二项分布和超几何分布(含答案)

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高三第一轮复习两点分布,二项分布及超几何分布

两点分布，二项分布及超几何分布【提纲挈领】（请阅读下面文字，并在关键词下面记着重号）主干知识归纳1．两点分布：若随机变量X 的分布列是其中0<p <1，q ＝1－p ，则离散型随机变量X 服从两点分布，且称p ＝P (X ＝1)为成功概率．2．超几何分布：在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有ξ件次品，则事件{ξ＝k}发生的概率为P(ξ＝k)＝C k M C n －kN －M C n N，k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min {M ，n}，且m ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.称分布列为超几何分布．如果随机变量ξ的分布列为超几何分布列，则称随机变量ξ服从超几何分布． 3.二项分布(1)进行n 次试验，如果满足下列条件：①每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”； ② 每次试验“成功”的概率均为p ，“失败”的概率为1－p ； ③各次试验是相互独立的．用X 表示这n 次试验中成功的次数，则P (X ＝k )＝ .若一个随机变量X 的分布列如上所述，则称X 服从参数为n ，p 的二项分布，简记为 . (2)二项分布的期望与方差．若随机变量X ～B (n ，p )，则EX ＝，DX ＝ . 方法规律总结1.求超几何分布的分布列、期望的步骤：第一步，验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N ，M ，n 的值；第二步，根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；第三步，用表格的形式列出分布列；第四步，根据定义求出期望2.二项分布的分布列问题一般遵循以下三个步骤：第一步，先判断随机变量是否服从二项分布；第二步，若服从二项分布，一般是通过古典概型或相互独立事件的概率公式计算出试验中“成功”“不成功”的概率分别是多少；第三步，根据二项分布的分布列P(X ＝k)＝C k n p k(1－p)n －k(k ＝0,1,2，…，n)列出相应的分布列．【指点迷津】【类型一】两点分布【例1】：某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X 表示参赛的男生人数，求X 的分布列和数学期望．【解析】：(1)由题意知，参加集训的男、女生各有6名．参赛学生全部从B 中学中抽取(等价于A 中学没有学生入选代表队)的概率为C 33C 34C 36C 36＝1100. 因此，A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－1100＝99100. (2)根据题意得，X 的可能取值为1，2，3.P (X ＝1)＝C 13C 33C 46＝15，P (X ＝2)＝C 23C 23C 46＝35，P (X ＝3)＝C 33C 13C 46＝15.所以X 的分布列为因此，X 的数学期望E (X )＝1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＝ 1×15＋2×35＋3×15＝2.答案：(1)99100. (2) 2. 【例2】：据IEC(国际电工委员会)调查显示，小型风力发电项目投资较少，且开发前景广阔，但受风力自然资源影响，项目投资存在一定风险．根据测算，风能风区分类标准如下：假设投资A 位于一类风区的A 项目获利30%的可能性为0.6，亏损20%的可能性为0.4；位于二类风区的B 项目获利35%的可能性为0.6，亏损10%的可能性是0.1，不赔不赚的可能性是0.3.(1)记投资A ，B 项目的利润分别为ξ和η，试写出随机变量ξ与η的分布列和期望E (ξ)，E (η)； (2)某公司计划用不超过100万元的资金投资A ，B 项目，且公司要求对A 项目的投资不得低于B 项目，根据(1)的条件和市场调研，试估计一年后两个项目的平均利润之和z ＝E (ξ)＋E (η)的最大值．【解析】： (1)投资A 项目的利润ξ则E (ξ)＝0.18x －0.08x ＝0.1x . 投资B 项目的利润η则E (η)＝0.21y －0.01y ＝0.2y (2)由题意可知x ，y 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤100，x ≥y ，x ，y ≥0，其表示的可行域如图中阴影部分所示．由(1)可知，z ＝E (ξ)＋E (η)＝0.1x ＋0.2y ，当直线y ＝－0.5x ＋5z 过点(50，50)时，z 取得最大值，即当x ＝50，y ＝50时，z 取得最大值15. 故对A ，B 项目各投资50万元，可使公司获得最大利润，最大利润是15万元答案：(1) ξ的分布列为E (ξ)＝0.18x －0.08x ＝0.1x . η的分布列为E (η)＝0.21y －0.01y ＝0.2y .(2) 对A ，B 项目各投资50万元，可使公司获得最大利润，最大利润是15万元【类型二】超几何分布【例1】：(2015·重庆卷)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．【解析】： (1)令A 表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P (A )＝C 12C 13C 15C 310＝14.(2)X 的所有可能值为0,1,2，且 P (X ＝0)＝C 38C 310＝715，P (X ＝1)＝C 12C 28C 310＝715，P (X ＝2)＝C 22C 18C 310＝115.综上知，X 的分布列为故EX ＝0×715＋1×715＋2×115＝35(个)．答案：(1) 14. (2) 35．【例2】：某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X 表示参赛的男生人数，求X 的分布列和数学期望．【解析】： (1)由题意，参加集训的男、女生各有6名．参赛学生全从B 中学抽取(等价于A 中学没有学生入选代表队)的概率为C 33C 34C 36C 36＝1100.因此，A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－1100＝99100. (2)根据题意，X 的可能取值为1,2,3.P (X ＝1)＝C 13C 33C 46＝15，P (X ＝2)＝C 23C 23C 46＝35， P (X ＝3)＝C 33C 13C 46＝15，所以X 的分布列为因此，X 的数学期望为EX ＝1×15＋2×35＋3×15＝2.答案：(1) 99100. (2) 2.【类型三】两项分布【例1】：某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A ，B 两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产A ，B 两种产品时间之和不超过12小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量W (单位：吨)是一个随机变量，其分布列分别为该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z (单位：元)是一个随机变量．(1)求Z 的分布列和均值；(2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10 000元的概率．【解析】：(1)设每天A ，B 两种产品的生产数量分别为x ，y ，相应的获利为z ，则有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1.5y ≤W ，x ＋1.5y ≤12，2x －y ≥0，x ≥0，y ≥0.① 目标函数z ＝1000x ＋1200y .当W ＝12时，①表示的平面区域如图(1)，三个顶点分别为A (0，0)，B (2.4，4.8)，C (6，0)．将z ＝1000x ＋1200y 变形为y ＝－56x ＋z 1200，当x ＝2.4，y ＝4.8时，直线l ：y ＝－56x ＋z 1200在y 轴上的截距最大，最大获利Z ＝z max ＝2.4×1000＋4.8×1200＝8160.当W ＝15时，①表示的平面区域如图(2)，三个顶点分别为A (0，0)，B (3，6)，C (7.5，0)．将z ＝1000x ＋1200y 变形为y ＝－56x ＋z 1200，当x ＝3，y ＝6时，直线l ：y ＝－56x ＋z1200在y 轴上的截距最大，最大获利Z ＝z max ＝3×1000＋6×1200＝10 200.当W ＝18时，①表示的平面区域如图(3)，四个顶点分别为A (0，0)，B (3，6)，C (6，4)，D (9，0)．将z ＝1000x ＋1200y 变形为y ＝－56x ＋z 1200，当x ＝6，y ＝4时，直线l ：y ＝－56x ＋z1200在y 轴上的截距最大，最大获利Z ＝z max ＝6×1000＋4×1200＝10 800.故最大获利Z 的分布列为因此，E (Z )＝8160×0.3＋10 200×0.5＋10 800×0.2＝9708.(2)由(1)知，一天最大获利超过10 000元的概率P 1＝P (Z >10 000)＝0.5＋0.2＝0.7，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10 000元的概率为 P ＝1－(1－P 1)3＝1－0.33＝0.973. 答案：(1)最大获利Z 的分布列为E (Z )＝8160×0.3＋10 200×0.5＋10 800×0.2＝9708.(2) 0.973. 【例2】：在一次数学考试中，第22,23,24题为选做题，规定每位考生必须且只须在其中选一题，设5名同学选做这三题中任意一题的可能性均为13，每位同学对每题的选择是相互独立的，各学生的选择相互之间没有影响．(1)求其中甲、乙两人选做同一题的概率；(2)设选做第23题的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．【解析】：(1)设事件A 1表示“甲选22题”，A 2表示“甲选23题”，A 3表示“甲选24题”，B 1表示“乙选22题”，B 2表示“乙选23题”，B 3表示“乙选24题”，由甲、乙选做同一题的事件为A 1B 1＋A 2B 2＋A 3B 3，且A 1与B 1，A 2与B 2，A 3与B 3相互独立，所以P(A 1B 1＋A 2B 2＋A 3B 3)＝P(A 1)P(B 1)＋P(A 2)P(B 2)＋P(A 3)P(B 3)＝3×19＝13.(2)ξ的可能取值为0,1,2,3,4,5，则ξ～B(5，13)，所以P(ξ＝k)＝C k 5(13)k (23)5－k ＝C k 525－k35，k ＝0,1,2,3,4,5.所以ξ的分布列为所以E ξ＝np ＝5×13＝53.答案：(1) 13. (2) 53.【同步训练】【一级目标】基础巩固组一．选择题1.已知离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望EX ＝( )A.32 B ．2 C.52 D ．3 【解析】：EX ＝1×35＋2×310＋3×110＝32.答案：A.2.一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X 次球，则P (X ＝12)等于( )A ．C 1012⎝⎛⎭⎫3810⎝⎛⎭⎫582 B ．C 912⎝⎛⎭⎫389⎝⎛⎭⎫582 C ．C 911⎝⎛⎭⎫589⎝⎛⎭⎫382 D ．C 911⎝⎛⎭⎫3810⎝⎛⎭⎫582【解析】：“X ＝12”表示第12次取到红球，前11次有9次取到红球，2次取到白球，因此P (X ＝12)＝38×C 911⎝⎛⎭⎫389⎝⎛⎭⎫582＝C 911⎝⎛⎭⎫3810⎝⎛⎭⎫582.答案：D ．3.在四次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生一次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是( )A ．[0.4，1]B ．(0，0.4]C ．(0，0.6]D ．[0.6，1]【解析】：由题知C 14p (1－p )3≤C 24p 2(1－p )2，解得p ≥0.4，故选A ．答案：A ．4.随机变量X 的分布列为则E (5X ＋4)等于( )A ．15B ．11C ．2.2D ．2.3 【解析】：∵E(X)＝1×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝2.2，∴E(5X ＋4)＝5E(X)＋4＝11＋4＝15. 答案：A ．5.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴在y 轴的左侧，其中a ，b ，c ∈{－3，－2，－1，0，1，2，3}，在这些抛物线中，记随机变量X 为“|a －b |的取值”，则X 的数学期望E (X )为( )A.89B.35C.25D.13【解析】：对称轴在y 轴的左侧(a 与b 同号)的抛物线有2C 13C 13C 17＝126(条)，X 的可能取值有0，1，2.P(X ＝0)＝6×7126＝13，P(X ＝1)＝8×7126＝49，P(X ＝2)＝4×7126＝29，故E(X)＝0×13＋1×49＋2×29＝89.答案：A. 二．填空题6.设随机变量X ～B(6，12)，则P(X ＝3)的值为 (用最简的分数作答）【解析】：P(X ＝3)＝C 36(12)3(12)3＝516. 答案：516. 7.10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．【解析】：由超几何分布的概率公式可得P (恰好取到一件次品)＝C 13C 37C 410＝12.答案：12.8.设随机变量X ～B (2，p )，随机变量Y ～B (3，p )，若P (X ≥1)＝59，则P (Y ≥1)＝________．【解析】：∵X ～B (2，p )，∴P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－C 02(1－p )2＝59，解得p ＝13.又Y ～B (3，p )，∴P (Y ≥1)＝1－P (Y ＝0)＝1－C 03(1－p )3＝1927.答案：1927.三．解答题9.某校对参加“社会实践活动”的全体志愿者进行学分考核，因该批志愿者表现良好，学校决定考核只有合格和优秀两个等次．若考核为合格，则授予1个学分；若考核为优秀，则授予2个学分．假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为45，23，23，且他们考核所得的等次相互独立．(1)求在这次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少有一人考核为优秀的概率；(2)记在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量X ，求随机变量X 的分布列及数学期望．【解析】：(1)记“甲考核为优秀”为事件A ，“乙考核为优秀”为事件B ，“丙考核为优秀”为事件C ，“甲、乙、丙三人中至少有一人考核为优秀”为事件D ，则P (D )＝1－P (A B C )＝1－P (A )P (B )P (C )＝1－15×13×13＝4445.(2)由题意，得X 所有可能的取值是3，4，5，6，P (X ＝3)＝P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＝145，P (X ＝4)＝P (A B C )＋P (ABC )＋P (A B C )＝845，P (X ＝5)＝P (ABC )＋P (ABC )＋P (ABC )＝49，P (X ＝6)＝P (ABC )＝P (A )P (B )P (C )＝1645，所以故E (X )＝3×145＋4×845＋5×49＋6×1645＝7715.答案：(1) 4445.(2) X E (X )＝3×145＋4×845＋5×49＋6×1645＝7715.10.某中学校本课程共开设了A ，B ，C ，D 共4门选修课，每个学生必须且只能选修1门选修课，现有该校的甲、乙、丙3名学生．(1)求这3名学生选修课所有选法的总数；(2)求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率；(3)求这3名学生中选择A 选修课的人数X 的分布列和数学期望．【解析】：(1)每个学生有4个不同的选择，根据分步计数原理，选法总数N ＝4×4×4＝64.(2)设“恰有2门选修课没有被这3名学生选择”为事件E ，则P (E )＝C 24C 23A 2243＝916，即恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率为916. (3)方法一：X 所有可能的取值为0，1，2，3，P (X ＝0)＝3343＝2764，P (X ＝1)＝C 13×3243＝2764， P (X ＝2)＝C 23×343＝964，P (X ＝3)＝C 3343＝164，所以X 的分布列为所以X 的数学期望E (X )＝0×2764＋1×2764＋2×964＋3×164＝34.方法二：因为A 选修课被每位学生选中的概率均为14，没被选中的概率均为34，所以X 的所有可能取值为0，1，2，3，且X ～B 3，14，P (X ＝0)＝343＝2764，P (X ＝1)＝C 13×14×342＝2764， P (X ＝2)＝C 23×142×34＝964，P (X ＝3)＝143＝164，所以X故X 的数学期望E (X )＝3×14＝34.答案：(1) 64. (2) 916.(3) X 的分布列为E (X )＝0×2764＋1×2764＋2×964＋3×164＝34.【二级目标】能力提升题组一．选择题1.已知集合A ＝{x |2x 2－x －3＜0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪y ＝lg1－x x ＋3，在区间(－3，3)上任取一实数x ，则x ∈A ∩B 的概率为( )A.14B.18C.13D.112【解析】：由2x 2－x －3<0，得－1<x<32.由1－xx ＋3>0，得x －1x ＋3<0，∴－3<x<1.∴A ∩B ＝{x|－1<x<1}，故所求概率P ＝26＝13.答案：C.2.某同学做了10道选择题，每道题四个选项中有且只有一项是正确的，他每道题都随意地从中选了一个答案，记该同学至少答对9道题的概率为P ，则下列数据中与P 的值最接近的是( )A ．3×10－4B ．3×10－5C ．3×10－6D ．3×10－7【解析】：P ＝C 910·149×34＋C 1010·1410＝30×1410＋1410＝31×1410＝31×12102＝31×110242≈31×(10－3)2＝31×10－6＝3×10－5. 答案：B ．二．填空题3.[2014·浙江卷] 随机变量ξ的取值为0，1，2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________．【解析】：设P (ξ＝1)＝x ，P (ξ＝2)＝y ，则⎩⎨⎧x ＋y ＝45，x ＋2y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35，y ＝15，所以D (ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15＝25.答案：25.三．解答题(1)求在未来连续三天里，有连续两天的日车流量都不低于10万辆且另一天的日车流量低于5万辆的概率；(2)用X 表示在未来三天时间里日车流量不低于10万辆的天数，求X 的分布列和数学期望．【解析】：(1)设A 1表示事件“日车流量不低于10万辆”，A 2表示事件“日车流量低于5万辆”，B 表示事件“在未来连续三天里，有连续两天的日车流量都不低于10万辆且另一天的日车流量低于5万辆”，则P (A 1)＝0.35＋0.25＋0.10＝0.70，P (A 2)＝0.05，所以P (B )＝0.70×0.70×0.05×2＝0.049. (2)X 所有可能的取值为0，1，2，3，P (X ＝0)＝C 03×(1－0.7)3＝0.027，P (X ＝1)＝C 13×0.7×(1－0.7)2＝0.189，P (X ＝2)＝C 23×0.72×(1－0.7)＝0.441，P (X ＝3)＝C 33×0.73＝0.343，所以X 的分布列为因为X ～B (3，0.7)答案：(1) 0.049.(2) X 的分布列为E (X )＝3×0.7＝【高考链接】1.[2015·福建卷] 某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X ，求X 的分布列和数学期望．【解析】：(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A ，则P (A )＝56×45×34＝12.(2)依题意得，X 所有可能的取值是1，2，3.又P (X ＝1)＝16，P (X ＝2)＝56×15＝16，P (X ＝3)＝56×45×1＝23，所以X 的分布列为所以E (X )＝1×16＋2×16＋3×23＝52.答案：(1) 12.(2) X 的分布列为E (X )＝1×16＋2×16＋3×23＝52.2.[2014·北京卷] 李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立)：(1)从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；(3)记x －为表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX 与x －的大小．(只需写出结论)【解析】： (1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.(2)设事件A 为“在随机选择的一场主场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6”，事件B 为“在随机选择的一场客场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6”，事件C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”．则C＝AB∪AB，A，B相互独立．根据投篮统计数据，P(A)＝35，P(B)＝25.故P(C)＝P(AB)＋P(AB)＝35×35＋25×25＝1325.所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为1325.（3）EX＝x－.答案：(1) 0.5. (2)1325. （3）EX＝x－.3.[2014·全国卷] 设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望．【解析】：记A1表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i＝0，1，2.B表示事件：甲需使用设备．C表示事件：丁需使用设备．D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．(1)因为P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(A i)＝C i2×0.52，i＝0，1，2，所以P(D)＝P(A1·B·C＋A2·B＋A2·B·C)＝P(A1·B·C)＋P(A2·B)＋P(A2·B·C)＝P(A1)P(B)P(C)＋P(A2)P(B)＋P(A2)P(B)P(C)＝0．31.(2)X的可能取值为0，1，2，3，4，其分布列为P(X＝0)＝P(B·A0·C)＝P(B)P(A0)P(C)＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4)＝0.06，P(X＝1)＝P(B·A0·C＋B·A0·C＋B·A1·C)＝P(B)P(A0)P(C)＋P(B)P(A0)P(C)＋P(B)P(A1)P(C)＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25，P(X＝4)＝P(A2·B·C)＝P(A2)P(B)P(C)＝0.52×0.6×0.4＝0.06，P(X＝3)＝P(D)－P(X＝4)＝0.25，P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－0.06－0.25－0.25－0.06＝0.38，所以EX＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＋4×P(X＝4)＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2.答案：(1) 0.31.(2)2.。

高中数学选择性必修三专题33 二项分布与超几何分布(含答案)

专题33 二项分布与超几何分布一、单选题1．（2020·山西应县一中高二期中（理））盒中有10个螺丝钉,其中有3个是坏的,现从盒中随机地抽取4个,那么概率是310的事件为()A．恰有1个是坏的B．4个全是好的C．恰有2个是好的D．至多有2个是坏的【答案】C【解析】对于选项A，概率为133741012C CC=.对于选项B，概率为4741016CC=.对于选项C，概率为2237410310C CC=.对于选项D，包括没有坏的，有1个坏的和2个坏的三种情况.根据A选项，恰好有一个坏的概率已经是13210>，故D选项不正确.综上所述，本小题选C.2．（2020·天山新疆实验高二期末）有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P(X<2)等于（）A．715B．815C．1415D．1【答案】C【解析】由题意，知X取0，1，2，X服从超几何分布，它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式，即P(X＝0)＝27210715CC=，P(X＝1)＝1173210715C CC=⋅，P(X＝2)＝23210115CC=，于是P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝7714 151515 +=故选C3．（2020·江苏鼓楼南京师大附中高二期末）某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，下列事件中概率等于67的是（） A ．至少有1个深度贫困村 B ．有1个或2个深度贫困村 C ．有2个或3个深度贫困村 D ．恰有2个深度贫困村【答案】B 【解析】用X 表示这3个村庄中深度贫困村数，X 服从超几何分布，故()33437k kC C P X k C -==，所以()3043374035C C P X C ===， ()21433718135C C P X C ===，()12433712235C C P X C ===，()0343371335C C P X C ===， ()()6127P X P X =+==. 故选：B4．（2020·辉县市第二高级中学高二月考（理））在10个排球中有6个正品，4个次品.从中抽取4个，则正品数比次品数少的概率为（） A ．542B ．435C ．1942D ．821【答案】A 【解析】分析：根据超几何分布，可知共有410C 种选择方法，符合正品数比次品数少的情况有两种，分别为0个正品4个次品，1个正品3个次品，分别求其概率即可。

高中试卷-7.4 二项分布与超几何分布(精练)(含答案)

7.4 二项分布与超几何分布（精练）【题组一二项分布】1．（2021·北京房山区·高二期末）已知某种药物对某种疾病的治愈率为34，现有3位患有该病的患者服用了这种药物，3位患者是否会被治愈是相互独立的，则恰有1位患者被治愈的概率为（）A ．2764B ．964C ．364D ．34【答案】B【解析】由已知3位患者被治愈是相互独立的，每位患者被治愈的概率为34，则不被治愈的概率为14所以3位患者中恰有1为患者被治愈的概率为12133194464P C æöæö=´´=ç÷ç÷èøèø故选：B 2．（2020·北京高二期末）已知随机变量X 服从二项分布，即(),X B n p :，且()2E X =，() 1.6D X =，则二项分布的参数n ，p 的值为（）A ．4n =，12p =B ．6n =，13p =C ．8n =，14p =D ．10n =，15p =【答案】D【解析】随机变量X 服从二项分布，即(),X B n p :，且()2E X =，() 1.6D X =，可得2np =，()1 1.6np p -=，解得0.2p =，10n =，故选：D.3．（2020·山西晋中市）某同学参加学校篮球选修课的期末考试，老师规定每个同学罚篮20次，每罚进一球得5分，不进记0分，已知该同学罚球命中率为60%，则该同学得分的数学期望和方差分别为（）.A ．60，24B ．80，120C ．80，24D ．60，120【答案】D【解析】设该同学20次罚篮，命中次数为X ，则320,5X B æöç÷èø:，所以()320125E X =´=，()3324201555D X æö=´´-=ç÷èø，所以该同学得分5X 的期望为()551260E X =´=，方差为()224551205D X =´=.故选：D4．（2020·营口市第二高级中学高二期末）从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取6次，设摸得黑球的个数为X ，已知()3E X =，则m 等于（）A ．2B ．1C ．3D ．5【答案】C【解析】根据题意可得出63()()(33kk m k m P X k C m m-==++ ，即3(6,)3X B m ~+ 所以()36333E X m m=´=Þ=+故选C 5.（多选）（2020·全国高二单元测试）若随机变量ξ～B 1(5,)3，则P (ξ＝k )最大时，k 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】AB【解析】依题意5512()33kkk P k C x -æöæö==ç÷ç÷èøèø，k=0，1，2，3，4，5.可以求得P (ξ=0)=32243，P (ξ=1)=80243，P (ξ=2)=80243，P (ξ=3)=40243，P (ξ=4)=10243，P (ξ=5)=1243.故当k=2或1时，P (ξ=k )最大.故选：AB .．6．（2021·广东东莞）为迎接8月8日的“全民健身日”，某大学学生会从全体男生中随机抽取16名男生参加1500米中长跑测试，经测试得到每个男生的跑步所用时间的茎叶图(小数点前一位数字为茎，小数点的后一位数字为叶)，如图，若跑步时间不高于5.6秒，则称为“好体能”.（1）写出这组数据的众数和中位数；（2）要从这16人中随机选取3人，求至少有2人是“好体能”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个学校男生的总体数据，若从该校男生(人数众多)任取3人，记X 表示抽到“好体能”学生的人数，求X 的分布列【答案】（1）众数和中位数分别是5.8，5.8；（2）19140；（3）分布列见解析；【解析】（1）这组数据的众数和中位数分别是5.8，5.8；（2）设至少有2人是“好体能”的事件为A ，则事件A 包含得基本事件个数为；2134124C C C +g 总的基本事件个数为316C ，213412431619()140C C C P A C +==g （3）X 的可能取值为0，1，2，3，由于该校男生人数众多，故X 近似服从二项分布1(3,)4B 3327(0)()464P x ===，1231327(1)()4464P x C ===g ，223139(2)(4464P x C ===g ，311(3)(464P x ===X 的分布列为：X123P276427649641647．（2021·山东德州市·高三期末）某研究院为了调查学生的身体发育情况，从某校随机抽频率组距测120名学生检测他们的身高（单位：米），按数据分成[1.2,1.3],(1.3,1.4],,(1.7,1.8]L 这6组，得到如图所示的频率分布直方图，其中身高大于或等于1.59米的学生有20人，其身高分别为1.59，1.59，1.61，1.61，1.62，1.63，1.63，1.64，1.65，1.65，1.65，1.65，1.66，1.67，，1.68，1.69，1.69，1.71，1.72，1.74，以这120名学生身高在各组的身高的频率估计整个学校的学生在各组身高的概率．（1）求该校学生身高大于1.60米的频率，并求频率分布直方图中m 、n 、t 的值；（2）若从该校中随机选取3名学生（学生数量足够大），记X 为抽取学生的身高在(1.4,1.6]的人数求X 的分布列和数学期望．【答案】（1）0.25m = ， 1.25n =， 3.5t =；（2）分布列见详解；2.1.【解析】（1）由题意可知120名学生中身高大于1.60米的有18人，所以该校学生身高大于1.60米的频率为180.15120= 记d 为学生身高，则()()31.2 1.3 1.7 1.80.025120p p d d ££=<£== ()()151.3 1.4 1.6 1.70.125120p p d d <£=<£==()()()11.4 1.5 1.5 1.6120.02520.1250.352p p d d <£=<£=-´-´=所以0.0250.250.1m == ，0.125 1.250.1n ==，0.353.50.1t ==；（2）由（1）知学生身高在[]1.41.6, 的概率20.350.7p =´=随机变量X 服从二项分布()~3,0.7X B 则()()33010.70.027p x C ==´-= ()()213110.70.70.189p x C ==´-´=()()1223210.70.70.441p x C ==´-´=()33330.70.343p x C ==´=所以X 的分布列为X0123P0.0270.1890.4410.34330.7 2.1EX =´=8．（2020·湖北随州市·高二期末）疫情过后，为促进居民消费，某超市准备举办一次有奖促销活动，若顾客一次消费达到500元则可参加一轮抽奖活动，超市设计了两种抽奖方案.在一个不透明的盒子中装有6个质地均匀且大小相同的小球，其中2个红球，4个白球，搅拌均匀.方案一：顾客从盒子中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得50元的返金券，若抽到白球则获得30元的返金券，可以有放回地抽取3次，最终获得的返金券金额累加.方案二：顾客从盒子中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得100元的返金券，若抽到白球则不获得返金券，可以有放回地抽取3次，最终获得的返金券金额累加.（1）方案一中，设顾客抽取3次后最终可能获得的返金券的金额为X ，求X 的分布列；（2）若某顾客获得抽奖机会，试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得返金券的数学期望，并以此判断应该选择哪种抽奖方案更合适.【答案】（1）答案见解析；（2）方案一数学期望为110（元），方案二数学期望为100（元）；方案一.【解析】（1）由题意易知，方案一和方案二中单次抽到红球的概率为13，抽到白球的概率为23，依题意，X 的取值可能为90，110，130，150.且30328(90)327P X C æö==×=ç÷èø，1213124(110)339P X C æöæö==××=ç÷ç÷èøèø223122(130)339P X C æöæö==××=ç÷ç÷èøèø，33311(150)327P X C æö==×=ç÷èø其分布列为X 90110130150p8274929127（2）由（1）知选择方案一时最终获得返金券金额的数学期望为8421()90110130150110279927E X =´+´+´+´=（元），选择方案二时，设摸到红球的次数为Y ，最终可能获得返金券金额为Z 元，由题意可知，1~3,3Y B æöç÷èø，得1()313E Y =´=()(100)100()100E Z E Y E Y ===由()()E X E Z >可知，该顾客应该选择方案一抽奖.【题组二超几何分布】1．（2020·辽宁沈阳市）在箱子中有10个小球，其中有3个红球，3个白球，4个黑球．从这10个球中任取3个．求：（1）取出的3个球中红球的个数为X ，求X 的数学期望；（2）取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率．【答案】（1）910；（2）13.【解析】（1）取出的3个球中红球的个数为X ，可能取值为：0，1，2，3，所以()37310350120p X C C===， ()2731016331120p X C C C===， ()1731022132120p X C C C===，()3103313120p X C C===．所以X 的数学期望()35632119012312012012012010E X =´+´+´+´=.（2）设“取出的3个球中红球个数多于白球个数”为事件A ，“恰好取出1个红球和2个黑球”为事件1A ，“恰好取出2个红球”为事件2A ，“恰好取出3个红球”为事件3A ，而()12341310320C C P A C ==，()()21372310217212040C C P A P X C =====，()()3037331013120C C P A P X C ×====，所以取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为：()()()()123371120401203P A P A P A P A =++=++=．2．（2021·山东德州市）在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，某大型企业组织员工进行爱心捐款活动．原则上以自愿为基础，每人捐款不超过300元，捐款活动负责人统计全体员工数据后，随机抽取的10名员工的捐款数额如下表：员工编号12345678910捐款数额120802155013019530090200225（1）若从这10名员工中随机选取2人，则选取的人中捐款恰有一人高于200元，一人低于200元的概率；（2）若从这10名员工中任意选取4人，记选到的4人中捐款数额大于200元的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．【答案】（1）25；（2）分布列见解析，65.【解析】（1）10名员工中捐款数额大于200元的有3人，低于200元的有6人故选取的人中捐款恰有一人高于200元，一人低于200元的概率为：1136210182455C C P C ===（2）由题知，10名员工中捐款数额大于200元的有3人，则随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3()4741035102106C P X C ====，()133********12102C C P X C ====，()2237410623221010C C P X C ====()313741071321020C C P X C ====则X 的分布列为X0123P1612310130()1131601236210305E X =´+´+´+´=；（用超几何分布公式()366105nM E X N ´===计算同样得分）3．（2020·河北省盐山中学高二期末）在某城市气象部门的数据库中，随机抽取30天的空气质量指数的监测数据，整理得如下表格：空气质量指数优良好轻度污染中度污染重度污染天数5a84b空气质量指数为优或良好，规定为Ⅰ级，轻度或中度污染，规定为Ⅱ级，重度污染规定为Ⅲ级.若按等级用分层抽样的方法从中抽取10天的数据，则空气质量为Ⅰ级的恰好有5天.（1）求a ，b 的值；（2）若以这30天的空气质量指数来估计一年的空气质量情况，试问一年（按366天计算）中大约有多少天的空气质量指数为优？（3）若从抽取的10天的数据中再随机抽取4天的数据进行深入研究，记其中空气质量为Ⅰ级的天数为X ，求X 的分布列及数学期望.【答案】（1）10a =，3b =.（2）61天（3）见解析【解析】（1）由题意知从中抽取10天的数据，则空气质量为Ⅰ级的恰好有5天，所以空气质量为Ⅰ级的天数为总天数的12，所以5+a=15，8+4+b=15，可得10a =，950.（2）依题意可知，一年中每天空气质量指数为优的概率为51306P ==，则一年中空气质量指数为优的天数约为1366616´=.（3）由题可知抽取的10天的数据中，Ⅰ级的天数为5，Ⅱ级和Ⅲ级的天数之和为5，满足超几何分布，所以X 的可能取值为0，1，2，3，4，4541051(0)21042C P X C ====，135510505(1)21021C C P X C ====，225541010010(2)21021C C P X C ====，3551410505(3)21021C C P X C ====，4541051(4)21042C P X C ====，X 的分布列为X1234P142 521 1021521 142故151051()0123424221212142E X =´+´+´+´+´=.4．（2020·延安市第一中学）在一个袋中，装有大小、形状完全相同的3个红球、2个黄球.现从中任取2个球，设随机变量x 为取得红球的个数.（1）求x 的分布列；（2）求x 的数学期望()E x 和方差()D x .【答案】（1）详见解析（2）6()5E x =，9()25D x =【解析】（1）x 的取值为0,1,2.()0232251010C C P C x ===，()113225631105C C P C x ====，()2032253210C C P C x ===，则x 的分布列为：x012P11035310（2）()1336012105105E x =´+´+´=，2226163639()0125105551025D x æöæöæö=-´+-´+-´=ç÷ç÷ç÷èøèøèø.5．（2020·西藏拉萨市）港珠澳大桥是一座具有划时代意义的大桥.它连通了珠海香港澳门三地，大大缩短了三地的时空距离，盘活了珠江三角洲的经济，被誉为新的世界七大奇迹.截至2019年10月23日8点，珠海公路口岸共验放出入境旅客超过1400万人次，日均客流量已经达到4万人次，验放出入境车辆超过70万辆次，2019年春节期间，客流再次大幅增长，日均客流达8万人次，单日客流量更是创下11.3万人次的最高纪录.2019年从五月一日开始的连续100天客流量频率分布直方图如下（1）①同一组数据用该区间的中点值代替，根据频率分布直方图.估计客流量的平均数.②求客流量的中位数.（2）设这100天中客流量超过5万人次的有n 天，从这n 天中任取两天，设X 为这两天中客流量超过7万人的天数.求X 的分布列和期望．【答案】（1）①4.15，②4.125；（2）分布列见解析，()23E X =【解析】（1）①平均值为()2.50.2 3.50.25 4.50.4 5.50.05 6.50.057.50.051 4.15´+´+´+´+´+´´=②设中位数为x ，则()0.200.250.4040.5x ++-=解得中位数为 4.125x =（2）可知15n =其中超过7万人次的有5天()2010521545301057C C P X C ====()111052155010110521C C P X C ====()02105215102210521C C P X C ====X012P371021221所以()31022012721213E X =´+´+´=6．（2021·福建莆田市）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．（1）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（2）设x 为取出的4个球中红球的个数，求x 的分布列和数学期望．【答案】（1）715；（2）见解析.【解析】（1）记事件:A 取出的4个球中恰有1个红球，事件1:A 取出的4个球中唯一的红球取自于甲盒，事件2:A 取出的4个球中唯一的红球取自于乙盒，则12A A A =U ，且事件1A 与2A 互斥，由互斥事件的概率公式可得()()()1221134324122246715C C C C C P A P A P A C C +=+==，因此，取出的4个球中恰有1个红球的概率为715；（2）由题意知随机变量x 的可能取值为0、1、2、3，()22342246105C C P C C x ===，()7115P x ==，()111223243222463210C C C C C P C C x +===，()123222461330C C P C C x ===.所以，随机变量x 的分布列如下表所示：x123P15715310130因此，随机变量x 的数学期望为17317012351510306E x =´+´+´+´=.7．（2020·福建省南安市侨光中学高二月考）某单位组织“学习强国”知识竞赛，选手从6道备选题中随机抽取3道题.规定至少答对其中的2道题才能晋级.甲选手只能答对其中的4道题．(1)求甲选手能晋级的概率；(2)若乙选手每题能答对的概率都是34，且每题答对与否互不影响，用数学期望分析比较甲、乙两选手的答题水平．【答案】（1）45；（2）乙选手比甲选手的答题水平高【解析】解法一：（1）记“甲选手答对i 道题”为事件i A ，1,2,3i =，“甲选手能晋级”为事件A ，则23A A A =U ．()()()()2134242323336645C C C P A P A A P A P A C C =È=+=+=；（2）设乙选手答对的题目数量为X ，则3~3,4X B æöç÷èø，故()39344E X =´=，设甲选手答对的数量为Y ，则Y 的可能取值为1,2,3，()124236115C C P Y C ===，()214236325C C P Y C ===，()3436135C P Y C ===，故随机变量Y 的分布列为Y123P153515所以，()1311232555E Y =´+´+´=，则()()E X E Y >，所以，乙选手比甲选手的答题水平高；解法二：（1）记“甲选手能晋级”为事件A ，则()124236141155C C P A C =-=-=；（2）同解法二．8．（2020·全国高二课时练习）某大学在一次公益活动中聘用了10名志愿者，他们分别来自于A 、B 、C 三个不同的专业，其中A 专业2人，B 专业3人，C 专业5人，现从这10人中任意选取3人参加一个访谈节目．（1）求3个人来自两个不同专业的概率；（2）设X 表示取到B 专业的人数，求X 的分布列．【答案】（1）79120（2）见解析【解析】()1令事件A 表示“3个来自于两个不同专业”，1A 表示“3个人来自于同一个专业”，2A 表示“3个人来自于三个不同专业”，()3335131011120C C P A C +==，()111235231030120C C C P A C ==，3\个人来自两个不同专业的概率：()()()1211307911120120120P A P A P A =--=--=．()2随机变量X 有取值为0，1，2，3，()0337310350120C C P X C ===，()1237310631120C C P X C ===，()2137310212120C C P X C ===，()307331013120C C P X C ===，X \的分布列为：X123P3512063120211201120【题组三二项分布与超几何分布综合运用】1．（2020·甘肃省会宁县第四中学） 2.5PM 是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可吸入肺颗粒物.我国 2.5PM 标准采用世卫组织设定的最宽限值，即 2.5PM 日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标，某试点城市环保局从该市市区2019年上半年每天的 2.5PM 监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本，监测值如下茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）.（1）在这15天的 2.5PM 日均监测数据中，求其中位数；（2）从这15天的数据中任取2天数据，记x 表示抽到 2.5PM 监测数据超标的天数，求x 的分布列及数学期望；（3）以这15天的 2.5PM 日均值来估计该市下一年的空气质量情况，则一年（按365天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级.【答案】（1）45；（2）分布列见解析，45；（3）219.【解析】（1）由茎叶图可得中位数是45.（2）依据条件，x 服从超几何分布：其中15N =，6M =，2n =，x 的可能值为0,1,2，()026921512035C C P C x ===，()116921518135C C P C x ===，()2069215512357C C P C x ====，所以x 的分布列为：x012P1235183517()121814012353575E x =´+´+´=.（3）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为93=155P =，一年中空气质量达到一级或二级的天数为h ，则3365,5B h æöç÷èø:，33652195E h =´=，∴一年中平均有219天的空气质量达到一级或二级.2．（2020·山东高二期末）1933年7月11日，中华苏维埃共和国临时中央政府根据中央革命军事委员会6月30日的建议，决定8月1日为中国工农红军成立纪念日.中华人民共和国成立后，将此纪念日改称为中国人民解放军建军节.为庆祝建军节，某校举行“强国强军”知识竞赛，该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在A ，B 两名学生中间产生，该班委设计了一个测试方案：A ，B 两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答.已知这6个问题中，学生A 能正确回答其中的4个问题，而学生B 能正确回答每个问题的概率均为23，A ，B 两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的.（1）求A 恰好答对两个问题的概率；（2）求B 恰好答对两个问题的概率；（3）设A 答对题数为X ，B 答对题数为Y ，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生？请说明理由.【答案】(1)35 ;(2)49；(3)选择A .【解析】(1) A 恰好答对两个问题的概率为214236C C 3C 5=；(2) B 恰好答对两个问题的概率为223214339C æö´=ç÷èø；(3) X 所有可能的取值为1,2,3. ()124236C C 11C 5P X ===，214236C C 3(2)C 5P X ===，304236C C 1(3)C 5P X ===，所以131()1232555E X =´+´+´=，2221312()(12)(22)(32)5555D X =-´+-´+-´=；而23,3Y B æö-ç÷èø，2()323E Y =´=，212()3333D Y =´´=，所以()()E X E Y =，()()D X D Y <，可见，A 与B 的平均水平相当，但A 比B 的成绩更稳定.所以选择投票给学生A .3．（2021·湖南高二期末）一个袋中装有大小形状相同的标号为1，2，3，4，5，6的6个小球，某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回袋中）记下标号，若拿出球的标号是奇数，则得1分，否则得0分.（1）求拿2次得分不小于1分的概率；（2）拿4次所得分数x 的分布列和数学期望()E x 【答案】（1）34；（2）分布列见解析；期望为2.【解析】(1)一次拿到奇数的概率3162P ==，所以拿2次得分为0分的概率为2021124C æö=ç÷èø所以拿2次得分不小于1分的概率为2211311244C æö-=-=ç÷èø（2）x 可以取值：0，1，2，3，4所以()404121601C P x æö=ç÷èø==()13141112124C P x æöæö´=ç÷ç÷èøèø==()22241132228C P x æöæö´=ç÷ç÷èøèø==()31341112324C P x æöæö´=ç÷ç÷èøèø==()404411122164P C x æöæö´=ç÷ç÷èøèø==分布列x01234P116143814116满足二项分布概率1~42B x æöç÷èø，1()=4=22E x \´4．（2020·武汉外国语学校高二期中）为有效预防新冠肺炎对老年人的侵害，某医院到社区检查老年人的体质健康情况．从该社区全体老年人中，随机抽取12名进行体质健康测试，根据测试成绩（百分制）绘制茎叶图如下．根据老年人体质健康标准，可知成绩不低于80分为优良，且体质优良的老年人感染新冠肺炎的可能性较低．（Ⅰ）从抽取的12人中随机选取3人，记x 表示成绩优良的人数，求x 的分布列及数学期望；（Ⅱ）将频率视为概率，根据用样本估计总体的思想，在该社区全体老年人中依次抽取10人，若抽到k 人的成绩是优良的可能性最大，求k 的值．【答案】（Ⅰ）分布列见解析；()2E x =；（Ⅱ）7k =.【解析】（Ⅰ）由题意12人中有8人体质优良，x 可能的取值为0，1，2，3，()343121055C P C x ===，()128431212155C C P C x ×===，()218431228255C C P C x ×===，()3831214355C P C x ===，所以x 的分布列为：x0123P155125528551455数学期望()1122814 01232 55555555E x=´+´+´+´=；（Ⅱ）由题意可知，抽取的10人中，成绩是优良的人数210,3X Bæöç÷èø∼，所以()10 102133k k kP X k C-æöæö==××ç÷ç÷èøèø，0,1,210k=×××，令()()10110111010101101110102121333321213333k k k kk kk k k kk kC CC C------+-++ìæöæöæöæö××³××ïç÷ç÷ç÷ç÷ïèøèøèøèøíïæöæöæöæö××³××ç÷ç÷ç÷ç÷ïèøèøèøèøî，解得192233k££，又kÎN，所以7k=，所以当7k=时，抽到k人的成绩是优良的可能性最大.。

超几何分布与二项分布概率答案

1、北京海淀一模某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测,每一件一等品都能通过检测,每一件二等品通过检测的概率为23.现有10件产品,其中6件是一等品,4件是二等品.Ⅰ 随机选取1件产品,求能够通过检测的概率；Ⅱ 随机选取3件产品,其中一等品的件数记为X ,求X 的分布列； Ⅲ 随机选取3件产品,求这三件产品都不能通过检测的概率.解析Ⅰ设随机选取一件产品,能够通过检测的事件为A …………………………1分事件A 等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测” ……………2分151332104106)(=⨯+=A p …………………………4分Ⅱ 由题可知X 可能取值为0,1,2,3.30463101(0)30C C P X C ===,21463103(1)10C C P X C ===, 12463101(2)2C C P X C ===,03463101(3)6C C P X C ===. ………………8分故X 的分布列为……………9分Ⅲ设随机选取3件产品都不能通过检测的事件为B ……………10分事件B 等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测”所以,3111()()303810P B =⋅=. ……………13分2、深圳一模第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日到23日在深圳举行,为了搞好接待工作,组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者;将这30名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图单位:cm ：若身高在175cm 以上包括175cm 定义为“高个子”,身高在175cm 以下不包括175cm 定义为“非高个子”, 且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”.Ⅰ如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中中提取5人, 再从这5人中选2人,那么至少有一人是“高个子”的概率是多少123Ⅱ若从所有“高个子”中选3名志愿者,用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数,试写出ξ的分布列,并求ξ的数学期望.解析Ⅰ根据茎叶图,有“高个子”12人,“非高个子”18人,…………1分用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率是61305=, ………………2分所以选中的“高个子”有26112=⨯人,“非高个子”有36118=⨯人． (3)分用事件A 表示“至少有一名“高个子”被选中”,则它的对立事件A 表示“没有一名“高个子”被选中”,则()P A =-12523C C 1071031=-=．……5分因此,至少有一人是“高个子”的概率是107．…6分Ⅱ依题意,ξ的取值为0,1,2,3． ………………7分 5514C C )0(31238===ξP , 5528C C C )1(3122814===ξP ,5512C C C )2(3121824===ξP , 551C C )3(31234===ξP ． …………………9分因此,ξ的分布列如下：分15513551225528155140=⨯+⨯+⨯+⨯=ξ∴E ． …………12分 3、广州二模某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查,瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力.某班学生共有40人,下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果.3人.,视觉记忆能力恰为中等,且听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为25.Ⅰ试确定a 、b 的值；Ⅱ从40人中任意抽取3人,设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为ξ,求随机变量ξ的分布列.解析Ⅰ由表格数据可知,视觉记忆能力恰为中等,且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有(10)a +人.记“视觉记忆能力恰为中等,且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事件A ,则102()405a P A +==,解得6a =,从而40(32)40382b a =-+=-=. Ⅱ由于从40位学生中任意抽取3位的结果数为340C ,其中具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生共24人,从40位学生中任意抽取3位,其中恰有k 位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的结果数为32416k k C C -,所以从40位学生中任意抽取3位,其中恰有k 位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的概率为32416340()k k C C P k C ξ-==(0,1,2,3)k =.ξ的可能取值为0、1、2、3. 因为03241634014(0)247C C P C ξ===,12241634072(1)247C C P C ξ===,212416340552(2)1235C C P C ξ===,302416340253(3)1235C C P C ξ===,所以ξ的分布列为46个球,至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是23．Ⅰ记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X ,求X 的分布列及数学期望； Ⅱ求教师甲在一场比赛中获奖的概率；Ⅲ已知教师乙在某场比赛中,6个球中恰好投进了4个球,求教师乙在这场比赛中获奖的概率；教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗解析ⅠX 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6. 依条件可知X ~B 6,23.6621()33kkk P X k C -⎛⎫⎛⎫==⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0, 1, 2, 3, 4, 5, 6k =所以X所以(01112260316042405192664)729EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=4729=.频率组距 20 25 3频率组距或因为X ~B 6,23,所以2643EX =⨯=. 即X 的数学期望为4． Ⅱ设教师甲在一场比赛中获奖为事件A ,则224156441212232()()()()().3333381P A C C =⨯⨯+⨯⨯+=答：教师甲在一场比赛中获奖的概率为32.81Ⅲ设教师乙在这场比赛中获奖为事件B ,则2444662()5A A P B A ==.此处为244625C C =会更好因为样本空间基于:已知6个球中恰好投进了4个球即教师乙在这场比赛中获奖的概率为25.显然2323258081=≠,所以教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率不相等．5、北京石景山一模为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽样100名志愿者的年龄情况如下表所示． Ⅰ频率分布表中的①、②位置应填什么数据并在答题卡中补全频率分布直方图如图,再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[3035，）岁的人数； Ⅱ在抽出的100名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加中心广场的宣传活动,从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人,记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X ,求X 的分布列及数学期望．解析Ⅰ①处填20,②处填35.0；补全频率分布直方图如图所示. 500名志愿者中年龄在[)35,30 的人数为 0.35500175⨯=人．…6分 Ⅱ用分层抽样的方法,从中选取20人, 则其中“年龄低于30岁”的有5人,“年龄不低于30岁”的有15人． …………7分故X 的可能取值为0,1,2；21522021(0)38C P X C ===,1115522015(1)38C C P X C ===,252202(2)38C P X C ===,……11分所以分组单位：岁频数频率①②合计B 1B 2∴ 0123838382EX =⨯+⨯+⨯=． …………13分 6、北京朝阳二模为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康,要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测,只有两轮都合格才能进行销售,否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为16,第二轮检测不合格的概率为110,两轮检测是否合格相互没有影响. Ⅰ求该产品不能销售的概率；Ⅱ如果产品可以销售,则每件产品可获利40元；如果产品不能销售,则每件产品亏损80元即获利-80元.已知一箱中有产品4件,记一箱产品获利X 元,求X 的分布列,并求出均值EX .解析Ⅰ记“该产品不能销售”为事件A ,则111()1(1(1)6104P A =--⨯-=. 所以,该产品不能销售的概率为14. ……………………………………4分 Ⅱ由已知,可知X 的取值为320,200,80,40,160---. ………………………5分411(320)(4256P X =-==, 134133(200)(4464P X C =-=⋅⋅=, 22241327(80)(()44128P X C =-=⋅⋅=,3341327(40)()4464P X C ==⋅⋅=, 4381(160)(4256P X ===. ……………………………………10分所以X…11分 EX 1127278132020080401602566412864256=-⨯-⨯-⨯+⨯+⨯40=,故均值EX 为40.……12分7、北京丰台二模张先生家住H 小区,他在C 科技园区工作,从家开车到公司上班有L 1,L 2两条路线如图,L 1路线上有A 1,A 2,A 3三个路口,各路口遇到红灯的概率均为12；L 2路线上有B 1,B 2两个路口,33Ⅰ若走L 1路线,求最多．．遇到1次红灯的概率； Ⅱ若走L 2路线,求遇到红灯次数X 的数学期望；Ⅲ按照“平均遇到红灯次数最少”的要求,请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线,并说明理由．解析Ⅰ设走L 1路线最多遇到1次红灯为A 事件,则0312331111()=()()2222P A C C ⨯+⨯⨯=．…4分所以走L 1路线,最多遇到1次红灯的概率为12． Ⅱ依题意,X 的可能取值为0,1,2． …………5分331(=0)=(1)(1)4510P X -⨯-=,33339(=1)=(1)(1)454520P X ⨯-+-⨯=,339(=2)=4520P X ⨯=．…8分01210202020EX =⨯+⨯+⨯=．………………10分Ⅲ设选择L 1路线遇到红灯次数为Y ,随机变量Y 服从二项分布,1(3,)2Y B ,所以13322EY =⨯=．……12分因为EX EY <,所以选择L 2路线上班最好．……14分8、北京海淀二模某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠.已知该电梯在1层载有4位乘客,假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的. Ⅰ 求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；Ⅱ 用X 表示4名乘客在第4层下电梯的人数,求X 的分布列和数学期望.解析Ⅰ设4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的事件为A ,……………………1分由题意可得每位乘客在第2层下电梯的概率都是13, ……………………………3分则4265()1()1381P A P A ⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭ .……………………………6分 Ⅱ X 的可能取值为0,1,2,3,4, ………………………7分由题意可得每个人在第4层下电梯的概率均为13,且每个人下电梯互不影响,所以1(4,)3X B .…9分………………………………11分14()433E X =⨯=.………………………13分9、福建福州3月质检“石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏,其规则是：用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布；两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏,“石头”胜“剪刀”,“剪刀”胜“布”,“布”胜“石头”；双方出示的手势相同时,不分胜负．现假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的． Ⅰ求出在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率； Ⅱ若玩家甲、乙双方共进行了3次游戏,其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量X ,求X 的分布列及其期望．解析Ⅰ玩家甲、乙双方在1次游戏中出示手势的所有可能结果是：石头,石头；石头,剪刀；石头,布；剪刀,石头；剪刀,剪刀；剪刀,布；布,石头；布,剪刀；布,布．共有9个基本事件,--------------------3分玩家甲胜玩家乙的基本事件分别是：石头,剪刀；剪刀,布；布,石头,共有3个．所以,在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率3193P ==．--------------------6分 ⅡX 的可能取值分别为0,1,2,3．()303280327P X C ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭,()1213121213327P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅=⎪⎪⎝⎭⎝⎭, ()212312623327P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,()333113327P X C ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭．--------------------10分X0123127272727EX =⨯+⨯+⨯+⨯=或：~(3,)3X B ,1313EX np ==⨯=．-----13分10、湖北黄冈3月质检某射击小组有甲、乙两名射手,甲的命中率为123p =,乙的命中率为2p ,在射击比武活动中每人射击发两发子弹则完成一次检测,在一次检测中,若两人命中次数相等且都不少于一发,则称该射击小组为“先进和谐组”；Ⅰ若212p =,求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；Ⅱ计划在2011年每月进行1次检测,设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数ξ,如果5E ξ≥,求2p 的取值范围.解析Ⅰ1122211122111()()()()332233223P C C =⋅⋅⋅⋅+⋅⋅=---------6分Ⅱ该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率而(12,)B P ξ,所以12E P ξ=,由5E ξ≥知2228412()599p p -≥,解得2314p ≤≤.-------12分 11、湖北部分重点中学第二次联考一射击测试每人射击三次,每击中目标一次记10分;没有击中记0分,某人每次击中目标的概率为2.3Ⅰ求此人得20分的概率； Ⅱ求此人得分的数学期望与方差; 解析Ⅰ此人得20分的概率为9431)32(223=⨯=C p ……4分Ⅱ记此人三次射击击中目标η次得分为ξ分,则η～)32,3(B ,ξ=10η…6分∴2032310)(10)(=⨯⨯==ηξE E ……9分320031323100)(100)(=⨯⨯⨯==ηξD D ……12分 12、2011江西八校4月联考设不等式224x y +≤确定的平面区域为U ,1x y +≤确定的平面区域为V ．Ⅰ定义横、纵坐标为整数的点为“整点”,在区域U 内任取3个整点,求这些整点中恰有2个整点在区域V 的概率；Ⅱ在区域U 内任取3个点,记这3个点在区域V 的个数为X ,求X 的分布列和数学期望．解析Ⅰ依题可知平面区域U 的整点为()()()()()()0,0,0,1,0,2,1,0,2,0,1,1±±±±±±共有13个,平面区域V 的整点为()()()0,0,0,1,1,0±±共有5个, ∴2158313.40143C C P C == Ⅱ依题可得：平面区域U 的面积为224ππ⋅=,平面区域V 的面积为：12222⨯⨯=,在区域U 内任取1个点,则该点在区域V 内的概率为2142ππ=, 易知：X 的可能取值为0123，，，,且 ()()320312013333213211111(0)1(1)1228228P X C P X C ππππππππ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-===⋅⋅-=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ,∴X123∴X 的数学期望：()()()32333321321321130123=88882EX ππππππππ---=⨯+⨯+⨯+⨯……12分或者： 1~(3,)2X B π,故13=322EX np ππ=⨯=13、山东淄博二模 A 、B 是治疗同一种疾病的两种药,用若干试验组进行对比试验;每个试验组由4只小白鼠组成,其中2只服用A ,另2只服用B ,然后观察疗效;若在一个试验组中,服用A 有效的小白鼠的只数比服用B 有效的多,就称该试验组为甲类组;设每只小白鼠服用A 有效的概率为32,服用B 有效的概率为21.Ⅰ求一个试验组为甲类组的概率；Ⅱ观察3个试验组,用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数,求ξ的分布列和数学期望;解析Ⅰ设i A 表示事件“一个试验组中,服用A 有效的小白鼠有i 只”,i=0,1,2； i B 表示事件“一个试验组中,服用B 有效的小白鼠有i 只”,i=0,1,2依题意有1124()2339P A =⨯⨯=,2224()339P A =⨯=,0111()224P B =⨯=,1111()2222P B =⨯⨯=,所求的概率为0102121414144()()()4949299P P B A P B A P B A =++=⨯+⨯+⨯=Ⅱ的可能取值为0,1,2,3,且 ~ B3,错误!, 3345()()(),0,1,2,399k k k P k C k ξ-===∴ 的分布列为`0123所以数学期望44393E ξ=⨯=.14、温州一模盒子中装有大小相同的10只小球,其中2只红球,4只黑球,4只白球．规定：一次摸出3只球,如果这3只球是同色的,就奖励10元,否则罚款2元．Ⅰ若某人摸一次球,求他获奖励的概率；Ⅱ若有10人参加摸球游戏,每人摸一次,摸后放回,记随机变量ξ为获奖励的人数,i 求(1)P ξ> ii 求这10人所得钱数的期望．结果用分数表示,参考数据：10141152⎛⎫≈ ⎪⎝⎭解析Ⅰ3421021=15C p C =Ⅱi 由题意知110,)15B ξ（,则101910141141(1)1(0)(1)1()()1515157P P P C ξξξ>=-=-==--⨯⨯=ii 设η为在一局中的输赢,则114610215155E η=⨯-⨯=-,所以6(10)1010()125E E ηη==⨯-=-,即这10人所得钱数的期望为12-.15、2011天津高考学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球,乙箱子里装有1个白球、2个黑球,这些球除颜色外完全相同,每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球,若摸出的白球不少于2个,则获奖.每次游戏结束后将球放回原箱 Ⅰ求在1次游戏中：①摸出3个白球的概率； ②获奖的概率； Ⅱ求在2次游戏中获奖次数X 的分布列与数学期望.解析Ⅰ①设“在1次游戏中摸出i 个白球”为事件(0,1,2,3)i A i =,则2132322531()5C C P A C C =⋅=.②设“在1次游戏中获奖”为事件B ,则23B A A =,又22111322222222253531()2C C C C C P A C C C C =⋅+⋅=,且2A 、3A 互斥,所以23117()()()2510P B P A P A =+=+=. Ⅱ法1：由题意可知X 的所有可能取值为0、1、2.279(0)(1)10100P X ==-=；127721(1)(1)101050P X C ==-=；2749(2)()10100P X ===.X 的数学期望012100501005EX =⨯+⨯+⨯=. 法2：因为7(2,)10XB ,得X 的分布列同上,X 的数学期望772105EX =⨯=.16、全国高考根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为,设各车主购买保险相互独立. Ⅰ求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l 种的概率； ⅡX 表示该地的l00位车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数,求X 的期望. 解析记A 表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；B 表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C 表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；D 表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买.Ⅰ()0.5P A =,()0.3P B =.因为C A B =,且A 、B 互斥,所以()()()0.8P C P A P B =+=. Ⅱ因为D C =,所以()1()10.80.2P D P C =-=-=.而~(100,0.2)X B ,即X 服从二项分布,所以X的期望为1000.220EX=⨯=.。

7.4 二项分布与超几何分布(精讲)(解析版)

7.4 二项分布与超几何分布（精讲）考法一二项分布【例1】（2020·全国高二课时练习）高尔顿(钉)板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行､水平间隔相等的圆柱形铁钉(如图)，并且每一排铁钉数目都比上一排多一个，一排中各个铁钉恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央.从入口处放入一个直径略小于两颗铁钉间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉.如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球.（1）理论上，小球落入4号容器的概率是多少？（2）一数学兴趣小组取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球的个数为X ，求X 的分布列. 【答案】（1）14；（2）分布列答案见解析. 【解析】（1）记“小球落入4号容器”为事件A ，若要小球落入4号容器，则需要在通过的四层中有三层向右，一层向左，∴理论上，小球落入4号容器的概率43411()C 24P A ⎛⎫== ⎪⎝⎭. （2）落入4号容器的小球的个数X 的所有可能取值为0，1，2，3，303127(0)C 1464P X ⎛⎫∴==⨯-= ⎪⎝⎭， 2131127(1)C 14464P X ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭，2123119(2)C 14464P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33311(3)C 464P X ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭， X ∴的分布列为【一隅三反】1．（2020·重庆市第七中学校高二月考）若随机变量14,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭～，则()21E X +=（） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】因为14,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭～，所以1422EX =⨯=，所以()21215E X EX +=+=.故选：D. 2．（多选）（2020·全国高二单元测试）已知随机变量120,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若使()P X k =的值最大，则k 等于（） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】BC【解析】令()()1201120202012120331221233k k k k k k C P X k kP X k k C +--+-⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪=+-⎝⎭⎝⎭==>=+⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得k 6<，即当k 6<时，()1()P X k P X k =+>=；当6k =时，()()76P X P X ===；当6k >时，()1()P X k P X k =+<=，所以(6)P X =和()7P X =的值最大. 故选：BC .3．（2020·江苏淮安市·淮阴中学高二期末）江苏实行的“新高考方案：312++”模式，其中统考科目：“3”指语文、数学、外语三门，不分文理：学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，“1”指首先在在物理、历史2门科目中选择一门；“2”指再从思想政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门某校，根据统计选物理的学生占整个学生的34；并且在选物理的条件下，选择地理的概率为23；在选历史的条件下，选地理的概率为45．（1）求该校最终选地理的学生概率；（2）该校甲、乙、丙三人选地理的人数设为随机变量X ． ①求随机变量2X =的概率； ②求X 的概率分布列以及数学期望．【答案】（1）710；（2）①4411000；②分布列见解析，()2110E X =. 【解析】（1）该校最终选地理的学生为事件A ，()32147434510P A =⨯+⨯=；因此，该校最终选地理的学生为710；（2）①由题意可知，73,10XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以，()22373441210101000P X C ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭； ②由于73,10XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()33270101000P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ()121373189110101000P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22373441210101000P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()33373433101000P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以，随机变量X 的分布列如下表所示：()72131010E X ∴=⨯=．4．（2020·陕西渭南市）已知某植物种子每粒成功发芽的概率都为13，某植物研究所分三个小组分别独立进行该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，每次试验结果相互独立.假设某次试验种子发芽，则称该次试验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次试验是失败的. （1）第一小组做了四次试验，求该小组恰有两次失败的概率；（2）第二小组做了四次试验，设试验成功与失败的次数的差的绝对值为X ，求X 的分布列及数学期望. 【答案】（1）827；（2）答案见解析；14881. 【解析】（1）记“该小组有两次失败”为事件A ，222412248()338127P A C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）由题意可知X 的可能取值为0，2，4.2224128(0)3327P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 13311344121232840(2)33338181P X C C +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 444442116117(4)338181P X C C +⎛⎫⎛⎫==+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故X 的分布列为：84017148()024********E X =⨯+⨯+⨯=. 考点二超几何分布【例2】（2020·全国高二单元测试）现对某高校16名篮球运动员在多次训练比赛中的得分进行统计，将每位运动员的平均成绩所得数据用频率分布直方图表示如下．(如：落在区间[10，15)内的频率/组距为0.0125)规定分数在[10，20)，[20，30)，[30，40)上的运动员分别为三级篮球运动员、二级篮球运动员、一级篮球运动员，现从这批篮球运动员中利用分层抽样的方法选出16名运动员作为该高校的篮球运动员代表．（1）求a的值和选出篮球运动员代表中一级运动员的人数；（2）若从篮球运动员代表中选出三人，求其中含有一级运动员人数X的分布列；（3）若从该校篮球运动员中有放回地选三人，求其中含有一级运动员人数Y的期望．【答案】（1）a＝0.0250，4人；（2）答案见解析；（3）34.【解析】（1）由频率分布直方图知：(0.0625＋0.0500＋0.0375＋a＋2×0.0125)×5＝1，∴a＝0.0250. 其中为一级运动员的概率为(0.012 5＋0.037 5)×5＝0.25，∴选出篮球运动员代表中一级运动员为0.25×16＝4人．（2）由已知可得X的可能取值分别为0，1，2，3，P(X＝0)＝312316CC＝1128，P(X＝1)＝21243161C CC⋅＝3370，P(X＝2)＝24113162C CC⋅＝970，P(X＝3)＝34316CC＝1140，∴X的分布列为（3）由已知得Y～B1 (3,)4，∴E(Y)＝np＝3×14＝34，∴含有一级运动员人数Y 的期望为34. 【一隅三反】1．（2020·全国高二课时练习）新冠肺炎疫情期间，为了更有效地进行防控，各地学校都发出延期开学的通知.很多学校及老师为响应各地教育行政部门实行“停课不停学”的号召，让学生们在家通过收看网络直播的方式进行学习，已知高一某班共有学生21人，其中男生12人，女生9人.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，测试他们对网络课程学习的效果，效果分为优秀和不优秀两种，优秀得2分，不优秀得1分. （1）应抽取男生､女生各多少人？（2）若抽取的7人中，4人的测试效果为优秀，3人为不优秀，现从这7人中随机抽取3人. （i ）用X 表示抽取的3人的得分之和，求随机变量x 的分布列及数学期望；（ii ）设事件A 为“抽取的3人中，既有测试效果为优秀的，也有为不优秀的”，求事件A 发生的概率. 【答案】（1）4人；（2）（i ）分布列答案见解析，数学期望：337；（ii ）67.【解析】（1）因为采用分层抽样的方法进行抽样，所以应抽取女生97321⨯=人，抽取男生127421⨯=人. （2）（i ）随机变量X 的所有可能取值为3，4，5，6.0343371(3)35C C P X C ===， 12433712(4)35C C P X C ===， 21433718(5)35C C P X C ===，3043374(6)35C C P X C ===，所以随机变量X 的分布列为数学期望11218416533()345635353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯==. （ii ）由（i ）知12186()(4)(5)35357P A P X P X ==+==+=，故事件A 发生的概率为67. 2．（2020·绵阳市·四川省绵阳江油中学）某校五四青年艺术节选拔主持人，现有来自高一年级参赛选手4名，其中男生2名;高二年级参赛选手4名，其中男生3名.从这8名参赛选手中随机选择4人组成搭档参赛.（Ⅰ）设A 为事件“选出的4人中恰有2名男生，且这2名男生来自同一个年级”，求事件A 发生的概率; （Ⅱ）设X 为选出的4人中男生的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望. 【答案】（Ⅰ）635（Ⅱ）分布列见解析，数学期望52【解析】（Ⅰ）由已知有()2222233348635C C C C P A C +==，所以事件A 发生的概率为635.（Ⅱ）随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4，()()453481,2,3,4k kC C P X k k C -=== 所以随机变量X 的分布列为所以随机变量X 的数学期望()1331512341477142E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 3．（2021·北京东城区）为了解学生自主学习期间完成数学套卷的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如下表.（1）从这班学生中任选一名男生，一名女生，求这两名学生完成套卷数之和为4的概率？（2）若从完成套卷数不少于4套的学生中任选4人，设选到的男学生人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望；（3）试判断男学生完成套卷数的方差21s 与女学生完成套卷数的方差22s 的大小（只需写出结论）. 【答案】（1）796（2）详见解析（3）2212s s > 【解析】（1）设事件A ：从这个班级的学生中随机选取一名男生,一名女生,这两名学生完成套卷数之和为4,由题意可知,()1341712896P A ⨯+⨯==⨯.（2）完成套卷数不少于4本的学生共8人,其中男学生人数为4人,故X 的取值为0,1,2,3,4.由题意可得()44481070C P X C ===；()13444816817035C C P X C ====；()224448361827035C C P X C ====； ()31444816837035C C P X C ====；()44481470C P X C ===.所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的均值116361610123427070707070EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. (3)2212s s >.考点三二项分布与超几何分布综合运用【例3】（2020·浙江台州市·高二期中）2020年五一期间，银泰百货举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元(含600元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球2个，白球1个，黑球7个)的抽奖盒中，一次性摸出3个球其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折.方案二：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？【答案】（1）114400；（2）选择第二种方案更合算.【解析】（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件A ，则()21213101120C C P A C ==，所以两位顾客均享受到免单的概率为()()114400P P A P A =⋅=；（2）若选择方案一，设付款金额为X 元，则X 可能的取值为0、500、700、1000.()212131010120C C P X C ===，()21273107500120C C P X C ===， ()1217310770040C C P X C ===，()177911000112012040120P X ==---=.故X 的分布列为，所以()0500700100091012012040120E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（元）. 若选择方案二，设摸到红球的个数为Y ，付款金额为Z ，则1000200Z Y =-，由已知可得3~3,10Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，故()3931010E Y =⨯=，所以()()()10002001000200820E Z E Y E Y =-=-=（元）. 因为()()E X E Z >，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算.【一隅三反】1．（2020·辽宁大连市）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）（1）求在1次游戏中，①摸出3个白球的概率；②获奖的概率；（2）求在4次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望()E X . 【答案】（1）①15，②710；（2）分布列见解析，145. 【解析】（1）设“在1次游戏中摸出i 个白球”为事件(0,1,2,3),=i A i①2132322531().5==C C P A C C · ②设“在1次游戏中获奖”为事件B ，则23B A A =⋃，又21121332222222253531(),2=+=C C C C C P A C C C C ··且A 2，A 3互斥，所以23117()()().2510P B P A P A （2）由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，由（1）7()10P B =，3()1()10P B P B =-=， 44381(0)()1010000P X P B ⎛⎫⎡⎤==== ⎪⎣⎦⎝⎭， 331473189(1)()()410102500P X C P B P B ⎛⎫⎡⎤===⨯⨯= ⎪⎣⎦⎝⎭， []222224731323(2)()()610105000P X C P B P B ⎛⎫⎛⎫⎡⎤===⨯⨯= ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭ []3334731029(3)()()410102500P X C P B P B ⎛⎫===⨯⨯=⎪⎝⎭[]4472401(4)()1010000P X P B ⎛⎫====⎪⎝⎭ 所以X 的分布列是显然7~B 410X ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以X 的数学期望E(X)=7144105⨯=． 2．（2020·广东云浮市）甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为:应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是23，且每题正确完成与否互不影响. (1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望; (2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大?【答案】(1) 甲、乙的分布列见解析；甲的数学期望2、乙的数学期望2； (2)甲通过面试的概率较大．【解析】（1）设X 为甲正确完成面试题的数量，Y 为乙正确完成面试题的数量，依题意可得：~(6,3,4)X H ，∴1223461(1)5C C P X C ⋅===，4212363(2)5C C P X C ⋅===，3042361(3)5C C P X C ⋅===， ∴X 的分布列为：∴1232555EX =⨯+⨯+⨯=． 2~3,3Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴0303211(0)3327P Y C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12132162(1)C 33279P Y ⎛⎫⎛⎫==== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 212321124(2)C 33279P Y ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，333218(3)3327P Y C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ∴Y 的分布列为：∴01232279927EY =⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）2221312(12)(22)(32)5555DX =⨯-+-⨯+-⨯=， 2121333(3)DY np p =-=⨯⨯=，∵DX DY <，∴甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的概率较大．3．（2021·哈尔滨市）一批产品共10件，其中3件是不合格品，用下列两种不同方式从中随机抽取2件产品检验：方法一：一次性随机抽取2件；方法二：先随机抽取1件，放回后再随机抽取1件.记方法一抽取的不合格产品数为1ξ.记方法二抽取的不合格产品数为2ξ. （1）求两种抽取方式下1ξ，2ξ的概率分布列；（2）比较两种抽取方式抽到的不合格品平均数的大小？并说明理由. 【答案】（1）1ξ，2ξ的分布列见解析；（2）平均数相等，理由见解析.【解析】（1）方法一中随机变量1ξ可取的值为0，1，2，且1ξ服从超几何分布，于是()023*********C C P C ξ⋅===；()113712107115C C P C ξ⋅===； ()203712101215C C P C ξ⋅===；因此1ξ的频率分布可表示为下表：方法二中随机变量2ξ可取的值为0，1，2，且2ξ服从二项分布，于是()02022374901010100P C ξ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()12237211101050P C ξ==⋅⋅=； ()22223721010P C ξ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；因此2ξ的频率分布可表示为下表：（2）由（1）知，方法一中1ξ的数学期望为()10121515155E ξ=⨯+⨯+⨯=，方法二中2ξ的数学期望为()2332105E ξ=⨯=，所以两种方式抽到的不合格品平均数相等.。

第46讲超几何分布与二项分布(解析版)-【高考艺术生专用】2022年高考数学复习(,全国通用版)

第46讲超几何分布与二项分布一、单选题1．（2021·全国高二单元测试）一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中抽取4个，则其中恰好有一个二等品的概率为A ．49041001C C -B ．0413109010904100C C C C C + C ．1104100C CD ．1310904100C C C【答案】D 【详解】由超几何分布概率公式可知，所求概率为3190104100C C C故选：D2．（2021·云南昆明一中高三月考（理））某同学从家到学校要经过三个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，该同学在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14，则该同学从家到学校至少遇到一次红灯的概率为（） A ．124B ．1124 C ．23D ．34【答案】D 【详解】解：由题意，该同学从家到学校至少遇到一次红灯的概率为111311112344P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：D.3．（2021·全国高二单元测试）设随机变量()~2,B p ξ，()~4,B p η，若()519P ξ≥=，则()2P η≥的值为（） A ．1127B ．3281C ．527D ．1681【答案】A 【详解】因为随机变量()~2,B p ξ，所以()()()25110119P P p ξξ≥=-==--=，解得13p =，所以1~4,3B η⎛⎫⎪⎝⎭，则()()()4311411111210111C 133327P P P ηηη⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥=-=-==----=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：A ．4．（2021·全国高二单元测试）某校团委决定举办“鉴史知来”读书活动，经过选拔，共10名同学的作品被选为优秀作品，其中高一年级5名同学，高二年级5名同学，现从这10个优秀作品中随机抽7个，则高二年级5名同学的作品全被抽出的概率为（） A ．112 B ．13C ．12D ．34【答案】A 【详解】从10个作品中抽7个，用X 表示抽到高二年级同学的作品数，则()5255710C C 15C 12P X ⋅===．故选：A ．5．（2021·全国高二单元测试）已知10名同学中有a 名女生，若从这10名同学中随机抽取2名作为学生代表，恰好抽到1名女生的概率是815，则a =（） A ．1 B ．4或6C ．4D ．6【答案】B 【详解】设抽到的女生人数为X ，则X 服从超几何分布，()()111021010C C 81C 4515a a a a P X --====，解得4a =或6a =．故选：B ．6．（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高二月考）一袋中装有除颜色外完全相同的3个黑球和3个红球，从袋中任取2球．已知取出的2球中有黑球，则取出的两个球都是黑球的概率为（） A ．14B ．15C ．12D ．25【答案】A 【详解】从袋中任取2球，取出的2球中有黑球，共有226312C C -=种基本事件，两个球都是黑球共有233C =种基本事件，∴已知取出的2球中有黑球，则取出的两个球都是黑球的概率为31124= 故选：A ．7．（2021·全国高二课时练习）某校从学生会中的10名女生干部与5名男生干部中随机选取6名学生干部组成“文明校园督察队”，则组成4女2男的“文明校园督察队”的概率为（）A ．615615C AB ．33105615C C CC．42105615C CCD．42105615C AA【答案】C 【详解】组成4女2男的“文明校园督察队”的概率为42105615C CPC=.故选：C8．（2021·广东电白·高二期中）围棋起源于中国，据先秦典籍世本记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年历史围棋不仅能抒发意境､陶冶情操､修身养性､生慧增智，而且还与天象易理､兵法策略､治国安邦等相关联，蕴含着中华文化的丰富内涵在某次国际围棋比赛中，甲､乙两人进入最后决赛比赛采取五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束假设每局比赛甲胜乙的概率都为23，没有和局，且各局比赛的胜负互不影响，则甲在比赛中以3:1获得冠军的概率为（）A．19B．827C．1627D．1781【答案】B【详解】甲在比赛中以3:1获得冠军，即前三局中甲胜两局，且第四局甲胜.所以，甲在比赛中以3:1获得冠军的概率2232128C33327P⎛⎫=⋅⋅⋅=⎪⎝⎭.故选：B.二、多选题9．（2021·全国高二课时练习）(多选)下列随机变量中，服从超几何分布的有（）A．在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X B．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数C．一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的数为随机变量XD ．从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X 【答案】ABD 【详解】解：依据超几何分布模型定义可知，试验必须是不放回地抽取n 次，A 、B 、D 中随机变量X 服从超几何分布.而C 中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X 不服从超几何分布. 故选：ABD10．（2021·全国高二单元测试）一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，下列变量服从超几何分布的是（） A ．X 表示取出的最大号码 B ．X 表示取出的最小号码C ．取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X 表示取出的4个球的总得分D ．X 表示取出的黑球个数【答案】CD 【详解】AB 不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算概率，即AB 错；CD 选项符合超几何分布的定义，将黑球视作次品，白球视作正品，则可以用超几何分布的数学模型计算概率，即CD 正确；故选：CD.11．（2021·山东潍坊·高二期末）袋子中有3个黑球2个白球现从袋子中有放回地随机取球4次取到白球记1分，黑球记0分，记4次取球的总分数为X ，则（） A ．2~4,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1442625P X ==C ．X 的期望()125E X = D ．X 的方差()2425D X =【答案】AD 【详解】从袋子中有放回地随机取球4次，则每次取球互不影响，并且每次取到白球的概率相等，又取到白球记1分，取4次球的总分数，即为取到白球的个数，对于A ，每次取球取到白球的概率为25P =，随机变量X 服从二项分布2~4,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭，故A 正确；对于B ，2X =，即4次取到2次白球，概率222423216(2)55625P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；对于C ，因为2~4,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭，所以X 的期望28()455E X =⨯=，故C 错误；对于D ，因为2~4,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭，所以X 的方差32452()5254D X =⨯⨯=，故D 正确．故选：AD ．12．（2021·湖北武汉·高二期中）袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为X ，则（）A ．2~4,3XB ⎛⎫⎪⎝⎭B ．8(2)81P X ==C ．X 的期望8()3E X = D ．X 的方差8()9D X =【答案】ACD 【详解】从袋子中有放回地随机取球4次，则每次取球互不影响，并且每次取到的黑球概率相等，又取到黑球记1分，取4次球的总分数，即为取到黑球的个数，所以随机变量X 服从二项分布2~4,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭，故A 正确；2X =，记其概率为22242124(2)3381P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；因为2~4,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以X 的期望28()433E X =⨯=，故C 正确；因为2~4,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭，所以X 的方差218()4339D X =⨯⨯=，故D 正确．故选：ACD ．三、填空题13．（2021·全国高二课时练习）某手机经销商从已购买某品牌手机的市民中抽取20人参加宣传活动，这20人中年龄低于30岁的有5人．现从这20人中随机选取2人各赠送一部手机，记X 为选取的年龄低于30岁的人数，则P (X ＝1)＝________. 【答案】1538【详解】X ＝1是指选取的人中年龄低于30岁的有1人，所以()1151522015138C C P X C ===.故答案为：1538. 14.（2021·江苏滨湖·立人高中高二期中）若一个随机变量的分布列为()r n r M N MnNC C P r C ξ--⋅==，其中0,1,2,,,min(,)r l l n M ==则称ξ服从超几何分布，记为~(,,)H n M N ξ，并将()r n r M N MnNC C P r C ξ--⋅==记为(;,,)H r n M N ，则(1;3,2,10)H =___________.【答案】715【详解】根据题意，13210r n M N ====，，， ()()1228310·71;3,2,10115C C H P C ξ∴==== 故答案为：715. 15．（2021·全国高二专题练习）某篮球队对队员进行考核，规则是①每人进行3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过．已知队员甲投篮1次投中的概率为23，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X 的期望是________．【答案】83【详解】在一轮投篮中，甲通过的概率为12228233339P =⨯⨯+⨯= ，未通过的概率为19.甲3个轮次通过的次数X 服从二项分布X ～83,9B ⎛⎫⎪⎝⎭，由二项分布的期望公式，得E (X )＝3×83＝83故答案为：8316．（2021·浙江省杭州第二中学高三开学考试）某学生在上学路上要经过4人路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯停留的时间都是2分钟，则这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的期望为__________，方差为___________. 【答案】83 329【详解】设变量η为这名学生在上学路上因遇到红灯的次数，则2ξη=，由题意14,3B η⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()14433E η=⨯=，()1284339D η=⨯⨯=，所以()()823E E ξη==，()()3249D D ξη==，故答案为：832;39四、解答题17．（2021·全国高二课时练习）一个袋中装有形状大小完全相同的8个球，其中红球2个，白球6个. （1）不放回地从袋中任取3个球，求恰有1个红球的概率；（2）有放回地每次取1球，直到取到2次红球即停止，求恰好取4次停止的概率；（3）有放回地每次取1球，共取3次，记取到红球的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望. 【答案】（1）1528；（2）27256；（3）分布列答案见解析，数学期望：34. 【详解】解：（1）由题意，从8个球中不放回地取3个球，有3856C =（种）不同的取法，其中恰有1个红球有122630C C ⋅=（种）不同的取法，所以恰有一个红球的概率1226381528C C P C ⋅==. （2）由题意，恰好取4次停止，即前3次中有1次取到红球，且第4次取到红球，有放回地每次取1球，取到红球的概率为2184=，根据独立重复试验的概率计算公式，可得所求概率213111271444256P C ⎛⎫=⋅⋅-⋅= ⎪⎝⎭.（3）随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，则()30312701464P C ξ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭， ()2131127114464P C ξ⎛⎫==⋅⋅-=⎪⎝⎭， ()223119214464P C ξ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()333113464P C ξ⎛⎫===⎪⎝⎭， ξ的分布列如表所示因为13,4B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以数学期望13344E ξ=⨯=.18．（2021·全国高二课时练习）某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客消费每满500元便得到奖券1张，每张奖券的中奖概率为12，且每张奖券是否中奖是相互独立的，若中奖，则商场返回顾客现金100元某顾客现购买单价为2300元的台式电脑一台，得到奖券4张．（1）设4张奖券中中奖的张数为ξ，求ξ的分布列；（2）设该顾客购买台式电脑的实际支出为η（单位：元），用ξ表示η，并求η的数学期望和方差．【答案】（1）答案见解析；（2） 2300100ηξ=-， ()2100E η=，()10000D η=．【详解】解：（1）每张奖券是否中奖是相互独立的，∴14,2B ξ⎛⎫⎪⎝⎭， ∴441()C 2i P i ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭(0,1,2,3,4)i = ∴ξ的分布列为（2）14,2B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，∴()422E ξ=⨯=，()4122D ξ=⨯⨯=．又由题意可知2300100ηξ=-，∴()(2300100)2300100()230010022100E E E ηξξ=-=-=-⨯=，2()100()10000D D ηξ==．19．（2021·全国高二单元测试）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法，从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x ，y 的含量（单位：mg ），已知甲厂生产的产品共有98件，下表是抽取的乙厂的5件产品的测量数据．（2）当产品中微量元素x ，y 满足175x ≥，75y ≥时，该产品为优质品，试估计乙厂生产的优质品的数量；（3）在（2）的条件下，若从乙厂抽出的5件产品中任取3件，求抽取的3件产品中优质品数ξ的分布列．【答案】（1）35m =；（2）14件；（3）分布列见解析. 【详解】（1）设乙厂生产的产品为m 件，依题意得14598m=，所以35m =．（2）由题意，知从乙厂抽取的5件产品中，优质品有2件，所以估计乙厂生产的优质品有235145⨯=（件）．（3）依题意，知ξ的取值为0,1,2，由超几何分布，则()33351010C P C ξ===，()213235315C C P C ξ===，()1232353210C C P C ξ===．所以ξ的分布列为：n 位优秀毕业生(包括x 位女学生，3位男学生)中选派2位学生到某贫困山区的一所中学担任第三批顶岗实习教师.每一位学生被派的机会是相同的. （1）若选派的2位学生中恰有1位女学生的概率为35，试求出n 与x 的值；（2）在（1）的条件下，记X 为选派的2位学生中女学生的人数，写出X 的分布列. 【答案】（1）n ＝5，x ＝2或n ＝6，x ＝3；（2）答案见解析. 【详解】（1）从n 位优秀毕业学生中选派2位学生担任第三批顶岗实习教师的总结果数为2(1)2n n n C -=， 2位学生中恰有1位女生的结果数为()113333n C C n -=-⨯依题意可得13213n n C C C -＝(3)3(1)2n n n -⨯-＝35，化简得n 2－11n ＋30＝0，解得n 1＝5，n 2＝6. 当n ＝5时，x ＝5－3＝2；当n ＝6时，x ＝6－3＝3，故所求的值为n＝5，x＝2或n＝6，x＝3；(2)①当n＝5，x＝2时，X可能的取值为0，1，2，P(X＝0)＝022325C CC＝310，P(X＝1)＝112325C CC＝35，P(X＝2)＝CC2225＝110.故X的分布列为0，1，2.P(X＝0)＝023326C CC＝15，P(X＝1)＝133261C CC＝35，P(X＝2)＝23326C CC＝15.故X的分布列为。

高考培优微专题《超几何分布与二项分布》解析版

高考数学培优微专题《超几何分布与二项分布》【考点辨析】在高考概率题型中，二项分布和超几何分布是两个非常重要的概率模型，它们在解决实际问题中发挥着关键作用。

其中，二项分布描述的是固定次数的独立实验中，成功的次数的概率分布。

而超几何分布则描述的是不返回抽样问题，即从有限的总体中抽取一定数量的样本时，其中含有特定种类的数量的概率分布。

在解题过程中，正确地区分题目条件是否涉及到放回或不放回抽样是解决超几何分布和二项分布问题的关键。

掌握这两个分布的定义、性质和计算方法，对于提高学生的逻辑思维能力和解决复杂问题的能力具有重要意义。

【知识储备】（1）二项分布①背景：每次事件A p事件A1-p连续重复n次事件A发生的次数X~B(n,p)事件A发生的次数Y~B(n,p)②分布列X01⋯k⋯n P C0n p0q n C1n p1q n-1⋯C k n p k q n-k⋯C n n p n q0③数字特征：E(X)=np,D(X)=np(1-p)(2)超几何分布①背景：一次某-类 M另一类 N-M搭配n个某一类的个数X~H(n,N,M)另一类的个数Y~H(n,N,N-M)②分布列：X01⋯k⋯nP C0M C n-kN-MC n N C1M C n-1N-MC n N⋯C k M C n-kN-MC n N⋯C n M C0N-MC n N③数字特征：E(X)=n×MN,D(X)=n×MN×(1-n-1N-1)【例题讲解】类型一：有放回与无放回的区别1.一个袋子里10个大小相同的球，其中有黄球4个，白球6个(1)若从袋中随机摸出3个球作为样本，若有放回的摸球，求恰好摸到2个白球的概率；(2)若从袋中随机摸出3个球作为样本，若不放回的摸球，用X表示样本中白球的个数，求X的分布列和均值．【解析】【答案】解：(1)设恰好摸到2个白球为事件A，则P(A)=C23352⋅25=54125；(2)由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3，由题意可知X服从超几何分布，则P(X=0)=C34C06C310=130，P(X=1)=C24C16C310=310，P(X=2)=C14C26C310=12，P(X=3)=C04C36C310=16，所以X的分布列为：X0 1 2 3 P130 3101216则E(X)=0×130+1×310+2×12+3×16=95.类型二：占比与概率的区别2.某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司可正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为23，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的．(I)求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率；(II)设甲公司答对题数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差；(III)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？【解析】【答案】解：(I)设事件A“甲、乙两家公司共答对2道题”，由题意可知：所求概率P(A)=C14C22C36×C1323 11-232+C24C12C36×1-233=115.(II)设甲公司答对题数为X，则X的取值分别为1，2，3.P(X=1)=C14C22C36=15，P(X=2)=C24C12C36=35，P(X=3)=C34C02C36=15，则X的分布列为：X123P153515∴E(X)=1×15+2×35+3×15=2，D(X)=(1-2)2×15+(2-2)2×35+(3-2)2×15=25. (III)法一：设乙公司答对题数为Y，则Y取值分别为0，1，2，3. P(Y=0)=13 3=127，P(Y=1)=C13×23×13 2=29，P(Y=2)=C23×23 2×13=49，P(Y=3)=23 3=827，则Y的分布列为：Y0123P1272949827∴E(Y)=0×127+1×29+2×49+3×827=2.D (Y )=(0-2)2×127+(1-2)2×29+(2-2)2×49+(3-2)2×827=23.所以E (X )=E (Y )，D (X )<D (Y )，所以甲公司竞标成功的可能性更大．法二：由题知：Y ~B 3,23，∴E (Y )=3×23=2，D (Y )=3×23×13=23，所以E (X )=E (Y )，D (X )<D (Y )，所以甲公司竞标成功的可能性更大．类型三：样本与总体的区别3.某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量(单位：克)重量的分组区间为490,495 、495,500 、⋯、510,515 ,由此得到样本的频率分布直方图，如图所示.(1)根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X 为重量超过505克的产品数量，求X 的分布列及期望；(3)样本估计总体，从流水线上任取5件产品，设Y 为重量超过505克的产品数量，求Y 的期望、方差.【解析】【答案】解：(1)由频率分布直方图得重量超过505克的产品频率为：(0.05+0.01)×5=0.3，∴重量超过505克的产品数量为：0.3×40=12(件).(2)由题意X 的可能取值为0，1，2，P (X =0)=C 228C 240=63130，P (X =1)=C 128C 112C 240=56130=2865，P (X =2)=C 212C 240=11130，∴X 的分布列为：X 0 1 2 P63130286511130随机变量X 的数学期望为E (X )=0×63130+1×2865+2×11130=35；(3)从流水线上任取5件产品服从二项分布：Y 可能取值有0、1、2、3、4、5，超过505克的产品发生的概率为p =0.3，则Y ~B (5,0.3)，Y 的期望E (Y )=5×0.3=1.5，方差D (Y )=5×0.3×0.7=1.05.类型四：一次与多次的区别4.学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．(每次游戏结束后将球放回原箱)(1)求在1次游戏中，①摸出3个白球的概率；②获奖的概率；(2)求在4次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望E (X ).【答案】【答案】(1)①15，②710；(2)分布列见解析，145.【解析】【解析】(1)设“在1次游戏中摸出i 个白球”为事件A i (i =0,1,2,3),①P (A 3)=C 23C 25·C 12C 23=15.②设“在1次游戏中获奖”为事件B ，则B =A 2∪A 3，又P (A 2)=C 23C 25·C 22C 23+C 13C 12C 25·C 12C 23=12,且A 2，A 3互斥，所以P (B )=P (A 2)+P (A 3)=12+15=710.(2)由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，由(1)P (B )=710，P (B )=1-P (B )=310，P (X =0)=P (B ) 4=310 4=8110000，P (X =1)=C 14P (B )P (B ) 3=4×710×310 3=1892500，P (X =2)=C 24P (B ) 2P (B ) 2=6×710 2×310 2=13235000P (X =3)=C 34P (B ) 3P (B )=4×710 3×310=10292500P (X =4)=P (B ) 4=710 4=240110000所以X 的分布列是X 01234P811000018925001323500010292500240110000显然X ~B 4，710 ，所以X 的数学期望E (X )=4×710=145．【解题策略】____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【教考衔接】1.现对某高校16名篮球运动员在多次训练比赛中的得分进行统计，将每位运动员的平均成绩所得数据用频率分布直方图表示如下．(如：落在区间[10，15)内的频率/组距为0.0125)规定分数在[10，20)，[20，30)，[30，40)上的运动员分别为三级篮球运动员、二级篮球运动员、一级篮球运动员，现从这批篮球运动员中利用分层抽样的方法选出16名运动员作为该高校的篮球运动员代表．(1)求a 的值和选出篮球运动员代表中一级运动员的人数；(2)若从篮球运动员代表中选出三人，求其中含有一级运动员人数X 的分布列；(3)若从该校篮球运动员中有放回地选三人，求其中含有一级运动员人数Y 的期望．【答案】【答案】(1)a =0.0250，4人；(2)答案见解析；(3)34.【解析】【解析】(1)由频率分布直方图知：(0.0625+0.0500+0.0375+a +2×0.0125)×5=1，∴a =0.0250.其中为一级运动员的概率为(0.0125+0.0375)×5=0.25，∴选出篮球运动员代表中一级运动员为0.25×16=4人．(2)由已知可得X 的可能取值分别为0，1，2，3，P (X =0)=C 312C 316=1128，P (X =1)=C 212⋅C 14C 316=3370，P (X =2)=C 112⋅C 24C 316=970，P (X =3)=C 34C 316=1140，∴X 的分布列为X 0123P112833709701140(3)由已知得Y ~B 3,14 ，∴E (Y )=np =3×14=34，∴含有一级运动员人数Y 的期望为34.2.甲、乙两名运动员进行羽毛球单打比赛，根据以往比赛胜负情况知道，每一局甲胜的概率为23，乙胜的概率为13.如果比赛采用“五局三胜”(即有一方先胜三局即获胜，比赛结束)规则，设比赛场次为随机变量X ．(1)求乙胜的概率；(2)求随机变量X 的概率分布列及数学期望、方差；．【解析】【答案】解：(1)记“乙获胜”为事件A ，则P A =13 3+C 2313 2×23×13+C 2413 2×23 2×13，即P A =1781，所以乙获胜的概率1781；(2)由题意可知，随机变量X 可以取：3、4、5，所以P X =3 =23 3+13 3=927=13，P X =4 =C 2323 3×13×23+C 2313 2×23 ×13=1027，P X =5 =C 2423 3×13 2×23+C 2413 2×23 2×13=827所以X 的分布列为：X 345P131027827所以随机变量X 的数学期望：E X =3×13+4×1027+5×827=10727；(3)随机变量X 的方差：D X =E (X 2)-(E (X ))2=32×13+42×1027+52×827 -10727 2=44127-10727 2=458729． 3.食品安全问题越来越受到人们的重视.某超市在进某种蔬菜的货前，要求食品安检部门对每箱蔬菜进行三轮各项指标的综合检测，只有三轮检测都合格，该种蔬菜才能在该超市销售.已知每箱这种蔬菜第一轮检测不合格的概率为13，第二轮检测不合格的概率为14，第三轮检测不合格的概率为15，每轮检测只有合格与不合格两种情况，且各轮检测互不影响．(1)求每箱这种蔬菜能在该超市销售的概率;(2)若这种蔬菜能在该超市销售，则每箱可获利200元，若不能在该超市销售，则每箱亏损100元，现有3箱这种蔬菜，求这3箱蔬菜总收益X 的分布列和数学期望．【解析】【答案】解：(1)设每箱这种蔬菜能在该超市销售为事件A ，则P (A )=1-13 ×1-14 ×1-15 =25，即每箱这种蔬菜能在该超市销售的概率为25．(2)X 的所有可能取值为600，300，0，-300．因为P (X =600)=25 3=8125，P (X =300)=C 2325 2×35=36125，P (X =0)=C 13×25×35 2=54125，P (X =-300)=35 3=27125，所以X 的分布列为：X 6003000-300P8125361255412527125所以E (X )=600×8125+300×36125-300×27125=60． 4.体育课程的实施可以有效地促进学生身体的正常发育，提高身体的健康水平．某校对高一年男生进行1000米测试，经对随机抽取的100名学生的成绩数据处理后，得到如下频率分布直方图：(1)从这100名学生中，任意选取2人，求两人测试成绩都低于60分的概率；(2)从该校所有高一年男生中任意选取3人，记70分以上的人数为ξ，求ξ的分布列和期望、方差；【解析】(1)从这100名学生中，任意选取2人，求两人测试成绩都低于60分的概率；(2)从该校所有高一年男生中任意选取3人，记70分以上的人数为ξ，求ξ的分布列和期望、方差；解：(1)设两人测试成绩都低于60分为事件A ，低于60分频率为(0.002+0.001)×10=0.03，所以在100人中有3人低于60分，故P (A )=C 23C 2100=11650,(2)70分以上的频率为1-10×(0.001+0.002+0.017)=0.8,用样本估计总体即100个样本的频率视为高一年男生总体的概率服从二项分布ξ~B (3,0.8),P (ξ=0)=C 03(1-0.8)3=0.008,P (ξ=1)=C 13(1-0.8)2×0.8=0.096,P (ξ=2)=C 23(1-0.8)×0.82=0.384，P (ξ=3)=C 330.83=0.512,故分布列为:ξ0123P0.0080.0960.3840.512E (ξ)=3×0.8=2.4；D (ξ)=3×0.8×(1-0.8)=0.485.2020·浙江台州市·高二期中)2020年五一期间，银泰百货举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元(含600元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球2个，白球1个，黑球7个)的抽奖盒中，一次性摸出3个球其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折.方案二：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.(1)若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；(2)若某顾客消费恰好满1000元，试从概率角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？【答案】【答案】(1)114400；(2)选择第二种方案更合算.【解析】【解析】(1)选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件A，则P A=C22C11C310=1120，所以两位顾客均享受到免单的概率为P=P A⋅P A=1 14400；(2)若选择方案一，设付款金额为X元，则X可能的取值为0、500、700、1000.P X=0=C22C11C310=1120，P X=500=C22C17C310=7120，P X=700=C11C27C310=740，P X=1000=1-1120-7120-740=91120.故X的分布列为，X05007001000P1120712074091120所以E X=0×1120+500×7120+700×740+1000×91120=910(元).若选择方案二，设摸到红球的个数为Y，付款金额为Z，则Z=1000-200Y，由已知可得Y~B3,3 10，故E Y =3×310=910，所以E Z=E1000-200Y=1000-200E Y=820(元).因为E X>E Z，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算.6.某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：等级标准果优质果精品果礼品果个数10304020(1)将频率视为概率，从这100个水果样本中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率.(结果用分数表示)(2)用水果样本中的样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考.方案1：不分类卖出，单价为20元/kg.方案2：分类卖出，分类后的水果售价如下：等级标准果优质果精品果礼品果售价(元/kg)16182224从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？(3)用分层抽样的方法从这100个水果样本中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，X表示抽取的是精品果的数量，求X的分布列及数学期望.【解析】【答案】解：(1)设从100个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的事件为A，则P(A)=20100=15，现有放回地随机抽取4个，设抽到礼品果的个数为Y，则Y~B4,1 5，∴恰好抽到2个礼品果的概率为：P(Y=2)=C241-15215 2=96625;(2)设方案2的单价为ξ，则单价的期望值为：E(ξ)=16×110+18×310+22×410+24×210=20.6，∵E(ξ)>20，∴从采购商的角度考虑，应该采用第一种方案;(3)用分层抽样的方法从100个水果中抽取10个，则其中精品果4个，非精品果6个，现从中抽取3个，则精品果的数量X所有可能的取值为0,1,2,3，则P(X=0)=C36C310=16；P(X=1)=C26C14C310=12；P(X=2)=C16C24C310=310；P(X=3)=C34C310=130，∴X的分布列为：X0123P1612310130∴E(X)=0×16+1×12+2×310+3×130=65.。

二项分布、超几何分布、正态分布总结归纳与练习

二项分布？还是超几何分布二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决．在实际应用中，理解并区分两个概率模型是至关重要的．下面举例进行对比辨析．例 1 袋中有 8 个白球、 2 个黑球，从中随机地连续抽取 3 次，每次取 1 个球．求：（ 1）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列；（ 2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列．解：（ 1）有放回抽样时，取到的黑球数Ｘ可能的取值为０，1， 2， 3．又由于每次取到黑球的概率均为1， 3 次取球可以看成 3 次独立重复试验，则1，．550312∴ P(X 0) C301464 ；P(X 1)C311448 ；551255512521P(X 3) C33130P(X 2) C321412 ；4 1 ．5512555125因此， X 的分布列为X0123P6448121 125125125125（2）不放回抽样时，取到的黑球数Ｙ可能的取值为0， 1，2，且有：P(Y 0)C20C837；P(Y1)C21C827；P(Y2)C22C81 1 ．C10315C10315C10315因此， Y 的分布列为Y012771P151515例 2 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40 件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为(490,495] ， (495,500] ，,, ，(510,515] ，由此得到样本的频率分布直方图，如图4（ 1）根据频率分布直方图，求重量超过505 克的产品数量 ,（ 2）在上述抽取的40 件产品中任取 2 件，设 Y 为重量超过505 克的产品数量，求Y 的分布列；（ 3）从该流水线上任取 5 件产品，求恰有 2 件产品的重量超过505克的概率。

17.解 : (1)重量超过 505克的产品数量是 :40 (0.055+0.01 5)=40 0.3=12.(2)Y 的分布列为 :Y 0 1 2PC 282 C 281 C 121C 122C 402C 402C 402(3)设所取的 5件产品中 , 重量超过 505克的产品件数为随机变量 Y, 则Y B(5, 3),102 3 2 7 33087 从而 P(Y=2)=C 5( 10 )( 10 ) =10000 .即恰有 2件产品的重量超过 505克的概率为3087.10000超几何分布与二项分布特点(A) 判断一个随机变量是否服从超几何分布 , 关键是要看随机变量是否满足超几何分布的特征 :一个总体 ( 共有 N 个) 内含有两种不同的事物 A(M 个) 、 B(N M 个) , 任取 n 个 , 其中恰有 X 个A . 符合该条件的即可断定是超几何分布C M k C N nk M, 按照超几何分布的分布列 P( X k)C N n（ k 0,1,2, , m ）进行处理就可以了 . (B) 二项分布必须同时满足以下两个条件: ①在一次试验中试验结果只有A 与 A 这两个 , 且事件 A 发生的概率为 p , 事件 A 发生的概率为 1 p ；②试验可以独立重复地进行 , 即每次重复做一次试验 , 事件 A 发生的概率都是同一常数 p , 事件 A 发生的概率为 1 p .辨析：通过 2 个例可以看出：有放回抽样时，每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型．而不放回抽样时，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型．因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样．所以，在解有关二项分布和超几何分布问题时，仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的．例 1 与例 2 中的 EX=EY=0.6 注意▲ 超几何分布和二项分布都是离散型分布超几何分布和二项分布的判断方法（ 1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；（ 2）超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取（独立重复）（ 3）当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布。

二项分布与超几何分布 (人教A版2019)(解析版)

二项分布与超几何分布一、单选题1．假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响．若在两次射击中至多命中一次的概率是1625，则该射手每次射击的命中率为 A ．925B ．25C ．35D ．34【试题来源】备战2021年高考数学二轮复习题型专练（新高考专用）【答案】C【分析】设该射手射击命中的概率为p ，两次射击命中的次数为X ，由()()201220161125C p p C p p -+-=可得答案．【解析】设该射手射击命中的概率为p ，两次射击命中的次数为X ，则()2,X B p ，由题可知()()160125P X P X =+==，即()()201220161125C p p C p p -+-=，解得35p =．故选C ． 2．唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中曾写道：“春江潮水连海平，海上明月共潮生．”潮水的涨落和月亮的公转运行有直接的关系，这是一种自然现象．根据历史数据，已知沿海某地在某个季节中每天出现大潮的概率均为23，则该地在该季节内连续三天内，至少有两天出现大潮的概率为A ．2027 B ．89C ．827D ．1318【试题来源】辽宁省名校联盟2020-2021学年高三3月份联合考试【答案】A【分析】利用二项分布的概率公式以及概率的加法公式即可求解．【解析】该地在该季节内连续三天内，至少有两天出现大潮包括两天或三天出现大潮，有两天出现大潮概率为223214339C ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，有三天出现大潮概率为33328327C ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以至少有两天出现大潮的概率为482092727+=，故选A ． 3．某同学上学的路上有4个红绿灯路口，假如他走到每个红绿灯路口遇到绿灯的概率为23，则该同学在上学的路上至少遇到2次绿灯的概率为A ．18 B ．38C ．78D ．89【试题来源】河南省新乡市2021届高三第二次模拟考试【答案】D【分析】由题意，遇绿灯服从二项分布2(4,)3B ，结合互斥事件概率的求法，即可求同学在上学的路上至少遇到2次绿灯的概率．【解析】4次均不是绿灯的概率为040422113)381(C ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭⋅，3次不是绿灯的概率为31422813381C ⎛⎫⨯-⨯= ⎪⎝⎭，所以至少遇到2次绿灯的概率为188181819--=．故选D ． 4．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则{ξ＝5}表示的试验结果是 A ．第5次击中目标B ．第5次未击中目标C ．前4次均未击中目标D ．第4次击中目标【试题来源】【新教材精创】导学案（人教B 版高二选择性必修第二册）【答案】C【分析】根据击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为5ξ=，即可得到答案．【解析】{ξ＝5}表示前4次均未击中，而第5次可能击中，也可能未击中，故选C ． 5．掷一枚均匀的硬币4次，出现正面的次数等于反面次数的概率为A ．38B ．316 C ．516D ．58【试题来源】湖北省武汉外国语学校2020-2021学年高二上学期期末【答案】A【分析】利用二项分布的知识求出答案即可．【解析】出现正面的次数等于反面次数的概率为2224113228C ⎛⎫⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A. 6．国庆节期间，小明在4MP 中下载了两首歌曲：《今天是你的生日》和《我和我的祖国》，他选择的是随机播放的形式，每4分钟变化一次，其中出现《今天是你的生日》的概率为13，出现《我和我的祖国》的概率为23．若在前8次播放中出现《今天是你的生日》有5次、出现《我和我的祖国》有3次，则前2次出现《今天是你的生日》，其余6次可任意出现《今天是你的生日》3次的概率为 A ．8803 B ．7803 C ．81603D ．71603【试题来源】2021届新高考同一套题信息原创卷（一）【答案】C【分析】利用相互独立事件的概率公式和独立重复试验的概率公式求解即可【解析】由题意得，出现《今天是你的生日》的概率为13，出现《我和我的祖国》的概率为23，所以前两次出现《今天是你的生日》的概率为213⎛⎫ ⎪⎝⎭，其余6次出现《今天是你的生日》3次的概率33361233C ⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以所求概率为233368811220816033333P C ⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C ．7．十二生肖作为中国民俗文化的代表，是中国传统文化的精髓，很多人把生肖作为春节的吉祥物，以此来表达对新年的祝福．某课外兴趣小组制作了一个正十二面体模型（如图），并在十二个面分别雕刻了十二生肖的图案，作为春节的吉祥物．2021年春节前，其中2个兴趣小组成员将模型随机抛出，希望能抛出牛的图案朝上（即牛的图案在最上面），2人各抛一次，则恰好出现一次牛的图案朝上的概率为A．112B．143144C．1172D．23144【试题来源】湖南省长郡十五校2021届高三下学期第二次联考【答案】C【分析】由已知得1人抛一次抛出牛的图案朝上的概率是112，由此可求得选项．【解析】因为1人抛一次抛出牛的图案朝上的概率是1 12，所以2人各抛一次，则恰好出现一次牛的图案朝上的概率为1211111C121272P=⨯⨯=，故选C．8．纹样是中国传统文化的重要组成部分，它既代表着中华民族的悠久历史、社会的发展进步，也是世界文化艺术宝库中的巨大财富．小楠从小就对纹样艺术有浓厚的兴趣．收集了如下9枚纹样微章，其中4枚凤纹徽章，5枚龙纹微章．小楠从9枚徽章中任取3枚，则其中至少有一枚凤纹徽章的概率为．A．34B．3742C．2137D．542【试题来源】湖南省长沙市长郡十五校2019-2020学年高三下学期第二次联考【答案】B【分析】本题首先可以确定所有可能事件的数量为39C，然后确定满足“一枚凤纹徽章也没有”的所有可能事件的数目为35C，最后根据“至少有一枚凤纹徽章”的对立事件为“一枚凤纹徽章也没有”即可得出结果．【解析】从9枚纹样微章中选择3枚，所有可能事件的数量为39C ，满足“一枚凤纹徽章也没有”的所有可能事件的数目为35C ，因为“至少有一枚凤纹徽章”的对立事件为“一枚凤纹徽章也没有”，所以3539543371198742C P C ⨯⨯=-=-=⨯⨯，故选B ．【名师点睛】本题考查超几何分布的相关概率计算，考查对立事件的灵活应用，考查推理能力，体现了基础性和综合性，是简单题．9．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X 表示取得次品的个数，则()2P X <等于A ．715 B ．815 C ．1315D ．1415【试题来源】【新教材精创】基础练【答案】D【分析】()()()2==1+=0P X P X P X <，然后算出即可．【解析】()()()112377221010142==1+=0=15C C C P X P X P X C C <+=故选D【名师点睛】本题考查的是利用组合数解决超几何分布的问题，较简单．10．接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施．根据实验数据，人在接种某种病毒疫苗后，有80%不会感染这种病毒，若有4人接种了这种疫苗，则最多1人被感染的概率为A ．512625 B ．256625 C ．113625D ．1625【试题来源】2021年高考数学考前信息必刷卷（新高考地区专用）【答案】A【分析】最多1人被感染即4人没有人感染和4人中恰好有1人被感染，利用独立重复试验的概率和互斥事件的概率求解．【解析】由题得最多1人被感染的概率为041344414256256512()()()555625625C C ++==．故选A【名师点睛】求概率常用的方法：先定性（确定所求的概率是六种概率（古典概型的概率、几何概型的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、独立重复试验的概率、条件概率）的哪一种），再定量．11．在一次“概率”相关的研究性活动中，老师在每个箱子中装了10个小球，其中9个是白球，1个是黑球，用两种方法让同学们来摸球．方法一：在20箱中各任意摸出一个小球；方法二：在10箱中各任意摸出两个小球．将方法一、二至少能摸出一个黑球的概率分别记为1p 和2p ，则A ．12p p =B ．12p p <C ．12p p >D ．以上三种情况都有可能【试题来源】2021年全国新课改地区高三第三次质量监测【答案】B 【分析】分别计算1p 和2p ，再比较大小．【解析】方法一：每箱中的黑球被选中的概率为110，所以至少摸出一个黑球的概率2019110p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．方法二：每箱中的黑球被选中的概率为15，所以至少摸出一个黑球的概率102415p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．10201010124948105105100p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则12p p <．故选B ．【名师点睛】概率计算的不同类型：（1）古典概型、几何概型直接求概率；（2）根据事件间的关系利用概率加法、乘法公式求概率；（3）利用对立事件求概率；（4）判断出特殊的分布列类型，直接套公式求概率．12．某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，下列事件中概率等于67的是A ．至少有1个深度贫困村B ．有1个或2个深度贫困村C ．有2个或3个深度贫困村D ．恰有2个深度贫困村【试题来源】【新教材精创】提高练【答案】B【分析】用X 表示这3个村庄中深度贫困村数，则X 服从超几何分布，故()33437k kC C P X k C -==，分别求得概率，再验证选项．【解析】用X 表示这3个村庄中深度贫困村数，X 服从超几何分布，故()33437k k C C P X k C -==，所以()3043374035C C P X C ===， ()21433718135C C P X C ===，()12433712235C C P X C ===，()0343371335C C P X C ===，()()6127P X P X =+==．故选B 【名师点睛】本题主要考查超几何分布及其应用，属于基础题．二、多选题1．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且他各次射击是否击中目标相互之间没有影响．则下列四个选项中，正确的是 A ．他第3次击中目标的概率是0.9 B ．他恰好击中目标3次的概率是0.93⨯0.1 C ．他至少击中目标1次的概率是1-0.14D ．他恰好有连续2次击中目标的概率为3⨯0.93⨯0.1 【试题来源】【新教材精创】基础练【答案】AC【分析】根据相互独立事件的概念和独立重复试验的概率公式判断．【解析】因为射击一次击中目标的概率是0.9，所以第3次击中目标的概率是0.9，所以A 正确；因为连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，所以本题是一个独立重复试验，根据独立重复试验的公式得到恰好击中目标3次的概率是34C ⨯0.93⨯0.1，所以B 不正确；因为至少击中目标1次的概率是1-0.14，所以C 正确；因为恰好有连续2次击中目标的概率为3⨯0.92⨯0.12，所以D 不正确．故选AC ． 2．若随机变量1(5,)3B ξ，则P (ξ=k )最大时，k 的值可以为A ．1B ．2C ．4D ．5【试题来源】2020-2021学年高二数学单元测试定心卷（人教B 版2019选择性必修第二册）【答案】AB【分析】根据二项分布的概率公式求出各概率后可得最大值．【解析】依题意5512()33kkk P k C ξ-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，k=0，1，2，3，4，5．可以求得P (ξ=0)=32243，P (ξ=1)=80243，P (ξ=2)=80243，P (ξ=3)=40243，P (ξ=4)=10243，P (ξ=5)=1243．故当k=2或1时，P (ξ=k )最大．故选AB ．． 3．为了增加系统的可靠性，人们经常使用“备用冗余设备”(即正在使用的设备出故障时才驱动的设备)．已知某计算机网络的服务器采用的是“一用两备”(即一台正常设备，两台备用设备)的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机的网络就不会断掉，如果三台设备各自能正常工作的概率都为0.9，他们之间相互不影响，则 A ．三台设备中至多一台设备能正常工作的概率为0.027 B ．计算机网络不会断掉的概率为0.999 C ．能正常工作的设备数的数学期望为0.27 D ．能正常工作的设备数的方差为0.27【试题来源】江苏省苏州市工业园区苏附2019-2020学年高二下学期期中【答案】BD【分析】根据相互独立事件的概率计算公式，可得判定A 不正确，B 正确；根据设备正常工作的个数X 服从二项分布(3,0.9)X B ，结合期望和方差的公式，可判定C 不正确，D正确．【解析】由题意，三台设备各自能正常工作的概率都为0.9，且相互独立，则至多一台设备能正常工作的概率为()()23130.90.110.90.028C ⨯⨯+-=，所以A 不正确；计算机网络不会断掉的概率为31(10.9)0.999--=，所以B 正确；根据题意，三台设备正常工作的个数X 服从二项分布(3,0.9)XB ，所以能正常工作的设备数的数学期望为()30.9 2.7E X =⨯=，所以C 不正确；能正常工作的设备数的方差为()30.9(10.9)0.27D X =⨯⨯-=，所以D 正确；故选BD 4．一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是 A ．取出的最大号码X 服从超几何分布 B ．取出的黑球个数Y 服从超几何分布 C ．取出2个白球的概率为114D ．若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为114【试题来源】【新教材精创】提高练【答案】BD【分析】超几何分布取出某个对象的结果数不定，也就是说超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生n 次的试验次数，由此可知取出的最大号码X 不服从超几何分布，取出的黑球个数Y 服从超几何分布；取出2个白球的概率为226441037C C p C ==；对于D ，取出四个黑球的总得分最大，由此求出总得分最大的概率为46410114C P C ==．【解析】一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，对于A，超几何分布取出某个对象的结果数不定，也就是说超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生n 次的试验次数，由此可知取出的最大号码X 不服从超几何分布，故A 错误；对于B ，超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生n 次的试验次数，由此可知取出的黑球个数Y 服从超几何分布，故B 正确；对于C ，取出2个白球的概率为226441037C C p C ==，故C 错误；对于D ，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则取出四个黑球的总得分最大，∴总得分最大的概率为46410114C P C ==，故D 正确．故选BD ．【名师点睛】本题考查命题真假的判断，考查超几何分布、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题． 5．下列说法不正确的是A ．随机变量()~3,0.2XB ，则()20.032P X == B ．随机变量2(,)XN μσ，其中σ越小，曲线越“矮胖”；C ．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件D ．从10个红球和20个白球颜色外完全相同中，一次摸出5个球，则摸到红球的个数服从超几何分布；【试题来源】江苏省镇江市丹阳市吕叔湘中学2020-2021学年高三上学期10月教学调研【答案】ABC【分析】根据题意，结合二项分布，超几何分布，正态分布等依次分析各选项即可得答案．【解析】对于A 选项，由二项分布的概率公式得 ()()22320.20.80.096P X C ==⨯=，故A 选项错误；对于B 选项，正态分布的均数μ决定正态曲线的中心位置；标准差σ决定正态曲线的陡峭或扁平程度．σ越小，曲线越陡峭；σ越大，曲线越扁平．故B 选项错误；对于C 选项，至少有一个黑球包含的基本事件为“一黑一红，两黑”，至少有一个红球包含的基本事件为“一黑一红，两红”，故至少有一个黑球与至少有一个红球不互斥，故C 选项错误；对于D 选项，根据题意，设摸出红球的个数为x ，则()()510205300,1,2,3,4,5k kC C P x k k C -===，故满足超几何分布，故D 选项正确；故选ABC【名师点睛】本题考查正态分布，二项分布，超几何分布，互斥事件等，考查基本概念的掌握与运算，是中档题．本题解题的关键在于熟练掌握正态分布，二项分布，超几何分布的特征及其相关的计算公式，依次讨论即可．三、填空题1．某次投篮测试中，投中2次才能通过测试，通过即停止投篮，且每人最多投3次，已知某同学每次投篮投中的概率为0.7，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为__________．【试题来源】2020-2021学年高一数学单元测试定心卷（人教版必修3）【答案】0.784【分析】根据该同学通过测试是指该同学连续投中两次或前两次投中一次且第三次投中，利用相互独立事件的概率乘法公式，即可求解．【解析】由题意，该同学通过测试是指该同学连续投中两次或前两次投中一次且第三次投中，所以该同学通过测试的概率为2120.70.7(10.7)0.70.784p C =+⋅⨯-⨯=．故答案为0.7842．甲､乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学一次投篮命中的概率为34，乙同学一次投篮命中的概率为23，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲､乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率是__________．【试题来源】天津市和平区2021届高三下学期一模【答案】1112【分析】考虑两个人都不命中的概率，从而可求至少有一个人命中的概率．【解析】两个都不命中的概率为321114312⎛⎫⎛⎫-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故至少有一人命中的概率是1112，故答案为1112． 3．某学生投篮三次，且每次投篮是否命中是相互独立的，每次投篮命中的概率都是23，则该学生只有第三次投篮没投中的概率为__________．【试题来源】普通高等学校招生全国统一考试数学预测卷（一）【答案】427【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式即可求解．【解析】由题知，该学生投篮三次，第一次和第二次都投中，第三次没投中的概率222413327P ⎛⎫⎛⎫=⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为4274．遗爱湖国家湿地公园是黄冈市城市亮丽的名片．2021年元月份以来，来黄冈参观游览的游客络绎不绝，现通过对参观遗爱湖的游客问卷调查，发现每位游客选择继续游玩遗爱湖的概率都是13，不游玩遗爱湖的概率都是23，若不游玩遗爱湖记1分，继续游玩遗爱湖记2分，记已调查过的所有游客累计得分恰为n 分的概率为n a ，则4a ＝__________．【试题来源】【新教材精创】第四章复习与小结 B 提高练【答案】6181【分析】先分析4a 表示累计得4分和它包含的三种情况，再根据独立性进行概率计算即可．【解析】4a 表示累计得4分，包含以下三种情况：调查2人都继续游玩遗爱湖，或者调查4人都不游玩遗爱湖，或者调查3人，其中1人继续游玩遗爱湖，2人都不游玩遗爱湖．故241243122161()()()333381a C =++⨯⨯=．故答案为6181． 5．已知X~B （5，13），则P （32≤X ≤72）=__________．【试题来源】【新教材精创】导学案（人教B 版高二选择性必修第二册）【答案】4081【分析】利用二项分布的概率计算公式即可求解．【解析】P (32≤X ≤72)=P (X=2)+P (X=3)=251(3C )2(23)3+351(3C )3(23)2=4081．故答案为4081 6．假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响．若在两次射击中至多命中一次的概率是1625，则该射手每次射击的命中率为__________．【试题来源】【新教材精创】提高练【答案】35【分析】由题意知，射击命中的次数服从二项分布，直接利用独立重复试验的概率公式求解．【解析】设该射手射击命中的概率为p ，两次射击命中的次数为X ，则()2,X B p ，由题可知()()160125P X P X =+==，即()()201220161125C p p C p p -+-=，解得35p =．故答案为357．随机变量2~19,3B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，则()P k ξ=取最大值时k 的值为__________．【试题来源】湖北省武汉市武钢三中2019-2020学年高二下学期期中【答案】13【分析】利用二项分布的概率表达式，假设()P k ξ=最大建立不等式组，解出k ．【解析】因为随机变量2~19,3B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()19192133k kk P k C ξ-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．由题意得191201191919118119192121333321213333k k k kk k k k k kk k C C C C -----+-+⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，即340317k k ≤⎧⎨≥⎩，又k 取整数，所以k =13．故答案为138．李明参加中央电视台《同一首歌》大会的青年志愿者选拔，在已知备选的10道题中，李明能答对其中的6道，规定考试从备选题中随机地抽出3题进行测试，至少答对2题才能入选．则李明入选的概率为__________．【试题来源】2021学年高中数学新教材人教A 版选择性必修配套提升训练【答案】23【分析】根据超几何分布公式可得答案．【解析】设所选3题中李明能答对的题数为X ，则X 服从参数为10,6,3N M n ===的超几何分布，且364310C C ()(0,1,2,3)C k k P X k k -===，故所求概率为21306464331010C C C C 60202(2)(2)(3)C C 1201203P X P X P X ≥==+==+=+=，故答案为23．【名师点睛】本题考查超几何分布，属于基础题．9．在含有3件次品的20件产品中，任取2件，则取到的次品数恰有1件的概率是______．【试题来源】山东省临沂市2019-2020学年高二（下）期末【答案】51190【分析】先求得正品件数，利用超几何分布公式求解即可．【解析】由题意得20件产品中，有3件次品，17件正品，故任取2件，恰有1件是次品的概率113172203175120191902C C P C ⨯===⨯，故答案为51190【名师点睛】本题考查超几何分布的识别与计算，考查学生对基础知识的掌握程度，属基础题．10．3月5日为“学雷锋纪念日”，某校将举行“弘扬雷锋精神做全面发展一代新人”知识竞赛，某班现从6名女生和3名男生中选出5名学生参赛，要求每人回答一个问题，答对得2分，答错得0分，已知6名女生中有2人不会答所有题目，只能得0分，其余4人可得2分，3名男生每人得2分的概率均为12，现选择2名女生和3名男生，每人答一题，则该班所选队员得分之和为6分的概率__________．【试题来源】2020-2021学年高中数学新教材人教A 版选择性必修配套提升训练【答案】43120【分析】首先对事件进行分类，分成女生0分，男生6分，或女生2分，男生4分，或女生4分，男生2分，女生的概率可以按照超几何概率求解，男生按照独立重复求解概率．【解析】依题意设该班所选队员得分之和为6分记为事件A ，则可分为下列三类：女生得0分男生得6分，设为事件1A ；女生得2分男生得4分，设为事件2A ；女生得4分男生得2分，设为事件3A ，则：()32321326112120C P A C C ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，()211224232611241221205C C P A C C ⎛⎫⎛⎫=⨯== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()22143326111832212020C P A C C ⎛⎫⎛⎫=⨯== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()()()()12343120P A P A P A P A =++=．故答案为43120【名师点睛】本题考查概率的应用问题，重点考查分类讨论，转化与化归的思想，熟练掌握概率类型，属于中档题型．本题的关键是对事件分类．四、解答题1．为调研高中生的作文水平，在某市普通高中的某次联考中，参考的生与生人数之比为1∶4，且成绩分布在[0，60]的范围内，规定分数在50以上(含50)的作文被评为“优秀作文”，按文用分层抽样的方法抽取400人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如图所示．其中，a ，b ，c 构成以2为公比的等比数列．（1）求a ，b ，c 的值；（2）填写上面2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“获得优秀作文”与“学生的文”有关？（3）将上述调查所得的频率视为概率，现从全市参考学生中，任意抽取2名学生，记“获得优秀作文”的学生人数为X ，求X 的分布列及数学期望．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中.n a b c d =+++【试题来源】【高频考点解密】2021年新高考数学二轮复习讲义分层训练【答案】（1）0.005；0.010；0.020；（2）列联表见解析；不能；（3）答案见解析．【分析】（1）由题知(0.0180.0220.025)101a b c +++++⨯=，再结合,,a b c 成等比数列得即可得答案；（2）根据题意完善列联表，求得2K 的观测值 1.316 6.635k ≈<，故不能在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“获得优秀作文”与“学生的文”有关；（3）由题知获得“优秀作文”学生的概率为0.005100.05⨯=，故2,0().05X B ～，再根据二项分布的公式求解即可．【解析】（1）由题意，得(0.0180.0220.025)101a b c +++++⨯=，而,,a b c 构成以2为公比的等比数列，所以(240.0180.0220.025)101a a a +++++⨯=，解得0.005a =．则0.010,0.020b c ==．（2）获得“优秀作文”的人数为4000.0051020⨯⨯=．因为生与生人数之比为1∶4，所以生与生人数分别为80，320. 故完成2×2列联表如下：由表中数据可得2K的观测值2400(63061474) 1.316 6.6352038080320k ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以不能在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“获得优秀作文”与“学生的文”有关．（3）由表中数据可知，抽到获得“优秀作文”学生的概率为0.005100.05⨯= ，将频率视为概率，所以X 可取0,1,2，且2,0().05X B ～．则220,1,211()1()2020kkk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=- ⎪ =⎪⎝⎭⎝⎭=故X 的分布列为故X 的期望为()01240040040010E X ⨯+⨯==⨯+（或()20.050.1E X =⨯=）【名师点睛】本题考查了频率分布直方图、独立性检验、分层抽样、二项分布的概率公式和数学期望公式，考查运算求解能力，属于中档题．本题第三问解题的关键在于由题知获得“优秀作文”学生的概率为0.005100.05⨯=，进而根据二项分布的概率公式求解．2．天文学上用星等表示星体亮度，星等的数值越小，星体越亮．视星等是指观测者用肉眼所看到的星体亮度；绝对星等是假定把恒星放在距地球32.6光年的地方测得的恒星的亮度，反映恒星的真实发光本领．下表列出了（除太阳外）视星等数值最小的10颗最亮恒星的相关数据，其中[]0,1.3a ∈．（1）从表中随机选择一颗恒星，求它的绝对星等的数值小于视星等的数值的概率；（2）已知北京的纬度是北纬40︒，当且仅当一颗恒星的“赤纬”数值大于50-︒时，能在北京的夜空中看到它．现从这10颗恒星中随机选择4颗，记其中能在北京的夜空中看到的数量为X 颗，求X 的分布列和数学期望；（3）记0a =时10颗恒星的视星等的方差为21s ，记 1.3a =时10颗恒星的视星等的方差为22s ，判断21s 与22s 之间的大小关系．（结论不需要证明）【试题来源】北京市西城区2021届高三一模【答案】（1）12；（2）分布列见解析；数学期望为145；（3）2212s s <．【分析】（1）由图表数据可知有5颗恒星绝对星等的数值小于视星等的数值，由古典概型概率公式可计算得到结果；（2）首先确定X 所有可能取值，利用超几何分布概率公式计算可得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望计算公式可得期望；（3）根据数据的波动程度可得方差大小关系．【解析】（1）设一颗星的绝对星等的数值小于视星等的数值为事件A ，由图表可知10颗恒星有5颗恒星绝对星等的数值小于视星等的数值．()51102P A ∴==．（2）由图表知，有7颗恒星的“赤纬”数值大于50-︒，有3颗恒星的“赤纬”数值小于50-︒，则随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4．()137341*********C C P X C ====，()22734103210C C P X C ===，()3173410132C C P X C ===，()3407041146C C P X C ===．∴随机变量X 的分布列为()13111412343010265E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=．（3）结论：2212s s <．理由：当0a =时，视星等的平均数为0.143-；当 1.3a =时，视星等的平均数为0.013-；可知当0a =时，视星等的数值更集中在平均数附近，由此可知其方差更小．【名师点睛】本题第二问考查了服从于超几何分布的随机变量的分布列与数学期望的求解，关键是能够确定随机变量服从于超几何分布，进而利用超几何分布概率公式计算得到每个取值对应的概率．3．每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间(单位：小时)，并将样本数据分成[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]，(12,14]，(14,16]，(16,18]九组，绘制成如图所示的。

二项分布和超几何分布(含答案)讲课教案

二项分布和超几何分布(含答案)超几何分布和二项分布一、两者的定义是不同的1超几何分布的定义2独立重复试验与二项分布的定义(1)独立重复试验．(2)二项分布．本质区别(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，而二项分布描述的是放回抽样问题.(2)超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题；二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率问题.二、两者之间是有联系的人教版新课标选修2-3第59页习题2.2B组第3题：例1某批n件产品的次品率为2%，现从中任意地依次抽出3件进行检验，问：（1）当n=500,5000,500000时，分别以放回和不放回的方式抽取，恰好抽到1件产品的概率各是多少？（2）根据（1）你对超几何分布与二项分布的关系有何认识？【说明】由于数字比较大，可以利用计算机或计算器进行数值计算.另外，本题目也可以帮助学生了解超几何分布和二项分布之间的关系：第一，n次试验中，某一事件A出现的次数X可能服从超几何分布或二项分布.当这n次试验是独立重复试验时，X服从二项分布；当这n次试验是不放回摸球问题，事件A为摸到某种特性（如某种颜色）的球时，X服从超几何分布第二，在不放回n次摸球试验中，摸到某种颜色的次数X服从超几何分布，但是当袋子中的球的数目N 很大时，X的分布列近似于二项分布，并且随着N的增加，这种近似的精度也增加.从以上分析可以看出两者之间的联系：当调查研究的样本容量非常大时，在有放回地抽取与无放回地抽取条件下，计算得到的概率非常接近，可以近似把超几何分布认为是二项分布.例2袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取一个球，求（1）又放回抽样时，取到黑球的个数X的分布列；（2）无放回地抽样时，取到黑球的个数Y的分布列.[错解分析]第二问的选人问题是不放回抽样问题,按照定义先考虑超几何分布,但是题目中又明确给出:“以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，从该社区(人数很多)任选3人”,说明不是从16人中任选3人,而是从该社区(人数很多)任选3人,所以可以近似看作是3次独立重复试验,应该按照二项分布去求解，而不能按照超几何分布去处理.【正解】（1）同上；从以上解题过程中我们还发现，错解中的期望值与正解中的期望值相等，好多学生都觉得不可思议，怎么会出现相同的结果呢？其实这还是由于前面解释过的原因，超几何分布与二项分布是有联系的，看它们的期望公式：综上可知，当提问中涉及“用样本数据来估计总体数据”字样的为二项分布。

专题49 两点分布、二项分布与超几何分布(解析版)

专题49 两点分布、二项分布与超几何分布【考点预测】知识点一．两点分布1、若随机变量X 服从两点分布，即其分布列为其中01p <<(1)P X =称为成功概率．注意：（1）两点分布的试验结果只有两个可能性，且其概率之和为1；（2）两点分布又称01-分布、伯努利分布，其应用十分广泛．2、两点分布的均值与方差：若随机变量X 服从参数为p 的两点分布，则()10(1)p p E X =⨯+⨯-=p ，()(1)p D X p =-．知识点二．n 次独立重复试验 1、定义一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验．注意：独立重复试验的条件：①每次试验在同样条件下进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．2、特点（1）每次试验中，事件发生的概率是相同的；（2）每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例．知识点三．二项分布 1、定义一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，不发生的概率1q p =-，那么事件A 恰好发生k 次的概率是()C k k n kn P X k p q-==（0k =，1，2，…，n ）于是得到X 的分布列()001110C C C C nn n kk n k nn n n n n q p p q p q p q p q --+=+++++各对应项的值，称这样的离散型随机变量X服从参数为n ，p 的二项分布，记作()X B n p ～，，并称p 为成功概率．注意：由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即1n =时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式．2、二项分布的适用范围及本质（1）适用范围：①各次试验中的事件是相互独立的；②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生； ③随机变量是这n 次独立重复试验中事件发生的次数．（2）本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的． 3、二项分布的期望、方差若()X B n p ～,，则()E X np =，)(1)(np p D X =-．知识点四．超几何分布 1、定义在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件}{X k =发生的概率为()k n k M N MnNC C P X k C --==，0k =，1，2，…，m ，其中}{min m M n =，，且n N ≤，M N ≤，n ，M ，*N N ∈，称分布列为超几何分布列．如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布．2（1）适用范围： ①考察对象分两类； ②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数Y 的概率分布．（2）本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的．【方法技巧与总结】超几何分布和二项分布的区别（1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；（2）超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的；而二项分布是“有放回”抽取（独立重复），在每次试验中某一事件发生的概率是相同的. 【题型归纳目录】题型一：两点分布题型二：n 次独立重复试验题型三：二项分布题型四：超几何分布题型五：二项分布与超几何分布的综合应用【典例例题】题型一：两点分布例1．（2022·全国·高三专题练习）.若随机变量ξ的分布列为，其中()0,1m ∈，则下列结果中正确的是XA ．()()3,E m D n ξξ==B ．()()2,E m D n ξξ==C ．()()21,E m D m m ξξ=-=-D ．()()21,E m D m ξξ=-=【答案】C【解析】由离散型随机变量的概率关系可知：1n m =-.则()()()()()222011;01111E m n n m D m m m m m mξξ=⨯+⨯==-⎡⎤⎡⎤=--+---=-⎣⎦⎣⎦.例2．（2022·河北·高三阶段练习）新型冠状病毒肺炎（CoronaVirusDisease 2019，COVID -19），简称“新冠肺炎”，是指2019新型冠状病毒感染导致的肺炎.2019年12月以来，部分医院陆续发现了多例不明原因肺炎病例，证实为2019新型冠状病毒感染引起的急性呼吸道传染病，为防止该病症的扩散与传染，某检测机构在某地区进行新冠病毒疾病调查，需要对其居民血液进行抽样化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结果为阴性，则未患有该疾病.现有(),2n n n +∈≥N 个人，每人一份血液待检验，有如下两种方案：方案一：逐份检验，需要检验n 次；方案二：混合检验，将n 份血液分别取样，混合在一起检验，若检验结果呈阴性，则n 个人都未患有该疾病；若检验结果呈阳性，再对n 份血液逐份检验，此时共需要检验+1n 次. (1)若10n =，且其中两人患有该疾病，①采用方案一，求恰好检验3次就能确定患病两人的概率； ②将这10人平均分成两组，则这两患者分在同一组的概率； (2)已知每个人患该疾病的概率为()01p p <<.（i ）采用方案二，记检验次数为X ，求检验次数X 的期望()E X ；（ii ）若5n =，判断方案一与方案二哪种方案检查的次数更少？并说明理由. 【解析】（1）①根据题意可得：28182121098109845P =⨯⨯+⨯⨯=；②根据题意可得：38510C 419C 2P ==；（2）（i ）根据题意：X 的取值为1，+1n ，()()11n P X p ==-，()()111nP X n p =+=--，所以()()()()1111n nE X p n p ⎡⎤=-++--⎣⎦；（ii ）当5n =时，方案一：检验的次数为5次，方案二：检查的次数期望为()()()551611E X p p ⎡⎤=-+--⎣⎦， ()()()5556515151E X p p ⎡⎤-=---=--⎣⎦，记()()5151g p p =--，因为011p <-<，所以()g p 单调递增，当1p =()0g p =，所以当01p <<时，()0g p <，则()5E X <，当11p <<时，()0g p >，则()5E X >，故当01p <<时，选择方案二；当11p <<时，选择方案一；当1p =. 例3．（2022·全国·高三专题练习）2022年3月，全国大部分省份出现了新冠疫情，对于出现确诊病例的社区，受到了全社会的关注．为了把被感染的人筛查出来，防疫部门决定对全体社区人员筛查核酸检测，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有k 个人，把这k 个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k 个人的血液全为阴性，因而这k 个人只要检验一次就够了；如果为阳性，为了明确这k 个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这k 个人再逐个进行检验．假设在接受检验的人群中，随机抽一人核酸检测呈阳性概率为0.003P =，每个人的检验结果是阳性还是阴性是相互独立的．核酸检测通常有两种分组方式可以选择：方案一：10人一组；方案二：8人一组． (1)分别求出采用方案一和方案二中每组的化验次数的分布列和数学期望； (2)若该社区约有2000人，请你为防疫部门选择一种方案，并说明理由．（参考数据：80.9970.976=，100.9970.970=）【解析】（1）设方案一中每组的化验次数为ξ，则ξ的取值为1，11， ∴10(1)0.9970.970P ξ===，10(11)10.9970.030P ξ==-=， ∴ξ的分布列为：设方案二中每组的化验次数为η，则η的取值为1，9， 8(1)0.9970.976P η===，8(9)10.9970.024P η==-=，∴η的分布列为：（2）根据方案一，该社区化验分组数为200，方案一的化验总次数的期望值为：200()200 1.3260E X =⨯=次．根据方案二，该社区化验分组数为250，方案二的化验总次数的期望为250()250 1.192298E η=⨯=次． ∵260298<，∴方案一工作量更少．故选择方案一．变式1．（2022·全国·高三专题练习）某保险公司针对一个拥有20000人的企业推出一款意外险产品，每位职工每年只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金．保险公司把企业的所有岗位分为A 、B 、C 三类工种，从事三类工种的人数分布比例如图所示，根据历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表所示（并以此估计赔付概率）．A 、B 、C 工种职工每人每年的保费分别为a 元，a 元，b 元，出险后获得的赔偿金额分别为100万元，200万元，50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元． (1)若保险公司要求利润的期望不低于保费的20%，试确定保费a ，b 所要满足的条件．(2)现有如下两个方案供企业选择：方案一、企业不与保险公司合作，企业自行拿出与保险公司赔付金额相同的赔偿金付给出险职工；方案二、企业与保险公司合作，企业负责职工保费的60%，职工个人负责保费的40%，出险后赔偿金由保险公司赔付．若企业选择方案二的支出期望（不包括职工支出）低于选择方案一的，求a ，b 所要满足的条件，并判断企业是否与保险公司合作（若企业选择方案二的支出期望低于方案一，且与（1）中保险公司所提条件不矛盾，则企业与保险公司合作）．【解析】(1)设工种为,,A B C 职工的每份保单保险公司的收益分别为随机变量,,X Y Z ，则随机变量的分布列如下：455()(1)(10010)101010E X a a a =-+-⨯⨯=-， 45522()(1)(10010)201010E Y a a a =-+-⨯⨯=-， 45511()(1)(5010)501010E Z b b b =-+-⨯⨯=-，由题意4(10)200000.6(20)200000.3(50)200000.11010a a c -⨯⨯+-⨯⨯+-⨯⨯-⨯ (200000.6200000.3200000.1)0.2a a b ≥⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯，化简得9275a b +≥．所以每张保单的保费需要满足9275a b +≥；(2)若企业不与保险公司合作，则安全支出即赔偿金的期望值为 44455412120000(0.6100100.3100100.15010)1720000101010⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯，若企业与保险公司合作，则安全支出即赔偿金的期望值为 20000(0.60.30.1)0.6(9)0.0620000a a b a b ⨯⨯+⨯+⨯⨯=+⨯⨯，由(9)0.06200001720000a b +⨯⨯<⨯，得9283.33a b +<，结果与（1）不冲突，所以企业有可能与保险公司合作．变式2．（2022·黑龙江实验中学模拟预测（理））为考察本科生基本学术规范和基本学术素养，某大学决定对各学院本科毕业论文进行抽检，初步方案是本科毕业论文抽检每年进行一次，抽检对象为上一学年度授予学士学位的论文，初评阶段，每篇论文送3位同行专家进行评审，3位专家中有2位以上（含2位）专家评议意见为“不合格”的毕业论文，将认定为“存在问题毕业论文”.3位专家中有1位专家评议意见为“不合格”，将再送2位同行专家（不同于前3位）进行复评.复评阶段，2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”，将认定为“存在问题毕业论文”.每位专家，判定每篇论文“不合格”的概率均为()01p p <<，且各篇毕业论文是否被判定为“不合格”相互独立. (1)若12p =，求每篇毕业论文被认定为“存在问题毕业论文”的概率是多少； (2)学校拟定每篇论文需要复评的评审费用为180元，不需要复评的评审费用为90元，则每篇论文平均评审费用的最大值是多少？【解析】(1)设每篇毕业论文被认定为“存在问题毕业论文”为事件A ，则()()()()223221331111p A p C p p C p p p ⎡⎤=+-+---⎣⎦， 12p =，()2532p A ∴=；(2)设每篇文章的评审费用为X 元，则X 的可能取值为90，180，则()()2131801P X C p p ==-，()()2139011P X C p p ==--； ()()()()222113390111801270190E X C p p C p p p p ⎡⎤∴=⨯--+⨯-=-+⎣⎦.令()()21g p p p =-，()0,1p ∈，则()()()()()2121311g p p p p p p '=---=--.当10,3p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g p '>，()g p 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，当1,13p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g p '<，()g p 在1,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，()g p ∴的最大值为14327g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴每篇论文平均评审费用的最大值是130元.变式3．（2022·安徽·二模（理））某工厂生产某种电子产品，每件产品不合格的概率均为p ，现工厂为提高产品声誉，要求在交付用户前每件产品都通过合格检验，已知该工厂的检验仪器一次最多可检验5件该产品，且每件产品检验合格与否相互独立．若每件产品均检验一次，所需检验费用较多，该工厂提出以下检验方案：将产品每k 个()5k ≤一组进行分组检验，如果某一组产品检验合格，则说明该组内产品均合格，若检验不合格，则说明该组内有不合格产品，再对该组内每一件产品单独进行检验，如此，每一组产品只需检验1次或1k +次．设该工厂生产1000件该产品，记每件产品的平均检验次数为X ．（1）求X 的分布列及其期望；（2）（i ）试说明，当p 越小时，该方案越合理，即所需平均检验次数越少；（ii ）当0.1p =时，求使该方案最合理时k 的值及1000件该产品的平均检验次数．【解析】（1）()11k P X p k ⎛⎫==- ⎪⎝⎭由题，X 的可能取值为 1k 和1k k + ()111k k P X p k +⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，故X 的分布列为()()()()1111111k k kk E X p p p k k k+⎡⎤=-+--=--+⎣⎦ ()()2i 由()1记()()111k f p p k=--+，因为0k >，所以 ()f p 在()0,1p ∈上单调递增，故p 越小，()f p 越小，即所需平均检验次数越少，该方案越合理()ii 记()()11g 1110.9k k k p k k=--+=-+ 当()1g k <且取最小值时，该方案最合理，因为()()1 1.1,20.69g g ==，()()30.604,40.594g g ≈≈，()50.61g ≈ 所以4k =时平均检验次数最少，约为10000.594594⨯=次．题型二：n 次独立重复试验例4．（2022·河北衡水·高三阶段练习）进入2021年以来，国家提倡大学生毕业自主创业，根据已知的调查可知，大学生创业成功与失败的概率分别为a ，b ，且2a b =，则某高校四名大学生毕业后自主创业，其中至少有两名大学生创业成功的概率为（） A ．881B ．89C ．724D ．523【答案】B【解析】由题意21a b a b =⎧⎨+=⎩，解得2313a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则四名大学生至少有两名创业成功的概率341421181C 3339P ⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B ．例5．（2022·全国·模拟预测）某同学随机掷一枚骰子4次，则该同学得到1点或5点的次数超过2次的概率为（） A ．19B ．727C ．827D ．829【答案】A【解析】该同学随机掷一枚骰子，得到1点或5点的概率为13，则该同学掷一枚骰子4次，得到1点或5点的次数超过2次的概率3434441111C 1C 3339P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：A.例6．（2022·全国·高三专题练习）体育课上进行投篮测试，每人投篮3次，至少投中1次则通过测试．某同学每次投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（） A ．0.064 B ．0.600C ．0.784D ．0.936【答案】D【解析】该同学通过测试的概率为310.40.936-=，故选：D变式4．（2022·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）有甲､乙两个盒子，甲盒子中装有2个小球，乙盒子中装有4个小球，每次随机取一个盒子并从中取一个球. (1)求甲盒子中的球被取完时，乙盒子中恰剩下2个球的概率：(2)当其中一个盒子中的球被取完时，记另一个盒子恰剩下ξ个球，则求ξ的分布列与数学期望()E ξ. 【解析】（1）甲盒子中的球被取完时，乙盒子中恰剩下2个球，意味着总共取了四次球，第四次取到的一定是甲盒中的球，前三次中有一次取到甲盒中的球，另外两次取的是乙盒中的球，所以223112213C 216p ⎛⎫== ⎪⨯⨯⎝⎭（2）由题意知：ξ的可能取值为1.2.3.4，当1ξ=时，总共取了5次球，剩余的一个球可能在甲盒子中，也可能在乙盒子中，若剩余的一个球在甲（乙）盒子中，则第5次取到的是乙（甲）盒子中的球，前4次有一次取到甲盒子中的球，另外3次取到乙盒子中的球，所以553344111(1)C C 224P ξ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当2ξ=时，总共取了4次球，剩余的2个球可能在甲盒子中，也可能在乙盒子中，若剩余的2个球在甲盒子中，则4次均取到乙盒子中的球，若剩余的2个球在乙盒子中，则第4次取到甲盒中的球，前3次有1次取到甲盒中的球，有2次取到乙盒子中的球，故444423111(2)C C 224P ξ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当3ξ=时，总共取了3次球，剩余的3个球一定在乙盒子中，第3次一定取到的是甲盒中的球，前2次有1次取到甲盒中的球，有1次取到乙盒子中的球，所以31211(3)C 24P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，当4ξ=时，总共取了2次球，剩余的4个球一定在乙盒子中，前2次均取到甲盒中的球，故22211(4)C 24P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.即ξ的分布列为：计算可得：()2E ξ=变式5．（2022·江苏南通·模拟预测）某校组织围棋比赛，每场比赛采用五局三胜制（一方先胜三局即获胜，比赛结束），比赛采用积分制，积分规则如下：每场比赛中，如果四局及四局以内结束比赛，取胜的一方积3分，负者积0分；五局结束比赛，取胜的一方积2分，负者积1分.已知甲､乙两人比赛，甲每局获胜的概率为12.(1)在一场比赛中，甲的积分为X ，求X 的概率分布列； (2)求甲在参加三场比赛后，积分之和为5分的概率. 【解析】（1）由题意可知，X 可能取值为0，1，2，3 ，当X 0=时，则前三场比赛都输或前三场比赛赢一场且第四场比赛输，则312311115(0)(1)C (1)(1)222216P X ==-+⋅⋅--=，当1X =时，前四场比赛赢两场且第五场比赛输，则22241113(1)C ()(1)(1)22216P X ==⋅⋅-⋅-=；当2X =时，前四场比赛赢两场且第五场比赛赢，则22241113(2)C ()(1)22216P X ==⋅⋅-⋅=，当3X =时，前三场比赛都赢或前三场比赛赢两场且第四场比赛赢，则322311115(3)()C ()(1)222216P X ==+⋅⋅-⋅=，故X 的概率分布列如下：5分为事件A ，则甲的三场比赛积分分别为1、1、3或者0、2、3或者1、2、2，故33335535333333()3A 31616161616161616162048P A =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=，故甲在参加三场比赛后，积分之和为5分为3332048. 变式6．（2022·河北衡水·高三阶段练习）我国出现了新冠疫情后，医护人员一直在探索治疗新冠的有效药，并对确诊患者进行积极救治.现有6位症状相同的确诊患者，分成,A B 两组，A 组3人，服用甲种中药，B 组3人，服用乙种中药.服药一个疗程后，A 组中每人康复的概率都为45，B 组3人康复的概率分别为933,,1044. (1)设事件M 表示A 组中恰好有1人康复，事件N 表示B 组中恰好有1人康复，求()P MN ； (2)求A 组康复人数比B 组康复人数多的概率.【解析】（1）依题意有，()2134412C 155125P M ⎛⎫=⨯⨯-=⎪⎝⎭，()129111133C 1044104432P N =⨯⨯+⨯⨯⨯=，又事件M 与N 相互独立，则()()()1239125321000P MN P M P N ==⨯=；（2）设A 组中服用甲种中药康复的人数为X ，则43,5XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()21341121C 55125P X ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭， ()22314482C 55125P X ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭， ()3334643C 5125P X ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭，设B 组中服用乙种中药康复的人数为Y ，则Y 的可能取值为0,1,2,3，()111101044160P Y ==⨯⨯= ()12911113151C 10441044160P Y ==⨯⨯+⨯⨯⨯=， ()12931133632C 10441044160P Y ==⨯⨯⨯+⨯⨯=， A 组康复人数比B 组康复人数多的概率()()()()()10201P P X P Y P X P Y P Y ⎡⎤==⨯=+=⨯=+=⎣⎦ ()()()()14593012.5000P X P Y P Y P Y ⎡⎤+=⨯=+=+==⎣⎦ 变式7．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）甲、乙两名运动员进行羽毛球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为23，乙胜的概率为13．比赛采用“三局两胜”制，先胜二局者获胜．商定每局比赛（决胜局第三局除外）胜者得3分，败者得1分；决胜局胜者得2分，败者得0分．已知各局比赛相互独立． (1)求比赛结束，甲得6分的概率；(2)设比赛结束，乙得X 分，求随机变量X 的概率分布列与数学期望．【解析】（1）记事件A ：“比赛结束，甲得6分”，则事件A 即为乙以0:2败给甲或乙以1:2败给甲，所以21221224820()+C +=333392727P A ⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭．（2）由题意得，X 可取2,4,6，则224(2)39P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 121228(4)C 33327P X ==⨯⨯⨯=，21212117(6)C 333327P X ⎛⎫==⨯⨯⨯+= ⎪⎝⎭，即X 的分布列为X 的数学期望为()2469272727E X =⨯+⨯+⨯=．变式8．（2022·全国·高三专题练习）“民族要复兴，乡村必振兴”，为了加强乡村振兴宣传工作，让更多的人关注乡村发展，某校举办了有关城乡融合发展、人与自然和谐共生的知识竞赛.比赛分为初赛和复赛两部分，初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次答题机会，选手累计答对3题或答错3题即终止比赛，答对3题者直接进入复赛，答错3题者则被淘汰.已知选手甲答对每个题的概率均为35，且相互间没有影响.(1)求选手甲被淘汰的概率；(2)设选手甲在初赛中答题的个数为X ，试求X 的分布列和数学期望. 【解析】（1）设“选手甲被淘汰”为事件A ，因为甲答对每个题的概率均为35，所以甲答错每个题的概率均为25.则甲答了3题都错，被淘汰的概率为33328C 5125⎛⎫= ⎪⎝⎭；甲答了4个题，前3个1对2错，被淘汰的概率为22323272C 555625⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭；甲答了5个题，前4个2对2错，被淘汰的概率为2224322432C 5553125⎛⎫⎛⎫⋅⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 所以选手甲被海的概率()87243299212562531253125P A =++=. （2）易知X 的可能取值为3，4，5，对应甲被淘汰或进入复赛的答题个数，则()3333333273C C 5525P X ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2222333232322344C C 555555625P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2224322165C 55625P X ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.X 的分布列为则()21625622541 3456255625E X=⨯+⨯+⨯=.【方法技巧与总结】（1）在解复杂的题目时，可利用“正难则反”的思想，通过考查原事件的对立事件来求其概率．（2）运用独立重复试验的概率公式求概率，首先要分析问题中涉及的试验是否为n次独立重复试验，若不符合条件，则不能应用公式求解；在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率．（3）解决这类实际问题往往需把所求的概率的事件分拆为若干个事件，而这每个事件均为独立重复试验．题型三：二项分布例7．（2022·全国·高三专题练习）高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形小木块（如图所示），并且每一排小木块数目都比上一排多一个，一排中各个小木块正好对准上面一排两个相邻小木块的正中央，从入口处放入一个直径略小于两个小木块间隔的小球，当小球从之间的间隙下落时，于是碰到下一排小木块，它将以相等的可能性向左或向右落下，若小球再通过间隙，又碰到下一排小木块.如此继续下去，小球最后落入下方条状的格子内，则小球落到第⑤个格子的概率是（）A．532B．516C．316D．332【答案】A【解析】小球落到第⑤个格子的概率是4151152232 C⎛⎫⨯⨯=⎪⎝⎭.故选：A例8．（2022·全国·高三专题练习）从一个装有4个白球和3个红球的袋子中有放回地取球5次，每次取球1个，记X为取得红球的次数，则()D X=（）A．157B．207C．2521D．6049【答案】D【解析】由题意得：从一个装有4个白球和3个红球的袋子中取出一个球，是红球的概率为33347=+，因为是有放回的取球，所以35,7X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以3360()517749D X ⎛⎫=⨯⨯-=⎪⎝⎭ 故选：D例9．（2022·全国·高三专题练习（理））某综艺节目中，有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方.为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示：10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立.若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能(即概率最大)是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C【解析】根据题意得，1名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率为2011005=，设随机抽取的20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数为ξ，则1~20,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中202014()C 55k kk P k ξ-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,,20k =，当1k时，由()(1)()(1)P k P k P k P k ξξξξ=≥=+⎧⎨=≥=-⎩，得201191202020121120201414C C 55551414C 5555k k k kk k k k k kk k C -+-+----⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，化简得4(1)20214k k k k +≥-⎧⎨-≥⎩，解得162155k ≤≤，又k ∈Z ，∴4k =，∴这20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数最有可能是4. 故选：C.变式9．（2022·全国·高三专题练习（理））为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，有关部门要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为16，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格相互没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元．已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X 元，则()80P X ≥-=（） A ．27128B ．243256C ．43256D ．83128【答案】B【解析】由题意得该产品能销售的概率为113116104⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，易知X 的所有可能取值为﹣320，﹣200，﹣80，40，160，设ξ表示一箱产品中可以销售的件数，则34,4B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()43C 4kk P k ξ⎛⎫==⋅⋅ ⎪⎝⎭414k-⎛⎫⎪⎝⎭，所以()()22243127802C 44128P X P ξ⎛⎫⎛⎫=-==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()31343140(3)44P X P C ξ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2764=，40443181(160)(4)C 44256P X P ξ⎛⎫⎛⎫===== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()()()808040P X P X P X ≥-==-+=+()160P X =， 27278124312864256256=++=，故选：B ．变式10．（2022·全国·高三专题练习）某工厂产品合格的概率均为p ，各产品合格与否相互独立．设X 为该工厂生产的5件商品中合格的数量，其中() 1.2D X =，(2)(3)P X P X =<=，则p =（） A ．0.7 B ．0.6 C ．0.4 D ．0.3【答案】B【解析】由已知X 服从与参数为5，p 的二项分布，∴ ()5(1)D X p p =⨯⨯-，2235(2)(1)P X C p p ==-，3325(3)(1)P X C p p ==-，又() 1.2D X =，(2)(3)P X P X =<=， ∴ (1)0.24p p -=，1p p -<， ∴ 0.6p =，故选：B.变式11．（2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习）某种植户对一块地上的n （*n ∈N ）个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为12，且每粒种子是否发芽相互独立.如果每个坑内至少有两粒种子发芽，则不需要进行补种，否则需要补种.（1）当n 取何值时，有3个坑要补种的概率最大？最大概率为多少？（2）当4n =时，用X 表示要补种的坑的个数，求X 的分布列.【解析】（1）由题意可知每个坑要补种的概率3213311112222P C C ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则n 个坑中有3个坑要补种的概率为312nnC ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 欲使312nn C ⎛⎫ ⎪⎝⎭最大，只需1331133111221122nn n n n n n n C C C C --++⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩ 解得56n ≤≤.因为n *∈N ，所以5n =，6.当5n =时，53515216C ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当6n =时，63615216C ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以当5n =或6n =时，有3个坑要补种的概率最大，最大概率516. （2）易知X 的取值范围为{}0,1,2,3,4，且14,2XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因此4040111(0)2126P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1314111(1)224P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2224113(2)228P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4313111(3)242P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4404111(4)2126P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以X 的分布列为自行车分红、绿两种，投放比例是3∶1．监管部门为了了解这两种颜色电动自行车的性能，决定从中随机抽取4辆电动自行车进行骑行体验，假设每辆电动自行车被抽取的可能性相等． (1)求抽取的4辆电动自行车中至少有3辆是绿色的概率；(2)在骑行体验中，发现红色电动自行车的综合评分较高，监管部门决定从该次投放的这批电动自行车中随机地抽取一辆绿色电动自行车，送技术部门做进一步性能检测，并规定，若抽到的是绿色电动自行车，则抽样结束：若抽取的是红色电动自行车，则将其放回后，继续从中随机地抽取下一辆电动自行车，且规定抽取的次数最多不超过()n n *∈N 次在抽样结束时，设已抽到的红色电动自行车的数量用ξ表示，问：ξ的数学期望能否超过3？【解析】（1）∵抽取一辆电动车为绿色的概率为14∴4辆电动车至少有3辆是绿色的概率3334441313113C C 44416256256⎛⎫⎛⎫=⋅⨯+⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P ．（2）ξ的所有可能取值为0，1，2…，n213131(0),(1),(2),44444⎛⎫====⨯==⨯⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭P P P ξξξ，1313(1),()444n nP n P n ξξ-⎛⎫⎛⎫=-=⨯== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ∴ξ的分布列如下：13333()2(1)44444⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅++-⋅+⋅⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦E n n ξ记213332(1)444-⎛⎫⎛⎫=+⋅++-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n n S n ①∴213333(2)(1)4444-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n nn S n n ②①-②得：2113333(1)44444n nn S n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++--⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()11331443333(1)33(1)344441334n n n n n n n n --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=--⋅=-⋅--⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+⎝⎝=-⎭⎭-∴3()3334⎛⎫=-⋅< ⎪⎝⎭nE ξ，∴ξ的数学期望不能超过3．变式13．（2022·广东·金山中学高三阶段练习）某中学课外实践活动小组在某区域内通过一定的有效调查方式对“北京冬奥会开幕式”当晚的收看情况进行了随机抽样调查．统计发现，通过手机收看的约占12，通过电视收看的约占13，其他为未收看者：(1)从被调查对象中随机选取3人，其中至少有1人通过手机收看的概率；(2)从被调查对象中随机选取3人，用X 表示通过电视收看的人数，求X 的分布列和期望．【解析】（1）记事件A 为至少有1人通过手机收看，由题意知，通过手机收看的概率为12，没有通过手机收看的概率为112-，则()3171128P A ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭；（2）由题意知：13,3XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则X 的可能取值为0，1，2，3，()03031280C 3327P X ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()121312121C 3327P X ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()21231262C 3327P X ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()30331213C 3327P X ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；所以X 的分布列为：所以()313E X ⨯==.变式14．（2022·江苏·新淮高中三模）高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形铁钉（如图），并且每一排钉子数目都比上一排多一个，一排中各个钉子恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央.从入口处放入一个直径略小于两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉.如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球.（Ⅰ）理论上，小球落入4号容器的概率是多少？（Ⅰ）一数学兴趣小组取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球个数为X ，求X 的分布列与数学期望.【解析】（Ⅰ）记“小球落入4号容器”为事件A ，若要小球落入4号容器，则在通过的四层中有三层需要向右，一层向左，∴理论上，小球落入4号容器的概率43411()24P A C ⎛⎫== ⎪⎝⎭.（Ⅰ）落入4号容器的小球个数X 的可能取值为0，1，2，3，。

9道题分清超几何分布和二项分布(含答案)

9道题分清超几何分布和二项分布（含答案）一．解答题（共9小题）1．某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目A，B，C的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用．若甲、乙、丙三人通过A，B，C每个项目测试的概率都是．（1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X，求X的概率分布和数学期望．2．随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化，某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店，5名女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店．（Ⅰ）若从这10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率；（Ⅱ）若从这10名购物者中随机抽取3名，设X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求随机变量X的分布列及数学期望．3．随着全民健康运动的普及，每天一万步已经成为一种健康时尚，某学校为了教职工能够健康工作，在全校范围内倡导“每天一万步”健康走活动，学校界定一人一天走路不足4千步为“健步常人”，不少于16千步为“健步超人”，其他人为“健步达人”，学校随机抽取抽查人36名教职工，其每天的走步情况统计如下：步数[0，4000）[4000，16000）[16000，+∞]人数61812现对抽查的36人采用分层抽样的方式选出6人，从选出的6人中随机抽取2人进行调查．（1）求这两人健步走状况一致的概率；（2）求“健步超人”人数X的分布列与数学期望．4．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，作为国家战略性空间基础设施，我国北斗卫星导航系统不仅对国防安全意义重大，而且在民用领域的精准化应用也越来越广泛．据统计，2016年卫星导航与位置服务产业总产值达到2118亿元，较2015年约增长%．下面是40个城市北斗卫星导航系统与位置服务产业的产值（单位：万元）的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，求产值小于500万元的城市个数；（2）在上述抽取的40个城市中任取2个，设Y为产值不超过500万元的城市个数，求Y的分布列及期望和方差．5．生蚝即牡蛎（oyster）是所有食物中含锌最丰富的，在亚热带、热带沿海都适宜生蚝的养殖，我国分布很广，北起鸭绿江，南至海南岛，沿海皆可产生蚝，生蚝乃软体有壳，衣服寄生的动物，咸淡水交界所产尤为肥美，因此生蚝称为了一年四季不可或缺的一类美食，某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了40只统计质量，得到结果如表所示：质量（g）[5，15）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55]数量 6 10 12 8 4（1）若购进这批生蚝500kg，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量（所得结果保留整数）；（2）以频率估计概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选4个，记质量在[5，25）间的生蚝的个数为X，求X的分布列及数学期望．6．随着我国互联网信息技术的发展，网络购物已经成为许多人消费的一种重要方式，某市为了了解本市市民的网络购物情况，特委托一家网络公示进行了网络问卷调查，并从参与调查的10000名网民中随机抽取了200人进行抽样分析，得到了下表所示数据：经常进行网络购物偶尔或从不进行网络购物合计男性5050100女性6040100合计11090200（1）依据上述数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为该市市民进行网络购物的情况与性别有关（2）现从所抽取的女性网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，从这5人中随机选出3人赠送网络优惠券，求出选出的3人中至少有两人是经常进行网络购物的概率；（3）将频率视为概率，从该市所有的参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼物，记经常进行网络购物的人数为X，求X的期望和方差．附：，其中n=a+b+c+dP（K2≥k0）k07．手机QQ中的“QQ运动”具有这样的功能，不仅可以看自己每天的运动步数，还可以看到朋友圈里好友的步数．小明的QQ朋友圈里有大量好友参与了“QQ运动”，他随机选取了其中30名，其中男女各15名，记录了他们某一天的走路步数，统计数据如表所示：步数性别（0，2500）[2500，5000）[5000，7500）[7500，10000）[10000，+∞）男02472女13731（Ⅰ）以样本估计总体，视样本频率为概率，在小明QQ朋友圈里的男性好友中任意选取3名，其中走路步数低于7500步的有X名，求X的分布列和数学期望；（Ⅱ）如果某人一天的走路步数超过7500步，此人将被“QQ运动”评定为“积极型”，否则为“消极型”．根据题意完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关积极型消极型总计男女总计附：．P（K2≥k0）k08．某企业2017年招聘员工，其中A、B、C、D、E五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：岗位男性应聘人数男性录用人数男性录用比例女性应聘人数女性录用人数女性录用比例A26916762%402460%B401230%2026231%C1775732%1845932%D442659%382258%E3267%3267%总计53326450%46716936%（Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率；（Ⅱ）从应聘E岗位的6人中随机选择2人．记X为这2人中被录用的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）表中A、B、C、D、E各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）9．在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1：3，且成绩分布在[40，100]，分数在80以上（含80）的同学获奖．按文理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（见图）．（1）填写下面的2×2列联表，能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”（2）将上述调査所得的频率视为概率，现从参赛学生中，任意抽取3名学生，记“获奖”学生人数为X，求X的分布列及数学期望．文科生理科生合计获奖5不获奖合计200附表及公式：K2=，其中n=a+b+c+dP（K2≥k）k9道题分清超几何分布和二项分布参考答案与试题解析一．解答题（共9小题）1．某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目A，B，C的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用．若甲、乙、丙三人通过A，B，C每个项目测试的概率都是．（1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X，求X的概率分布和数学期望．【分析】（1）利用二项分布计算甲恰好有2次发生的概率；（2）由每人被录用的概率值，求出随机变量X的概率分布，计算数学期望值．【解答】解：（1）甲恰好通过两个项目测试的概率为；……（4分）（2）因为每人可被录用的概率为，所以，，，；故随机变量X的概率分布表为：X0123P…………（8分）所以，X的数学期望为．……（10分）【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望问题，是基础题．2．随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化，某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店，5名女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店．（Ⅰ）若从这10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率；（Ⅱ）若从这10名购物者中随机抽取3名，设X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求随机变量X的分布列及数学期望．【分析】（Ⅰ）设“至少1名倾向于选择实体店”为事件A，则表示事件“随机抽取2名，（其中男、女各一名）都选择网购”，则P（A）=1﹣P．（Ⅱ）X的取值为0，1，2，3．P（X=k）=，即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设“至少1名倾向于选择实体店”为事件A，则表示事件“随机抽取2名，（其中男、女各一名）都选择网购”，则P（A）=1﹣P=1﹣=．（Ⅱ）X的取值为0，1，2，3．P（X=k）=，P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=．X的分布列为：X0123PE（X）=0×+1×+2×+3×=．【点评】本题考查了对立与互相独立事件概率计算公式、超几何分布列与数学期望、组合计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．随着全民健康运动的普及，每天一万步已经成为一种健康时尚，某学校为了教职工能够健康工作，在全校范围内倡导“每天一万步”健康走活动，学校界定一人一天走路不足4千步为“健步常人”，不少于16千步为“健步超人”，其他人为“健步达人”，学校随机抽取抽查人36名教职工，其每天的走步情况统计如下：步数[0，4000）[4000，16000）[16000，+∞]人数61812现对抽查的36人采用分层抽样的方式选出6人，从选出的6人中随机抽取2人进行调查．（1）求这两人健步走状况一致的概率；（2）求“健步超人”人数X的分布列与数学期望．【分析】（1）记事件A，这2人健步走状况一致，利用互斥事件概率计算公式能求出这两人健步走状况一致的概率．（2）X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）记事件A，这2人健步走状况一致，则．（2）X的可能取值为0，1，2，所以，所以X的分布列为X 0 1 2P所以．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查互斥事件概率计算公式、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．4．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，作为国家战略性空间基础设施，我国北斗卫星导航系统不仅对国防安全意义重大，而且在民用领域的精准化应用也越来越广泛．据统计，2016年卫星导航与位置服务产业总产值达到2118亿元，较2015年约增长%．下面是40个城市北斗卫星导航系统与位置服务产业的产值（单位：万元）的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，求产值小于500万元的城市个数；（2）在上述抽取的40个城市中任取2个，设Y为产值不超过500万元的城市个数，求Y的分布列及期望和方差．【分析】（1）根据频率分布直方图，能求出产值小于500万元的城市个数．（2）由Y的所有可能取值为0，1，2．分别滶出相应的概率，由此能求出Y的分布列及期望和方差．【解答】解：（1）根据频率分布直方图可知，产值小于500万元的城市个数为：[（+）×5]×40=14．（2）Y的所有可能取值为0，1，2．，，．∴Y的分布列为：Y012P期望为：，方差为：．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布、期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．5．生蚝即牡蛎（oyster）是所有食物中含锌最丰富的，在亚热带、热带沿海都适宜生蚝的养殖，我国分布很广，北起鸭绿江，南至海南岛，沿海皆可产生蚝，生蚝乃软体有壳，衣服寄生的动物，咸淡水交界所产尤为肥美，因此生蚝称为了一年四季不可或缺的一类美食，某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了40只统计质量，得到结果如表所示：质量（g）[5，15）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55]数量 6 10 12 8 4（1）若购进这批生蚝500kg，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量（所得结果保留整数）；（2）以频率估计概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选4个，记质量在[5，25）间的生蚝的个数为X，求X的分布列及数学期望．【分析】（1）估算妹纸生蚝的质量为，由此能估计这批生蚝的数量．（2）任意挑选一只，质量在[5，25）间的概率为，X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）由表中的数据可以估算妹纸生蚝的质量为：，所以购进500kg，生蚝的数量为500000÷≈17554（只）．（2）由表中数据知，任意挑选一只，质量在[5，25）间的概率为，X的可能取值为0，1，2，3，4，则，，∴X的分布列为：X 0 1 2 3 4P∴．【点评】本题考查概率的求法及应用，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查排列组合、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．6．随着我国互联网信息技术的发展，网络购物已经成为许多人消费的一种重要方式，某市为了了解本市市民的网络购物情况，特委托一家网络公示进行了网络问卷调查，并从参与调查的10000名网民中随机抽取了200人进行抽样分析，得到了下表所示数据：经常进行网络偶尔或从不进行网络合计购物购物男性5050100女性6040100合计11090200（1）依据上述数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为该市市民进行网络购物的情况与性别有关（2）现从所抽取的女性网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，从这5人中随机选出3人赠送网络优惠券，求出选出的3人中至少有两人是经常进行网络购物的概率；（3）将频率视为概率，从该市所有的参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼物，记经常进行网络购物的人数为X，求X的期望和方差．附：，其中n=a+b+c+dP（K2≥k0）k0【分析】（1）由列联表数据求出K2≈＜，从而不能在犯错误的概率不超过的前提下认为该市市民网购情况与性别有关．（2）由题意，抽取的5名女性网民中，经常进行网购的有3人，偶尔或从不进行网购的有2人，由此能求出从这5人中选出3人至少有2人经常进行网购的概率．（3）由列联表可知，经常进行网购的频率为，由题意，从该市市民中任意抽取1人恰好是经常进行网购的概率是，由于该市市民数量很大，故可以认为X～B（10，），由此能求出X的期望和方差．【解答】解：（1）由列联表数据计算K2=≈＜，∴不能在犯错误的概率不超过的前提下认为该市市民网购情况与性别有关．（2）由题意，抽取的5名女性网民中，经常进行网购的有5×=3人，偶尔或从不进行网购的有5×=2人，故从这5人中选出3人至少有2人经常进行网购的概率是p=+=．（3）由列联表可知，经常进行网购的频率为，由题意，从该市市民中任意抽取1人恰好是经常进行网购的概率是，由于该市市民数量很大，故可以认为X～B（10，），∴E（X）=，D（X）==．【点评】本题考查独立性检验及应用，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．7．手机QQ中的“QQ运动”具有这样的功能，不仅可以看自己每天的运动步数，还可以看到朋友圈里好友的步数．小明的QQ朋友圈里有大量好友参与了“QQ运动”，他随机选取了其中30名，其中男女各15名，记录了他们某一天的走路步数，统计数据如表所示：步数性别（0，2500）[2500，5000）[5000，7500）[7500，10000）[10000，+∞）男02472女13731（Ⅰ）以样本估计总体，视样本频率为概率，在小明QQ朋友圈里的男性好友中任意选取3名，其中走路步数低于7500步的有X名，求X的分布列和数学期望；（Ⅱ）如果某人一天的走路步数超过7500步，此人将被“QQ运动”评定为“积极型”，否则为“消极型”．根据题意完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关积极型消极型总计男女总计附：．P（K2≥k0）k0【分析】（Ⅰ）在小明的男性好友中任意选取1名，其中走路步数低于7500的概率为．X可能取值分别为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．（Ⅱ）完成2×2列联表求出k2的观测值k0≈＜．据此判断没有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关．【解答】解：（Ⅰ）在小明的男性好友中任意选取1名，其中走路步数低于7500的概率为．X可能取值分别为0，1，2，3，∴，，，，∴X的分布列为X0123P则．（Ⅱ）完成2×2列联表如下：积极型消极型总计男9615女41115总计131730k2的观测值=．据此判断没有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查独立检验的应用，考查古典概型、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．8．某企业2017年招聘员工，其中A、B、C、D、E五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：岗位男性应聘人数男性录用人数男性录用比例女性应聘人数女性录用人数女性录用比例A26916762%402460%B401230%2026231%C1775732%1845932%D442659%382258%E3267%3267%总计53326450%46716936%（Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率；（Ⅱ）从应聘E岗位的6人中随机选择2人．记X为这2人中被录用的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）表中A、B、C、D、E各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）【分析】（I）根据录用总人数与应聘总人数的比值得出概率；（II）根据超几何分布列的概率公式得出分布列和数学期望；（III）去掉一个岗位后计算剩余4个岗位的男女总录用比例得出结论．【解答】解：（Ⅰ）因为表中所有应聘人员总数为533+467=1000，被该企业录用的人数为264+169=433，所以从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为．（Ⅱ）X可能的取值为0，1，2．因为应聘E岗位的6人中，被录用的有4人，未被录用的有2人，所以；；．所以X 的分布列为：X012P．（Ⅲ）取掉A岗位后，男性的总录用比例为≈%，女性的总录用比例为≈%，故去掉A岗位后，男、女总录用比例接近．∴这四种岗位是：B、C、D、E．【点评】本题考查了古典概型的概率计算，离散型随机变量的分布列，属于中档题．9．在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1：3，且成绩分布在[40，100]，分数在80以上（含80）的同学获奖．按文理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（见图）．（1）填写下面的2×2列联表，能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”（2）将上述调査所得的频率视为概率，现从参赛学生中，任意抽取3名学生，记“获奖”学生人数为X，求X的分布列及数学期望．文科生理科生合计获奖5不获奖合计200附表及公式：K2=，其中n=a+b+c+dP（K2≥k）k【分析】（1）列出表格根据公式计算出K2，参考表格即可得出结论．（2）由表中数据可知，抽到获奖同学的概率为，将频率视为概率，所以X可取0，1，2，3，且X～B（3，）．即可得出．【解答】解：（1）文科生理科生合计获奖53540不获奖45115160合计50150200k==≈＞，所以有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”．（2）由表中数据可知，抽到获奖同学的概率为，将频率视为概率，所以X可取0，1，2，3，且X～B（3，）．P（X=k）=×（）k（1﹣）3﹣k（k=0，1，2，3），X0123PE（X）=3×=．【点评】本题考查了独立性检验原理、二项分布列的概率计算公式与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

2023 届高考数学复习：历年经典好题专项(二项分布与超几何分布、正态分布)练习(附答案)

广,发明了“三系法”籼型杂交水稻,成功研究出“两系法”杂交水稻,创建了超级杂交稻技术体系,为我国
粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献.某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的
(-100)
1
e- 200
10√2π
株高,得出株高 X(单位:cm)服从正态分布,其密度曲线函数为 f(x)=
法正确的是(
4
5
率为 ,则连续测试 4 次,至少有 3 256
625
64
625
B.
C.
)
D.
64
125
3.从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛,设随机变量 ξ 表示所选 3 人中女生的人数,则
P(ξ≤1)等于
A.
(
1
5
2
5
3
5
B.
C.
D.
)
4
5
4.(历年福建福州高三检测)某市一次高三年级数学统测,经抽样分析,成绩 X 近似服从正态分布
)
A.该地水稻的平均株高为 100 cm
B.该地水稻株高的方差为 10
2
,x∈(-∞,+∞),则下列说
C.随机测量一株水稻,其株高在 120 cm 以上的概率比株高在 70 cm 以下的概率大
D.随机测量一株水稻,其株高在(80,90)和在(100,110)(单位:cm)的概率一样大
8.设事件 A 在每次试验中发生的概率相同,且在三次独立重复试验中,若事件 A 至少发生一次的概率
到样本的频率分布直方图,如图所示.
(1)根据频率分布直方图,求质量超过 500 克的产品数量;
(2)在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件,设 Y 为质量超过 505 克的产品数量,求 Y 的分布列.

考点20 超几何分布与二项分布(新高考地区专用)(解析版)

考点20 超几何分布与二项分布一．分布列1．离散型随机变量的分布列(1)随着试验结果变化而变化的变量叫做随机变量．所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量． (2)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则称表为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列，具有如下性质： ①p i ≥0，i ＝1,2，…，n ；①p 1＋p 2＋…＋p i ＋…＋p n ＝1.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．二．两点分布如果随机变量X 的分布列为其中0<p <1，则称离散型随机变量X ＝1)称为成功概率．三．超几何分布1.概念：一般地，设有N 件产品，其中有M (M ≤N )件次品．从中任取n (n ≤N )件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N(k ＝0,1,2，…，m )．即其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ①N *.如果一个随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布． 2.特征（1）超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数（2）考察对象分两类（3）已知各类对象的个数（4）从中抽取若干个个体，考查某类个体数X 的概率分布.,超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的知识理解小球等概率模型，其实质是古典概型四．独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数．设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记为X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率．五．条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号P (B |A )来表示，其公式为P (B |A )＝P ABP A(P (A )>0)．在古典概型中，若用n (A )表示事件A 中基本事件的个数，则P (B |A )＝n ABn A .(2)条件概率具有的性质①0≤P (B |A )≤1；①如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ①C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )．考向一离散型随机变量的分布列的性质【例1】（1）（2020·全国高三专题练习）随机变量X 的分布列如表：X124P12ab若()2E X =，则()D X =（） A ．32B ．43C ．54D ．65（2）（2021·浙江高三）已知随机变量X 的分布列是X123P1213a则()2E X a +=（）考向分析A ．53B ．73C ．72D ．236【答案】（1）A （2）C【解析】（1）由分布列的性质以及期望公式可得()1242212E X a b a b ⎧=++=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得14a b ==.()()()()22211131222422442D X =-+-+-=.故选：A. （2）由分布列的性质可得11123a ++=，得16a =，所以，()11151232363E X =⨯+⨯+⨯=，因此，()()11517222266362E X a E X E X ⎛⎫+=+=+=⨯+= ⎪⎝⎭.故选：C.【方法总结】1．随机变量是否服从超几何分布的判断若随机变量X 服从超几何分布，则满足如下条件：(1)该试验是不放回地抽取n 次；(2)随机变量X 表示抽取到的次品件数(或类似事件)，反之亦然． 2.离散型随机变量分布列的求解步骤三．若Y ＝aX ＋b ，其中a ，b 是常数，X 是随机变量，则 (1)E (k )＝k ，D (k )＝0，其中k 为常数； (2)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，D (aX ＋b )＝a 2D (X )； (3)E (X 1＋X 2)＝E (X 1)＋E (X 2)； (4)D (X )＝E (X 2)－(E (X ))2；(5)若X 1，X 2相互独立，则E (X 1·X 2)＝E (X 1)·E (X 2)；(6)若X ～N (μ，σ2)，则X 的均值与方差分别为：E (X )＝μ，D (X )＝σ2.【举一反三】1．（2020·全国高三专题练习）随机变量X 的分布列如下，()14P X ≤＜的值为（）A ．0.6B ．0.7C ．0.8D ．0.9【答案】C【解析】随机变量X 的分布列知：10.10.20.30.10.3x =----=，()()()()14123P X P P P ≤<=++0.20.30.3=++0.8=．故选：C ．2．（2020·全国高三专题练习）随机变量ξ的分布列如表所示，若1()E X =-，则(31)D X +=（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】根据题意，可知：112a b ++=，则12a b +=，()13E X =-，即：1123b -+=-，解得：16b =，13a ∴=，()22211111151013233369X D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+⨯++⨯++⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()59959(31)D D X X ==⨯+=，∴5(31)D X +=.故选：B. 3．（2020·全国高三专题练习）若随机变量X 的分布列为则a 的值为（）A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.4【答案】B【解析】由题意可得，0.231a a ++=，解得0.2a =.故选：B.4．（2020·浙江高三其他模拟）随机变量X 的分布列如下表，已知()122P x ≤=，则当b 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭内增大时（）A ．()E X 递减，()D X 递减B ．()E X 递增，()D X 递减C ．()E X 递减，()D X 递增 D ．()E X 递增，()D X 递增【答案】B【解析】因为()122P x ≤=，所以12a b +=，12c =，所以()232E X a b c b =++=+，所以当b 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内增大时，()E X 递增；所以()()()()2222115122232224D X a b b b b b ⎛⎫=-++-++-+=-++⎡⎤⎡⎤⎡⎤ ⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭，所以当b 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内增大时，()D X 递减.故选：B.考向二超几何分布【例2】（2020·全国高三）“花开疫散，山河无恙，心怀感恩，学子归来，行而不缀，未来可期”，为感谢全国人民对武汉的支持，今年樱花节武汉大学在其属下的艺术学院和文学院分别招募8名和12名志愿者参与网络云直播.将这20名志愿者的身高编成如下茎叶图(单位：厘米).若身高在175cm 及其以上定义为“高个子”，否则定义为“非高个子”，且只有文学院的“高个子”才能担任兼职主持人.（1）根据志愿者的身高茎叶图指出文学院志愿者身高的中位数.（2）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，则从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少；（3）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“兼职主持人”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望.【答案】（1）168.5cm ；（2）710；（3）分布列见解析，98. 【解析】（1）根据志愿者的身高茎叶图知文学院志愿者身高为：158,159,161,162,165,168,169,173,174,176,180,181，其升高的中位数为：168169168.52+=cm ；（2）由茎叶图可知，“高个子”有8人，“非高个子”有12人， ∴按照分层抽样抽取的5人中“高个子”为85220⨯=人，“非高个子”为125320⨯=人，则从这5人中选2人，至少有1人为高个子的概率23257110C P C =-=；（3）由题可知：文学院的高个子只有3人，则ξ的可能取值为0、1、2、3，故305338105(0)5628C C P C ξ⋅====，2153383015(1)5628C C P C ξ⋅====， 12533815(2)56C C P C ξ⋅===，0353381(3)56C C P C ξ⋅===，即ξ的分布列为：所以19()0123282856568E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 【举一反三】1．（2021·全国高三专题练习）为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘制成折线图如下:(1)已知该校有400名学生，试估计全校学生中，每天学习不足4小时的人数；(2)若从学习时间不少于4小时的学生中选取4人，设选取的男生人数为X ，求随机变量X 的分布列及均值E (X );(3)试比较男生学习时间的方差21s 与女生学习时间的方差22s 的大小.(只需写出结论) 【答案】（1）240人；（2）分布列见解析，2；（3）2212s s >.【解析】(1)由折线图可得共抽取了20人，其中男生中学习时间不足4小时的有8人，女生中学习时间不足4小时的有4人.故可估计全校学生中每天学习时间不足4小时的人数为400×1220=240. (2)学习时间不少于4小时的学生共8人，其中男生人数为4，故X 的所有可能取值为0，1，2，3，4. 由题意可得P (X=0)=4448170C C =，P (X=1)=1344481687035C C C ==， P (X=2)=22444836187035C C C ==， P (X=3)=3144481687035C C C ==， P (X=4)=4448170C C =.所以随机变量X 的分布列为 ∴均值E (X )=0×170+1×835+2×1835+3×835+4×170=2.(3)由折线图可得2212s s >.2．（2020·全国高三专题练习）为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名五年级学生进行了问卷调查得到如下列联表(平均每天喝500mL 以上为常喝，体重超过50kg 为肥胖)：已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为415. （1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否在犯错误概率不超过0.005的前提下认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？请说明你的理由；（3）若常喝碳酸饮料且肥胖的学生中有2名女生，现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中抽取2人参加电视节目，设正好抽到的女生为X 名，求随机变量X 的分布列与期望.参考数据：(参考公式：22()()()()()n ad bc K a b a c c d b d -=++++，其中n a b c d =+++)【答案】（1）答案见解析；（2）在犯错误概率不超过0.005的前提下认为肥胖与常喝碳酸饮料有关；理由见解析；（3）答案见解析.【解析】(1)设常喝碳酸饮料肥胖的学生有x人，则243015x +=，解得6x =，填表如下：(2)由已知数据可求得：2230(61824)8.5237.8791020822K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因此在犯错误概率不超过0.005的前提下认为肥胖与常喝碳酸饮料有关； (3)依题意，常喝碳酸饮料的肥胖者男生有4名，女生有2名，随机变量X 的取值分别为0、1、2，∴0224262(0)5C C P X C ⋅===， 1124268(1)15C C P X C ⋅===， 2024261(2)15C C P X C ⋅===，则随机变量X 的分布列为：因此随机变量X的期望2812 ()0121515153E X=⨯+⨯+⨯=.3．（2020·全国高三）巴西世界杯足球赛正在如火如荼进行．某人为了了解我校学生“通过电视收看世界杯”是否与性别有关，从全校学生中随机抽取30名学生进行了问卷调查，得到了如下列联表：已知在这30名同学中随机抽取1人，抽到“通过电视收看世界杯”的学生的概率是8 15．（1）请将上面的列联表补充完整，并据此资料分析“通过电视收看世界杯”与性别是否有关？（2）若从这30名同学中的男同学中随机抽取2人参加一活动，记“通过电视收看世界杯”人数为X，求X 的分布列和均值．附：参考公式：22()()()()()n ad bcKa b a c c d b d-=++++，n a b c d=+++．【答案】（1）填表见解析；没有充足的理由认为“通过电视收看世界杯”与性别有关；（2）分布列见解析；均值为54．【解析】（1）设“通过电视收看世界杯”的女生为x人，则1083015x+=，解得6x=，由已知数据得：2230(10866) 1.158 3.84116141614K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，∴没有充足的理由认为“通过电视收看世界杯”与性别有关；（2）X 可能取值为0、1、2，则：262161(0)8C P X C ===，116102161(1)2C C P X C ===， 2102163(2)8C P X C ===，∴X 的分布列为：X 的均值为：()0128284E X =⨯+⨯+⨯=．考向三条件概率【例3】（2020·四川省新津中学高三开学考试）长春气象台统计，7月15日净月区下雨的概率为415，刮风的概率为215，既刮风又下雨的概率为110，设事件A 为下雨，事件B 为刮风，那么()|P A B =（）A ．12B ．34C ．25D ．38【答案】B【解析】由题意，可知421(),(),()151510P A P B P AB ===，利用条件概率的计算公式，可得1()310(|)2()415P AB P A B P B ===，故选B.【举一反三】1．（2020·江苏省溧阳中学高三开学考试）甲、乙、丙、丁四名同学分别从篮球、足球、排球、羽毛球四种球类项目中选择一项进行活动，记事件A 为“四名同学所选项目各不相同”，事件B 为“只有甲同学选羽毛球”，则()|P A B =（）A ．89B ．29C ．38D ．34【答案】B【解析】事件AB ：甲选羽毛球且四名同学所选项目各不相同，所以其它3名同学排列在其它3个项目，且互不相同为33A ，事件B ：甲选羽毛球，所以其它3名同学排列在其它3个项目，可以安排在相同项目为33，()()()3343424|394A P AB P A B P B ===.故选：B（2）（2020·四川眉山市·仁寿一中高三月考）现从4名男医生和3名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用A 表示事件“抽到的两名医生性别相同”，B 表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则()P B A =（） A ．13B ．47C ．23D ．34【答案】A【解析】由已知得22432793()217C C P A C +===,232731()217C P AB C ===，则()P B A =1()173()37P AB P A ==，故选：A 3．（2020·黑龙江大庆市·大庆实验中学高三开学考试）2020年初，我国派出医疗小组奔赴相关国家，现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和有4个需要援助的国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家，设事件A ＝“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B ＝“小组甲独自去一个国家”，则P （A |B ）＝（） A ．29B ．13C ．49D ．59【答案】A【解析】由题意444()4A P A =，()()P AB P A =，3443()4P B ⨯=， ∴44434()24(|)43()94A P AB P A B P B ===⨯．故选：A ． 4．（2020·黑龙江牡丹江市·牡丹江一中高三开学考试）一个不透明的袋子中，放有大小相同的5个小球，其中3个黑球，2个白球，如果不放回的依次取出2个球.在第一次取出的是黑球的条件下，第二次取出的是白球的概率是（） A ．12B ．310C ．35D ．25【答案】A【解析】第一次取出黑球后，剩余4个球，其中2个白球，所以第二次取出的是白球的概率是2142=.故选：A.考向四二项分布【例4】（2020·全国高三专题练习）某高三毕业班甲、乙两名同学在连续的8次数学周练中，统计解答题失分的茎叶图如图：（1）比较这两名同学8次周练解答题失分的平均数和方差的大小，并判断哪位同学做解答题相对稳定些；（2）以上述数据统计甲、乙两名同学失分超过15分的频率作为概率，假设甲、乙两名同学在同一次周练中失分多少互不影响，预测在接下来的2次周练中，甲、乙两名同学失分均超过15分的次数X的分布列和均值．【答案】（1）甲、乙两名同学解答题失分的平均数相等；甲同学解答题失分的方差比乙同学解答题失分的方差大，乙同学做解答题相对稳定些；（2）分布列见解析，38. 【解析】（1） 1=8x 甲(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15， 1=8x 乙(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，21=8s 甲 [(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75，21=8s 乙[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25.甲、乙两名同学解答题失分的平均数相等；甲同学解答题失分的方差比乙同学解答题失分的方差大．所以乙同学做解答题相对稳定些．（2）根据统计结果，在一次周练中，甲和乙失分超过15分的概率分别为P 1＝38，P 2＝12，两人失分均超过15分的概率为P 1P 2＝316， X 的所有可能取值为0，1，2.依题意，32,16XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ()22313,0,1,21616kkk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则X 的分布列为X 的均值E (X )＝2168⨯=. 【举一反三】1．（2020·全国高三专题练习）为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有40人，不超过100km/h 的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有20人，不超过100km/h 的有25人.（1）在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过100km/h 的人中随机抽取2人，求这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员的概率；（2）以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车平均车速超过100km/h 且为男性驾驶员的车辆为X ，求X 的分布列. 【答案】（1）2552；（2）分布列答案见解析. 【解析】（1）平均车速不超过100km/h 的驾驶员有40人，从中随机抽取2人的方法总数为240C ，记“这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员”为事件A ，则事件A 所包含的基本事件数为111525C C ⋅，所以所求的概率()1115252402552C C P A C ==. （2）根据样本估计总体的思想，从总体中任取1辆车，平均车速超过100km/h 且为男性驾驶员的概率为4021005=，故2(3,)5X B .所以()03032327055125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()12132354155125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2232336255125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3033238355125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以X 的分布列为2．（2020·全国高三专题练习）某学校用“10分制”调查本校学生对教师教学的满意度，现从学生中随机抽取16名，以茎叶图记录了他们对该校教师教学满意度的分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：（1）若教学满意度不低于9.5分，则称该生对教师的教学满意度为“极满意”．求从这16人中随机选取3人，至少有1人是“极满意”的概率；（2）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校所有学生中(学生人数很多)任选3人，记X 表示抽到“极满意”的人数，求X 的分布列及数学期望．【答案】（1）1728；（2）分布列见解析，()34E X =.【解析】（1）16人中满意的有4人，不满意的有12人，设i A 表示所抽取的3人中有i 个人是“极满意”，至少有1人是“极满意”记为事件A ，则抽出的3人都不满意的概率为()31203161128C P A C ==，所以()()01117112828P A P A =-=-=，（2）X 的所有可能取值为0,1,2,316人中满意的有4人，不满意的有12人，随机抽取一人极满意的概率为41164=，所以13,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以()33270464P X ⎛⎫===⎪⎝⎭，()213132714464P X C ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭， ()22313924464P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()333113464P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭.所以X 的分布列为所以()1236464644E X =⨯+⨯+⨯=.3．（2020·凯里市第三中学高三月考）北京是历史悠久的千年古都，现在是中国的政治、经济、文化等多领域的中心，历史文化积淀深厚，自然人文景观丰富，科学技术发达，教育资源众多，成为当代绝大多数人的理想向往之地．凯里市为了将来更好的推进“研学游学”项目来丰富中学生的课余生活，帮助中学生树立崇高理想，更好地实现人生价值．为了更好了解学生的喜好情况，某组织负责人把项目分为历史人文游、科技体验游、自然风光游三种类型，并在全市中学中随机抽取10所学校学生意向选择喜好类型，统计如下：在这10所中小学中，随机抽取了3所学校，并以统计的频率代替学校选择研学游学意向类型的概率（假设每所学校在选择研学游学类型时仅能选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响）．（1）若这3所学校选择的研学游学类型是历史人文游、自然风光游，求这两种都有学校选择的概率；（2）设这3所学校中选择科技体验游学校的随机数X ，求X 的分布列与数学期望．【答案】（1）18125；（2）分布列见解析，6()5E X =．【解析】（1）由题设学校选择历史人文游、科技体验游、自然风光游的概率分别为()P A 、()P B 、(C)P ，则易知2()5P A =，2()5P B =，1()5P C =，所以这3所学校选择的研学游学类型是历史人文游、自然风光游的概率为1222133()()()()P C P A P C C P A P C =⋅+⋅1222332121()()5555C C =+61218125125125=+=；（2）由题知这3所学校中选择科技体验游学校的概率为2()5P B =，选择非科技体验游学校的概率为2213()()555P P A P C =+=+=，所以X 的所有可能值有：0，1，2，3，则03033232327(0)()()()55125P X C P B P C ====，1121123232354(1)()()()55125P X C P B P C ====，2212213232336(2)()()()55125P X C P B P C ====，330330323238(3)()()()55125P X C P B P C ====，所以X 的分布列如下：所以X 的数学期望为86()01231251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．1．（2020·全国高三专题练习）已知随机变量X 的分布列如下：若随机变量Y 满足31Y X =-，则Y 的方差()D Y =（）A ．1B ．2C ．3D ．9【答案】D【解析】由分布列的性质，可得11132a ++=，解得16a =，则()1110121326E X =⨯+⨯+⨯=，所以()()()()2221110111311326D X =-⨯+-⨯+-⨯=，又因为31Y X =-，所以()()23919D Y D X =⨯=⨯=.故选：D.2．（2020·全国高三专题练习）随机变量ξ的分布列如下：强化练习其中a ，b ，c 成等差数列，则D ξ的最大值为（） A ．23B ．59C ．29D ．34【答案】A【解析】因为a ，b ，c 成等差数列，122b a c,a b c 1,b ,c a,33∴=+++=∴==-2E ξa c 2a 3∴=-+=-+，2222222D ξ12a a 2a b 12a a 3333⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-⨯+-⨯++-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22821224a a 439333a ⎛⎫=-++=--+≤ ⎪⎝⎭.则D ξ的最大值为233．（2020·全国高三专题练习）已知ξ的分布列为设25ηξ=-，则()E η=（） A ．12B ．13C ．23D ．32【答案】C【解析】由分布列的性质可得：1111663m +++=，解得13m =所以()111117123466336E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=因为25ηξ=-，所以()()172252563E E ηξ=-=⨯-=故选：C 4．（2020·内蒙古包头市·高三二模）X 表示某足球队在2次点球中射进的球数，X 的分布列如下表，若()1E X =，则()D X =（）A ．3B ．2C ．4 D ．3【答案】D【解析】由()1E X =，可得1()01213E X a b =⨯+⨯+⨯=①，又由113a b ++=②，由①和②可得，13a =，13b =，所以，2221112()(01)(11)(21)3333D X =⨯-+⨯-+⨯-=故选：D 5．（2020·全国高三专题练习）某射手射击所得环数ξ的分布列如下：已知ξ的数学期望()8.9E ξ=，则y 的值为（）A ．0.8B ．0.6C ．0.4D ．0.2【答案】C【解析】由表格可知：0.10.31780.190.3108.9x y x y +++=⎧⎨+⨯+⨯+⨯=⎩ ，解得0.4y =.故选：C ．6．（2020·全国高三专题练习）某小组有5名男生、3名女生，从中任选3名同学参加活动，若X 表示选出女生的人数，则()2P X ≥=（） A ．17B ．1556C ．27D ．57【答案】C【解析】当2X =时，()12533815256C C P X C ===；当3X =时，()33381356C P X C ===，则()()()151222356567P X P X P X ≥==+==+=，故选：C.7．（2020·莆田第二十五中学高三期中）2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域.现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率为（） A ．49B ．427C ．1927D ．48125【答案】A【解析】由题意知，有3名学生且每位学生选择互不影响，从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项，5项成果均属于芯片领域，则：芯片领域被选的概率为：51153=；不被选的概率为：12133-=；而选择芯片领域的人数{0,1,2,3}X =，∴X 服从二项分布1~3(,3)X B ，3321()()()33nnn P X n C -==，那么恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率为123214(1)()()339P X C ===. 故选：A.8．（2020·全国高三专题练习）一个盒子中装有6个完全相同的小球，将它们进行编号，号码分別为1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取2个小球，将其编号之和记为S .在已知S 为偶数的情况下，S 能被3整除的概率为（） A ．14B ．13C ．512D ．23【答案】B【解析】记“S 能被3整除”为事件A ，“S 为偶数”为事件B ，事件B 包括的基本事件有{1}3，，{1}5，，{3}5，，{24}，，{26}，，{46}，共6个. 事件AB 包括的基本事件有{1}5，、{24}，共2个.则()21(|)()63n AB P A B n B ===，故选:B . 9．（2020·全国高三专题练习）袋中有5个球（3个白球，2个黑球）现每次取一球，无放回抽取2次，则在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为（）A ．3/5B ．3/4C ．1/2D ．3/10【答案】C【解析】记事件A 为“第一次取到白球”，事件B 为“第二次取到白球”，则事件AB 为“两次都取到白球”，依题意知3()5P A =，3263()542010P AB =⨯==，所以，在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是3110()325P B A ==．故选：C.10．（2020·全国高三专题练习）甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询这三个项目，每人限报其中一项，记事件A 为“恰有2名同学所报项目相同”，事件B 为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，则()|P B A =（）A ．16B ．13C ．23D ．56【答案】A【解析】事件AB 为“4名同学所报项目恰有2名同学所报项目相同且只有甲同学一人报关怀老人项目”.()2143421439C C P A ⨯⨯== , ()21324112327C C P AB ⨯⨯==所以()()()2127|469P AB P B A P A ===故选：A 11．（2020·浙江高三专题练习）已知随机变量X 的分布列如表，且()4(1)E X P X =，则a b +=__，()E X 的取值范围为__.【答案】12 6[5，3]2【解析】由概率之和等于1可得12a b +=，由1()22E X a b =++，可知1242a b a ++，即1132()22a a --，解得310a ，又0a ，故3010a .又13()222E X a b a =++=-，∴63()52E X ，故答案为：12，6[5，3]212．（2020·全国高三专题练习）随机变量ξ的分布列如表格所示，0ab ≠，则14a b+的最小值为______．【答案】9【解析】根据概率分布得1a b +=，且0,0a b >>，14144()()559b a a b a b a b a b ∴+=++=++≥+= 当且仅当223b a ==时取等号即14a b+的最小值为9 故答案为：913．（2020·全国高三专题练习）小赵､小钱､小孙､小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“4个人去的景点不相同”，事件B 为“小赵独自去一个景点”，则()P A B =________. 【答案】29【解析】小赵独自去一个景点共有4333108⨯⨯⨯=种情况，即()108n B =，4个人去的景点不同的情况有4424A =种，即()24n AB =，所以()()242()1089n AB P A B n B ===.故答案为：29. 14．（2020·全国高三其他模拟）伟大出自平凡，英雄来自人民.在疫情防控一线，北京某大学学生会自发从学生会6名男生和8名女生骨干成员中选出2人作为队长率领他们加入武汉社区服务队，用A 表示事件“抽到的2名队长性别相同”，B 表示事件“抽到的2名队长都是男生”，则()|P B A =______.【答案】1543【解析】由已知得()22682144391C C P A C +==，()262141591C P AB C ==，则()()()151591|434391P AB P B A P A ===. 故答案为：154315．（2020·全国高三专题练习）夏､秋两季，生活在长江口外浅海域的中华鱼洄游到长江，历经三千多公里的溯流搏击，回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长到15厘米左右，又携带它们旅居外海.一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15，雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05，若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为_________. 【答案】13【解析】解析设事件A 为鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域长成熟，事件B 为该雌性个体成功溯流产卵繁殖，由题意可知()0.15P A =，()0.05P AB =，()0.051(|)()0.153P AB P B A P A ===. 故答案为：13. 16．（2020·全国高三）一个袋中装有大小相同的5个白球和3个红球，现在不放回的取2次球，每次取出一个球，记“第1次拿出的是白球”为事件A ，“第2次拿出的是白球”为事件B ，则()P B A 是________【答案】47【解析】由题可知：()()5545=,88714P A P AB ⨯==⨯所以()()()47P AB P B A P A ==故答案为：4717．（2020·四川省内江市第六中学高三）某校组织甲、乙、丙、丁、戊、己等6名学生参加演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为__________．【答案】14【解析】设事件A ：“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”；事件B ：“学生丙第一个出场”，对事件A ，甲和乙都不是第一个出场，第一类：乙在最后，则优先从中间4个位置中选一个给甲，再将余下的4个人全排列有1444C A ⋅种；第二类：乙没有在最后，则优先从中间4个位置中选两个给甲乙，再将余下的4个人全排列有2444A A ⋅种，故总的有()14244444n A C A A A =⋅+⋅.对事件AB ，此时丙第一个出场，优先从除了甲以外的4人中选一人安排在最后，再将余下的4人全排列有1444C A ⋅种故()()()14441424444414n AB C A P B A n A C A A A ⋅===⋅+⋅. 故答案为：1418．（2020·浙江高三其他模拟）随机变量X 分布列如下表，则a =______；()E X =______.【答案】2； 1；【解析】23224a a +=，∴12a =，∴()1110121424E X =⨯+⨯+⨯=.故答案为：12；1.19．（2020·全国高三专题练习）已知随机变量ξ的分布列如下：则a =___，方差()=D ξ___．【答案】12 1116【解析】由题意可得22112201012a a a a⎧++=⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎩，解得12a =，()112P ξ==，()124P ξ==，()134P ξ==，()11171232444E ξ=⨯+⨯+⨯=，()2221717171112324444416D ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，综上，12a =，()1116D ξ=. 故答案为：12；1116.20．（2020·四川内江市·高三一模）网购是当前民众购物的新方式，某公司为改进营销方式，随机调查了100名市民，统计其周平均网购的次数，并整理得到如下的频数分布直方图.这100名市民中，年龄不超过40岁的有65人，将所抽样本中周平均网购次数不小于4次的市民称为网购迷，且已知其中有5名市民的年龄超过40岁.（1）根据已知条件完成下面的22⨯列联表，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为网购迷与年龄不超过40岁有关？（2）若从网购迷中任意选取2名，求其中年龄超过40岁的市民人数ξ的分布列.(附：()()()()()22n ad bc k a b c d a c b d -=++++)【答案】（1）列联表答案见解析，可以在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为网购迷与年龄不超过40岁有关；（2）分布列答案见解析. 【解析】（1）由题意可得列联表如下：根据列联表中的数据可得，()2100203045565352575k ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯1003 3.297 2.706137⨯=≈>⨯所以可以在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为网购迷与年龄不超过40岁有关；（2）由频率分布直方图可知，网购迷共有25名，由题意得年龄超过40岁的市民人数ξ的所有值为0，1，2，则()22022519030C P C ξ===，()11205225113C C P C ξ===，()252251230C P C ξ===∴ξ的分布列为21．（2020·全国高三专题练习）我国城市空气污染指数范围及相应的空气质量类别如下表：我们把空气污染指数在0～100内的称为A 类天，在101～200内的称为B 类天，大于200的称为C 类天．某市从2014年全年空气污染指数的监测数据中随机抽取了18天的数据制成如下茎叶图(百位为茎)：（1）从这18天中任取3天，求至少含2个A 类天的概率；（2）从这18天中任取3天，记X 是达到A 类天或B 类天的天数，求X 的分布列．【答案】（1）23408；（2）分布列见解析. 【解析】（1）从这18天中任取3天，取法种数为318816C =种不同的取法，其中3天中至少有2个A 类天的取法种数为213315346C C C +=种，所以这3天至少有2个A 类天的概率为4623816408P ==. （2）X 的所有可能取值是3,2,1,0，当3X =时，()3831873102C P X C ===,当2X =时，()21810318352102C C P X C ===, 当1X =时，()1281031815134C C P X C ===,当X 0=时，()3103185034C P X C ===, 所以X 的分布列为22．（2020·全国高三专题练习）2020年五一期间，银泰百货举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元(含600元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球2个，白球1个，黑球7个)的抽奖盒中，一次性摸出3个球其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折.方案二：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？【答案】（1）114400；（2）选择第二种方案更合算.【解析】（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件A ，则()21213101120C C P A C ==，所以两位顾客均享受到免单的概率为()()114400P P A P A =⋅=；（2）若选择方案一，设付款金额为X 元，则X 可能的取值为0、500、700、1000.()212131010120C C P X C ===，()21273107500120C C P X C ===， ()1217310770040C C P X C ===，()177911000112012040120P X ==---=.故X 的分布列为，所以()0500700100091012012040120E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（元）. 若选择方案二，设摸到红球的个数为Y ，付款金额为Z ，则1000200Z Y =-，由已知可得3~3,10Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，故()3931010E Y =⨯=，。

考点36 超几何分布与二项分布(讲解)(解析版)

考点36 超几何分布与二项分布【思维导图】【常见考法】考点一超几何分布1．在中华人民共和国成立70周年之际，《我和我的祖国》、《中国机长》、《攀登者》三大主旋律大片在国庆期间集体上映，拉开国庆档电影大幕．据统计《我和我的祖国》票房收入为31.71亿元，《中国机长》票房收人为29.12亿元，《攀登者》票房收入为10.98亿元．已知国庆过后某城市文化局统计得知大量市民至少观看了一部国庆档大片，在已观影的市民中随机抽取了100进行调查，其中观看了《我和我的祖国》的有49人，观看了《中国机长》的有46人，观看了《攀登者》的有34人，统计图如下．（1）计算图中,,a b c 的值；（2）文化局从只观看了两部大片的观众中采用分层抽样的方法抽取了7人，进行观影体验的访谈，了解到他们均表示要观看第三部电影，现从这7人中随机选出4人，用X 表示这4人中将要观看《我和我的祖国》的人数，求X 的分布列及数学期望．【答案】（1）9a =，6b =，6c =；（2）分布列见解析，8()7E X =.【解析】（1）由题意可得274463044918434a b a c b c +++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩，解得966a c b =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以9a =，6b =，6c =；（2）记“同时观看了《中国机长》和《我和我的祖国》”的为A 组，共9人； “同时观看了《中国机长》和《攀登者》”为B 组，共6人； “同时观看《我和我的祖国》和《攀登者》”为C 组，共6人；所以按分层抽样，,,A B C 组被抽取的人数分别为79321⨯=、76221⨯=、76221⨯=；在被抽取的7人中，没有观看《我和我的祖国》的有2人，∴0,1,2X =，则45471(0)7C P X C ===，1325474(1)7C C P X C ===，2225472(2)7C C P X C ===，所以X 的分布列如下：∴X 的数学期望()0127777E X =⨯+⨯+⨯=．2．在一次运动会上，某单位派出了由6名主力队员和5名替补队员组成的代表队参加比赛.（1）如果随机抽派5名队员上场比赛，将主力队员参加比赛的人数记为X ，求随机变量X 的数学期望；（2）若主力队员中有2名队员在练习比赛中受轻伤，不宜同时上场；替补队员中有2名队员身材相对矮小，也不宜同时上场，那么为了场上参加比赛的5名队员中至少有3名主力队员，教练员有多少种组队方案？【答案】(1)3011；(2)1?91 【解析】（1）由题可知X 服从超几何分布，X 的可取值为0,1,2,3,4,5，故可得()5551110462C P X C ===；()1465511305146277C C P X C ⋅====； ()236551115025246277C C P X C ⋅====；()326551120030346211C C P X C ⋅====； ()416551175254462154C C P X C ⋅====；()5651161546277C P X C ====. 故()52510025112345777723115477E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=630231. （2）要满足题意，则可以是3名主力2名替补；4名主力1名替补；5名主力.若是3名主力2名替补，则共有()()312211424323144C C C C C C +⋅⋅+⋅=种；若是4名主力1名替补，则共有()4131424545C C C C +⋅⋅=种；若是5名主力，则共有41422C C ⋅=种；故要满足题意，共有144452191++=种出场方式.3．为了减少雾霾，还城市一片蓝天，某市政府于12月4日到12月31日在主城区实行车辆限号出行政策，鼓励民众不开车低碳出行，某甲乙两个单位各有200名员工，为了了解员工低碳出行的情况，统计了12月5日到12月14日共10天的低碳出行的人数，画出茎叶图如下：（1）若甲单位数据的平均数是122，求x ；（2）现从如图的数据中任取4天的数据（甲、乙两单位中各取2天），记其中甲、乙两单位员工低碳出行人数不低于130人的天数为1ζ，2ζ，令12=ηζζ+，求η的分布列和期望.【答案】(1)8；(2)答案见解析.【解析】（1）由题意()10510711311511912612013213414112210x ++++++++++=，解得8x =．（2）由题意知，随机变量η的所有可能取值有0,1,2,3,4.()227622101070;45C C p C C η=== ()112736221010911;225C C C p C C η===()222211113674736422101012;3C C C C C C C C p C C η++=== ()211112364734221010223;225C C C C C C p C C η+=== ()223422101024;225C C p C C η===η∴的分布列为：∴()012344522532252255E η=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．考点二二项分布1．一个袋中装有大小形状相同的标号为1，2，3，4，5，6的6个小球，某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回袋中）记下标号，若拿出球的标号是奇数，则得1分，否则得0分. （1）求拿2次得分不小于1分的概率；（2）拿4次所得分数ξ的分布列和数学期望()E ξ【答案】（1）34；（2）分布列见解析；期望为2. 【解析】(1)一次拿到奇数的概率3162P ==，所以拿2次得分为0分的概率为2021124C ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 所以拿2次得分不小于1分的概率为2021*******C ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭（2）ξ可以取值：0，1，2，3，4所以()404121601C P ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭==()13141112124C P ξ⎛⎫⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==()22241132228C P ξ⎛⎫⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭== ()31341112324C P ξ⎛⎫⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==()404411122164P C ξ⎛⎫⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭== 分布列满足二项分布概率1~42B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1()=4=22E ξ∴⨯2．2019年春节期间，某超市准备举办一次有奖促销活动，若顾客一次消费达到400元则可参加一次抽奖活动，超市设计了两种抽奖方案.方案一：一个不透明的盒子中装有30个质地均匀且大小相同的小球，其中10个红球，20个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得60元的返金券，若抽到白球则获得20元的返金券，且顾客有放回地抽取3次.方案二：一个不透明的盒子中装有30个质地均匀且大小相同的小球，其中10个红球，20个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得80元的返金券，若抽到白球则未中奖，且顾客有放回地抽取3次.（1）现有两位顾客均获得抽奖机会，且都按方案一抽奖，试求这两位顾客均获得180元返金券的概率；（2）若某顾客获得抽奖机会.①试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得返金券的数学期望；②为了吸引顾客消费，让顾客获得更多金额的返金券，该超市应选择哪一种抽奖方案进行促销活动？【答案】(1)1729(2)①10080元，元②第一种抽奖方案. 【解析】（1）选择方案一，则每一次摸到红球的概率为101303p == 设“每位顾客获得180元返金劵”为事件A ，则()33311327P A C ⎛⎫== ⎪⎝⎭所以两位顾客均获得180元返金劵的概率()()1729P P A P A =⋅=（2）①若选择抽奖方案一，则每一次摸到红球的概率为13，每一次摸到白球的概率为23. 设获得返金劵金额为X 元，则X 可能的取值为60，100，140，180.则()3032860327P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭； ()1213124100339P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()223122140339P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()33311180327P X C ⎛⎫===⎪⎝⎭. 所以选择抽奖方案一，该顾客获得返金劵金额的数学期望为()842160100140180100279927E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（元）若选择抽奖方案二，设三次摸球的过程中，摸到红球的次数为Y ，最终获得返金劵的金额为Z 元，则13,3Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，故()1313E Y =⨯=所以选择抽奖方案二，该顾客获得返金劵金额的数学期望为()()8080E Z E Y ==（元）.②即()()E X E Z >，所以该超市应选择第一种抽奖方案3．某工厂的某种产品成箱包装，每箱20件，每一箱产品在交付用户时，用户要对该箱中部分产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为()01p p <<，且各件产品是否合格相互独立.（1）记某一箱20件产品中恰有2件不合格品的概率为()f p ，()f p 取最大值时对应的产品为不合格品概率为0p ，求0p ；（2）现从某一箱产品中抽取3件产品进行检验，以（1）中确定的0p 作为p 的值，已知每件产品的检验费用为10元，若检验出不合格品，则工厂要对每件不合格品支付30元的赔偿费用，检验费用与赔偿费用的和记为X ，求X 的分布列和数学期望. 【答案】（1）0110p =；（2）分布列见解析；()39E X =. 【解析】（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率()()1822201f p C p p =⋅⋅-，()()()()1817222202021181f p C p p C p p '∴=⋅⋅-+⋅⋅--()()()()171722222020121181220C p p p p C p p p ⎡⎤=---=--⎣⎦，令()0f p '=，又01p <<，解得：110p =， ∴当10,10p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f p '>；当1,110p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f p '<；()f p ∴在10,10⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,110⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，∴当110p =时，()f p 取得最大值，即0110p =.（2）由题意得：X 所有可能的取值为：30，60，90，120，()331729301101000P X C ⎛⎫∴==-= ⎪⎝⎭；()2131124360110101000P X C ⎛⎫==⨯⨯-=⎪⎝⎭； ()223112790*********P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()33311120101000P X C ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭； X ∴的分布列为：∴数学期望()306090120391000100010001000E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 考点三超几何与二项分布综合运用1．某市政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，居民用水原则上以住宅为单位（一套住宅为一户）.为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了10户居民的月用水量（单位：吨），得到统计表如下：（1）若用水量不超过12吨时，按4元/吨计算水费；若用水量超过12吨且不超过16吨时，超过12吨部分按5元/吨计算水费；若用水量超过16吨时，超过16吨部分按7元/吨计算水费.试计算：若某居民用水17吨，则应交水费多少元？（2）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯水量的户数的分布列与期望；（3）用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到k 户月用水量为第一阶梯的可能性最大，求k 的值.【答案】（1）75元（2）见解析，910（3）6 【解析】（1）若某居民用水17吨，则需交费124451775⨯+⨯+⨯=（元）；（2）设取到第二阶梯电量的用户数为ξ，可知第二阶梯电量的用户有3户，则ξ可取0,1,2,3，()373107024C P C ξ===，()217331021140C C P C ξ===，()12733107240C C P C ξ===，()3331013120C P C ξ===. 故ξ的分布列是所以()012324404012010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=；（3）由题可知从全市中抽取10户，其中用电量为第一阶梯的户数X 满足3~10,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，于是为()10103255k k k P X k C -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,210k =⋅⋅⋅，由()()10110111010101101110103232555532325555k k k k k k k k k k k k C C C C -+-++-----⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，化简得11010110102332k k k k C C C C +-⎧≥⎨≥⎩，解得283355k ≤≤. 因为*k ∈N ，所以6k =.2．某市居民用天然气实行阶梯价格制度，具体见下表：从该市随机抽取10户（一套住宅为一户）同一年的天然气使用情况，得到统计表如下：（1）求一户居民年用气费y （元）关于年用气量x （立方米）的函数关系式；（2）现要在这10户家庭中任意抽取3户，求抽到的年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数的分布列与数学期望；（3）若以表中抽到的10户作为样本估计全市居民的年用气情况，现从全市中依次抽取10户，其中恰有k 户年用气量不超过228立方米的概率为()P k ，求()P k 取最大值时的值．【答案】（1）(](]()3.25,0,2283.83132.24,228,3484.7435,348,x x y x x x x ⎧∈⎪=-∈⎨⎪-∈+∞⎩；（2）分布列见解析，数学期望为910；（3）6．【解析】（1）由题意，当(]0,228x ∈时， 3.25y x =；当(]228,348x ∈时， 3.83132.24y x =-；当()348,x ∈+∞时， 4.7435x y -=，所以年用气费y 关于年用气量x 的函数关系式为(](]()3.25,0,2283.83132.24,228,3484.7435,348,x x y x x x x ⎧∈⎪=-∈⎨⎪-∈+∞⎩.（2）由题知10户家庭中年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户有3户，设取到年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数为ξ，则ξ可取0,1,2,3，则()373107024C P C ξ===，()217331021140C C P C ξ===， ()12733107240C C P C ξ===，()3331013120C P C ξ===，故随机变量ξ的分布列为：所以()721719012324404012010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. （3）由题意知()()1010320,1,2,3,1055k kkP k C k -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由10110111010101101110103232555532325555k k k k k k k k k k k k C C C C -+--+---+-⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，解得283355k ≤≤，*k N ∈，所以当6k =时，概率()P k 最大，所以6k =.。

9道题分清超几何分布和二项分布(含答案)

9道题分清超几何分布和二项分布（含答案）一．解答题（共9小题）1．某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目A，B，C的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用．若甲、乙、丙三人通过A，B，C每个项目测试的概率都是．（1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X，求X的概率分布和数学期望．2．随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化，某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店，5名女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店．（Ⅰ）若从这10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率；（Ⅱ）若从这10名购物者中随机抽取3名，设X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求随机变量X的分布列及数学期望．3．随着全民健康运动的普及，每天一万步已经成为一种健康时尚，某学校为了教职工能够健康工作，在全校范围内倡导“每天一万步”健康走活动，学校界定一人一天走路不足4千步为“健步常人”，不少于16千步为“健步超人”，其他人为“健步达人”，学校随机抽取抽查人36名教职工，其每天的走步情况统计如下：步数[0，4000）[4000，16000）[16000，+∞]人数61812现对抽查的36人采用分层抽样的方式选出6人，从选出的6人中随机抽取2人进行调查．（1）求这两人健步走状况一致的概率；（2）求“健步超人”人数X的分布列与数学期望．4．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，作为国家战略性空间基础设施，我国北斗卫星导航系统不仅对国防安全意义重大，而且在民用领域的精准化应用也越来越广泛．据统计，2016年卫星导航与位置服务产业总产值达到2118亿元，较2015年约增长%．下面是40个城市北斗卫星导航系统与位置服务产业的产值（单位：万元）的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，求产值小于500万元的城市个数；（2）在上述抽取的40个城市中任取2个，设Y为产值不超过500万元的城市个数，求Y的分布列及期望和方差．5．生蚝即牡蛎（oyster）是所有食物中含锌最丰富的，在亚热带、热带沿海都适宜生蚝的养殖，我国分布很广，北起鸭绿江，南至海南岛，沿海皆可产生蚝，生蚝乃软体有壳，衣服寄生的动物，咸淡水交界所产尤为肥美，因此生蚝称为了一年四季不可或缺的一类美食，某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了40只统计质量，得到结果如表所示：质量（g）[5，15）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55]数量 6 10 12 8 4（1）若购进这批生蚝500kg，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量（所得结果保留整数）；（2）以频率估计概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选4个，记质量在[5，25）间的生蚝的个数为X，求X的分布列及数学期望．6．随着我国互联网信息技术的发展，网络购物已经成为许多人消费的一种重要方式，某市为了了解本市市民的网络购物情况，特委托一家网络公示进行了网络问卷调查，并从参与调查的10000名网民中随机抽取了200人进行抽样分析，得到了下表所示数据：经常进行网络购物偶尔或从不进行网络购物合计男性5050100女性6040100合计11090200（1）依据上述数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为该市市民进行网络购物的情况与性别有关（2）现从所抽取的女性网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，从这5人中随机选出3人赠送网络优惠券，求出选出的3人中至少有两人是经常进行网络购物的概率；（3）将频率视为概率，从该市所有的参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼物，记经常进行网络购物的人数为X，求X的期望和方差．附：，其中n=a+b+c+dP（K2≥k0）k07．手机QQ中的“QQ运动”具有这样的功能，不仅可以看自己每天的运动步数，还可以看到朋友圈里好友的步数．小明的QQ朋友圈里有大量好友参与了“QQ运动”，他随机选取了其中30名，其中男女各15名，记录了他们某一天的走路步数，统计数据如表所示：（0，2500）[2500，5000）[5000，7500）[7500，10000）[10000，+∞）步数性别男02472女13731（Ⅰ）以样本估计总体，视样本频率为概率，在小明QQ朋友圈里的男性好友中任意选取3名，其中走路步数低于7500步的有X名，求X的分布列和数学期望；（Ⅱ）如果某人一天的走路步数超过7500步，此人将被“QQ运动”评定为“积极型”，否则为“消极型”．根据题意完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关积极型消极型总计男女总计附：．P（K2≥k0）k08．某企业2017年招聘员工，其中A、B、C、D、E五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：岗位男性应聘人数男性录用人数男性录用比例女性应聘人数女性录用人数女性录用比例A26916762%402460%B401230%2026231%C1775732%1845932%D442659%382258%E3267%3267%总计53326450%46716936%（Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率；（Ⅱ）从应聘E岗位的6人中随机选择2人．记X为这2人中被录用的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）表中A、B、C、D、E各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）9．在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1：3，且成绩分布在[40，100]，分数在80以上（含80）的同学获奖．按文理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（见图）．（1）填写下面的2×2列联表，能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”（2）将上述调査所得的频率视为概率，现从参赛学生中，任意抽取3名学生，记“获奖”学生人数为X，求X的分布列及数学期望．文科生理科生合计获奖5不获奖合计200附表及公式：K2=，其中n=a+b+c+d P（K2≥k）k9道题分清超几何分布和二项分布参考答案与试题解析一．解答题（共9小题）1．某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目A，B，C的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用．若甲、乙、丙三人通过A，B，C每个项目测试的概率都是．（1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X，求X的概率分布和数学期望．【分析】（1）利用二项分布计算甲恰好有2次发生的概率；（2）由每人被录用的概率值，求出随机变量X的概率分布，计算数学期望值．【解答】解：（1）甲恰好通过两个项目测试的概率为；……（4分）（2）因为每人可被录用的概率为，所以，，，；故随机变量X的概率分布表为：X0123P…………（8分）所以，X的数学期望为．……（10分）【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望问题，是基础题．2．随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化，某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店，5名女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店．（Ⅰ）若从这10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率；（Ⅱ）若从这10名购物者中随机抽取3名，设X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求随机变量X的分布列及数学期望．【分析】（Ⅰ）设“至少1名倾向于选择实体店”为事件A，则表示事件“随机抽取2名，（其中男、女各一名）都选择网购”，则P （A）=1﹣P．（Ⅱ）X的取值为0，1，2，3．P（X=k）=，即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设“至少1名倾向于选择实体店”为事件A，则表示事件“随机抽取2名，（其中男、女各一名）都选择网购”，则P（A）=1﹣P=1﹣=．（Ⅱ）X的取值为0，1，2，3．P（X=k）=，P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=．X的分布列为：X0123PE（X）=0×+1×+2×+3×=．【点评】本题考查了对立与互相独立事件概率计算公式、超几何分布列与数学期望、组合计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．随着全民健康运动的普及，每天一万步已经成为一种健康时尚，某学校为了教职工能够健康工作，在全校范围内倡导“每天一万步”健康走活动，学校界定一人一天走路不足4千步为“健步常人”，不少于16千步为“健步超人”，其他人为“健步达人”，学校随机抽取抽查人36名教职工，其每天的走步情况统计如下：步数[0，4000）[4000，16000）[16000，+∞]人数61812现对抽查的36人采用分层抽样的方式选出6人，从选出的6人中随机抽取2人进行调查．（1）求这两人健步走状况一致的概率；（2）求“健步超人”人数X的分布列与数学期望．【分析】（1）记事件A，这2人健步走状况一致，利用互斥事件概率计算公式能求出这两人健步走状况一致的概率．（2）X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）记事件A，这2人健步走状况一致，则．（2）X的可能取值为0，1，2，所以，所以X的分布列为X 0 1 2P所以．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查互斥事件概率计算公式、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．4．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，作为国家战略性空间基础设施，我国北斗卫星导航系统不仅对国防安全意义重大，而且在民用领域的精准化应用也越来越广泛．据统计，2016年卫星导航与位置服务产业总产值达到2118亿元，较2015年约增长%．下面是40个城市北斗卫星导航系统与位置服务产业的产值（单位：万元）的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，求产值小于500万元的城市个数；（2）在上述抽取的40个城市中任取2个，设Y为产值不超过500万元的城市个数，求Y的分布列及期望和方差．【分析】（1）根据频率分布直方图，能求出产值小于500万元的城市个数．（2）由Y的所有可能取值为0，1，2．分别滶出相应的概率，由此能求出Y的分布列及期望和方差．【解答】解：（1）根据频率分布直方图可知，产值小于500万元的城市个数为：[（+）×5]×40=14．（2）Y的所有可能取值为0，1，2．，，．∴Y的分布列为：Y012P期望为：，方差为：．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布、期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．5．生蚝即牡蛎（oyster）是所有食物中含锌最丰富的，在亚热带、热带沿海都适宜生蚝的养殖，我国分布很广，北起鸭绿江，南至海南岛，沿海皆可产生蚝，生蚝乃软体有壳，衣服寄生的动物，咸淡水交界所产尤为肥美，因此生蚝称为了一年四季不可或缺的一类美食，某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了40只统计质量，得到结果如表所示：质量（g）[5，15）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55]数量 6 10 12 8 4（1）若购进这批生蚝500kg，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量（所得结果保留整数）；（2）以频率估计概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选4个，记质量在[5，25）间的生蚝的个数为X，求X的分布列及数学期望．【分析】（1）估算妹纸生蚝的质量为，由此能估计这批生蚝的数量．（2）任意挑选一只，质量在[5，25）间的概率为，X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）由表中的数据可以估算妹纸生蚝的质量为：，所以购进500kg，生蚝的数量为500000÷≈17554（只）．（2）由表中数据知，任意挑选一只，质量在[5，25）间的概率为，X的可能取值为0，1，2，3，4，则，，∴X的分布列为：X 0 1 2 3 4P∴．【点评】本题考查概率的求法及应用，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查排列组合、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．6．随着我国互联网信息技术的发展，网络购物已经成为许多人消费的一种重要方式，某市为了了解本市市民的网络购物情况，特委托一家网络公示进行了网络问卷调查，并从参与调查的10000名网民中随机抽取了200人进行抽样分析，得到了下表所示数据：经常进行网络购物偶尔或从不进行网络购物合计男性5050100女性6040100合计11090200（1）依据上述数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为该市市民进行网络购物的情况与性别有关（2）现从所抽取的女性网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，从这5人中随机选出3人赠送网络优惠券，求出选出的3人中至少有两人是经常进行网络购物的概率；（3）将频率视为概率，从该市所有的参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼物，记经常进行网络购物的人数为X，求X的期望和方差．附：，其中n=a+b+c+dP（K2≥k0）k0【分析】（1）由列联表数据求出K2≈＜，从而不能在犯错误的概率不超过的前提下认为该市市民网购情况与性别有关．（2）由题意，抽取的5名女性网民中，经常进行网购的有3人，偶尔或从不进行网购的有2人，由此能求出从这5人中选出3人至少有2人经常进行网购的概率．（3）由列联表可知，经常进行网购的频率为，由题意，从该市市民中任意抽取1人恰好是经常进行网购的概率是，由于该市市民数量很大，故可以认为X～B（10，），由此能求出X的期望和方差．【解答】解：（1）由列联表数据计算K2=≈＜，∴不能在犯错误的概率不超过的前提下认为该市市民网购情况与性别有关．（2）由题意，抽取的5名女性网民中，经常进行网购的有5×=3人，偶尔或从不进行网购的有5×=2人，故从这5人中选出3人至少有2人经常进行网购的概率是p=+=．（3）由列联表可知，经常进行网购的频率为，由题意，从该市市民中任意抽取1人恰好是经常进行网购的概率是，由于该市市民数量很大，故可以认为X～B（10，），∴E（X）=，D（X）==．【点评】本题考查独立性检验及应用，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．7．手机QQ中的“QQ运动”具有这样的功能，不仅可以看自己每天的运动步数，还可以看到朋友圈里好友的步数．小明的QQ朋友圈里有大量好友参与了“QQ运动”，他随机选取了其中30名，其中男女各15名，记录了他们某一天的走路步数，统计数据如表所示：步数（0，2500）[2500，5000）[5000，7500）[7500，10000）[10000，+∞）性别男02472女13731（Ⅰ）以样本估计总体，视样本频率为概率，在小明QQ朋友圈里的男性好友中任意选取3名，其中走路步数低于7500步的有X名，求X的分布列和数学期望；（Ⅱ）如果某人一天的走路步数超过7500步，此人将被“QQ运动”评定为“积极型”，否则为“消极型”．根据题意完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关积极型消极型总计男女总计附：．P（K2≥k0）k0【分析】（Ⅰ）在小明的男性好友中任意选取1名，其中走路步数低于7500的概率为．X可能取值分别为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．（Ⅱ）完成2×2列联表求出k2的观测值k0≈＜．据此判断没有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关．【解答】解：（Ⅰ）在小明的男性好友中任意选取1名，其中走路步数低于7500的概率为．X可能取值分别为0，1，2，3，∴，，，，∴X的分布列为X0123P则．（Ⅱ）完成2×2列联表如下：积极型消极型总计男9615女41115总计131730k2的观测值=．据此判断没有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查独立检验的应用，考查古典概型、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．8．某企业2017年招聘员工，其中A、B、C、D、E五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：岗位男性应聘人男性录用人男性录用比女性应聘人女性录用人女性录用比数数例数数例A26916762%402460%B401230%2026231%C1775732%1845932%D442659%382258%E3267%3267%总计53326450%46716936%（Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率；（Ⅱ）从应聘E岗位的6人中随机选择2人．记X为这2人中被录用的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）表中A、B、C、D、E各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）【分析】（I）根据录用总人数与应聘总人数的比值得出概率；（II）根据超几何分布列的概率公式得出分布列和数学期望；（III）去掉一个岗位后计算剩余4个岗位的男女总录用比例得出结论．【解答】解：（Ⅰ）因为表中所有应聘人员总数为533+467=1000，被该企业录用的人数为264+169=433，所以从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为．（Ⅱ）X可能的取值为0，1，2．因为应聘E岗位的6人中，被录用的有4人，未被录用的有2人，所以；；．所以X 的分布列为：X012P．（Ⅲ）取掉A岗位后，男性的总录用比例为≈%，女性的总录用比例为≈%，故去掉A岗位后，男、女总录用比例接近．∴这四种岗位是：B、C、D、E．【点评】本题考查了古典概型的概率计算，离散型随机变量的分布列，属于中档题．9．在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1：3，且成绩分布在[40，100]，分数在80以上（含80）的同学获奖．按文理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（见图）．（1）填写下面的2×2列联表，能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”（2）将上述调査所得的频率视为概率，现从参赛学生中，任意抽取3名学生，记“获奖”学生人数为X，求X的分布列及数学期望．文科生理科生合计获奖5不获奖合计200附表及公式：K2=，其中n=a+b+c+dP（K2≥k）k【分析】（1）列出表格根据公式计算出K2，参考表格即可得出结论．（2）由表中数据可知，抽到获奖同学的概率为，将频率视为概率，所以X可取0，1，2，3，且X～B（3，）．即可得出．【解答】解：（1）文科生理科生合计获奖53540不获奖45115160合计50150200k==≈＞，所以有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”．（2）由表中数据可知，抽到获奖同学的概率为，将频率视为概率，所以X可取0，1，2，3，且X～B（3，）．P（X=k）=×（）k（1﹣）3﹣k（k=0，1，2，3），X0123PE（X）=3×=．【点评】本题考查了独立性检验原理、二项分布列的概率计算公式与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

高中试卷-专题7.4 二项分布与超几何分布(含答案)

专题7.4 二项分布与超几何分布姓名：班级：重点二项分布与超几何分布的特征难点二项分布与超几何分布的计算一、超几何分布例1-1．一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中抽取4个，则其中恰好有一个二等品的概率为（）。

A 、41004901C C -B 、4100390110490010C C C C C ⋅+⋅C 、4100110C CD 、4100390110C C C ⋅【答案】D【解析】由超几何分布概率公式可知，所求概率为4100110390C C C ⋅，故选D 。

例1-2．有8名学生，其中有5名男生。

从中选出4名代表，选出的代表中男生人数为X ，则其数学期望为=)(X E （）。

A 、2B 、5.2C 、3D 、5.3【答案】B【解析】随机变量X 的所有可能取值为1、2、3、4，141)1(483315=⋅==C C C X P 、73)2(482325=⋅==C C C X P 、73)3(481335=⋅==C C C X P 、141)4(48345=⋅==C C C X P ，X 的分布列为：X1234P1417373141∴2514137337321411)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E ，故选B 。

例1-3．在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X 表示取到的次品数，则==)2(X P 。

【答案】103【解析】X 满足超几何分布，∴103)2(4102723=⋅==C C C X P 。

例1-4．一个盒子装有10个红、白两色同一型号的乒乓球，已知红色乒乓球有3个，若从盒子里随机取出3个乒乓球，则其中含有红色乒乓球个数的数学期望。

【答案】109【解析】由题设知含有红色乒乓球个数ξ的可能取值是0、1、2、3，247)0(3103703=⋅==ξC C C P ，4021)1(3102713=⋅==ξC C C P ，407)2(3101723=⋅==ξC C C P ，1201)3(310733=⋅==ξC C C P ，109120134072402112470)(=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 。

高中数学选择性必修三专题05二项分布、超几何分布与正态分布(含答案)高二数学下学期期中专项复习

专题05二项分布、超几何分布与正态分布一、单选题1．（2020·全国高二课时练习）抛掷一枚质地均匀的正方体骰子4次，设X 表示向上一面出现6点的次数，则X 的数学期望()E X 的值为（）A ．13 B ．49C ．59D ．23【答案】D 【详解】抛掷一枚质地均匀的正方体骰子1次，向上一面出现6点的概率为16()112(4,)4663XB E X ∴=⨯=故选：D2．（2020·全国高二课时练习）甲、乙两人分别独立参加某高校自主招生考试，若甲、乙能通过面试的概率都是23，则面试结束后通过的人数X 的数学期望是（） A ．43 B ．119C ．1D ．89【答案】A 【详解】由题意可知：2~(2,)3X B ，因此面试结束后通过的人数X 的数学期望是242=33⨯. 故选：A3．（2021·河南驻马店市·高三期末（理））已知~(20,)X B p ，且()6E X =，则()D X =（） A ．1.8 B ．6C ．2.1D ．4.2【答案】D 【详解】因为X 服从二项分布~(20,)X B p ，所以()206==E X p ，得0.3p =，故()(1)200.30.7 4.2=-=⨯⨯=D X np p ．故选：D.4．（2021·山东德州市·高二期末）已知随机变量X 服从二项分布(),X B n p ，若()54E X =，()1516=D X ，则p =（） A ．14B ．13C ．34D ．45【答案】A 【详解】由题意5415(1)16np np p ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得145p n ⎧=⎪⎨⎪=⎩．故选：A ．5．（2020·全国高二课时练习）已知圆2228130+--+=x y x y 的圆心到直线()10kx y k +-=∈Z 的距离为14,4XB ⎛⎫⎪⎝⎭，则使()P X k =的值为（） A ．23 B ．35C ．13D ．2764【答案】D 【详解】由题意，知圆心坐标为()1,4，圆心到直线()10kxy k +-=∈Z 的距离为=17k =-或1k =．因为k Z ∈，所以1k =．因为14,4XB ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()141141127114464P X C -⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：D ．6．（2021·辽宁大连市·高三期末）2020年12月4日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟等科学家成功构建76光子的量子计算原型机“九章”，求解数学算法“高斯玻色取样”只需要200秒，而目前世界最快的超级计算机要用6亿年，这一突破使我国成为全球第二个实现“量子优越性”的国家.“九章”求得的问题名叫“高斯玻色取样”，通俗的可以理解为量子版本的高尔顿钉板，但其实际情况非常复杂.高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子.如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口放进一个白球，则其落在第③个格子的概率为（）A ．1128B ．7128C ．21128D ．35128【答案】C 【详解】小球从起点到第③个格子一共跳了7次，其中要向左边跳动5次，向右边跳动2次，而向左或向右的概率均为12，则向右的次数服从二项分布，所以所求的概率为2527112122128P C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故答案为：C.7．（2020·江苏省苏州中学园区校高二月考）设随机变量ξ服从正态分布(2,9)N ，若(21)(1)P m P m ξξ<+=>-，则实数m 的值是（）A ．23B ．43C ．53D ．2【答案】B 【详解】因为随机变量ξ服从正态分布(2,9)N ，(21)(1)P m P m ξξ<+=>-，根据正态分布的特征，可得21122m m ++-=，解得43m =.故选：B ．8．（多选）（2021·全国高二课时练习）如城镇小汽车的普及率为75%，即平均每100个家庭有75个家庭拥有小汽车，若从如城镇中任意选出5个家庭，则下列结论成立的是( ) A ．这5个家庭均有小汽车的概率为2431024B ．这5个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为2764C ．这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车D ．这5个家庭中，四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为81128【答案】ACD 【详解】由题得小汽车的普及率为34， A. 这5个家庭均有小汽车的概率为53()4=2431024，所以该命题是真命题； B. 这5个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为332531135()()44512C =,所以该命题是假命题；C. 这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车，是真命题；D. 这5个家庭中，四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为4455313()()()444C +=81128,所以该命题是真命题. 故选：ACD.9．（多选）（2020·全国高三专题练习）某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数12345A a a a a a =（例如10100）其中A 的各位数中()2,3,4,5k a k =出现0的概率为13，出现1的概率为23，记2345X a a a a =+++，则当程序运行一次时（）A ．X 服从二项分布B ．()8181P X ==C ．X 的期望()83E X = D ．X 的方差()83V X =【答案】ABC 【详解】解：由于二进制数A 的特点知每一个数位上的数字只能填0，1，且每个数位上的数字再填时互不影响，故以后的5位数中后4位的所有结果有4类： ①后4个数出现0，X 0=，记其概率为411(0)()381P X ===；②后4个数位只出现1个1，1X =，记其概率为134218(1)()()3381P X C ===； ③后4位数位出现2个1，2X =，记其概率为22242124(2)()()3381P X C ===， ④后4个数为上出现3个1，记其概率为3342132(3)()()3381P X C ===，⑤后4个数为都出现1，4X =，记其概率为4232(4)()381P X ===，故2~(4,)3X B ，故A 正确；又134218(1)()()3381P X C ===，故B 正确；2~(4,)3X B ，28()433E X ∴=⨯=，故C 正确；2~(4,)3X B ，X ∴的方差218()4339V X =⨯⨯=，故D 错误．故选：ABC ．10．（2020·江苏南京市·南京田家炳高级中学高三期中）下列命题中，正确的命题是（） A ．已知随机变量服从二项分布(),B n p ，若()30E x =，()20D x =，则23p =B ．已知34n n A C =，则27n =C ．设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，若()1P p ξ>=，则()1102P p ξ-<<=- D ．某人在10次射击中，击中目标的次数为X ，()~10,0.8X B ，则当8X =时概率最大. 【答案】BCD 【详解】对于选项A ：随机变量服从二项分布(),B n p ，()30E X =，()20D X =，可得30np =，()120np p -=，则13p =，故选项A 错误；对于选项B ：根据排列数和组合数的计算公式可得，()()()3!213!n n A n n n n ==---，()()()()4321!4!4!24n n n n n n C n ---=-=，因为34n n A C =，所以有()()()()()3212124n n n n n n n -----=，即3124n -= 解得27n =，故选项B 正确；对于选项C ：随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，则图象关于y 轴对称，若()1P p ξ>=，则()1012P p ξ<<=-，即()1102P p ξ-<<=-，故选项C 正确；对于选项D ：因为在10次射击中，击中目标的次数为X ，()~10,0,8X B ，当x k =时，对应的概率()10100.2kkkP x k C -==⨯0.8⨯，所以当1k时，()()()101011101104110.80.210.80.2kk kk k k P x k k C P x k C k----+=-⋅⋅===-⋅⋅，由()()()41111P x k k P x k k =-=≥=-得444k k -≥，即4415k ≤≤，因为*k N ∈，所以18k ≤≤且*k N ∈，即8k时，概率()8P x =最大，故选项D 正确．故选：BCD . 二、填空题11．（2021·江西高三其他模拟（理））已知随机变量ξ服从正态分布()23,N σ，()60.84P ξ≤=，则()0P ξ≤=______.【答案】0.16 【详解】因为随机变量ξ服从正态分布2(3,)N σ，所以(0)(6)P P ξξ≤=≥，又(6)0.84P ξ≤=，所以(0)1(6)10.840.16P P ξξ≤=-≤=-=.故答案为：0.1612．（2020·福建三明市·高二期末）已知某批零件的长度误差X 服从正态分布()2,N μσ，其密度函数()()222,12x x e μσμσϕπσ--=的曲线如图所示，则σ=______；从中随机取一件，其长度误差落在()3,6内的概率为______.（附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6826P μσξμσ-<≤+=，()220.9544P μσξμσ-<≤+=，()330.9974P μσξμσ-<≤+=.）【答案】3 0.1359 【详解】解：由图中密度函数解析式，可得3σ=；又由图象可知0μ=，则长度误差落在(3,6)内的概率为： 1(36)[(22)()]2P X P P μσξμσμσξμσ<<=-<+--<+1(0.95440.6826)0.13592=-=．故答案为：3；0.1359．三、解答题13．（2021·全国高二课时练习）某学校高三年级有400名学生参加某项体育测试，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[30,40),[40,50),[90,100]，整理得到如下频率分布直方图：（1）若该样本中男生有55人，试估计该学校高三年级女生总人数；（2）若规定小于60分为“不及格”，从该学校高三年级学生中随机抽取一人，估计该学生不及格的概率；（3）若规定分数在[80,90)为“良好”,[]90,100为“优秀”.用频率估计概率,从该校高三年级随机抽取三人,记该项测试分数为“良好”或“优秀”的人数为X ,求X 的分布列和数学期望. 【答案】（1）180人（2）0.1（3）详见解析【详解】解：（1）∵样本中男生有55人,则女生45人 ∴估计总体中女生人数45400180100⨯=人（2）设“不及格”为事件A ,则“及格”为事件A ∴()1()1(0.20.40.20.1)0.1P A P A =-=-+++=（3）设“样本中“良好”或“优秀””为事件B ,则()0.20.10.3B P =+= 依题意可知：~(3,0.3)X B3(0)0.7P B ==,1123(1)0.30.7P X C == 22133(2)0.30.7,(3)0.3P X C X P ====所以,X 的分布列为 X 0 1 2 3 P0.3430.4410.1890.027()30.30.9E X np ==⨯=14．（2020·全国高三专题练习（理））袋子中有1个白球和2个红球．（1）每次取1个球，不放回，直到取到白球为止，求取球次数X 的分布列；（2）每次取1个球，有放回，直到取到白球为止，但抽取次数不超过5次，求取球次数X 的分布列；（3）每次取1个球，有放回，共取5次，求取到白球次数X 的分布列．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析. 【详解】（1）由题意，X 可能取值1，2，3. 则()113P X ==，()2112323P X ==⨯=，()211133213P X ==⨯⨯=，所以X 的分布列为（2）X 可能取值为1，2，3，4，5.则()113P X ==，()2122339P X ==⨯=，()221433327P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()321843381P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()42165381P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，故X 的分布列为（3）由题意可得，15,3XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()551233kkk P X k C -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,3,4,5k =，则()320243P X ==，()801243P X ==，()802243P X ==，()403243P X ==，()104243P X ==，()15243P X ==，所以X 的分布列为15．（2021·全国高三其他模拟）某商场举行有奖促销活动，凡10月13日当天消费每超过400元（含400元），均可抽奖一次，抽奖箱里有6个形状、大小、质地完全相同的小球（其中红球有3个，白球有3个），抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案．方案一：从抽奖箱中，一次性摸出2个球，若摸出2个红球，则打6折；若摸出1个红球，则打8折；若没摸出红球，则不打折．方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸取1个球，连摸2次，每摸到1次红球，立减100元．（1）若小方、小红均分别消费了400元，且均选择抽奖方案一，试求他们其中有一人享受6折优惠的概率．（2）若小勇消费恰好满600元，试比较说明小勇选择哪种方案更划算．【答案】（1）825；（2）选择方案一更划算．【详解】（1）由题意，设顾客享受到6折优惠为事件A ，则()232615C P A C ==．∴小方、小红两人其中有一人享受6折优惠的概率为()()22118[1]215525P C P A P A ⎛⎫=⋅⋅-=⨯⨯-=⎪⎝⎭．（2）若小勇选择方案一，设付款金额为X 元，则X 可能的取值为360，480，600．则()232613605C P X C ===，()11332634805C C P X C ===，()232616005C P X C ===．故X 的分布列为∴()131360480600480555E X =⨯+⨯+⨯=（元）．若小勇选择方案二，设摸到红球的个数为Y ，付款金额为Z 元，则600100Z Y =-．由已知，可得12,2Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，故()1212E Y =⨯=， ∴()()()600100600100600100500E Z E Y E Y =-=-=-=（元）．由上知：()()E X E Z <，故小勇选择方案一更划算．16．（2021·全国高二课时练习）第13届女排世界杯于2019年9月14日在日本举行，共有12支参赛队伍.本次比赛启用了新的排球用球MIKSA -V 200W ，已知这种球的质量指标ξ (单位:g )服从正态分布N (270，25 ).比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛(采取5局3胜制)，最后靠积分选出最后冠军积分规则如下:比赛中以3:0或3:1取胜的球队积3分，负队积0分;而在比赛中以3:2取胜的球队积2分，负队积1分.已知第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为p (0<p <1).（1）如果比赛准备了1000个排球，估计质量指标在(260，265]内的排球个数(计算结果取整数). （2）第10轮比赛中，记中国队3:1取胜的概率为()f p .（i ）求出f (p )的最大值点0p ;（ii ）若以0p 作为p 的值记第10轮比赛中，中国队所得积分为X ，求X 的分布列.参考数据:ζ ~N (u ，2σ)，则p (μ-σ<X <μ+σ)≈0.6826，p (μ-2σ<X <μ+2σ)≈0.9644.【答案】（1）140；（2）（i ）034p =；（ii ）分布列见解析. 【详解】（1）因为ξ服从正态分布N (270，25 )，所以()0.96440.68262602650.14092P ξ-<<==，所以质量指标在(260，265]内的排球个数为10000.1409140.9140⨯=≈个；（2）（i ）()()()2333131f p C p p p p =-=-，()()()()2'2331+13334p p f p p p p ⎡⎤=-⨯-=-⎣⎦令()0f p '=，得34p =，当3(0,)4p ∈时，()0f p '>，()f p 在3(0,)4上单调递增；当3(,1)4p ∈时，()0f p '<，()f p 在3(,1)4上单调递减；所以()f p 的最大值点034p =；（ii ）X 的可能取值为0，1，2，3.212313(0)(1)(1)256P X p C p p ==-+-=；223427(1)(1)512P X C p p ==-=； 222481(2)(1)512P X C p p p ==-=；2223189(3)(1)256P X p C p p p ==+-=；所以X 的分布列为。

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超几何分布和二项分布
一、两者的定义是不同的
1超几何分布的定义
2独立重复试验与二项分布的定义
(1)独立重复试验．
(2)二项分布．
本质区别
(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，而二项分布描述的是放回抽样问题.
(2)超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题；二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率问题.
二、两者之间是有联系的
人教版新课标选修2-3第59页习题2.2B组第3题：
例1某批n件产品的次品率为2%，现从中任意地依次抽出3件进行检验，问：
（1）当n=500,5000,500000时，分别以放回和不放回的方式抽取，恰好抽到1件产品的概率各是多少？（2）根据（1）你对超几何分布与二项分布的关系有何认识？
【说明】由于数字比较大，可以利用计算机或计算器进行数值计算.另外，本题目也可以帮助学生了解超几何分布和二项分布之间的关系：
第一，n次试验中，某一事件A出现的次数X可能服从超几何分布或二项分布.当这n次试验是独立重复试验时，X服从二项分布；当这n次试验是不放回摸球问题，事件A为摸到某种特性（如某种颜色）的球时，X服从超几何分布
第二，在不放回n次摸球试验中，摸到某种颜色的次数X服从超几何分布，但是当袋子中的球的数目N 很大时，X的分布列近似于二项分布，并且随着N的增加，这种近似的精度也增加.
从以上分析可以看出两者之间的联系：
当调查研究的样本容量非常大时，在有放回地抽取与无放回地抽取条件下，计算得到的概率非常接近，可以近似把超几何分布认为是二项分布.
例2袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取一个球，求（1）又放回抽样时，取到黑球的个数X的分布列；（2）无放回地抽样时，取到黑球的个数Y的分布列.。

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