黑龙江省哈尔滨市重点高中2020届高三第二次模拟考试(5月)数学 (文)试题-1
黑龙江省哈尔滨三中2020届高三高考数学(文科)五模试题
绝密★启用前 黑龙江省哈尔滨三中2020届高三高考数学（文科）五模试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．已知复数()()23z i a i =+-是纯虚数，则实数a =（ ） A ．32- B ．32 C ．3- D ．3 2．已知向量()2,3a =-，()3,b m =且a b ，则m =（ ） A ．2- B ．2 C ．92- D ．92 3．已知集合{}12,A x x x Z =-≤≤∈，集合{}0B x x =>，则集合A B 的子集个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．设2log 3a =，13log 2b =，20.4c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．a c b >> D ．c a b >> 5．设公比为3的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31S =，则456a a a ++=（ ） A ．3 B ．9 C ．27 D ．81 6．某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是边长分别为1和2的矩形，俯视图为半径为1的四分之一个圆，则该几何体的体积为（ ）………装…………○…………○……请※※不※※要※※在※※装※※………装…………○…………○……A．13πB．12πC．23πD．π7．若圆221:4C x y+=与圆222:680C x y x y m+--+=外切，则实数m的值是（）A．24-B．16-C．24 D．168．若0a>，0b>，则“1≥ab”是“2a b+≥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，就是现在我们熟悉的“进位制”，下图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（）A．27B．42C．55D．21010．已知函数()π4f x x⎛⎫=+⎪⎝⎭，()()1f x f x'=，()()21f x f x'=，()()32f x f x'=，…，依此类推，2020π4f⎛⎫=⎪⎝⎭（）A B．C．0 D．11．正方体1111ABCD A B C D-的棱长为2，E是棱1DD的中点，则平面1AC E截该正方体所得的截面面积为（）○…………外○…………内12．已知点P 在直线1y x =-上，点Q 在曲线22x y =上，则PQ 的最小值为（ ） A ．14 B ．18 C ．2 D ．4 第II 卷（非选择题） 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题13．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率2e =，则其渐近线的方程为 _________ 14．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 5+a 7＝6，则S 11＝_____． 15．若在不等式221x y +≤所表示的平面区域内随机投一点P ，则该点P 落在不等式组11x y x y ⎧-≤⎪⎨+≤⎪⎩所表示的平面区域内的概率为______. 16．函数()()f x x R ∈为奇函数，当0x >时，()()l 0n x f x f x x '⋅+<，则不等式()0f x >的解集为______. 三、解答题 17．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．满足22cos c a b A =+． （1）求B ； （2）若5a c +=，3b =，求ABC 的面积． 18．如图①，在平面五边形ABCDE 中，ABCD 是梯形，//AD BC ，290AD BC AB ABC ===∠=︒， ADE 是等边三角形．现将ADE 沿AD 折起，连接,EB EC 得如图②的几何体．………○…………※※题※※………○…………20．已知函数()()2x f x x a R e a =-∈. （1）当1a =时，证明：0x ≥时，()1f x ≤-；（2）若对任意0x ≥，均有()0f x ≤成立，求a 的取值范围. 21．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点F 是椭圆22143x y +=的一个焦点. （1）求抛物线C 的方程； （2）设P ，M ，N 为抛物线C 上的不同三点，点()1,2P ，且PM PN ⊥.求证：直线MN 过定点. 22．在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0a π≤<），以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=． （1）求曲线C 的直角坐标方程，直线l 在x 轴正半轴及y 轴正半轴上的截距相等时的直角坐标方程； （2）若3πα=，设直线l 与曲线C 交于不同的两点,A B ，点()1,1P ，求11||||PA PB -的值． 23．已知函数()=-++f x x a x b ，()0,0a b >>. （1）当1a =，3b =时，求不等式()6f x <的解集； （2）若()f x 的最小值为2，求证：11111a b +≥++.参考答案1．A【解析】【分析】利用复数乘法运算化简z ，再根据z 为纯虚数，求得a 的值.【详解】依题意()236z a a i =++-为纯虚数， 所以2303602a a a +=⎧⇒=-⎨-≠⎩. 故选：A【点睛】本小题主要考查复数的乘法运算，考查纯虚数的概念，属于基础题.2．C【解析】【分析】由向量平行的坐标公式，即可求得.【详解】a b ，(2,3)a =-，(3,)b m =，∴290m --=，解得92m =-， 故选：C.【点睛】本题考查向量平行的坐标公式，属于基础题.一般地，如果11,ax y ，()22,b x y =，若a b ，则12210x y x y -=.3．D【解析】【分析】先求得A B ，由此求得集合A B 的子集个数.【详解】依题意{}1,0,1,2A =-，{}0B x x =>，所以{}1,2AB =，共有2个元素，故集合A B的子集个数为224=个.故选：D【点睛】 本小题主要考查交集的概念和运算，考查集合子集个数，属于基础题.4．C【解析】【分析】由题意结合对数函数的单调性和指数函数的单调性与中间量0和1比较大小，即可确定a ，b ，c 的大小关系.【详解】解：因为函数2log y x =在(0,)+∞上单调递增，且23<，所以22log 2log 3<，即21log 3<，所以1a >， 因为函数13log y x =在(0,)+∞上单调递减，且21>， 所以1133log 2log 10<=，即0b <， 因为函数0.4xy =在R 上单调递减，且20>，所以2000.40.41<<=，即01c <<，所以a c b >>，故选：C【点睛】此题考查的是对数式和指数式比较大小，通常利用对数函数和指数函数的单调性找中间量0或1比较大小，属于基础题.5．C【解析】【分析】先利用公比为3及31S =解出首项1a ，再求解456a a a ++.【详解】()()331131131113a q a S q --===--,解得1113a =， 则()()34534545611+=3+3+32713a a a a q q q++=⋅+⨯=. 故选：C.【点睛】 本题考查等比数列的通项公式、前n 项和公式的运用，比较简单.解答时得出基本量1a 及公比q 是关键.6．B【解析】【分析】由三视图判断出几何体的结构，由此计算出几何体的体积.【详解】由三视图可知，该几何体是圆柱的四分之一， 所以体积为211242ππ⨯⨯⨯=. 故选：B【点睛】本小题主要考查根据三视图求几何体的体积，属于基础题.7．D【解析】【分析】首先求出两圆圆心坐标与半径，两圆相外切，则圆心距等于半径和，即可求出参数的值；【详解】解：圆221:4C x y +=的圆心为()0,0，半径为2；圆222:680C x y x y m +--+=的圆心为()3,45=.由于两个圆外切，所以25=，解得16m =. 故选：D【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系及其判定，属于基础题．8．A【解析】【分析】0a >，0b >，利用基本不等式的性质可得：a b +≥，可由1≥ab ，得出2a b +≥.反之不成立，从而得到结果.【详解】0a >，0b >，∴a b +≥，若1≥ab ，则2a b +≥.反之不成立，例如取5a =，110b =. ∴“1≥ab ”是“2a b +≥”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件，在解题的过程中，注意不成立的可以举反例得到结果，属于基础题目9．B【解析】【分析】根据题意可得孩子已经出生天数的五进制数为()5132，化为十进制数即可得出结果.【详解】由题意可知，孩子已经出生的天数的五进制数为()5132，化为十进制数为()251321535242=⨯+⨯+=.故选：B. 【点睛】本题考查五进制数化为十进制数，考查计算能力，属于基础题. 10．A 【解析】 【分析】结合函数导数的求解，求出()1f x ，()2f x ，()3f x ，()4f x ，()5f x ，…，找出规律，即可求出()20204f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，继而可求出2020π4f ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【详解】解：()()14f f x x x π⎛⎫'==+ ⎪⎝⎭，()()214x f x f x π⎛⎫+ ⎪⎝'=⎭=，()()324x f x f x π⎛⎫+ ⎪⎝'=⎭=，()()434f x x f x π⎛⎫+== ⎝'⎪⎭，()()544f x x f x π⎛⎫+== ⎝'⎪⎭，…，由20204505=⨯，得()()420204f x f x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，则2020π42f π⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选:A. 【点睛】本题考查了导数的求解.本题的关键是找出函数解析式的规律. 11．B 【解析】 【分析】作出示意图，设F 为1BB 的中点，连接1,,AF FC EF ，易得平面1AC E 截该正方体所得的截面为1AFC E ，再计算其面积. 【详解】如图所示，设F 为1BB 的中点，连接1,AF FC ，设G 为1CC 的中点，连接,EG GB ，由//EG AB 且EG AB =，得ABGE 是平行四边形，则//AE BG 且AE BG =， 又1//BG C F 且1BG C F =，得1//AE C F 且1AE C F =，则1,,,A E C F 共面， 故平面1AC E 截该正方体所得的截面为1AFC E .又11AF FC EC EA ===，1AC =EF =1EF AC ⊥，故1AFC E 的面积为12S =⨯=故选：B. 【点睛】本题考查了正方体中线面位置关系，截面问题，属于中档题 12．D 【解析】 【分析】设与直线1y x =-平行的直线l 的方程为y x m =+，当直线l 与曲线22x y =相切，且点Q为切点时，,P Q 两点间的距离最小，根据导数的几何意义求出直线l 的方程，再利用平行线间的距离公式即可求出结果． 【详解】设与直线1y x =-平行的直线l 的方程为y x m =+，∴当直线l 与曲线22x y =相切，且点Q 为切点时，,P Q 两点间的距离最小， 设切点()00,Q x y ，22122x y y x =⇔=，所以y x '=，01x ∴=，012y ∴=， ∴点11,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴直线l 的方程为12y x =-， ,P Q ∴两点间距离的最小值为平行线12y x =-和1y x =-间的距离，,P Q ∴两点间距离的最小值为4=.故选：D ． 【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 13．y = 【解析】双曲线的方程是()222210,0x y a b a b-=>>，∴双曲线渐近线为b y x a =±，又离心率为2ce a==，可得2c a =，224c a ∴=，即2224a b a +=，可得b =，由此可得双曲线渐近线为y =，故答案为y =. 14．33 【解析】 【分析】 由题得1111111()2S a a =+，再利用等差数列的性质解答. 【详解】 由题得1111157111111()()633222S a a a a =+=+=⨯=. 故答案为：33. 【点睛】本题主要等差数列的前n 项和的计算，考查等差数列的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 15．2π【解析】 【分析】画出不等式221x y +≤和不等式组11x y x y ⎧-≤⎪⎨+≤⎪⎩所表示的平面区域，根据几何概型概率计算公式，计算出所求概率. 【详解】不等式221x y +≤表示单位圆的圆上和圆内；不等式组11x y x y ⎧-≤⎪⎨+≤⎪⎩等价于1111x y x y x y x y -≥-⎧⎪-≤⎪⎨+≥-⎪⎪+≤⎩. 画出不等式221x y +≤和不等式组11x y x y ⎧-≤⎪⎨+≤⎪⎩所表示的平面区域如下图所示，=2=.所以所求的概率为2221ππ=⨯. 故答案为：2π【点睛】本小题主要考查几何概型概率计算，属于中档题.16．(),0-∞ 【解析】 【分析】构造函数()()ln F x f x x =⋅，根据已知条件判断()F x 的奇偶性和单调性，结合()F x 的图象求得不等式()0f x >的解集. 【详解】构造函数()()()ln 0F x f x x x =⋅≠，由于()()()ln F x f x x F x -=-⋅=-，所以()F x 为奇函数.当0x >时，()()ln F x f x x =⋅，()()()''ln 0f x F x f x x x=⋅+<，()F x 为减函数，则()F x 在(),0-∞为减函数.由于()()()()11ln10,110F f F F =⋅=-=-=，由此画出()F x 的大致图象如下图所示，将1x =代入()()l 0n x f x f x x'⋅+<得()10f <，所以()()110f f -=->. 结合表格可知，当0x <时()0f x >. 所以不等式()0f x >的解集为(),0-∞. 故答案为：(),0-∞【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.17．(1)3B π=；. 【解析】 【分析】(1)利用正弦定理把已知等式中的边转化成角的正弦， 整理可求得cos B 的值，进而求得B 的值；(2)由余弦定理及已知中的a c +的值，整理可求得ac 的值，进而利用三角形面积公式，即可求解. 【详解】 解：(1)由题意： 因为正弦定理：sin sin sin a b cA B C==， 所以对于22cos c a b A =+， 有2sin sin 2sin cos C A B A =+，[]2sin ()sin 2sin cos A B A B A π∴-+=+整理得：2sin cos sin ,0,sin 0A B A A A π=<<∴≠,1cos 2B ∴=，在ABC 中，∴0B π<<，故3B π= .(2)由(1)及题意可得：22222cos ()3b a c ac B a c ac =+-=+-16325916,3ac ac =-=∴=∴1116sin 223ABCSac B ==⨯=，所以ABC 的面积为3. 【点睛】本题主要考查三角恒等变换、正弦定理及余弦定理的应用，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于中档题.18．（1）证明见解析；（2）3. 【解析】 【分析】（1）取AE 的中点为F ，连接,FM BF ，可证四边形BCMF 为平行四边形，从而可证//CM 平面ABE .（2）取AD 的中点为G ，连接EG ，可证EG ⊥平面ABCD ，从而可求E ABCD V -. 【详解】（1）取AE 的中点为F ，连接,FM BF . 因为,EM MD EF FA ==，故1//,2FM AD FM AD =. 又在直角梯形ABCD 中，1//,2BC AD BC AD =，故//,BC FM BC FM =， 故四边形BCMF 为平行四边形，故//CM BF .因为CM ⊄平面ABE ，BF ⊂平面ABE ，故//CM 平面ABE .（2）取AD 的中点为G ，连接EG . 因为AED 为等边三角形，故EG AD ⊥. 因为平面ADE ⊥平面ABCD ，平面ADE 平面ABCD AD =，EG ⊂平面ADE ，故EG ⊥平面ABCD .又梯形ABCD 为直角梯形，其面积为12=，而2EG ==1332E ABCD V -=⨯=. 【点睛】本题考查线面平行的证明以及四棱锥体积计算，前者关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，后者关键是棱锥的高，本题属于基础题.19．（1）22⨯列联表答案见解析，在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以44岁为分界点的不同人群对“房产限购年龄政策”的支持度有差异；（2）37. 【解析】 【分析】（1）由统计数据填写列联表，计算2K 的值，对照临界值得出结论；（2）利用分层抽样法计算抽取的人数，利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值. 【详解】（1）由统计数据填22⨯列联表如下：计算观测值()22100355451525 6.25 3.841505080204K ⨯⨯-⨯===>⨯⨯⨯，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以44岁为分界点的不同人群对“房产限购年龄政策”的支持度有差异；（2）由题意可知不支持“房产限购”的人44岁以下有15人，44岁及以上有5人，按分层抽样的方法抽取8人，其中44岁以下抽取6人，用1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，6a 表示44岁及以上抽取2人分别用1b ，2b 表示，设“抽到的2人中恰有1人是44岁以下”为事件A 从这8人中抽取2人所有可能出现的结果有：()12,a a ，()13,a a ，()14,a a ，()15,a a ，()16,a a ，()11,a b ，()12,a b ， ()23,a a ，()24,a a ，()25,a a ，()26,a a ，()21,a b ，()22,a b ， ()34,a a ，()35,a a ，()36,a a ，()31,a b ，()32,a b ，()45,a a ，()46,a a ，()41,a b ，()42,a b ，()56,a a ，()51,a b ，()52,a b ，()61,a b ，()62,a b ，()12,b b 共28种抽取的2人中恰有1人44岁以下的结果有：()11,a b ，()12,a b ，()21,a b ，()22,a b ，()31,a b ，()32,a b ，()41,a b ，()42,a b ，()51,a b ，()52,a b ，()61,a b ，()62,a b ，共12种所以()37P A =，抽取“抽到的2人中恰有1人是44岁以下”的概率为37【点睛】此题考查了列联表与独立性检验的问题，考查了用列举法求古典概型的概率问题，属于基础题.20．（1）证明见解析；（2）24,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】 【分析】（1）令()()2xh x f x x e '==-，可得()2'=-x h x e ，得到函数()2'=-x h x e 在[)0,+∞存在唯一零点0ln 2x =，进而得出()h x 的单调性与最值，即可求解.（2）根据题意，转化为2x x a e ≥恒成立，设函数()2x x g x e=，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解. 【详解】（1）当1a =时，函数()()2xx x a R f e =-∈，则令()()2xh x f x x e '==-，可得()2'=-x h x e ，由于()2'=-x h x e 在[)0,+∞上单调递减， 令()0h x '=，即20x e -=，解得0ln 2x =，即函数()2'=-x h x e 在[)0,+∞存在唯一零点0ln 2x =， 可得函数()h x 满足：所以[)0,x ∈+∞时，()()ln 22220h x h n ≤=-<，即()0f x '<恒成立， 所以()f x 为[)0,+∞上的减函数， 当0x ≥时，()()01f x f ≤=-，证毕.（2）由对任意0x ≥，均有()0f x ≤成立，等价于2x x a e≥恒成立， 设函数()2x x g x e=，[)0,x ∈+∞，则()()2x e x x x g -'=， 可得函数()g x ：所以()()max 242g x g e ==，可得()max a x g ≥，所以24a e ≥， 实数a 的取值范围是24,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】 本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题和不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．21．（1）24y x =；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）椭圆22143x y +=的焦点为()1,0±，由题意可知12p =，由此即可求出抛物线的方程； （2）设直线MN 的方程为x my n =+，与抛物线联立得，可得211244y y y y m n ==-+，，再根据PM PN ⊥，可得0PM PN ⋅=，列出方程代入211244y y y y m n ==-+，，化简可得2264850n n m m ---+=，再因式分解可得25n m =+或21n m =-+，再代入方程进行检验，即可求出结果.【详解】（1）因为椭圆22143x y +=的焦点为()1,0±， 依题意，12p =，2p =，所以C ：24y x = （2）设直线MN 的方程为x my n =+，与抛物线联立得2440y my n --=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则211244y y y y m n ==-+，，由PM PN ⊥，则0PM PN ⋅=，即()()11221,21,20x y x y --⋅--=，所以()()()()121211+220x x y y ----=即()()()()121211+220my n my n y y +-+---=，整理得到()()()()22121212+140m y y mn m y y n ++--+-+=， 所以()()()224142+140n m m mn m n -++---+=， 化简得2264850n n m m ---+=即()()22341n m -=-，解得25n m =+或21n m =-+.当25n m =+时，直线MN 的方程为25x my m =++，即为()52x m y -=+，即直线过定点()5,2-；当21n m =-+时，直线MN 的方程为21x my m ，即为()12x m y -=-，即直线过定点()1,2，此时与点P 重合，故应舍去，所以直线MN 过定点()5,2-.【点睛】本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22．（1）24y x =，2y x =-+；（2.【解析】【分析】（1）将2sin 4cos ρθθ=两边同乘以ρ，利用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可求曲线C 的直角坐标方程，再求出直线的斜率后可求其直线方程.（2）利用直线参数方程中t 的几何意义可求11||||PA PB -的值. 【详解】（1）将2sin 4cos ρθθ=两边同乘以ρ，则22sin 4cos ρθρθ=， 故24y x =，所以曲线C 的直角坐标方程为24y x =.当直线l 在x 轴正半轴及y 轴正半轴上的截距相等时，直线的斜率为1-， 因直线过()1,1，故此时直线方程为2y x =-+. （2）因为3πα=，故直线l的参数方程为11212x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，设1122,,1111112222,A t t B +++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+， 将直线l 的参数方程代入24y x =得)232304t t +-=.又12,t t为该方程的两个异号根，且(121242,43t t t t +==-. 又121211||||t t PA PB t t -=+，故11||||PA PB =-. 【点睛】极坐标方程转化为直角坐标方程，关键是cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，直线的参数方程有很多种，如果直线的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩ （其中t 为参数，α为直线的倾斜角），注意t 表示直线上的点(),P x y 到()00,P x y 的距离，我们常利用这个几何意义计算直线上线段的长度和、差、积等．23．（1）()4,2-；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用零点分界法即可求解.（2）利用绝对值三角不等式可得2a b +=，然后由()111111111411a b a b a b ⎛⎫+=++++ ⎪++++⎝⎭，利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）依题意136x x -++<，当1x ≥时，136x x -++<，解得2x <，即12x ≤<，当31x -≤<时，136x x -++<，解得46<成立，即31x -≤<， 当3x <-时，136x x ---<，解得4x >-，即43x -<<-， 综上所述，不等式的解集为()4,2-.（2）()()()f x x a x b x a x b a b a b =-++≥--+=--=+， 所以2a b +=()11111111112111411411b a a b a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫+=++++=++≥ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭. 当且仅当1a b ==时，取等号.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法、基本不等式证明不等式，属于基础题.。
2020届黑龙江省哈尔滨市第九中学高三5月第二次模拟考试文科数学试题(wd无答案)
2020届黑龙江省哈尔滨市第九中学高三5月第二次模拟考试文科数学试题一、单选题(★) 1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★) 2. 已知复数满足则（）A．B．C．D．(★) 3. 设非零向量满足，，则与的夹角为（）A．150°B．120°C．60°D．30°(★★★) 4. 4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数学之和为偶数的概率是（）A．B．C．D．(★★) 5. 平面∥ 平面的一个充分条件是（）A．存在一条直线，∥，∥B．存在一条直线，⊂，∥C．存在两条平行直线，，⊂，⊂，∥，∥D．存在两条异面直线，，⊂，⊂，∥，∥(★) 6. 函数图象中最近的对称中心与对称轴间的距离为（）A．B．C．D．(★★) 7. 双曲线的两条渐近线与直线围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（）A．B．C．D．(★★★) 8. 若，，则的值是（）A．B．C．D．(★★) 9. 甲、乙、丙三人中，一人是律师，一人是医生，一人是记者．已知丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小，根据以上情况，下列判断正确的是（）A．甲是律师，乙是医生，丙是记者B．甲是医生，乙是记者，丙是律师C．甲是医生，乙是律师，丙是记者D．甲是记者，乙是医生，丙是律师(★★★) 10. 过椭圆的左顶点A的斜率为的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在轴上的射影恰好为右焦点F，若则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．(★★★) 11. 已知空间几何体是由圆柱切割而成的阴影部分构成，其中，为下底面圆直径的两个端点，，为上底面圆直径的两个端点，且，圆柱底面半径是1，高是2，则空间几何体可以无缝的穿过下列哪个图形（）A．椭圆B．等腰直角三角形C．正三角形D．正方形(★★★)12. 有限数列为其前项和，定义为的“凯森和”，如有504项的数列的“凯森和”为2020，则有505项的数列的“凯森和”为（）A．2014B．2016C．2018D．2020二、填空题(★) 13. 已知是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，______．(★) 14. 已知函数，则______．(★) 15. 抛物线的焦点恰好为双曲线的上焦点，则______．三、双空题(★★★) 16. 在中，，，所对的边分别为，，且满足，，则_____，若，则的面积______．四、解答题(★★★) 17. 如图，正三棱柱的底面边长为，点在边上，是以点为直角顶点的等腰直角三角形．（1）求证：点 为 边的中点； （2）求点 到平面的距离． (★★) 18. 等比数列{}的前n 项和为，已知,,成等差数列（1）求{ }的公比q ；（2）求 －＝3，求(★) 19. 某车间 名工人年龄数据如下表：年龄（岁）工人数（人）合计（1）求这名工人年龄的众数与极差；（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这 名工人年龄的茎叶图；（3）求这名工人年龄的方差.(★★★) 20. 设 O为坐标原点，动点 M在椭圆 C 上，过 M作 x轴的垂线，垂足为N，点 P满足.（1）求点 P的轨迹方程；（2）设点在直线上，且.证明：过点 P且垂直于 OQ的直线过 C的左焦点 F.(★★★★) 21. 已知函数，.（Ⅰ）求函数的极值；（Ⅱ）若实数为整数，且对任意的时，都有恒成立，求实数的最小值.(★★★) 22. 已知曲线C ：（t为参数）， C ：（为参数）．（1）化C ，C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C 上的点P对应的参数为，Q为C 上的动点，求中点到直线（t为参数）距离的最小值．(★★★) 23. 若，，，，求证：．。
2020年黑龙江省哈尔滨市高考数学模拟试卷(文科)(5月份) (解析版)
2020年黑龙江省哈尔滨市高考数学模拟试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|0≤x≤5}，B＝{x∈N*|x﹣1≤2}，则A∩B＝（）A．{x|1≤x≤3}B．{x|0≤x≤3}C．{0，1，2，3}D．{1，2，3}2．已知复数z＝+2i，则|z|＝（）A．B．2C．D．3．向量，，在正方形网格中的位置如图所示．若向量λ与共线，则实数λ＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．24．设x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．0B．C．D．25．已知双曲线x2﹣＝1的一个焦点到它的一条渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．3D．46．已知函数f（x）＝sin4x﹣cos4x，则下列说法正确的是（）A．f（x）的最小正周期为2πB．f（x）的最大值为2C．f（x）的图象关于y轴对称D．f（x）在区间[，]上单调递减7．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该作完（开始善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的底转变，该作中有题为“李白沽酒”“李白街上走，提壶去买酒．遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒．借问此壶中，原有多少酒？”，如图为该问题的程序框图，若输出的S值为0，则开始输入的S值为（）A．B．C．D．8．设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a9．我国明代著名乐律学家、明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个c键到下一个c1键的8个白键与5个黑键（如图）的音频恰成一个公比为的等比数列的原理，也即高音c1的频率正好是中音c的2倍．已知标准音a1的频率为440Hz，那么频率为220Hz的音名是（）A．d B．f C．e D．#d10．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点Q是线段D1C1的中点，点P在线段AA1上，且AP＝2A1P，则异面直线PQ与AB所成角的余弦值为（）A．B．C．﹣D．11．把方程表示的曲线作为函数y＝f（x）的图象，则下列结论正确的是（）①f（x）在R上单调递减②y＝f（x）的图象关于原点对称③y＝f（x）的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为3④函数g（x）＝4f（x）+3x不存在零点A．①③B．①②③C．①③④D．①②③④12．设实数m＞0，若对任意的正实数x，不等式恒成立，则m的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若钝角θ满足3tan2θ＝8tanθ，则＝．14．已知f（x）＝xln（ax），则与曲线y＝f（x）切于点（1，0）处的切线方程为．15．等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，若，则＝．16．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线C上的两个动点，若x1+x2+2＝2|MN|，则∠MFN的最大值为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．2022年北京冬奥运动会即第24届冬季奥林匹克运动会将在2022年2月4日至2月20日在北京和张家口举行，某研究机构为了了解大学生对冰壶运动的兴趣，随机从某大学生中抽取了100人进行调查，经统计男生与女生的人数比为9：11，男生中有20人表示对冰壶运动有兴趣，女生中有15人对冰壶运动没有兴趣．（1）完成2×2列联表，并判断能否有99%把握认为“对冰壶运动是否有兴趣与性别有关”？有兴趣没有兴趣合计男20女15合计100（2）用分层抽样的方法从样本中对冰壶运动有兴趣的学生中抽取6人，求抽取的男生和女生分别为多少人？若从这6人中选取两人作为冰壶运动的宣传员，求选取的2人中恰好有1位男生和1位女生的概率．附：，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.1500.1000.0500.0250.010 k0 2.072 2.076 3.841 5.024 6.635 18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足sin＝，•＝6．（1）求△ABC的面积；（2）若c+a＝8，求b的值．19．如图，在四棱台A1B1C1D1﹣ABCD中，O1，O分别为上、下底面对角线的交点，OO1⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，且∠ABC＝60°．（1）证明：AC⊥平面BB1D1D；（2）若∠O1BO＝30°，求三棱锥D﹣B1BC的体积20．记焦点在同一条轴上且离心率相同的椭圆为“相似椭圆”．已知椭圆，以椭圆E的焦点为顶点作相似椭圆M．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆E交于A，B两点，且与椭圆M仅有一个公共点，试判断△ABO 的面积是否为定值（O为坐标原点）？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．21．已知函数．（1）当a＝e时，求函数f（x）的单调区间；（2）证明：当a≤﹣2时，f（x）≥2．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．如图，在极坐标系Ox中，过极点的直线l与以点A（2，0）为圆心、半径为2的圆的一个交点为B（2，），曲线M1是劣弧，曲线M2是优弧．（Ⅰ）求曲线M1的极坐标方程；（Ⅱ）设点P（ρ1，θ）为曲线M1上任意一点，点Q（ρ2，θ﹣）在曲线M2上，若|OP|+|OQ|＝6，求θ的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x+b|（a＞0，b＞0）．（1）当ab＝1时，证明：f（x）≥2；（2）若f（x）的值域为[2，+∞），且f（3）＝5，解不等式f（x）≥4．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|0≤x≤5}，B＝{x∈N*|x﹣1≤2}，则A∩B＝（）A．{x|1≤x≤3}B．{x|0≤x≤3}C．{0，1，2，3}D．{1，2，3}【分析】容易求出B＝{1，2，3}，然后进行交集的运算即可．解：B＝{1，2，3}，且A＝{x|0≤x≤5}；∴A∩B＝{1，2，3}．故选：D．2．已知复数z＝+2i，则|z|＝（）A．B．2C．D．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．解：∵z＝+2i＝，∴|z|＝．故选：D．3．向量，，在正方形网格中的位置如图所示．若向量λ与共线，则实数λ＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【分析】根据图形便可看出，这样即可得出λ的值．解：根据图形可看出；满足与共线；∴λ＝2．故选：D．4．设x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．0B．C．D．2【分析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值．解：约束条件对应的区域如图：表示可行域中一点（x，y）与坐标原点连线的斜率，由解得A（1，2），由图形可知OA的斜率取得最大值，即当x＝1，y＝2时取得最大值2．故选：D．5．已知双曲线x2﹣＝1的一个焦点到它的一条渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．3D．4【分析】根据题意，设双曲线的焦点为（c，0），由双曲线的方程求出渐近线的方程，结合点到直线的距离公式可得＝b＝，可得b的值，由双曲线的几何性质计算求出c的值，由离心率公式即可得答案．解：根据题意，设双曲线的一个焦点为（c，0），其中一条渐近线的方程为y ＝bx，即bx﹣y＝0，若双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为，则有＝b＝，则c＝＝2，则双曲线的离心率e＝＝2；故选：B．6．已知函数f（x）＝sin4x﹣cos4x，则下列说法正确的是（）A．f（x）的最小正周期为2πB．f（x）的最大值为2C．f（x）的图象关于y轴对称D．f（x）在区间[，]上单调递减【分析】先利用同角平方关系及二倍角余弦个公式对已知函数进行化简可得f（x）＝﹣cos2x，结合余弦函数的性质对选项进行判断即可．解：∵f（x）＝sin4x﹣cos4x＝sin2x﹣cos2x＝﹣cos2x，∴函数的最小正周期T＝π，∵f（﹣x）＝﹣cos（﹣2x）＝﹣cos2x＝f（x），∴f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，∵f（x）＝cos2x在[，]上单调递减，故f（x）＝﹣cos2x在[，]上单调递增．故选：C．7．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该作完（开始善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的底转变，该作中有题为“李白沽酒”“李白街上走，提壶去买酒．遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒．借问此壶中，原有多少酒？”，如图为该问题的程序框图，若输出的S值为0，则开始输入的S 值为（）A．B．C．D．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得当i＝1时，S＝2S﹣1，i＝1，满足条件i＜3，执行循环体；当i＝2时，S＝2（2S﹣1）﹣1，i＝2，满足条件i＜3，执行循环体；当i＝3时，S＝2[2（2S﹣1）﹣1]﹣1，i＝3，不满足条件i＜3，退出循环体，输出S＝0，所以2[2（2S﹣1）﹣1]﹣1＝0，．故选：B．8．设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a【分析】利用对数函数y＝log a x的单调性进行求解．当a＞1时函数为增函数当0＜a＜1时函数为减函数，如果底a不相同时可利用1做为中介值．解：∵log3∴b＞c∵log2π∴a＞b∴a＞b＞c，故选：A．9．我国明代著名乐律学家、明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个c键到下一个c1键的8个白键与5个黑键（如图）的音频恰成一个公比为的等比数列的原理，也即高音c1的频率正好是中音c的2倍．已知标准音a1的频率为440Hz，那么频率为220Hz的音名是（）A．d B．f C．e D．#d【分析】220Hz的音比a1的频率低，故可将a1的频率记为第一项，220Hz的音设为第n项，则这个数列是以440Hz为第一项，以q＝为公比的等比数列，代入等比数列的通项公式可得．解：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的左边一个单音的频率的比．故从g 起，每一个单音的频率与它右边的一个单音的比为q＝由220＝440×，解得n＝7，频率为220Hz的音名是（#d），故选：D．10．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点Q是线段D1C1的中点，点P在线段AA1上，且AP＝2A1P，则异面直线PQ与AB所成角的余弦值为（）A．B．C．﹣D．【分析】连接PD1，由于AB∥D1C1，所以∠PQD1即为所求，设正方体的棱长为a，在Rt△PQD1中，结合勾股定理和三角函数的知识，求出cos∠PQD1即可．解：连接PD1，如图所示，因为AB∥D1C1，所以∠PQD1为异面直线PQ与AB所成角，由正方体的性质可知，D1C1⊥面ADD1A1，因为PD1⊂面ADD1A1，所以D1C1⊥PD1，设正方体的棱长为a，在Rt△PQD1中，D1Q＝D1C1＝，PD1＝＝，所以tan∠PQD1＝＝＝，cos∠PQD1＝．所以异面直线PQ与AB所成角的余弦值为．故选：D．11．把方程表示的曲线作为函数y＝f（x）的图象，则下列结论正确的是（）①f（x）在R上单调递减②y＝f（x）的图象关于原点对称③y＝f（x）的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为3④函数g（x）＝4f（x）+3x不存在零点A．①③B．①②③C．①③④D．①②③④【分析】画出函数的图象．判断函数的单调性判断①②；通过两点间距离公式判断③；函数的零点判断④；解：去绝对值分四个象限讨论，方程当x＞0，y＞0时，方程，不成立；当x＞0，y＜0时，方程为：，是双曲线的一部分；当x＜0，y＞0时，方程为：，是双曲线的一部分；当x＜0，y＜0时，方程为：，是椭圆的一部分；函数图象如右图示，由图判断函数在R上单调递减，故①正确，②错误．由图判断y＝f（x）图象上的点到原点距离的最小值点应在x≤0，y≤0的图象上，即满足，设图象上的点P（x，y），．当x＝0时取最小值3，故③正确；当4f（x）+3x＝0，即，函数g（x）＝4f（x）+3x的零点，就是函数y＝f（x）和y﹣的交点，而是曲线，x≥0，y≤0和，x≤0，y≥0的渐近线，所以没有交点．由图象可知，和，x≤0，y≤0没有交点，所以函数g（x）＝4f（x）+3x不存在零点，故④正确．故选：C．12．设实数m＞0，若对任意的正实数x，不等式恒成立，则m的最小值为（）A．B．C．D．【分析】对任意的x≥e，不等式x2lnx≥0恒成立，令f（x）＝x2lnx，转化为f（x）min 在x≥e时恒成立；即可求解．解：∵m＞0，，∴me mx≥lnx，即mxe mx≥xlnx＝e lnx•lnx，构造函数g（x）＝xe x，g'（x）＝e x+xe x＝（x+1）e x，当x＞0，g'（x）＞0，∴当x＞0时，g（x）递增，则不等式恒成立等价于g（mx）≥g（lnx）恒成立，即mx≥lnx，恒成立，，设，∴，∴G（x）在（0，1）递增，（1，+∞）递减，∴，故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若钝角θ满足3tan2θ＝8tanθ，则＝﹣3．【分析】由题意，可设x＝tanθ＜0，利用二倍角的正切函数公式化简已知等式可求x的值，进而根据同角三角函数基本关系式化简即可求解．解：由题意，设x＝tanθ＜0，∵3tan2θ＝8tanθ，∴．∵x＜0，∴．∴．故答案为：﹣3．14．已知f（x）＝xln（ax），则与曲线y＝f（x）切于点（1，0）处的切线方程为x﹣y ﹣1＝0．【分析】先将切点代入f（x），求出a的值，然后求出导数，再将切点横坐标代入，求出切线斜率，进而求出切线的点斜式直线方程．解：由已知得：0＝lna，故a＝1．所以f（x）＝xlnx．所以f′（x）＝lnx+1，所以k＝f′（1）＝1．故切线为：y＝x﹣1，即x﹣y﹣1＝0．故答案为：x﹣y﹣1＝0．15．等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，若，则＝．【分析】由已知结合等差数列的求和公式及性质即可求解．解：由{a n}为等差数列可得，同理可得T9＝9a5，所以．故答案为：16．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线C上的两个动点，若x1+x2+2＝2|MN|，则∠MFN的最大值为．【分析】依抛物线的定义，可得|MF|＝x1+1，|NF|＝x2+1，|可得|MF|+|NF|＝2|MN|，由余弦定理得cos∠MFN的范围，即可求解．解：如图，依抛物线的定义，可得|MF|＝x1+1，|NF|＝x2+1，∴x1+x2+2＝2|MN|⇔|MF|+|NF|＝2|MN|，，由余弦定理得cos∠MFN＝＝＝＝∴0∠MFN，故答案为：．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．2022年北京冬奥运动会即第24届冬季奥林匹克运动会将在2022年2月4日至2月20日在北京和张家口举行，某研究机构为了了解大学生对冰壶运动的兴趣，随机从某大学生中抽取了100人进行调查，经统计男生与女生的人数比为9：11，男生中有20人表示对冰壶运动有兴趣，女生中有15人对冰壶运动没有兴趣．（1）完成2×2列联表，并判断能否有99%把握认为“对冰壶运动是否有兴趣与性别有关”？有兴趣没有兴趣合计男20女15合计100（2）用分层抽样的方法从样本中对冰壶运动有兴趣的学生中抽取6人，求抽取的男生和女生分别为多少人？若从这6人中选取两人作为冰壶运动的宣传员，求选取的2人中恰好有1位男生和1位女生的概率．附：，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.1500.1000.0500.0250.010 k0 2.072 2.076 3.841 5.024 6.635【分析】（1）根据题目所给的数据填写2×2列联表，计算K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论．（2）利用古典概型定义列举所有基本事件，找出满足条件的基本事件可得要求的概率，解：（1）根据题意得如下2×2列联表：有兴趣没有兴趣合计男201545女401555合计6040100所以，所以有99%把握认为“对冰壶运动是否有兴趣与性别有关”．（2）对冰壶运动有兴趣的学生共60人，从中抽取6人，抽取的男生数、女生数分别为：，6﹣2＝4．记2名男生为a，b；女生为A，B，C，D，则从中选取2人的基本事件为：ab，aA，aB，aC，aD，bA，bB，bC，bD，AB，AC，AD，BC，BD，CD共15个，其中含有1男1女的基本事件为：aA，aB，aC，aD，bA，bB，bC，bD共8个，记“对冰壶运动有兴趣的学生中抽取6人做宣传员，恰好一男一女”的事件为M，则，故选取的2人中恰好有1位男生和1位女生的概率为．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足sin＝，•＝6．（1）求△ABC的面积；（2）若c+a＝8，求b的值．【分析】（1）根据二倍角公式求出cos B，再求出sin B，根据向量的数量积和三角形的面积公式即可求出答案；（2）根据余弦定理即可求出答案．【解答】解；（1）∵sin＝，∴cos B＝1﹣2sin2＝1﹣＝，∴sin B＝，∵•＝6，∴•＝||•||•cos B＝6，∴||•||＝10，∴S△ABC＝||•||•sin B＝10×＝4；（2）由（1）可知ac＝10，又c+a＝8，又余弦定理可得，b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝（a+c）2﹣2ac﹣2ac×＝64﹣×10＝32，∴b＝4．19．如图，在四棱台A1B1C1D1﹣ABCD中，O1，O分别为上、下底面对角线的交点，OO1⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，且∠ABC＝60°．（1）证明：AC⊥平面BB1D1D；（2）若∠O1BO＝30°，求三棱锥D﹣B1BC的体积【分析】（1）由底面ABCD是菱形，得AC⊥BD，再由OO1⊥平面ABCD，可得AC⊥O1O，由直线与平面垂直的判定可得AC⊥平面BB1D1D；（2）由底面ABCD是边长为2的菱形，且∠ABC＝60°，求得OB＝．结合已知求得OO1＝1．求出三角形BCD的面积，然后利用等体积法求三棱锥D﹣B1BC的体积．【解答】（1）证明：∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵OO1⊥平面ABCD，∴AC⊥O1O，∵BD∩O1O＝O，∴AC⊥平面BB1D1D；（2）解：∵底面ABCD是边长为2的菱形，且∠ABC＝60°，∴OB＝．连接O1B，在Rt△O1OB中，，由，得OO1＝1．则，又∵B1O1∥平面BCD，∴B1到平面BCD的距离等于O1到平面BCD的距离．∴．20．记焦点在同一条轴上且离心率相同的椭圆为“相似椭圆”．已知椭圆，以椭圆E的焦点为顶点作相似椭圆M．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆E交于A，B两点，且与椭圆M仅有一个公共点，试判断△ABO 的面积是否为定值（O为坐标原点）？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【分析】（Ⅰ）由条件知，椭圆M的离心率，且长轴的顶点为（﹣2，0），（2，0），即可求出椭圆方程，（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝kx+b，根据韦达定理和弦长公式和点到直线的距离公式，即可求出三角形的面积，当直线l的斜率不存在时，可求出三角形的面积．解：（Ⅰ）由条件知，椭圆M的离心率，且长轴的顶点为（﹣2，0），（2，0），∴椭圆M的方程为，（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝kx+b．由得，（3+4k2）x2+8kbx+4b2﹣12＝0．令△＝64k2b2﹣4（3+4k2）（4b2﹣12）＝0得，b2＝3+4k2．联立y＝kx+b与，化简得（3+4k2）x2+8kbx+4b2﹣48＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则∴，而原点O到直线l的距离∴．当直线l的斜率不存在时，l：x＝2或x＝﹣2，则|AB|＝6，原点O到直线l的距离d＝2，∴S△ABO＝6．综上所述，△ABO的面积为定值6．21．已知函数．（1）当a＝e时，求函数f（x）的单调区间；（2）证明：当a≤﹣2时，f（x）≥2．【分析】（1）当a＝e时，，然后求出函数的导数，通过①当x＜0时，②当0＜x＜1时，③当x＞1时，判断导函数的符号，得到函数的单调性．（2）证明：当a≤﹣2时，f（x）≥（x2﹣2x+2）e x+x2，令g（x）＝（x2﹣2x+2）e x+x2，则g'（x）＝x2e x+2x＝x（xe x+2），令h（x）＝xe x+2，有h'（x）＝（x+1）e x，判断函数的单调性，求出函数的最值，然后转化求解证明即可．【解答】（1）解：当a＝e时，，所以f'（x）＝x2e x﹣ex＝x（xe x﹣e），讨论：①当x＜0时，xe x﹣e＜0，有f'（x）＞0；②当0＜x＜1时，由函数y＝xe x为增函数，有xe x﹣e＜0，有f'（x）＜0；③当x＞1时，由函数y＝xe x为增函数，有xe x﹣e＞0，有f'（x）＞0．综上，函数f（x）的增区间为（﹣∞，0），（1，+∞），减区间为（0，1）．（2）证明：当a≤﹣2时，有，所以，所以f（x）≥（x2﹣2x+2）e x+x2，令g（x）＝（x2﹣2x+2）e x+x2，则g'（x）＝x2e x+2x＝x（xe x+2），令h（x）＝xe x+2，有h'（x）＝（x+1）e x，令h'（x）＝0，得x＝﹣1，分析知，函数h（x）的增区间为（﹣1，+∞），减区间为（﹣∞，﹣1），所以．所以分析知，函数g（x）的增区间为（0，+∞），减区间为（﹣∞，0），所以，故当a≤﹣2时，f（x）≥2．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．如图，在极坐标系Ox中，过极点的直线l与以点A（2，0）为圆心、半径为2的圆的一个交点为B（2，），曲线M1是劣弧，曲线M2是优弧．（Ⅰ）求曲线M1的极坐标方程；（Ⅱ）设点P（ρ1，θ）为曲线M1上任意一点，点Q（ρ2，θ﹣）在曲线M2上，若|OP|+|OQ|＝6，求θ的值．【分析】（Ⅰ）利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，求出结果．（Ⅱ）利用极径和三角函数关系式的变换的应用求出结果．解：（Ⅰ）过极点的直线l与以点A（2，0）为圆心、半径为2的圆上任意一点（ρ，θ），整理得ρ＝4cosθ．由于的圆的一个交点为B（2，），曲线M1是劣弧，所以M1的方程为．（Ⅱ）点P（ρ1，θ）为曲线M1上任意一点，所以，点Q（ρ2，θ﹣）在曲线M2上，所以（）．整理得．由于|OP|+|OQ|＝6，所以ρ1+ρ2＝6，整理得＝6，即：，由于且．解得．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x+b|（a＞0，b＞0）．（1）当ab＝1时，证明：f（x）≥2；（2）若f（x）的值域为[2，+∞），且f（3）＝5，解不等式f（x）≥4．【分析】（1）利用绝对值三角不等式可得f（x）≥|a+b|，然后结合ab＝1，利用基本不等式即可证明f（x）≥2；（2）根据f（x）的值域为[2，+∞），且f（3）＝5，求出a，b的值，然后利用零点分段法解出不等式f（x）≥4即可．解：（1）证明：∵ab＝1，∴f（x）＝|x﹣a|+|x﹣b|≥|x+b﹣（x﹣a）|＝|a+b|＝≥，当且仅当a＝b＝1时，取等号，∴f（x）≥2；（2）f（x）＝|x﹣a|+|x﹣b|≥|a+b|＝a+b，∴a+b＝2，又∵f（3）＝|3﹣a|+|3+b|＝|3﹣a|+3+b＝5，∴，，∵f（x）≥4，∴或或，故原不等式的解集为{x|x≥或x≤﹣}．。
2020年黑龙江省高考(文科)数学(5月份)模拟试卷(Word版 含解析)
2020年高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题（共12小题）1．若集合A＝{x|﹣3＜x＜4}，B＝{y|y＞0}，则A∩B＝（）A．∅B．[0，4）C．（0，4）D．（﹣3，0）2．设z＝2+（3﹣i）2，则（）A．6+10i B．6﹣10i C．10+6i D．10﹣6i3．已知P为椭圆1短轴的一个端点，F1，F2是该椭圆的两个焦点，则△PF1F2的面积为（）A．2B．4C．D．24．2020年1月，某专家为了解新型冠状病毒肺炎的潜伏期他从确诊感染新型冠状病毒的70名患者中了解到以下数据：潜伏期2天3天5天6天7天9天10天12天人数248101616104根据表中数据，可以估计新型冠状病毒肺炎的潜伏期的平均值为（精确到个位数）（）A．6天B．7天C．8天D．9天5．若函数f（x）＝3x+log2（x﹣2），则（）A．24B．25C．26D．276．设等比数列{a n}的前6项和为6，且公比q＝2，则a1＝（）A．B．C．D．7．在平行四边形ABCD中，若，则（）A．B．C．D．8．已知AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于A，B的一点，D为下底面圆周上一点，且AD⊥圆柱的底面，则必有（）A．平面ABC⊥平面BCD B．平面BCD⊥平面ACDC．平面ABD⊥平面ACD D．平面BCD⊥平面ABD9．若函数f（x）＝2cos（2x）﹣1在[0，m]上的最小值小于零，则m的取值范围为（）A．（，]B．（，+∞）C．（，]D．（，+∞）10．已知函数f（x）＝（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）（x﹣5），则曲线y＝f（x）在点（2，0）处的切线方程为（）A．y＝﹣3x+6B．y＝﹣6x+12C．y＝3x﹣6D．y＝6x﹣12 11．某几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，则该几何体外接球的表面积为（）A．B．C．25πD．32π12．已知函数若关于x的方程2f2（x）﹣（2m+1）f（x）+m＝0恰有3个不同的实根，则m的取值范围为（）A．（1，2）B．[2，5）∪{1}C．{1，5}D．（2，5）∪{1}二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．小周今年暑假打算带父母去国外旅游，他决定从日本泰国、法国、加拿大、韩国、墨西哥、英国这7个国家中随机选取1个国家，则他去旅游的国家来自亚洲的概率为．14．设x，y满足约束条件，则当z＝2x+y取得最大值时，y＝．15．已知双曲线的左焦点为F，点A的坐标为（0，2b），若直线AF的倾斜角为45°，则C的离心率为．16．定义p（n）为正整数n的各位数字中不同数字的个数，例如p（555）＝1，p（93）＝2，p（1714）＝3．在等差数列{a n}中，a2＝9，a10＝25，则a n＝，数列{p（a n）}的前100项和为．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．设a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．已知a cos B＝b cos A+c，（1）证明：△ABC是直角三角形．（2）若D是AC边上一点，且CD＝3，BD＝5，BC＝6，求△ABD的面积．18．如图，EA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝4，BC＝BD＝3，AC＝AD，CD＝3．（1）证明：BD∥平面ACE．（2）若几何体EABCD的体积为10，求三棱椎E﹣ABC的侧面积．19．某公司准备上市一款新型轿车零配件，上市之前拟在其一个下属4S店进行连续30天的试销，定价为1000元/件．试销结束后统计得到该4S店这30天内的日销售量（单位：件）的数据如表：日销售量406080100频数91263（1）若该4S店试销期间每个零件的进价为650元/件，求试销连续30天中该零件日销售总利润不低于24500元的频率．（2）试销结束后，这款零件正式上市，每个定价仍为1000元，但生产公司对该款零件不零售，只提供零件的整箱批发，大箱每箱有60件，批发价为550元/件；小箱每箱有45件，批发价为600元/件，该4S店决定每天批发两箱，根据公司规定，当天没销售出的零件按批发价的9折转给该公司的另一下属4S店，假设该4S店试销后的连续30天的日销售量（单位：件）的数据如表：日销售量507090110频数51582（i）设该4S店试销结束后连续30天每天批发两大箱，求这30天这款零件的总利润；（ii）以总利润作为决策依据，该4S店试销结束后连续30天每天应该批发两大箱还是两小箱？20．已知函数f（x）＝x3e x．（1）求f（x）的单调区间；（2）若不等式f（x）≥mx2对x∈R恒成立，求m的取值范围．21．设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线l与抛物线交于M，N两点．（1）若l过点F，且|MN|＝3p，求l的斜率；（2）若，且l的斜率为﹣1，当P∉l时，求l在y轴上的截距的取值范围（用p 表示），并证明∠MPN的平分线始终与y轴平行．（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C：y＝k|x﹣3|．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E的极坐标方程为．（1）求E的直角坐标方程（化为标准方程）；（2）若曲线E与C恰有4个公共点，求k的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣5|﹣|2x+1|．（1）求不等式f（x）＞1的解集；（2）若不等式f（x）+|4x+2|＞|t﹣m|﹣|t+4|+m对任意x∈R，任意t∈R恒成立，求m的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A＝{x|﹣3＜x＜4}，B＝{y|y＞0}，则A∩B＝（）A．∅B．[0，4）C．（0，4）D．（﹣3，0）【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．解：因为集合A＝{x|﹣3＜x＜4}＝（﹣3，4），B＝（0，+∞），所以A∩B＝（0，4）．故选：C．2．设z＝2+（3﹣i）2，则（）A．6+10i B．6﹣10i C．10+6i D．10﹣6i【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．解：因为z＝2+8﹣6i＝10﹣6i，所以10+6i．故选：C．3．已知P为椭圆1短轴的一个端点，F1，F2是该椭圆的两个焦点，则△PF1F2的面积为（）A．2B．4C．D．2【分析】根据方程可得到b，c的值，进而可求出面积解：根据条件可得b2＝2，c2＝3﹣2＝1，则b，c＝1，则△PF1F2的面积2c×b＝bc，故选：C．4．2020年1月，某专家为了解新型冠状病毒肺炎的潜伏期他从确诊感染新型冠状病毒的70名患者中了解到以下数据：潜伏期2天3天5天6天7天9天10天12天人数248101616104根据表中数据，可以估计新型冠状病毒肺炎的潜伏期的平均值为（精确到个位数）（）A．6天B．7天C．8天D．9天【分析】利用平均值的定义求解．解：因为7，所以新型冠状病毒肺炎的潜伏期的平均值为7天，故选：B．5．若函数f（x）＝3x+log2（x﹣2），则（）A．24B．25C．26D．27【分析】直接把变量代入解析式，再结合对数的运算性质即可求解．解：因为f（x）＝3x+log2（x﹣2），∴，所以．故选：D．6．设等比数列{a n}的前6项和为6，且公比q＝2，则a1＝（）A．B．C．D．【分析】利用等比数列的求和公式即可得出．解：由题意可得，即．故选：A．7．在平行四边形ABCD中，若，则（）A．B．C．D．【分析】直接利用平行四边形的法则和向量的线性运算的应用求出结果．解：在平行四边形ABCD中，若，所以，则．故选：A．8．已知AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于A，B的一点，D为下底面圆周上一点，且AD⊥圆柱的底面，则必有（）A．平面ABC⊥平面BCD B．平面BCD⊥平面ACDC．平面ABD⊥平面ACD D．平面BCD⊥平面ABD【分析】画出图形，结合直线与平面垂直的判断定理，转化证明平面与平面垂直，推出结果即可．解：因为AB是圆柱上底面的一条直径，所以AC⊥BC，又AD垂直圆柱的底面，所以AD⊥BC，因为AC∩AD＝A，所以BC⊥平面ACD，因为BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面ACD．故选：B．9．若函数f（x）＝2cos（2x）﹣1在[0，m]上的最小值小于零，则m的取值范围为（）A．（，]B．（，+∞）C．（，]D．（，+∞）【分析】由已知可求2x∈[，2m]，利用换元法求出角的范围，结合余弦函数的图象求出函数的零点，利用数形结合进行转化求就叫即可．解：∵x∈[0，m]，∴2x∈[，2m]，设t＝2x，则t∈[，2m]，作出函数y＝2cos t﹣1的图象如图，由y＝2cos t﹣1＝0得cos t，则t2kπ或t2kπ，则当t＞0时的，第一个零点为t，即当t时，y＝2cos t﹣1≥0，要使y＝2cos t﹣1在t∈[，2m]上的最小值小于0，则只需要2m，即可，得2m，得m，∴m的取值范围为（，+∞）．故选：D．10．已知函数f（x）＝（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）（x﹣5），则曲线y＝f（x）在点（2，0）处的切线方程为（）A．y＝﹣3x+6B．y＝﹣6x+12C．y＝3x﹣6D．y＝6x﹣12【分析】先求得f（x）＝（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）（x﹣5）的导函数，再利用导数的几何意义求得切线的斜率，进而求得切线方程．解：∵f（x）＝（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）（x﹣5），令（x﹣2）（x﹣3）（x ﹣4）（x﹣5）＝g（x）则f′（x）＝g（x）+（x﹣1）[g（x）]′，令h（x）＝（x﹣3）（x﹣4）（x﹣5），则h′（x）＝（x﹣4）（x﹣5）+（x﹣3）（2x﹣9）∴f′（x）＝g（x）+（x﹣1）[h（x）+（x﹣2）h′（x）]∴曲线y＝f（x）在点（2，0）处的切线的斜率k＝f′（2）＝g（2）+h（2）＝h（2）＝﹣6，∴曲线y＝f（x）在点（2，0）处的切线方程为y﹣0＝﹣6（x﹣2），即y＝﹣6x+12．故选：B．11．某几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，则该几何体外接球的表面积为（）A．B．C．25πD．32π【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体是三棱锥，底面三角形ABC是边长为2的等边三角形，PA⊥底面ABC，找出三棱锥外接球的球心，求出外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．解：由三视图还原原几何体如图，该几何体是三棱锥，底面三角形ABC是边长为2的等边三角形，PA⊥底面ABC，设底面三角形ABC的外心为G，过G作底面的垂线GO，且使GO AP．则O为三棱锥P﹣ABC外接球的球心，连接OB，∵GB，OG＝2，∴三棱锥外接球的半径R＝OB．∴该几何体外接球的表面积为4π．故选：B．12．已知函数若关于x的方程2f2（x）﹣（2m+1）f（x）+m＝0恰有3个不同的实根，则m的取值范围为（）A．（1，2）B．[2，5）∪{1}C．{1，5}D．（2，5）∪{1}【分析】利用方程，求出f（x）的值，结合函数的图象，判断求解即可．解：由2f2（x）﹣（2m+1）f（x）+m＝[2f（x）﹣1][f（x）﹣m]＝0，得或f（x）＝m，作出y＝f（x）的图象，如图所示，由图可知，方程有1个实根，故方程f（x）＝m有2个实根，故m的取值范围为[2，5）∪{1}．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．小周今年暑假打算带父母去国外旅游，他决定从日本泰国、法国、加拿大、韩国、墨西哥、英国这7个国家中随机选取1个国家，则他去旅游的国家来自亚洲的概率为．【分析】这7个国家中是亚洲国家的有：日本、泰国．韩国，由此能求出他去旅游的国家来自亚洲的概率．解：小周今年暑假打算带父母去国外旅游，他决定从日本泰国、法国、加拿大、韩国、墨西哥、英国这7个国家中随机选取1个国家，这7个国家中是亚洲国家的有：日本、泰国．韩国，则他去旅游的国家来自亚洲的概率p．故答案为：．14．设x，y满足约束条件，则当z＝2x+y取得最大值时，y＝4．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可．解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，当直线y＝﹣2x+z经过A点时，直线y＝﹣2x+z的截距最大，此时z最大，A（3，4），则z＝2x+y＝2×3+4＝10，此时y＝4．故答案为：4．15．已知双曲线的左焦点为F，点A的坐标为（0，2b），若直线AF的倾斜角为45°，则C的离心率为．【分析】先通过A、F两点的坐标表示出直线AF的斜率，结合其倾斜角为45°，得到c＝2b，由于b2＝c2﹣a2，代入化简后得3c2＝4a2，于是可求得离心率．解：依题意得，点F的坐标为（﹣c，0），∴直线AF的斜率，∴c＝2b，即c2＝4b2＝4（c2﹣a2），化简整理3c2＝4a2，∴．故答案为：．16．定义p（n）为正整数n的各位数字中不同数字的个数，例如p（555）＝1，p（93）＝2，p（1714）＝3．在等差数列{a n}中，a2＝9，a10＝25，则a n＝2n+5，数列{p（a n）}的前100项和为227．【分析】在等差数列{a n}中，a2＝9，a10＝25，公差d＝2，利用通项公式可得a n．可得a1＝7，a100＝205．a n为奇数，通过分类讨论：p（a n）＝1．p（a n）＝2．p（a n）＝3．即可得出．解：在等差数列{a n}中，a2＝9，a10＝25，公差d2，∴a n＝9+2（n﹣2）＝2n+5．∵a1＝7，a100＝205．a n为奇数，∴a n＝7，9，11，33，55，77，99，111时，p（a n）＝1．a n＝101，113，115，117，119，121，131，133，141，151，155，161，171，177，181，191，199时，p（a n）＝2．在{a n}中，小于100的项共有47项，这47项中满足p（a n）＝2的共有47﹣7＝40项，故数列{p（a n）}的前100项和为：1×8+2×（40+17）+3×（100﹣8﹣40﹣17）＝227．故答案为：2n+5，227．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．设a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．已知a cos B＝b cos A+c，（1）证明：△ABC是直角三角形．（2）若D是AC边上一点，且CD＝3，BD＝5，BC＝6，求△ABD的面积．【分析】（1）利用正弦定理化角，然后由三角函数值相等得到角之间的关系，即可求出A是直角；（2）先在△DBC中利用余弦定理求出C角，然后再在直角三角形ABC中求出AB，AC，则面积可求．【解答】解（1）由正弦定理a cos B＝b cos A+c化为：sin A cos B＝sin B cos A+sin C，∴sin A cos B﹣sin B cos A＝sin C，∴sin（A﹣B）＝sin C，∵A﹣B∈（﹣π，π），C∈（0，π），∴A﹣B＝C或A﹣B＝π﹣C（舍）∴A＝B+C，∴．即△ABC是直角三角形．（2）在Rt△BCD中，CD＝3，BD＝5，BC＝6，由余弦定理得．∴．∴，∴AD＝AC﹣CD，又．∴．18．如图，EA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝4，BC＝BD＝3，AC＝AD，CD＝3．（1）证明：BD∥平面ACE．（2）若几何体EABCD的体积为10，求三棱椎E﹣ABC的侧面积．【分析】（1）推导出△ABC≌△ABD，从而AB⊥BD，推导出BD⊥BC．从而BD⊥平面ABC，再由EA⊥平面ABC，得EA∥BD，由此能证明BD∥平面ACE．（2）△ABC的面积S＝6，由几何体EABCD的体积为10，解得EA＝2，推导出BC⊥AE，AB⊥BC，得BC⊥BE，三棱椎E﹣ABC的侧面积为S＝S△ABE+S△BCE+S△AEC．解：（1）证明：∵BC＝BD，AC＝AD，AB＝AB，∴△ABC≌△ABD，∵AB⊥BC，∴AB⊥BD，∵AB＝4，BC＝BD＝3，AC＝AD，CD＝3．∴BD2+BC2＝CD2，∴BD⊥BC．∵AB∩BC＝B，∴BD⊥平面ABC，∵EA⊥平面ABC，∴EA∥BD，∵BD⊄平面ACE，AE⊂平面ACE，∴BD∥平面ACE．（2）解：∵△ABC的面积S6，几何体EABCD的体积为10，∴几何体EABCD的体积为：V，解得EA＝2，∵EA⊥平面ABC，∴BC⊥AE，又AB⊥BC，AE∩AB＝A，∴BC⊥平面ABE，∴BC⊥BE，∴三棱椎E﹣ABC的侧面积为：S＝S△ABE+S△BCE+S△AEC＝4+35＝9+3．19．某公司准备上市一款新型轿车零配件，上市之前拟在其一个下属4S店进行连续30天的试销，定价为1000元/件．试销结束后统计得到该4S店这30天内的日销售量（单位：件）的数据如表：日销售量406080100频数91263（1）若该4S店试销期间每个零件的进价为650元/件，求试销连续30天中该零件日销售总利润不低于24500元的频率．（2）试销结束后，这款零件正式上市，每个定价仍为1000元，但生产公司对该款零件不零售，只提供零件的整箱批发，大箱每箱有60件，批发价为550元/件；小箱每箱有45件，批发价为600元/件，该4S店决定每天批发两箱，根据公司规定，当天没销售出的零件按批发价的9折转给该公司的另一下属4S店，假设该4S店试销后的连续30天的日销售量（单位：件）的数据如表：日销售量507090110频数51582（i）设该4S店试销结束后连续30天每天批发两大箱，求这30天这款零件的总利润；（ii）以总利润作为决策依据，该4S店试销结束后连续30天每天应该批发两大箱还是两小箱？【分析】（1）要使得日销售总利润不低于24500元，则日销售零件的件数不能少于，根据题意，求出大于等于70件的频率即可；（2）（i）若4S店试销结束后连续30天每天批发两大箱，则批发成本为60×2×550＝66000元，分别求出日销售量为50件，70件，90件，110件的利润，再求出总利润；（ii）若该4S店试销结束后连续30天每天批发两小箱，则批发成本为45×2×600＝54000元，分别求出日销售量为50件，70件，90件，110件的利润，再求出总利润，根据（i）的计算结果，比较判断出最好的方案即可．解：（1）因为试销期间每个零件的利润为1000﹣650＝350元，所以要使得日销售总利润不低于24500元，则日销售零件的件数不能少于，根据题中数据大于等于70件的频数为6+3＝9，故所求频率为；（2）（i）该4S店试销结束后连续30天每天批发两大箱，则批发成本为60×2×550＝66000元，当日销售量为50件时，当日利润为50×1000+0.9×（120﹣50）×550﹣66000＝18650元；当日销售量为70件时，当日利润为70×1000+0.9×（120﹣70）×550﹣66000＝28750元；当日销售量为90件时，当日利润为90×1000+0.9×（120﹣90）×550﹣66000＝38850元；当日销售量为110件时，当日利润为110×1000+0.9×（120﹣110）×550﹣66000＝48950元．所以这30天这款零件的总利润为18650×5+28750×15+38850×8+48950×2＝93.32万元；（ii）若该4S店试销结束后连续30天每天批发两小箱，则批发成本为45×2×600＝54000元，当日销售量为50件时，当日利润为50×1000+0.9×（90﹣50）×600﹣54000＝17600元；当日销售量为70件时，当日利润为70×1000+0.9×（90﹣70）×600﹣54000＝26800元；当日销售量为90件或110件时，当日利润为90×1000﹣54000＝36000元，所以这30天这款零件的总利润为17600×5+26800×15+36000×10＝85万元，因为93.32万元＞85万元，所以每天应该批发两大箱．20．已知函数f（x）＝x3e x．（1）求f（x）的单调区间；（2）若不等式f（x）≥mx2对x∈一、选择题恒成立，求m的取值范围．【分析】（1）求导得f′（x）＝x2e x（x+3），令f′（x）≥0，令f′（x）＜0，进而可得函数得单调递增，递减区间．（2）当x＝0时，原不等式为0≥0，显然成立，当x≠0时，原不等式等价于m≤xe x对x∈R恒成立，设g（x）＝xe x（x≠0），只需求出g（x）的最小值，即可得到答案．解：（1）f′（x）＝3x2e x+x3e x＝x2e x（x+3），令f′（x）≥0，得x≥﹣3，则f（x）的单调递增区间为[﹣3，+∞）；令f′（x）＜0，得x＜﹣3，则f（x）的单调递减区间为[﹣∞，﹣3）；（2）当x＝0时，不等式f（x）≥mx2，即0≥0，显然成立，当x≠0时，不等式f（x）≥mx2对x∈R恒成立，等价于m≤xe x对x∈R恒成立，设g（x）＝xe x（x≠0），g′（x）＝（x+1）e x，令g′（x）＜0，得x＜﹣1，令g′（x）＞0，得x＞﹣1，且x≠0，所以g（x）min＝g（﹣1），所以m，即m的取值范围为（﹣∞，]．21．设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线l与抛物线交于M，N两点．（1）若l过点F，且|MN|＝3p，求l的斜率；（2）若，且l的斜率为﹣1，当P∉l时，求l在y轴上的截距的取值范围（用p 表示），并证明∠MPN的平分线始终与y轴平行．【分析】（1）当直线l的斜率不存在时，判断是否满足题意；设其方程为．联立直线与抛物线方程，设M（x1，y1），N（x2，y2），通过韦达定理以及抛物线的性质，求解即可．（2）设直线l的方程为y＝﹣x+m，M（x1，y1），N（x2，y2）．直线代入抛物线方程，利用韦达定理以及判别式，转化求解k PM+k PN＝0，说明直线PM，PN的斜率互补，从而∠MPN的平分线始终与y轴平行．解：（1）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，代入抛物线方程可得y2＝p2，即y＝±p，所以|MN|＝2p，但|MN|＝3p，故直线l的斜率存在，设其方程为．由得，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，所以，解得，所以直线l的斜率为．（2）设直线l的方程为y＝﹣x+m，M（x1，y1），N（x2，y2）．得x2﹣（2m+2p）x+m2＝0，则．由△＝（2m+2p）2﹣4m2＞0，得．又，所以，从而l在y轴上的截距的取值范围为．，所以直线PM，PN的斜率互补，从而∠MPN的平分线始终与y轴平行．（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C：y＝k|x﹣3|．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E的极坐标方程为．（1）求E的直角坐标方程（化为标准方程）；（2）若曲线E与C恰有4个公共点，求k的取值范围．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用点到直线的距离公式的应用求出结果．解：（1）曲线E的极坐标方程为．转换为直角坐标方程为x2+y2﹣6x﹣12y+27＝0，整理得（x﹣3）2+（y﹣6）2＝18．（2）易知曲线E过定点M（3，0）其图象关于直线x＝3对称的“V”字形．由于曲线E是以（3，6）为圆心3为半径的圆，所以k＞0，当x≥3时，曲线C的方程为y＝kx﹣3k，即kx﹣y﹣3k＝0，则圆心（3，6）到直线的距离d，解得k2＞1，由于k＞0，所以k＞1．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣5|﹣|2x+1|．（1）求不等式f（x）＞1的解集；（2）若不等式f（x）+|4x+2|＞|t﹣m|﹣|t+4|+m对任意x∈R，任意t∈R恒成立，求m的取值范围．【分析】（1）由绝对值的定义，去绝对值符号，解不等式，求并集，可得所求解集；（2）原不等式等价为|2x﹣5|+|2x﹣1|＞|t﹣m|﹣|t+4|+m，由绝对值不等式的性质分别求得此不等式的左右两边的最小值和最大值，解绝对值不等式，可得所求范围．解：（1）|2x﹣5|﹣|2x+1|＞1等价为或或，解得x或x或x∈∅，所以原不等式的解集为（﹣∞，）；（2）不等式f（x）+|4x+2|＞|t﹣m|﹣|t+4|+m等价为|2x﹣5|+|2x﹣1|＞|t﹣m|﹣|t+4|+m，可令h（x）＝|2x﹣5|+|2x﹣1|，则h（x）≥|2x﹣5﹣2x﹣1|＝6，当且仅当（2x﹣5）（2x+1）≤0，取得等号，即h（x）min＝6，而|t﹣m|﹣|t+4|+m≤|t﹣m﹣t﹣4|+m＝m+|m+4|，由题意可得6＞m+|m+4|，即m﹣6＜m+4＜6﹣m，解得m＜1，则m的取值范围是（﹣∞，1）．。
黑龙江省哈尔滨市第三中学2020届高三毕业班下学期第二次高考模拟考试数学(文)试题(解析版)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用赋值法直接判断即可.
【详解】解：当 时，选项A无意义，错误；
当 时，显然选项B错误；
当 时，显然选项D错误；
故选：C
【点睛】此题考查不等式性质的运用，考查了排除法的运用，属于基础题.
5.抛物线 的焦点为F，直线 与抛物线交于点A（异于原点），则点A到焦点F的距离为（ ）
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据直线与直线的垂直，列方程 ，求出 ，再判断充分性和必要性即可.
【详解】解：若 ，则 ，解得 或 ，
即 或 ，
所以“ ”是“ 或 ”的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】本题考查直线一般式中直线与直线垂直的系数关系，考查充分性和必要性的判断，是基础题.
9.已知 , 是双曲线 的左右焦点,以 为圆心、a为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于A,B两点,若 ,则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析】
求出双曲线的焦点到渐近线的距离,】由已知可知焦点到渐近线的距离为 ,
所以 ,
因为 ,所以 ,可得 ,
即 ,可得 ,
所以 ,即 ,
又因为 所以 ,所以 ,
故选：A
【点睛】此题考查双曲线的简单性质的应用,离心率的求法,点到直线的距离公式的应用,属于中档题.
10.2020年新型冠状病毒肺炎蔓延全国,作为主要战场的武汉,仅用了十余天就建成了“小汤山”模式的火神山医院和雷神山医院,再次体现了中国速度.随着疫情发展,某地也需要参照“小汤山”模式建设临时医院,其占地是出一个正方形和四个以正方形的边为底边、腰长为400m的等腰三角形组成的图形（如图所示）,为使占地面积最大,则等腰三角形的底角为（ ）
2020届黑龙江省高三5月联考数学(文)试题(解析版)
2020届黑龙江省高三5月联考数学（文）试题一、单选题1．若集合{|34},{|0}A x x B y y =-<<=>，则A B =I （ ） A ．∅ B ．[0,4)C ．(0,4)D ．(3,0)-【答案】C【解析】由集合的交运算，即可容易求得结果. 【详解】因为(0,)B =+∞，所以(0,4)A B =∩. 故选：C. 【点睛】本题考查交集运算，属基础题. 2．设22(3)z i =+-，则z =（ ） A ．610i + B ．610i -C ．106i +D ．106i -【答案】C【解析】利用复数的乘法运算求出106z i =-，再求共轭复数 【详解】因为286106z i i =+-=-，所以106z i =+. 故选：C. 【点睛】求解与复数概念相关问题的技巧复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即()a bi a b R Î＋，的形式，再根据题意求解．3．已知P 为椭圆22132x y +=短轴的一个端点，12,F F 是该椭圆的两个焦点，则12PF F △的面积为（ ）A ．B ．2C ．4D ．【解析】P 为短轴的一个端点，12PF F △中12F F 上的高为b =12=22F F c =，求出面积. 【详解】依题意可得222,321b c ==-=，则1b c ==，所以12PF F △的面积为122c b bc ⨯⨯==故选：A. 【点睛】椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理．4．2020年1月，某专家为了解新型冠状病毒肺炎的潜伏期，他从确诊感染新型冠状病毒的70名患者中了解到以下数据：根据表中数据，可以估计新型冠状病毒肺炎的潜伏期的平均值为（精确到个位数）（ ） A ．6天 B ．7天C ．8天D ．9天【答案】B【解析】利用加权平均数公式计算平均值. 【详解】 因为2234586107169161010124770x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈，所以新型冠状病毒肺炎的潜伏期的平均值为7天. 故选：B. 【点睛】本题考查样本的数字特征平均数.如果有n 个数据12n x x x ，，，⋯，那么这n 个数的平均数12nx x x x n++⋯+=5．若函数2()3log (2)f x x x =+-，则10(5)()3f f +=（ ） A ．24 B ．25C ．26D ．27【解析】把自变量代入解析式求值即可. 【详解】因为22104(5)15log 3,10log 33f f ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，所以210(5)25log 4272f f ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭.故选：D. 【点睛】本题考查求函数值. 把自变量代入解析式求值.若是分段函数求值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现(())f f a 的形式时，应从内到外依次求值．6．设等比数列{}n a 的前6项和为6，且公比2q =，则1a =（ ） A ．221B ．17C ．421D ．521【答案】A【解析】根据题意，列出基本量的方程，即可求得结果. 【详解】 由题意可得()61611263612a S a -===-，即1221a =. 故选：A . 【点睛】本题考查等比数列基本量的求解，属基础题.7．在平行四边形ABCD 中，若4CE ED =u u u r u u u r ，则BE =u u u r（ ）A ．45AB AD -+u u ur u u u rB ．45AB AD -u u ur u u u rC ．45AB AD -+u u u r u u u rD ．34AB AD -+u u ur u u u r【答案】A【解析】由4,CE ED u u u r u u u r=得45CE CD u u u r u u u r =，在BEC △中，利用向量加法可得.【详解】44,,5CE ED CE CD u u u r u u u r u u u r u u u r Q =∴=4455BE BC CE AD CD AB AD u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ∴=+=+=-+【点睛】本题考查平面向量的线性运算. 用已知向量表示某一向量的两个关键点:(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．8．已知AB 是圆柱上底面的一条直径，C 是上底面圆周上异于A ，B 的一点，D 为下底面圆周上一点，且AD ⊥圆柱的底面，则必有（ ） A ．平面ABC ⊥平面BCD B ．平面BCD ⊥平面ACD C ．平面ABD ⊥平面ACD D ．平面BCD ⊥平面ABD【答案】B【解析】根据题意，先证BC ⊥平面ACD ，即可由线面垂直推证面面垂直. 【详解】因为AB 是圆柱上底面的一条直径，所以AC BC ⊥，又AD ⊥圆柱的底面，所以AD BC ⊥， 因为AC AD A =I ，所以BC ⊥平面ACD .又BC ⊂平面BCD ，所以平面BCD ⊥平面ACD . 故选：B . 【点睛】本题考查由线线垂直推证面面垂直，属基础题. 9．若函数()2cos 213f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在[0,]m 上的最小值小于零，则m 的取值范围为（ ） A ．24,33ππ⎛⎤⎥⎝⎦B ．2,3π⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．2,33ππ⎛⎤⎥⎝⎦D ．,3π⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】D【解析】利用换元法，即可由函数单调性求得参数范围. 【详解】因为[0,]x m ∈，所以2,2333x m πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦. πππ⎡⎤又()21f t cost =-在,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增，在[]0,π单调递减，且03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 故要满足题意，只需233m ππ->，解得3m π>.故选：D . 【点睛】本题考查由函数的最值求参数范围，涉及余弦函数的单调性，属基础题.10．已知函数()(1)(2)(3)(4)(5)f x x x x x x =-----，则曲线()y f x =在点(2,0)处的切线方程为（ ） A ．36y x =-+ B ．612y x =-+C ．36y x =-D ．612y x =-【答案】B【解析】对多项式函数求导，结合导数的几何意义，即可容易求得结果. 【详解】设函数()(1)(3)(4)(5)g x x x x x =----，则()(2)()(2)()()(2)()f x x g x x g x g x x g x ''''=-+-=+-， 所以(2)(2)6f g '==-，则曲线()y f x =在点(2,0)处的切线方程为612y x =-+. 故选：B . 【点睛】本题考查利用导数的几何意义求切线方程，属基础题.11．某几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ．254πB ．643πC ．25πD ．32π【答案】B【解析】根据三视图知几何体是一个三棱锥，画出直观图，AB ⊥平面,PAC底面的距离是AB 的一半，利用直角三角形勾股定理求出球半径，得解. 【详解】由三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥B PAC -，其中AB ⊥平面,2,4PAC PA PC AC AB ====.设外接球的半径为,R PAC △外接圆的半径23r =，则2221623R r =+=，所以外接球的表面积26443S R ππ==. 故选：B. 【点睛】本题考查三视图及几何体的外接球问题.（1）几何体三视图还原其直观图时，要熟悉柱、锥、球、台的三视图，结合空间想象将三视图还原为直观图．（2）与球有关外接问题关键是找到由球的半径构成的三角形，解三角形即可．12．已知函数241,0,()22,0,xx x x f x x -⎧--+=⎨->⎩…若关于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++=恰有3个不同的实根，则m 的取值范围为（ ）A ．(1,2)B ．[2,5){1}⋃C ．{1,5}D ．(2,5){1}⋃【答案】B【解析】求解二次方程，即可求得()f x 的结果，根据()f x 的图像，数形结合，即可容易求得参数的范围，属中档题. 【详解】由22()(21)()[2()1][()]0f x m f x m f x f x m -++=--=， 得1()2f x =或()f x m =，作出()y f x =的图象，如图所示，由图可知，方程1()2f x =有1个实根， 故方程()f x m =有2个实根，故m 的取值范围为[2,5){1}⋃. 故选：B . 【点睛】本题考查方程和函数之间的相互转化，涉及指数函数的图像，属综合中档题.二、填空题13．小周今年暑假打算带父母去国外旅游，他决定从日本、泰国、法国、加拿大、韩国、墨西哥、英国这7个国家中随机选取1个国家，则他去旅游的国家来自亚洲的概率为___________. 【答案】37【解析】找出7个国家中的亚洲国家，由古典概型的概率计算公式，即可求得结果. 【详解】这7个国家中是亚洲国家的有日本、泰国、韩国，故所求概率为37. 故答案为：37. 【点睛】本题考查简单古典概型问题的求解，属基础题.14．设,x y 满足约束条件10,10,30,x y x y x -+⎧⎪++⎨⎪-≤⎩……则当2z x y =+取得最大值时，y =_______. 【答案】4【解析】画出可行域，解出可行域的顶点坐标，代入目标函数求出相应的数值，比较大小得到目标函数最值. 【详解】由101100x y x x y y ++==-⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩(1,0),A ∴-同理(3,4),B (3,4),C - 2C z ∴=，10B z =，2A z =- 10B z ∴=取最大值．此时4y =故答案为：4． 【点睛】本题考查线性规划的线性目标函数的最优解问题. 线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，若可行域是一个封闭的图形，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值；若可行域不是封闭图形还是需要借助截距的几何意义来求最值.15．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，点A 的坐标为(0,2)b ，若直线AF 的倾斜角为45°，则C 的离心率为_________. 23 【解析】根据,A F 两点坐标求得斜率，根据齐次式即可求得离心率. 【详解】 依题意得21AF bk c==， 所以()22222,44c b c b c a===-，即2234c a =，所以23c e a ==. 23. 【点睛】三、双空题16．定义()p n 为正整数n 的各位数字中不同数字的个数，例如(555)1,(93)2,(1714)3p p p ===.在等差数列{}n a 中，2109,25a a ==，则n a =___________，数列(){}n p a 的前100项和为__________.【答案】25n + 227【解析】用())*(n m a a n m d n m N Î＝＋－，求公差，得到通项公式；利用25n a n =+为奇数，分类求出()1n p a =，()2n p a =，()3n p a =的个数，在相加可得. 【详解】因为2109,25a a ==，所以公差2592102d -==-，所以92(2)25n a n n =+-=+.因为11007,205a a ==，且n a 为奇数，所以当7,9,11,33,55,77,99,111n a =时，()1n p a =；当101,113,115,117,119,121,131,133,141,151,155,161,171,177,181,191,199n a =时，()2n p a =.在{}n a 中，小于100的项共有47项，这47项中满足()2n p a =的共有47740-=项，故(){}n p a 的前100项和为182(4017)3(10084017)227⨯+⨯++⨯---=.故答案为：25n + ；227 ． 【点睛】本题考查解决等差数列基本量求通项公式.等差数列基本量计算问题的思路：与等差数列有关的基本运算问题，主要围绕着通项公式1(1)n a a n d =+-和前n 项和公式11()(1)22n n n a a n n dS na +-==+，在两个公式中共涉及五个量：1n n a d n a S ，，，，，已知其中三个量，选用恰当的公式，利用方程(组)可求出剩余的两个量．四、解答题17．设,,a b c 分别为ABC V 内角,,A B C 的对边.已知cos cos a B b A c =+. （1）证明：ABC V 是直角三角形.（2）若D 是AC 边上一点，且3,5,6CD BD BC ===，求ABD △的面积.【答案】（1）证明见解析；（2）9【解析】(1)用正弦定理化简cos cos a B b A c =+可得. （2）用余弦定理求出 ,利用已知数据和利用三角形面积公式. 【详解】（1）证明：因为cos cos a B b A c =+，所以sin cos sin cos sin A B B A C =+. 又sin sin()C A B =+， 所以2sin cos 0B A =.因为sin 0B >，所以cos 0A =， 则2A π=，故ABC V 是直角三角形.（2）解：因为2221cos 215BD CD BC BDC BD CD +-∠==-⨯，所以1cos cos 15BDA BDC ∠=-∠=. 又2A π=，所以1cos 3AD BD BDA =∠=.因为1cos 15BDA ∠=，所以sin 15BDA ∠=故ABD △的面积为1sin 2AD BD BDA ⨯∠=. 【点睛】本题考查三角形正弦定理、余弦定理和面积公式. 判断三角形形状的常用技巧 若已知条件中既有边又有角，则(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． (2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A B C p ++＝这个结论．18．如图，EA ⊥平面,,4,3,,ABC AB BC AB BC BD AC AD CD ⊥=====（1）证明：BD //平面ACE .（2）若几何体EABCD 的体积为10，求三棱锥E ABC -的侧面积. 【答案】（1）证明见解析；（2）935+【解析】（1）先证BD ⊥平面ABC ，结合EA ⊥平面ABC ，即可求得； （2）根据几何体的体积求得EA ，再求侧面积即可. 【详解】（1）证明：因为,BC BD AC AD ==， 所以ABC ABD △≌△. 因为AB BC ⊥，所以AB BD ⊥. 因为222BD BC CD +=，所以BD BC ⊥. 又AB BC B ⋂=，所以BD ⊥平面ABC . 因为EA ⊥平面ABC ，所以EA //BD .因为BD ⊄平面,ACE AE ⊂平面ACE ，所以BD //平面ACE .（2）因为ABC V 的面积13462S =⨯⨯=， 所以几何体EABCD 的积1()2(3)103V S EA BD EA =+=+=，所以2EA =.因为EA ⊥平面,ABC BC ⊂平面ABC ，则BC EA ⊥，又因为BC AB ⊥， 又,EA AB ⊂平面ABE ，故BC ⊥平面ABE ，则BC BE ⊥，所以BCE V 的面积为221324352⨯+= 所以三棱锥E ABC -的侧面积为2211352423493522⨯⨯+⨯+=+【点睛】本题考查线面垂直的证明，棱锥体积的求解，属综合基础题.19．某公司准备上市一款新型轿车零配件，上市之前拟在其一个下属4S店进行连续30天的试销.定价为1000元/件.试销结束后统计得到该4S店这30天内的日销售量（单位：件）的数据如下表：（1）若该4S店试销期间每个零件的进价为650元/件，求试销连续30天中该零件日销售总利润不低于24500元的频率；（2）试销结束后，这款零件正式上市，每个定价仍为1000元，但生产公司对该款零件不零售，只提供零件的整箱批发，大箱每箱有60件，批发价为550元/件；小箱每箱有45件，批发价为600元/件.该4S店决定每天批发两箱，根据公司规定，当天没销售出的零件按批发价的9折转给该公司的另一下属4S店.假设该4店试销后的连续30天的日销售量（单位：件）的数据如下表：（ⅰ）设该4S店试销结束后连续30天每天批发两大箱，这30天这款零件的总利润；（ⅱ）以总利润作为决策依据，该4S店试销结束后连续30天每天应该批发两大箱还是两小箱？【答案】（1）0.3（2）（ⅰ）93.32万元（ⅱ）每天应该批发两大箱【解析】（1）求出日销售总利润不低于24500元所需的日销售件数，得出符合要求的天数，可求对应频率；（2）每天的利润等于销售额加九折的转让费减成本，分别算出两大箱和两小箱30天的总利润作比较.【详解】解：（1）∵试销期间每个零件的利润为1000650350-=元，所以要使得日销售总利润不低于24500元，则日销售零件的件数不能少于2450070 350=，∴所求频率为630.3 30+=.（2）（ⅰ）批发两大箱，则批发成本为60255066000⨯⨯=元， 当日销售量为50件时，当日利润为5010000.9(12050)5506600018650⨯+⨯-⨯-=元； 当日销售量为70件时，当日利润为7010000.9(12070)5506600028750⨯+⨯-⨯-=元； 当日销售量为90件时，当日利润为9010000.9(12090)5506600038850⨯+⨯-⨯-=元； 当日销售量量为110件时，当日利润为11010000.9(120110)5506600048950⨯+⨯-⨯-=元； 所以这30天这款零件的总利润为186505287501538850848950293.32⨯+⨯+⨯+⨯=万元.（ⅱ）若批发两小箱，则批发成本为45260054000⨯⨯=元， 当日销售量为50件时，当日利润为5010000.9(9050)6005400017600⨯+⨯-⨯-=元； 当日销售量为70件时，当日利润为7010000.9(9070)6005400026800⨯+⨯-⨯-=元； 当日销售量为90件或110件时，当日利润为9010005400036000⨯-=元. 所以这30天这款零件的总利润为1760052680015360001085⨯+⨯+⨯=万元，∵93.32万元85>万元， ∴每天应该批发两大箱. 【点睛】本题考查频率的计算，销售利润的计算，运算难度不大，但是需要认真审题，考查数据处理能力和运算求解能力，是基础题. 20．已知函数3()x f x x e =. （1）求()f x 的单调区间；（2）若不等式2()f x mx …对x ∈R 恒成立，求m 的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为[3,)-+∞，单调递减区间为(,3)-∞-；（2）1,e∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】（1）求函数求导，根据导数的正负，即可容易求得函数单调性； （2）分离参数，构造函数()xg x xe =，利用导数求其最值，则问题得解.【详解】（1）232()3e e e (3)x x xf x x x x x '=+=+，令()0f x '≥，得3x ≥-，则()f x 的单调递增区间为[3,)-+∞； 令()0f x '<，得3x <-， 则()f x 的单调递减区间为(,3)-∞-.综上所述：()f x 的单调递增区间为[3,)-+∞，单调递减区间为(,3)-∞-.（2）当0x =时，不等式2()f x mx …即0x …，显然成立. 当0x ≠时，不等式2()f x mx …对x ∈R 恒成立，等价于x m xe „对x ∈R 恒成立. 设()(0),()(1)xxg x xe x g x x e '=≠=+， 令()0g x '<，得1x <-； 令()0g x '>，得1x >-且0x ≠. 所以min 1()(1)g x g e=-=-. 所以1m e -„，即m 的取值范围为1,e ∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查具体函数单调区间的求解，利用导数由恒成立问题求参数范围，属综合基础题. 21．设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，直线l 与抛物线交于,M N 两点. （1）若l 过点F ，且||3MN p =，求l 的斜率； （2）若(,)2pP p ，且l 的斜率为1-，当P l ∉时，求l 在y 轴上的截距的取值范围（用p 表示），并证明MPN ∠的平分线始终与y 轴平行.【答案】（1）（2）33(,)(,)222p p p-⋃+∞，证明见解析【解析】（1）设直线l 的方程为()(0)2py k x k =-≠与抛物线方程联立求解，得到12x x +，12x x ，利用||3MN p =转化求k 即可.（2）直线l 的方程为,y x m =-+与抛物线方程联立求解，利用根与系数的关系可得y 轴上的截距的取值范围；要证明MPN ∠的平分线与y 轴平行，则只需要直线,PM PN 的斜率互补，即证明0PM PN k k +=. 【详解】解：（1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2px =，代入抛物线方程可得22y p =，即y p =±，所以||2MN p =，但||3MN p =，故直线l 的斜率存在，设其方程为(0)2p y k x k ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭. 由2(),22,p y k x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得22222(2)04k p k x k p p x -++=，设()()1122,,,M x y N x y ，则21222k p px x k ++=，所以2121222||||||322p p k p pMN MF NF x x x x p p p k+=+=+++=++=+=，解得k =l的斜率为.（2）设直线l 的方程为()()1122,,,,y x m M x y N x y =-+. 由2,2,y x m y px =-+⎧⎨=⎩得22(22)0x m p x m -++=， 则2121222,x x m p x x m +=+=.由22(22)40m p m ∆=+->，得2p m >-.又2p m p -+≠，所以32p m ≠，从而l 在y 轴上的截距的取值范围为33(,)(,)222p p p-⋃+∞.()()1221121212()()22()()2222PM PN p p y p x y p x y p y p k k p p p p x x x x --+----+=+=---- ()()111222()()22()()22p px m p x x m p x p p x x -+--+-+--=-- 2121221122()()()2()(22)()220()()()()2222p px x m x x p m p m m m p p m p p p p p x x x x -+-+---+-+--===----，所以直线,PM PN 的斜率互补，从而MPN ∠的平分线始终与y 轴平行. 【点睛】利用抛物线的定义解决问题时，应灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化．“看到准线应该想到焦点，看到焦点应该想到准线”，这是解决抛物线距离有关问题的有效途径．22．在直角坐标系xOy 中，曲线:|3|C y k x =-.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E 的极坐标方程为276(cos 2sin )ρθθρ+=+.（1）求E 的直角坐标方程（化为标准方程）； （2）若曲线E 与C 恰有4个公共点，求k 的取值范围. 【答案】（1）22(3)(6)18x y -+-=；（2）(1,)+∞ 【解析】（1）化简276(cos 2sin )ρθθρ+=+为26cos 12sin 270ρρθρθ--+=再用极直互化公式求解直角坐标方程.（2）:|3|C y k x =-图象是关于直线3x =对称，曲线E 与C 恰有4个公共点等价于3x …时，曲线C ：3y kx k =-与圆有两个交点，则利用圆心到直线的距离小于半径求出k 范围. 【详解】 解：（1）276(cos 2sin )ρθθρ+=+Q ，26cos 12sin 270ρρθρθ∴--+=.22cos ,sin ,612270x y x y x y ρθρθ==∴+--+=Q ，E ∴的直角坐标方程为22(3)(6)18x y -+-=.（2）易知曲线C 过定点(3,0)M ，其图象是关于直线3x =对称的“V ”字形，又曲线E 为以(3,6)为圆心，0k ∴>.当3x …时，曲线C 的方程为3y kx k =-，即30kx y k --=，则圆心(3,6)到直线的距离d ==<解得21k >，又0k >，故k 的取值范围为(1,)+∞. 【点睛】本题考查极坐标方程直角坐标方程相互转换及利用两曲线有公共点，求参数的取值范围.（1）直角坐标方程化为极坐标方程只需将直角坐标方程中的,x y 分别用cos ρθ，sin ρθ代替即可得到相应极坐标方程．（2）直接求解，能达到化繁为简的解题目的；如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决.23．已知函数()|25||21|f x x x =--+. （1）求不等式()1f x >的解集；（2）若不等式，()|42||||4|f x x t m t m ++>--++对任意x ∈R ，任意t R ∈恒成立，求m 的取值范围. 【答案】（1）3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；（2）(,1)-∞ 【解析】(1) 利用零点分区间法去掉绝对值符号分组讨论求求并集()2不等式等价变形，由三角不等式()|25||21|6h x x x =-++≥，|||4||(4)||4|t m t m t m t m m m --++--++=++„得到6|4|m m >++求解【详解】解：（1）不等式()1f x >等价于1,261x ⎧-⎪⎨⎪>⎩„或15,22441x x ⎧-<<⎪⎨⎪-+>⎩或5,261,x ⎧⎪⎨⎪->⎩…即12x -„或1324x -<<所以不等式()1f x >的解集为3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.（2）()|42||||4|f x x t m t m ++>--++等价于|25||21||||4|x x t m t m -++>--++.令()|25||21|h x x x =-++，则()|25(21)|6h x x x --+=…， 所以min ()6h x =.而|||4||(4)||4|t m t m t m t m m m --++--++=++„， 所以6|4|m m >++，所以646m m m -<+<-，解得1m <，即m 的取值范围为(,1)-∞. 【点睛】本题考查含有两个绝对值符号的不等式解法及利用三角不等式解恒成立问题. （1）含有两个绝对值符号的不等式常用解法可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解（2）利用三角不等式a b a b a b １?－＋把不等式恒成立问题转化为函数最值问题.。
2020年黑龙江省哈尔滨市高考数学模拟试卷(文科)(5月份) (含解析)
2020年黑龙江省哈尔滨市高考数学模拟试卷(文科)(5月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={2,3，4}，B={x|1+x>3}，则A∩B=()A. {4}B. {2}C. {3,4}D. {2,3}2.复数z=4+3ii，则|z|=()A. √5B. 4C. 5D. 253.已知向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(2,0)，c⃗=(1,−2)，若向量λa⃗+b⃗ 与c⃗共线，则实数λ的值为()A. −2B. −13C. −1 D. −234.若实数x，y满足约束条件{x+y≥0x−y≥−12x−y≤2，则目标函数z=x−2y的最小值是()A. −5B. −32C. 0D. 25.已知双曲线x2−y2b2=1(b>0)的一个焦点到它的一条渐近线的距离为√3，则该双曲线的离心率为()A. √3B. 2C. 3D. 46.已知函数f(x)=sin4x−cos4x，则下列说法正确的是()A. f(x)的最小正周期为2πB. f(x)的最大值为2C. f(x)的图像关于y轴对称D. f(x)在区间[π4,π2]上单调递减7.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该作完善了珠算口诀，确立了算盘用法．该作中有题为“李白沽酒：李白街上走，提壶去买酒．遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒．借问此壶中，原有多少酒？”如图为该问题的程序框图，若输出的S值为0，开始输入的S值满足cos(Sπ−α)=13，则sin(38π−α)=()A. 13B. −13C. 2√23D. −2√338. 设a =log 35，b =log 2√5，c =(14)0.2，则( )A. c >b >aB. b >c >aC. b >a >cD. a >b >c9. “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于√212.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为A. √23fB. √223fC. √2512fD. √2712f10. 正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点Q 是线段D 1C 1的中点，点P 在线段AA 1上，且AP =2A 1P ，则异面直线PQ 与AB 所成角的余弦值为( )A. 2√103B. 2√107C. −√107D. 3711. 若函数y =f(x)(x ∈R)满足f(x +1)=−f(x)，且x ∈[−1,1]时f(x)=1−x 2，函数g(x)={lgx(x >0)−1x (x <0)，则函数ℎ(x)=f(x)−g(x)在区间[−5,4]内的零点的个数为( )A. 7B. 8C. 9D. 1012. 已知f (x )= xlnx − ax ，g (x )= x 3− x +6，若对任意的x ∈(0,+∞)，2 f (x )≤ g ′(x )+2恒成立，则实数a 的取值范围为( )A. [−2,−13]B. [−2,+∞)C. (−∞,−13]D. (−∞,−2]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 若sinθ=14，θ∈(0,π2)，则tan2θ=______．14. 已知f(x)=xln(x −1)，则曲线y =f(x)在点(2,f(2))处的切线方程是__________．15. 已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S nT n=3n−112n+7，则a6b 6= ______ ． 16. 已知抛物线C ：y 2=−4x 的焦点为F ，A(−2,1)，P 为抛物线C 上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，现从高一学生中抽取100人做调查，得到2×2列联表：且已知在100个人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为35．(1)请完成上面的列联表；(2)根据列联表的数据，是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由．参考公式与临界值表：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．18.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足sin B2=√55，BA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗ =6．(1)求△ABC的面积；(2)若c=2，求b的值．19.已知四棱锥P−ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，△PAB是等边三角形，AB=2，PC=√6，AB的中点为E(1)证明：PE⊥平面ABCD；(2)求三棱锥D−PBC的体积．20.记焦点在同一条轴上且离心率相同的椭圆为“相似椭圆”.已知椭圆E:x24+y23=1，以椭圆E的顶点为焦点作相似椭圆M．(1)求椭圆M的方程；(2)设直线l与椭圆M交于A，B两点，且与椭圆E仅有一个公共点，试判断△ABO的面积是否为定值(O为坐标原点)？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．21.已知函数f(x)=lnx−ax(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a>0时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值．22.已知在极坐标系中曲线C的极坐标方程为．(Ⅰ)求曲线C与极轴所在直线围成图形的面积；(Ⅱ)设曲线C与曲线ρsinθ=1交于A、B，求|AB|．23.已知函数f(x)=|x−a|+|x+b|(a>0,b>0)．(1)当ab=1时，证明：f(x)≥2；(2)若f(x)的值域为[2,+∞)，且f(3)=5，解不等式f(x)≥4．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：B={x|x>2}；∴A∩B={3,4}．故选：C．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算．2.答案：C解析：解：z=4+3ii =(4+3i)ii2=−(−3+4i)=3−4i，∴|z|=√32+(−4)2=5，故选：C．利用复数代数形式的乘除运算化简，再求模即可．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：C解析：解：λa⃗+b⃗ =λ(1,2)+(2,0)=(λ+2,2λ)，∵向量λa⃗+b⃗ 与c⃗共线，∴−2×(2+λ)−2λ=0，解得λ=−1．故选：C．利用向量运算法则和向量共线定理即可得出．本题考查了向量运算法则和向量共线定理，属于基础题．4.答案：A解析：本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，属于基础题．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．解：由z =x −2y 得y =12x −z2作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分ABC)：平移直线y =12x ，由图象可知当直线y =12x −z2，过点B 时，直线y =12x −z2的截距最大，此时z 最小， 由{x −y =−12x −y =2，解得B(3,4)． 代入目标函数z =x −2y ， 得z =3−8=−5，∴目标函数z =x −2y 的最小值是−5， 故选：A ．5.答案：B解析：本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的标准方程，属于基础题．根据题意，设双曲线的一个焦点为(c,0)，由双曲线的方程求出渐近线的方程，结合点到直线的距离公式可得b =√3，由双曲线的几何性质计算求出离心率的值． 解：根据题意，设双曲线x 2−y 2b =1的一个焦点为(c,0)，a =1，其中一条渐近线的方程为y =bx ，即bx −y =0， 若双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为√3， 则有√1+b 2=b =√3， 则c =√1+b 2=2，则双曲线的离心率e =ca =2；故选：B．6.答案：C解析：本题考查二倍角公式，三角函数的图象和性质，属于基础题．可得f(x)=−cos2x，对选项进行判断即可．解：∵f(x)=sin4x−cos4x=sin2x−cos2x=−cos2x，∴函数f(x)的最小正周期T=π，函数f(x)的最大值为1，排除A，B；可知：函数f(x)的定义域为R，∵f(−x)=−cos(−2x)=−cos2x=f(x)，∴f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，C正确；∵y=cos2x在[π4,π2]上单调递减，故f(x)=−cos2x在[π4,π2]上单调递增，排除D，故选C．7.答案：B解析：解：第一次执行循环体后，i=1，S=2S−1，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，i=2，S=4S−3，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，i=3，S=8S−7，满足退出循环的条件；故输出S=0，∴输入的S=78∴cos(Sπ−α)=13=cos(π2+38π−a)=−sin(38π−a)，则sin(38π−α)=−13故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．再借助诱导公式，即可得到答案．。
【精准解析】黑龙江省哈尔滨实验中学2020届高三二模考试数学(文)试题
【详解】分两种情况讨论：①甲与 C 被派往了一中，此时，派往一中的老师包含1种情况：甲 C；
-4-
②甲与 C 被派往了二中，此时，派往一中的老师包含 4 种情况：乙 A 、乙 B 、丙 A 、丙 B . 而被派往一中的老师包含 9 种情况：甲 A 、甲 B 、甲 C 、乙 A 、乙 B 、乙 C 、丙 A 、丙 B 、 丙C . 综上所述，甲与 C 被派到同一所学校的概率为 P 1 4 5 .
夏的日影子长为：（ ）
A. 15.5 尺
B. 12.5 尺
C. 9.5 尺
D. 6.5 尺
【答案】D
【解析】
【分析】
利用等差数列的通项公式列出方程组，求出立夏的影子长即可.
99
故选：B.
【点睛】本题考查利用古典概型的概率公式计算事件的概率，一般要求列举出基本事件，考
查计算能力，属于基础题.
7.《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：从冬至之日起，小寒、大寒、
立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成
等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是 37.5 尺，芒种的日影子长为 4.5 尺，则立
3 0
2y 3
2
2
dy
，
由牛顿—莱布尼茨公式：
V
3
0
2y 3
2
2
dy
3
0
4 9
y2
8 3
y
4
dy
4 27
y3
4 3
y2
4y
|30
4
.
故选：C. 【点睛】本题考查用定积分求简单几何体的体积，求解的关键是找出被积函数以及积分区间， 属于基础题．
2020年黑龙江省高考数学模拟试卷和答案(文科)(5月份)
2020年黑龙江省高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若集合A＝{x|﹣3＜x＜4}，B＝{y|y＞0}，则A∩B＝（）A．∅B．[0，4）C．（0，4）D．（﹣3，0）2．（5分）设z＝2+（3﹣i）2，则＝（）A．6+10i B．6﹣10i C．10+6i D．10﹣6i 3．（5分）已知P为椭圆+＝1短轴的一个端点，F1，F2是该椭圆的两个焦点，则△PF1F2的面积为（）A．2B．4C．D．24．（5分）2020年1月，某专家为了解新型冠状病毒肺炎的潜伏期他从确诊感染新型冠状病毒的70名患者中了解到以下数据：潜伏期2天3天5天6天7天9天10天12天人数248101616104根据表中数据，可以估计新型冠状病毒肺炎的潜伏期的平均值为（精确到个位数）（）A．6天B．7天C．8天D．9天5．（5分）若函数f（x）＝3x+log2（x﹣2），则＝（）A．24B．25C．26D．276．（5分）设等比数列{a n}的前6项和为6，且公比q＝2，则a1＝（）A．B．C．D．7．（5分）在平行四边形ABCD中，若，则＝（）A．﹣B．C．﹣D．﹣8．（5分）已知AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于A，B的一点，D为下底面圆周上一点，且AD⊥圆柱的底面，则必有（）A．平面ABC⊥平面BCD B．平面BCD⊥平面ACDC．平面ABD⊥平面ACD D．平面BCD⊥平面ABD 9．（5分）若函数f（x）＝2cos（2x﹣）﹣1在[0，m]上的最小值小于零，则m的取值范围为（）A．（，]B．（，+∞）C．（，]D．（，+∞）10．（5分）已知函数f（x）＝（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）（x ﹣5），则曲线y＝f（x）在点（2，0）处的切线方程为（）A．y＝﹣3x+6B．y＝﹣6x+12C．y＝3x﹣6D．y＝6x﹣12 11．（5分）某几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，则该几何体外接球的表面积为（）A．B．C．25πD．32π12．（5分）已知函数若关于x的方程2f2（x）﹣（2m+1）f（x）+m＝0恰有3个不同的实根，则m的取值范围为（）A．（1，2）B．[2，5）∪{1}C．{1，5}D．（2，5）∪{1}二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．（5分）小周今年暑假打算带父母去国外旅游，他决定从日本泰国、法国、加拿大、韩国、墨西哥、英国这7个国家中随机选取1个国家，则他去旅游的国家来自亚洲的概率为．14．（5分）设x，y满足约束条件，则当z＝2x+y取得最大值时，y＝．15．（5分）已知双曲线的左焦点为F，点A 的坐标为（0，2b），若直线AF的倾斜角为45°，则C的离心率为．16．（5分）定义p（n）为正整数n的各位数字中不同数字的个数，例如p（555）＝1，p（93）＝2，p（1714）＝3．在等差数列{a n}中，a2＝9，a10＝25，则a n＝，数列{p（a n）}的前100项和为．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．设a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．已知acosB＝bcosA+c，（1）证明：△ABC是直角三角形．（2）若D是AC边上一点，且CD＝3，BD＝5，BC＝6，求△ABD 的面积．18．如图，EA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝4，BC＝BD＝3，AC ＝AD，CD＝3．（1）证明：BD∥平面ACE．（2）若几何体EABCD的体积为10，求三棱椎E﹣ABC的侧面积．19．某公司准备上市一款新型轿车零配件，上市之前拟在其一个下属4S店进行连续30天的试销，定价为1000元/件．试销结束后统计得到该4S店这30天内的日销售量（单位：件）的数据如表：406080100日销售量频数91263（1）若该4S店试销期间每个零件的进价为650元/件，求试销连续30天中该零件日销售总利润不低于24500元的频率．（2）试销结束后，这款零件正式上市，每个定价仍为1000元，但生产公司对该款零件不零售，只提供零件的整箱批发，大箱每箱有60件，批发价为550元/件；小箱每箱有45件，批发价为600元/件，该4S店决定每天批发两箱，根据公司规定，当天没销售出的零件按批发价的9折转给该公司的另一下属4S店，假设该4S店试销后的连续30天的日销售量（单位：件）的数据如表：507090110日销售量频数51582（i）设该4S店试销结束后连续30天每天批发两大箱，求这30天这款零件的总利润；（ii）以总利润作为决策依据，该4S店试销结束后连续30天每天应该批发两大箱还是两小箱？20．已知函数f（x）＝x3e x．（1）求f（x）的单调区间；（2）若不等式f（x）≥mx2对x∈R恒成立，求m的取值范围．21．设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线l与抛物线交于M，N两点．（1）若l过点F，且|MN|＝3p，求l的斜率；（2）若，且l的斜率为﹣1，当P∉l时，求l在y轴上的截距的取值范围（用p表示），并证明∠MPN的平分线始终与y轴平行．（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C：y＝k|x﹣3|．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E的极坐标方程为．（1）求E的直角坐标方程（化为标准方程）；（2）若曲线E与C恰有4个公共点，求k的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣5|﹣|2x+1|．（1）求不等式f（x）＞1的解集；（2）若不等式f（x）+|4x+2|＞|t﹣m|﹣|t+4|+m对任意x∈R，任意t∈R恒成立，求m的取值范围．2020年黑龙江省高考数学模拟试卷（文科）（5月份）答案与解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：因为集合A＝{x|﹣3＜x＜4}＝（﹣3，4），B＝（0，+∞），所以A∩B＝（0，4）．故选：C．2．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：因为z＝2+8﹣6i＝10﹣6i，所以＝10+6i．故选：C．3．【分析】根据方程可得到b，c的值，进而可求出面积【解答】解：根据条件可得b2＝2，c2＝3﹣2＝1，则b＝，c＝1，则△PF1F2的面积＝×2c×b＝bc＝，故选：C．4．【分析】利用平均值的定义求解．【解答】解：因为＝≈7，所以新型冠状病毒肺炎的潜伏期的平均值为7天，故选：B．5．【分析】直接把变量代入解析式，再结合对数的运算性质即可求解．【解答】解：因为f（x）＝3x+log2（x﹣2），∴，所以．故选：D．6．【分析】利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：由题意可得，即．故选：A．7．【分析】直接利用平行四边形的法则和向量的线性运算的应用求出结果．【解答】解：在平行四边形ABCD中，若，所以，则＝．故选：A．8．【分析】画出图形，结合直线与平面垂直的判断定理，转化证明平面与平面垂直，推出结果即可．【解答】解：因为AB是圆柱上底面的一条直径，所以AC⊥BC，又AD垂直圆柱的底面，所以AD⊥BC，因为AC∩AD＝A，所以BC⊥平面ACD，因为BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面ACD．故选：B．9．【分析】由已知可求2x﹣∈[﹣，2m﹣]，利用换元法求出角的范围，结合余弦函数的图象求出函数的零点，利用数形结合进行转化求就叫即可．【解答】解：∵x∈[0，m]，∴2x﹣∈[﹣，2m﹣]，设t＝2x﹣，则t∈[﹣，2m﹣]，作出函数y＝2cost﹣1的图象如图，由y＝2cost﹣1＝0得cost＝，则t＝+2kπ或t＝﹣+2kπ，则当t＞0时的，第一个零点为t＝，即当﹣≤t≤时，y＝2cost﹣1≥0，要使y＝2cost﹣1在t∈[﹣，2m﹣]上的最小值小于0，则只需要2m﹣＞，即可，得2m＞，得m＞，∴m的取值范围为（，+∞）．故选：D．10．【分析】先求得f（x）＝（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）（x﹣5）的导函数，再利用导数的几何意义求得切线的斜率，进而求得切线方程．【解答】解：∵f（x）＝（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）（x﹣5），令（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）（x﹣5）＝g（x）则f′（x）＝g（x）+（x﹣1）[g（x）]′，令h（x）＝（x﹣3）（x﹣4）（x﹣5），则h′（x）＝（x﹣4）（x﹣5）+（x﹣3）（2x ﹣9）∴f′（x）＝g（x）+（x﹣1）[h（x）+（x﹣2）h′（x）]∴曲线y＝f（x）在点（2，0）处的切线的斜率k＝f′（2）＝g（2）+h（2）＝h（2）＝﹣6，∴曲线y＝f（x）在点（2，0）处的切线方程为y﹣0＝﹣6（x﹣2），即y＝﹣6x+12．故选：B．11．【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体是三棱锥，底面三角形ABC是边长为2的等边三角形，PA⊥底面ABC，找出三棱锥外接球的球心，求出外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体是三棱锥，底面三角形ABC是边长为2的等边三角形，PA⊥底面ABC，设底面三角形ABC的外心为G，过G作底面的垂线GO，且使GO＝AP．则O为三棱锥P﹣ABC外接球的球心，连接OB，∵GB＝，OG＝2，∴三棱锥外接球的半径R＝OB＝．∴该几何体外接球的表面积为4π×．故选：B．12．【分析】利用方程，求出f（x）的值，结合函数的图象，判断求解即可．【解答】解：由2f2（x）﹣（2m+1）f（x）+m＝[2f（x）﹣1][f（x）﹣m]＝0，得或f（x）＝m，作出y＝f（x）的图象，如图所示，由图可知，方程有1个实根，故方程f（x）＝m有2个实根，故m的取值范围为[2，5）∪{1}．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．【分析】这7个国家中是亚洲国家的有：日本、泰国．韩国，由此能求出他去旅游的国家来自亚洲的概率．【解答】解：小周今年暑假打算带父母去国外旅游，他决定从日本泰国、法国、加拿大、韩国、墨西哥、英国这7个国家中随机选取1个国家，这7个国家中是亚洲国家的有：日本、泰国．韩国，则他去旅游的国家来自亚洲的概率p＝．故答案为：．14．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，当直线y＝﹣2x+z经过A点时，直线y＝﹣2x+z的截距最大，此时z最大，A（3，4），则z＝2x+y＝2×3+4＝10，此时y＝4．故答案为：4．15．【分析】先通过A、F两点的坐标表示出直线AF的斜率，结合其倾斜角为45°，得到c＝2b，由于b2＝c2﹣a2，代入化简后得3c2＝4a2，于是可求得离心率．【解答】解：依题意得，点F的坐标为（﹣c，0），∴直线AF的斜率，∴c＝2b，即c2＝4b2＝4（c2﹣a2），化简整理3c2＝4a2，∴．故答案为：．16．【分析】在等差数列{a n}中，a2＝9，a10＝25，公差d＝2，利用通项公式可得a n．可得a1＝7，a100＝205．a n为奇数，通过分类讨论：p（a n）＝1．p（a n）＝2．p（a n）＝3．即可得出．【解答】解：在等差数列{a n}中，a2＝9，a10＝25，公差d＝＝2，∴a n＝9+2（n﹣2）＝2n+5．∵a1＝7，a100＝205．a n为奇数，∴a n＝7，9，11，33，55，77，99，111时，p（a n）＝1．a n＝101，113，115，117，119，121，131，133，141，151，155，161，171，177，181，191，199时，p（a n）＝2．在{a n}中，小于100的项共有47项，这47项中满足p（a n）＝2的共有47﹣7＝40项，故数列{p（a n）}的前100项和为：1×8+2×（40+17）+3×（100﹣8﹣40﹣17）＝227．故答案为：2n+5，227．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．【分析】（1）利用正弦定理化角，然后由三角函数值相等得到角之间的关系，即可求出A是直角；（2）先在△DBC中利用余弦定理求出C角，然后再在直角三角形ABC中求出AB，AC，则面积可求．【解答】解（1）由正弦定理acosB＝bcosA+c化为：sinAcosB＝sinBcosA+sinC，∴sinAcosB﹣sinBcosA＝sinC，∴sin（A﹣B）＝sinC，∵A﹣B∈（﹣π，π），C∈（0，π），∴A﹣B＝C或A﹣B＝π﹣C（舍）∴A＝B+C，∴．即△ABC是直角三角形．（2）在Rt△BCD中，CD＝3，BD＝5，BC＝6，由余弦定理得．∴．∴，∴AD＝AC﹣CD＝，又．∴．18．【分析】（1）推导出△ABC≌△ABD，从而AB⊥BD，推导出BD⊥BC．从而BD⊥平面ABC，再由EA⊥平面ABC，得EA∥BD，由此能证明BD∥平面ACE．（2）△ABC的面积S＝6，由几何体EABCD的体积为10，解得EA＝2，推导出BC⊥AE，AB⊥BC，得BC⊥BE，三棱椎E﹣ABC 的侧面积为S＝S△ABE+S△BCE+S△AEC．【解答】解：（1）证明：∵BC＝BD，AC＝AD，AB＝AB，∴△ABC≌△ABD，∵AB⊥BC，∴AB⊥BD，∵AB＝4，BC＝BD＝3，AC＝AD，CD＝3．∴BD2+BC2＝CD2，∴BD⊥BC．∵AB∩BC＝B，∴BD⊥平面ABC，∵EA⊥平面ABC，∴EA∥BD，∵BD⊄平面ACE，AE⊂平面ACE，∴BD∥平面ACE．（2）解：∵△ABC的面积S＝＝6，几何体EABCD的体积为10，∴几何体EABCD的体积为：V＝，解得EA＝2，∵EA⊥平面ABC，∴BC⊥AE，又AB⊥BC，AE∩AB＝A，∴BC⊥平面ABE，∴BC⊥BE，∴三棱椎E﹣ABC的侧面积为：S＝S△ABE+S△BCE+S△AEC＝＝++＝4+3+5＝9+3．19．【分析】（1）要使得日销售总利润不低于24500元，则日销售零件的件数不能少于，根据题意，求出大于等于70件的频率即可；（2）（i）若4S店试销结束后连续30天每天批发两大箱，则批发成本为60×2×550＝66000元，分别求出日销售量为50件，70件，90件，110件的利润，再求出总利润；（ii）若该4S店试销结束后连续30天每天批发两小箱，则批发成本为45×2×600＝54000元，分别求出日销售量为50件，70件，90件，110件的利润，再求出总利润，根据（i）的计算结果，比较判断出最好的方案即可．【解答】解：（1）因为试销期间每个零件的利润为1000﹣650＝350元，所以要使得日销售总利润不低于24500元，则日销售零件的件数不能少于，根据题中数据大于等于70件的频数为6+3＝9，故所求频率为；（2）（i）该4S店试销结束后连续30天每天批发两大箱，则批发成本为60×2×550＝66000元，当日销售量为50件时，当日利润为50×1000+0.9×（120﹣50）×550﹣66000＝18650元；当日销售量为70件时，当日利润为70×1000+0.9×（120﹣70）×550﹣66000＝28750元；当日销售量为90件时，当日利润为90×1000+0.9×（120﹣90）×550﹣66000＝38850元；当日销售量为110件时，当日利润为110×1000+0.9×（120﹣110）×550﹣66000＝48950元．所以这30天这款零件的总利润为18650×5+28750×15+38850×8+48950×2＝93.32万元；（ii）若该4S店试销结束后连续30天每天批发两小箱，则批发成本为45×2×600＝54000元，当日销售量为50件时，当日利润为50×1000+0.9×（90﹣50）×600﹣54000＝17600元；当日销售量为70件时，当日利润为70×1000+0.9×（90﹣70）×600﹣54000＝26800元；当日销售量为90件或110件时，当日利润为90×1000﹣54000＝36000元，所以这30天这款零件的总利润为17600×5+26800×15+36000×10＝85万元，因为93.32万元＞85万元，所以每天应该批发两大箱．20．【分析】（1）求导得f′（x）＝x2e x（x+3），令f′（x）≥0，令f′（x）＜0，进而可得函数得单调递增，递减区间．（2）当x＝0时，原不等式为0≥0，显然成立，当x≠0时，原不等式等价于m≤xe x对x∈R恒成立，设g（x）＝xe x（x≠0），只需求出g（x）的最小值，即可得到答案．【解答】解：（1）f′（x）＝3x2e x+x3e x＝x2e x（x+3），令f′（x）≥0，得x≥﹣3，则f（x）的单调递增区间为[﹣3，+∞）；令f′（x）＜0，得x＜﹣3，则f（x）的单调递减区间为[﹣∞，﹣3）；（2）当x＝0时，不等式f（x）≥mx2，即0≥0，显然成立，当x≠0时，不等式f（x）≥mx2对x∈R恒成立，等价于m≤xe x 对x∈R恒成立，设g（x）＝xe x（x≠0），g′（x）＝（x+1）e x，令g′（x）＜0，得x＜﹣1，令g′（x）＞0，得x＞﹣1，且x≠0，所以g（x）min＝g（﹣1）＝﹣，所以m≤﹣，即m的取值范围为（﹣∞，﹣]．21．【分析】（1）当直线l的斜率不存在时，判断是否满足题意；设其方程为．联立直线与抛物线方程，设M（x1，y1），N（x2，y2），通过韦达定理以及抛物线的性质，求解即可．（2）设直线l的方程为y＝﹣x+m，M（x1，y1），N（x2，y2）．直线代入抛物线方程，利用韦达定理以及判别式，转化求解k PM+k PN ＝0，说明直线PM，PN的斜率互补，从而∠MPN的平分线始终与y轴平行．【解答】解：（1）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，代入抛物线方程可得y2＝p2，即y＝±p，所以|MN|＝2p，但|MN|＝3p，故直线l的斜率存在，设其方程为．由得，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，所以，解得，所以直线l的斜率为．（2）设直线l的方程为y＝﹣x+m，M（x1，y1），N（x2，y2）．得x2﹣（2m+2p）x+m2＝0，则．由△＝（2m+2p）2﹣4m2＞0，得．又，所以，从而l在y轴上的截距的取值范围为．＝＝＝，所以直线PM，PN的斜率互补，从而∠MPN的平分线始终与y轴平行．（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用点到直线的距离公式的应用求出结果．【解答】解：（1）曲线E的极坐标方程为．转换为直角坐标方程为x2+y2﹣6x﹣12y+27＝0，整理得（x﹣3）2+（y﹣6）2＝18．（2）易知曲线E过定点M（3，0）其图象关于直线x＝3对称的“V”字形．由于曲线E是以（3，6）为圆心3为半径的圆，所以k＞0，当x≥3时，曲线C的方程为y＝kx﹣3k，即kx﹣y﹣3k＝0，则圆心（3，6）到直线的距离d＝，解得k2＞1，由于k＞0，所以k＞1．[选修4-5：不等式选讲]23．【分析】（1）由绝对值的定义，去绝对值符号，解不等式，求并集，可得所求解集；（2）原不等式等价为|2x﹣5|+|2x﹣1|＞|t﹣m|﹣|t+4|+m，由绝对值不等式的性质分别求得此不等式的左右两边的最小值和最大值，解绝对值不等式，可得所求范围．【解答】解：（1）|2x﹣5|﹣|2x+1|＞1等价为或或，解得x≤﹣或﹣＜x＜或x∈∅，所以原不等式的解集为（﹣∞，）；（2）不等式f（x）+|4x+2|＞|t﹣m|﹣|t+4|+m等价为|2x﹣5|+|2x﹣1|＞|t﹣m|﹣|t+4|+m，可令h（x）＝|2x﹣5|+|2x﹣1|，则h（x）≥|2x﹣5﹣2x﹣1|＝6，当且仅当（2x﹣5）（2x+1）≤0，取得等号，即h（x）min＝6，而|t﹣m|﹣|t+4|+m≤|t﹣m﹣t﹣4|+m＝m+|m+4|，由题意可得6＞m+|m+4|，即m﹣6＜m+4＜6﹣m，解得m＜1，则m的取值范围是（﹣∞，1）．。
黑龙江省部分学校2020届高三5月联考试题 数学(文科)+Word版含答案
A.24 B.25 C.26 D.27
6.设等比数列{an}的前 6 项和为 6，且公比 q＝2，则 a1＝
2
1
4
5
A.
B.
C.
D.
21
7
21
21
7.在平行四边形 ABCD 中，若 CE 4ED ，则 BE ＝
-1-
A.
4
AB
AD
5
B.
4
AB
AD
5
C.
AB
4
AD
5
D.
3
AB
(i)设该 4S 店试销结束后连续 30 天每天批发两大箱，求这 30 天这款零件的总利润；
(ii)以总利润作为决策依据，该 4S 店试销结束后连续 30 天每天应该批发两大箱还是两小箱? 20.(12 分) 已知函数 f(x)＝x3ex。
(1)求 f(x)的单调区间； (2)若不等式 f(x)≥mx2 对 x∈R 恒成立，求 m 的取值范围。 21.(12 分) 设抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点为 F，直线 l 与抛物线交于 M，N 两点。 (1)若 l 过点 F，且|MN|＝3p，求 l 的斜率；
(1)证明：BD//平面 ACE。 (2)若几何体 EABCD 的体积为 10，求三棱锥 E－ABC 的侧面积。 19.(12 分) 某公司准备上市一款新型轿车零配件，上市之前拟在其一个下属 4S 店进行连续 30 天的试销， 定价为 1000 元/件。试销结束后统计得到该 4S 店这 30 天内的日销售量(单位：件)的数据如下 表：
在等差数列{an}中，a2＝9，a10＝25，则 an＝
，数列{p(an)}的前 100 项和为
。
(本题第一空 2 分，第二空 3 分)
2020届黑龙江省高三5月联考数学(文科)试题
【解析】
【分析】
根据 两点坐标求得斜率，根据齐次式即可求得离心率.
【详解】
依题意得 ，
所以 ，
即 ，所以 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查双曲线离心率的求解，属基础题.
16． 227
【解析】
【分析】
用 求公差，得到通项公式；利用 为奇数，分类求出 ， ， 的个数，在相加可得.
【详解】
因为 ，所以公差 ，所以 .因为 ，且 为奇数，所以当 时， ；
（2）若 是 边上一点，且 ，求 的面积.
18．如图， 平面 .
（1）证明： //平面 .
（2）若几何体 的体积为10，求三棱锥 的侧面积.
19．某公司准备上市一款新型轿车零配件，上市之前拟在其一个下属4S店进行连续30天的试销.定价为1000元/件.试销结束后统计得到该4S店这30天内的日销售量（单位：件）的数据如下表：
【分析】
（1）先证 平面 ，结合 平面 ，即可求得；
（2）根据几何体的体积求得 ，再求侧面积即可.
【详解】
（1）证明：因为 ，
所以 .
因为 ，所以 .
因为 ，所以 .
又 ，所以 平面 .
因为 平面 ，所以 // .
因为 平面 平面 ，所以 //平面 .
（2）因为 的面积 ，
所以几何体 的积 ，
所以 .
（1）若 过点 ，且 ，求 的斜率；
（2）若 ，且 的斜率为 ，当 时，求 在 轴上的截距的取值范围（用 表示），并证明 的平分线始终与 轴平行.
22．在直角坐标系 中，曲线 .以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（1）求 的直角坐标方程（化为标准方程）；
黑龙江省哈尔滨第九中学2020届高三5月高考文科数学模拟试卷 (解析版)
2020年高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题（共12小题）.1．若复数（1+mi）（3+i）（i是虚数单位，m∈R）是纯虚数，则复数的模等于（）A．1B．2C．3D．42．“m”是“直线（m+2）x+3my+1＝0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3＝0相互垂直”的（）A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件3．将甲、乙两个篮球队5场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，由图可知以下结论正确的是（）A．甲队平均得分高于乙队的平均得分B．甲队得分的中位数大于乙队得分的中位数C．甲队得分的方差大于乙队得分的方差D．甲乙两队得分的极差相等4．已知有下面程序，若程序执行后输出的结果是11880，则在程序后面的“横线”处应填（）A．i≥9B．i＝8C．i≥10D．i≥85．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为2n﹣1，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前55项和为（）A．4072B．2026C．4096D．20486．有两条不同的直线m，n与两个不同的平面α，β，下列结论中正确的是（）A．α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥βB．m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n C．m∥n，n⊆α，则m∥αD．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n7．已知函数，则下列关于函数f（x）图象的结论正确的是（）A．关于点（0，0）对称B．关于点（0，1）对称C．关于y轴对称D．关于直线x＝1对称8．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心在线段CD（含端点）上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量（m，n为实数），则m+n的最大值是（）A．2B．3C．5D．69．设p＝0.50.7，q0.3，则有（）A．p﹣q＞pq＞p+q B．p﹣q＞p+q＞pq C．pq＞p﹣q＞p+q D．p+q＞p﹣q＞pq 10．设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[，]C．[，]D．[，] 11．如图，已知F1、F2为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P在第一象限，且满足a，（）•0，线段PF2与双曲线C交于点Q，若5，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y＝±B．y＝±C．y＝±D．y＝±12．已知数列{a n}中，a1＝2，n（a n+1﹣a n）＝a n+1，n∈N*，若对于任意的a∈[﹣2，2]，n∈N*，不等式2t2+at﹣1恒成立，则实数t的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数f（x）＝cos（2x）+sin（2x+π）（x∈[，]）的最大值为．14．已知实数x，y满足，在这两个实数x，y之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为．15．已知A，B是圆C：x2+y2﹣8x﹣2y+16＝0上两点，点P在抛物线x2＝2y上，当∠APB 取得最大值时，|AB|＝．16．△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若A＝2B，则的取值范围为．三、解答题（本题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分.17．已知向量，满足（﹣2sin x，（cos x+sin x）），（cos x，cos x﹣sin x），函数f（x）•（x∈R）．（Ⅰ）求f（x）在x∈[，0]时的值域；（Ⅱ）已知数列a n＝n2f（）（n∈N+），求{a n}的前2n项和S2n．18．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝2，BC＝4，，过BC的截面α与面AB1C1交于EF．（1）求证：EF∥BC．（2）若截面α过点A1，求证：α⊥面AEF．（3）在（2）的条件下，求．19．如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布表和频率分布直方图如下，回答下列问题：分组人数频率[39.5，49.5）a0.10[49.5，59.5）9x[59.5，69.5）b0.15[69.5，79.5）180.30[79.5，89.5）15y[89.5，99.5]30.05（1）分别求出a，b，x，y的值，并补全频率分布直方图；（2）估计这次环保知识竞赛平均分；（3）若从所有参加环保知识竞赛的学生中随机抽取一人采访，抽到的学生成绩及格的概率有多大？20．设函数f（x）＝（1+a﹣ax）lnx﹣b（x﹣1），其中a，b是实数．已知曲线y＝f（x）与x轴相切于点（1，0）．（1）求常数b的值；（2）当1≤x≤2时，关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．21．已知椭圆C：1（a＞b＞0）经过点（1，），离心率为，点A为椭圆C 的右顶点，直线l与椭圆相交于不同于点A的两个点P（x1，y1），Q（x2，y2）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）当⋅0时，求△OPQ面积的最大值；（Ⅲ）若直线l的斜率为2，求证：△APQ的外接圆恒过一个异于点A的定点．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C 的方程为x2+（y﹣1）2＝1．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求l和C的极坐标方程；（2）过O且倾斜角为α的直线与l交于点A，与C交于另一点B．若，求的取值范围．23．不等式|x+2|+|x+4|＜8的解集为（n，m）．（1）求m的值；（2）设a，b，c∈R*，且a2+b2+c2＝m，求a+2b+3c的最大值．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若复数（1+mi）（3+i）（i是虚数单位，m∈R）是纯虚数，则复数的模等于（）A．1B．2C．3D．4【分析】由已知求得m，代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．解：∵（1+mi）（3+i）＝3﹣m+（3m+1）i为纯虚数，∴m＝3，则，∴复数的模等于3．故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．2．“m”是“直线（m+2）x+3my+1＝0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3＝0相互垂直”的（）A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【分析】判断充分性只要将“m”代入各直线方程，看是否满足（m+2）（m﹣2）+3m•（m+2）＝0，判断必要性看（m+2）（m﹣2）+3m•（m+2）＝0的根是否只有．解：当m时，直线（m+2）x+3my+1＝0的斜率是，直线（m﹣2）x+（m+2）y ﹣3＝0的斜率是，∴满足k1•k2＝﹣1，∴“m”是“直线（m+2）x+3my+1＝0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3＝0相互垂直”的充分条件，而当（m+2）（m﹣2）+3m•（m+2）＝0得：m或m＝﹣2．∴“m”是“直线（m+2）x+3my+1＝0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3＝0相互垂直”充分而不必要条件．故选：B．【点评】本题是通过常用逻辑用语考查两直线垂直的判定．3．将甲、乙两个篮球队5场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，由图可知以下结论正确的是（）A．甲队平均得分高于乙队的平均得分B．甲队得分的中位数大于乙队得分的中位数C．甲队得分的方差大于乙队得分的方差D．甲乙两队得分的极差相等【分析】根据中位数，平均数，极差，方差的概念计算比较可得．解：对于A，甲的平均数为（26+28+29+31+31）＝29，乙的平均数为（28+29+30+31+32）＝30，故错误；对于B，甲队得分的中位数是29，乙队得分的中位数是30，故错误；对于C，甲成绩的方差为：s2[（26﹣29）2+（28﹣29）2+（29﹣29）2+（31﹣29）2+（31﹣29）2]．乙成绩的方差为：s2[（28﹣30）2+（29﹣30）2+（30﹣30）2+（31﹣30）2+（32﹣30）2]＝2．可得甲队得分的方差大于乙队得分的方差，故正确；对于D，甲的极差是31﹣26＝5．乙的极差是32﹣28＝4，两者不相等，故错误．故选：C．【点评】本题考查了考查茎叶图的性质等基础知识，考查中位数，平均数，极差，方差的概念计算及运算求解能力，是基础题．4．已知有下面程序，若程序执行后输出的结果是11880，则在程序后面的“横线”处应填（）A．i≥9B．i＝8C．i≥10D．i≥8【分析】根据输出的结果推出循环体执行的次数，再根据s＝1×12×11×10×9＝11880得到程序的条件是什么．解：因为输出的结果是11880，即s＝1×12×11×10×9，需执行4次，则程序中的“条件”应为i≥9．故选：A．【点评】本题主要考查了循环语句的应用问题，语句的识别问题是一个逆向性思维，是基础题．5．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为2n﹣1，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前55项和为（）A．4072B．2026C．4096D．2048【分析】利用n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，然后令x＝1得到对应项的系数和，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可．解：n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，例如（x+1）2＝x2+2x+1，系数分别为1，2，1，对应杨辉三角形的第3行，令x＝1，就可以求出该行的系数之和，第1行为20，第2行为21，第3行为22，以此类推即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形的前n项和为S n2n﹣1，若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，……，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则T n，可得当n＝12，去除两端的“1”可得78﹣23＝55，则此数列前55项的和为S12﹣23＝212﹣1﹣23＝4072．故选：A．【点评】本题主要考查数列的求和，结合杨辉三角形的系数与二项式系数的关系以及等比数列、等差数列的求和公式是解决本题的关键，6．有两条不同的直线m，n与两个不同的平面α，β，下列结论中正确的是（）A．α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥βB．m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥nC．m∥n，n⊆α，则m∥αD．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n【分析】对于A，只有在满足n⊂α时，可得n⊥β；对于B，由m⊥α，α∥β，得m⊥β，由n∥β，可得m⊥n；对于C，m∥α或m在α内；对于D，m，n相交、平行或异面．解：对于A，由α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，只有在满足n⊂α时，可得n⊥β，所以A不正确；对于B，由m⊥α，α∥β，可得m⊥β，又由n∥β，所以可得m⊥n，所以B正确；对于C，由m∥n，n⊆α，则m∥α或m在α内，所以C不正确；对于D，由m∥α，n∥β且α∥β，则m，n相交、平行或异面，所以D不正确．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．7．已知函数，则下列关于函数f（x）图象的结论正确的是（）A．关于点（0，0）对称B．关于点（0，1）对称C．关于y轴对称D．关于直线x＝1对称【分析】令x＝2﹣t，那么|2﹣x|＝|t|，|x|＝|2﹣t|，可得f（x）＝f （2﹣x）则f（x）关系x＝1对称．解：函数，令x＝2﹣t，那么|2﹣x|＝|t|，|x|＝|2﹣t|，可得f（x）＝f（2﹣x）则f（x）关于直线x＝1对称．故选：D．【点评】本题考查了函数图象变换，对称问题，是中档题．8．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心在线段CD（含端点）上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量（m，n为实数），则m+n的最大值是（）A．2B．3C．5D．6【分析】利用平面向量的运算法则结合题意将原问题转化为向量的投影问题，然后数形结合即可求得最终结果．解：由题意可得：，同理，，两式相加可得：；∵，∴．∵．∴，其几何意义就是在上的投影．∴求m+n的最大值就转化为求在上投影最大值．从图形上可以看出：当点Q和D点重合时，在上的投影取到最大值5．故选：C．【点评】本题考查平面向量的坐标运算，数形结合解题等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．9．设p＝0.50.7，q0.3，则有（）A．p﹣q＞pq＞p+q B．p﹣q＞p+q＞pq C．pq＞p﹣q＞p+q D．p+q＞p﹣q＞pq【分析】比较p与的大小，求出q的范围即可得到结论．解：依题意，p＝0.50.7＞0.5，q log31＝0，又因为，所以q，即q＜0，所以p﹣q＞p+q＞0，pq＜0，所以p﹣q＞p+q＞pq，故选：B．【点评】本题考查了指数函数幂函数的图象和性质，考查分析和解决问题的能力，属于中档题．10．设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[，]C．[，]D．[，]【分析】根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2＝1上存在点N，使得∠OMN ＝45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN＝45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN＝1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN＝1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．故选：A．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，数形结合是快速解得本题的策略之一．11．如图，已知F1、F2为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P在第一象限，且满足a，（）•0，线段PF2与双曲线C交于点Q，若5，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y＝±B．y＝±C．y＝±D．y＝±【分析】由题意，|PF1|＝|F1F2|2c，|QF1|a，|QF2|a，由余弦定理可得，确定a，b的关系，即可求出双曲线C的渐近线方程．解：由题意，（）•0，∴|PF1|＝|F1F2|＝2c，|QF1|a，|QF2|a，∴由余弦定理可得，∴c a，∴b a，∴双曲线C的渐近线方程为y x．故选：B．【点评】本题考查双曲线C的渐近线方程，考查学生的计算能力，确定a，b的关系是关键．12．已知数列{a n}中，a1＝2，n（a n+1﹣a n）＝a n+1，n∈N*，若对于任意的a∈[﹣2，2]，n∈N*，不等式2t2+at﹣1恒成立，则实数t的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]【分析】由题意可得，运用裂项相消求和可得，再由不等式恒成立问题可得2t2+at﹣4≥0，设f（a）＝2t2+at﹣4，a∈[﹣2，2]，运用一次函函数的性质，可得t的不等式，解不等式即可得到所求t的范围．解：根据题意，数列{a n}中，n（a n+1﹣a n）＝a n+1，即na n+1﹣（n+1）a n＝1，则有，则有（）+（）+（）+…+（a2﹣a1）+a1＝（）+（）+（）+…+（1）+2＝33，2t2+at﹣1即32t2+at﹣1，∵对于任意的a∈[﹣2，2]，n∈N*，不等式2t2+at﹣1恒成立，∴2t2+at﹣1≥3，化为：2t2+at﹣4≥0，设f（a）＝2t2+at﹣4，a∈[﹣2，2]，可得f（2）≥0且f（﹣2）≥0，即有即，可得t≥2或t≤﹣2，则实数t的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．故选：A．【点评】本题考查了数列递推公式，涉及数列的求和，注意运用裂项相消求和和不等式恒成立问题的解法，关键是对n（a n+1﹣a n）＝a n+1的变形．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数f（x）＝cos（2x）+sin（2x+π）（x∈[，]）的最大值为．【分析】利用和差公式、诱导公式化简f（x），再利用三角函数的单调性即可得出．解：cos2x sin2x﹣sin2xcos2x sin2xsin（2x）．∵x∈[，]，∴（2x）∈，∴sin（2x）∈．∴f（x）的最大值为．故答案为：．【点评】本题考查了和差公式、诱导公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．已知实数x，y满足，在这两个实数x，y之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为9．【分析】利用数列的关系推出三项和关于x，y的表达式，画出约束条件的可行域，利用线性规划知识求解最值．解：设构成等差数列的五个数分别为x，a，b，c，y，因为等差数列的公差，则（另解：因为由等差数列的性质有x+y＝a+c＝2b，所以．）则等差数列后三项和为．）．所以设z＝x+3y，实数x，y满足，作出约束条件所表示的可行域如图所示：可知当经过点A（3，3）时，目标函数z＝x+3y有最大值12，此时b+c+y有最大值9．故答案为：9．【点评】本题考查数列以及线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力．15．已知A，B是圆C：x2+y2﹣8x﹣2y+16＝0上两点，点P在抛物线x2＝2y上，当∠APB 取得最大值时，|AB|＝．【分析】求出圆C：x2+y2﹣8x﹣2y+16＝0的圆心与半径，设出抛物线x2＝2y上当点P，当∠APB取得最大值时，就是PC最小时，利用距离公式以及函数的导数求解最值，然后转化求解即可．解：圆C：x2+y2﹣8x﹣2y+16＝0的圆心（4，1），半径为1，设抛物线上的点P（m，n），则m2＝2n，|PC|，令g（m），可得g′（m）＝m3﹣8，令g′（m）＝m3﹣8＝0，解得m＝2，m＜2，g′（m）＝m3﹣8＜0，m＞2，g′（m）＝m3﹣8＞0，所以g（m）的最小值为：4﹣16+17＝5．|PC|，所以切线长为：|PA|＝2，如图：|PC|•|AB|＝|PA|•|AC|，γ|AB|．故答案为：．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，圆的方程的综合应用，考查数形结合以及转化思想的应用．16．△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若A＝2B，则的取值范围为（2，4）．【分析】先根据正弦定理化简整理可得4cos2B1，设，构造函数，利用导数判断出函数的单调性，求出其值域即可．解：.＝cos2B+2cos2B1．又2B∈（0，π），且A+B＝3B∈（0，π），所以．设，令1＝f（t），则f'（t）＝8t0，故f（t）在上单调递增，所以2＜f（t）＜4．所以的取值范围为（2，4），故答案为：（2，4）【点评】本题考查三角函数的化简和求值，主要考查二倍角公式和正弦定理的运用，同时考查函数的单调性的运用，属于中档题．三、解答题（本题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分.17．已知向量，满足（﹣2sin x，（cos x+sin x）），（cos x，cos x﹣sin x），函数f（x）•（x∈R）．（Ⅰ）求f（x）在x∈[，0]时的值域；（Ⅱ）已知数列a n＝n2f（）（n∈N+），求{a n}的前2n项和S2n．【分析】（Ⅰ）利用平面向量数量积的运算，三角函数中的恒等变换应用可求解析式f （x）＝2sin（2x），由x∈[，0]，可求2x的范围，利用正弦函数的图象和性质即可求值域．（Ⅱ）利用（Ⅰ）可得a n＝2n2sin（n），可求得S2n[12﹣22+32﹣42+…+（2n ﹣1）2﹣（2n）2]，利用（2n﹣1）2﹣（2n）2＝﹣4n+1，由等差数列的求和公式即可得解．解：（Ⅰ）f（x）•sin2x cos2x＝2sin（2x），当x∈[，0]时，2x∈[，]，可得：2sin（2x）∈[，2]…4分（Ⅱ）∵a n＝n2f（）＝2n2sin[2（）]＝2n2sin（n），∴S2n[12﹣22+32﹣42+…+（2n﹣1）2﹣（2n）2]，又∵（2n﹣1）2﹣（2n）2＝﹣4n+1，∴解得：S2n（﹣2n2﹣n）…10分【点评】本题主要考查了平面向量数量积的运算，三角函数中的恒等变换应用，数列的求和，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．18．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝2，BC＝4，，过BC的截面α与面AB1C1交于EF．（1）求证：EF∥BC．（2）若截面α过点A1，求证：α⊥面AEF．（3）在（2）的条件下，求．【分析】（1）由题意得BC∥B1C1，可得BC∥面AB1C1，再由BC⊂面α，α∩面AB1C1＝EF，利用平面与平面平行的性质定理可得BC∥EF；（2）取EF的中点O，连接A1O和AO，由已知可得AO⊥EF，求解三角形证明A1O⊥AO，再由直线与平面垂直的判定可得A1O⊥面AEF，进一步得到α⊥面AEF；（3）由（2）可得A1O⊥面AEF，得A1O⊥AO，且，证明EO⊥面AA1O，并求得，再由求解．【解答】（1）证明：由题意，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，可得BC∥B1C1，∵BC⊄面AB1C1，B1C1⊂面AB1C1，∴BC∥面AB1C1，又∵BC⊂面α，α∩面AB1C1＝EF，由线面平行的性质定理，可得BC∥EF；（2）证明：取EF的中点O，连接A1O和AO，∵截面α过点A1，∴截面α即为面A1BC，∴E、F分别为B1A，AC1中点，即AE＝AF，又∵O为EF中点，∴AO⊥EF，在Rt△AOE中，，EO＝1，∴，同理，，在△A1OA中，，∴△A1OA为直角三角形，即A1O⊥AO，又∵A1O⊥EF，AO∩EF＝O，∴A1O⊥面AEF，∴α⊥面AEF．（3）解：由（2）可得A1O⊥面AEF，∴A1O⊥AO，且，又由AO⊥EO，且A1O⊥EO，可得EO⊥面AA1O，且，又由，∴．【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．19．如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布表和频率分布直方图如下，回答下列问题：分组人数频率[39.5，49.5）a0.10[49.5，59.5）9x[59.5，69.5）b0.15[69.5，79.5）180.30[79.5，89.5）15y[89.5，99.5]30.05（1）分别求出a，b，x，y的值，并补全频率分布直方图；（2）估计这次环保知识竞赛平均分；（3）若从所有参加环保知识竞赛的学生中随机抽取一人采访，抽到的学生成绩及格的概率有多大？【分析】（1）根据频率分布表求出出a，b，x，y，再作出频率分布直方图；（2）用组中值估计平均分即可；（3）先求出本次竞赛及格率，用样本估计总体，每个人被抽到的概率相同，故可以求出抽到的学生成绩及格的概率．解：（1）a＝60×0.1＝6，b＝60×0.15＝9，x0.15，y0.25；频率分布直方图如图所示：（2）用组中值估计平均分：44.5×0.1+54.5×0.15+64.5×0.15+74.5×0.3+84.5×0.25+94.5×0.05＝70.5；（3）本次竞赛及格率为：0.015×10+0.025×10+0.03×10+0.005×10＝0.75，用样本估计总体，每个人被抽到的概率相同，∴从所有参加环保知识竞赛的学生中随机抽取一人采访，抽到的学生成绩及格的概率为0.75．【点评】本题考查了频率分布表与频率分布直方图以及样本估计总体，考查了学生的运算能力与作图能力，属于基础题．20．设函数f（x）＝（1+a﹣ax）lnx﹣b（x﹣1），其中a，b是实数．已知曲线y＝f（x）与x轴相切于点（1，0）．（1）求常数b的值；（2）当1≤x≤2时，关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）对f（x）求导，根据条件知f′（1）＝0，即可求常数b的值；（2）求得f′（x）＝﹣alnx1，x∈[1，2]，f″（x），分类讨论当a≤﹣1时，当a≥0时，当﹣1＜a＜0时，确定函数的单调性，即可求实数a 的取值范围．解：（1）函数f（x）＝（1+a﹣ax）lnx﹣b（x﹣1）的导数为f′（x）＝﹣alnx b，因为y＝f（x）与x轴相切于（1，0），故f'（1）＝0，即﹣aln1+1﹣b＝0，解得b＝1；（2）由f′（x）＝﹣alnx1，x∈[1，2]，f″（x），①当a≤﹣1时，由于x∈[1，2]，有f″（x）≥0，于是f'（x）在x∈[1，2]上单调递增，从而f'（x）≥f'（1）＝0，因此f（x）在x∈[1，2]上单调递增，即f（x）≥f（1）＝0，而且仅有f（1）＝0，符合；②当a≥0时，由于x∈[1，2]，有f″（x）＜0，于是f'（x）在x∈[1，2]上单调递减，从而f'（x）≤f'（1）＝0，因此f（x）在x∈[1，2]上单调递减，即f（x）≤f（1）＝0不符；③当﹣1＜a＜0时，令m＝min{1，}，当x∈[1，m]时，f″（x）＜0，于是f'（x）在x∈[1，m]上单调递减，从而f'（x）≤f'（1）＝0，因此f（x）在x∈[1，m]上单调递减，即f（x）≤f（1）＝0，仅有f（1）＝0，不符．综上可知，所求实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查单调性的运用，以及分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．21．已知椭圆C：1（a＞b＞0）经过点（1，），离心率为，点A为椭圆C 的右顶点，直线l与椭圆相交于不同于点A的两个点P（x1，y1），Q（x2，y2）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）当⋅0时，求△OPQ面积的最大值；（Ⅲ）若直线l的斜率为2，求证：△APQ的外接圆恒过一个异于点A的定点．【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率，求得a和b的关系，将P代入椭圆方程，即可求得a 和b的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）当斜率不存在时，求得P和Q点坐标，由⋅0，求得m的值，求得|PQ|求得，△OPQ的面积，当斜率存在时，设直线l方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式及三角形的面积公式，即可求得△OPQ面积的最大值；（Ⅲ）设直线y＝2x+m，代入椭圆方程，设外接圆的方程，联立直线l的方程，将A代入外接圆方程，联立方程，即可求得△APQ的外接圆恒过一个异于点A的定点．解：（Ⅰ）由椭圆的离心率e，即c2a2，即b2＝a2﹣c2a2，a2＝4b2，将点（1，）代入椭圆方程，即，解得：b2＝1，∴a2＝4，∴椭圆的标准方程：；（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，设l：x＝m，代入椭圆方程，P（m，），Q（m，），由⋅0，（m﹣2）2﹣（1）＝0，解得：m，m＝2（舍去），此时|PQ|，△OPQ的面积为，当直线l的斜率存在时，设l：y＝kx+m，代入椭圆方程，（4k2+1）x2+8kmx+4（m2﹣1）＝0，由△＞0，则4k2﹣m2+1＞0，x1+x2，x1•x2，由⋅0，（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2＝（k2+1）x1•x2+（km﹣2）（x1+x2）+m2+4＝0，代入求得12k2+5m2+16km＝0，即m k，m＝﹣2k，（此时直线l过点A，舍去），|PQ|•，点O到直线l的距离d，△OPQ的面积为，将m k代入，，△OPQ面积的最大值；（Ⅲ）证明：设直线y＝2x+m，代入椭圆方程，整理得：17x2+16mx+4（m2﹣1）＝0，设△APQ的外接圆方程x2+y2+Dx+Ey+F＝0，联立直线l的方程，5x2+（4m+D+2E）x+（m2+mE+F）＝0，代入可知，由外接圆过点A（2，0），则2D+F＝﹣4，从而可得关于D，E，F的三元一次方程组，，解得：，代入圆方程，整理得：（x2+y2x y）（2x+y﹣4）＝0，∴，解得：，或，△APQ的外接圆恒过一个异于点A的定点（，）．【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理，弦长公式及点到直线的距离公式，考查三角形的外接圆的性质，考查计算能力，属于难题．一、选择题22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C 的方程为x2+（y﹣1）2＝1．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求l和C的极坐标方程；（2）过O且倾斜角为α的直线与l交于点A，与C交于另一点B．若，求的取值范围．【分析】（1）直接利用和转换关系的的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．（2）利用三角函数关系式的变换的应用和正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为，转换为极坐标方程为．整理得：．圆C的方程为x2+（y﹣1）2＝1，整理得x2+y2＝2y，转换为极坐标方程为ρ＝2sinθ．（2）过O且倾斜角为α的直线为θ＝α，由于该直线与l交于点A，所以，所以，与C交于另一点B．所以，整理得ρB＝2sinα，所以，由于，所以，所以，所以故求的取值范围[．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23．不等式|x+2|+|x+4|＜8的解集为（n，m）．（1）求m的值；（2）设a，b，c∈R*，且a2+b2+c2＝m，求a+2b+3c的最大值．【分析】（1）根据|x+2|+|x+4|＜8，利用零点分段法得到不等式的解集，再结合条件求出m的值；（2）由（1）知m＝1，然后利用柯西不等式根据a2+b2+c2＝1，求出a+2b+3c的最大值．解：（1）|x+2|+|x+4|．∵|x+2|+|x+4|＜8，∴或﹣4≤x≤﹣2或，∴﹣2＜x＜1或﹣4≤x≤﹣2或﹣7＜x＜﹣4，∴﹣7＜x＜1，∴|x+2|+|x+4|＜8的解集为（﹣7，1），∴m＝1．（2）由（1）知m＝1，∴a2+b2+c2＝m＝1，∵a，b，c∈R*，∴由柯西不等式，得：，当且仅当时，即，，等号成立，∴a+2b+3c的最大值为．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和利用柯西不等式求最值，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。
黑龙江省哈尔滨第九中学2020届高三5月高考文科数学模拟试卷 (解析版)
2020年高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题（共12小题）.1．若复数（1+mi ）（3+i ）（i 是虚数单位，m ∈R ）是纯虚数，则复数m+3i 1−i的模等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．“m =12”是“直线（m +2）x +3my +1＝0与直线（m ﹣2）x +（m +2）y ﹣3＝0相互垂直”的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．将甲、乙两个篮球队5场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，由图可知以下结论正确的是（ ）A ．甲队平均得分高于乙队的平均得分B ．甲队得分的中位数大于乙队得分的中位数C ．甲队得分的方差大于乙队得分的方差D ．甲乙两队得分的极差相等4．已知有下面程序，若程序执行后输出的结果是11880，则在程序后面的“横线”处应填（ ）A．i≥9B．i＝8C．i≥10D．i≥85．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为2n﹣1，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前55项和为（）A．4072B．2026C．4096D．20486．有两条不同的直线m，n与两个不同的平面α，β，下列结论中正确的是（）A．α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥βB．m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥nC．m∥n，n⊆α，则m∥αD．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n7．已知函数f(x)=|x+1x|+|2−x+12−x|，则下列关于函数f（x）图象的结论正确的是（）A．关于点（0，0）对称B．关于点（0，1）对称C．关于y轴对称D．关于直线x＝1对称8．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心在线段CD（含端点）上运动，P 是圆Q 上及内部的动点，设向量AP →=mAB →+nAF →（m ，n 为实数），则m +n 的最大值是（ ）A ．2B ．3C ．5D ．69．设p ＝0.50.7，q =13log 30.3，则有（ ）A ．p ﹣q ＞pq ＞p +qB ．p ﹣q ＞p +q ＞pqC ．pq ＞p ﹣q ＞p +qD ．p +q ＞p ﹣q ＞pq10．设点M （x 0，1），若在圆O ：x 2+y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是（ ）A ．[﹣1，1]B ．[−12，12]C ．[−√2，√2]D ．[−√22，√22]11．如图，已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，点P 在第一象限，且满足|F 2P|→=a ，（F 1P →+F 1F 2→）•F 2P →=0，线段PF 2与双曲线C 交于点Q ，若F 2P →=5F 2Q →，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．y ＝±√55x B ．y ＝±12xC ．y ＝±√32xD ．y ＝±√33x12．已知数列{a n }中，a 1＝2，n （a n +1﹣a n ）＝a n +1，n ∈N *，若对于任意的a ∈[﹣2，2]，n ∈N *，不等式a n+1n+1＜2t 2+at ﹣1恒成立，则实数t 的取值范围为（ ）A ．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B ．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D ．[﹣2，2]二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．函数f （x ）＝cos （2x +5π6）+sin （2x +π）（x ∈[−π4，π4]）的最大值为 ． 14．已知实数x ，y 满足{3x −2y −3≤0x −3y +6≥02x +y −2≥0，在这两个实数x ，y 之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为 ．15．已知A ，B 是圆C ：x 2+y 2﹣8x ﹣2y +16＝0上两点，点P 在抛物线x 2＝2y 上，当∠APB 取得最大值时，|AB |＝ ．16．△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若A ＝2B ，则cb+2b a的取值范围为 ．三、解答题（本题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分.17．已知向量a →，b →满足a →=（﹣2sin x ，√3（cos x +sin x ）），b →=（cos x ，cos x ﹣sin x ），函数f （x ）=a →•b →（x ∈R ）．（Ⅰ）求f （x ）在x ∈[−π2，0]时的值域； （Ⅱ）已知数列a n ＝n 2f （nπ2−11π24）（n ∈N +），求{a n }的前2n 项和S 2n ．18．在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1＝2，BC ＝4，AB =AC =2√2，过BC 的截面α与面AB 1C 1交于EF ． （1）求证：EF ∥BC ．（2）若截面α过点A 1，求证：α⊥面AEF ． （3）在（2）的条件下，求V A 1−EFA ．19．如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布表和频率分布直方图如下，回答下列问题：分组人数频率[39.5，49.5）a0.10[49.5，59.5）9x[59.5，69.5）b0.15[69.5，79.5）180.30[79.5，89.5）15y[89.5，99.5]30.05（1）分别求出a，b，x，y的值，并补全频率分布直方图；（2）估计这次环保知识竞赛平均分；（3）若从所有参加环保知识竞赛的学生中随机抽取一人采访，抽到的学生成绩及格的概率有多大？20．设函数f （x ）＝（1+a ﹣ax ）lnx ﹣b （x ﹣1），其中a ，b 是实数．已知曲线y ＝f （x ）与x 轴相切于点（1，0）． （1）求常数b 的值；（2）当1≤x ≤2时，关于x 的不等式f （x ）≥0恒成立，求实数a 的取值范围． 21．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）经过点 （1，√32），离心率为√32，点A 为椭圆C 的右顶点，直线l 与椭圆相交于不同于点A 的两个点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）当AP →⋅AQ →=0时，求△OPQ 面积的最大值；（Ⅲ）若直线l 的斜率为2，求证：△APQ 的外接圆恒过一个异于点A 的定点． （二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为{x =ty =4−√3t （t 为参数），圆C的方程为x 2+（y ﹣1）2＝1．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求l 和C 的极坐标方程；（2）过O 且倾斜角为α的直线与l 交于点A ，与C 交于另一点B ．若π6≤α≤5π12，求|OB||OA|的取值范围．23．不等式|x +2|+|x +4|＜8的解集为（n ，m ）． （1）求m 的值；（2）设a ，b ，c ∈R *，且a 2+b 2+c 2＝m ，求a +2b +3c 的最大值．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若复数（1+mi ）（3+i ）（i 是虚数单位，m ∈R ）是纯虚数，则复数m+3i 1−i的模等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】由已知求得m ，代入m+3i 1−i，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．解：∵（1+mi ）（3+i ）＝3﹣m +（3m +1）i 为纯虚数， ∴m ＝3，则m+3i 1−i=3+3i 1−i=3(1+i)2(1−i)(1+i)=3i ，∴复数m+3i 1−i的模等于3．故选：C ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．2．“m =12”是“直线（m +2）x +3my +1＝0与直线（m ﹣2）x +（m +2）y ﹣3＝0相互垂直”的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件【分析】判断充分性只要将“m =12”代入各直线方程，看是否满足（m +2）（m ﹣2）+3m •（m +2）＝0，判断必要性看（m +2）（m ﹣2）+3m •（m +2）＝0的根是否只有12．解：当m =12时，直线（m +2）x +3my +1＝0的斜率是−53，直线（m ﹣2）x +（m +2）y ﹣3＝0的斜率是35，∴满足k 1•k 2＝﹣1，∴“m =12”是“直线（m +2）x +3my +1＝0与直线（m ﹣2）x +（m +2）y ﹣3＝0相互垂直”的充分条件，而当（m +2）（m ﹣2）+3m •（m +2）＝0得：m =12或m ＝﹣2．∴“m =12”是“直线（m +2）x +3my +1＝0与直线（m ﹣2）x +（m +2）y ﹣3＝0相互垂直”充分而不必要条件． 故选：B ．【点评】本题是通过常用逻辑用语考查两直线垂直的判定．3．将甲、乙两个篮球队5场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，由图可知以下结论正确的是（ ）A ．甲队平均得分高于乙队的平均得分B ．甲队得分的中位数大于乙队得分的中位数C ．甲队得分的方差大于乙队得分的方差D ．甲乙两队得分的极差相等【分析】根据中位数，平均数，极差，方差的概念计算比较可得．解：对于A ，甲的平均数为15（26+28+29+31+31）＝29，乙的平均数为15（28+29+30+31+32）＝30，故错误；对于B，甲队得分的中位数是29，乙队得分的中位数是30，故错误；对于C，甲成绩的方差为：s2=15×[（26﹣29）2+（28﹣29）2+（29﹣29）2+（31﹣29）2+（31﹣29）2]=185．乙成绩的方差为：s2=15×[（28﹣30）2+（29﹣30）2+（30﹣30）2+（31﹣30）2+（32﹣30）2]＝2．可得甲队得分的方差大于乙队得分的方差，故正确；对于D，甲的极差是31﹣26＝5．乙的极差是32﹣28＝4，两者不相等，故错误．故选：C．【点评】本题考查了考查茎叶图的性质等基础知识，考查中位数，平均数，极差，方差的概念计算及运算求解能力，是基础题．4．已知有下面程序，若程序执行后输出的结果是11880，则在程序后面的“横线”处应填（）A．i≥9B．i＝8C．i≥10D．i≥8【分析】根据输出的结果推出循环体执行的次数，再根据s＝1×12×11×10×9＝11880得到程序的条件是什么．解：因为输出的结果是11880，即s＝1×12×11×10×9，需执行4次，则程序中的“条件”应为i≥9．故选：A．【点评】本题主要考查了循环语句的应用问题，语句的识别问题是一个逆向性思维，是基础题．5．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为2n﹣1，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前55项和为（）A．4072B．2026C．4096D．2048【分析】利用n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，然后令x＝1得到对应项的系数和，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可．解：n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，例如（x+1）2＝x2+2x+1，系数分别为1，2，1，对应杨辉三角形的第3行，令x＝1，就可以求出该行的系数之和，第1行为20，第2行为21，第3行为22，以此类推即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形的前n项和为S n=1−2n1−2=2n﹣1，若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，……，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则T n=n(n+1)2，可得当n＝12，去除两端的“1”可得78﹣23＝55，则此数列前55项的和为S12﹣23＝212﹣1﹣23＝4072．故选：A．【点评】本题主要考查数列的求和，结合杨辉三角形的系数与二项式系数的关系以及等比数列、等差数列的求和公式是解决本题的关键，6．有两条不同的直线m，n与两个不同的平面α，β，下列结论中正确的是（）A．α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥βB．m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n C．m∥n，n⊆α，则m∥αD．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n【分析】对于A，只有在满足n⊂α时，可得n⊥β；对于B，由m⊥α，α∥β，得m⊥β，由n∥β，可得m⊥n；对于C，m∥α或m在α内；对于D，m，n相交、平行或异面．解：对于A，由α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，只有在满足n⊂α时，可得n⊥β，所以A不正确；对于B，由m⊥α，α∥β，可得m⊥β，又由n∥β，所以可得m⊥n，所以B正确；对于C，由m∥n，n⊆α，则m∥α或m在α内，所以C不正确；对于D，由m∥α，n∥β且α∥β，则m，n相交、平行或异面，所以D不正确．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．7．已知函数f(x)=|x+1x|+|2−x+12−x|，则下列关于函数f（x）图象的结论正确的是（）A．关于点（0，0）对称B．关于点（0，1）对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线x ＝1对称【分析】令x ＝2﹣t ，那么|2﹣x +12−x |＝|t +1t |，|x +1x |＝|2﹣t +12−t|，可得f （x ）＝f （2﹣x ）则f （x ）关系x ＝1对称．解：函数f(x)=|x +1x |+|2−x +12−x |， 令x ＝2﹣t ，那么|2﹣x +12−x |＝|t +1t |，|x +1x |＝|2﹣t +12−t|， 可得f （x ）＝f （2﹣x ） 则f （x ）关于直线x ＝1对称． 故选：D ．【点评】本题考查了函数图象变换，对称问题，是中档题．8．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心在线段CD （含端点）上运动，P 是圆Q 上及内部的动点，设向量AP →=mAB →+nAF →（m ，n 为实数），则m +n 的最大值是（ ）A ．2B ．3C ．5D ．6【分析】利用平面向量的运算法则结合题意将原问题转化为向量的投影问题，然后数形结合即可求得最终结果． 解：由题意可得：AP →⋅AE →=mAB →⋅AE →+nAF →⋅AE →=nAF →⋅AE →=n|AF →||AE →|cos∠FAE =6n ，同理，AP→⋅AC→=6m，两式相加可得：AP→⋅(AE→+AC→)=6(m+n)；∵AE→+AC→=2AO→，∴2AP→⋅AO→=6(m+n)．∵AP→⋅AO→=|AP→||AO→|cos∠PAO=3|AP→|cos∠PAO．∴m+n=|AP→|cos∠PAO，其几何意义就是AP→在AO→上的投影．∴求m+n的最大值就转化为求AP→在AO→上投影最大值．从图形上可以看出：当点Q和D点重合时，AP→在AO→上的投影取到最大值5．故选：C．【点评】本题考查平面向量的坐标运算，数形结合解题等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．9．设p＝0.50.7，q=13log30.3，则有（）A．p﹣q＞pq＞p+q B．p﹣q＞p+q＞pq C．pq＞p﹣q＞p+q D．p+q＞p﹣q＞pq【分析】比较p与12的大小，求出q的范围即可得到结论．解：依题意，p＝0.50.7＞0.5，q=13log30.3=log3(310)13＜log31＝0，又因为(310)13＞(13)12，所以q=log3(310)13＞log3(13)12=log33(−12)=−12，即−12＜q＜0，所以p﹣q＞p+q＞0，pq＜0，所以p﹣q＞p+q＞pq，故选：B．【点评】本题考查了指数函数幂函数的图象和性质，考查分析和解决问题的能力，属于中档题．10．设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[−12，12]C．[−√2，√2]D．[−√22，√22]【分析】根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2＝1上存在点N，使得∠OMN ＝45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN＝45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN＝1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN＝1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．故选：A．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，数形结合是快速解得本题的策略之一．11．如图，已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，点P 在第一象限，且满足|F 2P|→=a ，（F 1P →+F 1F 2→）•F 2P →=0，线段PF 2与双曲线C 交于点Q ，若F 2P →=5F 2Q →，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．y ＝±√55x B ．y ＝±12xC ．y ＝±√32xD ．y ＝±√33x【分析】由题意，|PF 1|＝|F 1F 2|2c ，|QF 1|=115a ，|QF 2|=15a ，由余弦定理可得4c 2+125a 2−12125a 22×2c×15a=12a 2c，确定a ，b 的关系，即可求出双曲线C 的渐近线方程．解：由题意，（F 1P →+F 1F 2→）•F 2P →=0，∴|PF 1|＝|F 1F 2|＝2c ，|QF 1|=115a ，|QF 2|=15a ，∴由余弦定理可得4c 2+125a 2−12125a 22×2c×15a=12a 2c，∴c =√52a ，∴b =12a ，∴双曲线C 的渐近线方程为y =±12x ． 故选：B ．【点评】本题考查双曲线C 的渐近线方程，考查学生的计算能力，确定a ，b 的关系是关键．12．已知数列{a n }中，a 1＝2，n （a n +1﹣a n ）＝a n +1，n ∈N *，若对于任意的a ∈[﹣2，2]，n ∈N *，不等式a n+1n+1＜2t 2+at ﹣1恒成立，则实数t 的取值范围为（ ）A ．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B ．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D ．[﹣2，2]【分析】由题意可得a n+1n+1−a n n=1n(n+1)=1n−1n+1，运用裂项相消求和可得a n+1n+1，再由不等式恒成立问题可得2t 2+at ﹣4≥0，设f （a ）＝2t 2+at ﹣4，a ∈[﹣2，2]，运用一次函函数的性质，可得t 的不等式，解不等式即可得到所求t 的范围． 解：根据题意，数列{a n }中，n （a n +1﹣a n ）＝a n +1， 即na n +1﹣（n +1）a n ＝1， 则有a n+1n+1−a n n=1n(n+1)=1n−1n+1，则有a n+1n+1=（a n+1n+1−a n n）+（a n n−a n−1n−1）+（a n−1n−1−a n−2n−2）+…+（12a 2﹣a 1）+a 1＝（1n −1n+1）+（1n−1−1n）+（1n−2−1n−1）+…+（1−12）+2＝3−1n+1＜3， a n+1n+1＜2t 2+at ﹣1即3−1n+1＜2t 2+at ﹣1， ∵对于任意的a ∈[﹣2，2]，n ∈N *，不等式a n+1n+1＜2t 2+at ﹣1恒成立，∴2t 2+at ﹣1≥3，化为：2t 2+at ﹣4≥0，设f （a ）＝2t 2+at ﹣4，a ∈[﹣2，2]， 可得f （2）≥0且f （﹣2）≥0， 即有{t 2+t −2≥0t 2−t −2≥0即{t ≥1或t ≤−2t ≥2或t ≤−1，可得t ≥2或t ≤﹣2，则实数t 的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）． 故选：A ．【点评】本题考查了数列递推公式，涉及数列的求和，注意运用裂项相消求和和不等式恒成立问题的解法，关键是对n （a n +1﹣a n ）＝a n +1的变形． 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数f （x ）＝cos （2x +5π6）+sin （2x +π）（x ∈[−π4，π4]）的最大值为 ．【分析】利用和差公式、诱导公式化简f （x ），再利用三角函数的单调性即可得出． 解：f(x)=cos(2x +5π6)+sin(2x +π) =−√32cos2x −12sin2x ﹣sin2x=−√32cos2x −32sin2x=−√3sin （2x +π6）． ∵x ∈[−π4，π4]，∴（2x +π6）∈[−π3，2π3]，∴sin （2x +π6）∈[−√32，1]．∴f （x ）的最大值为32．故答案为：32．【点评】本题考查了和差公式、诱导公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．已知实数x ，y 满足{3x −2y −3≤0x −3y +6≥02x +y −2≥0，在这两个实数x ，y 之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为 9 ．【分析】利用数列的关系推出三项和关于x ，y 的表达式，画出约束条件的可行域，利用线性规划知识求解最值．解：设构成等差数列的五个数分别为x ，a ，b ，c ，y ， 因为等差数列的公差d =y−x4， 则b +c +y =(x +2×y−x 4)+(x +3×y−x 4)+y =34(x +3y) （另解：因为由等差数列的性质有x +y ＝a +c ＝2b ， 所以b =x+y 2，c =b+y 2=x+y2+y 2．）则等差数列后三项和为b +c +y =x+y 2+x+y2+y 2+y =34x +94y=34(x +3y)．）．所以设z ＝x +3y ，实数x ，y 满足{3x −2y −3≤0x −3y +6≥02x +y −2≥0，作出约束条件所表示的可行域如图所示： 可知当经过点A （3，3）时，目标函数z＝x+3y有最大值12，此时b+c+y有最大值9．故答案为：9．【点评】本题考查数列以及线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力．15．已知A，B是圆C：x2+y2﹣8x﹣2y+16＝0上两点，点P在抛物线x2＝2y上，当∠APB取得最大值时，|AB|＝√55．【分析】求出圆C：x2+y2﹣8x﹣2y+16＝0的圆心与半径，设出抛物线x2＝2y上当点P，当∠APB取得最大值时，就是PC最小时，利用距离公式以及函数的导数求解最值，然后转化求解即可．解：圆C：x2+y2﹣8x﹣2y+16＝0的圆心（4，1），半径为1，设抛物线上的点P（m，n），则m2＝2n，|PC|=√(m−4)2+(n−1)2=√m2−8m+m44−m2+17=√m44−8m+17，令g（m）=m 44−8m+17，可得g′（m）＝m3﹣8，令g′（m）＝m3﹣8＝0，解得m＝2，m＜2，g′（m）＝m3﹣8＜0，m＞2，g′（m）＝m3﹣8＞0，所以g（m）的最小值为：4﹣16+17＝5．|PC |≥√5，所以切线长为：|PA |＝2，如图：|PC |•12|AB |＝|PA |•|AC |，γ√52|AB|=2×1 |AB |=4√55．故答案为：4√55．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，圆的方程的综合应用，考查数形结合以及转化思想的应用．16．△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若A ＝2B ，则cb+2b a的取值范围为 （2，4） ．【分析】先根据正弦定理化简整理可得cb +2b a=4cos 2B +1cosB −1，设cosB =t ∈(12，1)，构造函数，利用导数判断出函数的单调性，求出其值域即可．解：.cb+2b a=sinC sinB+2sinB sinA=sin3B sinB+2sinB sin2B=sinBcos2B+cosBsin2BsinB+1cosB＝cos2B +2cos 2B +1cosB =4cos 2B +1cosB−1． 又2B ∈（0，π），且A +B ＝3B ∈（0，π），所以B∈(0，π3 )．设cosB=t∈(12，1)，令cb +2ba=4t2+1t−1＝f（t），则f'（t）＝8t−1t2=8t3−1t2＞0，故f（t）在(12，1)上单调递增，所以2＜f（t）＜4．所以cb +2ba的取值范围为（2，4），故答案为：（2，4）【点评】本题考查三角函数的化简和求值，主要考查二倍角公式和正弦定理的运用，同时考查函数的单调性的运用，属于中档题．三、解答题（本题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分.17．已知向量a→，b→满足a→=（﹣2sin x，√3（cos x+sin x）），b→=（cos x，cos x﹣sin x），函数f（x）=a→•b→（x∈R）．（Ⅰ）求f（x）在x∈[−π2，0]时的值域；（Ⅱ）已知数列a n＝n2f（nπ2−11π24）（n∈N+），求{a n}的前2n项和S2n．【分析】（Ⅰ）利用平面向量数量积的运算，三角函数中的恒等变换应用可求解析式f（x）＝2sin（2x+2π3），由x∈[−π2，0]，可求2x+2π3的范围，利用正弦函数的图象和性质即可求值域．（Ⅱ）利用（Ⅰ）可得a n＝2n2sin（nπ−π4），可求得S2n=√2[12﹣22+32﹣42+…+（2n﹣1）2﹣（2n）2]，利用（2n﹣1）2﹣（2n）2＝﹣4n+1，由等差数列的求和公式即可得解．解：（Ⅰ）f（x）=a→•b→=−sin2x+√3cos2x＝2sin（2x+2π3），当x∈[−π2，0]时，2x+2π3∈[−π3，2π3]，可得：2sin（2x+2π3）∈[−√3，2]…4分（Ⅱ）∵a n＝n2f（nπ2−11π24）＝2n2sin[2（nπ2−11π24）+2π3]＝2n2sin（nπ−π4），∴S2n=√2[12﹣22+32﹣42+…+（2n﹣1）2﹣（2n）2]，又∵（2n﹣1）2﹣（2n）2＝﹣4n+1，∴解得：S2n=√2×(−3−4n+1)n2=√2（﹣2n2﹣n）…10分【点评】本题主要考查了平面向量数量积的运算，三角函数中的恒等变换应用，数列的求和，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．18．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝2，BC＝4，AB=AC=2√2，过BC的截面α与面AB1C1交于EF．（1）求证：EF∥BC．（2）若截面α过点A1，求证：α⊥面AEF．（3）在（2）的条件下，求V A1−EFA．【分析】（1）由题意得BC∥B1C1，可得BC∥面AB1C1，再由BC⊂面α，α∩面AB1C1＝EF，利用平面与平面平行的性质定理可得BC∥EF；（2）取EF的中点O，连接A1O和AO，由已知可得AO⊥EF，求解三角形证明A1O⊥AO，再由直线与平面垂直的判定可得A1O⊥面AEF，进一步得到α⊥面AEF；（3）由（2）可得A1O⊥面AEF，得A1O⊥AO，且A1O=AO=√2，证明EO⊥面AA1O，并求得EO=12B1C1=1，再由V A1−EFA=V E−A1AO+V F−A1AO=2V E−A1AO求解．【解答】（1）证明：由题意，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，可得BC∥B1C1，∵BC⊄面AB1C1，B1C1⊂面AB1C1，∴BC∥面AB1C1，又∵BC⊂面α，α∩面AB1C1＝EF，由线面平行的性质定理，可得BC∥EF；（2）证明：取EF的中点O，连接A1O和AO，∵截面α过点A1，∴截面α即为面A1BC，∴E、F分别为B1A，AC1中点，即AE＝AF，又∵O为EF中点，∴AO⊥EF，在Rt△AOE中，AE=√3，EO＝1，∴AO=√2，同理，A1O=√2，在△A1OA中，A1O2+AO2=AA12=4，∴△A1OA为直角三角形，即A1O⊥AO，又∵A1O⊥EF，AO∩EF＝O，∴A1O⊥面AEF，∴α⊥面AEF．（3）解：由（2）可得A1O⊥面AEF，∴A1O⊥AO，且A1O=AO=√2，又由AO⊥EO，且A1O⊥EO，可得EO⊥面AA1O，且EO=12B1C1=1，又由V A1−EFA =V E−A1AO+V F−A1AO=2V E−A1AO，=2×13×12×A1O×AO×EO=2×13×12×√2×√2×1=23．∴V A1−EFA【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．19．如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布表和频率分布直方图如下，回答下列问题：分组人数频率[39.5，49.5）a0.10[49.5，59.5）9x[59.5，69.5）b0.15[69.5，79.5）180.30[79.5，89.5）15y[89.5，99.5]30.05（1）分别求出a，b，x，y的值，并补全频率分布直方图；（2）估计这次环保知识竞赛平均分；（3）若从所有参加环保知识竞赛的学生中随机抽取一人采访，抽到的学生成绩及格的概率有多大？【分析】（1）根据频率分布表求出出a，b，x，y，再作出频率分布直方图；（2）用组中值估计平均分即可；（3）先求出本次竞赛及格率，用样本估计总体，每个人被抽到的概率相同，故可以求出抽到的学生成绩及格的概率．解：（1）a＝60×0.1＝6，b＝60×0.15＝9，x=960=0.15，y=1560=0.25；频率分布直方图如图所示：（2）用组中值估计平均分：44.5×0.1+54.5×0.15+64.5×0.15+74.5×0.3+84.5×0.25+94.5×0.05＝70.5；（3）本次竞赛及格率为：0.015×10+0.025×10+0.03×10+0.005×10＝0.75，用样本估计总体，每个人被抽到的概率相同，∴从所有参加环保知识竞赛的学生中随机抽取一人采访，抽到的学生成绩及格的概率为0.75．【点评】本题考查了频率分布表与频率分布直方图以及样本估计总体，考查了学生的运算能力与作图能力，属于基础题．20．设函数f（x）＝（1+a﹣ax）lnx﹣b（x﹣1），其中a，b是实数．已知曲线y＝f（x）与x轴相切于点（1，0）．（1）求常数b的值；（2）当1≤x≤2时，关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）对f（x）求导，根据条件知f′（1）＝0，即可求常数b的值；（2）求得f′（x）＝﹣alnx+1+a−axx−1，x∈[1，2]，f″（x）=−ax−1+ax2=−ax+a+1x2，分类讨论当a≤﹣1时，当a≥0时，当﹣1＜a＜0时，确定函数的单调性，即可求实数a 的取值范围．解：（1）函数f（x）＝（1+a﹣ax）lnx﹣b（x﹣1）的导数为f′（x）＝﹣alnx+1+a−axx−b，因为y＝f（x）与x轴相切于（1，0），故f'（1）＝0，即﹣aln1+1﹣b＝0，解得b＝1；（2）由f′（x）＝﹣alnx+1+a−axx−1，x∈[1，2]，f″（x）=−ax−1+ax2=−ax+a+1x2，①当a≤﹣1时，由于x∈[1，2]，有f″（x）≥0，于是f'（x）在x∈[1，2]上单调递增，从而f'（x）≥f'（1）＝0，因此f（x）在x∈[1，2]上单调递增，即f（x）≥f（1）＝0，而且仅有f（1）＝0，符合；②当a≥0时，由于x∈[1，2]，有f″（x）＜0，于是f'（x）在x∈[1，2]上单调递减，从而f'（x）≤f'（1）＝0，因此f （x ）在x ∈[1，2]上单调递减，即f （x ）≤f （1）＝0不符； ③当﹣1＜a ＜0时，令m ＝min {1，−a+1a}，当x ∈[1，m ]时，f ″（x ）＜0， 于是f '（x ）在x ∈[1，m ]上单调递减，从而f '（x ）≤f '（1）＝0，因此f （x ）在x ∈[1，m ]上单调递减，即f （x ）≤f （1）＝0，仅有f （1）＝0，不符． 综上可知，所求实数a 的取值范围是（﹣∞，﹣1]．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查单调性的运用，以及分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题． 21．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）经过点 （1，√32），离心率为√32，点A 为椭圆C 的右顶点，直线l 与椭圆相交于不同于点A 的两个点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）当AP →⋅AQ →=0时，求△OPQ 面积的最大值；（Ⅲ）若直线l 的斜率为2，求证：△APQ 的外接圆恒过一个异于点A 的定点． 【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率，求得a 和b 的关系，将P 代入椭圆方程，即可求得a 和b 的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）当斜率不存在时，求得P 和Q 点坐标，由 AP →⋅AQ →=0，求得m 的值，求得|PQ |求得，△OPQ 的面积，当斜率存在时，设直线l 方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式及三角形的面积公式，即可求得△OPQ 面积的最大值；（Ⅲ）设直线y ＝2x +m ，代入椭圆方程，设外接圆的方程，联立直线l 的方程，将A 代入外接圆方程，联立方程，即可求得△APQ 的外接圆恒过一个异于点 A 的定点．解：（Ⅰ）由椭圆的离心率e =c a =√32，即c 2=34a 2，即b 2＝a 2﹣c 2=14a 2，a 2＝4b 2，将点 （1，√32）代入椭圆方程x 24b +y 2b =1，即14b +34b =1，解得：b 2＝1，∴a 2＝4，∴椭圆的标准方程：x 24+y 2=1；（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，设l ：x ＝m ，代入椭圆方程x 24+y 2=1，P （m ，√1−m 24），Q （m ，−√1−m 24），由AP →⋅AQ →=0，（m ﹣2）2﹣（1−m 24）＝0，解得：m =65，m ＝2（舍去），此时|PQ |=85，△OPQ 的面积为2425，当直线l 的斜率存在时，设l ：y ＝kx +m ，代入椭圆方程，（4k 2+1）x 2+8kmx +4（m 2﹣1）＝0，由△＞0，则4k 2﹣m 2+1＞0， x 1+x 2=−8km 4k 2+1，x 1•x 2=4(m 2−1)4k 2+1，由 AP →⋅AQ →=0，（x 1﹣2）（x 2﹣2）+y 1y 2＝（k 2+1）x 1•x 2+（km ﹣2）（x 1+x 2）+m 2+4＝0， 代入求得12k 2+5m 2+16km ＝0，即m =−65k ，m ＝﹣2k ，（此时直线l 过点A ，舍去），|PQ |=√1+k 2•√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=44k 2+1√(1+k 2)(4k 2−m 2+1)，点O 到直线l 的距离d =√k +1，△OPQ 的面积为2|m|√4k 2−m+14k +1，将m =−65k 代入，2425×√−9256×(1k 2+14)2−764×1k 2+14+1＜2425，△OPQ 面积的最大值2425；（Ⅲ）证明：设直线y ＝2x +m ，代入椭圆方程，整理得：17x 2+16mx +4（m 2﹣1）＝0， 设△APQ 的外接圆方程x 2+y 2+Dx +Ey +F ＝0，联立直线l 的方程，5x 2+（4m +D +2E ）x +（m 2+mE +F ）＝0， 代入可知175=16m 4m+D+2E=4(m 2−1)m +mE+F，由外接圆过点A （2，0），则2D +F ＝﹣4， 从而可得关于D ，E ，F 的三元一次方程组，{ 2D +F =−4D +2E =1217m mE +F =317m 2−2017，解得：{ D =6m−2417E =3m+1217F =−12m+2017，代入圆方程，整理得：（x 2+y 2−2417x +1217y −2017）+3m17（2x +y ﹣4）＝0， ∴{x 2+y 2−2417x +1217y −2017=02x +y −4=0，解得：{x =3017y =817，或{x =2y =0， △APQ 的外接圆恒过一个异于点A 的定点（3017，817）．【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理，弦长公式及点到直线的距离公式，考查三角形的外接圆的性质，考查计算能力，属于难题． 一、选择题22．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为{x =ty =4−√3t （t 为参数），圆C的方程为x 2+（y ﹣1）2＝1．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求l 和C 的极坐标方程；（2）过O 且倾斜角为α的直线与l 交于点A ，与C 交于另一点B ．若π6≤α≤5π12，求|OB||OA|的取值范围．【分析】（1）直接利用和转换关系的的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．（2）利用三角函数关系式的变换的应用和正弦型函数的性质的应用求出结果． 解：（1）直线l 的参数方程为{x =t y =4−√3t （t 为参数），转换为直角坐标方程为√3x +y −4=0，转换为极坐标方程为√3ρcosθ+ρsinθ−4=0． 整理得：ρ=42sin(θ+π3)=2sin(α+π3)．圆C 的方程为x 2+（y ﹣1）2＝1，整理得x 2+y 2＝2y ，转换为极坐标方程为ρ＝2sin θ． （2）过O 且倾斜角为α的直线为θ＝α，由于该直线与l 交于点A ，所以{ρ=2sin(θ+π3)θ=α，所以ρA =2sin(α+π3)，与C 交于另一点B ．所以{ρ=2sinθθ=α，整理得ρB ＝2sin α，所以|OB||OA|=2sinα2sin(α+π3)=sinα⋅sin(α+π3)=12sin(2α−π6)+14， 由于π6≤α≤5π12，所以π6≤2α−π6≤2π3，所以12≤sin(2α−π6)≤1，所以12≤12sin(2α−π6)+14≤34故求|OB||OA|的取值范围[12，34]．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23．不等式|x +2|+|x +4|＜8的解集为（n ，m ）．（1）求m 的值；（2）设a ，b ，c ∈R *，且a 2+b 2+c 2＝m ，求a +2b +3c 的最大值．【分析】（1）根据|x +2|+|x +4|＜8，利用零点分段法得到不等式的解集，再结合条件求出m 的值；（2）由（1）知m ＝1，然后利用柯西不等式根据a 2+b 2+c 2＝1，求出a +2b +3c 的最大值．解：（1）|x +2|+|x +4|={2x +6，x ＞−22，−4≤x ≤−2−2x −6，x ＜−4．∵|x +2|+|x +4|＜8，∴{2x +6＜8x ＞−2或﹣4≤x ≤﹣2或{−2x −6＜8x ＜−4， ∴﹣2＜x ＜1或﹣4≤x ≤﹣2或﹣7＜x ＜﹣4，∴﹣7＜x ＜1，∴|x +2|+|x +4|＜8的解集为（﹣7，1），∴m ＝1．（2）由（1）知m ＝1，∴a 2+b 2+c 2＝m ＝1，∵a ，b ，c ∈R *，∴由柯西不等式，得：a +2b +3c ⩽√12+22+32⋅√a 2+b 2+c 2=√14，当且仅当a =b 2=c 3时，即a =√1414，b =2√1414，3√1414等号成立， ∴a +2b +3c 的最大值为√14．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和利用柯西不等式求最值，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。
黑龙江省哈尔滨三中2020届高三高考数学(文科)五模试题
黑龙江省哈尔滨三中2020届高三高考数学（文科）五模试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．已知复数()()23z i a i =+-是纯虚数，则实数a =（ ） A ．32- B ．32 C ．3- D ．32．已知向量()2,3a =-，()3,b m =且a b ，则m =（ ）A ．2-B ．2C ．92-D ．923．已知集合{}12,A x x x Z =-≤≤∈，集合{}0B x x =>，则集合AB 的子集个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 4．设2log 3a =，13log 2b =，20.4c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b >> 5．设公比为3的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31S =，则456a a a ++=（ ） A ．3 B ．9 C ．27 D ．816．某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是边长分别为1和2的矩形，俯视图为半径为1的四分之一个圆，则该几何体的体积为（ ）A ．13π B ．12π C ．23π D ．π7．若圆221:4C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则实数m 的值是（ ）A ．24-B ．16-C ．24D ．168．若0a >，0b >，则“1≥ab ”是“2a b +≥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，就是现在我们熟悉的“进位制”，下图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（ ）A ．27B ．42C ．55D ．21010．已知函数()π4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()()1f x f x '=，()()21f x f x '=，()()32f x f x '=，…，依此类推，2020π4f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A B ． C ．0 D ．11．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 是棱1DD 的中点，则平面1AC E 截该正方体所得的截面面积为（ ）12．已知点P 在直线1y x =-上，点Q 在曲线22x y =上，则PQ 的最小值为（ ）A ．14 B ．18 C ．2 D ．4第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率2e =，则其渐近线的方程为 _________14．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 5+a 7＝6，则S 11＝_____．15．若在不等式221x y +≤所表示的平面区域内随机投一点P ，则该点P 落在不等式组11x y x y ⎧-≤⎪⎨+≤⎪⎩所表示的平面区域内的概率为______. 16．函数()()f x x R ∈为奇函数，当0x >时，()()l 0n x f x f x x'⋅+<，则不等式()0f x >的解集为______.三、解答题17．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．满足22cos c a b A =+． （1）求B ；（2）若5a c +=，3b =，求ABC 的面积．18．如图①，在平面五边形ABCDE 中，ABCD 是梯形，//AD BC ，290AD BC AB ABC ===∠=︒， ADE 是等边三角形．现将ADE 沿AD 折起，连接,EB EC 得如图②的几何体．（1）若点M是ED的中点，求证：//CM平面ABE；（2）若平面ADE⊥平面ABCD，求四棱锥E ABCD-的体积．19．为抑制房价过快上涨和过度炒作，各地政府响应中央号召，因地制宜出台了系列房价调控政策.某市拟定出台“房产限购的年龄政策”.为了解人们对“房产限购年龄政策”的态度，在年龄为20~60岁的人群中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图和支持“房产限购”的人数与年龄的统计结果如图所示：（1）由以上统计数据填22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以44岁为分界点的不同人群对“房产限购年龄政策”的支持度有差异？（2）若以44岁为分界点，从不支持“房产限购”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加政策听证会，现从这8人中随机抽2人，求抽到的2人中恰有1人是44岁以下的概率.参考公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++.20．已知函数()()2x f x x a R e a =-∈.（1）当1a =时，证明：0x ≥时，()1f x ≤-；（2）若对任意0x ≥，均有()0f x ≤成立，求a 的取值范围.21．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点F 是椭圆22143x y +=的一个焦点. （1）求抛物线C 的方程；（2）设P ，M ，N 为抛物线C 上的不同三点，点()1,2P ，且PM PN ⊥.求证：直线MN 过定点.22．在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0a π≤<），以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=．（1）求曲线C 的直角坐标方程，直线l 在x 轴正半轴及y 轴正半轴上的截距相等时的直角坐标方程；（2）若3πα=，设直线l 与曲线C 交于不同的两点,A B ，点()1,1P ，求11||||PA PB -的值．23．已知函数()=-++f x x a x b ，()0,0a b >>.（1）当1a =，3b =时，求不等式()6f x <的解集；（2）若()f x 的最小值为2，求证：11111a b +≥++.参考答案1．A【解析】【分析】利用复数乘法运算化简z ，再根据z 为纯虚数，求得a 的值.【详解】依题意()236z a a i =++-为纯虚数， 所以2303602a a a +=⎧⇒=-⎨-≠⎩. 故选：A【点睛】本小题主要考查复数的乘法运算，考查纯虚数的概念，属于基础题.2．C【解析】【分析】由向量平行的坐标公式，即可求得.【详解】a b ，(2,3)a =-，(3,)b m =，∴290m --=，解得92m =-， 故选：C.【点睛】本题考查向量平行的坐标公式，属于基础题.一般地，如果11,ax y ，()22,b x y =，若a b ，则12210x y x y -=.3．D【解析】【分析】先求得A B ，由此求得集合A B 的子集个数.【详解】依题意{}1,0,1,2A =-，{}0B x x =>，所以{}1,2AB =，共有2个元素，故集合A B的子集个数为224=个.故选：D【点睛】 本小题主要考查交集的概念和运算，考查集合子集个数，属于基础题.4．C【解析】【分析】由题意结合对数函数的单调性和指数函数的单调性与中间量0和1比较大小，即可确定a ，b ，c 的大小关系.【详解】解：因为函数2log y x =在(0,)+∞上单调递增，且23<，所以22log 2log 3<，即21log 3<，所以1a >， 因为函数13log y x =在(0,)+∞上单调递减，且21>， 所以1133log 2log 10<=，即0b <， 因为函数0.4xy =在R 上单调递减，且20>，所以2000.40.41<<=，即01c <<，所以a c b >>，故选：C【点睛】此题考查的是对数式和指数式比较大小，通常利用对数函数和指数函数的单调性找中间量0或1比较大小，属于基础题.5．C【解析】【分析】先利用公比为3及31S =解出首项1a ，再求解456a a a ++.【详解】()()331131131113a q a S q --===--,解得1113a =， 则()()34534545611+=3+3+32713a a a a q q q++=⋅+⨯=. 故选：C.【点睛】 本题考查等比数列的通项公式、前n 项和公式的运用，比较简单.解答时得出基本量1a 及公比q 是关键.6．B【解析】【分析】由三视图判断出几何体的结构，由此计算出几何体的体积.【详解】由三视图可知，该几何体是圆柱的四分之一， 所以体积为211242ππ⨯⨯⨯=. 故选：B【点睛】本小题主要考查根据三视图求几何体的体积，属于基础题.7．D【解析】【分析】首先求出两圆圆心坐标与半径，两圆相外切，则圆心距等于半径和，即可求出参数的值；【详解】解：圆221:4C x y +=的圆心为()0,0，半径为2；圆222:680C x y x y m +--+=的圆心为()3,45=.由于两个圆外切，所以25=，解得16m =. 故选：D【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系及其判定，属于基础题．8．A【解析】【分析】0a >，0b >，利用基本不等式的性质可得：a b +≥，可由1≥ab ，得出2a b +≥.反之不成立，从而得到结果.【详解】0a >，0b >，∴a b +≥，若1≥ab ，则2a b +≥.反之不成立，例如取5a =，110b =. ∴“1≥ab ”是“2a b +≥”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件，在解题的过程中，注意不成立的可以举反例得到结果，属于基础题目9．B【解析】【分析】根据题意可得孩子已经出生天数的五进制数为()5132，化为十进制数即可得出结果.【详解】由题意可知，孩子已经出生的天数的五进制数为()5132，化为十进制数为()251321535242=⨯+⨯+=.故选：B. 【点睛】本题考查五进制数化为十进制数，考查计算能力，属于基础题. 10．A 【解析】 【分析】结合函数导数的求解，求出()1f x ，()2f x ，()3f x ，()4f x ，()5f x ，…，找出规律，即可求出()20204f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，继而可求出2020π4f ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【详解】解：()()14f f x x x π⎛⎫'==+ ⎪⎝⎭，()()214x f x f x π⎛⎫+ ⎪⎝'=⎭=，()()324x f x f x π⎛⎫+ ⎪⎝'=⎭=，()()434f x x f x π⎛⎫+== ⎝'⎪⎭，()()544f x x f x π⎛⎫+== ⎝'⎪⎭，…，由20204505=⨯，得()()420204f x f x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，则2020π42f π⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选:A. 【点睛】本题考查了导数的求解.本题的关键是找出函数解析式的规律. 11．B 【解析】 【分析】作出示意图，设F 为1BB 的中点，连接1,,AF FC EF ，易得平面1AC E 截该正方体所得的截面为1AFC E ，再计算其面积. 【详解】如图所示，设F 为1BB 的中点，连接1,AF FC ，设G 为1CC 的中点，连接,EG GB ，由//EG AB 且EG AB =，得ABGE 是平行四边形，则//AE BG 且AE BG =， 又1//BG C F 且1BG C F =，得1//AE C F 且1AE C F =，则1,,,A E C F 共面， 故平面1AC E 截该正方体所得的截面为1AFC E .又11AF FC EC EA ===，1AC =EF =1EF AC ⊥，故1AFC E 的面积为12S =⨯=故选：B. 【点睛】本题考查了正方体中线面位置关系，截面问题，属于中档题 12．D 【解析】 【分析】设与直线1y x =-平行的直线l 的方程为y x m =+，当直线l 与曲线22x y =相切，且点Q为切点时，,P Q 两点间的距离最小，根据导数的几何意义求出直线l 的方程，再利用平行线间的距离公式即可求出结果． 【详解】设与直线1y x =-平行的直线l 的方程为y x m =+，∴当直线l 与曲线22x y =相切，且点Q 为切点时，,P Q 两点间的距离最小， 设切点()00,Q x y ，22122x y y x =⇔=，所以y x '=，01x ∴=，012y ∴=， ∴点11,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴直线l 的方程为12y x =-， ,P Q ∴两点间距离的最小值为平行线12y x =-和1y x =-间的距离，,P Q ∴两点间距离的最小值为4=.故选：D ． 【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 13．y = 【解析】双曲线的方程是()222210,0x y a b a b-=>>，∴双曲线渐近线为b y x a =±，又离心率为2ce a==，可得2c a =，224c a ∴=，即2224a b a +=，可得b =，由此可得双曲线渐近线为y =，故答案为y =. 14．33 【解析】 【分析】 由题得1111111()2S a a =+，再利用等差数列的性质解答. 【详解】 由题得1111157111111()()633222S a a a a =+=+=⨯=. 故答案为：33. 【点睛】本题主要等差数列的前n 项和的计算，考查等差数列的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 15．2π【解析】 【分析】画出不等式221x y +≤和不等式组11x y x y ⎧-≤⎪⎨+≤⎪⎩所表示的平面区域，根据几何概型概率计算公式，计算出所求概率. 【详解】不等式221x y +≤表示单位圆的圆上和圆内；不等式组11x y x y ⎧-≤⎪⎨+≤⎪⎩等价于1111x y x y x y x y -≥-⎧⎪-≤⎪⎨+≥-⎪⎪+≤⎩. 画出不等式221x y +≤和不等式组11x y x y ⎧-≤⎪⎨+≤⎪⎩所表示的平面区域如下图所示，=2=.所以所求的概率为2221ππ=⨯. 故答案为：2π【点睛】本小题主要考查几何概型概率计算，属于中档题.16．(),0-∞ 【解析】 【分析】构造函数()()ln F x f x x =⋅，根据已知条件判断()F x 的奇偶性和单调性，结合()F x 的图象求得不等式()0f x >的解集. 【详解】构造函数()()()ln 0F x f x x x =⋅≠，由于()()()ln F x f x x F x -=-⋅=-，所以()F x 为奇函数.当0x >时，()()ln F x f x x =⋅，()()()''ln 0f x F x f x x x=⋅+<，()F x 为减函数，则()F x 在(),0-∞为减函数.由于()()()()11ln10,110F f F F =⋅=-=-=，由此画出()F x 的大致图象如下图所示，将1x =代入()()l 0n x f x f x x'⋅+<得()10f <，所以()()110f f -=->. 结合表格可知，当0x <时()0f x >. 所以不等式()0f x >的解集为(),0-∞. 故答案为：(),0-∞【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.17．(1)3B π=；. 【解析】 【分析】(1)利用正弦定理把已知等式中的边转化成角的正弦， 整理可求得cos B 的值，进而求得B 的值；(2)由余弦定理及已知中的a c +的值，整理可求得ac 的值，进而利用三角形面积公式，即可求解. 【详解】 解：(1)由题意： 因为正弦定理：sin sin sin a b cA B C==， 所以对于22cos c a b A =+， 有2sin sin 2sin cos C A B A =+，[]2sin ()sin 2sin cos A B A B A π∴-+=+整理得：2sin cos sin ,0,sin 0A B A A A π=<<∴≠,1cos 2B ∴=，在ABC 中，∴0B π<<，故3B π= .(2)由(1)及题意可得：22222cos ()3b a c ac B a c ac =+-=+-16325916,3ac ac =-=∴=∴1116sin 223ABCSac B ==⨯=，所以ABC 的面积为3. 【点睛】本题主要考查三角恒等变换、正弦定理及余弦定理的应用，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于中档题.18．（1）证明见解析；（2）3. 【解析】 【分析】（1）取AE 的中点为F ，连接,FM BF ，可证四边形BCMF 为平行四边形，从而可证//CM 平面ABE .（2）取AD 的中点为G ，连接EG ，可证EG ⊥平面ABCD ，从而可求E ABCD V -. 【详解】（1）取AE 的中点为F ，连接,FM BF . 因为,EM MD EF FA ==，故1//,2FM AD FM AD =. 又在直角梯形ABCD 中，1//,2BC AD BC AD =，故//,BC FM BC FM =， 故四边形BCMF 为平行四边形，故//CM BF .因为CM ⊄平面ABE ，BF ⊂平面ABE ，故//CM 平面ABE .（2）取AD 的中点为G ，连接EG . 因为AED 为等边三角形，故EG AD ⊥. 因为平面ADE ⊥平面ABCD ，平面ADE 平面ABCD AD =，EG ⊂平面ADE ，故EG ⊥平面ABCD .又梯形ABCD 为直角梯形，其面积为12=，而2EG ==1332E ABCD V -=⨯=. 【点睛】本题考查线面平行的证明以及四棱锥体积计算，前者关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，后者关键是棱锥的高，本题属于基础题.19．（1）22⨯列联表答案见解析，在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以44岁为分界点的不同人群对“房产限购年龄政策”的支持度有差异；（2）37. 【解析】 【分析】（1）由统计数据填写列联表，计算2K 的值，对照临界值得出结论；（2）利用分层抽样法计算抽取的人数，利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值. 【详解】（1）由统计数据填22⨯列联表如下：计算观测值()22100355451525 6.25 3.841505080204K ⨯⨯-⨯===>⨯⨯⨯，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以44岁为分界点的不同人群对“房产限购年龄政策”的支持度有差异；（2）由题意可知不支持“房产限购”的人44岁以下有15人，44岁及以上有5人，按分层抽样的方法抽取8人，其中44岁以下抽取6人，用1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，6a 表示44岁及以上抽取2人分别用1b ，2b 表示，设“抽到的2人中恰有1人是44岁以下”为事件A 从这8人中抽取2人所有可能出现的结果有：()12,a a ，()13,a a ，()14,a a ，()15,a a ，()16,a a ，()11,a b ，()12,a b ， ()23,a a ，()24,a a ，()25,a a ，()26,a a ，()21,a b ，()22,a b ， ()34,a a ，()35,a a ，()36,a a ，()31,a b ，()32,a b ，()45,a a ，()46,a a ，()41,a b ，()42,a b ，()56,a a ，()51,a b ，()52,a b ，()61,a b ，()62,a b ，()12,b b 共28种抽取的2人中恰有1人44岁以下的结果有：()11,a b ，()12,a b ，()21,a b ，()22,a b ，()31,a b ，()32,a b ，()41,a b ，()42,a b ，()51,a b ，()52,a b ，()61,a b ，()62,a b ，共12种所以()37P A =，抽取“抽到的2人中恰有1人是44岁以下”的概率为37【点睛】此题考查了列联表与独立性检验的问题，考查了用列举法求古典概型的概率问题，属于基础题.20．（1）证明见解析；（2）24,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】 【分析】（1）令()()2xh x f x x e '==-，可得()2'=-x h x e ，得到函数()2'=-x h x e 在[)0,+∞存在唯一零点0ln 2x =，进而得出()h x 的单调性与最值，即可求解.（2）根据题意，转化为2x x a e ≥恒成立，设函数()2x x g x e=，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解. 【详解】（1）当1a =时，函数()()2xx x a R f e =-∈，则令()()2xh x f x x e '==-，可得()2'=-x h x e ，由于()2'=-x h x e 在[)0,+∞上单调递减， 令()0h x '=，即20x e -=，解得0ln 2x =，即函数()2'=-x h x e 在[)0,+∞存在唯一零点0ln 2x =， 可得函数()h x 满足：所以[)0,x ∈+∞时，()()ln 22220h x h n ≤=-<，即()0f x '<恒成立， 所以()f x 为[)0,+∞上的减函数， 当0x ≥时，()()01f x f ≤=-，证毕.（2）由对任意0x ≥，均有()0f x ≤成立，等价于2x x a e≥恒成立， 设函数()2x x g x e=，[)0,x ∈+∞，则()()2x e x x x g -'=， 可得函数()g x ：所以()()max 242g x g e ==，可得()max a x g ≥，所以24a e ≥， 实数a 的取值范围是24,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】 本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题和不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．21．（1）24y x =；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）椭圆22143x y +=的焦点为()1,0±，由题意可知12p =，由此即可求出抛物线的方程； （2）设直线MN 的方程为x my n =+，与抛物线联立得，可得211244y y y y m n ==-+，，再根据PM PN ⊥，可得0PM PN ⋅=，列出方程代入211244y y y y m n ==-+，，化简可得2264850n n m m ---+=，再因式分解可得25n m =+或21n m =-+，再代入方程进行检验，即可求出结果.【详解】（1）因为椭圆22143x y +=的焦点为()1,0±， 依题意，12p =，2p =，所以C ：24y x = （2）设直线MN 的方程为x my n =+，与抛物线联立得2440y my n --=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则211244y y y y m n ==-+，，由PM PN ⊥，则0PM PN ⋅=，即()()11221,21,20x y x y --⋅--=，所以()()()()121211+220x x y y ----=即()()()()121211+220my n my n y y +-+---=，整理得到()()()()22121212+140m y y mn m y y n ++--+-+=， 所以()()()224142+140n m m mn m n -++---+=， 化简得2264850n n m m ---+=即()()22341n m -=-，解得25n m =+或21n m =-+.当25n m =+时，直线MN 的方程为25x my m =++，即为()52x m y -=+，即直线过定点()5,2-；当21n m =-+时，直线MN 的方程为21x my m ，即为()12x m y -=-，即直线过定点()1,2，此时与点P 重合，故应舍去，所以直线MN 过定点()5,2-.【点睛】本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22．（1）24y x =，2y x =-+；（2.【解析】【分析】（1）将2sin 4cos ρθθ=两边同乘以ρ，利用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可求曲线C 的直角坐标方程，再求出直线的斜率后可求其直线方程.（2）利用直线参数方程中t 的几何意义可求11||||PA PB -的值. 【详解】（1）将2sin 4cos ρθθ=两边同乘以ρ，则22sin 4cos ρθρθ=， 故24y x =，所以曲线C 的直角坐标方程为24y x =.当直线l 在x 轴正半轴及y 轴正半轴上的截距相等时，直线的斜率为1-， 因直线过()1,1，故此时直线方程为2y x =-+. （2）因为3πα=，故直线l的参数方程为11212x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，设1122,,1111112222,A t t B +++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+， 将直线l 的参数方程代入24y x =得)232304t t +-=.又12,t t为该方程的两个异号根，且(121242,43t t t t +==-. 又121211||||t t PA PB t t -=+，故11||||PA PB =-. 【点睛】极坐标方程转化为直角坐标方程，关键是cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，直线的参数方程有很多种，如果直线的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩ （其中t 为参数，α为直线的倾斜角），注意t 表示直线上的点(),P x y 到()00,P x y 的距离，我们常利用这个几何意义计算直线上线段的长度和、差、积等．23．（1）()4,2-；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用零点分界法即可求解.（2）利用绝对值三角不等式可得2a b +=，然后由()111111111411a b a b a b ⎛⎫+=++++ ⎪++++⎝⎭，利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）依题意136x x -++<，当1x ≥时，136x x -++<，解得2x <，即12x ≤<，当31x -≤<时，136x x -++<，解得46<成立，即31x -≤<， 当3x <-时，136x x ---<，解得4x >-，即43x -<<-， 综上所述，不等式的解集为()4,2-.（2）()()()f x x a x b x a x b a b a b =-++≥--+=--=+， 所以2a b +=()11111111112111411411b a a b a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫+=++++=++≥ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭. 当且仅当1a b ==时，取等号.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法、基本不等式证明不等式，属于基础题.。
黑龙江省哈尔滨第九中学2020届高三5月高考文科数学模拟试卷 (解析版)
2020年高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题（共12小题）.1．若复数（1+mi）（3+i）（i是虚数单位，m∈R）是纯虚数，则复数的模等于（）A．1B．2C．3D．42．“m”是“直线（m+2）x+3my+1＝0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3＝0相互垂直”的（）A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件3．将甲、乙两个篮球队5场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，由图可知以下结论正确的是（）A．甲队平均得分高于乙队的平均得分B．甲队得分的中位数大于乙队得分的中位数C．甲队得分的方差大于乙队得分的方差D．甲乙两队得分的极差相等4．已知有下面程序，若程序执行后输出的结果是11880，则在程序后面的“横线”处应填（）A．i≥9B．i＝8C．i≥10D．i≥85．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为2n﹣1，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前55项和为（）A．4072B．2026C．4096D．20486．有两条不同的直线m，n与两个不同的平面α，β，下列结论中正确的是（）A．α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥βB．m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n C．m∥n，n⊆α，则m∥αD．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n7．已知函数，则下列关于函数f（x）图象的结论正确的是（）A．关于点（0，0）对称B．关于点（0，1）对称C．关于y轴对称D．关于直线x＝1对称8．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心在线段CD（含端点）上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量（m，n为实数），则m+n的最大值是（）A．2B．3C．5D．69．设p＝0.50.7，q0.3，则有（）A．p﹣q＞pq＞p+q B．p﹣q＞p+q＞pq C．pq＞p﹣q＞p+q D．p+q＞p﹣q＞pq 10．设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[，]C．[，]D．[，] 11．如图，已知F1、F2为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P在第一象限，且满足a，（）•0，线段PF2与双曲线C交于点Q，若5，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y＝±B．y＝±C．y＝±D．y＝±12．已知数列{a n}中，a1＝2，n（a n+1﹣a n）＝a n+1，n∈N*，若对于任意的a∈[﹣2，2]，n∈N*，不等式2t2+at﹣1恒成立，则实数t的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数f（x）＝cos（2x）+sin（2x+π）（x∈[，]）的最大值为．14．已知实数x，y满足，在这两个实数x，y之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为．15．已知A，B是圆C：x2+y2﹣8x﹣2y+16＝0上两点，点P在抛物线x2＝2y上，当∠APB 取得最大值时，|AB|＝．16．△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若A＝2B，则的取值范围为．三、解答题（本题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分.17．已知向量，满足（﹣2sin x，（cos x+sin x）），（cos x，cos x﹣sin x），函数f（x）•（x∈R）．（Ⅰ）求f（x）在x∈[，0]时的值域；（Ⅱ）已知数列a n＝n2f（）（n∈N+），求{a n}的前2n项和S2n．18．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝2，BC＝4，，过BC的截面α与面AB1C1交于EF．（1）求证：EF∥BC．（2）若截面α过点A1，求证：α⊥面AEF．（3）在（2）的条件下，求．19．如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布表和频率分布直方图如下，回答下列问题：分组人数频率[39.5，49.5）a0.10[49.5，59.5）9x[59.5，69.5）b0.15[69.5，79.5）180.30[79.5，89.5）15y[89.5，99.5]30.05（1）分别求出a，b，x，y的值，并补全频率分布直方图；（2）估计这次环保知识竞赛平均分；（3）若从所有参加环保知识竞赛的学生中随机抽取一人采访，抽到的学生成绩及格的概率有多大？20．设函数f（x）＝（1+a﹣ax）lnx﹣b（x﹣1），其中a，b是实数．已知曲线y＝f（x）与x轴相切于点（1，0）．（1）求常数b的值；（2）当1≤x≤2时，关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．21．已知椭圆C：1（a＞b＞0）经过点（1，），离心率为，点A为椭圆C 的右顶点，直线l与椭圆相交于不同于点A的两个点P（x1，y1），Q（x2，y2）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）当⋅0时，求△OPQ面积的最大值；（Ⅲ）若直线l的斜率为2，求证：△APQ的外接圆恒过一个异于点A的定点．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C 的方程为x2+（y﹣1）2＝1．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求l和C的极坐标方程；（2）过O且倾斜角为α的直线与l交于点A，与C交于另一点B．若，求的取值范围．23．不等式|x+2|+|x+4|＜8的解集为（n，m）．（1）求m的值；（2）设a，b，c∈R*，且a2+b2+c2＝m，求a+2b+3c的最大值．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若复数（1+mi）（3+i）（i是虚数单位，m∈R）是纯虚数，则复数的模等于（）A．1B．2C．3D．4【分析】由已知求得m，代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．解：∵（1+mi）（3+i）＝3﹣m+（3m+1）i为纯虚数，∴m＝3，则，∴复数的模等于3．故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．2．“m”是“直线（m+2）x+3my+1＝0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3＝0相互垂直”的（）A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【分析】判断充分性只要将“m”代入各直线方程，看是否满足（m+2）（m﹣2）+3m•（m+2）＝0，判断必要性看（m+2）（m﹣2）+3m•（m+2）＝0的根是否只有．解：当m时，直线（m+2）x+3my+1＝0的斜率是，直线（m﹣2）x+（m+2）y ﹣3＝0的斜率是，∴满足k1•k2＝﹣1，∴“m”是“直线（m+2）x+3my+1＝0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3＝0相互垂直”的充分条件，而当（m+2）（m﹣2）+3m•（m+2）＝0得：m或m＝﹣2．∴“m”是“直线（m+2）x+3my+1＝0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3＝0相互垂直”充分而不必要条件．故选：B．【点评】本题是通过常用逻辑用语考查两直线垂直的判定．3．将甲、乙两个篮球队5场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，由图可知以下结论正确的是（）A．甲队平均得分高于乙队的平均得分B．甲队得分的中位数大于乙队得分的中位数C．甲队得分的方差大于乙队得分的方差D．甲乙两队得分的极差相等【分析】根据中位数，平均数，极差，方差的概念计算比较可得．解：对于A，甲的平均数为（26+28+29+31+31）＝29，乙的平均数为（28+29+30+31+32）＝30，故错误；对于B，甲队得分的中位数是29，乙队得分的中位数是30，故错误；对于C，甲成绩的方差为：s2[（26﹣29）2+（28﹣29）2+（29﹣29）2+（31﹣29）2+（31﹣29）2]．乙成绩的方差为：s2[（28﹣30）2+（29﹣30）2+（30﹣30）2+（31﹣30）2+（32﹣30）2]＝2．可得甲队得分的方差大于乙队得分的方差，故正确；对于D，甲的极差是31﹣26＝5．乙的极差是32﹣28＝4，两者不相等，故错误．故选：C．【点评】本题考查了考查茎叶图的性质等基础知识，考查中位数，平均数，极差，方差的概念计算及运算求解能力，是基础题．4．已知有下面程序，若程序执行后输出的结果是11880，则在程序后面的“横线”处应填（）A．i≥9B．i＝8C．i≥10D．i≥8【分析】根据输出的结果推出循环体执行的次数，再根据s＝1×12×11×10×9＝11880得到程序的条件是什么．解：因为输出的结果是11880，即s＝1×12×11×10×9，需执行4次，则程序中的“条件”应为i≥9．故选：A．【点评】本题主要考查了循环语句的应用问题，语句的识别问题是一个逆向性思维，是基础题．5．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为2n﹣1，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前55项和为（）A．4072B．2026C．4096D．2048【分析】利用n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，然后令x＝1得到对应项的系数和，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可．解：n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，例如（x+1）2＝x2+2x+1，系数分别为1，2，1，对应杨辉三角形的第3行，令x＝1，就可以求出该行的系数之和，第1行为20，第2行为21，第3行为22，以此类推即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形的前n项和为S n2n﹣1，若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，……，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则T n，可得当n＝12，去除两端的“1”可得78﹣23＝55，则此数列前55项的和为S12﹣23＝212﹣1﹣23＝4072．故选：A．【点评】本题主要考查数列的求和，结合杨辉三角形的系数与二项式系数的关系以及等比数列、等差数列的求和公式是解决本题的关键，6．有两条不同的直线m，n与两个不同的平面α，β，下列结论中正确的是（）A．α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥βB．m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥nC．m∥n，n⊆α，则m∥αD．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n【分析】对于A，只有在满足n⊂α时，可得n⊥β；对于B，由m⊥α，α∥β，得m⊥β，由n∥β，可得m⊥n；对于C，m∥α或m在α内；对于D，m，n相交、平行或异面．解：对于A，由α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，只有在满足n⊂α时，可得n⊥β，所以A不正确；对于B，由m⊥α，α∥β，可得m⊥β，又由n∥β，所以可得m⊥n，所以B正确；对于C，由m∥n，n⊆α，则m∥α或m在α内，所以C不正确；对于D，由m∥α，n∥β且α∥β，则m，n相交、平行或异面，所以D不正确．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．7．已知函数，则下列关于函数f（x）图象的结论正确的是（）A．关于点（0，0）对称B．关于点（0，1）对称C．关于y轴对称D．关于直线x＝1对称【分析】令x＝2﹣t，那么|2﹣x|＝|t|，|x|＝|2﹣t|，可得f（x）＝f （2﹣x）则f（x）关系x＝1对称．解：函数，令x＝2﹣t，那么|2﹣x|＝|t|，|x|＝|2﹣t|，可得f（x）＝f（2﹣x）则f（x）关于直线x＝1对称．故选：D．【点评】本题考查了函数图象变换，对称问题，是中档题．8．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心在线段CD（含端点）上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量（m，n为实数），则m+n的最大值是（）A．2B．3C．5D．6【分析】利用平面向量的运算法则结合题意将原问题转化为向量的投影问题，然后数形结合即可求得最终结果．解：由题意可得：，同理，，两式相加可得：；∵，∴．∵．∴，其几何意义就是在上的投影．∴求m+n的最大值就转化为求在上投影最大值．从图形上可以看出：当点Q和D点重合时，在上的投影取到最大值5．故选：C．【点评】本题考查平面向量的坐标运算，数形结合解题等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．9．设p＝0.50.7，q0.3，则有（）A．p﹣q＞pq＞p+q B．p﹣q＞p+q＞pq C．pq＞p﹣q＞p+q D．p+q＞p﹣q＞pq【分析】比较p与的大小，求出q的范围即可得到结论．解：依题意，p＝0.50.7＞0.5，q log31＝0，又因为，所以q，即q＜0，所以p﹣q＞p+q＞0，pq＜0，所以p﹣q＞p+q＞pq，故选：B．【点评】本题考查了指数函数幂函数的图象和性质，考查分析和解决问题的能力，属于中档题．10．设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[，]C．[，]D．[，]【分析】根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2＝1上存在点N，使得∠OMN ＝45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN＝45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN＝1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN＝1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．故选：A．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，数形结合是快速解得本题的策略之一．11．如图，已知F1、F2为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P在第一象限，且满足a，（）•0，线段PF2与双曲线C交于点Q，若5，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y＝±B．y＝±C．y＝±D．y＝±【分析】由题意，|PF1|＝|F1F2|2c，|QF1|a，|QF2|a，由余弦定理可得，确定a，b的关系，即可求出双曲线C的渐近线方程．解：由题意，（）•0，∴|PF1|＝|F1F2|＝2c，|QF1|a，|QF2|a，∴由余弦定理可得，∴c a，∴b a，∴双曲线C的渐近线方程为y x．故选：B．【点评】本题考查双曲线C的渐近线方程，考查学生的计算能力，确定a，b的关系是关键．12．已知数列{a n}中，a1＝2，n（a n+1﹣a n）＝a n+1，n∈N*，若对于任意的a∈[﹣2，2]，n∈N*，不等式2t2+at﹣1恒成立，则实数t的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]【分析】由题意可得，运用裂项相消求和可得，再由不等式恒成立问题可得2t2+at﹣4≥0，设f（a）＝2t2+at﹣4，a∈[﹣2，2]，运用一次函函数的性质，可得t的不等式，解不等式即可得到所求t的范围．解：根据题意，数列{a n}中，n（a n+1﹣a n）＝a n+1，即na n+1﹣（n+1）a n＝1，则有，则有（）+（）+（）+…+（a2﹣a1）+a1＝（）+（）+（）+…+（1）+2＝33，2t2+at﹣1即32t2+at﹣1，∵对于任意的a∈[﹣2，2]，n∈N*，不等式2t2+at﹣1恒成立，∴2t2+at﹣1≥3，化为：2t2+at﹣4≥0，设f（a）＝2t2+at﹣4，a∈[﹣2，2]，可得f（2）≥0且f（﹣2）≥0，即有即，可得t≥2或t≤﹣2，则实数t的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．故选：A．【点评】本题考查了数列递推公式，涉及数列的求和，注意运用裂项相消求和和不等式恒成立问题的解法，关键是对n（a n+1﹣a n）＝a n+1的变形．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数f（x）＝cos（2x）+sin（2x+π）（x∈[，]）的最大值为．【分析】利用和差公式、诱导公式化简f（x），再利用三角函数的单调性即可得出．解：cos2x sin2x﹣sin2xcos2x sin2xsin（2x）．∵x∈[，]，∴（2x）∈，∴sin（2x）∈．∴f（x）的最大值为．故答案为：．【点评】本题考查了和差公式、诱导公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．已知实数x，y满足，在这两个实数x，y之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为9．【分析】利用数列的关系推出三项和关于x，y的表达式，画出约束条件的可行域，利用线性规划知识求解最值．解：设构成等差数列的五个数分别为x，a，b，c，y，因为等差数列的公差，则（另解：因为由等差数列的性质有x+y＝a+c＝2b，所以．）则等差数列后三项和为．）．所以设z＝x+3y，实数x，y满足，作出约束条件所表示的可行域如图所示：可知当经过点A（3，3）时，目标函数z＝x+3y有最大值12，此时b+c+y有最大值9．故答案为：9．【点评】本题考查数列以及线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力．15．已知A，B是圆C：x2+y2﹣8x﹣2y+16＝0上两点，点P在抛物线x2＝2y上，当∠APB 取得最大值时，|AB|＝．【分析】求出圆C：x2+y2﹣8x﹣2y+16＝0的圆心与半径，设出抛物线x2＝2y上当点P，当∠APB取得最大值时，就是PC最小时，利用距离公式以及函数的导数求解最值，然后转化求解即可．解：圆C：x2+y2﹣8x﹣2y+16＝0的圆心（4，1），半径为1，设抛物线上的点P（m，n），则m2＝2n，|PC|，令g（m），可得g′（m）＝m3﹣8，令g′（m）＝m3﹣8＝0，解得m＝2，m＜2，g′（m）＝m3﹣8＜0，m＞2，g′（m）＝m3﹣8＞0，所以g（m）的最小值为：4﹣16+17＝5．|PC|，所以切线长为：|PA|＝2，如图：|PC|•|AB|＝|PA|•|AC|，γ|AB|．故答案为：．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，圆的方程的综合应用，考查数形结合以及转化思想的应用．16．△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若A＝2B，则的取值范围为（2，4）．【分析】先根据正弦定理化简整理可得4cos2B1，设，构造函数，利用导数判断出函数的单调性，求出其值域即可．解：.＝cos2B+2cos2B1．又2B∈（0，π），且A+B＝3B∈（0，π），所以．设，令1＝f（t），则f'（t）＝8t0，故f（t）在上单调递增，所以2＜f（t）＜4．所以的取值范围为（2，4），故答案为：（2，4）【点评】本题考查三角函数的化简和求值，主要考查二倍角公式和正弦定理的运用，同时考查函数的单调性的运用，属于中档题．三、解答题（本题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分.17．已知向量，满足（﹣2sin x，（cos x+sin x）），（cos x，cos x﹣sin x），函数f（x）•（x∈R）．（Ⅰ）求f（x）在x∈[，0]时的值域；（Ⅱ）已知数列a n＝n2f（）（n∈N+），求{a n}的前2n项和S2n．【分析】（Ⅰ）利用平面向量数量积的运算，三角函数中的恒等变换应用可求解析式f （x）＝2sin（2x），由x∈[，0]，可求2x的范围，利用正弦函数的图象和性质即可求值域．（Ⅱ）利用（Ⅰ）可得a n＝2n2sin（n），可求得S2n[12﹣22+32﹣42+…+（2n ﹣1）2﹣（2n）2]，利用（2n﹣1）2﹣（2n）2＝﹣4n+1，由等差数列的求和公式即可得解．解：（Ⅰ）f（x）•sin2x cos2x＝2sin（2x），当x∈[，0]时，2x∈[，]，可得：2sin（2x）∈[，2]…4分（Ⅱ）∵a n＝n2f（）＝2n2sin[2（）]＝2n2sin（n），∴S2n[12﹣22+32﹣42+…+（2n﹣1）2﹣（2n）2]，又∵（2n﹣1）2﹣（2n）2＝﹣4n+1，∴解得：S2n（﹣2n2﹣n）…10分【点评】本题主要考查了平面向量数量积的运算，三角函数中的恒等变换应用，数列的求和，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．18．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝2，BC＝4，，过BC的截面α与面AB1C1交于EF．（1）求证：EF∥BC．（2）若截面α过点A1，求证：α⊥面AEF．（3）在（2）的条件下，求．【分析】（1）由题意得BC∥B1C1，可得BC∥面AB1C1，再由BC⊂面α，α∩面AB1C1＝EF，利用平面与平面平行的性质定理可得BC∥EF；（2）取EF的中点O，连接A1O和AO，由已知可得AO⊥EF，求解三角形证明A1O⊥AO，再由直线与平面垂直的判定可得A1O⊥面AEF，进一步得到α⊥面AEF；（3）由（2）可得A1O⊥面AEF，得A1O⊥AO，且，证明EO⊥面AA1O，并求得，再由求解．【解答】（1）证明：由题意，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，可得BC∥B1C1，∵BC⊄面AB1C1，B1C1⊂面AB1C1，∴BC∥面AB1C1，又∵BC⊂面α，α∩面AB1C1＝EF，由线面平行的性质定理，可得BC∥EF；（2）证明：取EF的中点O，连接A1O和AO，∵截面α过点A1，∴截面α即为面A1BC，∴E、F分别为B1A，AC1中点，即AE＝AF，又∵O为EF中点，∴AO⊥EF，在Rt△AOE中，，EO＝1，∴，同理，，在△A1OA中，，∴△A1OA为直角三角形，即A1O⊥AO，又∵A1O⊥EF，AO∩EF＝O，∴A1O⊥面AEF，∴α⊥面AEF．（3）解：由（2）可得A1O⊥面AEF，∴A1O⊥AO，且，又由AO⊥EO，且A1O⊥EO，可得EO⊥面AA1O，且，又由，∴．【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．19．如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布表和频率分布直方图如下，回答下列问题：分组人数频率[39.5，49.5）a0.10[49.5，59.5）9x[59.5，69.5）b0.15[69.5，79.5）180.30[79.5，89.5）15y[89.5，99.5]30.05（1）分别求出a，b，x，y的值，并补全频率分布直方图；（2）估计这次环保知识竞赛平均分；（3）若从所有参加环保知识竞赛的学生中随机抽取一人采访，抽到的学生成绩及格的概率有多大？【分析】（1）根据频率分布表求出出a，b，x，y，再作出频率分布直方图；（2）用组中值估计平均分即可；（3）先求出本次竞赛及格率，用样本估计总体，每个人被抽到的概率相同，故可以求出抽到的学生成绩及格的概率．解：（1）a＝60×0.1＝6，b＝60×0.15＝9，x0.15，y0.25；频率分布直方图如图所示：（2）用组中值估计平均分：44.5×0.1+54.5×0.15+64.5×0.15+74.5×0.3+84.5×0.25+94.5×0.05＝70.5；（3）本次竞赛及格率为：0.015×10+0.025×10+0.03×10+0.005×10＝0.75，用样本估计总体，每个人被抽到的概率相同，∴从所有参加环保知识竞赛的学生中随机抽取一人采访，抽到的学生成绩及格的概率为0.75．【点评】本题考查了频率分布表与频率分布直方图以及样本估计总体，考查了学生的运算能力与作图能力，属于基础题．20．设函数f（x）＝（1+a﹣ax）lnx﹣b（x﹣1），其中a，b是实数．已知曲线y＝f（x）与x轴相切于点（1，0）．（1）求常数b的值；（2）当1≤x≤2时，关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）对f（x）求导，根据条件知f′（1）＝0，即可求常数b的值；（2）求得f′（x）＝﹣alnx1，x∈[1，2]，f″（x），分类讨论当a≤﹣1时，当a≥0时，当﹣1＜a＜0时，确定函数的单调性，即可求实数a 的取值范围．解：（1）函数f（x）＝（1+a﹣ax）lnx﹣b（x﹣1）的导数为f′（x）＝﹣alnx b，因为y＝f（x）与x轴相切于（1，0），故f'（1）＝0，即﹣aln1+1﹣b＝0，解得b＝1；（2）由f′（x）＝﹣alnx1，x∈[1，2]，f″（x），①当a≤﹣1时，由于x∈[1，2]，有f″（x）≥0，于是f'（x）在x∈[1，2]上单调递增，从而f'（x）≥f'（1）＝0，因此f（x）在x∈[1，2]上单调递增，即f（x）≥f（1）＝0，而且仅有f（1）＝0，符合；②当a≥0时，由于x∈[1，2]，有f″（x）＜0，于是f'（x）在x∈[1，2]上单调递减，从而f'（x）≤f'（1）＝0，因此f（x）在x∈[1，2]上单调递减，即f（x）≤f（1）＝0不符；③当﹣1＜a＜0时，令m＝min{1，}，当x∈[1，m]时，f″（x）＜0，于是f'（x）在x∈[1，m]上单调递减，从而f'（x）≤f'（1）＝0，因此f（x）在x∈[1，m]上单调递减，即f（x）≤f（1）＝0，仅有f（1）＝0，不符．综上可知，所求实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查单调性的运用，以及分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．21．已知椭圆C：1（a＞b＞0）经过点（1，），离心率为，点A为椭圆C 的右顶点，直线l与椭圆相交于不同于点A的两个点P（x1，y1），Q（x2，y2）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）当⋅0时，求△OPQ面积的最大值；（Ⅲ）若直线l的斜率为2，求证：△APQ的外接圆恒过一个异于点A的定点．【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率，求得a和b的关系，将P代入椭圆方程，即可求得a 和b的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）当斜率不存在时，求得P和Q点坐标，由⋅0，求得m的值，求得|PQ|求得，△OPQ的面积，当斜率存在时，设直线l方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式及三角形的面积公式，即可求得△OPQ面积的最大值；（Ⅲ）设直线y＝2x+m，代入椭圆方程，设外接圆的方程，联立直线l的方程，将A代入外接圆方程，联立方程，即可求得△APQ的外接圆恒过一个异于点A的定点．解：（Ⅰ）由椭圆的离心率e，即c2a2，即b2＝a2﹣c2a2，a2＝4b2，将点（1，）代入椭圆方程，即，解得：b2＝1，∴a2＝4，∴椭圆的标准方程：；（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，设l：x＝m，代入椭圆方程，P（m，），Q（m，），由⋅0，（m﹣2）2﹣（1）＝0，解得：m，m＝2（舍去），此时|PQ|，△OPQ的面积为，当直线l的斜率存在时，设l：y＝kx+m，代入椭圆方程，（4k2+1）x2+8kmx+4（m2﹣1）＝0，由△＞0，则4k2﹣m2+1＞0，x1+x2，x1•x2，由⋅0，（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2＝（k2+1）x1•x2+（km﹣2）（x1+x2）+m2+4＝0，代入求得12k2+5m2+16km＝0，即m k，m＝﹣2k，（此时直线l过点A，舍去），|PQ|•，点O到直线l的距离d，△OPQ的面积为，将m k代入，，△OPQ面积的最大值；（Ⅲ）证明：设直线y＝2x+m，代入椭圆方程，整理得：17x2+16mx+4（m2﹣1）＝0，设△APQ的外接圆方程x2+y2+Dx+Ey+F＝0，联立直线l的方程，5x2+（4m+D+2E）x+（m2+mE+F）＝0，代入可知，由外接圆过点A（2，0），则2D+F＝﹣4，从而可得关于D，E，F的三元一次方程组，，解得：，代入圆方程，整理得：（x2+y2x y）（2x+y﹣4）＝0，∴，解得：，或，△APQ的外接圆恒过一个异于点A的定点（，）．【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理，弦长公式及点到直线的距离公式，考查三角形的外接圆的性质，考查计算能力，属于难题．一、选择题22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C 的方程为x2+（y﹣1）2＝1．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求l和C的极坐标方程；（2）过O且倾斜角为α的直线与l交于点A，与C交于另一点B．若，求的取值范围．【分析】（1）直接利用和转换关系的的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．（2）利用三角函数关系式的变换的应用和正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为，转换为极坐标方程为．整理得：．圆C的方程为x2+（y﹣1）2＝1，整理得x2+y2＝2y，转换为极坐标方程为ρ＝2sinθ．（2）过O且倾斜角为α的直线为θ＝α，由于该直线与l交于点A，所以，所以，与C交于另一点B．所以，整理得ρB＝2sinα，所以，由于，所以，所以，所以故求的取值范围[．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23．不等式|x+2|+|x+4|＜8的解集为（n，m）．（1）求m的值；（2）设a，b，c∈R*，且a2+b2+c2＝m，求a+2b+3c的最大值．【分析】（1）根据|x+2|+|x+4|＜8，利用零点分段法得到不等式的解集，再结合条件求出m的值；（2）由（1）知m＝1，然后利用柯西不等式根据a2+b2+c2＝1，求出a+2b+3c的最大值．解：（1）|x+2|+|x+4|．∵|x+2|+|x+4|＜8，∴或﹣4≤x≤﹣2或，∴﹣2＜x＜1或﹣4≤x≤﹣2或﹣7＜x＜﹣4，∴﹣7＜x＜1，∴|x+2|+|x+4|＜8的解集为（﹣7，1），∴m＝1．（2）由（1）知m＝1，∴a2+b2+c2＝m＝1，∵a，b，c∈R*，∴由柯西不等式，得：，当且仅当时，即，，等号成立，∴a+2b+3c的最大值为．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和利用柯西不等式求最值，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。
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三｡解答题:本题共 6 小题,满分 70 分(17 题至 21 题 12 分,选修题 10 分)｡解答应写出文字说明､证明过程 或演算步骤｡
17.如图, 正三棱柱 ABC A1B1C1 的底面边长为 a,点 M 在边 BC 上 , AMC1 是以点 M 为直角顶点的等腰直角三角形｡
B.存在一条直线 a,a α,a//β
C.存在两条平行直线 a,b,a α,b β,a//β,b//α
D.存在两条异面直线 a,b,a α,b β,a//β,b//α
6.函数 y cos(4x 2) 图象中最近的对称中心与对称轴间的距离为( ) 3
A.
B.
C.
16
8
4
D.
2
7.双曲线 x2 y2 1 的两条渐近线与直线 x=3 围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是() 4
，则
a
与
b
3
的夹角为( )
A.150°
B.120°
C.60°
D.30°
4.4 张卡片上分别写有数字 1, 2, 3, 4,从这 4 张卡片中随机抽取 2 张,则取出的 2 张卡片上的数字之和为偶
数的概率为( )
A. 1
B. 1
3
2
C. 2
D. 3
3
4
5.平面α//平面β的一个充分条件是( )
A.存在一条直线 a,a//α,a//β
则
f
(
)
___
3
3
15.抛物线 y ax2 的焦点恰好为双曲线 y2 x2 2 的上焦点,则 a=＿＿＿.
16.在△ABC 中,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c 且满足 a b c 2 1,sin A sin B 2 sinC ,则 c=＿＿＿， 若 C , 则△ABC 的面积 S =＿＿＿.
(1)求证:点 M 为 BC 边的中点; (2)求点 C 到平面 AMC1 的距离｡
18.等比数列 {an} 的前 n 项和为 Sn , 已知 S1, S3, S2 成等差数列｡ (1)求{an} 的公比 q; (2)若 a1 a3 3, 求 Sn.
19.某车间 20 名工人年龄数据如下表:
年龄(岁) 19 28 29 30 31 32 40 合计
A. [0,2]
B. {0,1}
C. {1,2}
D. {0,1,2}
2.已知复数 z 满足Biblioteka ( 3 3i)z 3i, 则 z ()
A. 3 3 i 22
B. 3 3 i 44
C. 3 3 i 22
D. 3 3 i 44
3.设非零向量
a, b,
c
满足
|
a
||
b
|
3
|
c
|,
a
b
c
D.甲是记者,乙是医生,丙是教师
10.过椭圆
C：
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
的左顶点
A
的斜率为
k
的直线交椭圆
C
于另一点
B,且点
B
在
x
轴
上的射影恰好为右焦点 F,若 1 k 1 ,则椭圆离心率的取值范围是( )
3
2
A.(1 , 9) 44
B. ( 2 ,1) 3
C.(1 , 2) 23
第 II 卷(非选择题共 90 分)
二｡填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请将答案写在答题纸指定的位置上｡
13.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当 x<0 时,f(x)=2x-3, 则当 x>0 时,f(x)=____
14.已知函数
f
(x)
f
( ) cos x sin x,
M
到直线
C3
:
x
y
3 2t 2 t
(t
为参数)
距离的最小值｡
23.若 x,y,z∈R,a>0,b>0,c>0,
求证: b c x2 c a y2 a b z2 2(xy yz zx ) .
a
b
c
4
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2 NM .
2
(1 )求点 P 的轨迹方程;
(2)设点 Q 在直线 x=-3 上,且 OP PQ 1. 证明:过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F｡
21.已知函数 f (x) ln x x 1, g(x) x 2 2x. (1)求函数 y= f(x)- g(x)的极值; (2)若 m 为整数,对任意的 x>0 都有 f(x)- mg(x)≤0 成立,求实数 m 的最小值｡
2x y 0 A. 2x y 0
0 x 3
2x y 0 B. 2x y 0
0 x 3
2x y 0 C. 2x y 0
0 x 3
2x y 0 D. 2x y 0
0 x 3
8.若
sin
2
1
且
(
,
),
则
cosα
-sinα的值是(
)
4
42
1
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工人数(个) 1 3 3 5 4 3 1 20
(1)求这 20 名工人年龄的众数与极差; . (2)以十位数为茎,个位数为叶,作出这 20 名工人年龄的茎叶图; (3)求这 20 名工人年龄的方差｡
3
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20.设 O 为坐标原点,动点 M 在椭圆 C：x2
y2
1 上,过 M 做 x 轴的垂线,垂足为 N,点 P 满足 NP
(22, 23 为二选一的选修题,10 分)
x 4 cost
x 8cos
22.已知曲线
C1
:
y
3
sin
t
(t
为参数), C2
:
y
3 sin
(
θ为参数).
(1)化 C1,C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;
(2)若
C1
上的点
P
对应的参数为
t
2
,
Q
为
C2
上的动点,求
PQ
中点
D.(0, 1) 2
11.已知空间几何体 ABCD 是由圆柱切割而成的阴影部分构成,其中 A,B 为下底面圆直径的两个端点,
C,D 为上底面圆直径的两个端点,且 AB⊥CD,圆柱底面半径是 1,高是 2,则空间几何体 ABCD 可以无缝的穿过
下列哪个图形()
A.椭圆
B.等腰直角三角形 C.正三角形
D.正方形
A. 3 2
B. 3 4
C. 3 2
D. 3 4
9.甲､乙､丙三人中,一人是教师,一人是记者,一人是医生｡已知:丙的年龄比医生大;甲的年龄和记者不同;
记者的年龄比乙小｡根据以上情况,下列判断正确的是( )
A.甲是教师,乙是医生,丙是记者
B.甲是医生,乙是教师,丙是记者
C.甲是医生,乙是记者,丙是教师
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第 I 卷(选择题共 60 分)
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求
的,请将答案填涂在客观题答题卡上.
1.已知集合 P={x||x-1|≤1,x∈R},Q={x|x∈N},则 P∩Q= ( )
12.有限数列
A
{a1, a2 ,, an},
Sn
为其前
n
项和,定义
S1
S2
n
Sn
为 A 的“凯森和",如有 504
项的数
列 a1, a2 ,, a504 的“凯森和”为 2020,则有 505 项的数列 2, a1, a2 ,, a504 的“凯森和”为(
A.2014
B.2016
C.2018
D.2020