高二数学 向量的数量积教案
向量的数量积教学设计
向量的数量积教学设计向量是数学中的一个重要概念，它可以用来描述空间中的任何一个物理量，例如力、速度、加速度等。
向量的数量积是向量运算中的一种基本运算，本篇文章将从定义、性质、应用等方面对向量的数量积进行详细介绍。
一、定义向量的数量积，也叫点积或内积，是指两个向量的乘积再求和的结果。
假设有两个向量A和B，它们的数量积表示为A·B，计算公式为A·B=|A||B|cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，θ表示向量A和B之间的夹角。
二、性质1.数量积具有交换律，即A·B=B·A。
2.数量积具有分配律，即(A+B)·C=A·C+B·C。
3.数量积具有结合律，即k(A·B)=(kA)·B=A·(kB)，其中k为实数。
4.若向量A与向量B的数量积为0，则称A与B垂直或正交。
5.若向量A与向量B的夹角为锐角，则它们的数量积为正数；若夹角为钝角，则数量积为负数。
三、应用1.求向量的模长利用向量的数量积可以求向量的模长，|A|=√(A·A)。
2.求向量的夹角利用向量的数量积还可以求向量之间的夹角，cosθ=(A·B)/(|A||B|)，其中θ为夹角。
3.求向量的投影利用向量的数量积和向量的模长可以求出一个向量在另一个向量上的投影，投影的大小为|A|cosθ，方向与另一个向量相同。
4.判断向量之间的关系利用向量的数量积可以判断两个向量之间的关系，若A·B>0，则向量A和向量B同向；若A·B<0，则向量A和向量B反向；若A·B=0，则向量A和向量B垂直或正交。
向量的数量积是向量运算中的一种基本运算，它具有重要的应用价值。
无论是在物理学、工程学、计算机科学等领域，都有着广泛的应用。
因此，学习向量的数量积是非常有必要的。
高中数学《向量的数量积》教案4 苏教版必修4
第 10 课时：§2.4 向量的数量积（二）【三维目标】：一、知识与技能1. 掌握平面向量数量积运算规律，能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题.2. 掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题二、过程与方法1.通过师生互动，学生自主探究、交流与合作培养学生探求新知及合作能力；2.通过讲解例题，培养学生逻辑思维能力；3.让学生充分经历，体验数量积的运算律以及解题的规律。
三、情感、态度与价值观1.让学生进一步领悟数形结合的思想；2.让学生进一步理解向量的数量积，进一步激发学生学习数学的兴趣、积极性和勇于创新的精神.【教学重点与难点】：重点：运算律的理解和平面向量数量积的应用难点：平面向量的数量积运算律的理解【学法与教学用具】：1. 学法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题【复习提问】：1.（1）两个非零向量夹角的概念；（2）平面向量数量积（内积）的定义；（3）“投影”的概念；（4）向量数量积的几何意义；（5）两个向量的数量积的性质。
2．判断下列各题正确与否：①若0a = ，则对任一向量b ，有0a b ⋅= ； ( √ )②若0a ≠ ，则对任一非零向量b ，有0a b ⋅≠ ； ( × )③若0a ≠ ，0a b ⋅= ，则0b = ； ( × )④若0a b ⋅= ，则,a b 至少有一个为零向量； ( × )⑤若a b a c ⋅=⋅ ，则b c = 当且仅当0a ≠ 时成立； ( × )⑥对任意向量a ，有22||a a = ． ( √ )二、研探新知1.数量积的运算律（证明的过程可根据学生的实际水平决定）（1）交换律：a b b a ⋅=⋅证明：设,a b 夹角为θ，则||||cos a b a b θ⋅=⋅⋅ ，||||cos b a b a θ⋅=⋅⋅ ，∴a b b a ⋅=⋅ ．（2）数乘结合律：()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅证明：若0=λ，此式显然成立.若0λ>，()||||cos a b a b λλθ⋅= ， ()||||cos a b a b λλθ⋅= ，()||||cos a b a b λλθ⋅= ，∴()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅若0λ<，()||||cos()||||(cos )||||cos a b a b a b a b λλπθλθλθ⋅=-=--= ，()||||cos a b a b λλθ⋅= ，()||||cos()||||(cos )||||cos a b a b a b a b λλπθλθλθ⋅=-=--= ．∴()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅综上可知()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅ 成立.（3）分配律：()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅ ．在平面内取一点O ，作−→−OA =a , −→−AB =b ，−→−OC =c ，∵a b + （即−→−OB ）在c 方向上的投影等于,a b 在c方向上的投影和，即：12||cos ||cos ||cos a b a b θθθ+=+∴12||||cos ||||cos ||||cos c a b c a c b θθθ+=+ ，∴()c a b c a c b ⋅+=⋅+⋅即：()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅ ．【说明】：（1）一般地，(a b ⋅ )·c ≠a ·（b ·c ）（2）a ·c ＝b ·c ，c ≠0 a ＝b（3）有如下常用性质：a 2＝|a |2,(a ＋b )2＝a 2＋２a b ⋅ ＋b 2（a ＋b ）·（c ＋d ）＝a ·c ＋a ·d ＋b ·c ＋b ·d ,2 向量的数量积不满足结合律分析：若有（a b ⋅ ）c ＝a （b ·c ），设a 、b 夹角为σ，b 、c 夹角为β，则(a b ⋅ )c＝|a |·|b |cos α·c ，a ·(b ·c )＝a ·|b ||c |cos β，∴若a ＝c ，α＝β，则|a |＝|c |，进而有：（a b ⋅ ）c ＝a ·(b •c )，这是一种特殊情形，一般情况下不成立。
向量的数量积与向量积教案
向量的数量积与向量积教案一、引言在学习向量的时候，除了了解向量的基本概念和运算法则，还需要掌握向量的数量积与向量积两种特殊的运算方式。
本教案将详细介绍向量的数量积与向量积的概念、性质及其在几何和物理问题中的应用。
二、向量的数量积1. 概念向量的数量积，又称为点积或内积，表示两个向量之间的乘积。
设有向量a、b，则a与b的数量积记作a·b，计算公式为：a·b = |a|·|b|·cosθ其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ为a与b之间的夹角。
2. 性质（1）交换律：a·b = b·a（2）分配律：a·(b + c) = a·b + a·c（3）数量积的零向量：若a·b = 0，则a与b垂直或其中一个是零向量。
（4）平行性判别：a·b = |a|·|b| 当且仅当 a与b平行或其中一个是零向量。
3. 应用举例（1）工作与力的夹角：设有一个施力向量F和一个位移向量d，则功W等于F·d。
（2）向量的投影：设向量a与b的夹角为θ，则a在b上的投影为|a|·cosθ。
三、向量的向量积1. 概念向量的向量积，又称为叉积或外积，表示两个向量之间的积。
设有向量a、b，则a与b的向量积记作a×b，计算公式为：|a×b| = |a|·|b|·sinθ其中，|a×b|表示a与b的向量积的模长，θ为a与b之间的夹角。
2. 性质（1）反交换律：a×b = -b×a（2）分配律：a×(b + c) = a×b + a×c（3）叉乘的零向量：若a×b = 0，则a与b平行或其中一个是零向量。
（4）垂直性判别：a与b的向量积为零当且仅当 a与b平行或其中一个是零向量。
3. 应用举例（1）面积计算：设有两个向量a和b，它们的向量积|a×b|表示以a和b为邻边的平行四边形的面积。
49 向量的数量积 第2课时 向量的向量积 教案
6.2.4 向量的数量积第2课时向量的向量积本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节内容教材共分为两课时,其中第一课时主要研究数量积的概念,第二课时主要研究数量积的运算律,本节课是第二课时，本节课主要学习平面向量的数量积的运算律及其运用。
向量的数量积是继向量的线性运算(加法、减法、向量的数乘)后的又一种新的运算,它的内容很丰富。
包括定义、几何意义、性质与运算律,而且在物理和几何中具有广泛的应用。
向量数量积是代数、几何与三角的结合点,很好地体现了数形结合的数学思想。
但它与向量的线性运算有着本质的区别,运算结果是一个数量。
A.掌握数量积的运算律；B.利用数量积的运算律进行化简、求值；1.教学重点：数量积的运算律；2.教学难点：利用数量积的运算律化简、求值。
教学方法：以学生为主探究式学习合作学习教学工具：多媒体课件相关资料教学过程多媒体一、复习回顾，温故知新 1.向量的数乘的运算律【答案】设a 、b 为任意向量，λ、μ为任意实数，则有：（1） a a )()(λμμλ=（2）a a a μλμλ+=+)(（3）b a b a λλλ+=+)(2.平面向量的数量积定义：θcos ||||b a b a =⋅平面向量的数量积的结果是数量。
二、探索新知1.平面向量数量积的运算律探究：类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，你能得到数量积运算的哪些运算律？你能证明吗？平面向量数量积的运算律证明：（1）因为θcos ||||b a b a =⋅，θcos ||||a b a b =⋅所以，a b b a ⋅=⋅。
（2）当的夹角与的夹角、与时，b a b a λλ0>一样。
因为)(cos ||||cos ||||)(b a b a b a b a ⋅===⋅λθλθλλ，)(cos ||||cos ||||)(b a b a b a b a ⋅===⋅λθλθλλ同理，当)()()(0b a b a b a λλλλ⋅=⋅=⋅<时，成立。
高中数学 两个向量的数量积教案 新人教B版选修2
《两个向量的数量积》说课教材：人教版普通高中课程标准实验教科书数学B版（选修2-1）我将通过教材分析、学情分析、目标设计、方法手段、过程设计和教学评价六个部分，阐述本课的教学设计．一、教材分析1．教学内容《两个向量的数量积》是新课标人教版选修2-1第三章第一大节里第三小节的内容，根据教学大纲，本节共1课时，主要内容是空间两个向量的夹角的概念和空间两个向量的数量积的概念、性质、运算率及简单应用．2．地位与作用空间两个向量的夹角、数量积是高中数学向量的重要内容，也是高考的重要考查内容.从知识的网络结构上看，空间向量夹角、数量积既是平面向量夹角、数量积概念的延续和拓展，又是后续空间向量数量积的计算坐标化和空间向量在立体几何中应用的教学基础，起到承上启下的作用.同时，用向量处理立体几何问题，可使学生克服空间想象力的障碍而顺利解题，为研究立体几何提供了新的思想方法和工具，具有相当大的优越性，而且在丰富学生思维结构的同时，应用数学的能力也得到了锻炼和提高.二、学情分析1．知识准备高二年级学生在掌握了平面向量夹角、数量积以及平面向量数量积的性质、运算率的基础上，又学习了空间向量的线性运算及空间向量的基本定理等有关知识，具有了一定的知识储备.但用向量解决立体几何问题时，要将几何问题等价转化为向量问题，这是本小节的一个难点.2．能力储备学生经过初中以及高一的数学学习，已具有一定的推理能力，数学思维也逐步向理性层次跃进，逐步形成了辩证思维体系．但学生自主探究问题的能力，由特殊到一般的归纳能力普遍还不够理想．3．学生情况考虑到任课实验班级学生数学基础较好、思维较为活跃的特点，加深了对概念的理解，并对例题的选择进行了适当的调整和延展，为向量在立体几何中的综合应用打好基础．根据新课程标准的理念以及对教材、学情的分析，我进行了如下目标设计．三、目标设计１．教学目标【知识与技能】（1）掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握空间向量数量积的概念、性质、计算方法及运算率；（2）初步掌握空间向量数量积的用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题.【过程与方法】经历概念的形成过程、经历用向量方法解决某些简单的几何问题的思维过程，体验数形结合思想的指导作用，体会向量是一种解决几何问题的有利工具，并鼓励学生灵活选择运用向量法解决立体几何问题，使学生亲身体验数学发现和创造的历程.【情感态度价值观】通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；让学生领略数学严谨、基础、系统、实用的魅力.2．教学重点、难点为更好地完成教学目标，本课教学重、难点设置为：【重点】空间两个向量的夹角、数量积的概念、计算方法及其应用．【难点】空间两个向量数量积的几何意义以及把立体几何问题转化为向量计算问题.为达到教学目标，突出重点、突破教学难点．阐述方法手段：四、方法手段1.教学方法根据教学内容、教学目标和学生的认知水平，本节课主要采取教师启发讲授，学生探究学习的教学方法.教学过程中，根据教材提供的线索，安排适当的教学情境，引导学生独立自主地开展思维活动，并让学生展示相应的数学思维过程，深入探究，并合作交流，创造性地解决问题，最终获得方法，培养能力.2.教学手段教学中使用多媒体投影和计算机来辅助教学．目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识．五、过程设计根据课改的精神，本着“以学生发展为本”的教学理念，结合学生实际，对教学过程作了如下的设计：首先，通过步步设问引导学生掌握教材所要求的基本面：空间向量夹角的概念和空间向量数量积的概念、性质、计算方法及运算率；其次，鉴于向量兼容了代数、几何的特色，有着其独特的魅力和发展前景，为进一步让学生感受“向量法”的优势，安排了可以分别运用“几何法”和“向量法”来处理空间几何问题的例题.同时，为日后解决空间的度量、位置关系问题寻求一种新的方法，进一步拓展了学生的思维渠道.我把教学过程设计为四个阶段：创设情境，引入课题；类比探究，获得新知；回味建构，应用拓展；归纳小结，提高认识.时间安排如下：(一)创设情境，引入课题概念的形成主要依靠对感性材料的抽象概括，只有学生对学习对象有了丰富具体经验以后，才能使学生对学习对象进行主动的、充分的理解，因此在本阶段的教学中，我从分析具体例子出发，而不是从抽象语言入手来引入空间向量的相关概念.引例：（设计意图：以学生熟悉的正方体做为教学背景，预计学生应联想到平面向量的夹角和数量积，由此类比猜想引入新课，温故知新从而有效调动学生的学习积极性．）(二)类比探究，获得新知在本阶段的教学中，为使学生加深对空间向量的夹角和空间向量的数量积概念的本质的认识，我设计了三个环节，引导学生分别完成对空间向量夹角、数量积概念的三次认识，形成并掌握空间向量的夹角和空间向量的数量积概念，以及掌握空间两个向量数量积的性质、计算方法及运算率.1．回顾旧知，类比猜想在本环节的教学中，我主要设计了两个问题：问题1：平面向量的夹角和平面向量的数量积的概念？（设计意图：是从学生的已有认知出发，即从学生已具备的平面向量相关知识出发，为类比出空间向量夹角和数量积概念做铺垫，以备完成对空间向量夹角和数量积概念的第一次认识.）问题2：能否根据自己的理解说说什么是空间向量的夹角、数量积？教学中，我引导学生用自己的语言描述空间向量的相关概念.至此，学生对空间向量的夹角和数量积的概念就有了第一次直观、描述性的认识．（设计意图：对于概念教学，若学生能用自己的语言来表述概念，则能更好的理解和掌握概念.）2．探究原因，理性认识在此环节中，我设计了两个问题，通过对两个问题的研究、交流、讨论，使学生对空间两个向量夹角概念的认识由感性认识上升到理性认识的高度，使学生完成对概念的第二次认识．问题1：引例中如何确定的夹角？为什么？问题2：还有其它平移向量的方法吗？（设计意图：对于问题1中确定两个空间向量的夹角，学生易根据空间向量相等的定义通过平移向量来解决，困难是如何选择平移向量所到的确切位置．再通过问题2的讨论，使学生感受到空间向量平移的任意性，从而将对空间向量夹角的描述性认识过渡到理性的高度.）3．抽象思维，形成概念本环节在前面研究的基础上，引导学生归纳、抽象出空间两个向量夹角的概念：使学生经历从特殊到一般，从具体到抽象的认知过程，完成对概念的第三次认识.在本环节我设计了如下问题：问题1：异面直线的概念和异面直线所成的角：我们把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.把异面直线平移到一个平面内，这时两条直线的夹角（锐角或直角）叫做两条异面直线所成的角.问题2：如何解决引例中？（设计意图：学生们在掌握了空间向量夹角概念的基础上容易把空间向量的数量积用平面向量数量积来定义，从而形成空间两个向量数量积的概念.）已知空间两个向量，总可以把它们平移到一个平面内，把平面向量数量积叫做两个空间向量的数量积（或内积），记作，即．问题3：空间向量数量积的性质？空间向量数量积满足的运算率？（设计意图：学生们在掌握了空间向量的数量积概念的基础上，会自主探究得到空间向量数量积的性质及其满足的运算率与平面向量数量积的性质及其满足的运算率相同的结论.）性质：（1）；（2）；（3）；（4）.运算率：（1）；（2）；（3）．（三）回味建构，应用拓展本阶段的教学，主要是通过对教材例题的讲解并延展，引导学生思考交流、分析探究、归纳反思，体会向量在立体几何中的作用.例1.已知正方体ABCD-A1B1C1E1的棱长为1，设求：(1)；(2)；(3)；(4).（设计意图：使学生们通过空间向量数量积的性质及其运算率掌握向量数量积的计算方法，同时为例题2的解决打好基础.）例2.已知平面平面，=l，点A，B在内，并且它们在l上的正射影分别为A，B；点C，D在内，并且它们在l 上的正射影分别为C，D，求证：.证明过程的教学分为三个环节：难点突破、详细板书、归纳方法.1．难点突破对于该题的证明，问题主要集中在两个方面：一方面部分学生不知道该如何处理，不敢动笔；另一方面部分学生处理方法不科学，陷入困境.困难出现在如果直接使用空间向量数量积的概念证明等式成立，向量的夹角不易求，同时向量模的关系不易找.针对这两方面的问题，教学中，我组织学生讨论：（1）如何把已知的几何条件转化为向量表示？（2）引导学生回顾例1，并考虑一些未知的向量能否用基向量或其他已知向量表示？（3）如何对已经表示出来的向量进行运算，才能获得需要的结论？2．详细板书3．归纳方法在解决三个问题以及板书的基础上，我引导学生体会、归纳解决问题的方法.“传统解法”需作辅助线，有时不易作出；而使用“向量解法”，程序化强，便于操作.（设计意图：目的在于说明用向量解决立体几何中一些典型问题的基本思考方法，同时为后续借助向量坐标运算法则及公式解决立体几何问题做了一定的铺垫.）（四）归纳小结，提高认识由学生自主归纳、总结本节课所学习的主要内容，教师加以补充说明．1．课堂小结在知识层面上，总结空间向量夹角和数量积的概念；利用空间向量性质、运算率计算和证明几何问题的方法与步骤.在方法层面上，引导学生回顾知识探究过程中用到的思想方法和思维方法，如数形结合，等价转化，类比等，强调用“向量法”解决立体几何问题的优势，同时引导学生对学习过程作必要的反思，为后续的学习做好铺垫.（设计意图：通过学生自主归纳、总结，对本节所学的知识系统化、条理化，可进一步巩固知识，明确方法．）2．布置作业板书设计(设计意图：本课内容一览无遗，且具有启发性，突出重点.)六、教学评价通过与学生的问答交流，发现其思维过程，在鼓励的基础上，纠正偏差，并对其进行定性的评价；。
2023高中数学平面向量的数量积教案范文
2023高中数学平面向量的数量积教案范文2020高中数学平面向量的数量积教案范文一一、教学内容分析1、教学主要内容(1)平面向量数量积及其几何意义(2)用平面向量处理有关长度、角度、直垂问题2、教材编写特点本节是必修4第二章第3节的内容，在教材中起到层上启下的作用。
3、教学内容的核心教学思想用数量积求夹角，距离及平面向量数量积的坐标运算，渗透化归思想以及数形结合思想。
4、我的思考本节数学的目标为让学生掌握平面向量数量积的定义，及应用平面向量数量积的定义处理相关夹角距离及垂直的问题。
因此，让学生们学会把数学问题转化到图形中，及能在图形中把图形转化成相关的数学问题尤其重要。
二、学生分析1、在学平面向量的数量积之前，学习已经认识并会找向量的夹角，及用坐标表示向量的知识。
因此，对于a·b=∣b∣︳a︴cosθ(θ=)，容易进行相应的简单计算，但对于理解这个式子上存在一定的问题，因此，需把a·b=∣a∣∣b∣ cosθ转化到图形a·b=∣OM∣·∣OB∣=∣b∣cosθ∣a∣即a·b=∣a∣∣b∣cosθ理解并记忆。
对于cosθ= ，等的变形应用，同学们甚感兴趣。
2、我的思考对于基础薄弱的学生而言，学习本节知识，在处理例题成练习上，计算量不易过大。
三、学习目标1、知识与技能(1)掌握平面向量数量积及其几何意义。
(2)平面向量数量积的应用。
2、过程与方法通过学生小组探究学习，讨论并得出结论。
3、情感态度与价值观培养学生运算推理的能力。
四、教学活动内容师生互动设计意图时间 1、课题引入师：请同学请回忆我们所学过的相关同里的运算。
生：加法、减法，数乘师：这些运算所得的结果是数还是向量。
生：向量。
师：今天我们来学习一种有关向量的新的运输，数里积(板书课题) 由旧知引出新知，让学生知道我们学习是层层深入，知识永不止境，从而把学生引入到新的课程学习中来。
3min 2、平面向里的数量积定义师：平面向星数量积(内积或点积)的定义：已知两个非零向星a·b，它们的夹角是θ，则数量∣a∣·∣b∣cosθ叫a与b的数量积，记作a·b，即a·b=∣a∣∣b∣cosθ，注：①a·b≠a×b≠ab②O与任何向量的数里积为O。
高中数学_向量的数量积(第一课时)教学设计学情分析教材分析课后反思
教学设计教学目标知识与技能1、了解向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其几何意义。
2、体会向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质进行简单的应用。
过程与方法1、通过对向量数量积的学习及探索，不断培养学生的自主学习、主动探索、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神。
2、培养学生的运算能力、严谨的思维习惯以及解题的规范性。
情感、态度与价值观1、在学习和运用向量的数量积的过程中，进一步体会平面微量的本质及它与生活和自然科学的联系，认识事物的统一性，并通过学习向量的数量积感受数形结合的思想方法2、通过对向量的数量积的探究、交流、总结，从各角度来体会向量之间的关系和作用，不断从感性认识提高到理性认识.教学重点1、向量数量积的含义与几何意义.2、向量数量积的性质及其应用.教学难点向量数量积的概念及其应用教学过程一、课前准备复习：前面我们研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？思考：通过前面学习了向量的线性运算，那向量与向量能否“相乘”？二、新课讲解探究1如右图，如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W = |F||s|cosθ，其中θ是F与s的夹角.问题：功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定，这给我们一种启示，能否把“功”看成是这两个向量的一种运算的结果呢？新知1．两向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a 与b 的夹角． (2)特例：①当θ＝0时，向量a ，b ． ②当θ＝π时，向量a ，b ．③当θ＝π2时，向量a ，b ，记作a ⊥b .新知2、向量的数量积（或内积）的定义已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，则数量│a ││b │cos θ 叫a 与b 的数量积，记作a •b ，即有a •b = │a ││b │cos θ， （其中０≤θ≤π）.定义说明：①记法“a ·b ”中间的“· ”不可以省略，也不可以用“⨯ ”代替；② “规定”：零向量与任何向量的数量积为零.想一想：向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？典型例题例1、 已知│a │=5，│b │=4，a 与b 的夹角为120，求a •b 练一练：1、已知│a │=2，│b │= ，a 与b 的夹角为60o求a •b2、已知│a │=12，│b │=9，，求a 与b的夹角θ。
第二高中数学向量的数量积教案 必修_1
学
过
程
教学内容
个案调整
教师主导活动
学生主体活动
〔一〕复习：
1．两平面向量垂直的充要条件；
2．两向量一一共线的坐标表示；
3． 轴上单位向量 ， 轴上单位向量 ，那么： ， ， ．
〔二〕新课讲解：
1．向量数量积的坐标表示：设 ，那么 ，
∴ .
从而得向量数量积的坐标表示公式： ．
2．长度、夹角、垂直的坐标表示：
芯衣州星海市涌泉学校第二中学2021-2021学年高中数学第80课时向量的数量积教案必修1。
课题
.向量的数量积〔2〕
课型
பைடு நூலகம்新授课
教学目的
1.要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示，
2.掌握向量垂直的坐标表示的充要条件
重点
讲授要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示
难点
掌握向量垂直的坐标表示的充要条件。
教法
讲述法、讨论法、探究
①长度：
②两点间的间隔公式：假设 ，那么；
③夹角：
④垂直的充要条件：
〔注意与向量一一共线的坐标表示的区别〕
3．例题分析：
例1设 ，求 ．
学生答复
1.
2.
3
例2 ，求证 是直角三角形。
说明：两个向量的数量积是否为零，是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一。
例3如图，以原点和 为顶点作等腰直角 ，使 ，
求点 和向量 的坐标。
例4在 中， ， ，求 值。
〔一〕复习：
1．两平面向量垂直的充要条件；
2．两向量一一共线的坐标表示；
3． 轴上单位向量 ， 轴上单位向量 ，那么： ， ， ．
〔二〕新课讲解：
1．向量数量积的坐标表示：设 ，那么 ，
最新整理高二数学教案向量的数量积.docx
最新整理高二数学教案向量的数量积课时10 向量的数量积（3）目标要求：熟练掌握数量积定义及性质，增强运用向量法与坐标法处理问题的意识。
知识梳理：1．平面向量数量积（内积）的定义2、数量积的几何意义：（1）投影的概念：如图，，，过点作垂直于直线，垂足为，则．叫做向量在方向上的投影，当为锐角时，它是正值；当为钝角时，它是一负值；当时，它是；当时，它是；当时，它是．（2）几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积。
3、数量积的性质：设、都是非零向量，是与的夹角，则①；②当与同向时，；当与反向时，；③；④；⑤若是与方向相同的单位向量，则4、基础训练：判断下列各题正确与否：①若，则对任一向量，有； ( )②若，则对任一非零向量，有； ( )③若，，则； ( )④若，则至少有一个为零向量； ( )⑤若，则当且仅当时成立； ( )⑥对任意向量，有． ( )（7）若 ,则或 ;（8）若不平行的两个非零向量 , 满足 ,则 ;(9)若与平行,则；(10)若∥ , ∥ ,则∥ ;例题分析：例1 ：已知都是非零向量，且与垂直，与垂直，求与的夹角。
例2：(1)求与垂直的单位向量变：将“垂直”改为“平行”(2)已知，，若，且，求的坐标例3、已知向量，，。
若为直角三角形，求实数m的值。
例4、（1）为内一点，且满足，则的形状为____（2）为平面内一点，且，则点是的____心例5、如图，是的三条高，求证：相交于一点。
课后作业：1、已知、、是三个向量，下列命题中正确命题是 .①若 = 且≠，则 = ；②若 =0，则 = 或 = ；③若⊥ ,则 =0；④向量在的方向上的投影是一个模等于| ||cosθ|（θ是与的夹角），方向与相同或相反的一个向量．2、设，是相互垂直的单位向量，则 =___________。
3、设向量的模，与向量的夹角为，则在方向上的投影=4、已知，在上的投影是，则5、在△ABC中，∠C＝90°，，则k的值是_________6、（1）已知均为单位向量，它们的夹角为60°，那么＝_______。
向量的数量积教学设计
2.3.1向量数量积的物理背景与定义教材说明平面向量数量积具有代数与几何的双重性质，因此所涉及的内容较为广泛，如方程、不等式等代数问题；夹角、距离、面积、平行、垂直等几何问题。
平面向量数量积是数学中知识与能力的载体，是数学上的一个重要工具之一，值得一提的是在教材的后续两章的学习中，对三角函数内容中某些问题的处理都是借助向量的数量积来解决的，这正体现了平面向量数量积的工具性，在解决代数与几何问题中都有着很强的实用性。
课型新授课课时1课时（练习共2课时）学情分析在学习平面向量数量积之前，学生已学习了平面向量的概念、向量的线性运算及向量的基本定理与坐标表示等有关内容，这为过渡到本节的学习起了铺垫作用；在后继知识的学习中，是据此内容用向量代数方法进一步研究了平面图形的有关性质。
本节以力对物体做功作为背景，研究平面向量的数量积。
但是，学生作为初学者不清楚向量数量积是数量还是向量，寻找两向量的夹角又容易想当然，以及对运算律的理解和平面向量的数量积的灵活应用。
通过情景创设、探究和思考引导学生认知、理解并掌握相关的内容。
利用向量数量积运算讨论一些几何元素的位置关系、距离和角，这些刻画几何元素（点、线、面）之间度量关系的基本量学生容易混淆。
利用数量积运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系解决问题，是学生学习本节内容的重点又是难点。
由向量的线性运算迁移、引申到向量的乘法运算这是个很自然的过渡，深入浅出、符合学生的认知规律，也有利于明确本节课的教学任务，激发学生的学习兴趣和求知欲望。
教学内容分析教学的主要内容：以物体受力做功为背景引入数量积的概念，使向量数量积运算与物理知识联系起来；向量数量积与向量的长度及夹角的关系；进一步探究两个向量的夹角对数量积符号的影响及有关的性质、几何意义和运算律。
教材的编写的特点：本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书·数学必修4》（Ｂ版）第二章、第3节第1课时。
它是平面向量的核心内容，向量的平行、垂直关系是向量间最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、距离又是向量的重要数量特征，向量的数量积恰好是解决问题的一个重要工具。
6.2.4向量的数量积(教案)
6.2.4向量的数量积（教案）
一、教学内容
1. 向量的数量积；
2. 数量积的运算法则。
三、学习重点
向量的数量积的运算法则。
四、教学准备
1. 素材：教学课件
2. 教具：黑板、白板、投影仪
五、教学过程
（一）让学生学习课前指导材料，理解向量的数量积的概念。
（二）使用黑板、白板和投影仪，教师向学生讲解什么是向量的数量积，然后提出这样一组例题：
例1：已知向量a=(2,3)，b=(1,2)，求a·b？
（三）指导学生分析例题，利用数量积的运算法则，计算出向量数量积的结果。
（四）让学生分组讨论，指导学生做出一系列的练习题，并辅导学生总结出向量的数量积的运算法则。
六、教学反思
在本节课教学中，我们主要讲解了什么是向量的数量积，然后教师带领学生进行例题分析、练习题计算以及总结向量的数量积的运算法则，使学生参与性很强。
但是教师应注意，在开始教学时，要让学生有足够的准备时间，以便更好的学习和理解。
高中数学两个向量的数量积教案新人教版
高二数学教教案课题 两个向量的数目积课型新授目标1．掌握空间向量夹角和模的观点及表示方法；2．掌握两个向量的数目积的计算方法，并能利用两个向量的数目要求 积解决立体几何中的一些简单问题。
要点 空间数目积的计算方法难点几何意义、立体几何问题的转变一、预习纲要 ：1．空间向量的夹角及其表示、异面直线 2．向量的数目积3．空间向量数目积的性质 4．空间向量数目积运算律 二、预习达标：1、 a b c0 ， a = 2 ， b =3， c 4 ，则a, b =______A 、B 、C 、D 、234232、空间向量 a 、 b 知足 a =4， b =8，a, b=2，求3（1）（ a +2 b a）? =_____________, （2）（ a +2 b ）?(2 a - b )=__________________三、教案导学：1．空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量 a, b ，在空间任取一点 O ，作 OA a OB, b ，则 AOB 叫做 向 量 a 与 b 的 夹 角 ， 记 作 a, b； 且 规 定 0 a,b， 显 然有a,bb, a ；若 a,b，则称 a 与 b 相互垂直，记作： a b ；2﹡ 异面直线： _______________________________2．向量的模：设 OA a ，则有向线段 OA 的长度叫做向量a的长度或模，记作： | a |；3．向量的数目积：已知向量 a,b ，则 | a | | b | cos a ,b叫做 a, b 的数量积，记作 a b ，即 a b |a | |b | cos a,b．已知向量 AB a 和轴l，e是l上与l同方向的单位向量，作点 A 在 l 上的射影 A ，作点 B 在 l 上的射影 B ，则A B叫做向量 AB 在轴l上或在e上的正射影；能够证明 A B 的长度 | A B | | AB |cos a, e | a e |．e BA BA C4．空间向量数目积的性质：（1）a e| a | cos a, e ．（2）a b a b0 ．（3）| a |2 a a ．5．空间向量数目积运算律：（1）( a) b( a b ) a ( b) ．（2）a b b a （互换律）．（ 3）a (b c ) a b a c （分派律）．四、典例解析：例 1．用向量方法证明：直线和平面垂直的判断定理。
高中数学人教版B版精品教案《向量数量积的概念》
向量数量积的概念教学目标核心素养1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义。
（难点）2．体会平面向量的数量积与向量射影的关系。
（重点）3．掌握数量积的运算性质，并会利用其性质解决有关长度、夹角、垂直等问题。
（重点）1．通过向量的夹角、向量数量积概念的学习，培养学生的数学抽象核心素养。
2．通过向量数量积的应用，培养学生的数学运算核心素养。
【教学过程】一、问题导入我们在物理课中学过，力与在力的方向上移动的距离的乘积称为力对物体所做的功。
如图所示，如果作用在小车上的力F的大小为|F| N，小车在水平面上位移的大小为||·m，力的方向与小车位移的方向所成夹角为θ，那么这个力所做的功为W=|F|||co θ。
（1）显然，功W与力向量F及位移向量有关，这三者之间有什么关系？（2）给定任意两个向量a，b，能确定出一个类似的标量吗？如果能，请指出确定的方法；如果不能，说明理由。
二、新知探究1．与向量数量积有关的概念【例1】（1）以下四种说法中正确的是________。
（填序号）①如果a·b＝0，则a＝0或b＝0；②如果向量a与b满足a·b<0，则a与b所成的角为钝角；③△ABC中，如果错误!3aa－3b，求当m为何值时，c与d垂直？思路探究：由条件计算a·b，当c △ d时，c·d＝0列方程求解m。
解：由已知得a·b＝3×2×co 60°＝3．由c △ d，知c·d＝0，即c·d＝（3a＋5b）·（m a－3b）＝3m a2＋（5m－9）a·b－15b2＝27m＋3（5m－9）－60＝42m －87＝0，△m＝错误!，即m＝错误!时，c与d垂直。
[教师小结]（1）已知非零向量a，b，若a △ b，则a·b＝0，反之也成立。
（2）设a与b夹角为θ，利用公式co θ＝错误!可求夹角θ，求解时注意向量夹角θ的取值范围θ△[0，π]。
教学设计1：6.2.4 向量的数量积
6.2.4 向量的数量积【自主预习】1．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角，向量夹角的范围是[0，π]． 2．平面向量的数量积3.向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a .(2)(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )． (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.[概念方法微思考]1．a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相同吗？提示 不相同．因为a 在b 方向上的投影为|a |cos θ，而b 在a 方向上的投影为|b |cos θ，其中θ为a 与b 的夹角．2．两个向量的数量积大于0，则夹角一定为锐角吗？提示 不一定．当夹角为0°时，数量积也大于0.【基础自测】题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( √ )(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( √ ) (3)由a ·b ＝0可得a ＝0或b ＝0.( × ) (4)(a ·b )c ＝a (b ·c )．( × )(5)两个向量的夹角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2.( × ) (6)若a·b <0，则a 和b 的夹角为钝角．( × ) 题组二 教材改编2．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a·(2a －b )＝0，则k ＝________. 答案 12解析 ∵2a －b ＝(4,2)－(－1，k )＝(5,2－k )， 由a ·(2a －b )＝0，得(2,1)·(5,2－k )＝0， ∴10＋2－k ＝0，解得k ＝12.3．已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则向量b 在向量a 方向上的投影为________． 答案 －2解析 由数量积的定义知，b 在a 方向上的投影为|b |cos θ＝4×cos120°＝－2. 题组三 易错自纠4．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 答案 23解析 方法一 |a ＋2b |＝(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2 ＝22＋4×2×1×cos60°＋4×12＝12＝2 3. 方法二 (数形结合法)由|a |＝|2b |＝2知，以a 与2b 为邻边可作出边长为2的菱形OACB ，如图，则|a ＋2b |＝|OC →|.又∠AOB ＝60°，所以|a ＋2b |＝2 3.5．已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为________． 答案322解析 AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，由定义知，AB →在CD →方向上的投影为AB →·CD →|CD →|＝1552＝322.6．已知△ABC 的三边长均为1，且AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，则a·b ＋b·c ＋a·c ＝________. 答案 －32解析 ∵〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈a ，c 〉＝120°，|a |＝|b |＝|c |＝1， ∴a·b ＝b·c ＝a·c ＝1×1×cos120°＝－12，∴a·b ＋b·c ＋a·c ＝－32.【题型探究】题型一 平面向量数量积的基本运算1．已知a ＝(x,1)，b ＝(－2,4)，若(a ＋b )⊥b ，则x 等于( ) A ．8 B ．10C ．11D ．12答案 D解析 ∵a ＝(x,1)，b ＝(－2,4)，∴a ＋b ＝(x －2,5)， 又(a ＋b )⊥b ，∴(x －2)×(－2)＋20＝0，∴x ＝12.2．已知向量a ，b 满足|a |＝1，a·b ＝－1，则a ·(2a －b )等于( ) A ．4 B ．3C ．2D ．0答案 B解析 a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝2|a |2－a ·b . ∵|a |＝1，a ·b ＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3.3．设D ，E 为正三角形ABC 中BC 边上的两个三等分点，且BC ＝2，则AD →·AE →等于( ) A.49 B.89 C.269D.263答案 C 解析 如图，|AB →|＝|AC →|＝2，〈AB →，AC →〉＝60°， ∵D ，E 是边BC 的两个三等分点，∴AD →·AE →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋13BC →·⎝⎛⎭⎫AC →＋13CB →＝⎝⎛⎭⎫23AB →＋13AC →·⎝⎛⎭⎫13AB →＋23AC → ＝29|AB →|2＋59AB →·AC →＋29|AC →|2＝29×4＋59×2×2×12＋29×4＝269. [思维升华]平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(3)利用数量积的几何意义求解． 题型二 平面向量数量积的应用 命题点1 求向量的模例1(1)在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝5，AC ＝6，D 是AB 上一点，且AB →·CD →＝－5，则 |BD →|等于( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4答案 C解析 如图所示，设AD →＝kAB →，所以CD →＝AD →－AC →＝kAB →－AC →，所以AB →·CD →＝AB →·(kAB →－AC →)＝kAB →2－AB →·AC → ＝25k －5×6×12＝25k －15＝－5，解得k ＝25，所以|BD →|＝⎝⎛⎭⎫1－25|AB →|＝3. (2)设向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝2，a ·b ＝－2，〈a －c ，b －c 〉＝60°，则|c |的最大值为( ) A ．4 B ．2 C.2D ．1答案 A解析 因为|a |＝|b |＝2，a ·b ＝－2，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－12，〈a ，b 〉＝120°.如图所示，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则CA →＝a －c ，CB →＝b －c ，∠AOB ＝120°. 所以∠ACB ＝60°，所以∠AOB ＋∠ACB ＝180°， 所以A ，O ，B ，C 四点共圆． 不妨设为圆M ，因为AB →＝b －a ，所以AB →2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝12，所以|AB →|＝23，由正弦定理可得△AOB 的外接圆即圆M 的直径为2R ＝|AB →|sin ∠AOB ＝4.所以当|OC →|为圆M 的直径时，|c |取得最大值4. 命题点2 求向量的夹角例2 (1)已知|a |＝1，|b |＝2，|a －2b |＝21，则向量a ，b 的夹角为(用弧度表示)________． 答案2π3解析 因为|a |＝1，|b |＝2，|a －2b |＝21， 所以|a －2b |＝(a －2b )2＝21，解得cos 〈a ，b 〉＝－12，又因为〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉＝2π3.(2)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量．若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________． 答案33解析 由题意知|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝0，|3e 1－e 2|＝(3e 1－e 2)2＝3e 21－23e 1·e 2＋e 22＝3－0＋1＝2.同理|e 1＋λe 2|＝1＋λ2. 所以cos60°＝(3e 1－e 2)·(e 1＋λe 2)|3e 1－e 2||e 1＋λe 2|＝3e 21＋(3λ－1)e 1·e 2－λe 2221＋λ2＝3－λ21＋λ2＝12，解得λ＝33. [思维升华](1)求解平面向量模的方法 ①利用公式|a |＝x 2＋y 2. ②利用|a |＝a 2.(2)求平面向量的夹角的方法①定义法：cos θ＝a·b|a||b |，θ的取值范围为[0，π]．②坐标法：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.③解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中．[跟踪训练1](1)已知向量a 与b 的夹角为30°，且|a |＝1，|2a －b |＝1，则|b |＝________. 答案3解析 ∵|2a －b |＝1，∴|2a －b |2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝1，∴4－4|b |cos30°＋b 2＝1， 整理得|b |2－23|b |＋3＝(|b |－3)2＝0，解得|b |＝ 3.(2)已知|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a －b )，则向量a 与向量b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.2π3答案 B解析 ∵a ⊥(a －b )，∴a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝1－2cos 〈a ，b 〉＝0， ∴cos 〈a ，b 〉＝22，∴〈a ，b 〉＝π4. 题型三 平面向量与三角函数例3已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝⎝⎛⎭⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4. (1)求a ·b 及|a ＋b |；(2)若f (x )＝a ·b －|a ＋b |，求f (x )的最大值和最小值． 解 (1)a ·b ＝cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2·sin x2＝cos2x .∵a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫cos 3x 2＋cos x 2，sin 3x 2－sin x 2， ∴|a ＋b |＝⎝⎛⎭⎫cos 3x 2＋cos x 22＋⎝⎛⎭⎫sin 3x 2－sin x 22＝2＋2cos2x ＝2|cos x |.∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4，∴cos x >0，∴|a ＋b |＝2cos x . (2)f (x )＝cos2x －2cos x ＝2cos 2x －2cos x －1＝2⎝⎛⎭⎫cos x －122－32. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4，∴12≤cos x ≤1， ∴当cos x ＝12时，f (x )取得最小值－32；当cos x ＝1时，f (x )取得最大值－1. [思维升华]平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等． [跟踪训练2]在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值；(2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解 (1)因为m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m ⊥n .所以m ·n ＝0，即22sin x －22cos x ＝0， 所以sin x ＝cos x ，所以tan x ＝1.(2)因为|m |＝|n |＝1，所以m ·n ＝cos π3＝12，即22sin x －22cos x ＝12， 所以sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12， 因为0<x <π2，所以－π4<x －π4<π4，所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.。
高中数学向量数量积教案
高中数学向量数量积教案
一、教学目标
1. 理解向量数量积的定义和性质；
2. 掌握求解向量数量积的方法；
3. 能够运用向量数量积解决相关问题。
二、教学重点
1. 向量数量积的定义；
2. 向量数量积的性质；
3. 向量数量积的应用。
三、教学难点
1. 向量数量积的性质的理解和运用；
2. 向量数量积的应用实例的解决。
四、教学过程
1. 引入：通过一个生活中的具体例子引入向量数量积的概念，让学生了解向量数量积的实际应用和意义。
2. 讲解：详细介绍向量数量积的定义和性质，强调向量数量积的计算方法和解题技巧。
3. 练习：设计一些基础的练习题，让学生掌握向量数量积的求解方法，巩固相关知识点。
4. 拓展：提供一些拓展练习题，让学生能够灵活运用向量数量积解决实际问题，培养解决问题的能力。
5. 总结：通过总结本节课的内容，让学生对向量数量积有一个清晰的认识，强化重点知识点。
五、作业布置
完成课堂练习题和拓展练习题，巩固向量数量积的相关知识，准备下节课的学习。
六、教学反思
通过本节课的教学实践，发现学生对向量数量积的理解程度和解题能力，及时调整教学方法和内容，提高教学效果。
同时，鼓励学生积极思考，勇于探索，培养学生的数学思维和解决问题的能力。
高中数学必修4《平面向量的数量积》教案
⾼中数学必修4《平⾯向量的数量积》教案 ⾼中数学必修4《平⾯向量的数量积》教案【⼀】 教学准备 教学⽬标 1.掌握平⾯向量的数量积及其⼏何意义; 2.掌握平⾯向量数量积的重要性质及运算律; 3.了解⽤平⾯向量的数量积可以处理垂直的问题; 4.掌握向量垂直的条件. 教学重难点 教学重点：平⾯向量的数量积定义 教学难点：平⾯向量数量积的定义及运算律的理解和平⾯向量数量积的应⽤ 教学过程 1.平⾯向量数量积(内积)的定义：已知两个⾮零向量a与b，它们的夹⾓是θ， 则数量|a||b|cosq叫a与b的数量积，记作a×b，即有a×b = |a||b|cosq，(0≤θ≤π). 并规定0向量与任何向量的数量积为0. ×探究：1、向量数量积是⼀个向量还是⼀个数量?它的符号什么时候为正?什么时候为负? 2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别? (1)两个向量的数量积是⼀个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定. (2)两个向量的数量积称为内积，写成a×b;今后要学到两个向量的外积a×b，⽽a×b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能⽤“×”代替. (3)在实数中，若a?0，且a×b=0，则b=0;但是在数量积中，若a?0，且a×b=0，不能推出b=0.因为其中cosq有可能为0. ⾼中数学必修4《平⾯向量的数量积》教案【⼆】 教学准备 教学⽬标 1.掌握平⾯向量的数量积及其⼏何意义; 2.掌握平⾯向量数量积的重要性质及运算律; 3.了解⽤平⾯向量的数量积可以处理有关长度、⾓度和垂直的问题; 4.掌握向量垂直的条件. 教学重难点 教学重点：平⾯向量的数量积定义 教学难点：平⾯向量数量积的定义及运算律的理解和平⾯向量数量积的应⽤ 教学⼯具 投影仪 教学过程 ⼀、复习引⼊： 1.向量共线定理向量与⾮零向量共线的充要条件是：有且只有⼀个⾮零实数λ，使=λ 五，课堂⼩结 (1)请学⽣回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到的主要数学思想⽅法有那些? (2)在本节课的学习过程中，还有那些不太明⽩的地⽅，请向⽼师提出。
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解:
=
=
=
例2:已知 ,且 与 的夹角为 ,求 ．(课本P66例3)
解:
所以
例3：已知 , 垂直,求 的值．(课本P66例4)
解： 因为 垂直，所以
化简得
即
由已知 ，可得
解得 ．
所以，当 时， 垂直．例4：已知 、 都是非零向量，且 与 垂直， 与 垂直，求 与 的夹角．
四．课堂小结
1．向量的数量积及其运算性质；
２．两向量的夹角公式；
３．两个向量垂直的充要条件；
4．求向量的模、两个向量的夹角、判断两个向量垂直的技能和方法．
五．作业布置
练习8.2(1) P67 T2、T3、T4 ； P35 T3 、 T4
思考题
1 已知向量 与 的夹角为 ， ,则| + |·| - |=．
教学设计说明及反思
本节课是在上节课学习了向量 的数量积的概念、向量的数量积的运算性质之后．再一次抛出物理模型问题，学生通 过交流、分析．讨论，解决问题． 进一步推而广之，由数量积的定义，通过变形十分容易的导出向量的夹角公式． 并推出了 两向量 垂直的充要条件．之后，通过例题分析，学生体验了运用向量的数 量积的定义和运算性质求向量的模、向量的夹角、以及研究一些简单几何问题的过程．学生获取了知识、掌握了方法、提高了技能、训练了能力．
(2)平面向量数量积（内积）的定义：
如果两个非零向量 的夹角为 （ ），那么我们把 叫做向量 与向量 的数量积，记做 ，即 ．并规定 与 任何向量的数量积为0．(3)“投影”的概念：
定义： 叫做向量 在 方向上的投影．
投影也是一个数量 ，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当= 0时投影为 ；当= 180时投影为 ．(4)向量的数量积的几何意义：
教学重点及难点
重点：向量的数量积的运算性质、向量的夹角公式、向量垂直的条件及其应用；
难点：向量的夹角公式的应用.
教学用具准备
直尺，投影仪
教学过程设计
一．情景引入：
1．复习回顾
(1)两个非零向量的夹角的概念：
对于两个非零向量 ，如果以 为起点，作 ，那么射线 的夹角 叫做向量 与向量 的夹角，其中 ．
分析：设该物体在力 的作用下产生位移 ， 所做的功为 ， 与 的夹角为 ，则由 知
二．学习新课:
1.向量的夹角公式:
在学习了向量数量积的定义之后，我们很容易推导出两个非零向量 的夹角 满足
因此,当 时, ,反之,当 时, .考虑到 可与任何向量垂直,所以可得：
两个向量 垂直的充要条件是 ．
２.例题分析
2 已知 ,向量 与 的位置关系为（ ）
A． 平行 B．垂直 C．夹角为 D．不平行也不垂直
3 已知 , 与 之间的夹角为 ，则向量 的模为（ ）
A．2 B．2 C．6 D．12
4 已知 与 是非零向量，则 是 与 垂直的（ ）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
８．2（2） 向量的数量积（2）
教学目标设计
1．深刻领会向量的数量积的概念和运算性质、向量的夹角公式及其内涵、两向量垂直的充要条件；
2．掌握求向量的长度、求两个向量的夹角、判断两个向量垂直的技能和方法 ；
3．初步运用向量的方法解决一些简单的几何问题，领略向量的数量积的数学价值；
4．通过对问题的分析研究，体会数学思考的过程．Leabharlann 解：由 ①②两式相减：
代入①或②得：
设 、 的夹角为，则
∴= 60
３.问题拓展
例5．利用向量数量积的运算证明半圆上的圆周角是直角． 证明：设AB是⊙O直径，半径为r
设 ,则 ; ,则
则
，即∠ACB是直角．
三．巩固练习
1 已知 ,(1)若 ∥ ,求 ；
(2)若 与 的夹角为60°，求 ；
(3)若 与 垂直，求 与 的夹角．
2 已知 + =2 -8 , - =-8 +16 ,其中 、 是直角坐标系中 轴、 轴正方向上的单位向量，那么 =．
3 已知 ⊥ 、 与 、 的夹角均为60°，且 则 ＝_____ _．
4 对于两个非零向量 与 ，求使 最小时的t值，并求此时 与 的夹角．
5 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和
数量积 等于 的长度与 在 方向上投影 |的乘积．
(5)向量的数量积的运算性质：
对于 ，有
（1） 当且仅当 时， ＝
（2）
（3）
（4）
２．分析思考：
(1)类比实数的运算性质，向量的数量积结合律 是否成立？
学生通过讨论，回答： 一般不成立
(2)如果一个物体在大小为２牛顿的力 的作用下，向前移动１米，其所做的功的大小为１焦耳，问力 的方向与运动方向的夹角是否为 ？