浅析线面平行的解题技巧

浅析线面平行的解题技巧

空间中的线面平行关系，在空间几何体中是出现频率非常高的一种位置关系。线面平行问题是线面位置关系问题中的一种常见问题。我们应本着以下步骤来看待这类问题：首先，解决问题应当立足于线面平行的判定定理；其次，在应用判定定理时应当在其中渗透“线面平行”转化为“线线平行”的数学思想；最后，解决“线线平行”这一问题时又要特别注意利用的比例关系来达到目的。

1、方法——直线与平面平行的判定定理

（1）文字语言：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行

（2）符号语言：a⊄α，b⊂α，a∥b=>a∥α

例1 如图1所示，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相互垂直，EF∥AC,AB=2，CE=EF=1. 求证：AF∥平面BDE

证明：设AC与BD交于点G，因为EF∥AC，所以EF∥AG。因为四边形ABCD为正方形，

AB=2,则AC=2，所以AG=1/2AC=1，EF=1，所以四边形AGEF为平行四边形，于是有AF∥⊂平面BDE，AF⊄平面BDE,所以AF∥平面BDE.

EG.又EG

小结运用直线与平面平行的判定定理证明线面平行的目的很单纯，如该题就是围绕“AF∥EG”做文章。只要“AF∥EG”那么“AF∥平面BDE”就成立。

2、技巧1——把“线面平行”转化为“线线平行”进行证明

证明线面平行最直接的方法就是利用直线与平面平行的判定定理，即确定平面外的直线与平面内的一条直线平行，则平面外的直线就与该平面平行。这一证明过程的本质就是把“线面平行”转化为“线线平行”进行证明。

例2如图2所示，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=45°，OA⊥底面ABCD，M为OA的中点，N为BC的中点，证明：MN∥平面OCD

证明：如图3所示，延长AN和DC，且两条直线相交于点H,再连接OH.由已知得BN=NC,∠ABN=∠HCN=45°，∠ANB=∠CNH，于是△ABN≅△HCN.所以

⊂平AN=NH，即点N为线段AH的中点，∵点M为线段OA的中点，∴MN∥OH。又∵OH

面OCD,∴由直线与平面平行的判定定理，可知MN∥平面OCD。

小结把“线面平行”转化为“线线平行”进行证明是一种最常用且非常有效的技巧。但此技巧要求比较苛刻，即必须满足判定定理的条件。

技巧2——把“线面平行”转化为“面面平行”进行证明

例3 已知V为正方形ABCD所在平面外的一点，P在VC上，Q在VB上，R在VD上，且VP::PC=1:2，VQ:QB=2:1，VR:RD=2:1.求证：VA∥平面PQR

证明设底面正方形对角线的交点为O，VC的中点为N,则VA∥ON,平面BDN∥平面PQR （QR∥BD,PQ∥BN）,所以ON∥平面PQR（两平面平行，一平面内任意直线平行于另一片面）。故VA∥平面PQR

小结通过证明线线平行得出面面平行，从而推出线面平行，此过程中并没有找出平面PQR内与直线VA平行的直线，这也是证明线面平行的常用技巧。

此外，通过以上的案例，我们应该更加多方面去思考问题，发散自己的思维，来更好地认识线面平行这一内在关系，这样不仅能够更好地掌握这部分知识，也能在今后的学习中，会从更多的思考角度来看待问题。