故A错；对于B选项，因为，所以函数的图象不关于直线对称，故B错；对于C选项，当时，则，由于在上单调递增，所以函数在区间上单调递增，故C对；对于D选项，令，则，则函数的对称中心为，故D错.故选6.【答案】B【解析】【分析】本题考查充分必要条件的判断，涉及椭圆的定义及利用导数研究函数的极值，属于中档题.根据椭圆的定义，以及利用导数研究函数的极值问题，结合充分必要条件的判断进行判定即可.【解答】解：若p为真，则，解得且，所以；若q为真，“函数无极值”，则不存在相异的两个实根，即²，解得，所以\(p⇒q,q⇏p\)，所以p是q的充分不必要条件.故选7.【答案】B【解析】【分析】本题考查了双曲线的几何性质与直线方程的应用问题，是中档题．求得直线AP的方程，根据题意求得P点坐标，代入直线方程，即可求得双曲线的离心率．【解答】解：如图所示，由题意知：，，，直线AP的方程为：，由，，则，代入直线AP：，整理得：，所求的双曲线离心率为故选8.【答案】D【解析】【分析】本题考查利用导数比较大小，属于较难题．设，，构造函数通过求导来判别其增减性，进而求得答案．【解答】解：设，则，令，，则，设，，则，所以在上为增函数，故，所以在上为增函数，因为，所以，即，故选9.【答案】AD【解析】【分析】本题考查复数的模及其几何意义，复数的四则运算及其几何意义，属于中档题.根据复数的代数运算及模的运算可判定选项AB；根据复数的模的几何意义可判定选项【解答】解：设，，则点，，对于A，，，因为，可求得，所以，即，故A正确；对于B，当，可得，解得，由于a，b，c，d不会都为零，所以，故B错误；对于C，根据复数的几何意义可知，表示的几何图形是圆，故C错误；对于D，在复平面中，点到间距离为，设，，点的轨迹表示以、为焦点的椭圆，故D正确.故选10.【答案】BC【解析】【分析】本题考查等比、等差数列的判定，涉及等比、等差数列的前n项和，属于中档题．对于选项A，由，求，再验证是否满足，即可判断其正误；对于选项B，先利用求得数列的通项公式，再利用等比数列的定义判断其正误即可；利用等差数列的前n项和公式与性质可判断选项C的正误；对于选项D，可用当时求得，可判断其正误．【解答】解：对于A选项，若，当时，，不满足，故A错误；对于B选项，若，则，由于满足，所以是等比数列，故B正确；对于C选项，若是等差数列，则，故C正确；对于D选项，当时，，故当时不等式不成立，故不成立，所以D错误.故答案为11.【答案】BCD【解析】【分析】本题考查了直线与抛物线的位置关系及其应用，以及抛物线的性质，属较难题．根据抛物线的性质、直线与抛物线的关系及弦长公式逐项判断，即可得出结论.【解答】解：点在抛物线上，即，所以准线为，所以A错误直线代入得：得，所以与C相切，故B正确；由题知直线PQ的斜率一定存在，则可设直线，，，则，或，此时，，故C 正确，故D 正确．故选12.【答案】AD【解析】【分析】本题考查抽象函数的奇偶性应用，奇偶函数的导数，周期性应用，属于较难题.通过变形，求得的周期，是本题解题的关键，在对题目中的等式进行相应的赋值相加可求得结果.【解答】解：由于是偶函数，则，两边求导得，所以是奇函数，，由，，得，即，所以是周期函数，且周期为4，，在，中令得，则，A正确；没法求得的值，B错；令得，，，则，无法求得，同理令得，，，因此，相加得，只有在时，有，但不一定为0，因此C错；在中令得，，在中令得，，两式相加得，即，D正确.故选13.【答案】【解析】【分析】本题主要考查圆的标准方程的求解，以及抛物线的焦点，圆的切线问题，是中档题．求出抛物线的焦点，结合直线与圆相切的性质求出圆心和半径即可．【解答】解：抛物线的焦点为，圆与直线相切于坐标原点O，圆心在直线上，圆过原点O以及点，则圆心在直线上，即圆心横坐标为1，纵坐标为，即圆心为，半径，则圆的标准方程为，故答案为：14.【答案】【解析】【分析】本题考查了利用导数解不等式，考查函数单调性的应用，属于中档题．令，求导可得单调递增，且，故不等式的解集为的解集．【解答】解：令，则，故在R上单调递增，又，的解集为，，故不等式等价于，即，，又，故答案为15.【答案】【解析】【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系及其求参，属于中档题.由题意可得圆的半径为2，动点P到圆M的最近的点的距离小于或等于4，P到圆心的距离小于或等于6，即，由此求得a的范围.【解答】解：由题意可知：圆的半径为2，故弦长AB的范围是又，所以动点P到圆M的最近的点的距离小于或等于4，由于圆与x轴相离，故P到圆上的点的距离恒大于进而分析得：P到圆心的距离小于或等于6，根据两点间的距离公式有：，解得，故所求的a的范围是：，故答案为16.【答案】【解析】【分析】本题考查由基本不等式求最值，属于较难题．利用基本不等式结合配凑求出结果．【解答】解：由于，所以，当且仅当，即，时，等号成立．故答案为：17.【答案】解：设等差数列的公差为d，由得：整理得，因为，，成等比数列，所以故舍去，或，又由，解得，，满足条件.故由得，所以，所以，所以……，则……，两式相减得：……，所以【解析】本题考查等比数列的性质，等差数列的通项公式与求和公式，错位相减法求和，属于中档题.根据等差数列的通项公式与求和公式，结合等比数列的性质，列式求得，，从而求得；结合，得，再运用错位相减法求解即可.18.【答案】解：，，所以函数的最小正周期为，令，解得：，所以对称轴方程为：；将函数的图象向左平移个单位，所得图象的解析式为：，再将所得图象上各点的纵坐标不变、横坐标伸长为原来的2倍，得到：，令：，所以：，又，所以在上的单调递减区间为：，【解析】本题主要考查三角函数的恒等变换，余弦型函数单调性、周期性、对称轴，三角函数图象的平移和伸缩变换，属于中档题．利用三角函数的恒等变换将解析式变形成余弦型函数，即可进一步求出函数的周期和对称轴方程；利用三角函数图象的平移和伸缩变换规律得到的解析式，即可求解在上的单调递减区间．19.【答案】解：由题意可知，，由可得，因为的面积为2，所以，又，，解得，则，故椭圆方程为当直线l的斜率为0时，此时，不合题意，当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，，，联立，得，所以，，因为的面积为2，，所以M纵坐标为，所以代入椭圆方程可得，因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以，解得或，当时，直线l过点M，不符合题意，所以直线l的方程为【解析】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系及其应用，以及椭圆的定义，属于中档题．由椭圆的定义得到，再结合直角三角形勾股定理，即可求解；当直线l的斜率为0时，此时，不合题意，当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，，，联立直线l与椭圆的方程，结合韦达定理可得，，由，推出，解得m，进而可得答案．20.【答案】解：因为，，所以，从而，则因为，所以，所以，所以，解得在中，，，，由余弦定理得，所以，在中，由正弦定理得，所以，又因为，所以，即，又因为，所以，从而因此四边形ABCD的面积故四边形ABCD的面积【解析】本题考查了诱导公式、二倍角公式、三角形的面积，考查了正、余弦定理的综合应用，属于中档题.根据诱导公式结合二倍角公式可求出，即可求出答案；根据余弦定理求出BD，再根据正弦定理可得，进而得，最后结合三角形面积公式即可得出答案.21.【答案】解：依题意得，，解得，所以双曲线C的方程是；证明：由题意知，直线l的斜率一定存在，设，，，直线l的方程为，将直线方程代入双曲线方程，化简整理得，，则，，要使直线与双曲线的右支有两个不同的交点A和B，则应满足，即，解得，由，得，故，所以，又，所以点D的纵坐标为定值【解析】本题考查双曲线方程，直线与双曲线的综合应用中的定值问题，属于较难题.由题意得求得即可得双曲线方程;设直线l的方程为联立双曲线方程，利用一元二次方程根与系数的关系，求出k的范围，根据题目条件带入坐标求出，即可得22.【答案】解：①当时，，定义域为，，，令，解得当x变化时，，的变化情况如下表：x-0+递减极小值递增所以的极小值为，没有极大值.②对任意的都有，即恒成立，由，故，所以由①知在上单调递增，因此，可得，即当时，的最小值为，所以m的最大值为证明：要证明，只需证明即可.依题意，，是方程的两个不等实根，因为，所以①､②相加得：，①､②相减得：，消去a，整理得，不妨设，令，则故只需证明当时，，即证明设，则于是在上单调递增，从而，因此所以【解析】本题主要考查函数的极值，函数的单调性以及最值问题，考查了导数的应用以及不等式证明，属于较难题.①将代入，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极小值即可；②问题转化为恒成立，且，得，即，求出m的最大值最大值即可；问题转化为证明即可，求出，不妨设，令，则，证明，设，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可.。

江苏省南通2023级高考一模数学试题 PDF版含答案

南通市2023届高三第一次调研测试数学本试卷共6页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4.考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回一､选择题．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A =x 1≤x ≤3 ，B ={x 2<x <4 }，则A ∩B =()A.2,3B.1,4C.-∞,4D.1,+∞2.已知向量a ，b 满足a =1，b =2，a ,b =2π3，则a ⋅a +b =()A.-2B.-1C.0D.23.在复平面内，复数z 1，z 2对应的点关于直线x -y =0对称，若z 1=1-i ，则z 1-z 2 =()A.2B.2C.22D.44.2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之家”遨游苍穹．太空中飞船与空间站的对接，需要经过多次变轨．某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，其远地点(长轴端点中离地面最远的点)距地面S 1，近地点(长轴端点中离地面最近的点)距地面S 2，地球的半径为R ，则该椭圆的短轴长为()A.S 1S 2B.2S 1S 2C.S 1+R S 2+RD.2S 1+R S 2+R5.已知sin α-π6 +cos α=35，则cos 2α+π3=()A.-725B.725C.-2425D.24256.已知随机变量X 服从正态分布N μ,σ2 ，有下列四个命题：甲：P (X >m +1)>P (X <m -2)；乙：P (X >m )=0.5；丙：P X ≤m =0.5；丁：P (m -1<X <m )<P (m +1<X <m +2)如果只有一个假命题，则该命题为()A.甲B.乙C.丙D.丁7.已知函数f x 的定义域为R ，且f 2x +1 为偶函数，f x =f x +1 -f x +2 ，若f 1 =2，则f 18 =()A.1B.2C.-1D.-28.若过点P t ,0 可以作曲线y =1-x e x 的两条切线，切点分别为A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则y 1y 2的取值范围是Oxy π35π6-11()A.0,4e -3B.-∞,0 ∪0,4e -3C.-∞,4e -2D.-∞,0 ∪0,4e -2二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AC 与BD 交于点O ，则()A.AD 1∥平面BOC 1B.BD ⊥平面COC 1C.C 1O 与平面ABCD 所成的角为45∘D.三棱锥C -BOC 1的体积为2310.函数f x =sin ωx +φ ω>0,φ <π2的部分图象如图所示，则()A.ω=2B.φ=π6C.f x 的图象关于点π12,0 对称D.f x 在区间π,5π4上单调递增11.一个袋中有大小､形状完全相同的3个小球，颜色分别为红､黄､蓝．从袋中先后无放回地取出2个球，记“第一次取到红球”为事件A ，“第二次取到黄球”为事件B ，则()A.P A =13B.A ，B 为互斥事件C.P B ∣A =12D.A ，B 相互独立12.已知抛物线x 2=4y 的焦点为F ，以该抛物线上三点A ，B ，C 为切点的切线分别是l 1，l 2，l 3，直线l 1，l 2相交于点D ，l 3与l 1，l 2分别相交于点P ，Q ．记A ，B ，D 的横坐标分别为x 1，x 2，x 3，则()A.DA ⋅DB =0B.x 1+x 2=2x 3C.AF ⋅BF =|DF |2D.AP ⋅CQ =PC ⋅PD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数f x =1+log 22-x ,x <1,2x -1,x ≥1,则f f -2 =．14.写出一个同时满足下列条件①②的等比数列a n 的通项公式a n =．①a n a n +1<0；②a n <a n +115.已知圆O :x 2+y 2=r 2(r >0)，设直线x +3y -3=0与两坐标轴的交点分别为A ，B ，若圆O 上有且只有一个点P 满足AP =BP ，则r 的值为．16.已知正四棱锥S -ABCD 的所有棱长都为1，点E 在侧棱SC 上，过点E 且垂直于SC 的平面截该棱锥，得到截面多边形Γ，则Γ的边数至多为，Γ的面积的最大值为．(第一空2分，第二空3分)四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17.(10分)在①S 1，S 2，S 4成等比数列，②a 4=2a 2+2，③S 8=S 4+S 7-2这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，并完成解答已知数列a n 是公差不为0的等差数列，其前n 项和为S n ，且满足，．(1)求a n 的通项公式；(2)求1a 1a 2+1a 2a 3+1a 3a 4+⋯+1a n a n +1注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案计分。

江苏省南通市2023-2024学年高三第一次调研测试数学(解析版)

南通市2024届高三第一次调研测试数学2024.01.24注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效。

3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{0，1，2，3}，则A∩B＝A．{－2，－1} B．{0，1} C．{0，1，2} D．{0，1，2，3}2．已知z＋z＝8，z－z＝6i，则z z＝A．25 B．16 C．9 D．53．若向量a＝(λ，4)，b＝(2，μ)，则“λμ＝8”是“a∥b”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．设{a n}为等比数列，a2＝2a4＋3a6，则a4－a7 a2－a5＝A．19B．13C．3 D．95．从正方体的八个顶点中选择四个顶点构成空间四面体，则该四面体不可能A．每个面都是等边三角形B．每个面都是直角三角形C．有一个面是等边三角形，另外三个面都是直角三角形D．有两个面是等边三角形，另外两个面是直角三角形6．已知直线y＝x－1与抛物线C：x2＝2py(p＞0)相切于M点，则M到C的焦点距离为A．1 B．2 C．3 D．4直线与抛物线相切，则4p2－8p＝0，7．已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为(0，＋∞)，若xf′(x)＜2f(x)，则A．4e2f(2)＜16f(e)＜e2f(4) B．e2f(4)＜4e2f(2)＜16f(e)C．e2f(4)＜16f(e)＜4e2f(2) D．16f(e)＜e2f(4)＜4e2f(2)8．某中学开展劳动实习，学生制作一个矩形框架的工艺品．要求将一个边长分别为10cm 和20cm的矩形零件的四个顶点分别焊接在矩形框架的四条边上，则矩形框架周长的最小值为A．202cm B．305cm C．405cm D．602cm二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

南通市高三数学一模试卷

南通市高三数学一模试卷一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的图像开口向上，且与x 轴有且仅有一个交点，则a和b的取值范围是：A. a > 0, b^2 - 4ac = 0B. a > 0, b^2 - 4ac > 0C. a < 0, b^2 - 4ac = 0D. a < 0, b^2 - 4ac > 02. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5 = 5a3，则S9等于：A. 9a5B. 18a5C. 9a4D. 18a43. 若复数z满足|z| = 1，则z的共轭复数的模长为：A. 0B. 1C. -1D. 24. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，求f'(x)的值。

A. 3x^2 - 3B. x^2 - 3xC. 3x^2 + 3xD. x^3 - 35. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点E是CC1的中点，则A1到平面BB1DD1的距离为：A. 1B. 2C. √2D. √36. 若直线y = kx + b与曲线y = x^3 + 1相切，且切点在第一象限，则k的取值范围是：A. (0, 1)B. (1, +∞)C. (-∞, 0)D. (-∞, 1)7. 已知函数f(x) = ln(x + √(1 + x^2))，求f'(x)的值。

A. 1 / (x + √(1 + x^2))B. 1 / (x + √(1 + x^2))^2C. 1 / (x + √(1 + x^2))^2D. 1 / (1 + x^2)8. 已知等比数列{an}的公比q > 0，且a1 = 1，a3 = 4，则a2等于：A. 2B. 4C. 8D. 169. 若向量a = (1, 2)，向量b = (2, 1)，则a·b的值为：A. 0B. 1C. 2D. 310. 已知双曲线C的方程为x^2 / a^2 - y^2 / b^2 = 1（a > 0，b > 0），若双曲线的一条渐近线方程为y = 2x，则b / a的值为：A. 1B. 2C. √2D. √3二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分。

南通一模数学试题及答案

南通一模数学试题及答案一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。

每小题只有一个选项是正确的。

）1. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(2)的值。

A. -1B. 3C. 5D. 72. 已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c，且满足a^2 + b^2 = c^2，判断三角形ABC的形状。

A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定3. 计算下列极限：lim(x→0) (sin(x)/x)。

A. 0B. 1C. π/2D. 24. 已知集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，求A∩B。

A. {1, 2}B. {2, 3}C. {3, 4}D. {1, 4}5. 若方程2x - 3y = 6的解为(x, y)，求y/x的值。

A. -2/3B. 2/3C. 3/2D. -3/26. 计算下列定积分：∫(0 to 1) x^2 dx。

A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 17. 已知向量a = (3, -2)，向量b = (1, 2)，求向量a·b。

A. -1B. 1C. 5D. -58. 计算下列二项式展开式中x^2的系数：(x + 2)^3。

A. 4B. 6C. 8D. 129. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求f'(x)。

A. 3x^2 - 12x + 11B. 3x^2 - 12x + 6C. 3x^2 - 6x + 11D. 3x^2 - 6x + 610. 计算下列复数的模：z = 3 + 4i。

A. 5B. √(3^2 + 4^2)C. √(9 + 16)D. 7二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分。

）11. 已知函数f(x) = 2x + 3，求f(-1)的值。

12. 计算下列三角函数值：sin(π/6)。

13. 已知等差数列{an}的首项a1 = 2，公差d = 3，求第5项a5。

江苏省南通市2022-2023学年高三上学期第一次质量监测数学试题

一、单选题二、多选题1. 对于给定正数k ，定义，设，对任意和任意恒有，则（）A ．k 的最大值为2B ．k 的最小值为2C ．k 的最大值为1D ．k 的最小值为12.已知偶函数满足，则（）A ．或B ．或C ．或D ．或3. 设(为虚数单位），其中是实数，则等于A ．5B．C．D ．24.将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则函数的一个解析式（）A．B．C．D．5. 人类通常有O ，A ，B ，AB 四种血型，某一血型的人能给哪些血型的人输血，是有严格规定的，输血法则可归结为4条：①X →X ；②O →X ；X →AB ；④不满足上述3条法则的任何关系式都是错误的(其中X 代表O ，A ，B ，AB 中某种血型，箭头左边表示供血者，右边表示受血者).已知我国O ，A ，B ，AB 四种血型的人数所占比例分别为41%，28%，24%，7%，在临床上，按照规则，若受血者为A 型血，则一位供血者不能为这位受血者正确输血的概率为（）A ．0.27B ．0.31C ．0.42D ．0.696. 已知，，，则（）A．B．C．D．7. 设函数有唯一的零点，则实数m 为（）A ．2B．C ．3D．8. 数列为等差数列，为其前项和，，则=（）A ．40B ．42C ．43D ．459. 随着生活水平的不断提高，我国居民的平均身高也在增长.某市为了调查本市小学一年级男生身高情况，从某小学一年级随机抽取了100名同学进行身高测量，得到如下频率分布直方图，其中右侧三组小长方形面积成等差数列.则下列说法正确的是（）A ．身高在范围内的频率为0.18B ．身高的众数的估计值为115C ．身高的中位数的估计值为125D ．身高的平均数的估计值为121.8江苏省南通市2022-2023学年高三上学期第一次质量监测数学试题江苏省南通市2022-2023学年高三上学期第一次质量监测数学试题三、填空题四、解答题10.已知函数，则下列说法正确的是（）A．函数的最小正周期为B．函数在上单调递减C ．若，则的值可以是D ．函数有4个零点11. 已知和是定义在上的函数，若存在区间，且，则称与在上同步.则（）A ．与在上同步B．存在使得与在上同步C ．若存在使得与在上同步，则D ．存在区间使得与在上同步12. 给定函数.下列说法正确的有（）A ．函数在区间上单调递减，在区间上单调递增B ．函数的图象与x 轴有两个交点C ．当时，方程有两个不同的的解D ．若方程只有一个解，则13. 已知的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中有理项的个数为___________．14. 设，若对任意，都存在唯一实数，满足，则正数的最小值为____________15. 月球背面指月球的背面，从地球上始终不能完全看见.某学习小组通过单光源实验来演示月球背面.由光源点射出的两条光线与分别相切于点、，称两射线、上切点上方部分的射线与优弧上方所夹的平面区域(含边界)为圆的“背面”.若以点为圆心，为半径的圆处于的“背面”，则的最大值为__________.16. 已知函数.（1）当时，判断函数的零点个数，并加以证明；（2）若函数在上单调递增，求的取值范围.17. 如图是一旅游景区供游客行走的路线图，假设从进口开始到出口，每遇到一个岔路口，每位游客选择其中一条道路行进是等可能的.现有甲、乙、丙、丁共名游客结伴到旅游景区游玩，他们从进口的岔路口就开始选择道路自行游玩，并按箭头所指路线行走，最后到出口集中，设点是其中的一个交叉路口点.（1）求甲经过点的概率；（2）设这名游客中恰有名游客都是经过点，求随机变量的概率分布和数学期望.18. 已知平面上的三点P(5,2)、F1(－6,0)、F2(6,0)．(1)求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的标准方程；(2)设点P、F1、F2关于直线y＝x的对称点分别为P′、F1′、F2′，求以F1′、F2′为焦点且过点P′的双曲线的标准方程．19. 已知点，动点与点，连线的斜率之积为，过点的直线交点的轨迹于，两点，设直线和直线的斜率分别为和，记(1)求点的轨迹方程(2)是否为定值?若是，请求出该值，若不是，请说明理由．20. 定义在上的函数.(1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积；(2)将的所有极值点按照从小到大的顺序排列构成数列，若，求的值.21. 随着数字化信息技术的发展，网络成了人们生活的必需品，它一方面给人们的生活带来了极大的便利，节约了资源和成本，另一方面青少年沉迷网络现象也引起了整个社会的关注和担忧，为了解当前大学生每天上网情况，某调查机构对某高校男生、女生各50名学生进行了调查，其中每天上网的时间超过8小时的被称为“有网瘾”，否则被称为“无网瘾”．调查结果如下：有网瘾无网瘾合计女生10男生20合计100(1)将上面的2×2列联表补充完整，再判断是否有的把握认为“有网瘾”与性别有关，说明你的理由；(2)现从被调查的男生中按分层抽样的方法选出5人，再从这5人中随机选取3人参加座谈会，记这3人中“有网瘾”的人数为X，试求X的分布列与数学期望．参考公式：，其中参考数据：0.100.050.0100.0012.7063.841 6.63510.828。

江苏省南通市高考数学一模试卷(含解析)

2016年江苏省南通市高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={﹣1，0，1}，A∩B=．2．若复数z=a+2i（i为虚数单位，a∈R）满足|z|=3，则a的值为．3．从1，2，3，4这四个数中依次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为偶数的概率是．4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为5．为了了解居民家庭网上购物消费情况，某地区调查了10000户家庭的月消费金额（单位：元），所有数据均在区间上，其频率分布直方图如图所示，则被调查的10000户家庭中，有户月消费额在1000元以下6．设等比数列{a n}的前n项和为S n．若S2=3，S4=15，则S6= ．7．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线过点P（1，1），其一条渐近线方程为，则该双曲线的方程为．8．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点E是棱B1B的中点，则三棱锥B1﹣ADE的体积为．9．若函数f（x）=（a，b∈R）为奇函数，则f（a+b）的值为．10．已知，则的值是．11．在平面直角坐标系xOy中，点A（1，0），B（4，0）．若直线x﹣y+m=0上存在点P使得PA=PB，则实数m的取值范围是．12．已知边长为6的正三角形ABC，，AD与BE交点P，则的值为．13．在平面直角坐标系xOy中，直线1与曲线y=x2（x＞0）和y=x3（x＞0）均相切，切点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则的值为．14．已知函数f（x）=2ax2+3b（a，b∈R），若对于任意x∈，都有|f（x）|≤1成立，则ab的最大值是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，（a+b﹣c）（a+b+c）=ab．（1）求角C的大小；（2）若c=2acosB，b=2，求△ABC的面积．16．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，点E是A1C1的中点．求证：（1）BE⊥AC；（2）BE∥平面ACD1．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆过点A（2，1），离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆相交于B，C两点（异于点A），线段BC被y轴平分，且AB⊥AC，求直线l的方程．18．如图，阴影部分为古建筑物保护群所在地，其形状是以O1为圆心，半径为1km的半圆面．公路l经过点O，且与直径OA垂直，现计划修建一条与半圆相切的公路PQ（点P在直径OA的延长线上，点Q在公路l上），T为切点．（1）按下列要求建立函数关系：①设∠OPQ=α（rad），将△OPQ的面积S表示为α的函数；②设OQ=t（km），将△OPQ的面积S表示为t的函数．（2）请你选用（1）中的一个函数关系，求△OPQ的面积S的最小值．19．已知函数f（x）=a+lnx（a∈R）．（1）求f（x）的单调区间；（2）试求f（x）的零点个数，并证明你的结论．20．若数列{a n}中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{a n}为“等比源数列”（1）已知数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n﹣1．①求{a n}的通项公式；②试判断{a n}是否为“等比源数列”，并证明你的结论．（2）已知数列{a n}为等差数列，且a1≠0，a n∈Z（n∈N*），求证：{a n}为“等比源数列”【选做题】在21、22、23、24四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．如图，圆O的直径AB=10，C为圆上一点，BC=6．过C作圆O的切线l，AD⊥l于点D，且交圆O于点E，求DE长．22．已知矩阵，求逆矩阵M﹣1的特征值．23．在极坐标系中，已知点，圆C的方程为（圆心为点C），求直线AC的极坐标方程．24．已知a≥0，b≥0，求证：a6+b6≥ab（a4+b4）．【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，AB=1，AD=AS=2，P是棱SD上一点，且．（1）求直线AB与CP所成角的余弦值；（2）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．26．已知函数f0（x）=x（sinx+cosx），设f n（x）是f n﹣1（x）的导数，n∈N*．（1）求f1（x），f2（x）的表达式；（2）写出f n（x）的表达式，并用数学归纳法证明．2016年江苏省南通市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={﹣1，0，1}，A∩B={0，1} ．【考点】交集及其运算．【分析】直接根据交集的定义即可求出．【解答】解：集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={﹣1，0，1}，则A∩B={0，1}，故答案为：{0，1}．2．若复数z=a+2i（i为虚数单位，a∈R）满足|z|=3，则a的值为±．【考点】复数求模．【分析】根据复数的运算性质得到a2+4=9，解出即可．【解答】解：若复数z=a+2i（i为虚数单位，a∈R）满足|z|=3，即a2+4=9，解得：a=±，故答案为：±．3．从1，2，3，4这四个数中依次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为偶数的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】列举可得共6种情形，其中满足所取2个数的乘积为偶数的有5种情形，由概率公式可得．【解答】解：从1，2，3，4这4个数中依次随机地取2个数有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6种情形，其中满足所取2个数的乘积为偶数的有（1，2），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共5种情形，∴所求概率，故答案为：4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为14【考点】伪代码．【分析】根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用，一直求出不满足循环条件时S的值．【解答】解：模拟执行程序，可得S=0，I=1，满足条件S≤10，执行循环，S=1，I=2，满足条件S≤10，执行循环，S=1+22=5，I=3，满足条件S≤10，执行循环，S=1+22+32=14，I=4，不满足条件S≤10，退出循环，输出S的值为14．故答案为：14．5．为了了解居民家庭网上购物消费情况，某地区调查了10000户家庭的月消费金额（单位：元），所有数据均在区间上，其频率分布直方图如图所示，则被调查的10000户家庭中，有750 户月消费额在1000元以下【考点】频率分布直方图．【分析】直方图中小矩形的面积表示频率，即可求出答案．【解答】解：由直方图可得1000元以下共有10000×（0.00005+0.0001）×500=750户，故答案为：750．6．设等比数列{a n}的前n项和为S n．若S2=3，S4=15，则S6= 63 ．【考点】等比数列的性质；等比数列的前n项和．【分析】直接利用等比数列的性质，求解即可．【解答】解：等比数列{a n}的前n项和为S n．若S2=3，S4=15，所以S2，S4﹣S2，S6﹣S4，也是等比数列，（S4﹣S2）2=S2•（S6﹣S4），即122=3•（S6﹣15），解得S6=63故答案为：63．7．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线过点P（1，1），其一条渐近线方程为，则该双曲线的方程为2x2﹣y2=1 ．【考点】双曲线的标准方程．【分析】根据题意和双曲线的渐近线方程列出方程组，求出a2和b2的值，即可求出双曲线的方程．【解答】解：由题意可得，，解得，b2=1，所以双曲线的方程为2x2﹣y2=1，故答案为：2x2﹣y2=1．8．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点E是棱B1B的中点，则三棱锥B1﹣ADE的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意，三棱锥B1﹣ADE的体积=三棱锥D﹣B1AE的体积，即可得出结论．【解答】解：由题意，三棱锥B1﹣ADE的体积=三棱锥D﹣B1AE的体积==．故答案为：．9．若函数f（x）=（a，b∈R）为奇函数，则f（a+b）的值为﹣1 ．【考点】函数的值；分段函数的应用．【分析】由已知中函数f（x）为奇函数，f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，可得a，b的值，进而可得f（a+b）的值．【解答】解：∵函数f（x）==为奇函数，故f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，故．即，∴f（x）=，∴f（a+b）=f（1）=1﹣2=﹣1，故答案为：﹣1．10．已知，则的值是．【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数中的恒等变换应用．【分析】由条件利用诱导公式，同角三角的基本关系，化简要求的式子可得结果．【解答】解：∵已知，则=﹣sin（x+）+=﹣sin（x+）+1﹣=﹣+1﹣=，故答案为：．11．在平面直角坐标系xOy中，点A（1，0），B（4，0）．若直线x﹣y+m=0上存在点P使得PA=PB，则实数m的取值范围是．【考点】两点间距离公式的应用．【分析】设P（x，x+m），由PA=PB，可得4|PA|2=|PB|2，利用两点之间的距离公式化为：（x+m）2=4﹣x2，可得：m=﹣x±，x∈．通过三角函数代换即可得出．【解答】解：设P（x，x+m），∵PA=PB，∴4|PA|2=|PB|2，∴4（x﹣1）2+4（x+m）2=（x﹣4）2+（x+m）2，化为（x+m）2=4﹣x2，∴4﹣x2≥0，解得x∈，∴m=﹣x±，令x=2cosθ，θ∈，∴m=﹣2cosθ±2sinθ=∈，实数m的取值范围是，故答案为：．12．已知边长为6的正三角形ABC，，AD与BE 交点P，则的值为 3 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意作图辅助，从而可得点P是正三角形ABC的中心，从而可求平面向量的数量积．【解答】解：由题意作图如右图，∵，∴D，E分别为线段BC，AC的中点，∴点P是正三角形ABC的中心，∴||=•|BE|=••|AB|=2，||=|BP|=，且∠BPD=，故=||||cos=6×=3，故答案为：3．13．在平面直角坐标系xOy中，直线1与曲线y=x2（x＞0）和y=x3（x＞0）均相切，切点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则的值为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出导数得出切线方程，即可得出结论．【解答】解：由y=x2，得y′=2x，切线方程为y﹣x12=2x1（x﹣x1），即y=2x1x﹣x12，由y=x3，得y′=3x2，切线方程为y﹣x23=3x22（x﹣x2），即y=3x22x﹣2x23，∴2x1=3x22，x12=2x23，两式相除，可得=．故答案为：．14．已知函数f（x）=2ax2+3b（a，b∈R），若对于任意x∈，都有|f（x）|≤1成立，则ab 的最大值是．【考点】函数的值；二次函数的性质．【分析】由对于任意x∈，都有|f（x）|≤1成立，可得（a，b）对应的可行域，进而根据基本不等式得到ab的最大值．【解答】解：函数f（x）=2ax2+3b图象的顶点为（0，3b），若若对于任意x∈，都有|f（x）|≤1成立，则，其对应的平面区域如下图所示：令Z=ab，则在第一，三象限a，b同号时ab取最大值，由2a+3b=1，a＞0，b＞0得：ab≤=，故答案为：二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，（a+b﹣c）（a+b+c）=ab．（1）求角C的大小；（2）若c=2acosB，b=2，求△ABC的面积．【考点】余弦定理．【分析】（1）利用余弦定理表示出cosC，把已知等式整理后代入计算求出cosC的值，即可确定出C的度数．（2）由正弦定理可得sin（A+B）=2sinAcosB，由两角和的正弦公式可求得sin（A﹣B）=0，根据﹣π＜A﹣B＜π，可求A﹣B=0，可得a=b=2，利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：（1）在△ABC中，∵（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，∴（a+b）2﹣c2=ab，即a2+b2﹣c2=﹣ab，∴cosC==﹣，∵C为三角形内角，∴C=．（2）∵c=2acosB，∴由正弦定理可得 sin（A+B）=2sinAcosB，由两角和的正弦公式可得sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB，∴sin（A﹣B）=0，又﹣π＜A﹣B＜π，∴A﹣B=0，可得：a=b=2，∴S△ABC=absinC==．16．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，点E是A1C1的中点．求证：（1）BE⊥AC；（2）BE∥平面ACD1．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）推导出BA1=BC1，点E是A1C1的中点，从而BE⊥A1C1，由此能证明BE⊥AC．（2）连结B1D1，交A1C1于点E，连结AC，BD，交于点O，连结OD1，推导出四边形BED1O是平行四边形，由此能证明BE∥平面ACD1．【解答】证明：（1）∵在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，∴BA1=BC1，∵点E是A1C1的中点，∴BE⊥A1C1，∵AC∥A1C1，∴BE⊥AC．（2）连结B1D1，交A1C1于点E，连结AC，BD，交于点O，连结OD1，∵在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，∴D1E BO，∴四边形BED1O是平行四边形，∴BE∥OD1，∵OD1⊂平面ACD1，BE⊄平面ACD1，∴BE∥平面ACD1．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆过点A（2，1），离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆相交于B，C两点（异于点A），线段BC被y轴平分，且AB⊥AC，求直线l的方程．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）由椭圆的离心率公式及b2=a2﹣c2，及点A（2，1），联立即可求得a，b及c的值，即可求得椭圆方程；（2）将直线方程代入椭圆方程，求得关于x的一元二次方程，利用韦达定理求得x B+x C=﹣，根据线段BC被y轴平分，即x B+x C=0，即可求得m的值，根据向量的坐标表示求得•=0，即可求得k的值，将点A代入直线方程，当k=，不满足，故求得k的值．【解答】解：（1）由条件知椭圆离线率e==，∴b2=a2﹣c2=a2，将点A（2，1），代入椭圆方程得解得，故椭圆方程为：；（2）将直线l：y=kx+m（k≠0）代入椭圆方程，x2+4（kx+m）2﹣8=0，整理得：（1+4k2）x2+8mkx+4m2﹣8=0，线段BC被y平分得：x B+x C=﹣=0，k≠0，m=0，∴B，C关于原点对称，设B（x，kx），C（﹣x，﹣kx），∴x2=，又∵AB⊥AC，A（2，1），∴•=（x﹣2）（﹣x﹣2）+（kx﹣1）（﹣kx﹣1）=5﹣（1+k2）x2=5﹣=0，解得k=±，由k=，直线y=x过点A（2，1）故k=不符合题意，所以，此时直线l的直线方程y=﹣x．18．如图，阴影部分为古建筑物保护群所在地，其形状是以O1为圆心，半径为1km的半圆面．公路l经过点O，且与直径OA垂直，现计划修建一条与半圆相切的公路PQ（点P在直径OA的延长线上，点Q在公路l上），T为切点．（1）按下列要求建立函数关系：①设∠OPQ=α（rad），将△OPQ的面积S表示为α的函数；②设OQ=t（km），将△OPQ的面积S表示为t的函数．（2）请你选用（1）中的一个函数关系，求△OPQ的面积S的最小值．【考点】弧度制的应用；函数解析式的求解及常用方法；三角函数的最值．【分析】（1）结合图形，①用sinα求出PO1、OP以及OQ的值，计算△OPQ的面积S即可；②设OQ=t（km），∠OQP=2θ，用tanθ表示出OP，再计算△OPQ的面积S；（2）用（1）中②函数关系S==，设x=，函数f（x）=x ﹣x3，求出f（x）的最大值即可求出S的最小值．【解答】解：（1）如图所示，①设∠OPQ=α（rad），则sinα=，∴PO1=，OP=1+，OQ=OP•tanα=（1+）•tanα；∴△OPQ的面积S=OP•OQ=•（1+）（1+）•tanα=••tanα；②设OQ=t（km），∠OQP=2θ，则tanθ=，tan2θ===，∴OP=OQ•tan2θ=，∴△OPQ的面积S=OP•OQ=••t=；（2）用（1）中②函数关系，S==，设x=＞0，函数f（x）=x﹣x3，（x＞0）；则f′（x）=1﹣3x2，令f′（x）=0，解得x=；∴x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数，x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数；∴当x=时，f（x）取得最大值是f（）=；∴△OPQ的面积S的最小值是=．19．已知函数f（x）=a+lnx（a∈R）．（1）求f（x）的单调区间；（2）试求f（x）的零点个数，并证明你的结论．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间；（2）求出函数的最小值，通过讨论a的范围，从而求出函数的零点的个数即可．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=（）′lnx+•=，令f′（x）＞0，解得：x＞e﹣2，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜e﹣2，∴f（x）在（0，e﹣2）递减，在（e﹣2，+∞）递增；（2）由（1）得：f（x）min=f（e﹣2）=a﹣，显然a＞时，f（x）＞0，无零点，a=时，f（x）=0，有1个零点，a＜时，f（x）＜0，有2个零点．20．若数列{a n}中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{a n}为“等比源数列”（1）已知数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n﹣1．①求{a n}的通项公式；②试判断{a n}是否为“等比源数列”，并证明你的结论．（2）已知数列{a n}为等差数列，且a1≠0，a n∈Z（n∈N*），求证：{a n}为“等比源数列”【考点】数列的应用．【分析】（1）①由a n+1=2a n﹣1，可得a n+1﹣1=2（a n﹣1），利用等比数列的通项公式即可得出．②假设{a n}为“等比源数列”，则此数列中存在三项：a k＜a m＜a n，k＜m＜n．满足=a k a n，代入化为：2m﹣k+1（2m﹣2+1）=2n﹣1+2n﹣k+1，利用数的奇偶性即可得出．（2）设等差数列{a n}的公差为d，假设存在三项使得，（k＜n＜m）．展开：2a1（n﹣1）+（n﹣1）2d=a1+（k﹣1）（m﹣1）d，当n﹣1既是（k﹣1）与m﹣1的等比中项，又是（k﹣1）与m﹣1的等差中项时，原命题成立．【解答】解：（1）①∵a n+1=2a n﹣1，∴a n+1﹣1=2（a n﹣1），∴数列{a n﹣1}是等比数列，首项为1，公比为2．∴a n﹣1=2n﹣1，∴a n=2n﹣1+1．②假设{a n}为“等比源数列”，则此数列中存在三项：a k＜a m＜a n，k＜m＜n．满足=a k a n，∴（2m﹣1+1）2=（2k﹣1+1）（2n﹣1+1），化为：22m﹣2+2m=2k+n﹣2+2n﹣1+2k﹣1，∴2m﹣k+1（2m﹣2+1）=2n﹣1+2n﹣k+1，可知：左边为偶数，而右边为奇数，因此不可能成立．故{a n}不是“等比源数列”．（2）设等差数列{a n}的公差为d，则a n=a1+（n﹣1）d，a1≠0，a n∈Z（n∈N*），假设存在三项使得，（k＜n＜m）．∴=，展开：2a1（n﹣1）+（n﹣1）2d=a1（k﹣1）+（m﹣1）+（k﹣1）（m﹣1）d，当n﹣1既是（k﹣1）与m﹣1的等比中项，又是（k﹣1）与m﹣1的等差中项时，原命题成立．【选做题】在21、22、23、24四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．如图，圆O的直径AB=10，C为圆上一点，BC=6．过C作圆O的切线l，AD⊥l于点D，且交圆O于点E，求DE长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由题意AC⊥BC，AC==8，由已知得Rt△ACD∽Rt△ABC，从而AD=6.4，利用切割线定理、勾股定理，由此能求出DE的长．【解答】解：由题意AC⊥BC．AC==8，∵过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，垂足为D，AD交圆与E，∴∠ACD=∠ABC，∴Rt△ACD∽Rt△ABC，∴=，∴AD==6.4又DC2=DE•6.4，DC2+6.42=64，解得DE=3.6．22．已知矩阵，求逆矩阵M﹣1的特征值．【考点】逆变换与逆矩阵．【分析】先求矩阵M的行列式，进而可求其逆矩阵，令矩阵M﹣1的特征多项式等于0，即可求得矩阵M﹣1的特征值．【解答】解：矩阵M的行列式为=1×2﹣2×0=2，∴矩阵M的逆矩阵M﹣1=，矩阵M﹣1的特征多项式为f（λ）=（λ﹣）（λ﹣1）=0令f（λ）=0可得λ=或λ=1即矩阵M﹣1的特征值为或1．23．在极坐标系中，已知点，圆C的方程为（圆心为点C），求直线AC的极坐标方程．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】先求出直线AC的直角坐标方程，再转化为极坐标方程．【解答】解：点A的直角坐标为A（，）．圆C的普通方程为x2+y2﹣4y=0，即x2+（y﹣2）2=8．∴圆C的圆心为C（0，2）．∴直线AC的方程为，即x+y﹣2=0．∴直线AC的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣2．24．已知a≥0，b≥0，求证：a6+b6≥ab（a4+b4）．【考点】不等式的证明．【分析】利用作差法，通过分类讨论判断即可．【解答】证明：a6+b6﹣ab（a4+b4）=（a﹣b）（a5﹣b5），当a≥b≥0时，a5≥b5，a﹣b≥0，a5﹣b5≥0，可得（a﹣b）（a5﹣b5）≥0．所以a6+b6≥ab（a4+b4）．当0≤a＜b时，a5＜b5，a﹣b＜0，a5﹣b5＜0，可得（a﹣b）（a5﹣b5）＞0．所以a6+b6＞ab（a4+b4）．综上a≥0，b≥0，a6+b6≥ab（a4+b4）．【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，AB=1，AD=AS=2，P是棱SD上一点，且．（1）求直线AB与CP所成角的余弦值；（2）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与CP所成角的余弦值．（2）求出平面APC的法向量和平面PCD的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣PC﹣D的余弦值．【解答】解：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），S（0，0，2），D（0，2，0），设P（a，b，c），∵，∴（a，b，c﹣2）=（﹣a，2﹣b，﹣c）=（﹣，1﹣，﹣），∴，解得a=0，b=，c=，∴P（0，，），=（1，0，0），=（﹣1，﹣，），设直线AB与CP所成角为θ，cosθ=|cos＜＞|===，∴直线AB与CP所成角的余弦值为．（2）=（1，，﹣），=（0，﹣，﹣），=（0，，﹣），设平面APC的法向量=（x，y，z），则，取y=2，得=（﹣4，2，﹣1），设平面PCD的法向量=（a，b，c），则，取b=1，得=（0，1，1），设二面角A﹣PC﹣D的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角A﹣PC﹣D的余弦值为．26．已知函数f0（x）=x（sinx+cosx），设f n（x）是f n﹣1（x）的导数，n∈N*．（1）求f1（x），f2（x）的表达式；（2）写出f n（x）的表达式，并用数学归纳法证明．【考点】数学归纳法；导数的运算．【分析】（1）根据导数的运算法则求导即可，（2）先利用诱导公式，猜想猜想f n（x）=（x+n）sin（x+）+（x﹣n）cos（x+）（*），再根据数学归纳法证明即可．【解答】解：（1）f1（x）=f0′（x）=（sinx+cosx）+x（cosx﹣sinx）=（x﹣1）sin（﹣x）+（x+1）cosx，f2（x）=f1′（x）=﹣sinx+（1﹣x）cosx+cosx﹣（1+x）sinx=﹣（2+x）sinx﹣（x﹣2）cosx，（2）由（1）得f3（x）=f2′（x）=﹣（3+x）cosx+（x﹣3）sinx，把f1（x），f2（x），f3（x），f1（x）=（x+1）sin（x+）+（x﹣1）cos（x+），f2（x）=（x+2）sin（x+）+（x﹣2）cos（x+），f3（x）=（x+3）sin（x+）+（x﹣2）cos（x+），猜想f n（x）=（x+n）sin（x+）+（x﹣n）cos（x+）（*），下面用数学归纳法证明上述等式，①当n=1时，由（1）可知，等式（*）成立，②假设当n=k时，等式（*）成立，即f k（x）=（x+k）sin（x+）+（x﹣k）cos（x+），则当n=k+1时，f k+1（x）=f k′（x）=sin（x+）+（x+k）cosx+）+cos（x+）+（x﹣k），=（x+k+1）cos（x+）+，=（x+k+1）sin（x+π）+cos（x+π），即当n=k+1时，等式（*）成立综上所述，当n∈N*，f n（x）=（x+n）sin（x+）+（x﹣n）cos（x+）成立．。