加速度的分量表达式

§2、速度、加速度的分量表达式

上一次课，我们为了将运动的一些特征能直接的表示出来，而定义了速度和加速度，

22;dt

r d dt v d a dt r d v =≡≡ 。在一般情况下它们往往都是时间t 的函数。何谓定义呢？定义它本身不是可以用什么方法或者数学手段加以证明得到的，而是根据实际需要常常用到而定义

下来的名称和概念。例如过两点成一条直线……。由于速度和加速度都是矢量，因此都可以

将它们表示成分量的形式。这次课将准备讨论速度、加速度在各种坐标系中的表达式。

一、 直角坐标系——直角坐标系又称笛卡儿坐标系

在直角坐标系中，质点的位置矢径可以写成为：

........z k y j x i r ++= （1） 根据速度的定义可知dt

r d v ≡将（1）代入，则有 1、速度： z y x v k v j v i dt dz k dt dy j dt dx i z k y j x i dt d dt r d v ++=++=++==...........................................)(

于是，我们比较上面的等式，就可得到速度在直角坐标系中的分量表达式为：

z dt

dz v y dt dy v x dt dx v z y x ======

;;可见速度沿三直角坐标轴的分量（即分速度）就等于其相应的坐标对时间t 的一阶导数。速度的大小：222z y x v v v v v ++== 速度的方向就用方向余弦来表示：v

v k v v v j v v v i v z y y ===),cos(;),cos(;),cos( 。同理，我们由加速度的定义不难得到它的分量表达式。

2、加速度 根据加速度的定义：

z

y x z y x a k a j a i dt dv k dt dv j dt dv i dt z d k y d j x d i dt dz k dy j dx i dt d dt v d a ++=++=++=++==2

222)(比较这些恒等式可得加速度的直角坐标分量表达式：

z dt

z d v dv a y dt

y d v dt dv a x dt

x d v dt dv a z t z y y y x x x ============222222 于是可得加速度的大小为：2

22z y x a a a a a ++== 加速度的方向用方向余弦表示。如果质点始终在某一平面内运动，我们采用的坐标是平面正交坐标系的话，那么将上面的分量

表达式中的某一分量去掉，剩下的就是平面正交坐标系中的分量表达式了。

二、 平面极坐标系

在研究质点的平面曲线运动问题时，除了可用平面正交坐标系外，还可以采用平面极坐

标系。有时采用极坐标系会比采用平面正交坐标系来计算问题要简单的多，特别是在研究有

心力作用的力学问题时，采用极坐标就更显示出它的优越性。在平面极坐标系中，质点的位

置是用极径r 和极角θ这两个极坐标来确定的。在平面极

坐标系中的单位矢量的取法与正交坐标系的情形是不同

的，在这里是沿矢径方向上取一单位矢量0r 为径向单位矢

量。在垂直矢径方向上取一单位矢量0θ 就称做横向单位矢

量。于是，在极坐标中，运动质点的位置矢径：0r r r

=。

因为得到了位矢在具体的坐标系中的表达式，然后根据速度和加速度的定义，相继就可以推出它们在具体的坐标系中的分量表达式。所以，由速度的定义)(0r r dt

d dt r d v ==这个结果对不对？不对。为什么不对？……，千万要注意：这里的单位矢量00,θ r 与直角坐标系中的

单位矢量是不同的。尽管这儿的单位矢量0r 和0θ 的大小仍然等于１是不变的，但是，它们

的方向却是随时在变化的，因此它们不是恒矢量而是变矢量，既然是变量，它们对时间的微商当然就不会等于０了：0,000≠≠dt

d dt r d θ 所以上式中还有一项要考虑进去。不能把它丢掉。所以，速度应该等于：00000)(r r r r dt

r d r dt dr r r r dt d dt r d v +=+===这两项之和。下面我们先来计算?.?00==dt

d dt r d θ 为了直观起见，我们结合图来讨论（上课时添加一图）。

从图上可以清楚地看到运动质点从Ｍ这位置移到M '这个位置时，单位矢量的方向都发生了

变化，它们的变化量分别为0r d 和d 0θ

。这两个变化量都是由于单位矢量的方向的改变所引

起的变化量，单位矢量的大小等于１是不变的。于是我们就很容易得到径向单位矢量对时间微商的大小：θθ ===dt

d dt r d dt r d .1||||00它的方向与与横向单位矢0θ 相同。所以0r 对时间Ｔ的微商00θθ =dt r d 。同样道理可以得到横向单位矢量对时间的微商00r dt

d θθ-=。为什么这里要加一个负号呢？从图上可以看到d 0θ 的方向与0r

的方向反向，所以这里要加上一个负号表示dt

d 0θ 与0r 的方向相反。将结果代入前式。则有：θθθθv v r r r r v r 0000 +=+=（１）[因为：速度是矢量，所以可以将它投影到径向和横向上去。得到径向分速度r v r 0

和横向分速度θθv 0 ，就分别称它们为径向速度和横向速度，所以，它又恒等于θθv v r r 00 +]于是，我

们比较（１）的两个恒等式可见径向速度分量：r

v r =；横向速度分量θθ r v =。这就是速度在平面极坐标系的两个分量表达式, 由此可得速度的大小为：2

2||θv v v v r +== 我们结合上面的讨论由（１）式不难了解它们的物理意义：径向速度r v

是由位矢大小的变化引起的。我们对（１）再求一次微商就能得到加速度在平面极坐标中的分量表达式：)(00θθα

r r r dt

d dt v d +== θθθθθθ r r r r r r r 00000++++= =θθθθθθθ r r r r r r

r 002000++-+ )2()2()(00020------+=++-=θαθαθθθθ r r r r r r

r 同样道理，我们也可以将加速度a

沿径向和横向分解成两个分量，沿径向的分量就用相应的符号r a 表示，沿横向的加速度分量就用θa 表示。所以上式又等于θθa a r r 00 +。我们就将此

式的第一项叫做径向加速度，第二项就叫做横向加速度。由（２）这个等式可见：径向加速

度的大小2θ r r a r -=, 横向加速度的大小)(122θθθθ

r dt d r r r a =+=。故有加速度的大小：22||θa a a a r +== 。这里要我们引起注意的是：同学中往往容易把第二项给丢了，