抽样技术基本概念

（二）调查总体
调查总体也称抽样总体或作业总体，是实 践中可以构造并据以从中抽取样本的总体，它 通常能对所包含的单位进行编号或按一定的标 志进行排序。
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要注意以下几点： 1、从理论上说，调查总体与目标总体应 该完全一致，但在实践中两者往往存有差异。 2、抽样推断的结论只适合于说明调查总 体，但我们研究的目的是认识目标总体的数量 特征，因此在抽样之前尽量使调查总体与目标 总体保持一致十分重要。基本原则是，调查总 体由目标总体所决定，但在实践中，可以构造 的调查总体却有可能反过来决定调查中的目标 总体，即根据调查总体来调整目标总体。 3、调查总体通常是有限总体，它所包含 的调查单位个数称为总体容量，常用N表示。 4、在实践中，我们还经常要对总体中某 特定的组或类进行调查研究，这样的组或类就 称为研究域或子总体。
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五、总体指标与样本指标
反映总体数量特征的指标称为总体指标，有时 也称为总体目标量或总体参数；在抽样中常用的总 体指标有： Y Yi 总体总值 总体均值 Y Yi / N 总体比例 P N1 / N 2 总体方差 S 2 (Yi Y ) /( N 1)或S 2 NP(1 P) /( N 1) 反映样本数量特征的指标称为样本指标，有时 也称为样本统计量。相应地常用的样本指标有： 样本总值 y yi 样本均值 y yi / n p n1 / n 样本比例 s 2 ( yi y ) 2 /( n 1)或s 2 np(1 p) /( n 1) 样本方差 10
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二、抽样分布
（一）抽样分布的形式 抽样分布就是抽样估计量的概率分布，它 由估计量的可能取值和与之对应的概率组成。 对于一个固定的总体，用相同的抽样方法 反复从中抽取容量为n的样本，就会产生m个估 计值，把这些估计值形成频率分布，即形成k （k≤m）种不同估计值及其相应频率的分布， 就是抽样分布。 抽样分布的具体结果要依总体容量大小， 样本容量大小和抽样方式、方法而定。
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二、抽样误差的表现形式
抽样误差的表现形式一般有三种：抽样实 际误差、抽样标准误和抽样极限误差。 抽样实际误差是指抽样估计值与总体指标 ˆ 值之间的离差，表示为 - 特点： 1、若估计量无偏，所有可能的实际误差 的总和为0； 2、每一次抽样的实际误差是不可知的； 3、抽样实际误差是随机变量。
这里需要说明方差与均方误差的区别：
2 2 ˆ无偏，即E（ˆ） ，则E（ˆ ） E ˆ E（ˆ） ， 若估计量 这就是估计量方差V（ˆ）。若估计量ˆ有偏，即E（ˆ） ， 2 那么我们就把E（ˆ ）定义为均方误差，用MSE（ˆ）来


表示。
ˆ 如果令估计量的偏差为B，即B E（） ，那么估计量与 均方误差的关系为： ˆ ˆ MSE（） V（） B 2
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二、调查单位与抽样单位
总体是由单位构成的，单位有调查单位与 抽样单位之分。 调查单位就是调查项目的承担者，即我们 想通过调查取得其观测值的单位，它通常是构 成总体的最基本单位。但有时调查单位与基本 单位并不相同。 抽样单位就是用以抽选调查单位进入样本 的中介单位，是调查总体与调查单位之间的联 接单位。在多阶段抽样调查中，抽样单位还可 以分级，即初级单位、次级单位、第三级单位 等等。
当偏差B不超过10%时，B 2 超过1%，均方误差与方差相差不大。
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还需说明一点：
抽样分布曲线与估计量坐标轴之间的极限 面积为1，或者说抽样分布曲线涵盖所有可能 估计值的概率为100%。 估计量无偏时的方差或估计量偏差不大时 的均方误差越小，表明估计量分布就越集中， 估计值就越靠近总体指标，所抽样本给出的估 计值靠近总体指标的概率就越大。
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抽样标准误是衡量抽样误差大小的核心指标，是对 总体指标作出区间估计的一个重要因素，狭义上所指的 抽样误差就是抽样标准误。它就是抽样分布或抽样估计 量的标准差，是抽样分布方差或抽样估计量方差（均方 误差）的平方根。 要点： 1、抽样分布的方差或标准差越大（小），估计量的抽 样分布就越分散（集中），抽取样本估计总体的误差平 均来讲就越大（小）； 2、抽样标准误与实际抽样误差的关系是：若各个估计 值的实际误差越大（小），则抽样标准误也越大（小）； 3、影响抽样误差大小的因素有：（1）总体内在差异； （2）样本容量；（3）抽样方法、方式；（4）估计量。
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样本的抽取方法有重复抽样与不重复抽样之 分。
所谓重复抽样也称为放回抽样或回置抽样， 就是允许总体（抽样框）中的单位被抽中两次或 两次以上的抽样。 所谓不重复抽样也称为不放回抽样或不回置 抽样，就是只允许总体（抽样框）中的单位最多 被抽取一次的抽样。 样本的抽取还有等概率抽样与不等概率抽样 之分。 如果总体（抽样框）中的每个单位被抽中入 样的概率相等，称为等概率抽样； 如果总体（抽样框）中各单位被抽中入样的 概率不相等，则称为不等概率抽样。
需要注意的几点： 1、在抽样中，总体指标的值是惟一但未
知的，需要通过可知但非惟一的样本指标的值 来进行估计。 2、总体与样本的关系就转化为了总体指 标与样本指标的关系。 3、样本指标是构造总体指标估计量的基 础和依据。
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第二节
估计量与抽样分布
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一、估计量
所谓估计量就是以样本指标为基础构造的、用以估 计总体指标的规则或形式，是抽样估计必不可少的因素。 估计量是随机变量。估计量根据某一样本得到的具体结 果称为估计值。 作为优良的估计量有三个基本标准：无偏、一致和 有效。 所谓无偏是指估计量的数学期望等于总体指标，即 由估计量给出的所有估计值的平均数等于总体指标值； 所谓一致也称相合，是指随着样本容量的扩大，估 计值会趋近于总体指标值。 所谓有效是指所选定的估计量比其它估计量有更小 的方差或均方误差。 有时无偏性与有效性之间可能会有矛盾，常常为了 有效性而放弃无偏性 。 13
根据构造的方法不同，抽样估计量有简单 估计量和复合估计量之分。 简单估计量也称直接估计量，就是直接以 调查变量的样本指标作为总体指标的估计量， 例如总体均值的估计量是样本均值，总体比例 的估计量就是样本比例，总体方差的估计量就 是样本方差等。 复合估计量也称间接估计量，就是在调查 变量的样本指标的基础上，再结合辅助变量来 构造一个新的估计量，常用的有比率估计量和 回归估计量两种，它们是有偏的，但通常更有 效。
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抽样极限误差是指以样本估计总体所允许 的最大误差范围，也即在一次抽样估计时，抽 样估计量所允许取的最高值或最低值与总体指 标之间的绝对离差，常用∆表示。 要点： 1、抽样极限误差实际上就是对估计量可 允许取的最高值或最低值进行了限制，因为每 一次抽样都有一定的精度要求； 2、抽样极限误差取决于两个因素：一是 抽样标准误，即抽样分布本身具有多大的标准 差；二是抽样估计概率保证程度，也称为置信 水平。 3、抽样极限误差与抽样标准误之比的系 数称为抽样概率度，并用t来表示。
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三、抽样框
抽样框就是根据抽样单位所编制的名录，是抽 样总体的具体表现。 一个好的抽样框有两个基本标准： 一是与目标总体保持一致； 二是能够提供与调查目的有关的尽量多准确、 完整的辅助信息。 抽样框的基本形式有以下几种： （1）名单抽样框，即以名单一览表的形式列出 所有的抽样单位； （2）区域抽样框，即按自然地理区域划分来列 出所有的抽样单位； （3）时间抽样框，即按时间顺序排列抽样单位。 有时还可把几种抽样框结合成为综合抽样框。
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四、样本
样本是总体的一部分，是从抽样总体中按 一定方法和程序抽取的部分调查单位的集合， 也称为子样。 如果说总体是我们所要研究的对象，那么 样本就是我们所要观察的对象 。 样本中所包含的调查单位数称为样本容量， 常用n表示。 样本容量与总体容量之比称为抽样比，常 用f来表示。 对于同一个总体，用相同的抽样方法反复 从中抽样，可以构成一系列容量为n的样本。 从一个总体中最多可以抽取的容量为n的不同 样本数目，称为样本个数。
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区间（θ 1,θ 2 ）就被称为抽样的置信区 间或估计区间，θ 1 被称为置信区间的下限， θ 2被称为置信区间的上限 。 在正态分布下，估计量关于总体指标对称 分布。我们只要以点估计值加上或减去 ∆ 就可 得到θ 1和θ 2 ，置信区间就被确定了。
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三、置信区间
抽样估计从形式上看有两种：点估计和区 间估计。 所谓点估计也叫定值估计，就是以所抽样 本资料为依据，直接根据所选择的估计量对总 体指标作出一个确定值的估计； 所谓区间估计就是以点估计为依据，用一 个具有一定可靠程度的区间范围来估计总体指 标θ ，也就是要在一定的概率保证下，想办 法找出两个数值θ 1和θ 2（θ 1≤θ 2），使θ 处 于这两个数值之间，即： Pr(θ 1 ≤ θ ≤ θ 2 )=1- α
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第三节
抽样误差与置信区间
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一、抽样中的误差构成
一般地，抽样中的总误差可以简单地分为两 类（暂不考虑估计量偏差时）： 一类是抽样误差； 一类是非抽样误差。 它们之间的关系可以图示如下： 总误差 非抽样误差 抽样误差
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抽样误差是由于抽样的非全面性和随机性所 引起的偶然性误差，即因抽样估计值随样本而异 所造成的误差。偶然性误差的特点是随着样本容 量的增大而趋向于0，或者各估计值的平均数与总 体指标之差为0，是一致性误差。 非抽样误差是由随机抽样的偶然性因素以外 的原因所引起的误差，是抽样调查所特有、而且 所有统计调查都可能产生的误差，它主要是由于 抽样框不够准确、有些单位的观察资料无法取得、 已取得的一些资料不真实等原因引起的样本观察 数据非同质、或残缺、或不真实而产生的误差。 这种误差往往具有系统偏向性。减少和控制非抽 样误差具有很重要的意义。
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第二章 抽样技术的基本概念
本章要点
本章对抽样技术的基本概念进行阐述 和介绍，为以后各章的学习奠定理论与 方法基础。具体要求： ①掌握总体、单位、抽样框、样本 等概念，理解它们之间的内在关系，熟 知常用的总体指标和样本指标； ②系统了解估计量、抽样分布、抽 样误差、估计精度、置信区间等概念的 内涵和作用，能够运用它们进行实际的 抽样估计； ③基本掌握和理解样本设计的内容、 原则和效果衡量指标。
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三、抽样分布定理
通过研究，人们发现了一些重要的抽样分布定理， 常用的有样本均值抽样分布定理和样本比例抽样分布 定理。 样本均值的抽样分布类型一般有三种： 1、正态分布的再生定理； 2、中心极限定理； 3、t分布定理； 对于样本比例，在重复抽样时服从二项分布，在 不重复抽样时服从超几何分布，它们的极限形式都是 正态分布。 正态分布是最重要、最常用的抽样分布。 我们可 以根据正态分布理论，在一定的概率保证下，以所抽 样本所给出的估计值为依据对总体指标作出区间估计。
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第一节
总体与样本
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一、总体
总体有目标总体与调查总体之分 。 （一）目标总体 目标总体也称全及总体，是由符合研究目 的的所有具有相同性质或特征的个体所组成的 集合。它是抽样推断的目标所在，即我们想通 过抽样来认识它的数量特征。 目标总体根据所包含的个体数量是否有限， 可以分为有限总体与无限总体。
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（二）抽样分布的特征 如果以估计量为横坐标轴，以概率为纵坐标轴，就 可以形成抽样分布曲线图。 对于不同的总体，不同的样本容量、抽样方法和估 计量，就会有不同的抽样分布曲线图，即抽样分布形状 不同，最终表现为抽样分布特征不同。 为了进行区别和比较，我们必须用一定的指标来反 映其特征，那就是抽样分布的期望与方差。 抽样分布的期望实际上就是抽样估计量的期望，即 估计量所有可能值的平均数 。 抽样分布的方差实际上就是抽样估计量的方差，是 以估计量的期望为中心、用以反映抽样分布离散程度的 核心指标。它是估计量所有可能值与其期望的离差平方 的平均数 。 16