矩阵秩的基本不等式

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矩阵秩的基本不等式

定理1：设,m n A R ∈，,n s B R ∈，则{}()()()min (),()r A r B n r AB r A r B +-≤≤。 证明：由于0Bx =的解一定是0ABx =的解，因此0Bx =的基础解系为0ABx =的基础解系的一部分。于是，()()s r B s r AB -≤-，即()()r AB r B ≤。

()()()()()()T T T T r AB r AB r B A r A r A ==≤=。

这样，我们就证明了()()r AB r A ≤，()()r AB r B ≤，故{}()min (),()r AB r A r B ≤。

我们假设1x ，2x ，……，()s r B x -，()1s r B x -+，……，()s r AB x -为0ABx =的基础解系。其中，0i Bx =，1()i s r B ≤≤-；0j Bx ≠，()1()s r B j s r AB -+≤≤-。 下面，我们来证明向量组{}

()()1

s r AB j j s r B Bx -=-+是线性无关的。事实上，假设数j k ，

()1()s r B j s r AB -+≤≤-，使得

()()1

()s r AB j j j s r B k Bx -=-+∑

，于是()

()1

0s r AB j j s r B B

x -=-+=∑

。

这样，

()

()1

0s r AB j j s r B x -=-+=∑

为0Bx =的解。于是，存在数j k ，1()j s r B ≤≤-，使得

()()

()1

1

()s r AB s r B j j j

j s r B j x k x --=-+==

-∑

∑，即()1

0s r AB j j j k x -==∑

。由于向量组{}

()1

s r AB j j x -=线性无关，因

此，0j k =，()1()s r B j s r AB -+≤≤-。于是，向量组{}()

()1

s r AB j j s r B Bx -=-+线性无关。

又由于()0j j A Bx ABx ==，()1()s r B j s r AB -+≤≤-，因此{}()

()1

s r AB j j s r B Bx -=-+为

0Ax =的基础解系的一部分。于是，

[]()()11()()()s r AB s r B r B r AB n r A ---++=-≤- 即()()()r AB r A r B n ≥+-。

推论1：若,m n A R ∈，,n s B R ∈满足0AB =，则()()r A r B n +≤。 证明：0()()()r AB r A r B n =≥+-，于是()()r A r B n +≤。