北师大版高中数学必修二1.7 简单几何体的再认识终稿
【北师大版】高中数学必修2精品讲学案：1.7-简单几何体的再认识(含答案)
第1课时柱、锥、台的侧面展开与面积[核心必知]1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式几何体侧面展开图的形状侧面积公式圆柱矩形S圆柱侧＝2πrl圆锥扇形S圆锥侧＝πrl圆台扇环S圆台侧＝π(r1＋r2)l其中r为底面半径，l为侧面母线长，r1，r2分别为圆台的上，下底面半径．2．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积几何体侧面积公式直棱柱S直棱柱侧＝c·h正棱锥S正棱锥侧＝12c·h′正棱台S正棱台侧＝12(c＋c′)·h′其中c′，c分别表示上，下底面周长，h表示高，h′表示斜高．[问题思考]1．一个几何体的平面展开图一定相同吗？其表面积是否确定？提示：不同的展开方式，几何体的展开图不一定相同．表面积是各个面的面积和，几何体的侧面展开方法可能不同，但其表面积唯一确定．2．柱体、锥体、台体之间有如下关系：那么台体、锥体、柱体的侧面积公式有什么联系？提示：根据以上关系，在台体的侧面积公式中，令c′＝c，可以得到柱体的侧面积公式，令c′＝0，可得到锥体的侧面积公式，其关系如下所示：S 柱侧＝ch ′c ＝c ′,S 台侧＝12(c ＋c ′)h ′――→c ′＝0S 锥侧＝12ch ′.3．棱柱的侧面积一定等于底面周长与侧棱长的乘积吗？提示：不一定．由棱柱的概念与性质可知棱柱的侧面展开图是一个平行四边形，此平行四边形的一边为棱柱的底面周长，另一边长为棱柱的侧棱长，但此平行四边形若不是矩形，则它的面积并不等于这两边长的乘积，所以棱柱的侧面积并不一定等于底面周长与侧棱长的乘积，只有直棱柱的侧面积才等于底面周长与侧棱长的乘积．讲一讲1．(1)圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的表面积为( ) A ．6π(4π＋3) B ．8π(3π＋1)C ．6π(4π＋3)或8π(3π＋1)D ．6π(4π＋1)或8π(3π＋2)(2)圆锥的中截面把圆锥侧面分成两部分，则这两部分侧面积的比为( ) A ．1∶1 B ．1∶2 C ．1∶3 D ．1∶4[尝试解答] (1)选C 圆柱的侧面积S 侧＝6π×4π＝24π2.①以边长为6π的边为轴时，4π为圆柱底面周长，则2πr ＝4π，即r ＝2，∴S 底＝4π，S 全＝S 侧＋2S 底＝24π2＋8π＝8π(3π＋1)．②以边长为4π的边为轴时，6π为圆柱底面周长，则2πr ＝6π，即r ＝3，∴S 底＝9π，∴S 全＝S侧＋2S 底＝24π2＋18π＝6π(4π＋3)．(2)选C 如图所示，PB 为圆锥的母线，O 1，O 2分别为截面与底面的圆心．∵O 1为PO 2的中点，∴PO 1PO 2＝P A PB ＝O 1A O 2B ＝12， ∴P A ＝AB ，O 2B ＝2O 1A .∵S 圆锥侧＝12×2π·O 1A ·P A ，S 圆台侧＝12×2π·(O 1A ＋O 2B )·AB ，∴S 圆锥侧S 圆台侧＝O 1A ·P A (O 1A ＋O 2B )·AB ＝13.1．求柱、锥、台的表面积(或全面积)就是求它们的侧面积和(上、下)底面积之和． 2．求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台，再通过这些基本柱、锥、台的表面积，进行求和或作差，从而获得几何体的表面积．练一练1．圆台的上、下底面半径分别是10 cm 和20 cm ，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积是多少？解：如图所示，设圆台的上底面周长为c ，因为扇环的圆心角是180°，故c ＝π·SA ＝2π×10， 所以SA ＝20(cm)， 同理可得SB ＝40(cm)， 所以AB ＝SB －SA ＝20(cm)， 所以S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下＝π(r 1＋r 2)·AB ＋πr 21＋πr 22＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm 2)．故圆台的表面积为1 100π cm 2.讲一讲2．五棱台的上、下底面均是正五边形，边长分别是8 cm 和18 cm ，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长是13 cm ，求它的侧面积．[尝试解答] 如图是五棱台的其中一个侧面，它是一个上底、下底分别为8 cm 和18 cm ，腰长为13 cm 的等腰梯形，由点A 向BC 作垂线，设垂足为E ，由点D 向BC 作垂线，设垂足为F ，易知BE ＝CF .∵BE ＋EF ＋FC ＝2BF －AD ＝BC ，∴BF ＝BC ＋AD 2＝18＋82＝13.∴BE ＝BF －AD ＝13－8＝5.又AB ＝13，∴AE ＝12.∴S 四边形ABCD ＝12(AD ＋BC )·AE ＝12×(18＋8)×12＝156(cm 2)．故其侧面积为156×5＝780(cm 2)．要求锥体、柱体、台体的侧面积及表面积，需根据题目中的已知条件寻求锥体、柱体、台体的侧面积及表面积公式所需条件，然后应用公式进行解答．练一练2．已知正三棱锥V -ABC 的主视图，俯视图如图所示，其中VA ＝4，AC ＝23，求该三棱锥的表面积．解：由主视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图，且VA ＝VB ＝VC ＝4， AB ＝BC ＝AC ＝23， 取BC 的中点D ，连接VD ，则VD ＝VB 2－BD 2＝42－(3)2＝13， ∴S △VBC ＝12×VD ×BC ＝12×13×23＝39，S △ABC ＝12×(23)2×32＝33，∴三棱锥V -ABC 的表面积为3S △VBC ＋S △ABC ＝339＋33＝3(39＋3).讲一讲3．已知一个圆锥的底面半径为R ，高为H ，在其内部有一个高为x 的内接圆柱． (1)求圆柱的侧面积；(2)x 为何值时，圆柱的侧面积最大？[尝试解答] 如图是圆锥及内接圆柱的轴截面图．(1)设所求圆柱的底面半径为r ， 则r R ＝H －x H ，∴ r ＝R －R H x ， ∴S 圆柱侧＝2πrx ＝2πRx －2πR H ·x 2.(2)∵S 圆柱侧是关于x 的二次函数，∴当x ＝－2πR 2×(－2πR H )＝H2时，S 圆柱侧有最大值，即当圆柱的高是圆锥的高的一半时，它的侧面积最大．解决组合体的表面积问题，要充分考虑组合体各部分的量之间的关系，将其转化为简单多面体与旋转体的表面积问题进行求解．练一练3．已知底面半径为 3 cm ，母线长为 6 cm 的圆柱，挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点，下底面为底面的圆锥，求所得几何体的表面积．解：如图，由题意易知圆锥的母线长为3 cm.则S ＝S 底＋S 柱侧＋S 圆锥侧＝π×(3)2＋2π×3×6＋π×3×3 ＝(3＋62＋33)π(cm 2)．如图所示，圆柱OO ′的底面半径为2 cm ，高为4 cm ，点P 为母线B ′B 的中点，∠AOB ＝23π，试求一蚂蚁从A 点沿圆柱表面爬到P 点的最短路程．[巧思] 将圆柱的侧面展开，将A 、P 两点转化到同一个平面上解决．[妙解] 将圆柱侧面沿母线AA ′剪开展平为平面图，如图，则易知最短路径为平面图中线段AP .在Rt △ABP 中，AB ＝23π×2＝43π(cm)，PB ＝2(cm)，∴AP ＝AB 2＋BP 2＝234π2＋9(cm)． 故蚂蚁爬的最短路程为234π2＋9 cm.1．矩形的边长分别为1和2，分别以这两边为轴旋转，所形成的几何体的侧面积之比为( )A ．1∶2B ．1∶1C ．1∶4D ．4∶1解析：选B 以边长为1的边为轴旋转得到的圆柱的侧面积 S 1＝2π×2×1＝4π，以边长为2的边为轴旋转得到的圆柱的侧面积S 2＝2π×1×2＝4π， ∴S 1∶S 2＝4π∶4π＝1∶1.2．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．8解析：选C 设圆台的母线长为l ，上、下底面半径分别为r ，R ， 则l ＝12(r ＋R )．又32π＝π(r ＋R )l ＝2πl 2， ∴l 2＝16， ∴l ＝4.3．(北京高考)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )A ．28＋6 5B ．30＋6 5C ．56＋12 5D ．60＋12 5解析：选B 由题中的三视图知，该三棱锥的立体图形如图所示．由题中所给条件，可求得S △ABD ＝12×4×5＝10，S △ACD ＝S △BCD ＝12×4×5＝10，AC ＝BC ＝41，AB ＝25，可求得△ABC 中AB 边上的高为41－5＝6，所以S △ABC ＝12×6×25＝6 5.综上可知，该三棱锥的表面积为S △ABD ＋S △ACD ＋S △BCD ＋S △ABC ＝30＋6 5.4．圆锥的侧面展开图是半径为R 的半圆，则圆锥的高是________． 解析：设底面半径是r ，则2πr ＝πR ， ∴r ＝R 2，∴圆锥的高h ＝R 2－r 2＝32R .答案：32R 5．若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示，则其表面积等于________．解析：根据题意可知，该棱柱的底面边长为2，高为1，侧棱和底面垂直，故其表面积S ＝34×22×2＋2×1×3＝6＋2 3. 答案：6＋2 36.一个几何体的三视图如图所示．已知主视图是底边长为1的平行四边形，左视图是一个长为3，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为2的正方形拼成的矩形．求该几何体的表面积S .解：由三视图可知，该平行六面体中，A 1D ⊥平面ABCD ，CD ⊥平面BCC 1B 1， 所以AA 1＝2，侧面ABB 1A 1，CDD 1C 1均为矩形， 所以S ＝2×(1×1＋1×3＋1×2) ＝6＋2 3.一、选择题1．圆台的母线长扩大为原来的n 倍，两底面半径都缩小为原来的1n 倍，那么它的侧面积变为原来的( )A ．1倍B ．n 倍C ．n 2倍 D.1n倍解析：选A 由S 侧＝π(r ′＋r )l .当r ，r ′缩小1n 倍，l 扩大n 倍时，S 侧不变．2．已知正四棱锥底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为( ) A ．12 B ．36 C ．24 D ．48解析：选D 正四棱锥的斜高h ′＝52－32＝4， S 侧＝4×12×6×4＝48.3．长方体的对角线长为214，长、宽、高的比为3∶2∶1，那么它的表面积为( ) A ．44 B ．88 C ．64 D ．48解析：选B 设长，宽，高分别为3x,2x ，x ，则对角线长为9x 2＋4x 2＋x 2＝14x ＝214，∴x ＝2.∴表面积S ＝2(6x 2＋3x 2＋2x 2)＝88.4．圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( ) A ．4πS B ．2πS C ．πS D.233πS解析：选A 设圆柱的底面半径为R ，则S ＝πR 2， ∴R ＝S π， 则圆柱的母线长l ＝2πR ＝2S π. S 侧面积＝(2πR )2＝4π2R 2＝4π2×Sπ＝4πS .5．(重庆高考)某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为( )A ．180B ．200C ．220D ．240解析：选D 几何体为直四棱柱，其高为10，底面是上底为2，下底为8，高为4，腰为5的等腰梯形，故两个底面面积的和为12×(2＋8)×4×2＝40，四个侧面面积的和为(2＋8＋5×2)×10＝200，所以直四棱柱的表面积为S ＝40＋200＝240，故选D.二、填空题6．已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的侧面积为________．解析：设上底面半径为r ，则下底面半径为4r ，高为4r ，如图．∵母线长为10，∴有102＝(4r )2＋(4r －r )2，解得r ＝2. ∴S 圆台侧＝π(r ＋4r )×10＝100π. 答案：100π7．已知棱长为1，各面都是正三角形的四面体，则它的表面积是________． 解析：由条件可知，四面体的斜高为32， 所以其表面积为S 表＝4×12×1×32＝ 3.答案： 38．如图，直三棱柱的主视图面积为2a 2，则左视图的面积为________．解析：此直三棱柱的底面是边长为a 的正三角形，该三角形的高为32a .左视图是一矩形，一边为32a ，另一边为2a ，故左视图的面积为32a ×2a ＝3a 2. 答案：3a 2 三、解答题9．如图所示是一建筑物的三视图，现需将其外壁用油漆刷一遍，已知每平方米用漆0.2 kg ，问需要多少油漆？(尺寸如图，单位：m ，π取3.14，结果精确到0.01 kg)解：由三视图知建筑物为一组合体，自上而下分别是圆锥和四棱柱，并且圆锥的底面半径为3 m ，母线长为5 m ，四棱柱的高为4 m ，底面是边长为3 m 的正方形．圆锥的表面积为πr 2＋πrl ＝3.14×32＋3.14×3×5＝28.26＋47.1＝75.36(m 2)； 四棱柱的一个底面积为32＝9(m 2)；四棱柱的侧面积为4×4×3＝48(m 2)． 所以外壁面积＝75.36－9＋48＝114.36(m 2)， 需油漆114.36×0.2＝22.872≈22.87(kg)， 答：共需油漆约22.87 kg.10．正四棱台两底面边长分别为a 和b (a <b )．(1)若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积； (2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高．解：(1)如图，设O 1，O 分别为上，下底面的中心，过C 1作C 1E ⊥AC 于E ，过E 作EF ⊥BC 于F ，连接C 1F ，则C 1F 为正四棱台的斜高．由题意知∠C 1CO ＝45°， CE ＝CO －EO ＝CO －C 1O 1＝22(b －a )． 在Rt △C 1CE 中，C 1E ＝CE ＝22(b －a )， 又EF ＝CE ·sin 45°＝12(b －a )，∴斜高C 1F ＝C 1E 2＋EF 2 ＝⎣⎡⎦⎤22(b －a )2＋⎣⎡⎦⎤12(b －a )2＝32(b －a )．∴S 侧＝12(4a ＋4b )×32(b －a )＝3(b 2－a 2)．(2)∵S 上底＋S 下底＝a 2＋b 2， ∴12(4a ＋4b )·h 斜＝a 2＋b 2， ∴h 斜＝a 2＋b 22(a ＋b ).又EF ＝b －a 2，h ＝h 2斜－EF 2＝ab a ＋b. 第2课时 柱、锥、台的体积[核心必知]柱、锥、台的体积公式几何体 公式 说明 柱体V 柱体＝Sh S 为柱体的底面积 h 为柱体的高 锥体V 锥体＝13ShS 为锥体的底面积 h 为锥体的高 台体V 台体＝13(S 上＋S 下＋S 上·S 下)·hS 上，S 下分别为台体的上、下底面面积，h 为台体的高[问题思考]仿照侧面积公式，你能用底面半径和高来表示圆柱、圆锥和圆台的体积公式吗？ 提示：(1)底面半径是r ，高是h 的圆柱的体积是：V 圆柱＝πr 2h . (2)如果圆锥的底面半径是r ，高是h ，那么它的体积是：V 圆锥＝13πr 2h .(3)如果圆台上、下底面半径分别是r ′、r ，高是h ，那么它的体积是：V 圆台＝13πh (r 2＋rr ′＋r ′2)．讲一讲1．已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，点C 到AB 的距离为3 cm ，侧面ABB 1A 1的面积为8 cm 2，求直三棱柱的体积．[尝试解答] 法一：如图，设点C 到AB 的距离为d ，侧面ABB 1A 1的面积为S 1，则△ABC 的面积S ＝12|AB |d .∴直三棱柱的体积V ＝Sh ＝S |AA 1| ＝12|AB |d |AA 1|＝12|AB |·|AA 1|d ＝12S 1 d ＝12(cm 3)． 法二：补上一个相同的直三棱柱可以得到一个直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1.可以看成以A 1ABB 1为底面的四棱柱D 1DCC 1-A 1ABB 1.则ABB 1A 1的面积就是底面积，C 到AB 的距离即为高． ∴四棱柱D 1DCC 1-A 1ABB 1的体积V ＝24(cm 3)， 则直三棱柱的体积为12(cm 3)．(1)直棱柱的侧面与对角面都是矩形，所以方法一利用侧面积与点到直线的距离的乘积求得体积．(2)四棱柱的底面与侧面是相对而言的，即任何一组对面都可以作为底面．所以方法二采用了“补形”求得四棱柱的体积(间接求解)．练一练1．一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比．解：设正方体边长为a ，圆柱高为h ，底面半径为r ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝πr 2， ①2πrh ＝4a 2， ②由①得r ＝ππa ， 由②得πrh ＝2a 2， ∴V 圆柱＝πr 2h ＝2ππa 3，∴V 正方体∶V 圆柱＝a 3∶(2ππa 3)＝π2∶1＝π∶2.讲一讲2.如图，已知四棱锥P -ABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高．若AB ＝6，∠APB ＝∠ADB ＝60°，求四棱锥P -ABCD 的体积．[尝试解答] 因为ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，AB ＝6， 所以HA ＝HB ＝ 3. 因为∠APB ＝∠ADB ＝60°，所以P A ＝PB ＝6，HD ＝HC ＝3tan 30°＝1. 可得PH ＝P A 2－AH 2＝3，等腰梯形ABCD 的面积为S ＝12AC ×BD ＝2＋ 3.所以四棱锥的体积为V ＝13×(2＋3)×3＝3＋233.求锥体的体积，要选择适当的底面和高，然后应用公式V ＝13Sh 进行计算即可，常用方法为割补法和等积变换法：(1)割补法：求一个几何体的体积可以将这个几何体分割成几个柱体、锥体，分别求出柱体和锥体的体积，从而得出几何体的体积．(2)等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面． ①求体积时，可选择容易计算的方式来计算； ②利用“等积性”可求“点到面的距离”． 练一练2．已知三角形ABC 的边长分别是AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，以AB 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得几何体的体积．∵△ABC 为直角三角形，且AB 为斜边，∴绕AB 边旋转一周，所得几何体为两个同底的圆锥，且圆锥的底面半径r ＝125.∴V 锥＝13·AB ·πr 2＝13×5×π×⎝⎛⎭⎫1252＝485π.讲一讲3．圆台上底的面积为16π cm 2，下底半径为6 cm ，母线长为10 cm ，那么，圆台的侧面积和体积各是多少？[尝试解答] 首先，圆台的上底的半径为4 cm ， 于是S 圆台侧＝π(r ＋r ′)l ＝100π(cm 2)． 其次，如图，圆台的高h ＝BC ＝BD 2－(OD －AB )2 ＝102－(6－4)2＝46(cm)， 所以V 圆台＝13h (S ＋SS ′＋S ′)＝13×46×(16π＋16π×36π＋36π) ＝3046π3(cm 3)．求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的高，要注意充分运用棱台内的直角梯形和圆台的轴截面(等腰梯形)等求相关量之间的关系．因为台体是由锥体用平行于底面的平面截得的几何体，所以它的体积也可以转化为两个锥体的体积之差．练一练3．正四棱台的上下底面边长分别为6 cm 和12 cm ，侧面积为180 cm 2，求棱台的体积． 解：如图，分别过正四棱台的底面中心O 1，O 作O 1E 1⊥B 1C 1，OE ⊥BC ，垂足分别为E 1，E ，则E 1E 为正四棱台的斜高．由于正四棱台的侧面积为180 cm 2， 所以12×4×(6＋12)|E 1E |＝180，解得|E 1E |＝5.在直角梯形O 1OEE 1中，O 1E 1＝3，OE ＝6，E 1E ＝5，解得O 1O ＝4.所以正四棱台的体积为V ＝13h (S ＋SS ′＋S ′)＝13×4×(62＋6×12＋122)＝336(cm 3)．如图所示，在长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，用截面截下一个棱锥C -A ′DD ′，求棱锥C -A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比．[解] 法一：设AB ＝a ，AD ＝b ，DD ′＝c ， 则长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′的体积V ＝abc ， 又S △A ′DD ′＝12bc ，且三棱锥C －A ′DD ′的高为CD ＝a ， ∴V 三棱锥C －A ′DD ′＝13S △A ′D ′D ·CD ＝16abc .则剩余部分的体积V 剩＝abc －16abc ＝56abc .故V 三棱锥C －A ′D ′D ∶V 剩＝16abc ∶56abc ＝1∶5.[尝试用另外一种方法解题]法二：已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱ADD ′A ′-BCC ′B ′，设它的底面ADD ′A ′的面积为S ，高为h ，则它的体积为V ＝Sh .而棱锥C －A ′DD ′的底面面积为12S ，高是h ，因此，棱锥C －A ′DD ′的体积V C －A ′DD ′＝13×12Sh ＝16Sh .故余下的体积是Sh －16Sh ＝56Sh .∴棱锥C －A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比为16Sh ∶56Sh ＝1∶5.1．正方体的表面积为96，则正方体的体积是( ) A ．486 B ．64 C ．16 D ．96解析：选B 设正方体的棱长为a ，则6a 2＝96，解得a ＝4，则正方体的体积是a 3＝64.2．(山东高考)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如右图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是( )A ．45，8B ．45，83C ．4(5＋1)，83D ．8,8解析：选B 由题意可知该四棱锥为正四棱锥，底面边长为2，高为2，侧面上的斜高为22＋12＝5，所以S 侧＝4×⎝⎛⎭⎫12×2×5＝45，V ＝13×22×2＝83. 3．(重庆高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋πB.23＋π C.13＋2π D.23＋2π 解析：选A 由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和一个三棱锥组成的．由图中数据可得三棱锥的体积V 1＝13×12×2×1×1＝13，半圆柱的体积V 2＝12×π×12×2＝π，∴V ＝13＋π.4．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________．解析：该空间几何体是一个底面为梯形的四棱柱，其底面积是1＋22×2＝3，高为1，故其体积等于3.答案：35．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的体积为________． 解析：设圆台的上底面半径为r ， 则(3r )2＋(4r )2＝100，解之得r ＝2.∴S 上＝πr 2＝4π，S 下＝π(4r )2＝16πr 2＝64π， h ＝4r ＝8.∴V ＝13(4π＋64π＋16π)×8＝224π.答案：224π6．已知一个三棱台的两底面是边长分别为20 cm 和30 cm 的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高和体积．解：如图，在三棱台ABC -A ′B ′C ′中，O ′、O 分别为上、下底面的中心，D 、D ′分别是BC 、B ′C ′的中点，则DD ′是梯形BCC ′B ′的高，所以S 侧＝12(20＋30)·DD ′·3＝75DD ′.又A ′B ′＝20 cm ，AB ＝30 cm ，则上、下底面面积之和为S 上＋S 下＝34(202＋302)＝3253(cm 2)．由S 侧＝S 上＋S 下得，75DD ′＝3253(cm 2)，所以DD ′＝1333(cm)． 在直角梯形O ′ODD ′中，OD ＝5 3 cm ，O ′D ′＝1033 cm ，O ′O ＝D ′D 2－(OD －O ′D ′)2＝ ⎝⎛⎭⎫13332－⎝⎛⎭⎫53－10332＝43(cm)，即棱台的高h ＝4 3 cm.由棱台的体积公式，可得棱台的体积为V ＝h3(S ＋S ′＋SS ′)＝433·⎝⎛⎭⎫34·302＋34·202＋34·20·30 ＝1 900(cm 3)．一、选择题1．已知圆锥的母线长是8，底面周长为6π，则它的体积是( ) A ．955π B ．955C ．355πD ．355解析：选C 设圆锥底面圆的半径为r ，则2πr ＝6π，∴r ＝3. 设圆锥的高为h ，则h ＝82－32＝55， ∴V 圆锥＝13πr 2h ＝355π.2．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是( )A.23B.76C.45D.56解析：选D 用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，所得三棱锥的体积为13×⎝⎛⎭⎫124＝148，故剩下的凸多面体的体积为1－8×148＝56. 3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )A ．6B ．9C ．12D ．18解析：选B 由三视图可知该几何体为底面是斜边为6的等腰直角三角形，高为3的三棱锥，其体积为13×12×6×3×3＝9.4．(浙江高考)已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )A ．108 cm 3B ．100 cm 3C ．92 cm 3D ．84 cm 3解析：选B 根据几何体的三视图可知，所求几何体是一个长方体截去一个三棱锥，∴几何体的体积V ＝6×6×3－13×12×4×4×3＝100 cm 3.5．分别以一个锐角为30°的直角三角形的最短直角边、较长直角边、斜边所在的直线为轴旋转一周，所形成的几何体的体积之比是( )A ．1∶2∶ 3B ．6∶23∶ 3C ．6∶23∶3D ．3∶23∶6 解析：选C 设如图所示的Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°，BC ＝1，则AB ＝2，AC ＝3，求得斜边上的高CD ＝32，旋转所得几何体的体积分别为V 1＝13π(3)2×1＝π，V 2＝13π×12×3＝33π，V 3＝13π(32)2×2＝12π.V 1∶V 2∶V 3＝1∶33∶12＝6∶23∶3. 二、填空题6．如图已知底面半径为r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a ，最小值为b ，那么圆柱被截后剩下部分的体积是________．解析：采取补体方法，相当于一个母线长为a ＋b 的圆柱截成了两个体积相等的部分，所以剩下部分的体积V ＝πr 2(a ＋b )2.答案：πr 2(a ＋b )27．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器的轴截面的尺寸如图所示，两容器盛有液体的体积正好相等，且液面高均为h ，则h ＝________.解析：锥体的底面半径和高都是h ，圆柱体的底面半径是a 2，高为h ，依题意得π3h 2·h ＝π·(a 2)2·h ，解得h ＝32a . 答案：32a 8．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是________．解析：此几何体的直观图如图，ABCD 为正方形，边长为20 cm ， S 在底面的射影为CD 中点E ，SE ＝20 cm ，V S -ABCD ＝13S ABCD ·SE ＝8 0003cm 3. 答案：8 0003 cm 3三、解答题9．如图所示，是一个底面直径为20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm ，高为20 cm 的一个圆锥体铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降多少？(π＝3.14)解：因为玻璃杯是圆柱形的，所以铅锤取出后，水面下降部分实际是一个小圆柱，这个圆柱的底面与玻璃的底面一样，是一直径为20 cm 的圆柱，它的体积正好等于圆锥体铅锤的体积，这个小圆柱的高就是水面下降的高度．因为圆锥形铅锤的体积为13×π×⎝⎛⎭⎫622×20＝60π(cm 3)， 设水面下降的高度为x ，则小圆柱的体积为π×(20÷2)2×x ＝100πx (cm 3)，所以有方程60π＝100πx ，解此方程得x ＝0.6(cm)．答：铅锤取出后，杯中水面下降了0.6 cm.10．若E ，F 是三棱柱ABC -A 1B 1C 1侧棱BB 1和CC 1上的点，且B 1E ＝CF ，三棱柱的体积为m ，求四棱锥A -BEFC 的体积．解：如图所示，连接AB 1，AC 1.∵B 1E ＝CF ，∴梯形BEFC 的面积等于梯形B 1EFC 1的面积． 又四棱锥A -BEFC 的高与四棱锥A -B 1EFC 1的高相等， ∴V A -BEFC ＝VA -B 1EFC 1＝12VA -BB 1C 1C . 又VA -A 1B 1C 1＝13S △A 1B 1C 1·h ，VABC -A 1B 1C 1＝m ，∴VA -A 1B 1C 1＝m3，∴VA -BB 1C 1C ＝VABC -A 1B 1C 1－VA -A 1B 1C 1＝23m ，∴V A -BEFC ＝12×23m ＝m 3，即四棱锥A -BEFC 的体积是m3. 第3课时 球[核心必知]1．球的表面积公式：S 球面＝4πR 2. 2．球的体积公式：V 球＝43πR 3.[问题思考]用一个平面去截球体，截面的形状是什么？该截面的几何量与球的半径之间有什么关系？提示：可以想象，用一个平面去截球体，截面是圆面，在球的轴截面图中，截面圆与球的轴截面的关系如图所示．若球的半径为R ，截面圆的半径为r ，OO ′＝d . 在Rt △OO ′C 中，OC 2＝OO ′2＋O ′C 2， 即R 2＝r 2＋d 2.讲一讲1．已知过球面上三点A 、B 、C 的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC ＝BC ＝6，AB ＝4，求球面面积与球的体积．[尝试解答] 如图所示，设球心为O ，截面圆圆心O 1，球半径为R ， 连接OO 1，则OO 1是球心到截面的距离．由于OA ＝OB ＝OC ＝R ， 则O 1是△ABC 的外心．设M 是AB 的中点，由于AC ＝BC ， 则O 1在CM 上．设O 1M ＝x ，易知O 1M ⊥AB ，则O 1A ＝22＋x 2， O 1C ＝CM －O 1M ＝62－22－x . 又O 1A ＝O 1C ，∴22＋x 2＝62－22－x . 解得x ＝724.则O 1A ＝O 1B ＝O 1C ＝924.在Rt △OO 1A 中，O 1O ＝R2，∠OO 1A ＝90°，OA ＝R .由勾股定理，得⎝⎛⎭⎫R 22＋⎝⎛⎭⎫9242＝R 2.解得R ＝362.故S 球面＝4πR 2＝54π，V 球＝43πR 3＝276π.计算球的表面积和体积的关键是求出球的半径，这里就要充分利用球的截面的性质进行求解．已知条件中的等量关系，往往是建立方程的依据，这种解题的思想值得重视．练一练1．过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为48π cm 2，试求此球的表面积和体积．解：如图，设截面圆的圆心为O 1， 则OO 1⊥O 1A ，O 1A 为截面圆的半径， OA 为球的半径．∵48π＝π·O 1A 2，∴O 1A 2＝48. 在Rt △AO 1O 中，OA 2＝O 1O 2＋O 1A 2， 即R 2＝⎝⎛⎭⎫12R 2＋48，∴R ＝8(cm)，∴S 球＝4πR 2＝4π×64＝256π(cm 2)，V 球＝43πR 3＝20483π(cm 3).讲一讲2．轴截面是正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为1 cm ，求球的体积． [尝试解答]如图所示，作出轴截面，O 是球心，与边BC 、AC 相切于点D 、E . 连接AD ，OE ，∵△ABC 是正三角形， ∴CD ＝12AC .∵CD ＝1 cm ，∴AC ＝2 cm ，AD ＝ 3 cm ，∵Rt △AOE ∽Rt △ACD ， ∴OE AO ＝CD AC. 设OE ＝r ，则AO ＝(3－r )， ∴r 3－r ＝12， ∴r ＝33cm ， V 球＝43π(33)3＝4327π(cm 3)，即球的体积等于4327π cm 3.解决与球有关的接、切问题时，一般作一个适当的截面，将问题转化为平面问题解决，这类截面通常是指圆锥的轴截面、球的大圆、多面体的对角面等，在这个截面中应包括每个几何体的主要元素，且这个截面包含体和体之间的主要位置关系和数量关系．练一练2．如图，半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为6，求球的表面积和体积．解：作轴截面如图所示，CC ′＝6，AC ＝2·6＝23， 设球的半径为R ，则R 2＝OC 2＋CC ′2＝(3)2＋(6)2＝9， ∴R ＝3，∴S 球＝4πR 2＝36π，V 球＝43πR 3＝36π.一个球内有相距9 cm 的两个平行截面，面积分别为49π cm 2和400π cm 2，求球的表面积．[错解] 如图所示，设OD ＝x ，由题知π·CA2＝49π，∴CA＝7 cm.π·BD2＝400π，∴BD＝20 cm.设球半径为R，则有(CD＋DO)2＋CA2＝R2＝OD2＋DB2，即(9＋x)2＋72＝x2＋202，∴x＝15，R＝25.∴S球＝4πR2＝2 500π cm2.[错因]本题错解的原因在于考虑不周，由于球心可能在两个截面之间，也可能在两个截面的同一侧，因此解决此题要分类讨论．[正解](1)当球心在两个截面的同侧时，解法同错解．(2)当球心在两个截面之间时，如图所示，设OD＝x，则OC＝9－x，设球半径为R，可得x2＋202＝(9－x)2＋72＝R2，此方程无正数解，即此种情况不可能．综上可知，球的表面积是2 500π cm2.1．球的表面积扩大2倍，球的体积扩大()A．2倍 B. 2 倍C．2 2 倍D．3 2 倍解析：选C球的表面积扩大2倍，半径扩大2倍，从而体积扩大(2)3＝22倍．2．两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为()A ．1∶9B ．1∶27C ．1∶3D ．1∶1解析：选A 设两球的半径分别为R 1，R 2. ∵R 1∶R 2＝1∶3，∴两个球的表面积之比为S 1∶S 2＝4πR 21∶4πR 22＝R 21∶R 22＝1∶9.3．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是( )A ．202πB ．252πC ．50πD ．200π解析：选C 设球的半径为R ，则2R ＝33＋42＋52＝5 2. ∴S 球＝4πR 2＝π·(2R )2＝50π.4．(福州高一检测)已知正四棱锥O -ABCD 的体积为322，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________．解析：过O 作底面ABCD 的垂线段OE ，则E 为正方形ABCD 的中心．由题意可知13×(3)2×OE ＝323，所以OE ＝322，故球的半径R ＝OA ＝OE 2＋EA 2＝6，则球的表面积S ＝4πR 2＝24π.答案：24π5．圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.解析：设球的半径为r cm ，则有8πr 2＋3×43πr 3＝πr 2×6r ，由此解得r ＝4.答案：46．某个几何体的三视图如图所示(单位：m)：(1)求该几何体的表面积(结果保留π)； (2)求该几何体的体积(结果保留π)．解：由三视图可知，该几何体是一个四棱柱和一个半球构成的组合体，且半球的直径为2，该四棱柱为棱长为2的正方体．(1)该几何体的表面积为S ＝2πR 2＋6×2×2－π×R 2＝π＋24 (m 2)． (2)该几何体的体积为V ＝12×43πR 3＋23＝23π＋8 (m 3)．一、选择题1．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面面积为π，则球的体积为( ) A.323π B.8π3 C ．82π D.823π解析：选D 所得截面圆的半径为r ＝1，因此球的半径R ＝12＋12＝2，球的体积为 43πR 3＝823π. 2．若三个球的表面积之比是1∶2∶3，则它们的体积之比是( ) A ．1∶2∶3 B ．1∶2∶ 3 C ．1∶22∶3 3 D ．1∶4∶7解析：选C ∵三个球的表面积之比是1∶2∶3，即r 21∶r 22∶r 23＝1∶2∶3.∴r 1∶r 2∶r 3＝1∶2∶3， ∴V 1∶V 2∶V 3＝1∶22∶3 3.3．平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( )A.6π B ．43π C ．46π D ．63π解析：选B 设球的半径为R ，由球的截面性质得R ＝(2)2＋12＝3，所以球的体积V ＝43πR 3＝43π.4．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．πa 2 B.73πa 2C.113πa 2 D ．5πa 2 解析：选B 正三棱柱内接于球，则球心在正三棱柱两底面中心连线的中点处，在直角三角形中可得R ＝⎝⎛⎭⎫a 22＋⎝⎛⎭⎫33a 2＝712a ， ∴S ＝4πR 2＝4π×7a 212＝7π3a 2. 5．(新课标全国卷Ⅰ)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A.500π3 cm 3B.866π3 cm 3C.1 372π3 cm 3D.2 048π3cm 3解析：选A 解题时，先根据已知条件分析出正方体的上底面到球心的距离为(R －2) cm(其中R 为球半径)，再利用球半径、球心距、和截面圆半径构成的直角三角形求出球半径，进而计算出球的体积．设球半径为R cm ，根据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4 cm ，球心到截面的距离为(R －2) cm ，所以由42＋(R －2)2＝R 2，得R ＝5，所以球的体积V ＝43πR 3＝43π×53＝500π3cm 3，选择A.二、填空题6．一个平面截一球得到直径为6 cm 的圆面，球心到这个平面的距离为4 cm ，则球的体积为________ cm 3.解析：如图所示，。
2020秋新版高中数学北师大版必修2课件：第一章立体几何初步 1.7.1 .pptx
l= (2������-������)2 + ( 3������)2=2x,
∴S上底=πx2,S下底=π(2x)2=4πx2,
S侧=π(x+2x)·2x=6πx2,
∴S上底∶S下底∶S侧=(πx2)∶(4πx2)∶(6πx2)=1∶4∶6. ∴圆台的上底面积、下底面积和侧面积之比为1∶4∶6.
反思对于此类问题常作圆台的轴截面,把圆台的轴截面等腰梯形 转化为直角梯形,进而转化为直角三角形,从而将上、下底面的半 径、高、母线长集中在一个直角三角形中研究.
UITANGYANLIAN
3.直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积
多面体 侧面展开图
侧面积公式
直棱柱
S 直棱柱=ch,c 为底面周 长,h 为高
正棱锥
S 正棱锥=12ch',c 为底面周 长,h'为斜高
-8-
7.1 柱、锥、台的侧面展开与面积
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HISHI SHULI
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D典例透析 IANLI TOUXI
S随堂演练 UITANGYANLIAN
题型一 题型二 题型三 题型四
解:如图所示,在△ABC 中,过点 C 作 CD⊥AB,垂足为 D.
由 AC=3,BC=4,AB=5,
知 AC2+BC2=AB2,则 AC⊥BC. 由 AC·BC=AB·CD,解得 CD=152. 则△ABC 以 AB 所在直线为轴旋转所得旋转体是两 个同底的圆锥,且底面半径 r=152,母线长分别是 AC=3,BC=4,所以 S 表面积=πr·(AC+BC)=π×152×(3+4)=845π, 故所求旋转体的表面积是845π.
北师大版必修2高中数学第一章立体几何初步7简单几何体的再认识第2课时柱锥台的体积课件课件
A.13＋π C.13＋2π
B.23＋π D.32＋2π
解析：由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和
一个三棱锥组成的．由图中数据可得三棱锥的体积
V1
＝
1 3
×
1 2
×2×1×1
＝
1 3
，
半
圆
柱
的
体
积
V2
＝
1 2
×π×12×2＝π，∴V＝31＋π.
答案：A
4．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 ________．
讲一讲 2.如图，已知四棱锥 P-ABCD 的底面为等腰梯形， AB∥CD，AC⊥BD，垂足为 H，PH 是四棱锥的高．若 AB＝ 6，∠APB＝∠ADB＝60°，求四棱锥 P-ABCD 的 体积．
[尝试解答] 因为 ABCD 为等腰梯形，AB∥CD，AC
⊥BD，AB＝ 6，
所以 HA＝HB＝ 3.
求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的高， 要注意充分运用棱台内的直角梯形和圆台的轴截面(等腰梯形) 等求相关量之间的关系．因为台体是由锥体用平行 于底面的平面截得的几何体，所以它的体积也可以转化为两 个锥体的体积之差．
练一练 3．正四棱台的上下底面边长分别为6 cm和12 cm，侧面积为 180 cm2，求棱台的体积．
O′O＝ D′D2－OD－O′D′2＝ ＝4 3(cm)，即棱台的高 h＝4 3 cm.
13 3
32－5
3－103
32
由棱台的体积公式，可得棱台的体积为 V＝h3(S＋S′＋ SS′)
＝4 33· 43·302＋ 43·202＋ 43·20·30 ＝1 900(cm3)．
(1)割补法：求一个几何体的体积可以将这个几 何体分割成几个柱体、锥体，分别求出柱体和锥体 的体积，从而得出几何体的体积．
2016-2017学年高中数学 第一章立体几何初步 1.7.1 简单几何体的再认识课件 北师大版必修
(2)若一个圆台的主视图和左视图都是一个上底长为4,下底长为
10,高等于4的等腰梯形,则该圆台的侧面积等于
.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
分析:(1)由轴截面为等边三角形得到圆锥的底面半径和母线长, 求出侧面积和底面积相加即得表面积;(2)由三视图获知该圆台的 上、下底面半径和高,求出母线长然后套用公式可求侧面积.
探究二
探究三
易错辨析
解析:(1)由三视图可知,该几何体是一个正三棱柱,其底面边长为2,
侧棱长为4,因此其侧面积S1=3×2×4=24,其两个底面的面积
S2=2×
3 4
×22=2
3 ,于是其表面积S=S1+S2=24+2
3 ,故选C.
(2)如图所示,正四棱锥的高PO、斜高PE、底面边心距OE组成
Rt△POE.
的侧面积为π(r+3r)×3=84π,解得r=7.
答案:A
12345
4.长方体的对角线长为 2 14,长、宽、高的比为 3∶2∶1,那么它的
表面积为
.
解析:设长,宽,高分别为 3x,2x,x,则对角线长为 9������2 + 4������2 + ������2 =
14x=2 14,∴x=2.
∴表面积S=2(6x2+3x2+2x2)=88.
A.4
B.4 5
22 + 12 = 5,
C.4( 5+1) D.8 1 2×2× 5
4.几何体的表面积 几何体的表面积是指几何体的所有面的面积的和,即该几何体的侧 面积与其底面的面积之和,也称为全面积.
做一做3 一个高为2的圆柱,底面周长为2π,则该圆柱的表面积
北师大版数学必修2 第一章 立体几何初步归纳总结课件(64张)
4.三视图与直观图的画法 三视图和直观图是空间几何体的不同的表现形式，空间几 何体的三视图可以使我们很好地把握空间几何体的性质．由空 间几何体可以画出它的三视图，同样由三视图可以想象出空间 几何体的形状，两者之间可以相互转化． 5．直线和平面平行的判定方法 (1)定义：a∩α＝∅⇒a∥α； (2)判定定理：a∥b，a α，b α⇒a∥α； (3)线面平行的性质：b∥a，b∥α，a α⇒a∥α； (4)面面平行的性质：α∥β，a α⇒a∥β.
8．证明线线垂直的方法 (1)定义：两条直线所成的角为 90° ； (2)平面几何中证明线线垂直的方法； (3)线面垂直的性质：a⊥α，b α⇒a⊥b； (4)线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b.
9．判定两个平面平行的方法 (1)依定义采用反证法； (2)利用判定定理： a∥β，b∥β，a α，b α，a∩b＝A⇒α∥β； (3)垂直于同一条直线的两个平面平行： a⊥α，a⊥β⇒α∥β； (4)平行于同一平面的两个平面平行： α∥γ，β∥γ⇒α∥β.
12．垂直关系的转化
在证明两平面垂直时一般先从现有直线中寻找平面的垂 线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如 有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂 线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．故熟 练掌握“线线垂直”“面面垂直”间的转化条件是解决这类问 题的关键．
明朗化的立体几何问题．
[例 2] 如下图所示，在矩形 ABCD 中，AB＝3 3，BC＝ 3.沿对角线 BD 将△BCD 折起，使点 C 移到点 C′，且 C′O ⊥平面 ABD 于点 O，点 O 恰在 AB 上．
7．证明线面垂直的方法 (1)线面垂直的定义：a 与 α 内任何直线垂直⇒a⊥α； m、n α，m∩n＝A ⇒l⊥α； (2)判定定理 1： l⊥m，l⊥n (3)判定定理 2：a∥b，a⊥α⇒b⊥α； (4)面面平行的性质：α∥β，a⊥α⇒a⊥β； (5)面面垂直的性质；α⊥β，α∩β＝l，a α，a⊥l⇒a⊥β.
北师大版高中数学课本目录标准版
必修1第一章集合§1 集合的含义与表示§2 集合的基本关系§3 集合的基本运算交集与并集全集与补集第二章函数§1 生活中的变量关系§2 对函数的进一步认识函数概念函数的表示法映射§3 函数的单调性§4 二次函数性质的再研究二次函数的图像二次函数的性质§5 简单的幂函数课题学习个人所得税的计算第三章指数函数和对数函数§1 正整数指数函数§2 指数扩充及其运算性质指数概念的扩充指数运算的性质§3指数函数指数函数的概念指数函数和的图像和性质指数函数的图像和性质§4 对数对数及其运算换底公式§5 对数函数对数函数的概念y=log2x的图像和性质对数函数的图像和性质§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较第四章函数应用§1 函数与方程利用函数性质判定方程解的存在利用二分法求方程的近似解§2 实际问题的函数建模实际问题的函数刻画用函数模型解决实际问题函数建模案例必修2第一章立体几何初步§1 简单几何体简单旋转体简单多面体§2 直观图§3 三视图简单组合体的三视图由三视图还原成实物图§4 空间图形的基本关系与公理空间图形基本关系的认识空间图形的公理§5 平行关系平型关系的判定平行关系的性质§6 垂直关系垂直关系的判定垂直关系的性质§7 简单几何体的面积和体积简单几何体的侧面积棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积课题学习正方体截面的形状第二章解析几何初步§1 直线与直线的方程直线的倾斜角和斜率直线的方程两条直线的位置关系两条直线的交点平面直角坐标系中的距离公式§2 圆与圆的方程圆的标准方程圆的一般方程直线与圆、圆与圆的位置关系§3 空间直角坐标系空间直角坐标系的建立空间直角坐标系中点的坐标空间两点间的距离公式必修3第一章统计§1 从普查到抽样§2 抽样方法简单随机抽样分层抽样与系统抽样§3 统计图表§4 数据的数字特征平均数、中位数、众数、极差、方差标准差§5 用样本估计总体估计总体的分布估计总体的数字特征§6 统计活动：结婚年龄的变化§7 相关性§8 最小二乘估计第二章算法初步§1 算法的基本思想算法案例分析排序问题与算法的多样性§2 算法框图的基本结构及设计顺序结构与选择结构变量与赋值循环结构§3 几种基本语句条件语句循环语句第三章概率§1 随机事件的概率频率与概率生活中的概率§2 古典概型古典概型的特征和概率计算公式建立概率模型互斥事件§3 模拟方法—概率的应用必修4第一章三角函数§1 周期现象§2 角的概念的推广§3 弧度制§4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式任意角的正弦函数、余弦函数的定义单位圆与周期性单位圆与诱导公式§5 正弦函数的性质与图像从单位圆看正弦函数的性质正弦函数的图像正弦函数的性质§6 余弦函数的性质与图像正弦函数的图像正弦函数的性质§7 正切函数正切函数的定义正切函数的图像与性质正切函数的诱导公式§8 函数y=Asin 的图像§9 三角函数的简单应用第二章平面向量§1 从位移、速度、力到向量位移、速度、和力向量的概念§2 从位移的合成到向量的加法向量的加法向量的减法§3 从速度的倍数到数乘向量数乘向量平面向量基本定理§4 平面向量的坐标平面向量的坐标表示平面向量线性运算的坐标表示向量平行的坐标表示§5 从力做的功到向量的数量积§6 平面向量数量积的坐标表示§7 向量应用举例点到直线的距离公式向量的应用举例第三章三角恒等变形§1 同角三角函数的基本关系§2 两角和与差的三角函数两角差的余弦函数两角和与差的正弦、余弦函数两角和与差的正切函数§3 二倍角的三角函数必修5第一章数列§1 数列数列的概念数列的函数特征§2 等差数列等差数列等差数列的前n项和§3 等比数列等比数列等比数列的前n项和§4 数列在日常经济生活中的应用第二章解三角形§1 正弦定理与余弦定理正弦定理余弦定理§2 三角形中的几何计算§3 解三角形的实际应用举例第三章不等式§1 不等关系不等关系比较大小§2 一元二次不等式一元二次不等式的解法一元二次不等式的应用§3 基本不等式基本不等式基本不等式与最大（小）值§4 简单线性规划二元一次不等式（组）与平面区域简单线性规划简单线性规划的应用选修1-1第一章常用逻辑用语§1 命题§2 充分条件与必要条件充分条件必要条件充要条件§3 全称量词与存在量词全称量词与全称命题存在量词与特称命题全称命题与特称命题的否定§4 逻辑联结词“且”或“非” 逻辑联结词“且” 逻辑联结词“或” 逻辑联结词“非”第二章圆锥曲线与方程§1 椭圆椭圆及其标准方程椭圆的简单性质§2 抛物线抛物线及其标准方程抛物线的简单性质§3 双曲线双曲线及其标准方程双曲线的简单性质第三章变化率与导数§1 变化的快慢与变化率§2 导数的概念及其几何意义导数的概念导数的几何意义§3 计算导数§4 导数的四则运算法则导数的加法与减法法则导数的乘法与除法法则第四章导数应用§1 函数的单调性与极值导数与函数的单调性函数的极值§2 导数在实际问题中的应用实际问题中的导数的意义最大值、最小值问题选修1-2第一章统计案例§1 回归分析回归分析相关系数可线性化的回归分析§2 独立性检验条件概率与独立事件独立性检验独立性检验的基本思想独立性检验的应用第二章框图§1 流程图§2 结构图第三章推理与证明§1 归纳与类比归纳推理类比推理§2 数学证明§3 综合法与分析法综合法分析法§4 反证法第四章数系的扩充与复数的引入§1 数系的扩充与复数的引入数的概念的扩展复数的有关概念§2 复数的四则运算复数的加法与减法复数的乘法与除法选修2-1第一章常用逻辑用语§1 命题§2 充分条件与必要条件充分条件必要条件充要条件§3 全称量词与存在量词全称量词与全称命题存在量词与特称命题全称命题与特称命题的否定§4 逻辑联结词“且”“或”“非” 逻辑联结词“且” 逻辑联结词“或” 逻辑联结词“非”第二章空间向量与立体几何§1 从平面向量到空间向量§2 空间向量的运算§3 向量的坐标表示和空间向量基本定理空间向量的标准正交分解与坐标表示空间向量基本定理空间向量运算的坐标表示§4 用向量讨论垂直与平行§5 夹角的计算直线间的夹角平面间的夹角直线与平面的夹角§6 距离的计算第三章圆锥曲线与方程§1 椭圆椭圆及其标准方程椭圆的简单性质§2 抛物线抛物线及其标准方程抛物线的简单性质§3 双曲线双曲线及其标准方程双曲线的简单性质§4 曲线与方程曲线与方程圆锥曲线的共同性质直线与圆锥曲线的交点选修2-2第一章推理与证明§1 归纳与类比归纳推理类比推理§2综合法与分析法综合法分析法§3 反证法§4 数学归纳法第二章变化率与导数§1 变化的快慢与变化率§2 导数的概念及其几何意义导数的概念导数的几何意义§3 计算导数§4 导数的四则运算法则导数的加法与减法法则导数的乘法与除法法则§5 简单复合函数的求导法则第三章导数应用§1 函数的单调性与极值导数与函数的单调性函数的极值§2 导数在实际问题中的应用实际问题中的导数的意义最大值、最小值问题第四章定积分§1 定积分的概念定积分的背景—面积和路程问题定积分§2 微积分基本定理§3 定积分的简单应用平面图形的面积简单几何体的体积第五章数系的扩充与复数的引入§1 数系的扩充与复数的引入数的概念的扩展复数的有关概念§2 复数的四则运算复数的加法与减法复数的乘法与除法选修2-3第一章计数原理§1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理§2 排列§3 组合§4 简单计数问题§5 二项式定理二项式定理二项式系数的性质第二章概率§1 离散型随机变量及其分布列§2 超几何分布§3 条件概率与独立事件§4 二项分布§5 离散型随机变量的均值与方差§6 正态分布连续型随机变量正态分布第三章统计案例§1 回归分析回归分析相关系数可线性化的回归分析§2 独立性检验独立性检验独立性检验的基本思想独立性检验的应用选修3-1数学史选讲第一章数学发展概述§1 从数学的起源、早期发展到初等数学形成§2 从变量数学到现代数学第二章数与符号§1 数的表示与十进制§2 数的扩充§3 数学符号第三章几何学发展史§1 从经验几何到演绎几何§2 投影画与射影几何§3 解析几何第四章数学史上的丰碑——微积分§1 积分思想的渊源§2 圆周率§3 微积分第五章无限§1 初识无限§2 实数集的基数第六章明题赏析§1 费马大定理§2 哥尼斯堡七桥问题§3 高次方程§4 中国剩余定理§5 哥德巴赫猜想选修3-3 球面上的几何2007年5月第2版2009年5月第5次印刷第一章球面的基本性质§1 直线、平面与球面的位置关系§2 球面直线与球面距离第二章球面上的三角形§1 球面三角形球面上两直线的交角球面上的对称性球面三角形球面三角形的基本性质球面极三角形§2 球面三角形的全等§3 球面三角形的边角关系平面三角形的余弦定理和正弦定理球面三角形边的余弦定理球面三角形角的余弦定理和正弦定理§4 球面三角形的面积球面二角形球面三角形的面积第三章欧拉公式与非欧几何§1 球面上的欧拉公式球面三角部分球面上的欧拉公式球面上欧拉公式证明§2 简单多面体的欧拉公式凸多面体和简单多面体简单多面体的欧拉公式的证明§3 欧氏几何与球面几何的比较欧氏几何与球面几何的区别与联系另一种非欧几何选修4-1几何证明选讲2008年5月第3版2009年5月第3次印刷第一章直线、多边形、圆§1 全等与相似图形变化的不变形平移、旋转、反射相似与位似平行线分线段成比例定理直角三角形的射影定理§2 圆与直线圆周角定理圆的切线的判定和性质弦切角定理切割线定理相交弦定理§3 圆与四边形圆内接四边形托勒密定理第二章圆锥曲线§1 截面欣赏§2 直线与球、平面与球的位置关系直线与球的位置关系平面与球的关系§3 柱面与平面的截面柱面、旋转面垂直截面一般截面§4 平面截圆锥面圆锥面垂直截面一般截面§5 圆锥曲线的几何性质选修4-22008年6月第3版2009年5月第3次印刷第一章平面向量与二阶方阵§1 平面向量及向量的运算§2 向量的坐标表示及直线的向量方程§3 二阶方阵与平面向量的乘法第二章几何变换与矩阵§1 几种特殊的矩阵变换§2 矩阵变换的性质第三章变换的合成与矩阵乘法§1变换的合成与矩阵乘法§2 矩阵乘法的性质第四章逆变换与逆矩阵§1 逆变换与逆矩阵§2 初等变换与逆矩阵§3 二阶行列式与逆矩阵§4 可逆矩阵与线性方程组第五章矩阵的特征值与特征向量§1 矩阵变换的特征值与特征向量§2 特征向量在生态模型中的简单应用选修4-4坐标系与参数方程2007年5月第2版2009年5月第5次印刷第一章坐标系§1 平面直角坐标系平面直角坐标系与曲线方程平面直角坐标轴中的伸缩变换§2 极坐标系极坐标系的概念点的极坐标与直角坐标的互化直线与圆的极坐标方程曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化圆锥曲线统一的极坐标方程§3 柱坐标系和球坐标系第二章参数方程§1 参数方程的概念§2 直线和圆锥曲线的参数方程直线的参数方程圆的参数方程椭圆的参数方程双曲线的参数方程§3 参数方程化成普通方程§4 平摆线和渐开线平摆线渐开线选修4-5【不等式选讲】2007年5月第2版2009年5月第5次印刷第一章不等关系与基本不等式§1 不等式的性质§2 含有绝对值的等式§3 平均值不等式§4 不等式的证明§5 不等式的应用第二章几个重要的不等式§1 柯西不等式§2 排序不等式§3 数学归纳法与贝努利等式。
北师大版必修2高中数学第一章立体几何初步7简单几何体的再认识第1课时柱锥台的侧面展开与面积课件课件
[尝试解答] (1)选 C 圆柱的侧面积 S 侧＝ 6π×4π＝24π2.①以边长为 6π 的边为轴时，4π 为圆 柱底面周长，则 2πr＝4π，即 r＝2，∴S 底＝4π，S 全 ＝S 侧＋2S 底＝24π2＋8π＝8π(3π＋1)．②以边长为 4π 的边为轴时，6π 为圆柱底面周长，则 2πr＝6π，即 r＝3，∴S 底＝9π，∴S 全＝S 侧＋2S 底＝24π2＋18π＝ 6π(4π＋3)．
练一练 2．已知正三棱锥 V-ABC 的主视图，俯视图如图所 示，其中 VA＝4，AC＝2 3，求该三棱锥的表面积．
讲一讲 2. 已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其内部 有一个高为x的内接圆柱． (1)求圆柱的侧面积； (2)x为何值时，圆柱的侧面积最大？
[尝试解答] 如图是圆锥及内接圆柱的轴截面图．
第1课时 柱、锥、台的侧面展开与面积
[核心必知] 1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
其中r为底面半径，l为侧面母线长，r1，r2分别为圆台的上，下 底面半径．
2．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积
4．集合中元素的性质 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性．
其中c′，c分别表示上，下底面周长，h表示高，h′表示斜高．
3．棱柱的侧面积一定等于底面周长与侧棱长的乘积吗？
提示：不一定．由棱柱的概念与性质可知棱柱的侧面展开 图是一个平行四边形，此平行四边形的一边为棱柱的底面 周长，另一边长为棱柱的侧棱长，但此平行四边形若不是 矩形，则它的面积并不等于这两边长的乘积，所以棱柱的 侧面积并不一定等于底面周长与侧棱长的乘积，只有直棱 柱的侧面积才等于底面周长与侧棱长的乘积．
练一练
如图所示，圆柱 OO′的底面半径为 2 cm，高为 4 cm， 点 P 为母线 B′B 的中点，∠AOB＝23π，试求一蚂蚁从 A 点沿圆柱表面爬到 P 点的最短路程．
高中数学 第一章《立体几何初步》简单几何体课件 北师大版必修2
棱锥的侧棱
D
棱锥的侧面
E A
C 棱锥的底面
B
第三十二页，共39页。
• 一个特殊的棱锥：正棱锥 把底面为正多形，侧面(cèmiàn)是全等的三角形的棱锥 叫作正棱锥
• 正棱锥的性质：正棱锥的侧棱长相等；侧面(cèmiàn)是 全等
•
的等腰三角形；
第三十三页，共39页。
S
A
BC
D
2、棱锥的分类：按底面多边形的边数，可以(kěyǐ) 分为三棱锥、四棱锥、五棱锥、……
母表示，如球O
球心
B 第八页，共39页。
请大家想一想怎样(zěnyàng)用集合的观点去定义 球？
• 把到定点O的距离等于或小定长的点的集合 叫作球体，简称球。
• 其中(qízhōng)：把定点O叫作球心，定长叫 作球的半径
• 到定点O的距离等于定长的点的集合叫作球 面。
第九页，共39页。
问题4: 如图所示:把矩形ABCD绕着其一边AB所 在的直线在空间中旋转一周(yī zhōu)，则矩形的 其它三条边在旋转的过程中所形成的曲面围成的
二、教学重点、难点
重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、 台、球的结构特征。难点：柱、锥、台、球的结构特征的概 括。
三、教学方法：（1）学法：观察、思考、交流、讨论、概 括。（2）探究交流法
四、教学过程
第二页，共39页。
§1.简单(jiǎndān)几何体
❖导入：三维空间是人类生存的现实空间，生活中蕴 涵着丰富的几何体，请大家欣赏(xīnshǎng)下列各式 各样的几何体。
问题2:如图所示：已知直线(zhíxiàn)AB垂直于直线 (zhíxiàn)L于O点，如果把直线(zhíxiàn)AB绕着点O点旋转
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高中数学北师大版目录北师大版《数学 (必修 1)》§ 5 平行关系全书目录：§ 6 垂直关系第一章集合§ 7 简单几何体的面积和体积§ 1 集合的含义与表示§ 8 面积公式和体积公式的简单应用§ 2 集合的基本关系阅读材料蜜蜂是对的§ 3 集合的基本运算课题学习正方体截面的形状阅读材料康托与集合论第二章解析几何初步第二章函数§ 1 直线与直线的方程§ 1 生活中的变量关系§ 2 圆与圆的方程§ 2 对函数的进一步认识§ 3 空间直角坐标系§ 3 函数的单调性阅读材料笛卡儿与解析几何§ 4 二次函数性质的再研究探究活动 1 打包问题§ 5 简单的幂函数探究活动 2 追及问题阅读材料函数概念的发展课题学习个人所得税的计算必修 3全书目录第三章指数函数和对数函数第一章统计§ 1 正整数指数函数§ 1 统计活动：随机选取数字§ 2 指数概念的扩充§ 2 从普查到抽样§ 3 指数函数§ 3 抽样方法§ 4 对数§ 4 统计图表§ 5 对数函数§ 5 数据的数字特征§ 6 指数函数、幂函数、对数函数增长§ 6 用样本估计总体的比较§ 7 统计活动：结婚年龄的变化阅读材料历史上数学计算方面的三大§ 8 相关性发明§ 9 最小二乘法阅读材料统计小史第四章函数应用课题学习调查通俗歌曲的流行趋势§ 1 函数与方程§ 2 实际问题的函数建模第二章算法初步阅读材料函数与中学数学§ 1 算法的基本思想探究活动同种商品不同型号的价格问§ 2 算法的基本结构及设计题§ 3 排序问题§ 4 几种基本语句必修 2 课题学习确定线段 n 等分点的算法全书目录：第一章立体几何初步第三章概率§ 1 简单几何体§ 1 随机事件的概率§ 2 三视图§ 2 古典概型§ 3 直观图§ 3 模拟方法――概率的应用§ 4 空间图形的基本关系与公理探究活动用模拟方法估计圆周率∏的值 1.2 数列的函数特性§ 2 等差数列必修 4 全书目录： 2.1 等差数列2.2 等差数列的前ｎ项和第一章三角函数§ 3 等比数列§ 1 周期现象与周期函数 3.1 等比数列§ 2 角的概念的推广 3.2 等比数列的前ｎ项和§ 3 弧度制§ 4 书雷在日常经济生活中的应§ 4 正弦函数用§ 5 余弦函数本章小节建议§ 6 正切函数复习题一§ 7 函数的图像课题学习教育储蓄§ 8 同角三角函数的基本关系阅读材料数学与音乐第二章解三角形课题学习利用现代信息技术探究的图§ 1 正弦定理与余弦定理像 1.1 正弦定理1.2 余弦定理第二章平面向量§ 2 三角形中的几何计算§ 1 从位移、速度、力到向量§ 3 解三角形的实际应用举例§ 2 从位移的合成到向量的加法本章小结建议§ 3 从速度的倍数到数乘向量复习题二§ 4 平面向量的坐标§ 5 从力做的功到向量的数量积第三章不等式§ 6 平面向量数量积的坐标表示§ 1 不等关系§ 7 向量应用举例 1.1 不等关系阅读材料向量与中学数学 1.2 比较大小§ 2 一元二次不等式第三章三角恒等变形 2.1 一元二次不等式的解法§ 1 两角和与差的三角函数 2.2 一元二次不等式的应用§ 2 二倍角的正弦、余弦和正切§ 3 基本不等式§ 3 半角的三角函数 3.1 基本不等式§ 4 三角函数的和差化积与积化和差 3.2 基本不等式与最大（小）§ 5 三角函数的简单应用值课题学习摩天轮中的数学问题§ 4 简单线性规划探究活动升旗中的数学问题 4.1 二元一次不等式（组）与平面区域4.2 简单线性规划必修 5 4.3 简单线性规划的应用全书共三章：数列、解三角形、不等式。
北师大版高中数学必修2第一章《立体几何初步》全部教案
北师大版高中数学必修2第一章《立体几何初步》全部教案1.1简单几何体第一课时 1.1.1简单旋转体一、教学目标：1．知识与技能：（1）通过实物操作，增强学生的直观感知。
（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。
（3）会用语言概述圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征。
（4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。
2．过程与方法：（1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征。
（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。
3．情感态度与价值观：（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。
（2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。
二、教学重点、难点重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征。
难点：圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征的概括。
三、教学方法（1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。
（2）教法：探析讨论法。
四、教学过程：(一)、新课导入：1. 讨论：经典的建筑给人以美的享受，其中奥秘为何？世间万物，为何千姿百态？2. 提问：小学与初中在平面上研究过哪些几何图形？在空间范围上研究过哪些？3. 导入：进入高中，在必修②的第一、二章中，将继续深入研究一些空间几何图形，即学习立体几何，注意学习方法：直观感知、操作确认、思维辩证、度量计算.(二)、研探新知：（Ⅰ）、空间几何体的类型问题提出：1.在平面几何中，我们认识了三角形，正方形，矩形，菱形，梯形，圆，扇形等平面图形.那么对空间中各种各样的几何体，我们如何认识它们的结构特征？2.对空间中不同形状、大小的几何体我们如何理解它们的联系和区别？探究：空间几何体的类型思考1：在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分.如果我们只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.你能列举那些空间几何体的实例？思考2：观察下列图片，你知道这图片在几何中分别叫什么名称吗？思考3：如果将这些几何体进行适当分类，你认为可以分成那几种类型？思考4：图（2）（5）（7）（9）（13）（14）（15）（16）有何共同特点？这些几何体可以统一叫什么名称？多面体思考5：图（1）（3）（4）（6）（8）（10）（11）（12）有何共同特点？这些几何体可以统一叫什么名称？旋转体思考6：一般地，怎样定义多面体？围成多面体的各个多边形，相邻两个多边形的公共边，以及这些公共边的公共顶点分别叫什么名称？由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体 .思考7：一般地，怎样定义旋转体？ 面 定点棱轴由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体。
最新【北师大版】高中数学必修2精品讲学案：1.7-简单几何体的再认识(含答案)
最新北师大版数学精品教学资料第1课时柱、锥、台的侧面展开与面积[核心必知]1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式其中r122．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积其中c′，c[问题思考]1．一个几何体的平面展开图一定相同吗？其表面积是否确定？提示：不同的展开方式，几何体的展开图不一定相同．表面积是各个面的面积和，几何体的侧面展开方法可能不同，但其表面积唯一确定．2．柱体、锥体、台体之间有如下关系：那么台体、锥体、柱体的侧面积公式有什么联系？提示：根据以上关系，在台体的侧面积公式中，令c′＝c，可以得到柱体的侧面积公式，令c ′＝0，可得到锥体的侧面积公式，其关系如下所示：S 柱侧＝ch ′c ＝c ′,S 台侧＝12(c ＋c ′)h ′――→c ′＝0S 锥侧＝12ch ′.3．棱柱的侧面积一定等于底面周长与侧棱长的乘积吗？提示：不一定．由棱柱的概念与性质可知棱柱的侧面展开图是一个平行四边形，此平行四边形的一边为棱柱的底面周长，另一边长为棱柱的侧棱长，但此平行四边形若不是矩形，则它的面积并不等于这两边长的乘积，所以棱柱的侧面积并不一定等于底面周长与侧棱长的乘积，只有直棱柱的侧面积才等于底面周长与侧棱长的乘积．讲一讲1．(1)圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的表面积为( ) A ．6π(4π＋3) B ．8π(3π＋1)C ．6π(4π＋3)或8π(3π＋1)D ．6π(4π＋1)或8π(3π＋2)(2)圆锥的中截面把圆锥侧面分成两部分，则这两部分侧面积的比为( ) A ．1∶1 B ．1∶2 C ．1∶3 D ．1∶4[尝试解答] (1)选C 圆柱的侧面积S 侧＝6π×4π＝24π2.①以边长为6π的边为轴时，4π为圆柱底面周长，则2πr ＝4π，即r ＝2，∴S 底＝4π，S 全＝S 侧＋2S 底＝24π2＋8π＝8π(3π＋1)．②以边长为4π的边为轴时，6π为圆柱底面周长，则2πr ＝6π，即r ＝3，∴S 底＝9π，∴S 全＝S侧＋2S 底＝24π2＋18π＝6π(4π＋3)．(2)选C 如图所示，PB 为圆锥的母线，O 1，O 2分别为截面与底面的圆心．∵O 1为PO 2的中点，∴PO 1PO 2＝P A PB ＝O 1A O 2B ＝12，∴P A ＝AB ，O 2B ＝2O 1A . ∵S 圆锥侧＝12×2π·O 1A ·P A ，S 圆台侧＝12×2π·(O 1A ＋O 2B )·AB ，∴S 圆锥侧S 圆台侧＝O 1A ·P A (O 1A ＋O 2B )·AB ＝13.1．求柱、锥、台的表面积(或全面积)就是求它们的侧面积和(上、下)底面积之和． 2．求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台，再通过这些基本柱、锥、台的表面积，进行求和或作差，从而获得几何体的表面积．练一练1．圆台的上、下底面半径分别是10 cm 和20 cm ，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积是多少？解：如图所示，设圆台的上底面周长为c ，因为扇环的圆心角是180°，故c ＝π·SA ＝2π×10， 所以SA ＝20(cm)， 同理可得SB ＝40(cm)， 所以AB ＝SB －SA ＝20(cm)， 所以S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下＝π(r 1＋r 2)·AB ＋πr 21＋πr 22＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm 2)．故圆台的表面积为1 100π cm 2.讲一讲2．五棱台的上、下底面均是正五边形，边长分别是8 cm 和18 cm ，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长是13 cm ，求它的侧面积．[尝试解答] 如图是五棱台的其中一个侧面，它是一个上底、下底分别为8 cm 和18 cm ，腰长为13 cm 的等腰梯形，由点A 向BC 作垂线，设垂足为E ，由点D 向BC 作垂线，设垂足为F ，易知BE ＝CF .∵BE ＋EF ＋FC ＝2BF －AD ＝BC ，∴BF ＝BC ＋AD 2＝18＋82＝13.∴BE ＝BF －AD ＝13－8＝5.又AB ＝13，∴AE ＝12.∴S 四边形ABCD ＝12(AD ＋BC )·AE ＝12×(18＋8)×12＝156(cm 2)．故其侧面积为156×5＝780(cm 2)．要求锥体、柱体、台体的侧面积及表面积，需根据题目中的已知条件寻求锥体、柱体、台体的侧面积及表面积公式所需条件，然后应用公式进行解答．练一练2．已知正三棱锥V -ABC 的主视图，俯视图如图所示，其中VA ＝4，AC ＝23，求该三棱锥的表面积．解：由主视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图，且VA ＝VB ＝VC ＝4， AB ＝BC ＝AC ＝23， 取BC 的中点D ，连接VD ，则VD ＝VB 2－BD 2＝42－(3)2＝13， ∴S △VBC ＝12×VD ×BC ＝12×13×23＝39，S △ABC ＝12×(23)2×32＝33，∴三棱锥V -ABC 的表面积为3S △VBC ＋S △ABC ＝339＋33＝3(39＋3).讲一讲3．已知一个圆锥的底面半径为R ，高为H ，在其内部有一个高为x 的内接圆柱． (1)求圆柱的侧面积；(2)x 为何值时，圆柱的侧面积最大？[尝试解答] 如图是圆锥及内接圆柱的轴截面图．(1)设所求圆柱的底面半径为r ， 则r R ＝H －x H ，∴ r ＝R －R H x ， ∴S 圆柱侧＝2πrx ＝2πRx －2πR H ·x 2.(2)∵S 圆柱侧是关于x 的二次函数，∴当x ＝－2πR 2×(－2πR H )＝H2时，S 圆柱侧有最大值，即当圆柱的高是圆锥的高的一半时，它的侧面积最大．解决组合体的表面积问题，要充分考虑组合体各部分的量之间的关系，将其转化为简单多面体与旋转体的表面积问题进行求解．练一练3．已知底面半径为 3 cm ，母线长为 6 cm 的圆柱，挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点，下底面为底面的圆锥，求所得几何体的表面积．解：如图，由题意易知圆锥的母线长为3 cm.则S ＝S 底＋S 柱侧＋S 圆锥侧＝π×(3)2＋2π×3×6＋π×3×3 ＝(3＋62＋33)π(cm 2)．如图所示，圆柱OO ′的底面半径为2 cm ，高为4 cm ，点P 为母线B ′B 的中点，∠AOB ＝23π，试求一蚂蚁从A 点沿圆柱表面爬到P 点的最短路程．[巧思] 将圆柱的侧面展开，将A 、P 两点转化到同一个平面上解决．[妙解] 将圆柱侧面沿母线AA ′剪开展平为平面图，如图，则易知最短路径为平面图中线段AP .在Rt △ABP 中，AB ＝23π×2＝43π(cm)，PB ＝2(cm)，∴AP ＝AB 2＋BP 2＝234π2＋9(cm)． 故蚂蚁爬的最短路程为234π2＋9 cm.1．矩形的边长分别为1和2，分别以这两边为轴旋转，所形成的几何体的侧面积之比为( )A ．1∶2B ．1∶1C ．1∶4D ．4∶1解析：选B 以边长为1的边为轴旋转得到的圆柱的侧面积 S 1＝2π×2×1＝4π，以边长为2的边为轴旋转得到的圆柱的侧面积S 2＝2π×1×2＝4π， ∴S 1∶S 2＝4π∶4π＝1∶1.2．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．8解析：选C 设圆台的母线长为l ，上、下底面半径分别为r ，R ， 则l ＝12(r ＋R )．又32π＝π(r ＋R )l ＝2πl 2， ∴l 2＝16， ∴l ＝4.3．(北京高考)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )A ．28＋6 5B ．30＋6 5C ．56＋12 5D ．60＋12 5解析：选B 由题中的三视图知，该三棱锥的立体图形如图所示．由题中所给条件，可求得S △ABD ＝12×4×5＝10，S △ACD ＝S △BCD ＝12×4×5＝10，AC ＝BC ＝41，AB ＝25，可求得△ABC 中AB 边上的高为41－5＝6，所以S △ABC ＝12×6×25＝6 5.综上可知，该三棱锥的表面积为S △ABD ＋S △ACD ＋S △BCD ＋S △ABC ＝30＋6 5.4．圆锥的侧面展开图是半径为R 的半圆，则圆锥的高是________． 解析：设底面半径是r ，则2πr ＝πR ， ∴r ＝R 2，∴圆锥的高h ＝R 2－r 2＝32R .答案：32R 5．若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示，则其表面积等于________．解析：根据题意可知，该棱柱的底面边长为2，高为1，侧棱和底面垂直，故其表面积S ＝34×22×2＋2×1×3＝6＋2 3. 答案：6＋2 36.一个几何体的三视图如图所示．已知主视图是底边长为1的平行四边形，左视图是一个长为3，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为2的正方形拼成的矩形．求该几何体的表面积S .解：由三视图可知，该平行六面体中，A 1D ⊥平面ABCD ，CD ⊥平面BCC 1B 1， 所以AA 1＝2，侧面ABB 1A 1，CDD 1C 1均为矩形， 所以S ＝2×(1×1＋1×3＋1×2) ＝6＋2 3.一、选择题1．圆台的母线长扩大为原来的n 倍，两底面半径都缩小为原来的1n 倍，那么它的侧面积变为原来的( )A ．1倍B ．n 倍C ．n 2倍 D.1n倍解析：选A 由S 侧＝π(r ′＋r )l .当r ，r ′缩小1n 倍，l 扩大n 倍时，S 侧不变．2．已知正四棱锥底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为( ) A ．12 B ．36 C ．24 D ．48解析：选D 正四棱锥的斜高h ′＝52－32＝4， S 侧＝4×12×6×4＝48.3．长方体的对角线长为214，长、宽、高的比为3∶2∶1，那么它的表面积为( ) A ．44 B ．88 C ．64 D ．48解析：选B 设长，宽，高分别为3x,2x ，x ，则对角线长为9x 2＋4x 2＋x 2＝14x ＝214，∴x ＝2.∴表面积S ＝2(6x 2＋3x 2＋2x 2)＝88.4．圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( ) A ．4πS B ．2πS C ．πS D.233πS解析：选A 设圆柱的底面半径为R ，则S ＝πR 2， ∴R ＝S π， 则圆柱的母线长l ＝2πR ＝2S π. S 侧面积＝(2πR )2＝4π2R 2＝4π2×Sπ＝4πS .5．(重庆高考)某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为( )A ．180B ．200C ．220D ．240解析：选D 几何体为直四棱柱，其高为10，底面是上底为2，下底为8，高为4，腰为5的等腰梯形，故两个底面面积的和为12×(2＋8)×4×2＝40，四个侧面面积的和为(2＋8＋5×2)×10＝200，所以直四棱柱的表面积为S ＝40＋200＝240，故选D.二、填空题6．已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的侧面积为________．解析：设上底面半径为r ，则下底面半径为4r ，高为4r ，如图．∵母线长为10，∴有102＝(4r )2＋(4r －r )2，解得r ＝2. ∴S 圆台侧＝π(r ＋4r )×10＝100π. 答案：100π7．已知棱长为1，各面都是正三角形的四面体，则它的表面积是________． 解析：由条件可知，四面体的斜高为32， 所以其表面积为S 表＝4×12×1×32＝ 3.答案： 38．如图，直三棱柱的主视图面积为2a 2，则左视图的面积为________．解析：此直三棱柱的底面是边长为a 的正三角形，该三角形的高为32a .左视图是一矩形，一边为32a ，另一边为2a ，故左视图的面积为32a ×2a ＝3a 2. 答案：3a 2 三、解答题9．如图所示是一建筑物的三视图，现需将其外壁用油漆刷一遍，已知每平方米用漆0.2 kg ，问需要多少油漆？(尺寸如图，单位：m ，π取3.14，结果精确到0.01 kg)解：由三视图知建筑物为一组合体，自上而下分别是圆锥和四棱柱，并且圆锥的底面半径为3 m ，母线长为5 m ，四棱柱的高为4 m ，底面是边长为3 m 的正方形．圆锥的表面积为πr 2＋πrl ＝3.14×32＋3.14×3×5＝28.26＋47.1＝75.36(m 2)； 四棱柱的一个底面积为32＝9(m 2)；四棱柱的侧面积为4×4×3＝48(m 2)． 所以外壁面积＝75.36－9＋48＝114.36(m 2)， 需油漆114.36×0.2＝22.872≈22.87(kg)， 答：共需油漆约22.87 kg.10．正四棱台两底面边长分别为a 和b (a <b )．(1)若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积； (2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高．解：(1)如图，设O 1，O 分别为上，下底面的中心，过C 1作C 1E ⊥AC 于E ，过E 作EF ⊥BC 于F ，连接C 1F ，则C 1F 为正四棱台的斜高．由题意知∠C 1CO ＝45°， CE ＝CO －EO ＝CO －C 1O 1＝22(b －a )． 在Rt △C 1CE 中，C 1E ＝CE ＝22(b －a )， 又EF ＝CE ·sin 45°＝12(b －a )，∴斜高C 1F ＝C 1E 2＋EF 2 ＝⎣⎡⎦⎤22(b －a )2＋⎣⎡⎦⎤12(b －a )2＝32(b －a )．∴S 侧＝12(4a ＋4b )×32(b －a )＝3(b 2－a 2)．(2)∵S 上底＋S 下底＝a 2＋b 2， ∴12(4a ＋4b )·h 斜＝a 2＋b 2， ∴h 斜＝a 2＋b 22(a ＋b ).又EF ＝b －a 2，h ＝h 2斜－EF 2＝ab a ＋b. 第2课时 柱、锥、台的体积[核心必知]柱、锥、台的体积公式仿照侧面积公式，你能用底面半径和高来表示圆柱、圆锥和圆台的体积公式吗？ 提示：(1)底面半径是r ，高是h 的圆柱的体积是：V 圆柱＝πr 2h . (2)如果圆锥的底面半径是r ，高是h ，那么它的体积是：V 圆锥＝13πr 2h .(3)如果圆台上、下底面半径分别是r ′、r ，高是h ，那么它的体积是：V 圆台＝13πh (r 2＋rr ′＋r ′2)．讲一讲1．已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，点C 到AB 的距离为3 cm ，侧面ABB 1A 1的面积为8 cm 2，求直三棱柱的体积．[尝试解答] 法一：如图，设点C 到AB 的距离为d ，侧面ABB 1A 1的面积为S 1，则△ABC 的面积S ＝12|AB |d .∴直三棱柱的体积V ＝Sh ＝S |AA 1| ＝12|AB |d |AA 1|＝12|AB |·|AA 1|d ＝12S 1 d ＝12(cm 3)． 法二：补上一个相同的直三棱柱可以得到一个直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1.可以看成以A 1ABB 1为底面的四棱柱D 1DCC 1-A 1ABB 1.则ABB 1A 1的面积就是底面积，C 到AB 的距离即为高． ∴四棱柱D 1DCC 1-A 1ABB 1的体积V ＝24(cm 3)， 则直三棱柱的体积为12(cm 3)．(1)直棱柱的侧面与对角面都是矩形，所以方法一利用侧面积与点到直线的距离的乘积求得体积．(2)四棱柱的底面与侧面是相对而言的，即任何一组对面都可以作为底面．所以方法二采用了“补形”求得四棱柱的体积(间接求解)．练一练1．一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比．解：设正方体边长为a ，圆柱高为h ，底面半径为r ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝πr 2， ①2πrh ＝4a 2， ② 由①得r ＝πa ， 由②得πrh ＝2a 2， ∴V 圆柱＝πr 2h ＝2ππa 3，∴V 正方体∶V 圆柱＝a 3∶(2ππa 3)＝π2∶1＝π∶2.讲一讲2.如图，已知四棱锥P -ABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高．若AB ＝6，∠APB ＝∠ADB ＝60°，求四棱锥P -ABCD 的体积．[尝试解答] 因为ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，AB ＝6， 所以HA ＝HB ＝ 3. 因为∠APB ＝∠ADB ＝60°，所以P A ＝PB ＝6，HD ＝HC ＝3tan 30°＝1. 可得PH ＝P A 2－AH 2＝3，等腰梯形ABCD 的面积为S ＝12AC ×BD ＝2＋ 3.所以四棱锥的体积为V ＝13×(2＋3)×3＝3＋233.求锥体的体积，要选择适当的底面和高，然后应用公式V ＝13Sh 进行计算即可，常用方法为割补法和等积变换法：(1)割补法：求一个几何体的体积可以将这个几何体分割成几个柱体、锥体，分别求出柱体和锥体的体积，从而得出几何体的体积．(2)等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面． ①求体积时，可选择容易计算的方式来计算； ②利用“等积性”可求“点到面的距离”． 练一练2．已知三角形ABC 的边长分别是AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，以AB 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得几何体的体积．∵△ABC 为直角三角形，且AB 为斜边，∴绕AB 边旋转一周，所得几何体为两个同底的圆锥，且圆锥的底面半径r ＝125.∴V 锥＝13·AB ·πr 2＝13×5×π×⎝⎛⎭⎫1252＝485π.讲一讲3．圆台上底的面积为16π cm 2，下底半径为6 cm ，母线长为10 cm ，那么，圆台的侧面积和体积各是多少？[尝试解答] 首先，圆台的上底的半径为4 cm ， 于是S 圆台侧＝π(r ＋r ′)l ＝100π(cm 2)． 其次，如图，圆台的高h ＝BC ＝BD 2－(OD －AB )2 ＝102－(6－4)2＝46(cm)， 所以V 圆台＝13h (S ＋SS ′＋S ′)＝13×46×(16π＋16π×36π＋36π) ＝3046π3(cm 3)．求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的高，要注意充分运用棱台内的直角梯形和圆台的轴截面(等腰梯形)等求相关量之间的关系．因为台体是由锥体用平行于底面的平面截得的几何体，所以它的体积也可以转化为两个锥体的体积之差．练一练3．正四棱台的上下底面边长分别为6 cm 和12 cm ，侧面积为180 cm 2，求棱台的体积． 解：如图，分别过正四棱台的底面中心O 1，O 作O 1E 1⊥B 1C 1，OE ⊥BC ，垂足分别为E 1，E ，则E 1E 为正四棱台的斜高．由于正四棱台的侧面积为180 cm 2， 所以12×4×(6＋12)|E 1E |＝180，解得|E 1E |＝5.在直角梯形O 1OEE 1中，O 1E 1＝3，OE ＝6，E 1E ＝5，解得O 1O ＝4.所以正四棱台的体积为V ＝13h (S ＋SS ′＋S ′)＝13×4×(62＋6×12＋122)＝336(cm 3)．如图所示，在长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，用截面截下一个棱锥C -A ′DD ′，求棱锥C -A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比．[解] 法一：设AB ＝a ，AD ＝b ，DD ′＝c ， 则长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′的体积V ＝abc ， 又S △A ′DD ′＝12bc ，且三棱锥C －A ′DD ′的高为CD ＝a ， ∴V 三棱锥C －A ′DD ′＝13S △A ′D ′D ·CD ＝16abc .则剩余部分的体积V 剩＝abc －16abc ＝56abc .故V 三棱锥C －A ′D ′D ∶V 剩＝16abc ∶56abc ＝1∶5.[尝试用另外一种方法解题]法二：已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱ADD ′A ′-BCC ′B ′，设它的底面ADD ′A ′的面积为S ，高为h ，则它的体积为V ＝Sh .而棱锥C －A ′DD ′的底面面积为12S ，高是h ，因此，棱锥C －A ′DD ′的体积V C －A ′DD ′＝13×12Sh ＝16Sh .故余下的体积是Sh －16Sh ＝56Sh .∴棱锥C －A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比为16Sh ∶56Sh ＝1∶5.1．正方体的表面积为96，则正方体的体积是( ) A ．486 B ．64 C ．16 D ．96解析：选B 设正方体的棱长为a ，则6a 2＝96，解得a ＝4，则正方体的体积是a 3＝64.2．(山东高考)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如右图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是( )A ．45，8B ．45，83C ．4(5＋1)，83D ．8,8解析：选B 由题意可知该四棱锥为正四棱锥，底面边长为2，高为2，侧面上的斜高为22＋12＝5，所以S 侧＝4×⎝⎛⎭⎫12×2×5＝45，V ＝13×22×2＝83. 3．(重庆高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋πB.23＋π C.13＋2π D.23＋2π 解析：选A 由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和一个三棱锥组成的．由图中数据可得三棱锥的体积V 1＝13×12×2×1×1＝13，半圆柱的体积V 2＝12×π×12×2＝π，∴V ＝13＋π.4．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________．解析：该空间几何体是一个底面为梯形的四棱柱，其底面积是1＋22×2＝3，高为1，故其体积等于3.答案：35．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的体积为________． 解析：设圆台的上底面半径为r ， 则(3r )2＋(4r )2＝100，解之得r ＝2.∴S 上＝πr 2＝4π，S 下＝π(4r )2＝16πr 2＝64π， h ＝4r ＝8.∴V ＝13(4π＋64π＋16π)×8＝224π.答案：224π6．已知一个三棱台的两底面是边长分别为20 cm 和30 cm 的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高和体积．解：如图，在三棱台ABC -A ′B ′C ′中，O ′、O 分别为上、下底面的中心，D 、D ′分别是BC 、B ′C ′的中点，则DD ′是梯形BCC ′B ′的高，所以S 侧＝12(20＋30)·DD ′·3＝75DD ′.又A ′B ′＝20 cm ，AB ＝30 cm ，则上、下底面面积之和为S 上＋S 下＝34(202＋302)＝3253(cm 2)．由S 侧＝S 上＋S 下得，75DD ′＝3253(cm 2)，所以DD ′＝1333(cm)． 在直角梯形O ′ODD ′中，OD ＝5 3 cm ，O ′D ′＝1033 cm ，O ′O ＝D ′D 2－(OD －O ′D ′)2＝ ⎝⎛⎭⎫13332－⎝⎛⎭⎫53－10332＝43(cm)，即棱台的高h ＝4 3 cm.由棱台的体积公式，可得棱台的体积为V ＝h3(S ＋S ′＋SS ′)＝433·⎝⎛⎭⎫34·302＋34·202＋34·20·30 ＝1 900(cm 3)．一、选择题1．已知圆锥的母线长是8，底面周长为6π，则它的体积是( ) A ．955π B ．955C ．355πD ．355解析：选C 设圆锥底面圆的半径为r ，则2πr ＝6π，∴r ＝3. 设圆锥的高为h ，则h ＝82－32＝55， ∴V 圆锥＝13πr 2h ＝355π.2．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是( )A.23B.76C.45D.56解析：选D 用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，所得三棱锥的体积为13×⎝⎛⎭⎫124＝148，故剩下的凸多面体的体积为1－8×148＝56. 3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )A ．6B ．9C ．12D ．18解析：选B 由三视图可知该几何体为底面是斜边为6的等腰直角三角形，高为3的三棱锥，其体积为13×12×6×3×3＝9.4．(浙江高考)已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )A ．108 cm 3B ．100 cm 3C ．92 cm 3D ．84 cm 3解析：选B 根据几何体的三视图可知，所求几何体是一个长方体截去一个三棱锥，∴几何体的体积V ＝6×6×3－13×12×4×4×3＝100 cm 3.5．分别以一个锐角为30°的直角三角形的最短直角边、较长直角边、斜边所在的直线为轴旋转一周，所形成的几何体的体积之比是( )A ．1∶2∶ 3B ．6∶23∶ 3C ．6∶23∶3D ．3∶23∶6 解析：选C 设如图所示的Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°，BC ＝1，则AB ＝2，AC ＝3，求得斜边上的高CD ＝32，旋转所得几何体的体积分别为V 1＝13π(3)2×1＝π，V 2＝13π×12×3＝33π，V 3＝13π(32)2×2＝12π.V 1∶V 2∶V 3＝1∶33∶12＝6∶23∶3. 二、填空题6．如图已知底面半径为r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a ，最小值为b ，那么圆柱被截后剩下部分的体积是________．解析：采取补体方法，相当于一个母线长为a ＋b 的圆柱截成了两个体积相等的部分，所以剩下部分的体积V ＝πr 2(a ＋b )2.答案：πr 2(a ＋b )27．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器的轴截面的尺寸如图所示，两容器盛有液体的体积正好相等，且液面高均为h ，则h ＝________.解析：锥体的底面半径和高都是h ，圆柱体的底面半径是a 2，高为h ，依题意得π3h 2·h ＝π·(a 2)2·h ，解得h ＝32a . 答案：32a 8．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是________．解析：此几何体的直观图如图，ABCD 为正方形，边长为20 cm ， S 在底面的射影为CD 中点E ，SE ＝20 cm ，V S -ABCD ＝13S ABCD ·SE ＝8 0003cm 3. 答案：8 0003 cm 3三、解答题9．如图所示，是一个底面直径为20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm ，高为20 cm 的一个圆锥体铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降多少？(π＝3.14)解：因为玻璃杯是圆柱形的，所以铅锤取出后，水面下降部分实际是一个小圆柱，这个圆柱的底面与玻璃的底面一样，是一直径为20 cm 的圆柱，它的体积正好等于圆锥体铅锤的体积，这个小圆柱的高就是水面下降的高度．因为圆锥形铅锤的体积为13×π×⎝⎛⎭⎫622×20＝60π(cm 3)， 设水面下降的高度为x ，则小圆柱的体积为π×(20÷2)2×x ＝100πx (cm 3)，所以有方程60π＝100πx ，解此方程得x ＝0.6(cm)．答：铅锤取出后，杯中水面下降了0.6 cm.10．若E ，F 是三棱柱ABC -A 1B 1C 1侧棱BB 1和CC 1上的点，且B 1E ＝CF ，三棱柱的体积为m ，求四棱锥A -BEFC 的体积．解：如图所示，连接AB 1，AC 1.∵B 1E ＝CF ，∴梯形BEFC 的面积等于梯形B 1EFC 1的面积． 又四棱锥A -BEFC 的高与四棱锥A -B 1EFC 1的高相等， ∴V A -BEFC ＝VA -B 1EFC 1＝12VA -BB 1C 1C . 又VA -A 1B 1C 1＝13S △A 1B 1C 1·h ，VABC -A 1B 1C 1＝m ，∴VA -A 1B 1C 1＝m3，∴VA -BB 1C 1C ＝VABC -A 1B 1C 1－VA -A 1B 1C 1＝23m ，∴V A -BEFC ＝12×23m ＝m 3，即四棱锥A -BEFC 的体积是m3. 第3课时 球[核心必知]1．球的表面积公式：S 球面＝4πR 2. 2．球的体积公式：V 球＝43πR 3.[问题思考]用一个平面去截球体，截面的形状是什么？该截面的几何量与球的半径之间有什么关系？提示：可以想象，用一个平面去截球体，截面是圆面，在球的轴截面图中，截面圆与球的轴截面的关系如图所示．若球的半径为R ，截面圆的半径为r ，OO ′＝d . 在Rt △OO ′C 中，OC 2＝OO ′2＋O ′C 2， 即R 2＝r 2＋d 2.讲一讲1．已知过球面上三点A 、B 、C 的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC ＝BC ＝6，AB ＝4，求球面面积与球的体积．[尝试解答] 如图所示，设球心为O ，截面圆圆心O 1，球半径为R ， 连接OO 1，则OO 1是球心到截面的距离．由于OA ＝OB ＝OC ＝R ， 则O 1是△ABC 的外心．设M 是AB 的中点，由于AC ＝BC ， 则O 1在CM 上．设O 1M ＝x ，易知O 1M ⊥AB ，则O 1A ＝22＋x 2， O 1C ＝CM －O 1M ＝62－22－x . 又O 1A ＝O 1C ，∴22＋x 2＝62－22－x . 解得x ＝724.则O 1A ＝O 1B ＝O 1C ＝924.在Rt △OO 1A 中，O 1O ＝R2，∠OO 1A ＝90°，OA ＝R .由勾股定理，得⎝⎛⎭⎫R 22＋⎝⎛⎭⎫9242＝R 2.解得R ＝362.故S 球面＝4πR 2＝54π，V 球＝43πR 3＝276π.计算球的表面积和体积的关键是求出球的半径，这里就要充分利用球的截面的性质进行求解．已知条件中的等量关系，往往是建立方程的依据，这种解题的思想值得重视．练一练1．过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为48π cm 2，试求此球的表面积和体积．解：如图，设截面圆的圆心为O 1， 则OO 1⊥O 1A ，O 1A 为截面圆的半径， OA 为球的半径．∵48π＝π·O 1A 2，∴O 1A 2＝48. 在Rt △AO 1O 中，OA 2＝O 1O 2＋O 1A 2， 即R 2＝⎝⎛⎭⎫12R 2＋48，∴R ＝8(cm)，∴S 球＝4πR 2＝4π×64＝256π(cm 2)，V 球＝43πR 3＝20483π(cm 3).讲一讲2．轴截面是正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为1 cm ，求球的体积． [尝试解答]如图所示，作出轴截面，O 是球心，与边BC 、AC 相切于点D 、E . 连接AD ，OE ，∵△ABC 是正三角形， ∴CD ＝12AC .∵CD ＝1 cm ，∴AC ＝2 cm ，AD ＝ 3 cm ，∵Rt △AOE ∽Rt △ACD ， ∴OE AO ＝CD AC. 设OE ＝r ，则AO ＝(3－r )， ∴r 3－r ＝12， ∴r ＝33cm ， V 球＝43π(33)3＝4327π(cm 3)，即球的体积等于4327π cm 3.解决与球有关的接、切问题时，一般作一个适当的截面，将问题转化为平面问题解决，这类截面通常是指圆锥的轴截面、球的大圆、多面体的对角面等，在这个截面中应包括每个几何体的主要元素，且这个截面包含体和体之间的主要位置关系和数量关系．练一练2．如图，半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为6，求球的表面积和体积．解：作轴截面如图所示，CC ′＝6，AC ＝2·6＝23， 设球的半径为R ，则R 2＝OC 2＋CC ′2＝(3)2＋(6)2＝9， ∴R ＝3，∴S 球＝4πR 2＝36π，V 球＝43πR 3＝36π.一个球内有相距9 cm 的两个平行截面，面积分别为49π cm 2和400π cm 2，求球的表面积．[错解] 如图所示，设OD ＝x ，由题知π·CA2＝49π，∴CA＝7 cm.π·BD2＝400π，∴BD＝20 cm.设球半径为R，则有(CD＋DO)2＋CA2＝R2＝OD2＋DB2，即(9＋x)2＋72＝x2＋202，∴x＝15，R＝25.∴S球＝4πR2＝2 500π cm2.[错因]本题错解的原因在于考虑不周，由于球心可能在两个截面之间，也可能在两个截面的同一侧，因此解决此题要分类讨论．[正解](1)当球心在两个截面的同侧时，解法同错解．(2)当球心在两个截面之间时，如图所示，设OD＝x，则OC＝9－x，设球半径为R，可得x2＋202＝(9－x)2＋72＝R2，此方程无正数解，即此种情况不可能．综上可知，球的表面积是2 500π cm2.1．球的表面积扩大2倍，球的体积扩大()A．2倍 B. 2 倍C．2 2 倍D．3 2 倍解析：选C球的表面积扩大2倍，半径扩大2倍，从而体积扩大(2)3＝22倍．2．两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为()A ．1∶9B ．1∶27C ．1∶3D ．1∶1解析：选A 设两球的半径分别为R 1，R 2. ∵R 1∶R 2＝1∶3，∴两个球的表面积之比为S 1∶S 2＝4πR 21∶4πR 22＝R 21∶R 22＝1∶9.3．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是( )A ．202πB ．252πC ．50πD ．200π解析：选C 设球的半径为R ，则2R ＝33＋42＋52＝5 2. ∴S 球＝4πR 2＝π·(2R )2＝50π.4．(福州高一检测)已知正四棱锥O -ABCD 的体积为322，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________．解析：过O 作底面ABCD 的垂线段OE ，则E 为正方形ABCD 的中心．由题意可知13×(3)2×OE ＝323，所以OE ＝322，故球的半径R ＝OA ＝OE 2＋EA 2＝6，则球的表面积S ＝4πR 2＝24π.答案：24π5．圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.解析：设球的半径为r cm ，则有8πr 2＋3×43πr 3＝πr 2×6r ，由此解得r ＝4.答案：46．某个几何体的三视图如图所示(单位：m)：(1)求该几何体的表面积(结果保留π)； (2)求该几何体的体积(结果保留π)．解：由三视图可知，该几何体是一个四棱柱和一个半球构成的组合体，且半球的直径为2，该四棱柱为棱长为2的正方体．(1)该几何体的表面积为S ＝2πR 2＋6×2×2－π×R 2＝π＋24 (m 2)． (2)该几何体的体积为V ＝12×43πR 3＋23＝23π＋8 (m 3)．一、选择题1．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面面积为π，则球的体积为( ) A.323π B.8π3 C ．82π D.823π解析：选D 所得截面圆的半径为r ＝1，因此球的半径R ＝12＋12＝2，球的体积为 43πR 3＝823π. 2．若三个球的表面积之比是1∶2∶3，则它们的体积之比是( ) A ．1∶2∶3 B ．1∶2∶ 3 C ．1∶22∶3 3 D ．1∶4∶7解析：选C ∵三个球的表面积之比是1∶2∶3，即r 21∶r 22∶r 23＝1∶2∶3.∴r 1∶r 2∶r 3＝1∶2∶3，∴V 1∶V 2∶V 3＝1∶22∶3 3.3．平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( )A.6π B ．43π C ．46π D ．63π解析：选B 设球的半径为R ，由球的截面性质得R ＝(2)2＋12＝3，所以球的体积V ＝43πR 3＝43π.4．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．πa 2 B.73πa 2C.113πa 2 D ．5πa 2 解析：选B 正三棱柱内接于球，则球心在正三棱柱两底面中心连线的中点处，在直角三角形中可得R ＝⎝⎛⎭⎫a 22＋⎝⎛⎭⎫33a 2＝712a ， ∴S ＝4πR 2＝4π×7a 212＝7π3a 2.5．(新课标全国卷Ⅰ)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A.500π3 cm 3B.866π3 cm 3C.1 372π3 cm 3D.2 048π3cm 3解析：选A 解题时，先根据已知条件分析出正方体的上底面到球心的距离为(R －2) cm(其中R 为球半径)，再利用球半径、球心距、和截面圆半径构成的直角三角形求出球半径，进而计算出球的体积．设球半径为R cm ，根据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4 cm ，球心到截面的距离为(R －2) cm ，所以由42＋(R －2)2＝R 2，得R ＝5，所以球的体积V ＝43πR 3＝43π×53＝500π3cm 3，选择A.二、填空题6．一个平面截一球得到直径为6 cm 的圆面，球心到这个平面的距离为4 cm ，则球的体积为________ cm 3.解析：如图所示，由已知：O 1A ＝3，OO 1＝4，从而R ＝OA ＝5. ∴V 球＝4π3×53＝500π3 (cm 3)．答案：500π37．一个底面直径是32 cm 的圆柱形水桶装入一些水，将一个球放入桶内完全淹没，水面上升了9 cm ，则这个球的表面积是________．解析：球的体积等于以16 cm 为底面半径，高为9 cm 的圆柱的体积，设球的半径为R ，所以43πR 3＝π·162·9，解得R ＝12(cm)，所以S 球＝4πR 2＝576π cm 2. 答案：576π cm 28．如图所示，正四棱锥S -ABCD 的底面边长和各侧棱长都为2，点S ，A ，B ，C ，D 都在同一个球面上，则该球的体积为________．解析：∵正四棱锥的底面边长和侧棱长都为2，∴其高为1，由对称性可知，棱长为2的正八面体也内接于此球，∴球的半径为1，体积为43π.答案：43π三、解答题9．如图，ABCD 是正方形，是以A 为圆心的弧，将正方形ABCD 以AB 为轴旋转一周，求图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分旋转所得旋转体的体积之比．。
2019-2020年高中数学北师大必修2教学案：第一章 7 简单几何体的再认识(含解析)
简单几何体的再认识2019-2020年高中数学北师大必修2教学案：第一章 7 简单几何体的再认识(含解析)预习课本P44～46，思考并完成以下问题(1)柱、锥、台的侧面展开图分别是什么？(2)柱、锥、台的侧面积公式是什么？[新知初探]1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式2.直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图及侧面积公式正棱锥S正棱锥侧＝12ch′c为底面周长h′为斜高，即侧面等腰三角形的高正棱台S正棱台侧＝12(c＋c′)h′c′为上底面周长c为下底面周长h′为斜高，即侧面等腰梯形的高[点睛](1)将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开分别是平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积．(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的．()(2)圆台的高就是相应母线的长．()(3)斜三棱柱的侧面积也可以用cl来求解，其中l为侧棱长，c为底面周长．()答案：(1)×(2)×(3)×2．棱长为3的正方体的表面积为()A．27B．64C．54 D．36答案：C3．圆台的上、下底面半径分别为3和4，母线长为6，则其侧面积等于()A．72 B．42πC．67π D．72π答案：B4．一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的侧面积为________．答案：4π题点一：圆柱的侧面积(表面积)问题1．圆柱的侧面展开图是两边长分别为6π和4π的矩形，则圆柱的表面积为( ) A ．6π(4π＋3) B ．8π(3π＋1)C ．6π(4π＋3)或8π(3π＋1)D ．6π(4π＋1)或8π(3π＋2)解析：选C 由题意，圆柱的侧面积S 侧＝6π×4π＝24π2. ①以边长为6π的边为母线时，4π为圆柱底面周长，则2πr ＝4π， 即r ＝2，所以S 底＝4π，所以S 表＝S 侧＋2S 底＝24π2＋8π＝8π(3π＋1)．②以边长为4π的边为母线时，6π为圆柱底面周长，则2πr ＝6π， 即r ＝3，所以S 底＝9π，所以S 表＝S 侧＋2S 底＝24π2＋18π＝6π(4π＋3)．2．(陕西高考)将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )A ．4πB ．3πC ．2πD ．π解析：选C 由几何体的形成过程知所得几何体为圆柱，底面半径为1，高为1，其侧面积S ＝2πrh ＝2π×1×1＝2π.题点二：圆锥的侧面积(表面积)问题3．轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的( ) A ．4倍 B ．3倍 C.2倍D ．2倍解析：选D 由已知得l ＝2r ，S 侧S 底＝πrl πr2＝lr ＝2，故选D.4．圆锥的中截面把圆锥侧面分成两部分，则这两部分侧面积的比为( ) A ．1∶1B ．1∶2C ．1∶3D ．1∶4解析：选C 如图所示，PB 为圆锥的母线，O 1，O 2分别为截面与底面的圆心．因为O 1为PO 2的中点， 所以PO 1PO 2＝PA PB ＝O 1A O 2B ＝12，所以PA ＝AB ，O 2B ＝2O 1A . 又因为S 圆锥侧＝π·O 1A ·PA ， S 圆台侧＝π·(O 1A ＋O 2B )·AB ， 则S 圆锥侧S 圆台侧＝O 1A ·PA (O 1A ＋O 2B )·AB ＝13. 题点三：圆台的侧面积(表面积)问题5．若圆台的上下底面半径分别是1和3，它的侧面积是两底面面积和的2倍，则圆台的母线长是________．解析：因为S 侧＝π(r 1＋r 2)·l ＝2(πr 21＋πr 22)＝2×(π＋9π)＝20π，所以l ＝20π(r 1＋r 2)π＝20π4π＝5.答案：5旋转体的表面积的求法技巧圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．多面体的侧面积(表面积)及应用[典例] 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( )A ．8＋2 2B ．11＋2 2C ．14＋2 2D ．15[解析] 该几何体为底面是直角梯形的直四棱柱．S 表＝2×12×(1＋2)×1＋2×1＋2×1＋2×2＋2×2＝11＋22，故选B.[答案] B1．由三视图求几何体的表面积的步骤(1)画：由三视图还原为直观图，即画出物体的直观图．(2)标：结合三视图的特征，标明直观图中的相关量及线线之间的位置关系，(如垂直、平行)． (3)算：根据直观图计算相应的量，(如表面积、侧面积)． 2．多面体的表面积的求解方法(1)棱锥、棱台的表面积为其侧面积与底面积之和，底面积根据平面几何知识求解，求侧面积的关键是求斜高和底面边长．(2)斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等，往往可以构成直角三角形(或梯形)，利用好这些直角三角形(或梯形)是解题的关键．[活学活用]正三棱锥S -ABC 的侧面积是底面积的2倍，它的高SO ＝3，求此正三棱锥的侧面积． 解：设正三棱锥底面边长为a ，斜高为h ′，如图所示，过O 作OE ⊥AB ，连接SE ，则SE ⊥AB ，且SE ＝h ′.因为S 侧＝2S 底， 所以12×3a ×h ′＝34a 2×2.所以a ＝ 3h ′.因为SO ⊥OE ，所以SO 2＋OE 2＝SE 2. 所以32＋⎝⎛⎭⎫36×3h ′2＝h ′2. 所以h ′＝2 3.所以a ＝ 3 h ′＝6. 所以S 底＝34a 2＝34×62＝9 3. 所以S 侧＝2S 底＝18 3.组合体的侧面积(表面积)及应用[典例] ＝60°，在平面ABCD 内，过C 作l ⊥CB ，以l 为轴将梯形ABCD 旋转一周，求此旋转体的表面积．[解] 如图所示，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的．在直角梯形ABCD 中，AD ＝a ，BC ＝2a ，AB ＝(2a －a )tan 60°＝3a ， DC ＝2a －acos 60°＝2a ，又DD ′＝DC ＝2a ，则S 表＝S 圆柱表＋S 圆锥侧－S 圆锥底 ＝2π·2a ·3a ＋2π·(2a )2＋π·a ·2a －πa 2 ＝(9＋43)πa 2.1．求组合体的表面积的三个基本步骤(1)弄清楚它是由哪些基本几何体构成的，组成形式是什么． (2)根据组合体的组成形式设计计算思路． (3)根据公式计算求值．2．求组合体的表面积的解题策略(1)对于由基本几何体拼接成的组合体，要注意拼接面重合对组合体表面积的影响．(2)对于从基本几何体中切掉或挖掉的部分构成的组合体，要注意新产生的截面和原几何体表面的变化．[活学活用]已知△ABC 的三边长分别是AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，以AB 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积．解：如图，在△ABC 中，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D . 由AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5， 知AC 2＋BC 2＝AB 2， 则AC ⊥BC .所以BC ·AC ＝AB ·CD ， 所以CD ＝125，记为r ＝125，那么△ABC 以AB 为轴旋转所得旋转体是两个同底的圆锥，且底面半径r ＝125，母线长分别是AC ＝3，BC ＝4， 所以S 表面积＝πr ·(AC ＋BC )＝π×125×(3＋4)＝845π.层级一 学业水平达标1．棱长都是1的三棱锥的表面积为( ) A.3 B ．2 3 C ．3 3D ．4 3解析：选A S 表＝4S 正△＝4×34＝ 3. 2．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( ) A ．1∶2 B ．1∶ 3 C ．1∶ 5D.3∶2解析：选C 设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ， ∴其母线长l ＝5r .∴S 侧＝πrl ＝5πr 2，S 底＝πr 2，∴S 底∶S 侧＝1∶ 5.3．若圆台的高是3，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，母线与下底面成45°角，则这个圆台的侧面积是( )A ．27πB ．272πC ．9 2 πD ．362π解析：选B ∵由题意r ′＝3，r ＝6，l ＝32，∴S 侧＝π(r ′＋r )l ＝π(3＋6)×32＝272π. 4．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )A ．7B ．6C ．5D ．3解析：选A 设圆台较小底面半径为r ， 则另一底面半径为3r .由S ＝π(r ＋3r )·3＝84π，解得r ＝7.5．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是( ) A.1＋2π2πB.1＋4π4πC.1＋2ππD.1＋4π2π解析：选A 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则由题设知h ＝2πr ，所以S 表＝2πr 2＋2πr ·h ＝2πr 2(1＋2π)，又S 侧＝h 2＝4π2r 2，所以S 表S 侧＝1＋2π2π.6．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________． 解析：设圆锥的母线为l ，圆锥底面半径为r ，由题意可知，πrl ＋πr 2＝3π，且πl ＝2πr .解得r ＝1，即直径为2.答案：27．已知圆锥的母线长为2，高为3，则该圆锥的侧面积是________． 解析：由圆锥的性质知其底面圆的半径为22－(3)2＝1，所以圆锥的侧面积为S 侧＝πrl ＝π×1×2＝2π.答案：2π8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．解析：由三视图可知，该几何体为一个长方体中挖去一个圆柱构成．其中长方体的长、宽、高分别为4,3,1，圆柱的底面圆的半径为1，高为1.长方体的表面积S 1＝2×(4×3＋4×1＋3×1)＝38；圆柱的侧面积S 2＝2π×1×1＝2π；圆柱的上下底面面积S 3＝2×π×12＝2π.故该几何体的表面积S ＝S 1＋S 2－S 3＝38.答案：389．已知正四棱锥底面正方形边长为4 cm ，高与斜高的夹角为30°，求正四棱锥的侧面积和表面积(单位：cm 2)．解：如图所示，正四棱锥的高PO ，斜高PE ，底面边心距OE 组成Rt △POE . ∵OE ＝2 cm ，∠OPE ＝30°， ∴PE ＝2OE ＝4(cm)，因此，S 棱锥侧＝12ch ′＝12×4×4×4＝32(cm 2)．S 表面积＝S 侧＋S 底＝32＋16＝48(cm 2)．10．圆柱有一个内接长方体AC 1，长方体对角线长是102cm ，圆柱的侧面展开平面图为矩形，此矩形的面积是100π cm 2，求圆柱的底面半径和高．解：设圆柱底面半径为r cm ，高为h cm ，如图所示，则圆柱轴截面长方形的对角线长等于它的内接长方体的对角线长，则：⎩⎪⎨⎪⎧ (2r )2＋h 2＝(102)2，2πrh ＝100π，∴⎩⎪⎨⎪⎧r ＝5，h ＝10.即圆柱的底面半径为5 cm ，高为10 cm.层级二 应试能力达标1．一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积为( )A ．12πB ．18πC ．24πD ．36π解析：选C 由三视图知该几何体为圆锥，底面半径r ＝3，母线l ＝5，∴S 表＝πrl ＋πr 2＝24π.故选C.2．如图所示，侧棱长为1的正四棱锥，若底面周长为4，则这个棱锥的侧面积为( )A ．5 B. 3 C.3＋12D.3＋1解析：选B 设底面边长为a ，则由底面周长为4，得a ＝1，SE ＝ 1－14＝32.∴S 侧＝12×4×32＝ 3. 3．三视图如图所示的几何体的表面积是( )A ．7＋ 2 B.112＋ 2 C ．7＋ 3D.32解析：选A 图中的几何体可看成是一个底面为直角梯形的直棱柱．直角梯形的上底为1，下底为2，高为1，棱柱的高为1.可求得直角梯形的四条边的长度为1,1,2，2，表面积S表面＝2S 底＋S 侧面＝12×(1＋2)×1×2＋(1＋1＋2＋2)×1＝7＋ 2.4．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，三棱锥D 1-AB 1C 的表面积与正方体的表面积的比为( ) A ．1∶1 B ．1∶ 2 C ．1∶ 3D ．1∶2解析：选C 如图，三棱锥D 1-AB 1C 的各面均是正三角形．其边长为正方体侧面对角线．设正方体的棱长为a ，则面对角线长为2a ，S 锥＝4×12(2a )2×32＝23a 2，S 正方体＝6a 2，故S 锥∶S 正方体＝1∶ 3.5．正四棱台的上、下两底面边长分别是方程x 2－9x ＋18＝0的两根，其侧面积等于两底面积之和，则其侧面梯形的高为________．解析：方程x 2－9x ＋18＝0的两个根为x 1＝3，x 2＝6，设侧面梯形的高为h ，则由题意得12×(3＋6)·h ×4＝32＋62，解得h ＝52.答案：526．用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是________．解析：如图①为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②所示，由图知正方形的边长为22，其面积为8.答案：87．已知一正三棱台ABC -A 1B 1C 1的两底面边长分别为30 cm 和20 cm ，且其侧面积等于两底面面积的和，求棱台的高．解：如图，在正三棱台ABC -A 1B 1C 1中，O ，O 1为两底面中心，D ，D 1是BC ，B 1C 1的中点， 则DD 1为棱台的斜高．由A 1B 1＝20，AB ＝30， 得OD ＝53，O 1D 1＝1033，由S 侧＝S 上＋S 下得12×(60＋90)·DD 1＝34×(202＋302)． 所以DD 1＝133 3.在直角梯形O 1ODD 1中， O 1O ＝DD 21－(OD －O 1D 1)2＝⎝⎛⎭⎫13332－⎝⎛⎭⎫53－10332＝4 3. 即棱台的高为4 3 cm.8．如图所示，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝3，AA 1＝4，M 为AA 1中点，P 是BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到M 的最短距离为29，设这条最短路线与CC 1的交点为N ，求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长； (2)PC 与NC 的长； (3)此棱柱的表面积．解：(1)正三棱柱ABC -A 1B 1C 1侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为92＋42＝97.(2)如图，将侧面BB 1C 1C 绕棱CC 1旋转120°使其与侧面AA 1C 1C 在同一平面上，点P 移动到点P 1的位置，连接MP 1，则MP 1就是由点P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到点M 的最短路线．设PC ＝x ，即P 1C ＝x ，在Rt △MAP 1中，由勾股定理得(3＋x )2＋22＝29， 求得x ＝2，∴PC ＝P 1C ＝2.∵NC MA ＝P 1C P 1A ＝25，∴NC ＝45.(3)棱柱的表面积：S ＝S 侧＋2S 底＝9×4＋2×12×32×32＝72＋932.7．2 柱、锥、台的体积预习课本P46～48，思考并完成以下问题 (1)柱体、锥体、台体的体积公式分别是什么？(2)由柱体的体积公式能得到锥体的体积公式吗？由锥体的体积公式能得到台体的体积公式吗？[新知初探]柱、锥、台体的体积公式几何体体积公式 柱体圆柱、棱柱V 柱体＝ShS 为柱体底面积，h 为柱体的高锥体 圆锥、棱锥V 锥体＝13ShS 为锥体底面积，h 为锥体的高台体圆台、棱台V 台体＝13(S 上＋S 下＋S 上·S 下)·hS 上、S 下为台体的上、下底面面积，h 为高[点睛] 柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系：(其中S ′，S 表示台体上、下底面面积)[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)三棱锥的体积可以用任意一个面和对应高求．( )(2)锥体的体积是柱体体积的13.( )(3)圆台的体积可由两圆锥的体积差得出．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√2．圆柱的底面积是S ，侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的体积是________． 答案：2S πS3．已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为________． 答案：28 34．若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为________．答案：4多面体的体积[典例] (1)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18 B.17 C.16D.15(2)已知直四棱柱的底面为菱形，两个对角面的面积分别为2 cm 2，2 3 cm 2，侧棱长为2 cm ，则其体积为________ cm 3.(3)一个正三棱锥底面边长为6，侧棱长为15，这个三棱锥的体积为________．[解析] (1)如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，截去三棱锥A 1-AB 1D 1.设正方体的棱长为a ，则VA 1-AB 1D 1＝13×12a 3＝16a 3，故剩余几何体的体积为a 3－16a 3＝56a 3，所以比值为15，故选D.(2)如图所示，设底面菱形的对角线AC ，BD 长分别为x cm ，y cm ，又该棱柱是直棱柱，两个对角面都是矩形，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝2，2y ＝23，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，底面菱形的面积S ＝12xy ＝32(cm 2)，所以该棱柱的体积为V ＝Sh ＝32×2＝3(cm 3)．(3)如图所示，正三棱锥S -ABC .设H 为正三角形ABC 的中心，连接SH ，则SH 的长即为该正三棱锥的高．连接AH 并延长交BC 于E ，则E 为BC 的中点，且AH ⊥BC .因为△ABC是边长为6的正三角形，所以AE ＝32×6＝3 3. 则AH ＝23AE ＝2 3.在△ABC 中，S △ABC ＝12BC ·AE ＝12×6×33＝9 3.在Rt △SHA 中，SA ＝15，AH ＝23， 所以SH ＝SA 2－AH 2＝15－12＝ 3. 所以V 正三棱锥＝13S △ABC ·SH ＝13×93×3＝9.[答案] (1)D (2) 3 (3)9求几何体体积的四种常用方法(1)公式法：规则几何体直接代入公式求解．(2)等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可． (3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱、三棱柱补成四棱柱等． (4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． [活学活用](山东高考)一个六棱锥的体积为2 3 ，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．解析：由题意可知，该六棱锥是正六棱锥，设该六棱锥的高为h ，则13×6×34×22×h ＝23，解得h ＝1，底面正六边形的中心到其边的距离为3，故侧面等腰三角形底边上的高为(3)2＋1＝2，故该六棱锥的侧面积为12×12×2＝12.答案：12旋转体的体积[典例] (1)(山东高考)已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.22π3B.42π3C ．22πD ．42π(2)体积为52 cm 3的圆台，一个底面面积是另一个底面面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积为( )A ．54 cm 3B ．54π cm 3C ．58 cm 3D ．58π cm 3[解析] (1)绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个底面重合，等体积的圆锥，如图所示．每一个圆锥的底面半径和高都为2，故所求几何体的体积V ＝2×13×π×()22×2＝42π3.(2)由底面积之比为1∶9知，体积之比为1∶27，截得小圆锥与圆台体积比为1∶26，所以小圆锥体积为2 cm 3，故原来圆锥的体积为54 cm 3.[答案] (1)B (2)A有关旋转体体积计算的技巧要充分利用旋转体的轴截面，将已知条件尽量归结到轴截面中求解，分析题中给出的数据，列出关系式后求出有关的量，再根据几何体的体积公式进行运算、解答．(1)求台体的体积，其关键在于求高，在圆台中，一般把高放在等腰梯形中求解．(2)“还台为锥”是求解台体的体积问题的重要思想，作出截面图，将空间问题平面化，是解决此类问题的关键．[活学活用]设圆台的高为3，在轴截面中母线AA 1与底面圆直径AB 的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，求圆台的体积．解：作圆台的轴截面A 1ABB 1，设上、下底面半径分别为r ，R ，作A 1D ⊥AB 于点D ，连接A 1B ，∵A 1D ＝3，∠A 1AB ＝60°，又∠BA 1A ＝90°，∴∠BA 1D ＝60°，∴AD ＝A 1D ·cot 60°＝3，∴R －r ＝ 3. BD ＝A 1D ·tan 60° ＝33， ∴R ＋r ＝3 3.∴R ＝23，r ＝3，而h ＝3， ∴V 圆台＝13πh (R 2＋Rr ＋r 2)＝13π×3×[(23)2＋23×3＋(3)2]＝21π. ∴圆台的体积为21π.几何体体积的求法1.如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 为线段B 1C 上的一点，则三棱锥A -DED 1的体积为________．解析：V 三棱锥A -DED 1＝V 三棱锥E -DD 1A ＝13×12×1×1×1＝16. 答案：162.如图所示，三棱锥的顶点为P ，PA ，PB ，PC 为三条侧棱，且PA ，PB ，PC 两两互相垂直，又PA ＝2，PB ＝3，PC ＝4，求三棱锥P -ABC 的体积V .解：三棱锥的体积V ＝13Sh ，其中S 为底面积，h 为高，而三棱锥的任意一个面都可以作为底面，所以此题可把B 看作顶点，△PAC 作为底面求解．故V ＝13S △PAC ·PB ＝13×12×2×4×3＝4.题点二：分割法3.如图，在多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为4的正方形，EF ∥AB ，EF ＝2，EF 上任意一点到平面ABCD 的距离均为3，求该多面体的体积．解：如图，连接EB ，EC .四棱锥E -ABCD 的体积V 四棱锥E -ABCD ＝13×42×3＝16. ∵AB ＝2EF ，EF ∥AB ， ∴S △EAB ＝2S △BEF .∴V 三棱锥F -EBC ＝V 三棱锥C -EFB ＝12V 三棱锥C -ABE ＝12V 三棱锥E -ABC ＝12×12V 四棱锥E -ABCD ＝4. ∴多面体的体积V ＝V 四棱锥E -ABCD ＋V 三棱锥F -EBC ＝16＋4＝20. 题点三：补形法4．如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，求该几何体的体积．解：用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.5．已知四面体ABCD 中，AB ＝CD ＝13，BC ＝AD ＝25，BD ＝AC ＝5，求四面体ABCD 的体积．解：以四面体的各棱为对角线还原为长方体，如图． 设长方体的长、宽、高分别为x ，y ，z ，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝13，y 2＋z 2＝20，x 2＋z 2＝25，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，z ＝4.∵V D -ABE ＝13DE ·S △ABE ＝16V 长方体， 同理，V C -ABF ＝V D -ACG ＝V D -BCH ＝16V 长方体，∴V 四面体ABCD ＝V 长方体－4×16V 长方体＝13V 长方体．而V 长方体＝2×3×4＝24，∴V 四面体ABCD ＝8.(1)三棱锥又称为四面体，它的每一个面都可当作底面来处理，这一方法叫作体积转移法(或称等积法)．(2)当所给几何体形状不规则时，无法直接利用体积公式求解，这时可通过分割或补形，将原几何体分割或补形成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积．层级一 学业水平达标1．若长方体的长、宽、高分别为3 cm,4 cm,5 cm ，则长方体的体积为( ) A ．27 cm 3 B ．60 cm 3 C ．64 cm 3D ．125 cm 3解析：选B 长方体即为四棱柱，其体积为底面积×高，即为3×4×5＝60 cm 3. 2．(重庆高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋2π B.13π6 C.7π3D.5π2解析：选B 由三视图可知，该几何体是一个圆柱和半个圆锥组合而成的几何体，其体积为π×12×2＋12×13π×12×1＝136π.3．如图，某几何体的主视图是平行四边形，左视图和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为( )A ．6 3B ．9 3C ．8 3D ．12解析：选B 由三视图可知直观图是四棱柱，故V ＝3×3×3＝9 3. 4．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )A ．8 cm 3B ．12 cm 3 C.323cm 3 D.403cm 3 解析：选C 由三视图可知，该几何体是由一个正方体和一个正四棱锥构成的组合体．下面是棱长为2 cm 的正方体，体积V 1＝2×2×2＝8(cm 3)；上面是底面边长为2 cm ，高为2 cm 的正四棱锥，体积V 2＝13×2×2×2＝83(cm 3)，所以该几何体的体积V ＝V 1＋V 2＝323(cm 3)． 5．一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2π＋4B ．2π＋8C ．4π＋4D ．4π＋8解析：选B 由三视图知该几何体的上面是一个半圆柱，下面是一个长方体，则由三视图的尺寸知该几何体的体积为V ＝1×2×4＋12×π×12×4＝8＋2π.6．已知圆锥SO 的高为4，体积为4π，则底面半径r ＝________. 解析：设底面半径为r ，则13πr 2×4＝4π，解得r ＝3，即底面半径为 3.答案： 37．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.解析：由几何体的三视图可知该几何体由两个圆锥和一个圆柱构成，其中圆锥的底面半径和高均为1，圆柱的底面半径为1且其高为2，故所求几何体的体积为V ＝13π×12×1×2＋π×12×2＝83π.答案：83π8．已知某几何体的三视图如图，其中主视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为________．解析：该几何体是一个长方体挖去一个半圆柱体，其体积等于3×2×4－3×12×π×12＝24－3π2.答案：24－3π29．若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是60°，求圆锥的体积． 解：设圆锥的底面半径为r ，母线为l ， 则2πr ＝13πl ，得l ＝6r .又S 锥＝πr 2＋πr ·6r ＝7πr 2＝15π， 得r ＝157， 圆锥的高h ＝35·157， V ＝13πr 2h ＝13π×157×35×157＝2537π. 10．如图，棱锥的底面ABCD 是一个矩形，AC 与BD 交于点M ，VM 是棱锥的高．若VM ＝4 cm ，AB ＝4 cm ，VC ＝5 cm ，求锥体的体积．解：∵VM 是棱锥的高， ∴VM ⊥MC . 在Rt △VMC 中， MC ＝VC 2－VM 2＝52－42＝3(cm)，∴AC ＝2MC ＝6(cm)． 在Rt △ABC 中， BC ＝AC 2－AB 2＝62－42＝25(cm)．S 底＝AB ·BC ＝4×25＝85(cm 2)，∴V 锥＝13S 底h ＝13×85×4＝3253(cm 3)．∴棱锥的体积为3253cm 3.层级二 应试能力达标1．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( ) A ．π B ．2π C ．4πD ．8π解析：选B 设圆柱的底面半径为r ， 则圆柱的母线长为2r ，由题意得S 圆柱侧＝2πr ×2r ＝4πr 2＝4π， 所以r ＝1，所以V 圆柱＝πr 2×2r ＝2πr 3＝2π.2．如图，ABC -A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C -AA ′B ′B 的体积是( ) A.13 B.12 C.23D.34 解析：选C ∵V C -A ′B ′C ′＝13V 柱＝13， ∴V C -AA ′B ′B ＝1－13＝23. 3．(浙江高考)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )A ．72 cm 3B ．90 cm 3C ．108 cm 3D ．138 cm 3解析：选B 由三视图可知，该几何体的直观图如图所示，则该几何的体积V ＝V 四棱锥＋V 三棱柱＝4×6×3＋12×4×3×3＝90(cm 3)． 4．某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为⎝⎛⎭⎪⎫材料利用率＝新工件的体积原工件的体积( )A.89πB.827πC.24(2－1)3πD.8(2－1)3π解析：选A 由三视图知原工件为一圆锥，底面半径为1，母线长为3，则高为32－12＝22，设其内接正方体的棱长为x ，则2x 2＝22－x 22，∴x ＝223.∴V 新工件＝x 3＝16227. 又V 原工件＝13π×12×22＝22π3，∴V 新工件V 原工件＝1622722π3＝89π.故选A. 5．三棱锥P -ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D -ABE 的体积为V 1，P -ABC 的体积为V 2，则V 1V 2＝________. 解析：如图，设点C 到平面PAB 的距离为h ，三角形PAB 的面积为S ，则V 2＝13Sh ，V 1＝V E -ADB ＝13×12S ×12h ＝112Sh ，所以V 1V 2＝14. 答案：146．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，其主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形．设点M ，N ，P 分别是棱AB ，BC ，B 1C 1的中点，则三棱锥P -A 1MN 的体积是________．解析：由三视图易知几何体ABC -A 1B 1C 1是上、下底面为等腰直角三角形的直三棱柱，则VP -A 1MN ＝VA 1-PMN ＝V A -PMN . 又S △PMN ＝12MN ·NP ＝12×12×1＝14，A 到平面PMN 的距离h ＝12，∴V A -PMN ＝13S △PMN ·h ＝13×14×12＝124. 答案：1247．如图，三棱台ABC -A 1B 1C 1中，AB ∶A 1B 1＝1∶2，求三棱锥A 1-ABC ，三棱锥B -A 1B 1C ，三棱锥C -A 1B 1C 1的体积之比．解：设棱台的高为h ，S △ABC ＝S ，则S △A 1B 1C 1＝4S . ∴VA 1-ABC ＝13S △ABC ·h ＝13Sh ，VC -A 1B 1C 1＝13S △A 1B 1C 1·h ＝43Sh .又V 台＝13h (S ＋4S ＋2S )＝73Sh ，∴VB -A 1B 1C ＝V 台－VA 1-ABC －VC -A 1B 1C 1＝73Sh －Sh 3－4Sh 3＝23Sh ，∴所求体积比为1∶2∶4.8．一个圆锥的底面半径为2 cm ，高为6 cm ，在其内部有一个高为x cm 的内接圆柱． (1)求圆锥的侧面积．(2)当x 为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出侧面积的最大值． 解：(1)圆锥的母线长为62＋22＝210(cm)，∴圆锥的侧面积S 1＝π×2×210＝410π(cm 2)． (2)画出圆锥的轴截面如图所示：设圆柱的底面半径为r cm ，由题意，知r 2＝6－x6，∴r ＝6－x3，∴圆柱的侧面积S 2＝2πrx ＝2π3(－x 2＋6x )＝－2π3[(x －3)2－9]， ∴当x ＝3时，圆柱的侧面积取得最大值，且最大值为6π cm 2.7．3 球预习课本P48～50，思考并完成以下问题 (1)什么叫作球的大圆？什么叫作球的小圆？(2)球的表面积公式和体积公式是什么？[新知初探]1．球的截面用一个平面α去截半径为R 的球O 的球面得到的是圆．有以下性质： (1)若平面α过球心O ，则截线是以O 为圆心的球的大圆．(2)若平面α不过球心O ，如图，设OO ′⊥α，垂足为O ′，记OO ′＝d ，对于平面α与球面的任意一个公共点P ，都满足OO ′⊥O ′P ，则有O ′P ＝R 2－d 2，即此时截线是以O ′为圆心，以r ＝R 2－d 2为半径的球的小圆．2．球的切线(1)定义：与球只有唯一公共点的直线叫做球的切线．如图，l 为球O 的切线，M 为切点．(2)性质：①球的切线垂直于过切点的半径； ②过球外一点的所有切线的长度都相等． 3．球的表面积与体积公式前提条件 球的半径为R 表面积公式 S ＝4πR 2 体积公式V ＝43πR 3[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)决定球的表面积与体积的关键量是球的半径．( )(2)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径．( ) (3)球的表面积和体积与半径之间存在函数关系．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√2．过球面上两点可能作出的球的大圆有________个． 答案：一或无数3．两个球的半径之比为1∶2，则这两个球的表面积之比为________． 答案：1∶44．半径为R 的球的表面积与体积的比是________． 答案：3R球的体积与表面积的计算[典例] 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8[解析] 如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r ，圆柱的底面半径为r ，高为2r ，则表面积S ＝12×4πr 2＋πr 2＋4r 2＋πr ·2r ＝(5π＋4)r 2.又S ＝16＋20π，∴(5π＋4)r 2＝16＋20π，∴r 2＝4，r ＝2，故选B. [答案] B求球的体积与表面积的方法(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R 或者通过条件能求出半径R ，然后代入体积或表面积公式求解．(2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了．(3)由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或体积，最重要的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义．根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积．此时要特别注意球的三种视图都是直径相同的圆．[活学活用]1．某器物的三视图如图，根据图中数据可知该器物的体积是( )A.4π3B.15π3C.4π3－15π3D.4π3＋15π3解析：选D 由三视图可知，此几何体上部是直径为2的球，下部是底面直径为2，高为15的圆锥，所以V ＝43π×13＋13π×12×15＝4π3＋15π3.2．若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，求圆锥侧面积与球面面积之比． 解：设圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线长为l ，球的半径为R ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧13πr 2·h ＝43πR 3，r ＝2R ，∴13π(2R )2·h ＝43πR 3， ∴R ＝h ，r ＝2h ， ∴l ＝r 2＋h 2＝ 5h ，∴S 圆锥侧＝πrl ＝π·2h ·5h ＝25πh 2， S 球＝4πR 2＝4πh 2，∴S 圆锥侧S 球＝25πh 24πh 2＝52.球的截面问题[典例] 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，若不计容器厚度，则球的体积为( )A.500π3 cm 3B.866π3 cm 3C.1 372π3cm 3D.2 048π3cm 3[解析] 如图，作出球的一个截面，则MC ＝8－6＝2(cm)，BM ＝12AB＝12×8＝4(cm)．设球的半径为R cm ，则R 2＝OM 2＋MB 2＝(R －2)2＋42，∴R ＝5. ∴V 球＝43π×53＝5003π(cm 3)．[答案] A球的截面问题的解题技巧(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．(2)解题时要注意借助球半径R ，截面圆半径r ，球心到截面的距离d 构成的直角三角形，即R 2＝d 2＋r 2.[活学活用]一平面截一球得到直径为2 5 cm 的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm ，则该球的体积是( )A ．12π cm 3B ．36π cm 3C ．646π cm 3D ．108π cm 3解析：选B 设球心为O ，截面圆心为O 1，连接OO 1，则OO 1垂直于截面圆O 1，如图所示． 在Rt △OO 1A 中，O 1A ＝ 5 cm ， OO 1＝2 cm ，。
北师大版高中数学必修二1.7.3简单几何体的再认识-球
3.长方体的长、宽、高的比为1∶2 ∶ 3，对角线长是
2 14cm，求它的体积.
解：∵长、宽、高的比为1∶2 ∶ 3， 设长、宽、高分别为m,2m,3m
由题意，x 2 +(2x)2 +(3x)2 2 14 , 14 x 2 4 14, x 2, 体积V=x( 2x)( 3x)=6x 3 48(cm 2 )
4 3 2 则由题意有 3 8 R 3 8.5 3
2
练习2.P50/1,2.
三、课堂小结 1.柱、锥、台体积关系
1 V台体= (S上 S下 S上 S下 )h 3
S上 S下
V柱体=Sh
2.球的表面积和体积
S上 0
1 V锥体= Sh 3
S球面 4 R
例6.如图, 一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰激凌,
如果冰激凌融化了, 会溢出杯子吗?(假设冰激凌融化前后体积
不变)
1 4 3 1 4 解: V半 球 R 43 2 3 2 3 134(cm3 ). 1 1 1 2 2 4 12 Sh r h V圆锥 3 3 3
解：V圆柱 = 2 r ,
3
1 2 3 V圆锥 = r 2r= r , 3 3 4 3 V球 r ， 3 所以体积比为3∶1∶2
2.球表面积膨胀为原来的2倍，计算体积变为原来 的几倍.
解：设膨胀后的半径为R，膨胀前的半径为R， 由题意，R2 = 2 R,R= 2R，R 3 =2 2R 3， 所以，膨胀后体积变为原来的2 2倍（2.83倍）.
2
4 3 V球 R 3
课堂练习 1.某小区修建一个圆台形的花台，它的两底面 半径分别为1m和2m，高为1m, 问：需要多少立方 米土才能把花台填满？
高中数学第一章立体几何初步7简单几何体的再认识7.3球课件北师大版必修2
【自主解答】 如图所示，设球心为 O，球半径为 R，作 OO1⊥平面 ABC 于 O1，由于 OA＝OB＝OC＝R，则 O1 是△ABC 的外心．
由 AC＝BC＝ 2，AB＝2，知△ABC 是 AB 为斜边的直角 三角形，
∴O1 是 AB 的中点，在 Rt△AOO1 中，OO1＝ 3，O1A＝12 AB＝1，
第八页，共34页。
[再练一题] 1．过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为 48π cm2，试求此球的表面积和体积．
第九页，共34页。
【解】 如图，设截面圆的圆心为 O1，则 OO1⊥O1A，O1A 为截面圆的半径， OA 为球的半径．
∵48π＝π·O1A2，∴O1A2＝48. 在 Rt△AO1O 中，OA2＝O1O2＋O1A2， 即 R2＝12R2＋48，∴R＝8(cm)， ∴S 球面＝4πR2＝4π×64＝256π(cm2)，V 球＝43πR3＝2 0348π(cm3).
第三十四页，共34页。
∴OA＝2，即 R＝2， ∴S 球面＝4πR2＝16π，V 球＝43πR3＝332π.
第七页，共34页。
1．球的表面积和体积只与球的半径有关，因此解决该类问题的关键是如何 根据已知条件求球的半径．
2．在求球的半径时，常用一个平面去截一个球，截面 是圆面，球的截面有下面的性质：
(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面； (2)球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面的半径 r 有下面的关系 d＝ R2－r2.
第二十八页，共34页。
【解析】 设截面小圆的半径为 r，球的半径为 R，因为 AH∶HB＝1∶2，
所以 OH＝13R.由勾股定理，有 R2＝r2＋OH2，又由题意得 πr2＝π，则 r＝1，故
简单几何体的再认识课件-2022-2023学年高一下学期数学北师大(2019)必修第二册
A.π
4
B.π
8
C.π
4
8
D.π或π
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<2> 锥体（圆锥、棱锥）的体积
1
例4 如图，四边形为正方形，⊥平面，∥，＝＝2 .
（1）证明：⊥平面.
（2）求棱锥 − 的体积与棱锥 − 的体积的比值.
（1）证明：由条件知四边形为直角梯形.因为⊥平面， ⊂平面，
（3）C
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反思
感悟
反思感悟
圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积的求法
（1）圆柱的侧面展开图是矩形，长为底面圆周长，宽为母线长，所以只要能确定半径和母线（即高），
就能求得其侧面积和表面积.
（2）圆锥的侧面积和表面积问题要充分利用高、底面半径和母线构成的直角三角形，同时要注意圆锥
的母线为其侧面展开图扇形的半径，圆锥的底面周长是扇形的弧长，利用此关系可求得侧面积与表面积.
1
1
1
＝ ×（2+4）×5＝15，梯形
2
（2 2+4 2）×5＝15 2，梯形 ＝2×（2+4）× 29＝3 29，据此可知三棱台的表面积为
25+15 2+3 29.故选B.
答案：（1）C
（2）B
1
1
＝ ×
2
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跟踪训练
如图所示，在长方体 − 1111中，＝2，＝4，为底面两条对角
所求几何体的体积按比例转化为常见的几何体的体积，再考虑用公式法求解.
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跟踪训练
2π
某圆锥的侧面展开图是面积为3π且圆心角为 3 的扇形，则此圆锥的母线长为
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§1.7.3 球
一、球的截面 用一个平面α去截半径为R的球O的球面得 到的是___. 圆 有以下性质：(1)若平面α过球心
O，则截线圆是以__ O 为圆心的球的大圆.
(2)若平面α不过球心O，如图，设OO′⊥α，垂足 为O′，记OO′=d，对于平面α与球面的任意一个 公共点P，都满足OO′⊥O′P，则有O′P= R 2 d2， O′ 为圆心，以r= R 2 d2 为 即此时截线圆是以____ 半径的球的小圆.
表面积(保留2个有效数字）.
解： S S圆柱侧 2 S圆柱底面
1 1 2.3 2 4 2 8.8(m ).
答: 锅炉的表面积约为8.8 m2.
d dh 2 2
2
圆柱
例2.圆台的上、下底面半径分 别是10cm和20cm, 它的侧面展 开图的扇环的圆心角是180o， S
课堂练习 1.某小区修建一个圆台形的花台，它的两底面 半径分别为1m和2m，高为1m, 问：需要多少立方 米土才能把花台填满？
1 解：V台体 = （S上 +S下 + S上 S下）h 3 1 2 = （ +4 + 4 ） 3 7 = 3
2.地球和火星都可看作近似球体，地球半径约 为6370km,火星的直径约为地球直径的一半. （1）求地球的表面积和体积； （2）火星的体积1.5 , 1 3 3 (6 3) . DE DO OE DO D1O1 3 2 2
2 2 2 2
3 3 DD1 D1 E DE 3. 2 2 1 27 3 所以S正三棱台侧= (c c) DD1 (cm2 ). 2 2 27 3 答:正三棱台的侧面积为 cm2 . 2
二.球的切线 唯一 公共点的直线叫做 (1)定义：与球只有_____ 球的切线.如图，l为球O的切线，M为切点. (2)过球外一点P，有无数条切 线，那么所有切线的长度_____ 相等
三、球的表面积和体积 4 3 2 V R S球面 4 R 球
3
例6.如图, 一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰激凌,
答:圆台的侧面积为600 cm2.
例3.一个正三棱台的上、下底面边长分别为3cm, 和6cm, 高为 1.5cm. 求三棱台的侧面积. 解：如图，O1, O分别是上、下底面的中心， 则O1O=1.5, 连接A1O1并延长交B1C1于D1, 连接AO并延长交BC于D, 过D1作D1E⊥AD于E. 在RtΔD1ED中,
1、柱体的体积
等底等高柱体 的体积相等吗？
数学是上帝描述自然的符号
等底等高柱体的体积相等
h
S底 S底
h
S底
V柱 = S底h
数学是上帝描述自然的符号
2、锥体的体积
等底等高锥体的体积相等
h
1 V锥 = S底 h 3
数学是上帝描述自然的符号
3、台体体积
根据台体的特征，如何求台体的体积？
由于圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成的， 因此可以利用两个锥体的体积差得到圆 A 台(棱台)的体积公式．
3
∴ 冰激凌融化了, 不会溢出杯子.
例7.一个圆柱形的玻璃 瓶的内半径为3 cm, 瓶 里所装的水深为8 cm,
3cm
3cm
将一个钢球完全浸入水
中, 瓶中水的高度上升 到8.5 cm. 求钢球的半径. 解: 如图, 设钢球半径为R, 8 cm 8.5cm
解得 R=1.5(cm). 答:钢球的半径为1.5 cm.
数学是上帝描述自然的符号
1、已知一正四棱台的上底面边长为
4cm,下底面边长为8cm,高为3cm,其
112cm3 体积为______
数学是上帝描述自然的符号
(1)体积度量的基本思路： 特殊到一般的数学思想 正方体
长方体
柱体
锥体
台体
长方体体积公式是计算其他几何体体积的基础. （2）柱、锥、台体积的计算公式 及它们之间的联系
4 3 2 则由题意有 3 8 R 3 8.5 3
2
三、课堂小结 1.柱、锥、台体积关系 1 V台体= (S上 S下 S上 S下 )h 3
S上 S下
V柱体=Sh
2.球的表面积和体积
S上 0
1 V锥体= Sh 3
S球面 4 R
2
4 3 V球 R 3
c
h
直棱柱侧面展开图
S直棱柱侧 ch
直棱柱
2.直棱柱、正棱锥、正棱台
h
1 S正 棱 锥 侧 ch 2
c 为底面周长，
h为斜高.
h
正棱锥
2.直棱柱、正棱锥、正棱台
h0
正棱台
1 S正 棱 台 侧 (c c )h 2
1.圆柱、圆锥、圆台的侧面积
S圆柱侧 2rl S圆锥侧 rl S圆台侧 (r r )l
所以，膨胀后体积变为原来的2 2倍（2.83倍）.
3.长方体的长、宽、高的比为1∶2 ∶ 3， 对角线长是2 14cm ，求它的体积.
解：∵长、宽、高的比为1∶2 ∶ 3， 设长、宽、高分别为m,2m,3m
由题意，x +(2x) +(3x) 2 14 ,
2 2 2
14 x 2 4 14, x 2, 体积V=x( 2x)( 3x)=6x 48(cm )
1 解：由题意 （12+ 24）h′ =32 + 62 ,18h′ = 45， 2 3 ′ 5 h = ，如图，AC= ，BD=3， 2 2 3 3 DE=3 - = ， 2 2 5 3 在Rt △CDE中，h= 2, 2 2 5 高为2，斜高为 2
面积，h 为台体高
S为底面面积， h为锥体高
数学是上帝描述自然的符号
例1、埃及胡夫金字塔大约建于公元前2580年,其形状为正四
棱锥.金字塔高146.6米,底面边长230.4米. 这座金字塔的侧 面积和体积各是多少.
数学是上帝描述自然的符号
解:如图,AC为高,BC为底面的边 心距,则AC=146.6,BC=115.2,
1.7.2 柱、锥、台的体积
瞧，这么宏伟壮观的金字塔呀！ ——你们能求出它的体积吗？ 数学是上帝描述自然的符号
看，这不是不复存在的世贸大厦吗？
——这两个棱柱的体积怎么求？
数学是上帝描述自然的符号
长方体的体积
D1 C1
V长方体 = abc 或V = S 底 h
A1 D
A
B1
C B
数学是上帝描述自然的符号
2 2
5.已知圆锥的表面积为a m2, 且它的侧面展开图是一个半圆, 则
这个圆锥的底面直径是多少?
解： rl r 2 a , 1 2 l 2r , rl l 2 a 3 a 2 r r a , r ,r , 3 3
2.直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积
S直棱柱侧 ch
c为直棱柱的底周长，h为高.
1 h 为斜高. S正 棱 锥 侧 ch c为正棱锥的底周长， 2 c分别为正棱台的上、 c、 1 S正 棱 台 侧 (c c )h h为斜高. 下底的周长， 2
二、应用
例1.一个圆柱形的锅炉，底面直径d=1m,高 h=2.3m.求锅炉的
解：设三条棱长分别为a,b,c，则ab=6，bc =8,ca=12, abc=24, a=3,b=2,c=4. 长方体的体对角线长 = a b c 3 2 4
2 2 2 2 2 4
29
3.正四棱台的上、下两底面边长分别是3,6, 其侧面积等于两底面
积之和, 则其高和斜高分别是多少?
三、反馈练习（课本） 1.已知正六棱柱的高为h, 底面边长为a, 求表面积.
解：侧面积=6ah, 上下底共12个三角形，上下底面积的和 3 2 =12 a 3 3a 2 S表面积 =6ah 3 3a 2 4
2.从长方体一个顶点出发的三个面的面积分别为6,8,12，求它 的对角线的长.
如果冰激凌融化了, 会溢出杯子吗?(假设冰激凌融化前后体积
不变)
1 4 3 1 4 解: V半 球 R 43 2 3 2 3 134(cm3 ). 1 1 1 2 2 4 12 Sh r h V圆锥 3 3 3
4cm
12cm
201(cm ).
第一章 立体几何初步
§1.7 简单几何体的再认识
•1
复习回顾 1.旋转体
圆柱 2.多面体
圆锥
圆台
棱柱
棱锥
棱台
1.7.1 柱、锥、台的侧面展开与面积
复习巩固
空间 问题
平面 问题
C′
h
d
b
a
a
a
b
h
h'
h'
h'
d
h'
C
§1.7.1
柱、锥、台的侧面展开与面积
c 2r
圆柱侧面展开图
1.圆柱、圆锥、圆台
r
l
圆柱
S圆柱侧 2rl
1.圆柱、圆锥、圆台
c 2r
l
r
圆锥
S圆锥侧 rl
1.圆柱、圆锥、圆台
l0
圆台侧面展开图
圆台
S圆台侧 (r r )l
1.圆柱、圆锥、圆台
S圆柱侧 2rl S圆锥侧 rl S圆台侧 (r r )l
2.直棱柱、正棱锥、正棱台
2 2 2
2 3 a 直径= 2r （m） 3
四、课堂小结 1.圆柱、圆锥、圆台
S圆柱侧 2rl S圆锥侧 rl S圆台侧 (r r )l
2.直棱柱、正棱锥、正棱台 S直棱柱侧 ch c为直棱柱的底周长，h为高.