三角函数图像变换小结(修订版)
三角函数的图像变换
三角函数的图像变换三角函数是数学中重要的一类函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
它们在图像上呈现出规律性的波动变化，而通过对这些函数进行图像的平移、缩放、翻转等操作，可以得到各种不同形态的函数图像。
本文将介绍三角函数的图像变换过程，并探讨不同变换对函数图像的影响。
正弦函数的图像变换正弦函数 $y = \\sin(x)$ 是一种周期性函数，其图像在 $[-\\pi, \\pi]$ 区间内呈现出波浪状的变化。
对正弦函数进行图像变换可以通过调整函数中的关键参数来实现。
平移平移是一种简单的图像变换操作，可以沿着横轴和纵轴分别对函数图像进行移动。
对于正弦函数 $y=\\sin(x)$ 来说，平移操作可以表示为 $y = \\sin(x - a)$，其中a为平移距离。
当a>0时，函数图像向右平移；当a<0时，函数图像向左平移。
缩放缩放是改变函数图像振幅的一种常见操作。
对于正弦函数$y=\\sin(x)$，可以通过调整函数中的系数来实现振幅的变化。
例如，当 $y=2\\sin(x)$ 时，函数图像的振幅将变为原来的两倍；当 $y=\\frac{1}{2}\\sin(x)$ 时，函数图像的振幅将缩小为原来的一半。
翻转翻转是改变函数图像对称性的一种操作。
对于正弦函数$y=\\sin(x)$，可以通过在函数中引入负号来实现翻转操作。
例如，当 $y=-\\sin(x)$ 时，函数图像将在a轴进行翻转。
余弦函数的图像变换余弦函数 $y = \\cos(x)$ 也是一种周期性函数，其图像在$[0, 2\\pi]$ 区间内呈现出波浪状的变化。
对余弦函数进行图像变换同样可以通过平移、缩放、翻转等操作来实现。
平移对于余弦函数 $y=\\cos(x)$，平移操作的表达式为 $y =\\cos(x - a)$，其中a为平移距离。
与正弦函数类似，当a> 0时，函数图像向右平移；当a<0时，函数图像向左平移。
三角函数图像的变换与特征
三角函数图像的变换与特征三角函数图像的变换是数学中一个重要的概念，它描述了三角函数图像相对于原始函数图像的位置、形状和特征的变化。
在本文中，我们将探讨三角函数的变换和它们的特征。
一、平移变换平移是指将函数图像沿着横轴或纵轴方向移动的操作。
对于三角函数而言，平移的规律如下：1. 正弦函数（Sine Function）的平移：a. 沿横轴平移：f(x) = sin(x - a)，其中a为平移的距离，若a > 0，则向右平移；若a < 0，则向左平移。
b. 沿纵轴平移：f(x) = a + sin(x)，其中a为平移的距离，若a > 0，则向上平移；若a < 0，则向下平移。
2. 余弦函数（Cosine Function）的平移：a. 沿横轴平移：f(x) = cos(x - a)，其中a为平移的距离，若a > 0，则向右平移；若a < 0，则向左平移。
b. 沿纵轴平移：f(x) = a + cos(x)，其中a为平移的距离，若a > 0，则向上平移；若a < 0，则向下平移。
二、伸缩变换伸缩是指对函数图像进行拉伸或压缩的操作。
对于三角函数而言，伸缩的规律如下：1. 正弦函数的伸缩：a. 沿横轴伸缩：f(x) = sin(kx)，其中k为伸缩的系数，若k > 1，则图像水平方向收缩；若0 < k < 1，则图像水平方向拉伸。
b. 沿纵轴伸缩：f(x) = a * sin(x)，其中a为伸缩的系数，若a > 1，则图像垂直方向收缩；若0 < a < 1，则图像垂直方向拉伸。
2. 余弦函数的伸缩：a. 沿横轴伸缩：f(x) = cos(kx)，其中k为伸缩的系数，若k > 1，则图像水平方向收缩；若0 < k < 1，则图像水平方向拉伸。
b. 沿纵轴伸缩：f(x) = a * cos(x)，其中a为伸缩的系数，若a > 1，则图像垂直方向收缩；若0 < a < 1，则图像垂直方向拉伸。
三角函数图像的变换
三角函数图像的变换一．x y sin =图像的三种变换：①函数x y sin =的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． ②数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移ϕω个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． 二．函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质： ①振幅：A ；②周期：2πωT =；③频率：12f ωπ==T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ． 函数()sin y x ωϕ=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()max min 12y y A =-，()max min 12y y B =+，()21122x x x x T=-<．三．练习1.已知简谐运动()2sin()()32f x x ππϕϕ=+<的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T =_________；初相ϕ=__________．2.三角方程2sin(2π－x )=1的解集为_______________________． 3.函数),2,0)(sin(R x x A y ∈π<ϕ>ωϕ+ω=的部分图象如图所示，则函数表达式为______________________．{2,}3x x k k Z ππ=±∈ )48sin(4π+π-=x y第3题4.要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象向右平移__________个单位．5.为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需把函数2sin y x =，x R ∈的图像上所有的点①向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）；②向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）；③向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）； ④向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）．其中，正确的序号有_____③______． 6.为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象向右平移__3π__个单位长度．7.若函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R （其中0ω>，2ϕπ<）的最小正周期是π，且(0)f =ω=______；ϕ=__________．8.下列函数： ①sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭； ②sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭； ③cos 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭； ④cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭． 其中函数图象的一部分如右图所示的序号有_____④_____． 9.函数y =sin(2x +3π)的图象关于点_______________对称． 10.求下列函数的单调减区间： （1）⎪⎭⎫⎝⎛+=62cos 2πx y （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=32sin 2πx y 11. 函数tan()2y x π=-(44x ππ-≤≤且0)x ≠的值域是___________________12. 7．如图，函数π2cos()(00)2y x x >ωθωθ=+∈R ，，≤≤的图象与y轴相交于点(0，且该函数的最小正周期为π．（1）求θ和ω的值；π6第8题（2）已知点π2A⎛⎫⎪⎝⎭，，点P是该函数图象上一点，点00()Q x y，是PA当y=ππ2x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求x的值．13.设函数)(),()2sin()(xfyxxf=<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8π=x．（Ⅰ）求ϕ；（Ⅱ）求函数)(xfy=的单调增区间；（Ⅲ）画出函数)(xfy=在区间],0[π上的图像第7题。
三角函数的图像变换
三角函数的图像变换三角函数是数学中重要的概念之一，它们在几何、物理和工程等领域中有着广泛的应用。
而其中，图像变换是三角函数中一个非常有趣和重要的概念。
图像变换可以通过改变三角函数的参数来改变其图像的形状、位置和大小。
本文将探讨三角函数的图像变换，并介绍一些常见的图像变换方法。
首先，我们来讨论正弦函数的图像变换。
正弦函数的一般形式为y = A*sin(Bx+ C) + D，其中A、B、C和D分别是函数的振幅、周期、相位和纵坐标平移量。
通过改变这些参数，我们可以实现正弦函数图像的各种变换。
首先，我们来看振幅的变换。
振幅决定了正弦函数图像的上下波动程度。
当振幅A增大时，正弦函数的波峰和波谷的高度也会增加，图像变得更加陡峭。
相反，当振幅A减小时，正弦函数的波峰和波谷的高度也会减小，图像变得更加平缓。
接下来，我们来看周期的变换。
周期决定了正弦函数图像的重复性。
当周期B增大时，正弦函数的波峰和波谷之间的距离增加，图像变得更加拉长。
相反，当周期B减小时，正弦函数的波峰和波谷之间的距离减小，图像变得更加压缩。
然后，我们来看相位的变换。
相位决定了正弦函数图像的水平位置。
当相位C增大时，正弦函数图像向左平移，波峰和波谷的位置向左移动。
相反，当相位C减小时，正弦函数图像向右平移，波峰和波谷的位置向右移动。
最后，我们来看纵坐标平移量的变换。
纵坐标平移量决定了正弦函数图像的垂直位置。
当纵坐标平移量D增大时，正弦函数图像向上平移，波峰和波谷的位置上升。
相反，当纵坐标平移量D减小时，正弦函数图像向下平移，波峰和波谷的位置下降。
除了正弦函数，余弦函数和正切函数也可以进行图像变换。
余弦函数的图像变换和正弦函数类似，只是相位的变换方向相反。
正切函数的图像变换则更为复杂，它的一般形式为y = A*tan(Bx + C) + D，其中A、B、C和D同样是函数的参数。
通过改变这些参数，我们可以实现正切函数图像的各种变换，包括振幅、周期、相位和纵坐标平移量的变换。
三角函数图像与变换
三角函数图像与变换一、引言三角函数是高中数学中的重要内容，它们在数学和物理等领域都有广泛的应用。
本文将从三角函数的图像出发，探讨其与变换的关系，并探讨它们在实际问题中的应用。
二、三角函数的基本图像1. 正弦函数的图像正弦函数是最基本的三角函数之一，它的图像呈现周期性的波动形态。
当自变量为0时，正弦函数的值为0；当自变量为90度（或π/2弧度）时，正弦函数的值为1；当自变量为180度（或π弧度）时，正弦函数的值为0；当自变量为270度（或3π/2弧度）时，正弦函数的值为-1；以此类推，正弦函数的图像在每个周期内都呈现出上升、下降、上升、下降的特点。
2. 余弦函数的图像余弦函数与正弦函数非常相似，它们的图像在形态上只有一个平移。
当自变量为0时，余弦函数的值为1；当自变量为90度（或π/2弧度）时，余弦函数的值为0；当自变量为180度（或π弧度）时，余弦函数的值为-1；当自变量为270度（或3π/2弧度）时，余弦函数的值为0；以此类推，余弦函数的图像也呈现出上升、下降、上升、下降的特点。
3. 正切函数的图像正切函数是另一个重要的三角函数，它的图像呈现出周期性的波动形态。
正切函数的图像在每个周期内都有一个渐进线，即在自变量接近90度（或π/2弧度）和270度（或3π/2弧度）时，函数值趋近于无穷大。
三、三角函数的变换1. 平移变换平移变换是指将函数的图像沿x轴或y轴方向移动一定的距离。
对于正弦函数和余弦函数，平移变换可以通过改变自变量的值来实现。
例如，将正弦函数的自变量增加π/4，可以使函数图像向左平移π/4个单位；将正弦函数的自变量减少π/4，可以使函数图像向右平移π/4个单位。
同样的，对于余弦函数，也可以通过改变自变量的值来实现平移变换。
2. 伸缩变换伸缩变换是指将函数的图像在x轴或y轴方向进行拉伸或压缩。
对于正弦函数和余弦函数，伸缩变换可以通过改变自变量的系数来实现。
例如，将正弦函数的自变量乘以2，可以使函数图像在x轴方向压缩一倍；将正弦函数的自变量除以2，可以使函数图像在x轴方向拉伸一倍。
三角函数角的变换总结
三角函数角的变换总结三角函数是数学中重要的一部分，它们能够描述直角三角形中的各种关系以及周期性现象。
三角函数角的变换是指将一个角按照一定的规律进行平移、伸缩、翻转等操作，得到新的角。
这些变换可以帮助我们更好地理解三角函数的性质、图像以及应用。
一、平移变换平移变换是指将角按照一定的规律在坐标平面上沿着横轴或者纵轴进行移动。
平移变换可以通过改变角的坐标来实现。
具体来说，设原始角为θ，平移后的角为θ+a。
对于三角函数来说，平移变换的规律如下：1. 正弦函数的平移变换：y = sin(θ+a) = sinθcosa + sinacosθ平移量a的正负方向决定了平移的方向，平移量a的大小决定了平移的距离。
2. 余弦函数的平移变换：y = cos(θ+a) = cosθcosa - sinasina平移量a的正负方向决定了平移的方向，平移量a的大小决定了平移的距离。
3. 正切函数的平移变换：y = tan(θ+a) = (tanθ + tana) / (1 - tanθtanα)平移量a的正负方向决定了平移的方向，平移量a的大小决定了平移的距离。
二、伸缩变换伸缩变换是指将角按照一定的规律进行拉伸或者收缩操作。
伸缩变换可以通过改变角度的系数来实现。
具体来说，设原始角为θ，伸缩后的角为kθ。
对于三角函数来说，伸缩变换的规律如下：1. 正弦函数的伸缩变换：y = sin(kθ) = sinθ / k伸缩系数k大于1时，表示角度增加，图像上下收缩；伸缩系数k小于1时，表示角度减小，图像上下拉伸。
2. 余弦函数的伸缩变换：y = cos(kθ) = cosθ / k伸缩系数k大于1时，表示角度增加，图像左右收缩；伸缩系数k小于1时，表示角度减小，图像左右拉伸。
3. 正切函数的伸缩变换：y = tan(kθ) = tanθ / k伸缩系数k大于1时，表示角度增加，图像上下收缩；伸缩系数k小于1时，表示角度减小，图像上下拉伸。
三角函数图形变换总结
总结方法一： 按照、、A的顺序变化
法二：y=sinx
横坐标缩短为原来 的 1倍
2
y=sin2x
向左平移 12个单位
y=2sin2(x+
)
12
纵坐标伸长为原 来的2倍
y=2sin(2x+ )
6
总结方法二： 按照、、A的顺序变化
题型二：五点作图
例：利用"五点法"画函数y 2 sin(1 x )的图象.
1.5 y=Asin(x+)+b
的图象
一： 变化时，函数y=sin(x+)图象:
y=sinx
所有的点向左( >0) 或向右( <0)平移
| | 个单位
y=sin(x+)
的变化引起图象位置发生变化(左加右减)
二： 变化时函数y=sinx(>0)图象:
所有的点横坐标缩短(>1)或
y=sinx
伸长(0< <1) 1/倍 纵坐标不变
y=sinx
决定函数的周期:
T 2
三：A变化时，函数y=Asinx(A>0)图象:
所有的点纵坐标伸长(A>1)或缩短
y=sinx
(0< A<1) 为原来的A倍
横坐标不变
y=Asinx
A的大小决定这个函数的最大(小)值
四：b变化时，函数y=sin(x)+b图象:
y=sinx
所有的点向上(b >0) 或向下(b <0)平移
x ：相位 x 0时的相位称为初相
题型一、图像变换
例：函数y=2sin(2x+ ） 的图像可以由y=sinx的图
6
高中数学必修一-三角函数图像性质总结(精华版)
(2) /(航+如型三角函数的奇偶性（i ） g （x ） = /沏（颜+如（x€ R）(x)为偶函数匕鼠U 力（而+ 出=j4sin （-<at + 炉）（x W 氏）0 sin 曲匚*0=。
（工 W R ）7Tcos 卯=。
=上7T+一1左 e Z ）由此得 2 ,同理，式夫4皿皈+双相的 为奇函数 =顺@=0/3=上网海2)（ii ）飙# =+劭SwR]妖N = .Aa 式题+钠为偶函数见双t")；就= 式以+如为奇函数7T=中=无产+ — (k e Z)3、周期性(1)基本公式(ii) 〃皈+⑺+氏型三角函数的周期竺y =+ G + 5 =加+中出 的周期为何；（一）三角函数的性质1、定义域与值域2、奇偶性(1)基本函数的奇偶性奇函数：y = sinx y= tanx ； 偶函数：y=cosx.(i )基本三角函数的周期的周期为；丁.y=sinx , y=cosx 的周期为 之并 ；y = tanx , y = cotx4-212yy=cotxy=tanx 3-32X 03 27 3,y=cosx-5-4 .7223 2322 5 2“如血的+朗+9=心服如+沟+用的周期为何.（2）认知⑴A =1/W +创型函数的周期y = |月劭（枷+或）| j = A 匚。
5（西+励|（ii ）若函数为,（收斗劭 型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”. （iii ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验一一猜想一一证明.（3）特殊情形研究JT(i ) y = tanx — cotx 的最小正周期为27T（ii ） y=卜由H+|M 幻的最小正周期为，；7T（iii ） y = sin 4x + cos 4x 的最小正周期为，. _由此领悟“最小公倍数法”的适用类型，以防施错对象 .4、单调性（1）基本三角函数的单调区间（族）依从三角函数图象识证“三部曲”：①选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称的 一个周期；②写特解：在所选周期内写出函数的增区问（或减区问）；③获通解：在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数 的增区间族（或减区间族）循着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族 .揭示：上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域（2） y=/（而+初 型三角函数的单调区问的周期为y = （助+切1_r= |达匚祖（姗+阖| 的周期为 7T(ii) > = 1/(耽+如+同3=0)的周期1y 二|金£血（为工卜8］妣+3）+甘¥ = |例如（而+5+上］ J = |总二加侬大+的+. 的周期为祠；,7T的周期为:. 均同它们不加绝对值时的周期相同，即对 数的周期不变.注意这一点与（i ）的区别.y=八加+◎+上的解析式施加绝对值后，该函此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为 ①换元、分解：令u =z 中,将所给函数分解为内、外两层：y = f (u) , u =®x+卯;②套用公式：根据对复合函数单调性的认知，确定出 f (u)的单调性，而后利用(1)中公 式写出关于u 的不等式；③还原、结论：将u =^+W 代入②中u 的不等式，解出x 的取值范围，并用集合或区间 形成结论.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:/y sinx y cosxy tanxy cotxy Asin x(A 、 >0)定义域 R R x | x R 且 x k 1 ,k Zx| x R 且x k ,k ZR值域 [1, 1][1, 1]R RA, A周期性 2 22奇偶性奇函数 偶函数奇函数 奇函数当 0,非奇非偶 当0,奇函数单调性[2 2k , —2k ] 2上为增函 数； [2 2k ,3——2k ] 2上为减函 数(k Z )[2k 1 , 2k ]上为增函 数[2k , 2k 1 ]上为减函数(k Z )一k ,一 k 2 2 上为增函数(k Z )k , k 1上为减函数(k Z )2k2(A),2k -2( A)上为增函数；2k 一------ 2— (A), 2k------ 2——(A)上为减函数(k Z )注意：①y sinx 与y sinx 的单调性正好相反；y cosx 与y cosx 的单调性也同样相反.一般 地，若y f(x)在［a,b ］上递增(减)，则y f (x)在［a,b ］上递减(增)y忖n x 与y cosx 的周期是.-(k Z),对称中心(k ,0); y cos( x )的对称轴方); y tan( x )的对称中心(工,0).,02③ y sin( x )或 y cos( x )0)的周期T 2y tan x 的周期为2 2 (T _ T 2，如图，翻折无效)④y sin( x )的对称轴方程是x k 程是x k (k Z ),对称中心(ky cos2x 原点对称 y cos( 2x) cos2x⑤ 当 tan tan 1, k ,(k Z) ; tan tan 1, k ,(k Z).⑥y cosx 与y s in x _ 2k是同一函数，而y ( x )是偶函数，则2 1 、，、y ( x ) sin( x k ) cos( x).2⑦函数y tanx 在R 上为增函数.(耳［只能在某个单调区间单调递增 .若在整个定义域,y tanx 为增函数，同样也是错误的］.⑧定义域关于原点对称是f (x)具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶性的两个条件：一是定义域 关于原点对称(奇偶都要)，二是满足奇偶性条件，偶函数：f( x) f(x),奇函数：f( x) f(x)) 奇偶性的单调性：奇同偶反.例如：y tanx 是奇函数，y tan(x 1)是非奇非偶.(定义域不 3 关于原点对称)奇函数特有性质：若0 x 的定义域，则f(x)一定有f(0) 0. (0 x 的定义域，则无此性质)⑨y sinx 不是周期函数；y sinx 为周期函数(T )； y cosx 是周期函数(如图)；y cosx 为周期函数(T )；y cos2x1的周期为(如图)，并非所有周期函数都有最小正周期,2y f (x) 5 f (x k),k R . ⑩ y a cos bsinVa 2 b 2sin( ) cos b 有 Va 2 b 2 y .、形如y Asin( x )的函数:11、几个物理量：A 一振幅；f 1—频率(周期的倒数)；x 一相包； 一初相；2、函数y Asin( x )表达式的确定：A 由最值确定； 由周期确定； 由图象上的特殊点确定，如 f(x) Asin( x )(A 0,0, | 3.函数 y Asin( x ) B (其中 A 0,0)最大值是A B,最小值是B A,周期是T —,最小正周期T 六频率是f「相位是x,初相是；其图象的对称轴是直线x k 7k Z),凡| "^0的图象如图所小，则f (x)(答：f(x)152sin(-2x -));y=| cos2x+1/2|图象是该图象与直线y B 的交点都是该图象的对称中心4、研究函数y Asin( x )性质的方法：类比于研究y sin x 的性质，只需将y Asin( x ) 中的x 看成y sinx 中的x,但在求y Asin( x )的单调区间时，要特别注意 A 和 的 符号，通过诱导公式先将 化正。
初中数学知识归纳三角函数的变换与像
初中数学知识归纳三角函数的变换与像初中数学知识归纳：三角函数的变换与像三角函数是数学中的重要部分，它在初中数学中也是一个重要的内容。
在学习三角函数时，我们不仅需要了解其基本概念和性质，还需要熟悉与之相关的变换与像。
本文将对初中数学中三角函数的变换与像进行归纳总结，以帮助同学们更好地掌握这一知识点。
一、角度的变换角度的变换主要包括角度的度数与弧度的转换，以及角度的正负变换。
1.1 角度的度数与弧度的转换在三角函数中，角度可以用度数或弧度进行表示。
一般来说，我们习惯性地使用度数来表示角度，但在某些问题中，弧度更为方便。
因此，我们需要掌握角度的度数与弧度之间的转换关系。
当角度用度数表示时，它等于弧度乘以180°再除以π。
反之，当角度用弧度表示时，它等于角度乘以π再除以180°。
1.2 角度的正负变换在三角函数中，正负角对应于平面直角坐标系中的不同象限。
根据象限的不同，三角函数的值也会发生变化。
对于角度为θ的正弦函数sinθ，当θ为锐角时，sinθ>0，当θ为钝角时，sinθ<0。
对于角度为θ的余弦函数cosθ，当θ为锐角时，cosθ>0，当θ为钝角时，cosθ<0。
对于角度为θ的正切函数tanθ，当θ为锐角时，tanθ>0，当θ为钝角时，tanθ<0。
二、三角函数的图像掌握三角函数的图像特点对于进一步研究其性质和变换是非常重要的。
根据三角函数的定义和性质，我们可以得出以下结论。
2.1 正弦函数y=sin(x)的图像正弦函数的图像为一条连续的曲线，通过原点(0, 0)。
正弦函数的值域为[-1, 1]，当自变量的值增大时，函数值的绝对值在不断变小。
其图像在0到2π的一个周期内，呈现出周期性的波动。
2.2 余弦函数y=cos(x)的图像余弦函数的图像也是一条连续的曲线，通过原点(0, 1)。
余弦函数的值域为[-1, 1]，当自变量的值增大时，函数值的绝对值会在不断变小。
三角函数图像变换总结（范本）
三角函数图像变换总结三角函数图像变换总结篇一：三角函数图像变换小结(修订版) ★三角函数图像变换小结★相位变换：①y?sinx?y?si n(x??)0? 将y?sinx图像沿x轴向左平移?个单位②y?s inx?y?sin(x??)0?将y?sinx图像沿x轴向右平移?个单位周期变换：①y?sinx?y?sinx(0??1)将y?sinx图像上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的 1 倍②y?sinx?y?si nx(?1)将y?s inx图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 1 倍振幅变换：①y?sinx?y?A sinx的A倍②y?sinx?y?Asinx A倍?0?纵坐标缩短为原来A?1?将y?si nx图像上所有点的横坐标不变， ?A?1?将y?sinx图像上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的【特别提醒】由y＝sinx的图象变换出y ＝Asin(?x＋?)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将y＝sinx的图象向左(?＞0)或向右（??0）平移｜?｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的移 |?| 1? 倍(?＞0)，便得y＝sin(ωx＋?)的图象 1 ?倍(?＞0)，再沿x轴向左(?＞0)或向0?右平 ?个单位，便得y＝si n(?x＋?)的图象 ?? |个单位【特别提醒】若由y?s in?x 得到y?si n??x的图象，则向左或向右平移应平移| 1 为了得到函数y?3sin?x? ?? ?? 5? ?的图像，只要把y?3sin?x? ? ? ?? ?上所有的点（） 5? （A）向右平行移动（C）向右平行移动 ?52?5 个单位长度（B）向左平行移动个单位长度（D）向左平行移动 ? 52?5 个单位长度个单位长度（201X·朝阳期末）要得到函数y?sin(2x?（A）向左平移（C）向右平移 (09山东文)将函数y?sin2x的图象向左平移( ). ? 4 ?4 )的图象，只要将函数y?sin2x的图象 ( ) 单位（B）向右平移单位（D）向左平移 ?4 单位单位 ?8 ? 8 ? 4个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 A.y?2cs2x B. y?2sin2xC.y?1?sin(2x? 【方法总结】 ? 4 ) D.y?cs2x①将y?f?x?图像沿x轴向左平移a个单位 y?f?x??y?f(x?a)②将y?f(x)图像沿x轴向右平移a个单位 y?f?x??y?f(x?a) 为了得到函数y?3si n?2x? ?? ?? 5? ?的图像，只要把y?3sin?x? ? ? ???上所有的点（）5? 1212 （A）横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变（B）横坐标缩短到原来的（C）纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变（D）纵坐标缩短到原来的（201X四川文）将函数y?s inx 的图像上所有的点向右平行移动 ?10 倍，纵坐标不变倍，横坐标不变个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（）（A）y?sin(2x?（C）y?sin( 2?10 ) （B）y?sin(2x?) （D）y?sin( 12 ? 5 )) 12 x? ? 10 x? ? 20 (201X·广州期末)若把函数y?f?x?的图象沿x轴向左平移 ? 4 个单位,沿y轴向下平移1个单位,然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变),得到函数y?sinx的图象,则y?f?x?的解析式为( ) A．y?sin?2x? ??? ???B．?1y?sin2x1 4?2?? C．y?s in?2x? 【方法总结】 ?? ???D．?1y?sin2x1 4?2?? 将y?f?x?图像上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的y?f(x)?y?f?x 1 倍? (?0) 为了得到函数y?4sin?x? ?? ?? 5? ?的图像，只要把y?3sin?x?? ? ?? ?上所有的点（） 5?34 （A）横坐标伸长到原来的（C）纵坐标伸长到原来的【方法总结】 4343倍，纵坐标不变（B）横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 34倍，横坐标不变（D）纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变将y?f?x?图像上所有点的横坐标不变，横坐标变为原来的A倍y?f(x)?y?A f?x ? (A?0) 为了得到函数y?sin?2x? ???? ?的图像，可以将函数y?cs2x的图像（） 6?A 向右平移 ? 6B 向右平移 ?3 C 向左平移?6 D向左平移?3 试述如何由y=sin（2x+ 31π3 ）的图象得到y=sinx的图象3 函数y?Asin(?x??)表达式的确定：A由最值确定；?由周期确定；?由图象上的特殊点确定，（201X重庆理）（6）已知函数y?sin(?x??)(??0,??A. ?=1 ?= ? 6 ? 2 )的部分图象如题（6）图所示，则（） ? 6 B. ?=1 ?= —C.?=2 ?= ? 6? 6 D. ?=2 ?= —（201X天津文）（8）右图是函数y?Asin(?x??)?A?0,??0,?? ?? ?? 2? ?在区间?? ? ??5?? 上的图像为?66?, 了得到这个函数的图象，只要将y?sinx（x?R）的图象上所有的点（） (A)向左平移? 3 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 12倍，纵坐标不变(B) 向左平移 ? 3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变 (C) 向左平移 ? 6 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12 倍，纵坐标不变(D) 向左平移?6 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变【规律总结】 y?Asin(?x??)的图像（１）相邻的对称轴之间的距离为半个周期；（２）相邻对称中心间的距离是半个周期；（３）相邻的对称轴和对称中心之间的距离为14 个周期。
三角函数图像变换规律
三角函数图像变换规律三角函数图像变换是数学和物理学中重要的一部分，它将函数变换为图像表示。
这里，我们将探讨三角函数图像变换的各种变换规律。
首先，让我们来讨论一下sin (x)的变换规律。
三角函数的变换可以分为一次变换、二次变换和三次变换，其中一次变换是指对于给定的sin (x)来说，将x作为一次变换的函数。
图像中的sin (x)图像变换规律是在坐标原点(0，0)的情况下，假设原函数的值是一定的，则在做一次函数变换时，原点会绕着y轴旋转，由此形成一个新的弧线，该弧线形状与原函数形状是一致的，只是位置发生了变化。
图像变换后，原点在原来函数上恒定距离处又会产生新的一点，经过多次变换后，这样的模式称为周期性振荡模式，它定义了以一定周期性振荡的模式运行，在未来将得到更多的研究。
其次，我们讨论一下cos (x)的变换规律。
cos (x)的变换规律与sin (x)的变换规律大致相同，也分为一次变换、二次变换和三次变换。
但是，cos (x)的图像变换与sin (x)的变换还是有一些不同之处。
首先，cos (x)的图像变换规律是在坐标原点（0，0）的情况下，当处于一次变换过程中时，原点会绕着x轴旋转，形成一个新的抛物线，与原抛物线的形状相同，只是位置发生了变化。
其次，当cos (x)进行二次变换时，其图像变换规律会发生变化，该函数会绕着原点旋转，而不是绕着x轴旋转，即原点会在函数上恒定距离处产生新的点，不断重复，形成一个新的抛物线，与原函数形状大体相同;最后，在三次变换时，cos (x)变换规律将会有所不同，在此条件下，函数会绕着x轴旋转，而不是绕着原点旋转，形成一个新的抛物线，该抛物线上点的位置会比原函数上更加密集。
最后，我们来讨论一下tan (x)的变换规律。
类似于sin (x)和cos (x)，tan (x)也可以进行一次、二次和三次变换，其图像变换的规律也大致相同。
在一次变换时，原点绕着y轴旋转，形成一个新的弧线，该弧线形状与原函数形状大体相同;二次变换时，原点绕着原点旋转，而不是绕着y轴旋转，形成一个新的弧线，与原函数形状大体相同;三次变换时，原点绕着x轴旋转，而不是绕着原点旋转，形成一个新的弧线，与原函数形状大体相同。
三角函数的像变换知识点总结
三角函数的像变换知识点总结三角函数是数学中重要的一门学科，常常用于解决几何问题、物理问题以及信号处理等领域。
而在实际应用中，常常会遇到对三角函数进行像变换的情况，通过像变换可以改变函数的振幅、频率和相位等性质。
以下是三角函数的像变换相关知识点的总结，包括正弦函数、余弦函数和正切函数的像变换特性以及对应的图像变化。
1. 正弦函数的像变换正弦函数的一般形式为y = A*sin(B(x-C))+D，其中A代表振幅，B代表频率，C代表相位，D代表垂直偏移量。
像变换可以通过改变这些参数来实现。
- 振幅的变化：改变A的值可以改变正弦函数的振幅，当A>1时振幅增大，当0 A时振幅减小，当A<0时振幅变为负数，即使曲线翻转。
- 频率的变化：改变B的值可以改变正弦函数的周期，当B>1时周期缩短，当0 B时周期增加。
- 相位的变化：改变C的值可以改变正弦函数的水平移动，当C>0时函数向右移动C个单位，当0 C时函数向左移动C个单位。
- 垂直偏移量的变化：改变D的值可以改变正弦函数的上下平移，当D>0时整个函数上移D个单位，当0 D时整个函数下移D个单位。
2. 余弦函数的像变换余弦函数的一般形式为y = A*cos(B(x-C))+D，其中A代表振幅，B 代表频率，C代表相位，D代表垂直偏移量。
像变换可以通过改变这些参数来实现。
- 振幅的变化：改变A的值可以改变余弦函数的振幅，变换规律与正弦函数相同。
- 频率的变化：改变B的值可以改变余弦函数的周期，变换规律与正弦函数相同。
- 相位的变化：改变C的值可以改变余弦函数的水平移动，变换规律与正弦函数相同。
- 垂直偏移量的变化：改变D的值可以改变余弦函数的上下平移，变换规律与正弦函数相同。
3. 正切函数的像变换正切函数的一般形式为y = A*tan(B(x-C))+D，其中A代表振幅，B 代表频率，C代表相位，D代表垂直偏移量。
像变换可以通过改变这些参数来实现。
三角函数变换的方法总结
三角函数变换的方法总结一、基础概念1.三角函数三角函数是以角度(x)作为自变量，单位圆上的坐标为函数值。
基本三角函数有正弦(sine)、余弦(cosine)、正切(tangent)、余切(cotangent)等。
定义域为实数集，值域为[-1,1]。
2.周期性三角函数都具有周期性，即函数值在一定范围内重复出现。
正弦和余弦的周期都为2π，正切和余切的周期为π。
3.基本关系三角函数之间有一系列基本关系：- 正弦、余弦关系：sin²(x)+cos²(x)=1- 正切、余切关系：tan(x)=1/cot(x)- 余弦、正切关系：cos(x)=1/sqrt(1+tan²(x))二、方法总结1.基本变换基本变换是通过改变角度的幅度和位置来改变三角函数的取值。
例如，sin(x)函数是以y轴为对称轴的偶函数，当角度发生变化时，sin(x)函数的值也会随之改变。
2.幅度变换幅度变换是通过改变系数a来改变函数的幅度。
在sin(ax)和cos(ax)中，a的取值决定了函数图像振动的频率和幅度，a越大，函数的振动越快，幅度越小。
3.位置变换位置变换是通过改变角度的平移来改变函数图像。
sin(x+b)和cos(x+b)中，b的取值决定了函数图像的位置，向右平移b单位，向左平移-b单位。
4.相关公式相关公式是一些常见的三角函数相互之间的变换式，它们可以简化计算，提高效率。
例如，sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)是常见的三角函数加法公式。
三、实际应用1.物理学2.电子工程3.统计学结论三角函数变换是解决三角函数关系和计算的一种重要方法，具有广泛的应用价值。
通过基本变换、幅度变换、位置变换和相关公式等方法，可以灵活地处理三角函数的计算和应用问题。
在物理学、电子工程和统计学等领域，三角函数变换对于解决实际问题起着重要的作用。
因此，熟练掌握三角函数变换的方法和技巧对于数学和实际应用都具有重要意义。
三角函数图像变换总结
三角函数图像变换总结三角函数是高中数学中非常重要的一个概念，它在几何、物理、工程等领域中有着广泛的应用。
在学习三角函数时，我们经常会接触到三角函数的图像变换。
图像变换是指通过对原始函数的一系列操作，得到一个新的函数的过程。
一、平移变换平移变换是指将函数的图像沿着横轴或纵轴方向平移一定的距离。
当我们将函数沿着横轴平移时，可以通过将自变量加上一个常数来实现。
例如，若将函数f(x)沿着横轴向右平移a个单位，则新函数为f(x-a)。
同样，当我们将函数沿着纵轴平移时，可以通过将因变量加上一个常数来实现。
二、伸缩变换伸缩变换是指通过改变函数的自变量或因变量的取值范围来改变函数的图像形状。
当我们将函数的自变量进行伸缩时，可以通过改变自变量的比例系数来实现。
例如，若将函数f(x)的自变量x进行伸缩，新函数为f(kx)，其中k是一个正常数。
当k 大于1时，函数图像会水平压缩；当0<k<1时，函数图像会水平拉伸。
同样，我们可以将函数的因变量进行伸缩，通过改变因变量的比例系数来实现。
三、翻折变换翻折变换是指通过改变函数的自变量或因变量的正负号来改变函数的图像形状。
当我们将函数的自变量进行翻折时，可以通过将自变量取相反数来实现。
例如，若将函数f(x)的自变量进行翻折，新函数为f(-x)。
同样，我们可以将函数的因变量进行翻折，通过将因变量取相反数来实现。
四、迭加变换迭加变换是指将多个变换效果叠加在一起，从而得到一个新的函数的图像。
例如，我们可以将平移、伸缩和翻折等变换操作应用于原始函数，得到一个经过多次变换的新函数的图像。
通过迭加变换，我们可以获得更加丰富多样的函数图像。
总结起来，三角函数的图像变换是通过对函数的自变量和因变量进行平移、伸缩、翻折等操作来改变函数的图像形状。
通过合理地应用这些图像变换，我们可以更好地理解和应用三角函数，并在解决实际问题时提供便利。
因此，掌握三角函数的图像变换是非常重要的数学技能之一，也是我们在数学学习中需要重点关注和掌握的内容之一。
三角函数图像变换总结
三角函数图像变换总结三角函数是数学中的重要内容，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
三角函数的图像变换是三角函数研究中的一个重要内容，通过对三角函数图像的变换，可以更直观地理解三角函数的性质和特点。
本文将对三角函数图像的平移、垂直伸缩和水平伸缩等变换进行总结，希望能够帮助读者更好地理解三角函数图像的变换规律。
1. 平移变换。
平移是指将函数图像沿着坐标轴的方向进行平移。
对于三角函数图像而言，平移包括水平平移和垂直平移两种情况。
水平平移是指将函数图像沿着横坐标轴的方向进行平移，而垂直平移则是指将函数图像沿着纵坐标轴的方向进行平移。
对于三角函数y=sin(x)而言，将其图像沿着横坐标轴平移a个单位，则新的函数图像为y=sin(x-a)；将其图像沿着纵坐标轴平移b个单位，则新的函数图像为y=sin(x)+b。
同样的规律也适用于三角函数y=cos(x)和y=tan(x)的图像平移变换。
2. 垂直伸缩变换。
垂直伸缩是指将函数图像沿着纵坐标轴的方向进行伸缩。
对于三角函数图像而言，垂直伸缩可以分为垂直方向的拉伸和压缩两种情况。
对于三角函数y=sin(x)而言，将其图像沿着纵坐标轴方向进行拉伸k倍，则新的函数图像为y=ksin(x)；将其图像沿着纵坐标轴方向进行压缩k倍，则新的函数图像为y=(1/k)sin(x)。
同样的规律也适用于三角函数y=cos(x)和y=tan(x)的图像垂直伸缩变换。
3. 水平伸缩变换。
水平伸缩是指将函数图像沿着横坐标轴的方向进行伸缩。
对于三角函数图像而言，水平伸缩可以分为水平方向的拉伸和压缩两种情况。
对于三角函数y=sin(x)而言，将其图像沿着横坐标轴方向进行拉伸k倍，则新的函数图像为y=sin(kx)；将其图像沿着横坐标轴方向进行压缩k倍，则新的函数图像为y=sin(x/k)。
同样的规律也适用于三角函数y=cos(x)和y=tan(x)的图像水平伸缩变换。
通过以上对三角函数图像变换的总结，我们可以发现三角函数图像的变换规律其实并不复杂。
三角函数图像的变换
三角函数图像的变换三角函数是一类重要的基础函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
在数学中，我们经常遇到需要对三角函数进行图像变换的情况，比如平移、伸缩、翻转等。
本文将介绍三角函数图像的常见变换以及它们对函数图像的影响。
一、平移变换平移是指将函数图像沿着横轴或纵轴方向移动一段距离。
以正弦函数为例，设原函数为y=sin(x)，将它沿横轴向右平移a个单位，新函数为y=sin(x-a)。
当a取正值时，函数图像向右平移；当a取负值时，函数图像向左平移。
平移变换后的图像与原图像形状相同，只是位置不同。
二、伸缩变换伸缩是指将函数图像进行横向或纵向的比例拉伸或压缩。
以正弦函数为例，设原函数为y=sin(x)，将它沿横轴方向进行压缩b倍，新函数为y=sin(bx)。
当b大于1时，函数图像横向压缩；当0<b<1时，函数图像横向拉伸。
同样，沿纵轴方向进行伸缩也可得到相应的函数图像变换。
三、翻转变换翻转是指将函数图像沿着横轴或纵轴进行翻转，也称为镜像变换。
以正弦函数为例，设原函数为y=sin(x)，将它沿横轴进行翻转，新函数为y=-sin(x)。
同样地，纵向翻转可得到相应的函数图像变换。
四、混合变换除了单一的平移、伸缩和翻转变换，我们还可以通过组合这些变换来得到更复杂的函数图像变换。
比如，可以将平移、伸缩和翻转变换相结合，得到更丰富多样的变换效果。
以上是对三角函数图像常见变换的简要介绍，下面我们将进一步讨论这些变换对函数图像的具体影响。
1.平移变换的影响：平移变换只改变了函数图像的位置，不改变其形状。
假设原函数图像位于坐标系上方，若平移后函数图像向右移动，则新函数图像将出现在原来的右侧；若平移后函数图像向左移动，则新函数图像将出现在原来的左侧。
平移变换对函数图像的垂直位置没有影响。
2.伸缩变换的影响：横向伸缩会拉伸或压缩函数图像。
当b大于1时，函数图像在x轴方向上被压缩，变得更加陡峭；当0<b<1时，函数图像在x轴方向上被拉伸，变得更加平缓。
三角函数的像变换规律总结
三角函数的像变换规律总结三角函数是数学中的重要概念，它们在数学和物理等领域中有广泛的应用。
像变换规律是描述三角函数在图像上的移动、拉伸和反转等变化规律。
在本文中，我们将总结常见的三角函数的像变换规律。
一、正弦函数的像变换规律正弦函数是最常见的三角函数之一，其一般式为y =A*sin(Bx+C)+D，其中A、B、C、D为常数参数。
1. 水平方向平移：当C改变时，函数图像在水平方向上发生平移。
当C>0时，向左平移；当C<0时，向右平移。
平移的距离等于C的绝对值除以B。
2. 垂直方向平移：当D改变时，函数图像在垂直方向上发生平移。
当D>0时，向上平移；当D<0时，向下平移。
平移的距离等于D。
3. 垂直方向拉伸或压缩：当A改变时，函数图像在垂直方向上发生拉伸或压缩。
当|A|>1时，发生纵向拉伸；当|A|<1时，发生纵向压缩。
拉伸或压缩的程度与|A|的大小有关。
二、余弦函数的像变换规律余弦函数也是常见的三角函数之一，其一般式为y =A*cos(Bx+C)+D，其中A、B、C、D为常数参数。
1. 水平方向平移：与正弦函数类似，余弦函数在改变C时在水平方向上发生平移。
当C>0时，向左平移；当C<0时，向右平移。
平移的距离等于C的绝对值除以B。
2. 垂直方向平移：与正弦函数类似，余弦函数在改变D时在垂直方向上发生平移。
当D>0时，向上平移；当D<0时，向下平移。
平移的距离等于D。
3. 垂直方向拉伸或压缩：与正弦函数类似，余弦函数在改变A时在垂直方向上发生拉伸或压缩。
当|A|>1时，发生纵向拉伸；当|A|<1时，发生纵向压缩。
拉伸或压缩的程度与|A|的大小有关。
三、正切函数的像变换规律正切函数是另一个常见的三角函数，其一般式为y =A*tan(Bx+C)+D，其中A、B、C、D为常数参数。
由于正切函数在某些点上无定义，因此在图像上会有一些特殊的性质。
三角函数图像变换小结(修订版)
★三角函数图像变换小结★相位变换：①()sin sin()0y x y x ϕϕ=→=+> 将sin y x =图像沿x 轴向左平移ϕ个单位 ②()sin sin()0y x y x ϕϕ=→=+< 将sin y x =图像沿x 轴向右平移ϕ个单位周期变换：①sin sin (01)y x y wx w =→=<< 将sin y x =图像上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的w1倍 ②sin sin (1)y x y wx w =→=>将sin y x =图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的w1倍 振幅变换：①()sin sin 01y x y A x A =→=<<将sin y x =图像上所有点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的A 倍②()sin sin 1y x y A xA =→=>将sin y x =图像上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的A 倍【特别提醒】由y ＝sin x 的图象变换出y ＝Asin(x ω＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。
利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现 途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右（0ϕ<）平移｜ϕ｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换 先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，再沿x 轴向左(ϕ＞0)或向()0ϕ<右平移ωϕ||个单位，便得y ＝sin(x ω＋ϕ)的图象【特别提醒】若由sin y x ω=得到()sin y x ωϕ=+的图象，则向左或向右平移应平移||ϕω个单位为了得到函数3sin 5y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，只要把3sin 5y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭上所有的点（ ） （A ）向右平行移动5π个单位长度 （B ）向左平行移动5π个单位长度 （C ）向右平行移动25π个单位长度 （D ）向左平行移动25π个单位长度（2011·朝阳期末）要得到函数sin(2)4y x π=-的图象，只要将函数sin 2y x =的图象 ( )（A ）向左平移4π单位 （B ）向右平移4π单位 （C ）向右平移8π单位 （D ）向左平移8π单位(09山东文)将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ).A. 22cos y x =B. 22sin y x =C.)42sin(1π++=x y D. cos 2y x =【方法总结】①将()y f x =图像沿x 轴向左平移a 个单位 ()()y f x y f x a =→=+ ②将)(x f y =图像沿x 轴向右平移a 个单位 ()()y f x y f x a =→=-为了得到函数3sin 25y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像，只要把3sin 5y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭上所有的点（ ） （A ）横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 （B ）横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 （C ）纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 （D ）纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变（2010四川文）将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（ ） （A ）sin(2)10y x π=-（B ）y =sin(2)5x π-（C ）y =1sin()210x π- （D ）1sin()220y x π=-(2011·广州期末)若把函数()y f x =的图象沿x 轴向左平移4π个单位,沿y 轴向下平移1个单位,然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变),得到函数sin y x =的图象,则()y f x =的解析式为( ) A ．sin 214y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ B ．sin 212y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ C ．sin 214y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ D ．sin 212y x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭【方法总结】将()y f x =图像上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的w1倍 ()()(0)y f x y f wxw =→=>为了得到函数4sin 5y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只要把3sin 5y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭上所有的点（ ） （A ）横坐标伸长到原来的43倍，纵坐标不变 （B ）横坐标缩短到原来的34倍，纵坐标不变 （C ）纵坐标伸长到原来的43倍，横坐标不变 （D ）纵坐标缩短到原来的34倍，横坐标不变【方法总结】将()y f x =图像上所有点的横坐标不变，横坐标变为原来的A 倍()()(0)y f x y Af xA =→=>为了得到函数⎪⎭⎫⎝⎛-=62sin πx y 的图像，可以将函数x y 2cos =的图像（ ） A 向右平移6π B 向右平移3π C 向左平移6π D 向左平移3π试述如何由y =31sin （2x +3π）的图象得到y =sin x 的图象函数sin()y A x ωϕ=+表达式的确定：A 由最值确定；ω由周期确定；ϕ由图象上的特殊点确定，（2010重庆理）（6）已知函数sin()(0,)2y x πωϕωϕ=+><的部分图象如题（6）图所示，则（ ）A.ω=1 ϕ=6πB. ω=1 ϕ= —6πC. ω=2 ϕ= 6πD. ω=2 ϕ= —6π（2010天津文）（8）右图是函数sin()y A x ωϕ=+0,0,2A πωϕ⎛⎫>><⎪⎝⎭在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像为了得到这个函数的图象，只要将y sin x x R =∈（）的图象上所有的点（ ） (A)向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 (B) 向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 (C) 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 (D) 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变【规律总结】sin()y A x ωϕ=+的图像（１）相邻的对称轴之间的距离为半个周期； （２）相邻对称中心间的距离是半个周期； （３）相邻的对称轴和对称中心之间的距离为14个周期。
三角函数的图象变换小结与复习ppt 人教课标版
2 3 3 1 例2.在 0, 2 上满足 s i n x 的 x 的取 2 值范围是 .
y A s i n ( x ) , x R (0 A , 0 , 0 )
在同一周期内,当 x 时取得最大 y 4 值 , 6 7 当 x 时取得最小值 y 4 ,求函数
C、最小正周期为π的偶函数 D、最小正周期为π的奇函数
二、填空题
1、已知任意一个角(角必须属于所涉及的三角函 数的定义域)可以求出它的三角函数值；反过来， 已知一个三角函数值，也可以求出与它对应的角。
2、已知角的某个三角函数值求角的步骤如 下：
（1）找出与函数值的绝对值对应的锐角α （2）根据所给值的符号，判断角α所在的象限， 求得[0，2π)范围内的角α，即如果适合条件的角在 第二象限，α=180°-α1；如果在第三象限， α=180°+α1；如果在第四象限，α=360°-α1。 （3）将以上求得的角α各边上2kπ，即用终边相 同的角的表示式写出所有适合条件的角。
（
）
（A）第一象限角必是锐角（B）小于90°的角是锐角 （C）锐角必在第一象限 （D）锐角就是第一象限角
16 已知四边形的四个内角之比是1:3:5:6， 分别用角度制和弧度制表示这些内角。
18、一扇形的周长为20cm，扇形的圆心角为 多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大面 积是多少？
19、试填写下列表格（以Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ分 别表示第一，二，三，四象限）
2、任意角的三角函数的定义域
3、三角函数线
设任意角α的顶点在原点，始边与x轴的非负轴重 合，终边与单位圆相交于P，过P作x轴的垂线，垂足 为M；过点A(1，0)作单位圆的切线，设它与角α的终 边(当α为第一、四象限时)或其反向延长线(当α为第二 、三象限角时)相交于点T；过点B(0，1)作单位圆的 切线，设它与角α的终边(当α为第一、二象限角时)或 其反向延长线(当α为第三、四象限角时)相交于点S。 则有 sinα=MP， cosα=OM，tanα=AT， cotα=BS，则我们分别 把有向线段MP、OM、 AT、BS叫做α角的正弦线、 余弦线、正切线、余切线。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
★三角函数图像变换小结★
相位变换：
①()sin sin()0y x y x ϕϕ=→=+> 将sin y x =图像沿x 轴向左平移ϕ个单位 ②()sin sin()0y x y x ϕϕ=→=+< 将sin y x =图像沿x 轴向右平移ϕ个单位
周期变换：
①sin sin (01)y x y wx w =→=<< 将sin y x =图像上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的
w
1倍 ②sin sin (1)y x y wx w =→=>将sin y x =图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的
w
1倍 振幅变换：
①()sin sin 01y x y A x A =→=<<将sin y x =图像上所有点的横坐标不变，
纵坐标缩短为原来的A 倍
②()sin sin 1y x y A x
A =→=>将sin y x =图像上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的
A 倍
【特别提醒】
由y ＝sin x 的图象变换出y ＝Asin(x ω＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。
利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现 途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)
先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右（0ϕ<）平移｜ϕ｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的
ω
1
倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换 先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω
1
倍(ω＞0)，再沿x 轴向左(ϕ＞0)或向()0ϕ<右平移ω
ϕ|
|个单位，便得y ＝sin(x ω＋ϕ)的图象
【特别提醒】若由sin y x ω=得到()sin y x ωϕ=+的图象，则向左或向右平移应平移|
|ϕ
ω
个单位
为了得到函数3sin 5y x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
的图像，只要把3sin 5y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
上所有的点（ ） （A ）向右平行移动
5π个单位长度 （B ）向左平行移动5π
个单位长度 （C ）向右平行移动25π个单位长度 （D ）向左平行移动25
π
个单位长度
（2011·朝阳期末）要得到函数sin(2)4
y x π
=-的图象，只要将函数sin 2y x =的图象 ( )
（A ）向左平移
4π单位 （B ）向右平移4π
单位 （C ）向右平移8π单位 （D ）向左平移8
π
单位
(09山东文)将函数sin 2y x =的图象向左平移4
π
个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ).
A. 2
2cos y x = B. 2
2sin y x = C.)4
2sin(1π
++=x y D. cos 2y x =
【方法总结】
①将()y f x =图像沿x 轴向左平移a 个单位 ()()y f x y f x a =→=+ ②将)(x f y =图像沿x 轴向右平移a 个单位 ()()y f x y f x a =→=-
为了得到函数3sin 25y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图像，只要把3sin 5y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
上所有的点（ ） （A ）横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 （B ）横坐标缩短到原来的1
2倍，纵坐标不变 （C ）纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 （D ）纵坐标缩短到原来的1
2
倍，横坐标不变
（2010四川文）将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动
10
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（ ） （A ）sin(2)10y x π=-
（B ）y =sin(2)5x π
-
（C ）y =1sin()210x π- （D ）1sin()220
y x π
=-
(2011·广州期末)若把函数()y f x =的图象沿x 轴向左平移
4
π
个单位,沿y 轴向下平移1个单位,然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变),得到函数sin y x =的图象,则()y f x =的解析式为( ) A ．sin 214y x π⎛⎫
=-
+ ⎪⎝
⎭ B ．sin 212y x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝⎭
C ．sin 214y x π⎛⎫
=++ ⎪⎝
⎭ D ．sin 212y x π⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭
【方法总结】
将()y f x =图像上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的
w
1
倍 ()
()(0)y f x y f wx
w =→=>
为了得到函数4sin 5y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图像，只要把3sin 5y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
上所有的点（ ） （A ）横坐标伸长到原来的
43倍，纵坐标不变 （B ）横坐标缩短到原来的3
4倍，纵坐标不变 （C ）纵坐标伸长到原来的43倍，横坐标不变 （D ）纵坐标缩短到原来的3
4
倍，横坐标不变
【方法总结】
将()y f x =图像上所有点的横坐标不变，横坐标变为原来的A 倍
()
()(0)y f x y Af x
A =→=>
为了得到函数⎪⎭
⎫
⎝
⎛-
=62sin πx y 的图像，可以将函数x y 2cos =的图像（ ） A 向右平移6π B 向右平移3π C 向左平移6π D 向左平移3
π
试述如何由y =31sin （2x +3
π
）的图象得到y =sin x 的图象
函数sin()y A x ωϕ=+表达式的确定：A 由最值确定；ω由周期确定；ϕ由图象上的特殊点确定，
（2010重庆理）（6）已知函数sin()(0,)2
y x π
ωϕωϕ=+><的部分图象如题（6）图所示，则（ ）
A. ω=1
ϕ= 6
π
B. ω=1 ϕ= —6π
C. ω=2 ϕ= 6
π D. ω=2 ϕ= —6
π
（2010天津文）（8）右图是函数sin()y A x ωϕ=+0,0,2A πωϕ⎛
⎫
>><
⎪⎝
⎭
在区间5,66ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上的图像为了得到这个函数的图象，只要将y sin x x R =∈（）的图象上所有的点（ ） (A)向左平移
3
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
12倍，纵坐标不变 (B) 向左平移
3
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 (C) 向左平移
6
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
12倍，纵坐标不变 (D) 向左平移
6
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
【规律总结】
sin()y A x ωϕ=+的图像
（１）相邻的对称轴之间的距离为半个周期； （２）相邻对称中心间的距离是半个周期； （３）相邻的对称轴和对称中心之间的距离为
1
4
个周期。
（2010湖北文）已经函数22cos sin 11
(),()sin 2.224
x x f x g x x -=
=- (Ⅰ)函数()f x 的图象可由函数()g x 的图象经过怎样变化得出？
（Ⅱ）求函数()()()h x f x g x =-的最小值，并求使用()h x 取得最小值的x 的集合。
（2010广东理）已知函数()()sin 3f x A x ϕ=+ ()0,0A ϕπ><<在12
x π
=时取得最大值4．
(1) 求()f x 的最小正周期； (2) 求()f x 的解析式； (3) 若f (23α+12π)=125
,求sinα．。