运用函数的单调性与奇偶性解抽象函数不等式(附加半节课)—学生版

教学内容概要

教学内容

【知识精讲】

一、常见的抽象函数模型：

① 正比例函数模型：()0,≠=k kx x f ┄┄┄()()()y f x f y x f ±=±。

② 幂函数模型：()2

x x f =┄┄┄()()()y f x f xy f ⋅=；()

()y f x f y x f =⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛。

③ 指数函数模型：()x

a x f =┄┄┄()()()y f x f y x f ⋅=+；()()()

y f x f y x f =

-。 ④ 对数函数模型：()x x f a log =┄┄()()()y f x f xy f +=；()()y f x f y x f -=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛。

⑤ 三角函数模型：()x x f tan =┄┄┄()()()()()

y f x f y f x f y x f ⋅-+=+1。

如何利用函数单调性解题是历年高考和模考的重点，其中利用函数单调性解不等式是一个重点中的难点，如何攻克这个难点呢？一个词：去壳。

二、奇偶函数的性质：

奇函数：（1）()()f x f x -=-；

（2）若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =； （3）图像关于原点对称；

（4）y 轴左右两侧的单调性相同； 偶函数：（1）()()f x f x -=； （3）图像关于y 轴对称； （4）y 轴左右两侧的单调性相反；

三、函数单调性的逆用：

若()f x 在区间D 上递增，则1212()()f x f x x x <⇔<(1x 2,x D ∈)； 若()f x 在区间D 上递减，则1212()()f x f x x x <⇔>.(1x 2,x D ∈).

四、不等式恒成立问题的解法

若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < 通过上面的等价转化，转换为函数求最值的问题。

【经典例题】

例1、求函数

y =

例2、已知奇函数()f x 是定义在[]

1,1-上的减函数，解不等式()210f x ->。

例3、

()f x 是定义在()1,1-上的奇函数且单调递减，若()()

2240f a f a -+-<，则a

的取值范围是 （

） A .)2

B.(()2,-∞+∞

C.)

D.(()3,-∞+∞

例4、（引例）已知奇函数()f x 的定义域为[2,2]-，且在区间[2,0]-内单调递减，求满足

2(1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值范围．

（拓展）设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()2

f x x =，若对任意的

[],2x t t ∈+，不等式()()2f x t f x +≥恒成立，则实数t 的取值范围是 ( )

A ．)

+∞ B ．[

)2,+∞

C ．(]

0,2 D ．12,3⎡⎤⎡⎤-⎣⎦

⎣⎦

例5、已知偶函数()f x 在区间[

)0,+∞上单调递增，则满足()1213f x f ⎛⎫

-< ⎪⎝⎭

的取值范围是（ ） A 12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ B 12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C 12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭

D 12,23⎡⎫

⎪⎢⎣⎭

例6、（引例）函数()f x 是R 上的单调函数，满足()()21f f >，且()

()2f m f m >-，

求实数m 的取值范围；

（拓展）定义在R 上的单调函数()f x 满足()23log 3f =且对任意,x y R ∈都有

()()()f x y f x f y +=+ 。

(1)求证()f x 为奇函数；

(2)若()()

33920x x x f k f ⋅+--<对任意x R ∈恒成立，求实数k 的取值范围．

【拓展提高】

例：已知奇函数()f x 的定义域为实数集，且()f x 在[

)0,+∞上是增函数，当02

π

θ≤≤

时，

是否存在这样的实数m ，使2

(42cos )(2sin 2)(0)f m m f f θθ--+>对所有的

0,2πθ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

均成立？若存在，求出所有适合条件的实数m ；若不存在，请说明理由。

【巩固练习】

1、已知)(x f 是定义在()0,∞-上的减函数，且)3()1(-<-m f m f ，则m 的取值范围是( )

A ．2

B ．10<

C ．20<

D ．21<

2、已知()f x 是偶函数，x R ∈，当0x >时，()f x 为增函数，若120,0x x <>，且12||||x x <，则 （ ）

A 12()()f x f x ->-

B 12()()f x f x -<-

C 12()()f x f x ->-

D 12()()f x f x -<-

3、已知定义域为R 的函数在上为减函数，且函数为偶函数，则 （ ）

A.()()67f f >

B.()()69f f >

C.()()79f f >

D.()()710f f >

4、已知函数⎩⎨⎧<-≥+=,

0,4,0,4)(2

2x x x x x x x f 若2(2)(),f a f a ->则实数a 的取值范围是 （ ） A. (,1)(2,)-∞-+∞ B. (1,2)- C. (2,1)- D. (,2)(1,)-∞-+∞

5、若)(x f 是R 上的减函数，且)(x f 的图象经过点)4,0(A 和点)2,3(-B ，则当不等式

4)(2<+<-t x f 的解集为()2,1-时，t 的值为__ ___．

6、已知奇函数()f x 是定义在()3,3-上的减函数，且满足不等式()()

2330f x f x -+-<,求x 的取值范围。

7、设函数()y f x =是定义在R +上的减函数，并且满足()()()f xy f x f y =+，

113f ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

. (I)求(1)f 的值；

（II ）如果()(2)2f x f x +-<，求x 的取值范围.

()f x ()8,+∞()8y f x =+