稳定流的动量方程和动量矩方程的推导及应用

稳定流的动量方程和动量矩方程的推导及应用
1 稳定流动量方程
讨论运动流体与固体边界面上的相互作用力，例如：流体在弯曲管道内流动，弯管的受力情况；水力采矿时，高压水枪射流对水枪、对矿床的作用力；火箭飞行过程中，从火箭尾部喷射出的高温高压气体对火箭的反推力等等。

这类问题，需应用运动流体的动量方程来分析。

从物理学知，运动物体的动量为：
图1流束动量变化
根据质点系动量定理：
用符号表示动量，即，则
——流体作定常流动时的动量方程。

图示一弯管，其中的流体作定常流动，在总流中任意取一微小流束1－2，并取过水断面1－1、2－2间的流束段进行研究。

即
对不可压缩流体，则微小流束的动量方程为：
将上式推广到总流中去，则得：
由定常流动总流的连续性方程，有：
因为u在A上分布难以确定，所以用v代换u，有：
式中、——动量修正系数，其实验值为1.02~1.05，工程计算上取＝＝1。

整理可得：
——理想流体定常流动总流的动量方程。

其物理意义是：作用在所研究的流体上的外力矢量和等于单位时间内流出与流入的动量之差。

作用在流体上的外力：流束段1－2的重力，两过水断面1－1、2-2上的压力、
，
边界面上所受表面压力的总值。

上式也可写为：
其分量式为：
图2 流体作用于弯管上的力
确定流体与固体边界之间的作用力，上述方程是一个重要方程。

2 动量方程的应用
（1）流体作用于弯管上的力
图示一弯管，沿x轴、y轴的动量方程为：
所以
则
的方向为：
流体对弯管的作用力，与是一对作用力和反作用力，大小与相等,方向与相反。

（2）射流作用在固定平面上的冲击力
水射流清洗：船体、铸造清砂、矿车清扫
流体从管嘴喷射出而形成射流。

如射流在同一大气压强之下，并忽略自身重力，则作用在流体上的力，只有固定平面对射流的阻力，它与射流对固定平面的冲击力构成一对作用力和反作用力。

图示固定平板与水平面成θ角，流体从喷嘴射出，射流的动量为：
x轴方向的动量方程为：
即
射流对平板的冲击力：=-
当θ＝900时
如果平板不固定，沿射流方向以速度运动，则射流对移动平板的冲出力为：
（3）射流的反推力烟花升空
我们知道，火箭飞行的根本动力是火箭内部的燃料发生爆炸性燃烧，产生大量高温高压的气体，从尾部喷出形成射流，射流对火箭有一反推力，使火箭向前运动。

下面我们具体讨论反推力的计算。

图示装有液体的容器测壁开一小孔，流体便从小孔流出形成射流，则射流速度为：
图3 射流对固定平面的冲击力图4 射流反推力在x轴方向上
流体动量对时间的变化率为：
则射流给容器的反推力（其大小与相等，方向与相反）为：
如果容器与底面间无摩擦，可沿x轴自由运动，那么容器在反推力的作用下，将沿与射流相反的方向运动，这就是射流的反推力。

火箭、喷气式飞机、喷水船等都是借助这种反推力而工作的。

3动量矩方程
要确定运动流体对固体边界面或某点的力矩时用动量矩方程。

例如离心式水泵、风机、汽涡轮机及水轮机等流体机械，其叶轮流道中的流体，由于随叶轮转动，所以流体对转轴的力矩必须用动量矩方程解决。

为了说明问题的方便，先简单介绍控制体及流体系统等概念。

从物理知，作用在物体上的力对某一点或某一转轴的力矩为：
其中为转动中心到作用力F的距离。

当质量为m的物体以速度运动时具有动量为，该物体对某点或某一转动轴的动量矩（也称角动量）为：
其中为转动中心到物体的距离。

并且力矩等于该物体对同一转动中心或转轴的动量矩对
时间的变化率，即——动量矩定理。

动量矩定理在运动流体中的推广应用：
图5 叶轮进出口速度图
由上节的动量方程：
得
即
——定常流动微小流束的动量矩方程。

总流的动量矩方程：
这就是说，外界作用在流体系统上的力对某一点的力矩矢量和，等于单位时间内从控制面流出的动量矩与流入的动量矩之差。

4动量矩方程的应用
动量矩方程的一个最重要的应用：导出叶片式流体机械（泵、通风机、水轮机、及涡轮机等）的基本方程。

现以离心式水泵或风机为例进行推导。

图示流体从叶轮的内边缘流入，经叶片流道从外缘流出。

流体质点的绝对速度等于其相对速度与牵连速度的矢量和，
则
离心式水泵或风机的进出口处速度、、三者之间的关系如图a所示。

利用动量矩方程式得
设叶轮转动的角速度为，，单位时间内叶轮对流体做的功（输入功率）为：
则单位重量流体获得的能量为：
如用、表示进出口处流体质点的切向速度：，，则
这就是离心水泵与风机等涡轮机械的基本方程，它首先是欧拉在1754年得到的，因此也称欧拉方程。

如果流体从叶轮外缘流入内缘流出，则其基本方程为：
或。