高二数学 向量的数量积教案

分析：设该物体在力 的作用下产生位移 ， 所做的功为 ， 与 的夹角为 ，则由 知
二．学习新课:
1.向量的夹角公式:
在学习了向量数量积的定义之后，我们很容易推导出两个非零向量 的夹角 满足
因此,当 时, ,反之,当 时, .考虑到 可与任何向量垂直,所以可得：
两个向量 垂直的充要条件是 ．
２.例题分析
(2)平面向量数量积（内积）的定义：
如果两个非零向量 的夹角为 （ ），那么我们把 叫做向量 与向量 的数量积，记做 ，即 ．并规定 与 任何向量的数量积为0．(3)“投影”的概念：
定义： 叫做向量 在 方向上的投影．
投影也是一个数量 ，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当= 0时投影为 ；当= 180时投影为 ．(4)向量的数量积的几何意义：
数量积 等于 的长度与 在 方向wk.baidu.com投影 |的乘积．
(5)向量的数量积的运算性质：
对于 ，有
（1） 当且仅当 时， ＝
（2）
（3）
（4）
２．分析思考：
(1)类比实数的运算性质，向量的数量积结合律 是否成立？
学生通过讨论，回答： 一般不成立
(2)如果一个物体在大小为２牛顿的力 的作用下，向前移动１米，其所做的功的大小为１焦耳，问力 的方向与运动方向的夹角是否为 ？
例1：化简: ．(课本P66例2)
解:
=
=
=
例2:已知 ,且 与 的夹角为 ,求 ．(课本P66例3)
解:
所以
例3：已知 , 垂直,求 的值．(课本P66例4)
解： 因为 垂直，所以
化简得
即
由已知 ，可得
解得 ．
所以，当 时， 垂直．例4：已知 、 都是非零向量，且 与 垂直， 与 垂直，求 与 的夹角．
８．2（2） 向量的数量积（2）
教学目标设计
1．深刻领会向量的数量积的概念和运算性质、向量的夹角公式及其内涵、两向量垂直的充要条件；
2．掌握求向量的长度、求两个向量的夹角、判断两个向量垂直的技能和方法 ；
3．初步运用向量的方法解决一些简单的几何问题，领略向量的数量积的数学价值；
4．通过对问题的分析研究，体会数学思考的过程．
2 已知 + =2 -8 , - =-8 +16 ,其中 、 是直角坐标系中 轴、 轴正方向上的单位向量，那么 =．
3 已知 ⊥ 、 与 、 的夹角均为60°，且 则 ＝_____ _．
4 对于两个非零向量 与 ，求使 最小时的t值，并求此时 与 的夹角．
5 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和
教学重点及难点
重点：向量的数量积的运算性质、向量的夹角公式、向量垂直的条件及其应用；
难点：向量的夹角公式的应用.
教学用具准备
直尺，投影仪
教学过程设计
一．情景引入：
1．复习回顾
(1)两个非零向量的夹角的概念：
对于两个非零向量 ，如果以 为起点，作 ，那么射线 的夹角 叫做向量 与向量 的夹角，其中 ．
四．课堂小结
1．向量的数量积及其运算性质；
２．两向量的夹角公式；
３．两个向量垂直的充要条件；
4．求向量的模、两个向量的夹角、判断两个向量垂直的技能和方法．
五．作业布置
练习8.2(1) P67 T2、T3、T4 ； P35 T3 、 T4
思考题
1 已知向量 与 的夹角为 ， ,则| + |·| - |=．
2 已知 ,向量 与 的位置关系为（ ）
A． 平行 B．垂直 C．夹角为 D．不平行也不垂直
3 已知 , 与 之间的夹角为 ，则向量 的模为（ ）
A．2 B．2 C．6 D．12
4 已知 与 是非零向量，则 是 与 垂直的（ ）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
教学设计说明及反思
本节课是在上节课学习了向量 的数量积的概念、向量的数量积的运算性质之后．再一次抛出物理模型问题，学生通 过交流、分析．讨论，解决问题． 进一步推而广之，由数量积的定义，通过变形十分容易的导出向量的夹角公式． 并推出了 两向量 垂直的充要条件．之后，通过例题分析，学生体验了运用向量的数 量积的定义和运算性质求向量的模、向量的夹角、以及研究一些简单几何问题的过程．学生获取了知识、掌握了方法、提高了技能、训练了能力．
解：由 ①
②
两式相减：
代入①或②得：
设 、 的夹角为，则
∴= 60
３.问题拓展
例5．利用向量数量积的运算证明半圆上的圆周角是直角． 证明：设AB是⊙O直径，半径为r
设 ,则 ; ,则
则
，即∠ACB是直角．
三．巩固练习
1 已知 ,(1)若 ∥ ,求 ；
(2)若 与 的夹角为60°，求 ；
(3)若 与 垂直，求 与 的夹角．