2020年江苏省南京市高考数学模拟试卷(5月份)

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2020届江苏省南京市高三下学期5月模拟考试数学试题(wd无答案)

2020届江苏省南京市高三下学期5月模拟考试数学试题一、填空题(★) 1. 设集合 M＝{ m|﹣3＜ m＜2，m∈ Z}， N＝ R，则M∩ N＝_____．(★) 2. 复数 z 复平面上对应的点位于第_____象限．(★★) 3. 某次测验，将20名学生平均分为两组，测验结果两组学生成绩的平均分和标准差分别为90，6；80，4．则这20名学生成绩的方差为_____．(★) 4. 执行如图所示的程序框图，输出的 S值为_____．(★★) 5. 抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，记底面上的数字分别为，则为整数的概率是 _____ ．(★★) 6. 函数f（x）=（x﹣3）e x的单调递增区间是．(★★★) 7. 已知双曲线的离心率为，那么此双曲线的准线方程为_____．(★) 8. 已知正四棱锥的体积为，底面边长为，则侧棱的长为．(★★★) 9. 已知函数若则函数的最小正周期为．(★★★) 10. 已知等差数列{ a n}满足： a 1＝﹣8， a 2＝﹣6．若将 a 1， a 4， a 5都加上同一个数m，所得的三个数依次成等比数列，则 m的值为_____．(★★★) 11. 设函数和的图象在轴左、右两侧靠近轴的交点分别为、，已知为原点，则．(★★★) 12. 设 f（ x）＝ asin2 x+ bcos2 x（ a，b∈ R），若 f（ x）的最大值为，则 a+ b 的取值范围为_____．(★★★) 13. 在△ ABC中，角 A， B， C的对边分别是 a， b， c，已知 b＝2，且cos2 B+cos B+cos（ A﹣ C）＝1，则 a+2 c的最小值为_____．(★★★★) 14. 已知正实数x，y满足x＋＋3y＋＝10，则xy的取值范围为________．二、解答题(★★★) 15. 已知△ ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，向量（1）当时，求 b的值；（2）当∥ 时，且，求的值．(★★★) 16. 如图，四棱锥 A﹣ BCDE中， AB、 BC、 BE两两垂直且 AB＝ BC＝ BE，DE∥ BC，DE＝2 BC， F是 AE的中点．（1）求证：BF∥面 ACD；（2）求证：面ADE⊥面 ACD．(★★★★) 17. 为解决城市的拥堵问题，某城市准备对现有的一条穿城公路 MON进行分流，已知穿城公路 MON自西向东到达城市中心点 O后转向东北方向（即）．现准备修建一条城市高架道路 L， L在 MO上设一出入口 A，在 ON上设一出入口 B．假设高架道路 L在 AB部分为直线段，且要求市中心 O与 AB的距离为10 km．（1）求两站点 A， B之间距离的最小值；（2）公路 MO段上距离市中心 O30 km处有一古建筑群 C ，为保护古建筑群，设立一个以 C为圆心，5 km为半径的圆形保护区．则如何在古建筑群 C和市中心 O之间设计出入口 A，才能使高架道路 L及其延伸段不经过保护区（不包括临界状态）？(★★★★★) 18. 已知点 M是圆 C：（ x+1）2+ y 2＝8上的动点，定点 D（1，0），点 P在直线DM上，点 N在直线 CM上，且满足 2 ，• 0，动点 N的轨迹为曲线 E．（1）求曲线 E的方程；（2）若 AB是曲线 E的长为2的动弦， O为坐标原点，求△ AOB面积 S的最大值．(★★★★★) 19. 设首项为 a 1的正项数列{ a n}的前 n项和为 S n， q为非零常数，已知对任意正整数 n， m， S n+＝ S m+ q m S n总成立．（1）求证：数列{ a n}是等比数列；（2）若不等的正整数 m， k， h成等差数列，试比较 a m m• a h h与 a k2的大小；（3）若不等的正整数 m， k， h成等比数列，试比较与的大小．(★★★★★) 20.已知函数（是自然对数的底数）.（1）若曲线在处的切线也是抛物线的切线，求的值；（2）若对于任意恒成立，试确定实数的取值范围；（3）当时，是否存在，使曲线在点处的切线斜率与在上的最小值相等？若存在，求符合条件的的个数；若不存在，请说明理由.(★★★) 21. 设矩阵 A ，求矩阵 A的逆矩阵的特征值及对应的特征向量．(★★★) 22. 在极坐标系中，求曲线关于直线对称的曲线的极坐标方程.(★★★) 23. 若关于 x的不等式 x 2﹣ ax+ b＜0的解集为（1，2），求函数 f（ x）＝（ a﹣1）（ b﹣1）的最大值．(★★★) 24. 某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作．规定：至少正确完成其中2题的便可提交通过．已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成．（1）求出甲考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；（2）若考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．试从至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力．(★★★★) 25. 已知（其中）（1）求及；（2）试比较与的大小，并说明理由．。

2020届江苏省高三高考全真模拟(五)数学试题(解析版)

2020届江苏省高三高考全真模拟（五）数学试题一、填空题1．已知集合{}1,A a =，1,{3}0,B -=，1,0,1{,2,}3A B =-U ，则实数a 的值为_______．【答案】2【解析】根据并集的基本运算求解即可. 【详解】因为1,0,1{,2,}3A B =-U ,1,{3}0,B -=,{}1,A a =,故2a =. 故答案为：2 【点睛】本题主要考查了根据并集结果求解参数的问题,属于基础题.2．若复数(()123)z i i =+-，其中i 为虚数单位，则z 的模是_______．【答案】【解析】先化简z ,再根据模长公式求解即可. 【详解】2123()()35255z i i i i i =+-=-+=+,故z ==故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的基本运算以及模长的计算等.属于基础题. 3．执行如图所示的伪代码，则输出的T 的值为_______．【答案】15【解析】根据伪代码中的循环逐步计算即可. 【详解】由题,初始值1,1Ti ==1.5i ≤成立, 111,123T i =⨯==+=；2.5i ≤成立, 133,325T i =⨯==+=；3.5i ≤成立, 3515,527Ti =⨯==+=；4.5i ≤不成立.输出15T =. 故答案为：15 【点睛】本题主要考查了根据伪代码输出结果的问题.属于基础题.4．某盒子中装有绿色小球3个、红色小球4个、橙色小球5个，从中随机抽取1个小球，则未抽到橙色小球的概率是_______．【答案】712【解析】根据古典概型求概率的方法求解即可. 【详解】由题可知, 盒子中共有34512++=个.其中非橙色小球有347+=个.故随机抽取1个小球,未抽到橙色小球的概率是712. 故答案为：712【点睛】本题主要考查了概率的基本运算,属于基础题.5．某班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知抽到的最小编号为5号，则抽到的最大编号为_____号．【答案】44【解析】根据系统抽样抽出的编号成等差数列求解即可. 【详解】由题可知,抽到的编号成等差数列,且公差为52134=.故抽到的最大编号为()5411344+-⨯=.故答案为：44 【点睛】本题主要考查了样本抽样的问题,需要根据抽出的编号成等差数列求解,属于基础题. 6．函数2()ln()f x x x =-的定义域为．【答案】()0,1【解析】试题分析：由题意得2001x x x ->⇒<<，即定义域为(0,1) 【考点】函数定义域7．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 与左顶点A 的连线段的中点落在双曲线C 的准线上，则双曲线C 的离心率为________．【答案】2【解析】求出FA 的中点坐标,再根据横坐标等于准线方程【详解】设点(),0F c .由题意得线段FA 的中点坐标为(,0)2c a -.所以22c a a c-=,整理得2220c ac a --=,即220e e --=,解得2e =（负值舍去）.故答案为：2 【点睛】本题主要考查了根据双曲线有关的点的坐标运算,需要根据题意确定坐标,再代入方程得出关于,a c 的齐次式化简求解即可.属于基础题. 8．已知函数()()sin 202f x x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭图象的一条对称轴方程为6x π=，则ϕ的值为______.【答案】6π 【解析】由题意得出()262k k Z ππϕπ⨯+=+∈，求出ϕ的表达式，再结合ϕ的取值范围，可得出ϕ的值. 【详解】由题意得出()262k k Z ππϕπ⨯+=+∈，()6k k Z πϕπ∴=+∈，02πϕ<<Q ，0k ∴=且6π=ϕ，故答案为6π.【点睛】本题考查利用正弦型函数对称轴方程求参数的值，解题时要结合正弦型函数的对称轴方程得出参数的表达式，并结合参数的取值范围得出参数的值，考查运算求解能力，属于中等题.9．已知数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项和．若312a =，24448a a +=，则4S 的值是________．【答案】45【解析】设公比为q ,再利用等比数列各项间的关系,用3a 与q 表达24448a a +=再化简求解q ,再求4S 即可. 【详解】设公比为q ,则33448a a q q⋅+=,即481248q q +=,解得2q =,所以13a =,故436122445S =+++=. 故答案为：45 【点睛】本题主要考查了等比数列的基本量求解以及各项间的关系化简.属于基础题.10．，则这个长方体的体积为______..【解析】利用三个面的面积构造出方程组，三式相乘即可求得三条棱的乘积，从而求得体积. 【详解】设长方体中同顶点的三条棱的长分别为,,a b c则可设：236 abacbc⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，三式相乘可知()26abc=∴长方体的体积：6V abc==本题正确结果：6【点睛】本题考查长方体体积的求解问题，属于基础题.11．如图，在圆内接四边形ABCD中，2AB=，6BC=，4AD CD==，则AB AC⋅uu u r uuu r 的值是_______．【答案】167【解析】由圆的内接四边形有B Dπ+=,再利用,ABC ACDV V中的余弦定理可得22567AC=,进而利用平面向量的数量积公式,代入22567AC=化简求解即可.【详解】由题意得B Dπ+=,故cos cos0B D+=,所以22222222AB BC AC AD DC ACA ABB C DCD+-+-+=⋅⋅,即2222222644226244AC AC+-+-+=⨯⨯⨯⨯,解得22567AC=.而||||cosAB AC AB AC BAC⋅=⋅⋅∠u u u r u u u r u u u r u u u r2222225626722AB AC BCAB AC AB AC +-+-=⋅⋅=⋅167=. 故答案为：167【点睛】本题主要考查了平面向量与解三角形综合解决平面中的数量积问题.需要根据题意 12．在平面直角坐标系xOy 中，过直线: 5l y x =-+上一点P 作直线，与圆22:(1)2C x y ++=交于点M ，N ．若M 是线段PN 的中点，则线段OP 的长是_________．【解析】根据圆心到直线的距离关系分析可知过,,P M N 的直线过圆心C 且与: 5l y x =-+垂直,再求出P 的坐标进而得到OP .【详解】由题得圆22:(1)2C x y ++=,因为CP ≥=,所以PM ≥=又因为MN ≤且PM MN =,所以PM =,即CP =此时过,,P M N 的直线过圆心C 且与: 5l y x =-+垂直,故:1MN l y x =-. 联立直线方程可得点P 的坐标为()3,2,故OP ==【点睛】本题主要考查了根据直线与圆的位置关系,需要根据直线到圆上距离的最值以及弦长小于等于半径的关系分析.属于中档题.13．在ABC V 中，已知如sin B A =，的最大值是________．【答案】1【解析】根据正弦定理可得AC =,再设2AB =,建立平面直角坐标系, 设(),C x y 根据三角函数的定义,=,再利用(),C x y 满足的轨迹方程得出y 的范围进而求得最大值即可. 【详解】解法一：因为sin B A =,所以AC =.不妨设2AB =,以A 为坐标原点,AB 所在直线为x 轴,建立平面直角坐标系. 设(),C x y ,=化简得22880x y x +-+=,即22(4)8x y -+=.由三角函数的定义得sin A =,cos A =因为(2,0)BA =-u u u r,()2,BC x y =-u u u r ,所以o s c B =,=.==,因为22(4)8x y -+=,所以28y ≤,1=≤,当C ,即sin 3A =,cos A =,sin B =时等号成立,的最大值是1.解法二（平方消元法）：因为条件sin B A =含有sin B 和cos B ,故可以考虑平方消元.m=则sin cos cosA A m B=+,所以cossin cosAA m B-=.因为sin sinm B A=,所以22222cos si(si n sin con)())()sm B m B mA A A+=+=,化简得211sin2cos222m A A+=+.因为211sin2cos222m A A+=+)Aα=+≤其中tan4mα=.解得21m≤,所以11m-≤≤.当1m=时,312cos222A A=+,解得sin3A=,cos3A=,sin3B=,此时等号成立,的最大值是1.故答案为：1【点睛】本题主要考查了根据了三角函数求最值的问题,可考虑建立平面直角坐标系或者根据同角三角函数的关系求解.属于难题.14．已知函数223,()3,x ax a x af xx ax a x a⎧--≥=⎨-+-<⎩的图象与直线2y x=-有3个交点，则实数a的取值范围是________．【答案】|44{a a a>+<--【解析】分情况当0a=与0a>和0a<三种情况,再根据x的取值范围以及二次函数的零点存在定理数形结合分析即可.【详解】解法一：设22,(),x ax x ag x x ax x a⎧-≥=⎨-+<⎩,()23h x x a =-+. 当0a =时,显然不成立. 当0a >时,若x a ≥,则由图象可知()g x 与()h x 的图象显然只有1个交点, 所以当x a <时,()g x 与()h x 的图象有2个交点,即关于x 的方程2(2)30x a x a -++=在(,)a -∞上有两个不相等的实数根,所以22(2)12022(2)30a a a a a a a a ⎧∆=+->⎪+⎪<⎨⎪-++>⎪⎩,解得4a >+当0a <时,若x a <,则由图象可知()g x 与()h x 的图象显然只有1个交点, 所以当x a ≥时,()g x 与()h x 的图象有2个交点,即关于x 的方程2(2)30x a x a ---=在[,)a +∞上有两个不相等的实数根,所以22(2)12022(2)30a a a a a a a a ⎧∆=-+>⎪-⎪>⎨⎪---⎪⎩…,解得4a <--综上,实数a的取值范围是|44{a a a >+<--.解法二：设22(2)3,()()2(2)3,x a x a x ag x f x x x a x a x a⎧---≥=+=⎨-++-<⎩. 当2a >时,()0g a a =-<,故()g x 在[,)a +∞上有1个零点,在(,)a -∞上有2个零点, 所以2(2)120a a ∆=+->,解得4a >+当2a <-时,()0g a a =->,故()g x 在(,)a -∞上有1个零点,在[,)a +∞上有2个零点, 所以2(2)120a a ∆=-+>,解得4a <--当22a -≤≤时,()g x 在(,)-∞+∞上单调递增,不合题意,舍去.综上,实数a的取值范围是|44{a a a >+<--. 解法三：原题等价于()||g x x a =-与3()2ah x x=-的图象有3个交点. 当0a >时,由图象可知()g x 与()h x 的图象在[,)a +∞上显然只有1个交点, 只需()g x a x =-与3()2ah x x=-的图象在(,)a -∞上有2个交点, 即关于x 的方程2(2)30x a x a -++=在(,)a -∞上有两个不相等的实数根,所以22(2)12022(2)30a a a a a a a a ⎧∆=+->⎪+⎪<⎨⎪-++>⎪⎩,解得4a >+当0a <时,由图象可知()g x 与()h x 的图象在(,)a -∞上显然只有1个交点, 只需()g x x a =-与3()2ah x x=-的图象在[,)a +∞上有2个交点, 即关于x 的方程2(2)30x a x a ---=在[,)a +∞上有两个不相等的实数根,所以22(2)12022(2)30a a a a a a a a ⎧∆=-+>⎪-⎪>⎨⎪---≥⎪⎩,解得4a <--综上,实数a的取值范围是{|44a a a >+<--.故答案为：|44{a a a >+<-- 【点睛】本题主要考查了根据函数的零点个数求解参数范围的问题,需要根据函数的性质结合零点存在性定理进行分析,属于中档题.二、解答题15．α，β均为锐角，且cos α=sin β= （1）求αβ+的值；（2）求tan(2)αβ-的值．【答案】（1）4παβ+=（2）5537-【解析】(1)根据同角三角函数的关系以及两角和的余弦公式计算cos()αβ+,再根据(0,)a βπ+∈判定即可.(2)先求解tan 2β,再根据两角和的正切公式等计算tan(2)αβ-即可. 【详解】（1）解法一：因为α为锐角且cos 26α=,所以sin 26α==. 因为β为锐角且sin β=所以cos β==. 因为cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-=-=, 又因为α,β均为锐角,所以(0,)a βπ+∈,所以4παβ+=.解法二：因为α为锐角且cos 26α=所以sin 26α==,1tan 5α=.因为β为锐角且sin β=所以cos β==,2tan 3β=.因为12tan tan 53tan()1121tan tan 153αβαβαβ+++===--⨯,又因为α,β均为锐角.所以(0,)a βπ+∈,所以4παβ+=.解法二：因为α为锐角且cos α=所以sin α==1tan 5α=.因为β为锐角且sin 13β=所以cos 13β==,2tan 3β=因为12tan tan 53tan()1121tan tan 153αβαβαβ+++===--⨯, 又因为α,β均为锐角,所以(0,)αβπ+∈,所以4παβ+=.（2）解法一：因为sin 13β=,cos 13β=所以2tan 3β=, 所以22222tan 123tan 21tan 5213βββ⨯===-⎛⎫- ⎪⎝⎭.因为cos 26α=sin 26α=,所以1tan 5α=,所以112tan tan 25555tan(2)1121tan tan 237155αβαβαβ---===-++⨯. 解法二：因为4παβ+=,所以tan(2)tan 24παβαα⎡⎤⎛⎫-=--⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1tan 32tan 3παα⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.因为526cos26α=,26sin26α=所以1tan5α=,故22122tan55tan211tan121()5aαα⨯===--,所以15tan tan237512tan3151tan tan2551512aαααα++===--⨯故155tan(2)tan337αβα-=-=-.【点睛】本题主要考查了同角三角函数的公式以及和差角的三角函数公式,需要根据题意分析角度之间的关系,选择合适的公式化简求解.属于中档题.16．如图，在四棱锥P ABCD-中，四边形ABCD为平行四边形，E为侧棱PD的中点，O为AC与BD的交点．（1）求证：//OE平面PBC；（2）若平面PAD⊥平面ABCD，4AC=，5AB=，4sin5ABC∠=，求证：AC PD⊥．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】(1)根据中位线的性质证明//OE PB即可.(2) 在ABCV中利用正弦定理可得90ACB∠=︒,再根据面面垂直的性质证明AC⊥平面PAD,进而可得AC PD⊥.【详解】证明（1）因为四边形ABCD为平行四边形,O为AC与BD的交点,所以O 为BD 的中点. 又因为E 为侧棱PD 的中点, 所以//OE PB .又因为PB ⊂平面PBC ,OE ⊄平面PBC , 所以//OE 平面PBC .（2）在ABC V 中,因为4AC =,5AB =,4sin 5ABC ∠=, 由正弦定理sin sin AC ABABC ACB=∠∠, 可得45sin 5sin 14ABCAB A AC CB ⨯⋅∠∠===,所以90ACB ∠=︒,即AC BC ⊥. 又因为四边形ABCD 为平行四边形, 所以//AD BC ,所以AC AD ⊥. 又因为平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAD I 平面ABCD AD =,AC ⊂平面ABCD , 所以AC ⊥平面PAD .又因为PD ⊂平面PAD ,所以AC PD ⊥. 【点睛】本题主要考查了线面平行的证明以及根据线面垂直与面面垂直的性质证明线线垂直等,属于中档题.17．为了提升学生“数学建模”的核心素养，某校数学兴趣活动小组指导老师给学生布置了一项探究任务：如图，有一张边长为27cm 的等边三角形纸片ABC ，从中裁出等边三角形纸片111A B C 作为底面，从剩余梯形11ABB A 中裁出三个全等的矩形作为侧面，围成一个无盖的三棱柱（不计损耗）．（1）若三棱柱的侧面积等于底面积，求此三棱柱的底面边长；（2）当三棱柱的底面边长为何值时，三棱柱的体积最大？【答案】（1）18cm （2）18cm【解析】(1) 设三棱柱的底面边长为xcm ,再根据三角形中的关系表达出底面积和与侧面积的关系式再解方程即可. (2)同(1)可知231(27)8V x x =-,再求导分析函数的单调性求最大值即可. 【详解】设三棱柱的底面边长为xcm ,即1AC x =, 则127A A x =-.因为ABC V 为等边三角形,所以三棱柱的高为1(27))3x x -=-.（1）因为三棱柱的底面积为21224x x x ⨯⨯=⨯,侧面积为23)(27)62x x x x ⨯⨯-=-,22)x x x =-, 解得18x =或0x =（舍去）. 即三棱柱的底面边长为18cm .（2）三棱柱的体积2231)(27)8V x x x x =⨯-=-.因为0x >,)06x ->, 所以027x <<. 因为213(543)(18)88V x x x x '=-=-, 所以当018x <<时,0V '>,故V 单调递增; 当1827x <<时,0V '<,故V 单调递减. 所以当18x =时,V 取到极大值,也是最大值,23max 1729(271818)82V =⨯-=. 即当底面边长为18cm 时,三棱柱的体积最大,为3729cm 2. 【点睛】本题主要考查了利用导数求解立体几何中的最值问题,需要根据题意设合适的边长,再求出体积关于边长的表达式,再求导分析最值即可.属于中档题.18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点、右顶点分别为F ，A ，过原点的直线与椭圆C 交于点P 、Q （点P 在第一象限内），连结PA ，QF ．若2AF =，OAP △的面积是OFQ V面积的3倍．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知M 为线段PA 的中点，连结QA ，QM ． ①求证：Q ，F ，M 三点共线；②记直线QP ，QM ，QA 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，若13252k k k +=，求PQM V 的面积．【答案】（1）22198x y +=（2）①见解析②4【解析】(1)根据2AF =可得2a c -=,又OAP △的面积是OFQ V面积的3倍,所以3a c =,再联立求解基本量即可.(2) 设()00,P x y ,再表示出QF k ,FM k 关于()00,P x y 的表达式,化简证明QF FM k k =即可.(3)由 13252k k k +=可得01x =,代入椭圆可得8(1,)3P ,进而求出183423PQM POA S S ==⨯⨯=V V 【详解】（1）设椭圆C 的焦距为2c . 因为2AF =,所以2a c -=. 设()00,P x y ,则OAP △的面积为012ay . 过原点的直线与椭圆C 交于点P ,Q , 所以()00,Q x y --,故OFQ V的面积为012cy . 因为OAP △的面积是OFQ V面积的3倍, 所以3a c =,解得3a =,1c =,b =所以椭圆C 的标准方程为22198x y +=.（2）①因为()00,P x y ,所以003(,)22x y M +. 因为()00,Q x y --,所以00000()1()1QF y yk x x --==--+,000023112FMy y k x x ==++-,故Q ,F ,M 三点共线. ②因为010y k x =,0201y k x =+,0303y k x =+,且13252k k k +=, 所以0000005321y y y x x x +=⋅++ 化简得200560x x +-=, 解得01x =或06x =-（舍去）,代入22198x y +=中,得20649y =因为点P 在第一象限内,所以083y =,故8(1,)3P . 因为M 为线段P A 的中点,所以12PQM PQA S S =V V . 因为O 为线段PQ 的中点, 所以12POA PQA S S =V V , 故183423PQM POA S S ==⨯⨯=V V . 【点睛】本题主要考查了椭圆中利用坐标法解决三点共线以及斜率的问题,需要根据题意设点的坐标,再表达出斜率与面积公式等.属于中档题.19．在等差数列{}n a 中为其前n 项和，且231a a +=，10145S =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若0122222n n a a a T a +++=+L ，求n T ；（3）若（2）中n T 满足111415n n T T ++≥，求n 的值．【答案】（1）32n a n =-（2）n T 13225n n +=⨯--（3）1n =．【解析】(1)利用基本量法, 设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d ,再代入条件求解即可. (2)根据(1)中32n a n =-可表达出n T ,再根据分组与等比数列求和公式求解即可. (3) 记111()n n P n T T +=+,利用作差法可证明()()1P n P n +<,继而可得4()15P n ≤,结合111415n n T T ++≥可知1n = 【详解】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d , 则2311122311a a a d a d a d +=+++=+=,1011045145S a d =+=,解得11a =,3d =,所以1(1)32n a a n d n =+-=-, 即数列{}n a 的通项公式为32n a n =-. （2）0122222n n a a a T a +++=+L()()(01322322322)n =⨯-+⨯-+⋯+⨯-()01322222n n =⨯+++--L11232212n n +-=⨯---13225n n +=⨯--.（3）因为()211322(1)53225n n n n T T n n +++⎡⎤-=⨯-+--⨯--⎣⎦13220n +=⨯->,所以1n n T T +>.又因为150T =>.所以0n T >,故111n nT T +<. 记111()n n P n T T +=+, 则2111111(1)()n n nn P n P n T T T T +++⎛⎫⎛⎫+-=+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 21111110n n n nT T T T +++=-+-< 所以()()1P n P n +<. 又因为114(1)51515P =+=,所以4()15P n ≤, 因为111415n n T T ++≥,所以1n =. 【点睛】本题主要考查了基本量求解等差数列通项公式的问题,同时也考查了等比数列的求和以及作差法分析数列的单调性以及不等式的问题,属于中档题.20．已知函数()xf x e ax =-，其中e 是自然对数的底数（1）若()()()g x f x f x =+-，求()g x 的最小值；（2）记f （x ）的图象在x t =处的切线的纵截距为()h t ，求()h t 的极值；（3）若()f x 有2个零点()1212,x x x x <，求证：12112x x +>．【答案】（1）2（2）极大值1，无极小值．（3）见解析【解析】(1)利用基本不等式求解即可.(2)利用导数的几何意义可得()f x 的图象在x t =处的切线方程,进而求得截距()()1t h t t e =-,再求导分析单调性与极值即可.(3)讨论单调性可得0a ≥,再设()211x tx t =>,再根据零点可知11e xax =,22ex ax =,继而化简可得1ln 1t x t =-,2ln 1t t x t =-.将原不等式转换为证明12ln 0t t t -->,再构造函数求导分析单调性与最小值证明即可. 【详解】（1）因为()()()e e 2x x g x f x f x -=+-=+≥=, 当且仅当0x =时等号成立,所以()g x 的最小值为2. （2）因为()xf x e a '=-,所以()tf t e a '=-.因为()tf t e at =-,所以()f x 的图象在x t =处的切线方程为()()()t t y e at e a x t --=--.令0x =,得()()1th t t e =-,所以()th t te '=-,所以当0t <时,()0h t '>,故()h t 单调递增; 当0t >时,()0h t '<.故()h t 单调递减.所以当0t =时,h （t ）取到极大值,为1,无极小值.（3）因为()xf x e a '=-,所以当0a ≤时,()0f x >′,故()f x 单调递增, 所以()f x 至多有1个零点,故0a ≥. 因为()111e 0xf x ax =-=,所以11e 0xax =>,故1>0x . 因为12x x <,所以20x >. 设()211x tx t =>. 因为11e xax =,22ex ax =,两式相除得21e x x t -=,所以21111(1)ln x x tx x t x t -=-=-=, 解得1ln 1t x t =-,2ln 1t tx t =-. 要证12112x x +>, 即证112ln ln t t t t t--+>, 即证212ln t t t ->, 即证12ln 0t t t-->. 设1()2(ln 1)m t t t tt =-->,则22121()1(1)0mt t t t t'=+-=-> 故()m t 单调递增, 所以()()10m t m >=, 因此原命题得证. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义以及利用导数求解函数的单调性与极值的问题,同时也考查了利用导数解决零点有关的不等式问题.需要根据题意设()211x tx t =>,再将所证不等式化简成关于t 的不等式,进而求导分析单调性与最值证明即可.属于难题. 21．在平面直角坐标系xOy 中，点()1,1P 在矩阵23a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点()3,3P '，求矩阵M 的特征值．【答案】特征值为1和3．【解析】根据矩阵变换计算可得1,0,a b =⎧⎨=⎩代入M 计算特征值即可.【详解】由21233133a a b b +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦,解得1,0,a b =⎧⎨=⎩所以1203⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M , 所以12()(1)(3)03f λλλλλ--==---.令()0f λ=,得1λ=或3λ=,即矩阵M 的特征值为1和3. 【点睛】本题主要考查了矩阵变换以及特征值的计算等.属于基础题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为11212x t t y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎫⎪=-⎪⎪⎝⎭⎩（t 为参数）．若曲线C 与直线:l y x =相交于点A ，B ，求线段AB 的长．【答案】4【解析】将11212x t t y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎫⎪=-⎪⎪⎝⎭⎩上下平方再分析可得2212y x -=,再联立直线:l y x =与曲线C 的直角坐标方程可得点A ,B ,坐标,进而求得线段AB 的长. 【详解】解法一：将曲线C的参数方程1121x t t y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎫⎪=-⎪⎪⎝⎭⎩,即22222211241122x t t y t t ⎧⎛⎫=++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+- ⎪⎪⎝⎭⎩化为普通方程得2212y x -=联立2212y x y x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩,解得x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以A,(B ,所以4AB ==.解法二：将曲线C的参数方程1121x t t y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎫⎪=-⎪⎪⎝⎭⎩代入直线l 中,得221)t =,解得1t =或1)t =-,所以A,(B ,所以4AB ==【点睛】本题主要考查了参数方程与直角坐标的互化,同时也考查了联立方程求解弦长的问题,属于中档题.23．已知1x ≥-，1y ≥-，且33+1x y ≤，求证223x y x y +++≤．【答案】见解析【解析】利用作差法证明321x x x ≥++与321y y y ≥++即可证明223x y x y +++≤.【详解】证明：因为1x ≥-,所以3221()(1)(1)0x x x x x +-+=-+≥, 故321x x x ≥++. 同理可得321y y y ≥++.所以2233113x x y y x y ++++++≤≤. 【点睛】本题主要考查了作差法证明不等式的问题,需要根据题意配凑需要证明的不等式,属于中档题.24．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2C y px =的准线方程为1x =-．（1）求p 的值；（2）过抛物线C 的焦点的直线l 交抛物线C 于点A ，B ，交抛物线C 的准线于点P ，若A 为线段PB 的中点，求线段AB 的长．【答案】（1）2（2）92【解析】(1)根据抛物线的准线标准方程求交集即可.(2) 设直线l 的方程为()1y k x =-,()()1122,,,A x y B x y 联立直线与抛物线的方程,利用韦达定理以及中点坐标表达A 为线段PB 的中点,代入可得14233k y k =-,28233ky k =+.再代入韦达定理124y y =-化简求解得28k =,继而利用弦长公式求解线段AB 的长即可. 【详解】（1）因为12p-=-,所以2p =. （2）因为直线l 交抛物线C 的准线于点P ,所以直线l 存在斜率. 设直线l 的方程为()1y k x =-,()()1122,,,A x y B x y .令1x =-,得2y k =-,所以(1,2)P k --.由24(1)y xy k x ⎧=⎨=-⎩,得2440ky y k --=. 因为直线l 与抛物线C 有两个交点,所以0k ≠,且22(4)4(4)16160k k k ∆=---=+>, 所以124y y k+=,124y y =-. 因为A 为线段PB 的中点, 所以1222y y k =-.由1212422y y k y y k ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩,得14233k y k =-,28233k y k =+. 因为12428243333k k y y k k ⎛⎫⎛⎫=-+=-⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 化简得422278(8)(1)0k k k k --=-+=, 解得28k =,故92AB ===. 【点睛】本题主要考查了联立直线与抛物线的方程,利用韦达定理与中点坐标公式等化简求解斜率的问题,同时也考查了弦长的公式与计算.属于中档题.25．已知集合1,2,3,},{A m =⋯，数列{})3(n a n ≥满足n a A ∈，n S 为数列{}n a 的前n 项和，记满足n S t =的数列{}n a 的个数为(),f n t ．（1）若2m =，求()4,5f ，()5,7f ；（2）若3m =，求(),22f n n -，(),22f n n +．【答案】（1）()4,54f =，(5,7)10f =（2）22220(,22)n rn r nn rr f n n C C-⎡⎤⎢⎥⎣⎦---=-=∑．22222(,22)C Cn r r r nn rr f n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦-+-=+=∑．【解析】(1)根据(),f n t 的定义,结合组合数求解即可.(2) 因为{}1,2,3n a ∈,故设数列{}n a 中有p 个1,q 个2,r 个3,再分别分析当22n S n =-与22n S n =+时r 满足的范围,再根据组合数的方法求解即可.【详解】（1）由题意得12345a a a a +++=且{}1,2n a ∈, 所以数列{}n a 中有一个为2,其余为1, 故()144,54f C ==,同理可得25(5,7)C 10f ==.（2）因为{}1,2,3n a ∈,所以设数列{}n a 中有p 个1,q 个2,r 个3, 则p q r n ++=.① （i ）因为22n S n =-, 所以2322p q r n ++=-.② 由①和②得22q r n +=-, 所以22q n r =--. 因为220q n r =--≥,所以22n r -≤. 又因为r ∈N ,所以22n r -⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦（22n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦为22n -的整数部分）又因为22q n r n r =--≤-, 所以2r ≥-,即202r n -⎡⎤≤≤⎢⎥⎣⎦, 所以22220(,22)n rn r nn rr f n n C C-⎡⎤⎢⎥⎣⎦---=-=∑.（ⅱ）因为22n S n =+, 所以2322p q r n ++=+.③ 由①和③得22q r n +=+, 所以22q n r =+-. 因为220q n r =+-≥,所以22n r +≤. 又因为r ∈N , 所以22n r +⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦（22n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦为22n +的整数部分）又因为22q n r n r =+-≤-, 所以2r ≥,即222r n +⎡≤⎤≤⎢⎥⎣⎦, 所以22222(,22)C Cn rr r nn rr f n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦-+-=+=∑.【点睛】本题主要考查了数列的新定义问题,需要根据所给的信息列出(),f n t 满足的关系式,分析其中的元素的个数,再结合组合数分析即可.属于难题.。

2020年江苏省高考数学模拟试卷(5)

22．（ 10 分）在直角坐标系
xoy 中，点
P（
0，﹣
1），曲线
??1：
{
??= ??=
?-1???+???????????（??t?为??参数），
其中 0≤α＜π，在以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2： ρ+ρcos2θ＝
8sinθ．
（Ⅰ）若
??=
??，求 4
C1 与
??= 6 ∴ a+b＝﹣ 2．
故答案为：﹣ 2．
2．（ 5 分）已知全集 U ＝ {1 ， 2， 3， 4} ，集合 A＝ {2 ， 3} ，集合 B＝ {1 ， 3} ，则 A∩（ ? UB）＝ {2}
【解答】解：∵全集 U＝ {1 ， 2， 3， 4} ，集合 A＝ {2 ， 3} ，集合 B＝ {1 ， 3} ，
﹣ ANC 与四棱锥 P﹣ ABCD 的体积的比值为
．
9．（ 5 分）已知点 P（ 2，2 √2）为抛物线 y2＝ 2px 上一点，那么点 P 到抛物线准线的距离是
．
10．（ 5 分）已知圆柱的底面直径与高都等于球的直径，若该球的表面积为
48π，则圆柱的
侧面积为
．
11．（ 5 分）设 [ x]表示不超过 x 的最大整数，如 [ π] ＝ 3，[ ﹣ 3.2] ＝﹣ 4，则 [ lg1]+[ lg2]+[ lg3]+ …
1 ．
4
【解答】解：设平行四边形 ABCD 的面积为 2S，则三角形 ABC 的面积为 S；设四棱锥 P
﹣ ABCD 的高为 2h，则三棱锥 N﹣ ABC 的高为 h，
∵ N 为线段 PB 的中点，

2020年江苏省南京市十校高考数学模拟试卷(5月份)

2020年江苏省南京市十校高考数学模拟试卷（5月份）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．（5分）已知集合2{|20}A x x x =-<，{|1}B x x =<，则A B=U．2．（5分）已知复数(2)(1)z a i i =++的实部为0，其中i 为虚数单位，a 为实数，则z = ． 3．（5分）如图，茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为．4．（5分）运行如图所示的伪代码，则输出的S 的值为．5．（5分）某兴趣小组有2名女生和3名男生，现从中任选2名学生去参加活动，则至多有一名男生的概率为．6．（5分）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5102S S =，则5151054S S S S +=- ．7．（5分）函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足()(2)f x f x =-，若f （1）3=，则f （1）f +（2）(50)f +⋯+= ．8．（5分）将函数()2sin()sin()63f x x x ππ=+-图象向左平移(0)ϕϕ>个单位，所得图象对应的函数恰为偶函数，则ϕ的最小值为．9．（5分）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且与x 轴垂直的直线与双曲线交于A ，B 两点，若123F F AB =，则双曲线的渐近线方程为． 10．（5分）如图，五边形ABCDE 由两部分组成，ABE ∆是以角B 为直角的直角三角形，四边形BCDE 为正方形，现将该图形以AC 为轴旋转一周，构成一个新的几何体．若形成的圆锥和圆柱的侧面积相等，则圆锥和圆柱的体积之比为．11．（5分）在平行四边形ABCD 中，26AD AB ==，60DAB ∠=︒，12DE EC =u u u r u u u r ，12BF FC =u u u r u u u r．若2FG GE =u u u r u u u r ，则AG BD =u u u r u u u rg ．12．（5分）已知在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若3cos a b C =，则111tan tan tan A B C++的最小值为． 13．（5分）已知圆22:4O x y +=，点(2,2)A ，直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，点E 在直线l 上且满足2PQ QE =u u u r u u u r．若22248AE AP +=，则弦PQ 中点M 的横坐标的取值范围为．14．（5分）函数32()(32)(1)x f x x a x a e =-+-g 的图象恰好经过三个象限，则实数a 的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2sin sin()3b A a B π=-．（1）求角B 的大小；（2）若2a =，3c =，求sin()A C -的值．16．（14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BCC B 是矩形，平面11ACC A ⊥平面11BCC B ，M 是棱1CC 上的一点．（1）求证：BC AM ⊥；（2）若N 是AB 的中点，且//CN 平面1AB M ，求证：M 是棱1CC 中点．17．（14分）疫情期间，某小区超市平面图如图所示，由矩形OABC 与扇形OCD 组成，30OA =米，50AB =米，6COD π∠=，经营者决定在O 点处安装一个监控摄像头，摄像头的监控视角3EOF π∠=，摄像头监控区域为图中阴影部分，要求点E 在弧CD 上，点F 在线段AB上．设FOC θ∠=．（1）求该监控摄像头所能监控到的区域面积S 关于θ的函数关系式，并求出tan θ的取值范围；（2）求监控区域面积S 最大时，角θ的正切值．18．（16分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为1F ，点A ，B 为椭圆的左、右顶点，点P 是椭圆上一点，且直线1PF 的倾斜角为4π，12PF =，已知椭圆的离心率为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 为椭圆上异于A ，B 的两点，若直线BN 的斜率等于直线AM 斜率的2倍，求四边形AMBN 面积的最大值．19．（16分）已知函数2()f x ax bx c =++，(a ，b ，)c R ∈，()x g x e =．（1）若1a b ==，1c =-，求函数()()()f x h xg x =在1x =处的切线方程；（2）若1a =，且1x =是函数()()()m x f x g x =的一个极值点，确定()m x 的单调区间；（3）若2b a =，2c =，且对任意0x …，()22()f x xg x +„恒成立，求实数a 的取值范围． 20．（16分）设数列{}n a （任意项都不为零）的前n 项和为n S ，首项为1，对于任意*n N ∈，满足12n n n a a S +=g ．（1）数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在k ，m ，*()n N k m n ∈<<，使得k a ，m a ，n a 成等比数列，且16k a ，4m a ，2na 成等差数列？若存在，试求k m n ++的值；若不存在，请说明理由；（3）设数列{}n b ，*1*,21,(0),2,n n n a n k k N b q q n k k N -⎧=-∈=>⎨=∈⎩，若由{}n b 的前r 项依次构成的数列是单调递增数列，求正整数r 的最大值．三、数学附加题（满分10分，考试时间30分钟）【选做题】在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．[选修42：矩阵与变换] 21．（10分）求椭圆22:1164x yC +=在矩阵104102A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下所得曲线C '的方程． [选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，已知圆C经过点P )4π，圆心为直线sin()3πρθ+=与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程． [选修4-5：不等式选讲]23．已知正数a ，b ，c 满足1abc =，求(2)(2)(2)a b c +++的最小值．六、【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．24．（10分）如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14AA =，2AB =，60BAD ∠=︒，E ，M ，N 分别是BC ，1BB ，1A D 的中点．（1）求异面直线1A M 与1C E 所成角的余弦值；（2）求二面角1A MA N --的平面角的正弦值．25．（10分）已知数列{}n a 满足123123232222n n n n n nn nC C C C a m ++++=++++⋯+，*n N ∈，其中m 为常数，24a =．（1）求m ，1a 的值；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并证明．2020年江苏省南京市十校高考数学模拟试卷（5月份）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．（5分）已知集合2{|20}A x x x =-<，{|1}B x x =<，则A B =U {|2}x x < ．【解答】解：Q 集合2{|20}{|02}A x x x x x =-<=<<， {|1}B x x =<， {|2}A B x x ∴=<U ．故答案为：{|2}x x <．2．（5分）已知复数(2)(1)z a i i =++的实部为0，其中i 为虚数单位，a 为实数，则z = 4i - ．【解答】解：(2)(1)(2)(2)z a i i a a i =++=-++Q 的实部为0， 20a ∴-=，即2a =，则4z i =，∴4z i =-．故答案为：4i -．3．（5分）如图，茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为143．【解答】解：由已知可得甲的平均成绩为889296923++=，方差为222132[(9288)(9292)(9692)]33-+-+-=；乙的平均成绩为909195923++=，方差为222114[(9290)(9291)(9592)]33-+-+-=，所以方差较小的那组同学成绩的方差为143．故答案为：1434．（5分）运行如图所示的伪代码，则输出的S 的值为 25 ．【解答】解：模拟运行如图所示的伪代码，如下；1I =，1S =；3I =，4S =； 5I =，9S =； 7I =，16S =； 9I =，25S =；所以输出的25S =．故答案为：25．5．（5分）某兴趣小组有2名女生和3名男生，现从中任选2名学生去参加活动，则至多有一名男生的概率为710．【解答】解：某兴趣小组有2名女生和3名男生，现从中任选2名学生去参加活动，基本事件总数2510n C ==，至多有一名男生包含的基本事件个数2112237m C C C =+=，则至多有一名男生的概率为710m p n ==．故答案为：710． 6．（5分）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5102S S =，则5151054S S S S +=- 8- ．【解答】解：Q 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，5102S S =，设公比为q ，且1q ≠，∴51011(1)(1)211a q a q q q --=⨯--，解得512q =-．∴5151151551510510511105(1)(1)4414(1)11(1)(1)1(1)11a q a q S S q q q qa q a q S S q q q q--+⨯+-+---==--------- 1114(1)288111(1)42+++==---+．故答案为：8-．7．（5分）函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足()(2)f x f x =-，若f （1）3=，则f （1）f +（2）(50)f +⋯+= 3 ．【解答】解：Q 函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足()(2)f x f x =-， ()(2)(2)f x f x f x ∴=-=--，即(2)()f x f x +=-，则(4)()f x f x +=，则函数()f x 的周期为4，f Q （1）3=，(0)0f ∴=，f （2）(0)0f ==，f （3）(1)f f =-=-（1）3=-，f （4）(0)0f ==，则f （1）f +（2）f +（3）f +（4）30300=+-+=，则f （1）f +（2）(50)f f +⋯+=（1）f +（2）12[f +（1）f +（2）f +（3）f +（4）]303=+=，故答案为：3．8．（5分）将函数()2sin()sin()63f x x x ππ=+-图象向左平移(0)ϕϕ>个单位，所得图象对应的函数恰为偶函数，则ϕ的最小值为12π．【解答】解：()2sin()sin()2sin()cos()sin(2)63663f x x x x x x πππππ=+-=++=+，将()f x 图象向左平移(0)ϕϕ>个单位，得到sin[2()]sin(22)33y x x ππϕϕ=++=++，Q 函数为偶函数，232k ππϕπ∴+=+，得26k πϕπ=+，得1212k πϕπ=+，k Z ∈，0ϕ>Q ，∴当0k =时，ϕ最小，最小为12πϕ=，故答案为：12π．9．（5分）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且与x 轴垂直的直线与双曲线交于A ，B 两点，若1232F F AB =，则双曲线的渐近线方程为 2y x =± ．【解答】解：双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且与x 轴垂直的直线与双曲线交于A ，B 两点，若1232F F AB =，可得23(,)3A c c -，可得：2222413c c a b -=，222c a b =+，可得222b a =，所以2ba=，所以双曲线的渐近线方程为：2y x =±．故答案为：2y x =±．10．（5分）如图，五边形ABCDE 由两部分组成，ABE ∆是以角B 为直角的直角三角形，四边形BCDE 为正方形，现将该图形以AC 为轴旋转一周，构成一个新的几何体．若形成的圆锥和圆柱的侧面积相等，则圆锥和圆柱的体积之比为33．【解答】解：五边形ABCDE 由两部分组成，ABE ∆是以角B 为直角的直角三角形，四边形BCDE为正方形，现将该图形以AC为轴旋转一周，构成一个新的几何体．若形成的圆锥和圆柱的侧面积相等，设正方形的边长为x，则1442x x x AE ππ⨯=⨯g，2AE x=，所以3AB x=，所以：圆锥和圆柱的体积之比为：2213333x xx xππ=gg．故答案为：33．11．（5分）在平行四边形ABCD中，26AD AB==，60DAB∠=︒，12DE EC=u u u r u u u r，12BF FC=u u u r u u u r．若2FG GE=u u u r u u u r，则AG BD=u u u r u u u rg21．【解答】解：以A为原点，AD为x轴，AD的垂线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则(0,0)A，333(,)2B，(6,0)D，733(,)2F，133(,)2E，设点G的坐标为(,)x y，Q2FG GE=u u u r u u u r，∴733133(,2()22x y x y-=-，解得1153,2x y=∴1153(2G．∴115393399153((,2122412AG BD⨯==-=u u u r u u u rg g．故答案为：21．12．（5分）已知在锐角ABC∆中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若3cosa b C=，则111tan tan tanA B C++的最小值为27．【解答】解：因为3cosa b C=，所以sin 3sin cos A B C =，可得sin()3sin cos B C B C +=，可得sin cos cos sin 3sin cos B C B C B C +=，所以cos sin 2sin cos B C B C =，可得tan 2tan C B =，所以2tan tan 3tan tan tan[()]tan()1tan tan 21B C BA B C B C B C tan B π+=-+=-+=-=--，所以221112111472tan 72tan 7272tan tan tan 3tan tan 2tan 6tan 36tan 36tan tan B tan B B B A B C B B B B B B -+++=++==+=g …，（当且仅当2tan 736tan B B=，即7tan B =时取“=” )．故答案为：27． 13．（5分）已知圆22:4O x y +=，点(2,2)A ，直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，点E 在直线l 上且满足2PQ QE =u u u r u u u r．若22248AE AP +=，则弦PQ 中点M 的横坐标的取值范围为17(--，17)-+ ．【解答】解：点E 在直线l 上且满足2PQ QE =u u u r u u u r ．可得M ，Q 为线段EP 的三等分点，先证明在三角形ABC 中，AM 为边BC 上的中线，即1()2AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r，可得2221(2)4AM AB AC AB AC =++u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g222221()4AB AC AB AC BC =+++-u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r ，则222222AB AC AM BM +=+，在三角形AEP 中，可得222222AE AM AQ QM +=+，222222AQ AP AM QM +=+，则22222222222(22)22()2AE AP AQ QM AM AP AQ AP QM AM +=+-+=++-22222(22)2AM QM QM AM =++- 223648AM QM =+=，即22216AM QM +=，即222(4)16AM OM +-=，所以2228AM OM -=，设(,)M x y ，可得2222(2)(2)2()8x y x y -+--+=，化为22440x y x y +++=，可令224x y +=，联立可得22230x x +-=，解得17x -±=，所以由M 在圆O 内，可得M 的横坐标17(x --∈，17)-+．故答案为：17(--，17)-+．14．（5分）函数32()(32)(1)x f x x a x a e =-+-g 的图象恰好经过三个象限，则实数a 的取值范围是 [1-，0)(0⋃，1] ．【解答】解：当0x >时，10x e ->；当0x <时，10x e -<，且(0)0f =，设32()32g x x a x a =-+，则22()333()()g x x a x a x a '=-=+-， ①当0a =时，()0g x '…恒成立，且只有(0)0g '=，∴函数()g x 在R 上单调递增，又(0)0g =，∴当0x >时，()0g x >，()0f x >；当0x <时，()0g x <，()0f x >， ∴函数()f x 的图象只经过第一象限和第二象限，不符合题意；②当0a >时，令()0g x '=，得x a =±，当(,)x a ∈-∞-和(,)a +∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增；当(,)x a a ∈-时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，∴函数()g x 的极大值为3()220g a a a -=+>，极小值为g （a ）322a a =-+Q 函数()()(1)x f x g x e =-g 的图象恰好经过三个象限， g ∴（a ）3220a a =-+…，解得：11a -剟，又0a >Q ，01a ∴<„；③当0a <时，令()0g x '=，得x a =±，当(,)x a ∈-∞和(,)a -+∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增；当(,)x a a ∈-时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，∴函数()g x 的极大值为g （a ）322a a =-+，极小值为3()220g a a a -=+<，Q 函数()()(1)x f x g x e =-g 的图象恰好经过三个象限， g ∴（a ）3220a a =-+„，解得：11a -剟，又0a <Q ，10a ∴-<„，终上所述，实数a 的取值范围是：[1-，0)(0⋃，1]，故答案为：[1-，0)(0⋃，1]．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2sin sin()3b A a B π=-．（1）求角B 的大小；（2）若2a =，3c =，求sin()A C -的值．【解答】解：（1）由正弦定理2sin sin()3b A a B π=-可化为： 2sin sin sin sin()3B A A B π=-，又(0,)B π∈，故sin 0A ≠．所以2sin sin()03B B π=->，∴2,(0,)3B B ππ-∈， ∴23B B π=-或()23B B ππ⎛⎫+-=⎪⎝⎭舍，故3B π=．（2）由（1）知3B π=，∴23A C π=-．由余弦定理得2222cos 7b a c ac B =+-=，∴7b =．∴723a b sinA sinB sinA==由得，解得3,7sinA a c =<结合，∴cos 7A =，所以2431sin 22sin cos ,cos2217A A A A cos A ===-=．所以22sin()sin(())sin(2)33A C A A A ππ-=--=-13sin 2cos 22A A =--143315327=-⨯-⨯=-． 16．（14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BCC B 是矩形，平面11ACC A ⊥平面11BCC B ，M 是棱1CC 上的一点．（1）求证：BC AM ⊥；（2）若N 是AB 的中点，且//CN 平面1AB M ，求证：M 是棱1CC 中点．【解答】（1）证明：Q 侧面11BCC B 是矩形，1BC CC ∴⊥，又平面11ACC A ⊥平面11BCC B ，而平面11ACC A ⋂平面111BCC B CC =， BC ⊂平面11BCC B ，BC ∴⊥平面11ACC A ，又AM ⊂平面平面11ACC A ，BC AM ∴⊥；（2）取1AB 的中点H ，连接NH ，HM ， N Q 是AB 的中点，1//NH BB ∴，112NH BB =，又在三棱柱111ABC A B C -中，11//BB CC ，且11BB CC =，M 是棱1CC 上的一点， //CM NH ∴，即CM ，NH 共面，又//CN 平面1AB M ，CN ⊂平面CNHM ，而面CNHM ⋂平面1AB M MH =， //CN MH ∴．∴四边形CNHM 为平行四边形，则//CM NH ，CM NH =，111122CM BB CC ∴==，即M 是棱1CC 中点．17．（14分）疫情期间，某小区超市平面图如图所示，由矩形OABC 与扇形OCD 组成，30OA =米，50AB =米，6COD π∠=，经营者决定在O 点处安装一个监控摄像头，摄像头的监控视角3EOF π∠=，摄像头监控区域为图中阴影部分，要求点E 在弧CD 上，点F 在线段AB上．设FOC θ∠=．（1）求该监控摄像头所能监控到的区域面积S 关于θ的函数关系式，并求出tan θ的取值范围；（2）求监控区域面积S 最大时，角θ的正切值．【解答】解：（1）扇形EOC 的面积为2125002500()502362ππθθ⨯-⨯=-，四边形OCBF 的面积为1303050302tan θ⨯-⨯⨯，故阴影部分的面积为25009()150050(25)6tan S πθθθ=+-+，因为003[,],tan 35πθθθ∈=，所以3tan [3]5θ∈；（2）设9()25tan h θθθ=+，则2222999()2525sin cos h sin sin θθθθθ---'=+=+，令()0h θ'=得33tan [3]45θ=∈，记其解为1θ，并且()h θ在0[θ，1)θ上单调递减，在1(,]3πθ上单调递增，所以1()()min h h θθ=，阴影部分的面积的最大值为12500150050()6h πθ+-，此时13tan 4θ=，故监控区域S最大时，角θ的正切值为34．18．（16分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左焦点为1F，点A，B为椭圆的左、右顶点，点P是椭圆上一点，且直线1PF的倾斜角为4π，12PF=，已知椭圆的离心率为2．（1）求椭圆C的方程；（2）设M，N为椭圆上异于A，B的两点，若直线BN的斜率等于直线AM斜率的2倍，求四边形AMBN面积的最大值．【解答】解：（1）因为22cea==，则2a c=，设右焦点为2F，在△12PF F中，12PF=，124PF Fπ∠=，由余弦定理可得222(22)2(2)222cos4a c cπ-=+-⨯⨯，解得2c2a=，2b，所以椭圆方程为22142x y+=；（2）设直线AM的斜率为k，则直线AM的方程为：(2)y k x=+，联立22(2)142y k xx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得2222(21)8840k x k x k+++-=，△422644(21)(84)0k k k=-+->，设1(M x，1)y，则21284221kxk--=+，即2122421kxk-=+，从而12421kyk=+，由2BN AMk k=，可得直线BN方程为2(2)y k x=-，联立222(2)142y k xx y=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得2222(81)323240k x k x k+-+-=，△2422324(81)(324)0k k k=-+->，设2(N x，2)y，则222324281kxk-=+，从而22881kyk=-+，由对称性，不妨设0k>，则四边形AMBN 的面积12221484()2()22181k kS y y k k =⨯⨯-=+++322144242411(21)(81)(8)(2)k k kkk k k k k k++=⨯=⨯+++222114424242411121610(4)2414k k kkk k k kkk k k++=⨯=⨯=+++++++，令14t k k=+，则4t …（当且仅当12k =时取等），则24241621342S t t ==++„，故S 的最大值为163． 19．（16分）已知函数2()f x ax bx c =++，(a ，b ，)c R ∈，()x g x e =．（1）若1a b ==，1c =-，求函数()()()f x h xg x =在1x =处的切线方程；（2）若1a =，且1x =是函数()()()m x f x g x =的一个极值点，确定()m x 的单调区间；（3）若2b a =，2c =，且对任意0x …，()22()f x xg x +„恒成立，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）1a b ==Q ，1c =-，∴2212(),()x x x x x x h x h x e e +--++='=， ∴2(1)h e '=，又1(1)h e=，∴12(1)y x e e-=-，即函数()()()f x h x g x =在1x =处的切线方程为210x ey --=；（2）1a =Q ，2()()x m x x bx c e ∴=++，2()[(2)]x m x x b x b c e '=++++， 1x =Q 是函数()m x 的一个极值点， m ∴'（1）0=，解得23c b =--，2()[(2)3](1)[(3)]x x m x x b x b e x x b e ∴'=++--=-++，令()0m x '=，解得11x =，23x b =--， 1x =Q 是一个极值点，31b ∴--≠，即4b ≠-，当31b -->，即4b <-时，由()0m x '>，解得(,1)x ∈-∞或(3,)x b ∈--+∞，由()0m x '<，解得(1,3)x b ∈--；当31b --<，即4b >-时，由()0m x '>，解得(,3)x b ∈-∞--或(1,)x ∈+∞，由()0m x '<，解得(3,1)x b ∈--；综上，当4b <-时，()m x 的单调递增区间为(,1)-∞，(3,)b --+∞，单调递减区间为(1,3)b --；当4b >-时，()m x 的单调递增区间为(,3)b -∞--，(1,)+∞，单调递减区间为(3,1)b --；（3）2b a =Q ，2c =，∴2()2222()xf x ax ax xg x e++=+„对任意0x …恒成立，即222(22)0x ax ax x e ++-+„对任意0x …恒成立，令2()22(22)x p x ax ax x e =++-+，(0)0p =，由p （1）3240a e =+-„得423e a -„， ()2(1)2(2)x p x a x x e '=+-+，①当0a „时，对任意0x …，()0p x '„，所以函数()y p x =再[0，)+∞上单调递减，故()(0)0p x p =„，则0a „符合题意； ②当4203e a -<„时，令()()2(1)2(2)x G x p x a x x e ='=+-+，则()22(3)x G x a x e '=-+，当0x …时，2(42)2(411)2(3)6,22(3)6033x xe e x e a x e --+-+-=<厔， ∴对任意0x …，()0G x '<，则函数()y G x =再[0，)+∞上单调递减，()(0)24G x G a ∴=-„，当240a -„，即02a <„时，对任意0x …，()()0G x p x ='„，则函数()y p x =在[0，)+∞上单调递鸡蛋，∴对任意0x …，()(0)0p x p =„恒成立，故02a <„符合题意；当240a ->，即4223e a -<„时，由(0)240G a =->，G （1）460a e =-<，得(0)G G （1）0<，又函数()G x 在[0，1]上的图象连续不间断，且单调递减，由零点存在性定理可得，存在唯一的0(0,1)x ∈，使得0()0G x =，∴当0(0,)x x ∈时，()()0G x p x ='>，∴函数()y p x =在0(0,)x 上单调递增，故当0(0,)x x ∈时，()0p x >，与题意不符；综上，实数a 的取值范围为(-∞，2]．20．（16分）设数列{}n a （任意项都不为零）的前n 项和为n S ，首项为1，对于任意*n N ∈，满足12n n n a a S +=g ．（1）数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在k ，m ，*()n N k m n ∈<<，使得k a ，m a ，n a 成等比数列，且16k a ，4m a ，2na 成等差数列？若存在，试求k m n ++的值；若不存在，请说明理由；（3）设数列{}n b ，*1*,21,(0),2,n n n a n k k N b q q n k k N -⎧=-∈=>⎨=∈⎩，若由{}n b 的前r 项依次构成的数列是单调递增数列，求正整数r 的最大值．【解答】解：（1）Q 数列{}n a 是非零数列，0n a ∴≠，当1n =时，12112a a a S ==，得22a =，当2n …时，11122n n n nn n n a a a a a S S +--=-=-g g ，得112n n a a +--=． ∴数列21{}n a -是首项为1，公差为2的等差数列，2{}n a 是首项为2，公差为2的等差数列．则2112(1)21n a a n n -=+-=-，222(1)2n a a n n =+-=． n a n ∴=；（2）设k ，m ，*()n N k m n ∈<<，由k a ，m a ，n a 成等比数列，得2m kn =，由16k a ，4m a ，2n a 成等差数列，得42216m k n =+．消去m 可得：222216k n k n =+，∴221621kn k =-．又3n Q …，∴216821kk >-，0k <<，*k N ∈．因此，1k =，2m =，4n =，7k m n ++=；（3）若{}n b 是单调递增数列，∴当n 是偶数时，111n n q n --<<+恒成立，两边取自然对数，可得(1)(1)(*)11ln n ln n lnq n n -+<<--，显然1q >．设函数()lnx f x x =，则21()lnxf x x -'=，可知当(0,)x e ∈时，()f x 单调递增，当(,)x e ∈+∞时，()f x 单调递减，()f x 在x e =处取得极大值．∴当4n …时，(1)1ln n n --是递减数列，1313ln ln <，则33ln 是(1)1ln n n --的最大值，33ln lnq >；设函数(2)()ln x g x x+=，得2(2)2()0(1)xln x x g x x x -++'=<…，∴(1)1ln x x +-是递减数列，当6n =时，7353ln ln >，当8n =时，9337732ln ln ln =<． ∴当26n 剟时，存在133q >，(*)成立，当8n =时，(*)右侧不等式不成立． ∴至多前8项是递增数列，即正整数r 的最大值是8．三、数学附加题（满分10分，考试时间30分钟）【选做题】在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．[选修42：矩阵与变换] 21．（10分）求椭圆22:1164x y C +=在矩阵104102A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下所得曲线C '的方程．【解答】解：设(,)P x y 是曲线C '上的任意一点，它是椭圆221164x y +=上的点1(,)P x y ''在矩阵104102⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应变换作用下的对应点，则：1044[]1022x y x xx y y y '''⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥'⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥''⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即：42x x y y '⎧=⎪⎪⎨'⎪=⎪⎩，所以42x x y y'=⎧⎨'=⎩代入椭圆221164x y +=，得到221x y +=．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，已知圆C经过点P )4π，圆心为直线sin()3πρθ+=与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．【解答】解：直线sin()3πρθ+12y +，所以与极轴的交点坐标为(1,0)．点(2P ，)4π，转换为直角坐标为(1,1)，所以圆的方程为：22(1)1x y -+=．所以0ρ=或2cos ρθ=，由于0ρ=表示极点也在圆上，所以圆的极坐标方程为2cos ρθ=． [选修4-5：不等式选讲]23．已知正数a ，b ，c 满足1abc =，求(2)(2)(2)a b c +++的最小值．【解答】解：Q 正数a ，b ，c 满足1abc =， (2)(2)(2)(11)(11)(11)a b c a b c ∴+++=++++++33333332727a b c abc ==g g …，当且仅当1a b c ===时取等号． (2)(2)(2)a b c ∴+++的最小值为27．六、【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．24．（10分）如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14AA =，2AB =，60BAD ∠=︒，E ，M ，N 分别是BC ，1BB ，1A D 的中点．（1）求异面直线1A M 与1C E 所成角的余弦值；（2）求二面角1A MA N --的平面角的正弦值．【解答】解：（1）由直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，60BAD ∠=︒，E 为BC 的中点，可得DE BC ⊥，又//AD BC ，可得DE AD ⊥，故以D 为坐标原点，DA u u u r的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则11(2,0,4),3,2),(3,4),3,0)A M C E -，故11(3,2),(1,0,4)A M C E =--=-u u u u r u u u u r，∴111111734cos ,||||817A M C E A M C E A M C E <>===⨯u u u u r u u u u ru u u u r u u u u r g u u u u r u u u u r ，∴异面直线1A M 与1C E 所成角的余弦值为734；（2）111(1,0,2),(0,0,4),(1,3,2),(1,0,2),(0,3,0)N A A A M A N MN =-=--=--=-u u u r u u u u r u u u u r u u u u r，设平面1A MA 的一个法向量为(,,)m x y z =r ，则1132040m A M x y z m A A z ⎧=-+-=⎪⎨=-=⎪⎩u u u u r r g u u u rr g ，可取(3,1,0)m =r ，设平面1A MN 的一个法向量为(,,)n a b c =r ，则13020n MN b n A N a c ⎧=-=⎪⎨=--=⎪⎩u u u u r r g u u u u rr g ，可取(2,0,1)n =-r ， ∴2315cos ,||||25m n m n m n <>===⨯r rg r rr r ，∴二面角1A MA N --的平面角的正弦值为10．25．（10分）已知数列{}n a 满足123123232222n n n n n nn nC C C C a m ++++=++++⋯+，*n N ∈，其中m 为常数，24a =．（1）求m ，1a 的值；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并证明．【解答】解：（1）因为123123232222nn n n n nn nC C C C a m ++++=++++⋯+，所以234a m =+=，所以1m =，此时112a m =+=；（2）猜想：2n n a =，用数学归纳法证明如下： ①当1n =时，由（1）可知结论成立，②假设n k =时结论成立，则有12312323122222k k k k k k k k k C C C C a ++++=++++⋯⋯+=，则1n k =+时，123111121311123112222k k k k k k k kC C C C a ++++++++++++=++++⋯⋯+，由111k k kn nn C C C +++=+ 得： 102132110121111223311123111231231122222222222k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k C C C C C C C C C C C C C C a -+-++++++++++++++++++++++++++=++++⋯⋯++=++++⋯⋯++，12111211002311221111111121121112()2()2222222222k k k k k kk k k k k k k k k k k k k k kk k k k k k kC C C C C C C C C a C C -+-+++++++++++++++++++--+∴=++++⋯⋯++=++++⋯⋯++又111111(21)!(22)(21)!(21)!(1)12!(1)!(1)!(1)!(1)!(1)!2k k k kk k k k k k k C C k k k k k k k ++++++++++++====+++++ 1211023111111121112()222222k k k kk k k k k k k k k k k k C C C C C C -+++++-++++++-+=++++⋯⋯+++，于是11122k k k a a ++=+，所以112k k a ++=，故1n k =+时结论也成立，由①②得，*2,n n a n N =∈，。

2020年江苏省南京市高考数学模拟试卷(5月份)

2020年江苏省南京市高考数学模拟试卷（5月份）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）设集合{|32M m m =-<<，}m Z ∈，N R =，则M N =I ． 2．（5分）复数1iz i=+复平面上对应的点位于第象限． 3．（5分）某次测验，将20名学生平均分为两组，测验结果两组学生成绩的平均分和标准差分别为90，6；80，4．则这20名学生成绩的方差为． 4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为．5．（5分）抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记所得的数字分别为x ，y ，则xy为整数的概率是． 6．（5分）函数()(3)x f x x e =-的单调递增区间是．7．（5分）已知双曲线22135x y m m +=-+的离心率为43，那么此双曲线的准线方程为．8．（5分）已知正四棱锥P ABCD -的体积为43，底面边长为2，则侧棱PA 的长为．9．（5分）已知函数()sin()(02)6f x x πωω=+<<，若2()13f π=，则函数()y f x =的最小正周期为．10．（5分）已知等差数列{}n a 满足：18a =-，26a =-．若将1a ，4a ，5a 都加上同一个数m ，所得的三个数依次成等比数列，则m 的值为．11．（5分）设函数()3sin()3f x x ππ=+和()sin()6g x x ππ=-的图象在y 轴左、右两侧靠近y轴的交点分别为M ，N ，已知O 为原点，则OM ON =u u u u r u u u rg ． 12．（5分）设()sin 2cos2(f x a x b x a =+，)b R ∈，若()f x 的最大值为5，则a b +的取值范围为．13．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知2b =，且cos2cos cos()1B B A C ++-=，则2a c +的最小值为．14．（5分）已知正实数x ，y 满足24310x y x y+++=，则xy 的取值范围为．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（14分）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量(sin ,),(1,sin )m A a n B ==r r（1）当2sin m n A =r rg 时，求b 的值；（2）当//m n r r 时，且1cos 2C a =，求tan tan A B g 的值．16．（14分）如图，四棱锥A BCDE -中，AB 、BC 、BE 两两垂直且AB BC BE ==，//DE BC ，2DE BC =，F 是AE 的中点．（1）求证：//BF 面ACD ；（2）求证：面ADE ⊥面ACD ．17．（14分）为解决城市的拥堵问题，某城市准备对现有的一条穿城公路MON 进行分流，已知穿城公路MON 自西向东到达城市中心点O 后转向东北方向（即3)4AOB π∠=．现准备修建一条城市高架道路L ，L 在MO 上设一出入口A ，在ON 上设一出入口B ．假设高架道路L 在AB 部分为直线段，且要求市中心O 与AB 的距离为10km ．（1）求两站点A ，B 之间距离的最小值；（2）公路MO 段上距离市中心30O km 处有一古建筑群C ，为保护古建筑群，设立一个以C 为圆心，5km 为半径的圆形保护区．则如何在古建筑群C 和市中心O 之间设计出入口A ，才能使高架道路L 及其延伸段不经过保护区（不包括临界状态）？18．（16分）已知点M 是圆22:(1)8C x y ++=上的动点，定点(1,0)D ，点P 在直线DM 上，点N 在直线CM 上，且满足2DM DP =u u u u r u u u r ，0NP DM =u u u r u u u u rg ，动点N 的轨迹为曲线E ．（Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）若AB 是曲线E 的长为2的动弦，O 为坐标原点，求AOB ∆面积S 的最大值． 19．（16分）设首项为1a 的正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，q 为非零常数，已知对任意正整数n ，m ，m n m m n S S q S +=+总成立．（Ⅰ）求证：数列{}n a 是等比数列；（Ⅱ）若不等的正整数m ，k ，h 成等差数列，试比较m hm h a a g 与2k k a 的大小；（Ⅲ）若不等的正整数m ，k ，h 成等比数列，试比较11m h m h a a g 与2k ka 的大小． 20．（16分）已知函数()x f x e ax =+，()(x g x e lnx e =是自然对数的底数）．（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线也是抛物线24(1)y x =-切线，求a 的值；（2）若对于任意x R ∈，()0f x >恒成立，试确定实数a 的取值范围；（3）当1a =-时，是否存在0(0,)x ∈+∞，使曲线:()()C y g x f x =-在点0x x =处的切线斜率与()f x 在R 上的最小值相等？若存在，求符合条件的0x 的个数；若不存在，请说明理由． [选做题]（本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在答题相应的区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）[选修4-2：矩阵与变换]（10分）21．（10分）设矩阵1221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求矩阵A 的逆矩阵的特征值及对应的特征向量． [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在极坐标系中，求曲线2cos ρθ=关于直线()4R πθρ=∈对称的曲线的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．若关于x 的不等式20x ax b -+<的解集为(1,2)，求函数()((f x a b =--[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） 24．（10分）某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作．规定：至少正确完成其中2题的便可提交通过．已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成．（1）求出甲考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；（2）若考生乙每题正确完成的概率都是23，且每题正确完成与否互不影响．试从至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力．25．（10分）已知30123(1)(1)(1)(1)(1)n n n x a a x a x a x a x +=+-+-+-+⋯+-，（其中*)n N ∈ （1）求0a 及1nn i i S a ==∑；（2）试比较n S 与2(2)22n n n -+的大小，并说明理由．2020年江苏省南京市高考数学模拟试卷（5月份）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）设集合{|32M m m =-<<，}m Z ∈，N R =，则M N =I {2-，1-，0，1} ．【解答】解：{2M =-Q ，1-，0，1}，N R =， {2M N ∴=-I ，1-，0，1}．故答案为：{2-，1-，0，1}．2．（5分）复数1iz i =+复平面上对应的点位于第一象限．【解答】解：Q 复数(1)1111(1)(1)222i i i i i i i i -+===+++-，∴复数对应的点的坐标是1(2，1)2∴复数1ii+在复平面内对应的点位于第一象限，故答案为：一3．（5分）某次测验，将20名学生平均分为两组，测验结果两组学生成绩的平均分和标准差分别为90，6；80，4．则这20名学生成绩的方差为 51 ．【解答】解：设1x ，2nx x ⋯的方差22222222222212121212111[()()()][2()][]n n n n S x x x x x x x x x x x x x nx x x x nx n n n=-+-+⋯+-=++⋯+-++⋯++=++⋯+-2222212n x x x nS nx ∴++⋯+=+，则222212101036109081360x x x ++⋯+=⨯+⨯=，22221112201016108064160x x x ++⋯+=⨯+⨯=，122010901080852020x x x ++⋯+⨯+⨯==．222222122011[20][81360641602085]512020S x x x x ∴=++⋯+-=+-⨯=，故答案是：51．4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 8 ．【解答】解：第1次循环：0k =，1S =；第2次循环：1122S =⨯=，2k =；第3次循环：2228S =⨯=，3k =；此时不满足循环条件3k <，输出8S =．故答案为：8．5．（5分）抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记所得的数字分别为x ，y ，则x y 为整数的概率是 12．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，Q 试验发生包含的事件是抛掷甲、乙两枚质地均匀的正四面体，记所得的数字分别为x ，y ，共有4416⨯=种结果，满足条件的事件是xy为整数，包括当1y =时，有4种结果，当2y =时，有2种结果，当3y =时，有1种结果，当4y =时，有1种结果，共有42118+++=种结果，∴根据古典概型概率公式得到81162P ==，故答案为：126．（5分）函数()(3)x f x x e =-的单调递增区间是 (2,)+∞ ．【解答】解：()(2)x f x x e '=-Q ，令()0f x '>，解得：2x >，()f x ∴在(2,)+∞递增，故答案为：(2,)+∞．7．（5分）已知双曲线22135x y m m +=-+的离心率为43，那么此双曲线的准线方程为y = ．【解答】解：Q 双曲线22135x y m m +=-+的离心率为43，(3)(5)0m m ∴-+<，43c a =，53m ∴-<<，531659m m m ++-=+，12m ∴=-，a ∴，c =，∴双曲线的准线方程为8y =±故答案为：y =．8．（5分）已知正四棱锥P ABCD -的体积为43，底面边长为2，则侧棱PA【解答】解：设正方形ABCD 的中心为点O ，则由底面边长为2可得OA 再根据正四棱锥P ABCD -的体积为214233PO =g g ，求得棱锥的高1PO =，故PA ==9．（5分）已知函数()sin()(02)6f x x πωω=+<<，若2()13f π=，则函数()y f x =的最小正周期为 4π ．【解答】解：由于()sin()(02)6f x x πωω=+<<，22()sin()1336f πππω=+=，∴22362k πππωπ+=+ k z ∈，即132k ω=+，12ω∴=，1()sin()26f x x π=+，故函数()f x 的最小正周期为2412ππ=，故答案为：4π．10．（5分）已知等差数列{}n a 满足：18a =-，26a =-．若将1a ，4a ，5a 都加上同一个数m ，所得的三个数依次成等比数列，则m 的值为 1- ．【解答】解：已知等差数列{}n a 中，18a =-，26a =-，∴公差212d a a =-=，1(1)210n a a n d n ∴=+-=-．将1a ，4a ，5a 都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，设所加的这个数为x ，则有2415()()()a x a x a x +=++，即 2(2)(8)(0)x x x -+=-++，解得 1x =-．故答案为1-．11．（5分）设函数())3f x x ππ=+和()sin()6g x x ππ=-的图象在y 轴左、右两侧靠近y轴的交点分别为M ，N ，已知O 为原点，则OM ON =u u u u r u u u r g 89- ．【解答】解：根据题意，令()()f x g x =，即()()0f x g x -=，)sin())cos()3633x x x x ππππππππ+--+-+2sin()36x πππ=+- 2sin()06x ππ=+=，所以6x k πππ+=，其中k Z ∈，化简，得16x k =-，k Z ∈，所以1(6M -，5(6N，，则1(6OM ON =-u u u u r u u u r g5(6g，158(669=-⨯=-． 12．（5分）设()sin 2cos2(f x a x b x a =+，)b R ∈，若()f x，则a b +的取值范围为 [．【解答】解：()sin 2cos 2)(f x a x b x x a θ=++Q ，)b R ∈，若()f x ，225a b ∴+=， 222()22(a b a b ab ∴+=++„22a b + )10=，a b+a b +的取值范围为[，故答案为：[．13．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知2b =，且cos2cos cos()1B B A C ++-=，则2a c +的最小值为【解答】解：由cos2cos cos()1B B A C ++-=212sin cos cos cos sin sin 1B B A C A C ⇒-+++=212sin cos cos sin sin cos cos sin sin 1B A C A C A C A C ⇒--+++= 2sin sin sin A C B ⇒=，由正弦定理得到2ac b =，而22a c +=…由2b =，可得(2)min a c +=故答案为：14．（5分）已知正实数x ，y 满足24310x y x y +++=，则xy 的取值范围为 [1，8]3．【解答】解：设xy m =，则mx y=， Q 24310x y x y+++=， ∴24310m y y y m y+++=，整理得22(23)1040m y my m m +-++=，x Q ，y 是正实数，∴△0…，即221004(23)(4)0m m m m -++…，整理得(38)(1)0m m m --„，解得813m剟，或0m „（舍去） xy ∴的取值范围是[1，8]3故答案为：[1，8]3二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（14分）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量(sin ,),(1,sin )m A a n B ==r r（1）当2sin m n A =r rg 时，求b 的值；（2）当//m n r r 时，且1cos 2C a =，求tan tan A B g 的值．【解答】解：（1）由题意得：sin sin 2sin m n A a B A =+=r rg ，⋯（2分）即得1sin sin a A B=，在三角形中由正弦定理有：sin sin a bA B=，⋯（4分）由以上两式可知：1b =．⋯（6分）（2）由平行条件得sin sin a A B =g ，⋯（8分）1cos cos()sin sin cos cos 2C A B A B A B a =-+=-=，⋯（10分）则可得到：1cos cos 2A B a =，⋯（12分）∴sin sin tan tan 2cos cos A BA B A B==．⋯（14分）16．（14分）如图，四棱锥A BCDE -中，AB 、BC 、BE 两两垂直且AB BC BE ==，//DE BC ，2DE BC =，F 是AE 的中点．（1）求证：//BF 面ACD ；（2）求证：面ADE ⊥面ACD ．【解答】证明：（1）取AD 的中点M ，连接CM 、MF ．F Q 、M 分别为AE 、AD 中点，//2DE MF =∴，又//2DE BC =Q ，//FM BC =∴，∴四边形BCMF 为平行四边形，//CM BF ∴，又BF ⊂/Q 面ACD ，CM ⊂面ACD ，//BF ∴面ACD ．⋯（6分）（2）作DE 中点N ，连接CN ，//2DE BC =Q ，N 为DE 中点N ，DN BC ∴=，又AB Q 、BC 、BE 两两垂直，且AB BC BE ==，AC CD ∴=，M Q 为AD 中点，CM AD ∴⊥，又F Q 是AE 的中点，且AB BE =，BF AE ∴⊥，//CM BF Q ，CM AE ∴⊥，又AD AE A =Q I ，AE 、AD ⊂面ADE ，CM ∴⊥面ADE ，CM ⊂Q 面ACD ，∴面ADE ⊥面ACD ．⋯（14分）17．（14分）为解决城市的拥堵问题，某城市准备对现有的一条穿城公路MON 进行分流，已知穿城公路MON 自西向东到达城市中心点O 后转向东北方向（即3)4AOB π∠=．现准备修建一条城市高架道路L ，L 在MO 上设一出入口A ，在ON 上设一出入口B ．假设高架道路L 在AB 部分为直线段，且要求市中心O 与AB 的距离为10km ．（1）求两站点A ，B 之间距离的最小值；（2）公路MO 段上距离市中心30O km 处有一古建筑群C ，为保护古建筑群，设立一个以C 为圆心，5km 为半径的圆形保护区．则如何在古建筑群C 和市中心O 之间设计出入口A ，才能使高架道路L 及其延伸段不经过保护区（不包括临界状态）？【解答】解：（1）过点O 作OE AB ⊥于点E ，则10OE =，设AOE α∠=，则42ππα<<，所以34BOE πα∠=-，所以35210tan 110tan()4cos cos()4AB AE BE πααπαα=+=++-=-g ；解得312cos cos()sin(2)424ππααα-=--；所以当38πα=时，AB 取得最小值为20(21)+；（2）以O 为原点建立平面直角坐标系，如图所示；则圆C 的方程为22(30)25x y ++=，设直线AB 的方程为y kx t =+，(0,0)k t >>；∴2101k =+， ∴251k>+，解得20t k <或60t k >（舍)，20OA ∴<，又当//AB ON 时，2OA → 所以10220OA <；综上知，当20OA <<时，即设计出入口A 离市中心O的距离在到20km 之间时，才能使高架道路L 及其延伸段不经过保护区（不包括临界状态）．18．（16分）已知点M 是圆22:(1)8C x y ++=上的动点，定点(1,0)D ，点P 在直线DM 上，点N 在直线CM 上，且满足2DM DP =u u u u r u u u r ，0NP DM =u u u r u u u u rg ，动点N 的轨迹为曲线E ．（Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）若AB 是曲线E 的长为2的动弦，O 为坐标原点，求AOB ∆面积S 的最大值．【解答】（Ⅰ）解：因为2DM DP =u u u u r u u u r ，0NP DM =u u u r u u u u rg ，所以NP 为DM 的垂直平分线，所以||||ND NM =，又因为||||CN NM +=所以||||2CN ND +=>⋯（4分）所以动点N 的轨迹是以点(1,0)C -，(1,0)D为焦点的长轴为所以轨迹E 的方程为2212x y +=．⋯（7分）（Ⅱ）解法一：因为线段AB 的长等于椭圆短轴的长，要使三点A 、O 、B 能构成三角形，则弦AB 不能与x 轴垂直，故可设直线AB 的方程为y kx m =+，由2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，并整理，得222(12)4220k x kmx m +++-=．⋯（9分）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，又△2222164(12)(22)0k m k m =-+->，所以122412kmx x k +=-+，21222(1)12m x x k -=⋯+（10分）因为||2AB =2=，即222112(1)[()4]4k x x x x ++-=所以2222248(1)(1)[()]41212km m k k k -+--=++，即2212(1)1m k=-+，因为211k +…，所以2112m <„．⋯（12分）又点O 到直线AB的距离h ，因为1||2S AB h h ==g ，所以222222112(1)2()22S h m m m ==-=--+⋯（14分）所以2102S <„，即S．⋯（15分）（Ⅱ）解法二：因为线段AB 的长等于椭圆短轴的长，要使三点A 、O 、B 能构成三角形，则弦AB 不能与x 垂直，故可设直线AB 的方程为y kx m =+，由2212y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，并整理，得222(12)4220k x kmx m +++-=．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，又△2222164(12)(22)0k m k m =-+->，所以122412kmx x k +=-+，21222(1)12m x x k -=+．⋯（10分）因为||2AB =2=．因为221212(1)[()4]4k x x x x ++-=，所以2222248(1)(1)[()]41212km m k k k -+--=++，所以222212(1)k m k +=+，⋯（12分）又点O 到直线AB的距离h ，所以1||2S AB h h ==g ．所以2222222222211112(1)12(1)m k S h k k k k +====-++++．设211t k=+，则221(01)2S t t t =-+<„，⋯（14分）所以2102S <„，即S．⋯（15分）19．（16分）设首项为1a 的正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，q 为非零常数，已知对任意正整数n ，m ，m n m m n S S q S +=+总成立．（Ⅰ）求证：数列{}n a 是等比数列；（Ⅱ）若不等的正整数m ，k ，h 成等差数列，试比较m hm h a a g 与2k k a 的大小；（Ⅲ）若不等的正整数m ，k ，h 成等比数列，试比较11m h m h a a g 与2k ka 的大小．【解答】（Ⅰ）证：因为对任意正整数n ，m ，m n m m n S S q S +=+总成立，令1n m ==，得211S S qS =+，则21a qa =令1m =，得11n n S S qS +=+（1），从而211n n S S qS ++=+（2），（2）-（1）得21n n a qa ++=，(1)n …综上得1(1)n n a qa n +=…，所以数列{}n a 是等比数列（Ⅱ）正整数m ，k ，h 成等差数列，则2m h k +=，所以22221()22m h m h k +>+=，则22222111m h m m mh hhk mh m hmh a a a q a q a q --+--==g①当1q =时，221m h k km h k a a a a ==g②当1q >时，2222222122111()m h k m h m hk kkk k kmh k a a a q a q a q a +----=>==g③当01q <<时，2222222122111()m hk m h m hk kkk k kmh k a a a q a q a q a +----=<==g（Ⅲ）正整数m ，k ，h 成等比数列，则2m h k =g ，则112m h k+>=，所以111111111121121111()()()m h m h mhm h m hm h mha a a a q a qa qq q +--+--===g ，2221()kk k a a q q=①当1a q =，即11a q=时，11222mh k k mh k k a a a q a ===g ②当1a q >，即11a q>时，1111222211()()m h m h k km h k a a a a q q a q q +=>=g ③当1a q <，即11a q<时，1111222211()()mh m h k k mh k a a a a q q a q q +=<=g 20．（16分）已知函数()x f x e ax =+，()(x g x e lnx e =是自然对数的底数）．（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线也是抛物线24(1)y x =-切线，求a 的值；（2）若对于任意x R ∈，()0f x >恒成立，试确定实数a 的取值范围；（3）当1a =-时，是否存在0(0,)x ∈+∞，使曲线:()()C y g x f x =-在点0x x =处的切线斜率与()f x 在R 上的最小值相等？若存在，求符合条件的0x 的个数；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）()x f x e a '=+，把1x =代入得：f '（1）e a =+，把1x =代入()f x 得：f （1）e a =+，所以切点坐标为(1,)e a +，则在1x =处的切线为()()(1)y e a e a x -+=+-即：()y e a x =+，与24(1)y x =-联立，消去得22()440e a x x +-+=，由△0=知，1a e =-或1a e =--；（4分）（2）()x f x e a '=+，①当0a >时，()0f x '>，()f x 在R 上单调递增，且当x →-∞时，0x e →，ax →-∞， ()f x ∴→-∞，故()0f x >不恒成立，所以0a >不合题意；（6分） ②当0a =时，()0x f x e =>对x R ∈恒成立，所以0a =符合题意； ③当0a <时令()0x f x e a '=+=，得()x ln a =-，当(x ∈-∞，())ln a -时，()0f x '<，当(()x ln a ∈-，)+∞时，()0f x '>，故()f x 在(-∞，())ln a -上是单调递减，在(()ln a -，)+∞上是单调递增，所以[()](())()0min f x f ln a a aln a =-=-+->，解得a e >-，又0a <，(,0)a e ∴∈-，综上：(a e ∈-，0]．（10分）（3）当1a =-时，由（2）知[()](())()1min f x f ln a a aln a =-=-+-=，设()()()x x h x g x f x e lnx e x =-=-+，则11()1(1)1x x x x h x e lnx e e e lnx x x'=+-+=+-+g ，假设存在实数0(0,)x ∈+∞，使曲线:()()C y g x f x =-在点0x x =处的切线斜率与()f x 在R 上的最小值相等， 0x 即为方程的解，（13分）令()1h x '=得：1(1)0x e lnx x +-=，因为0x e >，所以110lnx x+-=．令1()1x lnx x ϕ=+-，则22111()x x x x xϕ'-=-=，当01x <<时()0x ϕ'<，当1x >时()0x ϕ'>，所以1()1x lnx xϕ=+-在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， ()x ϕϕ∴>（1）0=，故方程1(1)0x e lnx x+-=有唯一解为1，所以存在符合条件的0x ，且仅有一个01x =．（16分）[选做题]（本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在答题相应的区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）[选修4-2：矩阵与变换]（10分）21．（10分）设矩阵1221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求矩阵A 的逆矩阵的特征值及对应的特征向量．【解答】解：12||14321A ==-=-，12*21A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦， A 的逆矩阵为112133*21||33A A A -⎡⎤-⎢⎥=⨯=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，则特征多项式为221421()()3933f λλλλ=+-=+-，令()0f λ=，解得：11λ=-，213λ=，设特征向量为x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则12332133x x y y ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎢⎥⎣⎦，可知特征值11λ=-，对应的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，同理可得特征值213λ=，对应的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦．⋯（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在极坐标系中，求曲线2cos ρθ=关于直线()4R πθρ=∈对称的曲线的极坐标方程．【解答】解法一：以极点为坐标原点，极轴为x 轴建立直角坐标系，则曲线2cos ρθ=的直角坐标方程为22(1)1x y -+=，且圆心C 为(1,0)．直线4πθ=的直角坐标方程为y x =，因为圆心(1,0)C 关于y x =的对称点为(0,1)，所以圆心C 关于y x =的对称曲线为22(1)1x y +-=，所以曲线2cos ρθ=关于直线()4R πθρ=∈对称的曲线的极坐标方程为2sin ρθ=．解法二：设曲线2cos ρθ=上任意一点为(,)ρθ''，其关于直线4πθ=对称点为(,)ρθ则22k ρρπθπθ'=⎧⎪⎨'=+-⎪⎩，将(,)ρθ''，代入(,)ρθ''，得2cos()2πρθ=-，即2sin ρθ=，所以曲线2cos ρθ=关于直线4πθ=对称的曲线的极坐标方程为2sin ρθ=．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．若关于x 的不等式20x ax b -+<的解集为(1,2)，求函数()((f x a b =--【解答】解：关于x 的不等式20x ax b -+<的解集为(1,2)，可得1，2是方程20x ax b -+=的两根，即有12a +=，12b ⨯=，解得3a =，2b =，则函数()((f x a b =-- 由30x -…，40x -…可得34x 剟，由柯西不等式可得，2(41)(34)x x +-+-„，即有．当19[35x =∈，4]时， ()f x．[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） 24．（10分）某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作．规定：至少正确完成其中2题的便可提交通过．已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成．（1）求出甲考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；（2）若考生乙每题正确完成的概率都是23，且每题正确完成与否互不影响．试从至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力．【解答】解：（Ⅰ）设考生甲正确完成实验操作的题数分别为X ，则34236()k k C C P X k C -==，1k =，2，3．所以考生甲正确完成实验操作的题数的概率分布列为：1311232555EX ∴=⨯+⨯+⨯=．（Ⅱ）设考生乙正确完成实验操作的题数为Y ，则2~(3,)3Y B ，所以3321()()()33k k k P Y k C -==，0k =，1，2，3，12820(2)272727P Y =+=…；又314(2)555P X =+=…，且(2)(2)P X P Y >厖，从至少正确完成2题的概率考察，甲通过的可能性大，因此甲的实验操作能力较强． 25．（10分）已知30123(1)(1)(1)(1)(1)n n n x a a x a x a x a x +=+-+-+-+⋯+-，（其中*)n N ∈ （1）求0a 及1nn i i S a ==∑；（2）试比较n S 与2(2)22n n n -+的大小，并说明理由．【解答】解：（1）令1x =，则02n a =，令2x =，则03nn i i a ==∑，32n n n S ∴=-；----------------------（3分）（2）要比较n S 与2(2)22n n n -+的大小，即比较：3n 与2(1)22n n n -+的大小，当1n =时，23(1)22n n n n >-+；当2n =，3时，23(1)22n n n n <-+；当4n =，5时，23(1)22n n n n >-+；-----------------------------------（5分）猜想：当4n …时4n …时，23(1)22n n n n >-+，下面用数学归纳法证明：由上述过程可知，44n n ==时结论成立，假设当(4)n k k n k ==…，(4)k …时结论成立，即23(1)22n n n n >-+，两边同乘以3 得：1212233[(1)22]22(1)[(3)2442]k k k k k k k k k k k ++>-+=+++-+--而22112(3)2442(3)24(2)6(2)24(2)(1)603[(1)1]22(1)k k k k k k k k k k k k k k k k ++-+--=-+--+=-+-++>∴>+-++即1n k =+时结论也成立，∴当4n …时，23(1)22n n n n >-+成立．综上得，当1n =时，23(1)22n n n n >-+；当2n =，3时，23(1)22n n n n <-+；当4n …，*n N ∈时，23(1)22n n n n >-+--（10分）。

2020年5月江苏省南京市普通高中2020届高三下学期高考模拟考试数学试题(解析版)

绝密★启用前江苏省南京市普通高中2020届高三毕业班下学高考模拟考试数学试题(解析版)2020年5月一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1.设集合M ＝{m |﹣3＜m ＜2，m ∈Z }，N ＝R ，则M ∩N ＝_____．【答案】{﹣2，﹣1，0，1}【解析】【分析】可以求出集合M ，然后进行交集的运算即可．【详解】∵M ＝{﹣2，﹣1，0，1}，N ＝R ，∴M ∩N ＝{﹣2，﹣1，0，1}．故答案为：{﹣2，﹣1，0，1}．【点睛】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算,考查了计算能力,属于基础题．2.复数z 1i i=+复平面上对应的点位于第_____象限．【答案】一【解析】【分析】首先进行复数的除法运算,分子和分母同乘以分母的共轭复数,分母变成一个实数,分子进行复数的乘法运算,整理成复数的标准形式,写出对应点的坐标,看出所在的象限．【详解】∵复数()()()1111111222i i i i i i i i -+===+++-,∴复数对应的点的坐标是（12,12） ∴复数1i i+在复平面内对应的点位于第一象限, 故答案为：一【点睛】本题考查复数的实部和虚部的符号,是一个概念题,考查了复数的四则运算,属于简单题．3.某次测验,将20名学生平均分为两组,测验结果两组学生成绩的平均分和标准差分别为90,6；80,4．则这20名学生成绩的方差为_____．【答案】51【解析】【分析】由方差定义可得n 个数与其平均数,方差间关系x 21+x 22++x 2n =nS 2+n x 2,利用此关系可结合条件把20 个数据中的前10个数,后10个数分别找出其平方和,及平均数,进而求出20名学生成绩的方差．【详解】设x 1,x 2…x n 的方差S 21n =[（x 1x -）2+（x 2x -）2+…+（x n x -）2]1n=[x 21+x 22++x 2n -2x （x 1+x 2+…+x n ）+n x 2]1n =[x 12+x 22++x 2n -n x 2] ∴x 21+x 22++x 2n =nS 2+n x 2, 则x 21+x 22++x 210=10×36+10×902＝81360,x 211+x 212++x 220=10×16+10×802＝64160, 1220109010802020x x x +++⨯+⨯==85． ∴S 2120=[x 21+x 22++x 220-20x 2]120=[81360+64160﹣20×852]＝51, 故答案：51．【点评】本题依托平均数,方差,标准差的定义关系,考查学生的数据处理能力和计算能力,属于中低档题．4.执行如图所示的程序框图,输出的S 值为_____．。

2020年江苏省高三数学冲刺模拟试题2套(含答案)

江苏省南京市2020届高三数学5月模拟试题含答案(满分160分，考试时间120分钟)2019．5一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{x||x|≤1，x ∈Z }，B ＝{x|0≤x ≤2}，则A ∩B ＝________．2. 已知复数z ＝(1＋2i)(a ＋i)，其中i 是虚数单位．若z 的实部与虚部相等，则实数a 的值为________．3. 某班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本．已知5号、31号、44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是________．4. 3张奖券分别标有特等奖、一等奖和二等奖．甲、乙两人同时各抽取1张奖券，两人都未抽得特等奖的概率是________．5. 函数f(x)＝x ＋log 2(1－x)的定义域为________．6. 如图是一个算法流程图，则输出k 的值为________．(第6题)(第7题)7. 若正三棱柱ABCA 1B 1C 1的所有棱长均为2，点P 为侧棱AA 1上任意一点，则四棱锥PBCC 1B 1的体积为________．8. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第四象限内．已知曲线C 在点P 处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则实数b 的值为________．9. 已知函数f(x)＝3sin(2x ＋φ)－cos(2x ＋φ)(0<φ<π)是定义在R 上的奇函数，则f(－π8)的值为________．10. 如果函数f(x)＝(m －2)x 2＋2(n －8)x ＋1(m ，n ∈R 且m ≥2，n ≥0)在区间[12，2]上单调递减，那么mn 的最大值为________．11. 已知椭圆x 22＋y 2＝1与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)有相同的焦点，其左、右焦点分别为F 1，F 2.若椭圆与双曲线在第一象限内的交点为P ，且F 1P ＝F 1F 2，则双曲线的离心率为________．12. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(0，5)，点B 是直线l ：y ＝12x 上位于第一象限内的一点．已知以AB 为直径的圆被直线l 所截得的弦长为25，则点B 的坐标为________．13. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋2，n ＝2k －1，k ∈N *，2a n ，n ＝2k ，k ∈N *，则满足2 019≤S m ≤3 000的正整数m 的所有取值为________．14. 已知等边三角形ABC 的边长为2，AM →＝2MB →，点N ，T 分别为线段BC ，CA 上的动点，则AB →·NT →＋BC →·TM →＋CA →·MN →取值的集合为________．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α的终边与单位圆O 交于点A ，且点A 的纵坐标是1010. (1) 求cos(α－3π4)的值；(2) 若以x 轴正半轴为始边的钝角β的终边与单位圆O 交于点B ，且点B 的横坐标为－55，求α＋β的值．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF 的中点．求证：(1) AM∥平面BDE；(2) AM⊥平面BDF.17. (本小题满分14分)某广告商租用了一块如图所示的半圆形封闭区域用于产品展示，该封闭区域由以O为圆心的半圆及直径AB围成．在此区域内原有一个以OA为直径、C为圆心的半圆形展示区，该广告商欲在此基础上，将其改建成一个凸四边形的展示区COPQ，其中P，Q分别在半圆O与半圆C 的圆弧上，且PQ与半圆C相切于点Q.已知AB长为40米，设∠BOP为2θ.(上述图形均视作在同一平面内)(1) 记四边形COPQ的周长为f(θ)，求f(θ)的表达式；(2) 要使改建成的展示区COPQ的面积最大，求sin θ的值．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且点F 1，F 2与椭圆C 的上顶点构成边长为2的等边三角形．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 已知直线l 与椭圆C 相切于点P ，且分别与直线x ＝－4和直线x ＝－1相交于点M ，N.试判断NF 1MF 1是否为定值，并说明理由．已知数列{a n }满足a 1·a 2·…·a n ＝2n （n ＋1）2(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和S n ＝n （b 1＋b n ）2(n ∈N *)，且b 1＝1，b 2＝2.(1) 求数列{a n }的通项公式； (2) 求数列{b n }的通项公式；(3) 设c n ＝1a n －1b n ·b n ＋1，记T n 是数列{c n }的前n 项和，求正整数m ，使得对于任意的n ∈N *均有T m ≥T n .设a为实数，已知函数f(x)＝axe x，g(x)＝x＋ln x.(1) 当a<0时，求函数f(x)的单调区间；(2) 设b为实数，若不等式f(x)≥2x2＋bx对任意的a≥1及任意的x>0恒成立，求b的取值范围；(3) 若函数h(x)＝f(x)＋g(x)(x>0，x∈R)有两个相异的零点，求a的取值范围．高三模拟考试试卷数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10－1，二阶矩阵B 满足AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001.(1) 求矩阵B ；(2) 求矩阵B 的特征值．B. (选修44：坐标系与参数方程)设a 为实数，在极坐标系中，已知圆ρ＝2asin θ(a>0)与直线ρcos(θ＋π4)＝1相切，求a 的值．C. (选修45：不等式选讲)求函数y ＝1－x ＋3x ＋2的最大值．【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，点M为PC的中点．(1) 求异面直线AP与BM所成角的余弦值；(2) 点N在线段AD上，且AN＝λ，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为45，求λ的值．23. 在平面直角坐标系xOy中，有一个微型智能机器人(大小不计)只能沿着坐标轴的正方向或负方向行进，且每一步只能行进1个单位长度，例如：该机器人在点(1，0)处时，下一步可行进到(2，0)、(0，0)、(1，1)、(1，－1)这四个点中的任一位置．记该机器人从坐标原点O出发、行进n步后落在y轴上的不同走法的种数为L(n)．(1) 求L(1)，L(2)，L(3)的值；(2) 求L(n)的表达式．数学参考答案及评分标准1. {0，1}2. －33. 184. 135. [0，1)6. 37. 433 8. －13 9. － 2 10.18 11. 2＋2212. (6，3) 13. 20，21 14. {－6}15. 解：因为锐角α的终边与单位圆O 交于点A ，且点A 的纵坐标是1010，所以由任意角的三角函数的定义可知sin α＝1010. 从而cos α＝1－sin 2α＝31010.(3分)(1) cos(α－3π4)＝cos αcos 3π4＋sin αsin 3π4＝31010×(－22)＋1010×22＝－55.(6分) (2) 因为钝角β的终边与单位圆O 交于点B ，且点B 的横坐标是－55，所以cos β＝－55，从而sin β＝1－cos 2β＝255.(8分) 于是sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝1010×(－55)＋31010×255＝22.(10分) 因为α为锐角，β为钝角，所以α＋β∈(π2，3π2)，(12分)从而α＋β＝3π4.(14分)16. 证明：(1) 设AC ∩BD ＝O ，连结OE ，∵ 四边形ACEF 是矩形，∴ EF ∥AC ，EF ＝AC. ∵ O 是正方形ABCD 对角线的交点， ∴ O 是AC 的中点．又点M 是EF 的中点，∴ EM ∥AO ，EM ＝AO. ∴ 四边形AOEM 是平行四边形， ∴ AM ∥OE.(4分)∵ OE 平面BDE ，AM 平面BDE ，∴ AM ∥平面BDE.(7分)(2) ∵ 正方形ABCD ，∴ BD ⊥AC.∵ 平面ABCD ∩平面ACEF ＝AC ，平面ABCD ⊥平面ACEF ，BD 平面ABCD ，∴ BD ⊥平面ACEF.(9分) ∵ AM平面ACEF ，∴ BD ⊥AM.(10分)∵ 正方形ABCD ，AD ＝2，∴ OA ＝1.由(1)可知点M ，O 分别是EF ，AC 的中点，且四边形ACEF 是矩形． ∵ AF ＝1，∴ 四边形AOMF 是正方形，(11分) ∴ AM ⊥OF.(12分)又AM ⊥BD ，且OF ∩BD ＝O ，OF 平面BDF ，BD 平面BDF ，∴ AM ⊥平面BDF.(14分)17. 解：(1) 连结PC.由条件得θ∈(0，π2)．在△POC 中，OC ＝10，OP ＝20，∠POC ＝π－2θ，由余弦定理，得 PC 2＝OC 2＋OP 2－2OC·OPcos(π－2θ)＝100(5＋4cos 2θ)．(2分) 因为PQ 与半圆C 相切于点Q ，所以CQ ⊥PQ ，所以PQ 2＝PC 2－CQ 2＝400(1＋cos 2θ)，所以PQ ＝202cos θ.(4分) 所以四边形COPQ 的周长为f(θ)＝CO ＋OP ＋PQ ＋QC ＝40＋202cos θ，即f(θ)＝40＋202cos θ，θ∈(0，π2)．(7分)(没写定义域，扣2分)(2) 设四边形COPQ 的面积为S(θ)，则S(θ)＝S △OCP ＋S △QCP ＝100(2cos θ＋2sin θcos θ)，θ∈(0，π2)．(10分)所以S′(θ)＝100(－2sin θ＋2cos 2θ－2sin 2θ)＝100(－4sin 2θ－2sin θ＋2)，θ∈(0，π2)．(12分)令S′(t)＝0，得sin θ＝34－28. 列表：sin θ (0，34－28) 34－28 (34－28，1) S′(θ) ＋ 0 － S(θ)增最大值减答：要使改建成的展示区COPQ 的面积最大，sin θ的值为34－2.(14分) 18. 解：(1) 依题意，2c ＝a ＝2，所以c ＝1，b ＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y23＝1.(4分)(2) ① 因为直线l 分别与直线x ＝－4和直线x ＝－1相交，所以直线l 一定存在斜率．(6分)② 设直线l ：y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2＝12，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4(m 2－3)＝0. 由Δ＝(8km)2－4×(4k 2＋3)×4(m 2－3)＝0，得4k 2＋3－m 2＝0 ①.(8分)把x ＝－4代入y ＝kx ＋m ，得M(－4，－4k ＋m)，把x ＝－1代入y ＝kx ＋m ，得N(－1，－k ＋m)，(10分) 所以NF 1＝|－k ＋m|，MF 1＝（－4＋1）2＋（－4k ＋m ）2＝9＋（－4k ＋m ）2②，(12分)由①式，得3＝m 2－4k 2③，把③式代入②式，得MF 1＝4（k －m ）2＝2|－k ＋m|， ∴ NF 1MF 1＝|k －m|2|k －m|＝12，即NF 1MF 1为定值12.(16分) 19. 解：(1) ① a 1＝21×22＝2；(2分)② 当n ≥2时，a n ＝a 1a 2·…·a n －1a n a 1a 2·…·a n －1＝2n （n ＋1）22（n －1）n2＝2n.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n(n ∈N *)．(4分) (2) 由S n ＝n （b 1＋b n ）2，得2S n ＝n(b 1＋b n ) ①，所以2S n －1＝(n －1)(b 1＋b n －1)(n ≥2) ②.由②－①，得2b n ＝b 1＋nb n －(n －1)b n －1，n ≥2，即b 1＋(n －2)b n －(n －1)b n －1＝0(n ≥2) ③，所以b 1＋(n －3)b n －(n －2)b n －1＝0(n ≥3) ④.由④－③，得(n －2)b n －2(n －2)b n －1＋(n －2)b n －2＝0，n ≥3，(6分) 因为n ≥3，所以n －2>0，上式同除以(n －2)，得 b n －2b n －1＋b n －2＝0，n ≥3，即b n ＋1－b n ＝b n －b n －1＝…＝b 2－b 1＝1，所以数列{b n }是首项为1，公差为1的等差数列，故b n ＝n ，n ∈N *.(8分)(3) 因为c n ＝1a n －1b n ·b n ＋1＝12n －1n （n ＋1）＝1n （n ＋1）[n （n ＋1）2n－1]，(10分) 所以c 1＝0，c 2>0，c 3>0，c 4>0，c 5<0. 记f(n)＝n （n ＋1）2n，当n ≥5时，f(n ＋1)－f(n)＝（n ＋1）（n ＋2）2n ＋1－n （n ＋1）2n ＝－（n ＋1）（n －2）2n ＋1<0，所以当n ≥5时，数列{f(n)}为单调递减数列，当n ≥5时，f(n)<f(5)<5×625<1.从而，当n ≥5时，c n ＝1n （n ＋1）[n （n ＋1）2n－1]<0.(14分)因此T 1<T 2<T 3<T 4，T 4>T 5>T 6>…所以对任意的n ∈N *，T 4≥T n . 综上，m ＝4.(16分)(注：其他解法酌情给分)20. 解：(1) 当a<0时，因为f′(x)＝a(x ＋1)e x，当x<－1时，f ′(x)>0；当x>－1时，f ′(x)<0.所以函数f(x)单调减区间为(－∞，－1)，单调增区间为(－1，＋∞)．(2分)(2) 由f(x)≥2x 2＋bx ，得axe x ≥2x 2＋bx ，由于x>0，所以ae x≥2x ＋b 对任意的a ≥1及任意的x>0恒成立．由于e x >0，所以ae x ≥e x ，所以e x－2x ≥b 对任意的x>0恒成立．(4分)设φ(x)＝e x －2x ，x>0，则φ′(x)＝e x－2，所以函数φ(x)在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增，所以φ(x)min ＝φ(ln 2)＝2－2ln 2，所以b ≤2－2ln 2.(6分)(3) 由h(x)＝axe x＋x ＋ln x ，得h′(x)＝a(x ＋1)e x＋1＋1x ＝（x ＋1）（axe x＋1）x，其中x>0.① 若a ≥0时，则h′(x)>0，所以函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数h(x)至多有一个零零点，不合题意；(8分)② 若a<0时，令h′(x)＝0，得xe x＝－1a>0.由第(2)小题知，当x>0时，φ(x)＝e x－2x ≥2－2ln 2>0，所以e x>2x ，所以xe x>2x 2，所以当x>0时，函数xe x的值域为(0，＋∞)．所以存在x 0>0，使得ax 0ex 0＋1＝0，即ax 0ex 0＝－1 ①，且当x<x 0时，h ′(x)>0，所以函数h(x)在(0，x 0)上单调递增，在(x 0，＋∞)上单调递减．因为函数有两个零点x 1，x 2，所以h(x)max ＝h(x 0)＝ax 0ex 0＋x 0＋ln x 0＝－1＋x 0＋ln x 0>0 ②.设φ(x)＝－1＋x ＋ln x ，x>0，则φ′(x)＝1＋1x >0，所以函数φ(x)在(0，＋∞)上单调递增．由于φ(1)＝0，所以当x>1时，φ(x)>0，所以②式中的x 0>1.又由①式，得x 0ex 0＝－1a.由第(1)小题可知，当a<0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以－1a >e ，即a ∈(－1e ，0)．(11分)当a ∈(－1e，0)时，(i) 由于h(1e )＝ae 1e e ＋(1e －1)<0，所以h(1e)·h(x 0)<0.因为1e<1<x 0，且函数h(x)在(0，x 0)上单调递减，函数h(x)的图象在(0，x 0)上不间断，所以函数h(x)在(0，x 0)上恰有一个零点；(13分) (ii) 由于h(－1a )＝－e －1a －1a ＋ln(－1a )，令t ＝－1a >e ，设F(t)＝－e t＋t ＋ln t ，t>e ，由于t>e 时，ln t<t ，e t>2t ，所以设F(t)<0，即h(－1a )<0.由①式，得当x 0>1时，－1a ＝x 0ex 0>x 0，且h(－1a )·h(x 0)<0，同理可得函数h(x)在(x 0，＋∞)上也恰有一个零点．综上，a ∈(－1e，0)．(16分)2019届高三模拟考试试卷(南师附中) 数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：(1) 由题意，由矩阵的逆矩阵公式得B ＝A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10－1.(5分) (2) 矩阵B 的特征多项式f(λ)＝(λ＋1)(λ－1)，(7分) 令f(λ)＝0，解得λ＝1或－1，(9分) 所以矩阵B 的特征值为1或－1.(10分)B. 解：将圆ρ＝2asin θ化成普通方程为x 2＋y 2＝2ay ，整理得x 2＋(y －a)2＝a 2.(3分) 将直线ρcos(θ＋π4)＝1化成普通方程为x －y －2＝0.(6分)因为相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即|a ＋2|2＝a ，(9分)解得a ＝2＋ 2.(10分)C. 解：因为(1－x ＋3x ＋2)2＝(3－3x ·13＋3x ＋2·1)2 ≤(3－3x ＋3x ＋2)(13＋1)＝203，(3分)所以y ＝1－x ＋3x ＋2≤2153.(5分)当且仅当3－3x 13＝3x ＋21，即x ＝712∈[－23，1]时等号成立．(8分)所以y 的最大值为2153.(10分)22. 解：(1) 因为PA ⊥平面ABCD ，且AB ，AD 平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，PA ⊥AD.因为∠BAD ＝90°，所以PA ，AB ，AD 两两互相垂直．分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则由AD ＝2AB ＝2BC ＝4，PA ＝4，可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，4)．因为点M 为PC 的中点，所以M(1，1，2)．所以BM →＝(－1，1，2)，AP →＝(0，0，4)，(2分)所以cos 〈AP →，BM →〉＝AP →·BM →|AP →||BM →|＝0×（－1）＋0×1＋4×24×6＝63，(4分)所以异面直线AP ，BM 所成角的余弦值为63.(5分) (2) 因为AN ＝λ，所以N(0，λ，0)(0≤λ≤4)，则MN →＝(－1，λ－1，－2)，BC →＝(0，2，0)，PB →＝(2，0，－4)．设平面PBC 的法向量为m ＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·BC →＝0，m ·PD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝0，2x －4z ＝0.令x ＝2，解得y ＝0，z ＝1，所以m ＝(2，0，1)是平面PBC 的一个法向量．(7分) 因为直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为45，所以|cos 〈MN →，m 〉|＝|MN →·m ||MN →||m |＝|－2－2|5＋（λ－1）2·5＝45，解得λ＝1∈[0，4]，所以λ的值为1.(10分)23. 解：(1) L(1)＝2，(1分) L(2)＝6，(2分) L(3)＝20.(3分)(2) 设m 为沿x 轴正方向走的步数(每一步长度为1)，则反方向也需要走m 步才能回到y 轴上，所以m ＝0，1，2，……，[n 2](其中[n 2]为不超过n2的最大整数)，总共走n 步，首先任选m 步沿x 轴正方向走，再在剩下的n －m 步中选m 步沿x 轴负方向走，最后剩下的每一步都有两种选择(向上或向下)，即C m n ·C m n －m ·2n －2m，江苏省2020届高三数学考前最后精卷（5月）全卷分两部分：第一部分为所有考生必做部分（满分160分，考试时间120分钟），第二部分为选修物理考生的加试部分（满分40分，考试时间30分钟）．注意事项：1．答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．第一部分试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．3．选修物理的考生在第一部分考试结束后，将答卷交回，再参加加试部分的考试．第一部分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．已知集合{}11A x x =-<<，}20|{<<=x x B ，则=B A Y ▲． 2．若复数ii z +-=11，则z 的实部是▲．3．高三某班级共48人，班主任为了解学生高考前的心理状况，先将学生按01至48进行随机编号，再用系统抽样方法抽取8人进行调查，若抽到的最大编号为45，则抽到的最小编号为▲．开始是否是否a ab =- b b a=-a输出结束,a b输入a b≠a b >4．执行右侧程序框图．若输入a 的值为4，b 的值为8，则执行该程序框图输出的结果为▲．5．从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}中任取一个数记为x ，则x 2log 为整数的概率为▲．6．设⎩⎨⎧<--≥+=0,10,1)(2x x x x x f ,5.07.0-=a ,7.0log 5.0=b ，5log 7.0=c ,则比较)(),(),(c f b f a f 的大小关系▲．（按从大到小的顺序排列） 7．已知R b a ∈,，且a －3b ＋6＝0，则2a＋18b 的最小值为▲．8．若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为3，圆心角为23π的扇形，则该圆锥的体积为▲．9．设实数,x y 满足0121x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩≥≤≥，则y x 32-的最大值为▲．10、已知数列{}n a 与2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭均为等差数列（n N *∈），且12a =，则10=a ▲． 11. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x ，过原点作一条倾斜角为6π直线分别交双曲线左、右两支P ,Q 两点，以线段PQ 为直径的圆过右焦点F ,则双曲线离心率为▲．12．在面积为26的ABC ∆中，32=⋅AC AB ，若点M 是AB 的中点，点N 满足NC AN 2=，则CM BN ⋅的最大值是▲ .13. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2eln x ，x>0，x 3＋x ， x≤0，若函数g(x)＝f(x)－ax 2(a∈R )有三个零点，则a 的取值范围是▲.二、解答题：（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）（第4题）在正方体1111D C B A ABCD -中,O 是底面ABCD 对角线的交点．求证：（1） 111//D AB O C 面； (2) 111D AB C A 面⊥16．（本小题满分14分）已知函数()sin()(0,0)f x A x B A ωϕω=++>>，部分自变量、函数值如下表．x3π 712π x ωϕ+0 2ππ32π 2π()f x24求：（1）函数()f x 的解析式；（2）已知212=⎪⎭⎫ ⎝⎛αf ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+πα6132sin 的值．17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆方程为1422=+y x ，圆C ：222)1(r y x =+-．（1）求椭圆上动点P 与圆心C 距离的最小值；（2）如图，直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，且与圆C 相切于点M ，若满足M 为线段AB 中点的直线l 有4条，求半径r 的取值范围．19.（本小题满分16分）已知函数xx x g x x f 1)(,ln )(-==．（1）①若直线1+=kx y 与x x f ln )(=的图像相切, 求实数k 的值；②令函数|)(|)()(x g x f x h -=，求函数)(x h 在区间]1,[+a a 上的最大值．（2）已知不等式)()(2x kg x f <对任意的),1(+∞∈x 恒成立，求实数k 的取值范围． 20．（本小题满分16分）数列{a n }中，对任意给定的正整数n ，存在不相等的正整数,i j ()i j <，使得n i j a a a =，且i n ≠，j n ≠，则称数列{}n a 具有性质P ．（1）若仅有3项的数列1,,a b 具有性质P ，求a b +的值；（2）求证：数列{}2019nn +具有性质P ；（3）正项数列{}n b 是公比不为1的等比数列．若{}n b 具有性质P ，则数列{}n b 至少有多少项？请说明理由．第二部分（加试部分）（总分40分，加试时间30分钟）注意事项：答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷上规定的位置．解答过程应写在答题卷的相应位置，在其它地方答题无效． 21．（A ） [选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)已知点A 在变换T ：3x x x y y y y '+⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦作用后，再绕原点逆时针旋转90︒，得到点B ．若点B 的坐标为(4,3)-，求点A 的坐标．（B ）[选修4-4:坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()4πθρ=∈R ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为4cos ,1cos 2x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标.22．（本小题满分10分）高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形铁钉（如图），并且每一排钉子数目都比上一排多一个，一排中各个钉子恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央．从入口处放入一个直径略小于两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两钉的间隙，又碰到下一排铁钉．如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球．（1）理论上，小球落入4号容器的概率是多少？（2）一数学兴趣小组取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球个数为X ，求X 的分布列与数学期望．5432123．（本小题满分10分）已知数列{}n a 满足111(*)122n a n N n n n=+++∈++L ．（1）求123,,a a a 的值；（2）对任意正整数n ，n a 小数点后第一位数字是多少？请说明理由．参考答案（数学）第一部分一、填空题1． }21|{<<-x x 2．0 3． 03 4． 4 5． 526． )()()(c f b f a f >> 7．418． 223π 9． 2 10． 20 11. 2 12．62338- 13. (){}2-1,0Y 14.34 二、解答题15．（1）连接A 1C 1，设A 1C 1∩B 1D 1=O 1，连接AO 1，∵ABCD-A 1B 1C 1D 是正方体∴A 1ACC 1是平行四边形∴A 1C 1∥AC 且A 1C 1=AC又∵O 1，O 分别是A 1C 1，AC 的中点，∴O 1C 1∥AO 且O 1C 1=AO∴O 1C 1OA 是平行四边形∴C 1O ∥AO 1，AO 1⊂平面A 1B 1D 1，C 1O ⊄平面A 1B 1D 1， ∴C 1O ∥面A 1B 1D 1；（2）∵CC 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，∴CC 1⊥B 1D 1，又∵A 1C 1⊥B 1D 1，∴B 1D 1⊥平面A 1C 1C 即B 1D 1⊥A 1C ，同理可证AB 1⊥A 1C ，又B 1D 1∩AB 1=B 1，∴A 1C ⊥面AB 1D 1； 16．解：（1）由题意得：3327212ππωϕπωϕπ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：256ωπϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩又sin 02sin 42A B A B π+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：22A B =⎧⎨=⎩∴5()2sin(2)26f x x π=++（2）由212=⎪⎭⎫⎝⎛αf 得4365sin -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πα，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+2652sin 6132sin ππαπα8165sin 21652cos 2-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=παπα．17．解：（1）PC min ＝63（1）当AB 的斜率不存在与圆C 相切时，M 在x 轴上，故满足条件的直线有两条；当AB 的斜率存在时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0) 由⎩⎪⎨⎪⎧x 124＋y 12＝1x224＋y22＝1两式相减得y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－14 即k AB ·y 0x 0＝－14,由题可知直线MC 的斜率肯定存在，且k MC ＝y 0x 0－1，又MC ⊥AB ,则k AB ＝－x 0－1y 0，所以－x 0－1y 0·y 0x 0＝－14，x 0＝43 ，因为M 在椭圆内部，则x 024＋y 02＜1，0＜y 20＜59 ，所以r 2＝(x 0－1)2＋y 02＝19＋y 02∈(19，23) ，故半径r ∈(13，63) .〖教学建议〗（1）问题归类与方法： 1.直线与圆相切问题方法1：利用d ＝r ；方法2：在已知切点坐标的情况下，利用圆心和切点的连线与切线垂直． 2.直线与椭圆有两交点位置关系判断方法1：联立方程组利用△＞0 ；方法2：弦中点在椭圆内部.（2）方法选择与优化：中点弦问题转化为点差法解决，也可以用设直线AB 为y ＝kx ＋m 联立椭圆得(1＋4k 2)x 2＋8km x ＋4m 2－4＝0(*) ，利用韦达定理得M (－4km 4k 2＋1，m 4k 2＋1) ，由MC ⊥AB得m ＝－4k 2＋13k 由(*)△＞0得m 2＜4k 2＋1 ，将m ＝－4k 2＋13k 代入解得k 2＞15 ，所以r ＝|k ＋m |k 2＋1＝131＋1k 2∈(13，63) .19. 解（1）设切点(x 0，y 0)，f '(x )＝1x .所以⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝ln x 0y 0＝kx 0＋1k ＝1x所以x 0＝e 2，k ＝1e 2.（2）因为g (x )＝x －1x在(0，＋∞)上单调递增，且g (1)＝0．所以h (x )＝f (x )－|g (x )|＝ln x －|x －1x|＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ＋x －1x，0＜x ＜1，ln x －x ＋1x，x ≥1．当0＜x ＜1时，h (x )＝ln x ＋x －1x ，h '(x )＝1x＋1＋1x2＞0，当x ≥1时，h (x )＝ln x －x ＋1x ，h '(x )＝1x －1－1x 2＝－x 2＋x －1x2＜0，所以h (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，且h (x )max ＝h (1)＝0．当0＜a ＜1时，h (x )max ＝h (1)＝0；当a ≥1时，h (x )max ＝h (a )＝ln a －a ＋1a．（3）令F (x )＝2ln x －k (x －1x)，x ∈(1，＋∞)．所以F '(x )＝2x －k (1＋1x 2)＝－kx 2＋2x －kx2．设φ(x )＝－kx 2＋2x －k ，①当k ≤0时，F '(x )＞0，所以F (x )在(1，＋∞)上单调递增，又F (1)＝0，所以不成立； ②当k ＞0时，对称轴x 0＝1k，当1k≤1时，即k ≥1，φ(1)＝2－2k ≤0,所以在(1，＋∞)上，φ(x )＜0，所以F '(x )＜0，又F (1)＝0，所以F (x )＜0恒成立；当1k＞1时，即0＜k ＜1，φ(1)＝2－2k ＞0，所以在(1，＋∞)上，由φ(x )＝0，x ＝x 0，所以x ∈(1，x 0)，φ(x )＞0，即F '(x )＞0；x ∈(x 0，＋∞)，φ(x )＜0，即F '(x )＜0，所以F (x )max ＝F (x 0)＞F (1)＝0，所以不满足F (x )＜0恒成立．综上可知：k ≥1.20．解：（1）∵数列1,,a b 具有性质P ∴1ab a b =⎧⎨=⎩∴11a b =⎧⎨=⎩或11a b =-⎧⎨=-⎩∴2a b +=或2a b +=-； ……………………3分（2）假设存在不相等的正整数,i j ()i j <，使得n i j a a a =，即201920192019n i jn i j =⋅+++（*）解得：(2019)i nj i n +=-，取1i n -=，则存在1(2020)i n j n n =+⎧⎨=+⎩，使得（*）成立∴数列{}2019nn +具有性质P ； ……………………8分（3）设正项等比数列{}n b 的公比为q ，0q >且1q ≠，则11n n b b q -=⋅． ∵数列{}n b 具有性质P∴存在不相等的正整数,i j ()i j <，i n ≠，j n ≠，使得11111i j b b q b q --=⋅⋅⋅，即121i j b q +-=，且3n ≥∵1j i >≥，且,*i j N ∈∴21i j +-≥ 若21i j +-=，即11b q=∴21b =，3b q = 要使11i j b b b q ==，则21q 必为{}n b 中的项，与11b q=矛盾；∴21i j +-≠ 若22i j +-=，即121b q =∴21b q=，31b =，4b q =，要使121i j b b b q ==，则31q 必为{}nb 中的项，与121b q =矛盾；∴22i j +-≠ 若23i j +-=，即131b q =∴221b q=，31b q =，41b =，5b q =，26b q =，37b q =，这时对于1,2,,7n =L ，都存在n i j b b b =，其中i j <，i n ≠，j n ≠．∴数列{}n b 至少有7项． ……………………16分第二部分（加试部分）21．（A ）解：设(,)A x y ，则A 在变换T 下的坐标为(3,)x y y +，又绕原点逆时针旋转90︒对应的矩阵为0110-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，……………………4分所以01341033x y y y x y -+--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得433y x y -=-⎧⎨+=⎩，解得94x y =-⎧⎨=⎩所以点A 的坐标为(9,4)-．……………………10分（B ）解：直线l 的直角坐标方程为y x =．由方程4cos ,1cos 2x y αα=⎧⎨=+⎩可得22212cos 2()48x y x α===，又因为1cos 1α-≤≤，所以44x -≤≤．所以曲线C 的普通方程为21(44)8y x x =-≤≤…………………6分将直线l 的方程代入曲线方程中，得218x x =，解得0x =，或8x =（舍去）所以直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标为(0,0)．…………………10分22．解：（1）记“小球落入4号容器”为事件A ，若要小球落入4号容器，则在通过的四层中有三层需要向右，一层向左．∴34411()()24P A C ==…………………3分（2）落入4号容器的小球个数X 的可能取值为0,1,2,3．∴3127(0)(1)464P X ==-=，1231127(1)(1)4464P X C ==⨯-=，223119(2)()(1)4464P X C ==⨯-= 311(3)()464P X ===∴X 的分布列为……………7分272791483()012364646464644E X =⨯+⨯+⨯+⨯==………………9分答：落入4号容器的小球个数X 的数学期望为34．………………10分 23．解：（1）112a =，2712a =，33760a =………………2分（2）12,a a 小数点后第一位数字均为5，3a 小数点后第一位数字为6………………3分下证：对任意正整数(3)n n ≥，均有0.60.7n a << 注意到11111021221(21)(22)n n a a n n n n n +-=+-=>+++++ 故对任意正整数(3)n n ≥，有30.6n a a ≥>………………5分下用数学归纳法证明：对任意正整数(3)n n ≥，有10.74n a n≤- ①当3n =时，有3371110.70.70.760124343a ==-=-≤-⨯⨯，命题成立； ②假设当*(,3)n k k N k =∈≥时，命题成立，即10.74k a k≤- 则当1n k =+时，11110.7(21)(22)4(21)(22)k k a a k k k k k +=+≤-+++++∵1111104(21)(22)4(1)4(1)4(1)22k k k k k k k k k --=->+++++++ ∴1114(21)(22)4(1)k k k k ->+++∴11110.70.74(21)(22)4(1)k a k k k k +≤-+≤-+++ ∴1n k =+时，命题也成立；综合①②，任意正整数(3)n n ≥，10.74n a n≤-．由此，对正整数(3)n n ≥，0.60.7n a <<，此时n a 小数点后第一位数字均为6．所以12,a a 小数点后第一位数字均为5，当3,*n n N ≥∈时，n a 小数点后第一位数字均为6．…10分。

【2020南京六校联考】江苏省南京市六校联合体2020届高三下学期5月联考试题数学 Word版含答案

2020届高三模拟考试试卷数学(满分160分，考试时间120分钟)2020．5一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{x|x 2－2x<0}，B ＝{x|x<1}，则A ∪B ＝________．2. 已知复数z ＝(a ＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i 为虚数单位，a 为实数，则z －＝________． 3. 如图，用茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为________．(第3题)4. 运行如图所示的伪代码，则输出S 的值为________． S ←0 I ←1While I<10 S ←S ＋I I ←I ＋2 End While Print S(第4题)5. 某兴趣小组有2名女生和3名男生，现从中任选2名学生去参加活动，则至多有一名男生的概率为________．6. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 5＝2S 10，则S 5＋4S 15S 10－S 5＝________．7. 已知函数f(x)为定义在R 上的奇函数，且满足f(x)＝f(2－x)．若f(1)＝3，则f(1)＋f(2)＋…＋f(50)＝________．8. 将函数f(x)＝2sin(x ＋π6)sin(π3－x)图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象对应的函数恰为偶函数，则φ的最小值为________．9. 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且与x 轴垂直的直线与双曲线交于A ，B 两点．若F 1F 2＝32AB ，则双曲线的渐近线方程为____________．10. 如图，五边形ABCDE 由两部分组成，△ABE 是以角B 为直角的直角三角形，四边形BCDE 为正方形，现将该图形以AC 为轴旋转一周，构成一个新的几何体．若形成的圆锥和圆柱的侧面积相等，则圆锥和圆柱的体积之比为________．11. 在平行四边形ABCD 中，AD ＝2AB ＝6，∠DAB ＝60°，DE →＝12EC →，BF →＝12FC →.若FG→＝2GE →，则AG →·BD →＝________．12. 已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若a ＝3bcos C ，则1tan A ＋1tan B ＋1tan C的最小值为________．13. 已知圆O ：x 2＋y 2＝4，点A(2，2)，直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，点E 在直线l 上且满足 PQ →＝2QE →.若AE 2＋2AP 2＝48，则弦PQ 中点M 的横坐标的取值范围是________． 14. 若函数f(x)＝(x 3－3a 2x ＋2a)·(e x －1)的图象恰好经过三个象限，则实数a 的取值范围是________．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知bsin A ＝asin(2π3－B)．(1) 求角B 的大小；(2) 若a ＝2，c ＝3，求sin(A －C)的值．16. (本小题满分14分)如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，侧面BCC 1B 1是矩形，平面ACC 1A 1⊥平面BCC 1B 1，M 是棱CC 1上的一点．(1) 求证：BC ⊥AM ；(2) 若N 是AB 的中点，且CN ∥平面AB 1M ，求证：M 是棱CC 1中点．17. (本小题满分14分)疫情期间，某小区超市平面图如图所示，由矩形OABC 与扇形OCD 组成，OA ＝30米，AB ＝50米，∠COD ＝π6，经营者决定在O 点处安装一个监控摄像头，摄像头的监控视角∠EOF＝π3，摄像头监控区域为图中阴影部分，要求点E 在弧CD 上，点F 在线段AB 上，设∠FOC ＝θ.(1) 求该监控摄像头所能监控到的区域面积S 关于θ的函数关系式，并求出tan θ的取值范围；(2) 求监控区域面积S 最大时，角θ的正切值．18. (本小题满分16分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左焦点为F 1，点A ，B 为椭圆的左、右顶点，点P 是椭圆上一点，且直线PF 1的倾斜角为π4，PF 1＝2，椭圆的离心率为22.(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设M ，N 为椭圆上异于A ，B 的两点，若直线BN 的斜率等于直线AM 斜率的2倍，求四边形AMBN 面积的最大值．19. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c ∈R )，g(x)＝e x .(1) 若a ＝b ＝1，c ＝－1，求函数h(x)＝f （x ）g （x ）在x ＝1处的切线方程；(2) 若a ＝1，且x ＝1是函数m(x)＝f(x)g(x)的一个极值点，确定m(x)的单调区间； (3) 若b ＝2a ，c ＝2，且对任意x ≥0，f （x ）g （x ）≤2x ＋2恒成立，求实数a 的取值范围．20. (本小题满分16分)设数列{a n }(任意项都不为零)的前n 项和为S n ，首项为1，对于任意n ∈N *，满足S n ＝a n ·a n ＋12. (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 是否存在k ，m ，n ∈N *(k<m<n)，使得a k ，a m ，a n 成等比数列，且16a k ，a 4m ，a 2n 成等差数列？若存在，试求k ＋m ＋n 的值；若不存在，请说明理由；(3) 设数列{b n }，b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n ＝2k －1，k ∈N *，q n －1，n ＝2k ，k ∈N *(q>0)，若由{b n }的前r 项依次构成的数列是单调递增数列，求正整数r 的最大值．2020届高三模拟考试试卷(十三)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)求椭圆C ：x 216＋y 24＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤140012对应的变换作用下所得曲线C′的方程．B. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知圆C 经过点P(2，π4)，圆心为直线ρsin (θ＋π3)＝32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．C. (选修45：不等式选讲)已知正数a ，b ，c 满足abc ＝1，求(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)的最小值．【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，直四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD ＝60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．(1) 求异面直线A 1M 与C 1E 所成角的余弦值； (2) 求二面角AMA 1N 的平面角的正弦值．23. 已知数列{a n }满足a n ＝m ＋C 1n ＋12＋C 2n ＋222＋C 3n ＋323＋…＋C n n ＋n2n ，n ∈N *，其中m 为常数，a 2＝4.(1) 求m ，a 1的值；(2) 猜想数列{a n }的通项公式，并证明．2020届高三模拟考试试卷(南京) 数学参考答案及评分标准1. (－∞，2)2. －4i3. 1434. 255. 710 6. －8 7. 3 8. π129. y ＝±2x 10.33 11. 21 12. 273 13. (－1－72，－1＋72) 14. [－1，0)∪(0，1] 15. 解：(1) 在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，及bsin A ＝asin(2π3－B)，得sin Bsin A ＝sin Asin(2π3－B)．(2分)由A ∈(0，π)时，sin A>0，可得sin B ＝sin(2π3－B)，展开得sin B ＝sin2π3cos B －cos 2π3sin B ，即sin B ＝3cos B ．(4分) 又由B ∈(0，π)，得sin B>0，从而cos B ≠0，从而有tan B ＝3，可得B ＝π3.(6分)(2) 在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，得b 2＝a 2＋c 2－2accos B ＝7，故b ＝7.(7分) 由a sin A ＝b sin B ，得2sin A ＝732，解得sin A ＝37. 因为a<c ，故cos A ＝27.(9分) 因此sin 2A ＝2sin Acos A ＝437，cos 2A ＝2cos 2A －1＝17.(11分) 因为A －C ＝A －(2π3－A)＝2A －2π3，所以sin(A －C)＝sin(2A －2π3)＝sin 2Acos 2π3－cos 2Asin 2π3＝437×(－12)－17×32＝－5314.(14分) 16. 证明：(1) 因为侧面BCC 1B 1是矩形，所以BC ⊥CC 1.(2分) 又平面ACC 1A 1⊥平面BCC 1B 1，平面ACC 1A 1∩平面BCC 1B 1＝CC 1，BC ⊂平面BCC 1B 1，所以BC ⊥平面ACC 1A 1.(4分)又AM ⊂平面ACC 1A 1，所以BC ⊥AM.(6分) (2) (证法1)取AB 1中点H ，连结NH ，HM. 因为N 是AB 的中点，所以在△ABB 1中，NH ∥BB 1，且NH ＝12BB 1.又在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，所以BB 1∥CC 1，且BB 1＝CC 1.又M 为棱CC 1上的一点，所以CM ∥NH ，所以CM ，NH 共面．(10分)又CN ∥平面AB 1M ，CN ⊂平面CNHM ，平面CNHM ∩平面AMB 1＝MH ，所以CN ∥MH ，所以四边形CNHM 为平行四边形，(12分) 所以CM ∥NH ，且CM ＝NH ，所以CM ＝12BB 1＝12CC 1，所以M 是棱CC 1中点．(14分)(证法2)因为在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，所以BB 1∥CC 1，且BB 1＝CC 1.因为CM ∥BB 1，CM ⊄平面ABB 1A 1，BB 1⊂平面ABB 1A 1，所以CM ∥平面ABB 1A 1.(8分)所以过MCN 可作平面α交直线AB 1于点H ，则CM ⊂平面α，平面α∩平面ABB 1A 1＝NH ，所以CM ∥NH.(10分)又CN ∥平面AB 1M ，CN ⊂平面α，平面α∩平面AMB 1＝MH ，所以CN ∥MH ，所以四边形CNHM 为平行四边形，(12分) 所以NH ∥AC ∥BB 1.又△ABB 1中N 是AB 的中点，所以H 是AB 1的中点，所以NH ＝12BB 1＝CM ，所以M 是棱CC 1中点．(14分)17. 解：(1) 扇形EOC 的面积为12×(π3－θ)×502＝2 500π6－2 5002θ.(2分)四边形OCBF 的面积为30×50－12×30×30tan θ.(4分)故阴影部分的面积为S(θ)＝1 500＋2 500π6－50(9tan θ＋25θ)．(6分)因为θ∈[θ0，π3]，tan θ0＝35，所以tan θ∈[35，3]．(8分)(2) 设h(θ)＝9tan θ＋25θ，则h′(θ)＝－9sin 2θ－9cos 2θsin 2θ＋25＝－9sin 2θ＋25.令h′(θ)＝0得tan θ＝34∈[35，3]．(10分)记其解为θ1，并且h(θ)在[θ0，θ1)上单调递减，在(θ1，π3]上单调递增，所以h(θ)的最小值为h(θ1)，阴影部分的面积最大值为1 500＋2 500π6－50h(θ1)，此时tan θ1＝34.(13分)答：监控区域面积S 最大时，角θ的正切值为34.(14分)18. 解：(1) 因为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，所以a ＝2c.设椭圆右焦点为F 2，在△F 1PF 2中，PF 1＝2，∠PF 1F 2＝π4，由余弦定理得(2a －2)2＝22＋(2c)2－2×2c ×2×cos π4，解得c ＝2，则a ＝2，b ＝2，所以椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.(4分)(2) (解法1)设直线AM 的斜率为k ，则直线AM 的方程为y ＝k(x ＋2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），x 24＋y 22＝1，整理得(2k 2＋1)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0，Δ＝64k 4－4(2k 2＋1)(8k 2－4)>0.设M(x 1，y 1)，则－2x 1＝8k 2－42k 2＋1，即x 1＝2－4k 22k 2＋1，从而y 1＝4k2k 2＋1.(8分)由k BN ＝2k AM ，可得直线BN 的方程为y ＝2k(x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2k （x －2），x 24＋y 22＝1，整理得(8k 2＋1)x 2－32k 2x ＋32k 2－4＝0，Δ＝322k 4－4(8k 2＋1)(32k 2－4)>0. 设N(x 2，y 2)，则2x 2＝32k 2－48k 2＋1，即x 2＝16k 2－28k 2＋1，从而y 2＝－8k8k 2＋1.(12分)由对称性，不妨设k>0，则四边形AMBN 的面积S ＝12×4×(y 1－y 2)＝2(4k 2k 2＋1＋8k 8k 2＋1)＝24×4k 3＋k（2k 2＋1）（8k 2＋1）＝24×1k ＋4k （8k ＋1k ）（2k ＋1k ）＝24×1k ＋4k 16k 2＋1k2＋10＝24×1k＋4k （1k ＋4k ）2＋2＝241k ＋4k ＋21k＋4k .令t ＝1k＋4k ，则t ≥21k ×4k ＝4(当且仅当k ＝12时取等号)，则S ＝24t ＋2t ≤244＋12＝163，故S 的最大值为163.(16分)(解法2)设M(x 1，y 1)，则y 21＝12(4－x 21)，A(－2，0)，B(2，0)，则 k MA ·k MB ＝y 1－0x 1＋2·y 1－0x 1－2＝y 21x 21－4＝－12.(6分)由k BN ＝2k MA ，故k BN ·k BM ＝－1.(7分)设直线MN 的方程为x ＝my ＋t ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，x 24＋y 22＝1，整理得(m 2＋2)y 2＋2mty ＋t 2－4＝0，即t 2<2m 2＋4. 设N(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－2mtm 2＋2，y 1y 2＝t 2－4m 2＋2.(9分)由k BN ·k BM ＝－1，得y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0，将y 1＋y 2＝－2mtm 2＋2，y 1y 2＝t 2－4m 2＋2代入整理得(m 2＋1)(t ＋2)－2m 2t ＋(t －2)(m 2＋2)＝0，即t ＝23，满足t 2<2m 2＋4.(12分)则四边形AMBN 的面积 S ＝12×4|y 1－y 2|＝2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝2（－2mt m 2＋2）2－4×t 2－4m 2＋2＝839m 2＋16（m 2＋2）2，令u ＝m 2＋2，则S ＝839u －2u 2，u ≥2，解得S 的最大值为163.(16分) 19. 解：(1) (1) 因为a ＝b ＝1，c ＝－1，所以h(x)＝x 2＋x －1e x ，h ′(x)＝－x 2＋x ＋2e x .令x ＝1，则h′(1)＝2e ，又h(1)＝1e ，所以y －1e ＝2e (x －1)，即2x －ey －1＝0.(2分)(2) 因为a ＝1，所以m(x)＝(x 2＋bx ＋c)e x ，m ′(x)＝[x 2＋(b ＋2)x ＋b ＋c]e x .因为x ＝1是函数m(x)的一个极值点，所以m′(1)＝0，解得c ＝－2b －3，则m′(x)＝[x 2＋(b ＋2)x －b －3]e x ＝(x －1)[x ＋(b ＋3)]e x . 令m′(x)＝0，解得x 1＝1，x 2＝－b －3.(4分)因为x ＝1是一个极值点，所以－b －3≠1，即b ≠－4. 当－b －3>1，即b<－4时，由m′(x)>0解得x ∈(－∞，1)或x ∈(－b －3，＋∞)，由m′(x)<0解得x ∈(1，－b －3)；当－b －3<1，即b>－4时，由m′(x)>0解得x ∈(－∞，－b －3)或x ∈(1，＋∞)，由m′(x)<0解得x ∈(－b －3，1)．(7分)综上，当b<－4时，m(x)的单调递增区间为(－∞，1)和(－b －3，＋∞)，单调递减区间为(1，－b －3)；当b>－4时，m(x)的单调递增区间为(－∞，－b －3)和(1，＋∞)，单调递减区间为(－b －3，1)．(8分)(3) 因为b ＝2a ，c ＝2，所以f （x ）g （x ）＝ax 2＋2ax ＋2e x ≤2x ＋2对任意x ≥0恒成立，即ax 2＋2ax ＋2－(2x ＋2)e x ≤0对任意x ≥0恒成立．令p(x)＝ax 2＋2ax ＋2－(2x ＋2)e x ，p(0)＝0，由p(1)＝3a ＋2－4e ≤0得a ≤4e －23.(9分)p ′(x)＝2a(x ＋1)－2(x ＋2)e x .①当a ≤0时，对任意x ≥0，p ′(x)≤0，所以函数y ＝p(x)在[0，＋∞)上单调递减，故p(x)≤p(0)＝0，得a ≤0符合题意．(10分)②当0<a ≤4e －23时，令G(x)＝p′(x)＝2a(x ＋1)－2(x ＋2)e x ，则G′(x)＝2a －2(x ＋3)e x ，当x ≥0时，2(x ＋3)e x ≥6， 2a －2(x ＋3)e x ≤2（4e －2）3－6＝2（4e －11）3<0，所以对任意x ≥0，G ′(x)<0，得函数y ＝G(x)在[0，＋∞)上单调递减，所以G(x)≤G(0)＝2a －4.当2a －4≤0，即0<a ≤2时，对任意x ≥0，G(x)＝p′(x)≤0，得函数y ＝p(x)在[0，＋∞)上单调递减，所以，对任意x ≥0，p(x)≤p(0)＝0恒成立，得0<a ≤2符合题意．(13分)当2a －4>0，即2<a ≤4e －23时，由G(0)＝2a －4>0，G(1)＝4a －6e<0，得G(0)G(1)<0.又函数y ＝G(x)在区间[0，1]上的图象连续不间断，且单调递减，由零点存在定理可得，存在唯一x 0∈(0，1)，使得G(x 0)＝0. 所以，当x ∈(0，x 0)时，G(x)＝p′(x)>0，所以函数y ＝p(x)在(0，x 0)上单调递增，故当x ∈(0，x 0)时p(x)>0，与题意不符．综上，实数a 的取值范围是a ≤2.(16分)20. 解：(1) 数列{a n }是非零数列，所以a n ≠0. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝a 1a 22，a 2＝2；当n ≥2，n ∈N *时，a n ＝S n －S n －1＝a n a n ＋12－a n －1a n2，所以a n ＋1－a n －1＝2，(2分)所以{a 2n －1}是首项为1，公差为2的等差数列，{a 2n }是首项为2，公差也为2的等差数列，a 2n －1＝a 1＋2(n －1)＝2n －1，a 2n ＝a 2＋2(n －1)＝2n ，所以a n ＝n.(4分)(2) 设k ，m ，n ∈N *(k<m<n)，因为a k ，a m ，a n 成等比数列，所以m 2＝kn.因为16a k ，a 4m ，a 2n 成等差数列，所以2m 4＝16k ＋n 2.(6分) 消去m 可得2k 2n 2＝16k ＋n 2，所以n 2＝16k2k 2－1.因为n ≥3，所以16k2k 2－1>8，0<k<1＋32，k ∈N *.(8分)因此，k ＝1，m ＝2，n ＝4，k ＋m ＋n ＝7.(9分)(3) 若{b n }是单调递增数列，所以当n 是偶数，n －1<q n －1<n ＋1恒成立，两边取自然对数，化简可得ln （n －1）n －1<ln q<ln （n ＋1）n －1(*)，显然q>1.(11分)设函数f(x)＝ln xx ，求导f′(x)＝1－ln x x 2＝0，x ＝e ，当0<x<e 时，f ′(x)>0，所以f(x)是增函数；当x>e 时，f ′(x)<0，所以f(x)是减函数，所以f(x)在x ＝e 处取极大值．所以，当n ≥4时ln （n －1）n －1是递减数列，ln 11<ln 33，所以ln 33是ln （n －1）n －1的最大值，lnq>ln 33.(13分)设函数g(x)＝ln （x ＋2）x ，求导g′(x)＝xx ＋2－ln （x ＋2）x 2<0(x ≥1)，所以ln （n ＋1）n －1是递减数列，当n ＝6时，ln 75>ln 33；当n ＝8时，ln 97＝ln 372<ln 33.(15分)所以当2≤n ≤6时，存在q>313，(*)式成立，当n ＝8时(*)式右侧不等式不成立．所以，至多前8项是递增数列，即正整数r 的最大值是8.(16分)2020届高三模拟考试试卷(南京) 数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：设P(x ，y)是曲线C′上的任一点，它是椭圆C ：x 216＋y 24＝1上的点P 1(x′，y ′)在矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤140012对应变换作用下的对应点，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤14012⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′4y′2，(4分) 即⎩⎨⎧x ＝x′4，y ＝y′2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x′＝4x ，y ′＝2y.(6分)将⎩⎪⎨⎪⎧x′＝4x ，y ′＝2y ，代入x 216＋y 24＝1，得x 2＋y 2＝1.(10分)B. 解：以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系．(1分) 由直线ρsin (θ＋π3)＝32得ρsin θ·12＋ρcos θ·32＝32，∴12y ＋32x ＝32，即y ＝－3x ＋ 3.(4分) ∴直线与x 轴的交点为(1，0)．又点P 的直角坐标为(1，1)，∴圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1.(6分) ∵ x 2＋y 2－2x ＝0，ρ2－2ρcos θ＝0，∴ ρ＝0或ρ＝2cos θ. 又ρ＝0表示极点也在圆上，∴圆的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(10分)C. 解：因为(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)＝(a ＋1＋1)(b ＋1＋1)(c ＋1＋1)≥33a ·33b ·33c ＝273abc ＝27，(6分)当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立，所以(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)的最小值为27.(10分)22. 解：(1) 因为直四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1的底面是菱形，所以∠BAD ＝60°. 由E 为BC 的中点，可得DE ⊥BC.又AD ∥BC 可得DE ⊥AD.以D 为坐标原点，DA →的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.(1分)则A 1(2，0，4)，M(1，3，2)，C 1(－1，3，4)，E(0，3，0)， A 1M →＝(－1，3，－2)，C 1E →＝(1，0，－4)， cos 〈A 1M →，C 1E →〉＝A 1M →·C 1E →|A 1M →||C 1E →|＝－1＋88×17＝73468.所以，异面直线A 1M 与C 1E 所成角的余弦值为73468.(4分)(2) N(1，0，2)，A 1A →＝(0，0，－4)，A 1M →＝(－1，3，－2)，A 1N →＝(－1，0，－2)，MN →＝(0，－3，0)．设m ＝(x ，y ，z)为平面A 1MA 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1M →＝0，m ·A 1A →＝0，所以⎩⎨⎧－x ＋3y －2z ＝0，－4z ＝0，可取m ＝(3，1，0)．(6分)设n ＝(p ，q ，r)为平面A 1MN 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·MN →＝0，n ·A 1N →＝0，所以⎩⎨⎧－3q ＝0，－p －2r ＝0，可取n ＝(2，0，－1)．(8分)于是cos 〈m ，n 〉＝m·n|m||n|＝232×5＝155，所以二面角AMA 1N 的正弦值为105.(10分)23. 解：(1) 因为a n ＝m ＋C 1n ＋12＋C 2n ＋222＋C 3n ＋323＋…＋C n n ＋n2n ，所以a 2＝m ＋3＝4，所以m ＝1，此时a 1＝2.(2分)(2) 猜想：a n ＝2n .证明如下：(3分) ①当n ＝1时，由上知结论成立；(4分) ②假设n ＝k 时结论成立，则有a k ＝1＋C 1k ＋12＋C 2k ＋222＋C 3k ＋323＋…＋C k k ＋k2k ＝2k .则n ＝k ＋1时，a k ＋1＝1＋C 1k ＋1＋12＋C 2k ＋1＋222＋C 3k ＋1＋323＋…＋C k ＋1k ＋1＋k ＋12k ＋1.由C k ＋1n ＋1＝C k ＋1n ＋C kn 得a k ＋1＝1＋C 1k ＋1＋C 0k ＋12＋C 2k ＋2＋C 1k ＋222＋C 3k ＋3＋C 2k ＋323＋…＋C k k ＋k ＋C k －1k ＋k 2k ＋C k ＋1k ＋1＋k ＋12k ＋1＝2k ＋C 0k ＋12＋C 1k ＋222＋C 2k ＋323＋…＋C k －1k ＋k 2k ＋C k ＋1k ＋1＋k ＋12k ＋1， a k ＋1＝2k ＋12(C 0k ＋1＋C 1k ＋221＋C 2k ＋322＋…＋C k －1k ＋k 2k －1＋C k ＋1k ＋1＋k ＋12k ) ＝2k＋12(C 0k ＋1＋C 1k ＋221＋C 2k ＋322＋…＋C k －1k ＋1＋k －12k －1＋C k k ＋1＋k ＋C k ＋1k ＋1＋k 2k )．(7分)又C k ＋1k ＋1＋k＝（2k ＋1）！k ！（k ＋1）！＝（2k ＋1）！（k ＋1）（k ＋1）k ！（k ＋1）！＝12（2k ＋1）！（2k ＋2）（k ＋1）！（k ＋1）！＝12C k ＋1k ＋1＋k ＋1＝2k ＋12(C 0k ＋1＋C 1k ＋221＋C 2k ＋322＋…＋C k －1k ＋1＋k －12k －1＋C k k ＋1＋k 2k ＋C k ＋1k ＋1＋k ＋12k ＋1)，于是a k ＋1＝2k ＋12a k ＋1，所以a k ＋1＝2k ＋1，故n ＝k ＋1时结论也成立．由①②得a n ＝2n ，n ∈N *.(10分)。

2020届江苏省南京市六校联合体高三下学期5月联考试题数学(文科) PDF版

所以在△ABB1 中，NH∥BB1，且 NH＝12BB1.
又在三棱柱 ABCA1B1C1 中，所以 BB1∥CC1，且 BB1＝CC1. 又 M 为棱 CC1 上的一点，所以 CM∥NH，所以 CM，NH 共面．(10 分) 又 CN∥平面 AB1M，CN⊂平面 CNHM，平面 CNHM∩平面 AMB1＝MH，所以 CN∥MH，所以四边形 CNHM 为平行四边形，(12 分) 所以 CM∥NH，且 CM＝NH，
16. (本小题满分 14 分) 如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧面 BCC1B1 是矩形，平面 ACC1A1⊥平面 BCC1B1，M 是棱 CC1 上的一点． (1) 求证：BC⊥AM； (2) 若 N 是 AB 的中点，且 CN∥平面 AB1M，求证：M 是棱 CC1 中点．
17. (本小题满分 14 分) 疫情期间，某小区超市平面图如图所示，由矩形 OABC 与扇形 OCD 组成，OA＝30 米， AB＝50 米，∠COD＝π6 ，经营者决定在 O 点处安装一个监控摄像头，摄像头的监控视角∠EOF ＝π3 ，摄像头监控区域为图中阴影部分，要求点 E 在弧 CD 上，点 F 在线段 AB 上，设∠FOC ＝θ. (1) 求该监控摄像头所能监控到的区域面积 S 关于 θ 的函数关系式，并求出 tan θ 的取值范围； (2) 求监控区域面积 S 最大时，角 θ 的正切值．
＋…＋f(50)＝________．
8.
将函数
f(x)＝2sin(x＋π6
π )sin( 3
－x)图象向左平移
φ(φ>0)个单位长度，所得图象对应的
函数恰为偶函数，则 φ 的最小值为________． 9. 已知双曲线xa22－yb22＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2 且与 x 轴垂直的直

(含答案)江苏省南京市2020届高三年级5月份模拟考试

开始否输出S结束是第4题图江苏省南京市2020届高三年级5月份模拟考试数学试题(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．设集合{|32,}M m m m =-<<∈Z , Ｎ=R , 则N M I = ． 2．复数i1iz =+复平面上对应的点位于第象限 3．某次测验，将20名学生平均分为两组，测验结果两组学生成绩的平均分和标准差分别为90，6；80，4．则这20名学生成绩的方差为．4．执行如下图（右）所示的程序框图，输出的S 值为． 5．抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记所得的数字分别为x ，y ，则x y 为整数的概率是．6．函数()(3)x f x x e =-的单调递增区间是．7．已知双曲线22135x ym m +=-+的离心率为43，那么此双曲线的准线方程为8．已知正四棱锥P ABCD -的体积为43，底面边长为2，则侧棱PA 的长为 ▲ . 9．已知函数若则函数的最小正周期为 .10．已知等差数列{}n a 满足：128,6a a =-=-．若将145,,a a a 都加上同一个数m ，所得的三个数依次成等比数列，则m 的值为 ▲ 11．设函数π()3π)3f x x =+和π()sin(π)6g x x =-的图象在y 轴左、右两侧靠近y 轴的交点分别为M 、N ，已知O 为原点，则OM ON ⋅=u u u u r u u u r▲ ．12．设()sin 2cos 2(,)f x a x b x a b R =+∈，若()f x 5a b +的取值范围),20)(6sin()(<<+=ωπωx x f ,1)32(=πf )(x f y =为．13．在ABC V 中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，．已知2b =，且cos 2cos cos(C)1B B A ++-=，则2a c +的最小值为 .14．已知正实数x ，y 满足24310x y x y+++=，则xy 的取值范围为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)已知ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，向量)sin ,1(),,(sin B n a A m ==ρρ （1）当A n m sin 2=⋅ρρ时，求b 的值；（2）当n m ρρ//时，且a C 21cos =，求B A tan tan ⋅的值.16．(本小题满分14分)如图，四棱锥A BCDE -中，AB BC BE 、、两两垂直且AB BC BE ==，//DE BC ，=2DE BC ，F 是AE 的中点.（1）求证：//BF ACD 面；（2）求证：ADE ACD ⊥面面.17．(本小题满分14分)为解决城市的拥堵问题，某城市准备对现有的一条穿城公路MON 进行分流，已知穿城公路MON 自西向东到达城市中心点O 后转向东北方向，现准备修建一条城市高架道路L ，L 在MO 上设一出入口A ，在ON 上设一出入口B ，假设高架道路L 在AB 部分为直线段，且要求市中心O 与AB 的距离为10km ．（1）求两站点,A B 之间距离的最小值；（2）公路MO 段上距离市中心O 30km 处有一古建筑群C ，为保护古建筑群，设立一个以C 为圆心，5km 为半径的圆形保护区．则如何在古建筑群和市中心O 之间设计出入口A ，才能使高架道路及其延伸段不经过保护区？18．(本小题满分16分)已知点M 是圆C ：22(1)8x y ++=上的动点，定点D （1，0），点P 在直线DM 上，点N 在直线CM 上，且满足2DM DP =u u u u r u u u r ，NP DM ⋅u u u r u u u u r=0，动点N 的轨迹为曲线E ．（1）求曲线E 的方程；（2）若AB 是曲线E 的长为2的动弦，O 为坐标原点，求△AOB 面积S 的最大值．19．(本小题满分16分) 设首项为的正项数列的前项和为,为非零常数,已知对任意正整数,总成立.（1）求证：数列是等比数列；（2）若不等的正整数成等差数列，试比较与的大小；（3）若不等的正整数成等比数列，试比较与的大小.20．(本小题满分16分)已知函数(),()ln (xxf x e axg x e x e =+=是自然对数的底数）.（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线也是抛物线24(1)y x =-的切线，求a 的值；（2）若对于任意,()0x R f x ∈>恒成立，试确定实数a 的取值范围；（3）当1a =-时，是否存在0(0,)x ∈+∞，使曲线:()()C y g x f x =-在点0x x =处的切线斜率与()f x 在R 上的最小值相等？若存在，求符合条件的0x 的个数；若不存在，请说明理由.N江苏省南京市2020届高三年级5月份模拟考试数学附加题（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在答题相应的区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）A .（选修4-2：矩阵与变换）（本小题满分10分）设矩阵1221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求矩阵A 的逆矩阵的特征值及对应的特征向量.B .（选修4-4：坐标系与参数方程）（本小题满分10分）在极坐标系中，求曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π4(ρ∈R )对称的曲线的极坐标方程．C ．(选修4-5：不等式选讲）（本小题满分10分）已知关于x 的不等式20x ax b -+<的解集为(12)，，其中a b ∈，R ，求函数()((f x a b =--[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分）某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作。

2020届江苏省南京市十校高三下学期5月调研考试数学试卷及解析

2020届江苏省南京市十校高三下学期5月调研考试数学试卷★祝考试顺利★(解析版)一、填空题1. 已知集合{}2|20,{|1}A x x x B x x =-<=<,则A B =______________.【答案】(,2)-∞【解析】利用一元二次不等式解法求得集合A ,根据并集定义可求得结果.【详解】(){}()200,2A x x x =-<=,{}()1,1B x x =<=-∞,(),2A B ∴=-∞.故答案为：(),2-∞.2. 已知复数(2)(1)z a i i =++的实部为0,其中i 为虚数单位,a 为实数,则z =_____________.【答案】4i -【解析】根据复数乘法运算和实部定义可构造方程求得a ,进而根据共轭复数定义得到结果.【详解】()()()()2122z a i i a a i =++=-++的实部为0,20a ∴-=,解得：2a =,4z i ∴=,4z i ∴=-.故答案为：4i -.3. 如图,茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩,则方差较小的那组同学成绩的方差为________．【答案】143试题分析：因为方差越小成绩越稳定,所以方差较小为乙组同学,方差为2222(2)(1)(3)1492,33x s -+-+=== 4. 运行如图所示的伪代码,则输出的S 的值为_____________.【答案】25【解析】运行代码,根据循环结构依次运算即可得到结果.【详解】运行代码,输入0S =,1I =,满足10I <,循环；则011S =+=,123I =+=,满足10I <,循环；则134S =+=,325I =+=,满足10I <,循环；则459S =+=,527I =+=,满足10I <,循环；则9716S =+=,729I =+=,满足10I <,循环；则16925S =+=,9211I =+=,不满足10I <,结束循环,输出25S =.故答案为：25.5. 某兴趣小组有2名女生和3名男生,现从中任选2名学生去参加活动,则至多有一名男生的。

江苏省南京市2020届高三年级5月份模拟考试试题与答案

江苏省南京市六校联合体2020届高三下学期5月联考数学(含答案)

江苏省南京市六校联合体2020届高三模拟考试试卷数学(满分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 已知集合A ＝{x|x 2－2x<0}，B ＝{x|x<1}，则A∪B＝________．2. 已知复数z ＝(a ＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i 为虚数单位，a 为实数，则z －＝________． 3. 如图，用茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为________．(第3题)4. 运行如图所示的伪代码，则输出S 的值为________． S←0 I ←1 While I<10 S←S＋I I←I＋2 End While Print S(第4题)5. 某兴趣小组有2名女生和3名男生，现从中任选2名学生去参加活动，则至多有一名男生的概率为________．6. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 5＝2S 10，则S 5＋4S 15S 10－S 5＝________．7. 已知函数f(x)为定义在R 上的奇函数，且满足f(x)＝f(2－x)．若f(1)＝3，则f(1)＋f(2)＋…＋f(50)＝________．8. 将函数f(x)＝2sin(x ＋π6)sin(π3－x)图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象对应的函数恰为偶函数，则φ的最小值为________．9. 已知双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且与x 轴垂直的直线与双曲线交于A ，B 两点．若F 1F 2＝32AB ，则双曲线的渐近线方程为____________．10. 如图，五边形ABCDE 由两部分组成，△ABE 是以角B 为直角的直角三角形，四边形BCDE 为正方形，现将该图形以AC 为轴旋转一周，构成一个新的几何体．若形成的圆锥和圆柱的侧面积相等，则圆锥和圆柱的体积之比为________．11. 在平行四边形ABCD 中，AD ＝2AB ＝6，∠DAB ＝60°，DE →＝12EC →，BF →＝12FC →.若FG→＝2GE →，则AG →·BD →＝________．12. 已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若a ＝3bcos C ，则1tan A ＋1tan B ＋1tan C的最小值为________．13. 已知圆O ：x 2＋y 2＝4，点A(2，2)，直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，点E 在直线l 上且满足 PQ →＝2QE →.若AE 2＋2AP 2＝48，则弦PQ 中点M 的横坐标的取值范围是________．14. 若函数f(x)＝(x 3－3a 2x ＋2a)·(e x－1)的图象恰好经过三个象限，则实数a 的取值范围是________．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知bsin A ＝asin(2π3－B)．(1) 求角B 的大小；(2) 若a ＝2，c ＝3，求sin(A －C)的值．16. (本小题满分14分)如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，侧面BCC 1B 1是矩形，平面ACC 1A 1⊥平面BCC 1B 1，M 是棱CC 1上的一点．(1) 求证：BC⊥AM；(2) 若N 是AB 的中点，且CN∥平面AB 1M ，求证：M 是棱CC 1中点．17. (本小题满分14分)疫情期间，某小区超市平面图如图所示，由矩形OABC 与扇形OCD 组成，OA ＝30米，AB ＝50米，∠COD ＝π6，经营者决定在O 点处安装一个监控摄像头，摄像头的监控视角∠EOF＝π3，摄像头监控区域为图中阴影部分，要求点E 在弧CD 上，点F 在线段AB 上，设∠FOC＝θ.(1) 求该监控摄像头所能监控到的区域面积S 关于θ的函数关系式，并求出tan θ的取值范围； (2) 求监控区域面积S 最大时，角θ的正切值．18. (本小题满分16分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左焦点为F 1，点A ，B 为椭圆的左、右顶点，点P 是椭圆上一点，且直线PF 1的倾斜角为π4，PF 1＝2，椭圆的离心率为22.(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设M ，N 为椭圆上异于A ，B 的两点，若直线BN 的斜率等于直线AM 斜率的2倍，求四边形AMBN 面积的最大值．19. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c ∈R )，g(x)＝e x.(1) 若a ＝b ＝1，c ＝－1，求函数h(x)＝f （x ）g （x ）在x ＝1处的切线方程；(2) 若a ＝1，且x ＝1是函数m(x)＝f(x)g(x)的一个极值点，确定m(x)的单调区间； (3) 若b ＝2a ，c ＝2，且对任意x≥0，f （x ）g （x ）≤2x ＋2恒成立，求实数a 的取值范围．20. (本小题满分16分)设数列{a n }(任意项都不为零)的前n 项和为S n ，首项为1，对于任意n∈N *，满足S n ＝a n ·a n ＋12.(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 是否存在k ，m ，n ∈N *(k<m<n)，使得a k ，a m ，a n 成等比数列，且16a k ，a 4m ，a 2n 成等差数列？若存在，试求k ＋m ＋n 的值；若不存在，请说明理由；(3) 设数列{b n }，b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n ＝2k －1，k ∈N *，q n －1，n ＝2k ，k ∈N *(q>0)，若由{b n }的前r 项依次构成的数列是单调递增数列，求正整数r 的最大值．数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换) 求椭圆C ：x 216＋y24＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤140012对应的变换作用下所得曲线C′的方程．B. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知圆C 经过点P(2，π4)，圆心为直线ρsin (θ＋π3)＝32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．C. (选修45：不等式选讲)已知正数a ，b ，c 满足abc ＝1，求(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)的最小值．【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，直四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD ＝60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．(1) 求异面直线A 1M 与C 1E 所成角的余弦值； (2) 求二面角AMA 1N 的平面角的正弦值．23. 已知数列{a n }满足a n ＝m ＋C 1n ＋12＋C 2n ＋222＋C 3n ＋323＋…＋C nn ＋n 2n ，n ∈N *，其中m 为常数，a 2＝4.(1) 求m ，a 1的值；(2) 猜想数列{a n }的通项公式，并证明．2020届高三模拟考试试卷(南京)数学参考答案及评分标准1. (－∞，2)2. －4i3. 1434. 255. 7106. －87. 38. π12 9. y ＝±2x10.33 11. 21 12. 273 13. (－1－72，－1＋72) 14. [－1，0)∪(0，1] 15. 解：(1) 在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，及bsin A ＝asin(2π3－B)，得sin Bsin A ＝sin Asin(2π3－B)．(2分) 由A∈(0，π)时，sin A>0，可得sin B ＝sin(2π3－B)，展开得sin B ＝sin 2π3cos B －cos 2π3sin B ，即sin B ＝3cos B ．(4分)又由B∈(0，π)，得sin B>0，从而cos B ≠0，从而有tan B ＝3，可得B ＝π3.(6分)(2) 在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，得b 2＝a 2＋c 2－2accos B ＝7，故b ＝7.(7分) 由a sin A ＝b sin B ，得2sin A ＝732，解得sin A ＝37. 因为a<c ，故cos A ＝27.(9分)因此sin 2A ＝2sin Acos A ＝437，cos 2A ＝2cos 2A －1＝17.(11分)因为A －C ＝A －(2π3－A)＝2A －2π3，所以sin(A －C)＝sin(2A －2π3)＝sin 2Acos 2π3－cos 2Asin 2π3＝437×(－12)－17×32＝－5314.(14分)16. 证明：(1) 因为侧面BCC 1B 1是矩形，所以BC⊥CC 1.(2分)又平面ACC 1A 1⊥平面BCC 1B 1，平面ACC 1A 1∩平面BCC 1B 1＝CC 1，BC ⊂平面BCC 1B 1，所以BC⊥平面ACC 1A 1.(4分)又AM ⊂平面ACC 1A 1，所以BC⊥AM.(6分) (2) (证法1)取AB 1中点H ，连结NH ，HM. 因为N 是AB 的中点，所以在△ABB 1中，NH ∥BB 1，且NH ＝12BB 1.又在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，所以BB 1∥CC 1，且BB 1＝CC 1.又M 为棱CC 1上的一点，所以CM∥NH，所以CM ，NH 共面．(10分)又CN∥平面AB 1M ，CN ⊂平面CNHM ，平面CNHM∩平面AMB 1＝MH ，所以CN∥MH，所以四边形CNHM 为平行四边形，(12分) 所以CM∥NH，且CM ＝NH ，所以CM ＝12BB 1＝12CC 1，所以M 是棱CC 1中点．(14分) (证法2)因为在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，所以BB 1∥CC 1，且BB 1＝CC 1.因为CM∥BB 1，CM ⊄平面ABB 1A 1，BB 1⊂平面ABB 1A 1，所以CM∥平面ABB 1A 1.(8分)所以过MCN 可作平面α交直线AB 1于点H ，则CM ⊂平面α，平面α∩平面ABB 1A 1＝NH ，所以CM∥NH.(10分)又CN∥平面AB 1M ，CN ⊂平面α，平面α∩平面AMB 1＝MH ，所以CN∥MH，所以四边形CNHM 为平行四边形，(12分) 所以NH∥AC∥BB 1.又△ABB 1中N 是AB 的中点，所以H 是AB 1的中点，所以NH ＝12BB 1＝CM ，所以M 是棱CC 1中点．(14分)17. 解：(1) 扇形EOC 的面积为12×(π3－θ)×502＝2 500π6－2 5002θ.(2分)四边形OCBF 的面积为30×50－12×30×30tan θ.(4分)故阴影部分的面积为S(θ)＝1 500＋2 500π6－50(9tan θ＋25θ)．(6分)因为θ∈[θ0，π3]，tan θ0＝35，所以tan θ∈[35，3]．(8分)(2) 设h(θ)＝9tan θ＋25θ，则h′(θ)＝－9sin 2θ－9cos 2θsin 2θ＋25＝－9sin 2θ＋25. 令h′(θ)＝0得tan θ＝34∈[35，3]．(10分)记其解为θ1，并且h(θ)在[θ0，θ1)上单调递减，在(θ1，π3]上单调递增，所以h(θ)的最小值为h(θ1)，阴影部分的面积最大值为1 500＋2 500π6－50h(θ1)，此时tan θ1＝34.(13分)答：监控区域面积S 最大时，角θ的正切值为34.(14分)18. 解：(1) 因为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，所以a ＝2c.设椭圆右焦点为F 2，在△F 1PF 2中，PF 1＝2，∠PF 1F 2＝π4，由余弦定理得(2a －2)2＝22＋(2c)2－2×2c×2×cos π4，解得c ＝2，则a ＝2，b ＝2，所以椭圆的方程为x 24＋y22＝1.(4分)(2) (解法1)设直线AM 的斜率为k ，则直线AM 的方程为y ＝k(x ＋2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），x 24＋y 22＝1，整理得(2k 2＋1)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0，Δ＝64k 4－4(2k 2＋1)(8k 2－4)>0. 设M(x 1，y 1)，则－2x 1＝8k 2－42k 2＋1，即x 1＝2－4k 22k 2＋1，从而y 1＝4k2k 2＋1.(8分)由k BN ＝2k AM ，可得直线BN 的方程为y ＝2k(x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2k （x －2），x 24＋y 22＝1，整理得(8k 2＋1)x 2－32k 2x ＋32k 2－4＝0，Δ＝322k 4－4(8k 2＋1)(32k 2－4)>0.设N(x 2，y 2)，则2x 2＝32k 2－48k 2＋1，即x 2＝16k 2－28k 2＋1，从而y 2＝－8k8k 2＋1.(12分)由对称性，不妨设k>0，则四边形AMBN 的面积 S ＝12×4×(y 1－y 2)＝2(4k 2k 2＋1＋8k8k 2＋1) ＝24×4k 3＋k（2k 2＋1）（8k 2＋1）＝24×1k ＋4k （8k ＋1k ）（2k ＋1k ）＝24×1k ＋4k 16k 2＋1k2＋10＝24×1k＋4k （1k ＋4k ）2＋2＝241k ＋4k ＋21k ＋4k .令t ＝1k＋4k ，则t≥21k ×4k＝4(当且仅当k ＝12时取等号)，则S ＝24t ＋2t ≤244＋12＝163，故S 的最大值为163.(16分)(解法2)设M(x 1，y 1)，则y 21＝12(4－x 21)，A(－2，0)，B(2，0)，则k MA ·k MB ＝y 1－0x 1＋2·y 1－0x 1－2＝y 21x 21－4＝－12.(6分)由k BN ＝2k MA ，故k BN ·k BM ＝－1.(7分)设直线MN 的方程为x ＝my ＋t ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，x 24＋y 22＝1，整理得(m 2＋2)y 2＋2mty ＋t 2－4＝0，即t 2<2m 2＋4. 设N(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－2mt m 2＋2，y 1y 2＝t 2－4m 2＋2.(9分)由k BN ·k BM ＝－1，得y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0，将y 1＋y 2＝－2mt m 2＋2，y 1y 2＝t 2－4m 2＋2代入整理得(m2＋1)(t ＋2)－2m 2t ＋(t －2)(m 2＋2)＝0，即t ＝23，满足t 2<2m 2＋4.(12分)则四边形AMBN 的面积S ＝12×4|y 1－y 2|＝2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝2（－2mt m 2＋2）2－4×t 2－4m 2＋2＝839m 2＋16（m 2＋2）2，令u ＝m 2＋2，则S ＝839u －2u 2，u ≥2，解得S 的最大值为163.(16分)19. 解：(1) (1) 因为a ＝b ＝1，c ＝－1，所以h(x)＝x 2＋x －1e x ，h ′(x)＝－x 2＋x ＋2e x. 令x ＝1，则h′(1)＝2e ，又h(1)＝1e ，所以y －1e ＝2e (x －1)，即2x －ey －1＝0.(2分)(2) 因为a ＝1，所以m(x)＝(x 2＋bx ＋c)e x，m ′(x)＝[x 2＋(b ＋2)x ＋b ＋c]e x. 因为x ＝1是函数m(x)的一个极值点，所以m′(1)＝0，解得c ＝－2b －3，则m′(x)＝[x 2＋(b ＋2)x －b －3]e x＝(x －1)[x ＋(b ＋3)]e x. 令m′(x)＝0，解得x 1＝1，x 2＝－b －3.(4分) 因为x ＝1是一个极值点，所以－b －3≠1，即b≠－4. 当－b －3>1，即b<－4时，由m′(x)>0解得x∈(－∞，1)或x∈(－b －3，＋∞)，由m′(x)<0解得x∈(1，－b －3)；当－b －3<1，即b>－4时，由m′(x)>0解得x∈(－∞，－b －3)或x∈(1，＋∞)，由m′(x)<0解得x∈(－b －3，1)．(7分)综上，当b<－4时，m(x)的单调递增区间为(－∞，1)和(－b －3，＋∞)，单调递减区间为(1，－b －3)；当b>－4时，m(x)的单调递增区间为(－∞，－b －3)和(1，＋∞)，单调递减区间为(－b －3，1)．(8分)(3) 因为b ＝2a ，c ＝2，所以f （x ）g （x ）＝ax 2＋2ax ＋2e x≤2x ＋2对任意x≥0恒成立，即ax 2＋2ax ＋2－(2x ＋2)e x≤0对任意x≥0恒成立．令p(x)＝ax 2＋2ax ＋2－(2x ＋2)e x，p(0)＝0，由p(1)＝3a ＋2－4e ≤0得a≤4e －23.(9分)p ′(x)＝2a(x ＋1)－2(x ＋2)e x.①当a≤0时，对任意x≥0，p ′(x)≤0，所以函数y ＝p(x)在[0，＋∞)上单调递减，故p(x)≤p(0)＝0，得a≤0符合题意．(10分)②当0<a≤4e －23时，令G(x)＝p′(x)＝2a(x ＋1)－2(x ＋2)e x，则G′(x)＝2a －2(x ＋3)e x，当x≥0时，2(x ＋3)e x≥6，2a －2(x ＋3)e x≤2（4e －2）3－6＝2（4e －11）3<0，所以对任意x≥0，G ′(x)<0，得函数y ＝G(x)在[0，＋∞)上单调递减，所以G(x)≤G(0)＝2a －4.当2a －4≤0，即0<a≤2时，对任意x≥0，G(x)＝p′(x)≤0，得函数y ＝p(x)在[0，＋∞)上单调递减，所以，对任意x≥0，p (x)≤p(0)＝0恒成立，得0<a≤2符合题意．(13分) 当2a －4>0，即2<a≤4e －23时，由G(0)＝2a －4>0，G(1)＝4a －6e<0，得G(0)G(1)<0.又函数y ＝G(x)在区间[0，1]上的图象连续不间断，且单调递减，由零点存在定理可得，存在唯一x 0∈(0，1)，使得G(x 0)＝0. 所以，当x∈(0，x 0)时，G(x)＝p′(x)>0，所以函数y ＝p(x)在(0，x 0)上单调递增，故当x∈(0，x 0)时p(x)>0，与题意不符．综上，实数a 的取值范围是a ≤2.(16分) 20. 解：(1) 数列{a n }是非零数列，所以a n ≠0. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝a 1a 22，a 2＝2；当n≥2，n ∈N *时，a n ＝S n －S n －1＝a n a n ＋12－a n －1a n 2，所以a n ＋1－a n －1＝2，(2分)所以{a 2n －1}是首项为1，公差为2的等差数列，{a 2n }是首项为2，公差也为2的等差数列，a 2n －1＝a 1＋2(n －1)＝2n －1，a 2n ＝a 2＋2(n －1)＝2n ，所以a n ＝n.(4分)(2) 设k ，m ，n ∈N *(k<m<n)，因为a k ，a m ，a n 成等比数列，所以m 2＝kn. 因为16a k ，a 4m ，a 2n 成等差数列，所以2m 4＝16k ＋n 2.(6分) 消去m 可得2k 2n 2＝16k ＋n 2，所以n 2＝16k 2k 2－1.因为n≥3，所以16k 2k 2－1>8，0<k<1＋32，k ∈N *.(8分)因此，k ＝1，m ＝2，n ＝4，k ＋m ＋n ＝7.(9分) (3) 若{b n }是单调递增数列，所以当n 是偶数，n －1<q n －1<n ＋1恒成立，两边取自然对数，化简可得ln （n －1）n －1<ln q<ln （n ＋1）n －1(*)，显然q>1.(11分)设函数f(x)＝ln x x ，求导f′(x)＝1－ln xx 2＝0，x ＝e ，当0<x<e 时，f ′(x)>0，所以f(x)是增函数；当x>e 时，f ′(x)<0，所以f(x)是减函数，所以f(x)在x ＝e 处取极大值．所以，当n≥4时ln （n －1）n －1是递减数列，ln 11<ln 33，所以ln 33是ln （n －1）n －1的最大值，lnq>ln 33.(13分) 设函数g(x)＝ln （x ＋2）x ，求导g′(x)＝xx ＋2－ln （x ＋2）x 2<0(x≥1)，所以ln （n ＋1）n －1是递减数列，当n ＝6时，ln 75>ln 33；当n ＝8时，ln 97＝ln 372<ln 33.(15分)所以当2≤n≤6时，存在q>313，(*)式成立，当n ＝8时(*)式右侧不等式不成立．所以，至多前8项是递增数列，即正整数r 的最大值是8.(16分)2020届高三模拟考试试卷(南京) 数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：设P(x ，y)是曲线C′上的任一点，它是椭圆C ：x 216＋y24＝1上的点P 1(x′，y ′)在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤140012对应变换作用下的对应点，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤140012⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x′4y′2，(4分) 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x′4，y ＝y′2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x′＝4x ，y ′＝2y.(6分)将⎩⎪⎨⎪⎧x′＝4x ，y ′＝2y ，代入x 216＋y 24＝1，得x 2＋y 2＝1.(10分)B. 解：以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系．(1分) 由直线ρsin (θ＋π3)＝32得ρsin θ·12＋ρcos θ·32＝32，∴12y ＋32x ＝32，即y ＝－3x ＋ 3.(4分) ∴直线与x 轴的交点为(1，0)．又点P 的直角坐标为(1，1)，∴圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1.(6分) ∵ x 2＋y 2－2x ＝0，ρ2－2ρcos θ＝0，∴ ρ＝0或ρ＝2cos θ. 又ρ＝0表示极点也在圆上，∴圆的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(10分)C. 解：因为(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)＝(a ＋1＋1)(b ＋1＋1)(c ＋1＋1)≥33a ·33b ·33c ＝273abc ＝27，(6分)当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立，所以(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)的最小值为27.(10分)22. 解：(1) 因为直四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1的底面是菱形，所以∠BAD＝60°. 由E 为BC 的中点，可得DE⊥BC.又AD∥BC 可得DE⊥AD.以D 为坐标原点，DA →的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.(1分) 则A 1(2，0，4)，M(1，3，2)，C 1(－1，3，4)，E(0，3，0)， A 1M →＝(－1，3，－2)，C 1E →＝(1，0，－4)， cos 〈A 1M →，C 1E →〉＝A 1M →·C 1E →|A 1M →||C 1E →|＝－1＋88×17＝73468.所以，异面直线A 1M 与C 1E 所成角的余弦值为73468.(4分)(2) N(1，0，2)，A 1A →＝(0，0，－4)，A 1M →＝(－1，3，－2)，A 1N →＝(－1，0，－2)，MN →＝(0，－3，0)．设m ＝(x ，y ，z)为平面A 1MA 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1M →＝0，m ·A 1A →＝0，所以⎩⎨⎧－x ＋3y －2z ＝0，－4z ＝0，可取m ＝(3，1，0)．(6分)设n ＝(p ，q ，r)为平面A 1MN 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·MN →＝0，n ·A 1N →＝0，所以⎩⎨⎧－3q ＝0，－p －2r ＝0，可取n ＝(2，0，－1)．(8分)于是cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n|＝232×5＝155，所以二面角AMA 1N 的正弦值为105.(10分) 23. 解：(1) 因为a n ＝m ＋C 1n ＋12＋C 2n ＋222＋C 3n ＋323＋…＋C nn ＋n2n ，所以a 2＝m ＋3＝4，所以m ＝1，此时a 1＝2.(2分) (2) 猜想：a n ＝2n.证明如下：(3分) ①当n ＝1时，由上知结论成立；(4分) ②假设n ＝k 时结论成立，则有a k ＝1＋C 1k ＋12＋C 2k ＋222＋C 3k ＋323＋…＋C kk ＋k 2k ＝2k.则n ＝k ＋1时，a k ＋1＝1＋C 1k ＋1＋12＋C 2k ＋1＋222＋C 3k ＋1＋323＋…＋C k ＋1k ＋1＋k ＋12k ＋1.由C k ＋1n ＋1＝C k ＋1n ＋C kn 得a k ＋1＝1＋C 1k ＋1＋C 0k ＋12＋C 2k ＋2＋C 1k ＋222＋C 3k ＋3＋C 2k ＋323＋…＋C kk ＋k ＋C k －1k ＋k 2k＋C k ＋1k ＋1＋k ＋12k ＋1 ＝2k＋C 0k ＋12＋C 1k ＋222＋C 2k ＋323＋…＋C k －1k ＋k 2k ＋C k ＋1k ＋1＋k ＋12k ＋1，a k ＋1＝2k＋12(C 0k ＋1＋C 1k ＋221＋C 2k ＋322＋…＋C k －1k ＋k 2k －1＋C k ＋1k ＋1＋k ＋12k) ＝2k＋12(C 0k ＋1＋C 1k ＋221＋C 2k ＋322＋…＋C k －1k ＋1＋k －12k －1＋C k k ＋1＋k ＋C k ＋1k ＋1＋k2k)．(7分) 又C k ＋1k ＋1＋k ＝（2k ＋1）！k ！（k ＋1）！＝（2k ＋1）！（k ＋1）（k ＋1）k ！（k ＋1）！＝12（2k ＋1）！（2k ＋2）（k ＋1）！（k ＋1）！＝12C k ＋1k ＋1＋k ＋1＝2k＋12(C 0k ＋1＋C 1k ＋221＋C 2k ＋322＋…＋C k －1k ＋1＋k －12k －1＋C kk ＋1＋k 2k ＋C k ＋1k ＋1＋k ＋12k ＋1)，于是a k ＋1＝2k ＋12a k ＋1，所以a k ＋1＝2k ＋1，故n ＝k ＋1时结论也成立．由①②得a n ＝2n，n ∈N *.(10分)。

江苏省南京市十校2020届高三下学期5月调研试题数学含附加题

江苏省南京市十校2020届高三下学期5月调研数学试题2020．5第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合A ＝{}220x x x -<，B ＝{}1x x <，则A U B ＝．2．已知复数(2i)(1i)z a =++的实部为0，其中i 为虚数单位，a 为实数，则z ＝． 3．如图，用茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为． 4．运行如图所示的伪代码，则输出的S 的值为．5．某兴趣小组有2名女生和3名男生，现从中任选2名学生去参加活动，则至多有一名男生的概率为． 6．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5102S S =，则5151054S S S S +-＝．7．函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足()(2)f x f x =-，若(1)3f =，则(1)(2)f f +(50)f ++L ＝．8．将函数()2sin()sin()63f x x x ππ=+-图象向左平移ϕ(ϕ＞0)个单位，所得图象对应的函数恰为偶函数，则ϕ的最小值为．9．双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且与x 轴垂直的直线与双曲线交于A ，B 两点，若F 1F 2＝3AB ，则双曲线的渐近线方程为． 10．如图，五边形ABCDE 由两部分组成，△ABE 是以角B 为直角的直角三角形，四边形BCDE为正方形，现将该图形以AC 为轴旋转一周，构成一个新的几何体．若形成的圆锥和圆柱的侧面积相等，则圆锥和圆柱的体积之比为．11．在平行四边形ABCD 中，AD ＝2AB ＝6，∠DAB ＝60°，1DE EC 2=u u u r u u u r ，1BF FC 2=u u u r u u u r．若FG 2GE =u u u r u u u r ，则AG BD ⋅u u u r u u u r＝．12．已知在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若a ＝3b cosC ，则1tan A ＋1tan B＋1tan C的最小值为． 13．已知圆O ：224x y +=，点A(2，2)，直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，点E 在直线l 上且满足PQ 2QE =u u u r u u u r ．若AE 2＋2AP 2＝48，则弦PQ 中点M 的横坐标的取值范围为．14．函数32()(32)(1)xf x x a x a e =-+⋅-的图象恰好经过三个象限，则实数a 的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2sin A sin(B)3b a π=-．（1）求角B 的大小；（2）若a ＝2，c ＝3，求sin(A ﹣C)的值．16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧面BCC 1B 1是矩形，平面ACC 1A 1⊥平面BCC 1B 1，M 是棱CC 1上的一点．（1）求证：BC ⊥AM ；（2）若N 是AB 的中点，且CN ∥平面AB 1M ，求证：M 是棱CC 1中点．17．（本小题满分14分）疫情期间，某小区超市平面图如图所示，由矩形OABC 与扇形OCD 组成，OA ＝30米，AB ＝50米，∠COD ＝6π，经营者决定在O 点处安装一个监控摄像头，摄像头的监控视角∠EOF ＝3π，摄像头监控区域为图中阴影部分，要求点E 在弧CD 上，点F 在线段AB 上．设∠FOC ＝θ．（1）求该监控摄像头所能监控到的区域面积S 关于θ的函数关系式，并求出tan θ的取值范围；（2）求监控区域面积S 最大时，角θ的正切值．18．（本小题满分16分）已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，点A ，B 为椭圆的左、右顶点，点P 是椭圆上一点，且直线PF 1的倾斜角为4π，PF 1＝2，已知椭圆的离心率为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 为椭圆上异于A ，B 的两点，若直线BN 的斜率等于直线AM 斜率的2倍，求四边形AMBN 面积的最大值．19．（本小题满分16分）已知函数2()f x ax bx c =++，(a ，b ，c ∈R)，()xg x e =．（1）若a ＝b ＝1，c ＝﹣1，求函数()()()f x h xg x =在x ＝1处的切线方程；（2）若a ＝1，且x ＝1是函数()()()m x f x g x =的一个极值点，确定()m x 的单调区间；（3）若b ＝2a ，c ＝2，且对任意x ≥0，()22()f x xg x ≤+恒成立，求实数a 的取值范围． 20．（本小题满分16分）设数列{}n a （任意项都不为零）的前n 项和为n S ，首项为1，对于任意n N *∈，满足12n n n a a S +⋅=．（1）数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在k ，m ，n N *∈(k ＜m ＜n )，使得k a ，m a ，n a 成等比数列，且16k a ，4m a ，2n a 成等差数列？若存在，试求k ＋m ＋n 的值；若不存在，请说明理由；（3）设数列{}n b ，121N2Nn n n a n k k b q n k k *-*⎧=-∈⎪=⎨=∈⎪⎩，，，，(q ＞0)，若由{}n b 的前r 项依次构成的数列是单调递增数列，求正整数r 的最大值．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换求椭圆C ：221164x y +=在矩阵A ＝1 0410 2⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下所得曲线C′的方程．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C 经过点，4π)，圆心为直线sin()3πρθ+=与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．C．选修4—5：不等式选讲已知正数a，b，c满足abc＝1，求(a＋2)(b＋2)(c＋2)的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N 分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）求异面直线A1M与C1E所成角的余弦值；（2）求二面角A—MA1—N的平面角的正弦值．23．（本小题满分10分）已知数列{}n a满足123123232222nn n n n nn nC C C Ca m++++=+++++L，n N*∈，其中m为常数，24a=．（1）求m，1a的值；（2）猜想数列{}n a的通项公式，并证明．参考答案。

2020年南京市六校联合体高三数学5月模拟联考卷附答案解析

2020年南京市六校联合体高三数学5月模拟联考卷(满分160分，考试时间120分钟) 2020．05一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 已知集合A ＝{x|x 2－2x<0}，B ＝{x|x<1}，则A ∪B ＝________．2. 已知复数z ＝(a ＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i 为虚数单位，a 为实数，则z －＝________． 3. 如图，用茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为________．(第3题)4. 运行如图所示的伪代码，则输出S 的值为________． S ←0 I ←1 While I<10 S ←S ＋I I ←I ＋2 End WhilePrint S (第4题)5. 某兴趣小组有2名女生和3名男生，现从中任选2名学生去参加活动，则至多有一名男生的概率为________．6. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 5＝2S 10，则S 5＋4S 15S 10－S 5＝________．7. 已知函数f(x)为定义在R 上的奇函数，且满足f(x)＝f(2－x)．若f(1)＝3，则f(1)＋f(2)＋…＋f(50)＝________．8. 将函数f(x)＝2sin(x ＋π6)sin(π3－x)图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象对应的函数恰为偶函数，则φ的最小值为________．9. 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且与x 轴垂直的直线与双曲线交于A ，B 两点．若F 1F 2＝32AB ，则双曲线的渐近线方程为____________．10. 如图，五边形ABCDE 由两部分组成，△ABE 是以角B 为直角的直角三角形，四边形BCDE 为正方形，现将该图形以AC 为轴旋转一周，构成一个新的几何体．若形成的圆锥和圆柱的侧面积相等，则圆锥和圆柱的体积之比为________．11. 在平行四边形ABCD 中，AD ＝2AB ＝6，∠DAB ＝60°，DE →＝12EC →，BF →＝12FC →.若FG →＝2GE →，则AG →·BD →＝________．12. 已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若a ＝3bcos C ，则1tan A ＋1tan B ＋1tan C的最小值为________．13. 已知圆O ：x 2＋y 2＝4，点A(2，2)，直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，点E 在直线l 上且满足 PQ →＝2QE →.若AE 2＋2AP 2＝48，则弦PQ 中点M 的横坐标的取值范围是________．14. 若函数f(x)＝(x 3－3a 2x ＋2a)·(e x －1)的图象恰好经过三个象限，则实数a 的取值范围是________．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知bsin A ＝asin(2π3－B)．(1) 求角B 的大小；(2) 若a ＝2，c ＝3，求sin(A －C)的值．16. (本小题满分14分)如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，侧面BCC 1B 1是矩形，平面ACC 1A 1⊥平面BCC 1B 1，M 是棱CC 1上的一点．(1) 求证：BC ⊥AM ；(2) 若N 是AB 的中点，且CN ∥平面AB 1M ，求证：M 是棱CC 1中点．17. (本小题满分14分)疫情期间，某小区超市平面图如图所示，由矩形OABC 与扇形OCD 组成，OA ＝30米，AB ＝50米，∠COD ＝π6，经营者决定在O 点处安装一个监控摄像头，摄像头的监控视角∠EOF ＝π3，摄像头监控区域为图中阴影部分，要求点E 在弧CD 上，点F 在线段AB 上，设∠FOC ＝θ.(1) 求该监控摄像头所能监控到的区域面积S 关于θ的函数关系式，并求出tan θ的取值范围； (2) 求监控区域面积S 最大时，角θ的正切值．18. (本小题满分16分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)的左焦点为F 1，点A ，B 为椭圆的左、右顶点，点P 是椭圆上一点，且直线PF 1的倾斜角为π4，PF 1＝2，椭圆的离心率为22.(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设M ，N 为椭圆上异于A ，B 的两点，若直线BN 的斜率等于直线AM 斜率的2倍，求四边形AMBN 面积的最大值．19. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c ∈R )，g(x)＝e x .(1) 若a ＝b ＝1，c ＝－1，求函数h(x)＝f （x ）g （x ）在x ＝1处的切线方程；(2) 若a ＝1，且x ＝1是函数m(x)＝f(x)g(x)的一个极值点，确定m(x)的单调区间； (3) 若b ＝2a ，c ＝2，且对任意x ≥0，f （x ）g （x ）≤2x ＋2恒成立，求实数a 的取值范围．20. (本小题满分16分)设数列{a n }(任意项都不为零)的前n 项和为S n ，首项为1，对于任意n ∈N *，满足S n ＝a n ·a n ＋12.(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 是否存在k ，m ，n ∈N *(k<m<n)，使得a k ，a m ，a n 成等比数列，且16a k ，a 4m ，a 2n 成等差数列？若存在，试求k ＋m ＋n 的值；若不存在，请说明理由；(3) 设数列{b n }，b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n ＝2k －1，k ∈N *，q n －1，n ＝2k ，k ∈N *(q>0)，若由{b n }的前r 项依次构成的数列是单调递增数列，求正整数r 的最大值．数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)求椭圆C ：x 216＋y 24＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤140012对应的变换作用下所得曲线C′的方程．B. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知圆C 经过点P(2，π4)，圆心为直线ρsin (θ＋π3)＝32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．C. (选修45：不等式选讲)已知正数a ，b ，c 满足abc ＝1，求(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)的最小值．【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，直四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD ＝60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．(1) 求异面直线A 1M 与C 1E 所成角的余弦值； (2) 求二面角AMA 1N 的平面角的正弦值．23. 已知数列{a n }满足a n ＝m ＋C 1n ＋12＋C 2n ＋222＋C 3n ＋323＋…＋C n n ＋n2n ，n ∈N *，其中m 为常数，a 2＝4.(1) 求m ，a 1的值；(2) 猜想数列{a n }的通项公式，并证明．数学参考答案及评分标准1. (－∞，2)2. －4i3. 1434. 255. 710 6. －8 7. 3 8. π129. y ＝±2x 10.33 11. 21 12. 273 13. (－1－72，－1＋72) 14. [－1，0)∪(0，1] 15. 解：(1) 在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，及bsin A ＝asin(2π3－B)，得sin Bsin A ＝sin Asin(2π3－B)．(2分)由A ∈(0，π)时，sin A>0，可得sin B ＝sin(2π3－B)，展开得sin B ＝sin2π3cos B －cos 2π3sin B ，即sin B ＝3cos B ．(4分) 又由B ∈(0，π)，得sin B>0，从而cos B ≠0，从而有tan B ＝3，可得B ＝π3.(6分)(2) 在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，得b 2＝a 2＋c 2－2accos B ＝7，故b ＝7.(7分) 由a sin A ＝b sin B ，得2sin A ＝732，解得sin A ＝37. 因为a<c ，故cos A ＝27.(9分) 因此sin 2A ＝2sin Acos A ＝437，cos 2A ＝2cos 2A －1＝17.(11分) 因为A －C ＝A －(2π3－A)＝2A －2π3，所以sin(A －C)＝sin(2A －2π3)＝sin 2Acos 2π3－cos 2Asin 2π3＝437×(－12)－17×32＝－5314.(14分) 16. 证明：(1) 因为侧面BCC 1B 1是矩形，所以BC ⊥CC 1.(2分)又平面ACC 1A 1⊥平面BCC 1B 1，平面ACC 1A 1∩平面BCC 1B 1＝CC 1，BC ⊂平面BCC 1B 1，所以BC ⊥平面ACC 1A 1.(4分)又AM ⊂平面ACC 1A 1，所以BC ⊥AM.(6分) (2) (证法1)取AB 1中点H ，连结NH ，HM. 因为N 是AB 的中点，所以在△ABB 1中，NH ∥BB 1，且NH ＝12BB 1.又在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，所以BB 1∥CC 1，且BB 1＝CC 1.又M 为棱CC 1上的一点，所以CM ∥NH ，所以CM ，NH 共面．(10分)又CN ∥平面AB 1M ，CN ⊂平面CNHM ，平面CNHM ∩平面AMB 1＝MH ，所以CN ∥MH ，所以四边形CNHM 为平行四边形，(12分) 所以CM ∥NH ，且CM ＝NH ，所以CM ＝12BB 1＝12CC 1，所以M 是棱CC 1中点．(14分) (证法2)因为在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，所以BB 1∥CC 1，且BB 1＝CC 1.因为CM ∥BB 1，CM ⊄平面ABB 1A 1，BB 1⊂平面ABB 1A 1，所以CM ∥平面ABB 1A 1.(8分)所以过MCN 可作平面α交直线AB 1于点H ，则CM ⊂平面α，平面α∩平面ABB 1A 1＝NH ，所以CM ∥NH.(10分)又CN ∥平面AB 1M ，CN ⊂平面α，平面α∩平面AMB 1＝MH ，所以CN ∥MH ，所以四边形CNHM 为平行四边形，(12分) 所以NH ∥AC ∥BB 1.又△ABB 1中N 是AB 的中点，所以H 是AB 1的中点，所以NH ＝12BB 1＝CM ，所以M 是棱CC 1中点．(14分)17. 解：(1) 扇形EOC 的面积为12×(π3－θ)×502＝2 500π6－2 5002θ.(2分)四边形OCBF 的面积为30×50－12×30×30tan θ.(4分)故阴影部分的面积为S(θ)＝1 500＋2 500π6－50(9tan θ＋25θ)．(6分)因为θ∈[θ0，π3]，tan θ0＝35，所以tan θ∈[35，3]．(8分)(2) 设h(θ)＝9tan θ＋25θ，则h′(θ)＝－9sin 2θ－9cos 2θsin 2θ＋25＝－9sin 2θ＋25.令h′(θ)＝0得tan θ＝34∈[35，3]．(10分)记其解为θ1，并且h(θ)在[θ0，θ1)上单调递减，在(θ1，π3]上单调递增，所以h(θ)的最小值为h(θ1)，阴影部分的面积最大值为1 500＋2 500π6－50h(θ1)，此时tan θ1＝34.(13分)答：监控区域面积S 最大时，角θ的正切值为34.(14分)18. 解：(1) 因为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，所以a ＝2c.设椭圆右焦点为F 2，在△F 1PF 2中，PF 1＝2，∠PF 1F 2＝π4，由余弦定理得(2a －2)2＝22＋(2c)2－2×2c ×2×cosπ4，解得c ＝2，则a ＝2，b ＝2，所以椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.(4分)(2) (解法1)设直线AM 的斜率为k ，则直线AM 的方程为y ＝k(x ＋2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），x 24＋y 22＝1，整理得(2k 2＋1)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0，Δ＝64k 4－4(2k 2＋1)(8k 2－4)>0. 设M(x 1，y 1)，则－2x 1＝8k 2－42k 2＋1，即x 1＝2－4k 22k 2＋1，从而y 1＝4k2k 2＋1.(8分)由k BN ＝2k AM ，可得直线BN 的方程为y ＝2k(x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2k （x －2），x 24＋y 22＝1，整理得(8k 2＋1)x 2－32k 2x ＋32k 2－4＝0，Δ＝322k 4－4(8k 2＋1)(32k 2－4)>0. 设N(x 2，y 2)，则2x 2＝32k 2－48k 2＋1，即x 2＝16k 2－28k 2＋1，从而y 2＝－8k8k 2＋1.(12分)由对称性，不妨设k>0，则四边形AMBN 的面积 S ＝12×4×(y 1－y 2)＝2(4k 2k 2＋1＋8k8k 2＋1)＝24×4k 3＋k（2k 2＋1）（8k 2＋1）＝24×1k ＋4k （8k ＋1k ）（2k ＋1k ）＝24×1k＋4k 16k 2＋1k2＋10＝24×1k＋4k （1k ＋4k ）2＋2＝241k ＋4k ＋21k ＋4k .令t ＝1k＋4k ，则t ≥21k ×4k ＝4(当且仅当k ＝12时取等号)，则S ＝24t ＋2t ≤244＋12＝163，故S 的最大值为163.(16分)(解法2)设M(x 1，y 1)，则y 21＝12(4－x 21)，A(－2，0)，B(2，0)，则 k MA ·k MB ＝y 1－0x 1＋2·y 1－0x 1－2＝y 21x 21－4＝－12.(6分)由k BN ＝2k MA ，故k BN ·k BM ＝－1.(7分)设直线MN 的方程为x ＝my ＋t ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，x 24＋y 22＝1，整理得(m 2＋2)y 2＋2mty ＋t 2－4＝0，即t 2<2m 2＋4.设N(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－2mtm 2＋2，y 1y 2＝t 2－4m 2＋2.(9分)由k BN ·k BM ＝－1，得y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0，将y 1＋y 2＝－2mtm 2＋2，y 1y 2＝t 2－4m 2＋2代入整理得(m 2＋1)(t ＋2)－2m 2t ＋(t －2)(m 2＋2)＝0，即t ＝23，满足t 2<2m 2＋4.(12分)则四边形AMBN 的面积S ＝12×4|y 1－y 2|＝2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝2（－2mt m 2＋2）2－4×t 2－4m 2＋2＝839m 2＋16（m 2＋2）2，令u ＝m 2＋2，则S ＝839u －2u 2，u ≥2，解得S 的最大值为163.(16分) 19. 解：(1) (1) 因为a ＝b ＝1，c ＝－1，所以h(x)＝x 2＋x －1e x ，h ′(x)＝－x 2＋x ＋2e x .令x ＝1，则h′(1)＝2e ，又h(1)＝1e ，所以y －1e ＝2e (x －1)，即2x －ey －1＝0.(2分)(2) 因为a ＝1，所以m(x)＝(x 2＋bx ＋c)e x ，m ′(x)＝[x 2＋(b ＋2)x ＋b ＋c]e x . 因为x ＝1是函数m(x)的一个极值点，所以m′(1)＝0，解得c ＝－2b －3，则m′(x)＝[x 2＋(b ＋2)x －b －3]e x ＝(x －1)[x ＋(b ＋3)]e x . 令m′(x)＝0，解得x 1＝1，x 2＝－b －3.(4分)因为x ＝1是一个极值点，所以－b －3≠1，即b ≠－4. 当－b －3>1，即b<－4时，由m′(x)>0解得x ∈(－∞，1)或x ∈(－b －3，＋∞)，由m′(x)<0解得x ∈(1，－b －3)；当－b －3<1，即b>－4时，由m′(x)>0解得x ∈(－∞，－b －3)或x ∈(1，＋∞)，由m′(x)<0解得x ∈(－b －3，1)．(7分) 综上，当b<－4时，m(x)的单调递增区间为(－∞，1)和(－b －3，＋∞)，单调递减区间为(1，－b －3)；当b>－4时，m(x)的单调递增区间为(－∞，－b －3)和(1，＋∞)，单调递减区间为(－b －3，1)．(8分)(3) 因为b ＝2a ，c ＝2，所以f （x ）g （x ）＝ax 2＋2ax ＋2e x ≤2x ＋2对任意x ≥0恒成立，即ax 2＋2ax ＋2－(2x ＋2)e x ≤0对任意x ≥0恒成立．令p(x)＝ax 2＋2ax ＋2－(2x ＋2)e x ，p(0)＝0，由p(1)＝3a ＋2－4e ≤0得a ≤4e －23.(9分)p ′(x)＝2a(x ＋1)－2(x ＋2)e x .①当a ≤0时，对任意x ≥0，p ′(x)≤0，所以函数y ＝p(x)在[0，＋∞)上单调递减，故p(x)≤p(0)＝0，得a ≤0符合题意．(10分)②当0<a ≤4e －23时，令G(x)＝p′(x)＝2a(x ＋1)－2(x ＋2)e x ，则G′(x)＝2a －2(x ＋3)e x ，当x ≥0时，2(x ＋3)e x ≥6， 2a －2(x ＋3)e x ≤2（4e －2）3－6＝2（4e －11）3<0，所以对任意x ≥0，G ′(x)<0，得函数y ＝G(x)在[0，＋∞)上单调递减，所以G(x)≤G(0)＝2a －4.当2a －4≤0，即0<a ≤2时，对任意x ≥0，G(x)＝p′(x)≤0，得函数y ＝p(x)在[0，＋∞)上单调递减，所以，对任意x ≥0，p(x)≤p(0)＝0恒成立，得0<a ≤2符合题意．(13分) 当2a －4>0，即2<a ≤4e －23时，由G(0)＝2a －4>0，G(1)＝4a －6e<0，得G(0)G(1)<0.又函数y ＝G(x)在区间[0，1]上的图象连续不间断，且单调递减，由零点存在定理可得，存在唯一x 0∈(0，1)，使得G(x 0)＝0. 所以，当x ∈(0，x 0)时，G(x)＝p′(x)>0，所以函数y ＝p(x)在(0，x 0)上单调递增，故当x ∈(0，x 0)时p(x)>0，与题意不符．综上，实数a 的取值范围是a ≤2.(16分) 20. 解：(1) 数列{a n }是非零数列，所以a n ≠0. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝a 1a 22，a 2＝2；当n ≥2，n ∈N *时，a n ＝S n －S n －1＝a n a n ＋12－a n －1a n2，所以a n ＋1－a n －1＝2，(2分)所以{a 2n －1}是首项为1，公差为2的等差数列，{a 2n }是首项为2，公差也为2的等差数列，a 2n －1＝a 1＋2(n －1)＝2n －1，a 2n ＝a 2＋2(n －1)＝2n ，所以a n ＝n.(4分)(2) 设k ，m ，n ∈N *(k<m<n)，因为a k ，a m ，a n 成等比数列，所以m 2＝kn.因为16a k ，a 4m ，a 2n 成等差数列，所以2m 4＝16k ＋n 2.(6分)消去m 可得2k 2n 2＝16k ＋n 2，所以n 2＝16k2k 2－1.因为n ≥3，所以16k2k 2－1>8，0<k<1＋32，k ∈N *.(8分)因此，k ＝1，m ＝2，n ＝4，k ＋m ＋n ＝7.(9分)(3) 若{b n }是单调递增数列，所以当n 是偶数，n －1<q n －1<n ＋1恒成立，两边取自然对数，化简可得ln （n －1）n －1<ln q<ln （n ＋1）n －1(*)，显然q>1.(11分)设函数f(x)＝ln xx ，求导f′(x)＝1－ln x x 2＝0，x ＝e ，当0<x<e 时，f ′(x)>0，所以f(x)是增函数；当x>e时，f ′(x)<0，所以f(x)是减函数，所以f(x)在x ＝e 处取极大值．所以，当n ≥4时ln （n －1）n －1是递减数列，ln 11<ln 33，所以ln 33是ln （n －1）n －1的最大值，ln q>ln 33.(13分)设函数g(x)＝ln （x ＋2）x ，求导g′(x)＝xx ＋2－ln （x ＋2）x 2<0(x ≥1)，所以ln （n ＋1）n －1是递减数列，当n ＝6时，ln 75>ln 33；当n ＝8时，ln 97＝ln 372<ln 33.(15分)所以当2≤n ≤6时，存在q>313，(*)式成立，当n ＝8时(*)式右侧不等式不成立．所以，至多前8项是递增数列，即正整数r 的最大值是8.(16分)数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：设P(x ，y)是曲线C′上的任一点，它是椭圆C ：x 216＋y 24＝1上的点P 1(x′，y ′)在矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤140012对应变换作用下的对应点，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤140012⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′4y′2，(4分) 即⎩⎨⎧x ＝x′4，y ＝y′2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x′＝4x ，y ′＝2y.(6分)将⎩⎪⎨⎪⎧x′＝4x ，y ′＝2y ，代入x 216＋y 24＝1，得x 2＋y 2＝1.(10分)B. 解：以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系．(1分) 由直线ρsin (θ＋π3)＝32得ρsin θ·12＋ρcos θ·32＝32，∴12y ＋32x ＝32，即y ＝－3x ＋ 3.(4分) ∴直线与x 轴的交点为(1，0)．又点P 的直角坐标为(1，1)，∴圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1.(6分) ∵ x 2＋y 2－2x ＝0，ρ2－2ρcos θ＝0，∴ ρ＝0或ρ＝2cos θ. 又ρ＝0表示极点也在圆上，∴圆的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(10分)C. 解：因为(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)＝(a ＋1＋1)(b ＋1＋1)(c ＋1＋1)≥33a ·33b ·33c ＝273abc ＝27，(6分)当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立，所以(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)的最小值为27.(10分)22. 解：(1) 因为直四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1的底面是菱形，所以∠BAD ＝60°. 由E 为BC 的中点，可得DE ⊥BC.又AD ∥BC 可得DE ⊥AD.以D 为坐标原点，DA →的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.(1分) 则A 1(2，0，4)，M(1，3，2)，C 1(－1，3，4)，E(0，3，0)， A 1M →＝(－1，3，－2)，C 1E →＝(1，0，－4)， cos 〈A 1M →，C 1E →〉＝A 1M →·C 1E →|A 1M →||C 1E →|＝－1＋88×17＝73468.所以，异面直线A 1M 与C 1E 所成角的余弦值为73468.(4分)(2) N(1，0，2)，A 1A →＝(0，0，－4)，A 1M →＝(－1，3，－2)，A 1N →＝(－1，0，－2)，MN →＝(0，－3，0)．设m ＝(x ，y ，z)为平面A 1MA 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1M →＝0，m ·A 1A →＝0，所以⎩⎨⎧－x ＋3y －2z ＝0，－4z ＝0，可取m ＝(3，1，0)．(6分)设n ＝(p ，q ，r)为平面A 1MN 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·MN →＝0，n ·A 1N →＝0，所以⎩⎨⎧－3q ＝0，－p －2r ＝0，可取n ＝(2，0，－1)．(8分)于是cos 〈m ，n 〉＝m·n|m||n|＝232×5＝155，所以二面角AMA 1N 的正弦值为105.(10分) 23. 解：(1) 因为a n ＝m ＋C 1n ＋12＋C 2n ＋222＋C 3n ＋323＋…＋C n n ＋n2n ，所以a 2＝m ＋3＝4，所以m ＝1，此时a 1＝2.(2分) (2) 猜想：a n ＝2n .证明如下：(3分) ①当n ＝1时，由上知结论成立；(4分) ②假设n ＝k 时结论成立，则有a k ＝1＋C 1k ＋12＋C 2k ＋222＋C 3k ＋323＋…＋C k k ＋k2k ＝2k .则n ＝k ＋1时，a k ＋1＝1＋C 1k ＋1＋12＋C 2k ＋1＋222＋C 3k ＋1＋323＋…＋C k ＋1k ＋1＋k ＋12k ＋1.由C k ＋1n ＋1＝C k ＋1n ＋C kn 得a k ＋1＝1＋C 1k ＋1＋C 0k ＋12＋C 2k ＋2＋C 1k ＋222＋C 3k ＋3＋C 2k ＋323＋…＋C k k ＋k ＋C k －1k ＋k 2k ＋C k ＋1k ＋1＋k ＋12k ＋1＝2k＋C 0k ＋12＋C 1k ＋222＋C 2k ＋323＋…＋C k －1k ＋k 2k ＋C k ＋1k ＋1＋k ＋12k ＋1，a k ＋1＝2k ＋12(C 0k ＋1＋C 1k ＋221＋C 2k ＋322＋…＋C k －1k ＋k 2k －1＋C k ＋1k ＋1＋k ＋12k ) ＝2k＋12(C 0k ＋1＋C 1k ＋221＋C 2k ＋322＋…＋C k －1k ＋1＋k －12k －1＋C k k ＋1＋k ＋C k ＋1k ＋1＋k 2k )．(7分)又C k ＋1k ＋1＋k ＝（2k ＋1）！k ！（k ＋1）！＝（2k ＋1）！（k ＋1）（k ＋1）k ！（k ＋1）！＝12（2k ＋1）！（2k ＋2）（k ＋1）！（k ＋1）！＝12C k ＋1k ＋1＋k ＋1＝2k＋12(C 0k ＋1＋C 1k ＋221＋C 2k ＋322＋…＋C k －1k ＋1＋k －12k －1＋C k k ＋1＋k 2k ＋C k ＋1k ＋1＋k ＋12k ＋1)，于是a k ＋1＝2k ＋12a k ＋1，所以a k ＋1＝2k ＋1，故n ＝k ＋1时结论也成立．由①②得a n ＝2n ，n ∈N *.(10分)。

江苏省2020版高考数学模拟试卷(理科)(5月份)D卷

江苏省2020版高考数学模拟试卷（理科）（5月份）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高三上·云南期末) 已知，其中i为虚数单位，则（）A .B . 1C . 2D .2. （2分）已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x|lnx≥0}，则A∩B=（）A . {x|x≥1}B . {x|x＞1}C . {x|0＜x＜1}D . ∅3. （2分）(2017·赤峰模拟) 若函数f（x）的定义域为R，则“函数f（x）是奇函数”是“f（0）=0”的（）A . 必要不充分条件B . 既不充分也不必要条件C . 充要条件D . 充分不必要条件4. （2分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则△ABC的形状为（）A . 直角三角形B . 等腰三角形C . 等腰直角三角形D . 等腰或直角三角形5. （2分）等差数列{an}的前n项和为Sn ，且a1+a2=10，S4=36，则过点P（n，an）和Q（n+2，an+2）（n∈N*）的直线的一个方向向量是（）A . （﹣，﹣2）B . （﹣1，﹣1）C . （﹣，﹣1）D . （2，）6. （2分） (2017高二下·景德镇期末) 若a=sin1，b=sin2，c=cos8.5，则执行如图所示的程序框图，输出的是（）A . cB . bC . aD .7. （2分） (2017高三上·张掖期末) 已知椭圆 + =1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1 ， F2 ， P为椭圆上的一点，且|PF1||PF2|的最大值的取值范围是[2c2 ， 3c2]，其中c= ．则椭圆的离心率的取值范围为（）A . [ ， ]B . [ ，1）C . [ ，1）D . [ ， ]8. （2分） (2017高二下·彭州期中) 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x的值是（）A . 2B .C .D . 39. （2分）下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（）A . y=-B . y=﹣log2xC . y=3xD . y=x3+x10. （2分）若，则z=x+2y的最小值为（）A . -1B . 0C .D . 211. （2分） (2019高一上·延安月考) 已知集合，Q={ }，下列不表示从P到Q 的映射是（）A .B .C .D .12. （2分）已知A，B，C是平面上不共线的三点，点O在△ABC内，且 +3 +5 = ．若向△ABC 内（含边界）投一颗麦粒，则麦粒落在△AOB内（含边界）的概率为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）动点M与定点F（5，0）的距离和它到直线x= 的距离的比为，则点M的轨迹方程为________14. （1分） (2018高一上·安阳月考) 如图，圆锥顶点为，底面圆心为，过轴的截面，为中点，，，则从点经圆锥侧面到点的最短距离为________.15. （1分） (2019高一上·昆明月考) 关于下列命题：①若函数的定义域是，则它的值域是；② 若函数的定义域是，则它的值域是；③若函数的值域是，则它的定义域一定是；④若函数的值域是，则它的定义域是 .其中不正确的命题的序号是________( 注：把你认为不正确的命题的序号都填上).16. （1分） (2017高二下·曲周期中) 下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：设第n个图有an个树枝，则an+1与an（n≥2）之间的关系是________．三、解答题 (共8题；共70分)17. （10分） (2019高二上·贺州月考) 装潢师小王在墙面上设计了如图所示的一个图案，已知四边形四个顶点都在圆周上，且米，米，角A是，现在小王想买乳胶漆给四边形涂色，依据设计方案四边形的四边涂成红色，四边形内部要涂成蓝色，他想根据线段的长度与四边形的面积来买乳胶漆，请你帮他计算：（1）线段的长度；（2）四边形的面积.18. （5分） (2017高三下·凯里开学考) 端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；（Ⅱ）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．19. （10分） (2019高二下·鹤岗期末) 如图，已知三棱柱，平面平面 ,，分别是的中点.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的余弦值.20. （10分）(2020·吉林模拟) 已知直线与抛物线：交于P，Q两点，且的面积为16（O为坐标原点）.（1）求C的方程；（2）直线l经过C的焦点且l不与x轴垂直，与C交于A，B两点，若线段的垂直平分线与x轴交于点D，证明：为定值.21. （10分） (2019高一上·大庆期中)（1）判断函数在上的单调性并证明你的结论？（2）求使不等式在上恒成立时的实数的取值范围？22. （10分） (2017高三上·高台期末) 已知△ABC中，AB=AC，D为△ABC外接圆劣弧上的点（不与点A，C重合），延长BD至E，延长AD交BC的延长线于F.（1）求证：∠CDF=∠EDF；（2）求证：AB•AC•DF=AD•FC•FB．23. （5分）己知直线 l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为．（a＞0．θ为参数），点P是圆C上的任意一点，若点P到直线l的距离的最大值为，求a的值．24. （10分）(2019·泸州模拟) 已知函数，，其中，．（1）若函数的图象关于直线对称，且，求不等式的解集；（2）若函数的最小值为2，求的最小值及其相应的和的值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共8题；共70分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、24-1、24-2、。

2020年江苏省南京市高考数学模拟试卷(5月份) (含答案解析)

2020年江苏省南京市高考数学模拟试卷(5月份)一、填空题（本大题共13小题，共65.0分）1.集合M={x|0<x≤3}，N={x∈N|0≤x−1≤1}，则M∩N=______ ．2.已知复数z=1+2i，则复数1z在复平面内对应的点位于第______象限．3.样本数据13，15，17，14，16的方差是____________．4.如果执行如图的流程图，那么输出的S=__________．5.将一枚质地均匀的骰子(各面分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体)连续抛掷两次，记面朝上的数字依次为a和b，则b>2a的概率为______．6.双曲线y2−x23=1的准线方程是______．7.若正四棱锥的底面边长为2√3cm，体积为4cm3，则它的高为______ cm．8.已知函数f(x)=sinωx在区间[0,π3]上单调递增，在区间[π3,2π3]上单调递减，则函数f(x)的最小正周期是______ ．9.在等差数列{a n}中，a3=−12，a3，a7，a10成等比数列，则公差d等于________．10.已知函数f(x)=cosx(x∈[0,2π])与函数g(x)=tanx的图象交于M，N两点，则|OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=______．11.已知当x=π3时，函数f(x)=asinx+cosx(a>0)取得最大值，则a=________。

12.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且cosBcosC =−b2a+c若b=√13，a+c=4，则a的值为______ ．13.已知实数a，b满足a2+b2−54ab=54，则a2+b2的取值范围为_______．二、解答题（本大题共12小题，共147.0分）14.求函数f(x)=(x2+2x−7)e x的单调区间．15.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=2ccosA，．(1)求sin C；(2)求bc．16.如图，在四棱锥P−ABCD中．(1)若AD⊥平面PAB，PB⊥PD，求证：平面PBD⊥平面PAD；(2)若AD//BC，AD=2BC，E为PA的中点，求证：BE//平面PCD．17.一条宽为1km的两平行河岸有村庄A和供电站C，村庄B与A，C的直线距离都是2km，BC与河岸垂直，垂足为D.现要修建电缆，从供电站C向村庄A，B供电．修建地下电缆、水下电缆的费用分别是2万元/km、4万元/km．(1)如左图，已知村庄A与B原来铺设有电缆AB，现先从C处修建最短水下电缆到达对岸后，再修建地下电缆接入原电缆供电，试求该方案总施工费用的最小值；(2)如右图，点E 在线段AD 上，且铺设电缆的线路为CE ，EA ，EB.若∠DCE =θ，(0≤θ≤π3)，试用θ表示出总施工费用y(万元)的解析式，并求y 的最小值．18. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点P(−1,√32)，左、右焦点分别是F 1，F 2.过F 2的直线与椭圆交于M ，N 两点，且△F 1MN 的周长为8b ． (1)求椭圆C 的方程；(2)若点D 满足F 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求四边形F 1MDN 面积的最大值．19. 已知各项均不为0的数列{a n }中，a 1，a 2，a 3成等差数列，a 2，a 3，a 4成等比数列，a 3，a 4，a 5的倒数成等差数列，证明：a 1，a 3，a 5成等比数列．20.已知函数f(x)=e x−x2+2a+b(x∈R)的图象在x=0处的切线为y=bx.(e为自然对数的底数)．(Ⅰ)求a，b的值；(Ⅱ)当x∈R时，求证：f(x)≥−x2+x；(Ⅲ)若f(x)>kx对任意的x∈(0,+∞)恒成立，求实数k的取值范围．21.已知矩阵A=[1a−1b ]，A的一个特征值λ=2，其对应的一个特征向量是α1=[21]，求矩阵A．22.在极坐标系中，求圆ρ=−2sinθ的圆心的极坐标．23.已知关于x的不等式x2−ax+b>0(a,b∈R)的解集为{x|x>2或x<1}．(Ⅰ)求a，b的值；(Ⅱ)求函数f(x)=a√x−1+b√2−x的最大值，以及取得最大值时x的值．24.某市举办数学知识竞赛活动，共5000名学生参加，竞赛分为初试和复试，复试环节共3道题，其中2道单选题，1道多选题，得分规则如下：参赛学生每答对一道单选题得2分，答错得0分，答对多选题得3分，答错得0分，答完3道题后的得分之和为参赛学生的复试成绩．(1)通过分析可以认为学生初试成绩服从正态分布，其中，，试估计初试成绩不低于90分的人数；(2)已知小强已通过初试，他在复试中单选题的正答率为，多选题的正答率为，且每道题回答正确与否互不影响.记小强复试成绩为，求的分布列及数学期望．附：，，．25.已知(x+1)n=a0+a1(x−1)+a2(x−1)2+⋯+a n(x−1)n，(其中n∈N∗).(1)求a0及S n=a1+a2+⋯+a n；(2)试比较S n与(n−2)·2n+2n2的大小，并用数学归纳法给出证明过程．-------- 答案与解析 --------1.答案：{1,2}解析：解：∵M ={x|0<x ≤3}，N ={x ∈N|0≤x −1≤1}={x ∈N|1≤x ≤2}={1,2}， ∴M ∩N ={1,2}．故答案为：{1,2}求出N 中不等式解集的自然数解确定出N ，找出M 与N 的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.答案：四解析：利用复数的代数形式混合运算化简求解即可．本题考查复数的几何意义，复数的代数形式混合运算，考查计算能力．解：复数z =1+2i ，则复数1z =1−2i(1+2i)(1−2i)=15−25i ．复数1z 在复平面内对应的点(15,−25)在第四象限．．故答案为四．3.答案：2解析：本题主要考查方差的计算，属于基础题．要求方差，根据题意，先求出这组数据的平均数，再利用方差公式S 2=1n [(x 1−x)2+(x 2−x)2+⋯(x n −x)2]计算即可．解：平均数x =15(13+15+17+14+16)=15，方差S 2=15[(13−15)2+(15−15)2+(17−15)2+(14−15)2+(16−15)2]=2．故答案为2．4.答案：2550解析：根据题意可知该循环体运行50次：第一次：S=2，第二次：S=6，第三次：S=12，第四次：S=20，第五次：S=32……第50次，S=0+2+4+6+⋯+100=2550.则运行50次则S= 2550．5.答案：16解析：解：将一枚质地均匀的骰子(各面分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体)连续抛掷两次，记面朝上的数字依次为a和b，基本事件总数n=6×6=36，b>2a包含的基本事件有(3,1)，(4,1)，(5,1)，(5,2)，(6,1)，(6,2)，共6个，∴b>2a的概率为p=636=16．故答案为：16．记面朝上的数字依次为a和b，基本事件总数n=6×6=36，利用列举法求出b>2a包含的基本事件有6个，由此能求出b>2a的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．6.答案：y=±12．解析：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．直接利用双曲线方程求解双曲线的准线方程即可．解：双曲线y2−x23=1，可得a=1，b=√3，c=2，所以双曲线的准线方程为：y=±12．故答案为：y=±12．7.答案：1解析：解：如图所示：正四棱锥P−ABCD的底面边长为2√3cm，体积为4cm3，设它的高为hcm，则该四棱锥的体积为：13×(2√3)2ℎ=4，解得ℎ=1，即高为1cm．故答案为1．根据正四棱锥的体积公式V=13Sℎ，求出它的高即可．本题考查了正四棱锥体积的计算问题，是基础题目．8.答案：4π3解析：解：∵函数f(x)=sinωx的图象过原点，且在区间[0,π3]上单调递增，在区间[π3,2π3]上单调递减，∴T2=2π3，则T=4π3故答案为：4π3．先判断出函数的图象过原点，再由函数的单调区间求出此函数的最小正周期．本题考查了正弦函数的单调性，解题的关键是抓住函数图象的特征：周期和单调区间的关系，考查了读图能力．9.答案：0或34解析：本题主要考查了等比数列的性质，等差数列的通项公式，属于基础题．根据等差数列通项，a7=a3+4d，a10=a3+7d，再根据a3，a7，a10成等比数列即可求出d．解：设数列{a n }的公差为d ，则a 7=a 3+4d ，a 10=a 3+7d ，又a 3，a 7，a 10成等比数列，所以a 72=a 3a 10，即(a 3+4d)2=a 3(a 3+7d)，整理后，得12d =16d 2，解得d =0或d =34．故答案为0或34．10.答案：π解析：解：由题意，M ，N 关于点(π2,0)对称， ∴|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2×π2=π，故答案为π．由题意，M ，N 关于点(π2,0)对称，即可求出|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |. 本题考查三角函数图象的对称性，考查向量知识的运用，确定M ，N 关于点(π2,0)对称是关键．11.答案：√3解析：本题主要考查了由正弦函数的最值求参数以及辅助角公式的应用，属于基础题．求出f(π3)，利用辅助角公式得出f(x)=√a 2+1sin(x +φ)，解方程√a 2+1=√32a +12，即可得出答案．解：f(π3)=asin π3+cos π3=√32a +12，f(x)=asinx +cosx =√a 2+1sin(x +φ)，其中tanφ=1a ，因为x =π3时函数f(x)取得最大值，所以2+1=√32a +12⇔a 2−2√3a +3=0解得：a =√3．故答案为：√3．12.答案：1或3解析：解：cosBcosC =−b2a+c，即有−2acosB=bcosC+ccosB，即−2sinAcosB=sinBcosC+cosCsinB=sin(B+C)=sinA，即有cosB=−12，由于B为三角形的内角，则B=2π3，又b2=a2+c2−2accosB，即有13=a2+c2+ac，又a+c=4，解得，a=1，c=3或a=3，c=1．故答案为：1或3．运用正弦定理和两角和的正弦公式及诱导公式，求出角B，再由余弦定理，结合条件，解方程，即可得到a．本题考查正弦定理和余弦定理的运用，同时考查两角和的正弦公式和诱导公式及应用，考查运算能力，属于中档题．13.答案：[1013,10 3]解析：本题主要考查了根与系数的关系，换元思想，意在考查考生的转化与化归能力和逻辑推理素养，属于中档题．设t=a2+b2，则ab=45t−1，所以a2b2=(45t−1)2，所以a2，b2是方程x2−tx+(45t−1)2=0的两个根，由根与系数的关系可得结果．解：设t=a2+b2，则ab=45t−1，所以a2b2=(45t−1)2，所以a2，b2是方程x2−tx+(45t−1)2=0的两个根，所以{t >0,(45t −1)2⩾0,Δ=t 2−4(45t −1)2⩾0,解得1013≤t ≤103，所以a 2+b 2的取值范围为[1013,103]，故答案为[1013,103].14.答案：解：由题意，得f′(x)=(2x +2)e x +(x 2+2x −7)e x =(x 2+4x −5)e x ．令f′(x)>0，得x <−5或x >1；令f′(x)<0，得−5<x <1．所以函数f(x)的单调减区间是(−5,1)，单调增区间是(−∞,−5)和(1,+∞)．解析：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，属于基础题.求解f(x)的导数，分别令导数大于0和小于0解得相应不等式即可得到f(x)的单调区间．15.答案：解：(1)∵a =2ccosA ，∴sinA =2sinCcosA ， ∴tanA =2sinC >0，∵√5sinA =1,∴cosA =2√55， ∴tanA =12，从而sinC =14; (2)∵sinC =14<√5=sinA ，∴C 为锐角，cosC =√154，∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=2√5+5√320，∴bc =sinBsinC=2√5+5√35．解析：本题考查正弦定理(1)直接利用正弦定理，即可求出sin C；(2)根据(1)可求出cosC=√154，可得sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=2√5+5√320，再利用正弦定理即可求解此题．16.答案：证明：(1)因为AD⊥平面PAB，PB⊂平面PAB所以AD⊥PB，又因为PB⊥PD，且AD∩PD=D，AD⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，所以PB⊥平面PAD，又因为PB⊂平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAD．(2)取PD的中点F，连接EF，FC，因为E，F分别是PA，PD的中点，所以EF//AD，且AD=2EF．又AD//BC，AD=2BC，所以EF//BC且EF=BC，所以四边形EFCB是平行四边形，所以BE//CF，又CF⊂平面PCD，BE⊄平面PCD，所以BE//平面PCD.解析：本题考查面面垂直的证明，考查线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．(1)推导出AD⊥PB，PB⊥PD，从而PB⊥平面PAD，由此能证明平面PBD⊥平面PAD；(2)取PD的中点F，连接EF，推导出EF//AD，且AD=2EF，AD//BC，AD=2BC，从而四边形EFCB是平行四边形，进而BE//CF，由此能证明BE//平面PCD．17.答案：解：(1)由已知可得△ABC为等边三角形，∵CD⊥AD，∴水下电缆的最短路线为CD，过D作DM⊥AB于M，可知地下电缆的最短线路为DM，又CD=1，DM=√32，故该方案的总费用为1×4+√32×2=4+√3(万元)；(2)由题意可知，因为∠DCE=θ(0≤θ≤π3),所以CE=EB=1cosB,ED=tanθ,AE=√3−tanθ，则y=1cosθ×4+1cosθ×2+(√3−tanθ)×2=2×3−sinθcosθ+2√3．令g(θ)=3−sinθcosθ，则g′(θ)=−cos2θ−(3−sinθ)(−sinθ)cos2θ=3sinθ−1cos2θ，因为0≤θ≤π3，所以0≤sinθ≤√32，记sinθ0=13,θ0∈(0,π3),当0≤sinθ<13，即0≤θ<θ0时，g′(θ)<0，当13<sinθ≤√32,即θ0<θ≤π3时,g′(θ)>0，所以g(θ)min=g(θ0)=3−132√23=2√2，从而y≥4√2+2√3，此时ED=tanθ0=√24，.因此施工总费用的最小值为(4√2+2√3)万元，其中ED=√24．解析：本题主要考查了三角函数的模型的应用，根据题意仔细审题是解决本题的关键．(1)根据题意找到最短距离，从而得到最小费用；(2)由题意可知∠DCE=θ，(0≤θ≤π3)，根据题意列出总施工费用y(万元)的解析式，利用基本不等式求出最值即可得到结果．18.答案：解：(1)因为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点P(−1,√32)，且△F1MN的周长为8b．所以{1a2+34b2=14a=8b，解得a2=4，b2=1，所以椭圆C的方程为x24+y2=1.(2)由(1)可知，F2的坐标为(√3,0)，直线MN的斜率不为0，设直线MN 的方程为x =my +√3，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，联立{x 24+y 2=1x =my +√3，得(4+m 2)y 2+2√3my −1=0，所以y 1+y 2=−2√3m4+m 2，y 1y 2=−14+m 2，且△>0恒成立，因为点D 满足F 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，故四边形F 1MDN 为平行四边形，设其面积为S ，则S =2S ▵F 1MN =2(S ▵MF 1F 2+S ▵NF 1F 2)=2(12|F 1F 2|⋅|y 1|+12|F 1F 2|⋅|y 2|)=|F 1F 2|(|y 1|+|y 2|)，所以S =|F 1F 2|⋅|y 1−y 2|=2√3|y 1−y 2|，又|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√(−2√3m4+m2)2+44+m 2=4√m 2+1(4+m 2)2，令t =m 2+1(t ≥1)，则S =8√3√t(t+3)2=8√3√tt 2+6t+9=8√3√1t+9t+6≤4，当且仅当t =3，即m =±√2时，S 有最大值4．答：四边形F 1MDN 面积的最大值为4.解析：本题考查椭圆的方程的求法，考查四边形面积的最大值的求法，考查直线与椭圆的位置关系、韦达定理、弦长公式等基础知识，综合程度较高，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，属于中档题．(1)由椭圆过点P(−1,√32)，△F 1MN 的周长为8b.列出方程组得a 2=4，b 2=1，由此能求出椭圆C 的方程．(2)由F 2的坐标为(√3,0)，设直线MN 的方程为x =my +√3，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，联立{x 24+y 2=1x =my +√3，得(4+m 2)y 2+2√3my −1=0，由此利用韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出四边形F 1MDN 面积的最大值．19.答案：证明：由已知，有2a 2=a 1+a 3，①a 32=a 2⋅a 4，②2a 4=1a 3+1a 5.③ 由③得2a 4=a 3+a 5a 3⋅a 5，所以a 4=2a 3⋅a 5a 3+a 5.④由①得a 2=a 1+a 32.⑤将④⑤代入②，得a 32=a 1+a 32⋅2a 3⋅a 5a3+a 5.∴a 3=(a 1+a 3)a 5a 3+a 5，即a 3(a 3+a 5)=a 5(a 1+a 3).化简，得a 32=a 1⋅a 5．又a 1，a 3，a 5均不为0，所以a 1，a 3，a 5成等比数列．解析：本题考查等差数列与等比数列的性质，考查等比数列的判定与证明．根据等差数列的性质，等比数列的性质，以及等比数列的判定方法证明即可，需要学生认真计算．20.答案：(Ⅰ)解：f(x)=e x −x 2+2a +b ，f′(x)=e x −2x ，由题意得{f(0)=1+2a +b =0f′(0)=1=b ，即a =−1，b =1；(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可知，f(x)=e x −x 2−1．令φ(x)=f(x)+x 2−x =e x −x −1，φ′(x)=e x −1，由φ′(x)=0，得x =0．当x ∈(−∞,0)时，φ′(x)<0，φ(x)单调递减，当x ∈(0,+∞)时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增． ∴φ(x)的最小值为φ(0)=0，从而f(x)≥−x 2+x ； (Ⅲ)解：f(x)>kx 对任意的x ∈(0,+∞)恒成立，等价于f(x)x>k 对任意的x ∈(0,+∞)恒成立．令g(x)=f(x)x，x >0．∴g′(x)=xf′(x)−f(x)x 2=x(e x −2x)−(e x −x 2−1)x 2=(x−1)(e x −x−1)x 2．由(Ⅱ)可知，当x ∈(0,+∞)时，e x −x −1>0恒成立，令g′(x)>0，得x >1，g′(x)<0，得0<x <1，∴g(x)的单调增区间为(1,+∞)，单调减区间为(0,1)，g(x)min =g(1)=e −2． ∴k <e −2．即实数k 的取值范围为(−∞,e −2)．解析：(Ⅰ)求出原函数的导函数，由题意可得{f(0)=1+2a +b =0f′(0)=1=b ，求解可得a ，b 的值；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，f(x)=e x −x 2−1.令φ(x)=f(x)+x 2−x =e x −x −1，利用导数求其最小值得答案；(Ⅲ)f(x)>kx 对任意的x ∈(0,+∞)恒成立，等价于f(x)x>k 对任意的x ∈(0,+∞)恒成立．令g(x)=f(x)x，x >0.利用导数求其最小值可得实数k 的取值范围．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了函数的最值与函数单调性的判断，考查转化思想与函数方程思想，考查转化能力与计算能力，属于难题．21.答案：解：∵矩阵A =[1a −1b ]有特征值λ=2，及对应的一个特征向量α1=[21]， ∴[1a −1b ][21]=2[21]，即{2+a =4−2+b =2，解得a =2，b =4． ∴A =[12−14]．解析：本题考查求矩阵特征值及特征向量，考查计算能力，属于中档题．利用特征值、特征向量的定义，建立方程，求出M 即可．22.答案：解：由题意，圆ρ=−2sin θ，可化为ρ2=−2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2+y 2=−2y ，即x 2+(y +1)2=1，圆心是(0,−1)，极坐标为(1,−π2).解析：本题考查极坐标系下的轨迹方程的求法，属于基础题，把圆的极坐标方程化成直角坐标方程，得到圆心坐标，即可得到直角坐标，再化成极坐标即可．23.答案：解：(Ⅰ)依题意，方程x 2−ax +b =0的两个根为1和2，∴{1+2=a 1×2=b ，∴{a =3b =2；(Ⅱ)由(Ⅰ)知：f(x)=3√x −1+2√2−x(1≤x ≤2)，由柯西不等式得，f 2(x)=(3√x −1+2√2−x)2≤(32+22)(x −1+2−x)=13， ∴f(x)≤√13(当且仅当32=√x−1√2−x，即x =2213时，取得等号)，∴当x =2213时，f(x)取得最大值√13．解析：本题是一道关于不等式方程、函数最值、柯西不等式的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．(Ⅰ)通过不等式的解集可知方程x 2−ax +b =0的两个根为1和2，计算即可； (Ⅱ)通过(Ⅰ)，利用柯西不等式即得结论．24.答案：解：(1)∵σ2=144，即σ=12，又μ=66，∴μ+2σ=66+2×12=90，∴P (X ⩾90)=P (X ⩾μ+2σ)=12(1−0.9544)=0.0228，估计不低于90分的人数有：0.0228×5000=114(人)． (2)Y 的所有可能取值为0、2、3、4、5、7， ∴P (Y =0)=12×13×13=118；P (Y =2)=C 21×23×13×12=418=29；P (Y =3)=13×13×12=118; P (Y =4)=23×23×12=418=29；P (Y =5)=C 21×23×13×12=418=29；P(Y=7)=23×23×12=418=29．∴Y的分布列为：∴E(Y)=0×118+2×29+3×118+4×29+5×29+7×29=256．解析：本题主要考查离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的期望与方差和正态曲线及其性质，属于基础题．(1)由题意得P(X⩾90)=P(X⩾μ+2σ)=12(1−0.9544)，即可估计初试成绩不低于90分的人数；(2)Y的所有可能取值为0、2、3、4、5、7，故可得Y的分布列，即可求得数学期望．25.答案：解：(1)取x=1，则a0=2n；取x=2，则a0+a1+a2+a3+⋯+a n=3n，∴S n=a1+a2+a3+⋯+a n=3n−2n；(2)要比较S n与(n−2)2n+2n2的大小，即比较：3n与(n−1)2n+2n2的大小，当n=1时，3n>(n−1)2n+2n2；当n=2，3时，3n<(n−1)2n+2n2；当n=4，5时，3n>(n−1)2n+2n2猜想：当n≥4时，3n>(n−1)2n+2n2，下面用数学归纳法证明：由上述过程可知，n=4时结论成立，假设当n=k，(k≥4)时结论成立，即3k>(k−1)2k+2k2，两边同乘以3得：3k+1>3[(k−1)2k+2k2]=k2k+1+2(k+1)2+[(k−3)2k+4k2−4k−2]，而(k−3)2k+4k2−4k−2=(k−3)2k+4(k2−k−2)+6=(k−3)2k+4(k−2)(k+1)+6> 0，∴3k+1>((k+1)−1)2k+1+2(k+1)2，即n=k+1时结论也成立，∴当n≥4时，3n>(n−1)2n+2n2成立．解析：本题考查了数学归纳法的应用，证明步骤的应用，归纳推理，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力．(1)取x=1，则a0=2n；取x=2，则a0+a1+a2+a3+⋯+a n=3n，即可求出S n；(2)要比较S n与(n−2)2n+2n2的大小，只要比较3n与(n−1)2n+2n2的大小，通过比较n=1，2，3，4，5时，两个代数式的大小，猜想结论，利用数学归纳法证明即可．。

2020年江苏省南京市十校高考数学模拟试卷(5月份) (解析版)

2020年南京市十校高考数学模拟试卷（5月份）一、填空题（共14小题）.1．已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ＜0}，B ＝{x |x ＜1}，则A ∪B ＝．2．已知复数z ＝（a +2i ）（1+i ）的实部为0，其中i 为虚数单位，a 为实数，则z = ． 3．如图，茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为．4．运行如图所示的伪代码，则输出的S 的值为．5．某兴趣小组有2名女生和3名男生，现从中任选2名学生去参加活动，则至多有一名男生的概率为．6．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 5＝2S 10，则S 5+4S 15S 10−S 5= ．7．函数f （x ）为定义在R 上的奇函数，且满足f （x ）＝f （2﹣x ），若f （1）＝3，则f （1）+f （2）+…+f （50）＝．8．将函数f （x ）＝2sin （x +π6）sin （π3−x ）图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得图象对应的函数恰为偶函数，则φ的最小值为． 9．双曲线x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且与x 轴垂直的直线与双曲线交于A ，B 两点，若F 1F 2=√32AB ，则双曲线的渐近线方程为．10．如图，五边形ABCDE 由两部分组成，△ABE 是以角B 为直角的直角三角形，四边形BCDE 为正方形，现将该图形以AC 为轴旋转一周，构成一个新的几何体．若形成的圆锥和圆柱的侧面积相等，则圆锥和圆柱的体积之比为．11．在平行四边形ABCD 中，AD ＝2AB ＝6，∠DAB ＝60°，DE →=12EC →，BF →=12FC →．若FG →=2GE →，则AG →•BD →= ．12．已知在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若a ＝3b cos C ，则1tanA+1tanB+1tanC的最小值为．13．已知圆O ：x 2+y 2＝4，点A （2，2），直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，点E 在直线l 上且满足PQ →=2QE →．若AE 2+2AP 2＝48，则弦PQ 中点M 的横坐标的取值范围为．14．函数f （x ）＝（x 3﹣3a 2x +2a ）•（e x ﹣1）的图象恰好经过三个象限，则实数a 的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b sin A ＝a sin （2π3−B ）．（1）求角B 的大小；（2）若a ＝2，c ＝3，求sin （A ﹣C ）的值．16．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面BCC 1B 1是矩形，平面ACC 1A 1⊥平面BCC 1B 1，M 是棱CC 1上的一点．（1）求证：BC ⊥AM ；（2）若N 是AB 的中点，且CN ∥平面AB 1M ，求证：M 是棱CC 1中点．17．疫情期间，某小区超市平面图如图所示，由矩形OABC 与扇形OCD 组成，OA ＝30米，AB ＝50米，∠COD =π6，经营者决定在O 点处安装一个监控摄像头，摄像头的监控视角∠EOF =π3，摄像头监控区域为图中阴影部分，要求点E 在弧CD 上，点F 在线段AB 上．设∠FOC ＝θ．（1）求该监控摄像头所能监控到的区域面积S 关于θ的函数关系式，并求出tan θ的取值范围；（2）求监控区域面积S 最大时，角θ的正切值．18．（16分）已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的左焦点为F 1，点A ，B 为椭圆的左、右顶点，点P 是椭圆上一点，且直线PF 1的倾斜角为π4，PF 1＝2，已知椭圆的离心率为√22．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 为椭圆上异于A ，B 的两点，若直线BN 的斜率等于直线AM 斜率的2倍，求四边形AMBN 面积的最大值．19．（16分）已知函数f （x ）＝ax 2+bx +c ，（a ，b ，c ∈R ），g （x ）＝e x ．（1）若a ＝b ＝1，c ＝﹣1，求函数h （x ）=f(x)g(x)在x ＝1处的切线方程；（2）若a ＝1，且x ＝1是函数m （x ）＝f （x ）g （x ）的一个极值点，确定m （x ）的单调区间；（3）若b ＝2a ，c ＝2，且对任意x ≥0，f(x)g(x)≤2x +2恒成立，求实数a 的取值范围．20．（16分）设数列{a n }（任意项都不为零）的前n 项和为S n ，首项为1，对于任意n ∈N *，满足S n =a n ⋅a n+12．（1）数列{a n }的通项公式；（2）是否存在k ，m ，n ∈N *（k ＜m ＜n ），使得a k ，a m ，a n 成等比数列，且16a k ，a m 4，a n 2成等差数列？若存在，试求k +m +n 的值；若不存在，请说明理由；（3）设数列{b n }，b n ={a n ，n =2k −1，k ∈N ∗q n−1，n =2k ，k ∈N ∗（q ＞0），若由{b n }的前r 项依次构成的数列是单调递增数列，求正整数r 的最大值．三、数学附加题（满分10分，考试时间30分钟）【选做题】在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．[选修42：矩阵与变换] 21．求椭圆C ：x 216+y 24=1在矩阵A =[1412]对应的变换作用下所得曲线C ′的方程．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，已知圆C 经过点P （√2，π4），圆心为直线ρsin （θ+π3）=√32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程． [选修4-5：不等式选讲]23．已知正数a ，b ，c 满足abc ＝1，求（a +2）（b +2）（c +2）的最小值．六、【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．24．如图，直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD ＝60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．（1）求异面直线A 1M 与C 1E 所成角的余弦值；（2）求二面角A ﹣MA 1﹣N 的平面角的正弦值．25．已知数列{a n }满足a n ＝m +C n+112+C n+2222+C n+3323+⋯+C n+n n2n ，n ∈N *，其中m 为常数，a 2＝4．（1）求m ，a 1的值；（2）猜想数列{a n }的通项公式，并证明．参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ＜0}，B ＝{x |x ＜1}，则A ∪B ＝ {x |x ＜2} ．【分析】求出集合A ，B ，由此能求出A ∪B ．解：∵集合A ＝{x |x 2﹣2x ＜0}＝{x |0＜x ＜2}， B ＝{x |x ＜1}， ∴A ∪B ＝{x |x ＜2}．故答案为：{x |x ＜2}．2．已知复数z ＝（a +2i ）（1+i ）的实部为0，其中i 为虚数单位，a 为实数，则z = ﹣4i ．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求得a 值，则答案可求．解：∵z ＝（a +2i ）（1+i ）＝（a ﹣2）+（a +2）i 的实部为0， ∴a ﹣2＝0，即a ＝2，则z ＝4i ， ∴z =−4i ．故答案为：﹣4i ．3．如图，茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为143．【分析】由茎叶图数据分别求出甲乙两组的方差，比较大小．解：由已知可得甲的平均成绩为88+92+963=92，方差为13[（92﹣88）2+（92﹣92）2+（96﹣92）2]=323；乙的平均成绩为90+91+953=92，方差为13[（92﹣90）2+（92﹣91）2+（95﹣92）2]=143，所以方差较小的那组同学成绩的方差为 143．故答案为：1434．运行如图所示的伪代码，则输出的S 的值为 25 ．【分析】模拟运行伪代码，即可得出运行后输出的S 值．解：模拟运行如图所示的伪代码，如下； I ＝1，S ＝1； I ＝3，S ＝4； I ＝5，S ＝9； I ＝7，S ＝16； I ＝9，S ＝25；所以输出的S ＝25．故答案为：25．5．某兴趣小组有2名女生和3名男生，现从中任选2名学生去参加活动，则至多有一名男生的概率为710．【分析】现从中任选2名学生去参加活动，基本事件总数n =C 52=10，至多有一名男生包含的基本事件个数m =C 22+C 21C 31=7，由此能求出至多有一名男生的概率．解：某兴趣小组有2名女生和3名男生，现从中任选2名学生去参加活动，基本事件总数n =C 52=10，至多有一名男生包含的基本事件个数m =C 22+C 21C 31=7，则至多有一名男生的概率为p =m n =710．故答案为：710．6．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 5＝2S 10，则S 5+4S 15S 10−S 5= ﹣8 ．【分析】由等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝2S 10，解得q 5=−12．由此能求出S 5+4S 15S 10−S 5的值．解：∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝2S 10，设公比为q ，且q ≠1， ∴a 1(1−q 5)1−q=2×a 1(1−q 10)1−q，解得q 5=−12．∴S 5+4S 15S 10−S 5=a 1(1−q 5)1−q +4×a 1(1−q 15)1−qa 1(1−q 10)1−q −a 1(1−q 5)1−q=1−q 5+4(1−q 15)1−q 10−(1−q 5)=1+12+4(1+18)1−14−(1+12)=−8．故答案为：﹣8．7．函数f （x ）为定义在R 上的奇函数，且满足f （x ）＝f （2﹣x ），若f （1）＝3，则f （1）+f （2）+…+f （50）＝ 3 ．【分析】根据条件结合函数的奇偶性，求出函数的周期，结合函数的周期以及等量关系进行转化求解即可．解：∵函数f （x ）为定义在R 上的奇函数，且满足f （x ）＝f （2﹣x ）， ∴f （x ）＝f （2﹣x ）＝﹣f （x ﹣2），即f （x +2）＝﹣f （x ），则f （x +4）＝f （x ），则函数f （x ）的周期为4，∵f （1）＝3，∴f （0）＝0，f （2）＝f （0）＝0，f （3）＝f （﹣1）＝﹣f （1）＝﹣3，f （4）＝f （0）＝0，则f （1）+f （2）+f （3）+f （4）＝3+0﹣3+0＝0，则f （1）+f （2）+…+f （50）＝f （1）+f （2）+12[f （1）+f （2）+f （3）+f （4）]＝3+0＝3，故答案为：3．8．将函数f （x ）＝2sin （x +π6）sin （π3−x ）图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得图象对应的函数恰为偶函数，则φ的最小值为π12．【分析】利用三角函数的倍角公式进行化简，利用三角函数的平移关系求出函数的解析式，结合偶函数的性质进行求解即可．解：f （x ）＝2sin （x +π6）sin （π3−x ）＝2sin （x +π6）cos （x +π6）＝sin （2x +π3），将f （x ）图象向左平移φ（φ＞0）个单位，得到y ＝sin[2（x +φ）+π3]＝sin （2x +2φ+π3），∵函数为偶函数，∴2φ+π3=k π+π2，得2φ＝k π+π6，得φ=12k π+π12，k ∈Z ， ∵φ＞0，∴当k ＝0时，φ最小，最小为φ=π12，故答案为：π12．9．双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且与x 轴垂直的直线与双曲线交于A ，B 两点，若F 1F 2=√32AB ，则双曲线的渐近线方程为 y =±√2x ．【分析】由题意F 1F 2=√32AB ，根据双曲线的通径公式求得A 点坐标，代入双曲线的方程求解即可．解：双曲线x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且与x 轴垂直的直线与双曲线交于A ，B 两点，若F 1F 2=√32AB ，可得A （﹣c ，2√33c ），可得：c 2a 2−4c 23b 2=1，c 2＝a 2+b 2，可得b 2a 2=2，所以ba=√2，所以双曲线的渐近线方程为：y =±√2x ．故答案为：y =±√2x ．10．如图，五边形ABCDE 由两部分组成，△ABE 是以角B 为直角的直角三角形，四边形BCDE 为正方形，现将该图形以AC 为轴旋转一周，构成一个新的几何体．若形成的圆锥和圆柱的侧面积相等，则圆锥和圆柱的体积之比为 √33．【分析】通过求解圆锥的侧面积与圆柱的侧面积，求出棱锥的高，然后求解圆锥和圆柱的体积之比．解：五边形ABCDE 由两部分组成，△ABE 是以角B 为直角的直角三角形，四边形BCDE 为正方形，现将该图形以AC 为轴旋转一周，构成一个新的几何体．若形成的圆锥和圆柱的侧面积相等，设正方形的边长为x ，则4x π×x =12×4πx •AE ，AE ＝2x ，所以AB =√3x ，所以：圆锥和圆柱的体积之比为：13πx 2⋅√3x πx 2⋅x=√33．故答案为：√33． 11．在平行四边形ABCD 中，AD ＝2AB ＝6，∠DAB ＝60°，DE →=12EC →，BF →=12FC →．若FG →=2GE →，则AG →•BD →= 21 ．【分析】以A 为原点，AD 为x 轴，AD 的垂线为y 轴建立坐标系，通过平面几何中的简单计算可分别求出A 、B 、D 、F 、E 和G 的坐标，再利用平面向量的线性运算和数量积坐标运算即可得解．解：以A 为原点，AD 为x 轴，AD 的垂线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A （0，0），B （32，3√32），D （6，0），F （72，3√32），E （132，√32），设点G 的坐标为（x ，y ），∵FG →=2GE →，∴(x −72，y −3√32)=2(132−x ，√32−y)，解得x =112，y =5√36，∴G(112，5√36)．∴AG →•BD →=(112，5√36)⋅(92，−3√32)=994−15×312=21．故答案为：21．12．已知在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若a ＝3b cos C ，则1tanA+1tanB+1tanC的最小值为√73．【分析】根据正弦定理求得sin A ＝3sin B cos C ，即可求得tan C ＝2tan B ，又A +B +C ＝π，可得tan A ＝tan[π﹣（B +C ）]=3tanB2tan 2B−1，从而化简所求，由基本不等式即可得出答案．解：因为a ＝3b cos C ，所以sin A ＝3sin B cos C ，可得sin （B +C ）＝3sin B cos C ，可得sin B cos C +cos B sin C ＝3sin B cos C ，所以cos B sin C ＝2sin B cos C ，可得tan C ＝2tan B ，所以tan A ＝tan[π﹣（B +C ）]＝﹣tan （B +C ）=−tanB+tanC1−tanBtanC =3tanB2，所以1tanA+1tanB+1tanC=2tan 2B−13tanB+1tanB+12tanB=4tan 2B+76tanB=2tanB 3+76tanB≥2√2tanB 3⋅76tanB =2√73，（当且仅当2tanB 3=76tanB，即tan B =√72时取“＝”）．故答案为：2√73．13．已知圆O ：x 2+y 2＝4，点A （2，2），直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，点E 在直线l 上且满足PQ →=2QE →．若AE 2+2AP 2＝48，则弦PQ 中点M 的横坐标的取值范围为（√72，√72）．【分析】由题意可得M ，Q 为线段EP 的三等分点，首先证明三角形的中线长定理，可推得AM 2+2QM 2＝16，由垂径定理可得AM 2+2（4﹣OM 2）＝16，所以AM 2﹣2OM 2＝8，设M （x ，y ），求得M 的轨迹方程，考虑M 在圆O 内，求得分界点的横坐标，进而得到所求横坐标的范围．解：点E 在直线l 上且满足PQ →=2QE →．可得M ，Q 为线段EP 的三等分点，先证明在三角形ABC 中，AM 为边BC 上的中线，即AM →=12（AB →+AC →），可得AM →2=14（AB →2+AC →2+2AB →•AC →）=14（AB →2+AC →2+AB →2+AC →2−BC →2），则AB 2+AC 2＝2AM 2+2BM 2，在三角形AEP 中，可得AE 2+AM 2＝2AQ 2+2QM 2， AQ 2+AP 2＝2AM 2+2QM 2，则AE 2+2AP 2＝（2AQ 2+2QM 2﹣AM 2）+2AP 2＝2（AQ 2+AP 2）+2QM 2﹣AM 2 ＝2（2AM 2+2QM 2）+2QM 2﹣AM 2 ＝3AM 2+6QM 2＝48，即AM 2+2QM 2＝16，即AM 2+2（4﹣OM 2）＝16，所以AM 2﹣2OM 2＝8，设M （x ，y ），可得（x ﹣2）2+（y ﹣2）2﹣2（x 2+y 2）＝8，化为x 2+y 2+4x +4y ＝0，可令x 2+y 2＝4，联立可得2x 2+2x ﹣3＝0，解得x =−1±√72，所以由M 在圆O 内，可得M 的横坐标x ∈（−1−√72，−1+√72）．故答案为：（−1−√72，−1+√72）．14．函数f（x）＝（x3﹣3a2x+2a）•（e x﹣1）的图象恰好经过三个象限，则实数a的取值范围是[﹣1，0）∪（0，1]．【分析】先注意到当x＞0时，e x﹣1＞0；当x＜0时，e x﹣1＜0，且f（0）＝0，设g（x）＝x3﹣3a2x+2a，则g'（x）＝3x2﹣3a2＝3（x+a）（x﹣a），对a分情况讨论，得到函数g（x）的单调性和极值，由函数f（x）＝g（x）•（e x﹣1）的图象恰好经过三个象限，可得到函数g（x）极值的正负，从而求出a的取值范围．解：当x＞0时，e x﹣1＞0；当x＜0时，e x﹣1＜0，且f（0）＝0，设g（x）＝x3﹣3a2x+2a，则g'（x）＝3x2﹣3a2＝3（x+a）（x﹣a），①当a＝0时，g'（x）≥0恒成立，且只有g'（0）＝0，∴函数g（x）在R上单调递增，又g（0）＝0，∴当x＞0时，g（x）＞0，f（x）＞0；当x＜0时，g（x）＜0，f（x）＞0，∴函数f（x）的图象只经过第一象限和第二象限，不符合题意；②当a＞0时，令g'（x）＝0，得x＝±a，当x∈（﹣∞，﹣a）和（a，+∞）时，g'（x）＞0，函数g（x）单调递增；当x∈（﹣a，a）时，g'（x）＜0，函数g（x）单调递减，∴函数g（x）的极大值为g（﹣a）＝2a3+2a＞0，极小值为g（a）＝﹣2a3+2a∵函数f（x）＝g（x）•（e x﹣1）的图象恰好经过三个象限，∴g（a）＝﹣2a3+2a≥0，解得：﹣1≤a≤1，又∵a＞0，∴0＜a≤1；③当a＜0时，令g'（x）＝0，得x＝±a，当x∈（﹣∞，a）和（﹣a，+∞）时，g'（x）＞0，函数g（x）单调递增；当x∈（a，﹣a）时，g'（x）＜0，函数g（x）单调递减，∴函数g （x ）的极大值为g （a ）＝﹣2a 3+2a ，极小值为g （﹣a ）＝2a 3+2a ＜0， ∵函数f （x ）＝g （x ）•（e x ﹣1）的图象恰好经过三个象限， ∴g （a ）＝﹣2a 3+2a ≤0，解得：﹣1≤a ≤1，又∵a ＜0， ∴﹣1≤a ＜0，终上所述，实数a 的取值范围是：[﹣1，0）∪（0，1]，故答案为：[﹣1，0）∪（0，1]．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b sin A ＝a sin （2π3−B ）．（1）求角B 的大小；（2）若a ＝2，c ＝3，求sin （A ﹣C ）的值．【分析】（1）先利用正弦定理将等式边化角，约分掉sin A ，根据角B 的范围直接得到B 的关系求解；（2）先利用余弦定理求出b ，然后再利用余弦定理求出sin A 、cos A ，最后借助于内角和定理将sin （A ﹣C ）化归为A 的三角函数求解即可．解：（1）由正弦定理b sin A ＝a sin （2π3−B ）可化为：sinBsinA =sinAsin(2π3−B)，又B ∈（0，π），故sin A ≠0．所以sinB =sin(2π3−B)＞0，∴B ，2π3−B ∈(0，π)， ∴B =2π3−B 或B +(2π3−B)=π(舍)，故B =π3．（2）由（1）知B =π3，∴A =2π3−C ．由余弦定理得b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ＝7，∴b =√7． ∴由asinA =bsinB 得2sinA =√7√32，解得sinA =√37a ＜c ，∴cosA =2√7，所以sin2A ＝2sin A cos A =4√37，cos2A =2cos 2A −1=17．所以sin（A﹣C）＝sin（A﹣（2π3−A））＝sin（2A−2π3）=−12sin2A−√32cos2A=−12×4√37−√32×17=−5√314．16．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BCC1B1是矩形，平面ACC1A1⊥平面BCC1B1，M是棱CC1上的一点．（1）求证：BC⊥AM；（2）若N是AB的中点，且CN∥平面AB1M，求证：M是棱CC1中点．【分析】（1）由侧面BCC1B1是矩形，得BC⊥CC1，再由面面垂直的性质可得BC⊥平面ACC1A1，得到BC⊥AM；（2）取AB1的中点H，连接NH，HM，由三角形的中位线定理可得NH∥BB1，NH=12BB1，由已知证明CM，NH共面，再由线面平行的性质可得CN∥MH，得到四边形CNHM为平行四边形，则CM∥NH，CM＝NH，从而得到CM=12BB1=12CC1，即M是棱CC1中点．【解答】（1）证明：∵侧面BCC1B1是矩形，∴BC⊥CC1，又平面ACC1A1⊥平面BCC1B1，而平面ACC1A1∩平面BCC1B1＝CC1，BC⊂平面BCC1B1，∴BC⊥平面ACC1A1，又AM⊂平面平面ACC1A1，∴BC⊥AM；（2）取AB1的中点H，连接NH，HM，∵N是AB的中点，∴NH∥BB1，NH=12BB1，又在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1∥CC1，且BB1＝CC1，M是棱CC1上的一点，∴CM∥NH，即CM，NH共面，又CN∥平面AB1M，CN⊂平面CNHM，而面CNHM∩平面AB1M＝MH，∴CN∥MH．∴四边形CNHM为平行四边形，则CM∥NH，CM＝NH，∴CM =12BB 1=12CC 1，即M 是棱CC 1中点．17．疫情期间，某小区超市平面图如图所示，由矩形OABC 与扇形OCD 组成，OA ＝30米，AB ＝50米，∠COD =π6，经营者决定在O 点处安装一个监控摄像头，摄像头的监控视角∠EOF =π3，摄像头监控区域为图中阴影部分，要求点E 在弧CD 上，点F 在线段AB 上．设∠FOC ＝θ．（1）求该监控摄像头所能监控到的区域面积S 关于θ的函数关系式，并求出tan θ的取值范围；（2）求监控区域面积S 最大时，角θ的正切值．【分析】（1）求出扇形EOC 的面积以及四边形OCBF 的面积，用四边形的面积减去扇形的面积即为阴影部分的面积，进而得出S （θ），再由θ的范围得出tan θ的取值范围；（2）设h(θ)=9tanθ+25θ，利用导数求出函数h （θ）的最小值，即可得到此时角θ的正切值．解：（1）扇形EOC 的面积为12×(π3−θ)×502=2500π6−25002θ，四边形OCBF 的面积为30×50−12×30×30tanθ，故阴影部分的面积为S(θ)=1500+2500π6−50(9tanθ+25θ)，因为θ∈[θ0，π3]，tanθ0=35，所以tanθ∈[35，√3]；（2）设h(θ)=9tanθ+25θ，则h′(θ)=−9sin 2θ−9cos 2θsin 2θ+25=−9sin 2θ+25，令h ′（θ）＝0得tanθ=34∈[35，√3]，记其解为θ1，并且h （θ）在[θ0，θ1）上单调递减，在(θ1，π3]上单调递增，所以h （θ）min ＝h （θ1），阴影部分的面积的最大值为1500+2500π6−50h(θ1)，此时tanθ1=34，故监控区域S 最大时，角θ的正切值为34．18．（16分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左焦点为F 1，点A ，B 为椭圆的左、右顶点，点P 是椭圆上一点，且直线PF 1的倾斜角为π4，PF 1＝2，已知椭圆的离心率为√22．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 为椭圆上异于A ，B 的两点，若直线BN 的斜率等于直线AM 斜率的2倍，求四边形AMBN 面积的最大值．【分析】（1）由题意可得 a =√2c ，在△PF 1F 2中，由余弦定理可得解方程可得c =√2，则a ＝2，b =√2，进而得到椭圆方程；（2）设直线AM 的方程为y ＝k （x +2），由k BN ＝2k AM ，可得直线BN 方程为y ＝2k （x ﹣2），代入椭圆方程得到M 、N 纵坐标，运用韦达定理和四边形的面积公式，化简换元，结合对勾函数的单调性，可得最大值．解：（1）因为e =c a =√22，则 a =√2c ，设右焦点为F 2，在△PF 1F 2中，PF 1＝2，∠PF 1F 2=π4，由余弦定理可得（2a ﹣2）2＝22+（2c ）2﹣2×2c ×2cos π4，解得c =√2，则a ＝2，b =√2，所以椭圆方程为x 24+y 22=1；（2）设直线AM 的斜率为k ，则直线AM 的方程为：y ＝k （x +2），联立{y =k(x +2)x 24+y 22=1，整理得（2k 2+1）x 2+8k 2x +8k 2﹣4＝0，△＝64k 4﹣4（2k 2+1）（8k 2﹣4）＞0，设M （x 1，y 1），则﹣2x 1=8k 2−42k 2+1，即x 1=2−4k22k 2+1，从而y 1=4k 2k 2+1，由k BN ＝2k AM ，可得直线BN 方程为y ＝2k （x ﹣2），联立{y =2k(x −2)x 24+y 22=1，整理得（8k 2+1）x 2﹣32k 2x +32k 2﹣4＝0，△＝322k 4﹣4（8k 2+1）（32k 2﹣4）＞0，设N （x 2，y 2），则2x 2=32k 2−48k 2+1，从而y 2=−8k 8k 2+1，由对称性，不妨设k ＞0，则四边形AMBN 的面积S =12×4×（y 1﹣y 2）＝2（4k 2k 2+1+8k 8k 2+1）＝24×4k 3+k(2k 21)(8k 2+1)=24×4k+1k(8k+1k )(2k+1k )＝24×4k+1k16k 2+1k2+10=24×4k+1k(4k+1k)2+2=244k+1k +24k+1k，令t ＝4k +1k，则t ≥2√1k×4k =4（当且仅当k =12时取等），则S =24t+2t ≤244+12=163，故S 的最大值为163．19．（16分）已知函数f （x ）＝ax 2+bx +c ，（a ，b ，c ∈R ），g （x ）＝e x ．（1）若a ＝b ＝1，c ＝﹣1，求函数h （x ）=f(x)g(x)在x ＝1处的切线方程；（2）若a ＝1，且x ＝1是函数m （x ）＝f （x ）g （x ）的一个极值点，确定m （x ）的单调区间；（3）若b ＝2a ，c ＝2，且对任意x ≥0，f(x)g(x)≤2x +2恒成立，求实数a 的取值范围．【分析】（1）将a ＝b ＝1，c ＝﹣1带入，求得h(x)=x 2+x−1ex ，h′(x)=−x 2+x+2ex，进而得到h′(1)=2e ，h(1)=1e，再利用点斜式求得切线方程；（2）求得m （x ），并求导，根据题意，可得c ＝﹣2b ﹣3，再分b ＜﹣4及b ＞﹣4两种情况讨论即可；（3）依题意，ax 2+2ax +2﹣（2x +2）e x ≤0对任意x ≥0恒成立，构造函数p （x ）＝ax 2+2ax +2﹣（2x +2）e x ，由p （1）＝3a +2﹣4e ≤0得a ≤4e−23，再分a ≤0，0＜a ≤4e−23讨论，结合零点存在性定理即可求得a 的取值范围．解：（1）∵a ＝b ＝1，c ＝﹣1，∴h(x)=x 2+x−1e x ，h′(x)=−x 2+x+2ex， ∴h′(1)=2e ，又h(1)=1e ， ∴y −1e =2e(x −1)，即函数h （x ）=f(x)g(x)在x ＝1处的切线方程为2x ﹣ey ﹣1＝0；（2）∵a ＝1，∴m （x ）＝（x 2+bx +c ）e x ，m ′（x ）＝[x 2+（b +2）x +b +c ]e x ， ∵x ＝1是函数m （x ）的一个极值点， ∴m ′（1）＝0，解得c ＝﹣2b ﹣3，∴m ′（x ）＝[x 2+（b +2）x ﹣b ﹣3]e x ＝（x ﹣1）[x +（b +3）]e x ，令m ′（x ）＝0，解得x 1＝1，x 2＝﹣b ﹣3， ∵x ＝1是一个极值点， ∴﹣b ﹣3≠1，即b ≠﹣4，当﹣b ﹣3＞1，即b ＜﹣4时，由m ′（x ）＞0，解得x ∈（﹣∞，1）或x ∈（﹣b ﹣3，+∞），由m ′（x ）＜0，解得x ∈（1，﹣b ﹣3）；当﹣b ﹣3＜1，即b ＞﹣4时，由m ′（x ）＞0，解得x ∈（﹣∞，﹣b ﹣3）或x ∈（1，+∞），由m ′（x ）＜0，解得x ∈（﹣b ﹣3，1）；综上，当b ＜﹣4时，m （x ）的单调递增区间为（﹣∞，1），（﹣b ﹣3，+∞），单调递减区间为（1，﹣b ﹣3）；当b ＞﹣4时，m （x ）的单调递增区间为（﹣∞，﹣b ﹣3），（1，+∞），单调递减区间为（﹣b ﹣3，1）；（3）∵b ＝2a ，c ＝2， ∴f(x)g(x)=ax 2+2ax+2e ≤2x +2对任意x ≥0恒成立，即ax 2+2ax +2﹣（2x +2）e x ≤0对任意x ≥0恒成立，令p （x ）＝ax 2+2ax +2﹣（2x +2）e x ，p （0）＝0，由p （1）＝3a +2﹣4e ≤0得a ≤4e−23， p ′（x ）＝2a （x +1）﹣2（x +2）e x ，①当a ≤0时，对任意x ≥0，p ′（x ）≤0，所以函数y ＝p （x ）再[0，+∞）上单调递减，故p （x ）≤p （0）＝0，则a ≤0符合题意； ②当0＜a ≤4e−23时，令G （x ）＝p ′（x ）＝2a （x +1）﹣2（x +2）e x ，则G ′（x ）＝2a ﹣2（x +3）e x ，当x ≥0时，2(x +3)e x ≥6，2a −2(x +3)e x ≤2(4e−2)3−6=2(4e−11)3＜0， ∴对任意x ≥0，G ′（x ）＜0，则函数y ＝G （x ）再[0，+∞）上单调递减， ∴G （x ）≤G （0）＝2a ﹣4，当2a ﹣4≤0，即0＜a ≤2时，对任意x ≥0，G （x ）＝p ′（x ）≤0，则函数y ＝p （x ）在[0，+∞）上单调递鸡蛋，∴对任意x ≥0，p （x ）≤p （0）＝0恒成立，故0＜a ≤2符合题意；当2a ﹣4＞0，即2＜a ≤4e−23时，由G （0）＝2a ﹣4＞0，G （1）＝4a ﹣6e ＜0，得G （0）G （1）＜0，又函数G （x ）在[0，1]上的图象连续不间断，且单调递减，由零点存在性定理可得，存在唯一的x 0∈（0，1），使得G （x 0）＝0， ∴当x ∈（0，x 0）时，G （x ）＝p ′（x ）＞0，∴函数y ＝p （x ）在（0，x 0）上单调递增，故当x ∈（0，x 0）时，p （x ）＞0，与题意不符；综上，实数a 的取值范围为（﹣∞，2]．20．（16分）设数列{a n }（任意项都不为零）的前n 项和为S n ，首项为1，对于任意n ∈N *，满足S n =a n ⋅a n+12．（1）数列{a n }的通项公式；（2）是否存在k ，m ，n ∈N *（k ＜m ＜n ），使得a k ，a m ，a n 成等比数列，且16a k ，a m 4，a n 2成等差数列？若存在，试求k +m +n 的值；若不存在，请说明理由；（3）设数列{b n }，b n ={a n ，n =2k −1，k ∈N ∗q n−1，n =2k ，k ∈N ∗（q ＞0），若由{b n }的前r 项依次构成的数列是单调递增数列，求正整数r 的最大值．【分析】（1）由已知可得数列{a n }满足数列{a 2n ﹣1}是首项为1，公差为2的等差数列，{a 2n }是首项为2，公差为2的等差数列，分别求出通项公式，可得数列{a n }的通项公式；（2）设k ，m ，n ∈N *（k ＜m ＜n ），由a k ，a m ，a n 成等比数列，得m 2＝kn ，由16a k ，a m 4，a n 2成等差数列，得2m 4＝16k +n 2，联立可得n 2=16k 2k 2−1，结合n ≥3求得k 的范围，进一步求出k ＝1，m ＝2，n ＝4，则k +m +n 可求；（3）若{b n }是单调递增数列，可知当n 是偶数时，n ﹣1＜q n ﹣1＜n +1恒成立，得ln(n−1)n−1＜lnq ＜ln(n+1)n−1（*），显然q ＞1．分别构造函数f （x ）=lnx x ，函数g （x ）=ln(x+2)x，再由导数求最值，可知当2≤n ≤6时，存在q ＞313，（*）成立，当n ＝8时，（*）右侧不等式不成立，说明至多前8项是递增数列，即正数r 的最大值是8．解：（1）∵数列{a n }是非零数列，∴a n ≠0，当n ＝1时，a 1=S 1=a 1a22，得a 2＝2，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=a n ⋅a n+12−a n−1⋅a n2，得a n +1﹣a n ﹣1＝2． ∴数列{a 2n ﹣1}是首项为1，公差为2的等差数列，{a 2n }是首项为2，公差为2的等差数列．则a 2n ﹣1＝a 1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1，a 2n ＝a 2+2（n ﹣1）＝2n ． ∴a n ＝n ；（2）设k ，m ，n ∈N *（k ＜m ＜n ），由a k ，a m ，a n 成等比数列，得m 2＝kn ，由16a k ，a m 4，a n 2成等差数列，得2m 4＝16k +n 2．消去m 可得：2k 2n 2＝16k +n 2，∴n 2=16k 2k 2−1．又∵n ≥3，∴16k2k 2−1＞8，0＜k ＜1+√32，k ∈N*．因此，k ＝1，m ＝2，n ＝4，k +m +n ＝7；（3）若{b n }是单调递增数列，∴当n 是偶数时，n ﹣1＜q n ﹣1＜n +1恒成立，两边取自然对数，可得ln(n−1)n−1＜lnq ＜ln(n+1)n−1（*），显然q ＞1．设函数f （x ）=lnxx ，则f ′（x ）=1−lnx x 2，可知当x ∈（0，e ）时，f （x ）单调递增，当x ∈（e ，+∞）时，f （x ）单调递减，f （x ）在x ＝e 处取得极大值． ∴当n ≥4时，ln(n−1)n−1是递减数列，ln11＜ln33，则ln33是ln(n−1)n−1的最大值，lnq ＞ln33；设函数g （x ）=ln(x+2)x ，得g ′（x ）=xx+2−ln(x+2)x2＜0（x ≥1）， ∴ln(x+1)x−1是递减数列，当n ＝6时，ln75＞ln33，当n ＝8时，ln97=ln372＜ln33．∴当2≤n ≤6时，存在q ＞313，（*）成立，当n ＝8时，（*）右侧不等式不成立． ∴至多前8项是递增数列，即正整数r 的最大值是8．三、数学附加题（满分10分，考试时间30分钟）【选做题】在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．[选修42：矩阵与变换] 21．求椭圆C ：x 216+y 24=1在矩阵A =[1412]对应的变换作用下所得曲线C ′的方程．【分析】直接利用矩阵的变换的应用，伸缩变换的应用求出结果．解：设P （x ，y ）是曲线C ′上的任意一点，它是椭圆x 216+y 24=1上的点P 1（x ′，y ′）在矩阵[1412]对应变换作用下的对应点，则：[xy]═[140012][x′y′[x′4y′2，即：{x =x′4y =y′2，所以{x′=4x y′=2y代入椭圆x 216+y 24=1，得到x 2+y 2＝1．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，已知圆C 经过点P （√2，π4），圆心为直线ρsin （θ+π3）=√32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．【分析】直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换和直角坐标和极坐标之间的转换求出结果．解：直线ρsin （θ+π3）=√32转换为直角坐标方程为12y +√32x =√32，所以与极轴的交点坐标为（1，0）．点P （√2，π4），转换为直角坐标为（1，1），所以圆的方程为：（x ﹣1）2+y 2＝1．所以ρ＝0或ρ＝2cos θ，由于ρ＝0表示极点也在圆上，所以圆的极坐标方程为ρ＝2cos θ． [选修4-5：不等式选讲]23．已知正数a ，b ，c 满足abc ＝1，求（a +2）（b +2）（c +2）的最小值．【分析】将（a +2）（b +2）（c +2）变形为（a +1+1）（b +1+1）（c +1+1），再利用基本不等式即可得出．解：∵正数a ，b ，c 满足abc ＝1，∴（a +2）（b +2）（c +2）＝（a +1+1）（b +1+1）（c +1+1）≥3√a 3⋅3√b 3⋅3√c 3=27√abc 3=27，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时取等号． ∴（a +2）（b +2）（c +2）的最小值为27．六、【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．24．如图，直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD ＝60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．（1）求异面直线A 1M 与C 1E 所成角的余弦值；（2）求二面角A ﹣MA 1﹣N 的平面角的正弦值．【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出直线A 1M 与C 1E 的方向向量，然后利用向量的夹角公式即可求得余弦值；（2）求出平面A 1MA 及平面A 1MN 的法向量，先利用向量公式求得余弦值，进而求得二面角A ﹣MA 1﹣N 的平面角的正弦值．解：（1）由直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，∠BAD ＝60°，E 为BC 的中点，可得DE ⊥BC ，又AD ∥BC ，可得DE ⊥AD ，故以D 为坐标原点，DA →的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D ﹣xyz ，则A 1(2，0，4)，M(1，√3，2)，C 1(−1，√3，4)，E(0，√3，0)，故A 1M →=(−1，√3，−2)，C 1E →=(1，0，−4)， ∴cos ＜A 1M →，C 1E →＞=A 1M →⋅C 1E →|A 1M →||C 1E →|=−1+88×17=7√3468，∴异面直线A 1M 与C 1E 所成角的余弦值为7√3468；（2）N(1，0，2)，A 1A →=(0，0，−4)，A 1M →=(−1，√3，−2)，A 1N →=(−1，0，−2)，MN →=(0，−√3，0)，设平面A 1MA 的一个法向量为m →=(x ，y ，z)，则{m →⋅A 1M →=−x +√3y −2z =0m →⋅A 1A →=−4z =0，可取m →=(√3，1，0)，设平面A 1MN 的一个法向量为n →=(a ，b ，c)，则{n →⋅MN →=−√3b =0n →⋅A 1N →=−a −2c =0，可取n →=(2，0，−1)，∴cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →||n →|=√32×5=√155， ∴二面角A ﹣MA 1﹣N 的平面角的正弦值为√105．25．已知数列{a n }满足a n ＝m +C n+112+C n+2222+C n+3323+⋯+C n+n n2n ，n ∈一、选择题*，其中m 为常数，a 2＝4．（1）求m ，a 1的值；（2）猜想数列{a n }的通项公式，并证明．【分析】（1）由a 2＝m +3＝4，可求出m ＝1，此时a 1＝m +1＝2；（2）猜想：a n =2n ，用数学归纳法证明即可．解：（1）因为a n ＝m +C n+112+C n+2222+C n+3323+⋯+Cn+n n 2n ，所以a 2＝m +3＝4，所以m ＝1，此时a 1＝m +1＝2；（2）猜想：a n =2n ，用数学归纳法证明如下： ①当n ＝1时，由（1）可知结论成立，②假设n ＝k 时结论成立，则有a k =1+C k+112+C k+2222+C k+3323+⋯⋯+C k+k k2k =2k ，则n ＝k +1时，a k+1=1+C k+1+112+C k+1+2222+C k+1+3323+⋯⋯+C k+1+k+1k+12k+1，由C n+1k+1=C n k+1+C n k 得：a k+1=1+C k+11+C k+102+C k+22+C k+2122+C k+33+C k+3223+⋯⋯+C k+k k+C k+k k−12k +Ck+1+k+1k+12k+1=2k+C k+102+C k+2122+C k+3223+⋯⋯+C k+k k−12k +C k+1+k+1k+12k+1， ∴a k +1=2k+12(C k+10+C k+2121+C k+3222+⋯⋯+C k+k k−12k−1+C k+1+k+1k+12k )=2k +12(C k+10+C k+2121+C k+2222+⋯⋯+C k+1+k+1k−12k−1+C k+1+k k +C k+1+kk+12k)又C k+1+kk+1=(2k+1)!k!(k+1)!=(2k+1)!(k+1)(k+1)k!(k+1)!=12(2k+1)!(2k+2)(k+1)!(k+1)!=12C k+1+k+1k+1 =2k+12(C k+10+C k+2121+C k+3222+⋯⋯+C k+1+k−1k−12k−1+C k+1+k k2k +C k+1+k+1k+12k+1)，于是a k+1=2k +12a k+1，所以a k+1=2k+1，故n ＝k +1时结论也成立，由①②得，a n =2n ，n ∈N ∗，。

南京市达标名校2020年高考五月仿真备考数学试题含解析

南京市达标名校2020年高考五月仿真备考数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某校为提高新入聘教师的教学水平，实行“老带新”的师徒结对指导形式，要求每位老教师都有徒弟，每位新教师都有一位老教师指导，现选出3位老教师负责指导5位新入聘教师，则不同的师徒结对方式共有（）种. A ．360B ．240C ．150D ．1202．已知,x y 满足001x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩，则32y x --的取值范围为（）A ．3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．(1,2]C ．(,0][2,)-∞+∞D ．(,1)[2,)-∞⋃+∞3．设1tan 2α=，4cos()((0,))5πββπ+=-∈，则tan 2()αβ-的值为（）A ．724- B ．524-C ．524D ．7244．椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若2||2PF =，则12F PF ∠的大小为（）A ．150︒B ．135︒C ．120︒D ．90︒5．ABC ∆中，BC =D 为BC 的中点，4BAD π∠=，1AD =，则AC =（）A．B．C．6D ．26．一个正四棱锥形骨架的底边边长为2，有一个球的表面与这个正四棱锥的每个边都相切，则该球的表面积为（） A．B ．4πC．D ．3π7．甲、乙、丙三人相约晚上在某地会面，已知这三人都不会违约且无两人同时到达，则甲第一个到、丙第三个到的概率是（） A ．13B ．14C ．15D ．168．要得到函数2sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需将函数2cos2y x =的图象 A ．向左平移3π个单位长度 B π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度 9．数列{}n a 满足：21n n n a a a +++=，11a =，22a =，n S 为其前n 项和，则2019S =（） A ．0B ．1C ．3D ．410．半径为2的球O 内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为（） A ．93B ．123C ．163D ．18311．如图，在平面四边形ABCD 中，满足,AB BC CD AD ==，且10,8AB AD BD +==，沿着BD 把ABD 折起，使点A 到达点P 的位置，且使2PC =，则三棱锥P BCD -体积的最大值为（）A ．12B ．122C ．1623D ．16312．把函数()sin 2(0)6f x A x A π⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()()0g x m m ->是偶函数，则实数m 的最小值是（）A ．512π B ．56π C ．6πD ．12π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

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