结构力学基本原理

FP
原 结 构
a
FP
基 本 体 系
F a FP Pa 2
MP图
M1 图
M2 图
B
FP
单位和荷载弯矩图
由单位和荷载弯矩图可勾画出基本体系变形图
a
M1 图
M2 图
B
FP FP
F a FP Pa 2
MP图
由单位和荷载 M 图可求得位移系数、建立方程
a 11 0 X X 1 11 12 1 p 1 12 2 1P 0 2 M 0 B M 图 21 22 2 p X X 2 图 21 1 1 22 2 2P 0 FP FP
第四章 超静定结构的解法
Methods of Analysis of Statically Indeterminate Structures
§4-1 §4-2 §4-3 §4-4 §4-5 §4-6 §4-7
求解超静定问题的一般方法 力法 力法计算的简化 位移法 混合法和弯矩分配法 超静定结构特性 结论与讨论
遵循材料力学中同时考虑“变形、本构、平衡”分 析超静定问题的思想，可有不同的出发点： 以力作为基本未知量，在自动满足平衡条件的基础 上进行分析，这时主要应解决变形协调问题，这种 分析方法称为力法（force method）。 以位移作为基本未知量，在自动满足变形协调条件 的基础上来分析，当然这时主要需解决平衡问题， 这种分析方法称为位移法（displacement method）。 如果一个问题中既有力的未知量，也有位移的未知 量，力的部分考虑位移协调，位移的部分考虑力的 平 衡 ， 这 样 一 种 分 析 方 案 称 为 混 合 法 （ mixture method）。 在本章中将主要介绍力法和位移法(含弯矩分配法)。
问题：若用拆除上 弦杆的静定结构作 为基本结构，本题 应如何考虑？
FP
FP
基 本 体 系
解：力法方程的实质为：“ 3、4两结点的 相对位移 34 等于所拆除杆的拉（压 ）变形 l 34” 互乘求Δ 1P
FP FP FP
FP=P
自乘求δ
FNP 图
11
FN1
或互乘求δ
11X1
1 2 2 34 11 X 1 1P [( 2a 4 EA 2 2 1 1 1 FP 2a 2 ) X 1 2a 2] 2 2 2 2
i
(8) 任取一基本结构，求超静定结构的位移
例如求 K 截面竖向 位移：
K FP
（×Fpa）
Ky
1 a 5 3 1 1 3 15 FP a [ ( FP a FP a ) EI 1 8 6 88 2 EI 1 2 88 88 a 2 FP a 3 3 FP a 3 ] ( ) 2 16 1408EI 1
假如：
FP
原 结 构
FP
基 本 体 系
FP
δ11 X 1 12 X 2 1 P 0 由 δ 21 X 1 22 X 2 2 P 0
求得：X1 0 , X 2 0 (×)
可证：平衡条件均能满足。 但：
M 图
FPa
Bx 1 P 0 , By 2 P 0
链 举 例
2. 力法解超静定结构举例
例 1. 求解图示两端固支梁。
FP
解：取简支梁为基本体系
力法典型方程为：
EI
FP
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1 P 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2 P 0 X X X 0 31 1 32 2 33 3 3P
3
1 ( 11 ) k 25 X 1 ql ( ) 32 (c) 5 X 1 ql ( ) 4
FP ab2 可 代 X1 2 得入 l 并 2 X FP a b 求 2 l2 解
FPab l FPa2b l2
FPab2 l2
例 2. 求超静定桁架的内力。 FP EAF 为常数 P 基 解：
本 体 系
FP
FP=P
力法典型方程为：
其中：
11 X1 1 P 0
ij
图乘来求
(5) 求基本结构的广义荷载位移
iP
注意： 用图乘法求 ij 和 iP 时应注意图乘条件 (6) 解方程求未知力 X i
(7)根据叠加原理作超静定结构的内力图
M M i X i M P FN FN i X i FN P i i FQ FQ i X i FQP
l 34
有：
令： 34
2a X 1 EA
l 34
FP （拉） X1 32 2
例 3. 求作图示连续梁的弯矩图。
解： 取基本体系， 典型方程：
EI
11 X1 1P X1 / k
X1 最终解得：
1 P
10 EI , 当 k l 当 k ,
11 X 1 1n X n 1 P 1 X X nn n nP n n1 1
或写作矩阵方程
δ X P
(3) 作基本结构在单位未知力和荷载（如果 有）作用下的弯矩（内力）图 M i , M P (4) 求基本结构的位移系数
作单位和荷载弯矩图
FP
FPa
求系数、建立力法方程并求解
X2 5 FP X1 4 F P 0 X 仅与刚 1 6 4 96 11 度相对 X 5 X F 3 F 2 P 1 P 0 X 值有关 2 4 6 16 88
由此可解得基本未知力，从 而解决受力变形分析问题
基本原理举例
例1. 求解图示单跨梁 原结构
待解的未知问题
转化
A
B
已掌握受力、变形 基本结构 基本体系
primary fundamental structure system or fundamental or primary structure system
力法的基本思路
超静定计算简图 解除约束转 化成静定的 基本结构承受荷 载和多余未知力
基本体系受力、变形解法已知
力法的基本思路
用已掌握的方法，分析单个基本未 知力作用下的受力和变形
位移包含基本未知力Xi
同样方法分析 “荷载”下的 受力、变形
为消除基本结构与原结构差别，建立位移协调条件
11 12 1P 1 21 22 2 P 2
以掌握的问题
未知力的位移
百度文库
“荷载”的位移
消除两者差别 总位移等于已知位移
1 11 1P 1 0
变形协调条件 力法典型方程 (The Compatibility Equation of Force Method )
1 11 1P 1 0
单位弯矩图
自 乘
基 本 体 系
单位和荷载弯矩图 M i , M P 为：
M 3 0 , FQ 3 0 由于 FN1 FN 2 FNP 0
所以
13 31 23 32 3 P 0
FP
M P图
FP ab l
又由于 2 2 M3 ds FN 3 ds 33 EI EA 2 FQ 3ds l k 0 GA EA 于是有
K FP （×Fpa）
2
Ky
1 a2 1 3 3FP a 3 FP a ( ) EI 1 8 2 88 1408EI 1
（9）对计算结果进行校核 对结构上的任一部分，其 力的平衡条件均能满足。 如： M C 0
FP
（×Fpa）
问题：使结构上的任一部分都处于平 衡 的解答是否就是问题的正确解？
系数求法
互乘
或δ X 11 1 1P
0
荷载弯矩图
ij — 位移系数
ΔiP — 广义荷载位移
系数和未知力等于多少？
X1
叠加作弯矩图
例 2. 求解图示结构
解法1:
FP
原 结 构
FP
基 本 体 系 一
基 本 未 知 力
有两个多于约束
解除约束代以未知力
F PP
基本未知力引起的位移 荷载引起的位移 变形协调条件 力法典型方程 1 11 12 1 p 0 11 X 1 12 X 2 1 p 0 或 2 21 22 2 p 0 21 X 1 22 X 2 2 p 0
小结：力法的解题步骤
(1) 确定结构的超静定次数和基本结构(体系)
超静定次数 = 基本未知力的个数
= 多余约束数
= 变成基本结构所需解除的约束数
（3 次）
或
（14 次）
或
(1 次）
(6 次)
(4 次)
确定超静定次数时应注意： (a) 切断弯曲杆次数3、链杆1，刚结变单铰1， 拆开单铰2。总次数也可由计算自由度得到。 (b) 一个超静定结构可能有多种形式的基本 结构，不同基本结构带来不同的计算工作量。 因此，要选取工作量较少的基本结构。 (c) 可变体系不能作为基本结构 (2) 建立力法典型方程
4 FP X 1 11 X 2 3 FP 88
FP
FPa
FP （×Fpa）
由叠加原理求得
M M1 X1 M2 X 2 M P
力法基本思路小结
根据结构组成分析，正确判断多于约束个 数——超静定次数。 解除多余约束，转化为静定的基本结构。 多余约束代以多余未知力——基本未知力。 分析基本结构在单位基本未知力和外界因 素作用下的位移，建立位移协调条件——力 法典型方程。 从典型方程解得基本未知力，由叠加原理 获得结构内力。超静定结构分析通过转化为 静定结构获得了解决。
X3 0
两端固支梁在竖向荷载作用下没有水平反力
11 X 1 12 X 2 1 P 0 典型方程改写为 21 X 1 22 X 2 2 P 0
图乘求得位移系数为 l 2 11 22 12 3 EI FP ab( l b) 1 P 6 EIl FP ab( l a ) 2 P 6 EIl
F a FP Pa 2
MP图 （×Fpa）
15 X 1 FP a , 88
4 X 2 FP 11
FP
原 结 构
FP
基 本 体 系
FPa
MP图
M 1图
M2图
FP
单位和荷载弯矩图
15 X 1 FP a , 88 3 X 2 FP a 88
问题：
能否取基本体系为
FP
( )
将未知问题转化为 已知问题，通过消除已 知问题和原问题的差别， 使未知问题得以解决。 这是科学研究的 基本方法之一。
由于从超静定转化为静定，将什么 约束看成多余约束不是唯一的，因此 力法求解的基本结构也不是唯一的。
解法 2： FP 原 结 构
FP
基 本 体 系
解法3： F P
原 FP 结 构
基 本 体 系
1. 力法的基本原理
(Fundamentals of the Force Method)
有一个多余约束 的超静定结构， 有四个反力，只 有三个方程。
只要满足
1 1
FAy FP1 FP2 FBy
1
M A FPi a i 1 FBy l
i
1
FBy 为任意值，均平衡。
因此必须设法补充方程
结论：对计算结果除需进行力的校核外， 还必需进行位移的校核。
FP
（×Fpa）
Ax
1 a2 2 3 1 1 3 2a 2 FP a [ FP a EI 1 2 3 88 2 EI 1 2 88 3
3 1 15 a F a FP a 2 P ] 0 2 88 3 16
2 FN1 l
FN
FP FP=P
11
EA
, 1 P
FN1 FNP l EA
FP 解得： X 1 （拉） 32 2
FNP 图
各杆最后内力由 叠加法得到：
FP
FP=P
FN FN1 X 1 FNP
由计算知，在荷载作用下，超静定桁架的内力与杆 件的绝对刚度EA无关，只与各杆刚度比值有关。