数理统计作业三
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(1)可否利用泊松分布来近似计算？
(2)可否利用正态分布来近似计算？
(3)假如投保人只有 5000 人,可利用哪种分布来近似计算？ 解: (1)由于泊松分布的特点为,当二项分布的 n 很大而 p 很小时,泊松分布可作为二项分布
的近似,其中 λ 为 np。通常当 n≧10,p≦0、1 时,就可以用泊松公式近似得计算
365 天)。 解:
至多有一人在元旦出生,换句话说就就是 500 人当中没有人,或者只有一个人 在元旦出生的概率。
P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=
=0、602
7、已知生产产品时废品的概率为0、01,现每盒装100 个产品。问:
(1)在1 盒中没有废品的概率就是多少？
(2)在1 盒中有1 个废品的概率就是多少？
解:设被保险人死亡数为 X,X～B(20000,0、0005) 2. 总收入为 2 万×50=100 万,要获利至少 50 万,则赔付的保险金额应该不超过 50 万,也就就
是被保险的人当中死亡人数不能超过 10 人,精确点就就是用二项分布来做,但就是由于 20000 这个数比较大,就可以用正态近似来做,就就是认为死亡人数服从与原二项分布的 均值方差相同的正态分布,结用正态函数表示。概率为 P(X≤10)=0、58304
λ= np=20000×0、0005=10
P(X≤10) =P(X=0)+P(X=1)+…+P(X=10)=
=、58304
比较两题的结果,可以知道泊松分布适用于此题。
(2)可以。尽管 p 很小,但由于 n 非常大,np 与 np(1-p)都大于 5,二项分布也可
以利用正态分布来近似计算。本例中,np=20000×0、0005=10,np(1-p)=20000×0、
标准差:
2、 一家人寿保险公司某险种的投保人数有 20000 人,据测算被保险人一年中的 死亡率为万分之 5。保险费每人 50 元。若一年中死亡,则保险公司赔付保险金额 50000 元。试求未来一年该保险公司将在该项保险中(这里不考虑保险公司的其 它费用):
(1)至少获利 50 万元的概率; (2)亏本的概率; (3)支付保险金额的均值与标准差。
4、 某企业收购进甲、乙、丙三厂生产的同样规格的产品,在总收购量中甲、乙、 丙三厂的产品各占40％、35％与25％。甲、乙、丙三厂生产的次品率分别为1％、 2％与3％。若从总购量中任取1 件检查,问: (1)该件产品就是次品的概率就是多少？
数理统计作业三
(2)如果抽到的产品就是次品,那么所抽到的产品恰好就是甲厂生产的概率就是 多少？恰好就是乙厂与丙厂生产的概率各就是多少？ 解: （1） 抽检到次品的概率为P=40%×1%+35%×2%+25%×3%=1、85%
(3)若要求以99％的概率保证每盒有100 个合格品,每盒至少要装多少产品？
Βιβλιοθήκη Baidu解:
(1)设盒中废品数量＝X,因此,X～B(100,0、01)
P(X=0)=
数理统计作业三
0、366032
(2)P(X=1)=0、36973
(3) 设每盒产品为n个,合格品数量服从二项分布:X～B(n,0、99) P(X≥100)≥0、 99 或P(X＜100)≤0、01 根据中心极限定理,二项分布的正态近似
0005×(1-0、0005)=9、995,即有 X～N(10,9、995)。相应的概率为:P(X≤10、
5)＝0、51995,P(X≤20、5)＝0、853262。可见误差比较大。
(3)由于 p＝0、0005,假如 n=5000,则 np＝2、5<5,二项分布呈明显的偏态,用正
态分布来计算就会出现非常大的误差。当 n≧10,p≦0、1 时,就可以用泊松公式计算。
数理统计作业三
(2)亏本的概率就就是死亡人数大于 20 人的概率,思路如上 P(X＞20)=1-P(X≤20)=0、00158
(3)支付保险金额的均值＝50000×E(X)＝50000×np=50000×20000×0、0005(元) ＝50(万元) 支付保险金额的标准差＝50000×σ(X)＝50000×[np(1-p)] 1/2=50000×(20000× 0、0005×0、9995)1/2＝158074(元) 3、 对题 2 的资料,试问:
（2） 恰好就是甲厂的概率为:P甲=40%×1%/1、85%=21、62%
恰好就是乙厂的概率为:P乙=35%×2%/1、85%=37、84%
恰好就是丙厂的概率为:P丙=25%×3%/1、85%=40、54% 5、 据某地过去气象记录,在 11 月的 30 天中平均有 2 天就是雨天,假定 11 月 每天就是否下雨如同重复试验一样服从二项分布。 (1)这种假定就是否合理？ (2)接二项分布计算,次年 11 月最多有 2 天就是雨天的概率就是多少？ 解: (1) 按照题意,在每次试验只有两种结果下雨或者不下雨,而且两种结果发生与
否互相对立互不影响,且实验结果试验次数无关,事件发生与否的概率在每一
次独立试验中都保持不变,因此这种假定合理。
(2) 下雨概率P=2/30=0、067,设下雨天数＝X,X～B(30,0、067) 则最多有两天的概率为 P(X≤2)＝0、674
6、应用普哇松分布计算500 人中至多有1 人在元旦出生的概率(假定1年就是
数理统计作业三
第一部分 统计基础与概率计算(共10题,10分/题)
1. 某人在每天上班途中要经过 3 个设有红绿灯的十字路口。设每个路口遇到红 灯的事件就是相互独立的,且红灯持续 24 秒而绿灯持续 36 秒。试求她途中遇 到红灯的次数的概率分布及其期望值与方差、标准差。 解:读题可知每个 路口遇到红灯的概率就是 P=24／(24+36)=0、4 假设遇到红灯的次数为 X,则,X～B(3,0、4),概率分布如下 0 次遇到红灯的概率 P0=(1-0、4)3=0、216 1 次遇到红灯的概念 P1=(1-0、4)2*0、4=0、432 2 次遇到红灯的概念 P2=(1-0、4)*0、42=0、288 3 次遇到红灯的概念 P3=0、43=0、064 期望:E(x)=nP=0、4*3=1、2 方差:D(X)=δ2=nPq=0、4*3*(1-0、4)=0、72
(2)可否利用正态分布来近似计算？
(3)假如投保人只有 5000 人,可利用哪种分布来近似计算？ 解: (1)由于泊松分布的特点为,当二项分布的 n 很大而 p 很小时,泊松分布可作为二项分布
的近似,其中 λ 为 np。通常当 n≧10,p≦0、1 时,就可以用泊松公式近似得计算
365 天)。 解:
至多有一人在元旦出生,换句话说就就是 500 人当中没有人,或者只有一个人 在元旦出生的概率。
P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=
=0、602
7、已知生产产品时废品的概率为0、01,现每盒装100 个产品。问:
(1)在1 盒中没有废品的概率就是多少？
(2)在1 盒中有1 个废品的概率就是多少？
解:设被保险人死亡数为 X,X～B(20000,0、0005) 2. 总收入为 2 万×50=100 万,要获利至少 50 万,则赔付的保险金额应该不超过 50 万,也就就
是被保险的人当中死亡人数不能超过 10 人,精确点就就是用二项分布来做,但就是由于 20000 这个数比较大,就可以用正态近似来做,就就是认为死亡人数服从与原二项分布的 均值方差相同的正态分布,结用正态函数表示。概率为 P(X≤10)=0、58304
λ= np=20000×0、0005=10
P(X≤10) =P(X=0)+P(X=1)+…+P(X=10)=
=、58304
比较两题的结果,可以知道泊松分布适用于此题。
(2)可以。尽管 p 很小,但由于 n 非常大,np 与 np(1-p)都大于 5,二项分布也可
以利用正态分布来近似计算。本例中,np=20000×0、0005=10,np(1-p)=20000×0、
标准差:
2、 一家人寿保险公司某险种的投保人数有 20000 人,据测算被保险人一年中的 死亡率为万分之 5。保险费每人 50 元。若一年中死亡,则保险公司赔付保险金额 50000 元。试求未来一年该保险公司将在该项保险中(这里不考虑保险公司的其 它费用):
(1)至少获利 50 万元的概率; (2)亏本的概率; (3)支付保险金额的均值与标准差。
4、 某企业收购进甲、乙、丙三厂生产的同样规格的产品,在总收购量中甲、乙、 丙三厂的产品各占40％、35％与25％。甲、乙、丙三厂生产的次品率分别为1％、 2％与3％。若从总购量中任取1 件检查,问: (1)该件产品就是次品的概率就是多少？
数理统计作业三
(2)如果抽到的产品就是次品,那么所抽到的产品恰好就是甲厂生产的概率就是 多少？恰好就是乙厂与丙厂生产的概率各就是多少？ 解: （1） 抽检到次品的概率为P=40%×1%+35%×2%+25%×3%=1、85%
(3)若要求以99％的概率保证每盒有100 个合格品,每盒至少要装多少产品？
Βιβλιοθήκη Baidu解:
(1)设盒中废品数量＝X,因此,X～B(100,0、01)
P(X=0)=
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0、366032
(2)P(X=1)=0、36973
(3) 设每盒产品为n个,合格品数量服从二项分布:X～B(n,0、99) P(X≥100)≥0、 99 或P(X＜100)≤0、01 根据中心极限定理,二项分布的正态近似
0005×(1-0、0005)=9、995,即有 X～N(10,9、995)。相应的概率为:P(X≤10、
5)＝0、51995,P(X≤20、5)＝0、853262。可见误差比较大。
(3)由于 p＝0、0005,假如 n=5000,则 np＝2、5<5,二项分布呈明显的偏态,用正
态分布来计算就会出现非常大的误差。当 n≧10,p≦0、1 时,就可以用泊松公式计算。
数理统计作业三
(2)亏本的概率就就是死亡人数大于 20 人的概率,思路如上 P(X＞20)=1-P(X≤20)=0、00158
(3)支付保险金额的均值＝50000×E(X)＝50000×np=50000×20000×0、0005(元) ＝50(万元) 支付保险金额的标准差＝50000×σ(X)＝50000×[np(1-p)] 1/2=50000×(20000× 0、0005×0、9995)1/2＝158074(元) 3、 对题 2 的资料,试问:
（2） 恰好就是甲厂的概率为:P甲=40%×1%/1、85%=21、62%
恰好就是乙厂的概率为:P乙=35%×2%/1、85%=37、84%
恰好就是丙厂的概率为:P丙=25%×3%/1、85%=40、54% 5、 据某地过去气象记录,在 11 月的 30 天中平均有 2 天就是雨天,假定 11 月 每天就是否下雨如同重复试验一样服从二项分布。 (1)这种假定就是否合理？ (2)接二项分布计算,次年 11 月最多有 2 天就是雨天的概率就是多少？ 解: (1) 按照题意,在每次试验只有两种结果下雨或者不下雨,而且两种结果发生与
否互相对立互不影响,且实验结果试验次数无关,事件发生与否的概率在每一
次独立试验中都保持不变,因此这种假定合理。
(2) 下雨概率P=2/30=0、067,设下雨天数＝X,X～B(30,0、067) 则最多有两天的概率为 P(X≤2)＝0、674
6、应用普哇松分布计算500 人中至多有1 人在元旦出生的概率(假定1年就是
数理统计作业三
第一部分 统计基础与概率计算(共10题,10分/题)
1. 某人在每天上班途中要经过 3 个设有红绿灯的十字路口。设每个路口遇到红 灯的事件就是相互独立的,且红灯持续 24 秒而绿灯持续 36 秒。试求她途中遇 到红灯的次数的概率分布及其期望值与方差、标准差。 解:读题可知每个 路口遇到红灯的概率就是 P=24／(24+36)=0、4 假设遇到红灯的次数为 X,则,X～B(3,0、4),概率分布如下 0 次遇到红灯的概率 P0=(1-0、4)3=0、216 1 次遇到红灯的概念 P1=(1-0、4)2*0、4=0、432 2 次遇到红灯的概念 P2=(1-0、4)*0、42=0、288 3 次遇到红灯的概念 P3=0、43=0、064 期望:E(x)=nP=0、4*3=1、2 方差:D(X)=δ2=nPq=0、4*3*(1-0、4)=0、72