一道开阔学生视野的数学竞赛题

( 4 )你在研 究平移 变换的 过程 中, 获得 了哪 些数学 活动的经验? ( 5 )你在学习 过程 中, 感受 到了 哪些 思想 方法? 碰 到了哪些困难? 有何感触? 点评 在这 个总结 性的 问题清 单 引 导下的 学习 活动, 能驱动学生回顾与思 考, 能起到 跨越性 的作用. 因 为它不但能加深学生对平移 变换的认 识, 而且能 发展学 生的 科学 素养, 同 时具 有元认 知开 发的意 义. 实践 表明 这种课堂小结的方式比较有效, 符合初中学生实际. 3 随感随想 平面几何理论是在对物质世 界进行了抽 象的基础 上借助一些概念、 公理和法 则经演绎 推理而 来的. 因此, 它属于 经 验 性 与 演 绎 性 在 实 践 基 础 上 辩证 统 一 的 产 物 . 本节课, 遵循了几何发展 规律 图形平移运动 其反映的思想方法 物体平移 运动 研 究平 移前 后两个 图形 的不 变关 系及 用平移 思想方法 解决具 体问题; 对 认 识平 移变 换 的特 征与 先 行组
证法 2
(构 造位似三 角
形 ): 如图 3 , 在 PF 上 取点 G, 使 GF = FM, CG DM , 取 CA
的中点 L, 连接 LE, LF. 则 LE, LF 分 别 为 ABC, ACD 的
图Hale Waihona Puke 3持, 因而它们的证明方法与证明 1类似. 变化 1 当点 P 运动时, ( 1 )如图 4, 当点 P 在线段 AC 上时, 结论成立; ( 2 )如图 5, 当 点 P 在线段 AC 的 反向延 长线 上时, 结论依然成立. MN G 的
堂总结; 教学方式能满足学生经历 过 程 的需要 进学生有效思维
内外结合和价值引导与自主 建构相结 合; 教学方 法能促 思维跨度 大时的 问题暗示、 困惑或 认识模糊 时的 点拨、 思 维受 阻时 的 元认 知 提 示语 发 问、 思维混乱时的辨析、 思维 偏离方向 时的干 预、 观念碰 撞 时的评 价、 方法 多样 化时的 价值 分析、 回 答不完 善时 的 追问、 回 答有创 意时 的激励 等; 行 为过程 能满足 学生 理解与练习的 和谐 经历 四练 (课 前 练: 预习 先 行组织者 , 议中练: 倾听、 交流、 论 辩等, 检测 练: 尝试数 学运用, 课后练: 自主研究 ), 并且 课内 过 程 与 结果 的时间分配 比较和 谐 将支 点放在 靠近 过程 的三 分点上. 这既遵循了数学的发展 规律 (数学的 发现、 数学 的完善、 数学的应用 )和学生学习数学的认知 规律 (特殊 到一般、 具体到抽 象、 现 象到 本质 ), 也遵 循了 教育 的规 律 (在数学学习 活动的 过程 中, 体 会思维 方法 和思 想方 法以及发展能力和个 性 ), 较好 地把 握了 数学的 教育 与 教育的数学 这两个方面的关系. 值得参考与研究.
图 11
变化 4 对称地, 当点 A 运动时, 与点 C 的运动引起 的图形变化类似; 当点 B 运 动时, 与点 D 的 运动 引起的 图形变化类似, 不再赘述. 变化 5 以上是单独 考虑 A, B, C, D, P 分别 运动时 引起的图形变化, 如果其中两个 或两个 以上的点 同时运 动 时, 图形 一 定会 有 新的 变化, 但结论同样成立. 如 图 12, 让 点 A, B, C, D 分 别 在 O 1, O 2,
参考文献 1 2008 年全国初 中数学联赛 (江西卷 ). 中等数学 , 2008, 9 2 郭璋 . 动态平面几何 . 人民教育出版社 , 2001, 6 图 12
图 9
图 10
( 收稿日期 : 20100721 )
EB AC PN = 1, BA CP NE PN 2CP = . NE AC
PE 2CP + AC = . EN AC
图4
图 5
变化 2 当点 C 运动变 化时, 可 以引起 四边 形形状
解题研究
的变化. ( 1 ) 如 图 6, 当 点 C 在 BD 所在 直线上 时, A, B, C, D 四点首尾 相接构 成的是 一个 三角形, 但结论依然成立; ( 2 )如图 7, 当点 C 在 A, B, D 所围成的三 角形的 内部 时, A, B, C, D 四 点首 尾 相接 构成的是一个凹四边形, 结论同样成立;
于是有 由 即 ,
AM G 得
得 NK = KM, 即 K 是 MN 的中点. 证法 1是通过添加 辅助线, 构造了一 对三角 QFE, 它 们的对应 顶点所 在直线 AQ, M F,
PMA PFE,
PMG =
AGM 和
由同位角相等两直线平行得 EF M G, 于是 NK NE = . KM EG
GE 相交于同一个点 P, 对应 边又分 别平行, 因而 是一对 位似三角形; 证 法 2 也是 构造 了一对 位似 三角 形 和 EFL
图 6
( 2011 年第 1 期
初 中版 )
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( 3 ) 如 图 11, 当点 D 在 AC 所 在的 直 线 上时, 点 M 的 位置 可由证 法一 所 添加 的辅 助 线来 确定, 即过 A 作 BC 的平行线, 与 PE 的延长线相交于点 G, 再过 G 作 EF 的平行 线与 AD 所 在的直 线相 交于 点 M, 此 时 MN 与 EF 的交点依然是线段 MN 的中点.
( 3 )如图 8, 当点 C 在 A, B, D 所 围成的 三角 形的外 部时, A, B, C, D 四点 首尾 相 接构 成 的是 一 个折 叠 四边 形, 结论也成立.
图 7
图 8
O3 和
O 4 上运动, 它们
变化 3 当点 D 运动 变化 时, 也 能将 凸四 边形 AB CD 变形成 凹四边 形和 折叠四 边形 的图形, 但其情 况与 点 C 运 动变化 时基 本类 似, 值 得注 意的 是当 点 D 运动 时, 构成的图形是三角形时的情形: ( 1 )如图 9, 当点 D 在 AB 所 在的 直线上 时, 构 成的 也是奇异三角形; ( 2) 如图 10, 当 D 在 BC 所在的直线上 时, 结论同样 成立, 而且与图 6类似;
NGC; 证法 3则是三次运用梅捏劳斯定理, 由合分比
EB 因为 AG BC, E 是 AB 的中点, 所以 = 1 , EA 从而 由 NE EB = = 1, 即 E 是 N G 的中点, EG EA , 得 NK = 1, 即 K 是 MN 的中点. KM
性质得到结论. 2 原题构图的各种变化 在几何问题的研究中, 我们 经常研 究运动变 化中的 不 变量, 研 究图形 作各 种变化 后依 然保持 的性质. 本题 的 结论是 在凸四 边形 中得出 来的. 事实上, 将四边 形的 四个顶点及点 P 运动 变化 起来, 原题 的结论 依然 成立. 借助 图 2, 位 似三 角 形 AGM 和 HFE 的 关 系 依然 保
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于是 由 FQ AD 得 QE PQ = , AG PA QF PQ QE QF = , 从而 = , AM PA AG AM M AG = 在 AM G 和 QFE 中, 有 QE QF = . AG AM QFE, 因而 AM G = AMG = PFQ QFE, QFE, FQE,
( 2011 年第 1 期
中位线, 有 LF AD, LE CB, 得 故 GCN = CNG FLE, CG PC CN = = . LF PL LE
LEF, NG
EF. 于 是, FK 是
中位线, 所以 K 是 MN 的中点. 证法 3 (梅涅劳斯定理 ): 如图 1, EF 截 NK KM BC 截 故 所以 PAE, 则 MF FP PE = 1. EN PMN, 则
ABCD 中, E, F 分别是 边 AB, CD 的中点, P 为 对角 线 AC 延 长线 上的 任 意 一 点, PF 交 AD 于 点 M, PE 交 BC 于点 N, EF 交 MN
图1
BC, FQ AD, MAG =
图 2
由等角定理得 FQE. 由 EQ
BC, AG BC 得 AG EQ, 课
解题研究
( 2011 年第 1 期
初 中版 )
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一道开阔学生视野的数学竞赛题
100026 北京市东方德才学校
2008年全国初中数 学联赛 ( 江西卷 ) 第二试 第二题 是一道平面几何证明题, 题目是 在凸四 边形的条 件下得 出的结论. 事实上, 构造位似 三角形, 把 结论推广 到四点 首尾相接所组成的任意四边形 (包括退化 的四边形 )中, 都是成立的. 1 原题及多种证法 原题 如 图 1, 在 四 边 形
白玉娟
熊月琴
于点 K. 求证: K 是 MN 的中点. 证法 1 (构 造位似 三角形 )
如图 2, 过 A 作 BC 的 平 行 线 与 PE 的 延 长线 相 交 于 点 G, 取 AC 的 中 点 Q, 连 接 M G, EQ, FQ. 则 EQ, FQ 分 别 是 中位线, 从而 EQ ABC, ACD 的
参考文献 1 全日制义务教育 . 数学课 程标 准 ( 实验 稿 ), 北 京师范 大学 出版社 , 2001 2 义务教育课程标准实验教科书 . 数 学 . 七 年级 ( 下 ), 浙江教 育出版社 , 2004, 12 ( 收稿日期 : 20101022 )
教学的价值 定位 比较 准确
特性, 在 过程 中体会思维方法和思想方法 以及发展能 力和个性; 教 学过 程体 现了 和谐 教学 理念 织者 引导下的独立学习和独立 学习基础上 的交流合作 探索性问题 引导 下的 合作 研讨及 研讨 基础 上的 综合 概括 应用性 问题 引导 下的 理论应 用及 评价 性问 题引 导下的变式训练形 式的 活动和 问题 清单 引导 下的课
初中版 )
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AD 截 所以
PCF, 则
FD CA PM P M 2AP = 1, = . DC AP MF MF AC