数字信号处理习题集及答案

第一章 数字信号处理概述判断说明题：1．模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了。

（ ） 答：错。

需要增加采样和量化两道工序。

2．一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信号处理理论，对信号进行等效的数字处理。

（ ）答：错。

受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。

因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长所造成的影响。

故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础。

第二章 离散时间信号与系统分析基础一、离散时间信号与系统频域分析 计算题：1．设序列)(n x 的傅氏变换为)(ωj e X ，试求序列)2(n x 的傅里叶变换。

解： 由序列傅氏变换公式 DTFT ∑∞-∞=-==nnj j e n x e X n x ωω)()()]([可以得到DTFT 2)()2()]2([n j n n jn en x en x n x '-∞-∞='-∑∑'==ωω为偶数)()(21)(21)(21)(21)(21)]()1()([2122)2(2)2(22ωωπωωπωωωj j j j n j n n jn n j nn e X e X e X e X e n x e n x e n x n x -+=+=+=-+=++-∞-∞=∞-∞=--∞-∞=∑∑∑2．计算下列各信号的傅里叶变换。

（a ）][2n u n- （b ）]2[)41(+n u n（c ）]24[n -δ 解：（a ）∑∑-∞=--∞-∞==-=2][2)(n nj n nj n ne en u X ωωωωωj nn j e e 2111)21(0-==∑∞= （b ）∑∑∞-=--∞-∞==+=2)41(]2[41)(n n j n n j n n e e n u X ωωω）（ ωωωj j m m j m e e e -∞=---==∑41116)41(20)2(2 （c ）ωωωδω2]24[][)(j n n j nj n e e n en x X -∞-∞=--∞-∞==-==∑∑ 7．计算下列各信号的傅立叶变换。

（1）{})2()3()21(--+n u n u n （2）)2sin()718cos(n n +π（3）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它－041)3cos()(n n n x π【解】（1）{}∑∞-∞=---+=n kn N j n e n u n u k X π2)2()3()21()(∑∑∞=-∞-=--=2232)21()21(n knN j n n kn N j n ee ππ k Nj k N j k Nj k N j e ee eππππ222223211412118------=k Nj kN j kN j e e e πππ225523211)21(18----= （2）假定)718cos(n π和)2sin(n 的变换分别为)(1k X 和)(2k X ，则 ∑∞-∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+--=k k k N k k Nk X )27182()27182()(1πππδπππδπ∑∞-∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++--=k k k N k k N j k X )222()222()(2ππδππδπ所以 )()()(21k X k X k X +=∑∞-∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-----+--=k k k N j k k N j k k N k k N )22()222()27182()27182(ππδππδπππδπππδπ（3）∑-=-=4423cos )(n k Njnnek X ππ∑-=--+=44233)(21n k N jn n j nj e e eπππ∑∑=++=--+=90)23()32(490)23()32(42121n nN j k N j n n k N j k N j e e e e ππππππππ)23()23()32(4)23()23()32(41121112199k Nj k N j k N j k Nj k N j k N j ee e ee e ππππππππππππ+++---+-++-=第三章 离散傅立叶变换一、离散傅立叶变换定义 填空题1．某DFT 的表达式是∑-==10)()(N k klM W k x l X ，则变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是（ ）。

解：M π22．某序列DFT 的表达式是∑-==10)()(N k klM W k x l X ，由此可看出，该序列的时域长度是（ ），变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是（ ）。

解：N M π2 判断说明题：3．一个信号序列，如果能做序列傅氏变换对它进行分析，也就能做DFT 对它进行分析。

（ ）解：错。

如果序列是有限长的，就能做DFT 对它进行分析。

否则，频域采样将造成时域信号的混叠，产生失真。

计算题4．试求以下有限长序列的N 点DFT （闭合形式表达式）（1）)()(n R a n x N n= （2）)()(n nR n x N = 解：（1）因为)()(n R a n x N n=，所以k Nj N N n nk Njn aea ea k X ππ21211)(--=---==∑（2）由)()(n nR n x N =，得∑-==10)()(N n N nkN k R nW k X∑-=+=1)1()()(N n N k n N k Nk R nW k X W ∑∑-=+-=-=-1)1(1)()()1)((N n N kn N N n nk Nk Nk R nW nWW k X [])())1(()()1)2(2()1(3211)1(32)1(32k R W N k R N W N W W W N W W W N N n nk N N kN N k N k N k N N k N k N k N ∑-=--+--=-+-+++--++++= )()(11)1(k NR k R W W N N Nk N k N -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+--= 所以)(1)(k R W Nk X N kN--=5．计算下列序列的N 点DFT ：()116P（1）10,)(-≤≤=N n a n x n（2）=)(n x ⎪⎭⎫⎝⎛nm N π2cos ，N n ≤≤0，N m <<0 解：（1）kNNk N NK N N N n nk Nn aW a aW W a Wa k X --=--==∑-=1111)(10，10-≤≤N k （2）∑∑-=---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1022210212cos )(N n nk N j mn N j mn N j N n nk N e e e W mn N k X ππππ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+--=+-+-----)(2)(2)(2)(2111121m k N j m k j m k N j m k j e e e e ππππ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--=++-+-++-+-+-------ππππππππππ)(1)()()()()(1)()()()(21m k N N j m k N j m k N j m k j m k j m k N N j m k N j m k N j m k j m k j e e e e e e e ee e ()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++--=++--+-ππππππ)(1)(1)(sin )(sin )(sin ))sin((21m k NN jm k NN jeNm k m k eN m k m k 2N, k=m 或k=-m =0, 其它6．已知一个有限长序列)5(2)()(-+=n n n x δδ （1） 求它的10点离散傅里叶变换)(k X（2） 已知序列)(n y 的10点离散傅立叶变换为)()(210k X W k Y k=，求序列)(n y 解：（1）[]∑∑-==-+==1910)5(2)()()(N n n nknkNW n n Wn x k X δδ =1+2kW510=1+2k je5102π-=1+2k )1(-，9,...,1,0=k（2）由)()(210k X W k Y k=可以知道，)(n y 是)(n x 向右循环移位2的结果，即 ())7(2)2()2()(10-+-=-=n n n x n y δδ7、已知序列：102sin )(-≤≤⎪⎭⎫⎝⎛=N n n N n x ，π，求)(n x 的N 点DFT 。

解：)(k X knN j N n en N ππ212sin --=∑⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑-=--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1022221N n kn N j n N j n N j e e e j πππ∑-=+--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10)1(2)1(221N n n k N j n k N j e e j ππ1,2=-k Nj = 1,2-=k Nj0， 其它8、计算下列有限长序列)(n x 的DFT ，假设长度为N 。

（1）na n x =)( 10-≤≤N n（2）{}1,3,2,1)(--=n x 解：（1）()∑∑-=-===11)(N n nkN N n nkNnaW Wa k X()kNNkNNkNaW a aW aW --=--=1111 10-≤≤N k (2) ∑==34)()(n nk W n x k Xk k k k k k WW W W W W W 3424342440432132--+=--+=k k k j j ----+=)1(3)(21 )30(≤≤k三、离散傅立叶变换性质 填空题：1．已知序列}{3,2,1,0;1,3,2,2][=--=k k x ，序列长度4=N ，写出序列][])2[(4k R k x N -的值（ ）。

解：{}{}3,2,1,0;1,2,2,33,2,1,0];3[],0[],1[],2[][])2[(4=--===-k k x x x x k R k x N2．已知}{}{4,3,2,1,0;0,1,1,0,1][,4,3,2,1,0;1,2,3,2,1][=-===k n h k n x ，则][n x 和][n h 的5点循环卷积为（ ）。

解：{}]3[]2[][][][][---+⊗=⊗k k k k x k h k x δδδ{}4,3,2,1,0;2,3,3,1,0])3[(])2[(][55==---+=k k x k x k x 3．已知}{}{3,2,1,0;1,1,2,4][,3,2,1,0;2,0,2,3][=--===k n h k n x 则][][n h n x 和的 4点循环卷积为（ ）。