第四章整数规划与分配问题

第四章 整数规划与分配问题

§4.1整数规划的特点及作用

用单纯形法求解线性规划的结果往往得到分数或小数解。但在很多实际问题中，全部或部分变量的取值必须是整数，如人或者机器设备不可分割。此外还有一些问题，如要不要在某地建设工厂，可选用一个逻辑变量x ，令1x =表示在该地建厂，0x =表示不在该地建厂，逻辑变量也只允许取整数值的一类变量。在一个整数规划中要求全部变量取整数值的，称纯整数线性规划或纯整数规划；只要求一部分变量取整数值的，称为混合整数（线性）规划；在纯整数规划问题中，若所有变量只允许取0，1两个值，则称其为0-1规划。

有人认为，对整数规划问题的求解可以先不考虑对变量的整数约束，作为一般线性规划问题来求解，当解为非整数时可用四舍五入或凑整数寻找最优解，其实这种方法是不可行的，原因有以下两点：

一、用凑整的方法计算量很大，而况还不一定能找到最优解。 如某线性规划问题的最优解为()()1

2 4.6 5.5x x =，用凑整数的方法时需比较与

12,x x 的上述数值最接近的四种组合：(4,5),(5,5),(4,6),(5,6)如果问题中有10个变量，就

要比较1021024=个整数解组合，而且最优解还不一定在这些组合中。

二、放松约束也无法求出其最优解

例

12

121212

max 322314

.0.5 4.5,0,z x x x x s t x x x x =++≤⎧⎪

+≤⎨⎪≥⎩整数

如果不考虑整数约束，称为上述线性规划问题的松弛问题，松弛问题的最优解为：

123.25, 2.5x x ==

取整以后123,2x x ==是可行解，但1212123,3;4,2;4,3x x x x x x ======都不是可行解，而123,2x x ==对应的目标函数值123213z x x =+=却不是最优解，然而最优解是

12124,1,max 3214x x z x x ===+=。

直接对松弛问题进行求解都无法求得整数规划问题的最优解，这就需要对整数线性规划问题有特殊的求解方法。

此外，整数线性规划问题的数学模型的研究有着重要的意义，很多管理问题无法归纳为线性规划问题的数学模型，但却可以设置逻辑变量建立起整数规划问题的数学模型。下面举例说明逻辑变量在解决问题中的重要作用。

1.m 个约束条件中只有k 个起作用 设m 个约束条件可以表示为

1

,(1,2,,)n

ij j

i j a x

b i m =≤=∑L

定义 1 1,2,,)0 i i y i m i ⎧==⎨⎩L 假设第个约束条件不起作用，（假设第个约束条件起作用

又M 为任意大的正数，则

11212

(1,2,,),,,01

n

ij j i i j m m a x b My i m y y y m k

y y y =⎧≤+=⎪⎪⎪

+++=-⎨⎪=⎪⎪⎩

∑L L L 或 因为若0i y =，则1n

ij j i j a x b =≤∑条件起作用

若1i y =，则1

n ij j i j a x b M =≤+∑，1

n

ij j i j a x b =≤∑条件不起作用

2.约束条件的右端项可能是r 个值12(,,,)r b b b L 中的某一个，即

121

n

ij j

r j a x

b b b =≤∑L 或或或

定义 1 0 i

i b y ⎧=⎨⎩假定约束条件右端项为否则

由此，上述约束条件可以表示成：

1122112121

,,,01

n

ij j r r j r r a x b y b y b y y y y y y y =⎧≤+++⎪⎪⎪

+++=⎨⎪⎪⎪=⎩∑L L L 或 3.两组条件中满足其中一组

若14x ≤，则21x ≥；否则（即14x >时），23x ≤

定义 1 1,2)0 i i y i i ⎧==⎨⎩第组条件不起作用

，（第组条件起作用

又M 为任意大的正数，则问题可表达为：

112

112

22121241431,0,1

x My x My

x My x My y y y y ≤+⎧⎪≥-⎪⎪>-⎪⎨

≤+⎪⎪+=⎪=⎪⎩ 4.用以表示含固定费用的函数

例如用j x 代表产品j 的生产数量，其生产费用函数通常可表示为：

(0)

()0 (0)j j j j j j j K c x x C x x +>⎧⎪=⎨=⎪⎩

式中j K 是同产量无关的生产准备费用。问题的目标是使所有产品的总生产费用为最小，即：

1min ()n

j j j z C x ==∑

令 1 0

0 0j j j x y x >⎧⎪=⎨=⎪⎩

，那么j j x My ≤

使问题化为：

1

min 0. (01)1,2,,)

n

j j j j

j j j j z c x K y x My s t M y j n ==+≤≤⎧⎪⎨==⎪⎩∑L 为充分大的正数）或

一般整数规划问题建模：

例1 某饭店24小时中需要服务员数量如下：如果每个服务员连续工作8小时，试问在2点、6点、10点、14点、18点、22点钟开始上班的服务员为多少时，一天所需服务员人数最少？