三角函数图像变换小结(修订版)

★三角函数图像变换小结★

相位变换：

①()sin sin()0y x y x ϕϕ=→=+> 将sin y x =图像沿x 轴向左平移ϕ个单位 ②()sin sin()0y x y x ϕϕ=→=+< 将sin y x =图像沿x 轴向右平移ϕ个单位

周期变换：

①sin sin (01)y x y wx w =→=<< 将sin y x =图像上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的

w

1倍 ②sin sin (1)y x y wx w =→=>将sin y x =图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的

w

1倍 振幅变换：

①()sin sin 01y x y A x A =→=<<将sin y x =图像上所有点的横坐标不变，

纵坐标缩短为原来的A 倍

②()sin sin 1y x y A x

A =→=>将sin y x =图像上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的

A 倍

【特别提醒】

由y ＝sin x 的图象变换出y ＝Asin(x ω＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。

利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现 途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)

先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右（0ϕ<）平移｜ϕ｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的

ω

1

倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象

途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换 先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω

1

倍(ω＞0)，再沿x 轴向左(ϕ＞0)或向()0ϕ<右平移ω

ϕ|

|个单位，便得y ＝sin(x ω＋ϕ)的图象

【特别提醒】若由sin y x ω=得到()sin y x ωϕ=+的图象，则向左或向右平移应平移|

|ϕ

ω

个单位

为了得到函数3sin 5y x π⎛⎫

=- ⎪⎝

⎭

的图像，只要把3sin 5y x π⎛⎫

=+

⎪⎝

⎭

上所有的点（ ） （A ）向右平行移动

5π个单位长度 （B ）向左平行移动5π

个单位长度 （C ）向右平行移动25π个单位长度 （D ）向左平行移动25

π

个单位长度

（2011·朝阳期末）要得到函数sin(2)4

y x π

=-的图象，只要将函数sin 2y x =的图象 ( )

（A ）向左平移

4π单位 （B ）向右平移4π

单位 （C ）向右平移8π单位 （D ）向左平移8

π

单位

(09山东文)将函数sin 2y x =的图象向左平移4

π

个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ).

A. 2

2cos y x = B. 2

2sin y x = C.)4

2sin(1π

++=x y D. cos 2y x =

【方法总结】

①将()y f x =图像沿x 轴向左平移a 个单位 ()()y f x y f x a =→=+ ②将)(x f y =图像沿x 轴向右平移a 个单位 ()()y f x y f x a =→=-

为了得到函数3sin 25y x π⎛⎫

=+

⎪⎝

⎭

的图像，只要把3sin 5y x π⎛⎫

=+

⎪⎝

⎭

上所有的点（ ） （A ）横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 （B ）横坐标缩短到原来的1

2倍，纵坐标不变 （C ）纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 （D ）纵坐标缩短到原来的1

2

倍，横坐标不变

（2010四川文）将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动

10

π

个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（ ） （A ）sin(2)10y x π=-

（B ）y =sin(2)5x π

-

（C ）y =1sin()210x π- （D ）1sin()220

y x π

=-

(2011·广州期末)若把函数()y f x =的图象沿x 轴向左平移

4

π

个单位,沿y 轴向下平移1个单位,然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变),得到函数sin y x =的图象,则()y f x =的解析式为( ) A ．sin 214y x π⎛⎫

=-

+ ⎪⎝

⎭ B ．sin 212y x π⎛

⎫=-+ ⎪⎝⎭

C ．sin 214y x π⎛⎫

=++ ⎪⎝

⎭ D ．sin 212y x π⎛

⎫=+- ⎪⎝

⎭

【方法总结】

将()y f x =图像上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的

w

1

倍 ()

()(0)y f x y f wx

w =→=>

为了得到函数4sin 5y x π⎛⎫

=+ ⎪⎝

⎭

的图像，只要把3sin 5y x π⎛⎫

=+

⎪⎝

⎭

上所有的点（ ） （A ）横坐标伸长到原来的

43倍，纵坐标不变 （B ）横坐标缩短到原来的3

4倍，纵坐标不变 （C ）纵坐标伸长到原来的43倍，横坐标不变 （D ）纵坐标缩短到原来的3

4

倍，横坐标不变

【方法总结】

将()y f x =图像上所有点的横坐标不变，横坐标变为原来的A 倍

()

()(0)y f x y Af x

A =→=>

为了得到函数⎪⎭

⎫

⎝

⎛-

=62sin πx y 的图像，可以将函数x y 2cos =的图像（ ） A 向右平移6π B 向右平移3π C 向左平移6π D 向左平移3

π

试述如何由y =31sin （2x +3

π

）的图象得到y =sin x 的图象