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人教版九年级上册数学课件24.1.4圆周角(共29张PPT)
【设计意图】通过前面学生发现类似的“红旗”图案？这些接下来命题的证明有又有哪些启示？
通过学生动手度量，让学生主动参与课堂，在动手过程中得到结论，去体会知识生成过程的快乐。
我会运用“分类”、“化 学生完成证明过程，思考交流后一种情况的证明思路，在展示台上展示学生的证明过程，教师做思路和规范性点评）
(二) 尝试探究，解决问题
让学生仔细观察，分析思考，
我会运用“分类”、“化归”思想进行有关的证明.
２．创设问题情境
生活实践
通过学生动手度量，让学生主动参与课堂，在动手过程中得到结论，去体会知识生成过程的快乐。
在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，并且都等于这条弧所对的圆心角的一半
在学生认识圆周角与圆心的位置关系的同时引导从三种情况进行分析并推导圆周角定理。
O·
O·
O·
B
C
B
C
C
圆心在圆周
角边上
圆心在圆周
角内部
圆心B 在圆周
角外部
在上述三种情况中你觉得哪个图形较特殊一点,你能利用该
图来证明刚才我们发现的同弧所对的圆周角与圆心角的大小
关系吗?
证一证
O
你能发现几杆类似的“红旗”图案？
这些对该情况下命题的证明有哪些启示？
A
A 证明∵OA=OC
O
∴∠A=∠C.
转化
分类
教学得失
本节课是在圆的基本概念及四量关系定理的基础上，对圆周 角定理的探索，圆周角定理在圆的有关计算和证明中有着广 泛的应用，它为后续学习打下基础，在教材中起着承上启下 的作用．反思本节课，我有如下体会 1、抓重点、破难点、释疑点。本节课的重点是圆周角的概 念及其性质定理，其中“同弧（或等弧）所对的圆周角相等” 学生很容易掌握，但圆周角与圆心角的关系较难理解，我通 过从特殊情况引导学生分析得出一般性结论，从而化解难点。 学生在遇到复杂图形中找圆周角关系时较难识图，我引导学 生从“角—弧—角”的串联形式分析角的关系，效果较好。 2、注重知识的生成，注重思想方法的渗透。通过一系列问 题引导学生从特殊情况入手，在动手测量、自主探索，合作 交流的过程中归纳总结出一般性的结论。在学生认识圆周角 与圆心的位置关系的同时引导从三种情况进行分析并推导圆 周角定理。同时渗透了“分类”、“化归”、“归纳”“从 特殊到一般”等数学思想，有效提高了学生分析问题的能力， 充分体现学生的主体地位与教师的主导作用。
数学九年级上第三篇第四节《圆周角》课件
数学九年级上第三篇第四节《圆周 角》课件
目录
• 圆周角基本概念与性质 • 圆周角定理及其推论 • 弧长与扇形面积计算 • 圆锥曲线中圆周角应用 • 拓展延伸：其他几何图形中圆周角应用 • 总结回顾与课堂练习
01 圆周角基本概念与性质
圆周角定义及特点
圆周角定义
顶点在圆上，并且两边都和圆相 交的角叫做圆周角。
圆周角性质总结
01
02
03
性质1
在同圆或等圆中，如果两 个圆周角相等，那么它们 所对的弧也相等。
性质2
在同圆或等圆中，如果两 条弧相等，那么它们所对 的圆周角也相等。
性质3
在同圆或等圆中，同弧或 等弧所对的圆周角相等， 都等于这条弧所对的圆心 角的一半。
02 圆周角定理及其推论
圆周角定理内容
ห้องสมุดไป่ตู้圆周角定义
圆柱、圆锥等立体图形中圆周角应用
圆柱中的圆周角
圆柱侧面展开图是一个矩形，其相邻两边夹角即为圆周角。利用圆周角定理可解决圆柱中 的相关问题。
圆锥中的圆周角
圆锥侧面展开图是一个扇形，其圆心角即为圆锥的顶角，而圆周角则为顶角的一半。利用 这些性质可解决圆锥中的相关问题。
圆周角定理在立体图形中的应用
在解决立体图形的问题时，可利用圆周角定理将问题转化为平面问题，从而简化计算过程 。
设扇形半径为r cm，则根据扇 形面积计算公式有 (45° × π × r²) / 360 = 24cm²，解得 r≈4.37cm（保留两位小数）。 再根据弧长计算公式，弧长 = 45° × 4.37cm × π / 180 ≈ 3.43cm（保留两位小数）。
04 圆锥曲线中圆周角应用
圆锥曲线基本概念回顾
典型例题解析
目录
• 圆周角基本概念与性质 • 圆周角定理及其推论 • 弧长与扇形面积计算 • 圆锥曲线中圆周角应用 • 拓展延伸：其他几何图形中圆周角应用 • 总结回顾与课堂练习
01 圆周角基本概念与性质
圆周角定义及特点
圆周角定义
顶点在圆上，并且两边都和圆相 交的角叫做圆周角。
圆周角性质总结
01
02
03
性质1
在同圆或等圆中，如果两 个圆周角相等，那么它们 所对的弧也相等。
性质2
在同圆或等圆中，如果两 条弧相等，那么它们所对 的圆周角也相等。
性质3
在同圆或等圆中，同弧或 等弧所对的圆周角相等， 都等于这条弧所对的圆心 角的一半。
02 圆周角定理及其推论
圆周角定理内容
ห้องสมุดไป่ตู้圆周角定义
圆柱、圆锥等立体图形中圆周角应用
圆柱中的圆周角
圆柱侧面展开图是一个矩形，其相邻两边夹角即为圆周角。利用圆周角定理可解决圆柱中 的相关问题。
圆锥中的圆周角
圆锥侧面展开图是一个扇形，其圆心角即为圆锥的顶角，而圆周角则为顶角的一半。利用 这些性质可解决圆锥中的相关问题。
圆周角定理在立体图形中的应用
在解决立体图形的问题时，可利用圆周角定理将问题转化为平面问题，从而简化计算过程 。
设扇形半径为r cm，则根据扇 形面积计算公式有 (45° × π × r²) / 360 = 24cm²，解得 r≈4.37cm（保留两位小数）。 再根据弧长计算公式，弧长 = 45° × 4.37cm × π / 180 ≈ 3.43cm（保留两位小数）。
04 圆锥曲线中圆周角应用
圆锥曲线基本概念回顾
典型例题解析
人教版九年级数学上册《圆周角》优秀PPT课件
∠ ABC = ∠ADC=∠ AEC
课堂练习
1.如图，⊙O是 ABC的外接圆，连接OA,OB,
∠ OBA=50°,求∠C的度数.
解：∵OA=OB
∴∠ OBA=∠ OAB=50° ∴∠ AOB=80°
由圆周角定理可知：
∠ C= 12∠AOB=40°
C O
A
B
课堂练习
2.试找出下图中所有相等的圆周角。
所对的圆心角的一半.
D
A
C
O·
E
B
小试牛刀
1.如图，在⊙O中，∠BOC=60°, 求∠A、∠D的度数.
A
D
O
解：由圆周角定理可知：
∠A=
12∠BOC=
1 2
×60°=
30°
∠D= 12∠BOC= 12×60°= 30°
B
C
发现：同弧所对的圆周角相等
小试牛刀
2.如图，若 CD=EF ,∠A与∠B相等吗？
练一练：下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简
述理由.
B O·
B
C
A
O·
A
A
C O·
√ C （1） A
顶点（不2）在圆上 B
B 边（AC3没）有和圆相交
O·
A O·
CC
·O
B
C
顶点（不4在）圆上
√ （5）
A B
√ （6）
探索新知
探究2：在⊙O上任取一条BC，画出BC所对的一 个圆周角∠BAC和圆心角∠BOC，用量角器测量
他所处的位置B对球门AC的张角∠ABC有关).
A
A
E B
C D
E
AC所对的角ห้องสมุดไป่ตู้ ABC 、∠ADC、
课堂练习
1.如图，⊙O是 ABC的外接圆，连接OA,OB,
∠ OBA=50°,求∠C的度数.
解：∵OA=OB
∴∠ OBA=∠ OAB=50° ∴∠ AOB=80°
由圆周角定理可知：
∠ C= 12∠AOB=40°
C O
A
B
课堂练习
2.试找出下图中所有相等的圆周角。
所对的圆心角的一半.
D
A
C
O·
E
B
小试牛刀
1.如图，在⊙O中，∠BOC=60°, 求∠A、∠D的度数.
A
D
O
解：由圆周角定理可知：
∠A=
12∠BOC=
1 2
×60°=
30°
∠D= 12∠BOC= 12×60°= 30°
B
C
发现：同弧所对的圆周角相等
小试牛刀
2.如图，若 CD=EF ,∠A与∠B相等吗？
练一练：下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简
述理由.
B O·
B
C
A
O·
A
A
C O·
√ C （1） A
顶点（不2）在圆上 B
B 边（AC3没）有和圆相交
O·
A O·
CC
·O
B
C
顶点（不4在）圆上
√ （5）
A B
√ （6）
探索新知
探究2：在⊙O上任取一条BC，画出BC所对的一 个圆周角∠BAC和圆心角∠BOC，用量角器测量
他所处的位置B对球门AC的张角∠ABC有关).
A
A
E B
C D
E
AC所对的角ห้องสมุดไป่ตู้ ABC 、∠ADC、
圆周角-PPT课件
E
20°
30°
∴∠ABF=∠D=20°，∠FBC=∠E=30°.
∴∠x=∠ABF+∠FBC=50°.
A F
C
下列说法是否正确，为什么？
拓展巩固
“在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等”.
一条弦所对应的圆周角有两类.
D
如图所示，连接BO、EO. 显然，∠C与∠D所对应的圆心角和为 ，
O.
所以36根0°据圆周角定理可知∠C+∠D = . 180°
通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的 体验.
知识回顾
O
1.圆心角的定义?
顶点在圆心的角叫圆心角.
A
B
2.图中∠ACB 的顶点和边有哪些特点？
C
考考你：你能仿照圆心角的定义，给下
图中象∠ACB 这样的角下个定义吗？
O
A
B
探索新知
顶点在圆上，并且两边都和圆相交 的角叫圆周角．（两个条件必须同时具备，缺一不可）
24.1 圆的有关性质
24.1.4 圆周角
教学目标
【知识目标】 理解圆周角的概念。探索圆周角与同弧所对的圆心角之间的关
系，并会用圆周角定理及推论进行有关计算和证明. 【能力目标】
经历探索圆周角定理的过程，初步体会分类讨论的数学思想， 渗透解决不确定的探索型问题的思想和方法，提高学生的发散思维能 力. 【情感目标】
意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠A与∠D相等吗？ 请说明理由.
D
同弧所对的圆周角相等.
问题2 如图，若
,那么 ∠A与∠B相等吗？
想一想： 反过来，若∠A=∠B，那么
成立吗？
AB E
O
C
《圆周角》课件精品 (公开课)2022年数学PPT全
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.4 圆周角
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理. 2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解 决简单的几何问题.（重点、难点） 3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用. （难点）
导入新课
复习引入
（5）√
A B
（6）√
二 圆周角定理及其推论
测量与猜测
如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与 ∠BOC存在怎样的数量关系.
BAC1BOC 2
推导与论证
圆心O在∠BAC 的一边上
圆心O 在∠BAC
的 内部
圆心O在∠BAC 的外部
n圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）
OA=OC ∠A= ∠C ∠BOC= ∠ A+ ∠C
证明猜想
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角， ∴∠A＋∠C＝180°， 同理∠B＋∠D＝180°，
归纳总结
推论：圆的内接四边形的对角互补.
想一想
图中∠A与∠DCE的大小有何关系？
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，
∴∠A＋∠C＝180°，
D
同理∠B＋∠D＝180°， A
延长BC到点E，有
2∠BOC. 求证：∠ACB=2∠BAC.
证明： ACB1AOB,
2
1
BAC BOC,
O
2
∠AOB=2∠BOC，
A
C B
∴∠ACB=2∠BAC
9.船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是否遇到
暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两
24.1 圆的有关性质
24.1.4 圆周角
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理. 2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解 决简单的几何问题.（重点、难点） 3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用. （难点）
导入新课
复习引入
（5）√
A B
（6）√
二 圆周角定理及其推论
测量与猜测
如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与 ∠BOC存在怎样的数量关系.
BAC1BOC 2
推导与论证
圆心O在∠BAC 的一边上
圆心O 在∠BAC
的 内部
圆心O在∠BAC 的外部
n圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）
OA=OC ∠A= ∠C ∠BOC= ∠ A+ ∠C
证明猜想
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角， ∴∠A＋∠C＝180°， 同理∠B＋∠D＝180°，
归纳总结
推论：圆的内接四边形的对角互补.
想一想
图中∠A与∠DCE的大小有何关系？
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，
∴∠A＋∠C＝180°，
D
同理∠B＋∠D＝180°， A
延长BC到点E，有
2∠BOC. 求证：∠ACB=2∠BAC.
证明： ACB1AOB,
2
1
BAC BOC,
O
2
∠AOB=2∠BOC，
A
C B
∴∠ACB=2∠BAC
9.船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是否遇到
暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两
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∴ △ABC 为直角三角形.
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推论2： 半圆（或直径）所对的圆周角是90°； 90°的圆周角所对的弦是直径.
推论3： 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半， 那么这个三角形是直角三角形.
C E
D
O
A
B
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个三角形是直角三角形.（提示：作出以这条边为直径的圆）
已知：如图△ABC中，CO为AB边上的中线，且CO= 1 AB
2
求证： △ABC 为直角三角形.
C
证明： 以O为圆心，AB为直径作⊙O，
∵AO=BO，CO= 1 AB,
2
∴AO=BO=CO∴. 点C在⊙O上.
A
·
B
O
又∵AB为直径,∴∠ACB=12×180°= 90°.
在半径不等的圆中，相等的两个 圆周角所对的弧相等吗？
如图，∠ABC=30°，∠A′B′C′=30°，但是
︵︵
B
B'
CA ＞ A′C′
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A' C'
A
C
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练一练.1试找出下图中所有相等的圆周角。
D
A1
87
2
3 4
6
5
B
C
∠2=∠7 ∠1=∠4
A C
过点B作直径BD.由1可得:
∠ABD
=
1∠AOD,∠CBD
2
=
1
B
∠COD,
2
●O
D
1 ∴ ∠ABC = 2 ∠AOC.
人教版数学九年级上册圆周角精品课件PPT1
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等
人教版数学九年级上册24.1.4 圆周角课件
问题解决 人教版数学九年级上册24.1.4 圆周角课件
• 当球员在B,D,E处射门时, 他所处的位置对球门AC 分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角 的大小有什么关系?.
A
E B
C D
A
E
AC⌒所对角∠ AEC， ∠ABC，
展示交流
A
圆周角∠BAC与圆心角∠BOC的大小关系
3.当圆心在∠BAC的外部.
O
证明：作射线AO交⊙O于D. 由第1种情况得
C DB
∠CAD＝ 1 ∠ COD 2
∠BAD＝ 1 ∠ BOD
2
反思： 1.遇有多种情形时，可进行分类讨论； 2.由特殊到一般是问题探究的一种有效方法； 3.一般情形可转化为特殊情形来解决.
A
A
O
O
O
B
CB
CB
C
圆心在一边上
圆心在角内
圆心在角外
人教版数学九年级上册24.1.4 圆周角课件
观察猜想 人教版数学九年级上册24.1.4 圆周角课件
互助释疑
• 如图,观察圆周角∠ BAC与圆心角∠ BOC,它们的大 小有何等量关系?
说说你的想法,并与同伴交流.你能证明所发现的结论吗？
圆周角与圆心角的关系
A
O
B
CB
A
A
O O
C CB
人教版数学九年级上册24.1.4 圆周角课件
推理论证 人教版数学九年级上册24.1.4 圆周角课件
展示交流
圆周角∠BAC与圆心角∠BOC的大小关系
1.当圆心在∠BAC的一边上时
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A.30° B.40° C.50° D.60°
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3. 如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，若∠OBC＝60°， 则∠BAC的度数是( D ) A．75° B．60° C. 45° D．30°
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证明:∵AB=BC,
∴A︵B=B︵C,
∴∠ADB=∠BDC, 即DB平分∠ADC.
《圆周角》优质ppt人教版1
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8.如图，点A，B，D，E在⊙O上，弦AE，BD的延长线 相交于点C.若AB是⊙O的直径，D是BC的中点．试判断 AB，AC之间的大小关系，并给出证明.
解：(1)AB＝AC. 证明如下：连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， 即AD⊥BC. ∵BD＝DC， ∴AD垂直平分BC， ∴AB＝AC.
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弦 相等
弦心距 相等
=30°+70°=100°.
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由直径联想 到直角时常
见思路
C
. O
P
B
D
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例3 小明想用直角尺检査某些工件是否恰好为半圆形. 下面所示的四种圆弧形，你能判断哪个是半圆形？为什么?
解：题图(2)是半圆形． ∵90°的圆周角所对的弦是直径．
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随堂演练
1．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠ABC =70°，
则∠AOC的度数等于（ A ）
A
A.140°
B.130°
C.120°
《圆周角》优质ppt人教版1
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3. 如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，若∠OBC＝60°， 则∠BAC的度数是( D ) A．75° B．60° C. 45° D．30°
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证明:∵AB=BC,
∴A︵B=B︵C,
∴∠ADB=∠BDC, 即DB平分∠ADC.
《圆周角》优质ppt人教版1
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8.如图，点A，B，D，E在⊙O上，弦AE，BD的延长线 相交于点C.若AB是⊙O的直径，D是BC的中点．试判断 AB，AC之间的大小关系，并给出证明.
解：(1)AB＝AC. 证明如下：连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， 即AD⊥BC. ∵BD＝DC， ∴AD垂直平分BC， ∴AB＝AC.
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弦 相等
弦心距 相等
=30°+70°=100°.
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由直径联想 到直角时常
见思路
C
. O
P
B
D
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例3 小明想用直角尺检査某些工件是否恰好为半圆形. 下面所示的四种圆弧形，你能判断哪个是半圆形？为什么?
解：题图(2)是半圆形． ∵90°的圆周角所对的弦是直径．
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随堂演练
1．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠ABC =70°，
则∠AOC的度数等于（ A ）
A
A.140°
B.130°
C.120°
初中数学人教九年级上册第二十四章 圆 圆周角定理PPT
(2)∵BA=BC，∴∠A=∠C. 由圆周角定理得∠A=∠E， ∴∠C=∠E，∴DC=DE.
27
28
知识点三：圆周角定理的推论
合作探究
先独立完成导学案互动探究1、3， 再同桌相互交流，最后小组交流；
1.如图，在⊙O中，弦AB＝3cm，点C在 ⊙O上，∠ACB＝30°.求⊙O直径. 2.如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦 ，延长BD到点C，使AC＝AB，BD与CD的 大小有什么关系?为什么?
B A
O A
O B
知识点三：圆周角定理的推论
学以致用
1、如图，AB是半圆的直径，点D是AC的中
点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于( ) C
A.55°B.60°C.65°D.70°
B
A
O
2.如图，⊙O的半径为1，AB是⊙O的一条
弦，且AB＝ 3，则弦AB所对的圆周角的度 A
数为( )D A.30º B.60º C.30º或150 º D.60º或120º
如果AB＝CD，那么∠E和∠F是什么关系？ O1 D
反过来呢？
C
A
F
结合⑴、⑵你能得到什么结论？
O2
B
21
知识点三：圆周角定理的推论
归纳总结
圆周角定理推理1
同弧或等弧所对的圆周角相等； 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.
∵ AB=CD ∴∠E=∠F
在⊙O中∵∠E=∠F ∴AB=CD
E
A
F
O D
对的弧也相等；②两条弦相等，弦所对的弧也相等；③弦
心距弦心距所对的弦相等；④两个圆周角相等，圆周角所
对的弧相等；⑤弧相等弧所对的弦相等；
C
⑥弧相等弧所对的圆周角也相等。
《圆周角》优质课ppt人教版2
C
O
A
D P
B
《 圆周角 》优质 课ppt人 教版2
结束寄语
• 盛年不重来,一日难再晨, 及时宜自勉,岁月不待人.
《 圆周角 》优质 课ppt人 教版2
图1
图2
图3
图4
图5
图6
图7
图8
图9
圆周角和圆心角的关系
如图,观察弧AC所对的圆周角∠ABC与 圆心角∠AOC,它们的大小有什么关系? 说说你的想法,并与同伴交流.
●:注意圆心与圆周角的位置关系.
证明你的猜想:
（1）圆心在∠BAC的一边上.
A 由于OA=OC
O
因此∠C=∠BAC
而∠BOC=∠BAC+∠C
点，你能确定∠BAC的度数吗?∠BAC =90º
问题3：如图2，圆周角∠BAC =90º，弦BC经过
圆心O吗？为什么？
A
A
B
O
CB
●O
C
《 圆周角 》优质 课ppt人 教版2
图1
图2
《 圆周角 》优质 课ppt人 教版2
想一想
方法归纳
1、圆周角定理的推论1：
用于找相 等的角
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；
B
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C 120°
O.
x
B
A
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求图中角x的度数
x
35º
x
70°
O
35°
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x
80°
x
O
120°
60°
x
130°
O
人教版数学九年级上册24.1.4圆周角课件(31张PPT)
推论 2
半圆(或直径)所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是直径.
符号语言：
如图，在⊙O 中，若 AB 为⊙O 的直径， 则∠C1 = ∠C2 = ∠C3 = 90°. 若∠C1(或∠C2，∠C3 )= 90°， 则 AB 为 ⊙O 的直径.
思考 若将“同弧或等弧所对的圆周角相等”中的“同 弧或等弧”改为“同弦或等弦”，则结论成立吗？
证明 3
你会证明吗？
定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
圆心在圆周角的 情况
一条边上
圆心在圆周角 的内部
圆心在圆周角 的外部
图示
结论
∠BAC = ∠BOC．
思考 AB 所对的两个圆周角，∠ACB 与∠ADB 之间 有什么关系？
同弧所对的圆周角相等．
思考 AB = BC ，∠ADB 与∠BEC 之间有什么关系？
解：∠1 = ∠4， ∠3 = ∠6， ∠2 = ∠7， ∠5 = ∠8.
理由：同弧所对的圆周角相等.
【教材P88练习 第3题】
3. 如图，OA，OB，OC 都是 ⊙O 的半径，∠AOB = 2∠BOC. 求证：∠ACB = 2∠BAC.
证明：∵ ∠ACB = ∠AOB，
∠BAC = ∠BOC，
∠AOB = 2∠BOC，
不一定成立，因为 一条弦所对的圆周 角有两种情况.
例题4
如图，⊙O 的直径 AB 为 10 cm，弦 AC 为 6 cm， ACB 的平分线交 ⊙O 于点 D，求 BC，AD，BD 的长．
解：连接 OD. ∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ ACB =ADB = 90°． 在 Rt△ABC 中， BC AB2 AC 2 102 62 8cm.
人教版九年级上册 24.1.4 圆周角 课件30张
五、思维拓展
与圆有关的角除了圆心角、圆周角还有其 它的角，比较∠A、∠D、∠E的大小关系，你 有什么发现？能说明你的结论吗？
D’
A
E’ E
D
B
C
练习. 如图，在⊙O中，BC=2DE,∠BOC=84°，求
∠A的度数.
C E
A
O
D
B
活动六：反思提升
目标检测
1.如左图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，
24.1.4圆周角
一、温故探新 定义 顶点在圆心的角叫做圆心角.
O
B
C
二、建立概念
圆周角
类 比 思
定义 顶点在圆上， 并且两边都和圆相交 的角叫做圆周角.
想
圆心角
B C
· · B 定义O 顶点A 在圆心 O
A
的角叫做圆心角.
C
（1）√
（2） ×
A O
B
C
A C
·O
B
（3）×
圆周角
定义 顶点在圆上， 并且两边都和圆相交 的角叫做圆周角.
四边形ABCD的对角线.填空：
(1)∠1=∠ 4 ; (2)∠2=∠ 7 ; (3)∠3=∠ 6 ; (4)∠5=∠ 8 .
1.如图，点A、B、C都在⊙O上. （1）若∠AOC=120°，则求∠ABC的度数. （2）写出∠AOC与∠ABC的数量关系.
O
C
A
B
2.如图，点A、B、C都在⊙O上. ∠AOB = 2∠BOC. 请说明∠ACB = 2∠BAC.
O
C
A
B
一、温故探新 定义 顶点在圆心的角叫做圆心角. 性质 弧的度数等于它所对圆心角的度数.
O
B
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探究
分别量一下图中弧AB所对的
两个圆周角的度数，比较一下，
再变动点C在圆周上的位置，圆
周角的度数有没有变化？你能发
D
现什么规律吗？
再分别量出图中弧AB所对的圆 周角和圆心角的度数，比较一下， A 你什么发现？
C
·O
B
同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的 度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．
BAC1BOC
O·
2
D
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
B
C
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圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧 所对的圆周角相等，都等于这 条弧所对的圆心角的一半.
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探究： 1． 半圆或直径所对的圆周角等于多少度？ ２．９０°的圆周角所对的弦是否是直径？
结论： 半圆或直径所对的圆周角是90°（直角），反
过来也是成立的，90°的圆周角所对的弦是直径。
例题赏析:
例1 如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB平
分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
解：∵AB是直径，
∴ ∠ACB= ∠ADB=90°．
C
在Rt△ABC中，
B C A2 B A2C 12 0 6 2 8
特征：① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交.
概念应用
(1)判断如图所示的角，哪些是圆周角
√
√
（2）下图中的圆周角有：___________________.
6 5
C
注意：圆周角必须要具备两个条件： _______________________________________.
BAC1BOC 2
O·
B
C
D
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
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（3）在圆周角的外部．
圆心O在∠BAC的外部，作直径AD，利用（１）的结果，有
BAD1BOD 2
DAC1DOC 2
D A C D A B 1( D O C D O B ) A 2
B
∠AOC的度数，它们之间的关系
是_____________.(证明)
A
1.·
C
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3.如果∠ABC的两边都不经过圆心.如图， 那么结果怎样？你能将下图中的两种 情况分别转化成上图中的情况去解决 吗？
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B
P
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利用同弧所对的圆周角的相等练习
3.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD
丙D A
乙C
甲O
丁E
B
练一练
1、如图，在⊙O中，∠ABC=50°，
A
则∠AOC等于（ ）
A、50°；
BD、80°；
C、90°；
D、100°
BO C
2、如图，△ABC是等边三角形，
C
动点P在圆周的劣弧AB上，且不
与A、B重合，则∠BPC等于（ ）
A、30B°； C、90°；
B、60°； D、45°
A
24.1.4 圆周角
（第1课时）
学习目标： 1. 理解圆周角的概念，会识别圆周角。 2. 掌握圆周角定理，并会用此定理进行简单的论 证和计算。 3. 通过学习体会运用分讨论，转化，完全归纳法 等数学思想方法解决问题，培养学生分析问题和 解决问题的能力。 学习重点：圆周角的概念和圆周角定理。
学习难点：用分类讨论的思想证明圆周角定理， 尤其是分类标准的确定。
线段AB是⊙O的直径，点C是⊙O
上任意一点（除点A、B）,那么， ∠ACB 就是直径AB 所对的圆周角. 想想看，∠ACB 会是怎么样的角？
为什么呢？
证明：
因为OA＝OB＝OC，所以△AOC、 △BOC 都是等腰三角形，所以 ∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB. 又∠OAC＋∠OBC＋∠ACB＝180°， 所以∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝90°. 因此，不管点C在⊙O上何处（除点A、 B），∠ACB总等于90°，
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为了进一步探究上面的发现，如图在⊙O任取一个圆周 角∠BAC，将圆对折，使折痕经过圆心O和∠BAC的顶点 A．由于点A的位置的取法可能不同，这时折痕可能会:
（1）在圆周角的一条边上；
∵OA=OC，
∴∠A=∠C．
A
又∠BOC=∠A+∠C
O·
∴∠BOC=2∠A
B
C
即 A 1BOC 2
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
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（2）在圆周角的内部．
圆心O在∠BAC的内部，作直径AD，利用（１）的 结果，有
BAD1BOD 2
DAC1DOC 2
B A D D A C 1( B O D D O C ) A 2
一、复习检测
1. 什么叫圆心角？ __________________________________ __________.
2. 你能找出下面图形中的圆心角吗？ （口述判断的理由）
探究一、圆周角的定义
顶点在圆心的角叫圆心角。
你能仿照圆心角的定义，给下图中象∠ACB 这样的角下个定义吗？
顶点在圆上，并且两边都和 圆相交的角叫做圆周角．
A
O
B
∵CD平分∠ACB，
A C D B C D .
∴A⌒D=B⌒D.
∴AD=BD.
D
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
A D B D 2A B 2 1 052 (c m )
2
2
现在你能独立解决这个问题了吗
如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面的示意图,人们可以通
过其中的圆弧形玻璃AB 观看窗内的海洋动物,同学甲站在 圆心的O 位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C， 他们的视角（∠AOB 和∠ACB）有什么关系？如果同学丙、 丁分别站在他靠墙的位置D和E，他们的视角（ ∠ADB 和 ∠AEB ）和同学乙的视角相同吗？
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探究二、
1. 任意画一个圆O，在圆上任意 取三个点A、B、C，连接AB、 BC.圆心O与∠ABC有几种可能的 位置关系？
___________________________
_________________________.
2. 如图，分别测量图中弧AB所
对的圆周角∠ABC和圆心角