拉氏变换详细解读

−1 −1
= −e−t + 7e−2t − 6e−3t
(2). 包含有共轭极点的情况 α1 , α 2
s +1 的拉氏反变换。 例2 求 F(s) = 2 的拉氏反变换。 s(s + s + 1)
1 3 s1 = 0, s2,3 = − ± j 2 2 s +1 s +1 F(s) = = 2 s(s + s + 1) 1 3 1 3 s s + + j s + − j 2 2 2 2 α1s + α2 A = + 1 3 1 3 s s+ + j s + − j 2 2 2 2
ω s L [sin ωt ] = 2 , L [ cos ωt ] = 2 2 2 s +ω s +ω
e sinωt →
−at
1 = s+a,
1 L [t ] = 2 s 1 at L e = s−a
s + a ) + ω2 (
2
ω
e cosωt →
−at
s + a ) + ω2 (
3
2
5s3Y (s) + 6s2Y (s) + sY (s) + 2Y (s) = 4sX(s) + X(s) (5s3 + 6s2 + s + 2)Y (s) = (4s + 1) X(s)
Y (s) 4s + 1 = 3 X (s) 5s + 6s2 + s + 2
3.积分定理 积分定理
f (t )dt = 1 F(s) + 1 f (−1) (0+ ) L ∫ s s
1 L ∫ ⋅⋅⋅⋅ ∫ f (t )dt = n F(s) s
n
4．初值定理 ． 5．终值定理
f (0 ) = lim f (t ) = lim sF(s)
t →0 s→∞
+
f (∞) = lim f (t ) = lim sF(s)
t →∞ s→0
5 的终值。 例：已知 F(s) = ，求f(t)的终值。 的终值 2 s(s + s + 2)
5 5 f (∞) = lim f (t ) = lim sF(s) = lim 2 = t →∞ s→0 s→0 s + s + 2 2
二、拉氏反变换及其计算方法
（一）拉氏反变换的定义
已知象函数F(s)，求出与之对应的原函数f(t)就 ，求出与之对应的原函数 就 已知象函数 称为拉氏反变换， 称为拉氏反变换，计作 L−1 [ F ( s ) ] = f (t )
bm sm + bm−1sm−1 + bm−2 sm−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +b1s + b0 = (s + p1 )r (s + pi )(s + pj )LL(s + pk )L(s + pn )
= Br Br −1 B1 + + LL + ( s + p1 )r ( s + p1 )r −1 s + p1 + +
s
1 L−1 2 = t s
1 − at −1 1 at L−1 = e , L s −a = e , s + a ω s −1 −1 = sin ωt , L 2 = cos ωt L 2 2 2 s +ω s +ω
L ∫ ⋅⋅⋅⋅ ∫ f (t )(dt )n = 1 1 (−1) + 1 1 (−n) + ( −2) + (0 ) + n−1 f (0 ) + ....... + f (0 ) F(s) + n f n s s s s
M
为式中f(t)的 式中 f (-1)(0+) 、 f (-2)(0+) ···、 f (-n)(0+) 为式中 的 、 各重积分在t=0 时的值，如果这些初值为零， 各重积分在 +时的值，如果这些初值为零，则有
s +1 1 −s F(s) = = + 2 s(s + s + 1) 1 3 1 3 s s+ + j s + − j 2 2 2 2 1 s = − 2 2 s 1 3 s + 2 + 2 1 1 s + 2− 2 1 = − 2 2 s 1 3 s + 2 + 2
2. 部分分式展开法 (利用逆变化的线性原理)
控制工程中，象函数F(s)通常可以表示有理分式形式 控制工程中，
B(s) bm sm + bm−1sm−1 + bm−2 sm−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +b1s + b0 F(s) = = A(s) an sn + an−1sn−1 + an−2 sn−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +a1s + a0
） 式中 f (−1) (0+ ) 为 ∫ f (t dt 在t时间坐标轴的右端 趋于零时的f 的值，相当于初始条件。 趋于零时的f(t)的值，相当于初始条件。
f (t )(dt )2 = 1 F(s) + 1 f (−1) (0+ ) + 1 f (−2) (0+ ) L ∫∫ s2 s2 s
α1 s + α 2
( s + pi )( s + p j )
+L
Ak An + LL + s + pk s + pn
Br ,Lα1 L , Ak ,L , An 为实数 称留数 为实数,称
留数的方法可分为下面三种情况研究。 留数的方法可分为下面三种情况研究。
(1).不同实数极点情况 (1).不同实数极点情况 Ak 的求法
式中f 式中f(0+)表示当t在时间坐 表示当t 标轴的右端趋于零时的f 标轴的右端趋于零时的f(t) 相当于初始条件。 值，相当于初始条件。
d 2 f (t ) 2 L = s F(s) − sf (0+ ) − f (1) (0+ ) 2 dt
L n = snF(s) − sn−1 f (0+ ) − sn−2 f (1) (0+ )L− sf (n−2) (0+ ) − f (n−1) (0+ ) dt 式中f ···、 式中f(0+)、 f (1)(0+) 、···、 f (n-2)(0+) 、 f (n-1)(0+)分别为各 n d f (t ) L = snF(s) 阶导数在t 阶导数在t时间坐标轴的右端 n dt 趋于零时的 f(t) 值，如果所 有这些初值为零， 有这些初值为零，则
φ = arctan
1− 1 1−ζ
2
ζ
e−ζωnt sin ωn 1 − ζ 2 t + φ 1−ζ 2
(
18
φ = arctan
2 ωn 2 s ( s2 + 2ζωn s + ωn )
ζ
根据表格直接写出结果
L [δ (t )] = 1, L e
− at
1 L [1(t )] = , s
x ( t ) = L [ X ( s )] m ( t ) = L [ M ( s )]
−1
−1
y ( t ) = L [ Y ( s )] n ( t ) = L [ N ( s )]
−1
−1
(二).拉氏反变换的计算方法 ).拉氏反变换的计算方法 1 1.查表法 L−1 [1] = δ (t ), Lቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 = 1(t ),
2
s+a
（二）、拉氏变换的主要定理 ）、拉氏变换的主要定理 1．线性定理
L[ f1(t ) + f2 (t )] = L[ f1(t )] + L[ f2 (t )] = F1(s) + F2 (s)
L[kf (t )] = kL[ f (t )] = kF(s)
2．微分定理
df (t ) L = sF(s) − f (0+ ) dt
f(t) cos(ωt)
F(s)
t n (n = 1，，， ) 2 3L
t e (n = 1，，， ) 2 3L
1 e−at − e−bt ) ( b−a 1 −bt −at ( be − ae ) b−a 1 1 −at −bt 1 + a − b ( be − ae ) ab
− st 0
∞
式中 s=σ + jω
j 虚数单位
L为拉氏变换运算符。通常称f(t)为原函数、 原函数、 为拉氏变换运算符。通常称f F(s)为拉氏变换函数或原函数的象函数。 为拉氏变换函数或原函数的象函数 象函数。
L[ x(t )] = X ( s ) L[m(t )] = M ( s )
L[ y (t )] = Y ( s ) L[n(t )] = N ( s )
补充
微分方程→ 微分方程→代数方程
（一）拉氏变换的定义 时间函数f(t)，当t<0时， f(t)=0， t≥0时， 时间函数 ， 时 ， 时 f(t)的拉氏变换计为 的拉氏变换计为L[f(t)]或F(s)，且定义为 的拉氏变换计为 或 ，
一、拉氏变换及其特性
L[ f (t )] = F(s) = ∫ f (t )e dt
s +1 s s=− 1 − j
2
3 2
= (α1s + α2 ) s=− 1− j
2
3 2
1 3 1 3 1− + j = − α1 + α2 − j α1 2 2 2 2
由此得： 由此得：
α1 = −1 α2 = 0
s +1 A= 2 ⋅ s = 1 s(s + s + 1) s=0
2
s+a
15
1 (at − 1 + e−at ) 2 a
1 s2 ( s + a)
2
16
ωn
1−ζ 2
e
−ζωnt
sinωn 1 − ζ t
ω 2 s2 + 2ζωn s + ωn
2 n
序号
f(t)
F(s)
2
−1
17
1−ζ
2
e
−ζωnt
sin ωn 1 − ζ t − φ 1−ζ 2
(
)
)
s
2 s2 + 2ζωn s + ωn
1 r + j∞ L [F(s)] = f (t ) = F(s)est ds ∫r− j∞ 2π j
−1
式中， 为大于 为大于F(s)的所有奇异点实部的实常数。 的所有奇异点实部的实常数。 式中，r为大于 的所有奇异点实部的实常数 所谓奇异点， 在该点不解析， 所谓奇异点，即F(s)在该点不解析，也就是 在该点不解析 也就是F(s) 在该点及其邻域不处处可导。 在该点及其邻域不处处可导。
常用函数的拉氏变换对照表
序号 1 2 3 4 5 6 f(t) F(s) 1
δ(t)单位脉冲函数 单位脉冲函数
1(t) 单位阶跃函数u(t) 单位阶跃函数 t 单位斜坡函数r(t) 单位斜坡函数
e
− at
te
−at
1 s 1 s2 1 s+a 1
( s + a)
2
sinωt
ω s2 + ω2
序号 7 8 9 10 11 12
M d f (t )
n
例 试求下面微分方程式的拉氏变换式．已知各 试求下面微分方程式的拉氏变换式． 阶导数初值为零。 阶导数初值为零。
d y d y dy dx 5 3 + 6 2 + + 2y = 4 + x dt dt dt dt
解：利用线性定理和微分定理，可得 利用线性定理和微分定理，
5(−2) + 3 A2 = [ F(s)(s + 2)] s=−2 = =7 (1 − 2)(3 − 2)
1 7 6 F(s) = − + − s +1 s + 2 s + 3
查表：
7 6 1 f (t ) = L [ F(s)] = L − + − s + 1 s + 2 s + 3
n −at
s 2 2 s +ω n! sn+1 n!
( s + a)
1
n+1
( s + a) ( s + b)
1 s ( s + a) ( s + b)
( s + a) ( s + b)
s
序号
−at
f(t)
F(s)
13
e sinωt e cosωt
− at
( s + a ) + ω2
2
ω
14
s + a ) + ω2 (
A3 A2 5s + 3 (s + 1) + (s + 1) = A1 + (s + 2)(s + 3) s+2 s+3
令s = −1
5(−1) + 3 A1 = [ F(s)(s + 1)]s=−1 = = −1 (2 − 1)(3 − 1)
5(−3) + 3 A3 = [ F(s)(s + 3)] s=−3 = = −6 (1 − 3)(2 − 3)
5s + 3 的拉氏反变换。 例1 求 F(s) = 的拉氏反变换。 (s + 1)(s + 2)(s + 3)
A3 A1 A2 5s + 3 = + + 解： F(s) = (s + 1)(s + 2)(s + 3) s + 1 s + 2 s + 3
A3 A1 A2 5s + 3 (s + 1) = (s + 1) + (s + 1) + (s + 1) (s + 1)(s + 2)(s + 3) s +1 s+2 s+3