概率论基础知识总结

2、概率的乘法定理：设P(A)>0，则有
P ( AB ) P ( B / A) P ( A)
补充知识 概率论基础
二、条件概率与统计独立
《通信原理（一）》CAI
3、全概率公式：设S为样本空间，A为其中的一个事件， B1、 B2…. Bn为S的一个划分，且P(Bi)>0 (i=1、2…)，则
P ( A ) P ( A / B 1 ) P ( B 1 ) P ( A / B 2 ) P ( B 2 ) ... P ( A / B n ) P ( B n )
（1）对离散随机变量，数x ip(x i )

（2）设连续型随机变量X的概率密度为f(x),若积分

xf ( x ) dx
绝对收敛,则称该积分的值为随机变量X的数学期望。

记为E(X)
E(X )


xf ( x ) dx
补充知识 概率论基础
五、随机变量的数字特征
(X
1
, X
2
)
雅可比行列式
X 反 函 数 ： X

f 1 ( Y1 , Y 2 ) f 2 ( Y1 , Y 2 )

f1 结 论 ： f ( y 1 , y 2 ) f ( x1 , x 2 ) J f ( x1 , x 2 ) y1 f2
三、随机变量及其分布
（三）连续型随机变量的分布函数 3、两随机变量的联合分布函数：
《通信原理（一）》CAI
F ( x , y ) P{ X x , Y y }
4、二维随机变量（X、Y）关于X和Y的边缘分布函数：
F ( x ) P { X x} P { X x , Y } F ( x , ) 即 ： F ( x ) lim F ( x , y )
f ( x)dx

b
f ( x)dx

a
f ( x) dx F (b) F ( a)
补充知识 概率论基础
三、随机变量及其分布
（四）连续型随机变量的概率密度 3、二维随机变量(X、Y)的联合概率密度
f ( x, y) F ( x, y)
2
《通信原理（一）》CAI
xy
2、由贝叶斯公式：
P ( B1 / A )
P ( B1 ) P ( A / B1 ) P ( A)
0 .2 4
P ( B 2 / A ) 0.64
P ( B 3 / A ) 0.12
补充知识 概率论基础
二、条件概率与统计独立
5、事件独立：
《通信原理（一）》CAI
某一事件的出现未提供另一事件出现概率的信息。


fX
1X 2
( y1 , y 2 y1 ) d y1


fX
1X 2
( x1 , y x1 ) d x1
补充知识 概率论基础
五、随机变量的数字特征
1、数学期望
《通信原理（一）》CAI
数学期望又称为统计均值，实际就是对随机变量多个可 能的取值加权求和，权重就是各个值出现的相应概率。
称为X的分布函数。
补充知识 概率论基础
三、随机变量及其分布
（三）连续型随机变量的分布函数 2、性质：
F ( x ) P { X x } 可以看出：
《通信原理（一）》CAI
(1)F(x)是一个单调不减函数 (2) 0<=F(x)<=1 且 F(-∞)=0 F(+ ∞)=1
补充知识 概率论基础
《通信原理（一）》CAI
1、单个随机变量的函数的分布： 设Y和X是单调函数关系，存在反函数X=g(Y)，若X 位于（x0,x0+dx）,则Y位于(y0,y0+dx)，这两个事件的 概率应该是相等的：
f ( x)dx f ( y) f ( y )dy f (x) dx dy f [ g ( y )] dx dy
y1 y 2 于 是 ： f ( y 1 , y 2 ) f ( x 1 , x 2 ) J f ( x 1 , x 2 ) f X 利 用 边 缘 概 率 密 度 公 式 ： f ( y2 ) 最 后 ： f ( y)
1X 2

f2
( y1 , y 2 y1 )
补充知识 概率论基础
《通信原理（一）》CAI
基本概念
条件概率与统计独立
随机变量及其分布
随机变量的函数的分布
随机变量的数字特征
补充知识 概率论基础
一、基本概念
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1、随机现象：在个别试验中结果不确定，但在大量重复试 验中结果呈现规律性的现象。如抛硬币；炮击同一目标时弹 着点。
2、随机试验：满足三个条件的试验： （1）可以在相同的条件下重复进行；
概 率 与 频 率 的 关 系 ： lim nA n
n
P ( A)
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二、条件概率与统计独立
1、条件概率的定义：
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设A、B为随机试验的两个事件，且P(A)>0，则称
P (B / A) P( AB) P ( A) 为条件概率。 或 P ( A / B ) P( AB) P(B)
其中函数f(x)称为X的概率密度函数 也就有:
f ( x) F ( x)
'
补充知识 概率论基础
三、随机变量及其分布
（四）连续型随机变量的概率密度 2、性质:
（1） f ( x ) 0

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（ 2） f ( x ) d x F ( ) 1

( 3 )
b a
4、二维随机变量(X、Y)关于X和Y的边缘概率密度
f (x) f ( y)


f ( x, y )dy f ( x, y )dx

5、随机变量X和Y统计独立的充要条件：
f ( x, y ) f ( x) f ( y )
补充知识 概率论基础
四、(连续)随机变量的函数的分布
y y0+dy y0
x0 x0+dx
x
补充知识 概率论基础
四、(连续)随机变量的函数的分布
《通信原理（一）》CAI
2、两个随机变量的函数的分布： 已知二维随机变量（X1、X2）的概率密度f(x1,x2), 求新随机变量 Y g ( X , X ) 的概率密度。
Y2 g
1 2 1 1 1 2 2
三、随机变量及其分布
（三）连续型随机变量的分布函数
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现实意义:对于像元件的寿命t这样的随机变量,我们往往关 心t大于某值（例如10000小时）的可能性,而不是某个器件 的t=11111.235小时。 1、定义：设X是一个随机变量,x是任意实数,函数
F ( x ) P { X x}

i 1
3
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五、随机变量的数字特征
1、数学期望 数学期望的性质：
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（1）对常数C，E(C)=C
（2）对常数C，E(CX)=CE(X) （3） E(X+Y)=E(X)+E(Y) （4）若随机变量X与Y独立，则E(XY)=E(X) E(Y)
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n Bi S i 1
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二、条件概率与统计独立
4、贝叶斯公式：
《通信原理（一）》CAI
设B1、 B2…. Bn为S的一个划分，且P(Bi)>0 (i=1、2…)， A 为其中的一个事件， 则
P ( A Bi ) P ( A) P ( Bi ) P ( A / Bi )
（2）每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验 的所有可能结果；
（3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。
补充知识 概率论基础
《通信原理（一）》CAI
一、基本概念 3、样本空间：对于随机试验,尽管在每次试验之前不能预知
试验的结果,但试验所有的可能结果组成的集合是已知的.这 个集合称为样本空间。例如：抛硬币等。 随机事件：随机试验样本空间的子集称为随机事件。 一个事件可能是样本空间的一个元素（基本事件），也可能 是一些结果的集合。 4、概率：用数字P(A)表示事件出现的可能性， P(A)叫A的 概率。
P ( Bi / A )


i 1
n
P ( Bi ) P ( A / Bi )
补充知识 概率论基础
《通信原理（一）》CAI
例题：某电子厂的晶体管由三厂家供货，根据以往记录有如下数据：假设三 厂家的产品在仓库中均匀混合，无区别标志。1、在仓库中随机取一只晶体 管，求是次品的概率。2、在仓库中随机取一只晶体管，已知是次品，分析 它出自三厂家的概率各是多少。 厂家 次品率 供货份额 解：设A表示“取出的一只是次品”， 1 0.02 0.15 Bi表示“所取到的产品是第i厂家的”。 2 易知B1、 B2、 B3为S的一个划分， 3 0.01 0.03 0.80 0.05
1、数学期望
《通信原理（一）》CAI
例题：甲乙两人进行打靶,所得分数分别记为X1,X2,他们得 分布分别为: 2 2 X1 0 1 X2 0 1 pk 0 0.2 0.8
E (X 1 ) E (X 2 )
pk 0.6 0.3 0.1

i 1
3
x 1 i p ( x 1 i ) 0 * 0 1 * 0 .2 2 * 0 .8 1 .8 x 2 i p ( x 2 i ) 0 * 0 .6 1 * 0 .3 2 * 0 .1 0 .5