第三讲 无理数与实数

代数（二）

根式计算（二）

——无理数与实数

【知识要点】

1．无理数：

定义：无限不循环小数叫做无理数，如π=3.1415926

1.414213= ，

－1.010010001…，都是无理数。

注意：

①既是无限小数，又是不循环小数，这两点必须同时满足；

②无限不循环小数与有限小数、无限循环小数的本质区别是：前者不能化成分数，而后两者都可以化成分数；

2．实数：有理数和无理数统称为实数。

⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩

正有理数有理数零

有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 3．实数的几个有关概念：

①相反数：a 与－a 互为相反数，0的相反数是0。a+b=0⇔a 、b 互为相反数。

②倒 数：若0a ≠，则1a

称为a 的倒数，0没有倒数。1ab a =⇔、b 互为倒数。 ③绝对值：一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。 即()()()

0000a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩

【典型例题】

例1 在实数3.14，25

，3.3333

0.412⋅⋅，0.10110111011110…，π

， 中，哪些是有理数，哪些是无理数？

例2 （1）下列说法中，正确的是（ ）

A ．带根号的数是无理数

B ．无理数都是开不尽方的数

C ．无限小数都是无理数

D ．无限不循环小数是无理数

（2）下列说法正确的是（ ）

A ．若a 为实数，则a 大于－a

B ．实数m 的倒数一定是1m

C ．若实数x 、y ，有x y =，则x =y

D ．任何负数的倒数都小于它的相反数

例

的相反数之和的倒数的平方为 。

例4 设a 、b 互为相反数，但不为0，c 、d 互为倒数，m 的倒数等于它本身，化简

111c m m m d a b ⎛⎫÷++- ⎪⎝⎭的结果是 。

例5 试比较下列各组数的大小；

①

②，1π-，310-

例6 （1）实数a 、b 、c 在数轴上的位置如下图，化简a b b c c a -+---

（2）当01x <<时，2x 、x 、

1x

的大小顺序是（ ） A ．21x x x << B ．21x x x << C ．21x x x << D ．21x x x << 例7 （1）已知a 、b 为实数，且224250a b a b +--+=

（2

）若210x -+=，求20012002x y +的值。

例8 已知12a +=，31b +=，求a+b 的最小值。

【练 习】

A 组

1． 小数，叫做无理数。

2

．大于的负整数是 。

3

．1的相反数是 ，绝对值是 ，倒数是 。

4．比较大小：－7 －

，“＜”或“＝”）

5

(2，1.23⋅，913，3

π，0.232232223…（两个3之间依次多一个2）中无理数的个数有（ ）

A ．3个

B ．4个

C ．5个

D ．6个

6．下列命题中，正确的个数是（ ）

①两个有理数的和是有理数； ②两个无理数的和是无理数；

③两个无理数的积是无理数； ④无理数乘以有理数是无理数；

⑤无理数除以有理数是无理数； ⑥有理数除以无理数是无理数。

A ．0个

B ．2个

C ．4个

D ．6个

7．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）

①带根号的数是无理数；（ ）

（ ）

③绝对值最小的实数是0；（ ）

④平方等于3（ ）

⑤有理数、无理数统称为实数；（ ）

⑥1的平方根与1的立方根相等；（ ）

⑦无理数与有理数的和为无理数；（ ）

⑧无理数中没有最小的数，也没有最大的数。（ ）

8．已知x x 等于（ ）

A ．1.414 C ．． 1.414±

9．已知实数x 满足x x =-，则（ ）

A ．0x >

B ．0x ≥

C ．0x <

D ．0x ≤

1021

5

的大小关系是（ ）

A 215<

B ．215<<215<215

11．13，2π，3.1416，0.5227

中，有理数的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

12．a ）

A ．有理数

B ．正无理数

C ．正实数

D ．正有理数

13．下列四个命题中，正确的是（ ）

A ．倒数等于本身的数只有1

B ．绝对值等于本身的数只有0

C ．相反数等于本身的数只有0

D ．算术平方根等于本身的数只有1

14．下列说法不正确的是（ ）

A ．有限小数和无限循环小数都能化成分数

B ．整数可以看成是分母为1的分数

C ．有理数都可以化为分数

D ．无理数是开方开不尽的数

15．代数式21a +y ，()2

1a -中一定是正数的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

16 ）

A ．m 是完全平方数

B ．m 是负有理数

C ．m 是一个完全平方数的相反数

D ．m 是一个负整数

17．－3的负倒数是（ ）

A ．3

B ．－3

C ．13

D ．13

- 18．已知2x =，3y =，且0xy <，则x y +的值为（ ）

A ．1

B ．±1

C ．5

D ．±5