浅析线面平行的解题技巧
证明线面平行的三种方法
证明线面平行的三种方法一、平行线的定义在欧几里得几何中，平行线是指在同一个平面中，永不相交的两条直线。
如果两条直线在平面上的任意一点处的夹角都相等，则这两条直线是平行线。
二、方法一：同位角定理同位角定理是证明线面平行中常用的一种方法。
同位角是指两条平行线被一条横截线所切割的角，它们在同一边的对应角。
1.假设有两条直线AB和CD，以及一条平行于AB和CD的横截线EF。
2.判断同位角：观察EF与AB和CD所形成的角，如果这些角相等，则可以得出AB和CD是平行线。
3.证明同位角相等：可以利用已知角度相等的定理，如垂直角定理（两条直线相交时，所形成的四个角中相对的角度相等）或同旁内角互补定理（两条直线切割同位角时，同位内角和邻补角的和为180度）来证明同位角相等。
三、方法二：转角定理转角定理也是证明线面平行中常用的一种方法。
该定理表明，如果两条直线所形成的转角相等，则这两条直线是平行线。
1.假设有两条直线AB和CD，以及一条与AB相交的横截线EF。
2.观察EF与AB和CD所形成的转角，如果这些转角相等，则可以得出AB和CD是平行线。
3.证明转角相等：可以利用已知角度相等的定理，如同位角定理、垂直角定理或同旁内角互补定理来证明转角相等。
四、方法三：等边三角形法等边三角形法是证明线面平行的另一种常用方法。
该方法利用了等边三角形的性质，即等边三角形的对边是平行的。
1.假设有两条直线AB和CD，以及一条与AB相交的横截线EF。
2.构造一个等边三角形AEF，其中AE=EF=AF，使得EF与CD重合。
3.由于AEF是等边三角形，所以DE=DF。
4.由于DE=DF且EF与CD重合，可以得出DE与CD重合，即DE和CD是平行线，从而得出AB和CD是平行线。
五、总结通过同位角定理、转角定理和等边三角形法，我们可以方便地证明线面平行的关系。
这些证明方法在几何学中的应用非常广泛，可以帮助我们研究和解决与平行线有关的问题。
在实际生活中，平行线的概念和性质也有着广泛的应用，如建筑、制图等领域。
高中数学证明线面平行的方法
高中数学证明线面平行的方法在高中数学学习中，证明线面平行是一个常见的问题。
这个问题需要我们运用一定的数学知识和技巧，来证明两条线段或两个平面之间的平行关系。
下面介绍一些证明线面平行的方法：1. 向量法向量法是证明线面平行的常见方法。
我们可以用向量来表示线段和平面的方向，然后通过向量的内积来判断它们是否平行。
具体来说，如果两个向量的内积为0，那么它们就是垂直的；如果内积不为0，那么它们就是平行的。
例如，如果要证明直线AB与平面P平行，则可以假设向量AB和平面P的法向量n不平行。
然后计算向量AB和n的内积，如果结果为0，则AB与P垂直；如果结果不为0，则AB与P平行。
2. 三角形相似法如果两个平行线段或两个平面之间的平行关系不容易用向量法证明，可以使用三角形相似法。
具体来说，我们可以选择一个三角形，在两个平行线段或平面上各取一个点，然后通过证明两个三角形相似来证明它们平行。
例如，如果要证明平面P和平面Q平行，则可以选择一个三角形ABC，在平面P上取点A和B，在平面Q上取点C，然后证明三角形ABC和三角形ACB相似，从而得出平面P和平面Q平行的结论。
3. 平行四边形法平行四边形法是证明线段平行或平面平行的一种简单方法。
具体来说，我们可以找到一个平行四边形，其中两条边分别是要证明平行的线段或平面，然后证明它的另外两条边也平行，从而得出结论。
例如，如果要证明线段AB与线段CD平行，则可以找到一个平行四边形ABCD，其中AB和CD是相邻的两条边，AC和BD是另外两条边，然后证明AC和BD也平行，从而得出线段AB与线段CD平行的结论。
综上所述，证明线面平行的方法有很多种，我们可以根据具体情况选择合适的方法进行证明。
除了上述方法，还有投影法、反证法等方法。
大家可以尝试学习和运用这些方法，提高数学证明的能力。
线面平行的判定定理的证明
线面平行的判定定理的证明今天咱们来聊聊一个有趣的数学话题，那就是线面平行的判定定理。
乍一听，这个名字是不是听起来有点高大上？其实嘛，咱们用简单的语言来拆开这个大馅饼，绝对让你听得懂，还能轻松记住！好，开门见山，咱们就直接上干货。
线面平行，这可是几何中一个很重要的概念。
就好比你在街上走，看到两条平行的马路，心里不禁感叹，哎呀，这路真宽敞，真是两条不打交道的平行线。
再回到数学上，线面平行的意思就是一条线和一个面永远不相交。
是不是很简单呢？咱们接下来就来说说，怎样判定它们到底平行不平行。
我们得明白，判定线面平行的基本方法就是看线的方向和面上法线的关系。
法线，听起来是不是像魔法师的法杖？其实它就是一个与面垂直的线。
你想象一下，如果这个法线和我们的线方向一致，那就说明这条线跟这个面是平行的。
如果法线和线的方向不一样，那就得好好琢磨琢磨了。
就像两个人站在一个舞台上，一个人往左走，另一个人往右走，永远都碰不到对方，哈哈，真有意思！线面平行的一个小秘密就是，它们的关系可以用角度来判断。
如果线和面之间的夹角是零度，嘿，那毫无疑问，它们就是平行的。
就像你和好朋友在同一条路上并肩而行，那种默契，真是太棒了！所以，当你看到一条线与一个面形成一个零度的角度时，就可以放心大胆地说，它们是平行的，嘿嘿。
还有一种情况，也很有趣。
假如线和面之间的夹角是90度，这说明这条线跟面是垂直的。
哎，真是个好消息，对吧？因为一条线如果和面垂直，那它就不会和面上的任何点相交，自然也就不可能是平行的。
就好比一棵树长得很高，树影洒在地上，树干和地面呈90度，那这树影就绝对不会跟树干相交，真是个绝妙的比喻。
我们还得聊聊另外一个有趣的方面。
假如有两条平行线，它们和同一个面平行，那可就不得了了。
这就像你和你的朋友一起跑步，结果你们的速度一样快，那你们就一直在同一个水平线上，永远不相交。
数学上也是如此，如果两条线都平行于同一个面，那么它们就是绝对平行的！这就像是数学里的铁打的友谊，不离不弃！说到这，可能有小伙伴会问，万一不巧，这条线和这个面有个交点怎么办？别着急，咱们还有办法。
线面平行和垂直的关系判定选择题技巧
线面平行和垂直的关系判定选择题技巧一、概述近年来，随着数学学科的发展，由于线面平行和垂直的关系判定选择题在各类考试中出现的频率越来越高，许多学生对于该类题目的解答技巧和方法感到困惑。
本文旨在总结线面平行和垂直的关系判定选择题的解题技巧，帮助广大学生更好地应对这类题目。
二、线面平行和垂直的概念1.线面平行的概念在数学中，当两条直线在同一个平面上且不交叉时，我们称它们互相平行。
平行线有着许多特点，比如它们与同一条横线相交的各个角度相等。
2.线面垂直的概念两个平面在它们的交线上的任意两个相对的交角是90°，则这两个平面是垂直的。
三、线面平行和垂直的关系判定选择题技巧1.理解平行线的特点在解答线面平行和垂直的关系判定选择题时，首先要熟悉平行线的特点。
对于平面直角坐标系中的两条平行线，它们的斜率相等；对于一条直线与两个平行线的交点，相应的内错角相等，同位角相等等。
2.利用垂直线的性质在解答与垂直有关的选择题时，要熟悉垂直线的性质。
垂直的两条直线的斜率的乘积为-1；垂直平面的交线是彼此垂直的等。
3.通过已知条件求解题目在解答具体题目时，应当善于利用已知条件进行推理和计算。
利用平面几何的知识去判定两个平面的关系，从而判断两个线面之间的平行或垂直关系。
4.结合实际问题加强通联除了进行抽象的思维训练外，还可以结合实际问题进行练习。
通过解决房屋建筑等实际问题，加深对平行线和垂直线性质的理解。
5.多练习真题多做一些真题进行练习，熟悉线面平行和垂直的关系判定选择题的出题特点和解答技巧。
四、总结线面平行和垂直的关系判定选择题是数学考试中常见的题型，掌握其解题技巧对学生来说至关重要。
通过理解平行线和垂直线的性质、结合实际问题进行通联、多做真题练习等方法，可以提高学生在解答该类选择题时的准确性和速度。
希望本文总结的技巧能够对广大学生有所帮助。
基于线面平行和垂直的关系判定选择题技巧，我们可以进一步深入探讨这一领域的知识。
线面平行判定定理
线面平行判定定理
线面平行判定定理是一个重要的几何定理，主要说明的是空间中的线
和面之间的垂直关系。
它既有几何意义，又有线性空间的实用价值。
线面平行判定定理：如果空间中一条直线和一个平面上的三个不共线
点满足：任意两点连线垂直于该直线，那么这条直线就是和这个平面平行的。
证明方法可以借助于向量的知识，根据三角形的性质，设平面上三点P，Q，R，PQ线段垂直于线L，则PQ和LR的夹角α=90°.假设RQ也垂
直于L，则RQ和LR的夹角β=90°,根据正弦定理，我们有sinα=sinβ，也就是α=β=90°,所以线L和平面PQR平行。
由此可见，线面平行判定定理是一个重要的几何定理，它解释了空间
中一条直线和平面之间垂直关系。
这一定理不但有几何意义，而且也具有
实用价值，在计算机中也有着广泛的应用。
线面平行的判定
判定定理的证明
• 证明线面平行的判定定理，我们可以采用反证法。假设直线a与 平面β平行，但存在直线b在平面β内与直线a不平行。那么，直 线a和直线b必然相交于一点。由于直线a与平面β平行，那么直 线b必然与直线a平行，这与我们的假设矛盾。因此，我们的假 设是错误的，即如果一条直线与平面平行，那么这条直线与平 面内的任何直线都平行。
为0。
若平面内的直线与另一平面相交， 则该直线与另一平面的交点个数
为1。
若平面内的直线与另一平面重合， 则该直线与另一平面的交点个数
为无数。
2023
PART 04
线面平行判定方法的实例
REPORTING
直线与平面平行实例
直线与平面平行，则直线与平面内任意一条直线平行。 直线与平面平行，则直线与平面内的直线没有交点。
• 向量法：如果一条向量为$\overset{\longrightarrow}{a}$，一个平面内的两个 不共线的向量为$\overset{\longrightarrow}{b}$和 $\overset{\longrightarrow}{c}$，则$\overset{\longrightarrow}{a}$与平面 平行的充分必要条件是$\overset{\longrightarrow}{a}$与 $\overset{\longrightarrow}{b}$、$\overset{\longrightarrow}{c}$都垂直。 即$\overset{\longrightarrow}{a} \cdot \overset{\longrightarrow}{b} = 0$ 且$\overset{\longrightarrow}{a} \cdot \overset{\longrightarrow}{c} = 0$。
总结证明线面平行的常用方法
BC DA 1B 1C 1D 1图２AFE GαabA图1总结证明线面平行的常用方法空间直线与平面平行问题是立体几何的一个重要内容，也是高考考查的重点，下面就常见的线面平行的判定方法介绍如下：方法一、反证法【例1】求证：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．（直线与平面平行的判定定理）已知：,,a b a αα⊄⊂∥b ，如图1．求证：a ∥α．【分析】要证明直线与平面平行，可以从直线与平面平行的定义入手，但从定义来看，必须说明直线与平面无公共点，这一点直接说明是困难的，但我们可以借助反正法来证明．【证明】假设直线a 与平面α不平行，又∵a α⊄，∴a A α=．下面只要说明aA α=不可能即可．∵a ∥b ，∴a ，b 可确定一平面，设为β． 又aA α=， ∴,A a A β∈∈．又b ,A αα⊂∈，∴平面α与平面β中含有相同的元素直线b ，以及不在直线b 上的点Ａ， 由公理２的推论知，平面α与平面β重合． ∴a α⊂，这与已知a α⊄相矛盾． ∴a A α=不可能．故a ∥α．方法二、判定定理法【例2】正方体1AC 中，Ｅ、G 分别为BC 、11C D 的中点，求证：EG ∥平面11BDD B 【分析】要证明EG ∥平面11BDD B ，根据线面平行的判定定理，需在平面11BDD B 内找到一条与EG 平行的直线，充分借助Ｅ、G 为中点的条件．【证明】如图２，取BD 的中点为Ｆ，连结EF ，1D F ． ∵Ｅ为BC 的中点， ∴ EF ∥CD 且12EF CD =又∵G 为11C D 的中点， ∴ 1D G ∥CD 且112D G CD =∴ EF ∥1D G ，且1EF D G =B C DA 1B 1C 1D 1AＮＭE Ｆ图３故四边形1EFD G 为平行四边形．∴ 1D F ∥EG又1D F ⊂平面11BDD B ，且EG ⊄平面11BDD B ， ∴ EG ∥平面11BDD B 【评注】根据直线与平面平行的判定定理证明直线和平面平行的关键是在平面内找到 一条直线和已知直线平行，常用到中位线定理 、平行四边形的性质、成比例线段、平行转移法、投影法等.具体应用时,应根据题目条件而定.方法三、运用面面平行的性质定理【例3】在正方体1111ABCD A B C D -中，点N 在BD 上，点M 在1B C 上，且CM DN =，求证：MN ∥平面11AA BB ．【分析】若过MN 能作一个平面与平面11AA BB 平行，则由面面平行的性质定理，可得MN 与平面11AA BB 平行．【证明】如图3，作MP ∥1BB ，交BC 与点Ｐ，联结NP ． ∵ MP ∥1BB ，∴1CM CPMB PB=． ∵1BD B C =，DN CM =，∴1B M BN =， ∵1CM DN MB NB =，∴DN CPNB PB= ∴NP ∥CD ∥AB ， ∴面MNP ∥面11AA BB ． ∴MN ∥平面11AA BB【评注】本题借助于成比例线段，证明一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行，得到这两个平面平行，进而得到线面平行，很好地体现了线面、线线、面面平行关系之间的转化思想．。
线面平行的判定
线面平行的判定在几何图形中，线面平行是一种常见的概念，它有很多实际应用，如构建建筑物、摆放家具或计算机绘图等等。
学习如何判断两条线或两个面是否平行可以让我们更好地利用几何知识。
线的平行判定一般有以下几种方法：一、线的平行判定1.线的斜率相等：如果两条直线的斜率相等，则它们是平行的，斜率就是斜线的倾斜度，它的定义为：斜线的高度与它的宽度的比值。
2.线的斜率分别为∞和0：果两条线的斜率分别为∞和0（无穷大和零），则它们也是平行的。
3.线的斜率相反：如果两条直线的斜率相反，一条是正斜率，一条是负斜率，则它们也是平行的。
4.线的垂直：如果两条直线垂直，则它们也是平行的。
二、的平行判定1.面的斜率相等：如果两个平面的法向量的斜率相等，则它们是平行的。
2.面的斜率分别为∞和0：果两个平面的斜率分别为∞和0，则它们也是平行的。
3.面的斜率相反：如果两个平面的斜率相反，一条是正斜率，一条是负斜率，则它们也是平行的。
4.面的垂直：如果两个平面垂直，则它们也是平行的。
三、几何概念的交叉判定1.与面的交叉判定：如果一条直线与一个平面都是平行的，则它们是交叉的。
2.与线的交叉判定：如果两条直线都是平行的，则它们是交叉的。
3.与面的交叉判定：如果两个平面都是平行的，则它们是交叉的。
在几何中，判断两条线或两个面是否平行是一种常见的习题，尤其是在处理几何图形及它们间的关系时，通常需要将这类习题解决了才能继续处理更复杂的关系和图形。
此外，有些关于线面平行的概念也有它们的实际应用，如建筑物的设计，家居摆放等。
因此，学习如何判断两条线或两个面是否平行，尤其在几何学上，是很有必要的，有助于我们更好地利用几何知识和应用几何知识。
谈谈证明线面平行问题常用的几种方法
证明线面平行的问题侧重于考查同学们的空间想象能力与数学运算能力.根据直线与平面平行的定义可知，要判断直线与平面是否平行，只需判定直线与平面有没有公共点.但由于直线是无限延伸的，平面是无限延展的，因此利用定义法不易快速证明线面平行，需运用转化思想，把线面平行问题转化为线线平行问题、面面平行问题、空间向量之间的位置关系问题，利用线面平行的判定定理、面面平行的性质定理，通过空间向量运算来求解.下面谈一谈证明线面平行的三种方法.一、利用线面平行的判定定理进行证明线面平行的判定定理：如果平面外一条直线与平面内的一条直线平行，那么该直线与该平面平行.利用线面平行的判定定理，可由线线平行推出线面平行.在证明线面平行时，可根据题意和几何图形的特点，添加合适的辅助线，利用中位线的性质、平行四边形的性质寻找或作出平行线，以利用线面平行的判定定理证明线面平行.例1.如图1，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为AC的中点，M为PD的中点，证明：PB//平面ACM.证明：如图1，连接MO，BD.在平行四边形ABCD中，O为AC的中点，∴O为BD的中点，∵M为PD的中点，∴MO为ΔPBD的中位线，∴PB//MO，又PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM，∴PB//平面ACM.想要证明PB//平面ACM，需在平面ACM内找到一条与直线PB平行的直线，于是添加辅助线，作出ΔPBD的中位线MO.由三角形中位线的性质可知MO//PB，即可利用线面平行的判定定理证明线面平行.例2.如图2，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为直角梯形，侧棱AP⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD=2BC.若点E为棱PD的中点.求证：CE//平面ABP.证明：如图2所示，取PA的中点F，连接BF，EF，在ΔPAD中，点F，E分别是PA，PD的中点，∴EF为ΔPAD的中位线，∴EF//AD，EF=12AD，∵ AD=2 BC，∴AD//BC，BC=12AD，∴EF//BC，EF=BC，∴四边形EFBC是平行四边形，∴CE//BF，∵CE⊄平面ABP，BF⊂平面ABP，∴CE//平面ABP.通过作辅助线构造出平行四边形EFBC，再利用中位线的性质和平四边形的性质即可证明EF//AD、CE//BF.而CE在平面ABP外，BF在平面ABP内，利用线面平行的判定定理，就能证明CE//平面ABP.例3.如图3，S是平行四边形ABCD外一点，M，N分别是SA、BD上的点，且AMSM=BN ND，求证：MN//平面SDC.证明：连接AN，并延长AN延长线交CD于点P，连接SP，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//PD，∴ΔABN∽ΔPDN，∴BNND=AN NP，又AMMS=AN NP，∴AMAS=AN AP，∴MN//SP，∵MN⊄平面SDC，SP⊂平面SDC，∴MN//平面SDC.通过作辅助线，构造出两个相似三角形ΔABN与ΔPDN，再根据相似三角形的性质可证明MN//SP.而图1图2图346方法集锦图4三、利用空间向量进行证明若几何图形中有两两垂直的三条线，为坐标轴，建立空间直角坐标系，分别求出直线的方向向量和平面的法向量的方向向量与平面的法向量垂直，平面平行.。
线面平行证明的常用方法
线面平行证明的常用方法线面平行的常用证明方法有以下几种：1.直线斜率法：对于一条直线和一个平面，我们可以通过计算直线的斜率和平面的法向量来判断它们是否平行。
如果直线的斜率与平面的法向量垂直，那么它们就是平行的。
举个例子，如果一条直线的斜率为m，并且平面的法向量为N(x,y,z)，那么直线和平面平行的条件是m*N=0。
2.距离法：使用距离的概念，我们可以通过计算一条直线到一个平面的距离来判断它们是否平行。
如果直线到平面的距离为0，那么它们就是平行的。
假设直线的方程为ax + by + cz + d = 0，平面的方程为Ax + By + Cz + D = 0，直线上任意一点的坐标为(x₀, y₀, z₀)，那么直线到平面的距离可以通过以下公式计算：distance = ，A * x₀ + B * y₀ + C * z₀ + D， / sqrt(A^2 + B^2+ C^2)如果直线到平面的距离为0，那么它们就是平行的。
3.两向量法：我们可以通过计算直线的方向向量和平面的法向量的点积来判断它们是否平行。
如果直线的方向向量与平面的法向量垂直，那么它们就是平行的。
假设直线的方向向量为V(a,b,c)，平面的法向量为N(x,y,z)，那么直线和平面平行的条件是V·N=a*x+b*y+c*z=0。
4.三点共线法：对于一个包含直线上三个不同点的平面，如果这三个点共线，那么直线和平面是平行的。
假设直线上的三个点为A(x₁,y₁,z₁)，B(x₂,y₂,z₂)，C(x₃,y₃,z₃)，可以计算三个向量AB，AC和平面的法向量N进行叉乘，得到一个新的向量M。
如果M的长度为0，那么直线和平面是平行的。
5.平行线与交线法：如果两个平行的直线分别与一个平面的交线平行，并且交线不在这两条直线上，那么这两条直线和平面是平行的。
假设平行直线的方程为l₁: ax + by + cz + d₁ = 0，l₂: ax + by + cz + d₂ = 0，平面的方程为π: Ax + By + Cz + D = 0。
解答线面平行问题的两种途径
考点透视线面平行问题经常出现在立体几何试题中.这类问题对同学们的空间想象能力和运算能力的要求非常高，主要考查线面平行的性质定理、判定定理，以及面面平行的性质定理.下面以一道题目为例，探讨一下解答线面平行问题的途径.例题：如图1所示，在正四棱锥S -ABCD 中，SA =SB =SC =SD =2，AB =2，P 为侧棱SD 上的一点．如果SP =3PD ，那么在侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE //平面PAC .若存在，求出SEEC的值；若不存在，试说明理由．要判断点E 是否存在，关键是看能否在侧棱SC 上找一点E ，使得BE //平面PAC .由线面平行的判定定理：若平面外一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行，可知解题的关键在于能否在平面PAC 内，找到一条直线与BE平行.有如下几种解法.图1图2一、利用面面平行的性质我们知道，面面平行的性质定理：（1）如果两个平面平行，则在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面；（2）如果两个平面平行，且分别和第三个平面相交，则这两条交线平行.在解答线面平行问题时，可以先根据平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条直线平行，则这两个平面平行，构造或作出平行平面；然后根据面面平行的性质来证明线面平行，或寻找平行关系.解法一：连接BD ，设BD ⋂AC =O ，连接OP 、SO ，取线段SO 上靠近点O 的三等分点M ，连接MB ，取线段SC 上靠近点C 的三等分点N ，连接MN 、BN ，如图2.在正四棱锥S -ABCD 中，SO ⊥平面ABCD ，∵BD ⊂平面ABCD ，∴SO ⊥BD ，∵在正方形ABCD 中，AB =2，∴BC =CD =2，∴在RtΔBCD 中，BD =BC 2+CD 2=()22+()22=2，∴OB =OD =12BD =1，∴在RtΔSOD 中，SO =SD 2-OD 2=22-12=3，∴∠SDO =60°，且MO =13SO∴在RtΔMOB 中，tan∠MBO =MO OB ∵∠MBO ∈()0°,90°，∴∠MBO =30°，在ΔPOD 中，PD =14SD =12，由余弦定理得OP 2=OD 2+PD 2-2OD ⋅PD cos∠SDO ，∴OP 2=12+()122-2×1×12×12=34，∴OP 2+PD 2=34+()122=1=OD 2，∴OP ⊥PD ，即∠OPD =90°，∴∠POD =180°-∠OPD -∠SDO =30°，∴∠MBO =∠POD ，∴BM //OP ，∵OP ⊂平面PAC ，BM ⊄平面PAC ，∴BM //平面PAC ，∵在ΔSOC 中，SM SO =SN SC =23，∴MN //OC ，即MN //AC ，∵AC ⊂平面PAC ，MN ⊄平面PAC ，∴MN //平面PAC ，∵BM ⋂MN =M ，BM ⊂平面BMN ，MN ⊂平面BMN ，∴平面BMN //平面PAC ，∵BN ⊂平面BMN ，∴BN //平面PAC ，∴点E 与N 点重合，即侧棱SC 上存在点E ，使得BE //平面PAC ，此时SE EC =SN NC=2.由于正四棱锥S -ABCD 的顶点S 与底面正方形中心O 的连线SO 垂直于底面ABCD ，因此在线段SO 上取一点M ，作辅助线BM .既然在平面PAC 内很难找到与BN 平行的直线，那么不妨构造出与平面PAC 平行的平面35考点透视BMN ，再利用面面平行的判定定理加以证明，最后再根据面面平行的性质定理推出线面平行，即可确定点E 的位置.解法二：连接BD ，设BD ⋂AC =O ，连接OP ，取线段SD 的中点Q ，取线段SC 上靠近点C 的三等分点N ，连接BN 、NQ 、BQ ，如图3所示.∵在ΔSPC 中，SN SC =SQ SP =23，∴NQ //PC ，∵PC ⊂平面PAC ，NQ ⊄平面PAC ，∴NQ //平面PAC ，∵在正方形ABCD 中，BD ⋂AC =O ，∴O 为BD 中点，∵P 为QD 的中点，∴在ΔBDQ 中，BQ //OP ，∵OP ⊂平面PAC ，BQ ⊄平面PAC ，∴BQ //平面PAC ，∵NQ ⋂BQ =Q ，NQ ⊂平面BNQ ，BQ ⊂平面BNQ ，∴平面BNQ //平面PAC ，∵BN ⊂平面BNQ ，∴BN //平面PAC ，∴点E 与N 点重合，即侧棱SC 上存在一点E ，使得BE //平面PAC ，此时SE EC =SN NC=2.首先根据比例关系和中位线的性质证明NQ //平面PAC ，BQ //平面PAC ；再根据面面平行的判定定理证明平面BNQ //平面PAC ，即可根据面面平行的性质定理：如果两个平面平行，则在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面，证明线BN//平面PAC .图3图4二、构造空间向量若根据题目中的垂直关系，容易找出或作出三条互相垂直的线段，即可将其视为x 、y 、z 轴，构造空间直角坐标系，给各个点赋予坐标，就能将线面平行问题转化为空间向量问题.只需使直线的方向向量与平面的法向量互相垂直，即可判定该直线与平面平行.解法三：连接BD ，设BD ⋂AC =O ，在正四棱锥S -ABCD 中，SO ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，∵AC ⊂平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，AB =2，∴SO ⊥AC ，SO ⊥BD ，AC ⊥BD ，BC =CD =2，以O 为原点，AC 、BD 、OS 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图4所示.∵在RtΔBCD 中，BD =BC 2+CD 2=()22+()22=2，∴OB =OD =OC =12BD =1，∴在RtΔSOC 中，SO =SC 2-OC 2=22-12=3，tan∠SCO =SOOC=3，设EC =2t ，得O ()0,0,0，C ()1,0,0，B ()0,-1,0，P (0,34，E ()1-t,0,3t ，∴ BE =()1-t,1,3t ， OC =()1,0,0， OP =(0,34，设平面PAC 的法向量为m=()x,y,z ，∴ìíîïï m 1⋅OC =x =0, m 1⋅OP =3y 4+3z 4=0,取y =1，得ìíîx =0z =-3，∴ m =()0,1,-3，当BE //平面PAC 时， BE ⊥m ，∴ BE ⋅ m=()1-t ×0+1×1+3t ×()-3=1-3t =0，∴t =13，∴EC =2t =23，∴SE EC =SC -EC EC =2-2323=2.先根据题意和正方形的性质证明SO ⊥AC 、SO ⊥BD 、AC ⊥BD ，即可找到三条互相垂直的线段，于是以O 为原点，AC 、BD 、OS 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系；然后设出点E 的坐标，分别求得直线的方向向量BE以及平面PAC 的法向量m ，得出 BE ⋅ m =0，即可断定存在E 点，使得BE //平面PAC .可见，解答线面平行问题，同学们需熟记并灵活运用线线平行、线面平行和面面平行的判定定理及性质定理，根据几何图形的特征合理添加辅助线，构建空间直角坐标系，以寻找到最佳的解题方案.本文系江苏省教育学会“十四五”教育科研规划课题《高中生自学能力培养的途径和方法研究》（批准号：22A09SXSQ324）研究成果.（作者单位：江苏省泗洪姜堰高级中学）36。
浅析线面平行的解题技巧
空间中的线面平行关系，在空间几何体中是出现频率非常高的一种位置关系。
线面平行问题是线面位置关系问题中的一种常见问题。
我们应本着以下步骤来看待这类问题：首先，解决问题应当立足于线面平行的判定定理；其次，在应用判定定理时应当在其中渗透“线面平行”转化为“线线平行”的数学思想；最后，解决“线线平行”这一问题时又要特别注意利用的比例关系来达到目的。
1、方法——直线与平面平行的判定定理（1）文字语言：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行（2）符号语言：a⊄α，b⊂α，a∥b=>a∥α例1如图1所示，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相互垂直，EF∥AC,AB=2，CE=EF=1.求证：AF∥平面BDE证明：设AC与BD交于点G，因为EF∥AC，所以EF∥AG。
因为四边形ABCD为正方形，AB=2,则AC=2，所以AG=1/2AC=1，EF=1，所以四边形AGEF为平行四边形，于是有AF∥EG.又EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE,所以AF∥平面BDE.小结运用直线与平面平行的判定定理证明线面平行的目的很单纯，如该题就是围绕“AF∥EG”做文章。
只要“AF∥EG”那么“AF∥平面BDE”就成立。
2、技巧1——把“线面平行”转化为“线线平行”进行证明证明线面平行最直接的方法就是利用直线与平面平行的判定定理，即确定平面外的直线与平面内的一条直线平行，则平面外的直线就与该平面平行。
这一证明过程的本质就是把“线面平行”转化为“线线平行”进行证明。
例2如图2所示，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC=45°，OA⊥底面ABCD，M为OA的中点，N为BC的中点，证明：MN∥平面OCD证明：如图3所示，延长AN和DC，且两条直线相交于点H,再连接OH.由已知得BN=NC,∠ABN=∠HCN=45°，∠ANB=∠CNH，于是△ABN≅△HCN.所以AN=NH，即点N为线段AH的中点，∵点M为线段OA的中点，∴MN∥OH。
怎样证明线面平行
解题宝典线面平行是指直线与平面平行，是一种常见的位置关系.证明线面平行是立体几何试题中的常考内容.证明直线与平面平行一般需要运用直线与平面平行的判定定理，设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，合理运用三角形的中位线定理、面面平行的性质定理、平行四边形的性质证明两直线平行.如何在平面内寻找或求作一条与已知直线平行的直线是解题的关键.一、利用三角形的中位线定理我们知道，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形的中位线定理是指三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半.在证明线面平行时，可以构造合适的三角形，使已知直线为三角形的中位线，以便利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理证明线面平行.在构造三角形的中位线时，要注意关注中点、线段的垂直平行线、三角形的重心等信息，结合图形的特征寻找或求作中位线.例1.如图1，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：GH //平面PAD .分析：通过观察图形，我们可以发现平面[PAD ]内的直线PD //GH ，G ，H 为PB ，AC 的中点，可构造三角形PBD ，使GH 为三角形的中位线，利用三角形的中位线定理以及线面平行的判定定理来证明线面平行.证明：连接BD ，易知AC ⋂BD =H ,BH =DH .由BG =PG ，故GH //PD ，又因为GH ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以GH //平面PAD .例2.如图2，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD为矩形，E 为PD 的中点.证明：PB ∥平面AEC .证明：如图2所示，连接BD 交AC 于点F ,连接EF ,因为ABCD 为矩形，所以F 为BD 的中点.又E 为PD 的中点，所以EH //PB .EF ⊂平面AEC ,PB ⊄平面AEC ，所以PB //平面AEC .由E 为PD 的中点，可以联想到三角形的中位线，于是连接BD ，构造三角形PBD ，又由矩形的性质可知F 为BD 的中点，于是便证明EF 为三角形的中位线，利用三角形的中位线定理以及线面平行的判定定理即可证明PB ∥平面AEC .二、利用平行四边形的性质平行四边形的性质有很多，如（1）平行四边形的两组对边相等；（2）平行四边形的两组对角相等；（3）夹在两条平行线间平行的高相等；（4）连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形.在证明线面平行时，我们可以结合几何体的结构特征，构造平行四边形，使已知直线为四边形的边或高，然后利用平行四边形的性质和线面平行判定定理证明线面平行.例3.如图3，直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点.求证：MN //平面C 1DE .分析：要证MN //平面C 1DE ，需要在平面C 1DE 内找到一条直线与MN 平行，才能运用线面平行判定定理证明结论.观察图3，我们可以猜测平面C 1DE 内的直线DE 与MN 平行且相等，不妨构造四边形MNDE ，证明它是平行四边形，这样就可以运用平行四边形的性质证明结论.证明：如图3所示，连接B 1C ,ME ，因为M ，E 分别为BB 1,BC 的中点，所以ME //B 1C ，且ME =12B 1C.谭治华图1图2图340解题宝典又因为N 为A 1D 的中点，所以ND =12A 1D.由题设知A 1B 1=//DC ，可得B 1C =//A 1D ，故ME =//ND ，因此四边形MNDE 为平行四边形，则MN //ED .又MN ⊄平面C 1DE ，DE ⊂平面C 1DE ,所以MN //平面C 1DE .例4.如图4，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，E ，F 分别为AD ，PB 的中点.求证：EF //平面PCD ．证明：如图4，取PC 中点G ，连接FG ,GD ．∵F ,G 分别为PB 和PC 的中点，∴FG //BC ，且FG =12BC ．∵四边形ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点，∴ED //BC ,DE =12BC ，∴ED //FG ，且ED =FG ，∴四边形EFGD 为平行四边形，∴EF //GD ．又EF ⊄平面PCD ，GD ⊂平面PCD ，∴EF //平面PCD ．上面通过构造平行四边形EFGD ，利用平行四边形的性质证明EF //GD ，然后利用线面平行的判定定理证明EF //平面PCD .三、利用面面平行的性质我们知道，面面平行的性质定理是若两个平面平行，则在一个平面内的直线平行于另一个平面.在解题时，可首先运用面面平行的性质定理证明已知直线与在平面内的直线平行，然后便可运用线面平行的判定定理证明线面平行.例5.如图5(1)，已知公共边为AB 的两个全等的矩形ABCD 和ABEF 不在同一平面内，P ，Q 分别是对角线AE ,BD 上的点，且AP =DQ .求证：PQ //平面CBE .证法一：如图5（2），作PH //BE 交AB 于H ,连接HQ ，∴AP AE =AH AB，∵AP =DQ ,AE =DB ,∴AP AE =DQ DB ∴AH AB =DQDB ，∴HQ //AD ,∴HQ //BC ,又HQ ⊄平面CBE ,BC ⊂平面CBE ,∴HQ //平面CBE ,∵PH //EB ,又PH ⊄平面CBE ,EB ⊂平面CBE ,∴PH //平面CBE ,又PH ⋂HQ =H ,∴平面PHQ //平面CBE ,∴PQ //平面CBE .通过观察图5（1）可知，很难在平面CBE 内找到一条与直线PQ 平行的直线，故需要添加辅助线，构造一个平面PQH ，运用面面平行的判定定理证明两个平面平行，然后运用面面平行的性质定理证明PQ //平面CBE .本题还可以运用平行四边形的性质来求解.结合图形的特征，构造出平行四边形PMNQ ，利用平行四边形的性质：两组对边平行，证明结论.证法二：如图5(3)，作PM //AB 交BE 于点M ，作QN //AB 交BC 于点N ，连接MN ，∴PM //QN ,PM AB =EP EA ,QN CD =BQBD.易知EA =BD ,∵AP =DQ ,∴EP =BQ .又∵AB =CD ,∴PM =QN ，四边形PMNQ 是平行四边形，∴PQ //MN .又∴PQ ⊄平面CBE ,MN ⊂平面CBE ，∴PQ //平面CBE .综上所述，无论运用哪种方法证明线面平行，都需要结合几何图形的特征，构造合适的三角形中位线、平行四边形、两平行的平面，寻找或求作已知直线在平面内的平行直线，然后运用线面平行的判定定理证明线面平行.这就要求同学们熟练掌握三角形的中位线定理、平行四边形的性质、面面平行的性质定理、线面平行的判定定理，巧妙地作出辅助线，来提升解题的效率.（作者单位：广东省清远市英德市第一中学）图4图5（1）图5（2）图5（3）41。
立体几何中线面平行的经典方法+经典题(附详细解答)
DB A 1高中立体几何证明平行的专题(基本方法)立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为 线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法： (1)通过“平移”。
(2)利用三角形中位线的性质。
(3)利用平行四边形的性质。
(4)利用对应线段成比例。
(5)利用面面平行，等等。
(1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质1．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分 别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ；分析：取PC 的中点G ，连EG.，FG ，则易证AEGF 是平行四边形2、如图，已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋3，过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥EC. （Ⅰ）求证：BC ⊥面CDE ； （Ⅱ）求证：FG ∥面BCD ；分析：取DB 的中点H ，连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形3、已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证：（Ⅰ）C 1D ⊥BC ； （Ⅱ）C 1D ∥平面B 1FM. 分析：连EA ，易证C 1EAD 是平行四边形，于是MF//EA（第1题图）4、如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形,,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: //EB PAD 平面;分析:：取PD 的中点F ，连EF,AF 则易证ABEF 是平行四边形(2) 利用三角形中位线的性质5、如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。
分析：连MD 交GF 于H ，易证EH 是△AMD 的中位线6、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是PC 的中点。
证明线面平行的三种措施
探索探索与与研研究究线面平行指的是直线与平面平行，是一种较为常见的空间位置关系.证明线面平行问题侧重于考查线线平行、面面平行、线面平行的定义以及定理.下面主要介绍三种证明线面平行的思路.一、利用线面平行的判定定理线面平行的判定定理：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行.利用线面平行的判定定理证明线面平行，关键在于找到一组平行线，使其分别位于平面内外.可从下面两个角度寻找：1.利用中位线的性质三角形的中位线有一个重要的性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.在证明线面平行时，可根据几何图形的特点，寻找或选取中点，并添加辅助线，构造出三角形的中位线，以根据中位线的性质找到一组平行线，使两条直线分别在平面内外，即可利用线面平行的判定定理证明线面平行.例1.如图1所示，在直三棱柱ABC -AB C 1中，D ,E 分别是AB ,BB 1的中点，AA 1=AC =CB =AB ，证明：BC 1∥平面A 1CD .图1证明：连接AC 1，交A 1C 于点F ，则F 为A 1C 的中点，因为D 是AB 的中点，连接DF ，则在△ABC 1中，DF 是△ABC 1的中位线，所以BC 1∥DF ，又因为DF ⊂平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD .观察图形，可以发现BC 1∥DF .而D ,E 分别是线段AB ,BB 1的中点，于是依次连接AC 1和DF .此时线段DF 为△ABC 1的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边的性质可得出BC 1∥DF ，即可根据线面平行的判定定理证明BC 1∥平面A 1CD .2.利用平行四边形的性质我们知道，平行四边形的两组对边平行且相等.在证明线面平行时，可以将平面内的一条直线平移到平面外的某一点，使两条直线成为平行四边形的一组对边，即可根据平行四边形的性质：一组对边平行且相等，构造出一组平行线，就可以直接根据线面平行的判定定理证明线面平行.例2.如图2所示，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB =2CD ，点M 为AB 的中点，求证：C 1M ∥平面A 1ADD 1.图2证明：连接AD 1，因为底面ABCD 为等腰梯形，所以AB ∥CD ，因为点M 为AB 的中点，所以CD 平行且等于MA ，因为在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，CD 平行且等于C 1D 1，所以四边形AMC 1D 1为平行四边形，所以C 1M ∥D 1A ，又D 1A ⊂平面A 1ADD 1，C 1M ⊄平面A 1ADD 1，51所以C 1M ∥平面A 1ADD 1.连接AD 1，构造出平行四边形AMC 1D 1，即可得到一组平行线C 1M 、D 1A .此时AD 1为平面A 1ADD 1内的一条直线，C 1M 为平面A 1ADD 1外的一条直线，根据线面平行的判定定理，即可证明C 1M ∥平面A 1ADD 1.二、利用面面平行的性质当无法直接根据线面平行的判定理证明线面平行时，可以先根据面面平行的判定定理找到或证明两个平面平行；然后利用面面平行的性质：如果两个平面平行，则在一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面，来证明线面平行.例3.如图3，线段AC 、DF 分别为正方形ABCD 和正方形CDEF 的对角线，M ,N 分别是线段AC 、DF 上的点，且AM =12MC ，DN =12NF ，证明：MN ∥平面BCF .证明：如图3，在DC 上取G 点，使DG =12GC ，连接NG 、MG ，则G 点是DC 上的一个三等分点，所以GC DG =MCAM，所以MG ∥AD ，而AD ∥BC ，可得MG ∥BC ，所以MG ∥平面BCF ，同理可得DG GC =DNNF，所以NG ∥FC ，所以NG ∥平面BCF ，所以平面MNG ∥平面BCF ，又因为MN ⊂平面MNG ，所以MN ∥平面BCF .我们根据题意，在平面BCF 内很难找到一条直线与MN 平行.于是根据AM =12MC ，DN =12NF ，添加辅助线，构造出一个与平面BCF 平行的平面NMG .根据线面平行的判定定理证明平面MNG ∥平面BCF 后，即可根据面面平行的性质定理证明MN ∥平面BCF .三、构造空间向量在证明线面平行受阻时，可以根据几何体的结构特征，构造出空间向量，通过空间向量运算，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，即可证明直线与平面平行.在解题时，要根据几何体的特征，寻找或构造垂直关系，使三条垂线相交于一点，并将其视为三条坐标轴，即可构造出空间直角坐标系.例4.如图4所示，已知四边形ABEF 是矩形，△ABC 是等腰三角形，平面ABEF ⊥平面ABC ，∠BAC =120°，AB =12AF =4，CN =3NA ，M ,P ,Q 分别是AF ,EF ,BC 的中点，求证：直线PQ ∥平面BMN .图4图5证明：以A 为原点、AB 为x 轴、AF 为z 轴，建立如图5所示的空间直角坐标系，可得A (0,0,0)，B (4,0,0)，C (-2,23,0)，F (0,0,8)，E (4,0,8)，P (2,0,8)，Q (1,3,0)，M (0,0,4)，N (-12)，则 BN =()-920， BM =()-4,0,4，设平面BMN 的法向量n=(x,y,z )，则ìíîn ⋅ BN =0,n ⋅BM =0,得ìíîïï-92x +y =0,-4x +4z =0,令x =1，则ìíîy =33,z =1,所以n =(1,33,1)，因为PQ =(-1,3,-8)，所以n ⋅ PQ =-1+9-8=0，所以n ⊥ PQ ，因为PQ ⊄平面BMN ，所以PQ ∥平面BMN .我们根据平面ABEF ⊥平面ABC ，以A 为原点、AB 为x 轴、AF 为z 轴、垂直于AB 的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，求得PQ 以及平面MNB 的法向量，证明二者垂直，即可证明PQ ∥平面BMN .总之，在证明线面平行时，要注意：（1）根据题意寻找平行关系，如中位线、平行四边形的对边；（2）灵活运用线面平行的判定定理、面面平行的性质定理；（3）合理添加辅助线，构造空间直角坐标系.（作者单位：宁夏回族自治区银川市灵武市第一中学）探索探索与与研研究究图352。
证线面平行的常见方法
证线面平行的常见方法1. 用对称性证明线面平行如果两条线段或两个平面之间具有对称性，那么这两者之间的关系就是平行的。
如果两个平面对于某个轴对称，那么它们就是平行的。
如果两条线段相对称，那么就可以通过平移来证明它们平行。
举个例子，如果我们有两个互相垂直的平面，那么它们对于它们的交线具有对称性。
我们可以通过将一个平面上的点对称到另一个平面上来证明这两个平面平行，其中每个点都延伸至它们与交线的距离相等。
另一种证明线面平行的方法是使用投影。
这种方法将两个物体的轮廓投射到同一个平面上，以确定它们是否平行。
如果我们有两条相交的线段，我们可以将它们沿着它们的交点投影到一个新的平面上，然后判断它们是否平行。
如果它们在新平面上的投影是平行的，那么它们本身应该是平行的。
相似三角形定理是在几何学中非常有用的，它可以帮助我们证明三角形之间的相似性以及线面之间的平行性。
当两个三角形中每个角度的大小相等时，它们就是相似的。
根据相似三角形定理，相似的三角形具有相同的比例。
假设我们有两个平行的直线和一条横跨它们的任意直线，如果我们从这条横跨的线上任意选择两个点来与两个平行直线相交，那么与它们相交的各个线段所代表的三角形就是相似的。
因为这些三角形都有相同的角度大小和形状，它们之间的相似性可以用相同的比例来表示。
垂直线性质是在证明线面平行时经常用到的一种方法。
如果一条线段与另外两条直线的夹角均为直角，则这两条直线是平行的。
这个性质也适用于平面上两个直角相交的线。
举个例子，如果我们有两条相交的直线和一条平行于其中一条直线的第三条直线，那么与平行线相交的其他直线的夹角应该是直角，否则平行线将无法保持平行。
这证明了平行线的存在。
向量是另一种证明线面平行的有用工具。
向量的方向和大小定义了一条直线或一个平面的性质。
如果给定两个向量，我们可以通过它们的点积和叉积来计算它们之间的夹角和平行性。
总结：证明线面平行是建立几何学定理的基础之一，在几何学中有重要的应用。
谈谈线面平行的性质定理的应用技巧
在运用线面平行的性质定理解题时，要先结合图然后寻找过直线l，及其位置；再根据b平行.有时需要图23324图3图4解：如图4所示，连接AN,NC，AM,BM，设BM⋂AC ，连接NP，图1由于直线SB ∥平面α，平面为NP ，直线SB ⊂平面SBM ，性质定理推出SB ∥NP .质、圆的性质、例.例3.已知空间四边形ABCD 的长分别为4,5，且两条对角线AC ,形EFGH ，求四边形EFGH 解：依据题意画出如图5因为AC ∥平面EFGH ，AC ABC ⋂平面EFGH =EF ，所以由线面平行的性质定理得同理可得AC ∥HG .根据平行线的传递性可得AC 同理可得BD ∥EH ∥FG ，所以四边形EFGH 设BE =m ,AE =n ，则EF AC =BE AB =mm +n，又AC =4，所以EF =4m m +n，因为EH BD =AE AB =n m +n ，所以=5nm +n .于是，截面四边形EFGH 2(4m m +n +5n m +n )=8+2nm +n而mn>0，所以8<2(EF +EH 因此四边形EFGH 我们根据已知条件：AC 、BD EFGH ，寻找过AC 、BD ，ABC 、ABD 、BDC 、ABD ，出AC ∥HG 、EF ∥AC 、BD ∥EH 、BD ∥为平行四边形.系进行求解，即可解题.例4.如图6，在直四棱柱段AD 上的任意一点(不包括A ，D BB 1D ＝FG .证明：FG ∥平面AA 1B 1B .证明：在直四棱柱ABCD A 1B 1C ⊂平面BB 1D ，CC 1⊄平面BB 1D ，所以.1，平面CEC 1∩平面BB 1D ＝FG ，所BB 1∥FG .1B ，FG ⊄平面AA 1B 1B ，1B 1B .侧棱互相平运用线面平行的性质CEC 1与平面BB 1D 的交线推出CC 1∥FG ，进而根据线面平.图7m ,n ，两个不同的平面α⋂β=n ，求证：m ∥n .先过直线m 作平面δ，使平面δ与n ），m ∥p ；γ，使平面γ与平面β交于直线q m ∥q .p ∥q .,q ⊄α，q ∥平面α.⋂β=n ，根据线面平行的性质定7所示的图形，并根据线面交线，即可运用线面.需准并把握其关键（2）确定两个平面的交图5。
线面平行证明“三板斧”
线面平行证明“三板斧”
要证明线和面平行，通常可以使用以下三个步骤，也被称为“三板斧”：
步骤一：假设线和面不平行，推导出矛盾的结论；
步骤二：利用步骤一的矛盾，说明原假设错误；
步骤三：根据步骤二的结果，得出结论，即线和面平行。
下面将通过一个具体的例子来证明。
例子：
已知平面π与直线l,m平行，线段AB和线段CD在直线l上，线段EF在直线m上，且线段AB不在平面π上。
步骤一：
假设线段AB与平面π不平行，则线段AB与平面π必有一交点E。
步骤二：
连接线段CD，并延长线段CD，假设CD与平面π交于一点F。
由于π与l平行，AB与CD在l上，且AB!=CD，所以线段EF于线段AB与线段CD上有一个相交的点F。
根据平行线截斜线的性质可得：
∠DFE=∠BFA（对应角相等）。
由于π与m平行，所以线段EF与平面π平行
但是根据平面与一线和这个平面都平行的另外一线上的角是等于的性质，∠DFE和∠ABE为平行线与母线的对应角，∠DFE!=∠ABE（对应角相等）。
从而与前面所述的假设产生矛盾。
步骤三：
因此，根据步骤二的分析，可以推出假设错误，即线段AB与平面π平行。
综上所述，根据“三板斧”证明方法，线段AB与平面π平行。
线面平行解题步骤
线面平行解题步骤
5. 进行计算或推理：根据题目中给出的具体条件和已知信息，进行计算或推理，以确定线 和面是否平行。可以使用几何图形的性质和定理来进行推导和计算。
6. 给出结论：根据计算结果或推理过程，得出线和面是否平行的结论。如果线和面之间满 足平行关系的特征或条件，那么可以得出它们是平行的结论。
线面平行解题步骤
解题步骤如下：
1. 确定给定的线和面：首先，明确题目中给出的线和面的定义和特征。了解线的特点（例 如，直线、曲线、平行线等）以及面的特点（例如，平面、曲面、平行面等）。
2. 确定线面的关系：根据题目中的信息，确定给定的线和面之间的关系是平行关系。这意 味着线和面之间的方向相同，且不会相交。
以上是一般的解题步骤，具体的题目可能涉及到不同的几何概念和定理，需要根据具体题 目的要求和给定条件来进行求解。定的线和面的特征，找出能够判断它们是否平行的特征或条件 。例如，如果题目中给出了两条平行线和一条与其中一条平行的线，则可以推断这两条线和 面是平行的。
4. 应用平行关系的性质：根据平行线和平行面的性质，使用相应的定理或规则来判断线和 面是否平行。例如，如果两条线分别与同一平面的两条平行线平行，则可以推断这两条线也 是平行的。
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浅析线面平行的解题技巧
空间中的线面平行关系，在空间几何体中是出现频率非常高的一种位置关系。
线面平行问题是线面位置关系问题中的一种常见问题。
我们应本着以下步骤来看待这类问题：首先，解决问题应当立足于线面平行的判定定理；其次，在应用判定定理时应当在其中渗透“线面平行”转化为“线线平行”的数学思想；最后，解决“线线平行”这一问题时又要特别注意利用的比例关系来达到目的。
1、方法——直线与平面平行的判定定理
（1）文字语言：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行
（2）符号语言：a⊄α，b⊂α，a∥b=>a∥α
例1 如图1所示，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相互垂直，EF∥AC,AB=2，CE=EF=1. 求证：AF∥平面BDE
证明：设AC与BD交于点G，因为EF∥AC，所以EF∥AG。
因为四边形ABCD为正方形，
AB=2,则AC=2，所以AG=1/2AC=1，EF=1，所以四边形AGEF为平行四边形，于是有AF∥⊂平面BDE，AF⊄平面BDE,所以AF∥平面BDE.
EG.又EG
小结运用直线与平面平行的判定定理证明线面平行的目的很单纯，如该题就是围绕“AF∥EG”做文章。
只要“AF∥EG”那么“AF∥平面BDE”就成立。
2、技巧1——把“线面平行”转化为“线线平行”进行证明
证明线面平行最直接的方法就是利用直线与平面平行的判定定理，即确定平面外的直线与平面内的一条直线平行，则平面外的直线就与该平面平行。
这一证明过程的本质就是把“线面平行”转化为“线线平行”进行证明。
例2如图2所示，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=45°，OA⊥底面ABCD，M为OA的中点，N为BC的中点，证明：MN∥平面OCD
证明：如图3所示，延长AN和DC，且两条直线相交于点H,再连接OH.由已知得BN=NC,∠ABN=∠HCN=45°，∠ANB=∠CNH，于是△ABN≅△HCN.所以
⊂平AN=NH，即点N为线段AH的中点，∵点M为线段OA的中点，∴MN∥OH。
又∵OH
面OCD,∴由直线与平面平行的判定定理，可知MN∥平面OCD。
小结把“线面平行”转化为“线线平行”进行证明是一种最常用且非常有效的技巧。
但此技巧要求比较苛刻，即必须满足判定定理的条件。
技巧2——把“线面平行”转化为“面面平行”进行证明
例3 已知V为正方形ABCD所在平面外的一点，P在VC上，Q在VB上，R在VD上，且VP::PC=1:2，VQ:QB=2:1，VR:RD=2:1.求证：VA∥平面PQR
证明设底面正方形对角线的交点为O，VC的中点为N,则VA∥ON,平面BDN∥平面PQR （QR∥BD,PQ∥BN）,所以ON∥平面PQR（两平面平行，一平面内任意直线平行于另一片面）。
故VA∥平面PQR
小结通过证明线线平行得出面面平行，从而推出线面平行，此过程中并没有找出平面PQR内与直线VA平行的直线，这也是证明线面平行的常用技巧。
此外，通过以上的案例，我们应该更加多方面去思考问题，发散自己的思维，来更好地认识线面平行这一内在关系，这样不仅能够更好地掌握这部分知识，也能在今后的学习中，会从更多的思考角度来看待问题。