清华大学-土力学-极限平衡理论求地基极限承载力
极限承载力的计算
第三节 极限承载力的计算在土力学的发展中，已经提出了许多极限荷载公式，1920年普朗特首先根据塑性平衡理论导出了介质达到极限荷载时，沿着曲面发生滑动的数学方程，并认为介质的抗剪强度性质，可以用强度指标c ，ϕ表示，但是，他的研究结果只适用于无重量的介质的极限平衡平面课题。
随后不少学者根据他的研究结果，引用来求解地基土的极限荷载，并进一步作了不同形式的修正和补充，以便在工程中加以应用。
太沙基根据普朗特相似的概念，导出了考虑地基土自重影响的极限荷载公式。
但这些公式都忽略了基础底面以上覆盖土层的抗剪强度的影响，故只适用于计算浅基础的极限荷载。
梅耶霍夫进一步考虑了基础底面以上覆盖层的抗剪强度的影响，从而提出了浅基础和深基础的极限荷载公式。
一．普朗特尔极限承载力公式普朗特尔公式是求解宽度为b 的条形基础，置于地基表面，在中心荷载P 作用下的极限荷载Pu 值。
普朗特尔的基本假设及结果，归纳为如下几点：（1）地基土是均匀，各向同性的无重量介质，即认为土的0=γ，而只具有c ，ϕ的材料。
（2）基础底面光滑，即基础底面与土之间无摩擦力存在，所以基底的压应力垂直于地面。
（3）当地基处于极限平衡状态时，将出现连续的滑动面，其滑动区域将由朗肯主动区I ，径向剪切区II 或过渡区和朗肯被动区III 所组成。
其中滑动区I 边界BC 或AC 为直线，并与水平面成（45＋ϕ/2）角；即三角形ABC 是主动应力状态区；滑动区II 的边界CE 或 C Ｄ为对数螺旋曲线，其曲线方程为 θθtg e r r 0=，r 0为起始矢径；θ为射线r 与r 0夹角，滑动区III 的边界E G ，DF 为直线并与水平面成（45－φ/2）角。
（4）当基础有埋置深度d 时，将基础底面以上的两侧土体用相当的均布超载d q γ=来代替。
根据上述的基本假设，采用刚体平衡方法或特征线法，可以得到地基极限承载力为：c q u cN rdN p +=式中：r ：基础两侧土的容重d ：基础的埋置深度q N ，c N ：承载力系数，它们是土的内摩擦角ϕ的函数，可查下表：其中)245(02ϕϕπ+=tg e Nq tgϕctg Nq Nc )1(-=二、斯肯普顿地基极限承载力公式对于矩形基础，斯肯普顿（1952年）给出的地基极限承载力公式为：d c p d bu 0)1)(1(5γ+++= c ——地基土粘聚力;b 、l ——分别为基础的宽度和长度；0γ——基础埋置深度d 范围内土的重度。
按理论公式计算地基极限承载力
按理论公式计算地基极限承载力按理论公式计算地基极限承载力2010-04-1709:58地基的极限承载力pu是指地基发生剪切破坏失去整体稳定时的基底压力，地基承受荷载的极限压力。
将地基极限承载力除以安全系数K，即为地基承载力的设计值。
求解地基的极限承载力的途径有二:一是用严密的数学方法求解土中某点达到极限平衡时的静力平衡方程组，以求得地基的极限承载力。
此方法过程甚繁，未被广泛采用。
二是根据模型试验的滑动面形状，通过简化得到假定的滑动面，然后借助该滑动面上的极限平衡条件，求出地基极限承载力。
此类方法是半经验性质的，称为假定滑动面法。
不同研究者所进行的假设不同，所得的结果不同，下面介绍的是几个常用的公式。
7.3.1普朗德尔公式普朗德尔(Prandtl,1920)根据塑性理论，导得了刚性冲模压入无质量的半无限刚塑性介质时的极限压应力公式。
若应用于地基极限承载力课题，则相当于一无限长、地板光滑的条形荷载板置于无质量(γ=0)的地基表面上，当土体处于极限平衡状态时，塑性区的边界如图7-3所示(此时基础的埋置深度d=0，基底以上土重q=γd=0)。
由于基底光滑，Ⅰ区大主应力σ1为垂直向，其边界AD或A1D为直线，破裂面与水平面成45°+φ/2，称主动朗肯区。
Ⅲ区大主应力σ1为方向水平，其边界EF或E1F1为直线，破裂面与水平面成45°-φ/2，称被动朗肯区。
Ⅱ区的边界DE或DE1为对数螺旋线，方程为r=r0exp(θtan φ)，式中。
取脱离体ODEC(见图7-4)，根据作用在脱离体上力的平衡条件，如不计基底以下地基土的重度(即γ=0)，可求得极限承载力为(7-8)其中Nc=(7-9)式中Nc--承载力系数，是仅与φ有关的无量纲系数;c--土的粘聚力(kPa)。
如果考虑到基础有一定的埋置深度d(见图7-3),将基底以上土重用均布超载q(=γd)代替，赖斯纳(Reissner,1924)导得了计入基础埋深后的极限承载力为(7-10)其中(7-11)(7-12)式中Nq--是仅与φ有关的又一承载力系数。
土力学地基承载力
(d c ctg ) d ctg 2
塑性区开展深度在 某一范围内所对应 的荷载为界限荷载
(c ctg d b / 4) p1 / 4 d 中心荷载 ctg / 2
p1/ 3
(c ctg d b / 3) d ctg / 2
b.计算内摩擦角和粘聚力的 统计修正系数ψφ 、ψc
1.704 4.678 1 2 n n 1.704 4.678 c 1 2 c n n
c.计算内摩擦角和粘聚力的 标准值
k ck c c
说明：《规范》规定地基承载力特征值还可以由载荷试验
或其它原位测试、并结合工程经验等方法综合确定
2.确定地基承载力特征值
当e≤0.033b，根据土的抗剪 强度指标确定地基承载力
f a M bb M d m d M c ck
fa ——土的抗剪强度指标确定的地基承载力特征值 Mb、Md、Mc ——承载力系数（可根据k查表得到)
——地基土的重度，地下水位以下取浮重度
d——基础埋置深度(m)，从室外地面标高计算 m——基础底面以上土的加权重度，地下水位以下取浮重度 b ——基础地面宽度，大于6m时，按6m取值，对于砂土小于 3m时按3m取值 ck ——基底下一倍短边宽深度内土的粘聚力标准值
建筑物的基底压力，应该在地基所允许的承载 能力之内
地基承载力：地基所能承受荷载的能力
二、地基变形的三个阶段
pcr a
0
s
pu p a.线性变形阶段 oa段，荷载小，主要产生压缩变形，荷 载与沉降关系接近于直线，土中τ＜τf, 地基处于弹性平衡状态 b b.弹塑性变形阶段 ab段，荷载增加，荷载与沉降关系呈曲 线，地基中局部产生剪切破坏，出现塑 性变形区 c c.破坏阶段 bc段，塑性区扩大，发展成连续滑动面， 荷载增加，沉降急剧变化 塑性变 p ＜p＜p cr u 形区
基于极限平衡法的砂土中条形基础极限承载力计算方法
基于极限平衡法的砂土中条形基础极限承载力计算方法随着城市的快速发展，越来越多的结构工程需要建立在砂土地基上，而地基工程中基础的设计和计算是一个重要的问题，尤其是对于条形基础的设计和计算更是充满了许多挑战和困难。
针对砂土地基上的条形基础，本文基于极限平衡法提出了一种计算方法，对条形基础的极限承载力进行了分析和探讨。
1.极限平衡法的介绍极限平衡法是一种力学分析方法，适用于土工结构中的承载力分析。
该方法的基本思想是将承载土体分为不同的稳定体，通过计算每个稳定体的平衡状态，来获得土体稳定的剪力强度。
极限平衡法的核心是确定极限平衡状态，这种状态意味着在已知条件下，所选取的某个平衡状态具有最小的安全系数，这时候所计算出的承载力就是该土体的极限承载力。
2.基础分析在计算条形基础的极限承载力之前，需要先对基础的几何尺寸和土的力学参数进行分析和确定。
在设计过程中，基础的长宽比应该保持在2到3之间，并且基础的深度应该要比宽度大，这样可以减小基础的变形。
而土体的力学参数的选择则需要考虑到现场实际的情况，并进行现场试验，以保证计算结果的可靠性。
3.极限承载力的计算极限平衡法的具体计算过程如下：1）对砂土地基进行切片，然后进行力学分析，将其分为若干个平衡体。
2）计算每个平衡体的平衡状态，以此来获得土体的稳定状态和剪力强度。
3）确定基础和土壤之间的相互作用，考虑基础的重量、施载速度和土体的强度等因素，计算出基础的极限承载力。
通过上述计算，可以得到条形基础的极限承载力。
需要注意的是，在极限平衡法中，所计算的承载力并不是设计承载力，还需要进行进一步的校核和修正。
4.结论基于极限平衡法的砂土中条形基础极限承载力计算方法，是一种较为可靠和有效的计算方法。
该方法考虑了结构基础和土体之间的相互作用，能够更准确地预测条形基础的极限承载力，并为结构基础的设计和计算提供了一种新的思路和方法。
土力学天然地基承载力
由 MB 0
推导出：
a
pk N q q0 N c c
C
pk Nq H Nc c
Nq
tan2 (45o
) exp(
2
tan )
B
a
r0 r
p p
E′
c ds r r0 exp( tan ) f
Nc (Nq 1) cot
地基土的自重所对应的极限承载力为
pk
1 2
1
b
3、滑裂土体自重所产生的摩擦抗力。
该抗力的大小，除决定于土的重度γ和内摩擦角φ以外， 还决定于滑裂土体的体积，因而，地基的极限承载力随 着基础宽度b的增加而线性增加。
地基极限承载力的其它极限平衡法
• Terzaghi 公式
基础底面粗糙
破坏区
弹性区
破坏区
破坏区
破坏区
• Meyerhof 公式
计入基底以上土的抗剪强度，适用于埋深较大的基础。 在斜坡、成层土地基上时的承载力计算。
N
N 2(Nq 1) tan
则埋深为H、粘聚力为c、内摩擦角为φ的地基的极限承载力为
pk pk pk
式中
Nc
c
Nq 2 H
基底
12基底1b N
Prandtl-Vesic公式
以上
以下
Nq
tan2 (45o
) exp(
2
tan )
Nc (Nq 1) cot
N 2(Nq 1) tan
2
1
3
2
cos 2
2
3
1
xz
1
3
2
s in 2
z , zx
极限平衡条件
1
基于极限平衡法的砂土中条形基础极限承载力计算方法
基于极限平衡法的砂土中条形基础极限承载力计算方法极限平衡法是一种重要的地基工程分析方法，该方法的基本思想是通过建立土-结构的力学模型，求解土体的强度状态及结构稳定性。
目前，极限平衡法已被广泛应用于砂土基础承载力的计算。
一、条形基础的力学模型条形基础是指一种长条形的浅基础，其宽度相对于长度较小。
在条形基础的设计中，通常采用双向承载的设计方法，即同时考虑条形基础的剪切和弯曲效应。
在进行条形基础设计之前，首先需要确定砂土的物理力学参数。
对于砂土而言，主要的物理力学参数包括固结压缩指数Cc、摩擦角φ和内摩擦角δ等。
理论上，对于矩形条形基础而言，其极限承载力应考虑以下几个方面的因素：1、基础的适当宽度比。
对于条形基础而言，适当的宽度比应控制在0.2-0.5之间。
2、基础底面的所在深度。
深度越大，基础的承载力越大。
3、通过地基层的孔隙水压力大小。
孔隙水压力越大，承载力越小。
在计算矩形条形基础的极限承载力时，可以采用以下计算方法：1、在考虑土壤单向抗剪强度的前提下，采用激励平衡原理进行计算。
2、计算基础所在深度下土的自重。
4、根据压缩测试结果计算砂土的固结压缩指数Cc。
5、计算土的单向抗剪强度，公式如下：$S_u=kN(1+0.4\gamma_1)tan\phi$其中，k为修正系数，N为地基的有效应力，γ为单位重量，φ为砂土的摩擦角。
6、根据基础宽度和长度计算承载面积A。
$S_{Au}=\frac{S_u}{F}$其中，F为基础底面积。
8、计算基础的弯曲承载力，公式如下：其中，b为基础的宽度，d为基础的有效深度，l为基础的长度。
$Q=Q_b+Q_s$通过以上计算方法可以得到矩形条形基础的极限承载力。
需要注意的是，实际工程中，由于各种原因，土的物理性质常会发生改变，因此在实际应用时需要加以修正。
总的来说，本文介绍了一种基于极限平衡法的砂土中条形基础极限承载力计算方法。
通过该方法，可以得到可靠的承载力计算结果，对砂土基础的设计和调整具有一定的指导意义。
理论公式确定地基容许承载力(土力学课件)
1.临塑荷载是塑性区发展深度是多少时的荷载？
2.中心受压基础，临界荷载是塑性区发展深度是
多少时的荷载？
3.偏心受压基础，临界荷载是塑性区发展深度是
多少时的荷载？
1212
临塑荷载与临界荷载-作业1
1.临塑荷载是塑性区发展最大深度为零时的荷载；
亦即地基即将发生塑性变形时的荷载。
2.中心受压基础，临界荷载是塑性区最大发展深
3.地基极限荷载的理论公式简介
太沙基公式
太沙基理论的Biblioteka 限承载力理论解1 = 1 + +
2
Nr、Nq、Nc均为承载力系数，均与有关，可
查太沙基公式的承载力系数曲线 ，见下页图
地基极限荷载的理论公式简介
太沙基公式的承载力系数曲线
局部剪切破坏时
地基极限承载力
1
2
= 1 ′ + ′ + ′
极限荷载
地基极限荷载的理论公式简介
太沙基公式
假定
底面粗糙，基底与土之间有较大
的摩擦力，能阻止基底土发生剪
切位移，基底以下土不会发生破
坏，处于弹性平衡状态；
基础两侧基底水平面以上土体可
以看做超载
Ⅰ区：弹性压密区(弹性核)
Ⅱ区：边界是对数螺线
Ⅲ区：被动朗肯区， 破裂面与水平面成45o- / 2
度zmax=b/4时的荷载。
3.偏心受压基础，临界荷载是塑性区最大发展深
度zmax=b/3时的荷载。
2
3
圆形基础
= 0.61 + 1.2 +
地基极限荷载的理论公式简介
太沙基公式的承载力系数曲线
方形基础
(完整版)地基承载力
第十章 地基承载力第一节 概述地基随建筑物荷载的作用后，内部应力发生变化，表现在两方面：一种是由于地基土在建筑物荷载作用下产生压缩变形，引起基础过大的沉降量或沉降差，使上部结构倾斜，造成建筑物沉降；另一种是由于建筑物的荷载过大，超过了基础下持力层土所能承受荷载的能力而使地基产生滑动破坏。
因此在设计建筑物基础时，必须满足下列条件： 地基： 强度——承载力——容许承载力变形——变形量（沉降量）——容许沉降量一、几个名词1、地基承载力：指地基土单位面积上所能随荷载的能力。
地基承载力问题属于地基的强度和稳定问题。
2、容许承载力：指同时兼顾地基强度、稳定性和变形要求这两个条件时的承载力。
它是一个变量，是和建筑物允许变形值密切联系在一起。
3、地基承载力标准值：是根据野外鉴别结果确定的承载力值。
包括：标贯试验、静力触探、旁压及其它原位测试得到的值。
4、地基承载力基本值：是根据室内物理、力学指标平均值，查表确定的承载力值，包括载荷试验得到的值）。
通常0f f f k ψ=5、极限承载力：指地基即将丧失稳定性时的承载力。
二、地基承载力确定的途径 目前确定方法有：1．根据原位试验确定：载荷试验、标准贯入、静力触探等。
每种试验都有一定的适用条件。
2．根据地基承载力的理论公式确定。
3．根据《建筑地基基础设计规范》确定。
根据大量测试资料和建筑经验，通过统计分析，总结出各种类型的土在某种条件下的容许承载力，查表。
一般：一级建筑物：载荷试验，理论公式及原位测试确定f ；二级建筑物：规范查出，原位测试；尚应结合理论公式； 三级建筑物：邻近建筑经验。
三、确定地基承载力应考虑的因素地基承载力不仅决定于地基的性质，还受到以下影响因素的制约。
1．基础形状的影响：在用极限荷载理论公式计算地基承载力时是按条形基础考虑的，对于非条形基础应考虑形状不同地基承载的影响。
2．荷载倾斜与偏心的影响：在用理论公式计算地基承载力时，均是按中心受荷考虑的，但荷载的倾斜荷偏心对地基承载力是有影响的。
极限承载力的计算
第三节 极限承载力的计算在土力学的发展中，已经提出了许多极限荷载公式，1920年普朗特首先根据塑性平衡理论导出了介质达到极限荷载时，沿着曲面发生滑动的数学方程，并认为介质的抗剪强度性质，可以用强度指标c ，ϕ表示，但是，他的研究结果只适用于无重量的介质的极限平衡平面课题。
随后不少学者根据他的研究结果，引用来求解地基土的极限荷载，并进一步作了不同形式的修正和补充，以便在工程中加以应用。
太沙基根据普朗特相似的概念，导出了考虑地基土自重影响的极限荷载公式。
但这些公式都忽略了基础底面以上覆盖土层的抗剪强度的影响，故只适用于计算浅基础的极限荷载。
梅耶霍夫进一步考虑了基础底面以上覆盖层的抗剪强度的影响，从而提出了浅基础和深基础的极限荷载公式。
一．普朗特尔极限承载力公式普朗特尔公式是求解宽度为b 的条形基础，置于地基表面，在中心荷载P 作用下的极限荷载Pu 值。
普朗特尔的基本假设及结果，归纳为如下几点：（1）地基土是均匀，各向同性的无重量介质，即认为土的0=γ，而只具有c ，ϕ的材料。
（2）基础底面光滑，即基础底面与土之间无摩擦力存在，所以基底的压应力垂直于地面。
（3）当地基处于极限平衡状态时，将出现连续的滑动面，其滑动区域将由朗肯主动区I ，径向剪切区II 或过渡区和朗肯被动区III 所组成。
其中滑动区I 边界BC 或AC 为直线，并与水平面成（45＋ϕ/2）角；即三角形ABC 是主动应力状态区；滑动区II 的边界CE 或C Ｄ为对数螺旋曲线，其曲线方程为 θθtg e r r 0=，r 0为起始矢径；θ为射线r 与r 0夹角，滑动区III 的边界E G ，DF 为直线并与水平面成（45－φ/2）角。
（4）当基础有埋置深度d 时，将基础底面以上的两侧土体用相当的均布超载d q γ=来代替。
根据上述的基本假设，采用刚体平衡方法或特征线法，可以得到地基极限承载力为：c q u cN rdN p +=式中：r ：基础两侧土的容重d ：基础的埋置深度q N ，c N ：承载力系数，它们是土的内摩擦角ϕ的函数，可查下表：其中)245(02ϕϕπ+=tg e Nq tgϕctg Nq Nc )1(-=二、斯肯普顿地基极限承载力公式对于矩形基础，斯肯普顿（1952年）给出的地基极限承载力公式为：d c p b d l b u 055)1)(1(5γ+++=c ——地基土粘聚力;b 、l ——分别为基础的宽度和长度；0γ——基础埋置深度d 范围内土的重度。
《土质学与土力学》第9章 地基承载力
Nanjing University of Technology
太沙基极限承载力理论
当基础放在无粘性土(c＝0)的表面上(D＝0)时，地基的承载力将等于零， 这显然是不合理。这种不合理现象的出现，主要是将士当作无重量介质(＝ 0)所造成的。为了弥补这一缺陷，许多学者在普朗德尔的基础上作了修正和 发展，使承载力公式逐步得到完善。
太沙基极限承载力公式：
pu
1 BN 2
r
0 DN
q
cN
c
( 3 ) tan
Nq
e 2 cos
2
2 ( 45 0
)
2
N c ( N q 1) cot
不 排 水 饱 和 软 粘 土 地 基 ， u=0 ， Nq=1,Nc=2p/3+1。此时地基极限承载力为：
pu q5.7c
Nanjing University of Technology
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P～S关系曲线
P～S曲线特征
当基础荷载较小时，基底压力P与沉降S基
本上成直线关系(oa)。属于线弹性变形阶段。 当荷载增加到某一数值时，在基础边缘处
的土开始发生剪切破坏．随着荷载的增加，剪 切破坏区(或称塑性变形区)逐渐扩大。这时压 力与沉降之间成曲线关系(ab)，属于弹塑性变形 阶段。
所以
2=/2-
塑性区的最大发展深度Zmax
Z m ap x 0 D (c o 2 t) tca n 0D
基底压力的一般形式：
p c o tZ m a ( 1 xc o t) 0 D c (c o c t o )t
2
2
2
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清华大学土力学习题
土力学1第一章土的物理性质一思考题1.什么是土的灵敏度？灵敏度反映土的什么性质？如何测定土的灵敏度？2.粗粒土与细粒土如何区分？3.什么叫做粒径级配累积曲线，曲线上一点代表什么意思？4.土中水分几种类型？各有什么特点？与土的状态什么关系？5.如果试验结果表明某天然砂层的相对密度Dr>1，这是否有可能，为什么？6.什么是粘性土的最优含水量？它与击实能有什么关系？7.什么叫土的液性指数？如果试验结果表明某天然粘土层的液性指数大于1，但该土并不呈流动状态而仍有一定的强度，这是否可能，为什么？8.片架结构和片堆结构性质有何不同？9.已知某粘土层的天然含水量值，能否判断该土的软硬程度，为什么？二习题1．有一土体，测定的天然密度为ρ=1.85g/cm3，含水量为ω=14%，土颗粒的比重为G s=2.67。
计算其孔隙比e。
2．在某土层中用体积为72cm3的环刀取样。
经测定，土样质量为129.1g，烘干后土样质量为121.5g，土粒比重为2.7，求该土样的含水量、湿容重、饱和容重、干容重和浮容重，并比较该土在各种情况下的容重值有何区别？3．饱和土孔隙比为0.7，比重为2.72。
用三相草图计算干容重、饱和容重和浮容重。
并求当该土的饱和度变为75％时的容重和含水量。
4．有一湿土样质量为200g，已知含水量为15％，要制备含水量为20％的土样需加多少水？5．某料场的天然含水量w=22%，G s=2.70，土的压密标准为ρd=1.7g/cm3，为避免过度碾压而产生剪切破坏，压密土的饱和度不宜超过0.85。
问该料场的土料是否适合筑坝，如果不适合应采用什么措施？6．8度地震区要求砂压到相对密度达0.7以上，经试验某料场砂的最大干密度为1.96g/cm3，最小干密度为1.46g/cm3，问这类砂碾压到多大的干密度才能满足抗震的要求？（砂的比重为2.65）7．装在环刀内的饱和土样加垂直压力后高度自2.0cm压缩至1.95cm，取出土样测得其含水量为28％，已知土粒比重为2.7，求压缩前土的孔隙比？第二章 土的渗透性一 思考题1．举例说明流土发生的现象和原因，并说明工程上如何防止流土的发生。
按理论公式计算地基极限承载力
按理论公式计算地基极限承载力按理论公式计算地基极限承载力2010-04-1709:58地基的极限承载力pu是指地基发生剪切破坏失去整体稳定时的基底压力，地基承受荷载的极限压力。
将地基极限承载力除以安全系数K，即为地基承载力的设计值。
求解地基的极限承载力的途径有二:一是用严密的数学方法求解土中某点达到极限平衡时的静力平衡方程组，以求得地基的极限承载力。
此方法过程甚繁，未被广泛采用。
二是根据模型试验的滑动面形状，通过简化得到假定的滑动面，然后借助该滑动面上的极限平衡条件，求出地基极限承载力。
此类方法是半经验性质的，称为假定滑动面法。
不同研究者所进行的假设不同，所得的结果不同，下面介绍的是几个常用的公式。
7.3.1普朗德尔公式普朗德尔(Prandtl,1920)根据塑性理论，导得了刚性冲模压入无质量的半无限刚塑性介质时的极限压应力公式。
若应用于地基极限承载力课题，则相当于一无限长、地板光滑的条形荷载板置于无质量(γ=0)的地基表面上，当土体处于极限平衡状态时，塑性区的边界如图7-3所示(此时基础的埋置深度d=0，基底以上土重q=γd=0)。
由于基底光滑，Ⅰ区大主应力σ1为垂直向，其边界AD或A1D为直线，破裂面与水平面成45°+φ/2，称主动朗肯区。
Ⅲ区大主应力σ1为方向水平，其边界EF或E1F1为直线，破裂面与水平面成45°-φ/2，称被动朗肯区。
Ⅱ区的边界DE或DE1为对数螺旋线，方程为r=r0exp(θtan φ)，式中。
取脱离体ODEC(见图7-4)，根据作用在脱离体上力的平衡条件，如不计基底以下地基土的重度(即γ=0)，可求得极限承载力为(7-8)其中Nc=(7-9)式中Nc--承载力系数，是仅与φ有关的无量纲系数;c--土的粘聚力(kPa)。
如果考虑到基础有一定的埋置深度d(见图7-3),将基底以上土重用均布超载q(=γd)代替，赖斯纳(Reissner,1924)导得了计入基础埋深后的极限承载力为(7-10)其中(7-11)(7-12)式中Nq--是仅与φ有关的又一承载力系数。
基于极限平衡法的砂土中条形基础极限承载力计算方法
基于极限平衡法的砂土中条形基础极限承载力计算方法
极限平衡法是一种应用力学原理对土体进行极限荷载计算的方法，广泛应用于土力学
和地基工程中。
而条形基础是一种常用的浅基础形式，适用于土层承载力较低的情况下，
用来分散荷载并将荷载传递到较深的土层。
条形基础的极限承载力计算是通过应用极限平衡法来确定的。
具体计算步骤如下：
1.确定地基土参数：首先需要获得地基土的力学参数，包括土的内摩擦角φ和土的抗剪强度参数（如黏聚力c或摩擦角切线tgφ）。
这些参数可以通过现场勘测和室内试验确定。
2.确定条形基础参数：确定条形基础的几何参数，包括基础宽度B和基础长度L。
这
些参数通常根据设计要求和现场土层情况确定。
3.应力分析：通过极限平衡法，对条形基础的应力分布进行分析。
假设土体为弹性体，荷载均匀分布在基础上。
根据平衡条件，可以得到土体中的应力分布情况。
4.确定极限承载力：根据土体的极限应力强度理论，结合土体的力学参数和应力分布
情况，可以得到条形基础的极限承载力。
常用的极限承载力计算方法包括承载力指数法、
承载力隔离面法等。
需要注意的是，在极限平衡法中，假设土体是弹性体，并且基础受到的荷载是均匀分
布的。
实际工程中，土体往往是非弹性的，并且荷载分布也往往是不均匀的。
在应用极限
平衡法进行设计时，需要结合实际情况进行合理的修正和调整。
土力学课件(清华大学)-5土压力与边坡稳定(工管)改
有限元法
利用数值模拟技术，对边坡的应力、应变和 位移进行计算，预测边坡的稳定性。
地质工程评价法
结合地质勘察资料和工程实践经验，对边坡 的稳定性进行定性评价。
边坡加固措施
截排水措施
设置排水沟、截水沟等，防止地表水 、地下水冲刷和侵蚀边坡。
支挡结构
采用挡土墙、抗滑桩等支挡结构，增 加边坡的抗滑力，提高稳定性。
锚固措施
利用锚杆、锚索等对边坡进行锚固， 提高岩土体的整体性和稳定性。
减载反压措施
通过卸载边坡部分岩土体或在其下方 堆放反压材料，降低滑动力，增加稳 定性。
03 土压力题
隧道开挖中的土压力问题
在隧道施工过程中，土压力的大小和分布对隧道稳定性和安全性至关重要。需 要采取措施控制土压力，确保隧道施工安全。
地下水
地下水活动可能导致岩土体软 化、滑移，降低边坡稳定性。
地震作用
地震产生的震动可能导致边坡 失稳，发生滑坡、崩塌等地质 灾害。
人类工程活动
不合理的开挖、填筑等工程活 动可能破坏边坡原有的平衡状
态。
边坡稳定性评价方法
极限平衡法
通过分析岩土体的极限状态，评估边坡的稳 定性。
可靠度分析法
基于概率论和数理统计方法，对边坡的稳定 性进行可靠性评估。
某隧道施工中的土压力控制
总结词：隧道开挖方法 总结词：实时监测 总结词：应急预案
详细描述：根据隧道施工方法和开挖断面形式，选择合 适的土压力控制措施，如注浆、排水、地层改良等。
详细描述：在隧道施工过程中，对围岩应力、位移和支 护结构进行实时监测，及时反馈土压力变化情况，调整 施工参数。
详细描述：制定土压力控制应急预案，包括险情预警、 抢险救援和安全撤离等方面的措施，确保施工安全。
清华大学版土力学课后答案详解
第一章1-1：已知：V=72cm3m=129.1g m s=121.5g G s=2.70则：129.1121.56.3%121.5ssm mwm--===3333 129.1*1017.9/72121.5452.77245271.0*27121.5*1020.6/72sssV ssat w V ssat satmg g KN mvmV cmV V V cmm V mg g g KN mV Vγρρργρ========-=-=++=====3320.61010.6/121.5*1016.9/72sat wsdsat dKN mmg KN mVγγγγγγγγ'=-=-===='>>>则1-2：已知：G s=2.72 设V s=1cm3则33332.72/2.722.72*1016/1.72.720.7*1*1020.1/1.720.11010.1/75%1.0*0.7*75%0.5250.52519.3%2.720.525 2.721.sssd ds V wwrw w V rwsw sg cmm gmg g KN mVm Vg g KN mVKN mm V S gmwmm mg gVργρργργγγργρ======++===='=-=-========++===当S时，3*1019.1/7KN m=1-3：3477777331.70*10*8*1013.6*1013.6*10*20%2.72*1013.6*10 2.72*10850001.92*10s d w s s wm V kg m m w kg m m V mρρ======++==挖1-4： 甲：33334025151* 2.72.7*30%0.81100%0.812.70.811.94/10.8119.4/2.71.48/1.8114.8/0.81p L P s s s s w r wV ws w s w s d s w d d v sI w w V m V g m g S m V m m g cm V V g KN m m g cm V V g KN m Ve V ρρργρργρ=-=-=======∴==++===++=====+====设则又因为乙：3333381 2.682.68*22%0.47960.47962.680.47962.14/10.47962.14*1021.4/2.681.84/1.47961.84*1018.4/0.4796p L p s s s s w s V s w s V s d s w d d VsI w w V m V g m m w g V cm m m g cm V V g KN m m g cm V V g KN m V e V ρργρργρ=-========++===++======+=====设则则γγ∴<乙甲 d d γγ<乙甲 e e >乙甲 p p I I >乙甲则（1）、（4）正确 1-5：1s wd G eρρ=+ 则2.7*1110.591.7022%*2.7185%0.59s wds r G e wG S e ρρ=-=-====>所以该料场的土料不适合筑坝，建议翻晒，使其含水率降低。
土力学(清华大学出版社)课后习题及答案
第一章1-1：已知：V=72cm 3 m=129.1g m s =121.5g G s =2.70 则： 129.1121.56.3%121.5s s m m w m --===3333129.1*1017.9/72121.5452.7724527 1.0*27121.5*1020.6/72s s s V s sat w V s sat sat m g g KN m v m V cm V V V cm m V m g g g KN m V V γρρργρ========-=-=++=====3320.61010.6/121.5*1016.9/72sat w s d sat d KN m m g KN m V γγγγγγγγ'=-=-===='>>>则 1-2：已知：G s =2.72 设V s =1cm 3则33332.72/2.72 2.72*1016/1.7 2.720.7*1*1020.1/1.720.11010.1/75% 1.0*0.7*75%0.5250.52519.3%2.720.525 2.721.s s s d d s V w w r w w V r w s w s g cm m gm g g KN m V m V g g KN m V KN m m V S g m w m m m g g V ργρργργγγργρ======++===='=-=-========++===当S 时，3*1019.1/7KN m =1-3：3477777331.70*10*8*1013.6*1013.6*10*20%2.72*1013.6*10 2.72*10850001.92*10s d w s s wm V kg m m w kg m m V mρρ======++==挖1-4：甲：33334025151* 2.72.7*30%0.81100%0.812.70.811.94/10.8119.4/2.71.48/1.8114.8/0.81p L P s s s s w r wV ws w s w s d s w d d vsI w w V m V g m g S m V m m g cm V V g KN m m g cm V V g KN m V e V ρρργρργρ=-=-=======∴==++===++=====+====设则又因为乙：3333381 2.682.68*22%0.47960.47962.680.47962.14/10.47962.14*1021.4/2.681.84/1.47961.84*1018.4/0.4796p L p s s s s w s V s w s V s d s w d d VsI w w V m V g m m w g V cm m m g cm V V g KN m m g cm V V g KN m V e V ρργρργρ=-========++===++======+=====设则则γγ∴<乙甲 d d γγ<乙甲 e e >乙甲 p p I I >乙甲则（1）、（4）正确 1-5：1s w d G eρρ=+ 则2.7*1110.591.7022%*2.7185%0.59s wds r G e wG S e ρρ=-=-====>所以该料场的土料不适合筑坝，建议翻晒，使其含水率降低。
极限承载力的计算
第三节 极限承载力的计算在土力学的发展中，已经提出了许多极限荷载公式，1920年普朗特首先根据塑性平衡理论导出了介质达到极限荷载时，沿着曲面发生滑动的数学方程，并认为介质的抗剪强度性质，可以用强度指标c ，ϕ表示，但是，他的研究结果只适用于无重量的介质的极限平衡平面课题。
随后不少学者根据他的研究结果，引用来求解地基土的极限荷载，并进一步作了不同形式的修正和补充，以便在工程中加以应用。
太沙基根据普朗特相似的概念，导出了考虑地基土自重影响的极限荷载公式。
但这些公式都忽略了基础底面以上覆盖土层的抗剪强度的影响，故只适用于计算浅基础的极限荷载。
梅耶霍夫进一步考虑了基础底面以上覆盖层的抗剪强度的影响，从而提出了浅基础和深基础的极限荷载公式。
一．普朗特尔极限承载力公式普朗特尔公式是求解宽度为b 的条形基础，置于地基表面，在中心荷载P 作用下的极限荷载Pu 值。
普朗特尔的基本假设及结果，归纳为如下几点：（1）地基土是均匀，各向同性的无重量介质，即认为土的0=γ，而只具有c ，ϕ的材料。
（2）基础底面光滑，即基础底面与土之间无摩擦力存在，所以基底的压应力垂直于地面。
（3）当地基处于极限平衡状态时，将出现连续的滑动面，其滑动区域将由朗肯主动区I ，径向剪切区II 或过渡区和朗肯被动区III 所组成。
其中滑动区I 边界BC 或AC 为直线，并与水平面成（45＋ϕ/2）角；即三角形ABC 是主动应力状态区；滑动区II 的边界CE 或C Ｄ为对数螺旋曲线，其曲线方程为 θθtg e r r 0=，r 0为起始矢径；θ为射线r 与r 0夹角，滑动区III 的边界E G ，DF 为直线并与水平面成（45－φ/2）角。
（4）当基础有埋置深度d 时，将基础底面以上的两侧土体用相当的均布超载d q γ=来代替。
根据上述的基本假设，采用刚体平衡方法或特征线法，可以得到地基极限承载力为：c q u cN rdN p +=式中：r ：基础两侧土的容重d ：基础的埋置深度q N ，c N ：承载力系数，它们是土的内摩擦角ϕ的函数，可查下表：其中)245(02ϕϕπ+=tg e Nq tgϕctg Nq Nc )1(-=二、斯肯普顿地基极限承载力公式对于矩形基础，斯肯普顿（1952年）给出的地基极限承载力公式为：d c p b d l b u 055)1)(1(5γ+++=c ——地基土粘聚力;b 、l ——分别为基础的宽度和长度；0γ——基础埋置深度d 范围内土的重度。
地基极限承载力
极限承载力
在上述假定的基础上，可以从刚性核的静力平衡条 件求极限承载力
pu
1 2
BNr
cNc
qNq
式 中N q
1 2
ex
p
{
3 2
co s2
(45o
tg}
)
,
2
N C
ctg
Nq
1
, Nr 1.8 Nq 1 tg
承载力因数
40 Nq
30
Nc
Nr
20
10
0 70 60 50 40 30 20 10 0 20 40 60 80 100
m
5
iq
1
p
0.5T
lbc cot
ir
1
T
p lbc cot
m1
ir
1
0.7T 5
p
lbc
cot
魏西克修正
汉森修正
对普郎特尔-瑞斯纳公式的修正补充
基础埋置深度的修正系数
1
0.3
5
~
0.4
d
b
dc
1
0.4 arct an
d b
dq
1 Nc t
dq
an
dq
地基极限承载力
极限平衡理论
极限平衡理论——土体处于理想塑性状态时的应 力分布和滑裂面轨迹的理论
应用范围：工程中常用于求解地基的极限承载力 和地基的滑裂面轨迹。
目前，确定地基极限承载力的方法都是针对整 体破坏形式推导的，对于局部剪切和冲剪破坏 情况，先按整体破坏形式计算，然后根据经验 加以适当的修正。
• 4、1973年，维西克 (Vesic)：
Nc (Nq 1)ctg
地基极限承载力计算-
地基在极限荷载作用下发生剪切破坏的形式可分为整 体剪切破坏，局部剪切破坏，冲切剪切破坏。
1 4
z
x
2
2 xz
10.1土体的极限平衡理论概述
土体中塑性区内任一点的应力分量也可以用两个变量
及 确定
表达式
tan a
x
z
其中
tan b
x
z
1 c tan ln
2
c
1 c tan ln
2
c
10.1土体的极限平衡理论概述
42
a b
X
sin Z cos 2 sin cos
exp（
5
2
）tan
10.2.均质地基极限承载力计算
10.2.5基础形状对地基极限承载力的影响
以上所讨论的公式都是针对条形基础的情况即平面课 题而言的，对于圆形和矩形基础的求解有着很大的困 难。不同的学者提出了一些半经验公式。大多数研究 者是对条形基础的承载力系数分别乘以形状因数，书 中272页给出了一些研究者建议的形状因数的表达式。
qu
c
tan
tan2
4
2
e tan
1
c
•
c
ot 11
sin sin
e
tan
1
式中
qu 极限压应力
材料的内摩擦角
c 材料的粘聚力
10.2.均质地基极限承载力计算
这个解可应用到地基承载力的课题上。根据普朗特的
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小结－地基极限承载力
Prantl解 假设和滑裂面形状
讨论： pu = c Nc + q Nq
理论方面:
不考虑基底下土的贡献，内摩擦角大时有较大误差 将地基土截然分为弹性和塑性区，不符合实际情况 不一定是唯一解，所得解小于真值
工程实践：
无粘性土 c = 0，埋深对承载力贡献大，不能太浅
III 区 郎肯被动区
水平方向为大主应力，
滑移线与水平方向夹角45- 2
=pu kapu
q =mD
3= mD 1 kpmD
地基承载力
p
2. 极限承载力pu
u
I 区 郎肯主动区
垂直应力pu为大主应力， 滑移线与水平方向夹角45 2
III 区 郎肯被动区
水平方向为大主应力，
滑移线与水平方向夹角45- 2
II 区 过渡区
r=r0e tg
r0
q =mD
r
地基承载力
三. 采用刚体极限平衡求极限承载力（自学）
作用在隔离体上
的力：
pu 、 d 、 pa 、 pp 、 c、R
所有力对A点力矩
平衡
pa
pu
A
r0
r
隔离体
D pp
pa pu Ka 2c K a
pp qK p 2c K p
c R
地基承载力
地基破坏形式
1 建筑物地基设计的基本要求
1)稳定：荷载小于承载力(抗力) p (pu /Fs) =f
2)变形：变形小于设计允许值 S [S]
(1)沉降量 (2)沉降差 (3)倾斜 (4)局部 倾斜
地基破坏形式
二 地基破坏的形式
1 竖直荷载下地基破坏的形式 1) 整体剪切破坏 2) 局部剪切破坏 3) 冲剪破坏 4) 砂土液化
pu
局部塑性区
s(mm)
极限荷载 pu
地基承载力
第2节 地基的极限承载力及确定方法 一、普朗特-瑞斯纳承载力公式
1. 极限平衡理论：
静力平衡方程
极限平衡条件 假设与边界条件
D
2.普朗特-瑞斯纳承载力公式
求解：
条形基础地基的滑裂面形状
极限承载力pu
q＝mD
地基承载力
1 极限平衡理论：
1) 平面问题的平衡方程
2) 极限平衡条件
1 -3 1 +3+2cctg
= sin
xz
(3)
x
z
z
xz+
xz
x
dx
z+
z
z
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dz
地基承载力
2 普朗特(Prandtl)的基本假设
1) 基础底面绝对光滑，竖直荷载是主应力
2) 基底以下土体为无重介质，即 = 0 3) 基底为地表面，q＝mD 做为均布荷载
pu D
利用塑性力学滑移线法求解条形基础的地基承载力 Pu , 为这些假定下的精确解
本章内容
1 地基在外荷载作用下的破坏形式 2 地基的极限承载力及确定方法 3 地基的容许承载力及确定方法
作业 8-3
第1节 地基破坏形式和变形
一、地基承载力定义 极限承载力 Ultimate bearing capacity， 地基在发生剪
切破坏时的荷载强度，或地基可能承受的最大荷载
第1节 地基破坏形式和变形
E
过渡区： r = r0 etg
pu
郎肯被动区：水平应力为大主应力
m D
45-
2
45/
2
地基承载力
2. 极限承载力pu
I 区 郎肯主动区
垂直应力pu为大主应力， 滑移线与水平方向夹角45 2
Pu
=pu kapu
地基承载力
2. 极限承载力pu
p
u
I 区 郎肯主动区
垂直应力pu为大主应力， 滑移线与水平方向夹角45 2
一、地基承载力定义 极限承载力 Ultimate bearing capacity 地基在发生剪切破坏时的荷载强度
p (kPa)
Pu
pu
S(mm)
台东县6层金帅饭店， 2009年8月9日晨倾 斜20度，上午11点 30分左右，加剧倾侧， 不到20秒倒塌，横躺 在滚滚激流中
地基破坏形式和变形
2009年上海莲花河畔景苑高楼倒塌
地基承载力
pu = m DNq+cNc
二. 普朗特-瑞斯纳承载力公式
1. 条形基础地基的滑裂面形状
Nq = etgtg2（45o+ / 2)
NC = (Nq -1) ctg
B
pu
实际地面
D
B
F
C
E
无重介质地基的滑裂线网
地地基基承中载的力极限平衡区
D
B
pu
实际地面
BI
r0 II
III
F
r
郎肯主动区：pu 为大主应力 C
地基承载力
2 普朗特(Prandtl)的基本假设
1) 基础底面绝对光滑，竖直荷载是主应力
2) 基底以下土体为无重介质，即 = 0 3) 基底为地表面，q＝mD 做为均布荷载
确定的地基极限承载力 pu ,为这些假定下的精确解
pu = m DNq+cNc
Nq = etg tg2（45o+ / 2) NC = (Nq -1) ctg
2 竖直和水平荷载下地基破坏形式
1) 表层滑动 水平力大
2) 深层滑动 竖直荷载大
Ph
水闸表层滑动
Pv
竖直荷载下地基破坏形式
1) 整体剪切破坏 General shear failure
土质坚实
密实砂土，坚硬粘土
基础埋深浅
曲线开始近直线，随后沉降陡增，两侧土
体隆起。
p (kPa)
pcr
临塑荷载 pcr
弹性力学考虑 微单元受力
z
z
+
xz
x
=
(1)
x
x
+
zx
z
=
0
(2)
Z
zx xz
x
z z
xz+
xz
x
dx
2) 极限平衡条件
x
x+
x
x
dx
1 -3 1 +3+2cctg
= sin
(3)
zx+
zx
z
dz
z+
z
z
dz
地基承载力
1 极限平衡理论：
1) 平面问题的平衡方程
z
z
+
xz
x
=
(1)
x
x
+
zx
z
=
0
(2)
• 如果 = 0, pu = ? (什么情况下可以作为 = 0?)
• 当地基中地下水上升到滑动区域内时,对极限承载力有影 响吗?哪类土影响大,哪类土影响小?
地基极限承载力小结
1 地基极限承载力是重要的概念 包含两个内容：破坏形式和大小
2 确定地基极限承载力的方法 理论公式 Prandtl-Reissner 半经验方法 太沙基 荷载板试验 (大型原位试验)
三. 采用刚体极限平衡求极限承载力（自学）
r=r0e tg
A
tg=dr/ r d =
=
r0etgd tg
r0e tgd
= tg
=
R过顶点A
d
rd
dr
R ds
地基承载力
思考题
pu = m dNq+cNc
Nq = etgtg2（45o+ / 2) Nq, Nc: 承载力系数
NC = (Nq -1) ctg