2020年宁夏高考数学(理科)模拟试卷(6)
2020年宁夏银川一中高考数学一模试卷(理科)(有解析)
2020年宁夏银川一中高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈N|1≤x≤10}，B是A的子集，且B中各元素的和为8，则满足条件的集合B共有()A. 8个B. 7个C. 6个D. 5个)3等于()2.复数(i−1iA. 8B. −8C. 8iD. −8i3.已知数列{a n}是公比为2的等比数列，若a4=16，则a1=()A. 1B. 2C. 3D. 44.设m∈R，则“m=1”是“函数f(x)=m⋅2x+2−x为偶函数”的()A. 充分而不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.函数f(x)=ax+cosx在R上是单调函数，则实数a的取值范围是()A. [1,+∞)B. (1,+∞)C. (−∞,−1]∪[1,+∞)D. (−∞,−1)∪(1,+∞)6.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是()A. 三棱锥B. 三棱柱C. 四棱锥D. 四棱柱7.阅读如图所示的程序框图，若输入p=5，q=6，则输出a，i的值分别为()A. a =5，i =1B. a =5，i =2C. a =15，i =3D. a =30，i =68. (x 2−1x )6的展开式中，常数项等于( ) A. 15 B. 10 C. −15 D. −109. 在满足不等式组{x −y +1≥0x +y −3≤0y ≥0的平面点集中随机取一点M(x 0,y 0)，设事件A =“y 0<2x 0”，那么事件A 发生的概率是( )A. 14B. 34C. 13D. 23 10. 已知α，β，γ是两两不重合的三个平面，下列命题中错误的是( )A. 若α//β，β//γ，则α//γB. 若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γC. 若α//β，β⊥γ，则α⊥γD. 若α//β，α∩γ=a ，β∩γ=b ，则a//b11. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点是F l ，P 是双曲线右支上的点，若线段PF 1与y 轴的交点M 恰好为PF 1的中点，且|OM|=a ，则该双曲线的离心率为( )A. √2B. √3C. 2D. 312. 如果曲线2|x|−y −4=0的图象与曲线C ：x 2+λy 2=4恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是( )A. [−14,14]B. [−14,14)C. (−∞,−14]∪[0,14)D. (−∞,−14]∪[14,+∞) 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知，则sin2α+cos2α=__________．14. 在△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =r AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +s AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则r +s =________． 15. 已知抛物线y =x 2的焦点为F ，过点F 的直线1交抛物线于A ，B 两点，若|AB|=3，则线段AB的中点到x 轴的距离为______16. 观察下列等式：1=1，2+3+4=9，3+4+5+6+7=25，4+5+6+7+8+9+10=49，……照此规律，第n 个等式为_______________________________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，己知．(1)求角A ；(2)若a =2，求△ABC 面积的最大值．18.为了了解某班在全市“一检”中数学成绩的情况，按照分层抽样分别抽取了10名男生和5名女生的试卷成绩作为样本，他们数学成绩的茎叶图如图所示，其中茎为百位数和十位数，叶为个位数．(Ⅰ)若该样本男女生平均分数相等，求x的值；(Ⅱ)若规定120分以上为优秀，在该5名女生试卷中每次都抽取1份，且不重复抽取，直到确定出所有非优秀的女生为止，记所要抽取的次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．19.在直角三角形ABC中，AB=BC=2，D为AC的中点，以BD为折痕将△ABD折起，使点A到达点P的位置，且PB⊥CD．(1)求证：PD⊥平面BCD；(2)求PA与平面PBC所成角的正弦值．20. 椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，离心率为√22，过点F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆截得的弦长为√2，直线l ：y =kx +m 与椭圆交于不同的A ，B 两点．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若在椭圆C 上存在点Q 满足：OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点).求实数λ的取值范围．21. 已知函数f(x)=4x 3+ax 2+bx +5的图象在x =1处的切线方程为y =−12x ，且f(1)=−12，(1)求函数f(x)的解析式和单调区间．(2)求函数f(x)在[−3,1]上的最值．22. (Ⅰ)以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位已知直线的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R)，它与曲线{x =2+√5cosθy =1+√5sinθ(θ为参数)相交于两点A 和B ，求|AB|；(Ⅱ)已知极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，若直线C 1的极坐标方程为：ρcos(θ−π4)=√2，曲线C 2的参数方程为：{x =1+cosθy =3+sinθ(θ为参数)，试求曲线C 2关于直线C 1对称的曲线的直角坐标方程．23. 已知函数f(x)=|x −3|+|x +2|．(Ⅰ)若不等式f(x)≥|m +1|恒成立，求实数m 的最大值M ；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若正数a ，b ，c 满足a +2b +c =M ，求证：1a+b +1b+c ≥1．【答案与解析】1.答案：C解析：本题主要考查子集的应用．属于基础题．列举出集合A 的所有元素，根据B 中各元素的和为8，确定集合B 的组成．即可得到满足条件的集合B 的个数．解：由题意：集合A ={x ∈N|1≤x ≤10}={1,2，3，4，5，6，7，8，9，10}∵B ⊆A ，且B 中各元素的和为8，满足条件的集合有：{8}，{1,7}，{2,6}，{3,5}，{1,2，5}，{1,3，4}共6个．故选：C ．2.答案：D解析：解：由(i −1i )3=(−2i )3=−8⋅ii 4=−8i ，故选D ．先化简复数，然后进行复数幂的运算即可．本题考查复数代数形式的运算，复数幂的运算，是基础题． 3.答案：B解析：解：∵数列{a n }是公比为2的等比数列，且a 4=16，∴a 1=a 423=168=2，故选：B ．依题意，知a 1=a423，于是可得答案． 本题考查等比数列的通项公式的应用，属于基础题．4.答案：C解析：解：若m=1，则函数f(x)=2x+2−x，又f(−x)=2−x+2x=f(x)，且定义域为R，函数f(x)为偶函数；若函数f(x)=m⋅2x+2−x为偶函数，则f(−x)=m⋅2−x+2x=m⋅2x+2−x=f(x)恒成立，即(m−1)(2−x−2x)=0，m=1；综上可得，“m=1”是“函数f(x)=m⋅2x+2−x为偶函数”的充要条件，故选：C．将m=1代入函数解析式，由偶函数的定义判断成立；再由函数为偶函数，根据定义法求出m=1，即“m=1”是“函数f(x)=m⋅2x+2−x为偶函数”的充要条件．本题考查简易逻辑，以及函数的奇偶性定义，属于中档题．5.答案：C解析：解：∵f(x)=ax+cosx，∴f′(x)=a−sinx，∵f(x)=ax+cosx在(−∞,+∞)上是单调函数，∴a−sinx≥0或a−sinx≤0在(−∞,+∞)上恒成立，∴a≥1或a≤−1，故选：C．求出函数f(x)的导函数，令导函数大于等于0或小于等于0在(−∞,+∞)上恒成立，分析可得a的范围．解决函数的单调性已知求参数范围问题，常求出导函数，令导函数大于等于(或小于等于)0恒成立．6.答案：B解析：本题主要考察根据三视图，还原几何体，属于基础题．解：根据三视图的法则：长对正，高平齐，宽相等．可得几何体如下图所示．故该几何体为一个三棱柱．故选B．7.答案：D解析：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求输出p，q的公倍数及相应的i值∵p=5，q=6，i=1，a=5×1=5；i=2，a=5×2=10；i=3，∴a=5×3=15；i=4，∴a=5×4=20；i=5，∴a=5×5=25；i=6，∴a=5×6=30；可以整除a，此时输出a=30，i=6．故选D．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求输出p，q 的公倍数a及相应的i值．根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型．8.答案：A)6的展开式的通项公式为T r+1=C6r⋅(−1)r⋅x12−3r，解析：解：(x2−1x令12−3r=0，求得r=4，∴常数项为C64=15，故选：A．先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式的常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．9.答案：B解析：解：作出不等式组{x −y +1≥0x +y −3≤0y ≥0的平面区域即△ABC ，其面积为4，且事件A =“y 0<2x 0”表示的区域为△AOC ，其面积为3， ∴事件A 发生的概率是34． 故选：B ．确定不等式组表示的区域，求出面积，求出满足y <2x 的区域的面积，利用几何概型概率公式，可得结论．本题考查几何概型，考查不等式组表示的平面区域，确定以面积为测度，正确计算面积是关键，属于中档题．10.答案：B解析：本题考查线线关系、线面关系中的平行的判定、面面关系中垂直的判定，要注意判定定理与性质定理的综合运用．解：A 中，若α//β，β//γ，则γ//β，满足平面与平面平行的性质，正确； B 中，若α⊥β，β⊥γ，则α与γ可以平行，也可以相交，故不正确；C 中，若α//β，β⊥γ，则α⊥γ，满足平面与平面平行的性质定理，故正确；D 中，若α//β，α∩γ=a ，β∩γ=b ，则a//b ，满足平面平行的性质定理，所以正确． 故选B ．11.答案：B解析：本题考查双曲线的离心率，考查勾股定理的运用，确定|PF 2|=2a ，|PF 1|=4a ，PF 2⊥F 1F 2，是关键．由题意，设右焦点是F2，则|PF2|=2a，|PF1|=4a，由勾股定理可得16a2=4a2+4c2，即可求出双曲线的离心率．解：由题意，设右焦点是F2，则|PF2|=2a，|PF1|=4a，PF2⊥F1F2，由勾股定理可得16a2=4a2+4c2，∴e=ca=√3，故选B．12.答案：B解析：解：由2|x|−y−4=0可得y=2|x|−4，当x≥0时，y=2x−4；当x<0时，y=−2x−4，∴函数y=2|x|−4的图象与方程x2+λy2=4的曲线必相交于(±2,0)∴为了使函数y=2|x|−4的图象与方程x2+λy2=1的曲线恰好有两个不同的公共点，则y=2x−4代入方程x2+λy2=1，整理可得(1+4λ)x2−16λx+16λ−4=0，当λ=−14时，x=2满足题意，由于△>0，2是方程的根，∴16λ−41+4λ<0，解得−14<λ<14时，方程两根异号，满足题意；y=−2x−4代入方程x2+λy2=1，整理可得(1+4λ)x2+16λx+16λ−4=0当λ=−14时，x=−2满足题意，由于△>0，−1是方程的根，16λ−41+4λ<0，解得−14<λ<14时，方程两根异号，满足题意；综上知，实数λ的取值范围是[−14,1 4 )故选：B．去绝对值可得x≥0时，y=2x−4；当x<0时，y=−2x−4，数形结合可得曲线必相交于(±2,0)，分别联立方程结合一元二次方程根的分布可得．本题考查椭圆的简单几何性质，考查分类讨论的数学思想和不等式的解法以及数形结合，属中档题．13.答案：15解析：由题意可得： ．14.答案：0解析：本题考查平面向量基本定理的应用，属于基础题目． 解：因为CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以CD →=23CB →=23AB →−23AC →=rAB →+sAC →，所以r =23,s =−23， 所以r +s =0． 故答案为0．15.答案：54解析：解：设A(x 1,y 1)B(x 2,y 2)，F 为焦点，抛物线准线方程y =−14， 根据梯形的中位线定理，得所求的距离为：d =y 1+y 22=|AF|+|BF|2−p2，由抛物线定义d =|AF|+|BF|2−p 2≥|AB|2−p 2=54(两边之和大于第三边且A ，B ，F 三点共线时取等号)，故答案为：54．设A(x 1,y 1)B(x 2,y 2)，根据抛物线方程可求得准线方程，所求的距离为d =y 1+y 22，根据抛物线的定义可知d =|AF|+|BF|2−p2，根据两边之和大于第三边且A ，B ，F 三点共线时取等号求得d 的最小值． 本题主要考查了抛物线的应用．灵活利用了抛物线的定义，考查分析问题解决问题的能力．16.答案：n +(n +1)+⋯+(3n −2)=(2n −1)2解析：本题考查归纳推理的运用，关键是从所给的式子中，发现变化的规律．由图知，第n个等式的等式左边第一个数是n，共2n−1个连续整数的和，右边是奇数2n−1的平方，即可得结果．解：由图知，第n个等式的等式左边第一个数是n，共2n−1个连续整数的和，右边是奇数2n−1的平方，故有n+(n+1)+(n+2)+⋯+(3n−2)=(2n−1)2．故答案为：n+(n+1)+(n+2)+⋯+(3n−2)=(2n−1)2．17.答案：解：(1)由及正弦定理得：，因为sinB≠0，所以，即，因为A为三角形的内角，所以；(2)因为a=2，所以4=c2+b2−√3bc⩾2bc−√3bc，所以4(2+√3)⩾bc，因为，所以当且仅当b=c=√6+√2时，SΔABC最大，所以SΔABC的最大值为2+√3．解析：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查．(1)由正弦定理化简已知等式可得，，又结合0<A<π，即可求得A的值；(2)由已知及余弦定理4=c2+b2−√3bc⩾2bc−√3bc，可得4(2+√3)⩾bc，当且仅当b=c时，取“=”，由三角形面积公式即可得解．18.答案：(Ⅰ)解：依题意得102+118+124+127+1345=100+102+104+119+12x+128+130+131+132+13810解得x=6…(6分)(Ⅱ)由茎叶图知，5名女生中优秀的人数为3人，非优秀的有2人，由题设知ξ=2，3，4，P(ξ=2)=C21C11C51C41=110，P(ξ=4)=C21C32C53=35，P(ξ=3)=1−P(ξ=2)−P(ξ=4)=310，∴ξ的分布列为：Eξ=2×110+3×310+4×610=72…(12分)解析：(Ⅰ)由该样本男女生平均分数相等，利用茎叶图分别求出男生和女生的平均分数就能求出x 的值．(Ⅱ)由茎叶图知，5名女生中优秀的人数为3人，非优秀的有2人，由题设知ξ=2，3，4，分别求出相对应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望Eξ．本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查茎叶图的应用，是历年高考的必考题型，解题时要认真审题，注意合理运用排列组合知识．19.答案：解：(1)∵直角三角形ABC中，AB=BC=2，D为AC的中点，∴BD⊥CD，又∵PB⊥CD，BD∩PB=B，∴CD⊥平面PBD，∴CD⊥PD，又∵AD⊥BD，∴PD⊥BD．又因为BD∩CD=D，∴PD⊥平面BCD．(2)以D为坐标原点，DA，DB，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系D−xyz，则A(√2,0，0)，B(0,√2,0)，C(−√2,0，0)，P(0,0，√2)， PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0，−√2)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,−√2)，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,√2,0) 设平面PBC 的法向量n ⃗ =(x,y ，z)， 由PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0得{√2y −√2z =0√2x +√2y =0取n⃗ =(1,−1,−1)． cos〈PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√63， ∴直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为√63．解析：(1)证明BD ⊥CD ，结合PB ⊥CD ，CD ⊥平面PBD ，推出CD ⊥PD ，PD ⊥BD.证明PD ⊥平面BCD ．(2)以D 为坐标原点，DA ，DB ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D −xyz ，平面PBC 的法向量，利用空间向量的数量积求解直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值即可． 本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20.答案：解：(Ⅰ)由已知得e =c a =√22，2b 2a=√2，又a 2=b 2+c 2，联立解得a =√2,b =1,c =1．故所求椭圆C 的方程为x 22+y 2=1．(Ⅱ)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，Q(x 0,y 0)当λ=0时由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 知，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，A 与B 关于原点对称，存在Q 满足题意，∴λ=0成立．当λ≠0时，设直线AB 的方程为y =kx +m ．联立{y =kx +m x 2+2y 2=2得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−2=0， 由△=(4km)2−4(1+2k 2)(2m 2−2)>0解得m 2<1+2k 2…(∗) ∴x 1+x 2=−4km 1+2k2,x 1x 2=2m 2−21+2k2，y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =2m1+2k 2． 由OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得(x 1+x 2,y 1+y 2)=(λx 0,λy 0)，可得x 1+x 2=λx 0，y 1+y 2=λy 0， ∴{x 0=1λ(x 1+x 2)=1λ⋅−4km1+2k 2y 0=1λ(y 1+y 2)=1λ⋅2m 1+2k 2, 代入到x 22+y 2=1得到m 2=λ24(1+2k 2)，代入(∗)式λ24(1+2k 2)<1+2k 2，由1+2k 2>0得λ2<4，解得−2<λ<2且λ≠0． ∴综上λ∈(−2,2)．解析：(Ⅰ)由已知得e =ca=√22，2b 2a =√2，又a 2=b 2+c 2，联立解得即可．(II)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，Q(x 0,y 0)，分类讨论：当λ=0时，利用椭圆的对称性即可得出；λ≠0时，设直线AB 的方程为y =kx +m.与椭圆的方程联立得到△>0及根与系数的关系，再利用向量相等，代入计算即可得出．21.答案：解：(1)f′(x)=12x 2+2ax +b ，f′(1)=12+2a +b =−12.①又x =1，y =−12在f(x)的图象上，∴4+a +b +5=−12.②由①②得a =−3，b =−18， ∴f(x)=4x 3−3x 2−18x +5． f′(x)=12x 2−6x −18，令f′(x)<0，得：12x 2−6x −18<0， 可得−1<x <32，∴函数f(x)的单调减区间为(−1,32)， 令f′(x)>0，得：12x 2−6x −18>0， 可得x <−1或x >32，∴函数f(x)的单调增区间为(−∞,−1)，(32,+∞)， (2)f′(x)=12x 2−6x −18=0，得x =−1，x =32， f(−1)=16，f(32)=−614，f(−3)=−76，f(1)=−13． ∴f(x)的最大值为16，最小值为−76．解析：(1)根据导数的几何意义求出函数在x =1处的导数，从而得到切线的斜率，建立等式关系，再根据切点在函数图象建立等式关系，解方程组即可求出a 和b ，从而得到函数f(x)的解析式；令f′(x)>0和令f′(x)<0，即可求出函数f(x)的单调区间(2)先求出f′(x)=0的值，根据极值与最值的求解方法，将f(x)的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值．本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数求闭区间上函数的最值等基础题知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题．22.答案：解：(Ⅰ)直线的极坐标方程是θ=π4(ρ∈R)，化为普通方程是y =x ； 曲线的参数方程是{x =2+√5cosθy =1+√5sinθ(θ为参数)，化为直角坐标方程为圆：(x −1)2+(y −2)2=5；…(1分) 则圆心为C(1,2)，半径R =√5，…(2分) ∴圆心C 到直线y =x 的距离为：d =22=√22； …(3分) 由垂径定理得，|AB|=2√R 2−d 2=2√5−12=3√2；…(4分) (Ⅱ)∵直线C 1的极坐标方程为：ρcos(θ−π4)=√2， ∴√22ρcosθ+√22ρsinθ=√2，化为普通方程是x +y =2；…(5分) 又曲线C 2的参数方程为：{x =1+cosθy =3+sinθ(θ为参数)，消去参数得(x −1)2+(y −3)2=1，∴曲线C 2是以(1,3)为圆心，1为半径的圆；…(6分) 设点P(x,y)是圆心(1,3)关于直线x +y =2的对称点，则{y−3x−1=1x+12+y+32=2；解得{x =−1y =1，∴P(−1,1)；∴所求的曲线为圆(x +1)2+(y −1)2=1. …(7分)解析：(Ⅰ)把直线l 的极坐标方程、曲线C 的参数方程都化为直角坐标方程，根据圆心到直线的距离与半径的关系求出弦长|AB|；(Ⅱ)把直线C 1的极坐标方程C 2的参数方程化为普通方程，利用点的对称关系求出对应曲线的方程． 本题考查了直线与圆的方程的应用问题、也考查了参数方程与极坐标方程的应用问题，考查了运算与求解能力，是综合性题目．23.答案：解：(Ⅰ)若f(x)≥|m +1|恒成立，即f(x)min ≥|m +1|由绝对值的三角不等式|x −3|+|x +2|≥|x −3−x −2|=5， 得f(x)min =5即|m +1|≤5，解得−6≤m ≤4， 所以M =4 ．(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)知a +2b +c =4， 得(a +b)+(b +c)=4，所以有1a+b +1b+c =14[(a +b)+(b +c)](1a+b +1b+c )=14(2+b +c a +b +a +b b +c )≥14(2+2)=1 即1a+b +1b+c ≥1．解析：本题考查了绝对值不等式的性质，考查基本不等式的性质，是一道中档题． (Ⅰ)求出f(x)的最小值，得到关于m 的不等式，求出M 的值即可；(Ⅱ)求出a +2b +c =4，得到(a +b)+(b +c)=4，根据基本不等式的性质证明即可．。
宁夏2020年高考数学一模试卷(理科)(I)卷
宁夏2020年高考数学一模试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·西城期中) 已知集合，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2020高三上·营口月考) 复数满足，则的虚部是（）A .B .C .D . -13. （2分） (2020高一上·衢州期末) 函数的大致图象为（）A .B .C .D .4. （2分）(2017·深圳模拟) 祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．此即祖暅原理．利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为h（0＜h＜2）的平面截该几何体，则截面面积为（）A . 4πB . πh2C . π（2﹣h）2D . π（4﹣h）25. （2分）(2017·陆川模拟) 下列命题中正确命题的个数是（）⑴对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1＞0；⑵命题“已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题；⑶回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为 =1.23x+0.08；⑷m=3是直线（m+3）x+my﹣2=0与直线mx﹣6y+5=0互相垂直的充要条件．A . 1B . 3C . 2D . 46. （2分） (2018高一下·珠海月考) 如图是把二进制的数11111(2)化成十进制的数的程序框图，则判断框内应填入的条件是（）A . i>5?B . i≤5?C . i>4?D . i≤4?7. （2分） (2017高二下·黄山期末) 下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，均值与方差都不变；②设有一个回归方程，变量x增加一个单位时，y平均增加3个单位；③线性回归方程必经过点；④在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，从独立性检验知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说现有100人吸烟，那么其中有99人患肺病．其中错误的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 38. （2分） (2016高二下·桂林开学考) 若变量x，y满足，则x﹣2y的最小值为（）A . ﹣14B . ﹣4C .D .9. （2分） (2019高二上·武汉期中) 设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，（点与点不重合），则的面积最大值是（）．A .B .C . 5D .10. （2分）为了得到函数的图象，只要将函数的图象（）A . 向右平移个单位长度B . 向左平移个单位长度C . 向右平移个单位长度D . 向左平移个单位长度11. （2分）(2020·江门模拟) 在平面直角坐标系中，、是双曲线的焦点，以为直径的圆与双曲线右支交于、两点．若是正三角形，则双曲线的离心率为（）A .B .C . 2D .12. （2分）已知有极大值和极小值，则a的取值范围为（）A . －1＜a＜2B . －3＜a＜6C . a＜－1或a＞2D . a＜－3或a＞6二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2016·普兰店模拟) 的展开式中的常数项为a，则直线y=ax与曲线y=x2围成图形的面积为________．14. （1分） (2017高二上·大连期末) 阿基米德在《论球与圆柱》一书中推导球的体积公式时，得到一个等价的三角恒等式sin ，若在两边同乘以，并令n→+∞，则左边=．因此阿基米德实际上获得定积分的等价结果．则 =________．15. （1分）(2016·上海文) 如图，已知点O（0,0）,A（1．0）,B（0,−1）,P是曲线上一个动点，则的取值范围是________．16. （1分） (2019高一下·镇赉期中) 在中，，，内切圆的面积是，则外接圆的半径是________．三、解答题 (共7题；共65分)17. （10分） (2019高三上·上高月考) 已知各项均为正数的数列的前项和为，， .（1）证明数列为等差数列，并求的通项公式；（2）设，数列的前项和记为 ,证明： .18. （10分） (2018高二上·鄞州期中) 已知四棱锥的底面为直角梯形， ,底面且是的中点.（1）求证：直线平面；（2）若，求二面角的余弦值.19. （10分） (2015高三上·太原期末) 某校高一年级开设A，B，C，D，E五门选修课，每位同学须彼此独立地选三门课程，其中甲同学必选A课程，不选B课程，另从其余课程中随机任选两门课程．乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程．（1）求甲同学选中C课程且乙同学未选中C课程的概率；（2）用X表示甲、乙、丙选中C课程的人数之和，求X的分布列和数学期望．20. （5分）已知椭圆 + =1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆上任意一点到右焦点f的距离的最大值为．（I）求椭圆的方程；（II）已知点C（m，0）是线段OF上异于O、F的一个定点（O为坐标原点），是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点，使得|AC|=|BC|，并说明理由．21. （15分） (2020高三上·潍坊期中) 2020年10月16日，是第40个世界粮食日.中国工程院院士袁隆平海水稻团队迎来了海水稻的测产收割，其中宁夏石嘴山海水稻示范种植基地YC-801测产，亩产超过648.5公斤，通过推广种植海水稻，实现亿亩荒滩变粮仓，大大提高了当地居民收入.某企业引进一条先进食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标值为，其质量指标等级划分如下表：质量指标值质量指标等级良好优秀良好合格废品为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产.现从试生产的产品中随机抽取了1000件，将其质量指标值的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图：（1）若将频率作为概率，从该产品中随机抽取3件产品，记“抽出的产品中至少有1件不是废品”为事件，求事件发生的概率；（2）若从质量指标值的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件产品，求质量指标值的件数的分布列及数学期望；（3）若每件产品的质量指标值与利润（单位：元）的关系如下表：质量指标值利润（元）试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定为何值时，每件产品的平均利润达到最大（参考数值：，）.22. （5分） (2018高二下·湛江期中) 平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），圆C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求直线l和圆C的极坐标方程；(Ⅱ)设直线l和圆C相交于A,B两点，求弦AB与其所对劣弧所围成的图形面积．23. （10分）(2019·永州模拟) 选修4-5：不等式选讲已知函数 .（1）当时，求不等式的解集；（2）若，的最小值为，求的最小值.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共65分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、21-3、22-1、23-1、23-2、。
2020年宁夏银川一中高考数学一模试卷(理科)
2020年宁夏银川一中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合{1A =-，0，1}，A 的子集中，含有元素0的子集共有( ) A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个2．（5分）复数32(1)(i i += ) A ．2B ．2-C ．2iD ．2i -3．（5分）已知等比数列{}n a 的公比为正数，且23952a a a =g ，21a =，则1(a = )A ．12B ．2 C ．2 D ．24．（5分）已知m R ∈，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在(0,)+∞上为减函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（5分）若函数()cos f x x ax =-+为增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．[1-，)+∞B ．[1，)+∞C ．(1,)-+∞D ．(1,)+∞6．（5分）一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为( )A ．23B ．25C 43D 537．（5分）我国古代名著《庄子g 天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是()①②③A7i„？1s si=-1i i=+B128i„？1s si=-2i i= C7i„？12s si=-1i i=+D128i„？12s si=-2i i=A．A B．B C．C D．D8．（5分）若231()nxx+展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项为() A．1B．5C．10D．209．（5分）在平面区域{(,)|0}2y xM x y xx y⎧⎪=⎨⎪+⎩……„内随机取一点P，则点P在圆222x y+=内部的概率()A．8πB．4πC．2πD．34π10．（5分）已知直线l，m，平面α、β、γ，给出下列命题：①//lα，//lβ，mαβ=I，则//l m；②//αβ，//βγ，mα⊥，则mγ⊥；③αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥； ④l m ⊥，l α⊥，m β⊥，则αβ⊥． 其中正确的命题有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．（5分）设1F ，2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左，右焦点．若在双曲线右支上存在一点P ，满足212||||PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为( )A ．43B ．53C ．54D12．（5分）已知以4T =为周期的函数(1,1]()1|2|,(1,3]x f x x x ⎧⎪∈-=⎨--∈⎪⎩，其中0m >，若方程3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为( )A ．B ．4(3C ．3(4，8)3D ．，8)3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）已知tan 2x =，求cos2x = ．14．（5分）若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且4CD DB r AB sAC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r，则3r s +的值为 ．15．（5分）已知A ，B 两点均在焦点为F 的抛物线22(0)y px p =>上，若||||4AF BF +=，线段AB 的中点到直线2px =的距离为1，则p 的值为 ． 16．（5分）观察下列算式：311=， 3235=+， 337911=++， 3413151719=+++⋯⋯若某数3n 按上述规律展开后，发现等式右边含有“2021”这个数，则n = ．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分）17．（12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 2sin()0b A a A C -+=． （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若3a =，ABC ∆的面积为33，求11b c+的值． 18．（12分）如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，其中，频率分布直方图的分组区间分别为[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100)，据此解答如下问题．（1）求全班人数及分数在[80，100]之间的频率；（2）现从分数在[80，100]之间的试卷中任取3份分析学生失分情况，设抽取的试卷分数在[90，100]的份数为X ，求X 的分布列和数学望期．19．（12分）如图所示，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 是CD 的中点，O 为AE 的中点，以AE 为折痕将ADE ∆向上折起，使D 到P ，且PC PB = （1）求证：PO ⊥面ABCE ．（2）求AC 与面PAB 所成角θ的正弦值．20．（12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>过点(0,1)6l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于点Q 、P ，与椭圆分别交于点M 、N ，各点均不重合且满足12,PM MQ PN NQ λλ==u u u u r u u u u r u u u r u u u r．（1）求椭圆的标准方程；（2）若123λλ+=-，试证明：直线l 过定点并求此定点．21．（12分）已知函数21()12f x lnx ax bx =-++的图象在1x =处的切线l 过点1(2，1)2．（1）若函数()()(1)(0)g x f x a x a =-->，求()g x 最大值（用a 表示）； （2）若4a =-，121212()()32f x f x x x x x ++++=，证明：1212x x +…．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为11cos :(sin x C y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），曲线222:12x C y +=．（Ⅰ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）射线(0)6πθρ=…与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的交点为B ，求||AB ．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知关于x 的不等式|2||3||1|x x m --++…有解，记实数m 的最大值为M ． （1）求M 的值；（2）正数a ，b ，c 满足2a b c M ++=，求证：111a b b c+++…．2020年宁夏银川一中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合{1A =-，0，1}，A 的子集中，含有元素0的子集共有( ) A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个【解答】解：根据题意，在集合A 的子集中，含有元素0的子集有{0}、{0，1}、{0，1}-、{1-，0，1}，四个； 故选：B ．2．（5分）复数32(1)(i i += ) A ．2B ．2-C ．2iD ．2i -【解答】解：32(1)()(2)2i i i i +=-=， 故选：A ．3．（5分）已知等比数列{}n a 的公比为正数，且23952a a a =g ，21a =，则1(a = )A ．12B C D ．2【解答】解：设公比为q ，由已知得28421112()a q a q a q =g ， 即22q =，又因为等比数列{}n a 的公比为正数，所以q =21a a q ===． 故选：B ．4．（5分）已知m R ∈，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在(0,)+∞上为减函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：若函数()21x y f x m ==+-有零点，则(0)111f m m =+-=<， 当0m …时，函数log m y x =在(0,)+∞上为减函数不成立，即充分性不成立，若log m y x =在(0,)+∞上为减函数，则01m <<，此时函数21x y m =+-有零点成立，即必要性成立，故“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在(0,)+∞上为减函数”的必要不充分条件， 故选：B ．5．（5分）若函数()cos f x x ax =-+为增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．[1-，)+∞B ．[1，)+∞C ．(1,)-+∞D ．(1,)+∞【解答】解：由 题意可得，()sin 0f x x a '=+…恒成立， 故sin a x -…恒成立， 因为1sin 1x --剟， 所以1a …． 故选：B ．6．（5分）一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为( )A ．23B ．25C 43D 53【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个棱长和底面边长都是2的正三棱锥砍去一个三棱锥得到的几何体． 11111111PB C ABC A B C ABC P A B C V V V ---=-2231322213=⨯-⨯ 53=故选：D ．7．（5分）我国古代名著《庄子g 天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是( )①② ③A 7i „？ 1s s i =-1i i =+ B 128i „？ 1s s i=-2i i = C7i „？ 12s s i =- 1i i =+ D128i „？12s s i=-2i i =A ．AB ．BC ．CD ．D【解答】解：程序运行过程中，各变量值如下表所示： 第1次循环：112S =-，4i =，第2次循环：11124S =--，8i =，第3次循环：1111248S =---，16i =，⋯ 依此类推，第7次循环：11111248128S =----⋯-，256i =， 此时不满足条件，退出循环，其中判断框内①应填入的条件是：128i „？， 执行框②应填入：1s s i=-，③应填入：2i i =． 故选：B ． 8．（5分）若231()nx x+展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项为( ) A ．1B ．5C ．10D ．20【解答】解：令1x =可得231()nx x+展开式的各项系数之和为232n =， 5n ∴=，故其展开式的通项公式为10515r r r T x -+=g ð，令1050r -=，求得2r =， 可得常数项为2510=ð， 故选：C ．9．（5分）在平面区域{(,)|0}2y x M x y x x y ⎧⎪=⎨⎪+⎩……„内随机取一点P ，则点P 在圆222x y +=内部的概率( ) A ．8π B ．4π C ．2π D ．34π 【解答】解：如图示：作出不等式组对应的平面区域，对应区域为OAB ∆， 则三角形的面积为11212S =⨯⨯=，点P 取自圆222x y +=内部的面积为圆面积的18，即2184ππ⨯⨯=，则根据几何概型的概率公式可得，则点P 取自圆222x y +=内部的概率等于4π． 故选：B ．10．（5分）已知直线l ，m ，平面α、β、γ，给出下列命题： ①//l α，//l β，m αβ=I ，则//l m ； ②//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥； ③αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥； ④l m ⊥，l α⊥，m β⊥，则αβ⊥． 其中正确的命题有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：①由线面平行的性质定理可知①正确；②由面面平行的性质定理可知，//αγ，因为m α⊥，所以m γ⊥，即②正确； ③若αγ⊥，βγ⊥，则α与β平行或相交，即③错误； ④由面面垂直的判定定理可知④正确． 所以正确的命题有①②④， 故选：C ．11．（5分）设1F ，2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左，右焦点．若在双曲线右支上存在一点P ，满足212||||PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为( ) A ．43B ．53C ．54D ．114【解答】解：依题意212||||PF F F =，可知三角形21PF F 是一个等腰三角形，2F 在直线1PF 的投影是其中点，由勾股定理知可知1||2PF =4b =根据双曲定义可知422b c a -=，整理得2c b a =-， 代入222c a b =+整理得2340b ab -=，求得43b a =；53c e a ∴==．故选：B ．12．（5分）已知以4T =为周期的函数(1,1]()1|2|,(1,3]x f x x x ⎧⎪∈-=⎨--∈⎪⎩，其中0m >，若方程3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为( )A ．B ．4(3C ．3(4，8)3D ．，8)3【解答】解：Q 当(1x ∈-，1]时，将函数化为方程2221(0)y x y m+=…，∴实质上为一个半椭圆，其图象如图所示，同时在坐标系中作出当(1x ∈，3]得图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象，由图易知直线13y x =与第二个椭圆222(4)1(0)y x y m -+=…相交，而与第三个半椭圆222(8)1y x m-+=(0)y …无公共点时，方程恰有5个实数解，将13y x =代入222(4)1y x m -+=(0)y …得，2222(91)721350m x m x m +-+=，令29(0)t m t =>，则2(1)8150t x tx t +-+=，由△2(8)415t t =-⨯(1)0t +>，得15t >，由2915m >，且0m >得m >，同样由 13y x =与第三个椭圆222(8)1y x m -+=(0)y …由△0<可计算得m <，综上可知m ∈． 故选：A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）已知tan 2x =，求cos2x = 35- ．【解答】解：tan 2x =Q ，222111cos sec 1tan 5x x x ∴===+； 所以213cos22cos 12155x x =-=⨯-=-故答案为35-14．（5分）若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且4CD DB r AB sAC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r，则3r s +的值为85． 【解答】解：如图， Q 4CD DB r AB sAC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴444555CD CB AB AC ==-u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴根据平面向量基本定理得，44,55r s ==-， ∴12483555r s +=-=． 故答案为：85．15．（5分）已知A ，B 两点均在焦点为F 的抛物线22(0)y px p =>上，若||||4AF BF +=，线段AB 的中点到直线2px =的距离为1，则p 的值为 1或3 ． 【解答】解：分别过A 、B 作交线:2pl x =-的垂线，垂足分别为C 、D ， 设AB 中点M 在准线上的射影为点N ，连接MN ， 设1(A x ，1y )，2(B x ，2y )，0(M x ，0y ) 根据抛物线的定义，得||||||||4AF BF AC BD +=+=，∴梯形ACDB 中，中位线1(||||)22MN AC BD =+=， 可得022p x +=，022p x =-， Q 线段AB 的中点到直线2p x =的距离为1，可得0||12px -=， |2|1p ∴-=，解得1p =或3p =，故答案为：1或3．16．（5分）观察下列算式：311=， 3235=+， 337911=++， 3413151719=+++⋯⋯若某数3n 按上述规律展开后，发现等式右边含有“2021”这个数，则n = 45 ． 【解答】解：由已知规律可得：3n 按上述规律展开后，发现等式右边含有n 个正奇数． 而前面1n -个等式共含有(1)12(1)2n n n -++⋯⋯+-=个奇数， (1)220212n n -∴⨯<， 即(1)2021n n -<，而454419802021.464520702021⨯=<⨯=>．45n ∴=，故答案为：45．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分）17．（12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 2sin()0b A a A C -+=． （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若3a =，ABC ∆的面积为33，求11b c+的值． 【解答】解：（Ⅰ）由sin 2sin()0b A a A C -+=得sin2sin sin b A a B b A ==⋯⋯（3分） 又0A π<<，所以sin 0A ≠，得2cos 1A =，所以3A π=⋯⋯（6分）（Ⅱ）由ABC ∆的面积为33及3A π=， 得133sin 23bc π=，即6bc =⋯⋯（8分） 又3a =，从而由余弦定理得222cos 9b c bc A +-=， 所以33b c +=⋯⋯（10分） 所以113b c b c bc ++==⋯⋯（12分）18．（12分）如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，其中，频率分布直方图的分组区间分别为[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100)，据此解答如下问题．（1）求全班人数及分数在[80，100]之间的频率；（2）现从分数在[80，100]之间的试卷中任取3份分析学生失分情况，设抽取的试卷分数在[90，100]的份数为X ，求X 的分布列和数学望期．【解答】解：（1）由茎叶图知，分数在[50，60)之间的频数为4，频率为0.0125100.125⨯=，∴全班人数为40.125人．∴分数在[80，100]之间的频数为32481010---=， ∴分数在[80，100]之间的频率为100.312532=； （2）由（1）知，分数在[80，100]之间有10份，分数在[90，100]之间有0.012510324⨯⨯=份．由题意，X 的取值为0，1，2，3，则363101(0)6C P X C ===，12463101(1)2C C P X C ===，21463103(2)10C C P X C ===，343101(3)30C P X C ===，X ∴的分布列为X 0 1 2 3 P1612310130数学期望1131()0123 1.2621030E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．19．（12分）如图所示，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 是CD 的中点，O 为AE 的中点，以AE 为折痕将ADE ∆向上折起，使D 到P ，且PC PB = （1）求证：PO ⊥面ABCE ．（2）求AC 与面PAB 所成角θ的正弦值．【解答】解：（1）PA PE =，OA OE PO AE =∴⊥（1） 取BC 的中点F ，连OF ，PF ，//OF AB ∴，OF BC ∴⊥ 因为PB PC BC PF =∴⊥，所以BC ⊥面POF 从而BC PO ⊥（2）由（1）（2）可得PO ⊥面ABCE（2）作//OG BC 交AB 于G ，OG OF ⊥如图，建立直角坐标系{,,}OG OF OP u u u r u u u r u u u r，(1,1,0),(1,3,0),(1,3,0),(0,02)(2,4,0),(1,1,2),(0,4,0)A B C P AC AP AB --=-=-=u u u r u u u r u u u r设平面PAB 的法向量为20(,,)(2,0,1)40n AP x y z n x y z n AC n AB y ⎧=-++=⎪=⇒=⎨==⎪⎩u u u r r g r r u u u rr g 与面PAB 所成角θ的正弦值30sin |cos ,|n AC θ=<>=u u ur r20．（12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>过点(0,1)6l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于点Q 、P ，与椭圆分别交于点M 、N ，各点均不重合且满足12,PM MQ PN NQ λλ==u u u u r u u u u r u u u r u u u r．（1）求椭圆的标准方程；（2）若123λλ+=-，试证明：直线l 过定点并求此定点． 【解答】解：（1）由题意可知22216b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得：312a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆的标准方程为：2213x y +=；（2）由题意设(0,)P m ，0(Q x ，0)，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ， 设直线l 的方程为()x t y m =-，由1PM MQ λ=u u u u r u u u u r知，1(x ，1101)(y m x x λ-=-，1)y -，111y m y λ∴-=-，由题意10λ≠，∴111my λ=-， 同理由2PN NQ λ=u u u r u u u r 知，221my λ=-，123λλ∴+=-，1212()0y y m y y ∴++=①，联立方程2233()x y x t y m ⎧+=⎨=-⎩，消去x 得：22222(3)230t y mt y t m +-+-=，∴需△2422244(3)(3)0m t t t m =-+->②，且有212223mt y y t +=+，2212233t m y y t -=+③，把③代入①得：222320t m m mt -+=g ，2()1mt ∴=， 由题意0mt <，1mt ∴=-，满足②式，∴直线l 的方程为1x ty =+，过定点(1,0)，即(1,0)为定点．21．（12分）已知函数21()12f x lnx ax bx =-++的图象在1x =处的切线l 过点1(2，1)2．（1）若函数()()(1)(0)g x f x a x a =-->，求()g x 最大值（用a 表示）； （2）若4a =-，121212()()32f x f x x x x x ++++=，证明：1212x x +…．【解答】解：（1）函数21()12f x lnx ax bx =-++的导数为：1()f x ax b x'=-+， 可得图象在1x =处的切线l 的斜率为1k a b =-+， 切点为1(1,1)2b a +-，由切线经过点1(2，1)2，可得111221112b a a b +---+=-， 化简可得，0b =，则21()12f x lnx ax =-+，21()1(1)(02g x lnx ax a x x =-+-->，0)a >，1(1)(1)()(1)x ax g x ax a x x+-'=---=-， 当10x a <<时，()0g x '>，()g x 递增；当1x a>时，()0g x '<，()g x 递减． 可得1111()()1122max g x g lna lna a a a a==--+-+=-；（2）证明：4a =-时，2()21f x lnx x =++， 121212()()32f x f x x x x x ++++=，可得2211221212212132lnx x lnx x x x x x ++++++++=， 化为2212121212122(2)()()x x x x x x x x ln x x ++++=-， 即有2121212122()()()x x x x x x ln x x +++=-， 令12t x x =，0t >，设()h t t lnt =-，1()1h t t'=-，当1t >时，()0h t '>，()h t 递增；当01t <<时，()0h t '<，()h t 递减．即有()h t 在1t =取得最小值1， 则212122()()1x x x x +++…， 可得1212(1)(221)0x x x x +++-…， 则122210x x +-…， 可得1212x x +…．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为11cos :(sin x C y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），曲线222:12x C y +=．（Ⅰ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）射线(0)6πθρ=…与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的交点为B ，求||AB ．【解答】解：（Ⅰ）曲线11cos :(sin x C y ααα=+⎧⎨=⎩为参数）可化为普通方程：22(1)1x y -+=， 由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为22(1sin )2ρθ+=．（Ⅱ）射线(0)6πθρ=…与曲线1C 的交点A 的极径为12cos6πρ==射线(0)6πθρ=…与曲线2C 的交点B 的极径满足222(1sin )26πρ+=，解得2ρ=，所以12||||AB ρρ=-= [选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知关于x 的不等式|2||3||1|x x m --++…有解，记实数m 的最大值为M ． （1）求M 的值；（2）正数a ，b ，c 满足2a b c M ++=，求证：111a b b c+++…． 【解答】解：（1）由绝对值不等式得|2||3||2(3)|5x x x x --+--+=厔， 若不等式|2||3||1|x x m --++…有解， 则满足|1|5m +„，解得64m -剟．4M ∴=．（2）由（1）知正数a ，b ，c 满足足24a b c ++=，即1[()()]14a b b c +++=∴11111111[()()]()(11)(2414444b c a b a b b c a b b c a b b c a b b c +++=++++=++++⨯=++++++厖， 当且仅当b c a ba b b c++=++即2a b b c +=+=，即a c =，2a b +=时，取等号． ∴111a b b c+++…成立．。
2020年宁夏石嘴山三中高考数学一模试卷(理科)
2020年宁夏石嘴山三中高考数学一模试卷（理科）合题目要求的.C . 4A .若 m// 且 n// ，则 m/ /nB .若 m 且 m n ，贝U n//C .若m 且m// ，则（5分）近年来，随着4G 网络的普及和智能手机的更新换代， 各种方便的app 相继出世,A . {x|1 x, 2}B . {x|1 x3}C .{x|2. x 3}D . {x|1 x（5分）已知复数z （2 ai ）i是纯虚数， 1 i其中 a是实数,则z等于( )A . 2iB . 2iC .iD . i（5分）若 是第二象限角且sin12 ，则tan () ()13 4177177A .B . CD .717717luiruni unr （5分）在 ABC 中， M 为边BC 上任意 占 N 为AM 中占 ANABAC ,)2}2.3.则4.的值为（)、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符1.（5分）已知实数集 、 、 1R ,集合 A {x |1 x 3},集合 B {x | y —} J x 2，则 A GB ）（5.（5分）已知空间两不同直线 n ，两不同平面,下列命题正确的是 （D .若m 不垂直于 ，且n 则m 不垂直于n6.其功能也是五花八门，某大学为了调查在校大学生使用app的主要用途，随机抽取了56290名大学生进行调查，各主要用途与对应人数的结果统计如图所示，现有如下说法：I _______ 战人聊天匚卫匸二I肴社IX、新闻、资讯8 ISft J玩游戏I |看视频*图片5测~I听音乐[ F |找附近的人I 7 290 ]找共同兴趣的人① 可以估计使用app 主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数; ②可以估计不足10%的大学生使用app 主要玩游戏;③可以估计使用app 主要找人聊天的大学生超过总数的 丄 4其中正确的个数为（ )A . 0B . 1C . 2D . 37. （ 5分）已知命题p : 任意x-4，都有log 2 x・・・2 ；命题q : ab ，则有a 2 b 2 .则下列命题为真命题的是（）A . p qB . p ( q)C . ( p) ( q)D . ( p) q& （5分）已知双曲线C的一个焦点为 (0,5), 且与双曲线 2x4y 2 1的渐近线相同，则双曲线C 的标准方程为（)222 22 2A . x 2 y 12x B . y1 C .—y_ ’ y x ’1D . 14420 5 5 20 9 . （5分）己知数列满足印4a 2 703(3n 2)a n4n,贝U a 2a3 a3 a 4a21a 22) 5 355 A .-B .—C .—D .-84422 2 2 210. (5 分)已知圆 G ：(x 1) (y 1)1,圆 C 2：(x 4) (y 5)9 •点 M 、N 分别是C . 7N 分别是棱BC , CD 的中点，下面四个结论: ① AC BD ; ②MN / /平面ABD ;③三棱锥A CMN 的体积的最大值为 ;12④AD 与BC 一定不垂直.其中所有正确命题的序号是 （ ）圆G 、圆C 2上的动点,P 为x 轴上的动点，则 |PN | |PM|的最大值是（11. （ 5分）在三棱锥DABC 中，AB BCCD DA 1, 且 AB BC , CD DA , M ,A .①②③B .②③④C.①④①②④12. （5分）定义在R上的函数f（x）满足f（ x）f（x）,且对任意的不相等的实数)有f (X1)——f (x2)0成立，若关于x 的不等式f(2mx Inx 3)…2f ( 3 ) X i X 2f( 2mx Inx 3)在x ［1 , 3］上恒成立，则实数 m 的取值范围(A •［丄,1 鸣B . ［1 , 2 巴］C . ［1 , 2 四］ 2e 6 e 3 e3、填空题：本大题共 4小题，每小题5分.7513. (5分)在(3 x)的展开式中，x 的系数是14. (5分)已知数列｛a n ｝满足：点(n, aj 在直线2x y 1 0上，若使a 1、a 4、a m 构成等比数列，贝U m _____ . 1 315.(5分)已知函数 f(x) 4si nx x 在x 0处的切线与直线 n x y 6 0平行，则n 3为 ____ .16. (5分)定义在R 上的偶函数f (x)满足f(e x) f (e x)，且f (0) 0,当x (0 , e ］时，1 f (x) Inx .已知方程f (x)sin( x)在区间［e , 3e ］上所有的实数根之和为3ea .将函2 2e数g(x) 3sin 2( x) 1的图象向右平移a 个单位长度，得到函数h(x)的图象，则a ______________ , h4 (8) _.三、解答题： (本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. (12分)高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发 展.据统计，在 2018年这一年内从 A 市到B 市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次.为了解乘客出行的满意度， 现从中随机抽取100人次作为样本，得到如表(单位：人次)In3 "6"(用数字作答)意)(1)在样本中任取1个，求这个出行人恰好不是青年人的概率；(2)在2018年从A市到B市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取2人次，记其中老年人出行的人次为X .以频率作为概率，求X的分布列和数学期望；(3)如果甲将要从A市出发到B市，那么根据表格中的数据，你建议甲是乘坐高铁还是飞机？并说明理由.18. (12分)设ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c .设S为ABC的面积，满足S -^(a2c2 b2).4(I)求B ;(H)若b 3，求(3 1)a 2c的最大值.19 . ( 12分)如图1 ,已知四边形BCDE为直角梯形，B 90 , BE //CD ,且BE 2CD 2BC 2 , A为BE的中点.将EDA沿AD折到PDA位置(如图2)，连结(H)若PA 平面ABCD .①求二面角B PC D的大小；②在棱PC上存在点M，满足PM1PC(0剟1)，使得直线AM与平面PBC所成的角为45，求的值.x2v2120. (12分)已知椭圆C:二21(a b 0)的焦点为F , F2，离心率为—，点P为椭圆a b 2C上一动点，且△ PF F2的面积最大值为 3 , O为坐标原点.(I)求椭圆C的方程；(2)设点M (N , yj , N(X2 , V2)为椭圆C上的两个动点，当X/2 为多少时，点O到。
2020年宁夏高考数学(理科)模拟试卷(6)
里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人．已知：
① 甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；
② 乙不在原始森林，也不在远古村寨；
③ “丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件；
第 1页（共 20页）
④ 丁不在百里绝壁，也不在远古村寨．
若以上语句都正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（
）
A ．f（x）的图象关于 ??= - 1?2?对称
B ． f（ x）在 [0， π]上有 2 个零点
C． f（ x）在区间
(
?3?，
5?? 6)
上单调递减
11??
D ．函数 f（ x）图象向右平移
个单位，所得图象对应的函数为奇函数
6
8．（ 5 分）甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百
2
2
）
√5 A．
2
√5 B．- 2
√6 C．
2
√6 D．- 2
【解答】 解：因为 ??????-(?2???)= - 1，所以 ??????=2?-? 1 ，2?????????=??-??1?，??
2
2
2
所以（ sinα﹣ cosα）2＝ 1-2??????????=??32?，???
又 ??∈(- ?2?， 0) ，
所以外接球的表面积为： 4π×( √13) 2 = 52π．
故选： C．
6．（ 5 分）数列 { an} 是公差为 2 的等差数列， Sn 为其前 n 项和，且 a1，a4，a13 成等比数列，
李村这个结算年度每人次用于门诊实付费用（报销后个人应承担部分）
X 的分布列与期
望．
20．（12 分）在直角坐标系 xOy 中，已知点 P（ 1，0），若以线段 PQ 为直径的圆与 y 轴相切．
2020年宁夏吴忠市高考数学一模试卷(理科)(含答案解析)
2020年宁夏吴忠市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集为R，集合，，则A. B. C. D.2.已知为虚数单位，则复数A. B. C. D.3.已知向量，，则“”是“”成立的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知变量x，y满足约束条件则的最大值为A. 1B. 2C. 3D. 45.从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为A. 48B. 72C. 90D. 966.如图，圆O：内的正弦曲线与x轴围成的区域记为图中阴影部分，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是A.B.C.D.7.九章算术中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马”，马主曰：“我马食半牛”，今欲衰偿之，问各处儿何？其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛一半”若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿A. 斗粟B. 斗粟C. 斗粟D. 斗粟8.函数的部分图象如图所示，则的值为A. B. C. D.9.我国南宋著名数学家秦九韶发现了三角形三边求三角形面积的“三斜求积公式”，设三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积公式”为若，，则用“三斜求积公式”求得的A. B. C. D.10.已知正三棱柱中，底面积为，一个侧面的周长为，则正三棱柱外接球的表面积为A. B. C. D.11.设、是双曲线的左、右焦点，P是双曲线右支上一点，满足为坐标原点，且，则双曲线的离心率为A. 2B.C.D. 512.函数的定义域为D，若满足：在D内是单调函数；存在使得在上的值域为，则称函数为“成功函数”．若函数是“成功函数”，则t的取值范围为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.的展开式中的常数项为______．14.已知，且，则的值为______ ．15.设直线与圆C：相交于A，B两点，若，则圆C的面积为________．16.已知定义在R上的函数满足恒成立，且为自然对数的底数，则不等式的解集为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，角AB，C的对边分别为a，b，c，已知．求证：；若，的面积为，求b．18.随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化，某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店，5名女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店．Ⅰ若从这10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率；Ⅱ若从这10名购物者中随机抽取3名，设X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求随机变量X的分布列及数学期望．19.如图，矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直，，G为BE的中点．Ⅰ求证：平面ADF；Ⅱ若，求二面角的余弦值．20.设函数．若曲线在点处的切线与直线垂直，求的单调性和极小值其中e为自然对数的底数；若对任意的，恒成立，求k的取值范围．21.已知椭圆C：的左、右焦点为，，离心率为，点P为其上一动点，且三角形的面积的最大值为，O为坐标原点．求椭圆C的方程；若点M，N为C上的两个动点，使时，求证点O到直线MN的距离为定值，并求这个定值．22.在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为为参数，在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；设直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P是圆C上任一点，求A，B两点的极坐标和面积的最小值．23.已知函数．Ⅰ解不等式；Ⅱ若关于x的不等式的解集为R，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查了集合的运算问题，是基础题．根据补集、交集的定义即可求出．【解答】解：，，，，故选B．2.答案：D解析：【分析】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，求得z的值．【解答】解：已知为虚数单位，，故选：D．3.答案：A解析：解：由，可得：，解得，“”是“”成立的充分不必要条件．故选：A．由，可得：，解得m，即可判断出结论、本题考查了向量共线定理、方程的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.答案：B解析：解：作图易知可行域为一个三角形，其三个顶点为，，，验证知在点时取得最大值2当直线过点时，z最大是2，故选：B．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．本小题是考查线性规划问题，本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．5.答案：D解析：【分析】本题考查排列和计数原理的实际应用，注意优先考虑特殊元素，属于中档题．根据题意，分两种情况讨论选出参加竞赛的4人，选出的4人没有甲，选出的4人有甲，分别求出每一种情况下的参赛方案种数，由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，从5名学生中选出4名分别参加竞赛，分两种情况讨论：选出的4人没有甲，即选出其他4人即可，有种参赛方案；选出的4人有甲，由于甲不能参加生物竞赛，则甲有3种选法，在剩余4人中任选3人，参加剩下的三科竞赛，有种参赛方案，则此时共有种参赛方案；则有种不同的参赛方案．故选D．6.答案：B解析：解：构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为正弦曲线与x轴围成的区域记为M，根据图形的对称性得：面积为，由几何概率的计算公式可得，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率故选：B．先求构成试验的全部区域为圆内的区域的面积，再利用积分知识可得正弦曲线与x轴围成的区域记为M的面积为，代入几何概率的计算公式可求．本题主要考查了利用积分求解曲面的面积，几何概率的计算公式的运用，属于中档试题，具有一定的综合性．7.答案：D解析：解：由题意可知x，y，z依次成公比为的等比数列，则，解得，则，羊的主人应赔偿斗粟；牛主人比羊主人多赔偿斗粟，故选：D．由题意可知z，y，z依次成公比为的等比数列，根据等比数列的性质及求和公式即可求得答案．本题考查等比数列的性质与前n项和，属于基础题．8.答案：D解析：解：由函数的部分图象知，，，解得；再由五点法作图可得，解得；，．故选：D．由函数的部分图象以及五点法作图，求出的解析式，再计算的值．本题考查了函数的图象与性质的应用问题，是基础题．9.答案：D解析：【分析】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．根据正弦定理：由得，则由得，利用公式可得结论．【解答】解：根据正弦定理：由，得，由，可得，则，即，．故选：D．10.答案：C解析：解：正三棱柱中，底面积为，一个侧面的周长为，故正三棱柱的底面边长为，侧棱长为；得底面所在平面截其外接球所成的圆O的半径；又由正三棱柱的侧棱长为，则球心到圆O的球心距，根据球心距，截面圆半径，球半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们易得球半径R满足：，，外接球的表面积．故选：C．根据三棱柱的底面边长及高，先得出棱柱底面外接圆的半径及球心距，进而求出三棱柱外接球的球半径，代入球的表面积公式即可得到棱柱的外接球的表面积．本题考查的是棱柱的几何特征及球的体积和表面积，考查数形结合思想、化归与转化思想，其中根据已知求出三棱柱的外接球半径是解答本题的关键．11.答案：D解析：解：设的中点为A，则，若，即，是的中位线，，且，，，，即，则，在直角中，，，即，则，则离心率，故选：D根据得到是直角三角形，根据双曲线的定义结合直角三角形的勾股定理建立方程关系进行求解即可．本题主要考查双曲线离心率的计算，根据向量数量积的应用判断三角形是直角三角形是解决本题的关键．12.答案：D解析：【分析】本题考查函数的值域的求法，解题的关键是正确理解“成功函数”，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．由是“成功函数”，知在其定义域内为增函数，，故，由此能求出t的取值范围．【解答】解：是“成功函数”，在其定义域内为增函数，，，，令，有两个不同的正数根，解得故选：D．13.答案：解析：解：二项式的展开式的通项公式为，令，求得，故开式中含常数项系数为，故答案为：．先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得含常数项的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．14.答案：解析：解：，即，，故答案为：．由条件利用二倍角的余弦公式、两角和的正弦公式，求得要求式子的值．本题主要考查二倍角的余弦公式、两角和的正弦公式的应用，属于基础题．15.答案：解析：【分析】本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，点到直线的距离公式，属于基础题．圆C：的圆心坐标为，半径为，利用垂径定理，求出a值，进而求出圆半径，可得圆的面积．【解答】解：圆C：的圆心坐标为，半径为，直线与圆C：相交于A，B两点，且，圆心到直线的距离，，解得：，故圆的半径．故圆的面积，故答案为．16.答案：解析：【分析】令，从而求导，从而由导数求解不等式．本题考查了导数的综合应用及利用函数求解不等式，属于中档题．【解答】解：定义在R上的函数满足恒成立，令，则，故F是R上的单调增函数，而，不等式等价于，，即，所以，故不等式的解集为；故答案为．17.答案：证明：已知．由正弦定理可得：，可得：，．，的面积为，，解得：．由余弦定理可得：，，由于，可得：，解得：．解析：首先利用三角函数关系式的恒等变换，再利用正弦定理求出结论．利用三角形的面积公式和的结论，进一步利用余弦定理求出b的值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用，三角形面积公式的应用．18.答案：解：Ⅰ设“至少1名倾向于选择实体店”为事件A，则表示事件“随机抽取2名，其中男、女各一名都选择网购”，则．Ⅱ的取值为0，1，2，，，，，．X0123P．解析：Ⅰ设“至少1名倾向于选择实体店”为事件A，则表示事件“随机抽取2名，其中男、女各一名都选择网购”，则．Ⅱ的取值为0，1，2，，即可得出．本题考查了对立与互相独立事件概率计算公式、超几何分布列与数学期望、组合计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.答案：Ⅰ证明：矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直，，平面平面，平面ABCD，平面ABEF，平面ABEF，，菱形ABEF中，，则为等边三角形，G为BE的中点．，又，得．，平面平面ADF，平面ADF；Ⅱ解：由Ⅰ可知AD，AF，AG两两垂直，如图所示以A为坐标原点，AG为x轴，AF为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系，设，则，故A0，，，0，，，则，，，设平面ACD的法向量，由，取，得，设平面ACG的法向量，由，取，得，设二面角的平面角为，由图可知为钝角，则，二面角的余弦值为．解析：本题考查直线与平面垂直的判定，利用空间向量求解二面角，属于中档题．Ⅰ由已知矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直，，由面面垂直的性质可得平面ABEF，进一步得到，再由已知证得，则平面ADF；Ⅱ由Ⅰ可知AD，AF，AG两两垂直，以A为原点，AG为x轴，AF为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面ACD与平面ACG的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．20.答案：解：，，由题意可得，，即，，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故当时，函数取得极小值，令，，由，恒成立可得，所以即在上单调递减，在上恒成立，故在上恒成立，结合二次函数的性质可知，，故k的范围解析：先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求k，结合导数与单调性及极值的关系可求；构造函数，，由，恒成立可得，即即在上单调递减，结合导数与单调性关系可求．本题主要考查了导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性及极值，求出参数范围问题，体现了转化思想的应用．21.答案：解：由题意可得，当P为椭圆的短轴的顶点时，三角形的面积的最大，所以，即，所以解得：，，所以椭圆的方程为：；证明：当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为，设，，直线MN与椭圆的方程联立，整理可得：，，即，，，所以，因为，所以，即，可得，，符合，O到直线MN的距离将代入可得为定值，当直线MN的斜率不存在时，设直线MN的方程为：，，代入椭圆的方程：，由因为，所以可得，解得，即，所以O到直线MN的距离为：，综上所述：O到直线MN的距离为定值，且定值为．解析：由题意可得P为短轴的顶点时，三角形的面积的最大，求出面积，由题意可得b，c的关系，再由离心率及a，b，c之间的关系求出a，b的值，进而求出椭圆的方程；分直线MN的斜率存在和不存在两种情况，当直线MN的斜率存在时设直线MN的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，由，所以，可得参数之间的关系，求出O到直线MN的距离可得为定值，斜率不存在时也可得O到直线MN的距离为定值．本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，及原点到直线的距离恒为定值的证明方法，属于中档题．22.答案：解：由为参数，消去参数t，得圆C的普通方程．由，得，所以直线l的直角坐标方程为．直线l与x轴，y轴的交点为，，化为极坐标为，，设P点的坐标为，点到直线l的距离为，，则面积的最小值是．解析：由圆C的参数方程消去t得到圆C的普通方程，由直线l的极坐标方程，利用两角和与差的余弦函数公式化简，根据，转化为直角坐标方程即可；直线l与x轴，y轴的交点为，，化为极坐标，并求出的长，根据P在圆C 上，设出P坐标，利用点到直线的距离公式表示出P到直线l的距离，利用余弦函数的值域确定出最小值，即可确定出三角形PAB面积的最小值．此题考查了圆的参数方程，以及简单曲线的极坐标方程，熟练掌握参数方程与普通方程间的转换是解本题的关键．23.答案：解：Ⅰ不等式，即为，当时，，解得，即；当时，，解得，即；当时，，解得，即，综上可得原不等式的解集为或；Ⅱ关于x的不等式的解集为R，即有的最大值，由，当且仅当时，等号成立，可得，解得或．所以实数a的取值范围是解析：本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值不等式的性质，不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和化简运算能力，属于中档题．Ⅰ讨论当时，当时，当时，去掉绝对值，解不等式求并集，即可得到所求解集；Ⅱ由题意可得的最大值，运用绝对值不等式的性质可得最大值，由二次不等式的解法可得a的范围．。
2020届宁夏银川高考第二次模拟考试数学(理)模拟试题有答案(加精)
普通高等学校招生全国统一考试理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～23题为选考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内(黑色线框)作答,写在草稿纸上、超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．复数2(1)i i-=A ．22i -+B ．2C ．2-D ．22i -2．设集合2{|0}M x x x =->，1|1N x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则 A ．φ=⋂N M B ．φ=⋃N MC ．M N =D ．M N R =U3．已知1tan 2α=-，且(0,)απ∈，则sin 2α= A ．45B ．45-C ．35 D ．35-4．若两个单位向量a r ，b r 的夹角为120o，则2a b +=r rA ．2B ．3CD 5．从标有数字1、2、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张(取后不放回)，则在第一次抽到卡片是奇数的情况下，第二次抽到卡片是偶数的概率为 A ．14B ．12C ．13D ．236．已知233a -=，432b -=，ln3c =，则A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．b a c <<7．中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的一条渐近线经过点()2,4-，则它的离心率为A 5B ．2C 3D 58．三棱锥P-ABC 中，PA ⊥面ABC ，PA=2，AB=AC=3，∠BAC=60°，则该棱锥的外接球的表面积是A ．π12B ．π8C ．π38D ．π349．20世纪70年代，流行一种游戏——角谷猜想，规则如下：任意写出一个自然数n ，按照以下的规律进行变换：如果n 是个奇数，则下一步变成31n +；如果n 是个偶数，则下一步变成2n，这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字，最后必然会落在谷底，更准确地说是落入底部的4-2-1循环，而永远也跳不出这个圈子，下列程序框图就是根据这个游戏而设 计的，如果输出的i 值为6，则输入的n 值为 A ．5B ．16C ．5或32D ．4或5或32 10．已知P 是△ABC 所在平面外的一点，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，若MN ＝BC ＝4，PA ＝43， 则异面直线PA 与MN 所成角的大小是A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 11．若将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)＋3cos(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象向左平移π4个单位长度，平移后的图象关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称，则函数g (x )＝cos(x ＋φ)在⎣⎡⎦⎤－π2，π6上的最小值是A ．－12B ．－32C ．22D ．1212．已知函数f (x )＝(3x ＋1)e x ＋1＋mx (m ≥－4e)，若有且仅有两个整数使得f (x )≤0，则实数m 的取值范围是A ．⎥⎦⎤⎝⎛2,5e B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡--238,25e e C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡--238,21e D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡--ee 25,4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答．1 2 3 4 5 6月份代码x市场占有率y(%)2016年10月2016年11月2016年12月2017年1月2017年2月2017年3月20 15 5 10 25 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知函数f (x )＝log 21－x 1＋x ，若f (a )＝12，则f (－a )＝________．14．设221(32)a x x dx =⎰-，则二项式261()ax x-展开式中的第6项的系数为__________． 15．若目标函数2z kx y =+在约束条件2122x y x y y x -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩下当且仅当在点(1,1)处取得最小值，则实数k 的取值范围是__________．16．已知点A (0,1)，抛物线C ：y 2＝ax (a >0)的焦点为F ，连接FA ，与抛物线C 相交于点M ，延长FA ，与抛物线C 的准线相交于点N ，若|FM |∶|MN |＝1∶3，则实数a 的值为________． 三．解答题17．（本小题满分12分）{a n }的前n 项和S n 满足：a n +S n =1 (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若1+=n nn a a C ，数列{C n }的前n 项和为T n ，求证：T n <1． 18．（本小题满分12分）随着互联网的快速发展，基 于互联网的共享单车应运而生， 某市场研究人员为了了解共享单 车运营公司M 的经营状况，对 该公司最近六个月的市场占有 率进行了统计，并绘制了相应 的折线图：（1）由折线图可以看出， 可用线性回归模型拟合月度市场占 有率y 与月份代码x 之间的关系， 求y 关于x 的线性回归方程，并 预测M 公司2017年4月的市场占 有率；（2）为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车，现有采购成本分别为1000元/辆和 1200元/辆的A 、B 两款车型可供选择，按规定每辆单车最 多使用4年，但由于多种原因(如骑行频率等)会导致单车使 用寿命各不相同，考虑到公司运营的经济效益，该公司决定 先对这两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命的频数表如右表：经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元，不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且以频率作为每辆单车使用寿命的概率，如果你是M 公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？ 参考公式：回归直线方程为$$y bxa =+$，其中2121121)())((ˆx n xyx n y xx xy y x xb n i ini i in i ii ni i--=---=∑∑∑∑====，$ay bx =-$． 19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，∠BCD =135°，侧面PAB ⊥底面ABCD ，∠BAP =90°，AB =AC =PA =2，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，点M 在线段PD 上．（1）求证：EF ⊥平面PAC ；（2）如果直线ME 与平面PBC 所成的角和直线ME 与平 面ABCD 所成的角相等，求PDPM的值． 20．（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形(记为Q )(1)求椭圆C 的方程；(2)设点P 是直线x =－4与x 轴的交点，过点P 的直线l 与椭圆C 相交于M 、N 两点，当线段MN 的中点落在正方形Q 内（包括边界）时，求直线l 斜率的取值范围． 21．（本小题满分12分）已知函数()()()21,ln f x x ax g x x a a R =++=-∈．(1)当1a =时，求函数()()()h x f x g x =-的极值；(2)若存在与函数()(),f x g x 的图象都相切的直线，求实数a 的取值范围．请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．【选修4-4：坐标系与参数方程】(本小题满分10分)在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：2sin 2cos (0)a a ρθθ=>，过点(24)P --，的直线l 的参数方程为：22224x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ (t 为参数)，直线l 与曲线C 分别交于M 、N 两点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；(2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求a 的值 23选修4－5：不等式选讲(本小题满分10分)已知函数|1|||)(--=x x x f ．(1)若|1|)(-≥m x f 的解集非空，求实数m 的取值范围；(2)若正数y x ,满足M y x =+22，M 为（1）中m 可取到的最大值，求证：xy y x 2≥+．银川一中高三第二次模拟理科数学试题参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CCBDBDABCADB二．填空题：13. —2114.—24; 15.24<<-k ; 16. 212．已知函数f (x )＝(3x ＋1)e x ＋1＋mx (m ≥－4e)，若有且仅有两个整数使得f (x )≤0，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤5e ，2B.⎣⎡⎭⎫－52e ，－83e 2C.⎣⎡⎭⎫－12，－83e 2D.⎣⎡⎭⎫－4e ，－52e 答案 B解析 由f (x )≤0，得(3x ＋1)·e x ＋1＋mx ≤0，即 mx ≤－(3x ＋1)e x ＋1，设g(x )＝mx ，h(x )＝－(3x ＋1)e x ＋1，则h′(x )＝－[3e x ＋1＋(3x ＋1)e x ＋1]＝－(3x ＋4)e x ＋1，由h′(x )>0，得－(3x ＋4)>0，即x <－43，由h′(x )<0， 得－(3x ＋4)<0，即x >－43，故当x ＝－43时，函数h(x ) 取得极大值．在同一平面直角坐标系中作出y ＝h(x )， y ＝g(x )的大致图象如图所示，当m ≥0时，满足 g(x )≤h(x )的整数解超过两个，不满足条件；当m <0时， 要使g(x )≤h(x )的整数解只有两个，则需满足()()()()⎩⎨⎧-<--≥-,33,22g h g h即⎩⎪⎨⎪⎧5e －1≥－2m ，8e －2<－3m ，即⎩⎨⎧m ≥－52e ，m <－83e 2，即－52e ≤m <－83e 2，即实数m 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡--238,25ee ，故选B.16已知点A (0,1)，抛物线C ：y 2＝ax (a >0)的焦点为F ，连接FA ，与抛物线C 相交于点M ，延长FA ，与抛物线C 的准线相交于点N ，若|FM |∶|MN |＝1∶3，则实数a 的值为________．答案2解析 依题意得焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，设M 在抛物线的准线上的射影为K ，连接MK ，由抛物线的定义知|MF |＝|MK |，因为|FM |∶|MN |＝1∶3，所以|KN |∶|KM |＝22∶1，又k FN ＝0－1a 4－0＝－4a ，k FN ＝－|KN ||KM |＝－22，所以4a ＝22，解得a ＝ 2.三．解答题：17.解析：(1)由a n +S n =1得a n -1+S n -1=1(n ≥2) 两式相减可得：2a n =a n -1即211=-n n a a ，又211=a ∴{a n }为等比数列，∴a n =n )21( (2)n n n nn C 211211)21()21(<+=+= 故12112112112121212121321<-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛<++++=n n nn n C C C C T ΛΛ18.解：(1)由题意： 3.5x =，16y =，()()6135i i i x x y y =--=∑，()62117.5i i x x=-=∑，35217.5b ==$，$162 3.59a y b x =-⋅=-⨯=$，∴$29y x =+， 7x =时，$27923y =⨯+=.即预测M 公司2017年4月份(即7x =时)的市场占有率为23%.(2)由频率估计概率，每辆A 款车可使用1年，2年，3年，4年的概率分别为0.2、0.35、0.35、0.1， ∴每辆A 款车的利润数学期望为()()()()50010000.2100010000.35150010000.35200010000.1175-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=(元)每辆B 款车可使用1年，2年，3年，4年的概率分别为0.1，0.3，0.4，0.2， ∴每辆B 款车的利润数学利润为()()()()50012000.1100012000.3150012000.4200012000.2150-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=(元)∵175150>， ∴应该采购A 款车. 19.(1）证明：在平行四边形中，因为，， 所以．由分别为的中点，得，所以．因为侧面底面，且，所以底面．又因为底面，所以．又因为，平面，平面，所以平面．（2）解：因为底面，，所以两两垂直，以分别为、、，建立空间直角坐标系，则，所以，，，设，则，所以，，易得平面的法向量．设平面的法向量为，由，，得令，得．因为直线与平面所成的角和此直线与平面所成的角相等， 所以，即，所以，解得，或（舍）．综上所得：20.【解析】（1）依题意，设椭圆C 的方程为)0(12222>>=+b a by a x ，焦距为c 2。
2020年宁夏银川市高考数学模拟试卷(理科)(4月份) (含答案解析)
2020年宁夏银川市高考数学模拟试卷(理科)(4月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2−2x−3≥0}，B={x∈Z|−2≤x<2}，则A∩B=()A. [−2,−1]B. [−1,2)C. {−2,−1}D. {−1,2}2.已知复数z=1+i，则z21−z=()A. 2B. −2C. 2iD. −2i3.为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为m e，众数为m o，平均值为x，则()A. m e=m o=xB. m e=m o<xC. m e<m o<xD. m o<m e<x4.已知双曲线C的一条渐近线的方程是：y=2x，且该双曲线C经过点(√2,2)，则双曲线C的方程是()A. 2x27−y214=1 B. 2y27−x214=1 C. y2−x24=1 D. x2−y24=15.若1a <1b<0，则下列不等式：①a+b<ab；②|a|>|b|；③a<b；④ab<b2.其中正确的不等式有()A. ①②B. ②③C. ①④D. ③④6.已知a，b是两条不同的直线，且b⊂平面α，则“a⊥b”是“a⊥α”的()A. 充分且不必要条件B. 必要且不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.若cos2α=78，α∈(3π4,π)，则sinα等于()A. 316B. 14C. √158D. 348. 已知△ABC 是边长为1的等边三角形，则(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(3BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −4AC⃗⃗⃗⃗⃗ )=( ) A. −132B. −112C. −6−√32 D. −6+√329. 若函数f(x)为R 上的偶函数，且f(2)=3，则f(−2)=( )A. −3B. 3C. 2D. −210. 将函数y =3sin(2x −π4)的图象向左平移16个周期(即最小正周期)后，所得图象对应的函数为( )A. y =3sin(2x +π12) B. y =3sin(2x +7π12) C. y =3sin(2x −π12)D. y =3sin(2x −7π12)11. 若一个圆锥与一个球的体积相等，且圆锥的底面半径是球的半径的3倍，则圆锥的高与球的半径之比为( )A. 4:9B. 9:4C. 4:27D. 27:412. 已知函数f(x)=xe x−1−a ，则下列说法正确的是( )A. 当a <0时，f(x)有两个零点B. 当a =0时，f(x)无零点C. 当0<a <1时，f(x)有小于1的零点D. 当a >1时，f(x)有大于a 的零点二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在含甲、乙的6名学生中任选2人去执行一项任务，则甲被选中、乙没有被选中的概率为______． 14. 若锐角△ABC 的面积为10√3，且AB =5，AC =8，则BC 等于________．15. 已知焦点为F 的抛物线y 2=2px(p >0)上有一点A(m,2√2)，以A 为圆心，AF 为半径的圆被y轴截得的弦长为2√5，则m = ______ ．16. 函数f(x)=lnx +1点(1,1)处的切线方程为_________． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 如图是某企业2012年至2018年的污水净化量(单位：吨)的折线图．注：年份代码1～7分别对应年份2012～2018．(1)建立y 关于t 的回归方程，预测2019年该企业的污水净化量； (2)请用数据说明回归方程预报的效果．参考数据：y −=54；∑(7i=1t i −t −)(y i −y −)=21,∑(7i=1y i −y ∧)=94参考公式：线性回归方程：y ∧=b ∧t +a ∧；b ∧=∑(7i=1t i −t)(y i −y)∑(7i=1t i −t)2,y −=bt −+a.反映回归效果的公式为：R 2=1−∑(y i −y i ∧)2n i=1∑(y i −y −)2n i=118. 在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点．(1)求证：EF//平面A1DC1；(2)若AA1=2√3，求平面A1DC1与平面B1EF所成二面角的正弦值．19.设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，a2=2，且S n+2=3S n+3．(1)求{a n}的通项公式；(2)求S2n．20.已知a∈R，f(x)=(x2−4)(x−a)．(1)若f′(−1)=0，试求出f(x)的极大值和极小值；(2)若函数f(x)在[−1,1]上为减函数，试求实数a的取值范围．21. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)的焦距为2，过右焦点F 的直线交椭圆于A ，B 两点，当l 与x 轴垂直时，AB 长为4√33.(1)求椭圆的标准方程；(2)若椭圆上存在一点P ，使得OP⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线的斜率．22. 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 1的极坐标方程为ρsin (θ+π4)=2√2，0≤θ≤π2，曲线C 2的参数方程为{x =t +2t−1y =t −2t +1(t 为参数)． (1)将曲线C 1的极坐标方程、C 2的参数方程化为普通方程；(2)设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程．23.设函数f(x)=|x−2|+|2x−a|．(Ⅰ)当a=1时，求不等式f(x)≥3的解集；(Ⅱ)当f(x)=|x−a+2|时，求实数x的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：解：A={x|x≤−1，或x≥3}，B={−2,−1,0，1}；∴A∩B={−2,−1}．故选：C．可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.答案：B解析：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．利用复数的运算法则即可得出．解：∵复数z=1+i，∴z21−z =(1+i)21−(1+i)=−2ii=−2，故选：B．3.答案：D解析：由图可知，30名学生的得分情况依次为：2个人得3分，3个人得4分，10个人得5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10分．中位数为第15个数和第16个数(分别为5,6)的平均数，即m o<m e<x，5出现次数最多，故m o=5，x=2×3+3×4+10×5+6×6+3×7+2×8+2×9+2×1030≈5.97.于是得m o<m e<x.故选D.4.答案：D解析：解：由题可设双曲线的方程为：y2−4x2=λ，将点(√2,2)代入，可得λ=−4，整理即可得双曲线的方程为x2−y24=1．故选：D．设出双曲线方程代入点的坐标，然后求解双曲线方程即可．本题考查双曲线的简单性质的应用以及双曲线方程的求法，考查计算能力．5.答案：C解析：解：∵1a <1b<0，∴b<a<0．则下列不等式：①a+b<0<ab，正确；②|a|>|b|，不正确；③a<b，不正确；④ab<b2，正确．正确的不等式有①④．故选：C．由1a <1b<0，可得b<a<0.再利用不等式的基本性质即可得出．本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.答案：B解析：解：若a⊥b，则a不一定垂直于α，不是充分条件，若a⊥α，则a⊥b，是必要条件，故选B．本题考查了充分必要条件，考查了直线和平面的判定定理，是一道基础题，根据充分必要条件的定义分别判断其充分性和必要性即可．7.答案：B解析：解：cos2α=1−2sin2α=78，∴sin2α=116，∵α∈(3π4,π)，∴sinα=14，故选：B．利用余弦的二倍角公式展开求得sinα的值．本题主要考查了余弦的二倍角公式的应用，属基础题．8.答案：B解析：解：(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(3BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −4AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −4AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −6BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+8BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3×1×1×cos120°−4×1×1×cos60°−6×12+8×1×1×cos60° =−32−2−6+4=−112． 故选：B ． 将式子展开计算．本题考查了平面向量的数量积运算，判断各向量的夹角是关键．9.答案：B解析：本题主要考查了函数的奇偶性，属于基础题．解：∵f(x)为R 上的偶函数，∴f(x)=f(−x)，∴f(2)=f(−2)=3， 故选B ．10.答案：A解析：本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题． 由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论．解：函数y =3sin(2x −π4)的周期为2π2=π，把它的图象向左平移16个周期，即把它的图象向左平移π6， 所得图象对应的函数为y =3sin(2x +π3−π4)=3sin(2x +π12)， 故选A ．11.答案：A解析：本题考查圆锥与球的体积．设出球的半径和圆锥的高，根据条件列出等式，即可得比例关系解：设球的半径为r，圆锥的高为h，则13π(3r)2ℎ=43πr3，可得ℎ:r=4:9．12.答案：C解析：解：由题意令g(x)=xe x−1，则g′(x)=e x−1+xe x−1，函数g(x)在(−∞,−1)上单调递减，(−1,+∞)上单调递增，g(−1)=−1，且x→−∞时，g(x)→0，∴当0<a<1时，函数g(x)与y=a的交点在(0,1)，即f(x)有小于1的零点，故选：C．由题意可令g(x)=xe x−1，确定函数的单调性，作出函数的图象，即可得出结论．本题主要考查了函数的求导，考查数形结合的数学思想，正确转化是关键．13.答案：415解析：本题考查概率的求法，考查古典概型概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．基本事件总数n=15，甲被选中、乙没有被选中包含的基本事件个数m=4，由此能求出甲被选中、乙没有被选中的概率．解：在含甲、乙的6名学生中任选2人去执行一项任务，用A，B，C，D表示除甲，乙以外的4名学生，基本事件总数有(甲，乙)，(甲，A)，(甲，B)，(甲，C)，(甲，D)，(乙，A)，(乙，B)，(乙，C)，(乙，D)，(A,B)，(A,C)，(A,D)，(B,C)，(B,D)，(C,D)共15种情况，甲被选中、乙没有被选中包含的基本事件个数有4种，∴甲被选中、乙没有被选中的概率为p=4．15．故答案为：41514.答案：7解析：本题考查了三角形的面积和解三角形，利用三角形的面积求出cos A是求解关键，属于基础题．解：设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．由已知及bcsin A=10得sin A=，因为A为锐角，所以A=60°，cos A=，由余弦定理得a2=b2+c2−2bccos A=25+64−2×40×=49，故a=7，即BC=7．故答案为7．15.答案：2解析：本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、直线与圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．.根据以A为圆心，AF为半径的圆被y轴截得的弦长为2√5，可得由抛物线定义可得：|AF|=m+p2)2.又(2√2)2=2pm，联立解出即可得出．(√5)2+m2=(m+p2解：由抛物线定义可得：|AF|=m+p，2∵以A为圆心，AF为半径的圆被y轴截得的弦长为2√5，∴(√5)2+m2=(m+p)2．2又(2√2)2=2pm ，联立解得p =2，m =2．故答案为：2．16.答案：y =x解析：本题考查导数的几何意义，是基本知识的考查．求出函数的导数，计算f′(1)，求出切线方程即可．解：函数f(x)=lnx +1，可得f′(x)=1x ，故f(1)=1，f′(1)=1．函数f(x)=lnx +1在点(1,1)处的切线方程为：y −1=x −1，即y =x ．故切线方程是y =x ；故答案为：y =x ．17.答案：解：(1)根据题目中数据可求得：t =4，∑(7i=1t i −t)2=28，∴b ̂=7i=1i −t)(y i −y)∑ 7i=1(t −t)2=2128=34，又y =54， ∴a ̂=y −b ̂ t =54−34×4=51， ∴y 关于t 的线性回归方程为y ̂=b ̂t +a ̂=34t +51． 将2019年对应的t =8代入得y ̂=34×8+51=57，所以预测2019年该企业污水净化量约为57吨． (2)根据题目中数据可求得∑(7i=1y i −y)2=18， 因为R 2=1−7i=1i i 2∑ 7(y −y)2 =1−94×118=1−18=78=0.875，这说明回归方程预报的效果是良好的．解析：本题主要考查回归直线的求法，属于基础题．(1)根据已知数据，求出回归系数，可得到回归方程，2019年对应的t 值为8，代入即可预测2019年该企业的污水净化量．(2)求出R 2，越接近于1说明效果越好．18.答案：证明：(1)连接AC ，∵E ，F 分别为AB ，BC 的中点，∴EF//AC∵长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AA 1=CC 1，AA 1//CC 1，∴四边形ACC 1A 1是平行四边形，∴AC//A 1C 1，∴EF//A 1C 1∵EF ⊄平面A 1DC 1，A 1C 1⊂平面A 1DC 1，∴EF//平面A 1DC 1解：(2)在长方体中，分别以DA ，DC ，DD 1为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则D(0,0，0)，A(2,0，0)，B(2,2，0)，E(2,1，0)，F(1,2，0)，A 1(2,0,2√3)， B 1(2,2,2√3)， C 1(0,2,2√3)，∴A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0)，DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,2√3)，EA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,2√3)， EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2√3), EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,0)，设平面A 1DC 1的一个法向量m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则{m ⃗⃗⃗ ·DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ·A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒{2x +2√3z =0−2x +2y =0, 取x =3，则m ⃗⃗⃗ =(3,3,−√3)同理可求出平面B 1EF 的一个法向量n ⃗ =(2√3,2√3,−1)，∴cos⟨m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ ⟩=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√3√21⋅√25=5√7， 所以平面A 1DC 1与平面B 1EF 所成二面角的正弦值为√4235．解析：本题考查线面平行的证明，考查三面角的正弦值的求法，考查面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题(1)连接AC ，推导出EF//A 1C 1，则四边形ACC 1A 1是平行四边形，从而AC//A 1C 1，∴EF//A 1C 1，由此能证明EF//平面A 1DC 1．(2)在长方体中，分别以DA，DC，DD1为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，，利用向量法能求出平面A1DC1与平面B1EF所成二面角的正弦值．19.答案：解：(1)∵S n+2=3S n+3，∴n≥2时，S n+1=3S n−1+3．∴a n+2=3a n．n=1时，S3=3S1+3，即1+2+a3=3+3，解得a3=3，满足上式．∴n分别为奇数、偶数时都是等比数列，公比为3，首项分别为1，2．∴a2k−1=3k−1，a2k=2×3k−1．∴a n={3k−1,n=2k−12×3k−1,n=2k，k∈N∗．(2)S2n=(a1+a3+⋯…+a2n−1)+(a2+a4+⋯…+a2n)=(1+3+32+⋯…+3n−1)+(2+2×3+⋯…+2×3n−1)=3×(1+3+32+⋯…+3n−1)=3×3n−13−1=3n+1−32．解析：(1)S n+2=3S n+3，可得n≥2时，S n+1=3S n−1+3.a n+2=3a n.n=1时，S3=3S1+3，解得a3，可得：n分别为奇数、偶数时都是等比数列，公比为3，首项分别为1，2．可得a n．(2)S2n=(a1+a3+⋯…+a2n−1)+(a2+a4+⋯…+a2n)，利用等比数列的求和公式即可得出．本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.答案：解：f(x)=(x2−4)(x−a)=x3−ax2−4x+4a，∴f′(x)=3x2−2ax−4，(1)∵f′(−1)=0，∴3+2a−4=0，∴a=12，f′(x)=3x2−x−4=(3x−4)(x+1)，，令f′(x)=0，∴x=43或−1，当x =−1时，f(x)取得极大值f(−1)=92，当x =43时，f(x)取得极小值f(43)=−5027，(2)∵f(x)在[−1,1]上为减函数，∴f′(x)≤0在[−1,1]上恒成立，，f′(x)=3x 2−2ax −4是开口向上的二次函数，∴{f′(−1)≤0f′(1)≤0, {3+2a −4≤03−2a −4≤0, ∴−12≤a ≤12，∴a 的取值范围是[−12,12]．解析：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值，解答本题的关键是掌握相关知识，逐一分析解答即可．(1)f′(−1)=0，3+2a −4=0，a =12，f′(x)=3x 2−x −4=(3x −4)(x +1)，，令f′(x)=0，x =43或−1，求出f(x)的极大值和极小值；(2)f(x)在[−1,1]上为减函数，f′(x)≤0在[−1,1]上恒成立，，f′(x)=3x 2−2ax −4是开口向上的二次函数，求实数a 的取值范围． 21.答案：解：(1)由题意可知2c =2，c =1，当l 与x 轴垂直时，丨AB 丨=2b 2a =4√33， 由a 2=b 2+c 2，则a =√3，b =√2，故椭圆的标准方程是：x 23+y 22=1；(2)设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程：y =k(x −1)，设点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，P(x 3,y 3)， 由{y =k(x −1)x 23+y 22=1可得(3k 2+2)x 2−6k 2x +3k 2−6=0， 则x 1+x 2=6k 23k 2+2，x 1x 2=3k 2−63k 2+2.(∗)因OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则{x 3=x 1+x 2y 3=y 1+y 2，代入椭圆方程(x 1+x 2)23+(y 1+y 2)22=1， 又x 123+y 122=1，x 223+y 222=1，化简得2x 1x 2+3y 1y 2+3=0，即(3k 2+2)x 1x 2−3k 2(x 1+x 2)+3k 2+3=0，将(∗)代入得3k 2−6−3k 2×6k 23k 2+2+3k 2+3=0，k 2=2，即k =±√2，故直线l 的斜率为±√2．解析：本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线的方程、直线与椭圆等基础知识，考查分析问题及运算求解能力，属于中档题．(1)由c =1，丨AB 丨=2b 2a =4√33，a 2=b 2+c 2，即可求得a 和b 的值，即可求得椭圆方程；(2)将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理，及向量数量积的坐标运算，即可求得直线l 的斜率． 22.答案：解：(1)因为ρsin(θ+π4)=2√2，0≤θ≤π2，所以ρ(√22sinθ+√22cosθ)=2√2即x +y =4(0≤x ≤4)， 所以C 1的普通方程为x +y −4=0(0≤x ≤4)，由C 2得{(x +1)2=t 2+2t 2+4(y −1)2=t 2+2t 2−4⇒(x +1)2−(y −1)2=8，即为C 2的普通方程． (2)由{x +y =4(x +1)2−(y −1)2=8⇒{x +y =4(x +y)(x −y +2)=8⇒{x =2y =2，即P(2,2)， 设所求圆圆心的直角坐标为(a,0)，其中a >0，则(a −2)2+(0−2)2=a 2，解得a =2， ∴所求圆的半径r =2，∴所求圆的直角坐标方程为：(x −2)2+y 2=22，即x 2+y 2=4x ，∴所求圆的极坐标方程为ρ=4cosθ．解析：本题主要考查了参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线与圆的位置关系，以及圆的极坐标方程，属于中档题．(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用(1)的结论，先求出C 1，C 2的交点P 坐标，设所求圆圆心的直角坐标为(a,0)，其中a >0，求出a ，即可得圆的半径，进而可求出圆的极坐标方程．23.答案：(1)当a =1时，f (x )={−3x +3,x ⩽12x +1,12<x <23x −3,x ⩾2，不等式f (x )⩾3 可化为{−3x +3⩾3x ⩽12 或{x +1⩾312<x <2 或{3x −3⩾3x ⩾2 ， 解得：x ≤0或x ≥2，∴不等式的解集为(−∞,0]∪[2,+∞)．(2)f (x )⩾|2x −a −(x −2)|=|x −a +2| ，当且仅当(2x −a )(x −2)⩽0时，取“=”当a ⩽4时，x 的取值范围为a2⩽x ⩽2；当a >4时，x 的取值范围为2⩽x ⩽a 2．解析：本题考查绝对值不等式的解法以及绝对值不等式的性质，属于中档题．(1)对x 分类讨论，去绝对值，再解不等式，即可得到答案;(2)运用绝对值不等式的性质，求出f(x)的最小值，验证等号成立条件，即可得到答案．。
2020年宁夏第一次高考模拟考试理科数学试题与答案
2020年宁夏第一次高考模拟考试理科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合2{|230},{|24}A x x x B x x =-->=<<，则集合B A ⋂=（ ）A ．()4,1B ．()4,2C ．()3,2D ．()4,32. 已知复数（为虚数单位），则（ ）A.B. 2C.D.3．已知随机变量X 服从正态分布()22N σ，且()40.88P X ≤=，则()04P X <<=（ ） A ．0.88B ．0.76C ．0.24D ．0.124．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1938S =，则11122a a -= （ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 5. 函数f （x ）＝xe﹣|x|的图象可能是（ ）A. B. C. D.6. 正方体A 1C 中，E 、F 为AB 、B 1B 中点，则A 1E 、C 1F 所成的角的正弦值为（ ）A. B. C. D.7. 执行下边的程序框图，如果输出的值为1，则输入的值为（）A. 0B.C. 0或D. 0或18. 某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（）A. 150B. 200C. 300D. 4009. 已知变量满足约束条件，则目标函数的最大值是（）A. -6B.C. -1D. 610. 等差数列的首项为1，公差不为0. 若成等比数列，则前6项的和为( )A. －24B. －3C. 3D. 811. 已知双曲线的右焦点为，虚轴的上端点为为左支上的一个动点，若周长的最小值等于实轴长的倍，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.12.已知函数若关于的方程无实根，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年宁夏银川一中高考数学二模试卷(理科) (含答案解析)
2020年宁夏银川一中高考数学二模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若z =1−i ，则复数z +z 2在复平面上对应的点的坐标为( )A. (1,−3)B. (−3,1)C. (1,1)D. (−1,1)2. 设集合A ={x|(x +3)(x −6)≥0}，B ={x|2x ≤14}，则(∁R A)∩B =( )A. (−3,6)B. [6,+∞)C. (−3,−2]D. (−∞,−3)U(6,+∞)3. 设α、β是两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，命题p ：若α//β，l ⊂α，m ⊂β，则l//m ，命题q ：l//α，m ⊥l ，m ⊂β，则α⊥β则下列命题为真命题的是( )A. p ∨qB. p ∧qC. (￢p)∨qD. p ∧(￢q)4. △ABC 中，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1)，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角大小为( )A. 2π3B. π4C. π3D. π65. 已知sin (α−π4)=7√210，cos 2α=725，则sin α=( )A. 45B. −45C. 35D. −356. 函数y =3cos x −e |x|的图象可能是( )A. B. C. D.7. 如图，在正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =1,AA 1=2，点P 是平面A 1B 1C 1D 1内的一个动点，则三棱锥P −ABC 的正视图与俯视图的面积之比的最大值为( )A. 1B. 2C. 12D. 148.抛物线x2=16y的准线与双曲线x29−y23=1的两条渐近线所围成的三角形的面积是()A. 16√3B. 8C. 4D. 29.“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”其意思是：有一个正方形的池塘，池塘的边长为一丈，有一颗芦苇生长在池塘的正中央．露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐(如图所示)，问水有多深，芦苇有多长？其中一丈为十尺．若从该芦苇上随机取一点，则该点取自水上的概率为()A. 1213B. 113C. 314D. 21310.如图所示，执行如图的程序框图，输出的S值是()A. 1B. 10C. 19D. 2811.在平面直角坐标系xOy中，以椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B，C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是()A. (√6−√22,√5−12) B. (√6−√22,1)C. (√5−12,1)D. (0,√5−12) 12. 函数f(x)={2x 3+3x 2 x ≤0ax ex ,x >0在[−2,2]上的最大值为1，则实数a 的取值范围是( )A. [0,+∞)B. [0,e]C. (−∞,0]D. (−∞,e]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 新冠病毒爆发初期，全国支援武汉的活动中，需要从A 医院某科室的6名男医生(含一名主任医师)､4名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生，要求至少有一名主任医师参加，则不同的选派方案共有___________种.(用数字作答) 14. 已知实数x ，y 满足{x +y ≥3x +2y ≤5x ≥0y ≥0，则y −2x 的最大值是__________．15. 在面积为2的△ABC 中，a 2+2b 2+c 2的最小值_________．16. 已知正三棱锥P −ABC 的侧面是直角三角形，P −ABC 的顶点都在球O 的球面上，正三棱锥P −ABC 的体积为36，则球O 的表面积为__________． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列{a n }的前n 项和S n 与通项a n 满足S n =12(1−a n ).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设函数f(x)=log 13x ，b n =f(a 1)+f(a 2)+⋯+f(a n )，求T n =1b 1+1b 2+1b 3+⋯1b n的值．18. 为推行“新课堂”教学法，某地理老师分别用传统方法和“新课堂”两种不同的教学方法，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如下表：记成绩不低于70分者为“成绩优良”．分数[50,59)[60,69)[70,79)[80,89)[90,100)甲班频数56441乙班频数1365(1)由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？甲班乙班总计成绩优良成绩不优良总计，(n=a+b+c+d)附：K2=n(ad−bc)2(a+c)(b+d)(a+b)(c+d)临界值表：P(K2≥k0)0.100.050.0250.010k0 2.706 3.841 5.024 6.635(2)先从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核，在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为X，求X的分布列及数学期望．19.如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为直角梯形，其中AD//BC，且AD=2BC=2AB=4，AB⊥AD，侧面ABB1A1⊥平面ABCD，且四边形ABB1A1是菱形，∠B1BA=π，M为A1D的中点．3(1)证明：CM//平面AA1B1B；(2)求二面角A1−CD−A的余弦值．20.已知点A(−√2,0)和圆B：(x−√2)2+y2=16，点Q在圆B上，线段AQ的垂直平分线角BQ于点P．(1)求点P的轨迹C的方程；(2)轨迹C上是否存在直线2x+y+1=0对称的两点，若存在，设这两个点分别为S，T，求直线ST的方程，若不存在，请说明理由．21.已知函数f(x)=e x−ax(其中e为自然对数的底数)．(1)讨论函数f(x)的单调性．(2)当a=e2时，设x1，x2是函数f(x)的两个零点，证明：x1+x2<4．22.已知平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为{x=1+√5cosα(α为参数)，直线l1：x=0，直y=2+√5sinα线l2：x−y=0，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴(取相同的长度单位)建立极坐标系．(1)求曲线C和直线l1，l2的极坐标方程；(2)若直线l1与曲C交于O，A两点，直线l2与曲线C交于O，B两点，求线段AB的长．23.设f(x)=−x+|2x+1|，不等式f(x)<2的解集是M．(1)求集合M；(2)设a,b∈M，证明：2|ab|+1>|a|+|b|．【答案与解析】1.答案：A解析：本题考查复数的运算以及复数的几何意义，属于基础题．根据复数的运算得z+z2=1−3i，在复平面上对应点的坐标为(1,−3)．解：z+z2=1−i+(1−i)2=1−i−2i=1−3i，在复平面上对应点的坐标为(1,−3)，故选A．2.答案：C解析：解：A={x|x≤−3，或x≥6}，B={x|x≤−2}；∴∁R A={x|−3<x<6}；∴(∁R A)∩B={x|−3<x≤−2}=(−3,−2]．故选：C．可解出集合A，B，然后进行补集、交集的运算即可．考查描述法、区间表示集合的概念，以及补集、交集的运算．3.答案：C解析：解：在长方体ABCD−A1B1C1D1中命题p：平面AC为平面α，平面A1C1为平面β，直线A1D1，和直线AB分别是直线m，l，显然满足α//β，l⊂α，m⊂β，而m与l异面，故命题p为假命题；则￢p真命题；命题q：平面AC为平面α，平面A1C1为平面β，直线A1D1，和直线A1B1分别是直线m，l，显然满足l//α，m⊥l，m⊂β，而α//β，故命题q假命题；￢q为真命题，∴p∨q是假命题，p∧q是假命题，￢p∨q是真命题，p∧￢q是假命题，故选：C对于命题p ，q ，只要把相应的平面和直线放入长方体中，找到反例即可．此题是个基础题．考查面面平行的判定和性质定理，要说明一个命题不正确，只需举一个反例即可，否则给出证明；考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．4.答案：A解析：本题考查了平面向量的数量积与夹角的计算问题，是基础题．根据平面向量的夹角公式求出BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角，再求出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角大小． 解：△ABC 中，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1)， ∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3×0+1×1=1， |BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3+1=2，|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，∴cos <BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |×|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12×1=12， ∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为π3， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为2π3． 故选A ．5.答案：C解析：利用两角差的正弦公式和二倍角公式把条件等式都转化为 α角的正弦余弦函数，联立可解得sin α．解：由sin (α−π4)=7√210得sin α−cos α=75，① 由cos 2α=725得cos 2α−sin 2α=725，所以(cos α−sin α)·(cos α+sin α)=725，②由①②可得cos α+sin α=−15，③由①③可得sinα=35．故选C．6.答案：B解析：本题考查了函数图象的判断，一般从奇偶性，单调性，特殊值等方面判断，属于基础题．判断函数的奇偶性，利用导数判断函数在(0,+∞)上的单调性即可得出结论．解：显然y=3cosx−e|x|是偶函数，图象关于y轴对称，当x>0时，y′=−3sinx−e x=−(3sinx+e x)，显然当x∈(0,π]时，y′<0，当x∈(π,+∞)时，e x>eπ>e3>4，而3sinx≥−3，∴y′=−(3sinx+e x)<0，∴y′=−(3sinx+e x)<0在(0,+∞)上恒成立，∴y=3cosx−e|x|在(0,+∞)上单调递减．只有B符合，故选B．7.答案：B解析：解：由题意可知，P在正视图中的射影是在C1D1上，AB在正视图中，在平面CDD1C1上的射影是CD，P的射影到CD的距离是AA1=2，所以三棱锥P−ABC的正视图的面积为12×1×2=1；三棱锥P−ABC的俯视图的面积的最小值为12×1×1=12，所以三棱锥P−ABC的正视图与俯视图的面积之比的最大值为112=2，故选：B．由题意确定棱锥P−ABC的正视图的面积，三棱锥P−ABC的俯视图的面积的最小值，即可求出三棱锥P−ABC的正视图与俯视图的面积之比的最大值．本题考查三视图与直观图形的关系，正确处理正射影与射影图形是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．8.答案：A解析：解：抛物线x2=16y的准线方程为y=−4，双曲线x29−y23=1的两条渐近线方程为y=√3∴抛物线的准线与双曲线的两条渐近线的交点坐标为(±4√3,−4)∴抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积是12×8√3×4=16√3故选A．确定抛物线的准线与双曲线的两条渐近线的方程，求得交点坐标，即可求得面积．本题考查抛物线的准线与双曲线的两条渐近线，考查学生的计算能力，属于基础题．9.答案：B解析：解：设水深为x尺，根据勾股定理得：(x+1)2=x2+52，解得x=12，∴水深12尺，芦苇长13尺，根据几何概型概率公式得：从芦苇上随机取一点，该点取自水上的概率为p=113．故选：B．设水深为x尺，根据勾股定理求出水深12尺，芦苇长13尺，根据几何概型概率公式能求出从芦苇上随机取一点，该点取自水上的概率．本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．10.答案：C解析：本题考查了循环结构的程序框图，属于基础题．模拟程序运行，正确写出每次循环得到的S，A的值可得答案．解：模拟执行程序框图，A =1，S =1，满足条件A ≤2， S =10，A =2，满足条件A ≤2， S =19，A =3，不满足条件A ≤2， 退出循环，输出S 的值为19． 故选C ．11.答案：A解析：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、锐角三角形，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．设椭圆的右焦点F(c,0)，代入椭圆的标准方程可得A(c,b 2a ).根据△ABC 是锐角三角形，可得∠BAD <45°，且1>cb 2a>√22，化为{e 2+√2e −1>0e 2+e −1<0，解出即可． 解：如图所示，设椭圆的右焦点F(c,0)，代入椭圆的标准方程可得：y 2=b 4a 2， 取y =b 2a ，A(c,b 2a)． ∵△ABC 是锐角三角形， ∴∠BAD <45°， ∴1>cb 2a>√22，化为{e 2+√2e −1>0e 2+e −1<0，解得√6−√22<e <√5−12． 故选A ．12.答案：D解析：分别讨论x≤0，x>0时的情况，x≤0时，通过求导得到f(x)max=f(−1)=1，x>0时，讨论①a> 0时，②a≤0时a的范围，综合得出结论．本题考察了函数的单调性，导数的应用，求函数的最值问题，求参数的范围，是一道基础题．解：x≤0时，f′(x)=6x(x+1)，令f′(x)=0，解得：x=−1，x=0，∴f(x)在(−∞,−1)递增，在(−1,0)递减，∴f(x)max=f(−1)=1，x>0时，f′(x)=ae x(1−x)，e2x①a>0时，若f′(x)>0，则0<x<1，若f′(x)<0，则x>1，≤1，∴f(x)max=f(1)=ae解得：a≤e，②a≤0时，f(x)≤0，符合题意，综上：a≤e，故选D．13.答案：90解析：解：根据题意，从A医院某科室的6名男医生和4名女医生中分别选派3名男医生和2名女医生，有C63C42=120种取法，若其中没有主任医师参加，即从不是主任医师的5名男医生中选出3名男医生，从不是主任医师的3名女医生中选出2名女医生，其取法有C53C32=30种，则至少有一名主任医师参加的取法有120−30=90种，故答案为：90．根据题意，先计算从A 医院某科室的6名男医生和4名女医生中分别选派3名男医生和2名女医生的取法数目，再排除其中没有主任医师参加的取法，由此分析可得答案． 本题考查排列组合的应用，注意用间接法分析，避免分类讨论，属于基础题．14.答案：0解析：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．解：由约束条件{x +y −3≥0x +2y −5≤0x ≥0y ≥0作出可行域如图，令z =y −2x ，化为y =2x +z ，由图可知，当直线y =2x +z 过点C 时，y −2x 取得最大值， 联立{x +2y −5=0x +y −3=0，解得C(1,2)．所以y −2x 的最大值为2−2×1=0． 故答案为：0．15.答案：8√5解析：本题考查解三角形的实际应用，属于较难题． 构造三角形，再运用基本不等式即可求得最小值． 解：作图如下：a2+2b2+c2=x2+y2+2ℎ2+2b2⩾12(x+y)2+2ℎ2+2b2=5b2+2ℎ2⩾2√5bℎ，第一个等号当且仅当x=y时取到，第二个等号当且仅当5b2=4ℎ2时取到，∵△ABC的面积为2，则bℎ=4则2√5bℎ=8√5．故答案为8√5．16.答案：108π解析：本题考查正三棱锥外接球的表面积，关键是求球的半径，属于中档题．依据题目条件求出三棱锥的侧棱长，将棱锥置于正方体中求出球半径，即可求解．解：设正三棱锥的侧棱长为a，球O的半径为R，正三棱锥P−ABC的侧面是直角三角形，∴13×12a3=36，解得a=6，把正三棱锥补形为正方体，则其体对角线长为2R=√62+62+62=6√3，解得R=3√3，所以球O的表面积为4πR2=4π×27=108π．故答案为108π．17.答案：解：(1)n≥2时，a n=12(1−a n) −12(1−a n−1) =−12a n+12a n−1，2a n=−a n+a n−1a n a n−1=13， S 1=a 1=12(1−a 1)得a 1=13，∴数a n 是以首a 1=13，公比13的等比数列，∴a n =(13)n(2)∵f(x)=log 13x ，b n =f(a 1)+f(a 2)+⋯+f(a n )，∴b n =log 13a 1+log 13a 2 +⋯+log 13a n =log 13(a 1⋅a 2…⋅a n )即log 13(13)1+2+⋯+n=1+2+⋯+n =n(n+1)2∴1b n=2n(n+1)=2(1n −1n+1)，∴T n =11+12 +⋯+1n =2[(1−1)+(1−1)+⋯+(1−1)]=2n解析：(1)n ≥2时由a n =s n −s n−1，再利用S 1=a 1=12(1−a 1)求得a 1，分析可求数列{a n }的通项公式；(2)由f(x)=log 13x ，b n =f(a 1)+f(a 2)+⋯+f(a n )，a n =(13)n 可求得b n ，再用裂项法可求T n 的值． 本题考查数列求和，重点考查裂项法求和，考查学生的理解与转化及运算能力，属于中档题．18.答案：解：(1)根据2×2列联表中的数据，得K 2的观测值为k =40(9×4−16×11)225×15×20×20≈5.227>5.024，∴能在犯错概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”．(2)由表可知在8人中成绩不优良的人数为1540×8=3，则X 的可能取值为0，1，2，3，P(X =0)=C 113C 153=3391，P(X =1)=C 112C 41C 153=4491，P(X =2)=C 111C 42C 153=66455，P(X =0)=C 43C 153=4455．∴X 的分布列为：∴E(X)=0×3399+1×4499+2×66455+3×4455=364455．解析：(1)利用频数与频率，求解两个班的成绩，得到2×2列联表中的数据，求出K 2的观测值，判断即可．(2)由表可知在8人中成绩不优良的人数为1540×8=3，则X 的可能取值为0，1，2，3，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．本题考查离散性随机变量的分布列以及期望的求法，独立检验的应用，考查计算能力．19.答案：(1)证明：取AA 1的中点N ，连接MN ，BN ．在△ADA 1中，MN//AD 且MN =12AD ，又BC//AD 且BC =12AD ，所以MN//BC 且MN =BC ， 所以四边形MNBC 是平行四边形，从而CM//BN ，又BN ⊂平面AA 1B 1B ，MC ⊄平面AA 1B 1B ，所以CM//平面AA 1B 1B . (2)解：取A 1B 1的中点P ，连接AP ，AB 1， 因为在菱形AA 1B 1B 中，∠B 1BA =π3， 所以AB =AA 1=AB 1=A 1B 1， 所以AP ⊥A 1B 1， 又AB//A 1B 1， 所以AP ⊥AB ，又侧面ABB 1A 1⊥平面ABCD ，侧面ABB 1A 1∩平面ABCD =AB ， 所以AP ⊥平面ABCD ，又AB ⊥AD ，故以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴 建立空间直角坐标系A −xyz(如图所示)，则A(0,0，0)，D(0,4，0)，C(2,2，0)，P(0,0,√3)， A 1(−1,0,√3)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0)，CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,−2,√3)．因为AP ⊥平面ABCD ，所以AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,√3)为平面ABCD 的一个法向量．设平面A 1CD 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)，由{n ⃗ ⊥CD⃗⃗⃗⃗⃗ n ⃗ ⊥CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即{−2x +2y =0−3x −2y +√3z =0，取n ⃗ =(1,1,5√33)为平面A 1CD 的一个法向量， 所以cos <AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√3×5√33√3×√12+12+(5√33)2=5√3131．设二面角A 1−CD −A 大小为θ，θ∈(0,π2)，故cosθ=5√3131，解析：本题考查二面角的平面角的求法，空间向量的数量积的应用，直线与平面平行的判断定理的应用，考查计算能力．(1)取AA 1的中点N ，连接MN ，BN.证明四边形MNBC 是平行四边形，推出CM//BN ，然后证明CM//平面AA 1B 1B .(2)取A 1B 1的中点P ，连接AP ，AB 1，以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A −xyz(如图所示)，求出平面ABCD 的一个法向量．平面A 1CD 的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．20.答案：解：(1)因为|PA|+|PB|=|PQ|+|PB|=4>|AB|= 2√2 ，所以点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，方程为x 24+y 22=1 ；(2)若存在满足条件的点S ，T ，设直线ST 的方程为 y =12x +m ，与 x 24+y 22=1联立，消去y 并化简可得3x 2+4mx −4m 2−8=0，由已知知Δ>0，即16m 2−4×3×4(m 2−2)>0，解得 −√3<m <√3， 设点S (x 1,y 1)，T (x 2,y 2)，则 x 1+x 2=−43m ， x 1x 2=4(m 2−2)3，∵线段ST 的中点 (−23m,23m) 在对称轴2x +y +1=0上， ∴ −43m +23m +1=0，解得 m =32 ，且 32∈(−√3,√3)，所以满足条件的点S ，T 是存在的， 直线ST 的方程为 y =12x +32 ，即x −2y +3=0．解析：本题主要考查圆锥曲线的综合问题，难度较大．(1)根据题干描述可以知道|PA|、|PB|、|PQ|、|PB|的关系，即|PA|+|PB|=|PQ|+|PB|=4>|AB|= 2√2，再根据椭圆的定义，可以求出点P的轨迹方程；(2)假设满足条件的点S、T存在，则根据这两点关于直线2x+y+1=0对称，可以设出直线ST的方程，将其与(1)中求出的椭圆方程联立，消去y，利用Δ>0，求出m的范围以及点S、T的横坐标之和、之积，利用线段ST的中点在对称轴2x+y+1=0上，可以求出m，从而得到直线ST的方程．21.答案：(1)解：由题得f′(x)=e x−a．当a⩽0时，f′(x)>0对x∈R恒成立，所以f(x)在R上单调递增．当a>0时，令f′(x)=0，．当时，则f(x)单调递减；，则f(x)单调递增．综上，当a⩽0时，f(x)在R上单调递增；当a>0时，f(x)在区间内单调递减，在区间内单调递增．(2)证明：不妨设x1<x2，由f(x)=e x−e2x，得f′(x)=e x−e2，令f′(x)=0，得x=2．f(x)在区间内单调递减，在区间内单调递增，f(0)=1>0，f(4)=e4−4e2=(e2−4)e2>0，所以0<x1<2<x2<4，构造函数F(x)=f(4−x)−f(x)(０<ｘ<２)，+e x)+2e2⩽−2e2+2e2=0，则F′(x)=−(e4−x−e2)−(e x−e2)=−e4−x−e x+2e2=−(e4e x所以函数F(x)在区间(0,2)内单调递减．因为0<x1<2，所以2<4−x1<4，所以F(x1)=f(4−x1)−f(x1)>F(2)=0，又f(x1)=f(x2)=0，所以f(4−x1)>f(x2).因为函数f(x)在区间内单调递增，所以4−x1>x2，即x1+x2<4．解析：本题考查利用导数判断函数的单调性以及研究函数的零点问题，难度较大．(1)利用导函数的定义分类讨论即可；(2)首先利用函数单调性求出x1、x2的取值范围，再通过构造新函数求解即可．22.答案：解：(1)∵曲线C的参数方程为{x=1+√5cosαy=2+√5sinα(α为参数)，∴曲线C的普通方程为(x−1)2+(y−2)2=5，即x2+y2−2x−4y=0，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式，得曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ+4sinθ．∵直线l1：x=0，∴直线l1的极坐标方程为θ=π2(ρ∈R)，∵直线l2：x−y=0，∴直线l2的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R)．(2)设A，B两点对应的极径分别为ρ1，ρ2，在ρ=2cosθ+4sinθ中，令θ=π2，得ρ1=2cosθ+4sinθ=4，令θ=π4，得ρ2=2cosθ+4sinθ=3√2，∵π2−π4=π4，∴|AB|=√ρ12+ρ22−2ρ1ρ2cosπ4=√10．解析：本题考查曲线的直线的极坐标方程的求法，考查弦长的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．(1)由曲线C的参数方程消去参数，求出曲线C的普通方程，由此能求出曲线C的极坐标方程，由直线l1：x=0，能求出直线l1的极坐标方程，由直线l2：x−y=0，能求出直线l2的极坐标方程．(2)设A，B两点对应的极径分别为ρ1，ρ2，在ρ=2cosθ+4sinθ中，令θ=π2，得ρ1=2cosθ+4sinθ=4，令θ=π4，得ρ2=2cosθ+4sinθ=3√2，由此能求出|AB|．23.答案：(1)解：当x≥−12时，f(x)=−x+2x+1=x+1．由f(x)<2，得x<1，所−12≤x<1．当x<−12时，f(x)=−x−2x−1=−3x−1．由f(x)<2，得x>−1，所以−1<x<−12．综上可知，M={x|−1<x<1}．(2)证明：因为a，b∈M，所以−1<a<1，−1<b<1，即|a|<1，|b|<1．于是2|ab|+1−(|a|+|b|)=|ab|+|ab|+1−(|a|+|b|)=|ab|+(|a|−1)·(|b|−1)>0，故2|ab|+1>|a|+|b|．解析：本题考查含绝对值不等式的解法和不等式的证明，属中档题．(1)讨论x和−1的大小去绝对值，解不等式即可；2(2)分析2|ab|+1−(|a|+|b|)与0的关系即可得2|ab|+1>|a|+|b|．。
2020年宁夏高考理科数学试题及答案(Word版)
2020年宁夏高考理科数学试题及答案注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上。
本试卷满分150分。
2.作答时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合后{-2, -1, 0, 1, 2, 3},相{-1, 0, 1},云{1, 2},则q,（AU8） =A. {-2, 3}B. {-2, 2, 3}C. {-2, -1, 0, 3}D. {-2, -1, 0, 2, 3}2.若a为第四象限角，则A. cos2 a >0B. cos2 a <0C. sin2 a >0D. sin2 Q <03.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0. 05,志愿者每人每天能完成50份订单的配货, 为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0. 95,则至少需要志愿者A. 10 名B. 18 名C. 24 名D. 32 名4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）A. 3699 块B. 3474 块C. 3402 块D. 3339 块5.若过点（2, 1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x—y —3 = 0的距离为6 36 4相A ♦ ---- D・ --------------------------- C・ ------------------------- U・-------------------------5 5 5 56.数列｛〃”｝中，4=2, 4,”+“=4,”。
2020年宁夏六盘山高中高考数学模拟试卷(理科)
2020年宁夏六盘山高中高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{1A =-，0，1}，A 的子集中，含有元素0的子集共有( ) A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个2．在平面区域{(,)|0}2y x M x y x x y ⎧⎪=⎨⎪+⎩……„内随机取一点P ，则点P 在圆222x y +=内部的概率( )A ．8πB ．4πC ．2π D ．34π 3．已知直线l ，m ，平面α、β、γ，给出下列命题：①//l α，//l β，m αβ=I ，则//l m ； ②//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥； ③αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥； ④l m ⊥，l α⊥，m β⊥，则αβ⊥． 其中正确的命题有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．已知m R ∈，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在(0,)+∞上为减函数”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．若函数()cos f x x ax =-+为增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．[1-，)+∞B ．[1，)+∞C ．(1,)-+∞D ．(1,)+∞6．一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为( )A ．23B ．5C 43D 537．我国古代名著《庄子g 天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分①② ③ A 7i „？1s s i =-1i i =+B128i „？ 1s s i=-2i i = C7i „？ 12s s i=-1i i =+ D128i „？12s s i=-2i i =A ．AB ．BC ．CD ．D8．若231()nx x +展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项为( ) A ．1 B ．5 C ．10 D ．209．复数32(1)(i i += )A ．2B ．2-C ．2iD ．2i -10．已知等比数列{}n a 的公比为正数，且23952a a a =g ，21a =，则1(a = )A ．12B 2C 2D ．2 11．设1F ，2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点．若在双曲线右支上存在一点P ，满足212||||PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为( ) A ．43B ．53C ．54D ．11412．已知以4T =为周期的函数21,(1,1]()1|2|,(1,3]m x x f x x x ⎧⎪-∈-=⎨--∈⎪⎩，其中0m >，若方程3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为( )A ．15(，7)B ．4(3，7)C ．3(4，8)3D ．15(，8)3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知tan 2x =，求cos2x = ．14．若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且4CD DB r AB sAC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r，则3r s +的值为 ．15．已知A ，B 两点均在焦点为F 的抛物线22(0)y px p =>上，若||||4AF BF +=，线段AB的中点到直线2px =的距离为1，则p 的值为 ．16．观察下列算式：311=，3235=+， 337911=++， 3413151719=+++⋯⋯若某数3n 按上述规律展开后，发现等式右边含有“2021”这个数，则n = ．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分）17．（12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 2sin()0b A a A C -+=．（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若3a =，ABC ∆的面积为33，求11b c+的值． 18．（12分）如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，其中，频率分布直方图的分组区间分别为[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100)，据此解答如下问题．（1）求全班人数及分数在[80，100]之间的频率； （2）现从分数在[80，100]之间的试卷中任取3份分析学生失分情况，设抽取的试卷分数在[90，100]的份数为X ，求X 的分布列和数学望期．19．（12分）如图所示，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 是CD 的中点，O 为AE 的中点，以AE 为折痕将ADE ∆向上折起，使D 到P ，且PC PB = （1）求证：PO ⊥面ABCE ．（2）求AC 与面PAB 所成角θ的正弦值．20．（12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>过点(0,1)6l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于点Q 、P ，与椭圆分别交于点M 、N ，各点均不重合且满足12,PM MQ PN NQ λλ==u u u u r u u u u r u u u r u u u r ．（1）求椭圆的标准方程；（2）若123λλ+=-，试证明：直线l 过定点并求此定点．21．（12分）已知函数21()12f x lnx ax bx =-++的图象在1x =处的切线l 过点1(2，1)2．（1）若函数()()(1)(0)g x f x a x a =-->，求()g x 最大值（用a 表示）；（2）若4a =-，121212()()32f x f x x x x x ++++=，证明：1212x x +…．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为11cos :(sin x C y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），曲线222:12x C y +=．（Ⅰ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）射线(0)6πθρ=…与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的交点为B ，求||AB ． [选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x 的不等式|2||3||1|x x m --++…有解，记实数m 的最大值为M ． （1）求M 的值；（2）正数a ，b ，c 满足2a b c M ++=，求证：111a b b c+++…．2020年宁夏六盘山高中高考数学模拟试卷（理科）（4月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{1A =-，0，1}，A 的子集中，含有元素0的子集共有( ) A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个【思路分析】根据题意，列举出A 的子集中，含有元素0的子集，进而可得答案． 【解析】：根据题意，在集合A 的子集中，含有元素0的子集有{0}、{0，1}、{0，1}-、{1-，0，1}，四个； 故选：B ．【归纳与总结】元素数目较少时，宜用列举法，当元素数目较多时，可以使用并集的思想． 2．在平面区域{(,)|0}2y x M x y x x y ⎧⎪=⎨⎪+⎩……„内随机取一点P ，则点P 在圆222x y +=内部的概率( )A ．8π B ．4πC ．2πD ．34π【思路分析】作出不等式组对应的平面区域，利用几何概型的概率公式，求出相应的面积即可得到结论． 【解析】：如图示：作出不等式组对应的平面区域，对应区域为OAB ∆，则三角形的面积为11212S =⨯⨯=，点P 取自圆222x y +=内部的面积为圆面积的18，即21(2)84ππ⨯⨯=，则根据几何概型的概率公式可得，则点P 取自圆222x y +=内部的概率等于4π．故选：B ．【归纳与总结】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据条件求出相应的面积是解决本题的关键．利用数形结合是解决此类问题的基本方法． 3．已知直线l ，m ，平面α、β、γ，给出下列命题： ①//l α，//l β，m αβ=I ，则//l m ； ②//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥； ③αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥； ④l m ⊥，l α⊥，m β⊥，则αβ⊥． 其中正确的命题有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【思路分析】利用线面平行的性质定理判断①；利用面面平行的性质定理和线面垂直的性质定理可判断②；若αγ⊥，βγ⊥，则α与β平行或相交，可判断③；利用面面垂直的判定定理可判断④．【解析】：①由线面平行的性质定理可知①正确；②由面面平行的性质定理可知，//αγ，因为m α⊥，所以m γ⊥，即②正确； ③若αγ⊥，βγ⊥，则α与β平行或相交，即③错误； ④由面面垂直的判定定理可知④正确． 所以正确的命题有①②④， 故选：C ．【归纳与总结】本题考查空间中线面的位置关系，熟练掌握线面平行或垂直的判定定理与性质定理是解题的关键，考查学生的空间立体感和推理论证能力，属于基础题．4．已知m R ∈，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在(0,)+∞上为减函数”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【思路分析】根据函数的性质求出m 的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解析】：若函数()21x y f x m ==+-有零点，则(0)111f m m =+-=<， 当0m „时，函数log m y x =在(0,)+∞上为减函数不成立，即充分性不成立，若log m y x =在(0,)+∞上为减函数，则01m <<，此时函数21x y m =+-有零点成立，即必要性成立，故“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在(0,)+∞上为减函数”的必要不充分条件， 故选：B ．【归纳与总结】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数零点和对数函数的性质求出等价条件是解决本题的关键．5．若函数()cos f x x ax =-+为增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．[1-，)+∞B ．[1，)+∞C ．(1,)-+∞D ．(1,)+∞【思路分析】由 题意可得，()sin 0f x x a '=+…恒成立，分离参数后结合正弦函数的性质即可求解．【解析】：由 题意可得，()sin 0f x x a '=+…恒成立， 故sin a x -…恒成立， 因为1sin 1x --剟， 所以1a …． 故选：B ．【归纳与总结】本题主要考查了导数与单调性关系的应用，属于基础试题． 6．一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为( )A ．23B ．25C ．43 D ．53【思路分析】由三视图可知：该几何体是一个棱长和底面边长都是2的正三棱锥砍去一个三棱锥得到的几何体．据此即可得到体积．【解析】：由三视图可知：该几何体是一个棱长和底面边长都是2的正三棱锥砍去一个三棱锥得到的几何体．11111111PB C ABC A B C ABC P A B C V V V ---=- 2231322213=⨯⨯-⨯⨯⨯ 53=． 故选：D ．【归纳与总结】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．7．我国古代名著《庄子g 天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分①② ③ A 7i „？1s s i =-1i i =+B128i „？ 1s s i=-2i i = C7i „？ 12s s i=-1i i =+ D128i „？12s s i=-2i i =A ．AB ．BC ．CD ．D【思路分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序， 可知该程序的作用是累加并输出S 的值，由此得出结论． 【解析】：程序运行过程中，各变量值如下表所示：第1次循环：112S =-，4i =，第2次循环：11124S =--，8i =，第3次循环：1111248S =---，16i =，⋯依此类推，第7次循环：11111248128S =----⋯-，256i =，此时不满足条件，退出循环，其中判断框内①应填入的条件是：128i „？，执行框②应填入：1s s i=-，③应填入：2i i =． 故选：B ．【归纳与总结】本题考查了程序框图的应用问题，程序填空是重要的考试题型，准确理解流程图的含义是解题的关键．8．若231()n x x+展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项为( )A ．1B ．5C ．10D ．20【思路分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值 【解析】：令1x =可得231()n x x +展开式的各项系数之和为232n=， 5n ∴=，故其展开式的通项公式为10515r r r T x -+=g ð，令1050r -=，求得2r =， 可得常数项为2510=ð， 故选：C ．【归纳与总结】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题． 9．复数32(1)(i i += ) A ．2B ．2-C ．2iD ．2i -【思路分析】复数i 的幂的计算，直接乘积展开可得结果． 【解析】：32(1)()(2)2i i i i +=-=， 故选：A ．【归纳与总结】复数代数形式的运算，注意i 的幂的运算，是基础题．10．已知等比数列{}n a 的公比为正数，且23952a a a =g ，21a =，则1(a = )A ．12B C D ．2【思路分析】设等比数列的公比为q ，根据等比数列的通项公式把23952a a a =g 化简得到关于q 的方程，由此数列的公比为正数求出q 的值，然后根据等比数列的性质，由等比q 的值和21a =即可求出1a 的值．【解析】：设公比为q ，由已知得28421112()a q a q a q =g ， 即22q =，又因为等比数列{}n a 的公比为正数，所以q =，故21a a q ===． 故选：B ．【归纳与总结】此题考查学生灵活运用等比数列的性质及等比数列的通项公式化简求值，是一道中档题．11．设1F ，2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点．若在双曲线右支上存在一点P ，满足212||||PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为( )A ．43 B ．53 C ．54D【思路分析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a 与b 之间的等量关系，进而求出离心率．【解析】：依题意212||||PF F F =，可知三角形21PF F 是一个等腰三角形，2F 在直线1PF 的投影是其中点，由勾股定理知可知1||2PF =4b =根据双曲定义可知422b c a -=，整理得2c b a =-，代入222c a b =+整理得2340b ab -=，求得43b a =；53c e a ∴==．故选：B ．【归纳与总结】本题主要考查三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查，属中档题．12．已知以4T =为周期的函数(1,1]()1|2|,(1,3]x f x x x ⎧⎪∈-=⎨--∈⎪⎩，其中0m >，若方程3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为( )A ．B ．4(3C ．3(4，8)3D ．，8)3【思路分析】根据对函数的解析式进行变形后发现当(1x ∈-，1]，[3，5]，[7，9]上时，()f x 的图象为半个椭圆．根据图象推断要使方程恰有5个实数解，则需直线13y x =与第二个椭圆相交，而与第三个椭圆不公共点．把直线分别代入椭圆方程，根据△可求得m 的范围．【解析】：Q 当(1x ∈-，1]时，将函数化为方程2221(0)y x y m+=…，∴实质上为一个半椭圆，其图象如图所示，同时在坐标系中作出当(1x ∈，3]得图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象，由图易知直线13y x =与第二个椭圆222(4)1(0)y x y m -+=…相交，而与第三个半椭圆222(8)1y x m -+=(0)y …无公共点时，方程恰有5个实数解，将13y x =代入222(4)1y x m -+=(0)y …得，2222(91)721350m x m x m +-+=，令29(0)t m t =>，则2(1)8150t x tx t +-+=，由△2(8)415t t =-⨯(1)0t +>，得15t >，由2915m >，且0m >得m >，同样由 13y x =与第三个椭圆222(8)1y x m -+=(0)y …由△0<可计算得m <，综上可知m ∈．故选：A ．【归纳与总结】本题主要考查了函数的周期性．采用了数形结合的方法，很直观． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知tan 2x =，求cos2x = 35- ．【思路分析】已知tan 2x =，根据弦切互化公式得222111cos sec 1tan 5x x x ===+；而2cos22cos 1x x =-，代入求出值即可．【解析】：tan 2x =Q ，222111cos sec 1tan 5x x x ∴===+； 所以213cos22cos 12155x x =-=⨯-=-故答案为35-【归纳与总结】考查学生会进行弦切互化，会化简二倍角的余弦，整体代入思想的运用能力．14．若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且4CD DB r AB sAC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r ，则3r s +的值为 85．【思路分析】根据4CD DB =u u u r u u u r 即可得出4455CD AB AC =-u u u r u u u r u u u r，然后根据平面向量基本定理即可得出r ，s 的值，从而得出3r s +的值．【解析】：如图， Q 4CD DB r AB sAC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴444555CD CB AB AC ==-u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴根据平面向量基本定理得，44,55r s ==-， ∴12483555r s +=-=． 故答案为：85．【归纳与总结】本题考查了向量减法和数乘的几何意义，平面向量基本定理，考查了计算能力，属于基础题．15．已知A ，B 两点均在焦点为F 的抛物线22(0)y px p =>上，若||||4AF BF +=，线段AB的中点到直线2px =的距离为1，则p 的值为 1或3 ．【思路分析】分别过A 、B 作交线:2pl x =-的垂线，垂足分别为C 、D ，设AB 中点M 在准线上的射影为点N ，连接MN ，根据抛物线的定义，得||||||||4AF BF AC BD +=+=，梯形ACDB 中，中位线1(||||)22MN AC BD =+=，由线段AB 的中点到直线2p x =的距离为1，设0(M x ，0y )，可得0||12px -=，由此求得p 值．【解析】：分别过A 、B 作交线:2pl x =-的垂线，垂足分别为C 、D ，设AB 中点M 在准线上的射影为点N ，连接MN ， 设1(A x ，1y )，2(B x ，2y )，0(M x ，0y )根据抛物线的定义，得||||||||4AF BF AC BD +=+=，∴梯形ACDB 中，中位线1(||||)22MN AC BD =+=，可得022p x +=，022px =-，Q 线段AB 的中点到直线2p x =的距离为1，可得0||12px -=，|2|1p ∴-=，解得1p =或3p =， 故答案为：1或3．【归纳与总结】本题考查抛物线中参数的求法，考查抛物线、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题 16．观察下列算式：311=，3235=+， 337911=++， 3413151719=+++⋯⋯若某数3n 按上述规律展开后，发现等式右边含有“2021”这个数，则n = 45 ．【思路分析】由已知规律可得：3n 按上述规律展开后，发现等式右边含有n 个整数．而前面1n -个等式共含有(1)12(1)2n n n -++⋯⋯+-=个数，可得(1)220212n n -⨯<，解出即可得出．【解析】：由已知规律可得：3n 按上述规律展开后，发现等式右边含有n 个正奇数．而前面1n -个等式共含有(1)12(1)2n n n -++⋯⋯+-=个奇数，(1)220212n n -∴⨯<，即(1)2021n n -<，而454419802021.464520702021⨯=<⨯=>． 45n ∴=，故答案为：45．【归纳与总结】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、归纳推理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分）17．（12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 2sin()0b A a A C -+=．（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若3a =，ABC ∆，求11b c+的值． 【思路分析】（Ⅰ）由sin 2sin()0b A a A C -+=得sin2sin sin b A a B b A ==，得2cos 1A =，所以3A π=．（Ⅱ）由ABC ∆的面积为及6A bc π=⇒=，由余弦定理得222cos 9b c bc A +-=，b c +=，即可得11b c b c bc ++==． 【解析】：（Ⅰ）由sin 2sin()0b A a A C -+=得sin2sin sin b A a B b A ==⋯⋯（3分）又0A π<<，所以sin 0A ≠，得2cos 1A =，所以3A π=⋯⋯（6分）（Ⅱ）由ABC ∆及3A π=，得1sin 23bc π=6bc =⋯⋯（8分） 又3a =，从而由余弦定理得222cos 9b c bc A +-=， 所以b c +=（10分）所以11b c b c bc ++==（12分）【归纳与总结】本题主要考查了正余弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．18．（12分）如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，其中，频率分布直方图的分组区间分别为[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100)，据此解答如下问题．（1）求全班人数及分数在[80，100]之间的频率； （2）现从分数在[80，100]之间的试卷中任取3份分析学生失分情况，设抽取的试卷分数在[90，100]的份数为X ，求X 的分布列和数学望期．【思路分析】（1）由茎叶图先分析出分数在[50，60)之间的频数，结合频率分布直方图中该组的频率，可得到全班人数，再由茎叶图求出数在[80，100]之间的频数，即可得到分数在[80，100]之间的频率；（2）由（1）知，分数在[80，100]之间有10份，分数在[90，100]之间有0.012510324⨯⨯=份．由题意，X 的取值为0，1，2，3，求出相应的概率，即可得到X 的分布列和数学期望． 【解析】：（1）由茎叶图知，分数在[50，60)之间的频数为4，频率为0.0125100.125⨯=，∴全班人数为40.125人．∴分数在[80，100]之间的频数为32481010---=，∴分数在[80，100]之间的频率为100.312532=；（2）由（1）知，分数在[80，100]之间有10份，分数在[90，100]之间有0.012510324⨯⨯=份．由题意，X 的取值为0，1，2，3，则363101(0)6C P X C ===，12463101(1)2C C P X C ===，21463103(2)10C C P X C ===，343101(3)30C P X C ===，X 0 123P16 12 310 130 数学期望()0123 1.2621030E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．【归纳与总结】本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，考查分布列和数学期望，频率分布直方图，茎叶图，是统计和概论比较综合的应用，学会用图并掌握相关的重要公式是解答的关键．19．（12分）如图所示，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 是CD 的中点，O 为AE 的中点，以AE 为折痕将ADE ∆向上折起，使D 到P ，且PC PB = （1）求证：PO ⊥面ABCE ．（2）求AC 与面PAB 所成角θ的正弦值．【思路分析】（1）取BC 的中点F ，连OF ，PF ，证明OF BC ⊥，BC PF ⊥，得到BC ⊥面POF从而证明BC PO ⊥，可得PO ⊥面ABCE（2）作//OG BC 交AB 于G ，OG OF ⊥如图，建立直角坐标系，设平面PAB 的法向量为20(,,)(2,0,1)40n AP x y z n x y z n n AB y ⎧=-++=⎪=⇒=⎨==⎪⎩u u u r r g r r u u u rr g ，得到AC 与面PAB 所成角θ的正弦值30sin |cos ,|n AC θ=<>=u u ur r 【解析】：（1）PA PE =，OA OE PO AE =∴⊥（1） 取BC 的中点F ，连OF ，PF ，//OF AB ∴，OF BC ∴⊥ 因为PB PC BC PF =∴⊥，所以BC ⊥面POF 从而BC PO ⊥（2）由（1）（2）可得PO ⊥面ABCE（2）作//OG BC 交AB 于G ，OG OF ⊥如图，建立直角坐标系{,,}OG OF OP u u u r u u u r u u u r，(1,1,0),(1,3,0),(1,3,0),(0,02)(2,4,0),(1,1,2),(0,4,0)A B C P AC AP AB --=-=-=u u u r u u u r u u u r设平面PAB 的法向量为20(,,)(2,0,1)40n AP x y z n x y z n AC n AB y ⎧=-++=⎪=⇒=⎨==⎪⎩u u u r g r r u u u rr g 与面PAB 所成角θ的正弦值30sin |cos ,|n AC θ=<>=u u ur r【归纳与总结】本题是中档题，考查直线与平面所成角正弦值的求法，直线与直线的垂直的证明方法，考查空间想象能力，计算能力，熟练掌握基本定理、基本方法是解决本题的关键．20．（12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>过点(0,1)l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于点Q 、P ，与椭圆分别交于点M 、N ，各点均不重合且满足12,PM MQ PN NQ λλ==u u u u r u u u u r u u u r u u u r ．（1）求椭圆的标准方程；（2）若123λλ+=-，试证明：直线l 过定点并求此定点．【思路分析】（1）根据题意列出关于a ，b ，c 的方程组，解出a ，b ，c 的值，从而求出椭圆的标准方程；（2）由题意设(0,)P m ，0(Q x ，0)，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，设直线l 的方程为()x t y m =-，由已知条件推出111m y λ=-，221my λ=-，所以123λλ+=-，即1212()0y y m y y ++=，再联立直线与椭圆方程，利用韦达定理代入上式，即可得到直线l 过定点．【解析】：（1）由题意可知2221b ca ab c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得：1a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆的标准方程为：2213x y +=；（2）由题意设(0,)P m ，0(Q x ，0)，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，设直线l 的方程为()x t y m =-， 由1PM MQ λ=u u u u r u u u u r知，1(x ，1101)(y m x x λ-=-，1)y -，111y m y λ∴-=-，由题意10λ≠，∴111my λ=-，同理由2PN NQ λ=u u u r u u u r 知，221my λ=-，123λλ∴+=-，1212()0y y m y y ∴++=①，联立方程2233()x y x t y m ⎧+=⎨=-⎩，消去x 得：22222(3)230t y mt y t m +-+-=，∴需△2422244(3)(3)0m t t t m =-+->②，且有212223mt y y t +=+，2212233t m y y t -=+③，把③代入①得：222320t m m mt -+=g ，2()1mt ∴=，由题意0mt <，1mt ∴=-，满足②式，∴直线l 的方程为1x ty =+，过定点(1,0)，即(1,0)为定点．【归纳与总结】本题主要考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系，是中档题．21．（12分）已知函数21()12f x lnx ax bx =-++的图象在1x =处的切线l 过点1(2，1)2．（1）若函数()()(1)(0)g x f x a x a =-->，求()g x 最大值（用a 表示）；（2）若4a =-，121212()()32f x f x x x x x ++++=，证明：1212x x +…．【思路分析】（1）求得()f x 的导数，可得切线的斜率和切点，运用斜率公式，化简可得0b =，得到()f x 和()g x 的解析式，求出导数和单调区间，即可得到所求最大值；（2）求得()f x 的解析式，由条件化简可得2121212122()()()x x x x x x ln x x +++=-，令12t x x =，0t >，设()h t t lnt =-，求得导数和单调区间，可得()h t 的最小值，进而运用因式分解，即可得到结论．【解析】：（1）函数21()12f x lnx ax bx =-++的导数为：1()f x ax b x'=-+，可得图象在1x =处的切线l 的斜率为1k a b =-+，切点为1(1,1)2b a +-，由切线经过点1(2，1)2，可得111221112b a a b +---+=-， 化简可得，0b =，则21()12f x lnx ax =-+，21()1(1)(02g x lnx ax a x x =-+-->，0)a >，1(1)(1)()(1)x ax g x ax a x x +-'=---=-， 当10x a <<时，()0g x '>，()g x 递增；当1x a>时，()0g x '<，()g x 递减．可得1111()()1122max g x g lna lna a a a a==--+-+=-；（2）证明：4a =-时，2()21f x lnx x =++， 121212()()32f x f x x x x x ++++=，可得2211221212212132lnx x lnx x x x x x ++++++++=， 化为2212121212122(2)()()x x x x x x x x ln x x ++++=-， 即有2121212122()()()x x x x x x ln x x +++=-，令12t x x =，0t >，设()h t t lnt =-， 1()1h t t'=-，当1t >时，()0h t '>，()h t 递增；当01t <<时，()0h t '<，()h t 递减．即有()h t 在1t =取得最小值1，则212122()()1x x x x +++…， 可得1212(1)(221)0x x x x +++-…，则122210x x +-…，可得1212x x +…．【归纳与总结】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值和最值，考查不等式的证明，注意运用转化和变形，以及构造函数的方法，考查运算能力，属于难题． （二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为11cos :(sin x C y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），曲线222:12x C y +=．（Ⅰ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）射线(0)6πθρ=…与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的交点为B ，求||AB ．【思路分析】（Ⅰ）由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）求出A ，B 的极径，即可求||AB ．【解析】：（Ⅰ）曲线11cos :(sin x C y ααα=+⎧⎨=⎩为参数）可化为普通方程：22(1)1x y -+=， 由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为22(1sin )2ρθ+=．（Ⅱ）射线(0)6πθρ=…与曲线1C 的交点A 的极径为12cos 6πρ==射线(0)6πθρ=…与曲线2C 的交点B 的极径满足222(1sin )26πρ+=，解得2ρ=所以12||||AB ρρ=-． 【归纳与总结】本题考查了直角坐标方程转化为极坐标方程、直线与圆的相交问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． [选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x 的不等式|2||3||1|x x m --++…有解，记实数m 的最大值为M ． （1）求M 的值；（2）正数a ，b ，c 满足2a b c M ++=，求证：111a b b c+++…． 【思路分析】（1）根据绝对值不等式的性质进行转化求解．（2）利用1的代换，结合基本不等式的性质进行证明即可．【解析】：（1）由绝对值不等式得|2||3||2(3)|5x x x x --+--+=厔， 若不等式|2||3||1|x x m --++…有解， 则满足|1|5m +„，解得64m -剟．4M ∴=．（2）由（1）知正数a ，b ，c 满足足24a b c ++=，即1[()()]14a b b c +++=∴11111111[()()]()(11)(2414444b c a b a b b c a b b c a b b c a b b c +++=++++=++++⨯=++++++厖， 当且仅当b c a ba b b c++=++即2a b b c +=+=，即a c =，2a b +=时，取等号．∴111a b b c+++…成立．【归纳与总结】本题主要考查不等式的求解和应用，根据绝对值不等式的性质以及基本不等式的应用，利用1的代换是解决本题的关键．————————————————————————————————————《初、高中数学教研微信系列群》简介：目前有8个群（7个高中群、1个初中群），共3000多大学教授、教师、中学优秀、特、高级教师，省、市、区县教研员、教辅公司数学编辑、报刊杂志初、高中数学编辑等汇聚而成，是一个围绕初、高中数学教学研究展开教研活动的微信群.宗旨：脚踏实地、不口号、不花哨、接地气的高中数学教研！特别说明：1.本系列群只探讨初、高中数学教学研究、数学试题研究等相关话题；2.由于本群是集“研究—写作—发表（出版）”于一体的“桥梁”，涉及业务合作，特强调真诚交流，入群后立即群名片：教师格式：省+市+真实姓名，如：四川成都张三编辑格式：公司或者刊物（简写）+真实姓名欢迎各位老师邀请你身边热爱初、高中数学教研（不喜欢研究的谢绝）的教师好友（学生谢绝）加入，大家共同研究，共同提高！群主二维码：见右图————————————————————————————————————附:《高中数学教研微信系列群》“助力2020高考”特别奉献备考（纯WORD）资料已分享目录——（1）2020上海市春季高考数学试卷(精美纯WORD版全详解)（2）2020年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（理科）(精美纯WORD版全详解)（3）2020年河南省郑州市高考数学一模试卷（理科）(精美纯WORD版全详解)（4）2020年四川省成都七中高考数学一诊试卷（理科）(精美纯WORD版全详解)（5）2020年安徽省合肥市高考数学一模试卷（理科）(精美纯WORD版全详解)（6）2020年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（理科）(精美纯WORD版全详解)（7）2020年湖北省武汉市高三三月调考数学试卷（理科）(精美纯WORD版全详解)（8）2020年广东省深圳市高考数学一模试卷（理科）(精美纯WORD版全详解)（9）2020年广西高考数学一诊试卷（理科）(精美纯WORD版全详解)（10）2020年安徽省合肥市数学一模试卷（文科）(精美纯WORD版全详解)（11）2020年山东省新高考数学模拟试卷（十二）(精美纯WORD版全详解)（12）2020年宁夏六盘山高中高考数学模拟试卷（理科）（4月份）(精美纯WORD版全详解)不断更新中.......。
2020年宁夏银川一中高考数学五模试卷(理科)
2020年宁夏银川一中高考数学五模试卷（理科）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={1,2，4}，B={x|x2−4x+m=0}，若A∩B={1}，则B=()A. {1,−3}B. {1,0}C. {1,3}D. {1,5}2.已知i为虚数单位，复数z满足z(1+i)=1，则z的共轭复数z=()A. 12+12i B. 12−12i C. −12+12i D. −12−12i3.平面向量a⃗与b⃗ 的夹角为60°，a⃗=(1,0)，|b⃗ |=1，则|a⃗+2b⃗ |=()A. 2√3B. √7C. 3D. 74.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2−4y=0所截得的弦长为()A. √3B. 2C. √6D. 2√35.若(1−2x)2020=a0+a1x+a2x2+⋯+a2020x2020，则a1+a2+a3+⋯+a2020=()A. 0B. 1C. −1D. 26.2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数(注：素数也叫做质数)猜想的一个弱化形式．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p使得p+2是素数，素数对(p,p+2)称为孪生素数，从20以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为()A. 114B. 17C. 314D. 137.运行如图所示的程序框图，若输入的a的值为2时，输出的S的值为−20，则判断框中可以填()A. k<3？B. k<4？C. k<5？D. k<6？8.在相距2千米的A、B两点处测量目标C，若∠CAB=75°，∠CBA=60°，则A，C两点之间的距离是()千米．A. 1B. √3C. √6D. 29.数列{a n}的首项为3，{b n}为等差数列且b n=a n+1−a n(n∈N∗)，若b3=−2，b10=12，则a8=()A. 0B. 3C. 8D. 1110.设f(x)是奇函数且满足f(x+1)=−f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=5x(1−x)，则f(−2020.6)=()A. 2125B. 710C. −85D. −6511.已知F1，F2是椭圆C1：x24+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A是C1，C2在第二象限的公共点．若AF1⊥AF2，则C2的离心率为()A. 45B. √62C. √3D. √212.已知函数f(x)是定义在[−100,100]上的偶函数，且f(x+2)=f(x−2)，当x∈[0,2]时，f(x)=(x−2)e x，若方程[f(x)]2−mf(x)+1=0有300个不同的实数根，则实数m的取值范围为()A. −e−1e <m<−52B. −e−1e≤m<−52C. −52<m<−2 D. −e−1e≤m<−2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设变量x，y满足约束条件{x+y−2≥0x−y−2≤0y≥1，则目标函数z=x+2y的最小值为______．14.若曲线y=e−x上点P到直线x+y+1=0的最短距离是______．15.已知等比数列{a n}中，各项都是正数，前n项和为S n，且4a3，a5，2a4成等差数列，若a1=1，则S4=______．16.已知三棱锥A−BCD中，AB=AC=BD=CD=2，BC=2AD，直线AD与底面BCD所成角为π3，则此时三棱锥外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知函数f(x)=2sinxcos(φ−x)−12(0<φ<π2)的图象过点(π3,1)．(Ⅰ)求φ的值；(Ⅱ)求函数f(x)的单调递增区间．18.空气质量指数PM2.5(单位：μg/m3)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重：PM2.5日均浓度0～3535～7575～115115～150150～250>250空气质量级别一级二级三级四级五级六级空气质量类型优良轻度污染中度污染重度污染严重污染甲、乙两城市2013年2月份中的15天对空气质量指数PM2.5进行监测，获得PM2.5日均浓度指数数据如茎叶图所示：(Ⅰ)根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市15天内哪个城市空气质量总体较好？(注：不需说明理由) (Ⅱ)在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率；(Ⅲ)在乙城市15个监测数据中任取2个，设X为空气质量类别为优或良的天数，求X的分布列及数学期望．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB//CD，AB=2，AD=CD=1，E是PB的中点．(1)求证：平面EAC⊥平面PBC；(2)若二面角P−AC−E的余弦值为√33，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．20. 已知抛物线E ：y 2=2px(p >0)的焦点为F ，直线l ：y =2x −2，直线l 与E 的交点为A ，B.同时|AF|+|BF|=8，直线m//l.直线m 与E 的交点为C 、D ，与y 轴交于点P ．(I)求抛物线E 的方程；(Ⅱ)若CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =4DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求|CD|的长．21. 已知函数f(x)=e −x −ax(a ∈R)．(1)当a =−2时，求函数f(x)的极值；(2)若ln[e(x +1)]≥2−f(−x)对任意的x ∈[0,+∞)成立，求实数a 的取值范围．22. 已知曲线C 1的参数方程为{x =√2cosθy =sinθ(θ为参数)，以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin 2θ=4cosθ．(1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)若过点F(1,0)的直线l 与C 1交于A ，B 两点，与C 2交于M ，N 两点，求|FA||FB||FM||FN|的取值范围．23. 已知f(x)=|x −1|+1，F(x)={f(x),x ≤312−3x,x >3． (1)解不等式f(x)≤2x +3；(2)若方程F(x)=a 有三个解，求实数a 的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】【试题解析】【分析】本题考查集合的交集及元素与集合的关系，属于基础题．由交集的定义，可得1∈A且1∈B，代入一元二次方程，求得m，再解方程可得集合B．【解答】解：因为集合A={1,2，4}，B={x|x2−4x+m=0}，若A∩B={1}，则1∈A且1∈B，可得1−4+m=0，解得m=3，即有B={x|x2−4x+3=0}={1,3}，此时符合A∩B={1}．故选C．2.【答案】A【解析】解：由z(1+i)=1，得z=11+i=1−i(1+i)(1−i)=12−12i，∴z=12+12i．故选：A．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，再由共轭复数的概念得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.【答案】B【解析】解：∵a⃗=(1,0)，∴|a⃗|=1，∴a⃗⋅b⃗ =|a⃗|⋅|b⃗ |cos<a⃗，b⃗ >=1×1×12=12．∴|a⃗+2b⃗ |=√(a⃗+2b⃗ )2=√a⃗2+4a⃗⋅b⃗ +4b⃗ 2=√1+4×12+4×1=√7．故选：B．易知|a⃗|=1，由平面向量数量积的定义知a⃗⋅b⃗ =|a⃗|⋅|b⃗ |cos<a⃗，b⃗ >，而|a⃗+2b⃗ |=√a⃗2+4a⃗⋅b⃗ +4b⃗ 2，代入数据进行运算即可得解．本题考查平面向量数量积的运算、求模长等，熟练掌握平面向量的相关运算法则是解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：将圆x2+y2−4y=0的方程可以转化为：x2+(y−2)2=4，即圆的圆心为A(0,2)，半径为R=2，∵直线的倾斜角为60°，作AN垂直直线l于N，如图在ΔANO中，∠AON=30°,OA=1，∴A到直线ON的距离，即弦心距为1，∴ON=√3，∴弦长2√3，故选D．本题考查的知识点是直线与圆方程的应用，由已知圆x2+y2−4y=0，我们可以将其转化为标准方程的形式，求出圆心坐标和半径，又直线由过原点且倾斜角为60°，得到直线的方程，再结合半径、半弦长、弦心距满足勾股定理，即可求解．5.【答案】A【解析】解：因为：(1−2x)2020=a0+a1x+a2x2+⋯+a2020x2020，令x=0可得：1=a0；令x=1可得：a0+a1+a2+a3+⋯+a2020=(1−2×1)2020=1；故a1+a2+a3+⋯+a2020=1−1=0．故选：A．令x=0求得a0，再令x=1即可求解结论．本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：依题意，20以内的素数共有8个，从中选两个共包含n=C82=28个基本事件，而20以内的孪生素数有(3,5)，(5,7)，(11,13)，(17,19)共四对，包含4个基本事件，所以从20以内的素数中任取两个，其中能构成字生素数的概率为p=428=17．故选：B．20以内的素数共有8个，从中选两个共包含n =C 82=28个基本事件，利用列举法求出20以内的孪生素数包含4个基本事件，由此能求出从20以内的素数中任取两个，其中能构成字生素数的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.【答案】C【解析】解：运行该程序，第一次循环，S =2，a =−2，k =2；第二次循环S =−6，a =2，k =3；第三次循环，S =12，a =−2，k =4；第四次循环，S =−20，a =2，k =5，此时输出S 的值，观察可知，仅选项C 符合题意， 故选：C ．这是一个当型循环结构，反复求和，注意a 的值正负交替．只需逐次循环，直到得到s =−20，根据k 的值判断． 本题考查了循环结构，对于循环次数不大的，一般是逐个循环，计算求解．注意计算的准确性．8.【答案】C【解析】解：∵∠CAB =75°，∠CBA =60°，∴∠ACB =45°， 由正弦定理AB sin∠ACB =AC sin∠ABC ，即2sin45°=AC sin60°，解得：AC =2×√32√22=√6．故选C由内角和定理求出∠ACB 的度数，由AB 及∠ABC 的度数，利用正弦定理即可求出A 与C 两点的距离．此题考查了正弦定理，熟练掌握正弦定理是解本题的关键． 9.【答案】B【解析】解：依题意可知{b 1+2d =−2b 1+9d =12求得b 1=−6，d =2 ∵b n =a n+1−a n ，∴b 1+b 2+⋯+b n =a n+1−a 1，∴a 8=b 1+b 2+⋯+b 7+3=(−6+6)×72+3=3 故选：B ．先利用等差数列的通项公式分别表示出b 3和b 10，联立方程求得b 1和d ，进而利用叠加法求得b 1+b 2+⋯+b n =a n+1−a 1，最后利用等差数列的求和公式求得答案．本题主要考查了数列的递推式．考查了考生对数列基础知识的熟练掌握． 10.【答案】D【解析】解：f(x)是奇函数且满足f(x +1)=−f(x)，可得f(x +2)=−f(x +1)=f(x)，函数的周期为2．∴f(−2020.6)=f(−2020−0.6)=f(−0.6)=−f(0.6)=−5×0.6×(1−0.6)=−65． 故选：D ． 求出函数的周期，然后化简所求表达式，利用已知条件求解即可． 本题考查函数的奇偶性以及函数的周期函数值的求法，考查计算能力． 11.【答案】B【解析】解：设|AF 1|=x ，|AF 2|=y ，∵点A 为椭圆C 1：x 24+y 2=1上的点，∴2a =4，b =1，c =√3；∴|AF 1|+|AF 2|=2a =4，即x +y =4；①又四边形AF 1BF 2为矩形，∴|AF 1|2+|AF 2|2=|F 1F 2|2，即x 2+y 2=(2c)2=(2√3)2=12，②由①②得：{x +y =4x 2+y 2=12，解得x =2−√2，y =2+√2，设双曲线C 2的实轴长为2m ，焦距为2n ， 则2m =|AF 2|−|AF 1|=y −x =2√2，2n =2c =2√3，∴双曲线C 2的离心率e =n m =√3√2=√62． 故选：B ．不妨设|AF 1|=x ，|AF 2|=y ，依题意{x +y =4x 2+y 2=12，解此方程组可求得x ，y 的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C 2的离心率．本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF 1|与|AF 2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题． 12.【答案】A【解析】解：∵f(x +2)=f(x −2)，∴函数f(x)=f(x +4)，即周期为4，而区间[−100,100]内共有50个周期，方程[f(x)]2−mf(x)+1=0有300个不同的实数根，故每个周期内有6个不同的实根，不妨研究周期[0,4]内，又函数f(x)为偶函数，∴f(−x)=f(x +4)，则函数f(x)关于直线x =2对称，∴方程[f(x)]2−mf(x)+1=0在[0,2]内有三个不同的实数根，当x ∈[0,2]时，f(x)=(x −2)e x ，f′(x)=(x −1)e x ，当x ∈(0,1)时，f(x)单减，当x ∈(1,2)时，f(x)单增，f(x)min =f(1)=−e ，f(0)=−2，作出函数图象如图所示，设t =f(x)，则t 2−mt +1=0，设ℎ(t)=t 2−mt +1，则−e <t <0，而ℎ(0)=1>0，要使方程[f(x)]2−mf(x)+1=0在[0,2]内有三个不同的实数根，则函数ℎ(t)在(−e,−2)上必有一个根， ∴{ℎ(−e)=e 2+me +1>0ℎ(−2)=4+2m +1<0，解得−e −1e <m <−52． 故选：A ．由题意，函数f(x)的周期为4，且关于直线x =2对称，则方程[f(x)]2−mf(x)+1=0在[0,2]内有三个不同的实数根，作出函数f(x)在区间[0,2]上的图象，令t =f(x)，结合图象即可建立不等式组，即可求解．本题考查函数零点与方程根的关系，考查函数性质的运用，旨在锻炼学生的逻辑推理能力，运算求解能力，及转化思想，数形结合思想等数学素养，属于中档题．13.【答案】3【解析】解：由约束条件{x +y −2≥0x −y −2≤0y ≥1作出可行域如图，化目标函数z =x +2y 为y =−−12x +z2，结合图象可知，当目标函数通过点(1,1)时，z 取得最小值，z min =1+2×1=3．故答案为：3．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 14.【答案】√2【解析】解：y =e −x 的导数为y′=−e −x ，设在P(m,n)处的切线平行于直线x +y +1=0，即有−e −m =−1得m =0，n =1，即有切点为P(0,1)，可得最短距离为点P(0,1)到直线x +y +1=0的距离d =2√2=√2，故答案为：√2．求得函数y 的导数，设在P(m,n)处的切线平行于直线x +y +1=0，可得切线的斜率，解方程可得m ，n ，再由点到直线的距离公式可得所求距离．本题考查导数的几何意义：曲线在某点处的切线的斜率即为函数在该点处的导数，考查点到直线的距离公式，化简运算能力，属于基础题．15.【答案】15【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q(q>0)，由4a3，a5，2a4成等差数列，且a1=1，得2a5=4a3+2a4，即2a1q4=4a1q2+2a1q3，得q2−q−2=0，即q=2(q>0)．∴S4=1×(1−24)1−2=15．故答案为：15．设等比数列{a n}的公比为q(q>0)，由已知结合等差数列的性质列式求得公比q，再由等比数列的前n项和公式求解S4．本题考查等差数列的性质，考查等比数列的通项公式与前n项和，是基础的计算题．16.【答案】8π【解析】解：取BC的中点E，连AE，DE，设AD=x，则BE=EC=x，∵AB=AC=BD=CD=2，∴AE⊥BC，DE⊥BC，∴BC⊥平面ADE，∴平面ADE⊥平面BCD，∴∠ADE是AD与平面BCD所成的角，∠ADE=60°，∴AE=DE=√4−x2=x，解得x=√2，∴E是三棱锥A−BCD的外接球的球心，∴所求表面积=4πx2=8π．故答案为：8π．取BC的中点E，连AE，DE，确定∠ADE是AD与平面BCD所成的角，求出AE，即可求出三棱锥外接球的表面积．本题考查三棱锥外接球的表面积，考查学生的计算能力，确定E是三棱锥A−BCD的外接球的球心是关键．17.【答案】解：(Ⅰ)由f(x)=2sinxcos(φ−x)−12的图象过点(π3,1)．得2sinπ3cos(φ−π3)−12=1，得cos(φ−π3)=√32，∵0<φ<π2⇒−π3<φ−π3<π6，∴φ−π3=−π6⇒φ=π6；(Ⅱ)f(x)=2sinxcos(π6−x)−12=2sinx(√32cosx+12sinx)−12=√3sinxcosx+sin2x=√32sin2x+1−cos2x2−12=sin(2x−π6)，由2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2,k∈Z，得kπ−π6≤x≤kπ+π3，k∈Z．∴f(x)的单调增区间为[kπ−π6,kπ+π3](k∈Z)．【解析】(Ⅰ)由已知可得2sinπ3cos(φ−π3)−12=1，结合φ的范围求得φ；(Ⅱ)把φ代入函数解析式，利用复合函数的单调性求得函数f(x)的单调递增区间．本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了y=Asin(ωx+φ)型函数的图象和性质，是中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)甲城市空气质量总体较好．(Ⅱ)甲城市在15天内空气质量类别为优或良的共有10天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为1015=23，乙城市在15天内空气质量类别为优或良的共有5天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为515=13，在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率为23×13=29．(Ⅲ)X的取值为0，1，2，P(X=0)=C50C102C152=37，P(X=1)=C51C101C152=1021，P(X=2)=C52C10C152=221．X的分布列为：X02P 371021221数学期望EX=0×37+1×1021+2×221=23．【解析】(I)由茎叶图可知：甲城市空气质量一级和二级共有10天，而乙城市空气质量一级和二级只有5天，因此甲城市空气质量总体较好．(II)由(I)的分析及相互独立事件的概率计算公式即可得出；(III)利用超几何分布即可得到分布列，再利用数学期望的计算公式即可得出．正确理解茎叶图、相互独立事件的概率计算公式、超几何分布、随机变量的分布列、数学期望的计算公式、排列与组合的计算公式是解题的关键．19.【答案】(1)证明：∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC，在直角梯形ABCD中，∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=√2，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，又BC ∩PC =C ，∴AC ⊥平面PBC ，又AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBC ．(2)解：以C 为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则C(0,0，0)，A(1,1，0)，B(1,−1,0)．设P(0,0，a)(a >0)，则E(12,−12,a 2)，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，0)，CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，a)，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,−12,a 2)，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)． ∵CB ⊥AC ，CB ⊥CP ，AC ∩CP =C ，∴CB ⊥平面PAC ，故CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)为平面PAC 的法向量． 设n ⃗ =(x,y ，z)为平面EAC 的法向量，则n ⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，n ⃗ ⋅CE⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴{x +y =0x −y +az =0，取x =a 可得n ⃗ =(a,−a,−2)， ∴cos <CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√2×√2a 2+4=2， ∵二面角P −AC −E 的余弦值为√33， ∴√a 2+2=√33，解得a =1．故n ⃗ =(1,−1,−2)，又PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,−1)， 设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，则sinθ=|cos <PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√23， 即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为√23．【解析】(1)证明AC ⊥BC ，结合AC ⊥PC 即可得出AC ⊥平面PBC ，从而可得平面EAC ⊥平面PBC ；(2)建立空间坐标系，设PC =a ，求出平面PAC 和平面ACE 的法向量，根据二面角大小计算a ，再计算直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值．本题考查了面面垂直的判定，平面向量在立体几何中的应用，属于中档题．20.【答案】解(I)联立方程{y 2=2px y =2x −2得：2x 2−(4+p)x +2=0， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由韦达定理得：x 1+x 2=4+p2，由抛物线定义可得：|BF|+|AF|=x 1+x 2+p =4+p2+p =8，∴p =4．则抛物线E 的方程为：y 2=8x ；(Ⅱ)设直线m ：y =2x +t ， 联立方程{y =2x +t y 2=8x得：4x 2+(4t −8)x +t 2=0，由△=(4t −8)2−16t 2>0得：t <1，设C(x 3,y 3)，D(x 4,y 4)，∵CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =4DP ⃗⃗⃗⃗⃗ 可知x 3=4x 4，x3x 4=4， 又∵x 3+x 4=2−t ，x 3x 4=t 24， ∴x 3x 4+x 4x 3=x 32+x 42x 3x 4=(x 3+x 4)2x 3x 4−2=(2−t)2t 24−2=4(2−t)2t 2−2=4+14， 解之得：t =89或−8，∴|CD|=√22+1√(x 3+x 4)2−4x 3x 4=2√5×√1−t ，当t =89时，|CD|=23√5；当t =−8时，|CD|=6√5．【解析】(Ⅰ)联立直线l 与抛物线方程，由韦达定理结合抛物线的定义可求出p 的值，从而得到抛物线E 的方程；(Ⅱ)设直线m ：y =2x +t ，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合条件CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =4DP ⃗⃗⃗⃗⃗ 可求得t =89或−8，再利用弦长公式表达出|CD|的长，代入t 得值即可求出|CD|的值．本题主要考查了抛物线的定义，以及直线与抛物线的位置关系，是中档题． 21.【答案】解：(1)当a =−2时，f(x)=e −x +2x ，则f′(x)=−e −x +2，令f′(x)=0，解得x =ln 12，分析知，当x <ln 12时，f′(x)<0，当x >ln 12时，f′(x)>0，∴函数f(x)在(−∞,ln 12)单调递减，在(ln 12,+∞)单调递增，∴当a =−2时，f(x)的极小值为f(ln 12)=2−2ln2，不存在极大值；(2)∵f(x)=e −x −ax ，∴f(−x)=e x +ax ，又∵ln[e(x +1)]≥2−f(−x)对任意的x ∈[0,+∞)成立，∴e x +ax +ln(x +1)−1≥0对任意的x ∈[0,+∞)成立，引入函数G(x)=e x +ax +ln(x +1)−1(x ≥0)，则G′(x)=e x +a +1x+1，令G′(x)=0，即e x +a +1x+1=0，引入函数p(x)=e x +1x+1(x ≥0)，则p′(x)=e x −1(x+1)，∴当x ≥0时，p′(x)≥0，∴函数p(x)在[0,+∞)上单调递增，∴当x =0时，p(x)min =p(0)=2，讨论：当−a ≤2，即a ≥−2时，G′(x)≥0，此时函数G(x)在[0,+∞)上单调递增，∴G(x)≥G(0)=e 0+a ×0+ln(0+1)−1=0，满足题意；当−a >2，即a <−2时，存在唯一实数x 0，使G′(x 0)=0，且分析可知，当x ∈[0,x 0]时，G′(x)≤0，当x ∈(x 0,+∞)时，G′(x)>0，又G(0)=0，故当x ∈(0,x 0)时，G(x)<0，不满足题意；综上，所求实数a 的取值范围是[−2,+∞)．【解析】(1)将a =−2代入，求导，判断函数的单调性情况即可求得极值；(2)问题等价于e x +ax +ln(x +1)−1≥0对任意的x ∈[0,+∞)成立，构造函数G(x)=e x +ax +ln(x +1)−1(x ≥0)，然后再利用导数研究即可．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，以及不等式的恒成立问题，考查运算求解及逻辑推理能力，属于较难题目．22.【答案】解：(1)曲线C 1的普通方程为x22+y 2=1，曲线C 2的直角坐标方程为y 2=4x ；(2)设直线l 的参数方程为{x =1+tcosαy =tsinα(t 为参数) 又直线l 与曲线C 2：y 2=4x 存在两个交点，因此sinα≠0．联立直线l 与曲线C 1：x 22+y 2=1，可得(1+sin 2α)t 2+2tcosα−1=0，则：|FA|⋅|FB|=|t 1t 2|=11+sin 2α，联立直线l 与曲线C 2：y 2=4x 可得t 2sin 2α−4tcosα−4=0，则|FM|⋅|FN|=|t 3t 4|=4sin α，即|FA|⋅|FB||FM|⋅|FN|=11+sin 2α4sin 2α=14⋅sin 2α1+sin 2α=14⋅11+1sin 2α∈(0,18]．【解析】(1)直接利用参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．(2)直接建立方程组利用根和系数的关系求出结果．本题主要考查：极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的转化、直线的参数方程的几何意义等内容．本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求． 23.【答案】解：(1)f(x)=|x −1|+1={x(x ≥1)−x +2(x <1)，①当x ≥1时，解不等式x ≤2x +3得：x ≥1，②当x <1时，解不等式−x +2≤2x +3得：−13≤x <1，综合①②得：不等式f(x)≤2x +3的解集为：[−13,+∞)(2)F(x)={|x −1|+1,x ≤312−3x,x >3，即F(x)={2−x,x <1x,1≤x ≤312−3x,x >3． 作出函数F(x)的图象如图所示，当直线y =a 与函数y =F(x)的图象有三个公共点时，方程F(x)=a 有三个解，所以1<a <3．所以实数a 的取值范围是(1,3)．【解析】(1)由f(x)=|x −1|+1为分段函数，可分段讨论①当x ≥1时，②当x <1时，求不等式的解集，(2)方程F(x)=a 有三个解等价于直线y =a 与函数y =F(x)的图象有三个公共点，先画出y =F(x)的图象，再画直线y =a 观察图象即可本题考查了分段函数及数形结合的思想方法，属中档题。
宁夏银川2020届高三下学期第一次摸拟试数学理科试题 含解析
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}1,0,1A =-的子集中，含有元素0的子集共有 A. 2个 B. 4个C. 6个D. 8个【答案】B 【解析】 试题分析：中含有元素的子集有：，共四个，故选B.考点：集合的子集. 2.复数()231i i +=（ ） A. 2 B. －2 C. 2i D. -2i【答案】A 【解析】 【分析】利用21i =-即可得解.【详解】()()()23122i i i i +=-=故选A.【点睛】本题考查了复数的乘法及乘方运算，属于基础题.3.已知等比数列{}n a 的公比为正数，且239522,1a a a a ⋅==，则1a = ( )A.12B. 2C.2D.22【答案】D 【解析】设公比为q ，由已知得()22841112a q a q a q ⋅=，即22q =，又因为等比数列{}n a 的公比为正数，所以2q =故21222a a q ===，故选D.4.已知m ∈R ，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在(0,)+∞上是减函数”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 即不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，由函数有零点可得，，而由函数在上为减函数可得，因此是必要不充分条件，故选B ．考点：1.指数函数的单调性；2.对数函数的单调性；3.充分必要条件. 5.若函数f x cosx ax 为增函数，则实数a 的取值范围为( )A.1,? B. [1,+∞)C.1,?D. ()1,-+∞【答案】B 【解析】 【分析】 求得函数的导数sin fxx a ，把函数()f x 为增函数，转化为sin ax 恒成立，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】由题意，函数f x cosx ax ，则sin fx x a ， 因为函数f x cosx ax 为增函数，所以sin 0fxx a 恒成立，即sin ax 恒成立，又由sin [1,1]x ，所以1a ≥，即实数a 的取值范围是[1,)+∞. 故选：B .【点睛】本题主要考查了利用函数单调性求解参数问题，其中解答熟记函数的导数与原函数的关系，合理转化是解答的关键.着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 6.一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为( )A. 23B. 25C.43D.533【答案】D 【解析】 【分析】由三视图可得该几何体是一个棱长和底面边长都是2的直三棱柱截去一个三棱锥得到的几何体，结合锥体和柱体的体积公式，即可求解.【详解】由三视图可得，该几何体是一个棱长和底面边长都是2的直三棱柱截去一个三棱锥得到的几何体，如图所示，所以该几何体的体积为：11111111223135322214343PB C ABC A B C ABC P A B C V V V ---=-=⨯⨯-⨯⨯⨯=. 故选：D .【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，其中解答中熟记三视图的规则，还原得到几何体的形状是关键，再由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.7.我国古代名著《庄子天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则①②③处可分别填入的是( )A.17?,,+1i s s i ii≤=-= B.1128?,,2i s s i ii≤=-=C17?,,+12i s s i ii≤=-= D.1128?,,22i s s i ii≤=-=【答案】B【解析】【分析】分析程序中各变量的作用，再根据流程图所示的顺序，可得该程序的作用是累加并输出S的值，由此可得到结论.【详解】由题意，执行程序框图，可得：第1次循环：11,42S i=-=；第2次循环：111,824S i=--=；第3次循环：1111,16248S i=--==；依次类推，第7次循环：11111,256241288S i=----==，此时不满足条件，推出循环，其中判断框①应填入的条件为：128?i≤，执行框②应填入：1S Si=-，③应填入：2i i=.故选：B.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，其中解答中正确理解程序框图的含义是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 8.若231()nx x+展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项为( ) A. 1 B. 5C. 10D. 20【答案】C 【解析】 【分析】 由二项式231()nx x+展开式的各项系数之和为32，求得5n =，再结合展开式的通项，即可求解常数项.【详解】由题意，二项式231()nx x +展开式的各项系数之和为32， 令1x =，可得232n =，解得5n =， 则二项式2531()x x+展开式的通项为2551515531()()r r rr r r T C x C x x --+==， 令3r =，可得常数项为3510C =. 故选：C .【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的系数的求法，以及二项展开式的通项是解答的关键.着重考查了计算能力，属于基础题.9.在平面区域(),02y x M x y x x y ⎧≥⎧⎫⎪⎪⎪=≥⎨⎨⎬⎪⎪⎪+≤⎩⎭⎩内随机取一点P ，则点P 在圆222x y +=内部的概率（ ） A.8πB.4π C.2π D.34π 【答案】B 【解析】分析：画出不等式组对应的平面区域，其与圆面222x y +<的公共部分的面积为18个圆面，故其面积与平面区域的面积之比为所求概率． 详解：不等式对应的平面区域如图所示：其中满足222x y +<的点为阴影部分对应的点，其面积为4π，不等组对应的平面区域的面积为1，故所求概率为4π，故选B ． 点睛：几何概型的概率计算关键在于测度的选取，测度通常是线段的长度、平面区域的面积、几何体的体积等．10.已知直线l ，m ，平面α、β、γ，给出下列命题：①//l α，//l β，m αβ=，则//l m ；② //αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥；③αβ⊥，βγ⊥，则αβ⊥；④l m ⊥，l α⊥，m β⊥，αβ⊥.其中正确的命题有( )A. 1 个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C 【解析】 【分析】利用线面位置关系判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】对于①中，由//,//,l l m αβαβ=，根据线面平行的性质，可得//l m ，所以是正确的；对于②中， 由//,//αββγ，可得//αγ，又由m α⊥，所以m γ⊥，所以是正确的； 对于③中，由αβ⊥，βγ⊥，则α与β平行或相交，所以不正确；对于④中，由l m ⊥，l α⊥，m β⊥，利用面面垂直的判定，可得αβ⊥，所以是正确的， 综上可得①②④是正确的.故选：C .【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与性质的应用，其中解答中熟记空间中的线面位置关系的判定与性质，逐项判定是解答的关键.着重考查了推理与论证能力，属于中档试题.11.设1F ,2F 分别为双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的左,右焦点.若在双曲线右支上存在一点P ,满足212PF F F =,且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为【 】. A.B.C.D.【答案】B 【解析】试题分析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a 与b 之间的等量关系，进而求出离心率．解：依题意|PF 2|=|F 1F 2|，可知三角形PF 2F 1是一个等腰三角形，F 2在直线PF 1的投影是其中点，由勾股定理知，可知|PF 1|=4b ，根据双曲定义可知4b-2c=2a ，整理得c=2b-a ，代入c 2=a 2+b 2整理得3b 2-4ab=0，求得43b a =，故可知双曲线的离心率为，选B. 考点：双曲线的性质点评：解决的关键是根据双曲线于直线的位置关系，以及双曲线的几何性质来求解，属于中档题． 12.已知以4T=为周期的函数21,(1,1](){12,(1,3]m x x f x x x -∈-=--∈，其中0m >．若方程3()f x x =恰有5个实数解，则实数m 的取值范围为（ ） A. 158()33B. 15(7)3C. 48(,)33D. 4(7)3【答案】B 【解析】【详解】因为当(1,1]x ∈-时，将函数化为方程2221(y 0)y x m+=≥，实质上为一个半椭圆，其图像如图所示，同时在坐标系中作出当(1,3]x ∈得图像，再根据周期性作出函数其它部分的图像，由图易知直线3x y =与第二个椭圆222(4)1(y 0)y x m -+=≥相交，而与第三个半椭圆222(8)1(y 0)y x m-+=≥无公共点时，方程恰有5个实数解，将3x y =代入222(4)1(y 0)y x m-+=≥得2222(91)721350,m x m x m +-+=令29(t 0)t m =>，则有2(t 1)8150x tx t +-+=由22(8)415(1)0,15,915,03t t t t m m m ∆=-⨯+>>>>>得由且得同样由3x y =与第三个半椭圆222(8)1(y 0)y x m-+=≥无交点，由∆<0可计算得m <综上知m ∈．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知2tan θ=，则 2cos 的值为__________. 【答案】35【解析】 【分析】由三角函数的基本关系式和余弦的倍角公式，化简得221tan 21tan cos ，代入即可求解.【详解】由题意知：2tan θ=， 又由2222222222cos sin 1tan 123 2cossincos sin 1tan 125cos . 故答案为：35. 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值，其中解答中利用三角函数的基本关系式和余弦的倍角公式，化简为齐次式求解是解答的关键.着重考查了化简与运算能力，属于基础题.14.若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且4CD DB r AB sAC ，则3r s +的值为__________. 【答案】85【解析】 【分析】根据4CD DB =得到4455CDAB AC ，再由CD r AB sAC =+，根据平面向量的基本定理，求得,r s 的值，代入即可求解.【详解】如图所示，由4CD DB =，可得444555CD CB AB AC ==-， 又由CD r AB sAC =+，所以44,55r s ==-，所以44833555r s +=⨯-=，故答案为：85. 【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理的应用，其中解答中熟记向量的运算法则，以及平面向量的基本定理是解答的关键.着重考查了推理与计算能力，属于基础题.15.已知A ，B 两点均在焦点为F 的抛物线22(0)y px p =>上，若||||4AF BF ，线段AB 的中点到直线2px =的距离为1，则P 的值为__________. 【答案】1或3 【解析】 【分析】分别过A 、B 作直线2px =的垂线，设AB 的中点M 在准线上的射影为N ，根据抛物线的定义，可得4AF BF AC BD +=+=，梯形ACDB 中，中位线1()2MN AC BD =+，由线段AB 的中点到2px =的距离为1，可得012p x -=，进而即可求解. 【详解】分别过A 、B 作直线2px =的垂线，垂足为C 、D ， 设AB 的中点M 在准线上的射影为N ，连接MN ， 设112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y ，根据抛物线的定义，可得4AF BF AC BD +=+=，所以梯形ACDB 中，中位线1()22MN AC BD =+=， 可得022p x +=，即022p x =-， 因为线段AB 的中点到2px =的距离为1，可得012p x -=， 所以21p -=，解得1p =或3p =. 故答案为：1或3.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，以及直线与抛物线的位置关系的应用.着重考查了转化与化归思想，函数与方程思想的应用，以及计算能力，属于中档试题. 16.观察下列算式：311=3235=+ 337911=++ 3413151719=+++……若某数3n 按上述规律展开后，发现等式右边含有“2021”这个数，则n =__________. 【答案】45 【解析】 【分析】由题意，可得第n 行的左边是3n ，右边是n 个计数的和，设第n 行的第一个数为n a ，利用累加法，求得21n a n n =-+，即可求解等式右边含有“2021”这个数时，实数n 的值.【详解】由题意，可得第n 行的左边是3n ，右边是n 个计数的和， 设第n 行的第一个数为n a ，则有21312a a -=-=，32734,a a -=-=1,2(1)n n a a n --=-，以上1n -个式子相加可得21(1)[22(1)](1)2n n n a a n n n n -+--==-=-，所以21n a n n =-+， 可得45461981,2071a a ==，所以等式右边含有“2021”这个数，则45n =. 故答案为：45.【点睛】本题主要考查了归纳推理，以及利用累加法求解数列的通项公式及应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题:共60分)17.在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()sin 2sin 0b A a A C -+=． （1）求角A ；（2）若3a =，ABC 的面积为2，求11b c +的值．【答案】（1）3π；（2【解析】 【分析】（1）可通过化简()sin2sin 0b A a A C -+=计算出cos A 的值，然后解出A 的值． （ 2）可通过计算b c +和bc 的值来计算11b c+的值． 【详解】（1）由()bsin 2sin 0A a A C -+=得bsin 2sin sin A a B b A ==， 又0A π<<，所以sin 0A ≠，得2cos 1A =，所以A 3π=．（2）由ABC 的面积为33及A 3π=得133bcsin 23π=，即bc 6= ，又3a =，从而由余弦定理得222cos 9b c bc A +-=，所以b c 33+=， 所以113b c b c bc ++==． 【点睛】本题考察的是对解三角函数的综合运用，需要对相关的公式有着足够的了解．18.如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，其中，频率分布直方图的分组区间分别为[)[)[)[)[]50,60,60,70,70,80,80,90,90,100，据此解答如下问题．（Ⅰ）求全班人数及分数在[]80,100之间的频率； （Ⅱ）现从分数在[]80,100之间的试卷中任取 3份分析学生情况，设抽取的试卷分数在[]90,100的份数为X ，求X 的分布列和数学望期． 【答案】（Ⅰ）516（Ⅱ）()6E x 5=，分布列见解析 【解析】试题分析:（Ⅰ）先根据频率分布直方图求出区间[)50,60上的概率，再由茎叶图确定分数在[)50,60的人数，最后根据频率、频数、总数关系求全部人数.同样先确定分数在[)80,100人数，再根据频率、频数、总数关系求分数在[]80,100之间的频率；（Ⅱ）先确定随机变量取法可能情况，再分别求对应概率，列表可得分布列，根据数学期望公式可求期望.其中概率的求法为：利用组合数，根据古典概型概率计算公式求解. 试题解析：（Ⅰ）由茎叶图知分数在[)50,60人数为4人；[)60,70的人数为8人；[)70,80的人数为10人.总人数为432 0.012510=⨯∴分数在[)80,100人数为32481010---=人∴频率为1053216=（Ⅱ）[)80,90的人数为6人；分数在[)90,100的人数为4人X的取值可能为0,1,2,3()363102011206CP XC====,()216431060111202C CP XC====()1264310363212010C CP XC====,()3431041312030CP XC====∴分布列为X 0 1 2 3P1612310130()6E x5=19.如图所示，在矩形ABCD中，4AB=，2AD=，E是CD的中点，O为AE的中点，以AE为折痕将ADE∆向上折起，使D点折到P点，且PC PB=.（1）求证: PO⊥面ABCE；（2）求AC与面PAB所成角θ的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（230【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，证得BC⊥平面POF，进而得到BC PO⊥，进而证得PO⊥面ABCE ；（2）分别以OG 、OF 、OP 为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，求得平面PAB 的一个法向量为()2,0,1n =，利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）由题意，可得 PA PE ，OA OE =，则PO AE ⊥，取BC 的中点F ，连OF ，F ，可得//OF AB ，所以OF BC ⊥， 因为 PBPC ，BC PF ，且PF OF F =，所以BC ⊥平面POF ，又因为PO ⊂平面POF ，所以BC PO ⊥.又由BC 与AE 为相交直线，所以PO ⊥平面ABCE .（2）作//OG BC 交AB 于G ，可知OG OF ⊥，分别以,,OG OF OP 为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -， 则(1,1,0)A -，(1,3,0)B ， 1.3,0C ，()0,0,2P ，可得(2,4,0)AC，(1,1,2)AP ，(0,4,0)AB，设平面PAB 的法向量为(),,n x y z =，则2040n AP x y z n AB y ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅==⎪⎩，令1z =，可得平面PAB 的一个法向量为()2,0,1n =，又由22222230sin cos ,15(2)4(2)1n AC n AC n ACθ⋅-⨯=<>===⋅-+⋅+， 所以AC 与面PAB 所成角θ的正弦值为3015.【点睛】本题考查了线面垂直的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>过点()0,1，且离心率为3.直线l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于点Q 、P ，与椭圆分别交于点M 、N ，各点均不重合且满足1PMMQ ，2PNNQ .（1）求椭圆的标准方程； （2）若123，试证明:直线l 过定点并求此定点【答案】（1）2213x y +=；（2）证明见解析，()1,0. 【解析】 【分析】（1）设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，根据题意列出方程，求得,a b 的值，即可得到椭圆的方程； （2）设l 方程为xt y m ，利用向量的坐标运算，求得111my ，221my ，得到12120y y m y y ，联立方程组，结合根与系数的关系，代入求得直线l 的方程，即可得出结论.【详解】（1）设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，由题意知1b =，且离心率221613c b eaa，解得23a =， 所以椭圆的方程为2213x y +=.（2）设0, P m ，0, 0Q x ，()11,M x y ，()22,N x y ， 设l 方程为xt y m ，由1PM MQ ，得111011,,x y mx x y ，所以111y my ，由题意知10，所以111my ， 同理由2PNNQ ，可得221my ， 123，12120y y m y y联立()2233x y x t y m ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，整理得222223230t y mt y t m ，则2422244330m ttt m，且有212223mt y y t ，2212233t m y y t ，代入12120y y m y y ，得222320t m m mt ，解得21mt，由0mt，所以1mt ，可得l 的方程为1x ty =+，此时直线过定点()1,0，即P 为定点.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等. 21.已知函数()21ln 12f x x ax bx =-++的图象在1x =处的切线l 过点11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭. （1）若函数10g xf xa x a ，求()g x 的最大值（用a 表示）；（2）若()()1212124,32a f x f x x x x x =-++++=，证明：1212x x . 【答案】(1) 1ln 2a a-；(2)证明见解析. 【解析】 试题分析：(1)由题意可得：0b =.结合导函数研究函数的单调性可得()max 1ln 2g x a a=-. (2)由题意结合(1)的结论有()()()()2121212*********ln 222f x f x x x x x x x x x x x x x ++++=++++-+=，构造函数()ln m m m ϕ=-，结合函数的特征即可证得题中的结论.试题解析： （1）由()1f x ax b x-'=+，得()11f a b ='-+， l 的方程为()()11112y a b a b x ⎛⎫--++=-+- ⎪⎝⎭，又l 过点11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴()111111222a b a b ⎛⎫⎛⎫--++=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得0b =. ∵()()()()211ln 112g x f x a x x ax a x =--=-+-+， ∴()()()2111111(0)a x x ax a x a g x ax a a x x x⎛⎫--+ ⎪-+-+⎝⎭=-+-==>'， 当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增； 当1,x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减. 故()()2max111111ln 11ln 22g x g a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫==-+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）证明：∵4a =-，∴()()22121212112212123ln 21ln 213f x f x x x x x x x x x x x x x ++++=++++++++，()()212121212ln 222x x x x x x x x =++++-+=，∴()()2121212122ln x x x x x x x x +++=-令12(0)x x m m =>，()ln m m m ϕ=-，()1m m mϕ'-=，令()0m ϕ'<得01m <<；令()0m ϕ'>得1m >.∴()m ϕ在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，∴()()11m ϕϕ≥=，∴()2121221x x x x +++≥，120x x +>，解得：1212x x +≥. (二)选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4:坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为11cos :sin x C y αα=+⎧⎨=⎩ (α为参数)，曲线222:12x C y .（1）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求1C ，2C 的极坐标方程； （2）若射线((0)6πθρ=≥与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的交点为B ，求AB .【答案】（1）2cos ρθ=，()222cos 2sin 2ρθθ+=；（22105. 【解析】 【分析】（1）由曲线1C ：1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数)化为普通方程，再结合极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得1C ，2C 的极坐标方程； （2）分别求得点,A B 对应的的极径21253,10p ，根据极经的几何意义，即可求解. 【详解】（1）曲线1C ：1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数)可化为普通方程：()2211x y -+=， 由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，曲线222:12x C y 的极坐标方程为()222cos 2sin 2ρθθ+=.（2）射线(0)6πθρ=≥与曲线1C 的交点A 的极径为1236cos， 射线(0)6πθρ=≥与曲线2C 的交点B 的极径满足22126sin ，解得22105， 所以1221035AB.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及极坐标方程的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.选修4-5:不等式选讲23.已知关于x 的不等式231x x m --+≥+有解，记实数m 的最大值为M . （1）求M的值；（2）正数 a b c ，，满足2a b c M ++=，求证：111a b b c+≥++. 【答案】（1）4M =；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）利用绝对值不等式可求得235x x --+≤，所以15m +≤，解这个不等式可求得4M =.（2）由（1）得214a b c++=，将此式乘以要证明不等式的左边，化简后利用基本不等式可求得最小值为1.试题解析：（1）()()23235x x x x --+≤--+=, 若不等式231x x m --+≥+有解， 则满足15m +≤，解得64m -≤≤， ∴4M =.（2）由（1）知正数a b c ，，满足24a b c ++=，∴()()111114a b b c a b b c a b b c ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭124b c a b a b b c ++⎛⎫=++ ⎪++⎝⎭124⎛≥+ ⎝ 1=.当且仅当a c =，2a b +=时，取等号.。
宁夏顶级名校2020届高三下学期第一次模拟考试理科数学答案
单调递增；当
x
1 a
,
时，
g
x
0
，
g
x
单调递减；
故
g
x
max
g
1 a
ln
1 a
1 2
a
1 a
2
1 a
1 a
1
1 2a
ln a
．
……6 分
（2）证明：∵ a 4 ，∴ f x1 f x2 x1 x2 3x1x2 ln x1 2x12 1 ln x2 2x22 1 x1 x2 3x1x2
（Ⅱ）射线
6
(
0) 与曲线 C1 的交点
A
的极径为
1
2 cos
6
3 ，………6 分
射线
6
(
0) 与曲线 C2
的交点
B
的极径满足
22 (1 sin2
)
6
2 ，解得
2
2
10 5
，………8
分
所以 AB 1 2
3 2 10 ．………10 分 5
23、解析： x 2 x 3 (x 2) (x 3) 5 ， ………2 分
∴
x1
x2
2 x1
x2 2 ≥1 ，
x1
x2
0
，解得
x1
x2≥
1 2
．
……12 分
22、解析：（Ⅰ）曲线
C1
:
x
y
1 cos sin
(
为参数）可化为普通方程:
(x
1)2
y2
1 ，………2
分
由
x
y
cos sin
可得曲线
2020年宁夏吴忠市高考数学模拟试卷(理科)(6月份)
第1页（共20页）2020年宁夏吴忠市高考数学模拟试卷（理科） （6月份）一、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.7 99B .(3,2)U (2，)C . (l ,i )马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿了多少斗（ ）0,b 0）的一个焦点F （c,0）为圆心，-为半径的圆与 E2的渐近线相切，则 E 的离心率等于（ ）A .2B .3C .2.3D .2.3 37. （ 5分）已知直线a 、 b,平面 、 ，且 a//b ,a ，则 b// 是的（ )A .充分不必要条件B .必要不充分条件羊食半马.”马主曰： “我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？其意是：今有牛、马、羊（5分）《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟四斗.羊主曰: 5.吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿 4斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半. 1.（5分）设集合2A {x|x 5x 60} , B {x |log 2(x 2)2}，则 A U B ()A . (,2)B . (，2)2. 3. C • (3 ,（5分）已知（1 (5分) 已知a (2 , 2)2i)z 1log 4 3,bD • ( 3,3)i ，其中i 是虚数单位，则|z| （ J 5143 ,cC .10 3 In —，贝U a , 4c 的大小关系为C .cab4. (5分) 已知向量 uuu ABUULT(2,3), AC （3,t ），且AB 与BC 夹角为锐角, 则实数t 的取值范围为9D.(-,) “1412102 26. (5分)以双曲线E : X2占1(aa bC充要条件 D . 既不充分也不必要条件.12 ( 5分)定义在R 上的偶函数f(x)满足f(2 x) f(2 x)，当x设函数g(x) e |x 2|( 2 x 6)，贝U f (x)和g(x)的图象所有交点横坐标之和等于()A . 8B . 6C . 4D . 2二、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分.13 . ( 5分)随着养生观念的深入，国民对餐饮卫生条件和健康营养要求提高.吃烧烤的人 数日益减少，烧烤店也日益减少. 某市对2015年到2019年五年间全市烧烤店盈利店铺的个 数进行了统计，具体统计数据如表：根据所给数据，得出 y 关于t 的回归方程? I? 273，估计该市2020年盈利烧烤店铺的个 数为 ____ .& ( 5分)2021年俱乐部世界杯(简称“世俱杯” 阳、济南、杭州、大连八个城市举行，我市将派 )在中国上海、天津、广州、武汉、沈 9名小记者前往采访，每个举办城市至少安排一名记者，则不同的安排种数共有 (8 1A . A 9 A-11 8 C 9A A2 8 C . C 9A 97 A Cs9. (5分)将函数f(x)的图象，且 xsin(— )(0 2g(x)的图象关于点(，0)对称，贝U())的图象向右平移个单位长度后得到函数 g(x)10. (5 分) 已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，满足2S n 4a 且数列｛na n ｝的前6项和等于321，则 m 的值等于()C . 111. (5 分) 已知直线 l: kx y k 0(k R)与抛物线C : y 22px(p1-)相交于A , B 两点, 2O 为坐标原点，则 AOB 为(A .锐角三角形B •直角三角形C .钝角三角形D .不确定 [0 , 2]时，f(x) 2 x ,52 314. (5分)(2x y)的展开式中，x y 的系数为 _____________ . 15.(5 分)已知函数 f(x) lg( x 2 1 x) a ,且 f (I n3) f (l n 1) 1，则 a.316. ( 5分)如图，在边长等于 2正方形ABCD 中，点Q 是BC 中点，点M , N 分别在线段AB ，CD 上移动(M 不与A ，B 重合，N 不与C ，D 重合)，且MN//BC ，沿着MN 将四 边形AMND 折起，使得二面角 D MN Q 为直二面角，则三棱锥 D MNQ 体积的最大值 为 ；当三棱锥D MNQ 体积最大时，其外接球的表面积为三、解答题：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17〜21题为必考 题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.3bcos (1)求角A 的大小;(2)若点 M 为边AC 边上一点，且 MC MB ,18. （12分）已知四棱锥 P ABCD 中，平面PAD 平面ABCD , AD CD , AD //BC , PA AD CD 2 , PD 2,2 , E 为棱PD 上一动点，点 F 是PB 的中点. (1)求证：AE CD ;(2 )若AB PC ，问是否存在点 E ，使得二面角 P AE F 的余弦值为 —?若存在，求 3 出点E 的位置；若不存在，请说明理由.17 . ( 12分)已知在 ABC 中，角AB 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且满足ABM ，求 ABC 的面积.219. （12分）近年来，我国电子商务行业迎来了蓬勃发展的新机遇，但是电子商务行业由于 缺乏监管，服务质量有待提高. 某部门为了对本地的电商行业进行有效监管，调查了甲、乙 两家电商的某种同类产品连续十天的销售额（单位：万元） ，得到如图茎叶图：（1） 根据茎叶图判断甲、乙两家电商对这种产品的销售谁更稳定些？（2）为了综合评估本地电商的销售情况，从甲、乙两家电商十天的销售数据中各抽取两天的销售数据，其中销售额不低于 120万元的天数分别记为 X i ，X 2，令Y X i X 2，求随机变量Y 的分布列和数学期望.甲J乙7 51hi! 5 5 3 11 5 7 «8 63 54 2 13 2 6 91 H2 220. （12分）已知椭圆E:笃 再 1（a b 0）的离心率为 —，过定点（1,0）的直线I 与椭a b 3 圆E 相交于A , B 两点，C 为椭圆的左顶点，当直线I 过点（0,b ）时，OAB （O 为坐标原点） 的面积为4b .5（1） 求椭圆E 的方程；（2）求证：当直线I 不过C 点时， ACB 为定值.21. （12 分）已知函数 f （x ） Inx x a . （1 ）讨论函数f （x ）零点的个数；（2）若函数f （x ）存在两个零点x 1 , x 2（x 2 x 2），证明：2lnx 1 lnx 2 0 .（二）选考题：共 10分•请考生在第 22、23题中任选一题作答•如果多做，则按所做的 第一题计分.第4页（共20页）［选修4-4 :坐标系与参数方程］x 3 3cos22. （10分）已知圆C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点,y 1 3si n的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2 cos（） 2 .4（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程;（2）求直线I被圆C截得弦的长.。
宁夏银川市第六中学2020届高三全国统一招生模拟考试数学(理)试卷 Word版含答案
姓名，年级：时间：理科数学试卷注意事项:1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}13|{},1|{2<=≤=x x B x x A ，则=)(B C A R A ．}0|{<x xB ．}10|{≤≤x xC ．}01|{<≤-x xD ．}1|{-≥x x2．若复数z 与其共轭复数z 满足i z z 312+=-，则=||z A ．2 B ．3C ．2D ．53．抛物线214yx 的准线方程是 A ．2-=x B ．2-=y C ．1-=x D ．1-=y 4．若向量)2,1(+=x a 与)1,1(-=b 平行，则|2+|=a b A 2B 32C ．32D 25．已知n m ,是两条不重合的直线，βα,是两个不重合的平面,则下列命题中，错误的是A ．若α⊥⊥m n m ,，则α//nB ．若αα⊄n m n m ,//,//，则α//nC ．若βα⊥⊥⊥n m n m ,,，则βα⊥D ．若βαα//,//m ，则β//m 或β⊂m6．已知函数y =f (x )的部分图像如图,则f (x ）的解析式可能是 A ．()tan f x x x =+ B ．()sin 2f x x x =+C ．1()sin 22f x x x =-D ．1()cos 2f x x x =-7．为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦"，某大学派遣甲，乙，丙，丁，戊五位同学参加A ，B,C 三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲，乙两人约定去同一个贫困县,则不同的派遣方案共有 A ．24B ．36C ．48D ．648．已知函数41()2x x f x -=,0.30.30.3(2),(0.2),(log 2)a f b f c f ===,则,,a b c 的大小关系为A ．c b a <<B ． b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<9．天文学中，为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus ）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2020年宁夏高考数学（理科）模拟试卷（6）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A ＝{x ∈N |x ＞1}，B ＝{x |x ＜5}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |1＜x ＜5}B ．{x |x ＞1}C ．{2，3，4}D ．{1，2，3，4，5}2．（5分）若z =i 2020+3i 1+i，则z 的虚部是（ ）A ．iB ．2iC ．﹣1D ．13．（5分）已知α∈(−π2，0)，sin(π−2α)=−12，则sin α﹣cos α＝（ ） A ．√52B ．−√52C ．√62D ．−√624．（5分）若a →，b →，c →满足，|a →|=|b →|=2|c →|=2，则(a →−b →)⋅(c →−b →)的最大值为（ ） A ．10B ．12C ．5√3D ．6√25．（5分）已知四棱锥P ﹣ABCD 的五个顶点都在球O 的球面上，AB ＝AD ＝CD ，BC ∥AD ，∠ABC ＝60°，△P AB 是等边三角形，若四棱锥P ﹣ABCD 体积的最大值9√3，则球O 的表面积为（ ） A ．56πB ．54πC ．52πD ．50π6．（5分）数列{a n }是公差为2的等差数列，S n 为其前n 项和，且a 1，a 4，a 13成等比数列，则S 4＝（ ） A ．8B ．12C ．16D ．247．（5分）已知函数f(x)=sin(2x −π3)，则下列关于函数f （x ）的说法，不正确的是（ ） A ．f （x ）的图象关于x =−π12对称B ．f （x ）在[0，π]上有2个零点C ．f （x ）在区间(π3，5π6)上单调递减 D ．函数f （x ）图象向右平移11π6个单位，所得图象对应的函数为奇函数8．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人．已知： ①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁； ②乙不在原始森林，也不在远古村寨；③“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件；④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨．若以上语句都正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁9．（5分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，给出下列四个结论： ①f （x ）的最小正周期为π2；②f （x ）的最小值为﹣4；③（π，0）是f （x ）的一个对称中心； ④函数f （x ）在区间（−23π，−512π）上单调递增． 其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．110．（5分）函数y =xe x +e −x的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．11．（5分）已知椭圆x 2a +y 162=1与双曲线x 2m −y 52=1有公共焦点F 1，F 2，且两条曲线在第一象限的交点为P 点，则△PF 1F 2的面积为（ ）A ．112B ．212C ．4√5D ．8√512．（5分）已知函数f(x)=ln(x +√x 2+1)满足对于任意x 1∈[12，2]，存在x 2∈[12，2]，使得f(x 12+2x 1+a)≤f(lnx2x 2)成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[ln22−8，+∞) B ．[ln22−8，−54−2ln2]C ．(−∞，ln22−8]D ．(−∞，−54−2ln2]二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 13．（5分）(√x 3−2x )4的展开式中，常数项是 ． 14．（5分）函数f （x ）＝（12）|x﹣1|+2cos πx （﹣4≤x ≤6）的所有零点之和为 ．15．（5分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，A 为右顶点．过坐标原点O 的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，线段AP 的中点为M ，直线QM 交x 轴于N （2，0），椭圆C 的离心率为23，则椭圆C 的标准方程为 ．16．（5分）△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且BC 边上的高为a 2，则c b+b c的最大值为 ．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）设数列{a n }满足：a 1＝1，且2a n ＝a n +1+a n ﹣1（n ≥2），a 3+a 4＝12． （1）求{a n }的通项公式； （2）求数列{1a n a n+2}的前n 项和．18．（12分）在如图所示的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE ⊥EB ，AD ∥EF ，EF ∥BC ，BC ＝4，EF ＝3，AD ＝AE ＝BE ＝2，G 是BC 的中点． （1）求证：BD ⊥EG ；（2）求二面角G ﹣DE ﹣F 的平面角的余弦值．19．（12分）十八大以来，党中央提出要在2020年实现全面脱贫，为了实现这一目标，国家对“新农合”（新型农村合作医疗）推出了新政，各级财政提高了对“新农合”的补助标准．提高了各项报销的比例，其中门诊报销比例如下：表1：新农合门诊报销比例医院类别村卫生室镇卫生院二甲医院三甲医院门诊报销比例60%40%30%20%根据以往的数据统计，李村一个结算年度门诊就诊人次情况如下：表2：李村一个结算年度门诊就诊情况统计表医院类别村卫生室镇卫生院二甲医院三甲医院一个结算年度内70%10%15%5%各门诊就诊人次占李村总就诊人次的比例如果一个结算年度每人次到村卫生室、镇卫生院、二甲医院、三甲医院门诊平均费用分别为50元、100元、200元、500元．若李村一个结算年度内去门诊就诊人次为2000人次．（Ⅰ）李村在这个结算年度内去三甲医院门诊就诊的人次中，60岁以上的人次占了80%，从去三甲医院门诊就诊的人次中任选2人次，恰好2人次都是60岁以上人次的概率是多少？（Ⅱ）如果将李村这个结算年度内门诊就诊人次占全村总就诊人次的比例视为概率，求李村这个结算年度每人次用于门诊实付费用（报销后个人应承担部分）X的分布列与期望．20．（12分）在直角坐标系xOy中，已知点P（1，0），若以线段PQ为直径的圆与y轴相切．（Ⅰ）求点Q的轨迹C的方程；（Ⅱ）若C 上存在两动点A ，B （A ，B 在x 轴异侧）满足OA →•OB →=32，且△P AB 的周长为2|AB |+2，求|AB |的值．21．（12分）已知函数f(x)=x 2−2ax −ln 1x，a ∈R ． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）若f （x ）有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2），求f （x 2）﹣2f （x 1）的最大值． 四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，A 点的直角坐标为(√3+2cosα，1+2sinα)（α为参数）．在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，直线的极坐标方程为2ρcos(θ+π6)=m ．（m 为实数）． （1）试求出动点A 的轨迹方程（用普通方程表示）（2）设A 点对应的轨迹为曲线C ，若曲线C 上存在四个点到直线的距离为1，求实数m 的取值范围． 五．解答题（共1小题）23．已知函数f （x ）＝|x ﹣3|﹣2|x |． （1）求不等式f （x ）≤2的解集；（2）若f （x ）的最大值为m ，正数a ，b ，c 满足a +b +c ＝m ，求证：a 2+b 2+c 2≥3．2020年宁夏高考数学（理科）模拟试卷（6）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A ＝{x ∈N |x ＞1}，B ＝{x |x ＜5}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |1＜x ＜5}B ．{x |x ＞1}C ．{2，3，4}D ．{1，2，3，4，5}【解答】解：∵集合A ＝{x ∈N |x ＞1}，B ＝{x |x ＜5}， ∴A ∩B ＝{x ∈N |1＜x ＜5}＝{2，3，4}． 故选：C ．2．（5分）若z =i 2020+3i 1+i ，则z 的虚部是（ ）A ．iB ．2iC ．﹣1D ．1【解答】解：z =i 2020+3i 1+i =1+3i 1+i =(1+3i)(1−i)(1+i)(1−i)=2+i ，∴z 的虚部是1． 故选：D ．3．（5分）已知α∈(−π2，0)，sin(π−2α)=−12，则sin α﹣cos α＝（ ） A ．√52B ．−√52C ．√62D ．−√62【解答】解：因为sin(π−2α)=−12，所以sin2α=−12，2sinαcosα=−12， 所以（sin α﹣cos α）2＝1−2sinαcosα=32， 又α∈(−π2，0)，所以sin α＜cos α，sin α﹣cos α=−√62．故选：D ．4．（5分）若a →，b →，c →满足，|a →|=|b →|=2|c →|=2，则(a →−b →)⋅(c →−b →)的最大值为（ ） A ．10B ．12C ．5√3D ．6√2【解答】解：a →，b →，c →满足，|a →|=|b →|=2|c →|=2，则(a →−b →)⋅(c →−b →)=a →⋅c →−a →⋅b →−b →⋅c →+b →2=2cos ＜a →，c →＞−4cos ＜a →，b →＞−2cos ＜b →，c →＞+4≤12，当且仅当a →，c →同向，a →，b →，反向，b →，c →反向时，取得最大值． 故选：B ．5．（5分）已知四棱锥P ﹣ABCD 的五个顶点都在球O 的球面上，AB ＝AD ＝CD ，BC ∥AD ，∠ABC ＝60°，△P AB 是等边三角形，若四棱锥P ﹣ABCD 体积的最大值9√3，则球O 的表面积为（ ） A ．56πB ．54πC ．52πD ．50π【解答】解：四棱锥P ﹣ABCD 的五个顶点都在球O 的球面上，如图：四棱锥P ﹣ABCD 体积的最大值9√3，只有平面P AB 与底面ABCD 垂直，并且底面ABCD 面积取得最大值时，几何体的体积最大，因为AB ＝AD ＝CD ，BC ∥AD ，∠ABC ＝60°，可得ABCD 是正六边形的一半，设AB ＝AD ＝CD ＝a ， 则四棱锥的体积的最大值为：13×√32a ×3a 2×√32a =9√3， 解得a ＝2√3．此时，底面ABCD 的外心为E ，外接球的球心为O ，外接球的半径为R ， 所以R =(13×32×2√3)2+(2√3)2=√13，所以外接球的表面积为：4π×(√13)2=52π． 故选：C ．6．（5分）数列{a n }是公差为2的等差数列，S n 为其前n 项和，且a 1，a 4，a 13成等比数列，则S 4＝（ ） A ．8B ．12C ．16D ．24【解答】解：数列{a n }是公差d 为2的等差数列，S n 为其前n 项和，且a 1，a 4，a 13成等比数列，可得a 42＝a 1a 13，即（a 1+6）2＝a 1（a 1+24）， 解得a 1＝3，则S 4＝4a 1+6d ＝4×3+6×2＝24． 故选：D ．7．（5分）已知函数f(x)=sin(2x −π3)，则下列关于函数f （x ）的说法，不正确的是（ ） A ．f （x ）的图象关于x =−π12对称B ．f （x ）在[0，π]上有2个零点C ．f （x ）在区间(π3，5π6)上单调递减 D ．函数f （x ）图象向右平移11π6个单位，所得图象对应的函数为奇函数【解答】解：函数f(x)=sin(2x −π3)，在A 中，函数f(x)=sin(2x −π3)的对称轴方程满足2x −π3=k π+π2，k ∈z ， 整理得x =kπ2+5π12，k ∈Z ，当k ＝﹣1时，对称轴为x =−π12，故A 正确； 在B 中，函数f(x)=sin(2x −π3)在[0，π]上有2个零点，故B 正确； 在C 中，函数f(x)=sin(2x −π3)的增区间满足： −π2+2kπ≤2x −π3≤π2+2kπ，k ∈Z ， 解得−π12+kπ≤x ≤5π12+kπ，k ∈Z ， ∴f （x ）在区间（π3，5π5）上单调递增，故C 错误；在D 中，函数f(x)=sin(2x −π3)图象向右平移11π6个单位，得到的函数为f （x ）＝sin[2（x −11π6）−π3]＝2sin （2x ﹣4π）＝2sin2x ， 所得图象对应的函数为奇函数，故D 正确． 故选：C ．8．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人．已知： ①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁； ②乙不在原始森林，也不在远古村寨；③“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件； ④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨．若以上语句都正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【解答】解：①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁，则甲在千丈瀑布或原始森林， ②乙不在原始森林，也不在远古村寨，则乙在千丈瀑布或百里绝壁，③“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件；若丙在远古村寨，则甲在原始森林，④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨，则丁在千丈瀑布或原始森林， 故乙在百里绝壁，甲在原始森林，丙在远古村寨，丁在千丈瀑布， 故选：D ．9．（5分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，给出下列四个结论： ①f （x ）的最小正周期为π2；②f （x ）的最小值为﹣4；③（π，0）是f （x ）的一个对称中心；④函数f （x ）在区间（−23π，−512π）上单调递增． 其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【解答】解：由图象知T ＝2（π3−π12）＝2×π4=π2，即2πω=π2，得ω＝4，故①正确， 则f （x ）＝A sin （4x +φ），由五点对应法得4×π12+φ=π2，得φ=π6， 则f （x ）＝A sin （4x +π6），f （0）＝A sinπ6=12A ＝2，得A ＝4，即f （x ）＝4sin （4x +π6），最小值为﹣4，故②正确，f （π）＝4sin （4π+π6）＝4sin π6=4×12=2≠0，则（π，0）不是f （x ）的一个对称中心；故③错误，当−23π＜x ＜−512π时，−8π3＜4x ＜−5π3，−8π3＜4x +π6＜−3π2，此时函数f （x ）在（−8π3，−3π2）上递增，故④正确， 故正确的是①②④， 故选：B ．10．（5分）函数y =xe x +e −x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：根据题意，设f(x)=xe x +e −x，则f(−x)=−xe −x +e x =−f(x)，所以函数f （x ）是奇函数，其图象关于原点对称，排除B ，C ， 且当x →+∞时，f(x)=xe x +e −x →0，排除D ， 故选：A ． 11．（5分）已知椭圆x 2a 2+y 162=1与双曲线x 2m 2−y 52=1有公共焦点F 1，F 2，且两条曲线在第一象限的交点为P 点，则△PF 1F 2的面积为（ ） A ．112B ．212C ．4√5D ．8√5【解答】解：由题意，|PF 1|﹣|PF 2|＝2|m |，|PF 1|+|PF 2|＝2|a |， ∴|PF 1|＝|m |+|a |，|PF 2|＝|a |﹣|m |， ∵椭圆x 2a 2+y 162=1与双曲线x 2m 2−y 52=1有共同的焦点，∴a 2﹣16＝m 2+5， ∴a 2﹣m 2＝21，∴cos ∠F 1PF 2=2m 2+2a 2−4(a 2−16)2(a 2−m 2)=2a 2−42+2a 2−4(a 2−16)42=1121． ∴sin ∠F 1PF 2=8√521．∴△PF 1F 2的面积为12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2=12×21×8√521=4√5．故选：C ．12．（5分）已知函数f(x)=ln(x +√x 2+1)满足对于任意x 1∈[12，2]，存在x 2∈[12，2]，使得f(x 12+2x 1+a)≤f(lnx2x 2)成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[ln22−8，+∞) B ．[ln22−8，−54−2ln2]C ．(−∞，ln22−8] D ．(−∞，−54−2ln2]【解答】解：∵f （﹣x ）+f （x ）=ln(−x +2+1)+ln(x +√x 2+1)=ln 1＝0，x ∈R ， ∴函数f(x)=ln(x +√x 2+1)为奇函数，且在[0，+∞）单调递增， ∴f （x ）在R 上单调递增，又对于任意x 1∈[12，2]，存在x 2∈[12，2]，使得f(x 12+2x 1+a)≤f(lnx2x 2)成立，∴f(x 12+2x 1+a)max ≤(lnx2x 2)max ，∴(x 12+2x 1+a)max ≤(lnx 2x 2)max， ∵y ＝x 2+2x +a 在区间[12，2]上单调递增，∴y max ＝22+2×2+a ＝8+a ． 令h （x ）=lnx x， 则h ′（x ）=1−lnxx 2＞0． ∴h （x ）在区间[12，2]上单调递增， ∴h （x ）max ＝h （2）=ln22． ∴8+a ≤ln22， ∴a ≤ln22−8， 故选：C ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）(√x 3−2x)4的展开式中，常数项是 ﹣8 ． 【解答】解：二项式(√x 3−2x)4的展开式的通项公式为 T r +1=∁4r •（√x 3）4﹣r •（﹣2）r •x ﹣r =∁4r •（﹣2）r •x 4−4r 3．令x 的幂指数4−4r 3=0，解得r ＝1，∴展开式中的常数项为： T 2=∁41•（﹣2）1＝﹣8． 故答案为：﹣8．14．（5分）函数f （x ）＝（12）|x﹣1|+2cos πx （﹣4≤x ≤6）的所有零点之和为 10 ．【解答】解：由f （x ）＝0，得（12）|x ﹣1|＝﹣2cos πx ，设y ＝（12）|x﹣1|和y ＝﹣2cos πx ，作出两个函数的图象， 则y ＝（12）|x﹣1|y ＝关于x ＝1对称，分别作出函数y ＝（12）|x﹣1|和y ＝﹣2cos πx 图象如图：由图象可知两个函数共有10个交点，它们中有5组关于x ＝1对称， 不妨设关于x 对称的两个零点的横坐标分别为x 1，x 2， 则x 1+x 22=1，即x 1+x 2＝2，∴所有10个零点之和为5（x 1+x 2）＝5×2＝10， 故答案为：10．15．（5分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，A 为右顶点．过坐标原点O 的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，线段AP 的中点为M ，直线QM 交x 轴于N （2，0），椭圆C 的离心率为23，则椭圆C 的标准方程为x 236+y 220=1 ．【解答】解：设P （x ，y ），则由A （a ，0）； 线段AP 的中点为M ，则M （x+a 2，y2）；由题意，Q ，N ，M 三点共线，k MN ＝k NQ ；即12y−0x+a2−2=0−(−y)2−(−x)；可得x +a ﹣4＝2+x ；所以a ＝6，由椭圆C 的离心率为23，得c ＝4，b 2＝20；故椭圆C 的标准方程为：x 236+y 220=1．故答案为：x 236+y 220=1．16．（5分）△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且BC 边上的高为a 2，则cb+b c 的最大值为 2√2 ．【解答】解：因为 S △ABC =12•a •a2=12bc sin A ，即a 2＝2bc sin A ；由余弦定理得cos A =b 2+c 2−a 22bc， 所以b 2+c 2＝a 2+2bc cos A ＝2 bc sin A +2bc cos A ； 代入得cb +b c=b 2+c 2bc=2sin A +2cos A ＝2√2sin （A +π4），当A =π4时，cb+b 4取得最大值为2√2．故答案为：2√2．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）设数列{a n }满足：a 1＝1，且2a n ＝a n +1+a n ﹣1（n ≥2），a 3+a 4＝12． （1）求{a n }的通项公式； （2）求数列{1a n a n+2}的前n 项和．【解答】解：（1）依题意，由2a n ＝a n +1+a n ﹣1（n ≥2）可知数列{a n }是等差数列． 设等差数列{a n }的公差为d ，则a3+a4＝（a1+2d）+（a1+3d）＝2+5d＝12，解得d＝2．∴a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*．（2）由（1）知，1a n a n+2=1(2n−1)(2n+3)=14（12n−1−12n+3），设数列{1a n a n+2}的前n项和为T n，则T n=1a1a3+1a2a4+1a3a5+⋯+1a n−2a n+1a n−1a n+1+1a n a n+2=14（1−15）+14（13−17）+14（15−19）+⋯+14（12n−5−12n−1）+14（12n−3−12n+1）+14（12n−1−12n+3）=14（1−15+13−17+15−19+⋯+12n−5−12n−1+12n−3−12n+1+12n−1−12n+3）=14（1+13−12n+1−12n+3）=13−n+1(2n+1)(2n+3)．18．（12分）在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝4，EF＝3，AD＝AE＝BE＝2，G是BC的中点．（1）求证：BD⊥EG；（2）求二面角G﹣DE﹣F的平面角的余弦值．【解答】解：（1）证∵EF⊥平面ABE，AE⊂平面AEB，BE⊂平面AEB，∴EF⊥AE，EF⊥BE，又AE⊥EB，∴FE，BE，AE两两垂直．以点E为坐标原点，FE，BE，AE分别为X，Y，Z轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得，A（0，0，2），B（2，0，0），C （2，4，0），F （0，3，0），D （0，2，2）， G （2，2，0）．∴EG →=(2，2，0)，BD →=(−2，2，2)， ∴DB →⋅EG →=−2×2+2×2+2×0=0， ∴BD ⊥EG ．（2）由已知得EB →=(2，0，0)是平面DEF 的法向量． 设平面DEG 的法向量为n →=(x ，y ，z)， ∵ED →=(0，2，2)，EG →=(2，2，0)，∴{ED →⋅n →=0EG →⋅n →=0，即{y +z =0x +y =0，令x ＝1，得n →=(1，−1，1)． 设平面DEG 与平面DEF 所成锐二面角的大小为θ， 则cos θ=|n →⋅EB →||n →|⋅|EB →|=√33 ∴平面EDG 与平面DEF 所成锐二面角的余弦值为√33．19．（12分）十八大以来，党中央提出要在2020年实现全面脱贫，为了实现这一目标，国家对“新农合”（新型农村合作医疗）推出了新政，各级财政提高了对“新农合”的补助标准．提高了各项报销的比例，其中门诊报销比例如下： 表1：新农合门诊报销比例医院类别 村卫生室 镇卫生院 二甲医院 三甲医院 门诊报销比例60%40%30%20%根据以往的数据统计，李村一个结算年度门诊就诊人次情况如下：表2：李村一个结算年度门诊就诊情况统计表医院类别村卫生室镇卫生院二甲医院三甲医院一个结算年度内各门诊就诊人次占李村总就诊人次的比例70%10%15%5%如果一个结算年度每人次到村卫生室、镇卫生院、二甲医院、三甲医院门诊平均费用分别为50元、100元、200元、500元．若李村一个结算年度内去门诊就诊人次为2000人次．（Ⅰ）李村在这个结算年度内去三甲医院门诊就诊的人次中，60岁以上的人次占了80%，从去三甲医院门诊就诊的人次中任选2人次，恰好2人次都是60岁以上人次的概率是多少？（Ⅱ）如果将李村这个结算年度内门诊就诊人次占全村总就诊人次的比例视为概率，求李村这个结算年度每人次用于门诊实付费用（报销后个人应承担部分）X的分布列与期望．【解答】解：（Ⅰ）由表2可得李村一个结算年度内去门诊就诊人次为2000人次，分别去村卫生室、镇卫生院、二甲医院、三甲医院人数为2000×70%＝1400，2000×10%＝200，2000×15%＝300，2000×5%＝100，而三甲医院门诊就诊的人次中，60岁以上的人次占了80%，所以去三甲医院门诊就诊的人次中，60岁以上的人数为：100×80%＝80人，设从去三甲医院门诊就诊的人次中任选2人次，恰好2人次都是60岁以上人次的事件记为A，则P（A）=C802C1002=316495；（Ⅱ）由题意可得随机变量X的可能取值为：50﹣50×0.6＝20，100﹣100×0.4＝60，200﹣200﹣200×0.3＝140，500﹣500×0.2＝400p（X＝20）＝0.7，P（X＝60）＝0.1，P（X＝140）＝0.15，P（X＝400）＝0.05，所以X的发分布列为：所以可得期望EX＝20×0.7+60×0.1+140×0.15+400×0.05＝6120．（12分）在直角坐标系xOy 中，已知点P （1，0），若以线段PQ 为直径的圆与y 轴相切． （Ⅰ）求点Q 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若C 上存在两动点A ，B （A ，B 在x 轴异侧）满足OA →•OB →=32，且△P AB 的周长为2|AB |+2，求|AB |的值．【解答】解：（Ⅰ）设点Q （x ，y ），圆心N （x 0，y 0）， 圆与y 轴相切于点C ，则|PQ |＝2|NC |， ∴√(x −1)2+y 2=2|x 0|， 又点N 为PQ 的中点，∴x 0=x+12∴√(x −1)2+y 2=|x +1|，整理得：y 2＝4x ． ∴点Q 的轨迹方程为：y 2＝4x ；（Ⅱ）P （1，0）恰为y 2＝4x 的焦点，设直线AB 的方程为：x ＝my +t ，即x ﹣my ﹣t ＝0， 联立方程组{y 2=4x x =my +t，得y 2﹣4my ﹣4t ＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则y 1y 2＝﹣4t ，y 1+y 2＝4m ，∴x 1x 2=y 124•y 224=t 2，∴OA →•OB →=x 1x 2+y 1y 2＝t 2﹣4t ＝32，解得t ＝8或t ＝﹣4（舍），∴直线AB 经过点（8，0）； 因为△P AB的周长＝|P A |+|PB |+|AB |＝x 1+1+x 2+1+|AB |=y 124+y 224+2+|AB |=(y 1+y 2)2−2y 1y 24+2+|AB |=16m 2+8t4+2+|AB |＝2|AB |+2， 即|AB |=16m 2+8t 4=16m 2+644=4m 2+16， 又因为|AB |=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√m 2+1|y 1﹣y 2|=√m 2+1√16m 2+16t =4√m 2+1√m 2+8 则4m 2+16＝4√m 2+1√m 2+8，解得m ＝±2√2， 所以|AB |＝4m 2+16＝4×8+16＝48．21．（12分）已知函数f(x)=x 2−2ax −ln 1x ，a ∈R ． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）若f （x ）有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2），求f （x 2）﹣2f （x 1）的最大值．【解答】解：（1）f ′（x ）＝2x ﹣2a +1x =2x 2−2ax+1x，x ＞0， 令y ＝2x 2﹣2ax +1，当△＝4a 2﹣8≤0，即−√2≤a ≤√2时，y ≥0，此时f （x ）在（0，+∞）上单调递增； 当a ＜−√2时，2x 2﹣2ax +1＝0有两个负根，此时f （x ）在（0，+∞）上单调递增；当a ＞√2时，2x 2﹣2ax +1＝0有两个正根，分别为x 1=a−√a 2−22，x 2=a+√a 2−22，此时f （x ）在（0，x 1），（x 2，+∞）上单调递增，在（x 1，x 2）上单调递减． 综上可得：a ≤√2时，f （x ）在（0，+∞）上单调递增， a ＞√2时，f （x ）在（0，a−√a 2−22），（a+√a 2−22，+∞）上单调递增，在（a−√a 2−22，a+√a 2−22）上单调递减．（2）由（1）可得x 1+x 2＝a ，x 1•x 2=12，a ＞√2， 2ax 1＝2x 12+1，2ax 2＝2x 22+1， ∵a ＞√2，a2＞√22， ∴x 1∈（0，√22），x 2∈（√22，+∞），f （x 2）﹣2f （x 1）=x 22−2ax 2+lnx 2﹣2（x 12−2ax 1+lnx 1） =−x 22+2x 12+lnx 2﹣2lnx 1+1 =−x 22+2(12x 2)2+lnx 2+2ln 12x 2+1=−x 22+12x22+32ln x 22+1+2ln 2， 令t =x 22，则t ＞12，g （t ）＝﹣t +12t +32lnt +1+2ln 2，g ′（t ）＝﹣1−12t 2+32t =−2t 2+3t−12t 2=−(2t−1)(t−1)2t 2， 当12＜t ＜1时，g ′（t ）＞0；当t ＞1时，g ′（t ）＜0，∴g （t ）在（12，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减 g （t ）max ＝g （1）=1+4ln22f （x 2）﹣2f （x 1）的最大值为1+4ln22．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，A 点的直角坐标为(√3+2cosα，1+2sinα)（α为参数）．在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，直线的极坐标方程为2ρcos(θ+π6)=m ．（m 为实数）． （1）试求出动点A 的轨迹方程（用普通方程表示）（2）设A 点对应的轨迹为曲线C ，若曲线C 上存在四个点到直线的距离为1，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）设A （x ，y ），又A 点的直角坐标为(√3+2cosα，1+2sinα)， ∴{x =√3+2cosαy =1+2sinα，把两式移项平方作和得：(x −√3)2+(y −1)2=4； （2）由2ρcos(θ+π6)=m ， 得2ρ×√32cosθ−2ρ×12sinθ=m ，即√3x −y −m =0，如图，要使曲线C 上存在四个点到直线的距离为1，则圆C 的圆心C （√3，1）到直线√3x −y −m =0的距离小于1． 即|3−1−m|2＜1，解得0＜m ＜4．五．解答题（共1小题）23．已知函数f （x ）＝|x ﹣3|﹣2|x |． （1）求不等式f （x ）≤2的解集；（2）若f （x ）的最大值为m ，正数a ，b ，c 满足a +b +c ＝m ，求证：a 2+b 2+c 2≥3． 【解答】解：（1）∵f （x ）＝|x ﹣3|﹣2|x |，f （x ）≤2， ∴当x ≤0时，f （x ）＝|x ﹣3|﹣2|x |＝（3﹣x ）+2x ＝x +3， 由f （x ）≥2，得x +3≥2，解得x ≥﹣1，此时﹣1≤x ≤0 当0＜x ＜3时，f （x ）＝|x ﹣3|﹣2|x |＝（3﹣x ）﹣2x ＝3﹣3x ， 由f （x ）≥2，得3﹣3x ≥2，解得x ≤13，此时0＜x ≤13；当x ≥3时，f （x ）＝|x ﹣3|﹣2|x |＝（x ﹣3）﹣2x ＝﹣x ﹣3≤﹣6， 此时不等式f （x ）≥2无解，综上，不等式f （x ）≥2的解集为[−1，13]．（2）由（1）可知，f(x)={x +3，x ≤03−3x ，0＜x ＜3−x −3，x ≥3．当x ≤0时，f （x ）＝x +3≤3；当0＜x ＜3时，f （x ）＝3﹣3x ∈（﹣6，3）； 当x ≥3时，f （x ）＝﹣x ﹣3≤﹣6．∴函数y ＝f （x ）的最大值为m ＝3，则a +b +c ＝3． 由柯西不等式可得（1+1+1）（a 2+b 2+c 2）≥（a +b +c ）2， 即3（a 2+b 2+c 2）≥32，即a 2+b 2+c 2≥3， 当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立． 因此a 2+b 2+c 2≥3．。