第四章整数规划与分配问题

第四章 整数规划与分配问题§4.1整数规划的特点及作用用单纯形法求解线性规划的结果往往得到分数或小数解。

但在很多实际问题中，全部或部分变量的取值必须是整数，如人或者机器设备不可分割。

此外还有一些问题，如要不要在某地建设工厂，可选用一个逻辑变量x ，令1x =表示在该地建厂，0x =表示不在该地建厂，逻辑变量也只允许取整数值的一类变量。

在一个整数规划中要求全部变量取整数值的，称纯整数线性规划或纯整数规划；只要求一部分变量取整数值的，称为混合整数（线性）规划；在纯整数规划问题中，若所有变量只允许取0，1两个值，则称其为0-1规划。

有人认为，对整数规划问题的求解可以先不考虑对变量的整数约束，作为一般线性规划问题来求解，当解为非整数时可用四舍五入或凑整数寻找最优解，其实这种方法是不可行的，原因有以下两点：一、用凑整的方法计算量很大，而况还不一定能找到最优解。

如某线性规划问题的最优解为()()12 4.6 5.5x x =，用凑整数的方法时需比较与12,x x 的上述数值最接近的四种组合：(4,5),(5,5),(4,6),(5,6)如果问题中有10个变量，就要比较1021024=个整数解组合，而且最优解还不一定在这些组合中。

二、放松约束也无法求出其最优解例12121212max 322314.0.5 4.5,0,z x x x x s t x x x x =++≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩整数如果不考虑整数约束，称为上述线性规划问题的松弛问题，松弛问题的最优解为：123.25, 2.5x x ==取整以后123,2x x ==是可行解，但1212123,3;4,2;4,3x x x x x x ======都不是可行解，而123,2x x ==对应的目标函数值123213z x x =+=却不是最优解，然而最优解是12124,1,max 3214x x z x x ===+=。

直接对松弛问题进行求解都无法求得整数规划问题的最优解，这就需要对整数线性规划问题有特殊的求解方法。

此外，整数线性规划问题的数学模型的研究有着重要的意义，很多管理问题无法归纳为线性规划问题的数学模型，但却可以设置逻辑变量建立起整数规划问题的数学模型。

下面举例说明逻辑变量在解决问题中的重要作用。

1.m 个约束条件中只有k 个起作用 设m 个约束条件可以表示为1,(1,2,,)nij ji j a xb i m =≤=∑L定义 1 1,2,,)0 i i y i m i ⎧==⎨⎩L 假设第个约束条件不起作用，（假设第个约束条件起作用又M 为任意大的正数，则11212(1,2,,),,,01nij j i i j m m a x b My i m y y y m ky y y =⎧≤+=⎪⎪⎪+++=-⎨⎪=⎪⎪⎩∑L L L 或 因为若0i y =，则1nij j i j a x b =≤∑条件起作用若1i y =，则1n ij j i j a x b M =≤+∑，1nij j i j a x b =≤∑条件不起作用2.约束条件的右端项可能是r 个值12(,,,)r b b b L 中的某一个，即121nij jr j a xb b b =≤∑L 或或或定义 1 0 ii b y ⎧=⎨⎩假定约束条件右端项为否则由此，上述约束条件可以表示成：1122112121,,,01nij j r r j r r a x b y b y b y y y y y y y =⎧≤+++⎪⎪⎪+++=⎨⎪⎪⎪=⎩∑L L L 或 3.两组条件中满足其中一组若14x ≤，则21x ≥；否则（即14x >时），23x ≤定义 1 1,2)0 i i y i i ⎧==⎨⎩第组条件不起作用，（第组条件起作用又M 为任意大的正数，则问题可表达为：11211222121241431,0,1x My x Myx My x My y y y y ≤+⎧⎪≥-⎪⎪>-⎪⎨≤+⎪⎪+=⎪=⎪⎩ 4.用以表示含固定费用的函数例如用j x 代表产品j 的生产数量，其生产费用函数通常可表示为：(0)()0 (0)j j j j j j j K c x x C x x +>⎧⎪=⎨=⎪⎩式中j K 是同产量无关的生产准备费用。

问题的目标是使所有产品的总生产费用为最小，即：1min ()nj j j z C x ==∑令 1 00 0j j j x y x >⎧⎪=⎨=⎪⎩，那么j j x My ≤使问题化为：1min 0. (01)1,2,,)nj j j jj j j j z c x K y x My s t M y j n ==+≤≤⎧⎪⎨==⎪⎩∑L 为充分大的正数）或一般整数规划问题建模：例1 某饭店24小时中需要服务员数量如下：如果每个服务员连续工作8小时，试问在2点、6点、10点、14点、18点、22点钟开始上班的服务员为多少时，一天所需服务员人数最少？设在2点、6点、10点、14点、18点、22点钟开始上班的服务员分别为654321,,,,,x x x x x x ,则可建立整数规划数学模型⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥=+=+=+=+=+=++++++=整数0,,,,41271084.min 654321655443322161654321x x x x x x x x x x x x x x xx x x t s x x x x x x Z 利用LINGO 求解整数线性规划问题，得Min=x1+x2+x3+x4+x5+x6;x1+x6>=4;x1+x2>=8;x2+x3>=10; x3+x4>=7 ;x4+x5>=12;x5+x6>=4;@gin(x1); @gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(x5);@gin(x6); Global optimal solution found.Objective value: 26.00000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 6Variable Value Reduced Cost X1 4.000000 1.000000 X2 4.000000 1.000000 X3 6.000000 1.000000 X4 1.000000 1.000000 X5 11.00000 1.000000 X6 0.000000 1.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 26.00000 -1.000000 2 0.000000 0.000000 3 0.000000 0.000000 4 0.000000 0.000000 5 0.000000 0.000000 6 0.000000 0.0000007 7.000000 0.0000002.在高校篮球联赛中，某学院男子篮球队要从8名队员中选择平均身高最高的出场阵容，队员的号码、身高及擅长的位置如表所示：同时要求出场阵容满足以下条件：（1）中锋只能有一个上场； （2）至少有一名后卫；（3）如果1号队员和4号队员都上场，则6号队员不能上场；（4）2号队员和6号队员必须保留一个不出场。

写出该问题的数学模型。

解：设)8,7,6,5,4,3,2,1(01=⎩⎨⎧=j j j x j 号队员不出场第号队员出场第则可建立整数规划模型：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≤+≤++≥++=+=++++++++++++++=10,,,,,,,12115.78.180.183.185.186.188.190.192.1max 8765432162641876218765432187654321或x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x x x Z利用LINGO 进行求解0—1规划问题，得Max=1.92*x1+1.9*x2+1.88*x3+1.86*x4+1.85*x5+1.83*x6+1.8*x7+1.78*x8 ; x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8=5;x1+x2=1;x6+x7+x8>=1;x1+x4+x6<=2;x2+x6<=1;@bin (x1); @bin (x2); @bin (x3); @bin (x4); @bin (x5); @bin (x6); @bin (x7); @bin (x8); Global optimal solution found.Objective value: 9.310000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0Variable Value Reduced Cost X1 1.000000 -1.920000 X2 0.000000 -1.900000 X3 1.000000 -1.880000 X4 1.000000 -1.860000 X5 1.000000 -1.850000 X6 0.000000 -1.830000 X7 1.000000 -1.800000 X8 0.000000 -1.7800003.某工厂生产1A 、2A 两种产品，产品分别由1B 、2B 两种部件组装而成，每件产品所用部件数和有关部件的产量限额以及产品利润由下表所示。

问怎样安排1A 、2A 的生解：设生产1A 、2分别为1、2件，则⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤++=整数,0,1032546.2015max 21212121x x x x x x t s x x Z 很容易用LINGO10.0求出它的最优解。

Max=15*x1+20*x2; 6*x1+4*x2<=20; x1+3*x2<=10;@gin(x1);@gin(x2);下料问题也是典型的整数规划问题 下面讲指派问题§4.2 分配问题（指派问题）与匈牙利法2-1问题的提出与数学模型分配问题也称指派问题（Assignment Problem ）,是一种特殊的整数规划问题，假定有m 项任务分配给m 个人去完成，并指定每人完成其中一项，每项只交给其中一个人去完成。

例：有m 个人，去完成m 项任务，不同的人完成不同的任务效率如下表：111212122212m m m m mm a a a a a a a a a ⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭L L L L L L L称为分配问题的效率矩阵。

令 1 ,1,2,,)0 ij i j x i j m i j ⎧==⎨⎩L 分配第个人去完成第项任务（不分配第个人去完成第项任务则分配问题的数学模型一般可以写为：1111min 1 (1,2,,). 1 (1,2,,)0 1 (,1,2,,)mmij iji j mij j mij i ij z a x x i m s t x j m x i j m =====⎧==⎪⎪⎪==⎨⎪⎪==⎪⎩∑∑∑∑L L L 或 2-2 匈牙利法理论上，这也是运输问题，但是它比运输问题更特殊，可以用更特殊的方法加以解决。