北师大版高中数学必修二1.7 简单几何体的再认识终稿

表面积(保留2个有效数字）.
解： S S圆柱侧 2 S圆柱底面
1 1 2.3 2 4 2 8.8(m ).
答: 锅炉的表面积约为8.8 m2.
d dh 2 2
2
圆柱
例2.圆台的上、下底面半径分 别是10cm和20cm, 它的侧面展 开图的扇环的圆心角是180o， S
三、反馈练习（课本） 1.已知正六棱柱的高为h, 底面边长为a, 求表面积.
解：侧面积=6ah, 上下底共12个三角形，上下底面积的和 3 2 =12 a 3 3a 2 S表面积 =6ah 3 3a 2 4
2.从长方体一个顶点出发的三个面的面积分别为6,8,12，求它 的对角线的长.
如果冰激凌融化了, 会溢出杯子吗?(假设冰激凌融化前后体积
不变)
1 4 3 1 4 解: V半 球 R 43 2 3 2 3 134(cm3 ). 1 1 1 2 2 4 12 Sh r h V圆锥 3 3 3
4cm
12cm
201(cm ).
h
A
P
D
S上
B
C
V VP ABCD VP A ' B 'C ' D ' 1 ( S上 S上 S下 S下 )h 3
D
S下
C
B
数学是上帝描述自然的符号
柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？
上底扩大
上底缩小
S上 = S下
S上 = 0
S为底面面积，h
为柱体高
S分别为上、下底面
解：设三条棱长分别为a,b,c，则ab=6，bc =8,ca=12, abc=24, a=3,b=2,c=4. 长方体的体对角线长 = a b c 3 2 4
2 2 2 2 2 4
29
3.正四棱台的上、下两底面边长分别是3,6, 其侧面积等于两底面
积之和, 则其高和斜高分别是多少?
1.7.2 柱、锥、台的体积
瞧，这么宏伟壮观的金字塔呀！ ——你们能求出它的体积吗？ 数学是上帝描述自然的符号
看，这不是不复存在的世贸大厦吗？
——这两个棱柱的体积怎么求？
数学是上帝描述自然的符号
长方体的体积
D1 C1
V长方体 = abc 或V = S 底 h
A1 D
A
B1
C B
数学是上帝描述自然的符号
2 2 2
2 3 a 直径= 2r （m） 3
四、课堂小结 1.圆柱、圆锥、圆台
S圆柱侧 2rl S圆锥侧 rl S圆台侧 (r r )l
2.直棱柱、正棱锥、正棱台 S直棱柱侧 ch c为直棱柱的底周长，h为高.
1 h c 为正棱锥的底周长， 为 S正 棱 锥 侧 ch 斜高. 2 1 c SBiblioteka Baidu 棱 台 侧 (c c )h 、c分别为正棱台的上 2 h 为斜高. 下底的周长，
2.直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积
S直棱柱侧 ch
c为直棱柱的底周长，h为高.
1 h 为斜高. S正 棱 锥 侧 ch c为正棱锥的底周长， 2 c分别为正棱台的上、 c、 1 S正 棱 台 侧 (c c )h h为斜高. 下底的周长， 2
二、应用
例1.一个圆柱形的锅炉，底面直径d=1m,高 h=2.3m.求锅炉的
r
l
圆柱
S圆柱侧 2rl
1.圆柱、圆锥、圆台
c 2r
l
r
圆锥
S圆锥侧 rl
1.圆柱、圆锥、圆台
l0
圆台侧面展开图
圆台
S圆台侧 (r r )l
1.圆柱、圆锥、圆台
S圆柱侧 2rl S圆锥侧 rl S圆台侧 (r r )l
2.直棱柱、正棱锥、正棱台
1、柱体的体积
等底等高柱体 的体积相等吗？
数学是上帝描述自然的符号
等底等高柱体的体积相等
h
S底 S底
h
S底
V柱 = S底h
数学是上帝描述自然的符号
2、锥体的体积
等底等高锥体的体积相等
h
1 V锥 = S底 h 3
数学是上帝描述自然的符号
3、台体体积
根据台体的特征，如何求台体的体积？
由于圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成的， 因此可以利用两个锥体的体积差得到圆 A 台(棱台)的体积公式．
答:圆台的侧面积为600 cm2.
例3.一个正三棱台的上、下底面边长分别为3cm, 和6cm, 高为 1.5cm. 求三棱台的侧面积. 解：如图，O1, O分别是上、下底面的中心， 则O1O=1.5, 连接A1O1并延长交B1C1于D1, 连接AO并延长交BC于D, 过D1作D1E⊥AD于E. 在RtΔD1ED中,
解：(1)S地球 = 4 R =5.10 10（km）,
2 8
4 V地球 = R 2 1.08 1012 （km 3） 3 1 1 3 3 (2)r火星 = R地球， r火星 = R地球， 2 8 1 故，火星体积约为地球体积的 8
1.圆柱、圆锥的底面半径与球的半径都是r， 圆柱、圆锥的高都是2r，求它们的体积之比.
课堂练习 1.某小区修建一个圆台形的花台，它的两底面 半径分别为1m和2m，高为1m, 问：需要多少立方 米土才能把花台填满？
1 解：V台体 = （S上 +S下 + S上 S下）h 3 1 2 = （ +4 + 4 ） 3 7 = 3
2.地球和火星都可看作近似球体，地球半径约 为6370km,火星的直径约为地球直径的一半. （1）求地球的表面积和体积； （2）火星的体积约为地球体积的几分之几？
第一章 立体几何初步
§1.7 简单几何体的再认识
•1
复习回顾 1.旋转体
圆柱 2.多面体
圆锥
圆台
棱柱
棱锥
棱台
1.7.1 柱、锥、台的侧面展开与面积
复习巩固
空间 问题
平面 问题
C′
h
d
b
a
a
a
b
h
h'
h'
h'
d
h'
C
§1.7.1
柱、锥、台的侧面展开与面积
c 2r
圆柱侧面展开图
1.圆柱、圆锥、圆台
数学是上帝描述自然的符号
1、已知一正四棱台的上底面边长为
4cm,下底面边长为8cm,高为3cm,其
112cm3 体积为______
数学是上帝描述自然的符号
(1)体积度量的基本思路： 特殊到一般的数学思想 正方体
长方体
柱体
锥体
台体
长方体体积公式是计算其他几何体体积的基础. （2）柱、锥、台体积的计算公式 及它们之间的联系
2 2
5.已知圆锥的表面积为a m2, 且它的侧面展开图是一个半圆, 则
这个圆锥的底面直径是多少?
解： rl r 2 a , 1 2 l 2r , rl l 2 a 3 a 2 r r a , r ,r , 3 3
c
h
直棱柱侧面展开图
S直棱柱侧 ch
直棱柱
2.直棱柱、正棱锥、正棱台
h
1 S正 棱 锥 侧 ch 2
c 为底面周长，
h为斜高.
h
正棱锥
2.直棱柱、正棱锥、正棱台
h0
正棱台
1 S正 棱 台 侧 (c c )h 2
1.圆柱、圆锥、圆台的侧面积
S圆柱侧 2rl S圆锥侧 rl S圆台侧 (r r )l
3
∴ 冰激凌融化了, 不会溢出杯子.
例7.一个圆柱形的玻璃 瓶的内半径为3 cm, 瓶 里所装的水深为8 cm,
3cm
3cm
将一个钢球完全浸入水
中, 瓶中水的高度上升 到8.5 cm. 求钢球的半径. 解: 如图, 设钢球半径为R, 8 cm 8.5cm
解得 R=1.5(cm). 答:钢球的半径为1.5 cm.
3 2
4.一个正方体的顶点都在球上，它的棱长是4cm, 求这个球的体积.
提示：R=2 3，V=32 3
8.如图，棱锥的底ABCD是一个矩形，AC与BD交 于M，VM是棱锥的高，若VM=4cm,AB=4cm,VC =5cm,求棱锥的体积.
32 5 3 答： cm 3
10.仓库的房顶呈正四棱锥形，量得底面的边长 为2.6m,侧棱长2.1m.现要在房顶上铺上一层油 毡纸，问：需要油毡纸的面积是多少？
二.球的切线 唯一 公共点的直线叫做 (1)定义：与球只有_____ 球的切线.如图，l为球O的切线，M为切点. (2)过球外一点P，有无数条切 线，那么所有切线的长度_____ 相等
三、球的表面积和体积 4 3 2 V R S球面 4 R 球
3
例6.如图, 一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰激凌,
4 3 2 则由题意有 3 8 R 3 8.5 3
2
三、课堂小结 1.柱、锥、台体积关系 1 V台体= (S上 S下 S上 S下 )h 3
S上 S下
V柱体=Sh
2.球的表面积和体积
S上 0
1 V锥体= Sh 3
S球面 4 R
2
4 3 V球 R 3
数学是上帝描述自然的符号
§1.7.3 球
一、球的截面 用一个平面α去截半径为R的球O的球面得 到的是___. 圆 有以下性质：(1)若平面α过球心
O，则截线圆是以__ O 为圆心的球的大圆.
(2)若平面α不过球心O，如图，设OO′⊥α，垂足 为O′，记OO′=d，对于平面α与球面的任意一个 公共点P，都满足OO′⊥O′P，则有O′P= R 2 d2， O′ 为圆心，以r= R 2 d2 为 即此时截线圆是以____ 半径的球的小圆.
底面周长 c=4×230.4.
S侧面积 1 c AB 2
1 4 230.4 115.22 146.62 2
85916.2(m2 ).
1 1 3 2 V S AC 230.4 146.6 2594046.0(m ). 3 3 2 答:金字塔的侧面积约是 85916.2m ,体积约是 2594046.0m.3
解：V圆柱 = 2 r ,
3
1 2 3 V圆锥 = r 2r= r , 3 3 4 3 V球 r ， 3 所以体积比为3∶1∶2
2.球表面积膨胀为原来的2倍，计算体积 变为原来的几倍.
解：设膨胀后的半径为R，膨胀前的半径为R，
2 3 3 由题意，R = 2 R,R = 2R，R =2 2R ，
所以，膨胀后体积变为原来的2 2倍（2.83倍）.
3.长方体的长、宽、高的比为1∶2 ∶ 3， 对角线长是2 14cm ，求它的体积.
解：∵长、宽、高的比为1∶2 ∶ 3， 设长、宽、高分别为m,2m,3m
由题意，x +(2x) +(3x) 2 14 ,
2 2 2
14 x 2 4 14, x 2, 体积V=x( 2x)( 3x)=6x 48(cm )
面积，h 为台体高
S为底面面积， h为锥体高
数学是上帝描述自然的符号
例1、埃及胡夫金字塔大约建于公元前2580年,其形状为正四
棱锥.金字塔高146.6米,底面边长230.4米. 这座金字塔的侧 面积和体积各是多少.
数学是上帝描述自然的符号
解:如图,AC为高,BC为底面的边 心距,则AC=146.6,BC=115.2,
E
D1 E O1O 1.5 , 1 3 3 (6 3) . DE DO OE DO D1O1 3 2 2
2 2 2 2
3 3 DD1 D1 E DE 3. 2 2 1 27 3 所以S正三棱台侧= (c c) DD1 (cm2 ). 2 2 27 3 答:正三棱台的侧面积为 cm2 . 2
1 解：由题意 （12+ 24）h′ =32 + 62 ,18h′ = 45， 2 3 ′ 5 h = ，如图，AC= ，BD=3， 2 2 3 3 DE=3 - = ， 2 2 5 3 在Rt △CDE中，h= 2, 2 2 5 高为2，斜高为 2
O1 O A B
那么圆台的侧面积是多少？
（结果中保留 ）
解： 如图, 设上底面周长为c.
因为扇环的中心角是180o, 所以c= SA. 又因为c= 2 10 20 ,
所以 SA=20. 同理 SB=40.
所以 l=AB=SB-SA=20.
S圆台侧 (r r )l (10 20) 20 600 (cm2 ).