专题21压轴选择题12019年高考数学文走出题海之黄金100题系列

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专题11函数与导数2019年高考数学文走出题海之黄金100题系列

一、单选题1．函数的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】2．定义在上的函数满足，则关于的不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，令其导数，若函数满足，则有，即在上为增函数，又由，则，，又由在上为增函数，则有；即不等式的解集为（0，2）；故选：D．故选：D．5．若函数有最大值，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题，，故单调递减，故,因为函数存在最大值，所以解故选：B6．已知函数，若方程（为常数）有两个不相等的根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】二、填空题7．已知函数的图象在处的切线斜率为，则______．【答案】【解析】由函数得，∵函数f（x）的图象在（0，f（0））处切线的斜率为﹣4，，.故答案为：48．若，，，则_______．【答案】1【解析】9．已知函数，若，则实数____【答案】【解析】由题意得，所以，故，解得．故答案为．10．已知函数，若函数是奇函数，则曲线在点处的切线方程是_____.【答案】【解析】由题意得，函数为奇函数，∴. ，∴．∴，∴. ，∴，又，∴所求切线方程为，故答案为：．故答案为：三、解答题13.已知函数的图像在点处的切线方程为.（1）求的表达式；（2）当时，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），，解得，，解得，所以.14．已知函数．若曲线在处的切线为，求的值；当时，恒成立，求的取值范围．【答案】（1）3；（2）.【解析】，又，，故，解得：；15．已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，，记函数在上的最大值为，证明：.【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）见解析.【解析】（1）因为，所以，当时，；当时，，故的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）当时，，则，当时，，令，则，所以在上单调递增，因为，，所以存在，使得，即，即.故当时，，此时；当时，，此时.即在上单调递增，在上单调递减.则. 令，，则.所以在上单调递增，所以，.故成立.16．已知函数的导函数满足对恒成立. （1）判断函数在上的单调性，并说明理由；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）在上单调递增；（2）.【解析】（2）∵，∴，即.设函数，，∵，∴，为增函数，则.当，即时，，则在上单调递增，从而.当，即时，则，，若，；若，.从而，这与对恒成立矛盾，故不合题意. 综上，的取值范围为.又因为，所以曲线在处的切线方程为.20．设函数，（1）当时，求的单调区间；（2）若存在极值点，求的取值范围.【答案】（1）在单调递增；（2）.【解析】（1）当时，，设，则，，当时，，当时，在为减函数，在为增函数，成立在单调递增当或时，当，，,时，作出的图象如图有或，即。

全国卷Ⅰ2019年高考数学压轴卷理含解析

（全国卷Ⅰ）2019年高考数学压轴卷理（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合402x A x x ⎧-⎫=∈≥⎨⎬+⎩⎭Z，1244x B x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则A B =（）A ．{}12 x x -≤≤B ．{}1,0,1,2-C ．{}2,1,0,1,2--D ．{}0,1,22．已知a 是实数，i1ia +-是纯虚数，则a 等于（） A．B ．1-CD ．13．“0a ≤”是“函数()|(1)|f x ax x =-在区间(0,)+∞内单调递增”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点到渐近线的距离等于实轴长，则此双曲线的离心率为（）ABCD5．若221m n >>，则（） A ．11m n> B ．1122log log m n >C ．()ln 0m n ->D ．1m n -π>6．已知平面向量a ，b，满足(=a ，3=b ，()2⊥-a a b ，则-=a b （） A ．2B ．3C ．4D ．67．执行右边的程序框图，输出的2018ln =S ,则m 的值为（） A ．2017 B ．2018 C ．2019D ．20208．据统计，连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0055．，连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为019．，现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病，则他还能继续连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为（）A ．67B ．335C ．1135D ．019．9．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．163π+ B ．112π+ C ．1123π+ D ．143π+ 10．将()1f x x x =-+的图像向左平移π4个单位，再向下平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，则下列关于函数()y g x =的说法错误的是（）A ．函数()y g x =的最小正周期是πB ．函数()y g x =的一条对称轴是π8x = C ．函数()y g x =的一个零点是3π8D ．函数()y g x =在区间5π,128π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减11．焦点为F 的抛物线2:8C y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当MA MF取得最大值时，直线M A 的方程为（） A ．2y x =+或2y x =-- B ．2y x =+ C ．22y x =+或22y x =-+D ．22y x =-+12．定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=，且当[]2,4x ∈时，()224,232,34x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，()1g x ax =+，对[]12,0x ∀∈-，[]22,1x ∃∈-使得()()21g x f x =，则实数a 的取值范围为（）A ．11,,88⎛⎫⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭ B ．11,00,48⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C ．(]0,8D ．11,,48⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎪⎝⎦⎡⎫⎢⎣⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知1sin )1lg()(2++-+=x x x x f 若21)(=αf 则=-)(αf 14．在()31nx x ⎛++ ⎝的展开式中，各项系数之和为256，则x 项的系数是__________． 15.知变量x ，y 满足条件236y xx y y x ≤+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩，则目标函数z =的最大值为16．如图，在ABC △中，sin2ABC ∠，点D 在线段AC 上，且2AD DC =，BD =，则ABC △的面积的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足：113a b ==，24b a =，且1a ，4a ，13a 成等比数列．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）令nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 18．（本小题满分12分）某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间(]30,150内，其频率分布直方图如图．（1）求获得复赛资格的人数；（2）从初赛得分在区间(]110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人参加学校座谈交流，那么从得分在区间(]110,130与(]130,150各抽取多少人？（3）从（2）抽取的7人中，选出3人参加全市座谈交流，设X 表示得分在区间(]130,150中参加全市座谈交流的人数，求X 的分布列及数学期望()E X ．19．（本小题满分12分）如图，底面ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，//AF DE ，3DE AF =，BE 与平面ABCD 所成角为60︒．（1）求证：AC ⊥平面BDE ；（2）求二面角F BE D --的余弦值．20．（本小题满分12分）过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 的直线与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线准线的交点为B ，点A 在抛物线准线上的射影为C ，若AF FB =，ABC △的面积为（1）求抛物线的标准方程；（2）过焦点F 的直线与抛物线交于M ，N 两点，抛物线在M ，N 点处的切线分别为1l ，2l ，且1l 与2l 相交于P 点，1l 与x 轴交于Q 点，求证：2FQ l ∥．21．（本小题满分12分）设函数()(ln f x x x =-+．（1）探究函数()f x 的单调性；（2）若0x ≥时，恒有()3f x ax ≤，试求a 的取值范围；请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22.(本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，圆C 的普通方程为2246120x y x y +--+=．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为πsin 4ρθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭（1）写出圆C 的参数方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与x 轴和y 轴的交点分别为A ，B ，P 为圆C 上的任意一点，求PA PB ⋅的取值范围．23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】设函数()21f x x =-．（1）设()()15f x f x ++<的解集为A ，求集合A ；（2）已知m 为（1）中集合A 中的最大整数，且a b c m ++=（其中a ，b ，c 为正实数），求证：1118a b ca b c---⋅⋅≥．2019全国卷Ⅰ高考压轴卷数学理科答案解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B【解析】集合{}{}40241,0,1,2,3,42x A x x x x ⎧-⎫=∈≥=∈-<≤=-⎨⎬+⎩⎭ZZ ，{}14224B x x x x ⎧⎫=≤≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭，则{}1,0,1,2AB =-，故选B ．2．【答案】D 【解析】i 1i a +-是纯虚数，i 1+(+1)i=1i 2a a a +--，则要求实部为0，即1a =．故选D ． 3．【答案】C ．【解析】当0a =时，()|(1)|||f x ax x x =-=在区间(0,)+∞上单调递增；当0a <时，结合函数2()|(1)|||f x ax x ax x =-=-的图像知函数在(0,)+∞上单调递增，如图1-7(a)所示；当0a >时，结合函数2()|(1)|||f x ax x ax x =-=-的图像知函数在(0,)+∞上先增后减再增，不符合条件，如图1-7(b)所示.所以要使函数()|(1)|f x ax x =-在(0,)+∞上单调递增，只需0a ≥，即“0a ≥”是“函数()|(1)|f x ax x =-在区间(0,)+∞内单调递增”的充要条件.故选C.4．【答案】C【解析】由题意可设双曲线C 的右焦点(),0F c ，渐进线的方程为by x a=±，可得2d b a ===，可得c =，可得离心率ce a=C ．5．【答案】D【解析】因为221m n >>，所以由指数函数的单调性可得0m n >>，因为0m n >>，所以可排除选项A ，B ；32m =，1n =时，可排除选项C ，由指数函数的性质可判断1m n -π>正确，故选D ． 6．【答案】B【解析】由题意可得：2=a ，且：()20⋅-=a a b ，即220-⋅=a a b ，420-⋅=a b ，2⋅=a b ，由平面向量模的计算公式可得：3-=a b ．故选B ．7．【答案】B【解析】第一次循环，2,2ln ==i S 第二次循环，3,3ln ln 2ln 12ln 3232==+=+=⎰i x dx xS 第三次循环，4,4ln ln 2ln 13ln 4343==+=+=⎰i x dx xS 第四次循环，5,5ln ln 4ln 14ln 5454==+=+=⎰i x dx xS ……推理可得m=2018，故选B ．8．【答案】A【解析】设事件A 为48h 发病，事件B 为72h 发病，由题意可知：()0055P A =．，()019P B =．，则()0945P A =．，()081P B =．，由条件概率公式可得：()()()()()0816|09457P AB P B P B A P A P A ====．．．故选A ． 9．【答案】C【解析】观察三视图可知，几何体是一个圆锥的14与三棱锥的组合体，其中圆锥的底面半径为1，高为1．三棱锥的底面是两直角边分别为1，2的直角三角形，高为1．则几何体的体积21111π1π111213432123V =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+．故本题答案选C ．10．【答案】D【解析】由题意可知：()12sin 4π21f x x x x ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，图像向左平移π4个单位，再向下平移1个单位的函数解析式为： ()ππ2sin 2112sin 244π4g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．则函数()g x 的最小正周期为2ππ2T ==，A 选项说法正确；当π8x =时，22ππ4x +=，函数()y g x =的一条对称轴是π8x =，B 选项说法正确；当3π8x =时，2π4πx +=，函数()y g x =的一个零点是3π8，C 选项说法正确；若5π,128πx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则5π3π2,4122πx ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，函数()y g x =在区间5π,128π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调，D 选项说法错误；故选D ． 11．【答案】A 【解析】过M 作M P 与准线垂直，垂足为P ，则11cos cos MA MA MFMPAMP MAF ===∠∠，则当MA MF取得最大值时，M AF ∠必须取得最大值，此时直线AM 与抛物线相切，可设切线方程为()2y k x =+与28y x =联立，消去y 得28160ky y k -+=，所以264640k ∆=-=，得1k =±．则直线方程为2y x =+或2y x =--．故本题答案选A ．12．【答案】D【解析】因为()f x 在[]2,3上单调递减，在(]3,4上单调递增，所以()f x 在[]2,3上的值域是[]3,4，在(]3,4上的值域是119,32⎛⎤ ⎥⎝⎦，所以函数()f x 在[]2,4上的值域是93,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，因为()()22f x f x +=，所以()()()112424f x f x f x =+=+，所以()f x 在[]2,0-上的值域是39,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当0a >时，()g x 为增函数，()g x 在[]2,1-上的值域为[]21,1a a -++，所以3214918a a ≥-+≤+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得18a ≥；当0a <时，()g x 为减函数，()g x 在[]2,1-上的值域为[]1,21a a +-+，所以3149218a a ≥+⎧⎪≤+⎨-⎪⎪⎪⎩，解得14a ≤-，当0a =时，()g x 为常函数，值域为{}1，不符合题意，综上，a 的范围是11,,48⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，故选D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】23【解析】解析：因为1sin )1lg()(2++-+=x x x x f 的定义域为R,关于原点对称，21sin )1lg(1sin )1lg()()(22=+-++++++-+=-+）（x x x x x x f f αα故221)(=+-αf 则=-)(αf 2314．【答案】7【解析】令1x =可得各项系数和：()3111256n⎛+⨯= ⎝，据此可得：7n =，73x ⎛+ ⎝展开式的通项公式为：()721732177C C r r rr r r T xx --+==，令72102r -=可得：6r =，令72112r -=可得：407r =，不是整数解，据此可得：x 项的系数是67C 7=． 15.【解析】作出236y x x y y x ≤+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩，表示的可行域，如图变形目标函数，()1,2cos x y zθ-⋅===，其中θ为向量)1=-a 与(),x y =b 的夹角，由图可知，()2,0=b 时θ有最小值6π， (),x y =b 在直线y x =上时，θ有最大值56412π+=ππ，即5612θπ≤≤π，5612θπ≤≤π，目标函数z =C ．16．【答案】【解析】由sin2ABC ∠=可得：cos 2ABC ∠=，则sin 2sin cos 22ABC ABC ABC ∠∠∠==．由sin2ABC ∠<452ABC ∠<︒，则90ABC ∠<︒，由同角三角函数基本关系可知：1cos 3ABC ∠=．设AB x =，BC y =，()30,0,0AC z x y z =>>>，在ABD △中由余弦定理可得：()22162cos z x BDA +-∠=，在CBD △中由余弦定理可得：2216cos z y BDC +-∠=由于180BDA BDC ∠+∠=︒，故cos cos BDA BDC ∠=-∠，()222216162z x z y +-+-=22216620z x y +--=．①在ABC △中，由余弦定理可知：()2221233x y xy z +-⨯=，则：2222246339z x y xy =+-，代入①式整理计算可得：2214416339x y xy ++=，由均值不等式的结论可得：4161699xy xy ≥=，故9xy ≤，当且仅当x =y =时等号成立，据此可知ABC △面积的最大值为：()max max 11sin 922S AB BC ABC =⨯⨯⨯∠=⨯= 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）【答案】（1）()32121n a n n =+-=+，3n n b =；（2）223n nn S +=-．【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，则由已知得21134a a a =，即()()2331233d d +=+，解之得：2d =或0d =（舍），所以()32121n a n n =+-=+；因为249b a ==，所以{}n b 的公比3q =，所以3n n b =．（2）由（1）可知213n nn c +=，所以23357213333n n n S +=++++．．．，21572133333n n n S -+=++++．．．，所以12111211112121243323234133333313n n n n n n n n n S --⎛⎫⋅- ⎪+++⎛⎫⎝⎭=++++-=+-=- ⎪⎝⎭-．．．，所以223n nn S +=-． 18.（本小题满分12分）【答案】（1）520人；（2）5人，2人；（3）()67E X =．【解析】（1）由题意知[)90,110之间的频率为：()1200.00250.0050.007520.01250.3-⨯++⨯+=，()0.30.01250.0050200.65++⨯=，获得参赛资格的人数为8000.65520⨯=人．（2）在区间(]110,130与(]130,150，0.0125:0.00505:2=，在区间(]110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人，分在区间(]110,130与(]130,150各抽取5人，2人．结果是5人，2人．（3）X 的可能取值为0，1，2，则：()305237C C 20C 7P X ===；()215237C C 41C 7P X ===；()125237C C 12C 7P X ===；故X 的分布列为：()20127777E X =⨯+⨯+⨯=．19．（本小题满分12分）【答案】（1）见解析（2 （1）证明：∵DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴DE AC ⊥，又∵底面ABCD 是正方形， ∴AC BD ⊥． ∵BDDE D =，∴AC ⊥平面BDE ．（2）解：∵DA ，DC ，DE 两两垂直， ∴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，∵BE 与平面ABCD 所成角为60︒，即60DBE ∠=︒，∴EDDB=，由3AD =，可知BD =DE =AF =则(3,0,0)A，F，E ，(3,3,0)B ，(0,3,0)C ，∴(0,BF =-，(3,0,EF =-．设平面BEF 的一个法向量为(,,)n x y z =，则0,0,n BF n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即30,30,y x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩令z =(4,n =．∵AC ⊥平面BDE ，∴CA 为平面BDE 的一个法向量， ∴(3,3,0)CA =-，∴||cos ,||||32n CA n CA n CA ⋅<>===⋅ ∵二面角F BE D --为锐角， ∴二面角F BE D --的余弦值为13． 20.（本小题满分12分）【答案】（1）24x y =；（2）证明见解析．【解析】（1）因为AF FB =，所以F 到准线的距离即为三角形ABC △的中位线的长，所以2AC p =，根据抛物线的定义AC AF =，所以24AB AC p ==，BC =，122ABC S p =⋅⋅=△ 解得2p =，所以抛物线的标准方程为24x y =．（2）易知直线MN 的斜率存在，设直线:1MN y kx =+，设()11,M x y ，()22,N x y联立24 1x yy kx =+⎧⎪⎨⎪⎩=消去y 得2440x kx --=，得124x x =-， 24x y =，'2x y =，设()11,M x y ，()22,N x y ，111:22l y y xx +=，222:22l y y xx +=，()22212212112121121212442,22,12444p p p x x y y x x x x x x x x y x y x x x x ⎛⎫- ⎪-++⎝⎭===+⋅===---，得P 点坐标21,12x x P +⎛⎫- ⎪⎝⎭，由111:22l y y xx +=，得1,02x Q ⎛⎫⎪⎝⎭，12QF k x =-，221141222l x k x x -==⋅=-，所以2QF l k k =，即2PQ l ∥． 21.（本小题满分12分）【答案】（1）增函数；（2）1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）见解析．【解析】（1）函数()f x 的定义域为R ．由()'10f x =≥，知()f x 是实数集R 上的增函数．（2）令()()(33ln g x f x ax x x ax =-=-+-，则()2131'ax g x --，令())2131h x ax =--，则()23169'x a ax h x ⎡⎤--==．（i ）当16a ≥时，()'0h x ≤，从而()h x 是[)0,+∞上的减函数，注意到()00h =，则0x ≥时，()0h x ≤，所以()'0g x ≤，进而()g x 是[)0,+∞上的减函数，注意到()00g =，则0x ≥时，()0g x ≤时，即()3f x ax ≤．（ii ）当106a <<时，在⎡⎢⎣上，总有()'0h x >，从而知，当x ⎡∈⎢⎣⎭时，()3f x ax >；（iii ）当0a ≤时，()'0h x >，同理可知()3f x ax >，综上，所求a 的取值范围是1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22.（本小题满分10分）【答案】（1）2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=，20x y +-=；（2）44PA PB -⋅≤+【解析】（1）圆C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=（θ为参数）．直线l 的直角坐标方程为20x y +-=．（2）由直线l 的方程20x y +-=可得点()2,0A ，点()0,2B ．设点(),P x y ，则()()222,,2222412PA PB x y x y x y x y x y ⋅=--⋅--=+--=+-．由（1）知2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=，则()4sin 2cos 44PA PB θθθϕ⋅=++=++．因为θ∈R ，所以． 23．（本小题满分10分）【答案】（1）55|44A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭；（2）见解析．【解析】（1）()()15f x f x ++<即21215x x -++<，当12x <-时，不等式化为12215x x ---<，∴5142x -<<-；当1122x -≤≤时，不等式化为12215x x -++<，不等式恒成立；当12x >时，不等式化为21215x x -++<，∴1524x <<．综上，集合55|44A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭．（2）由（1）知1m =，则1a b c ++=．则1a b c a a -+=1b b -≥1c c -≥则1118a b c a b c ---⋅⋅≥=，即8M ≥．。

2019年高考文科数学百校联盟押题卷3套(含解析)

2019届高考全国统一试卷押题卷文科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2A x x =>-，{}1B x x =≥，则A B =（）A ．{}2x x >-B ．{}21x x -<≤C ．{}2x x ≤-D ．{}1x x ≥【答案】A【解析】∵{}2A x x =>-，{}1B x x =≥，∴根据集合并集的定义可得{}2A B x x =>-，故选A ． 2．复数2iiz +=（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D 【解析】∵()()22i i 2i 12i i i z +-+===--， ∴复数2iiz +=在复平面内对应的点的坐标为()1,2-，位于第四象限，故选D ． 3．一个三棱锥的正视图和侧视图如图所示(均为直角三角形)，则该三棱锥的体积为（）A ．4B ．8C ．16D ．24【答案】B【解析】由三视图知三棱锥的侧棱AO 与底OCB 垂直，其直观图如图，可得其俯视图是直角三角形，直角边长为2，4，∴6OA =， ∴棱锥的体积11246832V =⨯⨯⨯⨯=，故选B ．4．设实数x ，y 满足约束条件121010x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =+的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．6【答案】A【解析】作出实数x ，y 满足约束条件121010x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域（如图所示：阴影部分），由21010x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得()0,1A ，由3z x y =+得3y x z =-+，平移3y x z =-+，直线3y x z =-+过点A 时，直线在y 轴上截距最小，∴min 3011z =⨯+=，故选A ．5．执行如图所示的程序框图，则输出的n 值是（）此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号A ．5B ．7C ．9D ．11【答案】C【解析】执行程序框图，1n =时，11133S ==⨯；3n =时，11213355S =+=⨯⨯； 5n =时，11131335577S =++=⨯⨯⨯；7n =时，11114133557799S =+++=⨯⨯⨯⨯， 9n =，满足循环终止条件，退出循环，输出的n 值是9，故选C ．6．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且5632a a a +=+，则7S =（） A ．28 B ．14 C ．7 D ．2【答案】B【解析】∵563542a a a a a +=+=+，∴42a =，177477142a a S a +=⨯==，故选B ． 7．下列判断正确的是（）A ．“2x <-”是“()ln 30x +<”的充分不必要条件B ．函数()f x =的最小值为2C ．当α，β∈R 时，命题“若αβ=，则sin sin αβ=”的逆否命题为真命题D ．命题“0x ∀>，201920190x +>”的否定是“00x ∃≤，020*******x +≤” 【答案】C【解析】当4x =-时，2x <-成立，()ln 30x +<不成立，∴A 不正确；对()2f x =≥1=时等号成立，3，∴()2f x =>，的最小值不为2，∴B 不正确；由三角函数的性质得 “若αβ=，则sin sin αβ=”正确，故其逆否命题为真命题，∴C 正确；命题“0x ∀>，201920190x +>”的否定是“00x ∃>，020*******x +≤”，∴D 不正确，故选C ． 8．已知函数()32cos f x x x =+，若(a f =，()2b f =，()2log 7c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．a b c << B ．c a b << C ．b a c << D ．b c a <<【答案】D【解析】∵函数()32cos f x x x =+，∴导数函数()32sin f x x '=-，可得()32sin 0f x x '=->在R 上恒成立，∴()f x 在R 上为增函数，又∵222log 4log 73=<<<b c a <<，故选D ．9．在各棱长均相等的直三棱柱111ABC A B C -中，已知M 是棱1BB 的中点，N 是棱AC 的中点，则异面直线1A M 与NB 所成角的正切值为（） AB ．1CD【答案】C【解析】各棱长均相等的直三棱柱111ABC A B C -中，棱长为2，以A 为原点，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()10,0,2A，)M，)B，()0,1,0N ，()13,1,1AM =-，()BN =，设异面直线1A M 与BN 所成角为θ，则11cos 5A M BNA M BNθ⋅===⋅，∴tan θ=．∴异面直线1A M 与BN C ．10．齐王有上等，中等，下等马各一匹；田忌也有上等，中等，下等马各一匹．田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜的概率为（） A ．49B ．59C ．23D ．79【答案】C【解析】设齐王上等、中等、下等马分別为A ，B ，C ，田忌上等、中等、下等马分别为a ，b ，c ，现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，基本事件有(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),B a ，(),B b ，(),B c ，(),C a ，(),C b ，(),C c ，共9种，有优势的马一定获胜，齐王的马获胜包含的基本事件有(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),B b ，(),B c ，(),C c ，共6种，∴齐王的马获胜的概率为6293P ==，故选C ． 11．已知定义在R 上的函数()f x 的图像关于直线()0x a a =>对称，且当x a ≥时，()2e x a f x -=．过点(),0P a 作曲线()y f x =错误！未找到引用源。

专题13数列与概率2019年高考数学文走出题海之黄金100题系列

的排名来划分等级并以此打分得到最后得分.假定省规定：选考科目按考生成绩从高到低排列，按照占
总体
的，以此赋分分、分、分、分.为了让学生们体验“赋分制”计算成绩的方
法，省某高中高一（）班（共人）举行了以此摸底考试（选考科目全考，单科全班排名，每名学生选
C．
D．
【答案】B 【解析】
设正方形 DEFC 的边长为，则
，因此所求概率为
，选 B.
6．已知等差数列中，
A．10
B．9
【答案】A
【解析】
因为在等差数列中，
所以
，前 10 项的和等于前 5 的和，若
C．8
D．2
，，
，则
（），
又
，
．
故选【解析】设公差为 d， ∵3a3=7a7，项 a1=1， ∴3（1+2d）=7（1+6d），解得 d=- ，
∴an=1- （n-1）=
，
令 an≥0，解得 n=10，
∴数列{an}的前 n 项和的最大值为 S10=10+
故答案为：5
三、解答题
13. 已知数列的前项和为，满足
参考公式：线性回归方程
，其中
，
．
【答案】（1）；（2）
【解析】
记
，
，
，
，
．
则从 5 名学生中，任取 2 名学生的所有取法为、、、、、、、、、
，共有 10 种情况，
其中至少有一人的物理成绩高于 90 分的情况是、、、、、、，共计 7
种，因此选中的学生中至少有一人的物理成绩高于 90 分的概率为；
【答案】(1)

历届高考数学压轴题汇总及答案

历届高考数学压轴题汇总及答案1.2019年高考数学上海卷：已知等差数列$\{a_n\}$的公差$d\in(0,\pi]$，数列$\{b_n\}$满足$b_n=\sin(a_n)$，集合$S=\{x|x=b_n,n\in N^*\}$。

1) 若$a_1=0,d=\frac{\pi}{6}$，求集合$S$的元素个数；2) 若$a_1=\frac{2\pi}{3}$，求集合$S$；3) 若集合$S$有三个元素$b_{n+T}=b_n$，其中$T$是不超过$7$的正整数，求$T$的所有可能值。

2.2019年高考数学浙江卷：已知实数$a\neq0$，函数$f(x)=a\ln x+x+1$，$x>0$。

1) 当$a=-1$时，求函数$f(x)$的单调区间；2) 对任意$x\in[\frac{3}{4},+\infty)$，有$f(x)\leq\frac{1}{2}e^{2a}$，求$a$的取值范围。

3.2019年高考数学江苏卷：设$(1+x)=a+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n$，$n^2,n\in N^*$，已知$a_3=2a_2a_4$。

1) 求$n$的值；2) 设$(1+3x)=a+b\sqrt{3}$，其中$a,b\in N^*$，求$a^2-3b^2$的值。

4.2018年高考数学上海卷：给定无穷数列$\{a_n\}$，若无穷数列$\{b_n\}$满足对任意$n\in N^*$，都有$b_n-a_n\leq1$，则称$\{b_n\}$与$\{a_n\}$“接近”。

1) 设$\{a_n\}$是首项为$1$，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，构造一个与$\{a_n\}$接近的数列$\{b_n\}$，并说明理由；2) 设数列$\{a_n\}$的前四项为：$a_1=1,a_2=2,a_3=4,a_4=8$，$\{b_n\}$是一个与$\{a_n\}$接近的数列，记集合$M=\{x|x=b_i,i=1,2,3,4\}$，求$M$中元素的个数$m$；3) 已知$\{a_n\}$是公差为$d$的等差数列，若存在数列$\{b_n\}$满足：$\{b_n\}$与$\{a_n\}$接近，且在$1$的等比数列，$b_n=a_{n+1}+1$，$n\in N^*$，判断数列$\{b_n\}$是否满足$b_2-b_1,b_3-b_2,\cdots,b_{201}-b_{200}$中至少有$100$个为正数，求$d$的取值范围。

2019届全国卷Ⅰ高考压轴卷数学文(解析版)

2019全国卷Ⅰ高考压轴卷数学文科（一）一、选择题：本大题共12小题.每小题5分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}(,)|1,01A x y y x x ==+≤≤.集合{}(,)|2,010B x y y x x ==≤≤.则集合A B ＝（） A ．{}1,2B ．{}|01x x ≤≤C ．(){}1,2D ．∅2．已知复数z 满足(2)3i z i -=+.则||(z = ) AB ．5CD ．103．下列函数中.与函数的单调性和奇偶性一致的函数是（）A. B. C. D.4．某学校上午安排上四节课.每节课时间为40分钟.第一节课上课时间为.课间休息10分钟.某学生因故迟到.若他在之间到达教室.则他听第二节课的时间不少于10分钟的概率为（）A.51 B. 103 C. 52 D. 545．函数()23sin cos f x x x x =+的最小正周期是（）A. 4πB. 2πC. πD.2π6．若01a b <<<.则b a . a b . log b a . 1log ab 的大小关系为（） A. 1log log b a b aa b a b >>> B. 1log log a b b ab a b a >>>C. 1log log b a b aa ab b >>> D. 1log log a b b aa b a b >>>7．若实数x .y 满足条件10262x y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩………….则2z x y =-的最大值为( )A ．10B ．6C ．4D ．2-8．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>.四点1(4,2)P .2(2,0)P .3(4,3)P -.4(4,3)P 中恰有三点在双曲线上.则该双曲线的离心率为( )A B ．52C D ．729．执行如图所示的程序框图.则输出的结果为( )A ．7B ．9C ．10D ．1110．一个几何体的三视图如图所示.则该几何体的最长棱的长度为（）A. 11． ABC ∆中.5AB =.10AC =.25AB AC =.点P 是ABC ∆内（包括边界）的一动点.且32()55AP AB AC R λλ=-∈.则||AP 的最大值是( )A B C D12．在四面体ABCD 中.1AB BC CD DA ====.AC =.BD .则它的外接球的面积(S = ) A ．4πB ．83πC ．43πD ．2π二、填空题：本大题共4小题.每小题5分．13．数列{}n a 中.148,2a a ==且满足.212(*)n n n a a a n N ++=-∈.数列{}n a 的通项公式14．已知()f x 是R 上的偶函数.且在[0.)+∞单调递增.若(3)f a f -<（4）.则a 的取值范围为．15．在ABC ∆中.角的对边分别为.AaB b B c cos cos cos 与是-的等差中项且.ABC ∆的面积为34.则的值为__________．16．已知抛物线x y C 4:=的焦点是.直线交抛物线于两点.分别从两点向直线作垂线.垂足是.则四边形的周长为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）在右图所示的四边形ABCD 中.∠BAD ＝90°. ∠BCD ＝150°.∠BAC＝60°.AC ＝2.AB ＝3＋1．（Ⅰ）求BC ；（Ⅱ）求△ACD 的面积．（18）（本小题满分12分）二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数x （0＜x ≤10）与销售价格y （单位：万元/辆）进行整理.得到如下的对应数据：（Ⅰ）试求y 关于x 的回归直线方程；（参考公式：b ˆ＝ni ＝1∑x i y i －nx -y-ni ＝1∑x 2i －nx-2.a ˆ＝y -－b ˆx -．）（Ⅱ）已知每辆该型号汽车的收购价格为w ＝0.05x 2－1.75x ＋17.2万元.根据（Ⅰ）中所求的回归方程.预测x 为何值时.小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z 最大？（19）（本小题满分12分）在四棱锥P -ABCD 中.△PAD 为等边三角形.底面ABCD 等腰梯形.满足AB ∥CD .AD ＝DC ＝12AB ＝2.且平面PAD ⊥平面ABCD ．（Ⅰ）证明：BD ⊥平面PAD ；（Ⅱ）求点C 到平面PBD 的距离．（20）（本小题满分12分）ABCDP已知动点P 到直线l ：x ＝－1的距离等于它到圆C ：x 2＋y 2－4x ＋1＝0的切线长（P 到切点的距离）．记动点P 的轨迹为曲线E ．（Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）点Q 是直线l 上的动点.过圆心C 作QC 的垂线交曲线E 于A .B 两点.问是否存在常数λ.使得|AC |·|BC |＝λ|QC |2？若存在.求λ的值；若不存在.说明理由． 21.（本小题满分12分）已知函数f (x )＝ln (mx )－x ＋1.g (x )＝(x －1)e x－mx .m ＞0．（Ⅰ）若f (x )的最大值为0.求m 的值；（Ⅱ）求证：g (x )仅有一个极值点x 0.且 12ln (m ＋1)＜x 0＜m ．请考生在第（22）.（23）题中任选一题作答.如果多做.则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中.M (－2.0)．以坐标原点为极点.x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.A (ρ.θ)为曲线C 上一点.B (ρ.θ＋π3).|BM |＝1．（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）求|OA |2＋|MA |2的取值范围．23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知a ＞b ＞c ＞d ＞0.ad ＝bc ．（Ⅰ）证明：a ＋d ＞b ＋c ；（Ⅱ）比较a a b b c d d c与a b b a c c d d的大小．2019全国卷Ⅰ高考压轴卷数学文科（一）答案一、选择题：本大题共12小题.每小题5分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C【解析】根据题意可得.12y x y x =+⎧⎨=⎩.解得12x y =⎧⎨=⎩.满足题意01x ≤≤.所以集合A B ＝(){}1,2．故选C ．2．【答案】C【解析】：(2)3i z i -=+.3213iz i i+∴=-=+.||z ∴=．故选：C ． 3．【答案】D【解析】函数即是奇函数也是上的增函数.对照各选项：为非奇非偶函数.排除；为奇函数.但不是上的增函数.排除；为奇函数.但不是上的增函数.排除；为奇函数.且是上的增函数.故选D. 4．【答案】A【解析】由题意知第二节课的上课时间为.该学生到达教室的时间总长度为分钟.其中在进入教室时.听第二节的时间不少于分钟.其时间长度为分钟.故所求的概率515010= .故选A. 5．【答案】C【解析】因为()21cos233sin cos sin222x f x x x x x -=+=+3sin2226x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭ 所以其最小正周期为222T w πππ===.故选C. 6．【答案】D【解析】因为01a b <<<.所以10a a b b a a >>>>.log log 1b b a b >>.01a <<,所以11a >,1log 0a b <.综上： 1log log a b b aa b a b >>>. 7．【答案】B ．【解析】：先根据实数x .y 满足条件10262x y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩…………画出可行域如图.做出基准线02x y =-.由图知.当直线2z x y =-过点(3,0)A 时.z 最大值为：6．故选：B ．8．【答案】C【解析】：根据双曲线的性质可得3(4,3)P -.4(4,3)P 中在双曲线上. 则1(4,2)P 一定不在双曲线上.则2(2,0)P 在双曲线上.2a ∴=.221691a b -=.解得23b =.2227c a b ∴=+=.c ∴c e a ∴==故选：C ． 9．【答案】B【解析】：模拟程序的运行.可得： 11,313i S lg lg ===->-.否；1313,51355i S lg lg lg lg ==+==->-.否；1515,71577i S lg lg lg lg ==+==->-.否；1717,91799i S lglg lg lg ==+==->-.否； 1919,11191111i S lg lg lg lg ==+==-<-.是.输出9i =. 故选：B ． 10．【答案】C【解析】由三视图可知.该几何体是四棱锥P ABCD -.如图所示. 其中侧棱PD ⊥平面,2,3,4ABCD AD CD PD ===.则5,PA PC PB =====,.故选C ． 11．【答案】B ．【解析】ABC ∆中.5AB =.10AC =.25AB AC =. 510cos 25A ∴⨯⨯=.1cos 2A =.60A ∴=︒.90B =︒；以A 为原点.以AB 所在的直线为x 轴.建立如图所示的坐标系. 如图所示.5AB =.10AC =.60BAC ∠=︒.(0,0)A ∴.(5,0)B .(5C ..设点P 为(,)x y .05x 剟.0y 剟3255AP AB AC λ=-.(x ∴.3)(55y =.20)(55λ-.(32λ=-.)-.∴32x y λ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩.3)y x ∴=-.①直线BC 的方程为5x =.②. 联立①②.得5x y =⎧⎪⎨=⎪⎩此时||AP 最大.||AP ∴ 故选：B ．12．【答案】D 【解析】：如下图所示.1AB BC CD DA ====.BD =.由勾股定理可得222AB AD BD +=.222BC CD BD +=.所以.90BAD BCD ∠=∠=︒.设BD 的中点为点O .则12OA OB OC OD BD ====则点O 为四面体ABCD 的外接球球心.且该球的半径为2R =因此.四面体ABCD 的表面积为22442S R πππ==⨯=．故选：D ．二、填空题：本大题共4小题.每小题5分． 13．【答案】=102n a n -【解析】由题意.211n n n n a a a a +++-=-.所以{}n a 为等差数列.设公差为d . 由题意得2832d d =+⇒=-.得82(1)102n a n n =--=-. 14．【答案】17a -<<．【解析】：()f x 是R 上的偶函数.且在[0.)+∞单调递增.∴不等式(3)f a f -<（4）等价为(|3|)f a f -<（4）.即|3|4a -<.即434a -<-<.得17a -<<.即实数a 的取值范围是17a -<<.故答案为：17a -<< 15．【答案】54. 【解析】由A a B b B c cos cos cos 与是-的等差中项.得AaB b B c cos cos cos 2+=- . 由正弦定理.得A A B B B C cos sin cos sin cos sin 2+=-,AB B A BC cos cos )sin(cos sin 2⋅+=- .由C B A sin )sin(=+ 所以21c o s -=A ,32π=A . 由34sin 21==∆A bc S ABC .得16=bc . 由余弦定理.得16)(cos 22222-+=-+=c b A bc c b a .即54=+c b .故答案为54．16．【答案】.【解析】由题知. .准线的方程是 . 设 .由 .消去. 得. 因为直线经过焦点.所以. 由抛物线上的点的几何特征知 .因为直线的倾斜角是.所以.所以四边形的周长是.故答案为.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）【答案】（Ⅰ）6（Ⅱ）在S △ACD ＝1【解析】（Ⅰ）在△ABC 中.由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos∠BAC ＝6. 所以BC ＝6．（Ⅱ）在△ABC 中.由正弦定理得BC sin∠BAC ＝AC sin∠ABC .则sin∠ABC ＝22.又0°＜∠ABC ＜120°.所以∠ABC ＝45°.从而有∠ACB ＝75°.由∠BCD ＝150°.得∠ACD ＝75°.又∠DAC ＝30° .所以△ACD 为等腰三角形. 即AD ＝AC ＝ 2.故S △ACD ＝1．（18）（本小题满分12分）【答案】（Ⅰ）^y ＝－1.45x ＋18.7（Ⅱ）x ＝3【解析】（Ⅰ）由已知：x -＝6.y -＝10.5i ＝1∑x i y i ＝242.5i ＝1∑x 2i ＝220.^b ＝ni ＝1∑x i y i －nx -y-ni ＝1∑x 2i －nx-2＝－1.45.a ˆ＝y -－^bx-＝18.7；所以回归直线的方程为^y ＝－1.45x ＋18.7 （Ⅱ）z ＝－1.45x ＋18.7－(0.05x 2－1.75x ＋17.2)＝－0.05x 2＋0.3x ＋1.5 ＝－0.05(x －3)2＋1.95.所以预测当x ＝3时.销售利润z 取得最大值．（19）（本小题满分12分）【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）32【解析】（Ⅰ）在梯形ABCD 中.取AB 中点E .连结DE .则ABCDDE ∥BC .且DE ＝BC ．故DE ＝ 12AB .即点D 在以AB 为直径的圆上.所以BD ⊥AD ．因为平面PAD ⊥平面ABCD .平面PAD ∩平面ABCD ＝AD .BD 平面ABCD . 所以BD ⊥平面PAD ．（Ⅱ）取AD 中点O .连结PO .则PO ⊥AD .因为平面PAD ⊥平面ABCD . 平面PAD ∩平面ABCD ＝AD .所以PO ⊥平面ABCD ．由（Ⅰ）可知△ABD 和△PBD 都是直角三角形. 所以BD ＝AB 2－AD 2＝2 3.于是S △PBD ＝1 2PD •BD ＝2 3.S △BCD ＝ 12BC •CD •sin120°＝ 3. 易得PO ＝ 3.设C 到平面PBD 的距离为h .由V P-BCD ＝V C-PBD 得 1 3S △PBD •h ＝ 13S △BCD •PO .解得h ＝32．（20）（本小题满分12分）【答案】（1）y 2＝6x （Ⅱ）λ＝43【解析】（Ⅰ）由已知得圆心为C (2.0),半径r ＝3．设P (x .y ).依题意可得 | x ＋1 |＝(x －2)2＋y 2－3.整理得y 2＝6x ．故曲线E 的方程为．（Ⅱ）设直线AB 的方程为my ＝x －2.则直线CQ 的方程为y =－m (x －2).可得Q (－1.3m )．设A (x 1.y 1).B (x 2.y 2)．将my ＝x －2代入y 2＝6x 并整理得y 2－6my －12＝0.那么y 1y 2＝－12.…8分则|AC |·|BC |＝(1＋m 2) | y 1y 2 |＝12(1＋m 2).|QC |2＝9(1＋m 2)．即|AC |·|BC |＝ 43|QC |2.所以λ＝ 4 3．21.（本小题满分12分）【答案】（Ⅰ）m ＝1（Ⅱ）见解析. . 【解析】（Ⅰ）由m ＞0得f (x )的定义域为(0.＋∞).f '(x )＝ 1 x －1＝1－x x.当x ＝1时.f '(x )＝0；当0＜x ＜1时.f '(x )＞0.f (x )单调递增；当x ＞1时.f '(x )＜0.f (x )单调递减．故当x ＝1时.f (x )取得最大值0.则f (1)＝0.即ln m ＝0.故m ＝1．（Ⅱ）g '(x )＝x e x －m .令h (x )＝x e x －m .则h '(x )＝(x ＋1)e x .当x ＝－1时.h '(x )＝0；当x ＜－1时.h '(x )＜0.h (x )单调递减；当x ＞－1时.h '(x )＞0.h (x )单调递增．故当x ＝－1时.h (x )取得最小值h (－1)＝－e －1－m ＜0．当x ＜－1时.h (x )＜0.h (x )无零点.注意到h (m )＝m e m －m ＞0.则h (x )仅有一个零点x 0.且在(－1.m )内．由（Ⅰ）知ln x ≤x －1.又m ＞0.则 1 2ln (m ＋1)∈(0. 1 2m )．而h ( 1 2ln (m ＋1))＝h (ln m ＋1) ＝m ＋1ln m ＋1－m ＜m ＋1(m ＋1－1)－m＝1－m ＋1＜0.则x 0＞ 1 2ln (m ＋1). 故h (x )仅有一个零点x 0.且 1 2ln (m ＋1)＜x 0＜m ．即g (x )仅有一个极值点x 0.且 1 2ln (m ＋1)＜x 0＜m ． 22.（本小题满分10分）【答案】（Ⅰ）(x ＋1)2＋(y －3)2＝1（Ⅱ）[10－4 3.10＋43]．【解析】（Ⅰ）设A (x .y ).则x ＝ρcos θ.y ＝ρsin θ.所以x B ＝ρcos (θ＋ π 3)＝ 1 2x －32y ；y B ＝ρsin (θ＋ π 3)＝32x ＋ 1 2y . 故B ( 1 2x －32y .32x ＋ 1 2y )．由|BM |2＝1得( 1 2x －32y ＋2)2＋(32x ＋ 1 2y )2＝1. 整理得曲线C 的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1．. . （Ⅱ）圆C ：⎩⎨⎧x ＝－1＋cos α，y ＝3＋sin α（α为参数）.则|OA |2＋|MA |2＝43sin α＋10. 所以|OA |2＋|MA |2∈[10－4 3.10＋43]．23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）由a ＞b ＞c ＞d ＞0得a －d ＞b －c ＞0.即(a －d )2＞(b －c )2. 由ad ＝bc 得(a －d )2＋4ad ＞(b －c )2＋4bc .即(a ＋d )2＞(b ＋c )2.故a ＋d ＞b ＋c ．（Ⅱ）a a b b c d d ca b b a c c d d ＝( a b )a －b ( c d )d －c ＝( a b )a －b ( d c)c －d. 由（Ⅰ）得a －b ＞c －d .又 a b ＞1.所以( a b )a －b ＞( a b )c －d . 即( ab )a －b ( dc )c －d ＞( a b )c －d ( d c )c －d ＝(ad bc )c －d＝1. 故a a b b c d d c ＞a b b a c c d d ．。

高考数学压轴题100题汇总(含答案)

高考数学压轴题100题汇总(含答案)1. 设函数f(x) = x^3 3x + 1，求f(x)的极值点和极值。

答案：f(x)的极值点为x = 1和x = 1，极值分别为f(1) = 1和f(1) = 3。

2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn = n^2 + n，求该数列的通项公式。

答案：an = 2n + 1。

3. 已知三角形ABC中，AB = AC = 5，BC = 8，求三角形ABC的面积。

答案：三角形ABC的面积为12。

4. 设直线y = kx + b与圆x^2 + y^2 = 1相切，求k和b的值。

答案：k = ±√3/3，b = ±√6/3。

5. 已知函数f(x) = log2(x^2 + 1)，求f(x)的导数。

答案：f'(x) = 2x/(x^2 + 1)ln2。

6. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (1, 4)，求向量a和向量b的夹角。

答案：向量a和向量b的夹角为arccos(1/√5)。

7. 已知矩阵A = [1 2; 3 4]，求矩阵A的逆矩阵。

答案：矩阵A的逆矩阵为[4 2; 3 1]。

8. 已知函数f(x) = x^3 6x^2 + 9x + 1，求f(x)的零点。

答案：f(x)的零点为x = 1和x = 3。

9. 已知函数f(x) = sin(x) cos(x)，求f(x)在区间[0, π/2]上的最大值。

答案：f(x)在区间[0, π/2]上的最大值为√2。

10. 已知函数f(x) = x^2 + 4x + 4，求f(x)的顶点坐标。

答案：f(x)的顶点坐标为(2, 0)。

高考数学压轴题100题汇总(含答案)11. 已知函数f(x) = e^x 2x，求f(x)的导数。

答案：f'(x) = e^x 2。

12. 已知函数f(x) = x^2 4x + 4，求f(x)的极值点和极值。

答案：f(x)的极值点为x = 2，极值为f(2) = 0。

专题24压轴解答题2019年高考数学文走出题海之黄金100题系列

专题4 压轴解答题1．已知函数.（1）判断函数的单调性；（2）当在上的最小值是时，求m的值.【答案】(1)见解析；(2)【解析】（1）依题意，.当时，，则在上单调递增；当时，由解得，由解得.故当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）知，当时，函数在上单调递增，故，即，矛盾.当时，由（1）得是函数在上的极小值点.①当即时，函数在上单调递增，则函数的最小值为，即，符合条件.②当即时，函数在上单调递减，则函数的最小值为，即，矛盾.③当即时，函数在上单调递减，在上单调递增，则函数的最小值为，即.令（），则，∴在上单调递减，而，∴在上没有零点，即当时，方程无解.综上所述：=.2．已知函数．Ⅰ求函数的极值；Ⅱ对任意，不等式恒成立，求实数k的取值范围．【答案】（I）见解析；（II）【解析】Ⅰ，，，令，解得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，在上递增，在上递减，所以在处函数有极大值，极大值为，无极小值；Ⅱ任意的，不等式= 恒成立，在上恒成立，设，，令，解得，当时，，所以函数单调递减，当时，，所以函数单调递增，，，实数k的取值范围．3．已知函数.（1）当，求证；（2）讨论函数的零点个数.【答案】(1)见证明；(2)见解析【解析】（1）证明：当时，，令，则，知在递减，在递增，.综上知，当时，.(2)，即，令，则，知在递增，在递减，注意到，当时，；当时，，当x趋向于无穷大时，y值趋向于0，图像大致如图：且，综上知，当或时，的零点个数为；当时，的零点个数为，当时，的零点个数为，4．已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，原点到过点，的直线的距离是．1求椭圆的方程；2设动直线与椭圆有且只有一个公共点，过作的垂线与直线交于点，求证：点在定直线上，并求出定直线的方程．【答案】（1）；（2）证明见解析，.【解析】1由抛物线的焦点坐标为，得，因此，直线AB：，即．原点O到直线AB的距离为，联立，解得：，，椭圆C的方程为；2由，得方程，由直线与椭圆相切，得且，整理得：，将，即代入式，得，即，解得，，又，，则，直线方程为，联立方程组，得，点Q在定直线上．5．已知函数f（x）=lnx+ax2-x（x＞0，a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）求证：当a≤0时，曲线y=f（x）上任意一点处的切线与该曲线只有一个公共点．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）f′（x）=+2ax-1=（x＞0），设g（x）=2ax2-x+1（x＞0），（1）当0＜a＜时，g（x）在（0，），（，+∞）上大于零，在（，）上小于零，所以f（x）在（0，），（，+∞）上递增，在（，）上递减，（2）当a≥时，g（x）≥0（当且仅当a=，x=2时g（x）=0），所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，（3）当a=0时，g（x）在（0，1）上大于零，在（1，+∞）上小于零，所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减，（4）当a＜0时，g（x）在（0，）上大于零，在（，+∞）上小于零，所以f（x）在（0，）上递增，在（，+∞）上递减；（Ⅱ）曲线y=f（x）在点（t，f（t））处的曲线方程为：y=（+2at-1）（x-t）+lnt+at2-t，曲线方程和y=f（x）联立可得：lnx+ax2-（+2at）x-lnt+at2+1=0，设h（x）=lnx+ax2-（+2at）x-lnt+at2+1（x＞0），h′（x）=，当a≤0时，在（0，t）h′（x）＞0，在（t，+∞）h′（x）＜0，故h（x）在（0，t）递增，在（t，+∞）递减，又h（t）=0，故h（x）只有唯一的零点t，即切线与该曲线只有1个公共点（t，f（t））．6．设函数.(Ⅰ) 求曲线在点处的切线方程；(Ⅱ) 讨论函数的单调性；(Ⅲ) 设,当时,若对任意的，存在，使得≥，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）.【解析】(Ⅰ)，因为,且，所以曲线在点处的切线方程为：.(Ⅱ)令，所以，当时,，此时在上单调递减,在上单调递增；当时,，此时在上单调递增,在上单调递减.(Ⅲ)当时,在上单调递减,在上单调递增，所以对任意,有，又已知存在，使,所以，即存在,使，即，即因为当，所以,即实数取值范围是.所以实数的取值范围是.7．已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）证明：当时，，．【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减；（2）详见解析.【解析】（1）解：由题意知，，.当时，对恒成立，所以当时，；当时，.所以函数在上单调递增，在上单调递减.（2）证明：由题意知，即证当时，对任意，恒成立，令，，所以，.因为，，则，所以函数在上单调递减，所以，当时，，.8．已知函数，.（Ⅰ）当，函数图象上是否存在3条互相平行的切线，并说明理由？（Ⅱ）讨论函数的零点个数.【答案】(Ⅰ)存在；(Ⅱ)详见解析.【解析】（Ⅰ），，，则函数在单调递减，上单调递增，上单调递减，因为，，，，，所以存在切线斜率，使得，，，，所以函数图象上是存在3条互相平行的切线.（Ⅱ），当，有；，在上单调递增；所以函数存在唯一一个零点在内；当，有，；，在上单调递增；所以函数存在唯一一个零点在内；当，有，∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，，，，，，所以函数一个零点在区间内，一个零点在区间内，一个零点在内.所以函数有三个不同零点.综上所述：当函数一个零点；当函数三个零点.9．已知函数．当时，求的单调区间；令，在区间，为自然对数的底．（i）若函数在区间上有两个极值，求的取值范围；（ii）设函数在区间上的两个极值分别为和，求证：．【答案】（1）函数在上单调递增；在上单调递减；（2）（i）；（ii）证明见解析. 【解析】（1）时，，可得：函数在上单调递增；上单调递减（2）在区间，为自然对数的底（i）函数在区间上有两个极值在上有两个实数根化为：可得函数在上单调递增，在上单调递减时，取得极大值即最大值，由，时满足条件．（ii）证明：设函数在区间上的两个极值分别为和，……①则……②等价于即……③由①②③得不妨设，则，上式转化为：设，则故函数是上的增函数即不等式成立，故所证不等式成立10．已知函数，a，．当时，讨论函数的单调性；当，时，记函数的导函数的两个零点分别是和，求证：．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】时，函数，．．时，，则时，，此时函数单调递增；时，，此时函数单调递减．时，，，，此时函数在上单调递增；时，，则函数在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增．时，，则函数在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增．当，时，，令，可得：，可知：函数在上单调递减，在上单调递增．，时，；．由，，可得，于是．．．令．．函数在上单调递减，,即．11．已知函数有两个零点．求实数a的取值范围；若函数的两个零点分别为，，求证：．【答案】（1）；（2）见解析.【解析】由，得，当时，在R上为增函数，函数最多有一个零点，不符合题意，所以．当时，，；所以在上为减函数，在上为增函数；所以；若函数有两个零点，则；当时，，；；由零点存在定理，函数在和上各有一个零点．结合函数的单调性，当时，函数有且仅有两个零点，所以，a的取值范围为．证明：由得，；由，得，；所以；设，则，解得，；所以，当时，；设，则，当时，，于是在上为增函数；所以，当时，，即；所以．12．设函数.（1）试讨论函数的单调性；（2）若，证明：方程有且仅有3个不同的实数根.（附：，，）【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）由，得，令，所以，所以当时，，恒成立，即恒成立，所以单调递增；当时，，此时方程有两个不相等的根，，不妨设，令，所以，，所以当时，，即，所以单调递增；当时，，即，所以单调递减；当时，，即，所以单调递增.综上，当时，在上单调递增；当时，的单调递增区间为，；的单调递减区间为.（2）当时，，由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以当时，函数有极大值，且，当时，函数有极小值，且.又因为，，所以直线与函数的图象在区间上有且仅有3个交点，所以当时，方程有且仅有3个不同的实数根.13．已知平面直角坐标系内的动点P到直线的距离与到点的距离比为．（1）求动点P所在曲线E的方程；（2）设点Q为曲线E与轴正半轴的交点，过坐标原点O作直线，与曲线E相交于异于点的不同两点，点C满足，直线和分别与以C为圆心，为半径的圆相交于点A和点B，求△QAC 与△QBC的面积之比的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设动点P的坐标为，由题意可得，整理，得：，即为所求曲线E的方程；（2）（解法一）由已知得：，，，即圆C方程为由题意可得直线MQ，NQ的斜率存在且不为0设直线MQ的方程为，与联立得：所以，同理，设直线NQ的方程为，与联立得：所以因此由于直线过坐标原点，所以点与点关于坐标原点对称设，，所以，又在曲线上，所以，即故，由于，所以，（解法二）由已知得：，，，即圆C方程为由题意可得直线MQ，NQ的斜率存在且不为0设直线MQ的方程为，则点C到MQ的距离为所以于是，设直线NQ的方程为，同理可得：所以由于直线l过坐标原点，所以点M与点N关于坐标原点对称设，，所以，又在曲线上，所以，即故，由于，所以，14．设函数，（1）讨论的单调性；（2）若函数有两个零点、，求证：．【答案】（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）见解析.【解析】（1），设，①当时，，；②当时，由得或，记则，∵∴当时，，，当时，，，∴当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．（2）不妨设，由已知得，，即，，两式相减得，∴，要证，即要证，只需证，只需证，即要证，设，则，只需证，设，只需证，，在上单调递增，，得证．15．已知函数.（1）当，求证；（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.【答案】(1)见证明；(2)【解析】（1）证明：当时，，得，知在递减，在递增，，综上知，当时，.（2）法1：，，即，令，则，知在递增，在递减，注意到，当时，；当时，，且，由函数有个零点，即直线与函数图像有两个交点，得.法2：由得，，当时，，知在上递减，不满足题意；当时，，知在递减，在递增.，的零点个数为，即，综上，若函数有两个零点，则.16．已知函数.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的（为自然对数的底数），恒成立，求的取值范围.【答案】（I）当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为和，单调递减区间是；（II）【解析】（Ⅰ）的定义域为..（1）当时，恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间；（2）当时，由解得，由解得.∴的单调递增区间为和，单调递减区间是.（Ⅱ）①当时，恒成立，在上单调递增，∴恒成立，符合题意.②当时，由（Ⅰ）知，在、上单调递增，在上单调递减.（i）若，即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. ∴对任意的实数，恒成立，只需，且.而当时，且成立.∴符合题意.（ii）若时，在上单调递减，在上单调递增.∴对任意的实数，恒成立，只需即可，此时成立，∴符合题意.（iii）若，在上单调递增.∴对任意的实数，恒成立，只需，即，∴符合题意.综上所述，实数的取值范围是.17．已知函数，．（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）当时，恒成立，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）由题可得，当时，恒成立，所以函数在上单调递增；当时，令得；令，得，所以函数在上单调递减，在上单调递增．综上，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增．（Ⅱ）即，即，令，则．易得，令，则，所以函数在上单调递减，，①当时，，则，所以，所以函数在上单调递减，所以，满足；②当时，，，，，所以存在，使得，所以当时，；当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，又，所以，所以不满足．综上可得，故的取值范围为．18．已知函数，．（Ⅰ）若不等式恒成立，求实数的取值范围；（Ⅱ）若函数的最大值为，求实数的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由题可知函数的定义域为，因为不等式恒成立，即恒成立，所以恒成立，令，则，令，可得；令，可得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，故实数的取值范围为．（Ⅱ）由题可得，当时，，函数单调递减，又，所以存在，使得，与函数的最大值为矛盾，不符合题意；当时，令，可得；令，可得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，令，则，易知函数在上单调递减，在上单调递增，所以，又函数的最大值为，即，所以．19．已知函数．（1）若函数在定义域内是增函数，求实数的取值范围；（2）设，若，证明：函数至少有1个零点．【答案】（1）（2）见证明【解析】（1）要使函数在定义域内是增函数，需满足，解得，故实数的取值范围为.（2）当时，，，令（*），则，∴方程（*）有两个不相等的实根，且，,若，整理得，又，∴不成立，故；若，解不等式，得，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，∵，，∴当时，函数有2个零点，当时，函数有1个零点，若，解不等式，得，此时，故函数在上单调递增，∴，∵，∴函数有1个零点.综上，若，函数至少有1个零点．20．已知函数．当时，求函数单调区间；若恒成立，求的值．【答案】（1）在递减，在递增；（2）【解析】时，，故，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增；若恒成立，即，时，，问题转化为，令，则，令，，百度文库- 让每个人平等地提升自我则，，故在递减，，故在递增，，故，在递减，而时，，故，故，时，显然成立，时，，问题转化为，令，则，令，，则，，故在递减，，故在递减，，故，在递减，而时，，故，故，综上：．21。

2019年全国卷Ⅱ高考压轴卷数学文科Word版含解析

2019全国卷Ⅱ高考压轴卷数学文科一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足11i 12z z -=+，则复数z 在复平面内对应点在（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合{}06M x x =≤≤， {}232x N x =≤，则M N ⋃=（） A. (],6-∞ B. (],5-∞ C. []0,6 D. []0,53.已知向量2=a ，1=b ，()22⋅-=a a b ，则a 与b 的夹角为（）A ．30︒B ．60︒C ．90︒D ．150︒4.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得面包成等差数列，且较大的三份之和的等于较小的两份之和，问最小的一份为（）A.65 B.611 C. 35 D. 310 5.若n 是2和8的等比中项，则圆锥曲线221y x n+=的离心率是（） A ．32 B ．5 C ．32或52 D ．32或5 【答案】D6．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为( )A ．4B ．642+C ．442+D ．27.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若sin 1sin 2B C =， ()2213cos 2a b B BA BC -=⋅u uu v u u u v ，则角C =（）A.6π B. 3π C. 2π D. 3π或2π8. 如图为函数()y f x =的图象，则该函数可能为( )A ．sin xy x=B ．cos xy x=C ．sin ||xy x =D ．|sin |x y x=9．执行如图所示程序框图，若输出的S 值为20-，在条件框内应填写（）A ．3?i >B ．4?i <C ．4?i >D ．5?i <10．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点A ，点P 在抛物线上，点P 到准线l 的距离为d ，点O 关于准线l 的对称点为点B ， BP 交y 轴于点M ，若BP a BM =， 23OM d =，则实数a 的值是（）A.34 B. 12 C. 23 D. 3211．已知不等式组20240x y x y y x y m-≥+≤≥⎧⎪+⎨≤⎪⎪⎪⎩表示的平面区域为M ，若m 是整数，且平面区域M 内的整点(),x y 恰有3个（其中整点是指横、纵坐标都是整数的点），则m 的值是（）A. 1B. 2C. 3D. 412．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()32123f x x ax bx =+++， ()()24f x f x +='-'，若函数()6ln 2f x x x ≥+恒成立，则实数b 的取值范围为（）A. [)64ln3,++∞B. [)5ln5,++∞C. [)66ln6,++∞D. [)4ln2,++∞ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．某学校选修网球课程的学生中，高一、高二、高三年级分别有50名、40名、40名．现用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样本，已知在高二年级学生中抽取了8名，则在高一年级学生中应抽取的人数为_______．14．设P 为曲线2:23C y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π，则点P 横坐标的取值范围为． 15．已知正四棱锥P ABCD -内接于半径为94的球O 中（且球心O 在该棱锥内部），底面ABCD 的边长为2，则点A 到平面PBC 的距离是__________．16．若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上存在一点P 满足以OP 为边长的正三角形的内切圆的面积等于236c π（其中O 为坐标原点， c 为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小满分题12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，1110,910n n a a S +==+. （1）求证：{lg }n a 是等差数列；（2）设n T 是数列13{}(lg )(lg )n n a a +的前n 项和，求使21(5)4n T m m >-对所有的*n N ∈都成立的最大正整数m 的值.18.（本小题满分12分）进入11月份，香港大学自主招生开始报名，“五校联盟”统一对五校高三学生进行综合素质测试，在所有参加测试的学生中随机抽取了部分学生的成绩，得到如图所示的成绩频率分布直方图：（1）估计五校学生综合素质成绩的平均值；（2）某校决定从本校综合素质成绩排名前6名同学中，推荐3人参加自主招生考试，若已知6名同学中有4名理科生，2名文科生，试求这2人中含文科生的概率．19.（本题满分12分）如图，在三棱锥P ADE -中， 4AD =， 22AP =， AP ⊥底面ADE ，以AD 为直径的圆经过点E .（1）求证： DE ⊥平面PAE ；（2）若60DAE ∠=︒，过直线AD 作三棱锥P ADE -的截面ADF 交PE 于点F ，且45FAE ∠=︒，求截面ADF 分三棱锥P ADE -所成的两部分的体积之比.20. （本小题满分12分）已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－10，0)，F 2(10，0)，且椭圆C 过点P (3，2)．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）与直线OP 平行的直线交椭圆C 于A ，B 两点，求△PAB 面积的最大值．21. （本小题满分12分）已知函数()e x f x ax =-（a 为常数）的图象与y 轴交于点A ，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为2-．（1）求a 的值及函数()f x 的单调区间；（2）设()231g x x x =-+，证明：当0x >时，()()f x g x >恒成立． 22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线M 的参数方程为1cos 1sin x y ϕϕ=+=+⎧⎨⎩（ϕ为参数），过原点O 且倾斜角为α的直线l 交M 于A 、B两点．（1）求l 和M 的极坐标方程；（2）当4π0,α⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，求OA OB +的取值范围．23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()121f x x x =++-．（1）解不等式()2f x x ≤+；（2）若()3231g x x m x =-+-，对1x ∀∈R ，2x ∃∈R ，使()()12f x g x =成立，求实数m 的取值范围．2019全国卷Ⅱ高考压轴卷数学文科答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】D【解析】设复数i z a b =+，(),a b ∈R ，则i z a b =-，因为11i 12z z -=+，所以()()211i z z -=-，所以2(1)2i a b --()1i a b =+-，所以可得2221a bb a -=-⎧⎨-=+⎩，解得5343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以54i 33z =-，所以复数z 在复平面内对应点54,33⎛⎫-⎪⎝⎭在第四象限上．故选D ． 2【答案】A【解析】因为{}06M x x =≤≤， {}232{|5}x N x x x =≤=≤，所以{|6}M N x x ⋃=≤，故选A. 3.【答案】B【解析】∵()222422⋅-=-⋅=-⋅=a a b a a b a b ，∴1⋅=a b ．设a 与b 的夹角为θ，则1cos 2θ⋅==a b a b ，又0180θ︒≤≤︒，∴60θ=︒，即a 与b 的夹角为60︒． 4.【答案】C【解析】分析：根据已知条件，设等差数列的公差为，将已知条件转化为等式，求出等差数列的首项和公差，再得出答案。

新题精选30题-2019年高考数学走出题海之黄金30题系列(江苏版)(解析版)

2019年高考数学走出题海之黄金30题系列专题二新题精选一、填空题1．【数学文化与几何概型】谢尔宾斯基三角形（Sierpinskitriangle）是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，如图先作一个三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色三角形代表挖去的面积，那么灰色三角形为剩下的面积（我们称灰色部分为谢尔宾斯基三角形）．若通过该种方法把一个三角形挖3次，然后在原三角形内部随机取一点，则该点取自谢尔宾斯基三角形的概率为______．【答案】【解析】由图可知每次挖去的三角形的面积为上一次剩下的面积的，∴每次剩下的面积为上一次剩下的面积的，设最初的面积为1，则挖3次后剩下的面积为，故该点取自谢尔宾斯基三角形的概率为，故答案为：2．【传统文化与古典概型】《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每卦有三根线组成（“”表示一根阳线，“”表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率__________．【答案】【解析】从八卦中任取两卦，共有种取法若两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线，可按取得卦的阳、阴线的根数分类计算；当有一卦阳、阴线的根数为3、0时，另一卦阳、阴线的根数为0、3，共有种取法.当有一卦阳、阴线的根数为2、1时，另一卦阳、阴线的根数为1、2，共有种取法.所以两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的取法有种.则从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为3.【新定义向量问题】定义平面向量的一种运算：（是向量和的夹角），则下列命题：①；②；③若且，则；其中真命题的序号是___________________.【答案】①③【解析】①由新定义可得，故恒成立；②由新定义可得=λ||||sin＜，＞，而（λ）⊗=|λ|||sin＜，＞，当λ＜0时，不成立；③若=λ，且λ＞0，则+=（1+λ），若，且λ＞0，则=（1+λ），由新定义可得（）⊗=|（1+λ）|| || |sin＜，＞，而（⊗）+（⊗）=|λ|| |sin＜，＞+| || |sin＜，＞=|1+λ|||| |sin＜，＞．成立.综上可知：只有①③恒成立．故答案为：①③4．【新定义函数、对数函数的性质】设a，b∈（0，1）∪（1，+∞），定义运算：，则以下四个结论：①（2τ4）τ8=8τ（4τ2）；②8τ（4τ2）＞（8τ4）τ2＞（2τ8）τ4；③（4τ2）=（2τ4）τ4＜（2τ8）τ4；④．其中所有正确结论的序号为__．【答案】①②【解析】对于①，2τ4=log24=2，4τ2=log24=2，∴（2τ4）τ8=2τ8=log28=3，8τ（4τ2）=8τ2=log28=3，∴（2τ4）τ8=8τ（4τ2），①正确；对于②，8τ（4τ2）=3，8τ4=log48=，∴（8τ4）τ2=τ2=2，2τ8=log28=3，∴（2τ8）τ4=3τ4=log34=2，3＞2＞2，∴8τ（4τ2）＞（8τ4）τ2＞（2τ8）τ4，②正确；对于③，4τ2=2，（2τ4）τ4=2，（2τ8）τ4=log34，∴（4τ2）=（2τ4）τ4＞（2τ8）τ4，③错误；对于④，τ=，2τ=2，∴（τ）（2τ）=•2=2＜0，（τ）+（2τ）=+2＞0，∴④错误．综上，所有正确结论的序号为①②．故答案为：①②．5．【平面向量的应用】已知等边的边长为2，若，，则的面积为_______．【答案】【解析】以的中点为原点，所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，则因为,所以，故，，设的夹角为，，所以，，点到直线的长度为，的面积为.6．【直线与抛物线的位置关系】抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，如果在直线上存在点，使得，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】由题得在直线上，设点，，；又，，即；△，即，解得，或，又，的取值范围是，．故答案为：，．7．【直线与不等式】已知点在直线上，点在直线上，的中点为，且，则的取值范围是______.【答案】【解析】因为点所在直线与点所在直线平行，因此可设的中点所在直线的方程为，所以有，解得，所以的中点所在直线的方程为，联立，解得，所以其交点为，所以，联立，解得，所以其交点为，所以，令，因为满足条件的点M的轨迹为线段RS，所以，故答案是：.8.【集合与数列】已知数列的通项公式是，数列的通项公式是，集合,将集合中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为，则数列的前45项和_______．【答案】2627【解析】因为数列的通项公式是，所以集合，随着增大时，数列中前后连续两项之间的差值越来越大，故考虑在中的前后连续两项之间插入数列中相应大小的项，因为是选取新数列的前45项，故：，数列中无项可插入，，数列中无项可插入，，数列中可插入，增加1项，共5项，，数列中可插入，增加2项，共8项，，数列中可插入，增加5项，共14项，，数列中可插入，增加10项，共25项，接下来只需再增加中的20项即可，也就是中从（含）开始的连续的20项，因为，故终止于.则.9．【平面向量的模与三角函数】在直角三角形中，，，，若，动点满足，则的最小值是______．【答案】【解析】建立如图所示的直角坐标系，由题意可得：，据此可得：，，，则：，，其中，当时，取到最小值.10．【几何体的体积与导数的应用】圆锥的底面半径为，其侧面展开图是圆心角大小为的扇形.正四棱柱的上底面的顶点均在圆锥的侧面上，棱柱下底面在圆锥的底面上，则此正四棱柱体积的最大值为_____．【答案】【解析】设圆锥的母线长为l,圆锥底面周长为=圆锥高为设正四棱柱的底面边长为2a,高为h,则得正四棱柱体积V=,设=令得当,故的最大值为故答案为11．【几何体的体积与导数的应用】如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，，点E 是线段CD上异于点C，D的动点，EF⊥AD于点F，将△DEF沿EF折起到△PEF的位置，并使PF⊥AF，则五棱锥P-ABCEF的体积的取值范围为______．【答案】（0，）【解析】因为PF⊥AF，PF⊥EF，且AF交EF与点F，所以PF⊥平面ABCEF设,则所以五棱锥的体积为或（舍）当递增，故所以的取值范围是（0，）故答案为（0，）12．【直线与圆、直线与椭圆的位置关系】已知椭圆的方程为，，为椭圆的左右顶点，为椭圆上不同于.的动点，直线与直线，分别交于，两点，若，则过，，三点的圆必过轴上不同于点的定点，其坐标为__________.【答案】【解析】首先证明椭圆的一个性质：椭圆，点是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上异于上的一个点，则.证明如下：设，，，由于点是椭圆上的两点，故，两式作差可得：，此时.故结论成立.回到本题，由题意可知：，设直线PA的方程为：，则，设直线PB的方程为：，则，故，故为外接圆的直径，设所求的点为，则：，即，解得：，(舍去).综上可得：所求点的坐标为：.13．【数列与导数的应用】已知实数，，，满足，，且，则的取值范围是_______．【答案】【解析】解：实数，，，满足，且，所以，若则，若则，所以，，因为关于的方程为，所以解得：，设，由得，，则，因为要成立，故，设函数，因为在上恒成立，故函数单调递减，所以，，所以此时在的值域为，即当时，；设函数，因为在上恒成立，故函数单调递增，所以，，所以此时在的值域为，即当时，，综上：.14．【函数与平面向量】已知，是函数（其中常数）图象上的两个动点，点，若的最小值为0，则函数的最大值为__________．【答案】【解析】解：A，B是函数f（x）（其中a＞0）图象上的两个动点，当x＜a时，f（x）＝f（2a﹣x）＝﹣e（2a﹣x）﹣2a＝﹣e﹣x，∴函数f（x）的图象关于直线x＝a对称．当点A，B分别位于分段函数的两支上，且直线PA，PB分别与函数图象相切时，•的最小值为0，设PA与f（x）＝﹣e﹣x相切于点A（x0，y0），∴f′（x）＝e﹣x，∴k AP＝f′（x0）＝e，解得x0＝a﹣1，∵•的最小值为0，∴⊥，∴k PA＝tan45°＝1，∴e1，∴x0＝0，∴a＝1，∴f（x）max．故答案为：15．【集合、等比数列与组合数性质】设整数，集合2，，，A，B是P的两个非空子集则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对的个数为：______．【答案】【解析】设中的最大数为，其中，整数，则中必含元素，另元素可在中，故的个数为：，中必不含元素另元素可在中，但不能都不在中，故的个数为：，从而集合对的个数为，．故答案为：．二、解答题16．【数列与充要条件】给定数列，对，该数列前项的最大值记为，后项的最小值记为，.（1）设数列为3，4，7，5，2，写出，，，的值；（2）设是，公比的等比数列，证明：成等比数列；（3）设，证明：的充分必要条件为是公差为的等差数列.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】（1）由题意，可知：①当i＝1时，A1＝3，B1＝2，d1＝A1﹣B1＝3﹣2＝1；②当i＝2时，A2＝4，B2＝2，d2＝A2﹣B2＝4﹣2＝2；③当i＝3时，A3＝7，B3＝2，d3＝A3﹣B3＝7﹣2＝5；④当i＝4时，A4＝7，B4＝2，d4＝A4﹣B4＝7﹣2＝5．（2）由题意，可知：∵a1＞0，公比q＞1，∴数列{a n}是一个单调递增的等比数列．∴①当i＝1时，A1＝a1，B1＝a2，d1＝A1﹣B1＝a1﹣a2＝a1（1﹣q）；②当i＝2时，A2＝a2，B2＝a3，d2＝A2﹣B2＝a2﹣a3＝a1（1﹣q）q；③当i＝3时，A3＝a3，B3＝a4，d3＝A3﹣B3＝a3﹣a4＝a1（1﹣q）q2；…∴对，.因此且，∴为首项为a1（1﹣q），公比为q的等比数列．（3）充分性：若是公差为的等差数列，则，因为，，，，.必要性：若，．假设是第一个使的项，则，这与相矛盾，故∴，即，故是公差为的等差数列．17．【时政与三角函数、导数的应用】为美化城市环境，相关部门需对一半圆形中心广场进行改造出新，为保障市民安全，施工队对广场进行围挡施工．如图，围挡经过直径的两端点A，B及圆周上两点C，D围成一个多边形ABPQR，其中AR，RQ，QP，PB分别与半圆相切于点A，D，C，B．已知该半圆半径OA长30米，∠COD为60°，设∠BOC为．（1）求围挡内部四边形OCQD的面积；（2）为减少对市民出行的影响，围挡部分面积要尽可能小．求该围挡内部多边形ABPQR面积的最小值？并写出此时的值．【答案】（1）（2）围挡内部多边形ABPQR面积的最小值为900平方米，此时【解析】（1）连接OQ，因为QD，QC为圆O的切线，所以QD＝QC，OD＝OC＝30，OQ＝OQ，所以△ODQ≌△OCQ，所以∠DOQ＝∠COQ＝30°，又因为OD⊥DQ，所以＝tan30°＝，所以DQ＝10，所以S△ODQ＝OD·DQ＝150，所以S OCQD=2S△ODQ =300；即围挡内部四边形OCQD的面积为300平方米；（2）BP=OB tan，S OBPC=2S△OBP=900 tan，同理S OARD=2S△OAR=900 tan(－)，S ABPQR=900[tan+ tan(－)]＋300，即求 tan+ tan(－)的最小值，tan+ tan(－)= tan+=（*）令，由得x(1，4)则（*）=≥，当且仅当x=2时取等号，此时，故S min=900×+300=900，答：围挡内部多边形ABPQR面积的最小值为900平方米，此时18．【直线与椭圆的位置关系、平面向量】已知椭圆：，点在的长轴上运动，过点且斜率大于0的直线与交于两点，与轴交于点.当为的右焦点且的倾斜角为时，重合，.（1）求椭圆的方程；（2）当均不重合时，记，，若，求证：直线的斜率为定值.【答案】（1）（2）见证明【解析】解：（1）因为当为的右焦点且的倾斜角为时，，重合，，所以故，因为，因此，，所以椭圆的方程为.（2）设，所以，，所以.因为斜率大于0，所以，设，，则，，由得，，①同理可得，②①②两式相乘得，，又，所以，所以，即，即由题意，知，所以.联立方程组，得，依题意，所以，又，所以，因为，故得，所以，即直线的斜率为.19．【新定义与数列】如果数列对于任意，都有，其中为常数，则称数列是“间等差数列”，为“间公差”.若数列满足，，.（1）求证：数列是“间等差数列”，并求间公差；（2）设为数列的前n项和，若的最小值为-153，求实数的取值范围；（3）类似地：非零．．数列对于任意，都有，其中为常数，则称数列是“间等比数列”，为“间公比”.已知数列中，满足，，，试问数列是否为“间等比数列”，若是，求最大的整数．．．．．使得对于任意，都有；若不是，说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）；（3）63.【解析】（1）若数列{a n}满足a n+a n+1＝2n﹣35，n∈N*，则：a n+1+a n+2＝2（n+1）﹣35，两式相减得：a n+2﹣a n＝2．故数列{a n}是“间等差数列”，公差d＝2．（2）（i）当n＝2k时，（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a n﹣1+a n）＝﹣33﹣29+…+（2n﹣37）＝易知：当n＝18时，最小值S18＝﹣153．（ii）当n＝2k+1时，S n＝a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a n﹣1+a n）＝a1+（﹣31）+（﹣29）+…+（2n﹣37）＝，当n＝17时最小，其最小值为S17＝a﹣136，要使其最小值为﹣153，则：a﹣136≥﹣153，解得：a≥﹣17．（3）易知：c n c n+1＝2018•（）n﹣1，则：c n+1c n+2＝2018•（）n，两式相除得：，故数列{c n}为“间等比数列”，其间等比为．，易求出数列的通项公式为：，由于n＞n+1，则数列{n}单调递减．那么，奇数项和偶数项都为单调递减，所以：k＞0．要使数列为单调递减数列．只需2m﹣1＞2m＞2m+1，即：，解得，即最大的整数.20．【时政与概率统计】为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核．记X表示学生的考核成绩，并规定X≥85为考核优秀．为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图．（1）从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率；（2）从图中考核成绩满足X[70，79]的学生中任取3人，设Y表示这3人重成绩满足≤10的人数，求Y的分布列和数学期望．【答案】（1）（2），分布列见解析【解析】（1）设该名学生考核成绩优秀为事件，由茎叶图中的数据可以知在30名同学的成绩中，优秀的为：85,89,90,90,91,92,93，共有7名同学，所以，所以可估计这名学生考核优秀的概率为．（2）由题意可得的所有可能取值为，因为成绩的学生共有8人，其中满足的学生有人，所以，，，．所以随机变量的分布列为所以，即数学期望为．21．【集合与数列】已知等差数列满足，前8项和．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足．① 证明：为等比数列；② 求集合．【答案】（1）（2）①见解析，②【解析】（1）设等差数列的公差为d．因为等差数列满足，前8项和，所以，解得所以数列的通项公式为．（2）①设数列前项的和为．由（1）及得由③-④得3-=-．所以，又，所以，满足上式．所以当时，由⑤-⑥得，．，所以，，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列．②由，得，即．记，由①得，，所以，所以（当且仅当时等号成立）．由，得，所以．设，由，得．当时，，不合题意；当时，，此时符合题意；当时，，不合题意；当时，，不合题意．下面证明当时，．不妨设，，所以在上单调增函数，所以，所以当时，，不合题意．综上，所求集合．22．【新定义、数列集合问题】设集合是集合…，的子集．记中所有元素的和为（规定：为空集时，=0）．若为3的整数倍，则称为的“和谐子集”．求：（1）集合的“和谐子集”的个数；（2）集合的“和谐子集”的个数．【答案】（1）的“和谐子集”的个数等于4．（2）【解析】（1）集合的子集有：，，，，，，，．其中所有元素和为3的整数倍的集合有：，，，．所以的“和谐子集”的个数等于4．（2）记的“和谐子集”的个数等于，即有个所有元素和为3的整数倍的子集；另记有个所有元素和为3的整数倍余1的子集，有个所有元素和为3的整数倍余2的子集．由（1）知，．集合的“和谐子集”有以下四类（考查新增元素）：第一类集合…，的“和谐子集”，共个；第二类仅含一个元素的“和谐子集”，共个；同时含两个元素的“和谐子集”，共个；同时含三个元素的“和谐子集”，共个；第三类仅含一个元素的“和谐子集”，共个；同时含两个元素的“和谐子集”，共个；第四类仅含一个元素的“和谐子集”，共个；同时含有两个元素的“和谐子集”，共个，所以集合的“和谐子集”共有个．同理得，．所以，，所以数列是以2为首项，公比为2 的等比数列．所以．同理得．又，所以．23．【新定义与导数的应用】已知函数，当时，取得极小值.（1）求的值；（2）记，设是方程的实数根，若对于定义域中任意的，.当且时，问是否存在一个最小的正整数，使得恒成立，若存在请求出的值；若不存在请说明理由.（3）设直线，曲线.若直线与曲线同时满足下列条件：①直线与曲线相切且至少有两个切点；②对任意都有.则称直线与曲线的“上夹线”.试证明：直线是曲线的“上夹线”.【答案】(1)，；(2)答案见解析；(3)证明见解析.【解析】(1)由已知，于是得：，代入可得：，.此时，.所以.当时，；当时，.所以当时，取得极小值，即，符合题意.(2)，则.所以单调递增，又.为的根，即，也即.，.，所以存在这样最小正整数使得恒成立.(3)由，得，当时，.此时，所以是直线与曲线的一个切点，当，此时，.所以也是直线与曲线的一个切点，即直线与曲线相切且至少有两个切点，对任意，.即，因此直线是曲线的“上夹线”.24．【数列与充要条件】正数数列、满足：≥，且对一切k≥2，k，是与的等差中项，是与的等比中项．（1）若，，求，的值；（2）求证：是等差数列的充要条件是为常数数列；（3）记，当n≥2(n)时，指出与的大小关系并说明理由．【答案】（1），.（2）见解析（3）【解析】（1）由条件得，即，解得或，又≥，所以．（2）（充分性）：当为常数数列时，是公差为零的等差数列,即充分性成立．（必要性）：因为，又当为等差数列时，对任意恒成立．所以，因为，所以，即，从而对恒成立，所以为常数列．综上可得是等差数列的充要条件是为常数数列．（3）因为任意，，又，所以．从而，即，则，所以．25．已知，是离心率为的椭圆两焦点，若存在直线，使得，关于的对称点的连线恰好是圆的一条直径.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的上顶点作斜率为，的两条直线，，两直线分别与椭圆交于，两点，当时，直线是否过定点？若是求出该定点，若不是请说明理由.【答案】（1）；(2)定点【解析】（1）将圆的方程配方得所以其圆心为半径为1.由题意知，椭圆焦距为等于圆直径，所以又，所以，椭圆的方程为；（2）因为，所以直线斜率存在，设直线,，消理得，（*）又理得即所以（*）代入得整理的得,所以直线定点26．【集合与组合数的性质】已知集合，其中，．如果集合满足：对于任意的，都有，那么称集合具有性质．（Ⅰ）写出一个具有性质的集合；（Ⅱ）证明：对任意具有性质的集合，；（Ⅲ）求具有性质的集合的个数．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）.【解析】（Ⅰ）（Ⅱ）证明：假设存在，使得，显然，取，则，由题意，而为集合中元素的最大值，所以，，矛盾，假设不成立，所以，不存在，使得．（Ⅲ）设为使得的最大正整数，则．若，则存在正整数，使得，所以．同（Ⅱ）不可能属于集合．于是，由题意知，所以，，集合中大于2000的元素至多有19个，所以．下面证明不可能成立．假设，则存在正整数，使得，显然，所以存在正整数使得．而与为使得的最大正整数矛盾，所以不可能成立．即成立．当时，对于任意的满足显然有成立．若，则，即，所以，，其中均为符合题意的集合．而可能取的值为981，982，…，1000，故符合条件的集合个数为．因此，满足条件的集合的个数为．27．【导数的几何意义与导数的应用】已知函数为常数）.曲线在点处的切线与轴平行.(Ⅰ) 求的值；(Ⅱ) 求函数的单调区间；(Ⅲ) 设,其中为的导函数.证明：对任意，.【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 的单调递增区间为，单调递减区间为；(Ⅲ)见解析.【解析】(Ⅰ) 解:由可得.而，即，解得.(Ⅱ) 解:由(Ⅰ)知，设，则.即在上是减函数.由知，当时，，从而；当时，，从而.综上可知，的单调递增区间为，单调递减区间为.(Ⅲ) 证明:因为，所以，.对任意，等价于.设，，则，.当时，，故有单调递增.当时，，故有单调递减.所以，的最大值为.则.设因为，所以当时，，单调递增.则.即，从而有.则.因此，对任意，.28．【集合与排列组合、二项式定理】设且，集合的所有个元素的子集记为．（1）当时，求集合中所有元素之和；（2）记为中最小元素与最大元素之和，求的值．【答案】（1）30；（2）2019.【解析】（1）因为含元素的子集有个，同理含的子集也各有个，于是所求元素之和为；（2）集合的所有个元素的子集中：以为最小元素的子集有个，以为最大元素的子集有个；以为最小元素的子集有个，以为最大元素的子集有个；以为最小元素的子集有个，以为最大元素的子集有个．∴，．．29．【等差数列、等比数列与不等式】数列满足对任意的恒成立，为其前项的和，且．（1）求数列的通项；（2）数列满足，其中．①证明：数列为等比数列；②求集合．【答案】(1) (2) ①见证明；②【解析】（1）设等差数列的公差为，因为等差数列满足，前8项和，解得所以数列的通项公式为（2）①设数列的前项和为，由（1）及得上两式相减，得到=所以又，所以，满足上式，所以当时，两式相减，得，，所以所以此数列为首项为1，公比为2的等比数列．②由，得，即，∴．令，显然，此时变为，即，当时，，不符合题意；当时，，符合题意，此时；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；下证当，时，方程：∵∴∴，显然，从而当，时，方程没有正整数解．综上所述：．30．【数列与二项式定理】设整数数列{a n}共有2n（）项，满足，，且（）．（1）当时，写出满足条件的数列的个数；（2）当时，求满足条件的数列的个数．【答案】（1）8；（2）.【解析】（1）时，，且则确定时，有唯一确定解又，可知有种取法若，则，则有种取法此时，也有种取法又，当确定时，随之确定故所有满足条件的数列共有：个满足条件的所有的数列的个数为（2）设，则由得①由得，则：即②用表示中值为的项数由②可知也是中值为的项数，其中所以的取法数为确定后，任意指定的值，有种由①式可知，应取，使得为偶数这样的的取法是唯一的，且确定了的值从而数列唯一地对应着一个满足条件的所以满足条件的数列共有个下面化简设两展开式右边乘积中的常数项恰好为因为，又中的系数为所以所以满足条件的数列共有个。

高考数学压轴题精选100题汇总(含答案)

7. 已知动圆过定点 P（1，0），且与定直线 L:x=-1 相切，点 C 在 l 上. (1)求动圆圆心的轨迹 M 的方程； (2)设过点 P,且斜率为 3 的直线与曲线 M 相交于 A, B 两点. （i）问：△ABC 能否为正三角形？若能，求点 C 的坐标；若不能，说明理由（ii）当△ABC 为钝角三角形时，求这种点 C 的纵坐标的取值范围.
1
1
n 1 1
（Ⅱ）已知各项不为零的数列an 满足 4Sn f ( ) 1 ，求证： ln
；
an
an1
n
an
（Ⅲ）设 bn 1 ， Tn 为数列bn 的前 n 项和，求证： T2008 1 ln 2008 T2007 ．
ba b a
2
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线 AB 过椭圆的焦点 F（0，c），（c 为半焦距），求直线 AB 的斜率 k 的值；
（3）试问：△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.
5．已知数列{an}中各项为： 12、1122、111222、……、111 22 2 ……
n
T 2n 1 ．
n
3
26. 对于函数 f (x) ，若存在 x0 R ，使 f (x0 ) x0 成立，则称 x0 为 f (x) 的不动点．如果函数
f (x) x2 a (b, c N*) 有且仅有两个不动点 0 、 2 ，且 f (2) 1 ．
bx c
2
（Ⅰ）试求函数 f (x) 的单调区间；
a2 a3
an1 3
14．已知函数gx a2 x3 a x 2 cxa 0,
32
（I）当a 1 时，若函数 gx在区间1,1上是增函数，求实数c的取值范围；

2019年中考数学走出题海之压轴2

2019年中考数学走出题海之黄金100题系列压轴选择21．如果，.那么代数式的值是（）A．-1 B．1 C．-3 D．32．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（）A．B．C．D．3．若数a使关于x的不等式组有解且所有解都是2x+6＞0的解，且使关于y的分式方程+3=有整数解，则满足条件的所有整数a的个数是（）A．5 B．4 C．3 D．24．如图，已知在平面直角坐标系中有两点A（0，1），B（，0），动点P在线段AB上运动，过点P作y轴的垂线，垂足为点M，作x轴的垂线，垂足为点N，连接MN，则线段MN的最小值为（）A．1 B．C．D．5．小军自制的匀速直线运动遥控车模型甲、乙两车同时分别从、出发，沿直线轨道同时到达处，已知乙的速度是甲的速度的1.5倍，甲、乙两遥控车与处的距离、（米）与时间（分钟）的函数关系如图所示，则下列结论中：①的距离为120米；②乙的速度为60米/分；③的值为；④若甲、乙两遥控车的距离不少于10米时，两车信号不会产生互相干扰，则两车信号不会产生互相干扰的的取值范围是，其中正确的有（）个A．1 B．2 C．3 D．46．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象交矩形的边于点，交边于点，且，若四边形的面积为6，则为( )A．3 B．4 C．6 D．127．如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）图象上，点B在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，AB∥x轴，BC∥y轴交x轴于点C，连结AC，交反比例函数y＝（x＞0）图象于点D，若D为AC的中点，则k的值是（）A．2 B．3 C．4 D．58．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点坐标是（3，0），对称轴为直线x ＝1，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③4a﹣2b+c＞0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3；⑤b＜c．其中正确的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．59．如图，在Rt△OAB中，OA＝AB，∠OAB＝90°，点P从点O沿边OA、AB匀速运动到点B，过点P作PC⊥OB交OB于点C，线段AB＝2，OC＝x，S△POC＝y，则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是( )A．B．C．D．10．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，把矩形ABCD沿过点A的直线AE折叠，点D落在矩形ABCD内部的点D′处，则CD′的最小值是（）A．4 B．C．D．11．如图，在平面直角坐标系中，已知正方形ABCO，A（0，3），点D为x轴上一动点，以AD为边在AD的右侧作等腰Rt△ADE，∠ADE＝90°，连接OE，则OE的最小值为（）A．B．C．2D．312．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD、AB、BC分别与⊙O相切于点E、F、G，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为（）A．B．C．D．213．如图，正方形中，，是边的中点，点是正方形内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，．则线段长的最小值（）A．B．C．D．14．如图，四边形ACBD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，点E是DB延长线上的一点，且∠DCE＝90°，DC与AB交于点G．当BA平分∠DBC时，的值为（）A．-B．C．-D．15．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转后得到正方形，边与CD交于点O，则图中阴影部分的面积是A．B．C．D．16．如图1，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，过点D作DE⊥AB点E，DF⊥BC于点F．将∠EDF绕点D顺时针旋转α°（0＜α＜180），其两边的对应边DE′、DF′分别与直线AB、BC相交于点G、P，如图2．连接GP，当△DGP的面积等于3时，则α的大小为（）A．30 B．45 C．60 D．12017．张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子（x＞0）的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是，矩形的周长是2（）；当矩形成为正方形时，就有x=（x＞0），解得x=1，这时矩形的周长2（）=4最小，因此（x＞0）的最小值是2．模仿张华的推导，你求得式子（x＞0）的最小值是（）A．2 B．1 C．6 D．1018．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的格点上，AB，CD相交于点E，则sin∠AEC的值为（）A．B．C．D．19．对于某一函数给出如下定义：若存在实数m，自变量的值为m时，函数值等于-m，则称-m为这个函数的反向值.在函数存在反向值时，该函数的最大反向值与最小反向值之差n 称为这个函数的反向距离.特别地，当函数只有一个反向值时，其反向距离n为零. 例如：图中的函数有 4，－1两个反向值，其反向距离n 等于 5. 现有函数y＝，则这个函数的反向距离的所有可能值有（）A．1个B．2个C．3个及以上的有限个D．无数个20．如图是本地区一种产品30天的销售图象，产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位：天）的大致函数关系如图①，图②是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系，已知日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润，下列结论错误．．的是（）A. 日销售量为150件的是第12天与第30天B. 第10天销售一件产品的利润是15元C. 从第1天到第20天这段时间内日销售利润将先增加再减少D. 第18天的日销售利润是1225元2019年中考数学走出题海之黄金100题系列压轴选择021．如果，.那么代数式的值是（）A．-1 B．1 C．-3 D．3【答案】B【解析】【分析】根据分式的加法和乘法可以化简题目中的式子，然后根据，即可求得所求式子的值．【详解】解：，，，原式，故选：B．【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．2．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】由题意可得△=（m+3）2-4（m+2）=（m+1）2＞0，即可求解．【详解】∵关于x的一元二次方程x2-（m+3）x+m+2=0有两个不相等的实数根，∴△=（m+3）2-4（m+2）=（m+1）2＞0∴m≠-1故选C．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根，上面的结论反过来也成立．3．若数a使关于x的不等式组有解且所有解都是2x+6＞0的解，且使关于y的分式方程+3=有整数解，则满足条件的所有整数a的个数是（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【解析】【分析】由不等式组有解且满足已知不等式，以及分式方程有整数解，确定出满足题意整数a的值即可．【详解】不等式组整理得：，由不等式组有解且都是2x+6＞0，即x＞-3的解，得到-3＜a-1≤3，即-2＜a≤4，即a=-1，0，1，2，3，4，分式方程去分母得：5-y+3y-3=a，即y=，由分式方程有整数解，得到a=0，2，共2个，故选：D．【点睛】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．如图，已知在平面直角坐标系中有两点A（0，1），B（，0），动点P在线段AB上运动，过点P作y轴的垂线，垂足为点M，作x轴的垂线，垂足为点N，连接MN，则线段MN的最小值为（）A．1 B．C．D．【答案】D【解析】【分析】过点P向两坐标轴做垂线与两坐标轴转成的四边形是矩形，根据矩形的对角线相等，只要求出对角线OP的最小值，即可求得MN的最小值，由于P点是AB上的点，当OP⊥AB时，OP最短，由此求得OP的长，即可解决问题.【详解】连接OP，A（0，1），B（，0）∴OA＝1，OB＝∴AB＝＝2∵PM⊥AO，PN⊥OB∴∠PMO＝∠PNO＝90°又∵∠ABO＝90°∴∠AOB＝∠PMO＝∠PNO＝90°∴四边形PMON是矩形∴MN＝OP∴当OP最小时，MN最小当OP⊥AB时，OP最小此时有AB•OP＝OA•OB∴AB•OP＝OA•OB∴2OP＝1×∴OP＝.故选D．【点睛】本题考查了矩形的对角线相等，点到直线距离，垂线段最短及三角形面积公式，确定当OP 最小时，MN最小及当OP⊥AB时，OP最小是解决问题的关键.5．小军自制的匀速直线运动遥控车模型甲、乙两车同时分别从、出发，沿直线轨道同时到达处，已知乙的速度是甲的速度的1.5倍，甲、乙两遥控车与处的距离、（米）与时间（分钟）的函数关系如图所示，则下列结论中：①的距离为120米；②乙的速度为60米/分；③的值为；④若甲、乙两遥控车的距离不少于10米时，两车信号不会产生互相干扰，则两车信号不会产生互相干扰的的取值范围是，其中正确的有（）个A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．【详解】由图可得，AC的距离为120米，故①正确；乙的速度为：（60+120）÷3=60米/分，故②正确；a的值为：60÷60=1，故③错误；令[60+（120÷3）t]-60t≥10，得t≤，即若甲、乙两遥控车的距离不少于10米时，两车信号不会产生相互干扰，则两车信号不会产生相互干扰的t的取值范围是0≤t≤，故④正确；故选C．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．6．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象交矩形的边于点，交边于点，且，若四边形的面积为6，则为( )A．3 B．4 C．6 D．12【答案】A【解析】【分析】连接OB，由矩形的性质和已知条件得出△OBD的面积＝△OBE的面积＝四边形ODBE的面积＝3，再求出△OCE的面积，即可得出k的值．【详解】连接OB，如图所示：∵四边形OABC是矩形，∴∠OAD＝∠OCE＝∠DBE＝90°，△OAB的面积＝△OBC的面积，∵D、E在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴△OAD的面积＝△OCE的面积，∴△OBD的面积＝△OBE的面积＝四边形ODBE的面积＝3，∵BE＝2EC，∴△OCE的面积＝△OBE的面积＝，∴k＝3；故选A．【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算、反比例函数的图象与解析式的求法；熟练掌握矩形的性质和反比例函数解析式的求法是解决问题的关键．7．如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）图象上，点B在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，AB∥x轴，BC∥y轴交x轴于点C，连结AC，交反比例函数y＝（x＞0）图象于点D，若D为AC的中点，则k的值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】【分析】由反比例函数图象上点的坐标特征用函数a的代数式表示出来b，并找出点C坐标，根据D 为AC的中点得出d的坐标，即可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论；【详解】解：设A（a，b），∵A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴b＝，∵AB∥x轴，且点B在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，∴B（ak，）．∵BC∥y轴，∴C（ak，0），又∵D为AC的中点，∴D（，），∵反比例函数y＝（x＞0）图象于点D，∴•＝1，解得k＝3，故选：B．【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、根据线段间的关系找出关于k的一元一次方程是解题的关键．8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点坐标是（3，0），对称轴为直线x ＝1，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③4a﹣2b+c＞0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3；⑤b ＜c．其中正确的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c的图象与性质依次进行判断即可求解.【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，所以②正确；∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①错误；∵抛物线与x轴的一个交点坐标是（3，0），对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标是（﹣1，0），∴x＝﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，所以③错误；∵抛物线与x轴的2个交点坐标为（﹣1，0），（3，0），∴﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④正确；∵x＝﹣1时，y＝0，∴a﹣b+c＝0，而b＝﹣2a，∴c＝﹣3a，∴b﹣c＝﹣2a+3a＝a＜0，即b＜c，所以⑤正确．故选：B．【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知二次函数的图像性质特点. 9．如图，在Rt△OAB中，OA＝AB，∠OAB＝90°，点P从点O沿边OA、AB匀速运动到点B，过点P作PC⊥OB交OB于点C，线段AB＝2，OC＝x，S△POC＝y，则能够反映y与x 之间函数关系的图象大致是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】分两种情况：①当P点在OA上时，即0≤x≤2时；②当P点在AB上时，即2＜x≤4时，求出这两种情况下的PC长，则y＝PC•OC的函数式可用x表示出来，对照选项即可判断．【详解】解：∵△AOB是等腰直角三角形，AB＝，∴OB＝4．①当P点在OA上时，即0≤x≤2时，PC＝OC＝x，S△POC＝y＝PC•OC＝x2，是开口向上的抛物线，当x＝2时，y＝2；②当P点在AB上时，即2＜x≤4时，OC＝x，则BC＝4﹣x，PC＝BC＝4﹣x，S△POC＝y＝PC•OC＝x(4﹣x)＝﹣x2+2x，是开口向下的抛物线，当x＝4时，y＝0．综上所述，D答案符合运动过程中y与x的函数关系式．故选：D．【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象，解决这类问题要先进行全面分析，根据图形变化特征或动点运动的背景变化进行分类讨论，然后动中找静，写出对应的函数式．10．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，把矩形ABCD沿过点A的直线AE折叠，点D落在矩形ABCD内部的点D′处，则CD′的最小值是（）A．4 B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据翻折的性质和当点D'在对角线AC上时CD′最小解答即可．【详解】解：当点D'在对角线AC上时CD′最小，∵矩形ABCD中，AB=4，BC=2，把矩形ABCD沿过点A的直线AE折叠点D落在矩形ABCD 内部的点D处，∴AD=AD'=BC=2，在Rt△ABC中，AC=＝＝4，∴CD'=AC-AD'=4-4，故选：C．【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理，利用勾股定理求出AC的长度是解题的关键．11．如图，在平面直角坐标系中，已知正方形ABCO，A（0，3），点D为x轴上一动点，以AD为边在AD的右侧作等腰Rt△ADE，∠ADE＝90°，连接OE，则OE的最小值为（）A．B．C．2D．3【解析】【分析】根据全等三角形的判定先求证△ADO≌△DEH，然后再根据等腰直角三角形中等边对等角求出∠ECH＝45°，再根据点在一次函数上运动，作OE′⊥CE，求出OE′即为OE的最小值.【详解】解：如图，作EH⊥x轴于H，连接CE．∵∠AOD＝∠ADE＝∠EHD＝90°，∴∠ADO+∠EDH＝90°，∠EDH+∠DEH＝90°，∴∠ADO＝∠DEH，∵AD＝DE，∴△ADO≌△DEH（AAS），∴OA＝DH＝OC，OD＝EH，∴OD＝CH＝EH，∴∠ECH＝45°，∴点E在直线y＝x﹣3上运动，作OE′⊥CE，则△OCE′是等腰直角三角形，∵OC＝3，∴OE′＝，∴OE的最小值为．故选：A．全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和垂线段最短的公理都是本题的考点，熟练掌握基础知识并作出辅助线是解题的关键.12．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD、AB、BC分别与⊙O相切于点E、F、G，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为（）A．B．C．D．2【答案】B【解析】【分析】连接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，得到∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝4，由于AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，得到∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，推出四边形AFOE，FBGO是正方形，得到AF＝BF＝AE＝BG＝2，然后由勾股定理列方程即可求出DM．【详解】解：连接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，∵∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝4，∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，∴∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，∴四边形AFOE，FBGO是正方形，∴AF＝BF＝AE＝BG＝2，∵DM是⊙O的切线，∴DN＝DE＝3，MN＝MG，∴CM＝5﹣2﹣MN＝3﹣MN，在Rt△DMC中，DM2＝CD2+CM2，∴（3+NM）2＝（3﹣NM）2+42，∴NM＝，∴DM＝3+=．故本题答案为：B.【点睛】切线的性质、勾股定理、正方形的性质是本题的考点，正确的作出辅助线是解题的关键．13．如图，正方形中，，是边的中点，点是正方形内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，．则线段长的最小值（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，证明△EDO≌△FDM，可得FM=OE=2，由条件可得OM=5，根据OF+MF≥OM，即可得出OF的最小值．【详解】如图，连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，∵∠EDF=∠ODM=90°，∴∠EDO=∠FDM，∵DE=DF，DO=DM，∴△EDO≌△FDM（SAS），∴FM=OE=2，∵正方形ABCD中，AB=2，O是BC边的中点，，，∵OF+MF≥OM，∴OF≥．故选：D．【点睛】考查图形的旋转，正方形的性质，勾股定理．解题的关键是掌握并运用图形旋转的性质．14．如图，四边形ACBD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，点E是DB延长线上的一点，且∠DCE＝90°，DC与AB交于点G．当BA平分∠DBC时，的值为（）A．-B．C．-D．【答案】A【解析】【分析】BA平分∠DBC，根据垂径定理的推理可知BA垂直平分CD；再根据圆周角定理，可得AB∥CE，于是．【详解】∵AB是⊙O的直径，且BA平分∠DBC∴BA垂直平分CD而∠ACB＝∠DCE＝90°∴∠ACD＝∠BCE又∵∠ACD＝∠ABD，∠ABD＝∠ABC∴∠BCE＝∠ABC∴AB∥CE∴.故选：A．【点睛】本题考查的是垂径定理及圆周角定理的运用，在解决圆的相关问题中，要熟练运用圆周角定理进行角的转换证明．15．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转后得到正方形，边与CD交于点O，则图中阴影部分的面积是A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】先根据正方形的边长，求得，进而得到，再根据，以及扇形的面积公式即可得出图中阴影部分的面积．【详解】如图，连结，，，，，D，在一条直线上，四边形ABCD是正方形，，，，，，，，图中阴影部分的面积．故选B.【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形性质，勾股定理以及扇形面积的计算等知识点的综合应用，解题关键在于利用旋转前、后的图形全等来进行计算．16．如图1，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，过点D作DE⊥AB点E，DF⊥BC于点F．将∠EDF绕点D顺时针旋转α°（0＜α＜180），其两边的对应边DE′、DF′分别与直线AB、BC相交于点G、P，如图2．连接GP，当△DGP的面积等于3时，则α的大小为（）A．30 B．45 C．60 D．120【答案】C【解析】分析：分析题目根据AB∥DC，∠BAD=60°，可得∠ADC的度数；利用∠ADE=∠CDF=30°，可得∠EDF的度数，当∠EDF顺时针旋转时，由旋转的性质可知：∠EDG=∠FDP，∠GDP=∠EDF=60°，根据全等三角形的判定方法证明△DEG≌△DFP；然后全等三角形的性质可得DG=DP，即可得出△DGP为等边三角形，利用面积和cos∠EDG 可得∠EDG的度数，同理可得结论.详解：∵AB∥DC，∠BAD=60°，∴∠ADC=120°，又∠ADE=∠CDF=30°，∴∠EDF=60°，由旋转的性质可知，∠EDG=∠FDP，∠GDP=∠EDF=60°，DE=DF=，∠DEG=∠DFP=90°，在△DEG和△DFP中，，∴△DEG≌△DFP，∴DG=DP，∴△DGP为等边三角形，∴△DGP的面积=DG2=3，解得，DG=2，则cos∠EDG==，∴∠EDG=60°，∴当顺时针旋转60°时，△DGP的面积等于3，故选：C．点睛：本题考查了菱形的性质和旋转的变换，掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;③旋转前、后的图形全等是解题的关键.17．张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子（x＞0）的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是，矩形的周长是2（）；当矩形成为正方形时，就有x=（x＞0），解得x=1，这时矩形的周长2（）=4最小，因此（x＞0）的最小值是2．模仿张华的推导，你求得式子（x＞0）的最小值是（）A．2 B．1 C．6 D．10【答案】C【解析】【详解】试题分析：仿照张华的推导，在面积是9的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是，矩形的周长是2（）；当矩形成为正方形时，就有x=（x＞0），解得x=3，这时矩形的周长2（）=12最小，因此（x＞0）的最小值是6．故选C.考点：1.阅读理解型问题；2.转换思想的应用.18．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的格点上，AB，CD相交于点E，则sin∠AEC的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】过A作AF⊥CD，构造出直角三角形，然后利用勾股定理和三角形的面积公式求出AF的长，然后利用相似三角形的性质求出AE的长，根据正弦函数的定义即可得出答案．【详解】过A作AF⊥CD于F，在Rt△ADB中，BD＝3，AD＝3，由勾股定理得：AB＝＝，在Rt△CAD中，AC＝1，AD＝3，由勾股定理得：CD＝＝，由三角形的面积公式得：×CD×AF＝×AC×AD，×AF＝1×3，解得：AF＝，∵AC∥BD，∴△CEA∽△DEB，∴，∴，∴AE＝，∴sin∠AEC＝＝＝．故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理、相似三角形的性质和判定、锐角三角形函数等知识点，能够正确作出辅助线是解此题的关键．19．对于某一函数给出如下定义：若存在实数m，自变量的值为m时，函数值等于-m，则称-m为这个函数的反向值.在函数存在反向值时，该函数的最大反向值与最小反向值之差n 称为这个函数的反向距离.特别地，当函数只有一个反向值时，其反向距离n为零. 例如：图中的函数有 4，－1两个反向值，其反向距离n 等于 5. 现有函数y＝，则这个函数的反向距离的所有可能值有（）A．1个B．2个C．3个及以上的有限个D．无数个【答案】B【解析】【分析】根据题目中的函数解析式和题目中的新定义，写出这个函数的反向距离的所有可能值，并写出相应m的取值范围．．【详解】解：∵y＝∴当x≥k时，-k=k2-3k，得k=0或k=2，∴n=2-0=2，∴k＞2或k≤-2；当x＜k时，-k=-k2-3k，解得，k=0或k=-4，∴n=0-（-4）=4，∴-2＜k≤2，由上可得，当k＞2或k≤-2时，n=2，当-2＜k≤2时，n=4．∴这个函数的反向距离的所有可能值有两个.故选：B.【点睛】本题是一道二次函数综合题，解题关键是明确题目中的新定义，找出所求问题需要的条件，利用新定义解答相关问题．20．如图是本地区一种产品30天的销售图象，产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位：天）的大致函数关系如图①，图②是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系，已知日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润，下列结论错误．．的是（）A. 日销售量为150件的是第12天与第30天B. 第10天销售一件产品的利润是15元C. 从第1天到第20天这段时间内日销售利润将先增加再减少D. 第18天的日销售利润是1225元【答案】C【解析】试题分析：根据题意和图①可求得y与t的关系式为y=256x+100（0＜t≤24），根据图②可求得z=-t+25（0＜t≤20）.由图①可知第24天的销售量为200件，故A正确；第10天的销售一件产品的利润为z=-x+25=-10+25=15元，故B正确；第12天的日销售量为y=256x+100=150件，一件的利润为z=-x+25=13元，因此第12天的日销售利润为150×13=1950元，而第30天的日销售量为150件，一件的利润为5元，因此日销售利润为150×5=750元，故C不正确；第30天的日销售量为150件，一件的利润为5元，因此日销售利润为150×5=750元，故D 正确.故选C考点：一次函数的图像的应用。

专题22压轴选择题22019年高考数学文走出题海之黄金100题系列

专题2 压轴选择题21．若x=0是函数f（x）=x4-ax3+1的极小值点，则实数a的取值集合为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意f（x）=x4-ax3+1得f′（x）=4x3-3ax2，∵x=0是函数f（x）的极小值点，∴x=0是方程f′（x）=0的实根，x＜0时，4x3-3ax2≤0，可得a≥0，x＞0时，4x3-3ax2≥0，可得a≤0，可得a=0．∴实数a的取值集合为{0}．故选：B．2．已知函数的定义域为，且恒成立，其中是的导函数，若，则实数的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】令，则，所以函数在上单调递增．可化为，即，所以，解得，所以实数的取值范围是．故选D．3．已知函数，且满足，则的取值范围为（）A．或B．C．D．【答案】B【解析】由函数的解析式易知函数为偶函数，且当时，，故函数在区间上单调递减，结合函数为偶函数可知不等式即，结合偶函数的单调性可得不等式，求解绝对值不等式可得的取值范围为.本题选择B选项.4.已知奇函数是定义在R上的单调函数，若函数恰有4个零点，则a的取值范围是A．B．C．D．【答案】D【解析】函数恰有4个零点，令，由函数为奇函数可得，由函数是定义在R上的单调函数得，则有4个根，只需有2个不等正根，即，解得：，即a的取值范围是，故选：D．5．已知函数，若存在实数，，，，当时，满足，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】先作函数图象，则，,,因此，因为在上单调递增,所以,选C.6.在空间四边形中，若，且，分别是的中点，则异面直线所成角为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】在图1中连接DE，EC，因为=，得为等腰三角形，设空间四边形的边长为2，即==2，在中，,,得=.在图2取AD的中点M，连接MF、EM，因为E、F分别是AB、CD的中点，∴MF＝1，EM＝1，∠EFM 是异面直线AC与EF所成的角．在△EMF中可由余弦定理得：cos∠EFM＝，∴∠EFM＝45°,即异面直线所成的角为45°．故选：B图1 图27.设点是正方体的对角线的中点，平面过点，且与直线垂直，平面平面，则与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意知，点是正方体的对角线的中点，平面过点，且与直线垂直，平面平面，根据面面平行的性质，可得，所以直线与所成角即为直线与直线所成的角，即为直线与所成角，在直角中，，即与所成角的余弦值为，故选B.8．已知函数，若方程有四个不同的解，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】结合题意,绘制出的函数图像,如图所示要使得有四个不同的解,则要求介于m,n两条直线之间，m,n对应的直线方程分别为，故a的范围为，故选C.9．已知是定义在上且以4为周期的奇函数，当时，（为自然对数的底），则函数在区间上的所有零点之和为（）A．6 B．8 C．12 D．14【答案】D【解析】∵f（x）是定义在R上且以4为周期的奇函数，∴f（0）=0，f（-2）=f（-2+4）= f（2），又f（-2）=-f（2），∴f（2）=0，且当x∈（0，2）时，，则==0,则x=1，且在x∈（0，1）时，单调递减，在x∈（1，2）时，单调递增，，=f(2)>0,故函数f（x）的图象如下图所示：由图可得：函数f（x）在区间区间上共有7个零点，故这些零点关于x＝2对称，故函数f（x）在区间区间上的所有零点的和为3×4+2＝14，故选：D．10. 已知函数在定义域上的导函数为，若函数没有零点，且，当在上与在上的单调性相同时，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】若方程f（x）＝0无解，则f′（x）＞0或f′（x）＜0恒成立，所以f（x）为R上的单调函数，∀x∈R都有，则为定值，设t＝，则f（x）＝t+，易知f（x）为R上的增函数，∵g（x）＝sin x﹣cos x﹣kx，∴，又g（x）与f（x）的单调性相同，∴g（x）在R上单调递增，则当x∈[，]，g（x）≥0恒成立，当时，，，，此时k≤﹣1，故选：A．11. 已知圆：，点，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为为坐标原点，则面积的最大值为（）A．12 B．6 C．D．【答案】A【解析】由题可知，所以点在以线段为直径的圆上，的边，故当到直线的距离最大时，的面积最大，以线段为直径的圆的圆心为，半径为，直线的方程为，点到直线的距离为，所以到直线的距离的最大值为，故的面积的最大值为.12．在三棱锥中，，，，平面平面，则三棱锥外接球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】过P点作，结合平面ABC平面PAC可知，，故，结合可知，，所以，结合所以,所以，故该外接球的半径等于，所以球的表面积为，故选D.13．在平面四边形中，，，，现沿对角线折起，使得平面平面，则此时得到的三棱锥外接球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题知为等腰直角三角形，设边中点为的外心为，连接，所以，又平面DAC平面ABC，∴∴O为外接球的球心，由余弦定理得∴2R==,R=所以三棱锥D-ABC外接球的表面积为=故选：B.14．已知函数，，其中为自然对数的底数，若存在实数使得，则实数的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】令f（x）﹣g（x）＝2x+e2x﹣a﹣1n（2x+2）+4e a﹣2x，令y＝2x﹣ln（2x+2），y′＝2﹣＝，故y＝2x﹣ln（2x+2）在（﹣1，﹣）上是减函数，（﹣，+∞）上是增函数，故当x＝﹣时，y有最小值﹣1﹣0＝﹣1，而e2x﹣a+4e a﹣2x≥4（当且仅当e2x﹣a＝4e a﹣2x，即x＝（a+ln2）时，等号成立）；故f（x）﹣g（x）≥3（当且仅当等号同时成立时，等号成立）；故x＝（a+ln2）＝﹣，即a＝﹣1﹣ln2．故选：A．15．设点P在曲线上，点Q在曲线上，点R在直线上，则的最小值为A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，函数的导数为，设曲线与直线的平行线相切的切点为，可得，即，可得切点为，此时PR的最小值为，的导数为，设曲线与直线的平行线相切的切点为，可得，即，可得切点为，此时RQ的最小值为，则P，Q重合为，R为，取得最小值为．故选：D．16．已知奇函数是定义在R上的单调函数，若函数恰有4个零点，则a的取值范围是A．B．C．D．【答案】D【解析】函数恰有4个零点，令，由函数为奇函数可得，由函数是定义在R上的单调函数得，则有4个根，只需有2个不等正根，即，解得：，即a的取值范围是，故选：D．17. 已知双曲线的右焦点为，若C的左支上存在点M，使得直线是线段的垂直平分线，则C的离心率为A．B．2 C．D．5【答案】C【解析】，直线是线段的垂直平分线，可得到渐近线的距离为，即有，OP为的中位线，可得，，可得，即为，即，可得．故选：C．18. 设双曲线的一个焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为A．B．C．D．【答案】B【解析】抛物线的焦点为(0,2)，的一个焦点为(0,2)，焦点在轴上，.根据双曲线三个参数的关系得到，又离心率为2，即，解得，∴此双曲线的渐近线方程为，则双曲线的一条渐近线方程为，则抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为：.本题选择B选项.19. 已知直线：与圆心为，半径为的圆相交于A，B两点，另一直线：与圆M交于C，D两点，则四边形ACBD面积的最大值为A．B．C．D．【答案】A【解析】以为圆心，半径为的圆的方程为，联立，解得，，中点为而直线：恒过定点，要使四边形的面积最大,只需直线过圆心即可,即CD为直径,此时AB垂直CD,,四边形ACBD的面积最大值为．故选：A．20. 已知函数，若关于的方程恰有三个不相等的实数解,则的取值范围是A．B．C．D．【答案】C【解析】关于的方程恰有三个不相等的实数解，即方程恰有三个不相等的实数解，即与有三个不同的交点.令，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；且当时，，当时，，，当时，，据此绘制函数的图像如图所示，结合函数图像可知，满足题意时的取值范围是. 本题选择C选项.。

专题15立体几何2019年高考数学文走出题海之黄金100题系列

专题5 立体几何一、单选题1．如图，中，，，，以AC所在直线为轴旋转一周，所得几何体的表面积等于A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意可得旋转体为圆锥，底面半径为3，高为4，故它的母线长，侧面积为，而它的底面积为，故它的表面积为，故选：A．2．如图，正方体中，异面直线与所成角的正弦值等于A．B．C．D．1【答案】D【解析】连接，因为四边形为正方形，所以，又，所以面，所以，所以异面直线与所成角的正弦值等于1，故选：D．3．一个棱长为2的正方体被一个平面截去部分后，余下部分的三视图如图所示，则截去部分与剩余部分体积的比为A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：6【答案】A【解析】由题意可知：几何体被平面ABCD平面分为上下两部分，设正方体的棱长为2，上部棱柱的体积为：；下部为：，截去部分与剩余部分体积的比为：．故选：A．4．九章算术给出求羡除体积的“术”是：“并三广，以深乘之，又以袤乘之，六而一”，其中的“广”指羡除的三条平行侧棱的长，“深”指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离，“袤”指这两条侧棱所在平行线之间的距离，用现代语言描述：在羡除中，，，，，两条平行线与间的距离为h，直线到平面的距离为，则该羡除的体积为已知某羡除的三视图如图所示，则该羡除的体积为A．B．C．D．【答案】B【解析】由三视图还原原几何体知，羡除中，，底面ABCD是矩形，，，平面平面ABCD，AB，CD间的距离，如图，取AD中点G，连接EG，则平面ABCD，由侧视图知，直线EF到平面ABCD的距离为，该羡除的体积为．故选：B．5. 已知是球的球面上四个不同的点，若，且平面平面，则球的表面积为A．B．C．D．【答案】A【解析】如图，取BC中点G，连接AG，DG，则，，分别取与的外心E，F，分别过E，F作平面ABC与平面DBC的垂线，相交于O，则O为四面体的球心，由，得正方形OEGF的边长为，则，四面体的外接球的半径，球O的表面积为．故选：A．6．在正三棱柱中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则与侧面所成角的大小为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，取AC的中点O，连结,因为正三棱柱中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，所以，因为，所以平面，所以是与侧面所成的角，因为，所以，所以，与侧面所成的角．二、填空题7．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则此三棱锥的最长的棱长等于___.【答案】3；【解析】根据几何体的三视图，还原为几何体为：其中面，根据网格的长度得到，，，由于面，所以最长，故答案为3.8.如图所示，平面BCC1B1⊥平面ABC，∠ABC＝120︒，四边形BCC1B1为正方形，且AB＝BC＝2，则异面直线BC1与AC所成角的余弦值为_____．【答案】【解析】过作，过作，画出图像如下图所示，由于四边形是平行四边形，故，所以是所求线线角或其补角.在三角形中，，故.9．已知直三棱柱外接球的表面积为，，若外接圆的圆心在AC上，半径，则直三棱柱的体积为______．【答案】3【解析】如图，外接圆的圆心在AC上，为AC的中点，且是以为直角的直角三角形，由半径，得，又，．把直三棱柱补形为长方体，设，则其外接球的半径．又直三棱柱外接球的表面积为，，即．，解得．直三棱柱的体积为．故答案为：3．10．在四面体中，底面，，，为棱的中点，点在上且满足，若四面体的外接球的表面积为，则____.【答案】2【解析】由题意可得,点G是△ABC的重心,AG=AE==2,设△ABC的外心为O,由题意可得点O在AE上,令OA=r,则+=,即+=,解得，AD⊥平面ABC,四面体ABCD的外接球的半径,解得AD=4,tan∠AGD==2故答案：2.11. 如图，已知圆锥的母线长为8，底面圆的圆心为，直径，点是母线的中点.若点是底面圆周上一点，且直线与所成的角为，在线段上且，则与底面所成角的正弦值为__________．【答案】或【解析】由题意知QB=PO=，连接MO，则MO//QB，为异面直线OC与QB所成的角（或补角），所以或过M做于点D，则底面AOC，所以角MCD为直线MC与底面所成的角，PO=，PA=4MA，所以MD=当时，所以当时，所以综上：与底面所成角的正弦值为或12．如图所示，三棱锥的顶点，，，都在同一球面上，过球心且，是边长为2等边三角形，点、分别为线段，上的动点（不含端点），且，则三棱锥体积的最大值为__________．【答案】【解析】过球心，又是边长为的等边三角形，，,三角形是等腰直角三角形，，，又因为,在平面内，由线面垂直的判定定理可得平面,即平面，设，，则三棱锥体积，当且仅当，即时取等号，故答案为.三、解答题13. 如图，边长为2的正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC边的中点，将，分别沿DE，DF折起，使得A，C两点重合于点M．求证：；求三棱锥的体积．【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）证明：在正方形ABCD中，，，在三棱锥中，有，，且，面MEF，则；（2）解：、F分别是边长为2的正方形ABCD中AB、BC边的中点，，，由（1）知，．14．如图，在四边形ABED中，AB//DE，AB BE，点C在AB上，且AB CD，AC=BC=CD=2，现将△ACD 沿CD折起，使点A到达点P的位置，且PE.（1）求证：平面PBC 平面DEBC；（2）求三棱锥P-EBC的体积.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）证明：∵AB⊥BE，AB⊥CD，∴BE//CD，∵AC⊥CD，∴PC⊥CD，∴PC⊥BE，又BC⊥BE，PC∩BC=C，∴EB⊥平面PBC，又∵EB平面DEBC，∴平面PBC 平面D EBC；（2）解法1：∵AB//DE，结合CD//EB 得BE=CD=2，由（1）知EB⊥平面PBC，∴EB⊥PB，由PE得, ∴△PBC为等边三角形，∴,∴.解法2：∵AB//DE，结合CD//EB 得BE=CD=2，由（1）知EB⊥平面PBC，∴EB⊥PB，由PE，得, ∴△PBC为等边三角形，取BC的中点O，连结OP，则,∵PO⊥BC，∴PO⊥平面EBCD，∴.15．如图，在四棱锥中，底面是梯形，，平面，且，．（1）求证：平面平面；（2）若，求点到平面的距离．【答案】(1)见证明；(2)【解析】（1）过点C作,为垂足，连接，由已知得，，易得，且，，又平面，∴平面，∴，故，可知在中，，∴，∵平面，∴，又，∴平面，又平面，∴平面平面.（2）连接,由，可得，又，可得平面，即平面，故为三棱锥的高，∴.由（1），知，，，，故.设点到平面的距离为，则，又，，，∴，即点到平面的距离为．16．如图，在棱长为的正方体中，，分别在棱，上，且.（1）求异面直线与所成角的余弦值.（2）求四面体的体积.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）在正方体中，延长至，使，则.∴.∴为异面直线与所成的角.在中，，，∴.（2）在上取一点，使.∴，从而，平面，∴.17．已知在图1所示的梯形中，，于点，且.将梯形沿对折，使平面平面，如图2所示，连接，取的中点.（1）求证：平面平面；（2）在线段上是否存在点，使得直线平面？若存在，试确定点的位置，并给予证明；若不存在，请说明理由；（3）设，求三棱锥的体积.【答案】（1）详见解析；（2）存在，且当点为的中点时，平面；（3）.【解析】（1）取的中点，连接，.因为，所以.因为平面平面，，平面平面，所以平面，又平面，所以.又，所以平面.①因为，，所以，.因为，，所以，所以四边形是平行四边形.所以.②由①②，得平面.又平面，所以平面平面.（2）当点为的中点时，平面.证明：连接，.由为线段的中点，为线段的中点，得.又平面，平面.所以平面.（3）因为，所以到平面的距离等于点到平面的距离. 取的中点，连接，则，且.因为平面平面，，平面平面，所以平面，所以平面.所以.18．如图，在四棱锥中，已知四边形是菱形，且，点在底面内的射影在线段上，点在线段上．（Ⅰ）若是的中点，求证：平面；（Ⅱ）若，是边长为的等边三角形，三棱锥的体积为，求的值．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）如图，连接交于点，连接，因为四边形是菱形，所以，因为是的中点，所以，所以．又平面，平面，所以平面．（Ⅱ）因为点在底面内的射影在线段上，所以平面平面，因为四边形是菱形，，，所以，所以是边长为的等边三角形，所以点到平面的距离，又三棱锥的体积为，点到的距离为，所以，解得，所以，所以．19. 如图1，在平行四边形中，，，点是的中点，点是的中点，分别沿．将和折起，使得平面平面（点在平面的同侧），连接，如图2所示．（1）求证：；（2）当，且平面平面时，求三棱锥的体积．【答案】（1）见解析；（2）1【解析】（1）∵四边形为平行四边形，，点是的中点，∴，又，∴为等边三角形，连接，由，，得为等边三角形．取的中点，连接，则．∴平面，则；（2）由（1）知，，又平面平面，则平面，又，∵，∴．∴三棱锥的体积．20.如图（一），在直角梯形中，，，，是的中点，将沿折起，使点到达点的位置得到图（二），点为棱上的动点.（1）当在何处时，平面平面，并证明；（2）若，，证明：点到平面的距离等于点到平面的距离，并求出该距离.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】（1）当点为棱中点时，平面平面.证明如下：在图（一）的直角梯形中，，，，是的中点，所以.在图（二）中，有，，，平面，平面，所以平面.又平面，所以.又，所以.由于，为的中点，所以.又因为，平面，平面，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）图（一）中，由及条件关系，得，由（1）的证明可知，在图（二）中有平面.所以平面平面，且交线为，所以过点作交的延长线于点，由平面平面，可知平面，所以就是点到底面的距离.由知，所以.设点到平面的距离为，由，得，即，即得点到平面的距离等于点到平面距离，且为.。

2019年海南高考压轴题文科数学试题

绝密*启用前2019年海南高考压轴题试卷数学（文科）注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.问答第Ⅰ卷时。

选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。

将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合A={x |x 2－x －2<0}，B={x |－1<x <1}，则（A ）A ⊂≠B （B ）B ⊂≠A （C ）A=B （D ）A ∩B=∅（2）复数z ＝－3+i 2+i 的共轭复数是（A ）2+i （B ）2－i （C ）－1+i （D ）－1－i（3）在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1,x 2,…,x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）(i =1,2,…,n )都在直线y =12x +1上，则这组样本数据的样本相关系数为（A ）－1 （B ）0 （C ）12 （D ）1（4）设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x =3a 2上一点，△F 1PF 2是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（）（A ）12 （B ）23 （C ）34 （D ）45（5）已知正三角形ABC 的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部，则z =－x+y 的取值范围是（A ）(1－3，2) （B ）(0，2) （C ）(3－1，2) （D ）(0，1+3)（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数N(N ≥2)和实数a 1,a 2,…,a N ，输出A,B ，则（A ）A+B 为a 1,a 2,…,a N 的和（B ）A ＋B 2为a 1,a 2,…,a N 的算术平均数（C ）A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最大的数和最小的数（D ）A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最小的数和最大的数（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（A）6（B）9（C）12（D）18(8)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为（A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π（9）已知ω>0，0<φ<π，直线x =π4和x =5π4是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π4（10）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A ，B 两点，|AB|=43，则C 的实轴长为（A ） 2 （B ）2 2 （C ）4 （D ）8(11)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是（A ）(0，22) （B ）(22，1) （C ）(1，2) （D ）(2，2)（12）数列{a n }满足a n +1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为（A ）3690 （B ）3660 （C ）1845 （D ）1830第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2019届全国卷Ⅱ高考压轴卷数学文(解析版)

2020届全国名校高考冲刺压轴卷数学文科一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足11i 12z z -=+，则复数z 在复平面内对应点在（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合{}06M x x =≤≤， {}232x N x =≤，则M N ⋃=（） A. (],6-∞ B. (],5-∞ C. []0,6 D. []0,53.已知向量2=a ，1=b ，()22⋅-=a a b ，则a 与b 的夹角为（）A ．30︒B ．60︒C ．90︒D ．150︒4.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得面包成等差数列，且较大的三份之和的等于较小的两份之和，问最小的一份为（）A.65 B.611 C. 35 D. 3105.若n 是2和8的等比中项，则圆锥曲线221y x n+=的离心率是（）A ．32 B ．5 C ．32或52 D ．32或5 【答案】D6．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为( )A ．4B ．642+C ．442+D ．27.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，若sin 1sin 2B C =， ()2213cos 2a b B BA BC -=⋅u u u v u u u v ，则角C =（）A.6π B. 3π C. 2π D. 3π或2π8. 如图为函数()y f x =的图象，则该函数可能为( )A ．sin xy x=B ．cos xy x=C ．sin ||xy x =D ．|sin |x y x=9．执行如图所示程序框图，若输出的S 值为20-，在条件框内应填写（）A ．3?i >B ．4?i <C ．4?i >D ．5?i <10．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点A ，点P 在抛物线上，点P 到准线l 的距离为d ，点O 关于准线l 的对称点为点B ， BP 交y 轴于点M ，若BP a BM =， 23OM d =，则实数a 的值是（）A.34 B. 12 C. 23 D. 3211．已知不等式组20240x y x y y x y m-≥+≤≥⎧⎪+⎨≤⎪⎪⎪⎩表示的平面区域为M ，若m 是整数，且平面区域M 内的整点(),x y 恰有3个（其中整点是指横、纵坐标都是整数的点），则m 的值是（）A. 1B. 2C. 3D. 4 12．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()32123f x x ax bx =+++， ()()24f x f x +='-'，若函数()6ln 2f x x x ≥+恒成立，则实数b 的取值范围为（）A. [)64ln3,++∞B. [)5ln5,++∞C. [)66ln6,++∞D. [)4ln2,++∞ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．某学校选修网球课程的学生中，高一、高二、高三年级分别有50名、40名、40名．现用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样本，已知在高二年级学生中抽取了8名，则在高一年级学生中应抽取的人数为_______．14．设P 为曲线2:23C y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π，则点P 横坐标的取值范围为．15．已知正四棱锥P ABCD -内接于半径为94的球O 中（且球心O 在该棱锥内部），底面ABCD 的边长为2，则点A 到平面PBC 的距离是__________．16．若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上存在一点P 满足以OP 为边长的正三角形的内切圆的面积等于236c π（其中O 为坐标原点， c 为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小满分题12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，1110,910n n a a S +==+. （1）求证：{lg }n a 是等差数列；（2）设n T 是数列13{}(lg )(lg )n n a a +的前n 项和，求使21(5)4n T m m >-对所有的*n N ∈都成立的最大正整数m 的值.18.（本小题满分12分）进入11月份，香港大学自主招生开始报名，“五校联盟”统一对五校高三学生进行综合素质测试，在所有参加测试的学生中随机抽取了部分学生的成绩，得到如图所示的成绩频率分布直方图：（1）估计五校学生综合素质成绩的平均值；（2）某校决定从本校综合素质成绩排名前6名同学中，推荐3人参加自主招生考试，若已知6名同学中有4名理科生，2名文科生，试求这2人中含文科生的概率．19.（本题满分12分）如图，在三棱锥P ADE -中， 4AD =， 22AP =， AP ⊥底面ADE ，以AD 为直径的圆经过点E .（1）求证： DE ⊥平面PAE ；（2）若60DAE ∠=︒，过直线AD 作三棱锥P ADE -的截面ADF 交PE 于点F ，且45FAE ∠=︒，求截面ADF 分三棱锥P ADE -所成的两部分的体积之比.20. （本小题满分12分）已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－10，0)，F 2(10，0)，且椭圆C 过点P (3，2)．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）与直线OP 平行的直线交椭圆C 于A ，B 两点，求△P AB 面积的最大值．21. （本小题满分12分）已知函数()e x f x ax =-（a 为常数）的图象与y 轴交于点A ，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为2-．（1）求a 的值及函数()f x 的单调区间；（2）设()231g x x x =-+，证明：当0x >时，()()f x g x >恒成立． 22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线M 的参数方程为1cos 1sin x y ϕϕ=+=+⎧⎨⎩（ϕ为参数），过原点O 且倾斜角为α的直线l 交M 于A 、B 两点．（1）求l 和M 的极坐标方程；（2）当4π0,α⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，求OA OB +的取值范围．23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()121f x x x =++-．（1）解不等式()2f x x ≤+；（2）若()3231g x x m x =-+-，对1x ∀∈R ，2x ∃∈R ，使()()12f x g x =成立，求实数m 的取值范围．2019全国卷Ⅱ高考压轴卷数学文科答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】D【解析】设复数i z a b =+，(),a b ∈R ，则i z a b =-，因为11i 12z z -=+，所以()()211i z z -=-，所以2(1)2i a b --()1i a b =+-，所以可得2221a b b a -=-⎧⎨-=+⎩，解得5343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以54i 33z =-，所以复数z 在复平面内对应点54,33⎛⎫-⎪⎝⎭在第四象限上．故选D ． 2【答案】A【解析】因为{}06M x x =≤≤， {}232{|5}x N x x x =≤=≤，所以{|6}M N x x ⋃=≤，故选A. 3.【答案】B【解析】∵()222422⋅-=-⋅=-⋅=a a b a a b a b ，∴1⋅=a b ．设a 与b 的夹角为θ，则1cos 2θ⋅==a b a b ，又0180θ︒≤≤︒，∴60θ=︒，即a 与b 的夹角为60︒．4.【答案】C【解析】分析：根据已知条件，设等差数列的公差为，将已知条件转化为等式，求出等差数列的首项和公差，再得出答案。

2019海南高考压轴卷-数学(文)

2019海南高考压轴卷-数学（文）注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。

在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。

考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。

只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。

数学文本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两部分，其中第二卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

本卷须知1、答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2、选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性〔签字〕笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3、请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I 卷【一】选择题：本大题共12小题,每题5分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的、1. i 是虚数单位，复数31i i -等于A 、i --1B 、i -1C 、i +-1D 、i +12、假设集合A={1,m 2}，集合B={2,4}，那么“m =2”是“A ∩B ={4}”的 A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件 3、向量=(2,x-1),CD =(1,-y)〔xy>0)，且∥,那么yx12+的最小值等于A 、2B 、4C 、8D 、16 4、α是第二象限角，P 〔x ，5〕为其终边上一点，且x42cos =α，那么x 的值是A 、3B 、3±C 、-2D 、-3 5、直线02=--by ax 与曲线3x y =在点P 〔1，1〕处的切线互相垂直，那么ba 的值为A 、31B 、32 C 、32- D 、31-6、某人向一个半径为6的圆形靶射击，假设他每次射击必定会中靶，且射中靶内各点是随机的，那么此人射中的靶点与靶心的距离小于2的概率为A 、12B 、13C 、14D 、197A 、π8B 、325πC 、π9D 、328π8、同时具有性质：“①最小正周期为π；②图象关于直线3π=x 对称；③在)3,6(ππ-上是增函数。