圆的对称性_知识点与典型例题

圆的对称性

【典型例题】

例1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E。求AB、AD的长。

分析：求AB较简单，求弦长AD可先求AF。

解：

例2. 如图，⊙O中，弦AB＝10cm，P是弦AB上一点，且PA＝4cm，OP＝5cm，求⊙O的半径。

分析：⊙O中已知弦长求半径，通常作弦心距构造直角三角形，利用勾股定理求解。

解：

例3. 如图“五段彩虹展翅飞”是某省利用国债资金修建的横跨渡江的琼洲大桥已正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，求这个圆拱所在圆的直径。

分析：略

解：

【模拟试题】一. 选择题。

1. ⊙O中，弦AB所对的弧为120°，圆的半径为2，则圆心到弦AB的距离OC为（）

A. B. 1 C. D.

2. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果，则AE的长为（）

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

3. 如图，⊙O的弦AB垂直于直径MN，C为垂足，若OA＝5cm，下面四个结论中可能成立的是（）

第5题

第8题 A. B. C. D.

4. 下列命题中正确的是（ ）

A. 圆只有一条对称轴

B. 平分弦的直径垂直于弦

C. 垂直于弦的直径平分这条弦

D. 相等的圆心角所对的弧相等

5. 如图，已知AD ＝BC ，则AB 与CD 的关系为（ ）

A. AB ＞CD

B. AB ＝CD

C. AB ＜CD

D. 不能确定

二. 填空题。

6. 半径为6cm 的圆中，有一条长的弦，则圆心到此弦的距离为___________cm 。

7. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16厘米，则球的半径为 厘米．

8. 如图，∠A ＝30°，则B ＝___________。

9. 过⊙O 内一点M 的最长的弦为6cm ，最短的弦长为4cm ，则OM 的长为___________。

10. ⊙O 的半径为10cm ，弦AB ∥CD ，AB ＝12cm ，CD ＝16cm ，则AB 和CD 的距离为___________。

11. ⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE ＝1cm ，EB ＝

5cm ，∠DEB ＝60°，

则CD ＝___________。

三. 解答题。

12. 如图，⊙O 的直径为4cm ，弦AB 的长为，你能求出∠OAB 的度数吗？写出你的计算过程。

13. 已知，⊙O 的弦AB 垂直于直径CD ，垂足为F ，点E 在AB 上，且EA ＝EC 。 求证：

14. 如图，AB 是⊙O 的弦，AB 长为8，P 是⊙O 上一个动点（不与A 、B 重合），过点O 作OC⊥AP 于点C ，OD⊥PB 于点D ，则CD 的长是怎么变化的？请说明理由。

15. 如图，⊙O 上有三点A 、B 、C 且AB ＝AC ＝6，∠BAC ＝120°，求⊙O 的半径。

第11题

16. ⊙O的直径AB＝15cm，有一条定长为9cm的动弦，CD在上滑动（点C和A、点D 与B不重合），且CE⊥CD交AB于E，DF⊥CD交AB于F。

（1）求证：AE＝BF；2）在动弦CD滑动过程中，四边形CDFE的面积是否为定值，若是定值，请给出证明，并求这个定值，若不是，请说明理由。

17. （12上海）如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．

（1）当BC=1时，求线段OD的长；

（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；

（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．

圆的对称性试题答案

一. 选择题。

1. B

2. A 3 A 4. C 5. B

二. 填空题。

6. 4

7. 10

8. 75°9.

10. 2cm或14cm

11. cm（垂径定理与勾股定理）

三. 解答题。

12 解：过点O作OC⊥AB于C，则

又

∴∠OAB＝30°

13 证明：连结BC

∵AB⊥CD，CD为⊙O的直径

∴BC＝AC

∴∠CAB＝∠CBA

又EA＝EC

∴∠CAB＝∠ECA

∴∠CBA＝∠ECA

∴△AEC∽△ACB

即

14. 解：略

15 解：连OA

∵AB＝AC，

∴OA⊥BC于D

又∠BAC＝120°

∴∠BAD＝∠CAD＝60°，∠B＝∠C＝30°

设⊙O的半径为r，则

∴r＝6

16. （1）证明：如图，过O作OG⊥CD于G

则G为CD的中点

又EC⊥CD，FD⊥CD

∴EC∥OG∥FD

∴O为EF的中点，即OE＝OF

又AB为⊙O的直径

∴OA＝OB

∴AE＝BF（等式性质）

（2）解：四边形CDFE面积是定值

证明：∵动弦CD滑动过程中条件EC⊥DC，FD⊥CD不变∴CE∥DF不变

∴四边形CDFE为直角梯形，且OG为中位线

∴S＝OG·CD

连OC，由勾股定理有：

又CD＝9cm

是定值

17、解答：解：（1）如图（1），∵OD⊥BC，

∴BD=BC=，

∴OD==；

（2）如图（2），存在，DE是不变的．

连接AB，则AB==2，

∵D和E是中点，

∴DE=AB=；

（3）如图（3），

∵BD=x，

∴OD=，

∵∠1=∠2，∠3=∠4，

∴∠2+∠3=45°，

过D作DF⊥OE．

∴DF=，EF=x，

∴y=DF•OE=（0＜x＜）．