2014年高考文科数学试题(湖北卷)及参考答案
2014年湖北省高考数学文科试卷(含解析)
2014年湖北省高考数学文科试卷（含解析）绝密★启用前2014年湖北省高考数学文科试卷（含解析）本试题卷共5页，22题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用统一提供的2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．2014•湖北卷]已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，3，5，6}，则∁UA＝()A．{1，3，5，6}B．{2，3，7}C．{2，4，7}D．{2，5，7}1．C解析]由A＝{1，3，5，6}，U＝{1，2，3，4，5，6，7}，得∁UA＝{2，4，7}．故选C.2．2014•湖北卷]i为虚数单位，1－i1＋i2＝()A．1B．－1C．iD．－i2．B解析]1－i1＋i2＝（1－i）2（1＋i）2＝－2i2i＝－1.故选B. 3．2014•湖北卷]命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是()A．∀x∈/R，x2≠xB．∀x∈R，x2＝xC．∃x0∈/R，x20≠x0D．∃x0∈R，x20＝x03．D解析]特称命题的否定方法是先改变量词，然后否定结论，故命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是“∃x0∈R，x20＝x0”.故选D.4．2014•湖北卷]若变量x，y满足约束条件x＋y≤4，x－y≤2，x≥0，y≥0，则2x＋y的最大值是()A．2B．4C．7D．84．C解析]作出约束条件x＋y≤4，x－y≤2，x≥0，y≥0表示的可行域如下图阴影部分所示．设z＝2x＋y，平移直线2x＋y＝0，易知在直线x＋y＝4与直线x－y＝2的交点A(3，1)处，z＝2x＋y取得最大值7.故选C.5．2014•湖北卷]随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则()A．p1＜p2＜p3B．p2＜p1＜p3C．p1＜p3＜p2D．p3＜p1＜p25．C解析]掷出两枚骰子，它们向上的点数的所有可能情况如下表：123456123456723456783456789456789105678910116789101112则p1＝1036，p2＝2636，p3＝1836.故p16．2014•湖北卷]根据如下样本数据x345678y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0得到的回归方程为y^＝bx＋a，则()A．a＞0，b＜0B．a＞0，b＞0C．a＜0，b＜0D．a＜0，b＞06．A解析]作出散点图如下：由图像不难得出，回归直线y^＝bx＋a的斜率b0，所以a>0，b图1-1 7．2014•湖北卷]在如图1-1所示的空间直角坐标系O-xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)．给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()图1-2A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②7．D解析]由三视图可知，该几何体的正视图显然是一个直角三角形(三个顶点坐标分别是(0，0，2)，(0，2，0)，(0，2，2))且内有一虚线(一锐角顶点与一直角边中点的连线)，故正视图是④；俯视图是一个斜三角形，三个顶点坐标分别是(0，0，0)，(2，2，0)，(1，2，0)，故俯视图是②.故选D.8．、2014•湖北卷]设a，b是关于t的方程t2cosθ＋tsinθ＝0的两个不等实根，则过A(a，a2)，B(b，b2)两点的直线与双曲线x2cos2θ－y2sin2θ＝1的公共点的个数为()A．0B．1C．2D．38．A解析]由方程t2cosθ＋tsinθ＝0，解得t1＝0，t2＝－tanθ，不妨设点A(0，0)，B(－tanθ，tan2θ)，则过这两点的直线方程为y＝－xtanθ，该直线恰是双曲线x2cos2θ－y2sin2θ＝1的一条渐近线，所以该直线与双曲线无公共点．故选A.9．、2014•湖北卷]已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为()A．{1，3}B．{－3，－1，1，3}C．{2－7，1，3}D．{－2－7，1，3}9．D解析]设x0，所以f(x)＝－f(－x)＝－(－x)2－3(－x)]＝－x2－3x.求函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点等价于求方程f(x)＝－3＋x的解．当x≥0时，x2－3x＝－3＋x，解得x1＝3，x2＝1；当x10．2014•湖北卷]《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈136L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈275L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为()A.227B.258C.15750D.35511310．B解析]设圆锥的底面圆半径为r，底面积为S，则L＝2πr.由题意得136L2h≈13Sh，代入S＝πr2化简得π≈3.类比推理，若V≈275L2h时，π≈258.故选B.11．2014•湖北卷]甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．11．1800解析]设乙设备生产的产品总数为n，则80－50n＝804800，解得n＝1800.12．、2014•湖北卷]若向量OA→＝(1，－3)，|OA→|＝|OB→|，OA→•OB→＝0，则|AB→|＝________．12．25解析]由题意知，OB→＝(3，1)或OB＝(－3，－1)，所以AB＝OB－OA＝(2，4)或AB＝(－4，2)，所以|AB|＝22＋42＝25. 13．2014•湖北卷]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A＝π6，a＝1，b＝3，则B＝________．13.π3或2π3解析]由正弦定理得asinA＝bsinB，即1sinπ6＝3sinB，解得sinB＝32.又因为b>a，所以B＝π3或2π3.14．2014•湖北卷]阅读如图1-3所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n的值为9，则输出S的值为________．图1-314．1067解析]第一次运行时，S＝0＋21＋1，k＝1＋1；第二次运行时，S＝(21＋1)＋(22＋2)，k＝2＋1；……所以框图运算的是S＝(21＋1)＋(22＋2)＋…＋(29＋9)＝1067. 15．2014•湖北卷]如图1-4所示，函数y＝f(x)的图像由两条射线和三条线段组成．若∀x∈R，f(x)＞f(x－1)，则正实数a的取值范围为________．图1-415.0，16解析]“∀x∈R，f(x)>f(x－1)”等价于“函数y＝f(x)的图像恒在函数y＝f(x－1)的图像的上方”，函数y＝f(x－1)的图像是由函数y＝f(x)的图像向右平移一个单位得到的，如图所示．因为a>0，由图知6a16．2014•湖北卷]某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝76000vv2＋18v＋20l.(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/小时；(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时．16．(1)1900(2)100解析](1)依题意知，l>0，v>0，所以当l＝6.05时，F＝76000vv2＋18v＋121＝76000v＋121v＋18≤760002v•121v＋18＝1900，当且仅当v＝11时，取等号．(2)当l＝5时，F＝76000vv2＋18v＋100＝76000v＋100v＋18≤2000，当且仅当v＝10时，取等号，此时比(1)中的最大车流量增加100辆/小时．17．2014•湖北卷]已知圆O：x2＋y2＝1和点A(－2，0)，若定点B(b，0)(b≠－2)和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有|MB|＝λ|MA|，则(1)b＝________；(2)λ＝________．17．(1)－12(2)12解析]设点M(cosθ，sinθ)，则由|MB|＝λ|MA|得(cosθ－b)2＋sin2θ＝λ2（cosθ＋2）2＋sin2θ，即－2bcosθ＋b2＋1＝4λ2cosθ＋5λ2对任意的θ都成立，所以－2b＝4λ2，b2＋1＝5λ2.又由|MB|＝λ|MA|，得λ>0，且b≠－2，解得b＝－12，λ＝12.18．、、、2014•湖北卷]某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－3cosπ12t－sinπ12t，t∈0，24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度；(2)求实验室这一天的最大温差．18．解：(1)f(8)＝10－3cosπ12×8－sinπ12×8＝10－3cos2π3－sin2π3＝10－3×－12－32＝10.故实验室上午8时的温度为10℃.(2)因为f(t)＝10－232cosπ12t＋12sinπ12t＝10－2sinπ12t＋π3，又0≤t所以π3≤π12t＋π3当t＝2时，sinπ12t＋π3＝1；当t＝14时，sinπ12t＋π3＝－1.于是f(t)在0，24)上取得最大值12，最小值8.故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃. 19．、、2014•湖北卷]已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式．(2)记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn＞60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．19．解：(1)设数列{an}的公差为d，依题意知，2，2＋d，2＋4d成等比数列，故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，化简得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4，当d＝0时，an＝2；当d＝4时，an＝2＋(n－1)•4＝4n－2，从而得数列{an}的通项公式为an＝2或an＝4n－2.(2)当an＝2时，Sn＝2n，显然2n此时不存在正整数n，使得Sn>60n ＋800成立．当an＝4n－2时，Sn＝n2＋（4n－2）]2＝2n2.令2n2>60n＋800，即n2－30n－400>0，解得n>40或n此时存在正整数n，使得Sn>60n＋800成立，n的最小值为41.综上，当an＝2时，不存在满足题意的正整数n；当an＝4n－2时，存在满足题意的正整数n，其最小值为41.20．、2014•湖北卷]如图1-5，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点．求证：(1)直线BC1∥平面EFPQ；(2)直线AC1⊥平面PQMN.图1-520．证明：(1)连接AD1，由ABCD-A1B1C1D1是正方体，知AD1∥BC1.因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FP∥AD1.从而BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.(2)如图，连接AC，BD，A1C1，则AC⊥BD.由CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，可得CC1⊥BD.又AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面ACC1A1.而AC1⊂平面ACC1A1，所以BD⊥AC1.因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，所以MN∥BD，从而MN⊥AC1. 同理可证PN⊥AC1.又PN∩MN＝N，所以直线AC1⊥平面PQMN.21．2014•湖北卷]π为圆周率，e＝2.71828…为自然对数的底数．(1)求函数f(x)＝lnxx的单调区间；(2)求e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数中的最大数与最小数．21．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．因为f(x)＝lnxx，所以f′(x)＝1－lnxx2.当f′(x)>0，即0当f′(x)e时，函数f(x)单调递减．故函数f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，＋∞)．(2)因为e即ln3e于是根据函数y＝lnx，y＝ex，y＝πx在定义域上单调递增可得，3e故这6个数中的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中．由e即lnππ由lnπππ3.由ln33综上，6个数中的最大数是3π，最小数是3e.22．2014•湖北卷]在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)设斜率为k的直线l过定点P(－2，1)，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．22．解：(1)设点M(x，y)，依题意得|MF|＝|x|＋1，即（x－1）2＋y2＝|x|＋1，化简整理得y2＝2(|x|＋x)．故点M的轨迹C的方程为y2＝4x，x≥0，0，x(2)在点M的轨迹C中，记C1：y2＝4x(x≥0)，C2：y＝0(x依题意，可设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)．由方程组y－1＝k（x＋2），y2＝4x，可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.①当k＝0时，y＝1.把y＝1代入轨迹C的方程，得x＝14.故此时直线l：y＝1与轨迹C恰好有一个公共点14，1.当k≠0时，方程①的判别式Δ＝－16(2k2＋k－1)．②设直线l与x轴的交点为(x0，0)，则由y－1＝k(x＋2)，令y＝0，得x0＝－2k＋1k.③(i)若Δ12.即当k∈(－∞，－1)∪12，＋∞时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点．(ii)若Δ＝0，x00，x0≥0，由②③解得k∈－112或－12≤k即当k∈－1，12时，直线l与C1只有一个公共点，与C2有一个公共点．当k∈－12，0时，直线l与C1有两个公共点，与C2没有公共点．故当k∈－12，0∪－1，12时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点．(iii)若Δ>0，x0即当k∈－1，－12∪0，12时，直线l与C1有一个公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点．综上所述，当k∈(－∞，－1)∪12，＋∞∪{0}时，直线l与轨迹C恰好有一个公共点；当k∈－12，0∪－1，12时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点；当k∈－1，－12∪0，12时，直线l与轨迹C恰好有三个公共点．。
2014年高考真题——文科数学(湖北卷)部分试题解析版Word版含解析
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文科）部分解析一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知全集}7,6,5,4,3,2,1{=U ，集合}6,5,3,1{=A ，则=A C U （ ）A.}6,5,3,1{B. }7,3,2{C. }7,4,2{D. }7,5,2{2. i 为虚数单位，则=+-2)11(ii （ ） A. 1 B. 1- C. i D.i -3. 命题“R ∈∀x ，x x ≠2”的否定是（ ）A. R ∉∀x ，x x ≠2B. R ∈∀x ，x x =2C. R ∉∃x ，x x ≠2D. R ∈∃x ，x x =24.若变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤-≤+0,024y x y x y x ，则y x +2的最大值是（ ）A.2B.4C.7D.85.随机投掷两枚均匀的投骰子，学 科 网他们向上的点数之和不超过5的概率为1P ，点数之和大于5的概率为2P ，点数之和为偶数的概率为3P ，则（ ）A. 321P P P <<B. 312P P P <<C. 231P P P <<D. 213P P P <<6.根据如下样本数据：得到的回归方程为a bx y+=ˆ，则（ ） A.0,0>>b a B.0,0<>b a C.0,0><b a D.0.0<<b a7.在如图所示的空间直角坐标系xyz O -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）A.①和②B.③和①C. ④和③D.④和②8.设a 、b 是关于t 的方程0sin cos 2=+θθt t 的两个不等实根，则过),(2a a A ，),(2b b B 两点的直线与双曲线1sin cos 2222=-θθy x 的公共点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 39.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，x x x f 3)(2-=，则函数3)()(+-=x x f x g 的零点的集合为（ ）A.{1,3}B.{3,1,1,3}--C.{2-D.{2--10.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式21.36v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么近似公式2275v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ） A.227 B.258 C.15750 D.355113二．填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.请将答案天灾答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11.甲、乙两套设备生产的同类产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80 的样本进行检测.若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件.12.若向量)3,1(-=OA ，||||OB OA =，0=∙OB OA ，则=||AB ________.13.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知6π=A ，1=a ，3=b ，则=B ________.14.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n 的值为9，则输出S 的值为 .15.如图所示，函数)(x f y =的图象由两条射线和三条线段组成.若R ∈∀x ，)1()(->x f x f ，则正实数a 的取值范围是 .16.某项研究表明，在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F （单位时间内测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v （假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒）平均车长l （单位：米）的值有关，其公式为lv v vF 2018760002++=（1）如果不限定车型，05.6=l ，则最大车流量为_______辆/小时；（2）如果限定车型，5=l ，则最大车流量比（1）中的最大车流量增加 辆/小时.17. 已知圆1:22=+y x O 和点)0,2(-A ，若定点)2)(0,(-≠b b B 和常数λ满足：对圆O 上那个任意一点M ，都有||||MA MB λ=，则 （1）=b ； （2）=λ .。
湖北文科数学高考试题及答案
D．[
3 ,
33
3
]
3
,则椭圆和双
14.
设 f x是定义在 0,上的函数，且 f x 0 ，对任意 a 0,b 0 ，若经过点
a, f a, b, f b的直线与 x 轴的交点为 c,0，则称 c 为 a,b 关于函数 f x的平均数，记为
A．[ 1 , 1 ] 66
B．[
6 ,
66
6
]
C．[ 1 , 1 ] 33
2、填空题：本大题共 6 小题，考生共需作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.请将答案填在答题卡 对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.
（1）必考题（11—14 题）
11. 设向量 a (3,3) ， b (1, 1) ，若 a b a b，则实数 ________.
的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个 a ，输出的结果 b ________.
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，过力根管保据线护生0高不产中仅工资可艺料以高试解中卷决资配吊料置顶试技层卷术配要是置求指不，机规对组范电在高气进中设行资备继料进电试行保卷空护问载高题与中2带2资，负料而荷试且下卷可高总保中体障资配2料3置2试3时各卷，类调需管控要路试在习验最2；3大2对3限2设题度备到内进位来行。确调在保整管机使路组其敷高在设中正过资常程料工1试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且2作5尽5下2可2都2能护可地1以关缩正于小常管故工路障作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保连破护接坏进管范行口围整处，核理或对高者定中对值资某，料些审试异核卷常与弯高校扁中对度资图固料纸定试，盒卷编位工写置况复.进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2014年高考文科数学试题(湖北卷)及参考答案
2014年湖北省高考文科数学试题及参考答案本试题卷共5页，22题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，集合{1,3,5,6}A =，则A C U A ．{1,3,5,6} B ．{2,3,7}C ．{2,4,7}D ． {2,5,7}2．i 为虚数单位，21i ()1i -=+A ．1B ．1-C ．iD ． i -3．命题“x ∀∈R ，2x x ≠”的否定是 A ．x ∀∉R ，2x x ≠ B ．x ∀∈R ，2x x = C ．x ∃∉R ，2x x ≠D ．x ∃∈R ，2x x =4．若变量x ，y 满足约束条件4,2,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥≥⎩则2x y +的最大值是A ．2B ．4C ．7D ．85．随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为1p ，点数之和大于5的概率记为2 p ，点数之和为偶数的概率记为3p ，则 A ．123p p p << B ．213p p p << C ．132p p p << D ．312p p p <<6．根据如下样本数据得到的回归方程为ˆybx a =+，则 A ．0a >，0b < B ．0a >，0b > C ．0a <，0b < D ．0a <，0b >7．在如图所示的空间直角坐标系O-xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，2）， （2，2，0），（1，2，1），（2，2，2）. 给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为A ．①和②B ．③和①C ．④和③D ．④和②8．设,a b 是关于t 的方程2cos sin 0t t θθ+=的两个不等实根，则过2(,)A a a ,2(,)B b b 两点的直线与双曲线22221cos sin x y θθ-=的公共点的个数为A ．0B ．1C ．2D ．39．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()=3f x x x -. 则函数()()+3g x f x x =- 的零点的集合为A. {1,3}B. {3,1,1,3}--C. {23}D. {21,3}-10．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也. 又以高乘之，三十六成一. 该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式2136V L h ≈. 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为 3. 那么，近似公式2275V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为 A ．227B ．258C ．15750D ．355113图① 图①图④图②第7题图二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测. 若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为 件.12．若向量)3,1(-=OA ，||||OB OA =，0=⋅，则=||AB . 13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 已知π6A =，a =1，b B = .14．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n 的值为9，则输出S 的值为 .15．如图所示，函数()y f x =的图象由两条射线和三条线段组成．若x ∀∈R ，()>(1)f x f x -，则正实数a 的取值范围为 ．16．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F （单位时间内经过测量点的 车辆数，单位：辆/小时）与车流速度v （假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒）、 平均车长l （单位：米）的值有关，其公式为2760001820vF v v l=++.（Ⅰ）如果不限定车型， 6.05l =，则最大车流量为 辆/小时；（Ⅱ）如果限定车型，5l =, 则最大车流量比（Ⅰ）中的最大车流量增加 辆/小时. 17．已知圆22:1O x y +=和点(2,0)A -，若定点(,0)B b (2)b ≠-和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有||||MB MA λ=，则 （Ⅰ）b = ； （Ⅱ）λ= .第14题图第15题图三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本小题满分12分）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：ππ()10sin1212f t t t=-，[0,24)t∈.（Ⅰ）求实验室这一天上午8时的温度；（Ⅱ）求实验室这一天的最大温差.19．（本小题满分12分）已知等差数列{}na满足：12a=，且1a，2a，5a成等比数列.（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）记nS为数列{}na的前n项和，是否存在正整数n，使得nS60800n>+？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由.20．（本小题满分13分）如图，在正方体1111ABCD A B C D-中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，1DD，1BB，11A B，11A D的中点. 求证：（Ⅰ）直线1BC∥平面EFPQ；（Ⅱ）直线1AC⊥平面PQMN.21．（本小题满分14分）π为圆周率，71828.2=e为自然对数的底数.（Ⅰ）求函数ln()xf xx=的单调区间；（Ⅱ）求3e，e3，πe，eπ，π3，3π这6个数中的最大数与最小数.22．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，点M到点(1,0)F的距离比它到y轴的距离多1．记点M的轨迹为C.（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）设斜率为k的直线l过定点(2,1)P-. 求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.第20题图。
湖北高考文科数学试题含答案Word版
绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（文史类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，集合{1,3,5,6}A =，则U A =ð A ．{1,3,5,6} B ．{2,3,7}C ．{2,4,7}D ． {2,5,7}2．i 为虚数单位，21i ()1i-=+A ．1B ．1-C ．iD ． i -3．命题“x ∀∈R ，2x x ≠”的否定是 A ．x ∀∉R ，2x x ≠ B ．x ∀∈R ，2x x = C ．x ∃∉R ，2x x ≠D ．x ∃∈R ，2x x =4．若变量x ，y 满足约束条件4,2,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥≥⎩则2x y +的最大值是A ．2B ．4C ．7D ．85．随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为1p ，点数之和大于5的概率记为2 p ，点数之和为偶数的概率记为3p ，则 A ．123p p p << B ．213p p p << C ．132p p p << D ．312p p p <<6．根据如下样本数据得到的回归方程为ˆybx a =+，则A ．0a >，0b <B ．0a >，0b >C ．0a <，0b <D ．0a <，0b >7．在如图所示的空间直角坐标系O-xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，2）， （2，2，0），（1，2，1），（2，2，2）. 给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为A ．①和②B ．③和①C ．④和③D ．④和②8．设,a b 是关于t 的方程2cos sin 0t t θθ+=的两个不等实根，则过2(,)A a a ,2(,)B b b 两点的直线与双曲线22221cos sin x y θθ-=的公共点的个数为A ．0B ．1C ．2D ．3图③ 图①图④图② 第7题图9．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()=3f x x x -. 则函数()()+3g x f x x =- 的零点的集合为A. {1,3}B. {3,1,1,3}--C. {23}-D. {21,3}--10．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也. 又以高乘之，三十六成一. 该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式2136V L h ≈. 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3. 那么，近似公式2275V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为 A ．227B ．258C ．15750D ．355113二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测. 若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为 件.12．若向量(1,3)OA =-，||||OA OB =，0OA OB ⋅=， 则||AB = .13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 已知π6A =，a =1，b = B = . 14．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n的值为9，则输出S 的值为 .第14题图15．如图所示，函数()y f x =的图象由两条射线和三条线段组成．若x ∀∈R ，()>(1)f x f x -，则正实数a 的取值范围为 ．16．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F （单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时）与车流速度v （假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒）、平均车长l （单位：米）的值有关，其公式为2760001820vF v v l=++.（Ⅰ）如果不限定车型， 6.05l =，则最大车流量为 辆/小时；（Ⅱ）如果限定车型，5l =, 则最大车流量比（Ⅰ）中的最大车流量增加 辆/小时. 17．已知圆22:1O x y +=和点(2,0)A -，若定点(,0)B b (2)b ≠-和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有||||MB MA λ=，则 （Ⅰ）b =； （Ⅱ）λ= .三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本小题满分12分）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系：ππ()10sin 1212f t t t =-，[0,24)t ∈. （Ⅰ）求实验室这一天上午8时的温度； （Ⅱ）求实验室这一天的最大温差.第15题图19．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足：12a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得n S 60800n >+？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由.20．（本小题满分13分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，P ，Q ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，1DD ， 1BB ，11A B ，11A D 的中点. 求证：（Ⅰ）直线1BC ∥平面EFPQ ； （Ⅱ）直线1AC ⊥平面PQMN .21．（本小题满分14分）π为圆周率，e 2.71828=为自然对数的底数.（Ⅰ）求函数ln ()xf x x=的单调区间； （Ⅱ）求3e ，e 3，πe ，e π，π3，3π这6个数中的最大数与最小数.22．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点(1,0)F 的距离比它到y 轴的距离多1．记点M 的 轨迹为C .（Ⅰ）求轨迹C 的方程；（Ⅱ）设斜率为k 的直线l 过定点(2,1)P -. 求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围.第20题图绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）试题参考答案一、选择题：1．C 2．B 3．D 4．C 5．C 6．A 7．D 8．A 9．D 10．B 二、填空题：11．1800 12． 13．π3或2π314．1067 15．1(0)6, 16．（Ⅰ）1900；（Ⅱ）100 17．（Ⅰ）12-；（Ⅱ）12三、解答题：18．（Ⅰ）ππ(8)108sin 81212f =⨯-⨯()()2π2π10sin 33=-110()102=-=.故实验室上午8时的温度为10 ℃.（Ⅱ）因为π1πππ()10sin )=102sin()12212123f t t t t =-+-+， 又024t ≤<，所以πππ7π31233t ≤+<，ππ1sin()1123t -≤+≤. 当2t =时，ππsin()1123t +=；当14t =时，ππsin()1123t +=-. 于是()f t 在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.19．（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，依题意，2，2d +，24d +成等比数列，故有2(2)2(24)d d +=+， 化简得240d d -=，解得0d =或d =4. 当0d =时，2n a =；当d =4时，2(1)442n a n n =+-⋅=-，从而得数列{}n a 的通项公式为2n a =或42n a n =-.（Ⅱ）当2n a =时，2n S n =. 显然260800n n <+，此时不存在正整数n ，使得60800n S n >+成立. 当42n a n =-时，2[2(42)]22n n n S n +-==.令2260800n n >+，即2304000n n -->， 解得40n >或10n <-（舍去），此时存在正整数n ，使得60800n S n >+成立，n 的最小值为41. 综上，当2n a =时，不存在满足题意的n ；当42n a n =-时，存在满足题意的n ，其最小值为41.20．证明：（Ⅰ）连接AD 1，由1111ABCD A B C D -是正方体，知AD 1∥BC 1，因为F ，P 分别是AD ，1DD 的中点，所以FP ∥AD 1. 从而BC 1∥FP .而FP ⊂平面EFPQ ，且1BC ⊄平面EFPQ ，故直线1BC ∥平面EFPQ ．（Ⅱ）如图，连接AC ，BD ，则AC BD ⊥.由1CC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，可得1CC BD ⊥. 又1ACCC C =，所以BD ⊥平面1ACC .而1AC ⊂平面1ACC ，所以1BD AC ⊥. 因为M ，N 分别是11A B ，11A D 的中点，所以MN ∥BD ，从而1MN AC ⊥. 同理可证1PN AC ⊥. 又PNMN N =，所以直线1AC ⊥平面PQMN .21.（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()∞0,+．因为ln ()x f x x =，所以21ln ()xf x x -'=． 当()0f x '>，即0e x <<时，函数()f x 单调递增； 当()0f x '<，即e x >时，函数()f x 单调递减．故函数()f x 的单调递增区间为(0,e)，单调递减区间为(e,)+∞． （Ⅱ）因为e 3π<<，所以eln3eln π<，πlne πln3<，即e e ln3ln π<，ππln e ln3<．于是根据函数ln y x =，e x y =，πx y =在定义域上单调递增，可得第20题解答图QBEM NACD 1C F 1D1A1BPe e 33ππ<<，3ππe e 3<<．故这6个数的最大数在3π与π3之中，最小数在e 3与3e 之中． 由e 3π<<及（Ⅰ）的结论，得(π)(3)(e)f f f <<，即ln πln3lneπ3e<<． 由ln πln3π3<，得3πln πln3<，所以π33π>； 由ln3ln e3e<，得e 3ln3lne <，所以e 33e <． 综上，6个数中的最大数是π3，最小数是e 3．22．（Ⅰ）设点(,)M x y ，依题意得||||1MF x =+||1x +，化简整理得22(||)y x x =+.故点M 的轨迹C 的方程为24,0,0,0.x x y x ≥⎧=⎨<⎩（Ⅱ）在点M 的轨迹C 中，记1:C 24y x =，2:C 0(0)y x =<.依题意，可设直线l 的方程为1(2).y k x -=+由方程组21(2),4,y k x y x -=+⎧⎨=⎩ 可得244(21)0.ky y k -++= ①（1）当0k =时，此时 1.y = 把1y =代入轨迹C 的方程，得14x =. 故此时直线:1l y =与轨迹C 恰好有一个公共点1(,1)4.（2）当0k ≠时，方程①的判别式为216(21)k k ∆=-+-. ②设直线l 与x 轴的交点为0(,0)x ，则 由1(2)y k x -=+，令0y =，得021k x k+=-. ③ （ⅰ）若00,0,x ∆<⎧⎨<⎩ 由②③解得1k <-，或12k >.即当1(,1)(,)2k ∈-∞-+∞时，直线l 与1C 没有公共点，与2C 有一个公共点， 故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点.（ⅱ）若00,0,x ∆=⎧⎨<⎩ 或00,0,x ∆>⎧⎨≥⎩ 由②③解得1{1,}2k ∈-，或102k -≤<.即当1{1,}2k ∈-时，直线l 与1C 只有一个公共点，与2C 有一个公共点. 当1[,0)2k ∈-时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 没有公共点.故当11[,0){1,}22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点.（ⅲ）若00,0,x ∆>⎧⎨<⎩ 由②③解得112k -<<-，或102k <<.即当11(1,)(0,)22k ∈--时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 有一个公共点， 故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点. 综合（1）（2）可知，当1(,1)(,){0}2k ∈-∞-+∞时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当11[,0){1,}22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当11(1,)(0,)22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点.。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷.文)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，集合{1,3,5,6}A =，则U A =ðA ．{1,3,5,6}B ．{2,3,7}C ．{2,4,7}D ．{2,5,7}2．i 为虚数单位，21i ()1i-=+A ．1B ．1-C ．iD ．i -3．命题“x ∀∈R ，2x x ≠”的否定是A ．x ∀∉R ，2x x ≠B ．x ∀∈R ，2x x =C ．x ∃∉R ，2x x ≠D ．x ∃∈R ，2x x =4．若变量x ，y 满足约束条件4,2,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥≥⎩......则2x y +的最大值是A ．2B ．4C ．7D ．85．随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为1p ，点数之和大于5的概率记为2 p ，点数之和为偶数的概率记为3p ，则A ．123p p p <<B ．213p p p <<C ．132p p p <<D ．312p p p <<6．根据如下样本数据得到的回归方程为ˆybx a =+，则 A ．0a >，0b < B ．0a >，0b > C ．0a <，0b <D ．0a <，0b >7．在如图所示的空间直角坐标系O-xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2）．给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为A ．①和②B ．③和①C ．④和③D ．④和②8．设,a b 是关于t 的方程2cos sin 0t t θθ+=的两个不等实根，则过2(,)A a a ,2(,)B b b 两点的直线与双曲线22221cos sin x y θθ-=的公共点的个数为 A ．0B ．1C ．2D ．39．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()=3f x x x -．则函数()()+3g x f x x =-的零点的集合为A ．{1,3}B ．{3,1,1,3}--C ．{23}D ．{21,3}-10．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式2136V L h ≈．它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3．那么，近似公式2275V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为 A ．227B ．258C ．15750D ．355113二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为 件．12．若向量(1,3)OA =- ，||||OA OB = ，0OA OB ⋅= ，则||AB =．13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知π6A =，a =1，b =，则B = ．14．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n 的值为9，则输出S 的值为 ．15．如图所示，函数()y f x =的图象由两条射线和三条线段组成．若x ∀∈R ，()>(1)f x f x -，则正实数a 的取值范围为 ．16．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F （单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时）与车流速度v （假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒）、平均车长l （单位：米）的值有关，其公式为2760001820vF v v l=++．（Ⅰ）如果不限定车型， 6.05l =，则最大车流量为 辆/小时；（Ⅱ）如果限定车型，5l =, 则最大车流量比（Ⅰ）中的最大车流量增加 辆/小时．17．已知圆22:1O x y +=和点(2,0)A -，若定点(,0)B b (2)b ≠-和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有||||MB MA λ=，则（Ⅰ）b = ； （Ⅱ）λ= ．三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分12分）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系：ππ()10sin 1212f t t t =-，[0,24)t ∈． （Ⅰ）求实验室这一天上午8时的温度； （Ⅱ）求实验室这一天的最大温差． 19．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足：12a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得n S 60800n >+？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由． 20．（本小题满分13分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，P ，Q ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，1DD ，1BB ，11A B ，11A D 的中点．求证：（Ⅰ）直线1BC ∥平面EFPQ ； （Ⅱ）直线1AC ⊥平面PQMN ．21．（本小题满分14分）π为圆周率，e 2.71828= 为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数ln()xf xx=的单调区间；（Ⅱ）求3e，e3，πe，eπ，π3，3π这6个数中的最大数与最小数．22．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，点M到点(1,0)F的距离比它到y轴的距离多1．记点M的轨迹为C．（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）设斜率为k的直线l过定点(2,1)P-．求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．。
2014年高考真题——文科数学(湖北卷)解析版Word版含解析
2014年高考真题——文科数学（湖北卷）解析版 Word版含解析绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）本试题卷共5页，22题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用统一提供的2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．[2014?湖北卷] 已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，3，5，6}，则?UA ＝()A．{1，3，5，6} B．{2，3，7}C．{2，4，7} D．{2，5，7}1．C[解析] 由A＝{1，3，5，6}，U＝{1，2，3，4，5，6，7}，得?UA＝{2，4，7}．故选C.2．[2014?湖北卷] i为虚数单位，＝()A．1 B．－1 C．i D．－i2．B[解析] ＝＝＝－1.故选B.3．[2014?湖北卷] 命题"?x∈R，x2≠x"的否定是()A．?x∈/R，x2≠x B．?x∈R，x2＝xC．?x0∈/R，x≠x0 D．?x0∈R，x＝x03．D[解析] 特称命题的否定方法是先改变量词，然后否定结论，故命题"?x∈R，x2≠x"的否定是"?x0∈R，x＝x0". 故选D.4．[2014?湖北卷] 若变量x，y满足约束条件则2x＋y的最大值是()A．2 B．4 C．7 D．84．C[解析] 作出约束条件表示的可行域如下图阴影部分所示．设z＝2x＋y，平移直线2x＋y＝0，易知在直线x＋y＝4与直线x－y＝2的交点A(3，1)处，z＝2x＋y取得最大值7. 故选C.5．[2014?湖北卷] 随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则() A．p1＜p2＜p3 B．p2＜p1＜p3C．p1＜p3＜p2 D．p3＜p1＜p25．C[解析] 掷出两枚骰子，它们向上的点数的所有可能情况如下表：123456123456723456783456789456789105678910116789101112则p1＝，p2＝，p3＝.故p16．[2014?湖北卷] 根据如下样本数据x345678y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0得到的回归方程为\s\up6(^(^)＝bx＋a，则()A．a＞0，b＜0 B．a＞0，b＞0C．a＜0，b＜0 D．a＜0，b＞06．A[解析] 作出散点图如下：由图像不难得出，回归直线\s\up6(^(^)＝bx＋a的斜率b0，所以a>0，b图1-17．[2014?湖北卷] 在如图1-1所示的空间直角坐标系O -xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)．给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()图1-2A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②7．D[解析] 由三视图可知，该几何体的正视图显然是一个直角三角形(三个顶点坐标分别是(0，0，2)，(0，2，0)，(0，2，2))且内有一虚线(一锐角顶点与一直角边中点的连线)，故正视图是④；俯视图是一个斜三角形，三个顶点坐标分别是(0，0，0)，(2，2，0)，(1，2，0)，故俯视图是②.故选D.8．、[2014?湖北卷] 设a，b是关于t的方程t2cos θ＋ts θ＝0的两个不等实根，则过A(a，a2)，B(b，b2)两点的直线与双曲线－＝1的公共点的个数为()A．0 B．1C．2 D．38．A[解析] 由方程t2cos θ＋ts θ＝0，解得t1＝0，t2＝－t θ，不妨设点A(0，0)，B(－t θ，t2θ)，则过这两点的直线方程为y＝－xt θ，该直线恰是双曲线－＝1的一条渐近线，所以该直线与双曲线无公共点．故选A.9．、[2014?湖北卷] 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为()A．{1，3} B．{－3，－1，1，3}C．{2－，1，3} D．{－2－，1，3}9．D[解析] 设x0，所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－3(－x)]＝－x2－3x .求函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点等价于求方程f(x)＝－3＋x的解．当x≥0时，x2－3x＝－3＋x，解得x1＝3，x2＝1；当x10．[2014?湖北卷] 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求"锔"的术"置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．"该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为()A. B. C. D.10．B[解析] 设圆锥的底面圆半径为r，底面积为S，则L＝2πr.由题意得L2h≈Sh，代入S＝πr2化简得π≈3.类比推理，若V≈L2h时，π≈.故选B.11．[2014?湖北卷] 甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．11．1800[解析] 设乙设备生产的产品总数为n，则＝，解得n＝1800.12．、[2014?湖北卷] 若向量\s\up6(→(→)＝(1，－3)，|\s\up6(→(→)|＝|\s\up6(→(→)|，\s\up6(→(→)?\s\up6(→(→)＝0，则|\s\up6(→(→)|＝________．12．2[解析] 由题意知，\s\up6(→(→)＝(3，1)或OB＝(－3，－1)，所以AB＝OB－OA ＝(2，4)或AB＝(－4，2)，所以＝＝2.13．[2014?湖北卷] 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A＝，a＝1，b＝，则B＝________．13.或[解析] 由正弦定理得＝，即＝，解得s B＝.又因为b>a，所以B＝或.14．[2014?湖北卷] 阅读如图1-3所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n的值为9，则输出S的值为________．图1-314．1067[解析] 第一次运行时，S＝0＋21＋1，k＝1＋1；第二次运行时，S＝(21＋1)＋(22＋2)，k＝2＋1；......所以框图运算的是S＝(21＋1)＋(22＋2)＋...＋(29＋9)＝1067.15．[2014?湖北卷] 如图1-4所示，函数y＝f(x)的图像由两条射线和三条线段组成．若?x∈R，f(x)＞f(x－1)，则正实数a的取值范围为________．图1-415.[解析] "?x∈R，f(x)>f(x－1)"等价于"函数y＝f(x)的图像恒在函数y＝f(x－1)的图像的上方"，函数y＝f(x－1)的图像是由函数y＝f(x)的图像向右平移一个单位得到的，如图所示．因为a>0，由图知6a16．[2014?湖北卷] 某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝.(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/小时；(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时．16．(1)1900(2)100[解析] (1)依题意知，l>0，v>0，所以当l＝6.05时，F＝＝≤＝1900，当且仅当v＝11时，取等号．(2)当l＝5时，F＝＝≤2000，当且仅当v＝10时，取等号，此时比(1)中的最大车流量增加100辆/小时．17．[2014?湖北卷] 已知圆O：x2＋y2＝1和点A(－2，0)，若定点B(b，0)(b≠－2)和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有＝λ，则(1)b＝________；(2)λ＝________．17．(1)－(2)[解析] 设点M(cos θ，s θ)，则由＝λ得(cos θ－b)2＋s2θ＝λ2，即－2bcos θ＋b2＋1＝4λ2cos θ＋5λ2对任意的θ都成立，所以又由＝λ，得λ>0，且b≠－2，解得18．、、、[2014?湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－cost－st，t∈[0，24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度；(2)求实验室这一天的最大温差．18．解：(1)f(8)＝10－cos－s＝10－cos－s＝10－×－＝10.故实验室上午8时的温度为10 ℃.(2)因为f(t)＝10－2＝10－2s，又0≤t所以≤t＋当t＝2时，s＝1；当t＝14时，s＝－1.于是f(t)在[0，24)上取得最大值12，最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.19．、、[2014?湖北卷] 已知等差数列{}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．(1)求数列{}的通项公式．(2)记Sn为数列{}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn＞＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．19．解：(1)设数列{}的公差为d，依题意知，2，2＋d，2＋4d成等比数列，故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，化简得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4，当d＝0时，＝2；当d＝4时，＝2＋(n－1)?4＝－2，从而得数列{}的通项公式为＝2或＝－2.(2)当＝2时，Sn＝，显然此时不存在正整数n，使得Sn>＋800成立．当＝－2时，Sn＝＝2.令2>＋800，即n2－－400>0，解得n>40或n此时存在正整数n，使得Sn>＋800成立，n的最小值为41.综上，当＝2时，不存在满足题意的正整数n；当＝－2时，存在满足题意的正整数n，其最小值为41.20．、[2014?湖北卷] 如图1-5，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点．求证：(1)直线BC1∥平面EFPQ；(2)直线AC1⊥平面PQ.图1-520．证明：(1)连接AD1，由ABCD - A1B1C1D1是正方体，知AD1∥BC1.因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FP∥AD1.从而BC1∥FP.而FP?平面EFPQ，且BC1?平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.(2)如图，连接AC，BD，A1C1，则AC⊥BD.由CC1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，可得CC1⊥BD.又AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面ACC1A1.而AC1?平面ACC1A1，所以BD⊥AC1.因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，所以∥BD，从而⊥AC1.同理可证PN⊥AC1.又PN∩＝N，所以直线AC1⊥平面PQ.21．[2014?湖北卷] π为圆周率，e＝2.718 28...为自然对数的底数．(1)求函数f(x)＝的单调区间；(2)求e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数中的最大数与最小数．21．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．因为f(x)＝，所以f′(x)＝.当f′(x)>0，即0当f′(x)e时，函数f(x)单调递减．故函数f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，＋∞)．(2)因为e即3e于是根据函数y＝x，y＝ex，y＝πx在定义域上单调递增可得，3e故这6个数中的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中．由e即由π3.由综上，6个数中的最大数是3π，最小数是3e.22．[2014?湖北卷] 在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)设斜率为k的直线l过定点P(－2，1)，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．22．解：(1)设点M(x，y)，依题意得＝|x|＋1，即＝|x|＋1，化简整理得y2＝2(|x|＋x)．故点M的轨迹C的方程为y2＝(2)在点M的轨迹C中，记C1：y2＝4x(x≥0)，C2：y＝0(x依题意，可设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)．由方程组可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.①当k＝0时，y＝1.把y＝1代入轨迹C的方程，得x＝.故此时直线l：y＝1与轨迹C恰好有一个公共点.当k≠0时，方程①的判别式Δ＝－16(2k2＋k－1)．②设直线l与x轴的交点为(x0，0)，则由y－1＝k(x＋2)，令y＝0，得x0＝－.③(i)若由②③解得k.即当k∈(－∞，－1)∪时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点．(ii)若或由②③解得k∈或－≤k即当k∈时，直线l与C1只有一个公共点，与C2有一个公共点．当k∈时，直线l与C1有两个公共点，与C2没有公共点．故当k∈∪时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点．(iii)若由②③解得－1即当k∈∪时，直线l与C1有一个公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点．综上所述，当k∈(－∞，－1)∪∪{0}时，直线l与轨迹C恰好有一个公共点；当k∈∪时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点；当k∈∪时，直线l与轨迹C恰好有三个公共点．。
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(湖北卷)文
2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(文史类)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.1.(2014湖北,文1)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},集合A={1,3,5,6},则∁U A=( ). A .{1,3,5,6} B .{2,3,7} C .{2,4,7} D .{2,5,7}答案:C解析:由补集的定义,集合A 在U 中的补集指U 中除A 外其他元素构成的集合.故选C . 2.(2014湖北,文2)i 为虚数单位, 1-i2=( ).A .1B .-1C .iD .-i答案:B解析:因为1-i=(1-i )(1-i )(1+i )(1-i )=-2i =-i,所以 1-i 2=(-i)2=-1,故选B .3.(2014湖北,文3)命题“∀x ∈R ,x 2≠x”的否定是( ). A .∀x ∉R ,x 2≠xB .∀x ∈R ,x 2=xC .∃x ∉R ,x 2≠xD .∃x ∈R ,x 2=x答案:D解析:全称命题“∀x ∈M ,p (x )”的否定为特称命题“∃x ∈M ,p (x )”,故选D .4.(2014湖北,文4)若变量x ,y 满足约束条件 x +y ≤4,x -y ≤2,x ≥0,y ≥0,则2x+y 的最大值是( ). A .2 B .4 C .7 D .8答案:C解析:画出x ,y 的约束条件限定的可行域为如图阴影区域,令u=2x+y ,则y=-2x+u ,先画出直线y=-2x ,再平移直线y=-2x ,当经过点A (3,1)时,代入u ,可得最大值为7,故选C .5.(2014湖北,文5)随机掷两枚质地均匀的骰子,它们向上的点数之和不超过5的概率记为p 1,点数之和大于5的概率记为p 2,点数之和为偶数的概率记为p 3,则( ). A .p 1<p 2<p 3 B .p 2<p 1<p 3 C .p 1<p 3<p 2 D .p 3<p 1<p 2 答案:C解析:由题意可知,p 1=10=5,p 2=1-p 1=13,p 3=18=1.故选C .6.(2014湖北,文6)得到的回归方程为y ^=bx+a ,则( ). A .a>0,b<0 B .a>0,b>0C .a<0,b<0D .a<0,b>0答案:A解析:可大致画出散点图如图所示,可判断a>0,b<0,故选A .7.(2014湖北,文7)在如图所示的空间直角坐标系O-xyz 中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).给出编号为①、②、③、④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为( ).A .①和②B .③和①C .④和③D .④和②答案:D解析:正视图将四个点全影射到yOz 面上,分别为(0,0,2),(0,2,0),(0,2,1),(0,2,2),再根据看不见的线画虚线可得图④,俯视图全影射到xOy 面上,分别为(0,0,0),(2,2,0),(1,2,0),(2,2,0)可画得图②,故选D .8.(2014湖北,文8)设a ,b 是关于t 的方程t 2cos θ+t sin θ=0的两个不等实根,则过A (a ,a 2),B (b ,b 2)两点的直线与双曲线x 2cos 2θ−y 2sin 2θ=1的公共点的个数为( ). A .0 B .1C .2D .3答案:A解析:可解方程t 2cos θ+t sin θ=0,得两根0,-sin θ.由题意可知不管a=0还是b=0,所得两个点的坐标是一样的.不妨设a=0,b=-sin θ,则A (0,0),B -sin θ,sin 2θ2 ,可求得直线方程y=-sin θx ,因为双曲线渐近线方程为y=±sin θx ,故过A ,B的直线即为双曲线的一条渐近线,直线与双曲线无交点,故选A .9.(2014湖北,文9)已知f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )=x 2-3x.则函数g (x )=f (x )-x+3的零点的集合为( ). A .{1,3} B .{-3,-1,1,3} C .{2- 7,1,3} D .{-2- 7,1,3}答案:D解析:当x<0时,f (x )=-f (-x )=-[(-x )2+3x ]=-x 2-3x ,易求得g (x )解析式g (x )= x 2-4x +3,x ≥0,-x 2-4x +3,x <0,当x 2-4x+3=0时,可求得x 1=1,x 2=3,当-x 2-4x+3=0时可求得x 3=-2- x 4=-2+ (舍去),故g (x )的零点为1,3,-2- 故选D .10.(2014湖北,文10)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ,计算其体积V 的近似公式V ≈1L 2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么,近似公式V ≈275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( ). A .22 B .25C .157D .355答案:B解析:由题意可知:L=2πr ,即r=L2π,圆锥体积V=13Sh=13πr 2h=13π· L 2π 2h=112πL 2h ≈275L 2h ,故112π≈275,π≈258,故选B .二、填空题:本大题共7小题,每小题5分,共35分.请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.11.(2014湖北,文11)甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件,采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测.若样本中有50件产品由甲设备生产,则乙设备生产的产品总数为 件. 答案:1 800解析:分层抽样的关键是确定样本容量与总体容量的比,比值为804 800=160,设甲设备生产的产品数为x ,则x×160=50,x=3 000,乙设备生产的产品总数为4 800-3 000=1 800.故答案为1 800. 12.(2014湖北,文12)若向量OA =(1,-3),|OA |=|OB |,OA ·OB =0,则|AB |= . 答案:2 5解析:设B (x ,y ),由|OA |=|OB |,可得 10= x 2+y 2①OA·OB =x-3y=0,② 由①②得x=3,y=1或x=-3,y=-1,所以B (3,1)或B (-3,-1), 故AB =(2,4)或AB =(-4,2),|AB |=2 ,故答案为213.(2014湖北,文13)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知A=π,a=1,b= 则B= . 答案:π3或2π3解析:由正弦定理a sin A=bsin B,代入可求得sin B= 32,故B=π3或B=2π3.故答案为π3或2π3. 14.(2014湖北,文14)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入n 的值为9,则输出S 的值为 .答案:1 067解析:该程序框图为循环结构.第一步,经判断1≤9,执行“是”,计算S=0+21+1=3,k=2,执行第二步,2≤9,计算S=0+21+1+22+2=9,k=3,依次执行,至第九步,9≤9,执行“是”,计算S=0+21+1+22+2+…+29+9=1 067,k=10,下一步10≤9,执行“否”,输出S.故答案为1 067.15.(2014湖北,文15)如图所示,函数y=f (x )的图象由两条射线和三条线段组成.若∀x ∈R ,f (x )>f (x-1),则正实数a 的取值范围为 . 答案: 0,16解析:由题意可知,f (x-1)是由f (x )向右平移1个单位得到的,要保证∀x ∈R ,f (x )>f (x-1),f (x-1)的图象则应由原图象至少向右平移6a 个单位,需满足6a<1,即a<16,又因为a 为正实数,故答案为 0,16.16.(2014湖北,文16)某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/小时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶,单位:米/秒)、平均车长l (单位:米)的值有关,其公式为F=76 000vv 2+18v+20l.(1)如果不限定车型,l=6.05,则最大车流量为 辆/小时;(2)如果限定车型,l=5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加 辆/小时. 答案:(1)1 900 (2)100 解析:(1)l=6.05,则F=76 000v 2=76 000v +18+121v,由基本不等式v+121≥2 121=22,得F ≤76 000=1 900(辆/小时),故答案为1 900.(2)l=5,F=76 000v v 2+18v+100=76 000v +18+100v,由基本不等式v+100v≥2 100=20,得F ≤76 00020+18=2 000(辆/小时),增加2 000-1900=100(辆/小时),故答案为100.17.(2014湖北,文17)已知圆O :x 2+y 2=1和点A (-2,0),若定点B (b ,0)(b ≠-2)和常数λ满足:对圆O 上任意一点M ,都有|MB|=λ|MA|,则 (1)b= ; (2)λ= . 答案:(1)-2(2)12解析:因为对圆O 上任意一点M ,都有|MB|=λ|MA|,所以可取圆上点(-1,0),(1,0),满足 |b +1|=λ,|b -1|=3λ,解得b=-1或b=-2(舍去),b=-1,λ=1,故答案为(1)-1,(2)1.三、解答题:本大题共5小题,共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.(本小题满分12分)(2014湖北,文18)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t (单位:h)的变化近似满足函数关系:f (t )=10- 3cos π12t-sin π12t ,t ∈[0,24). (1)求实验室这一天上午8时的温度; (2)求实验室这一天的最大温差.分析:在第(1)问中,可将t=8直接代入函数解析式求出结果.在第(2)问中,可转化为求函数的最大值最小值问题,先根据辅助角公式将函数转化为f (t )=10-2sin πt +π,再根据t 的范围可求出πt+π的范围,依次又可求出sinπt +π的范围,最终可求出f (t )的范围,从而可求出最大温差. 解:(1)f (8)=10- 3cos π×8 -sin π×8 =10- 3cos 2π-sin 2π=10- 3×-1 −3=10.故实验室上午8时的温度为10 ℃. (2)因为f (t )=10-2 3cosπt +1sin πt =10-2sin πt +π ,又0≤t<24,所以π3≤π12t+π3<7π3,-1≤sin π12t +π3 ≤1.当t=2时,sin π12t +π3 =1;当t=14时,sin π12t +π3=-1.于是f (t )在[0,24)上取得最大值12,取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃,最低温度为8 ℃,最大温差为4 ℃.19.(本小题满分12分)(2014湖北,文19)已知等差数列{a n }满足:a 1=2,且a 1,a 2,a 5成等比数列.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和,是否存在正整数n ,使得S n >60n+800?若存在,求n 的最小值;若不存在,说明理由. 分析:在第(1)问中,可先将a 2,a 5转化成a 1+d ,a 1+4d ,再依据成等比数列列出相应关系式求出d ,从而可求得数列{a n }的通项公式.在第(2)问中,由数列{a n }的通项公式,可先求得S n ,由于第(1)问求得数列{a n }有两种情况,故S n 也有两种情况,需分类讨论,利用题中已知的不等式解出n 的范围,依据n 的范围可求得正整数n 的最小值. 解:(1)设数列{a n }的公差为d ,依题意,2,2+d ,2+4d 成等比数列,故有(2+d )2=2(2+4d ),化简得d 2-4d=0,解得d=0或d=4. 当d=0时,a n =2;当d=4时,a n=2+(n-1)·4=4n-2,从而得数列{a n}的通项公式为a n=2或a n=4n-2.(2)当a n=2时,S n=2n.显然2n<60n+800,此时不存在正整数n,使得S n>60n+800成立.当a n=4n-2时,S n=n[2+(4n-2)]=2n2,令2n2>60n+800,即n2-30n-400>0,解得n>40或n<-10(舍去),此时存在正整数n,使得S n>60n+800成立,n的最小值为41.综上,当a n=2时,不存在满足题意的n;当a n=4n-2时,存在满足题意的n,其最小值为41.20.(本小题满分13分)(2014湖北,文20)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q,M,N分别是棱AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1的中点,求证:(1)直线BC1∥平面EFPQ;(2)直线AC1⊥平面PQMN.分析:在第(1)问中,可考虑利用线线平行去证明线面平行,连接AD1,可先证明AD1和FP平行,从而可证AD1和平面EFPQ平行,又易证明BC1平行于AD1,从而可证BC1平行于平面EFPQ.在第(2)问中,可考虑利用线线垂直去证线面垂直,需证AC1与平面MNPQ内两条相交直线垂直.证明:(1)连接AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,知AD1∥BC1,因为F,P分别是AD,DD1的中点,所以FP∥AD1.从而BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ,且BC1⊄平面EFPQ,故直线BC1∥平面EFPQ.(2)如图,连接AC,BD,则AC⊥BD.由CC1⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,可得CC1⊥BD.又AC∩CC1=C,所以BD⊥平面ACC1.而AC1⊂平面ACC1,所以BD⊥AC1.因为M,N分别是A1B1,A1D1的中点,所以MN∥BD,从而MN⊥AC1.同理可证PN⊥AC1.又PN∩MN=N,所以直线AC1⊥平面PQMN.21.(本小题满分14分)(2014湖北,文21)π为圆周率,e=2.71828…为自然对数的底数.(1)求函数f(x)=ln x的单调区间;(2)求e3,3e,eπ,πe,3π,π3这6个数中的最大数与最小数.分析:在第(1)问中,考查利用导数求函数单调区间,需注意函数的定义域.在第(2)问中,由y=ln x ,y=e x ,y=πx 在定义域上的单调性可先比较出3e ,πe ,π3及e 3,e π,3π的大小,从而可确定最大数在π3与3π之中,最小数在3e 与e 3之中.再由e <3<π,由第(1)问f (x )的单调性,从而可确定最大值、最小值. 解:(1)函数f (x )的定义域为(0,+∞).因为f (x )=ln x,所以f'(x )=1-ln x2. 当f'(x )>0,即0<x<e 时,函数f (x )单调递增; 当f'(x )<0,即x>e 时,函数f (x )单调递减.故函数f (x )的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,+∞). (2)因为e <3<π,所以eln 3<eln π,πln e <πln 3, 即ln 3e <ln πe ,ln e π<ln 3π.于是根据函数y=ln x ,y=e x ,y=πx 在定义域上单调递增, 可得3e <πe <π3,e 3<e π<3π.故这6个数的最大数在π3与3π之中,最小数在3e 与e 3之中. 由e <3<π及(1)的结论,得f (π)<f (3)<f (e),即ln ππ<ln33<ln ee. 由ln π<ln3,得ln π3<ln 3π,所以3π>π3; 由ln33<ln e e,得ln 3e <ln e 3,所以3e <e 3. 综上,6个数中的最大数是3π,最小数是3e .22.(本小题满分14分)(2014湖北,文22)在平面直角坐标系xOy 中,点M 到点F (1,0)的距离比它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C. (1)求轨迹C 的方程;(2)设斜率为k 的直线l 过定点P (-2,1).求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围.分析:在第(1)问中,可先设点M (x ,y ),由题意可求得点M 的轨迹方程.在第(2)问中,可先由点斜式把直线方程写出来,将直线方程与第(1)问所求的轨迹方程联立,需注意考虑k=0及k ≠0的情况,当k ≠0时,联立后得到的关系式,还需讨论方程的判别式Δ及直线与x 轴交点的横坐标的正负. 解:(1)设点M (x ,y ),依题意得|MF|=|x|+1,即 (x -1)2+y 2=|x|+1,化简整理得y 2=2(|x|+x ).故点M 的轨迹C 的方程为y 2=4x ,x ≥0,0,x <0.(2)在点M 的轨迹C 中,记C 1:y 2=4x ,C 2:y=0(x<0). 依题意,可设直线l 的方程为y-1=k (x+2).由方程组 y -1=k (x +2),y 2=4x ,可得ky 2-4y+4(2k+1)=0.① (a)当k=0时,此时y=1.把y=1代入轨迹C 的方程,得x=14.故此时直线l :y=1与轨迹C 恰好有一个公共点 1,1 . (b)当k ≠0时,方程①的判别式为Δ=-16(2k 2+k-1).② 设直线l 与x 轴的交点为(x 0,0),则由y-1=k (x+2),令y=0,得x 0=-2k +1k.③ (ⅰ)若 Δ<0,x 0<0,由②③解得k<-1,或k>1.即当k ∈(-∞,-1)∪ 12,+∞ 时,直线l 与C 1没有公共点,与C 2有一个公共点,故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点.(ⅱ)若 Δ=0,x 0<0,或 Δ>0,x 0≥0,由②③解得k ∈ -1,12 ,或-12≤k<0.即当k ∈ -1,1时,直线l 与C 1只有一个公共点,与C 2有一个公共点. 当k ∈ -1,0 时,直线l 与C 1有两个公共点,与C 2没有公共点.故当k∈-1,0∪-1,1时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点.(ⅲ)若Δ>0,x0<0,由②③解得-1<k<-1,或0<k<1.即当k∈-1,-1∪0,1时,直线l与C1有两个公共点,与C2有一个公共点,故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点.综合(a)(b)可知,当k∈(-∞,-1)∪1,+∞∪{0}时,直线l与轨迹C恰好有一个公共点;当k∈-1,0∪-1,1时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点;当k∈-1,-1∪0,1时,直线l与轨迹C恰好有三个公共点.。
2014年湖北高考(文数)试卷
湖北省教育考试院 保留版权 数学（文史类） 第1页（共5页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（文史类）本试题卷共5页，22题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，集合{1,3,5,6}A =，则U A =ð A ．{1,3,5,6} B ．{2,3,7}C ．{2,4,7}D ． {2,5,7}2．i 为虚数单位，21i ()1i -=+A ．1B ．1-C ．iD ． i -3．命题“x ∀∈R ，2x x ≠”的否定是 A ．x ∀∉R ，2x x ≠ B ．x ∀∈R ，2x x = C ．x ∃∉R ，2x x ≠D ．x ∃∈R ，2x x =4．若变量x ，y 满足约束条件4,2,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥≥⎩则2x y +的最大值是A ．2B ．4C ．7D ．8数学（文史类） 第2页（共5页）5．随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为1p ，点数之和大于5的概率记为2 p ，点数之和为偶数的概率记为3p ，则 A ．123p p p << B ．213p p p << C ．132p p p << D ．312p p p <<6．根据如下样本数据得到的回归方程为ˆybx a =+，则 A ．0a >，0b < B．0a >，0b > C ．0a <，0b <D ．0a <，0b >7．在如图所示的空间直角坐标系O-xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，2）， （2，2，0），（1，2，1），（2，2，2）. 给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为A ．①和②B ．③和①C ．④和③D ．④和②8．设,a b 是关于t 的方程2cos sin 0t tθθ+=的两个不等实根，则过2(,)A a a ,2(,)B b b 两点的直线与双曲线22221cos sin x y θθ-=的公共点的个数为A ．0B ．1C ．2D ．3图③ 图①图④图② 第7题图数学（文史类） 第3页（共5页）9．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()=3f x x x -. 则函数()()+3g x f x x =- 的零点的集合为A. {1,3}B. {3,1,1,3}--C. {23}D. {21,3}-10．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也. 又以高乘之，三十六成一. 该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式2136V L h ≈. 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3. 那么，近似公式2275V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为 A ．227B ．258C ．15750D ．355113二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位 置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测. 若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为 件.12．若向量(1,3)OA =-，||||OA OB =，0OA OB ⋅=， 则||AB = .13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 已知π6A =，a =1，b B = . 14．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n的值为9，则输出S 的值为 .第14题图数学（文史类） 第4页（共5页）15．如图所示，函数()y f x =的图象由两条射线和三条线段组成．若x ∀∈R ，()>(1)f x f x -，则正实数a 的取值范围为 ．16．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F （单位时间内经过测量点的 车辆数，单位：辆/小时）与车流速度v （假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒）、 平均车长l （单位：米）的值有关，其公式为2760001820vF v v l=++. （Ⅰ）如果不限定车型， 6.05l =，则最大车流量为 辆/小时；（Ⅱ）如果限定车型，5l =, 则最大车流量比（Ⅰ）中的最大车流量增加 辆/小时. 17．已知圆22:1O x y +=和点(2,0)A -，若定点(,0)B b (2)b ≠-和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有||||MB MA λ=，则 （Ⅰ）b = ； （Ⅱ）λ=.三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本小题满分12分）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系：ππ()10sin 1212f t t t =-，[0,24)t ∈. （Ⅰ）求实验室这一天上午8时的温度； （Ⅱ）求实验室这一天的最大温差.第15题图数学（文史类） 第5页（共5页）19．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足：12a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得n S 60800n >+？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.20．（本小题满分13分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，P ，Q ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，1DD ， 1BB ，11A B ，11A D 的中点. 求证：（Ⅰ）直线1BC ∥平面EFPQ ； （Ⅱ）直线1AC ⊥平面PQMN .21．（本小题满分14分）π为圆周率，e 2.71828=为自然对数的底数.（Ⅰ）求函数ln ()xf x x=的单调区间； （Ⅱ）求3e ，e 3，πe ，e π，π3，3π这6个数中的最大数与最小数.22．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点(1,0)F 的距离比它到y 轴的距离多1．记点M 的 轨迹为C .（Ⅰ）求轨迹C 的方程；（Ⅱ）设斜率为k 的直线l 过定点(2,1)P -. 求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围.第20题图。
2014年全国高考文科数学试题及答案-湖北卷
绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（文史类）本试题卷共5页，22题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
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写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，集合{1,3,5,6}A =，则U A =ð A ．{1,3,5,6} B ．{2,3,7}C ．{2,4,7}D ． {2,5,7}2．i 为虚数单位，21i ()1i-=+A ．1B ．1-C ．iD ． i -3．命题“x ∀∈R ，2x x ≠”的否定是 A ．x ∀∉R ，2x x ≠ B ．x ∀∈R ，2x x = C ．x ∃∉R ，2x x ≠D ．x ∃∈R ，2x x =4．若变量x ，y 满足约束条件4,2,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥≥⎩则2x y +的最大值是A ．2B ．4C ．7D ．85．随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为1p ，点数之和大于5的概率记为2 p ，点数之和为偶数的概率记为3p ，则 A ．123p p p << B ．213p p p << C ．132p p p << D ．312p p p <<6．根据如下样本数据得到的回归方程为ˆybx a =+，则A ．0a >，0b <B ．0a >，0b >C ．0a <，0b <D ．0a <，0b >7．在如图所示的空间直角坐标系O-xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，2）， （2，2，0），（1，2，1），（2，2，2）. 给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为A ．①和②B．③和①C ．④和③D ．④和②8．设,ab 是关于t 的方程2cos sin 0t t θθ+=的两个不等实根，则过2(,)A a a ,2(,)B b b 两点的直线与双曲线22221cos sin x y θθ-=的公共点的个数为 A ．0B ．1C ．2D ．3图③ 图①图④图② 第7题图9．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()=3f x x x -. 则函数()()+3g x f x x =- 的零点的集合为A. {1,3}B. {3,1,1,3}--C. {23}D. {21,3}-10．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也. 又以高乘之，三十六成一. 该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式2136V L h ≈. 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3. 那么，近似公式2275V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为 A ．227B ．258C ．15750D ．355113二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测. 若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为 件.12．若向量(1,3)OA =-，||||OA OB =，0OA OB ⋅=， 则||AB = .13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 已知π6A =，a =1，b B = . 14．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n的值为9，则输出S 的值为 .第14题图15．如图所示，函数()y f x =的图象由两条射线和三条线段组成．若x ∀∈R ，()>(1)f x f x -，则正实数a 的取值范围为 ．16．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F （单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时）与车流速度v （假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒）、平均车长l （单位：米）的值有关，其公式为2760001820vF v v l=++.（Ⅰ）如果不限定车型， 6.05l =，则最大车流量为 辆/小时；（Ⅱ）如果限定车型，5l =, 则最大车流量比（Ⅰ）中的最大车流量增加 辆/小时. 17．已知圆22:1O x y +=和点(2,0)A -，若定点(,0)B b (2)b ≠-和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有||||MB MA λ=，则（Ⅰ）b =； （Ⅱ）λ= .三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本小题满分12分）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系：ππ()10sin 1212f t t t =-，[0,24)t ∈. （Ⅰ）求实验室这一天上午8时的温度； （Ⅱ）求实验室这一天的最大温差.第15题图19．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足：12a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得n S 60800n >+？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.20．（本小题满分13分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，P ，Q ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，1DD ， 1BB ，11A B ，11A D 的中点. 求证：（Ⅰ）直线1BC ∥平面EFPQ ； （Ⅱ）直线1AC ⊥平面PQMN .21．（本小题满分14分）π为圆周率，e 2.71828=为自然对数的底数.（Ⅰ）求函数ln ()xf x x=的单调区间； （Ⅱ）求3e ，e 3，πe ，e π，π3，3π这6个数中的最大数与最小数.22．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点(1,0)F 的距离比它到y 轴的距离多1．记点M 的 轨迹为C .（Ⅰ）求轨迹C 的方程；（Ⅱ）设斜率为k 的直线l 过定点(2,1)P -. 求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围.第20题图绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）试题参考答案一、选择题：1．C 2．B 3．D 4．C 5．C 6．A 7．D 8．A 9．D 10．B 二、填空题：11．1800 12． 13．π3或2π314．1067 15．1(0)6, 16．（Ⅰ）1900；（Ⅱ）100 17．（Ⅰ）12-；（Ⅱ）12三、解答题：18．（Ⅰ）ππ(8)108sin 81212f =⨯-⨯()()2π2π10sin 33=-110()102=-=.故实验室上午8时的温度为10 ℃.（Ⅱ）因为π1πππ()10sin )=102sin()12212123f t t t t =-+-+， 又024t ≤<，所以πππ7π31233t ≤+<，ππ1sin()1123t -≤+≤. 当2t =时，ππsin()1123t +=；当14t =时，ππsin()1123t +=-. 于是()f t 在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.19．（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，依题意，2，2d +，24d +成等比数列，故有2(2)2(24)d d +=+，化简得240d d -=，解得0d =或d =4. 当0d =时，2n a =；当d =4时，2(1)442n a n n =+-⋅=-，从而得数列{}n a 的通项公式为2n a =或42n a n =-.（Ⅱ）当2n a =时，2n S n =. 显然260800n n <+，此时不存在正整数n ，使得60800n S n >+成立. 当42n a n =-时，2[2(42)]22n n n S n +-==.令2260800n n >+，即2304000n n -->， 解得40n >或10n <-（舍去），此时存在正整数n ，使得60800n S n >+成立，n 的最小值为41. 综上，当2n a =时，不存在满足题意的n ；当42n a n =-时，存在满足题意的n ，其最小值为41.20．证明：（Ⅰ）连接AD 1，由1111ABCD A B C D -是正方体，知AD 1∥BC 1，因为F ，P 分别是AD ，1DD 的中点，所以FP ∥AD 1. 从而BC 1∥FP .而FP ⊂平面EFPQ ，且1BC ⊄平面EFPQ ，故直线1BC ∥平面EFPQ ．（Ⅱ）如图，连接AC ，BD ，则AC BD ⊥.由1CC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，可得1CC BD ⊥.第20题解答图QBEM NACD 1C F 1D1A1BP又1ACCC C =，所以BD ⊥平面1ACC .而1AC ⊂平面1ACC ，所以1BD AC ⊥. 因为M ，N 分别是11A B ，11A D 的中点，所以MN ∥BD ，从而1MN AC ⊥. 同理可证1PN AC ⊥. 又PNMN N =，所以直线1AC ⊥平面PQMN .21.（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()∞0,+．因为ln ()x f x x =，所以21ln ()xf x x -'=． 当()0f x '>，即0e x <<时，函数()f x 单调递增； 当()0f x '<，即e x >时，函数()f x 单调递减．故函数()f x 的单调递增区间为(0,e)，单调递减区间为(e,)+∞． （Ⅱ）因为e 3π<<，所以eln3eln π<，πlne πln3<，即e e ln3ln π<，ππln e ln3<．于是根据函数ln y x =，e x y =，πx y =在定义域上单调递增，可得 e e 33ππ<<，3ππe e 3<<．故这6个数的最大数在3π与π3之中，最小数在e 3与3e 之中． 由e 3π<<及（Ⅰ）的结论，得(π)(3)(e)f f f <<，即ln πln3lneπ3e<<． 由ln πln3π3<，得3πln πln3<，所以π33π>； 由ln3ln e3e<，得e 3ln3lne <，所以e 33e <． 综上，6个数中的最大数是π3，最小数是e 3．22．（Ⅰ）设点(,)M x y ，依题意得||||1MF x =+||1x +，化简整理得22(||)y x x =+.故点M 的轨迹C 的方程为24,0,0,0.x x y x ≥⎧=⎨<⎩（Ⅱ）在点M 的轨迹C 中，记1:C 24y x =，2:C 0(0)y x =<.依题意，可设直线l 的方程为1(2).y k x -=+由方程组21(2),4,y k x y x -=+⎧⎨=⎩ 可得244(21)0.ky y k -++= ①（1）当0k =时，此时 1.y = 把1y =代入轨迹C 的方程，得14x =. 故此时直线:1l y =与轨迹C 恰好有一个公共点1(,1)4.（2）当0k ≠时，方程①的判别式为216(21)k k ∆=-+-. ②设直线l 与x 轴的交点为0(,0)x ，则 由1(2)y k x -=+，令0y =，得021k x k+=-. ③ （ⅰ）若00,0,x ∆<⎧⎨<⎩ 由②③解得1k <-，或12k >.即当1(,1)(,)2k ∈-∞-+∞时，直线l 与1C 没有公共点，与2C 有一个公共点， 故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点.（ⅱ）若00,0,x ∆=⎧⎨<⎩ 或00,0,x ∆>⎧⎨≥⎩ 由②③解得1{1,}2k ∈-，或102k -≤<.即当1{1,}2k ∈-时，直线l 与1C 只有一个公共点，与2C 有一个公共点. 当1[,0)2k ∈-时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 没有公共点.故当11[,0){1,}22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点.（ⅲ）若00,0,x ∆>⎧⎨<⎩ 由②③解得112k -<<-，或102k <<.即当11(1,)(0,)22k ∈--时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 有一个公共点， 故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点. 综合（1）（2）可知，当1(,1)(,){0}2k ∈-∞-+∞时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当11[,0){1,}22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当11(1,)(0,)22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点.。
2014年湖北省高考数学试卷(文科)教师版
2014 年湖北省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10 小题，每题 5 分，共 50 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的.1．（ 5 分）（2014?湖北）已知全集 U={ 1，2，3，4，5，6，7} ，会合 A={ 1，3，5，6} ，则 ?U A=（）A．{ 1，3，5，6} B．{ 2，3，7}C．{ 2，4，7}D．{ 2，5，7}【剖析】依据全集 U 以及 A，求出 A 的补集即可．【解答】解：∵全集 U={ 1， 2， 3，4，5，6，7} ，会合 A={ 1，3，5，6} ，∴?U A={ 2，4，7} ．应选： C．2．（5 分）（2014?湖北） i 为虚数单位，（）2=（）A．1B．﹣ 1C．i D．﹣ i【剖析】由条件里哦也难怪两个复数代数形式的乘除法法例，虚数单位i 的幂运算性质，计算求得结果．【解答】解：（）2===﹣1，应选： B．3．（5 分）（2014?湖北）命题“? x∈ R，x2≠x”的否认是（）A．? x?R， x2≠x B．? x∈R，x2=x C．? x?R，x2≠x D．? x∈ R， x2=x 【剖析】依据全称命题的否认是特称命题，利用特称命题写出命题的否认命题．【解答】解：依据全称命题的否认是特称命题，∴命题的否认是： ? x0∈R，=x0．应选： D．，y 知足拘束条件，则 2x+y 的最4．（5 分）（2014?湖北）若变量 x，大值是（）A．2B．4C．7D．8【剖析】此题考察的知识点是线性规划，办理的思路为：依据已知的拘束条件画出知足拘束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大，值．【解答】解：知足拘束条件的可行域以下列图中暗影部分所示：，∵目标函数 Z=2x+y，∴Z O=0，Z A=4，Z B=7，Z C=4，故 2x+y 的最大值是 7，应选： C．5．（5 分）（2014?湖北）随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过 5 的概率记为 p1，点数之和大于 5 的概率记为 p2，点数之和为偶数的概率记为 p3，则（）A．p1＜ p2＜p3B．p2＜p1＜ p3C．p1＜ p3＜p2D．p3＜ p1＜p2【剖析】第一列表，而后依据表格点数之和不超出5，点数之和大于5，点数之和为偶数状况，再依据概率公式求解即可．【解答】解：列表得：（1，6）（2，6）（3，6）（4，6）（5，6）（6，6）（1，5）（2，5）（3，5）（4，5）（5，5）（6，5）（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）（5，4）（6，4）（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）（5，3）（6，3）（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）（5，2）（6，2）（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）（6，1）∴一共有 36 种等可能的结果，∴两个骰子点数之和不超出 5 的有 10 种状况，点数之和大于 5 的有 26 种状况，点数之和为偶数的有18 种状况，∴向上的点数之和不超出 5 的概率记为 p1=，点数之和大于 5 的概率记为 p2=，点数之和为偶数的概率记为p3=，∴ p1＜p3＜ p2应选： C．6．（5 分）（2014?湖北）依据以下样本数据：x345678y 4.0 2.5﹣0.50.5﹣2.0﹣3.0获得了回归方程= x+ ，则（）A．＞0，＜0B．＞0，＞0C．＜0，＜0D．＜0，＞0【剖析】利用公式求出 b， a，即可得出结论．【解答】解：样本均匀数 =5.5， =0.25，∴=﹣24.5，=17.5，∴ b=﹣=﹣1.4，∴a=0.25﹣（﹣ 1.4）?5.5=7.95，应选： A．7．（5 分）（2014?湖北）在以下图的空间直角坐标系O﹣xyz 中，一个四周体的极点坐标分别为（ 0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编为①，②，③，④的四个图，则该四周体的正视图和俯视图分别为（）A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②【剖析】在座标系中，标出已知的四个点，依据三视图的绘图规则，可得结论．【解答】解：在座标系中，标出已知的四个点，依据三视图的绘图规则，可得三棱锥的正视图和俯视图分别为④②，应选： D．8．（ 5 分）（ 2014?湖北）设 a，b 是对于 t 的方程 t2cos θ+tsin θ =0的两个不等实根，则过 A（a，a2），B（b，b2）两点的直线与双曲线的个数为（）A．0B．1C．2﹣=1 的公共点D．3【剖析】求出过A（a，a2），B（b，b2）两点的直线为y=﹣x，联合双曲线的渐近线方程，可得结论．【解答】解：∵ a，b 是对于 t 的方程 t2cos θ+tsin θ =0的两个不等实根，∴a+b=﹣，ab=0，过 A（a，a2），B（b，b2）两点的直线为y﹣a2=（x﹣ a），即y=（b+a）x ﹣ab，即 y=﹣x，∵双曲线﹣=1 的一条渐近线方程为y=﹣x，∴过 A（ a， a2）， B（ b， b2）两点的直线与双曲线个数为 0．﹣=1的公共点的应选： A．9．（5 分）（2014?湖北）已知 f （x）是定义在 R 上的奇函数，当x≥0 时， f（x）=x2﹣3x，则函数g（ x） =f（x）﹣ x+3 的零点的会合为（）A．{ 1，3}B．{ ﹣3，﹣1，1，3}C．{ 2﹣，1，3}D．{ ﹣2﹣，1，3}【剖析】第一依据 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，求出函数在R 上的分析式，再求出 g（x）的分析式，依据函数零点就是方程的解，问题得以解决．【解答】解：∵ f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时， f（x）=x2﹣3x，令 x＜0，则﹣ x＞0，∴f（﹣ x） =x2+3x=﹣f（ x）∴f（x）=﹣x2﹣ 3x，，∴，＜∵g（ x）=f（ x）﹣ x+3，∴ g（ x）=，＜令 g（x） =0，当 x≥0 时， x2﹣ 4x+3=0，解得 x=1，或 x=3，当 x＜0 时，﹣ x2﹣4x+3=0，解得 x=﹣ 2﹣，∴函数 g（x）=f（ x）﹣ x+3 的零点的会合为 { ﹣2﹣，1，3}应选： D．10．（ 5 分）（ 2014?湖北）《算数书》竹简于上世纪八十年月在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学文籍，此中记录有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h，计算其体积 V 的近似公式 V≈L2h，它其实是将圆3，那么，近似公式V≈L2h 相当于将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为锥体积公式中的π近似取为（）A．B．C．D．【剖析】依据近似公式 V≈L2h，成立方程，即可求得结论．【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r，高为 h，则 L=2πr，∴= （ 2πr）2h，∴π= ．应选： B．二、填空题：本大题共7 小题，每题 5 分，共 35 分.11．（ 5 分）（ 2014?湖北）甲、乙两套设施生产的同种类产品共4800 件，采纳分层抽样的方法从中抽取一个容量为80 的样本进行质量检测，若样本中有50件产品由甲设施生产，则乙设施生产的产品总数为1800件．【剖析】依据样本容量为80，可得抽取的比率，再求得样本中由乙设施生产的样本中产品数．产品数，乙设施生产的产品总数 =抽取比率【解答】解：∵样本容量为80，∴抽取的比率为= ，又样本中有 50 件产品由甲设施生产，∴样本中30 件产品由乙设施生产，∴乙设施生产的产品总数为30×60=1800．故答案为： 1800．12．（5 分）（2014?湖北）若向量（，﹣），| =|| ，，则|| = = 13|? =0．【剖析】利用向量模的计算公式、向量垂直与数目积的关系即可得出．【解答】解：设（，），∵向量（，﹣），||=| |，，= x y= 13? =0∴，解得或．∴=（3，1），（﹣ 3，﹣ 1）．∴==（2，4）或（﹣ 4， 2）．∴=．故答案为：．13．（ 5 分）（ 2014?湖北）在△ ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知 A= ，a=1，b=，则B=或．【剖析】利用正弦定理列出关系式，将a，sinA， b的值代入求出sinB 的值，即可确立出 B 的度数．【解答】解：∵在△ ABC中， A= ， a=1，b=，∴由正弦定理=得：sinB===，∵a＜b，∴A＜B，∴B=或．故答案为：或．14．（5 分）（ 2014?湖北）阅读以下图的程序框图，运转相应的程序，若输入n 的值为 4，则输出 S 的值为 40 ．【剖析】由图知，每次进入循环体后，S的值被施加的运算是S=S+2k+k，故由此运算规律进行计算，当 k=5 时不知足条件 k≤4，退出循环，输出 S 的值为 40．【解答】解：由题意，模拟履行程序，可得：n=4， k=1，S=0知足条件 k≤ 4， S=0+21+1=3，k=2知足条件 k≤ 4， S=3+22+2=9，k=3知足条件 k≤ 4， S=9+23+3=20，k=4知足条件 k≤ 4， S=20+24+4=40， k=5不知足条件 k≤4，退出循环，输出S 的值为 40．故答案为： 40．15．（ 5 分）（2014?湖北）以下图，函数y=f（x）的图象由两条射线和三条线段构成，若? x∈R，f（ x）＞f（x﹣ 1），则正实数 a 的取值范围为（ 0，）．【剖析】由已知中的函数图象可得f（ 4a）=a，f（﹣ 4a）=﹣a，若? x∈R，f（ x）＜＞f （x﹣1），则，解不等式可得正实数 a 的取值范围．＜【解答】解：由已知可得： a＞0，且 f（ 4a）=a，f（﹣ 4a）=﹣a，若 ? x∈ R， f（ x）＞ f（x﹣1），＜则，解得 a＜，＜故正实数 a 的取值范围为：（ 0，），故答案为：（ 0，）16．（ 5 分）（2014?湖北）某项研究表示：在考虑行车安全的状况下，某路段车流量 F（单位时间内经过丈量点的车辆数，单位：辆/ 小时）与车流速度v（假设车辆以同样速度v 行驶，单位：米/ 秒）、均匀车长 l（单位：米）的值相关，其公式为 F=．（Ⅰ）假如不限制车型，l=6.05，则最大车流量为1900辆/ 小时；（Ⅱ）假如限制车型， l=5，则最大车流量比（Ⅰ）中的最大车流量增添100 辆/小时．【剖析】（Ⅰ）把 l 带入，分子分母同时除以 v，利用基本不等式求得 F 的最大值．（Ⅱ）把 l 带入，分子分母同时除以 v，利用基本不等式求得 F 的最大值最后于（Ⅰ）中最大值作差即可．【解答】解：（Ⅰ） F==，∵ v+≥2=22，当 v=11 时取最小值，∴ F=≤1900，故最大车流量为： 1900 辆/ 小时；（Ⅱ）F===，∵ v+≥2=20，∴F≤ 2000，2000﹣1900=100（辆 / 小时）故最大车流量比（Ⅰ）中的最大车流量增添100 辆/ 小时．故答案为： 1900，10017．（ 5 分）（ 2014?湖北）已知圆 O：x 2+y2=1和点（﹣，），若定点（，）A2 0 B b0（b≠﹣ 2）和常数λ知足：对圆 O 上随意一点 M ，都有 | MB| =λ|MA| ，则：（Ⅰ） b= ﹣；（Ⅱ）λ=．2+y22222，由题意，【剖析】（Ⅰ）利用 | MB| =λ|MA| ，可得（ x﹣b）λ（x+2） +λ=y 取（ 1， 0）、（﹣ 1，0）分别代入，即可求得b；（Ⅱ）取（ 1，0）、（﹣ 1，0）分别代入，即可求得λ．【解答】解：解法一：设点M（cosθ，sin θ），则由 | MB| =λ| MA| 得（ cosθ﹣ b）22222+sin θ λ[（cosθ+2） +sin θ，即=]222．又由﹣ 2bcosθ+b +1=4λθ λ 对任意θ 都成立，所以cos +5| MB| =λ|MA| 得λ＞0，且 b≠﹣ 2，解得．解法二：（Ⅰ）设 M （x， y），则∵| MB| =λ|MA| ，2 2 2 2 22∴（ x﹣ b） +y =λ（x+2） +λy ，由题意，取（ 1，0）、（﹣ 1， 0）分别代入可得（2 22=λ（﹣ 1+2），∴b=﹣，λ=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知λ=．故答案为：﹣，．三、解答题1﹣b）222λ（1+2），（﹣ 1﹣b）=18．（12 分）（2014?湖北）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间 t（单位： h）的变化近似知足函数关系：f（t ）=10﹣cos t ﹣sin t， t∈[ 0，24）．（Ⅰ）务实验室这天上午8 时的温度；（Ⅱ）务实验室这天的最大温差．【剖析】（Ⅰ）直接依据 f （t ）的分析式求得 f（ 8）的值．（Ⅱ）依据 f （t） =10﹣ 2sin（+t ）， t∈[ 0，24），求得函数 f（t ）获得最大值和最小值，进而获得这天的最大温差．【解答】解：（Ⅰ）∵ f（t ）=10﹣cost ﹣sin t，∈[ 0，）．t24∴ f（8）=10﹣ cos﹣ sin﹣×（﹣）﹣，=10=10故实验室这天上午8 时的温度为 10℃．（Ⅱ）∵ f（t ）=10﹣cost ﹣sin t=10﹣（ +t），∈，）．2sin t[ 024∴＜ + t＜，故当 +t=，即 t=14时，函数（f t ）获得最大值为 10+2=12，当 + t= ，即 t=2 时，函数 f（t）获得最小值为 10﹣2=8，故实验室这天的最大温差为 12﹣8=4℃．19．（ 12 分）（ 2014?湖北）已知等差数列 { a n} 知足： a1=2，且 a1，a2，a5成等比数列．（Ⅰ）求数列 { a n} 的通项公式；（Ⅱ）记 S n为数列 { a n} 的前 n 项和，能否存在正整数n，使得 S n＞60n+800？若存在，求 n 的最小值；若不存在，说明原因．【剖析】（Ⅰ）设出数列的公差，利用等比中项的性质成立等式求得d，则数列的通项公式可得．（Ⅱ）利用（Ⅰ）中数列的通项公式，表示出S n依据 S n＞60n+800，解不等式根据不等式的解集来判断．【解答】解：（Ⅰ）设数列 { a n} 的公差为 d，依题意， 2， 2+d，2+4d 成比数列，故有（ 2+d）2=2（2+4d），化简得 d2﹣4d=0，解得 d=0 或 4，当 d=0 时， a n=2，当 d=4 时， a n=2+（n﹣1）?4=4n﹣2．（Ⅱ）当 a n=2 时， S n=2n，明显 2n＜60n+800，此时不存在正整数 n，使得 S n＞60n+800 成立，当 a﹣时，S n=2，n=4n 2=2n令 2n2＞60n+800，即 n2﹣30n﹣400＞ 0，解得 n＞40，或 n＜﹣ 10（舍去），此时存在正整数n，使得 S n＞60n+800 成立， n 的最小值为 41，综上，当 a n=2 时，不存在知足题意的正整数n，当 a n﹣2时，存在知足题意的正整数n，最小值为41=4n20．（13 分）（2014?湖北）如图，在正方体 ABCD﹣ A1B1C1D1中，E、F、P、Q、M、N分别是棱 AB、 AD、DD1、 BB1、A1B1、 A1D1的中点，求证：（Ⅰ）直线 BC1∥平面 EFPQ；（Ⅱ）直线 AC1⊥平面 PQMN．【剖析】（Ⅰ）要证直线 BC1∥平面 EFPQ，只要证 BC1∥ FP，且 BC1?平面 EFPQ即可，由AD ∥ BC ， FP∥AD 即可证出；111（Ⅱ）要证直线AC1⊥平面PQMN，只要证出MN ⊥ AC1，且PN⊥AC1即可．【解答】证明：（Ⅰ）在正方体 ABCD﹣ A1B1C1D1中，连结 AD1，∵AD1∥BC1，且 F、 P 分别是 AD、 DD1的中点，∴ FP∥AD1，∴ BC1∥FP，又 FP? 平面 EFPQ，且 BC1?平面 EFPQ，∴直线 BC1∥平面 EFPQ；（Ⅱ）连结 AC、BD， B1D1，则 AC⊥BD，∵CC1⊥平面 ABCD，BD? 平面 ABCD，∴CC⊥BD；1又 AC∩ CC1=C，∴ BD⊥平面 ACC1，又 AC1? 平面 ACC1，∴ BD⊥AC1；又∵M、N 分别是A1B1、A1D1的中点，∴MN∥B1D1，又 B1D1∥ BD，∴ MN∥BD，∴MN⊥AC1；又 PN∥ A1D，A1D⊥AD1， C1D1⊥平面 ADD1A1，∴C1D1⊥AD1，且 AD1∩C1D1=D1，∴ A1D⊥平面 AC1D1，∴A1D⊥AC1，∴ PN⊥AC1；又 PN∩ MN=N，∴直线 AC1⊥平面 PQMN．21．（ 14 分）（ 2014?湖北）π 周率， e=2.71828 ⋯自然数的底数．（Ⅰ）求函数 f （x）=的区；3eπeπ3（Ⅱ）求 e ，3 ， e ，π， 3 ，π 6 个数中的最大数与最小数．【剖析】第（Ⅰ）中，先依据分式求法，再解数不等式即可；第（Ⅱ）中，可先将 6 个数分，比各内数的大小后，再比与之的数的大小，而数的大小比，能够考函数xxy=lnx， y=e ，y=π的性．【解答】解：（Ⅰ）函数 f （x）的定域（ 0，+∞）．由 f（ x）=得．当 f ′（x）＞ 0，即 0＜ x＜ e ， f （x）增；当 f ′（x）＜ 0，即 x＞ e ， f （x）减，因此函数 f（ x）的增区（ 0，e），减区（ e，+∞）．（Ⅱ）∵ e＜ 3＜π，∴ eln3＜eln π，πlne＜πln3，e eππ进而有 ln3 ＜ln π，lne ＜ln3．于是，依据函数x xy=lnx，y=e， y=π在定域上增，ee33ππ可得 3 ＜π＜π， e＜e ＜3，3πe3之中．∴ 6 个数的最大数在π与 3 之中，最小数在3与 e由（Ⅰ）知， f（x） =在[ e，+∞）上减，＜＜∴即＜＜＜∴＜得＜＜上可知， 6 个数中的最大数是3π，最小数是 3e．22．（ 14 分）（2014?湖北）在平面直角坐标系xOy 中，点 M 到点 F（1，0）的距离比它到 y 轴的距离多 1，记点 M 的轨迹为 C．（Ⅰ）求轨迹 C 的方程；（Ⅱ）设斜率为 k 的直线 l 过定点 P（﹣ 2，1），求直线 l 与轨迹 C 恰巧有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围．【剖析】（Ⅰ）设出 M 点的坐标，直接由题意列等式，整理后即可获得M 的轨迹 C 的方程；（Ⅱ）设出直线 l 的方程为 y﹣1=k（x+2），和（Ⅰ）中的轨迹方程联立化为对于y 的一元二次方程，求出鉴别式，再在直线y﹣1=k（ x+2）中取y=0 获得．而后分鉴别式小于0、等于 0、大于 0 联合 x0＜0 求解使直线 l 与轨迹 C 恰巧有一个公共点、两个公共点、三个公共点时 k 的相应取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设 M（x，y），依题意得：| MF| =| x|+ 1，即，化简得， y2．=2| x|+ 2x∴点 M 的轨迹 C 的方程为，；，＜（Ⅱ）在点 M 的轨迹 C 中，记 C1： y2（≥）， 2：y=0（x＜0）．=4x x 0C依题意，可设直线 l 的方程为 y﹣1=k（x+2）．由方程组，可得 ky2﹣ 4y+4（2k+1）=0．①当 k=0 时，此时 y=1，把 y=1 代入轨迹 C 的方程，得．故此时直线 l： y=1 与轨迹 C 恰巧有一个公共点（，）．22②当 k≠0 时，方程 ky ﹣ 4y+4（ 2k+1）=0 的鉴别式为△ =﹣16（ 2k +k﹣ 1）．则由 y﹣1=k（x+2），取 y=0 得．若＜，解得 k＜﹣ 1 或 k＞．＜即当 k∈，，时，直线 l 与 C1没有公共点，与 C2有一个公共点，故此时直线 l 与轨迹 C 恰巧有一个公共点．若＜或＞，解得 k=﹣ 1或 k= 或＜．即当 k=﹣ 1或 k= 时，直线 l 与 C1只有一个公共点，与 C2有一个公共点．当＜时，直线l 与 1 有两个公共点，与C2 无公共点．C故当 k=﹣ 1或 k= 或＜时，直线 l 与轨迹 C 恰巧有两个公共点．若＞，解得﹣ 1＜ k＜﹣或 0＜k＜．＜即当﹣ 1＜k＜﹣或 0＜ k＜时，直线 l 与 C1有两个公共点，与 C2有一个公共点．此时直线 l 与 C 恰有三个公共点．综上，当 k∈，，∪{ 0} 时，直线 l 与 C 恰有一个公共点；当 k，∪{ ﹣1，} 时，直线 l 与 C 恰有两个公共点；当 k∈，，时，直线 l 与轨迹 C 恰有三个公共点．。
普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(湖北卷,含答
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（文史类）本试题卷共5页，22题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，集合{1,3,5,6}A =，则U A =ð A ．{1,3,5,6} B ．{2,3,7}C ．{2,4,7}D ． {2,5,7}2．i 为虚数单位，21i ()1i-=+A ．1B ．1-C ．iD ． i -3．命题“x ∀∈R ，2x x ≠”的否定是 A ．x ∀∉R ，2x x ≠ B ．x ∀∈R ，2x x = C ．x ∃∉R ，2x x ≠D ．x ∃∈R ，2x x =4．若变量x ，y 满足约束条件4,2,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥≥⎩则2x y +的最大值是A ．2B ．4C ．7D ．85．随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为1p ，点数之和大于5的概率记为2 p ，点数之和为偶数的概率记为3p ，则 A ．123p p p << B ．213p p p << C ．132p p p << D ．312p p p <<6．根据如下样本数据x 3 4 5 6 7 8 y4.02.50.5-0.52.0-3.0-得到的回归方程为ˆybx a =+，则 A ．0a >，0b < B ．0a >，0b > C ．0a <，0b <D ．0a <，0b >7．在如图所示的空间直角坐标系O-xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，2）， （2，2，0），（1，2，1），（2，2，2）. 给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为A ．①和②B ．③和①C ．④和③D ．④和②8．设,a b 是关于t 的方程2cos sin 0t t θθ+=的两个不等实根，则过2(,)A a a ,2(,)B b b 两点的直线与双曲线22221cos sin x y θθ-=的公共点的个数为A ．0B ．1C ．2D ．3图③ 图①图④图② 第7题图9．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()=3f x x x -. 则函数()()+3g x f x x =- 的零点的集合为A. {1,3}B. {3,1,1,3}--C. {23}-D. {21,3}--10．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也. 又以高乘之，三十六成一. 该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式2136V L h ≈. 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3. 那么，近似公式2275V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为 A ．227B ．258C ．15750D ．355113二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测. 若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为 件.12．若向量(1,3)OA =-u u u r ，||||OA OB =u u u r u u u r ，0OA OB ⋅=u u u r u u u r，则||AB =u u u r.13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 已知π6A =，a =1，b = B = . 14．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n的值为9，则输出S 的值为 .第14题图15．如图所示，函数()y f x =的图象由两条射线和三条线段组成．若x ∀∈R ，()>(1)f x f x -，则正实数a 的取值范围为 ．16．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F （单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时）与车流速度v （假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒）、平均车长l （单位：米）的值有关，其公式为2760001820vF v v l=++.（Ⅰ）如果不限定车型， 6.05l =，则最大车流量为 辆/小时；（Ⅱ）如果限定车型，5l =, 则最大车流量比（Ⅰ）中的最大车流量增加 辆/小时. 17．已知圆22:1O x y +=和点(2,0)A -，若定点(,0)B b (2)b ≠-和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有||||MB MA λ=，则 （Ⅰ）b =； （Ⅱ）λ= .三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本小题满分12分）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系：ππ()10sin 1212f t t t =-，[0,24)t ∈. （Ⅰ）求实验室这一天上午8时的温度； （Ⅱ）求实验室这一天的最大温差.第15题图19．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足：12a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得n S 60800n >+？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由.20．（本小题满分13分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，P ，Q ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，1DD ， 1BB ，11A B ，11A D 的中点. 求证：（Ⅰ）直线1BC ∥平面EFPQ ； （Ⅱ）直线1AC ⊥平面PQMN .21．（本小题满分14分）π为圆周率，e 2.71828=L 为自然对数的底数.（Ⅰ）求函数ln ()xf x x=的单调区间； （Ⅱ）求3e ，e 3，πe ，e π，π3，3π这6个数中的最大数与最小数.22．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点(1,0)F 的距离比它到y 轴的距离多1．记点M 的 轨迹为C .（Ⅰ）求轨迹C 的方程；（Ⅱ）设斜率为k 的直线l 过定点(2,1)P -. 求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围.第20题图2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）试题参考答案一、选择题：1．C 2．B 3．D 4．C 5．C 6．A 7．D 8．A 9．D 10．B 二、填空题：11．1800 12．．π3或2π314．1067 15．1(0)6, 16．（Ⅰ）1900；（Ⅱ）100 17．（Ⅰ）12-；（Ⅱ）12三、解答题：18．（Ⅰ）ππ(8)108sin 81212f =⨯-⨯()()2π2π10sin 33=-110()102=-=.故实验室上午8时的温度为10 ℃.（Ⅱ）因为π1πππ()10sin )=102sin()12212123f t t t t =-+-+， 又024t ≤<，所以πππ7π31233t ≤+<，ππ1sin()1123t -≤+≤. 当2t =时，ππsin()1123t +=；当14t =时，ππsin()1123t +=-. 于是()f t 在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.19．（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，依题意，2，2d +，24d +成等比数列，故有2(2)2(24)d d +=+， 化简得240d d -=，解得0d =或d =4. 当0d =时，2n a =；当d =4时，2(1)442n a n n =+-⋅=-，从而得数列{}n a 的通项公式为2n a =或42n a n =-.（Ⅱ）当2n a =时，2n S n =. 显然260800n n <+，此时不存在正整数n ，使得60800n S n >+成立. 当42n a n =-时，2[2(42)]22n n n S n +-==.令2260800n n >+，即2304000n n -->， 解得40n >或10n <-（舍去），此时存在正整数n ，使得60800n S n >+成立，n 的最小值为41. 综上，当2n a =时，不存在满足题意的n ；当42n a n =-时，存在满足题意的n ，其最小值为41.20．证明：（Ⅰ）连接AD 1，由1111ABCD A B C D -是正方体，知AD 1∥BC 1，因为F ，P 分别是AD ，1DD 的中点，所以FP ∥AD 1. 从而BC 1∥FP .而FP ⊂平面EFPQ ，且1BC ⊄平面EFPQ ，故直线1BC ∥平面EFPQ ．（Ⅱ）如图，连接AC ，BD ，则AC BD ⊥.由1CC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，可得1CC BD ⊥. 又1AC CC C =I ，所以BD ⊥平面1ACC .而1AC ⊂平面1ACC ，所以1BD AC ⊥. 因为M ，N 分别是11A B ，11A D 的中点，所以MN ∥BD ，从而1MN AC ⊥. 同理可证1PN AC ⊥. 又PN MN N =I ，所以直线1AC ⊥平面PQMN .21.（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()∞0,+．因为ln ()x f x x =，所以21ln ()xf x x -'=． 当()0f x '>，即0e x <<时，函数()f x 单调递增； 当()0f x '<，即e x >时，函数()f x 单调递减．故函数()f x 的单调递增区间为(0,e)，单调递减区间为(e,)+∞． （Ⅱ）因为e 3π<<，所以eln3eln π<，πlne πln3<，即e e ln3ln π<，ππln e ln3<．于是根据函数ln y x =，e x y =，πx y =在定义域上单调递增，可得 e e 33ππ<<，3ππe e 3<<．故这6个数的最大数在3π与π3之中，最小数在e 3与3e 之中．第20题解答图QBEM NACD 1C F 1D1A1BP由e 3π<<及（Ⅰ）的结论，得(π)(3)(e)f f f <<，即ln πln3lneπ3e<<． 由ln πln3π3<，得3πln πln3<，所以π33π>； 由ln3ln e3e<，得e 3ln3lne <，所以e 33e <． 综上，6个数中的最大数是π3，最小数是e 3．22．（Ⅰ）设点(,)M x y ，依题意得||||1MF x =+||1x +，化简整理得22(||)y x x =+.故点M 的轨迹C 的方程为24,0,0,0.x x y x ≥⎧=⎨<⎩（Ⅱ）在点M 的轨迹C 中，记1:C 24y x =，2:C 0(0)y x =<.依题意，可设直线l 的方程为1(2).y k x -=+由方程组21(2),4,y k x y x -=+⎧⎨=⎩ 可得244(21)0.ky y k -++= ①（1）当0k =时，此时 1.y = 把1y =代入轨迹C 的方程，得14x =. 故此时直线:1l y =与轨迹C 恰好有一个公共点1(,1)4.（2）当0k ≠时，方程①的判别式为216(21)k k ∆=-+-. ②设直线l 与x 轴的交点为0(,0)x ，则 由1(2)y k x -=+，令0y =，得021k x k+=-. ③ （ⅰ）若00,0,x ∆<⎧⎨<⎩ 由②③解得1k <-，或12k >.即当1(,1)(,)2k ∈-∞-+∞U 时，直线l 与1C 没有公共点，与2C 有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点.（ⅱ）若00,0,x ∆=⎧⎨<⎩ 或00,0,x ∆>⎧⎨≥⎩ 由②③解得1{1,}2k ∈-，或102k -≤<.即当1{1,}2k ∈-时，直线l 与1C 只有一个公共点，与2C 有一个公共点. 当1[,0)2k ∈-时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 没有公共点.故当11[,0){1,}22k ∈--U 时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点.（ⅲ）若00,0,x ∆>⎧⎨<⎩ 由②③解得112k -<<-，或102k <<.即当11(1,)(0,)22k∈--U时，直线l与1C有两个公共点，与2C有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点.综合（1）（2）可知，当1(,1)(,){0}2k∈-∞-+∞U U时，直线l与轨迹C恰好有一个公共点；当11[,0){1,}22k∈--U时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点；当11(1,)(0,)22k∈--U时，直线l与轨迹C恰好有三个公共点.。
2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(湖北卷)
2021年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（湖北卷）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．已知全集，集合，则（ ） A ．B ．C ．D ．2．i 为虚数单位，则=+-2)11(ii （ ） A.1 B.1- C.i D ．i -3．命题“，”的否定是（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，4．若变量、满足约束条件，则的最大值是（ ）A ．2B ．4C ．7D ．85．随机投掷两枚均匀的投骰子，他们向上的点数之和不超过5的概率为，点数之和大于5的概率为，点数之和为偶数的概率为，则（ ） A ．B ．C ．D ．6．根据如下样本数据：得到的回归方程为a bx y+=ˆ，则（ ） A ．0a > ,0<b B ．0a > ,0>b C ．0a < ,0<b D ．0a < ,0>b7．在如图所示的空间直角坐标系xyz O -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）A ．①和②B ．③和① C.④和③ D ．④和②8．设a 、b 是关于t 的方程0sin cos 2=+θθt t 的两个不等实根，则过),(2a a A ，),(2b b B 两点的直线与双曲线1sin cos 2222=-θθy x 的公共点的个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D. 3 9．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()3f x x x =-，则函数()()3g x f x x =-+的零点的集合为（ ）A ．{}1,3B ．{}3,1,1,3--C ．{}27,1,3D ．{}27,1,3-10．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式21.36v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么近似公式2275v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ）A ．227B ．258C ．15750D ．355113二、填空题11．甲、乙两套设备生产的同类产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80 的样本进行检测.若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件. 12．若向量，， 0OA OB ⋅=，则________. 13．在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，，则________．14．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为9，则输出的值为 .15．如图所示，函数的图象由两条射线和三条线段组成.若，，则正实数的取值范围是.16．某项研究表明，在考虑行车安全的情况下，某路段车流量（单位时间内测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度（假设车辆以相同速度行驶，单位：米/秒）平均车长（单位：米）的值有关，其公式为（1）如果不限定车型，，则最大车流量为_______辆/小时；（2）如果限定车型，，则最大车流量比（1）中的最大车流量增加辆/小时. 17．已知圆和点，若定点和常数满足：对圆上那个任意一点，都有，则:（1）；（2）.三、解答题18．某实验室一天的温度（单位：）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系；.（1）求实验室这一天上午8时的温度；（2）求实验室这一天的最大温差.19．已知等差数列}{n a 满足：21=a ，且1a 、2a 、5a 成等比数列. （1）求数列}{n a 的通项公式.（2）记n S 为数列}{n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得?80060+>n S n 若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.20．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，，，，分别是棱AB ，AD ，1DD ，1BB ，11A B ，11A D 的中点.求证：（1）直线1BC ∥平面EFPQ ； （2）直线1AC ∥平面PQMN .21．π为圆周率，⋅⋅⋅=71828.2e 为自然对数的底数. （1）求函数xxx f ln )(=的单调区间； （2）求3e ，e 3，πe ，e π，π3，3π这6个数中的最大数与最小数；（3）将3e ，e 3，πe ，e π，π3，3π这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.22．在平面直角坐标系xOy 中，点到点(1,0)F 的距离比它到y 轴的距离多1，记点的轨迹为.（1）求轨迹为的方程（2）设斜率为的直线l 过定点(2,1)P -，求直线l 与轨迹恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时的相应取值范围.参考答案1．C 【解析】试题分析：依题意，，故选C.考点：补集的运算，容易题. 2．B 【解析】 试题分析：因为122)11(2-=-=+-iii i ，故选B. 考点：复数的运算，容易题. 3．D 【解析】试题分析：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“，”的否定是“，”，故选D.考点：含有一个量词的命题的否定，容易题. 4．C 【解析】试题分析：不等式组表示的平面区域如图的四变形（包括边界），解方程组得点，令，平移直线经过点使得取得最大值，即.选C.考点：不等式组表示的平面区域，求目标函数的最大值，容易题. 5．C 【解析】试题分析：依题意，，，，所以.选C.考点：古典概型公式求概率，容易题. 6．A 【解析】试题分析：依题意，画散点图知，两个变量负相关，所以0<b ，0>a .选A. 考点：根据已知样本数判断线性回归方程中的b 与a 的符号，容易题. 7．D 【解析】试题分析：在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④与俯视图为②，故选D.考点：空间由已知条件，在空间坐标系中作出几何体的形状，正视图与俯视图的面积，容易题. 8．A 【解析】试题分析：依题意，θθθtan cos sin -=-=+b a ，过),(2a a A ，),(2b b B 两点的直线斜率为θtan 22-=+=--=a b ab a b k ，又因为双曲线1sin cos 2222=-θθy x 的渐近线方程为x y ⋅±=θtan ， 所以直线与双曲线无交点，故选A.考点：一元二次方程的根与系数关系，直线的斜率，双曲线的性质，直线与双曲线的位置关系，中等题. 9．D 【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()3f x x x =-，所以223,0()3,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩，所以2243,0()43,0x x x g x x x x ⎧-+≥=⎨--+<⎩，由20430x x x ≥⎧⎨-+=⎩，解得1x =或3x =；由20430x x x <⎧⎨--+=⎩解得2x =--2x =-+，所以函数()()3g x f x x =-+的零点的集合为{}2--. 故选：D.考点：函数的奇偶性的运用，分段函数，函数的零点，一元二次方程的解法，难度中等. 10．B 【解析】试题分析：设圆锥底面圆的半径为，高为，依题意，，，所以，即的近似值为258，故选B. 考点：《算数书》中的近似计算，容易题. 11．1800 【解析】试题分析：由题共有产品4800名，抽取样本为80，则抽取的概率为；801480060P ==，再由50件产品由甲设备生产，则乙设备生产有30件，则乙设备在总体中有；30601800⨯=． 考点：抽样方法的随机性. 12．【解析】试题分析：设，依题意，，解得或，即或（舍去）， 所以，所以.考点：平面向量的数量积，向量的模的求法，容易题. 视频 13．或【解析】试题分析：依题意，由正弦定理知，所以，由于，所以或.考点：正弦定理的运用，容易题. 视频 14．1067 【解析】试题分析：算法的功能是求1222212k S k =+++++++ 的值，根据输入n 的值，确定跳出循环的k 值，利用等比数列、等差数列的前n 项和公式计算输出S 的值． 由程序框图知：算法的功能是求1222212k S k =+++++++ 的值，∥输入n 的值为9，∥跳出循环的k 值为10， ∥输出129222129S =+++++++()91021219922451067122-+=+⨯=-+=-．考点：程序框图． 15．【解析】试题分析：依题意，，解得，即正实数的取值范围是.考点：函数的奇函数图象的的性质、分段函数、最值及恒成立，难度中等. 视频16．（1）1900；（2）100 【解析】试题分析：（1）当时，则，当且仅当即（米/秒）时取等号.（2）当时，则，当且仅当即（米/秒）时取等号，此时最大车流量比（1）中的最大车流量增加100辆/小时.考点：基本不等式的实际运用，难度中等.17．（1）；（2）【解析】试题分析：设，因为，所以，整理得，配方得，因为对圆上那个任意一点，都有成立，所以，解得或（舍去）.故.考点：圆的性质，两点间的距离公式，二元二次方程组的解法，难度中等.18．（1）10；（2）4.【解析】试题分析：（1）把中的自变量用8代替计算即可；（2）利用两个角的和的正弦公式把变成，根据求出的取值范围，确定的取值范围，从而求得在上的最大值与最小值，最大值减去最小值即得最大温差.（1）ππ(8)108sin 81212f ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2π2π10sin 33=-110()1022=--=. 故实验室上午8时的温度为10.（2）因为()π1πππ102sin 102sin()12212123f t t t t ⎫=-+=-+⎪⎪⎝⎭， 又024t ≤<，所以πππ7π31233t ≤+<， ππ1sin()1123t -≤+≤. 当2t =时，；当14t =时， ππsin()1123t +=-. 于是()f t 在[)0,24上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12，最低温度为8，最大温差为4.考点：三角函数的实际运用，两个角的和的正弦公式，三角函数的最值.视频19．（1）2=n a 或24-=n a n .【解析】试题分析：（1）设数列}{n a 的公差为d ，根据d d 42,2,2++成等比数列求得d 的值，从而求得数列}{n a 的通项公式；（2）由（1）中求得的n a ，根据等差数列的求和公式求出n S ，解不等式80060+>n S n 求出满足条件的的n .（1）设数列}{n a 的公差为d ，依题意，d d 42,2,2++成等比数列，所以)42(2)2(2d d +=+，解得0=d 或4=d ， 当0=d 时，2=n a ；当4=d 时，244)1(2-=⨯-+=n n a n ，所以数列}{n a 的通项公式为2=n a 或24-=n a n .（2）当2=n a 时，n S n 2=，显然800602+<n n ，不存在正整数n ，使得80060+>n S n .当24-=n a n 时，222)]24(2[n n n S n =-+=， 令8006022+>n n ，即0400302>--n n ，解得40>n 或10-<n （舍去）此时存在正整数n ，使得80060+>n S n 成立，n 的最小值为41.综上所述，当2=n a 时，不存在正整数n ；当24-=n a n 时，存在正整数n ，使得80060+>n S n 成立，n 的最小值为41. 考点：等差数列、等比数列的性质，等差数列的求和公式.20．（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）由正方体的性质得，当时，证明，由平行于同一条直线的两条直线平行得，根据线面平行的判定定理证明平面；（2）.（1）连接，由1111ABCD A B C D -是正方体，知，因为F ，P 分别是AD ，1DD 的中点，所以. 从而.而FP ⊂平面EFPQ ，且1BC ⊄平面EFPQ ，故直线1BC ∥平面EFPQ .（2）如图，连接AC ，BD ，则AC BD ⊥.由1CC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，可得1CC BD ⊥.又1AC CC C ⋂=，所以BD ⊥平面1ACC .而1AC ⊂平面1ACC ，所以1BD AC ⊥.因为，分别是11A B ，11A D 的中点，所以，从而1MN AC ⊥.同理可证1PN AC ⊥.又PN MN N ⋂=，所以直线1AC ∥平面PQMN .考点：正方体的性质，空间中的线线、线面、面面平行于垂直.21．（1）单调增区间为),0(e ，单调减区间为),(+∞e ；（2）最大数为π3，最小数为e 3；（3）e 3，3e ，e π，πe ，3π，π3.【解析】试题分析：（1）先求函数)(x f 的定义域，用导数法求函数)(x f 的单调区间；（2）利用（1）的结论结合函数根据函数x y ln =、x e y =、x y π=的性质，确定3e ，e 3，πe ，e π，π3，3π这6个数中的最大数与最小数.（1）函数)(x f 的定义域为),0(+∞，因为x x x f ln )(=，所以2ln 1)(xx x f -='， 当0)(>'x f ，即e x <<0时，函数)(x f 单调递增；当0)(<'x f ，即e x >时，函数)(x f 单调递减；故函数)(x f 的单调增区间为),0(e ，单调减区间为),(+∞e .（2）因为π<<3e ，所以πln 3ln e e <，3ln ln ππ<e ，即e e πln 3ln <，ππ3ln ln <e ，于是根据函数x y ln =、x e y =、x y π=在定义域上单调递增，所以33ππ<<e e ，ππ33<<e e ，故这6个数的最大数在3π与π3之中，最小数在e 3与3e 之中，由π<<3e 及（1）的结论得)()3()(e f f f <<π，即ee ln 33ln ln <<ππ， 由33ln ln <ππ得ππ3ln ln 3<，所以33ππ>， 由e e ln 33ln <得3ln 3ln e e <，所以33e e <，综上，6个数中的最大数为π3，最小数为e3.考点：导数法求函数的单调性、单调区间，对数函数的性质，比较大小.k=时直线与轨迹恰有一个22．（1）；（2）当或0公共点；当时，故此时直线与轨迹恰有两个公共点；当时，故此时直线与轨迹恰有三个公共点.【分析】（1）设点，根据条件列出等式，在用两点间的距离公式表示，化简整理即得；（2）在点的轨迹中，记，，设直线的方程为，联立方程组整理得，分类讨论∥时；∥ ；∥ 或；∥ ，确定直线与轨迹的公共点的个数.【详解】（1）设点，依题意，，即，整理的，所以点的轨迹的方程为.（2）在点的轨迹中，记，，依题意，设直线的方程为，由方程组得∥当时，此时，把代入轨迹的方程得，所以此时直线与轨迹恰有一个公共点.当时，方程∥的判别式为∥设直线与轴的交点为，则由，令，得∥（∥）若，由∥∥解得或.即当时，直线与没有公共点，与有一个公共点，故此时直线与轨迹恰有一个公共点.（∥）若或，由∥∥解得或，即当时，直线与有一个共点，与有一个公共点.当时，直线与有两个共点，与没有公共点.故当时，故此时直线与轨迹恰有两个公共点.（∥）若，由∥∥解得或，即当时，直线与有两个共点，与有一个公共点.故当时，故此时直线与轨迹恰有三个公共点.k 时直线与轨迹恰有一个公共点；综上所述，当或0当时，故此时直线与轨迹恰有两个公共点；当时，故此时直线与轨迹恰有三个公共点.。
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2014年湖北省高考文科数学
试题及参考答案
本试题卷共5页，22题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．已知全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，集合{1,3,5,6}A =，则A C U A ．{1,3,5,6} B ．{2,3,7}
C ．{2,4,7}
D ． {2,5,7}
2．i 为虚数单位，2
1i ()1i -=+
A ．1
B ．1-
C ．i
D ． i -
3．命题“x ∀∈R ，2x x ≠”的否定是 A ．x ∀∉R ，2x x ≠ B ．x ∀∈R ，2x x = C ．x ∃∉R ，2x x ≠
D ．x ∃∈R ，2x x =
4．若变量x ，y 满足约束条件4,2,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪
-≤⎨⎪≥≥⎩
则2x y +的最大值是
A ．2
B ．4
C ．7
D ．8
5．随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为1p ，点数之和大于5的概率记为2 p ，点数之和为偶数的概率记为3p ，则 A ．123p p p << B ．213p p p << C ．132p p p << D ．312p p p <<
6．根据如下样本数据
得到的回归方程为ˆy
bx a =+，则 A ．0a >，0b < B ．0a >，0b > C ．0a <，0b < D ．0a <，0b >
7．在如图所示的空间直角坐标系O-xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，2）， （2，2，0），（1，2，1），（2，2，2）. 给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为
A ．①和②
B ．③和①
C ．④和③
D ．④和②
8．设,a b 是关于t 的方程2cos sin 0t t θθ+=的两个不等实根，则过2(,)A a a ,2(,)B b b 两点的
直线与双曲线22
221cos sin x y θθ
-=的公共点的个数为
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
9．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()=3f x x x -. 则函数()()+3g x f x x =- 的零点的集合为
A. {1,3}
B. {3,1,1,3}--
C. {23}
D. {21,3}-
10．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有
系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也. 又以高乘之，三十六成一. 该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式
2
136
V L h ≈. 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为 3. 那么，近似公式2
275V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为 A ．227
B ．
25
8
C ．
157
50
D ．
355
113
图① 图①
图④
图②
第7题图
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．
的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.
11．甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量
为80的样本进行质量检测. 若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为 件.
12．若向量)3,1(-=OA ，||||OB OA =，0=⋅，则=||AB . 13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 已知π
6
A =
，a =1
，b B = .
14．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n 的值为9，则输
出S 的值为 .
15．如图所示，函数()y f x =的图象由两条射线和三条线段组成．
若x ∀∈R ，()>(1)f x f x -，则正实数a 的取值范围为 ．
16．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F （单位时间内经过测量点的 车辆数，单位：辆/小时）与车流速度v （假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒）、 平均车长l （单位：米）的值有关，其公式为2760001820v
F v v l
=
++.
（Ⅰ）如果不限定车型， 6.05l =，则最大车流量为 辆/小时；
（Ⅱ）如果限定车型，5l =, 则最大车流量比（Ⅰ）中的最大车流量增加 辆/小时. 17．已知圆22:1O x y +=和点(2,0)A -，若定点(,0)B b (2)b ≠-和常数λ满足：对圆O 上任
意一点M ，都有||||MB MA λ=，则 （Ⅰ）b = ； （Ⅱ）λ= .
第14题图
第15题图
三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本小题满分12分）
某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：
ππ
()10sin
1212
f t t t
=-，[0,24)
t∈.
（Ⅰ）求实验室这一天上午8时的温度；（Ⅱ）求实验室这一天的最大温差.
19．（本小题满分12分）
已知等差数列{}
n
a满足：
1
2
a=，且
1
a，
2
a，
5
a成等比数列.
（Ⅰ）求数列{}
n
a的通项公式；
（Ⅱ）记
n
S为数列{}
n
a的前n项和，是否存在正整数n，使得
n
S60800
n
>+？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由.
20．（本小题满分13分）
如图，在正方体
1111
ABCD A B C D
-中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，
1
DD，1
BB，
11
A B，
11
A D的中点. 求证：
（Ⅰ）直线
1
BC∥平面EFPQ；
（Ⅱ）直线
1
AC⊥平面PQMN.
21．（本小题满分14分）
π为圆周率，
71828
.2
=
e为自然对数的底数.
（Ⅰ）求函数
ln
()
x
f x
x
=的单调区间；
（Ⅱ）求3e，e3，πe，eπ，π3，3π这6个数中的最大数与最小数.
22．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy中，点M到点(1,0)
F的距离比它到y轴的距离多1．记点M的轨迹为C.
（Ⅰ）求轨迹C的方程；
（Ⅱ）设斜率为k的直线l过定点(2,1)
P-. 求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.
第20题图。