福建省福州市八县(市)一中2020-2021学年高二上学期期中联考数学试题
【精品】学2020年福建省福州市八县(市)一中联考高二上学期期中数学试卷和解析(理科)
2017学年福建省福州市八县（市）一中联考高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）数列的一个通项公式可能是（）A．（﹣1）n B．（﹣1）n C．（﹣1）n﹣1D．（﹣1）n﹣12．（5分）已知△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，a=，b=，B=60°，那么∠A等于（）A．135°B．45°C．135°或45°D．60°3．（5分）设a＞1＞b＞﹣1，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．a＞b2D．a2＞2b4．（5分）已知点A（2，0），B（﹣1，3）在直线l：x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（）A．a＜﹣2，或a＞7 B．﹣2＜a＜7 C．﹣7＜a＜2 D．a=﹣2，或a=75．（5分）在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，则A的取值范围是（）A．（0，]B．[，π）C．（0，]D．[，π）6．（5分）设等比数列{a n}的前n项和记为S n，若S4=2，S8=6，则S12等于（）A．8 B．10 C．12 D．147．（5分）如图，在限速为90km/h的公路AB旁有一测速站P，已知点P距测速区起点A的距离为80m，距测速区终点B的距离为50m，且∠APB=60°．现测得某辆汽车从A点行驶到B 点所用的时间为3s，则此车的速度介于（）A．16～19m/s B．19～22m/s C．22～25m/s D．25～28m/s8．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，且4sinA=3sinB则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．钝角三角形9．（5分）某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元10．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a5=5，S5=15，则数列的前2016项和为（）A．B．C．D．11．（5分）在R上定义运算⊙：x⊙y=x（1﹣y）．若不等式（x﹣a）⊙（x+a）＜1对任意实数x成立，则（）A．﹣1＜a＜1 B．0＜a＜2 C．D．12．（5分）等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n、T n，且，则使得为整数的正整数的n的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．（5分）已知△ABC中，AC=，AB=2，∠B=60°，则BC=．14．（5分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，a1=2，且a2，a4+2，a5成等差数列，记S n是数列{a n}的前n项和，则S5=．15．（5分）设实数x，y满足条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则的最小值为．16．（5分）设S n为数列{a n}的前n项和，若（n∈N+）是非零常数，则称该数列为“和等比数列”，若数列{C n}是首项为2，公差为d（d≠0）的等差数列，且数列{C n}是“和等比数列”，则d=．三、解答题（本大题6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）如图，平面四边形ABCD中，AB=，AD=2，CD=，∠CBD=30°，∠BCD=120°．（1）求BD的长；（2）求∠ADC的度数．18．（12分）连江一中第49届田径运动会提出了“我运动、我阳光、我健康、我快乐”的口号，某同学要设计一张如图所示的竖向张贴的长方形海报进行宣传，要求版心面积为162dm2（版心是指图中的长方形阴影部分，dm为长度单位分米），上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm．（1）若设版心的高为xdm，求海报四周空白面积关于x的函数S（x）的解析式；（2）要使海报四周空白面积最小，版心的高和宽该如何设计？19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosA+a=2b．（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若a+b=4，当c取最小值时，求△ABC的面积．20．（12分）已知f（x）=ax2+x﹣a．a∈R（1）若不等式f（x）＜b的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），求a，b的值；（2）若a＜0，解不等式f（x）＞1．21．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列（要指出首项、公比）；（2）若c n=nb n，求数列{c n}的前n项和T n．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，对任意的n∈N*，点（n，S n）恒在函数y=x 的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记T n=，若对于一切的正整数n，总有T n≤m成立，求实数m的取值范围；（3）设K n为数列{b n}的前n项和，其中b n=2an，问是否存在正整数n，t，使成立？若存在，求出正整数n，t；若不存在，请说明理由．2017学年福建省福州市八县（市）一中联考高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）数列的一个通项公式可能是（）A．（﹣1）n B．（﹣1）n C．（﹣1）n﹣1D．（﹣1）n﹣1【解答】解：由已知中数列，…可得数列各项的绝对值是一个以为首项，以公比的等比数列又∵数列所有的奇数项为正，偶数项为负故可用（﹣1）n﹣1来控制各项的符号，故数列，…的一个通项公式为（﹣1）n﹣1故选：C．2．（5分）已知△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，a=，b=，B=60°，那么∠A等于（）A．135°B．45°C．135°或45°D．60°【解答】解：a=，b=，B=60°，由正弦定理可得，a＜b A＜B=60°A=45°故选：B．3．（5分）设a＞1＞b＞﹣1，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．a＞b2D．a2＞2b【解答】解：对于A，例如a=2，b=此时满足a＞1＞b＞﹣1但故A错对于B，例如a=2，b=此时满足a＞1＞b＞﹣1但故B错对于C，∵﹣1＜b＜1∴0≤b2＜1∵a＞1∴a＞b2故C正确对于D，例如a=此时满足a＞1＞b＞﹣1，a2＜2b故D错故选：C．4．（5分）已知点A（2，0），B（﹣1，3）在直线l：x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（）A．a＜﹣2，或a＞7 B．﹣2＜a＜7 C．﹣7＜a＜2 D．a=﹣2，或a=7【解答】解：∵点A（2，0），B（﹣1，3）在直线l：x﹣2y+a=0的两侧，∴（2+a）（﹣1﹣6+a）＜0，即：（a+2）（a﹣7）＜0，解得﹣2＜a＜7．故选：B．5．（5分）在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，则A的取值范围是（）A．（0，]B．[，π）C．（0，]D．[，π）【解答】解：由正弦定理可知a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，∵sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，∴a2≤b2+c2﹣bc，∴bc≤b2+c2﹣a2∴cosA=≥∴A≤∵A＞0∴A的取值范围是（0，]故选：C．6．（5分）设等比数列{a n}的前n项和记为S n，若S4=2，S8=6，则S12等于（）A．8 B．10 C．12 D．14【解答】解：等比数列{a n}的前n项和记为S n，若S4=2，S8=6，可得S4，S8﹣S4，S12﹣S8，也是等比数列，S12﹣S8===8．S12=14．故选：D．7．（5分）如图，在限速为90km/h的公路AB旁有一测速站P，已知点P距测速区起点A的距离为80m，距测速区终点B的距离为50m，且∠APB=60°．现测得某辆汽车从A点行驶到B 点所用的时间为3s，则此车的速度介于（）A．16～19m/s B．19～22m/s C．22～25m/s D．25～28m/s【解答】解：由题意，AB==70m，70÷3≈23.3m/s，故选：C．8．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，且4sinA=3sinB则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．钝角三角形【解答】解：∵4sinA=3sinB，∴4a=3b，∵，可得：=，整理可得：（a2+b2）（a2﹣b2）=c2（a2﹣b2），∴a2﹣b2=0，或a2+b2=c2，∴a2+b2=c2，或a=b（舍去）∴△ABC的形状是直角三角形．故选：B．9．（5分）某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元【解答】解：设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，则，目标函数为z=3x+4y．作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域．由z=3x+4y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+由图象可知当直线y=﹣x+经过点B时，直线y=﹣x+的截距最大，此时z最大，解方程组，解得，即B的坐标为x=2，y=3，∴z max=3x+4y=6+12=18．即每天生产甲乙两种产品分别为2，3吨，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元，故选：D．10．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a5=5，S5=15，则数列的前2016项和为（）A．B．C．D．【解答】解：设等差数列{a n}公差为d，∵a5=5，S5=15，由S5==15，解得：a1=1，a5=a1+4d=5，则d=1，等差数列{a n}首项为1，公差为1，a n=a1+（n﹣1）d=n，==﹣，∴数列的前2016项和S2016，S2016=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣），=1﹣，=，故选：A．11．（5分）在R上定义运算⊙：x⊙y=x（1﹣y）．若不等式（x﹣a）⊙（x+a）＜1对任意实数x成立，则（）A．﹣1＜a＜1 B．0＜a＜2 C．D．【解答】解：∵（x﹣a）⊙（x+a）＜1∴（x﹣a）（1﹣x﹣a）＜1，即x2﹣x﹣a2+a+1＞0∵任意实数x成立，故△=1﹣4（﹣a2+a+1）＜0∴，故选：C．12．（5分）等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n、T n，且，则使得为整数的正整数的n的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵等差数列{a n}、{b n}，∴a n=，b n=，∴===，又=，∴==7+，经验证，当n=1，3，5，13，35时，为整数，则使得为整数的正整数的n的个数是5．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．（5分）已知△ABC中，AC=，AB=2，∠B=60°，则BC=1．【解答】解：∵AC=，AB=2，∠B=60°，∴由余弦定理AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB，可得：3=4+BC2﹣2BC，即：BC2﹣2BC+1=0，∴解得：BC=1．故答案为：1．14．（5分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，a1=2，且a2，a4+2，a5成等差数列，记S n是数列{a n}的前n项和，则S5=62．【解答】解：设正数的等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a2，a4+2，a5成等差数列，∴a2+a5=2（a4+2），∴2q+2q4=2（2q3+2），解得q=2．∵S5==62．故答案为：62．15．（5分）设实数x，y满足条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则的最小值为．【解答】解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=，作出可行域如图：∵a＞0，b＞0，∴直线y=的斜率为负，且截距最大时，z也最大．平移直线y=，由图象可知当y=经过点A时，直线的截距最大，此时z也最大．由，解得，即A（6，8）．此时z=6a+8b=12，即+=1，则=（）（+）=+++≥+2=+4=，当且仅当=时取=号，故答案为：16．（5分）设S n为数列{a n}的前n项和，若（n∈N+）是非零常数，则称该数列为“和等比数列”，若数列{C n}是首项为2，公差为d（d≠0）的等差数列，且数列{C n}是“和等比数列”，则d=4．【解答】解：由题意设数列{C n}的前n项和为T n，则T n=2n+，T2n=4n+，因为数列{C n}是“和等比数列”，所以===k，对于n∈N*都成立，化简得，（k﹣4）dn+（k﹣2）（4﹣d）=0，因为d≠0，故只需4﹣d=0，解得d=4故答案为：4三、解答题（本大题6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）如图，平面四边形ABCD中，AB=，AD=2，CD=，∠CBD=30°，∠BCD=120°．（1）求BD的长；（2）求∠ADC的度数．【解答】解：（1）方法一：在△BCD中，由正弦定理得：，即…（3分）解得BD=3…（4分）方法二：由已知得∠BDC=30°，故…（1分）由余弦定理得：BD2=CD2+BC2﹣2CD•BC•cos∠BCD=…（4分）∴BD=3…（5分）（2）在△ABD中，由余弦定理得：…（7分）∴∠ADB=45° …（8分）由已知∠BDC=30°…（9分）∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=45°+30°=75°…（10分）18．（12分）连江一中第49届田径运动会提出了“我运动、我阳光、我健康、我快乐”的口号，某同学要设计一张如图所示的竖向张贴的长方形海报进行宣传，要求版心面积为162dm2（版心是指图中的长方形阴影部分，dm为长度单位分米），上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm．（1）若设版心的高为xdm，求海报四周空白面积关于x的函数S（x）的解析式；（2）要使海报四周空白面积最小，版心的高和宽该如何设计？【解答】（本小题满分12分）解：（1）由已知版心的高为xdm，则版心的宽为dm…（1分）故海报四周空白面积为，…（4分）即S（x）=2x++8，x＞0…（6分）（2）由基本不等式得：…（9分）当且仅当时取等号…（11分）∴要使海报四周空白面积最小，版心的高应该为18 dm、宽为9 dm…（12分）19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosA+a=2b．（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若a+b=4，当c取最小值时，求△ABC的面积．【解答】解：方法一：（Ⅰ）∵2ccosA+a=2b，∴2sinCcosA+sinA=2sinB，…（1分）∵A+B+C=π，∴2sinCcosA+sinA=2sin（A+C），…（2分）即2sinCcosA+sinA=2sinAcosC+2cosAsinC，…（3分）∴sinA=2sinAcosC，…（4分）∵sinA≠0，∴cosC=，…（5分）又∵C是三角形的内角，∴C=．…（6分）（Ⅱ）由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab，…（7分）∵a+b=4，故c2=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab=16﹣3ab，…（8分）∴（当且仅当a=b=2时等号成立），…（10分）∴c的最小值为2，故．…（12分）方法二：（Ⅰ）∵2ccosA+a=2b，∴，…（1分）∴b2+c2﹣a2+ab=2b2，即c2=a2+b2﹣ab，…（3分）∴，…（5分）又∵C是三角形的内角，∴c=．…（6分）（Ⅱ）由已知，a+b=4，即b=4﹣a，由余弦定理得，c2=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab，…（8分）∴c2=16﹣3a（4﹣a）=3（a﹣2）2+4，…（10分）∴当a=2时，c的最小值为2，故．…（12分）20．（12分）已知f（x）=ax2+x﹣a．a∈R（1）若不等式f（x）＜b的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），求a，b的值；（2）若a＜0，解不等式f（x）＞1．【解答】（本小题满分12分）解：（1）由题意可得方程ax2+x﹣a﹣b=0的两根分别为﹣1、3，且a＜0 …（1分）∴解得…（4分）（2）若a＜0，不等式为ax2+x﹣（a+1）＞0，即…（6分）∵．∴当时，，不等式的解集为；…（8分）当时，，不等式的解集为∅；…（10分）当时，，不等式的解集为…（12分）（如上，没有“综上所述…”，不扣分，但解集表达不规范每处扣（1分），最多累计扣2分）21．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列（要指出首项、公比）；（2）若c n=nb n，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】（1）证明：∵S n+1=4a n+2，∴当n≥2时，S n=4a n﹣1+2，两式相减得：a n+1=4a n﹣4a n﹣1，∴，∵当n=1时，S2=4a1+2，a1=1，∴a2=5，从而b1=3，∴数列{b n}是以b1=3为首项，2为公比的等比数列；（2）解：由（1）知，从而，∴T n=c1+c2+c3+…+c n﹣1+c n=3×20+6×21+9×22+…+3（n﹣1）×2n﹣2+3n×2n﹣1，2T n=3×21+6×22+9×23+…+3（n﹣1）×2n﹣1+3n×2n，两式相减得：=，∴．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，对任意的n∈N*，点（n，S n）恒在函数y=x 的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记T n=，若对于一切的正整数n，总有T n≤m成立，求实数m的取值范围；（3）设K n为数列{b n}的前n项和，其中b n=2an，问是否存在正整数n，t，使成立？若存在，求出正整数n，t；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由已知，得…（1分）当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1==3n…（2分）当n=1时，a1=S1=3．∴a n=3n…（3分）（2）解法一：．（4分）当n=1时，T n+1＞T n，即T2＞T1；当n=2时，T n+1=T n，即T3=T2；当n≥3时，T n+1＜T n，即T n＜T n﹣1＜…＜T4＜T3…（6分）∴{T n}中的最大值为，要使T n≤m对于一切的正整数n恒成立，只需∴…（7分）解法二：…（4分）当n=1，2时，T n+1≥T n；当n≥3时，n+2＜2n⇒T n+1＜T n∴n=1时，T1=9；n=2，3时，n≥4时，T n＜T3…（6分）∴{T n}中的最大值为，要使T n≤m对于一切的正整数n恒成立，只需∴…（7分）（3）…（8分）将K n代入，化简得，（﹡）…（9分）若t=1时，，显然n=1时成立；…（10分）若t＞1时，（﹡）式化简为不可能成立…（11分）综上，存在正整数n=1，t=1使成立…（12分）赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。
福建省福州市八县(市)协作校2020-2021学年高二数学上学期期中联考试题
福建省福州市八县（市）协作校20212021学年高二数学上学期期中联考试题高二数学试卷完卷时刻：120分钟； 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．已知角α的终边上一点P(-4,3)，则cos α=（ ）A. 53B. 53-C. -54D. 54 2.已知向量(),1a x =， ()3,6b =，且a b ⊥，则实数的值为( )A.12B. C. D.3．在中，，，，则（ ） A. 或 B.C. D. 以上答案都不对 4．函数sin(2)cos(2)66y x x ππ=++的最小正周期是( ) A ．2πB ．4πC ．2πD ．π5．不等式22(4)(2)10a x a x -++-≥的解集是空集，则实数a 的范畴为（ ） A.6(2,)5- B.6[2,)5- C.6[2,]5- D.6[2,){2}5-6．我国南宋闻名数学家秦九韶发觉了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设ABC ∆三个内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，面积为S ，则 “三斜求积”公式为222222142a c b S a c ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦若()222sin 4sin 12a C A a c b =+=+，则用“三斜求积”公式求得ABC ∆的面积为（ ） 367在各项均为正数的等比数列中，，则=++7362232a a a a a （ ）A. 8B. 6C. 4D. 83cos 3cos sin 2x x ）A.23(,)32π- B.53(,)62π- C.23(,)32π- D.(,3)3π-9.设f(x)是定义域R ，最小正周期为23π的函数，若cos (0)()2sin (0)x x f x x x ππ⎧-≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，则15()4f π-的值等于（ ）A.1B.22 C.0 D. 22-10．已知等差数列{}n a 中， n S 是它的前n 项和，若160S >，且170S <，则当n S 取最大值时的n 值为（ ）A. 7B. 8C. 9D. 1611．设实数x ，y 满足条件，若目标函数z=ax+by （a ＞0，b ＞0）的最大值为 12， 则 + 的最小值为（ ）A.649 B. 625 C. 38 D. 412.（文)记集合{}11A a =，{}223,A a a =，{}3456,,A a a a =，{}478910,,,A a a a a =…，其中{}n a 为公差大于0的等差数列，若{}23,5A =，则2021属于（ ） A. 63A B.64A C.65A D. 66A12.（理) 在数列{a n }中，对任意n ∈N *，都有211--n n n na a k a a +++= （k 为常数），则称{a n }为“等差比数列”．下面对“等差比数列”的判定：①k 不可能为0；②等差数列一定是等差比数列；③等比数列一定是等差比数列；④通项公式为a n ＝a ·b n＋c （a ≠0，b ≠0,1）的数列一定是等差比数列．其中正确的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．11sin3π的值________． 14.设三角形的三边长分别为15,19,23，现将三边长各缩短x 后，围成了一个钝角三角形，则x 的取值范畴为_____________．15.设A 为关于x 的不等式(1)1ax x -≥的解集.若2,3A A ∉∈，则实数a 的取值范畴为 16. （文)数列{n a }满足a 1＝3，)(111++∈-+=N n a a a nnn ,其前n 项和为S n,则2017___________S =16. （理) 某校召开趣味运动会，其中一个项目如下：七位同学围成一圈依次循环报数，规定①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数差不多上前两位同学报出的数之和，②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手1次．已知甲同学第一个报数．当七位同学依次循环报到第80个数时，甲同学拍手的总次数为 ．三、解答题：本题共6大题，共70分。
2023-2024学年福建省福州市八县(区市)协作校高三上学期期中联考数学试题+答案解析
2023-2024学年福建省福州市八县（区市）协作校高三上学期期中联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，则( )A. B. C. D.2.已知函数，则( )A. 2B.C.D.3.星等是衡量天体光度的量.为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯又名依巴谷在公元前二世纪首先提出了星等这个概念，例如，1等星的星等值为1，等星的星等值为已知两个天体的星等值，，和它们对应的亮度，满足关系式，则1等星的亮度是6等星亮度的( )A. 倍B. 10倍C. 倍D. 100倍4.函数的大致图象是( )A.B.C.D.5.平面向量、满足，，，则在上的投影向量为( )A. B.C. D.6.命题“，不等式”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A. B.C.D.7.设函数在区间恰有三个极值点，则 的取值范围为( )A.B.C. D.8.已知正数x ，y 满足，则的最小值为( )A.B. C.D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知直线l 与曲线相切，则下列直线中可能与l 平行的是( )A.B. C.D.10.已知直线是函数图象的一条对称轴，则( )A.B. 的图象关于点对称C.在上单调递减D. 将的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍纵坐标不变，再向左平移个单位长度后所得的图象关于y轴对称11.设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，若，则下列关于的说法正确的有( )A. 的一个周期为4B. 是函数的一条对称轴C. 时，D.12.设数列的前n项和为，已知，且，则下列结论正确的是( )A. 是等比数列B. 是等比数列C. D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知复数为虚数单位，则复数z在复平面内所对应的点在第__________象限.14.中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若，，，则的面积为__________.15.在中，，，点M为AC的中点，点P在边BC上运动，则的最小值为__________.16.已知函数，若不等式恰有一个整数解，则实数k的取值范围为__________.四、解答题：本题共6小题，共70分。
福建省福州市八县市一中2023-2024学年高二上学期11月期中数学试题
福建省福州市八县市一中2023-2024学年高二上学期11月期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．153B ．8．设点P 是圆2:3(C x -+（）切点为,A B ，则cos APB ∠的最大值为（A ．29B ．A ．三棱锥111CB D M -C ．MN ⊥NC三、填空题．已知向量(2,4,)a x = ，四、双空题六、解答题17．如图在四面体ABCD 中，1AD BD ==，2DC =，,DC DB DC DA ⊥⊥.60BDA ∠= ，E 为线段AC 中点，(1)用基底{},,DA DB DC 表示向量BE ，并求线段BE 的长度；(2)求异面直线DC 与BE 所成角的余弦值.七、未知18．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，2,AB =点22,B D 分别在棱1,BB 1DD 上，221,BB DD ==(1)证明：212//AB C D ;(2)求点C 到平面212AB C D 的距离;(3)求平面212AB C D 与平面ABCD 夹角的余弦值.八、解答题19．已知直线l 过点()4,3P ，(1)若直线l 在x 轴上的截距是在y 轴上截距的2倍，求直线l 的方程；(2)若直线l 与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，求AP PB ⋅的最小值及取得最小值时直线l 的方程.九、未知(1)证明：GC ∥平面EDB (2)若ACG 为等边三角形，点求cos α的最大值．十、解答题。
2020-2021学年福州市八县(市)一中高二上学期期中数学试卷及答案解析
2020-2021学年福州市八县（市）一中高二上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.一个单位有职工120人，其中有业务员100人，管理人员20人，要从中抽取一个容量为12的样本，用分层抽样的方法抽取样本，则在12人的样本中应抽取管理人员人数为()A. 12B. 10C. 2D. 62.袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是()A. 至少有一个白球；至少有一个红球B. 至少有一个白球；红、黑球各一个C. 恰有一个白球；一个白球一个黑球D. 至少有一个白球；都是白球3.阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的焦点在x轴上，且椭圆C的离心率为√74，面积为12π，则椭圆C的方程为()A. x23+y24=1 B. x29+y216=1 C. x24+y23=1 D. x216+y29=14.在区间[−√2,√2]中随机取一个实数k，则事件“直线y=kx与圆(x−3)2+y2=1相交”发生的概率为()A. 12B. 14C. 16D. 185.如图所示，某瓷器菜盘的外轮廓线是椭圆，根据图中数据可知该椭圆的离心率为()A. 25B. 35C. 2√35D. 2√556.已知斜率为k=1的直线与双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)交于A、B两点，若A、B的中点为M(1,3)，则双曲线的渐近线方程为()A. x±√3y=0B. √3x±y=0C. x±2y=0D. 2x±y=07.第七届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在中国武汉举行，中国队以133金64银42铜位居金牌榜和奖牌榜的首位，运动会期间有甲、乙等五名志愿者被分配到射击、田径、篮球、游泳四个运动场地服务，要求每个人都要被派出去服务，且每个场地都要有志愿者服务，则甲和乙不在同一组的概率是()A. 110B. 710C. 310D. 9108.椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线Ω：x2m2−y2n2=1(m>0,n>0)焦点相同，F焦点，曲线Γ与Ω在第一象限，第三象限的交点分别为A、B，且∠AFB=2π3，则当这两条曲线的离心率之积最小时，双曲线有一条渐近线的方程是()A. x−2y=0B. 2x−y=0C. x−√2y=0D. √2x+y=0二、不定项选择题（本大题共4小题，共20.0分）9.28.甲、乙两人的各科成绩如茎叶图所示，则下列说法正确的是()A. 甲、乙两人的各科成绩的平均分相同B. 甲成绩的中位数是83，乙成绩的中位数是85C. 甲各科成绩比乙各科成绩稳定D. 甲成绩的众数是89，乙成绩的众数是8710.若a，b，c为实数，下列说法正确的是A. 若a>b，则ac2>bc2B. 若a<b<0，则a2>ab>b2C. “关于x的不等式ax2+bx+c≥0恒成立”的充要条件是“a>0，b2−4ac≤0”D. “a<1”是“关于x的方程x2+x+a=0有两个异号的实根”的必要不充分条件11.根据如下样本数据：x345678y 4.0 2.5−0.50.5−2.0−3.0得到了回归方程ŷ=b̂x+â，则()A. â>0B. b̂>0C. b̂<0D. â<012.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线x24−y212=1，则()A. 实轴为2B. 渐近线为y=±√3xC. 离心率为2D. 一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为3三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某印刷厂的工人师傅为了了解96个印张的质量，采用系统抽样的方法抽取若干个印张进行检查，为此先对96个印张进行编号为：01，02，03，…，96，已知抽取的印张中最小的两个编号为07，15，则抽取的印张中最大的两个编号为________．14.命题“∃x∈R，使x2−ax+1<0”是真命题，则a的取值范围是______．15.下图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽____米．16.抛物线y2=4x的焦点为F，过点(0,3)的直线与抛物线交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点D，若|AF|+|BF|=6，则点D的横坐标为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知命题p ：“直线x +y −m =0与圆(x −1)2+y 2=1相交”；命题q ：“方程mx 2−2x +1=0有实数解”.若“p ∨q ”为真，“￢q ”为真，求实数m 的取值范围．18. 已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，其焦点F 与双曲线x 2−y 23=1的右焦点重合。
2020-2021学年福建省福州市八县(市)一中高二上学期期中数学试卷 (解析版)
2020-2021学年福建省福州市八县（市）一中高二（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题）.1．（5分）某单位有业务员和管理人员构成的职工160人，现用分层抽样方法从中抽取一个容量为20的样本，若样本中管理人员有7人，则该单位的职工中业务员有多少人（）A．32人B．56人C．104人D．112人2．（5分）袋内装有8个红球、2个白球，从中任取2个，其中是互斥而不对立的两事件是（）A．至少有一个白球；全部都是红球B．至少有一个白球；至少有一个红球C．恰有一个白球；恰有一个红球D．恰有一个白球；全部都是红球3．（5分）阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，椭圆C的面积为，且离心率为，则C的标准方程为（）A．B．C．D．4．（5分）在区间上任取一个数k，使直线y＝k（x+3）与圆x2+y2＝1相交的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）永泰县全域旅游地图如图所示，它的外轮廓线是椭圆，根据图中的数据可得该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．6．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0），斜率为1的直线l与双曲线C交于不同的A，B两点，且线段AB的中点为P（2，4），则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±2x B．C．D．7．（5分）第七届世界军运会于2019年10月18日至27日在中国武汉举行．某电视台在19日至24日六天中共有7场直播（如表所示），张三打算选取其中的三场观看．则观看的任意两场直播中间至少间隔一天（如第一场19日观看直播则20日不能观看直播）的概率是（）日期19日20日21日22日23日24日时间全天全天上午下午全天全天全天内容飞行比赛击剑射击游泳篮球定向越野障碍跑A．B．C．D．8．（5分）已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P，Q分别是它们的在第一象限和第三象限的交点，且∠QF2P＝60°，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则等于（）A．4B．2C．2D．3二、多项选择题（共4小题）9．（5分）某校对甲、乙两个数学兴趣小组的同学进行了知识测试，现从两兴趣小组的成员中各随机选取15人的测试成绩（单位：分）用茎叶图表示，如图，根据以上茎叶图，对甲、乙两兴趣小组的测试成绩作比较，下列统计结论正确的有（）A．甲兴趣小组测试成绩的平均分高于乙兴趣小组测试成绩的平均分B．甲兴趣小组测试成绩较乙兴趣小组测试成绩更分散C．甲兴趣小组测试成绩的中位数大于乙兴趣小组测试成绩的中位数D．甲兴趣小组测试成绩的众数小于乙兴趣小组测试成绩的众数10．（5分）下列说法中错误的是（）A．“m＝8”是“椭圆+＝1的离心率为”的充要条件B．设x，y∈R，命题“若x2+y2≠0，则xy≠0”是真命题C．“﹣4＜k＜2”是“方程表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件D．命题“若x＝3，则x2﹣4x+3＝0”的否命题是真命题11．（5分）某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据如表，现发现表中有个数据看不清，已知回归直线方程为，下列说法正确的是（）x23456y1925★3844A．看不清的数据★的值为34B．回归直线必经过样本点（4，★）C．回归系数6.3的含义是产量每增加1吨，相应的生产能耗实际增加6.3吨D．据此模型预测产量为7吨时，相应的生产能耗为50.9吨12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，抛物线的准线过双曲线的左焦点，A，B分别是双曲线C的左，右顶点，点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，记PA，PB的斜率分别为k1，k2，则下列说法正确的是（）A．双曲线C的渐近线方程为y＝±2xB．双曲线C的方程为C．k1k2为定值D．存在点P，使得k1+k2＝2三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．（5分）某印刷厂的工人师傅为了了解112个印张的质量，采用系统抽样的方法抽取若干个印张进行检查，为此先对112个印章进行编号为：01，02，03，…，112，已知抽取的印张中最小的两个编号为05，13，则抽取的印张中最大的编号为．14．（5分）已知命题“∃x∈R，x2+（a﹣1）x+1≤0”是真命题，则a的取值范围为．15．（5分）某抛物线形拱桥的跨度为20米，拱高是4米，在建桥时，每隔4米需用一根柱支撑，其中最高支柱的高度是．16．（5分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A（2，4），过点F的动直线l与抛物线交于M，N不同的两点，点M在y轴上的射影为点B，设直线KM，KN的斜率分别为k1和k2.则|MA|+|MB|的最小值为，k1+k2的值为．四、解答题（本大题6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知命题p：对于任意x∈R，不等式4x2﹣4（m﹣2）x+1＞0恒成立．命题q：实数m满足的方程表示双曲线；（1）当a＝2时，若“p或q”为真，求实数m的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求a的取值范围．18．（12分）已知双曲线C的离心率为，点在双曲线上，且抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F与双曲线的一个焦点重合．（1）求双曲线和抛物线的标准方程；（2）过焦点F作一条直线l交抛物线于A，B两点，当直线l的斜率为时，求线段AB的长度．19．（12分）小张准备在某县城开一家文具店，为经营需要，小张对该县城另一家文具店中的某种水笔在某周的周一至周五的销售量及单支售价进行了调查，单支售价x元和销售量y支之间的数据如表所示：星期12345单支售价x（元） 1.4 1.6 1.82 2.2销售量y（支）1311763（1）根据表格中的数据，求出y关于x的回归直线方程；（2）请由（1）所得的回归直线方程预测销售量为18支时，单支售价应定为多少元？如果一支水笔的进价为0.56元，为达到日利润（日销售量×单支售价﹣日销售量×单支进价）最大，在（1）的前提下应该如何定价？（其中：回归直线方程，，，）20．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，且经过点Q．直线l过右焦点且不平行于坐标轴，l与椭圆C有两个不同的交点A，B，线段AB的中点为M．（1）点P在椭圆C上，求的取值范围；（2）证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值；21．（12分）为让学生适应新高考的赋分模式某校在一次校考中使用赋分制给高二年段学生的生物成绩进行赋分，具体方案如下：A等级，排名等级占比7%，分数区间是83﹣100；B等级，排名等级占比33%，分数区间是71﹣82；C等级，排名等级占比40%，分数区间是59﹣70；D等级，排名等级占比15%，分数区间是41﹣58；E等级，排名等级占比5%，分数区间是30﹣40；现从全年段的生物成绩中随机抽取100名学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如图所示：（1）求图中a的值；（2）以样本估计总体的办法，估计该校本次生物成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的C等级及以上（含C等级）？（3）若采用分层抽样的方法，从原始成绩在[40，50）和[50，60）内的学生中共抽取5人，查看他们的答题情况来分析知识点上的缺漏，再从中选取2人进行调查分析，求这2人中至少一人原始成绩在[40，50）内的概率．22．（12分）如图所示，已知圆上有一动点Q，点F2的坐标为（1，0），四边形QF1F2R为平行四边形，线段F1R的垂直平分线交F2R于点P，设点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点F2的直线l与曲线C有两个不同的交点A，B，问是否存在实数λ，使得|AF2|+|BF2|＝λ|AF2|•|BF2|成立，若存在求出λ的值；若不存在，请说明理由．参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）某单位有业务员和管理人员构成的职工160人，现用分层抽样方法从中抽取一个容量为20的样本，若样本中管理人员有7人，则该单位的职工中业务员有多少人（）A．32人B．56人C．104人D．112人解：设该单位的职工中业务员有x人，∵业务员和管理人员构成的职工160人，抽取一个容量为20的样本，若样本中管理人员有7人，∴＝，∴x＝104，故选：C．2．（5分）袋内装有8个红球、2个白球，从中任取2个，其中是互斥而不对立的两事件是（）A．至少有一个白球；全部都是红球B．至少有一个白球；至少有一个红球C．恰有一个白球；恰有一个红球D．恰有一个白球；全部都是红球解：袋内装有8个红球、2个白球，从中任取2个，对于A，至少有一个白球和全部都是红球是对立事件，故A错误；对于B，至少有一个白球和至少有一个红球能同时发生，不是互斥事件，故B错误；对于C，恰有一个白球；恰有一个红球同时发生，不是互斥事件，故C错误；对于D，恰有一个白球和全部都是红球，不能同时发生，是互斥而不对立事件，故D正确．故选：D．3．（5分）阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，椭圆C的面积为，且离心率为，则C的标准方程为（）A．B．C．D．解：由题意可得＝，＝ab，即ab＝2，a2＝b2+c2，解得：a2＝4，b2＝3，所以椭圆的方程为：，故选：A．4．（5分）在区间上任取一个数k，使直线y＝k（x+3）与圆x2+y2＝1相交的概率为（）A．B．C．D．解：圆x2+y2＝1的圆心为（0，0）圆心到直线y＝k（x+3）的距离为，要使直线y＝k（x+3）与圆x2+y2＝1相交，则＜1，解得﹣＜k＜．∴在区间[﹣，]上随机取一个数k，使y＝k（x+3）与圆x2+y2＝1相交的概率为＝．故选：D．5．（5分）永泰县全域旅游地图如图所示，它的外轮廓线是椭圆，根据图中的数据可得该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．解：由题意可知2a＝25.5，2b＝20.4，则c＝＝＝，所以椭圆的离心率为：e＝＝＝，故选：B．6．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0），斜率为1的直线l与双曲线C交于不同的A，B两点，且线段AB的中点为P（2，4），则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±2x B．C．D．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为P（2，4），则，，两式作差可得：，∴＝＝1，则＝1，得，∴．则双曲线C的渐近线方程是y＝±x，故选：C．7．（5分）第七届世界军运会于2019年10月18日至27日在中国武汉举行．某电视台在19日至24日六天中共有7场直播（如表所示），张三打算选取其中的三场观看．则观看的任意两场直播中间至少间隔一天（如第一场19日观看直播则20日不能观看直播）的概率是（）日期19日20日21日22日23日24日时间全天全天上午下午全天全天全天内容飞行比赛击剑射击游泳篮球定向越野障碍跑A．B．C．D．解：根据题意，一共7场比赛，从中任选3场，有C73＝35种情况，若观看的任意两场直播中间至少间隔一天，分2种情况讨论：若在21日观看直播，则21号有2种选法，第一场必须在19日，第三场可以在23日或24日，有2×2＝4种选法，若不在21日观看直播，第一场在19日或20日，第二场、第三场必须为22日和24日，有2种选法，则符合题意的选法有4+2＝6种，故其概率P＝，故选：B．8．（5分）已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P，Q分别是它们的在第一象限和第三象限的交点，且∠QF2P＝60°，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则等于（）A．4B．2C．2D．3解：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，P在双曲线的右支上，根据椭圆及双曲线的定义可得|PF1|+|PF2|＝2a1，|PF1|﹣|PF2|＝2a2，可得|PF1|＝a1+a2，|PF2|＝a1﹣a2，设|F1F2|＝2c，∠QF2P＝60°，∠F1PF2＝120°，在△PF1F2中由余弦定理得，4c2＝（a1+a2）2+（a1﹣a2）2﹣2（a1+a2）（a1﹣a2）cos 120°，化简得3a12+a22＝4c2，该式可化为：，结合e1＝，e2＝，∴则＝4．故选：A．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，漏选得3分，错选得0分.）9．（5分）某校对甲、乙两个数学兴趣小组的同学进行了知识测试，现从两兴趣小组的成员中各随机选取15人的测试成绩（单位：分）用茎叶图表示，如图，根据以上茎叶图，对甲、乙两兴趣小组的测试成绩作比较，下列统计结论正确的有（）A．甲兴趣小组测试成绩的平均分高于乙兴趣小组测试成绩的平均分B．甲兴趣小组测试成绩较乙兴趣小组测试成绩更分散C．甲兴趣小组测试成绩的中位数大于乙兴趣小组测试成绩的中位数D．甲兴趣小组测试成绩的众数小于乙兴趣小组测试成绩的众数解：由茎叶图可知，甲组数据集中在60分以上，而乙组数据比较分散，可知甲组的平均分数高于乙组，故A正确，B错误；甲组的中位数为77，乙组中位数为64，故C正确；甲组的众数为79，乙组众数为64，故D错误；故选：AC．10．（5分）下列说法中错误的是（）A．“m＝8”是“椭圆+＝1的离心率为”的充要条件B．设x，y∈R，命题“若x2+y2≠0，则xy≠0”是真命题C．“﹣4＜k＜2”是“方程表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件D．命题“若x＝3，则x2﹣4x+3＝0”的否命题是真命题解：“椭圆+＝1的离心率为”，可得＝或，所以m＝8或m＝2，所以A不正确；设x，y∈R，命题“若x2+y2≠0，不妨x＝1，y＝0，但是xy＝0”，所以设x，y∈R，命题“若x2+y2≠0，则xy≠0”是假命题，所以B不正确；“﹣4＜k＜2”推不出“方程表示的曲线为椭圆”，反之成立，所以“﹣4＜k＜2”是“方程表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件，所以C正确；命题“若x＝3，则x2﹣4x+3＝0”的否命题是：若x≠3，则x2﹣4x+3≠0，不正确，因为x＝1时，x2﹣4x+3＝0，所以命题“若x＝3，则x2﹣4x+3＝0”的否命题是假命题，所以D不正确；故选：ABD．11．（5分）某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据如表，现发现表中有个数据看不清，已知回归直线方程为，下列说法正确的是（）x23456y1925★3844A．看不清的数据★的值为34B．回归直线必经过样本点（4，★）C．回归系数6.3的含义是产量每增加1吨，相应的生产能耗实际增加6.3吨D．据此模型预测产量为7吨时，相应的生产能耗为50.9吨解：设看不清的数字为a，计算＝×（2+3+4+5+6）＝4，＝×（19+25+a+38+44）＝，代入回归直线方程中，得＝6.3×4+6.8，解得a＝34，所以＝32；所以看不清的数据★的值为34，A正确；又回归直线过样本点（4，32），所以B错误；回归系数6.3的含义是产量每增加1吨，相应的生产能耗预测增加6.3吨，所以C错误；x＝7时，＝6.3×7+6.8＝50.9，所以据此模型预测产量为7吨时，相应的生产能耗为50.9吨，D正确．故选：AD．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，抛物线的准线过双曲线的左焦点，A，B分别是双曲线C的左，右顶点，点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，记PA，PB的斜率分别为k1，k2，则下列说法正确的是（）A．双曲线C的渐近线方程为y＝±2xB．双曲线C的方程为C．k1k2为定值D．存在点P，使得k1+k2＝2解：∵双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，∴e＝，，渐近线方程为y＝，故A错误；又c＝，则a＝2，b2＝1，则双曲线方程为，故B正确；∵A（﹣2，0），B（2，0），设P（x，y），则＝，故C 正确；＝，∵点P在第一象限，渐近线方程为y＝，∴0＜k OP＜，则＞2，∴k1+k2＞1，即存在点P，使得k1+k2＝2，故D正确．故选：BCD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．（5分）某印刷厂的工人师傅为了了解112个印张的质量，采用系统抽样的方法抽取若干个印张进行检查，为此先对112个印章进行编号为：01，02，03，…，112，已知抽取的印张中最小的两个编号为05，13，则抽取的印张中最大的编号为109．解：已知抽取的最小的两个编号为05，13．则样本间隔为13﹣5＝8，则抽样样本数为112÷8＝14个，则抽取的学生中最大的编号5+8×13＝109，故答案为：109．14．（5分）已知命题“∃x∈R，x2+（a﹣1）x+1≤0”是真命题，则a的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．解：命题“∃x∈R，x2+（a﹣1）x+1≤0”是真命题，则△＝（a﹣1）2﹣4≥0，整理得a2﹣2a﹣3≥0，解得a≥3或a≤﹣1．故a的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．15．（5分）某抛物线形拱桥的跨度为20米，拱高是4米，在建桥时，每隔4米需用一根柱支撑，其中最高支柱的高度是 3.84米．解：建立如图所示的直角坐标系，设抛物线方程为x2＝﹣2py（p＞0），∵过定点B（10，﹣4），代入x2＝﹣2py，得p＝．∴x2＝﹣25y．当x＝2时，y＝，∴最长支柱长为4﹣|y|＝4﹣＝3.84（m），故答案为：3.84米．16．（5分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A（2，4），过点F的动直线l与抛物线交于M，N不同的两点，点M在y轴上的射影为点B，设直线KM，KN的斜率分别为k1和k2.则|MA|+|MB|的最小值为﹣1，k1+k2的值为0．解：如图，抛物线y2＝4x的焦点F（1，0），准线方程为x＝﹣1，K（﹣1，0），设M在准线上的射影为H，由抛物线的定义可得|MF|＝|MH|＝|MB|+1，即|MB|＝|MF|﹣1，则|MA|+|MB|＝|MA|+|MF|﹣1≥|AF|﹣1＝﹣1＝﹣1，当A，M，F三点共线时取得最小值﹣1；设过F的直线方程为x＝my+1，与抛物线y2＝4x联立，可得y2﹣4my﹣4＝0，设M，N的纵坐标分别为y1，y2，可得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，则k1+k2＝+＝＝0，故答案为：﹣1，0．四、解答题（本大题6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知命题p：对于任意x∈R，不等式4x2﹣4（m﹣2）x+1＞0恒成立．命题q：实数m满足的方程表示双曲线；（1）当a＝2时，若“p或q”为真，求实数m的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求a的取值范围．解：（1）若命题p为真命题，则Δ＝16（m﹣2）2﹣16＜0，解得1＜m＜3…（1分）当a＝2时，命题q：2＜m＜4……………………………………………………（2分）因为p或q为真，所以p真或q真…………………………………………………（3分）所以：1＜m＜3或2＜m＜4得：1＜m＜4………………………………………（5分）（2）若命题q为真命题，则a＜m＜2a……………………………………………（6分）因为￢p是￢q的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件………………（7分）所以：得：………………………………………………………（9分）经检验符合，所以a的取值范围为：………………………………………（10分）18．（12分）已知双曲线C的离心率为，点在双曲线上，且抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F与双曲线的一个焦点重合．（1）求双曲线和抛物线的标准方程；（2）过焦点F作一条直线l交抛物线于A，B两点，当直线l的斜率为时，求线段AB的长度．解：（1）设双曲线的方程为（a＞0，b＞0），由题设所以①，又点在双曲线上，所以②由①②解得a2＝9，b2＝3，故双曲线标准方程为；设双曲线的焦距为2c，因为c2＝a2+b2＝12，得，所以抛物线焦点为，即，所以抛物线的标准方程为．（2）设直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），联立得即，故，由抛物线定义知，，所以．19．（12分）小张准备在某县城开一家文具店，为经营需要，小张对该县城另一家文具店中的某种水笔在某周的周一至周五的销售量及单支售价进行了调查，单支售价x元和销售量y支之间的数据如表所示：星期12345单支售价x（元） 1.4 1.6 1.82 2.2销售量y（支）1311763（1）根据表格中的数据，求出y关于x的回归直线方程；（2）请由（1）所得的回归直线方程预测销售量为18支时，单支售价应定为多少元？如果一支水笔的进价为0.56元，为达到日利润（日销售量×单支售价﹣日销售量×单支进价）最大，在（1）的前提下应该如何定价？（其中：回归直线方程，，，）解：（1）因为，，所以＝＝，则＝8﹣（﹣12.5）×1.8＝30.5．所以，回归直线方程为．（2）当y＝18时，18＝﹣12.5x+30.5，得x＝1，假设日利润为L（x），则：L（x）＝（x﹣0.56）（30.5﹣12.5x），0.56＜x＜2.44，当x＝1.5元时，有L（x）max．答：单支售价为1元时，销售量为18件；为使日利润最大，单支定价为1.5元．20．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，且经过点Q．直线l过右焦点且不平行于坐标轴，l与椭圆C有两个不同的交点A，B，线段AB的中点为M．（1）点P在椭圆C上，求的取值范围；（2）证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值；解：（1）因为焦距2c＝2，则c＝1，所以左焦点F1（﹣1，0），右焦点F2（1，0），则2a＝|QF1|+|QF2|＝＝2，所以，所以a2＝2，b2＝1，所以椭圆方程为．设点P（x，y），则＝（﹣1﹣x，﹣y）•（1﹣x，﹣y）＝x2﹣1+y2＝＝．因为，所以的取值范围为：[0，1]．（2）设直线l的方程为y＝k（x﹣1）（k≠0），联立消去y得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，其中：2k2+1＞0，Δ＞0，不妨设A（x1，y1），B（x2，y2），M为线段AB的中点，则x1+x2＝，所以＝，y M＝k（x M﹣1）＝，所以＝，所以k OM×k l＝为定值．21．（12分）为让学生适应新高考的赋分模式某校在一次校考中使用赋分制给高二年段学生的生物成绩进行赋分，具体方案如下：A等级，排名等级占比7%，分数区间是83﹣100；B等级，排名等级占比33%，分数区间是71﹣82；C等级，排名等级占比40%，分数区间是59﹣70；D等级，排名等级占比15%，分数区间是41﹣58；E等级，排名等级占比5%，分数区间是30﹣40；现从全年段的生物成绩中随机抽取100名学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如图所示：（1）求图中a的值；（2）以样本估计总体的办法，估计该校本次生物成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的C等级及以上（含C等级）？（3）若采用分层抽样的方法，从原始成绩在[40，50）和[50，60）内的学生中共抽取5人，查看他们的答题情况来分析知识点上的缺漏，再从中选取2人进行调查分析，求这2人中至少一人原始成绩在[40，50）内的概率．解：（1）由题意（0.010+0.015+0.015+a+0.025+0.005）×10＝1，所以a＝0.030．（2）由已知等级达到C及以上所占排名等级占比为7%+33%+40%＝80%，假设原始分不少于x分可以达到赋分后的C等级及以上，则有：（0.010+0.015+0.015+0.03）×10+（x﹣80）×0.025＝0.8，所以x＝84（分），故原始分不少于84分才能达到赋分后的C等级及以上．（3）由题知评分在[40，50）和[50，60）内的频率分别为0.1 和0.15，则抽取的 5 人中，评分在[40，50）内的有 2 人，评分在[50，60）的有 3 人，记评分在[50，60）内的 3 位学生为a，b，c，评分在[40，50）内的 2 位学生为D，E，则从5 人中任选 2 人的所有可能结果为：（a，b），（a，c），（a，D），（a，E），（b，c），（b，D），（b，E），（c，D），（c，E），（D，E）共10 种，其中，这2 人中至少一人评分在[40，50）内可能结果为：（a，D），（a，E），（b，D），（b，E），（c，D），（c，E），（D，E），共7 种，所以这2 人中至少一人评分在[40，50）的概率为：P＝．22．（12分）如图所示，已知圆上有一动点Q，点F2的坐标为（1，0），四边形QF1F2R为平行四边形，线段F1R的垂直平分线交F2R于点P，设点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点F2的直线l与曲线C有两个不同的交点A，B，问是否存在实数λ，使得|AF2|+|BF2|＝λ|AF2|•|BF2|成立，若存在求出λ的值；若不存在，请说明理由．解：（1）|PF1|+|PF2|＝|PR|+|PF2|＝|RF2|＝|QF1|＝4＞|F1F2|；所以点P的轨迹C是以F1F2为焦点，以4为长轴长的椭圆所以2a＝4得a＝2，半焦距c＝1，所以b2＝a2﹣c2＝13，轨迹C的方程为：，经检验，轨迹C的方程为：（y≠0）．（2）显然直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝my+1，由消去x得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，y1y2＝，不妨设y1＞0，y2＜0，＝＝，同理＝，所以＝＝＝＝＝＝，即，所以存在实数使得|AF2|+|BF2|＝λ|AF2|•|BF2|成立．。
2020-2021学年福建省福州市八县市一中高一上学期期中联考数学试题
2020--2021学年度第一学期八县（市）一中期中联考高中一年数学科试卷命题学校： 命题教师： 审核教师：考试日期: 2020年11月12日 完卷时间：120分钟 满分：150分★★★★★ 祝考试顺利 ★★★★★第Ⅰ卷一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)1．设{}1,2,4,6,8U =，{}1,2,4A =，{}2,4,6B =，则下列结论中正确的是（ ） A. A B ⊆ B ．B A ⊆C. {}=2ABD ．(){}1U AC B =2．存在量词命题:p “2,220x R x x ∃∈-+≤”的否定是( )A. 2,220x R x x ∃∈-+≥B ．2,220x R x x ∃∈-+>C. 2,220x R x x ∀∈-+> D ．2,220x R x x ∀∈-+≤3．已知函数1,2()(3),2x f x f x x ≥=+<⎪⎩，则(1)(9)f f -=（ ）A. 1-B ．2-C. 6D ．74．下列函数中，()f x 与()g x 表示同一函数的一组是（ ）A. ()f x x =与2()xg x x= B ．()f x = ()g x = C.()f x x =与()||g x x = D ．()||f x x =与,0(),0x x g x x x ≥⎧=⎨-<⎩5. 某人骑自行车沿直线匀速．．行驶，先前进了a 千米，休息了一段时间，又沿原路返回b 千米()a b >， 再前进c 千米，则此人离起点的距离S 与时间t 的关系示意图是（ ）A. B ． C. D ．6. 已知函数2()=1f x x mx -+在区间(,2]-∞-上为减函数，则下列选项正确的是（ ）A. (1)6f < B ．(1)6f ≤ C. (1)2f ->- D ．(1)2f -≤-7. 若不等式()(2)0a x x ++<成立的一个充分不必要条件是21x -<<，则实数a 的取值范围为（ ）A. 1a ≤- B ．1a <- C. 2a ≤- D ．2a <-8．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为,,a b c ，三角形的面积S 可由公式()()()S p p a p b p c ---求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦----秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足10,8a b c +==，则此三角形面积的最大值为( )A. 6 B ．9 C. 12 D ．18二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9. 下列命题是真命题的是（ ）A. 若,a b c d ><，则a c b d ->- B ．若a b >,则11a b< C. 若0,0a b m >>>，则a a m b b m+>+ D ．若,a b c d >>，ac bd >10. 设全集{}{0,1,2,3,4,5}0,(){2,4}U U A B C A B ===，且，{}()1,3U C B A =，则下列判断正确的是（ ）A. {}1,3A = B ．{}0,2,4B =C. {}0,1,2,3,4AB = D ． {}()5UC A B =高一数学试卷 第 1页 共4页11. 若0,0m n >>，且11=1m n+，则下列说法正确的是（ ） A. mn 有最大值4 B ．2211m n+有最小值12C. 0,0m n ∀>>≤．0,0,m n ∃>>使得2m n += 12. 某同学在研究函数 2()=1xf x x+()x R ∈时，分别给出几个结论，其中错误．．的是（ ） A.,x R ∀∈都有 ()()=0f x f x -+ B ．()f x 的值域为11()22-， C. 若12=1x x ，则12()=()f x f x D ．()f x 在区间[1,1]-上单调递减第Ⅱ卷三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置上）13.已知函数()f x 是R 上的奇函数，当0x >时，22()=f x x x-，则(1)=f -________ 14. 已知正数．．,x y 满足11x y +=，则4y x+的最小值为____________ 15.已知函数()f x 满足()=()f x f x -,当12,(,0]x x ∈-∞时，总有1212()[()()]0x x f x f x -->， 若(21)(1)f m f ->，则实数m 的取值范围是___________16.设偶函数．．．()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，且满足(1)=1f ，对于任意1212,(0,)x x x x ∈+∞≠，，都有20202020211212()()0x f x x f x x x ->- 成立，则2020()1f x x ≥的解集为______________四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本题满分10分）已知集合{}2=60A x x x --≤ ，集合{}131B x a x a =-<≤+（1）当1a =时，求A B ，A B ；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围。
福建省福州市八县(市、区)一中2020-2021学年高二数学上学期期中试题(含解析)
福建省福州市八县（市、区）一中2020-2021学年高二数学上学期期中试题（含解析）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1.已知命题0:1p x ∃>，使得0lg 0x ，则p ⌝为（ ）A. 1x∀，总有lg 0x >B. 1x ∀>，总有lg 0x >C. 01x ∃>,使得0lg 0x >D. 01x ∃，使得0lg 0x >【答案】B 【解析】 【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可．【详解】命题是特称命题，则命题的否定是:1,p x ⌝∀>总有lg 0x >成立, 故选:B【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．属于基础题2.已知中心在原点的等轴双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，右顶点为)，则双曲线C 的焦距等于（ ）A. 2B.C. 4D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等轴双曲线的定义,右顶点以及双曲线中,,a b c 的关系式,计算可求解.【详解】因为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>为等轴双曲线,所以a b =,因为右顶点为0),所以a b ==所以焦距22222224c a b =+=+=. 故选:C【点睛】本题考查了等轴双曲线的定义,双曲线的几何性质,属于基础题. 3.不等式22530x x +-<的一个必要不充分条件是（ ） A. 61x -<<B. 132x -<<C. 30x -<<D.132x -<< 【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式得132x -<<,根据充分,必要条件的概念分析可求解. 【详解】由不等式22530x x +-<得(21)(3)0x x -+<,解得132x -<<,因为1(3,)2-=1(3,)2-,所以选项B 为充要条件,因为(3,0)-1(3,)2-,所以选项C 为充分不必要条件,因为1(,3)2-1(3,)2-,且1(3,)2-1(,3)2-,所以选项D 是既不充分也不必要条件,因为1(3,)2-(6,1)-,所以选项A 是必要不充分条件.故选:A【点睛】本题考查了必要不充分条件,属于基础题. 4.下列命题中正确的是（ ）A. 命题“若2320x x -+=，则1x =”的否命题为“若2320x x -+=，则1x ≠”；B. 命题“若平面向量,a b 共线，则,a b 方向相同”的逆否命题为假命题；C. 命题“若3a ≠或2b ≠，则5a b +≠”是真命题；D. 命题“若4a b +，则a b 、中至少有一个大于等于2”的逆命题是真命题. 【答案】B 【解析】 【分析】根据写否命题时,既要否定条件,又要否定结论可知,A 不正确;根据原命题为假命题且逆否命题与原命题同真假可知,B 正确; 根据逆否命题为假且原命题与逆否命题同真假可知,C 不正确; 根据否命题为假命题且逆命题与否命题同真假可知,,D 不正确.【详解】对于A ,命题“若2320x x -+=，则1x =”的否命题为“若2320x x -+≠，则1x ≠”,故A 不正确;对于B ,因为0a =时,满足向量,a b 共线,但是不能说,a b 方向相同,所以命题“若平面向量,a b 共线，则,a b 方向相同”是假命题,所以其逆否命题也是假命题,故B 正确;对于C ,因为命题“若3a ≠或2b ≠，则5a b +≠”的逆否命题”若5a b +=,则3a =且2a =”是假命题,所以原命题也是假命题,故C 不正确;对于D ,因为命题“若4a b +，则a b 、中至少有一个大于等于2”的否命题”若4a b +<,则a b 、都小于2”是假命题,所以逆命题也是假命题,故D 不正确. 故选:B【点睛】本题考查了四种命题及其真假的判断,属于基础题.5.已知椭圆的中心在原点，长轴长为12，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程是（ ）A. 221364x y +=B. 221364x y +=或221436x y += C. 2213632x y +=D. 2213632x y+=或2213632y x +=【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的几何性质得到22236,4,32a c b ===后,讨论焦点的位置可得椭圆方程. 【详解】设椭圆长半轴长,短半轴长,半焦距分别为,,a b c , 因为椭圆的长轴长为12，且两个焦点恰好将长轴三等分, 所以2212,23aa c ==, 所以6,2a c ==,所以22236432b a c =-=-=, 当焦点在x 轴上时,椭圆的标准方程为2213632x y +=,当焦点在y 轴上时,椭圆的标准方程为2213236x y+=, 故选:D【点睛】本题考查了椭圆的标准方程和几何性质,属于基础题.6.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c =，M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点，且1:1:4CN NA =.用,,a b c 表示向量MN 的结果是（ ）A.12a b c ++ B. 114555a b c ++C. 1315105a b c --D. 4345105a b c +-【答案】D 【解析】 【分析】根据向量加法的平行四边形,向量减法的三角形法则可得. 【详解】如图所示:因为MN AN AM =-11AC CN AA AM =+-- 111152AC CA AA AD =+--1111()52AC AA AC AA AD =+---1441552AC AA AD =-- 1441()552AB AD AA AD =+-- 14345105AB AD AA =+- 4345105a b c =+-. 故选:D【点睛】本题考查了向量加法的平行四边形,向量减法的三角形法,属于基础题.7.空间四边形ABCD 中若,,2,1,AB BD CD BD AC BD ⊥⊥==则AC BD ⋅=（ ）A.12B. 1D. 0【答案】B 【解析】 【分析】根据向量加法的三角形法则以及平面向量的数量积计算可得. 【详解】因为AC BD ⋅=()AB BC BD +()AB BD DC BD =++⋅2AB BD BD DC BD =⋅++⋅,因为AB BD ⊥,DC BD ⊥,所以0,0AB BD DC BD ⋅=⋅=, 所以AC BD ⋅=20101++=, 故选:B【点睛】本题考查了向量加法的三角形法则以及平面向量的数量积,属于基础题. 8.已知点P 为抛物线214y x =上的动点，点P 在x 轴上的射影为点H ，点A 的坐标为(12,6)，则+PA PH 的最小值是（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 10【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线的定义,得||||PA PH +||||11PA PH =++-=||||1PA PF +-,再利用两点之间连线段最短可得. 【详解】如图所示:设抛物线的焦点为F ,则(0,1)F , 因为||||PA PH +||||11PA PH =++-=||||1PA PF +-||1AF ≥-22(120)(61)112-+--=,当且仅当,,A P F 三点共线,且P 在线段AF 上时,取得等号. 故选:B【点睛】本题考查了抛物线的定义,属于基础题.9.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为11A B 、1CC 的中点，P 为AD 上一动点，记α为异面直线PM 与1D N 所成的角，则α的集合是（ ）A. {}2π B. {|}62ππαα≤≤ C. {|}42ππαα≤≤ D. {|}32ππαα≤≤ 【答案】A 【解析】分别以边1,,DA DC DD 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴，建立如图所示空间直角坐标系：设正方体边长为1,()(),0,001P x x ≤≤，并能确定以下几点坐标:()1111,,1,0,0,1,0,1,22M D N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;∴1111,,1,0,1,22PM x D N ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴10PM D N ⋅= ∴1PM D N ⊥ ∴2πα=故选A10.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点F 与抛物线()220y px p =>的焦点相同，点A 是两曲线的一个交点，且AF 垂直x 轴，则双曲线的离心率为（ ）C. 1D. 1+【答案】C 【解析】 【分析】分别在双曲线和抛物线中求出A 的坐标为2(,)b c a和(,)2p p ,由此列式可求得.【详解】不妨设A 在第一象限内,则在双曲线()222210,0x y a b a b-=>>中,(c,0)F ,2(,)b A c a ,在抛物线()220y px p =>中(,02p F ),(,)2pA p , 所以2p c =,且2b p a=,所以22b ac =,所以222c a ac -=,所以2()12cc aa-=, 所以2210e e --=,所以1e =1e =舍). 故选:C【点睛】本题考查了双曲线和抛物线的几何性质,属于基础题.11.已知椭圆222116x y a +=与双曲线22215x ym -=有公共焦点12,,F F 且两条曲线在第一象限的交点为P 点，则12PF F △的面积为（ ）A.112B.212C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线方程可知焦点在x 轴上,所以22165a m -=+,再联立椭圆与双曲线方程解得点P 的纵坐标的绝对值,然后利用面积公式121||||2F F y 可求得.【详解】因为双曲线22215x ym -=的焦点在x 轴上,所以椭圆222116x ya +=的焦点在x 轴上,所以22165a m -=+,即2221a m =+,联立22222211615x y a x y m ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ ,所以22222222165a y x a m y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,所以222222165a y m y a m -=+, 所以22222()165a m y a m +=-,所以22222516a m y m a -=+ 22222121516m m m m +-=++222116510580m m =++2218021105m ⨯=+2805m =+,所以||y =即点P,又12||F F =, 所以12PF F △的面积为121||||2F Fy 12=⨯=. 故选:C【点睛】本题考查了椭圆和双曲线共焦点问题,三角形面积公式,属于中档题.12.已知椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的内接ABC ∆的顶点B 为短轴的一个端点，右焦点F ，线段AB 中点为K，且2CF FK =,则椭圆离心率的取值范围为（ ）A. 03⎛ ⎝⎭，B. 03⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，C. ,13⎛⎫⎪⎪⎝⎭D. 13⎛⎫⎪⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】设1122(,),(,)A x y C x y ,所以11(,)22x y b K +,根据定比分点坐标公式可得弦AC 的中点坐标,再根据弦AC 的中点在椭圆内列不等式可解得. 【详解】设1122(,),(,)A x y C x y , 因为(0,)B b ,(c,0)F ,所以11(,)22x y b K +, 因为2CF FK =,所以2CF FK =,由定比分点坐标公式得,1212221222012x x c y b y ⎧+⨯⎪=⎪⎪+⎨+⎪+⨯⎪=⎪+⎩,化简得12123x x c y y b +=⎧⎨+=-⎩,所以弦AC 的中点坐标为3(,)22c b-,根据弦AC 的中点在椭圆内可得22223()()221c b a b -+<, 所以29344e <,所以213e <,又离心率(0,1)e ∈,所以e ∈. 故选:A【点睛】本题考查了椭圆的几何性质,定比分点的坐标公式,点与椭圆的位置关系,椭圆的离心率,属于中档题.第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡相应位置．） 13.命题“2,210x R mx mx ∀∈-+>”是真命题，则实数m 的取值范围为_____________.【答案】01m <【解析】 【分析】依题意列式0m =或0m >且2(2)40m m --<,可解得. 【详解】因为命题“2,210x R mx mx ∀∈-+>”是真命题, 所以2210mx mx -+>对任意实数x 都成立, 所以0m =或0m >且2(2)40m m --<,所以0m =或01m <<,综上所述:实数m 的取值范围是01m ≤<.故答案为: 01m ≤<【点睛】本题考查了一元二次不等式恒成立,分类讨论思想,属于基础题.14.双曲线2244x y -=的一条弦恰被点()8,1P 平分，则这条弦所在的直线方程是_____________.【答案】2150x y --=【解析】【分析】设弦为AB ,11(,)A x y ,22(,)B x y ,将,A B 的坐标代入椭圆方程作差,可求出弦的斜率,再由点斜式可解得.【详解】设弦为AB ,11(,)A x y ,22(,)B x y ,所以221144x y -=,222244x y -=,所以222212124()x x y y -=-, 所以121212124()y y x x x x y y -+=-+, 又弦AB 的中点为(8,1),所以122816x x +=⨯=,12212y y +=⨯=, 所以121216242AB y y k x x -===-⨯, 由点斜式得弦AB 所在直线的方程为:12(8)y x -=-,即2150x y --=.故答案为: 2150x y --=.【点睛】本题考查了点差法求弦的斜率,直线方程的点斜式,属于基础题.15.已知A 、B 是过抛物线22(0)y px p =>焦点F 的直线与抛物线的交点，O 是坐标原点，满足2,3OAB AF FB S AB ==，则p 的值为_______ 【答案】36【解析】【分析】 由题意首先求得倾斜角的三角函数值，然后结合面积公式和三角函数的定义可得p 的值.【详解】设焦点弦的倾斜角为α，由抛物线焦点弦的焦半径公式可知：1cos p AF α=-，1cos p BF α=+， 故：21cos 1cos p p αα=⨯-+，解得：1cos 3α=，故22sin 3α=， 设原点到直线AB 的距离为h ，则13,222OAB S AB AB h h ==⨯⨯∴=， 由三角函数的定义可得：23sin 2p α=，即22433p =，解得：36p =. 【点睛】本题主要考查抛物线的焦半径公式，抛物线中的三角形问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16.如图所示，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，ABC ∠=60且1=AA AB ，M 为侧棱1AA 的中点，,E F 分别是线段1BB 和线段1CC 上的动点(含端点)，且满足1BE C F =，当,E F 运动时，下列结论中正确的序号是_____________.①在△MEF 内总存在与平面ABCD 平行的线段；②平面MEF ⊥平面11BCC B ；③三棱锥1A MEF -的体积为定值；④△MEF 可能为直角三角形.【答案】①②③【解析】【分析】对于①,取EF 的中点G ,则可证MG 就是满足条件的线段;对于②,可证MG 与平面11BCC B 垂直,再由平面与平面垂直的判定定理可证;对于③,可用等体积法求得三棱锥1A MEF -的体积为定值;对于④, 设1A A AB a ==,BE t =,可求得三角形三边长,再用余弦定理判断三角形不可能是直角三角形.【详解】如图所示:取EF 的中点G ,BC 的中点H ,AB 的中点N ,连GH ,,,MG AH ,AC CN ,对于①,根据梯形中位线有11111()()222GH BE CF C F CF CC AM =+=+==,又////GH BE AM ,所以//GH AM ==, 所以四边形AHGM 为平行四边形,所以//MG AH ,又AH ⊂平面ABCD ,MG ⊄平面ABCD ,所以//MG 平面ABCD ,故①正确;对于②,在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，ABC ∠=60,所以AH BC ⊥,又直四棱柱的侧面与底面垂直,所以AH ⊥平面11BCC B ,而//MG AH ,所以MG ⊥平面11BCC B ,因为MG ⊂平面MEF ,所以平面MEF ⊥平面11BCC B ,故②正确, 对于③,设1A A AB a ==,则11A MEF F A ME V V --==1311113322224A ME CN S a a a ⋅=⨯⨯⨯=为定值,故③正确; 对于④, 设1A A AB a ==,BE t =,则EF =ME =MF =因为ME MF =,所以△MEF 为等腰三角形,所以M MEF FE =∠∠不可能为直角, 又2222222122()(2)2ME MF EF a a t a t a +-=+----221(44)2a at t =+- 2212()2t at a =--+2212()2t a a =--+, 因为0t a ≤≤,所以0t =或t a =时, 2212()2t a a --+取得最小值,最小值为212a , 所以222ME MF EF +-2102a ≥>, 所以222cos 2ME MF EF EMF ME MF+-∠=⋅>0,所以EMF ∠恒为锐角,不可能为直角,故④不正确.故答案为:①②③【点睛】本题考查了线面平行的判定定理,面面垂直的判定定理,等体积法求体积,余弦定理判断三角形形状,属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.若命题:p 实数x 满足240x x -，命题q ：实数x 满足(1)(1)0x a x a -+--()0a >.（1）当2a =且p q ∧为真命题时，求实数x 的取值范围；（2）若p 是q ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）34x （2）01a <≤【解析】【分析】(1) p q ∧为真命题时,p 与q 都是真命题,用04x 和1x -或3x ≥取公共部分即可得到;(2)利用真子集关系列式即可得到.【详解】解：（1）由:p ()40x x -，得04x ,当2a =时，由q ：()(12)120x x -+--，得1x -或3x ≥, ∴:q 1x -或3x ≥,p q ∧为真命题，p ∴真且q 真,34x ∴,∴实数x 的取值范围为34x .（2）因为0a >，由:q ⌝(1)(1)0x a x a -+--<,得()110a x a a -<<+>,设{|04},{|11,0}A x x B x a x a a ==-<<+>, p 是q ⌝的必要不充分条件，BA ∴, 1014a a -⎧∴⎨+⎩, 又0a >∴01a <≤,∴实数a 的取值范围为01a <≤.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法,命题的真假,必要不充分条件,属于中档题.18.（1）已知中心在原点的双曲线C的焦点坐标为(0，(0-，且渐近线方程为y =，求双曲线C 的标准方程；（2）在圆223x y +=上任取一点P ,过点P 作y 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当点P 在该圆上运动时，求线段PD 的中点M 的轨迹方程.【答案】（1）2212y x -=（2）221334x y += 【解析】【分析】(1)根据c =,ab=,,联立解方程组可解得a =1b =,从而可得; (2)设出M 的坐标为(),x y ,根据中点公式可得P 的坐标,再将P 的坐标代入椭圆方程可得.【详解】解：（1）依题可知双曲线的焦点在y 轴上， 则设其方程为：22221(0,0)y x a b a b-=>>，且c =①双曲线的渐近线方程为y =,即a b =② 又222a b c +=③，由①②③得1a b == 得双曲线方程为：2212y x -= （2）设轨迹上任一点M 的坐标为(),x y ，点P 的坐标为()00,x y ，则依题意可知D 点坐标为()00,yPD 的中点为M ，00,2x x y y ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩即002x x y y =⎧⎨=⎩ 点P 圆223x y +=上运动，02203x y ∴+=,所以22(2)3x y +=, 2243x y ∴+=，经检验所求方程符合题意,∴点M 的轨迹方程为221334x y +=． 【点睛】本题考查了双曲线的标准方程,代入法求曲线的轨迹方程,属于基础题.19.如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB =，1AF =，M是线段EF 的中点.(1)求证：//AM 平面BDE ；(2)求二面角A DF B --的大小. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）60【解析】试题分析：（1）证明线面平行常用方法：一是利用线面平行的判定定理，二是利用面面平行的性质定理，三是利用面面平行的性质；（2)把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;(3）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化．同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备．试题解析：（I ）记AC 与BD 的交点为O ，连接OE ，∵O 、M 分别是,AC EF 的中点，ACEF 是矩形∴四边形AOEM 是平行四边形，∴AM ∥OE ，∵OE ⊂平面BDEAM ⊄平面BDE ，∴AM ∥平面BDE 6分（Ⅱ）在平面AFD 中过A 作AS DF ⊥于S ，连接BS ，∵,,AB AF AB AD AD AF A ⊥⊥⋂=∴AB ⊥平面ADF ，∴AS 是BS 在平面ADF 上的射影，由三垂线定理点得BS DF ⊥∴BSA ∠是二面角A DF B --的平面角，在Rt ASB ∆中，62AS AB ==， ∴tan 3,60ASB ASB ∠=∠=二面角A DF B --的大小为608分另解：以C 为原点，CD 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，CE 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)C ，(2,0,0)D ，(2,2,0)A ，(0,2,0)B ，(0,0,1)E ，(2,2,1)F22(,,0)22M ，设AC 与BD 交于点O ，则 （I ）易得：，则∥，由OE ⊂面BDE ，故AM ∥面BDE ；（Ⅱ）取面ADF 的一个法向量为，面BDF 的一个法向量为， 则，故二面角A DF B --的大小为60．考点：证明线面平行及求二面角20.已知抛物线C 的方程为()220y px p =>，C 上一点3,2M m ⎛⎫ ⎪⎝⎭到焦点的距离为2. （1）求抛物线C 的方程及点M 的坐标；（2）过点()1,0P 的直线l 与抛物线C 交于点,A B ，与y 轴交于点Q ，设QA PA λ=,QB PB μ=,求证:λμ+是定值..【答案】（1）22y x =，3,32M ⎛ ⎝（2）证明见解析 【解析】【分析】(1)利用抛物线的定义列式可解得1p =,可得抛物线2:2C y x =,令32x =,可得m 的值; (2) 设直线l 的方程为()()10y k x k =-≠,并代入抛物线,由韦达定理以及向量关系可解得.【详解】解：（1）依题意得抛物线的准线为2p x =-， 抛物线上一点3,2M m ⎛⎫ ⎪⎝⎭到焦点的距离为2，由抛物线的定义可得3222p +=，1p ∴=，∴抛物线的方程为22y x=，232,32m m=⨯∴=±，3,32M⎛⎫∴±⎪⎝⎭.（2）当直线l的斜率不存在时不符合题意，故直线l的斜率k必存在且不为0.直线l过点()1,0P,∴设直线l的方程为()()10y k x k=-≠，当0x=时,y k=-，∴点Q坐标()0,k-，设()()1122,,,A x yB x y,由22y kx ky x=-⎧⎨=⎩,得22yy k k=-，整理得2220ky y k--=,20,480k k≠∴∆=+>，12122,2y y y yk∴+==-,()11,QA x y k∴=+，()111,PA x y=-,QA PAλ=,()()1111,1,x y k x yλ∴+=-，11,y k yλ∴+=即11,y kyλ+=同理可得22,y kyμ+=()121212121222212y y k y yy k y k kky y y yλμ++++∴+=+==+=-,即λμ+是定值.【点睛】本题考查了抛物线的定义,直线与抛物线的位置关系,韦达定理,向量的线性运算,属于中档题.21.如图所示，等腰梯形ABCD中,AB CD∥，2AD AB BC===，4CD=，E为CD中点，AE与BD交于点O，将ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置（P∉平面ABCE）．（1）证明：平面POB⊥平面ABCE；（2）若PB =6，试判断线段PB 上是否存在一点Q (不含端点),使得直线PC 与平面AEQ 所成角的正弦值为15，若存在，求出PQ QB 的值;若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析（2）存在点Q 为PB 的中点时，使直线PC 与平面AEQ 所成角的正弦值为15，1PQ QB = 【解析】【分析】(1)利用线面垂直的判定定理证AE ⊥平面POB,利用面面垂直的判定定理证平面POB⊥平面ABCE 可得;(2)利用222OP OB PB +=证明OP⊥OB,然后以O 为原点，,,OE OB OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，利用向量可求得直线PC 与平面AEQ 所成角的正弦值,根据已知列等式可解得.【详解】解：（1）证明：连接BE ,在等腰梯形ABCD 中，2AD AB BC ===，4CD =， E 为CD 中点，∴四边形ABED 为菱形，BD ∴⊥AE，,OB AE OD AE ∴⊥⊥，即,OB AE OP AE ⊥⊥,且,OB OP O =OB ⊂平面,POB OP ⊂平面POB ，∴AE⊥平面POB又AE ⊂平面ABCE ，∴平面POB⊥平面ABCE ．（2）由（1）可知四边形ABED 为菱形，2,AD DE ∴==在等腰梯形ABCD 中2,AE BC ==PAE ∴∆正三角形OP ∴=同理OB =6PB =,222OP OB PB ∴+=,∴OP⊥OB，由（1）可知,OP AE OB AE ⊥⊥，以O 为原点，,,OE OB OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，由题意得，各点坐标为(P ，()1,0,0A -，()B，()C ，()1,0,0E ,∴(0,3,3)(2,3,PB PC =-=，，(2,0,0),AE =设()01PQPB λλ=<<,,))AQ AP PQ AP PB λ=+=+=+=,设平面AEQ 的一个法向量为(,,)n x y z =,则00n AE n AQ ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即)200x x y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩,取0,1x y ==，得1z λλ=-，所以n ＝(0，1，1λλ-),设直线PC 与平面AEQ 所成角为02πθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，，则15sin cos ,5PC n PC n PC nθ⋅=<>===, 化简得：24410λλ-+=，解得12λ=, ∴存在点Q 为PB 的中点时，使直线PC 与平面AEQ 所成角的正弦值为5.【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定,平面与平面垂直的判定,线面角的向量求法,属于中档题.22.已知椭圆()2222:10x y C a ba b +=>>的离心率为2，椭圆C 截直线1x =所得线段的长.过椭圆C 上的动点P 作圆22(1)1x y -+=的两条切线分别交y 轴于,M N 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）求线段MN 长度的最大值，并求此时点P 的坐标．【答案】（1）2212xy+=（2）||MN取得最大值P位置是椭圆的左顶点(【解析】【分析】(1)根据离心率为2,椭圆C截直线1x=,列式可解得;(2)先求出点P的横坐标的取值范围,再设出过点P的圆的切线方程为y kx b=+,根据圆心到直线的距离求出212bkb-=,可得2(2)20x b yb x--+=,根据韦达定可得001212002,22y xb b b bx x--+==--,再求出弦长,并利用单调性求出最大值即可.【详解】解：（1）∵椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的离心率为2，所以2ca=,所以222a c=,又222a b c=+,∴,b c a==，当1x=时，22211y ba⎛⎫=-⋅⎪⎝⎭21(22==，∴222,1a b==，∴椭圆的方程是2212xy+=．（2）设00)(,P x y,由22221,2(1)1,xyx y⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩得2x=,2x=(舍去)，因为P在椭圆上,过P作椭圆的切线有两条,如图所示:∴)(02,00,22x ⎡∈--⎣．设过点P 的圆的切线方程为y kx b =+，∵圆心()10，到直线PM 的距离为1， 211k =+，化简得212b k b-=， ∴212b y x b b-=+．所以2(2)20x b yb x --+=,设()00,P x y 则()2000220x b y b x --+=，∴001212002,22y x b b b b x x --+==--， ∴()()222220000012121212200024448||()4()222y x x y x MN b b b b b b b b x x x -+-=-=-=+-=+=---．∵()00,P x y 是椭圆上的点，∴220012x y +=，所以220012x y =-, ∴()()()()22022000002222000044(1)822428442||2(2)222x x x x x x MN x x x x +-----+====-----， 令24()2(2)f x x =--(2,0)(0,22)x ∈-⋃-,∴()f x =[上单调递减，在(0,2内也是单调递减，所以2x =时,()f x 取得最小值1,x =,()f x 取得最大值又0x ≠,所以()(0)1f x f ≠= , ∴()()(0,11,22f x ∈，所以当0x =||MN 取得最大值此时点P 位置是椭圆的左顶点(．【点睛】本题考查了求椭圆标准方程,,点到直线距离,圆的切线方程,利用单调性求最大值,属于难题.。
福建省福州八县一中2020-2021学年高二上学期期中考试数学(理)试题
C．32 n mile/hD．36 n mile/h
11．等差数列{an}中， ， ,且 ， 为其前n项之和，则使 的最大正整数 是（ ）
A．198B．199C．200D．201
12． 中，三个内角 的对边分别为 ，若 成等差数列，且 ，则 （ ）
3．对于任意实数 ，不等式 恒成立，则实数 取值范围( )
A． B． C． D．
4．设 ，给出下列三个结论：① ；② ；③ ．其中所有的正确结论的序号是 ( )
A．①③B．①②C．②③D．①②③
5．若变量x，y满足约束条件 则z＝2x＋y的最大值为( )
A．0B．5C．-3D．-2
6．已知等比数列{an}的前n项和 ，则r=( )
（2）求 的值．
18．设函数 ，其中 ．
(1)若不等式 的解集为 ，求实数 值．
(2)当 时，解关于x的不等式 ．
19．已知数列 是等比数列， ， 是 和 的等差中项.
(1)求数列 的前n项和 ；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
20．如图，已知圆内接四边形ABCD中，AB=3,AD=2,∠BCD=1200．
(2)k≤f(x)恒成立⇔k≤f(x)min.
4．B
【解析】
【分析】
由题意逐一分析所给的说法是否正确即可.
【详解】
逐一分析所给的不等式：
由于 ，故 ，结合 可得 ，说法①正确；
由于 ，故幂函数 在区间 上单调递减，结合 可得 ，说法②正确；
由于 ，故 ，
对数函数 单调递减，故 ，说法③错误.
综上可得：所有的正确结论的序号是①②.
联立直线方程： ，可得点的坐标为： ，
福建省福州市八县(市)一中2021届高三上学期期中联考数学试题 Word版含答案
2020-2021学年度第一学期八县（市）一中期中试卷高中三年数学科试卷命题学校：永泰一中 命题教师：审核教师：考试日期：11月12日 完卷时间：120分钟 满分：150 分一、选择题（每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合A ={x ∈Z |x 2−5x −6≤0}， B ={x |2<2x <128}，则A ∩B =（ ） A ．{x |1<x ≤6}B ．{2,3,4,5,6}C ．{x |1≤x ≤6}D ．{−1,0,1,2,3,4,5,6}2．已知p ：“函数221y x ax =++在(1,)+∞上是增函数”，q ：“a >−2”，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件3．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且函数()f x 在[0,)+∞上是减函数，如果f (3)=−1，则不等式f (x −1)+1≥0的解集为（ ） A ． (−∞，2]B ．[2，+∞)C ．[−2，4]D ．[1，4]4．右图是一个正方体的展开图，则在该正方体中（ ）A ．直线AB 与直线CD 平行 B ．直线AB 与直线CD 相交C ．直线AB 与直线CD 异面且垂直D ．直线AB 与直线CD 异面且所成的角为60°5．记n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，若S 2=1，S 4=5，则S 7=（ ）． A ．S 7=10 B ．S 7=23 C ．S 7=623D ．S 7=12736．已知m >0，n >0，m +4n =2，则4m+1n的最小值为（ ）A ．36B ．16C ．8D ．47．已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0>ω，||2ϕπ<），其图象相邻两条对称轴之间的距离为4π，将函数()y f x =的图象向左平移316π个单位后，得到的图象关于原点对称，那么函数()y f x =的图象（ ） A ．关于点,016π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 B ．关于点,016π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．关于直线x =π4对称D ．关于直线x =−π4对称8．已知可导函数()f x 的定义域为(,0)-∞，其导函数()'f x 满足()2()0xf x f x '->，则不等式2(2020)(2020)(1)0f x x f +-+-<的解集为（ ）A ．(,2021)-∞-B ．(2021,2020)--C ．(2021,0)-D ．(2020,0)-二、选择题（每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的5分，有选错的得0分，部分选对得3分）9．已知复数z 满足(2i)i z -=(i 为虚数单位)，复数z 的共轭复数为z ，则（ ）A ．3||5z =B ．12i5z +=-C ．复数z 的实部为1-D ．复数z 对应复平面上的点在第二象限10．已知(2,4),(4,1),(9,5),(7,8)A B C D ，如下四个结论正确的是（ ）A ． AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC⃗⃗⃗⃗⃗ ； B ．四边形ABCD 为平行四边形；C ．AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； D ． |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√8511．在∆ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ， 若 222sin a a b c ab C +-=，cos sin a B b A c +=，则下列结论正确的是（ ）A ．tan 2C =B ．4A π=C ．2b =D ．∆ABC 的面积为612．已知直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，1AB BC BB ==，D 是AC 的中点，O 为1AC 的中点.点P 是1BC 上的动点，则下列说法正确的是（ ）A ．当点P 运动到1BC 中点时，直线1AP 与平面111ABC 所成的角的正切值为5B ．无论点P 在1BC 上怎么运动，都有11A P OB ⊥C ．当点P 运动到1BC 中点时，才有1A P 与1OB 相交于一点，记为Q ，且113PQ QA = D ．无论点P 在1BC 上怎么运动，直线1AP 与AB 所成角都不可能是30° 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若10cos 410πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin 2θ=________． 14．已知数列{}n a 的前n 项和S n =n 2−3n −1，则n a =__________．15．在三棱锥P ABC -中，平面PAB 垂直平面ABC ，PA =PB =AB =AC =2√3，120BAC ∠=︒，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为_________ .16．函数()f x 满足()()11f x f x +=-，当1x >时，()ln xf x x=，若()()2240f x mf x m -+=有8个不同的实数解，则实数m 的取值范围是______.四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2022-2023学年福建省福州市八县(市)一中高二上学期11月期中联考数学试题(解析版)
2022-2023学年福建省福州市八县（市）一中高二上学期11月期中联考数学试题一、单选题1．向量a ＝(1,－2,－3)，b ＝(2,－4,－6)，c ＝(12,0,4)，下列结论正确的是（ ） A ．a ∥b ，a ∥c B ．a ∥b ，a ⊥c C ．a ∥c ，a ⊥b D ．以上都不对【答案】B【分析】两向量平行则111221x y z x y z ==，两向量垂直则0a c ⋅=，根据这两条向量与坐标的关系进行判断即可. 【详解】因为123246--==--，所以a ∥b ， 因为()()11220340a c ⋅=⨯+-⨯+-⨯=，所以a c ⊥. 故选：B2．已知倾斜角为θ的直线l与直线30x +-=垂直，则tan 2θ的值为（ ） A．BC．D【答案】C【分析】根据给定条件，求出直线l 的斜率，进而求出倾斜角θ即可计算作答. 【详解】直线30x -=的斜率为l与直线30x +-=垂直，于是得tan θ=0θπ≤<，则3πθ=，所以2tan 2tan 3πθ==故选：C3．已知直线l 方程：()220kx y k k R -+-=∈，若l 不经过第四象限，则k 的取值范围为（ ） A ．1k ≤ B ．1k ≥ C ．0k ≤ D ．0k ≥【答案】B【分析】根据直线过定点(2,2)--，分0k >和0k ≤两种情况讨论即可得解. 【详解】根据直线方程可得(2)2y k x =+-，故直线过(2,2)--点，当0k >时，若直线过原点可得1k =， 当1k ≥时，直线不过第四象限， 当0k ≤时，直线过第四象限， 综上可得1k ≥， 故选：B4．已知圆C :（x -1）2+y 2=1，点P 为直线x -y +1=0上的任意一点，P A 为圆C 的切线（A 为切点），则|P A |的最小值为（ ）A ．1BC ．2D ．【答案】A【分析】由切线性质可得CA PA ⊥，所以221PA CP =-，若要PA 最小，只要CP 最小，根据点到直线垂线段最短，即可得解.【详解】根据题意圆的半径1r =，圆心为(1,0)， 根据切线性质可得CA PA ⊥， 所以22221PA CP AC CP =-=-， 若要PA 最小，只要CP 最小， 根据点到直线垂线段最短，min CP ==min 1PA ==，故选：A5．已知圆()221:125C x y ++=，圆()222:11C x y -+=，动圆M 与圆2C 外切，同时与圆1C 内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为（ ） A ．2213x y +=B ．22132x y +=C ．2219x y +=D ．22198x y【答案】D【分析】画图，分析出121262C M C M C C +=>=，确定圆心M 的轨迹为椭圆，求出23,8a b ==，得到轨迹方程.【详解】如图，由题意得：15C M MQ =-，21C M MP =+，其中MQ MP =，所以12125162C M C M MQ MP C C +=-++=>=，由椭圆定义可知：动圆圆心M 的轨迹为以12,C C 为焦点的椭圆，设22221x y a b +=， 则26,1a c ==，解得：2223,918a b a c ==-=-=，故动圆圆心M 的轨迹方程为22198x y .故选：D6．如图，直径为4的球放地面上，球上方有一点光源P ，则球在地面上的投影为以球与地面切点F 为一个焦点的椭圆，已知是12A A 椭圆的长轴，1PA 垂直于地面且与球相切，16PA =，则椭圆的离心率为（ ）A ．12B ．23C ．13D 2【答案】A【分析】根据给定条件，结合球的性质作出截面12PA A ，再结合三角形内切圆性质求出12A A 长即可作答.【详解】依题意，平面12PA A 截球O 得球面大圆，如图，12Rt PA A 是球O 大圆的外切三角形，其中112,PA A A 切圆O 于点E ，F ，显然112A E A F OE ===，而16PA =，则4PE =，又1OE PA ⊥，有1tan 2OE OPE PE ∠==， 由圆的切线性质知，1222tan 4tan tan 21tan 3OPE A PA OPE OPE ∠∠=∠==-∠，在12Rt PA A 中，112PA A A ⊥，则12112tan 8A A PA A PA =⋅∠=，于是得椭圆长轴长28a =，即4a =， 又F 为椭圆的一个焦点，令椭圆半焦距为c ，即有12a c A F -==，因此2c =， 所以椭圆的离心率12c e a ==. 故选：A7．如图，已知正三棱柱111ABC A B C 的所有棱长均为1，则线段1AB 上的动点P 到直线1BC 的距离的最小值为（ ）A 3B 2C 5D ．13【答案】C【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到直线距离建立函数，再求出函数最小值作答.【详解】在正三棱柱111ABC A B C 中，在平面ABC 内过A 作Ay AB ⊥，显然射线1,,AB Ay AA 两两垂直，以点A 为原点，射线1,,AB Ay AA 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图，因正三棱柱111ABC A B C 的所有棱长均为1，则1113(1,0,0),(1,0,1),(,,1)22B BC ，1113(1,0,1),(,,1)22AB BC ==-，因动点P 在线段1AB 上，则令1(,0,),01AP t AB t t t ==≤≤，即有点(,0,)P t t ，(1,0,)BP t t =-，2222||(1)221BP t t t t =-+=-+，111(1)||22BP BC t BC ⋅=+，因此点P 到直线1BC 的距离222221111597||()221(21)8848||BP BC d BP t t t t t t BC ⋅=-=-+-++=-+215315()8555t =-+≥，当且仅当35t =时取等号，所以线段1AB 上的动点P 到直线1BC 的距离的最小值为55. 故选：C8．如图，把椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>绕短轴旋转形成的几何体称为“扁椭球”，其中a 称为扁椭球长半径，b 称为扁椭球短半径，a b e a -=称为扁椭球的“扁率”.假设一扁椭球的短半径为22，且一棱长为1的正方体内接于扁椭球（即正方体的8个顶点都在扁椭球球面上），则此扁椭球的扁率为（ ）A ．31 B ．21C ．12D 22【答案】B【分析】根据旋转体特性可知“扁椭球”每一个水平切面都是圆形，根据内接正方形与圆得关系求出一组(),x y代入椭圆方程即可求出a，最后得出答案.【详解】由题可知“扁椭球”每一个水平切面都是圆形，所以正方体上方正方形与所在圆面内接，因为正方体棱长为1根据图像的对称性可知，正方体上方正方形所在位置x=，12 y=，将其代入椭圆方程得2222121a⎛⎫⎪⎝⎭⎝⎭+=⎝⎭，解得1a=，1211a bea-===故选：B二、多选题9．下列结论不正确的有（）A．如果0AC<，0BC<，那么直线0Ax By C++=不经过第三象限；B．过点()2,2-且在x轴上的截距是y轴上截距的2倍的直线方程为：220x y+-=；C．直线l：210x y+-=在x轴的截距为1-；D．直线l：330x-=的倾斜角为6π；【答案】BCD【分析】根据直线方程的倾斜角、斜截式、截距式的概念与图象性质，以及直线方程不同形式与一般式的转化，即可判断正误.【详解】解: 对于A，易得0B≠，直线方程0Ax By C++=可化为A Cy xB B=--，0AC <，0BC<，∴A与C符号相反，B与C符号相反，则A与B符号相同，∴直线的斜率0AkB=-<，在y轴上的截距0CbB=->，∴直线0Ax By C++=不经过第三象限，A选项正确；对于B，当在x轴上的截距不为0时，由题可设直线方程为12x ya a+=，因为点()2,2-在直线上，则22112aa a-+=⇒=，所以直线方程为12xy +=，即220x y +-=，当在x 轴上的截距为0时，直线过原点，可设直线方程为y kx =， 因为点()2,2-在直线上，221k k =-⇒=-所以直线方程为y x =-，即0x y +=，B 选项错误； 对于C ，已知直线l ：210x y +-=， 当0y =时，101x x -=⇒=直线l ：210x y +-=在x 轴的截距为1，C 选项错误； 对于D ，直线l ：3330x y +-=可化为33y x =-+， 设倾斜角为α，则tan 3k α==-， 而[)0,απ∈，所以23πα=，D 选项错误； 故选：BCD.10．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点，则下列结论中正确的是（ ）A ．D 1D ⊥AFB ．A 1G //平面AEFC ．异面直线A 1G 与EF 5D ．点G 到平面AEF 的距离是点C 到平面AEF 的距离的2倍 【答案】BD【分析】建立以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为x 轴，DD 1所在直线为x 轴的空间直角坐标系，根据向量关系即可求出各选项答案.【详解】如图建立以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为x 轴，DD 1所在直线为x 轴的空间直角坐标系，且设DA =2因为11//DD CC ，且1CC 与AF 不垂直，所以1DD 与AF 不垂直，A 错误；()2,0,0A ，()1,2,0E ，()0,2,1F ，则()1,2,0AE =-，()1,0,1EF =-设平面AEF 法向量为(),,n x y z =，则200n AE x y n EF x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，则()2,1,2n =()12,0,2A ，()2,2,1G ，()10,2,1A G =-，10A G n ⋅=，所以1AG n ⊥，B 正确 111110cos ,25A G EF A G EF A G EF⋅-==⋅C 错误 ()0,2,0C ，()1,0,1EG =，()1,0,0CE =点G 到平面AEF 的距离43EG n d n⋅==，点C 到平面AEF 的距离23CE n d n⋅==，D 正确 故选：BD11．已知椭圆()2221024x y b b+=<<的左､右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若22AF BF +的最大值为5，则下列说法正确的是（ ） A 3B ．当22AF BF +最大时，22AF BF = C ．椭圆离心率为12D ．2ABF △面积最大值为3【答案】BC【分析】根据椭圆的定义得到2222||488||AF BF AB a AF BF AB ++==⇒+=-，进而判断当AB x ⊥轴时，||AB 最小，此时8||AB -最大，进而求出b ,c ,即可判断A,B,C.设出直线AB 并代入椭圆方程并化简，进而根据根与系数的关系求出三角形的面积，然后求出其最大值，最后判断D.【详解】由题意：2a =，根据椭圆的定义可知，2222||488||AF BF AB a AF BF AB ++==⇒+=-，则8||AB -的最大值为5，根据椭圆的性质可知：当AB x ⊥轴时，||AB 最小，此时8||AB -最大，如图：将x c =-代入椭圆方程得：2222142c y by b+=⇒=±，则2||33,1AB b b c ==⇒==.所以短轴长为23A 错误；此时22AF BF =，B 正确；12c e a ==，C 正确； 对D ，设()()1122,,,A x y B x y ，:1AB l x ty =-，代入椭圆方程得：()2222133911043424ty y t y ty -⎛⎫+=⇒+--= ⎪⎝⎭，则1221223231494314t y y t y y t ⎧⎪+=⎪⎪+⎪⎨⎪-⎪=⎪+⎪⎩， 所以()22212121222239312||4333111444t t y y y y y y t t t ⎛⎫⎪+-=+-=+ ⎪ ⎪+++⎝⎭21231211,||311344u u t y y u u u+-==++，于是21212111212||||2112233ABF F F y y u uSu u =⨯⨯-=⨯⨯=++，由对勾函数的图象和性质可知：函数13y u u=+在[1,)+∞上是增函数，则函数1213y u u =+在[1,)+∞上是减函数.于是，当u =1，即t =0时，2ABF △面积最大值为3.故D 错误. 故选：BC.【点睛】本题答案D 的判断较为复杂，在求三角形面积时，注意要选线段12F F 作为底边将原三角形分为两个三角形，进而得到212121||||2ABF F F y S y =⨯⨯-；在处理212231||14t y y t +-=+最好采用换元法，这样可以简化运算.12．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为11A D 的中点，P 为对角线上1DB 的一个动点，过P 作与平面ACE 平行的平面，则此平面截正方体所得的截面（ ）A ．截面不可能是五边形B ．截面可以是正六边形C ．P 从D 点向1B 运动时，截面面积先增大后减小 D ．截面面积的最大值为2116【答案】ACD【分析】根据给定条件，作出过点A ，C ，E 的正方体截面，再结合正方体的结构特征及面面平行的判定、性质逐项推理或计算判断作答.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，取11C D 的中点F ，连接11,,EF CF AC ，而E 为11A D 的中点，则11////EF AC AC ，取,AB BC 的中点T ，Q ，连接11,,AT TQ QC ，有11////TQ AC AC ，AC ⊂平面,ACFE TQ ⊄平面ACFE ， 则//TQ 平面ACFE ，连11B D 交11,EF A C 分别于点01,N N ，连BD 交AC ，TQ 分别于01,O O ，连0011,O N O N 交1DB 于01,P P ，如图，显然01111101111244N N D N B D BD O O ====，又11//BD B D ，则四边形0011O N N O 是平行四边形，即0011//O N O N ，00O N ⊂平面ACFE ，11O N ⊄平面ACFE ，有11//O N 平面ACFE ，而11111,,O N TQ O O N TQ =⊂平面11AC QT ，于是得平面11//A C QT 平面ACFE ，并且四边形11AC QT 与四边形ACFE 面积相等，当点P 从D 点向1B 的移动过程中，点P 在线段0DP （不含端点）上时，截面与射线1DD 相交， 当交点在线段1DD （不含点D ）时，截面为三角形，并且逐渐变大，当交点在线段1DD 的延长线上时，截面还与平面1111D C B A 相交，截面为四边形，并且逐渐变大，当点P 在线段01P P （不含端点）上时， 截面与正方体的六个面相交，截面为六边形，并且先逐渐增大，截面经过01P P 的中点时截面面积最大，之后逐渐减小，当点P 在线段11P B （不含点1B ）时，截面由四边形变形为三角形，并且逐渐减小， 因此，截面不可能为五边形，A ，C 正确；221113252,422CE CD D E EF CF =+=+==，22210cos 2CF EF CE CFE CF EF +-∠==⋅ 即120CFE ∠≠，两边与CFE ∠两边分别平行的截面六边形顶角不等于120，因此截面六边形不是正六边形，B 不正确；令过01P P 中点的截面为六边形GHJKLM ，有3324GH KL AC ===11,GHB D N KLBD O ==，连ON ，有00//ON O N ，00ON O N ===00,N O 分别为等腰梯形ACFE 两底的中点，即有00O N AC ⊥，有ON KL ⊥，N 为GH 中点，O 为KL 中点，连HK ，GL ，即四边形GHKL 为矩形，点,M J 分别为棱11,AA CC 中点，MG ML =，等腰MGL 底边上的高1()2h AC KL =-=所以最大截面面积12122216GHKL MGLS S S =+=⨯=，D 正确. 故选：ACD【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.三、填空题13．设R m ∈，过定点A 的动直线260x my ++=和过定点B 的动直线260mx y m --+=交于点(,)P x y ，则22PA PB +的值是____. 【答案】25【分析】根据题意，由分析可得两条动直线所过定点即,A B 坐标，然后结合直线一般式方程判断两直线始终垂直，即可得PA PB ⊥，结合勾股定理即可求得22PA PB +的值.【详解】解：直线260x my ++=，整理成26my x =--，则002603y y x x ==⎧⎧⇒⎨⎨--==-⎩⎩，即()30A -,直线260mx y m --+=，整理成()126m x y -=-，则1012603x x y y -==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩，即()1,3B 又R m ∈，过定点A 的动直线260x my ++=和过定点B 的动直线260mx y m --+=始终垂直，(,)P x y 为两条垂直直线的交点 则有PA PB ⊥所以222224325PA PB AB +==+=. 故答案为：25.14．已知直线1:3210l x y --=和直线2320:13l x y --=，直线l 与12,l l 的距离分别为12,d d ，若12:1:2d d =，则直线方程l 的方程为__________.【答案】32110x y -+=或3250x y --=【分析】设直线l 的方程为320x y c -+=，则2113c c +=+，求出c ，即可求直线l 的方程． 【详解】设直线l 的方程为320x y c -+=，由平行线间的距离公式可得2113c c +=+，11c ∴=或5c =-，∴直线l 的方程为32110x y -+=或3250x y --=.故答案为：32110x y -+=或3250x y --=15．若直线240(0,0)ax by a b --=>>被圆224240x y x y +-++=截得的弦长为2，则11a b+的最小值为______ 【答案】2【分析】求出给定圆的圆心和半径，再由给定弦长建立a ，b 的关系，利用“1”的妙用求解作答. 【详解】圆22(2)(1)1x y -++=的圆心为(2,1)-，半径为1，依题意，直线240ax by --=过圆心(2,1)-， 即有224a b +=，即2a b +=，而0,0a b >>，因此1111111()()(2)(22)2222b a b aa b a b a b a b a b +=++=++≥+⋅=，当且仅当1a b ==时取等号，所以11a b+的最小值为2. 故答案为：216．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，M 为11A D 的中点，一光线从M 点出发，经平面1ACB 反射后恰好经过点1C ，则光线从点M 到点1C 所经过的路程为_______.13【分析】根据给定条件，作出点1C 关于平面1ACB 的对称点0C ，确定0C 位置，再利用余弦定理计算作答.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -的右侧拼接一个等大的正方体1111BCFE B C F E -，连接111,B F CF ，如图，连BF ，有11////B F BF AC ，连1C E ，由EF ⊥平面11CFF C ，1CF ⊂平面11CFF C ，得1CF EF ⊥， 又111,CF C F C FEF F ⊥=，则有1CF ⊥平面11,C EF C E ⊂平面1C EF ，即有11C E CF ⊥，同理11C E CB ⊥，而111,,CB CF C CB CF =⊂平面1ACB ，因此1C E ⊥平面1ACB ，则点1C 关于平面1ACB 的对称点0C 在直线1C E 上，连0C M 交平面1ACB 于点P ，连接1C P ，有10PC PC =， 于是得光线从M 点出发，经平面1ACB 反射后恰好经过点1C 的路径是1M P C --， 令点1C 到平面1ACB 的距离为h ，而11CB F 是正三角形，12CB 112133CB F S ==，在三棱锥111C CB F -中，由111111C CB F C C B F V V --=得：1111111133CB F C B F Sh S CC ⋅=⋅，3112=⨯，解得3h ，于是得10232C C h ==连接11,,EA EM C M ，则有22222222111112121()24EM EA A M EA AA A M =+=++=++=，而15C M =，13C E在10C MC 与1C ME 中，222222110011111011cos 22C M C C MC C M C E ME MC E C M C C C M C E+-+-=∠=⋅⋅，222220523235213[(()][((3)]4MC +-=+-，解得20134MC =，即013MC =所以光线从点M 到点1C 所经过的路程10013MP PC MP PC MC +=+==. 13 【点睛】关键点睛：涉及光的反射问题，作出发光点或光射到的终点关于反射面的对称点是解题的关键.四、解答题17．在ABC 中，(5,2)A -，(7,4)B ，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上. (1)求AB 边上的高CH 所在直线方程；(2)设过点C 的直线为l ，且点A 与点B 到直线l 距离相等，求l 的方程. 【答案】(1)3170x y ++= (2)3110x y -+=或511190x y --=【分析】(1) AB 边上的高线与直线AB 垂直，得到斜率，高线过C 点，点斜式求直线方程. (2)设直线方程，由点A 与点B 到直线l 距离相等求出未知系数，得到方程.【详解】（1）设00(,)C x y ，则 005040x y +=⎧⎨+=⎩， 解得0054x y =-⎧⎨=-⎩，∴(5,4)C --，由423,75AB k +==- 得13CH k =-， 1:4(5)3CH l y x +=-+，即3170x y ++=（2）当斜率不存在时，:5l x =-，不满足题意；当斜率存在时，设():45l y k x +=+，即540kx y k -+-=， 依题意得：22|5254||7454|11k k k k k k ++--+-=++ ，有102128k k -=-或102812k k -=-， 解得3k =或 511k =， 直线l 的方程为：43(5)y x +=+或 54(5)11y x +=+ ， 即：3110x y -+=或511190x y --=.18．如图，菱形ABCD 中，AB =2，60ABC ∠=︒，P 为平面ABCD 外一点，且平面P AD ⊥平面ABCD ，O 为AD 的中点，M 为PC 的中点.(1)求证：//OM 平面PAB ；(2)若PAD 为等边三角形，求点M 到平面P AB 的距离.【答案】(1)证明见解析 (2)155【分析】（1）取PB 的中点N ，连结MN ，AN ，MO ，构造平行四边形，通过证明线线平行从而证明线面平行；（2）根据已知条件通过面面垂直从而证明线面垂直，再以O 为原点，OA 、OC 、OP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，通过向量法计算点M 到平面P AB 的距离. 【详解】（1）取PB 的中点N ，连结MN ，AN ，MO ，⸪M 、N 为PC 、PB 的中点 ⸪//BC MN 且12MN BC =又⸪菱形ABCD ，O 为AD 中点，⸪//OA BC 且12OA BC =⸪//MN OA 且MN OA =，⸪四边形OANM 为平行四边形 ⸪//OM AN ，又OM ⊄平面PAB ，AN ⊂平面PAB ⸪//OM 平面PAB（2）连结PO 、OC ，又⸪菱形 60ABCD ABC ∠=︒，，CO AD ∴⊥又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，OC ⊂平面PAD ⸪OC ⊥平面PAD ，⸪PAD 为正三角形，⸪PO AD ⊥且3PO =如图建立以O 为原点，OA 、OC 、OP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则P （0，03，A （1，0，0），B （230），M （033设平面P AB 的法向量为()()(),,1,0,31,3,0nx y z AP AB ==-=， 则00n AP x n AB x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取31,1n=-（，）且AM ⎛=- ⎝⎭ ⸪M 到平面PAB的距离3AM nd n --⋅===即点M 到平面P AB 19．已知圆222:()()(0,0)C x a y b r a r -+-=>>0y +=上，且截x 轴的弦长为2，截y 轴的弦长为(1)求圆C 的方程；(2)若一光线从点(M出发，经直线40x y +-=反射后恰好与圆C 相切，求反射光线所在的直线方程.【答案】(1)()2214xy -+=（ (2)3x =40y -+-【分析】（1）由已知条件，用待定系数法列方程组解得,,a b r ，得到方程. (2) 求M 关于直线40x y +-=的对称点为M '，过M '的圆的切线为所求直线.【详解】（1）依题意得：22222201b b r a r +=+=⎨⎪+=⎪⎩，由0,0a r >>解得12ab r =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴圆C 的方程为 (22:(1)4x y -+=（2）设M 关于直线40xy +-=的对称点为00(,)M x y'， 由000(1)1341402x y y -=-=⎧⎪⇒⎨=⎪+⎩-=(3,4M '∴+设过M '与圆C 相切的直线为l ，当斜率不存在时，l ：x =3，圆心到直线距离d =3-1=r 符合条件；当斜率存在时，设l ：43(3)y k x --=- 即 3430kx y k --++=圆心到直线的距离 2|3343|21k k d k+-++==+，解得3k =，则直线l 的方程为： 433(3)y x --=- ，即： 34230.x y -+-=所以反射光线所在直线为：3x =或34230x y -+-= .20．已知直三棱111-ABC A B C 中，侧面11AA B B 为正方形，AB ＝BC ＝2，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的点，11BF A B ⊥.(1)证明：BF ⊥DE ；(2)当1B D 为何值时，直线AB 与平面DFE 所成角的正弦值最大. 【答案】(1)证明见解析； (2)112BD =.【分析】（1）根据给定条件，证明AB ⊥平面11BCC B ，再建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理作答.（2）设出点D 的坐标，利用空间向量求解作答.【详解】（1）在直三棱柱111-ABC A B C 中，侧面11AA B B 为正方形，则1AB BB ⊥，11//AB A B ，而11BF A B ⊥，即有AB BF ⊥，又11,,BF BB B BF BB =⊂平面11BCC B ，因此AB ⊥平面11BCC B ，而BC ⊂平面11BCC B ，则AB BC ⊥，显然1BB BC ⊥，以B 为原点，BA 、BC 、1BB 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图，则(2,0,0),(0,2,1),(1,1,0)A F E ，设(,0,2)(02)D a a ≤≤，即(0,2,1),(1,1,2)BF DE a ==--， 有220BF DE ⋅=-=，即有BF DE ⊥， 所以BF DE ⊥.（2）设平面DEF 的法向量为(,,)n x y z =，由（1）知，(1,1,1),(1,1,2)EF DE a =-=--, 则(1)200n DE a x y z n EF x y z ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，令3x =，得(3,1,2)n a a =+-，而(2,0,0)BA =，设直线AB 与平面DFE 所成的角为θ，则222||sin |cos ,|||||29(1)(2)2214n BA n BA n BA a a a a θ⋅=〈〉===+++--+显然当12a =时，max 6(sin )θ= 所以当112BD =时，直线AB 与平面DFE 所成角的正弦值最大.21．某沿海城市A 市气象观测站测定，在A 市正南方向3B ，并且台风中心正以20公里/小时的速度向北偏东30度方向直线移动，台风风圈半径（即以台风中心为圆心，风圈为半径的圆范围以内都会受到台风影响）为400公里. (1)经过多少小时A 市受到台风影响？影响时间多长？(2)若此台风经20小时以后登陆，登陆后强度减弱，风圈半径按5公里/小时的速度缩小，则台风B 影响A 市的持续时间为多少小时？【答案】(1)经过20小时A 市受到台风影响，影响时间为20小时 (2)323小时.【分析】（1）判断A 市受到台风影响，建立坐标系，根据台风中心到A 的距离不超过400公里，列不等式求解即可得；（2）根据实际情况，由于风圈缩小，根据台风中心到A 的距离不超过400()520t --公里，列不等式求解即可得.【详解】（1）如图：以B 点为原点建立坐标系，则台风B 正以20公里/小时的速度沿直线:3l y x = 移动，设经过t 小时台风到达P 点，则()10,103,0P t t t ≥,()0,4003A ，依题意得：400AP ≤()()22101034003400t t +-，整理得：26080002040t t t -+≤⇒≤≤， 所以402020-=（小时），∴经过20小时A 市受到台风影响，影响时间为20小时.（2()()()22101034003400520t t t +---， 整理得：21576092000t t -+≤，解得92203t ≤≤， 所以92322033-=（小时）， ∴台风B 影响A 市的时间为323小时. 22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>且四个点 3)A 、3 (,3)2B -、 (3)C -、7D 中恰好有三个点在椭圆C 上，O 为坐标原点. (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且90AOB ∠=︒，证明：直线l 与定圆222 :(0)O x y r r +=>相切，并求出r 的值. 【答案】(1)221164x y +=； (2)证明见解析，455r【分析】（1）根据给定条件，利用椭圆的对称性判断椭圆经过的三点，再代入求解作答.（2）直线l的斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理结合垂直的向量表示，并求出原点到直线l的距离，再讨论直线斜率不存在的情况作答.【详解】（1）由椭圆的对称性知，A，(C-必在椭圆上，则3(,2B不在椭圆上，有D在椭圆上，因此22224319714a ba b⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得4,2a b==，所以椭圆C的方程为221164x y+=.（2）当直线l的斜率不存在时，设:(44)l x m m=-<<，则点((,A mB m，因90AOB∠=︒，则||m||m=，即原点O到直线l当直线l的斜率存在时，设直线:l y kx t=+，1122(,),(,)A x yB x y，由22416y kx tx y=+⎧⎨+=⎩消去y并整理得：222(14)84160k x ktx t+++-=，有222222644(14)(416)0164k t k t k t∆-+->⇔+>=，122814ktx xk-+=+，212241614tx xk-=+，因90AOB∠=︒，则22121212121212()()(1)()OA OB x x y y x x kx t kx t k x x kt x x t⋅=+=+++=++++2222222222(1)(416)851616141414k t k t t ktk k k+---=-+==+++，整理得2216(1)5t k=+，满足0∆>，原点O到直线l的距离d=综上得：原点O到直线l，即直线l与圆22165x y+=相切，所以直线l与定圆222:(0)O x y r r+=>相切，r=.第 21 页共 21 页。
2021届福建省福州市八县(市)一中高三上学期期中联考数学试题(教师版含解析)
2020-2021学年度第一学期八县(市)一中期中试卷高中三年数学科试卷一､选择题(每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合{}{}2|560|22128xA x Z x xB x =∈--≤=<<，，则A B =( )A. {}|16x x <≤B. {}23456，，，， C. {}|16x x ≤≤ D. {}10123456-，，，，，，， 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合A ，B ，再求两集合的交集即可【详解】解：由2560x x --≤得16x -≤≤，由于x ∈Z ， 所以{}{}2|5601,0,1,2,3,4,5,6A x Z x x =∈--≤-=，由22128x <<，得17x <<，所以{}{}|2212817xB x x x =<<=<< 所以A B ={}23456，，，，， 故选：B2. 已知p ：“函数221y x ax =++在(1,)+∞上是增函数”，q ：“2a >-”，则p 是q 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】先求出命题p 对应的a 的取值范围，利用集合的包含关系即可判断. 【详解】由函数221y x ax =++在(1,)+∞上是增函数，因为221y x ax =++的对称轴为x a =-，开口向上，所有1a -≤，即1a ≥-，{}1a a ≥- {}2x a >-，∴p 是q 的充分不必要条件.故选：A.【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： (1)若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； (2)若p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集； (3)若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；(4)若p 是q 的既不充分又不必要条件，则q 对应的集合与p 对应集合互不包含．3. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且函数()f x 在[0,)+∞上是减函数，如果()31f =-，则不等式()110f x -+≥的解集为( )A. ](2-∞，B. [)2，+∞C. []24-，D. []14， 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得()f x 在[0，)+∞上为减函数，结合奇偶性以及()31f =-可得(|1|)f x f ⇒-|1|3x -，解出x 的取值范围，即可得答案．【详解】函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且函数()f x 在[0，)+∞上是减函数， 所以()f x 在(,0)-∞上是增函数，由f (3)1=-，则不等式(1)10(1)1(1)f x f x f x f -+⇒--⇒-(3)(|1|)f x f ⇒-(3)|1|3x ⇒-， 解之可得24x -，故不等式的解集为[2-，4]． 故选：C ．【点睛】将奇偶性与单调性综合考查一直是命题热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.4. 下图是一个正方体的展开图，则在该正方体中( )A. 直线AB 与直线CD 平行B. 直线AB 与直线CD 相交C. 直线AB 与直线CD 异面垂直D. 直线AB 与直线CD 异面且所成的角为60°【答案】D 【解析】 【分析】首先画出正方体的展开图的立体图，从而得到直线AB 与直线CD 为异面直线，再求异面直线所成角即可得到答案.【详解】正方体的展开图的立体图形如图所示：由图知：直线AB 与直线CD 为异面直线，故A ，B 错误；连接CE ，DE ，因为//AB CE ，所以DCE ∠或其补角为异面直线AB 与CD 所成角. 又因为DCE 为等边三角形，所以60DCE ∠=.所以直线AB 与直线CD 异面且所成的角为60°，故C 错误，D 正确. 故选：D【点睛】本题主要考查异面直线成角问题，属于简单题.5. 记n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，若2415S S ==，，则7S =( ). A. 710S = B. 723S =C. 7623S =D. 71273S =【答案】D 【解析】 【分析】利用等比数列前n 项和公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出这个数列的前7项和． 【详解】n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，21S =，45S =，∴21410(1)11(1)51q a q qa q q ⎧⎪>⎪⎪-⎪=⎨-⎪⎪-⎪=-⎪⎩，解得113a =，2q ，771(12)1273123S -∴==-．故选：D ．6. 已知0042m n m n >>+=，，，则41m n+的最小值为( ) A. 36 B. 16C. 8D. 4【答案】C 【解析】 【分析】 巧用“1”拼凑()41141=42m n m n m n ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，应用基本不等式即得结果. 【详解】0042m n m n >>+=，，，()411411=4=82126m n m n m n m m n n ⎛⎫⎛⎫∴+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭18=82⎛≥+ ⎝，当且仅当16=n m m n 时即11,4m n ==时等号成立，故41m n+的最小值为8. 故选：C.7. 已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0>ω，||2ϕπ<)，其图像相邻两条对称轴之间的距离为4π，将函数()y f x =的图像向左平移316π个单位后，得到的图像关于原点对称，那么函数()y f x =的图像( ) A. 关于点,016π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 B. 关于点,016π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C. 关于直线4x π=对称D. 关于直线4πx =-对称 【答案】A 【解析】根据函数()f x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为4π，可求得()f x 的周期T ，进而可求得ω的值，根据平移后图像关于原点对称，利用正弦函数图像与性质，即可求得ϕ的值，分别求得()f x 的对称中心、对称轴的表达式，逐一分析选项，即可得答案.【详解】因为函数()f x 图像相邻两条对称轴之间的距离为4π， 所以24T π=，即2T π=，所以24Tπω==，即()sin(4)f x x ϕ=+， 将函数()y f x =的图像向左平移316π个单位后，得到函数3sin[4()]16y x πϕ=++的图像，且其关于原点对称， 所以3416k πϕπ⨯+=()k ∈Z ，又||2ϕπ<，令k =1， 解得4πϕ=，即()sin(4)4f x x π=+，令4,()4x k k Z ππ+=∈，解得,()416k x k Z ππ=-∈，即对称中心为(,0)416k ππ- 令k =0，则一个对称中心为,016π⎛⎫- ⎪⎝⎭，故A 正确，B 错误； 令4,()42x k k Z πππ+=+∈，解得,()416k x k Z ππ=+∈，即对称轴为,()416k x k Z ππ=+∈，故C 、D 错误， 故选：A【点睛】本题考查正弦型函数的图像与性质，解题的关键在于，根据两对称轴间距离，分析图像，可求得ω的值，再根据平移后图像，求得ϕ的值，再求解即可；易错点为平移后解析式为3sin[4()]16y x πϕ=++，注意平移要对x 进行加减，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.8. 已知可导函数()f x 的定义域为(,0)-∞，其导函数()'f x 满足()2()0xf x f x '->，则不等式2(2020)(2020)(1)0f x x f +-+-<的解集为( )A. (,2021)-∞-B. (2021,2020)--C. (2021,0)-D. (2020,0)-【答案】B【分析】由题可得当(,0)x ∈-∞时，()2()0xf x f x '->，进而构造函数2()()f x g x x=，可判断()g x 在(,0)-∞上的单调性，进而可将不等式转化为(2020)(1)g x g +<-，利用()g x 的单调性，可求出不等式的解集．【详解】解：构造2()()(0)f x g x x x =<，则243()2()()2()()x f x x f x xf x f x g x x x ''⋅-⋅-'==，因为()2()0xf x f x '->，则()0g x '<∴函数()g x 在(,0)-∞上是减函数，∵不等式2(2020)(2020)(1)0f x x f +-+-<，且()2(1)(1)(1)1f g f --==--，等价于()()()()()2220201120201f x f g x +-<=-+-，即为(2020)(1)g x g +<-，所以2020120200x x +>-⎧⎨+<⎩，解得20212020x -<<-．故选：B【点睛】本题考查函数单调性的应用，构造函数2()()f x g x x=是解决本题的关键，属于中档题． 二､多选题(每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的5分，有选错的得0分，部分选对得3分)9. 已知复数z 满足(2i)i z -=(i 为虚数单位)，复数z 的共轭复数为z ，则( ) A. 3||5z =B. 12i5z +=-C. 复数z 的实部为1-D. 复数z 对应复平面上的点在第二象限【答案】BD 【解析】 【分析】因为复数z 满足(2i)i z -=，利用复数的除法运算化简为1255z i =-+，再逐项验证判断. 【详解】因为复数z 满足(2i)i z -=，所以()(2)1222(2)55i i i z i i i i +===-+--+所以5z ==，故A 错误；1255z i =--，故B 正确； 复数z 的实部为15- ，故C 错误； 复数z 对应复平面上的点12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限，故D 正确. 故选：BD【点睛】本题主要考查复数的概念，代数运算以及几何意义，还考查分析运算求解的能力，属于基础题. 10. 已知(2,4),(4,1),(9,5),(7,8)A B C D ，如下四个结论正确的是( ) A. AB AC ⊥；B. 四边形ABCD 为平行四边形；C. AC 与BD 夹角的余弦值为145； D. 85AB AC +=【答案】BD 【解析】 【分析】求出向量,,,AB AC DC BD 坐标，再利用向量的数量积、向量共线以及向量模的坐标表示即可一一判断. 【详解】由(2,4),(4,1),(9,5),(7,8)A B C D ，所以()2,3AB =-，()7,1AC =，()2,3DC =-， ()3,7BD =, 对于A ，143110AB AC ⋅=-=≠，故A 错误；对于B ，由()2,3AB =-，()2,3DC =-，则AB DC =， 即AB 与DC 平行且相等，故B 正确；对于C ，cos ,14550AC BD AC BD AC BD⋅===，故C 错误；对于D ，()||9,2AB AC +=-=D 正确； 故选：BD【点睛】本题考查了向量的坐标运算、向量的数量积、向量模的坐标表示，属于基础题. 11. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c，若222sin a a b c ab C =+-=，cos sin a B b A c +=，则下列结论正确的是( )A. tan 2C =B. 4A π=C. b =D.ABC 的面积为6【答案】ABD 【解析】 【分析】利用余弦定理，结合题意，可求得tan C的值，根据cos sin a B b A c +=，利用正弦定理边化角，可求得A∠的值，利用正弦定理及面积公式，可求得b 的值及ABC 的面积，即可得答案. 【详解】因为222sin a b c ab C +-=，所以222sin sin cos 222a b c ab C C C ab ab +-===， 所以sin tan 2cos CC C==，故A 正确； 因为cos sin a B b A c +=，利用正弦定理可得sin cos sin sin sin A B B A C +=， 因为()C A B π=-+，所以sin sin[()]sin()C A B A B π=-+=+，所以sin cos sin si sin()sin cos cos sin n A A B B A B A B A B ++==+， 即sin sin cos sin B A A B = 因为(0,)B π∈，所以sin 0B ≠， 所以tan 1A =，又(0,)A π∈， 所以4A π=，故B 正确；因为tan 2C =，(0,)C π∈所以sin 55C C ==所以sin sin()sin cos cos sin 252510B AC A C A C =+=+=+=， 因为sin sin a b A B=，所以31010sin1032 sin2a BbA⨯===，故C错误；1125sin10326225△==⨯⨯⨯=ABCS ab C，故D正确；故选：ABD【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面积的求法，解题的关键在于灵活应用正余弦定理及面积公式，考查计算化简的能力，属中档题.12. 已知直三棱柱111ABC A B C-中，AB BC⊥，1AB BC BB==，D是AC的中点，O为1A C的中点.点P是1BC上的动点，则下列说法正确的是()A. 当点P运动到1BC中点时，直线1A P与平面111A B C5B. 无论点P在1BC上怎么运动，都有11A P OB⊥C. 当点P运动到1BC中点时，才有1A P与1OB相交于一点，记为Q，且113PQQA=D. 无论点P在1BC上怎么运动，直线1A P与AB所成角都不可能是30°【答案】ABD【解析】【分析】构造线面角1PA E∠，由已知线段的等量关系求1tanEPPA EAE∠=的值即可判断A的正误；利用线面垂直的性质，可证明11A P OB⊥即可知B的正误；由中位线的性质有112PQQA=可知C的正误；由直线的平行关系构造线线角为11B A P ∠，结合动点P 分析角度范围即可知D 的正误 【详解】直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，1AB BC BB ==选项A 中，当点P 运动到1BC 中点时，有E 为11B C 的中点，连接1A E 、EP ，如下图示即有EP ⊥面111A B C∴直线1A P 与平面111A B C 所成的角的正切值：1tan EPPA E AE∠= ∵112EP BB =，22111152AE A B B E BB =+= ∴15tan 5PA E ∠=，故A 正确选项B 中，连接1B C ，与1BC 交于E ，并连接1A B ，如下图示由题意知，11B BCC 为正方形，即有11B C BC ⊥而AB BC ⊥且111ABC A B C -为直三棱柱，有11A B ⊥面11B BCC ，1BC ⊂面11B BCC ∴111A B BC ⊥，又1111A B B C B =∴1BC ⊥面11A B C ，1OB ⊂面11A B C ，故11BC OB ⊥同理可证：11A B OB ⊥，又11A B BC B ⋂=∴1OB ⊥面11A BC ，又1A P ⊂面11A BC ，即有11A P OB ⊥，故B 正确选项C 中，点P 运动到1BC 中点时，即在△11A B C 中1A P 、1OB 均为中位线∴Q 为中位线的交点 ∴根据中位线的性质有：112PQ QA =，故C 错误选项D 中，由于11//A B AB ，直线1A P 与AB 所成角即为11A B 与1A P 所成角：11B A P ∠结合下图分析知：点P 在1BC 上运动时当P 在B 或1C 上时，11B A P ∠最大为45°当P 在1BC 中点上时，11B A P ∠最小为23arctan302>=︒ ∴11B A P ∠不可能是30°，故D 正确 故选：ABD【点睛】本题考查了利用射影定理构造线面角，并计算其正弦值；利用线面垂直证明线线垂直；中位线的性质：中位线交点分中位线为1：2的数量关系；由动点分析线线角的大小三､填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.若cos 410πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin 2θ=________． 【答案】45-【解析】【分析】由题意利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得结果．【详解】解：若cos()4πθ-= 则214sin 2cos(2)2cos ()12124105ππθθθ=-=--=⨯-=-， 故答案为：45-． 【点睛】本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．14. 已知数列{}n a 的前n 项和231n S n n =--，则n a =__________.【答案】31242n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩，， 【解析】【分析】由11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩进行求解即可 【详解】解：当1n =时，111313a S ==--=-，当2n ≥时，22131[(1)3(1)1]24n n n S n n n n a n S --=-------==-，当 1n =时，1242a -=-≠，所以31242n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩，，， 故答案为：31242n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩，， 15. 在三棱锥P ABC -中，平面PAB 垂直平面ABC，PA PB AB AC ====120BAC ∠=︒，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为_________.【答案】52π【解析】【分析】如图，过点A 在面PAB 内作AQ AB ⊥交PAB △的外接圆于点Q ，平面PAB 垂直平面ABC ，两平面的交线为AB ，利用正弦定理和勾股定理，构造出Rt QHA ，然后，利用勾股定理得出2222(2)(2)448524R h r R =+=+==，进而求解可得 【详解】如图，过点A 在面PAB 内作AQ AB ⊥交PAB △的外接圆于点Q ，平面PAB 垂直平面ABC ，两平面的交线为AB ，AQ AB ⊥，AQ ⊂面PAB ，AQ ∴⊥面ABC ，PAB △的外接圆直径为234QB ==，222QA QB AB ∴=-=，而2h QA ==， ABC 中，23AB AC ==120BAC ∠=︒，30ACB ∴∠=︒，设底面ABC 的外接圆半径为r ，则243sin AB r BCA==∠R ，则有2222(2)(2)448524R h r R =+=+==，球的表面积为2452S R ππ==故答案为：52π【点睛】关键点睛：解题关键在于，构造直角三角形Rt QHA ，利用勾股定理得出2222(2)(2)448524R h r R =+=+==，进而求解16. 函数()f x 满足()()11f x f x +=-，当1x >时，()ln x f x x=，若()()2240f x mf x m -+=有8个不同的实数解，则实数m 的取值范围是______. 【答案】()24,22e e ⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭【解析】【分析】利用导数分析函数()y f x =在区间()1,+∞上的单调性与极值，由题意可知，函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，数形结合可知关于t 的二次方程2240t mt m -+=有两个大于e 的实根，利用二次方程根的分布可得出关于m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围.【详解】当1x >时，()ln x f x x=，()2ln 1ln x f x x -'=. 当1x e <<时，()0f x '<，此时函数()y f x =单调递减；当x e >时，()0f x '>，此时函数()y f x =单调递增.所以，函数()y f x =在x e =处取得极小值()f e e =，又()()11f x f x +=-，则函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，令()t f x =，作出函数()t f x =的图象如下图所示：由于关于x 的方程()()2240f x mf x m -+=有8个不同的实数解，则关于t 的二次方程2240t mt m -+=有两个大于e 的实数根，由二次方程根的分布可得224160240m m m e e me m ⎧∆=->⎪>⎨⎪-+>⎩，解得()2422e m e <<-. 综上所述，实数m 的取值范围是()24,22e e ⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭.故答案为：()24,22e e ⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭.【点睛】本题考查利用方程根的个数求参数，考查了导数的应用以及一元二次方程根的分布，考查数形结合思想的应用，属于较难题.四､解答题(本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.)17. 已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且233n n S a +=(1)求{}n a 的通项公式；(2)设3311log log n n n b a a ，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】(1)3n n a =；(2)1n n T n =+. 【解析】【分析】(1)利用1n n n a S S -=-可得{}n a 是以3为首项，3为公比的等比数列，即可求出通项公式；(2)利用裂项相消法可求.【详解】解：(1)1n =时，11233S a +=，11a S =，13a ∴=，2n ≥时，因为()312n n S a =-，所以()11312n n S a --=-. 相减得()132n n n a a a -=-，所以13n n a a -=. 所以{}n a 是以3为首项，3为公比的等比数列，所以1133n n n a a -=⋅=，即{}n a 通项公式为3n n a =.(2)由(1)可得()33111log log 1n n n b a a n n +==+111n n =-+. 所以12111111......12231n n T b b b n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111n n n =-=++. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：(1)对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；(2)对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和；(3)对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法；(4)对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}n a 是等差数列，公差为d ，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和.18. 在①()3cos cos cos sin C a B b A c C +=，②sin sin 2A B a c A +=，③()()2sin 2sin 2sin a b A b a B c C -+-=这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答. 已知ABC 的角A ，B ，C 对边分别为,,a b c ，3c =，而且___________.(1)求C ∠；(2)求ABC 周长的范围.【答案】条件选择见解析；(1)3π；(2)(2333⎤⎦，. 【解析】【分析】 (1)选①：由条件结合正弦定理可得()3cosCsin A B sinCsinC +=，即3tanC =，得出答案.选②：由条件结合诱导公式、正弦定理和二倍角公式可得122C sin =，从而得出答案. 选③：由条件结合正弦定理可得222a b c ab +-=，再根据余弦定理可得答案.(2)由(1)结合余弦定理可得223a b ab +-=,利用均值不等式可得周长的最大值，再利用三角形中两边之和大于第三边可得出答案.【详解】解：(1)选①：由正弦定理得()3cosC sinAcosB sinBcosA sinCsinC +=()3cosCsin A B sinCsinC +=因为0sinC tanC ≠∴=， 因为()03C C ππ∈∴=，，选②： 由正弦定理得2CsinAsin sinCsinA π-=， 因为02222c C C sinA cos sinC sin cos ≠∴==，因为02C cos ≠，所以122C sin =， 因为()03C C ππ∈∴=，，选③：因为()()2sin 2sin 2sin a b A b a B c C -+-=，所以()()2222a b a b a b c -+-=，即222a b c ab +-=， 所以2221cos 22a b c C ab +-==， 因为0C π<<，所以3C π=； (2)由(1)可知：3C π=，在ABC 中，由余弦定理得222cos 3a b ab C +-=，即223a b ab +-=，所以()()223334a b a b ab ++-=≤，所以a b +≤a b =时等号成立，所以a b c ++≤ABC 周长的最大值为又因为a b c +>=ABC 周长的取值范围为(【点睛】关键点睛：本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，解题的关键是利用正弦定理进行边化角，第(2)问中结合(1)的结果，利用余弦定理得到223a b ab +-=，先配方再利用均值不等式()()223334a b a b ab ++-=≤求出+a b 的范围，最后三角形中两边之和大于第三边得到三角形周长的范围，属于中档题.19. 已知如图①，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒且2AB =，E 为AD 的中点，将ABE △沿BE 折起使2AD =，得到如图②所示的四棱锥A BCDE -.(1)求证：平面ABE ⊥平面ABC ；(2)若P 为AC 的中点，求二面角P BD A --的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)17. 【解析】【分析】(1)利用题中所给的条件证明AE ED ⊥，BE DE ⊥，因为//BC DE ，所以BC BE ⊥，BC AE ⊥，即可证明BC ⊥平面ABE ，进一步可得面面垂直；(2)先证明AE ⊥平面BCDE ，以E 为坐标原点，EB ，ED ，EA 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面PBD 的一个法向量m ，平面BDA 的一个法向量n ，利用向量的夹角公式即可求解【详解】解：(1)在图①中，连接BD ，如图所示：因为四边形ABCD 为菱形，60A ∠=︒，所以ABD △是等边三角形.因为E 为AD 的中点，所以BE AE ⊥，BE DE ⊥.又2AD AB ==，所以1AE DE ==.在图②中，2AD =222AE ED AD +=，即AE ED ⊥.因为//BC DE ，所以BC BE ⊥，BC AE ⊥.又BE AE E =，AE ，BE ⊂平面ABE .所以BC ⊥平面ABE .又BC ⊂平面ABC ，所以平面ABE ⊥平面ABC .(2)由(1)知，AE DE ⊥，AE BE ⊥.因为BE DE E ⋂=，BE ，DE ⊂平面BCDE .所以AE ⊥平面BCDE .以E 为坐标原点，EB ，ED ，EA 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系：则()0,0,0E ，()0,0,1A ，)3,0,0B ，()3,2,0C ，()0,1,0D . 因为P 为AC 的中点，所以3122P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 所以31,1,22PB ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，31,0,22PD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭. 设平面PBD 的一个法向量为(),,m x y z =，由00PB m PD m ⎧⋅=⎨⋅=⎩得31023102x y z x z ⎧--=⎪⎨⎪-=⎪⎩. 令3z =，得1x =-，3y =-(133m =-，. 设平面BDA 的一个法向量为()111n x y z =，，.因为()31BA =-，，，()011AD =-，， 由00BA n AD n ⎧⋅=⎨⋅=⎩得1111300x z y z ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩ 令11x =，3z =3y =(133n =，，则1cos ,777m nm n m n ⋅===-⨯⨯， 所以二面角P BD A --的余弦值为17. 【点睛】思路点睛：证明面面垂直的思路(1)利用面面垂直的定义，(不常用)(2)利用面面垂直的判定定理；(3)利用性质：//αβ，βγαγ⊥⇒⊥.20. 如图，有一生态农庄的平面图是一个半圆形，其中直径长为2km ，C ､D 两点在半圆弧上满足AD BC =，设COB θ∠=，现要在此农庄铺设一条观光通道，观光通道由,,AB BC CD 和DA 组成.(1)若6πθ=，求观光通道l 的长度；(2)用θ表示观光通道的长l ，并求观光通道l 的最大值； 【答案】(1)观光通道长(2362km +；(2)当3πθ=时，观光通道长l 的最大值为5km . 【解析】【分析】(1)由6πθ=，得6OCD ODC π∠=∠=，然后在OCD ，OCB ，OAD △利用余弦定理求出,,CD BC AD的长，从而可得结果；(2)作OE BC ⊥，垂足为E ，在直角三角形OBE 中，sin sin 22BE OB θθ==，则有2sin 2BC AD θ==，同理作OF CD ⊥，垂足为F ，cos cos CF OC θθ==，即：2cos CD θ=，从而24sin 2cos 2l θθ=++，然后利用三角函数的性质可得结果【详解】(1)因为6πθ=，所以6OCD ODC π∠=∠=在OCD 中，利用余弦定理可得，2211211cos 33CD π=+-⨯⨯⨯=，所以3CD =同理62232BC AD -==-= 所以观光通道长2362l km =++-(2)作OE BC ⊥，垂足为E ，在直角三角形OBE 中，sinsin 22BE OB θθ==， 则有2sin 2BC AD θ==，同理作OF CD ⊥，垂足为F ，cos cos CF OC θθ==，即：2cos CD θ=，从而有：22124sin 2cos 4sin 4sin 44sin 522222l θθθθθ⎛⎫=++=-++=--+ ⎪⎝⎭ 因为02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以当3πθ=时，l 取最大值5， 即观光通道长l 的最大值为5km .【点睛】关键点点睛：此题考查余弦定理的应用，解题的关键是把,,CD BC AD 用含θ的式子表示，然后利用三角恒等变换公式转化为同角的三角函数求解，解题时要注意θ的取值范围21. 已知函数()ax f x xe =的极值为1e-. (1)求a 的值并求函数()f x 在1x =处的切线方程；(2)已知函数()()0mx lnx g x e m m=->，存在()0x ∈+∞，，使得()0g x ≤成立，求m 得最大值. 【答案】(1)1a =，切线方程为：2y ex e =-；(2)最大值为1e . 【解析】【分析】(1)利用切线方程的公式求解即可(2)将问题转化为mx me lnx ≤，经过放缩得mx lnx mxe xlnx lnxe ≤=，转化成()()f mx f lnx ≤，再利用导数判断()f x 的最值情况，进而可求得最终答案【详解】解：(1)()f x 定义域为R因为()()1ax f x e ax ='+若0a =则()f x 在R 上单调递增，无极值，不合题意，舍去若0a ≠则令()0f x '=得1x a =-所以11f a e ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭解得1a = 经检验，1a =符合题意.因为切线斜率()()11112f e e =+='又因为()1f e =所以切点为()1e ， 所以切线方程为：()21y e x e =-+即切线方程：2y ex e =-(2)因为存在()0x ∈+∞，，使得()0g x ≤成立 则mx lnx e m≤ 即mx me lnx ≤即mx lnx mxe xlnx lnxe ≤=即mx lnx mxe lnxe ≤即()()f mx f lnx ≤(*)由(1)得()()1x f x e x '=+所以()f x 在区间()1-∞-，上单调递减，在区间()1，-+∞上单调递增 因为00mx m x me lnx >>≤，，所以0lnx >，所以1x >即0mx >且0lnx >所以存在()1x ∈+∞，使得()()f mx f lnx ≤ 所以存在()1x ∈+∞，使得mx lnx ≤即()1lnx m x x≤∈+∞， 令()lnx s x x=所以()max m s x ⎡⎤≤⎣⎦ 因为()210lnx s x x '-==得x e = 所以()s x 在区间()1e ，上单调递增，在区间()e +∞，单调递减 所以()s x 的最大值为()1s e e =所以1m e≤又因为0m >，所以10m e <≤ 所以m 的最大值为1e 【点睛】关键点睛：解题的关键在于放缩得mx lnx mxe xlnx lnxe ≤=，把问题转化为()()f mx f lnx ≤，考查学生的转化化归和放缩的运用，属于难题22. 已知函数()()()2ln 1002x f x ax a x x -=+->≥+，. (1)当12a =时，讨论函数()y f x =的单调性； (2)若不等式()1f x ≥在[0,)x ∈+∞时恒成立，求实数a 的取值范围；(3)证明：()()*11111ln 1357212n n N n ++++<+∈+. 【答案】(1)在区间()02，上单调递减；在区间()2+∞，上单调递增；(2)[1，)+∞；(3)证明见解析. 【解析】【分析】(1)求出()f x 的导数，根据导数的正负即可判断单调性；(2)求出()f x 的导数，根据a 的范围讨论单调性，求出()f x 的最小值，满足()min 1f x ≥即可求出a 的取值范围；(3)由(2)可知当1a =时，不等式()1f x >在(0,)x ∈+∞时恒成立，可得11[ln(1)ln ]122k k k <+-+，即可得证. 【详解】解：(1)当12a =时，()()()221142122212x f x x x x -'=⋅-=+++， 当()0,2x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()2,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；所以()y f x =在区间()0,2上单调递减；在区间()2,+∞上单调递增；(2)()2224441(2)(1)(2)a ax a f x ax x ax x +-'=-=++++， 当1a ≥时，()0f x '≥，∴函数()y f x =在[)0+∞，上单调递增；当01a <<时，由()0f x '>可得x >∴函数在⎡⎫∞⎪⎢⎪⎣⎭上单调递增，在⎡⎢⎣上单调递减； ①当1a ≥时，函数()y f x =在[)0+∞，上单调递增， ()()01f x f ∴≥=，即不等式()1f x ≥，在[)0x ∈+∞，时恒成立，②当01a <<时，函数在0⎡⎢⎣上单调递减，存在00x ⎡∈⎢⎣使得()()001f x f <=，所以不合题意，舍去. 综上可知实数a 的取值范围为[)1,+∞；(3)由(2)得当1a =时，不等式()1f x >在(0,)x ∈+∞时恒成立， 即2ln(1)2x x x +>+，12ln(1)12k k ∴+>+，*()k N ∈. 即11[ln(1)ln ]122k k k <+-+， ∴11(ln 2ln1)32<-，11(ln3ln 2)52<-，11(ln 4ln3)72<-，11[ln(1)ln ]212n n n ⋯<+-+， 将上述式子相加可得()()()111111ln 1ln1ln 13572122n n n ++++<+-=++ 原不等式得证. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立问题，一般按如下规则转化，(1)对于[],x a b ∀∈，都有()f x m ≥恒成立，则()min f x m ≥；(2)对于[],x a b ∀∈，都有()f x m ≤恒成立，则()max f x m ≤.。
福建省福州市八县(市、区)一中2022-2023学年高三上学期期中联考数学试题含答案
2022—2023学年度第一学期八县(市、区)一中期中联考高中三年数学科试卷命题学校：长乐一中 命题教师：高三集备组 审核教师：考试时间：11月9日 完卷时间：120分钟 满 分：150分一、选择题（每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若z ＝1+i ，则 |i z +3| ＝（ ） A ．54B ．24C ．52D ．222．设全集为R ，集合A ＝{y |y ＝2x ，x ＜1}，B ＝{x |y ＝x 2－1}，则A ∩(∁R B )＝( )A ．{x |－1＜x ＜2}B ．{x |0＜x ＜1}C ．φD ．{x |0＜x ＜2} 3．已知f （x ）＝e x ，若a ＞0，b ＞0，且f （a ）•f （2b ）＝e 3，则ba 21+的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．29D ．54．已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，那么下列命题正确的是（ ） A ．如果α∥β，m ∥α，l ∥β，那么l ∥m B ．如果l ∥α，m ⊂α，且l ，m 共面，那么l ∥mC ．如果α⊥β，l ⊥α，那么l ∥βD ．如果l ⊥m ，l ⊥α，那么m ∥α 5．已知角θ的大小如图所示，则θθ2cos 2sin 1+＝（ ）A ．﹣35 B ．35C ．﹣4D ．46．2022年10月16日中国共产党第二十次全国代表大会在北京召开，这是全党全国各族人民在全面建设社会主义现代化新征程的一次盛会，其中《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种．这五种规格党旗的长a 1，a 2，a 3，a 4，a 5 （单位：cm ）成等差数列，对应的宽为b 1，b 2，b 3，b 4，b 5（单位：cm ） 且每种规格的党旗长与宽之比都相等．已知a 1＝288，a 5＝96，b 1＝192，则b 3＝（ ）A ．160B ．128C ．96D ．647．已知向量b a ,满足a＝5，b ＝6，b a •＝﹣6，则cos ＜b ，b a +＞ ＝（ ）A ．﹣75 B ．﹣3519 C ．3519 D ．75 8．已知实数y x ,满足333x ex-=，2ln 5+=ye y （其中e 是自然对数的底数），则=y x 3（ ）A ．5eB ．4e C ．3e D ．2e4πθyP (-1,4)x二、选择题（每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的5分，有选错的得0分，部分选对得2分） 9．已知函数f （x ）＝sin （2x +φ）（0＜φ＜π）的图像关于点)0,32(π中心对称，则（ ） A ．f （x ）在区间），（1250π单调递减B ．f （x ）在区间)1211,12(ππ-内有两个极值点C ．直线x ＝67π是曲线y ＝f （x ）的对称轴 D ．函数f （x ）的图像向右平移6π个单位长度可以到到函数g （x ）＝sin （2x +3π）10．已知函数f （x ）的定义域为R ，且f （x ）+f （x +2）＝2 ，若f （x ）的图象关于点（1，1）对称，f （0）＝0，则（ ）A ．f （2）＝4B ．f （x ）的图象关于直线x ＝2对称C ．f （x ）＝f （x +4）D ．f （2k ）＝1211．如图，已知正方体ABCD —1111D C B A 的棱长为1，P 为正方形底面ABCD 内一动点，则下列结论正确的有( )A ．三棱锥1B -11A D P 的体积为定值 B ．存在点P ，使得11D P AD ⊥C ．若11D P B D ⊥，则P 点在正方形底面ABCD 内的运动轨迹是线段ACD ．若点P 是AD 的中点，点Q 是1BB 的中点，过P ，Q 作平面α垂直于平面11ACC A ，则平面α截正方体111ABCD A B C D -的截面周长为3212．已知函数f （x ）＝e x ln （1+x ），则以下判断正确的是（ ） A ．函数y ＝f （x ）的零点是（0，0） B ．不等式f （x ）>0的解集是（0，+∞）． C ．设g （x ）＝f ′（x ），则g （x ）在[0，+∞）上不是单调函数 D ．对任意的s ，t ∈（0，+∞），都有f （s +t ）＞f （s ）+f （t ）．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．设a ，b ∈R ，写出一个使a ＜b 和ba 11<同时成立的充分条件，可以是 ． 14．已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为 ．15．在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ＝4， 点M 为边AB 的中点， 点P 在边BC 上，则CP MP •的最小值为 ．16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC AB ⊥,2AC =，14AA =，6AB =，点E ,F 分别是AA 1，AB 上的动点，那么11C E EF FB ++的长度最小值是 ， 此时三棱锥11B C EF -外接球的表面积为 .四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2020年福建省福州市八县一中高二(上)期中数学试卷
高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知命题p ：∃x 0>1，使得lgx 0≤0，则￢p 为( )A. ∀x ≤1，总有lgx >0B. ∀x >1，总有lgx >0C. ∃x 0>1，使得lgx 0>0D. ∃x 0≤1，使得lgx 0>02. 已知中心在原点的等轴双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)，右顶点为(√2,0)，则双曲线C 的焦距等于( )A. 2B. 2√2C. 4D. 4√23. 不等式2x 2+5x −3<0的一个必要不充分条件是( )A. −6<x <1B. −3<x <12C. −3<x <0D. −12<x <34. 下列命题中正确的是(( )A. 命题“若x 2−3x +2=0，则x =1”的否命题为“若x 2−3x +2=0，则x ≠1” B. 命题“若平面向量a ⃗ ,b ⃗ 共线，则a ⃗ ,b ⃗ 方向相同”的逆否命题为假命题 C. 命题“若a ≠3或b ≠2，则a +b ≠5”是真命题D. 命题“若a +b ≥4，则a 、b 中至少有一个大等于2”的逆命题是真命题．5. 已知椭圆的中心在原点，长轴长为12，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程是( )A. x 236+y 42=1B. x 236+y 42=1或x 24+y362=1 C. x 236+y322=1 D. x 236+y 322=1或y 236+x 322=16. 如图所示，在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=c ⃗ ，M 是A 1D 1的中点，点N 是CA 1上的点，且CN ：NA 1=1：4.用a ⃗ ,b ⃗ ,c ⃗ 表示向量MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的结果是( )A. 12a⃗ +b ⃗ +c ⃗ B. 15a⃗ +15b ⃗ +45c ⃗ C. 15a⃗ −310b ⃗ −15c ⃗ D. 45a⃗ +310b ⃗ −45c ⃗ 7. 空间四边形ABCD 中若AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AC =2，BD =1，则AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 12B. 1C. √3D. 08. 已知点P 为抛物线y =14x 2上的动点，点P 在x 轴上的射影为点H ，点A 的坐标为(12,6)，则|PA|+|PH|的最小值是( )A. 13B. 12C. 11D. 109. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为A 1B 1、CC 1的中点，P 为AD 上一动点，记α为异面直线PM 与D 1N 所成的角，则α的集合是( )A. {π2}B. {α|π6≤α≤π2} C. {α|π4≤α≤π2} D. {α|π3≤α≤π2}10. 已知双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的一个焦点F 与抛物线y 2=2px(p >0)的焦点相同，点A 是两曲线的一个交点，且AF 垂直x 轴，则双曲线的离心率为( )A. √3B. √2C. 1+√2D. 1+√311. 已知椭圆x 2a 2+y 162=1与双曲线x 2m 2−y 52=1有公共焦点F 1，F 2，且两条曲线在第一象限的交点为P 点，则△PF 1F 2的面积为( )A. 112B. 212C. 4√5D. 8√512. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的内接△ABC 的顶点B 为短轴的一个端点，右焦点F ，线段AB 中点为K ，且CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FK ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则椭圆离心率的取值范围为( )A. (0,√33) B. (0,√63) C. (√33,1) D. (√63,1) 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 命题“∀x ∈R ，mx 2−2mx +1>0”是真命题，则实数m 的取值范围为______． 14. 双曲线x 2−4y 2=4的一条弦恰被点P(8,1)平分，则这条弦所在的直线方程是______．15. 已知M 、N 是过抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线C 的交点，O 是坐标原点，且满足MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，S △OMN =√3|MN|，则p 的值为______． 16. 如图所示，在直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD为菱形，∠ABC =60°且AA 1=AB ，M 为侧棱AA 1的中点，E ，F 分别是线段BB 1和线段CC 1上的动点(含端点)，且满足BE =C 1F ，当E ，F 运动时，下列结论中正确的序号是______． ①在△MEF 内总存在与平面ABCD 平行的线段； ②平面MEF ⊥平面BCC 1B 1； ③三棱锥A 1−MEF 的体积为定值； ④△MEF 可能为直角三角形． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 若命题p ：实数x 满足x 2−4x ≤0，命题q ：实数x 满足(x −1+a)(x −1−a)≥0(a >0)．(Ⅰ)当a =2且p ∧q 为真命题时，求实数x 的取值范围； (Ⅱ)若p 是￢q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．18. (Ⅰ)已知中心在原点的双曲线C 的焦点坐标为(0,√3)，(0,−√3)，且渐近线方程为y =±√2x ，求双曲线C 的标准方程；(Ⅱ)在圆x 2+y 2=3上任取一点P ，过点P 作y 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当点P 在该圆上运动时，求线段PD 的中点M 的轨迹方程．19. 如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB =√2，AF =1，M 是线段EF 的中点．(1)求证：AM//平面BDE ； (2)求二面角A −DF −B 的大小．20. 已知抛物线C 的方程为y 2=2px(p >0)，C 上一M(32,m)点到焦点的距离为2．(Ⅰ)求抛物线C 的方程及点M 的坐标；(Ⅱ)过点P(1,0)的直线l 与抛物线C 交于点A ，B ，与y 轴交于点Q ，设QA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μPB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求证：λ+μ是定值．21. 如图所示，等腰梯形ABCD 中，AB//CD ，AD =AB =BC =2，CD =4，E 为CD中点，AE 与BD 交于点O ，将△ADE 沿AE 折起，使点D 到达点P 的位置(P ∉平面ABCE)．(Ⅰ)证明：平面POB ⊥平面ABCE ；(Ⅱ)若PB =√6，试判断线段PB 上是否存在一点Q(不含端点)，使得直线PC 与平面AEQ 所成角的正弦值为√155，若存在，求出PQQB 的值；若不存在，说明理由．22. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，椭圆C 截直线x =1所得线段的长度为√2.过椭圆C 上的动点P 作圆(x −1)2+y 2=1的两条切线分别交y 轴于M ，N 两点．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)求线段MN 长度的最大值，并求此时点P 的坐标．答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p：∃x0>1，使得lgx0≤0，则￢p为：∀x>1，总有lgx>0．故选：B．直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．本题考查命题的否定．特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．2.【答案】C【解析】解：中心在原点的等轴双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，右顶点为(√2,0)，可得a=b=√2，则c=√a2+b2=2，可得双曲线C的焦距为2c=4．故选：C．由等轴双曲线的定义可得a=b=√2，再由a，b，c的关系可得c，即可得到焦距2c．本题考查双曲线的方程和性质，注意等轴双曲线的定义，考查运算能力，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：由2x2+5x−3<0，解得−3<x<12．∵(−3,12)⫋(−6,1)，∴不等式2x2+5x−3<0的一个必要不充分条件是−6<x<1．故选：A．求解一元二次不等式可得不等式2x2+5x−3<0的解集，然后结合充分必要条件的判定得答案．本题考查一元二次不等式的解法，考查充分必要条件的判定，是基础题．4.【答案】B【解析】解：A.命题“若x2−3x+2=0，则x=1”的否命题为“若x2−3x+2≠0，则x≠1”，故A错误；B .因为“若平面向量a ⃗ ,b ⃗ 共线，则a ⃗ ,b ⃗ 方向相同或相反或至少有一个零向量”故原命题为假命题，逆否命题也是假命题，B 正确；C .命题“若a ≠3或b ≠2，则a +b ≠5”的逆否命题是：若a +b =5，则a =3且b =2，是假命题，故C 错误；D .命题“若a +b ≥4，则a 、b 中至少有一个大等于2”的逆命题为：“若a 、b 中至少有一个大等于2，则a +b ≥4”逆命题是假命题，故D 错误． 故选：B ．(1)由否命题的意义即可判断出正误； (2)由逆否命题的意义即可判断出正误； (3)由原命题与逆否命题等价，即可判断出结论； (4)写出逆命题，即可判断出正误．本题考查简易逻辑的有关知识：四种命题以及真假关系，注意命题的否定和原命题的否命题的区别，本题是一道基础题．5.【答案】D【解析】解：根据题意，要求椭圆的长轴长为12，则2a =12，即a =6， 又由两个焦点恰好将长轴三等分，则2c =4，则c =2， 则b =√a 2−c 2=√32，若椭圆的焦点在x 轴上，则椭圆的标准方程为x 236+y 232=1， 若椭圆的焦点在y 轴上，则椭圆的标准方程为y 236+x 232=1，则要求椭圆的标准方程为x 236+y 232=1或y 236+x 232=1， 故选：D ．根据题意，分析要求椭圆的a 、c 的值，进而计算可得b 的值，分别讨论椭圆焦点的位置，求出其对应的标准方程，综合即可得答案．本题考查椭圆的标准方程，注意分析椭圆焦点的位置，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：连接MN ，在△A 1MN 中，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∵M 是A 1D 1的中点，∴MA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=−AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=−12b ⃗ ， ∵点N 是CA 1上的点，且CN ：NA 1=1：4．∴A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =45A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =45(A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =45(−AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=45(−c ⃗ +a ⃗ +b ⃗ )∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12b ⃗ +45(−c⃗ +a ⃗ +b ⃗ )=45a ⃗ +310b ⃗ −45c ⃗ ， 故选：D ．连接MN ，在△A 1MN 中，由向量加法的三角形法则知MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，由M 是A 1D 1的中点，用b ⃗ 表示出MA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，由条件：点N 是CA 1上的点，且CN ：NA 1=1：4，得到A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =45A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 再用a ⃗ ,b ⃗ ,c ⃗ 表示向量A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗即可． 本题考查了空间向量及其线性运算，熟练掌握平面向量的三角形加法法则，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：因为AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=1． 故选：B ．根据条件可知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，故可将AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 化简成BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=1即可． 本题考查平面向量基本定理，将AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 化简成BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2是关键，属于中档题． 8.【答案】B【解析】解：化抛物线y =14x 2为标准形式x 2=4y ， 得它的焦点为F(0,1)，准线为l ：y =−1， 延长PH 交准线于G ，连接PF ，根据抛物线的定义，得：|PA|+|PH|=|PA|+|PG|−1=|PA|+|PF|−1， ∵|PA|+|PF|≥|AF|，∴当且仅当P 、A 、F 三点共线时，|PA|+|PF|=|AF|为最小值． ∵|AF|=√122+(6−1)2=13， ∴|PA|+|PH|的最小值为13−1=12． 故选：B ．求出抛物线焦点为F(0,1)，准线为y =−1，延长PH 交准线于G ，连接PF ，由抛物线定义得|PA|+|PH|=|PA|+|PF|−1，可知当P 、A 、F 三点共线时，|PA|+|PF|=|AF|为最小值，由此即可求得|PA|+|PH|的最小值．本题给出抛物线上动点，求该点到定点与抛物线准线的距离之和的最小值，着重考查了抛物线的定义和简单几何性质等知识，属于中档题．9.【答案】A【解析】解：如图，分别以边DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体边长为1，P(x,0，0)(0≤x ≤1)，并能确定以下几点坐标：M(1,12,1)，D 1(0,0，1)，N(0,1，12)； ∴PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−x,12,1),D 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−12)； ∴PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅D 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0； ∴PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥D 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴α=π2． 故选：A ．根据已知条件建立空间直角坐标系，求出向量PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,D 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，求这两向量夹角即可． 考查异面直线所成角，以及通过建立空间直角坐标系，用向量求异面直线所成角的方法，两非零向量垂直的充要条件..10.【答案】C【解析】解：双曲线的焦点坐标为(c,0)，抛物线的焦点坐标为(p2,0)． 由题意得，p =2c ，∵点A 是两曲线的一个交点，且AF ⊥x 轴，将x=c代入双曲线方程得到：A(c,b2a)，将A的坐标代入抛物线方程得到b4a2=2pc，即4a4+4a2b2−b4=0．解得ba=√2+2√2，∴b2a2=c2−a2a2=2+2√2，解得：ca=1+√2．故选：C．求出抛物线与双曲线的焦点坐标，将其代入双曲线方程求出A的坐标，将A代入抛物线方程求出双曲线的三参数a，b，c的关系，则双曲线的渐近线的斜率可求．本题考查由圆锥曲线的方程求焦点坐标、考查双曲线中三参数的关系及由双曲线方程求双曲线的离心率，是中档题．11.【答案】C【解析】解：由题意，|PF1|−|PF2|=2|m|，|PF1|+|PF2|=2|a|，∴|PF1|=|m|+|a|，|PF2|=|a|−|m|，∵椭圆x2a +y162=1与双曲线x2m−y52=1有共同的焦点，∴a2−16=m2+5，∴a2−m2=21，∴cos∠F1PF2=2m2+2a2−4(a2−16)2(a2−m2)=2a2−42+2a2−4(a2−16)42=1121．∴sin∠F1PF2=8√521．∴△PF1F2的面积为12|PF1||PF2|sin∠F1PF2=12×21×8√521=4√5．故选：C．利用椭圆、双曲线的定义，求出|PF1|=|m|+|a|，|PF2|=|a|−|m|，结合椭圆与双曲线有相同的焦点，可求得cos∠F1PF2，进一步求得sin∠F1PF2，从而可得△PF1F2的面积．本题考查椭圆、双曲线的定义，考查余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：由题意可设B(0,b)，F(c,0)， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，线段AB 中点为K ，且CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FK ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得F 为△ABC 的重心，设A(x 1,y 1)，C(x 2,y 2)， 由重心坐标公式可得，x 1+x 2+0=3c ，y 1+y 2+b =0， 即有AB 的中点K 坐标，可得 x =x 1+x 22=3c2，y =y 1+y 22=−b2，由题意可得中点在椭圆内， 可得9c 24a 2+14<1， 由e =ca ，可得e 2<13，即有0<e <√33．故选：A ．设B(0,b)，F(c,0)，A(x 1,y 1)，C(x 2,y 2)，由线段AB 中点为K ，且CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FK ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得F 为△ABC 的重心，运用三角形的重心坐标公式，以及AB 的中点在椭圆内，结合离心率公式可得范围．本题考查椭圆的方程的运用，考查椭圆离心率的范围的求法，注意运用三角形的重心坐标以及中点在椭圆内，考查运算能力，属于中档题．13.【答案】：[0,1)【解析】解：因为命题“∀x ∈R ，mx 2−2mx +1>0”是真命题，所以分两种情况讨论：①当m =0时：不等式化简为1>0，对∀x ∈R 恒成立，符合题意． ②当m ≠0时：{m >0△<0,即{m >04m 2−4m <0， 解得：0<m <1． 综上所求：0≤m <1． 故答案为：[0,1)．因为二次项系数含参数m ，所以对二次项系数分等于零和不等于零两种情况讨论，当m ≠0时，二次不等式恒大于零，则要求开口向上且△<0，列出不等式组，即可求出m 的取值范围，最后注意两种情况的结果取并集．主要考察了对二次项系数分类讨论的思想，还有二次不等式恒成立的问题．14.【答案】2x −y −15=0【解析】解：设所求弦的两个端点分别为A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 12−4y 12=4，x 22−4y 22=4，两式作差可得：(x 1−x 2)(x 1+x 2)=4(y 1−y 2)(y 1+y 2)，∴y 1−y 2x 1−x 2=x 1+x 24(y 1+y 2)=2×84×2×1=2， 即AB 所在直线的斜率k =2．∴弦AB 所在直线方程为y −1=2(x −8)，即2x −y −15=0． 故答案为：2x −y −15=0．设所求弦的两个端点分别为A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，代入双曲线方程，利用“点差法”求得AB 所在直线当斜率，再由直线方程的点斜式得答案．本题考查直线与双曲线位置关系的应用，训练了利用“点差法”求与弦中点有关的问题，是中档题．15.【答案】8【解析】解：不妨设直线MN 的斜率k >0，过M ，N 作抛物线准线的垂线，垂足分别为G ，H ，过N 作NK ⊥MG 于K ，由MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得|MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3|FN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |， ∴|MG|=3|NH|，∴|MK|=2|NH|=2|NF|=12|MN|， ∴|NK|=√|MN|2−|MK|2=√32|MN|， 由S △OMN =S △OMF +S △ONF =12|NK|⋅|OF|=√38p|MN|，又S △OMN =√3|MN|， ∴√38p|MN|=√3|MN|，得p =8．故答案为：8．过M ，N 作抛物线准线的垂线，垂足分别为G ，H ，由MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3FN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得|NK|=√38p|MN|，再结合S △OMN =√3|MN|，即可求得p 的值．本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，抛物线的焦点弦公式，考查计算能力，属于中档题．16.【答案】①②③【解析】解：如图，对于①，因为BE =C 1F ，所以BC 1过平面BB 1C 1C 的中心O ，连接MO ，因为M 为侧棱AA 1的中点，所以MO//平面ABCD ，又因为MO ⊂平面MEF ，所以在△MEF 内总存在与平面ABCD 平行的线段，故①对； 对于②，因为底面ABCD 为菱形，∠ABC =60°且AA 1=AB ，连接A 1C 1，AC ，则三棱柱ABC −A 1B 1C 1为正三棱柱，则MO ⊥平面BB 1C 1C ，因为MO ⊂平面MEF ，所以平面MEF ⊥平面BCC 1B 1，故②对；对于③，因为△A 1ME 面积始终不变，点F 到平面A 1ME 的距离不变，所以三棱锥F −A 1ME 的体积不变，即三棱锥A 1−MEF 的体积不变，故③对；对于④，若△MEF 为直角三角形，则必是以∠EMF 为直角的直角三角形，但EF 的最大值为BC 1，而此时DE ，DF 的长大于BB 1，所以△MEF 不可能为直角三角形，故D 错， 故答案为：①②③．对于①，证明MO//平面ABCD ，对于②，利用底面是棱形，∠ABC =60°且AA 1=AB ，所以三棱柱ABC −A 1B 1C 1为正三棱柱，则MO ⊥平面BB 1C 1C ，对于③，三棱锥F −A 1ME 的体积不变，即三棱锥A 1−MEF 的体积不变，对于④，EF 的最大值为BC 1，而此时DE ，DF 的长大于BB 1，所以△MEF 不可能为直角三角形．本题考查棱柱的基本性质，涉及线面平行，线面垂直等知识点，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)由p ：x(x −4)≤0，得0≤x ≤4，当a =2时，由q ：(x −1+2)(x −1−2)≥0，得x ≤−1或x ≥3， ∴q ：x ≤−1或x ≥3．∵p ∧q 为真命题，∴p 真且q 真，则{0≤x ≤4x ≤−1或x ≥3，解得3≤x ≤4．∴实数x 的取值范围为3≤x ≤4；(Ⅱ)∵a>0，由￢q：(x−1+a)(x−1−a)<0，得1−a<x<1+a(a>0)．设A={x|0≤x≤4}，B={x|1−a<x<1+a,a>0}．∵p是￢q的必要不充分条件，∴B⫋A．∴{1−a≥01+a≤4，解得a≤1．又∵a>0，∴0<a≤1．∴实数a的取值范围为0<a≤1．【解析】(Ⅰ)分别求解一元二次不等式化简p与q，结合p∧q为真命题，取交集得答案；(Ⅱ)化简(x−1+a)(x−1−a)<0，得1−a<x<1+a(a>0).设A={x|0≤x≤4}，B={x|1−a<x<1+a,a>0}.由p是￢q的必要不充分条件，可得B⫋A，转化为两集合端点值间的关系列不等式组求解．本题考查复合命题的真假判断及其应用，考查充分必要条件的判定及应用，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是基础题．18.【答案】解：(Ⅰ)依题可知双曲线的焦点在y轴上，设其方程为：y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)，且c=√3…①，双曲线的渐近线方程为y=±√2x，即ab=√2…②.又∵a2+b2=c2…③，由①②③可得a=√2,b=1．得双曲线方程为：y22−x2=1；(Ⅱ)设轨迹上任一点M的坐标为(x,y)，点P的坐标为(x0,y0)，则依题意可知D点坐标为(0,y0)，∵PD的中点为M，∴{x=x0 2y=y0，即{x0=2xy0=y，∵点P在圆x2+y2=3上运动，x02+y02=3，得4x2+y2=3，经检验所求方程符合题意，∴点M的轨迹方程为x 23 4+y23=1．【解析】(Ⅰ)由题意可设双曲线方程为y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)，且求得c，再由渐近线方程及隐含条件列式求得a，b的值，则双曲线的渐近线方程可求；(Ⅱ)设轨迹上任一点M的坐标为(x,y)，点P的坐标为(x0,y0)，则依题意可知D点坐标为(0,y0)，由中点坐标公式把P的坐标用M的坐标表示，再把P的坐标代入圆的方程，整理可得M的轨迹方程．本题考查轨迹方程的求法，训练了利用交轨法求动点的轨迹，是中档题．19.【答案】解：方法一(Ⅰ)记AC 与BD 的交点为O ，连接OE ， ∵O 、M 分别是AC 、EF 的中点，ACEF 是矩形， ∴四边形AOEM 是平行四边形，∴AM//OE∵OE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ， ∴AM//平面BDE(Ⅱ)在平面AFD 中过A 作AS ⊥DF 于S ，连接BS ， ∵AB ⊥AF ，AB ⊥AD ，AD ∩AF =A ， ∴AB ⊥平面ADF ，∴AS 是BS 在平面ADF 上的射影， 由三垂线定理得BS ⊥DF∴∠BSA 是二面角A −DF −B 的平面角 在Rt △ASB 中，AS =AD⋅AF DF=√63，AB =√2，∴tan∠ASB =√3,∠ASB =60°， ∴二面角A −DF −B 的大小为60° 方法二(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系 设AC ∩BD =N ，连接NE ，则点N 、E 的坐标分别是(√22,√22,0)、(0,0，1)，∴NE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,−√22,1)， 又点A 、M 的坐标分别是(√2,√2,0)、(√22,√22,1)∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,−√22,1) ∴NE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 且NE 与AM 不共线，∴NE//AM又∵NE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ， ∴AM//平面BDF(Ⅱ)∵AF ⊥AB ，AB ⊥AD ，AF ∩AD =A ，∴AB ⊥平面ADF∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2,0,0)为平面DAF 的法向量 ∵NE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,−√22,1)⋅(−√2,√2,0)=0，∴NE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,−√22,1)⋅(√2,√2,0)=0得NE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，NE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥NF⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∴NE ⇀为平面BDF 的法向量∴cos <AB,⃗⃗⃗⃗⃗⃗ NE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=12∴AB,⃗⃗⃗⃗⃗⃗ NE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角是60° 即所求二面角A −DF −B 的大小是60°【解析】(Ⅰ)要证AM//平面BDE ，直线证明直线AM 平行平面BDE 内的直线OE 即可，也可以利用空间直角坐标系，求出向量AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，在平面BDE 内求出向量NE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，证明二者共线，说明AM//平面BDE ，(Ⅱ)在平面AFD 中过A 作AS ⊥DF 于S ，连接BS ，说明∠BSA 是二面角A −DF −B 的平面角，然后求二面角A −DF −B 的大小；也可以建立空间直角坐标系，求出NE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，NE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0说明NE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面DFB 的法向量，求出平面DAF 的法向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2,0,0)，然后利用数量积求解即可．本题考查直线与平面平行，二面角的知识，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题20.【答案】解：(Ⅰ)依题意得抛物线的准线为x =−p2，∵抛物线上一点M(32,m)到焦点的距离为2，由抛物线的定义可得32+p2=2，∴p =1， ∴抛物线的方程为y 2=2x ，∵m 2=2×32，∴m =±√3抛物线的方程，∴M(32,±√3)，(Ⅱ)当直线l 的斜率不存在时不符合题意，故直线l 的斜率k 必存在且不为0． ∵直线l 过点P(1,0)，∴设直线l 的方程为y =k(x −1)(k ≠0)， 当x =0时y =−k ，∴点Q 坐标为(0,−k)， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{y =kx −k y 2=2x 得y =k y 22−k ，整理得ky 2−2y −2k =0∵k ≠0，∴△=4+8k 2>0，∴y 1+y 2=2k ,y 1y 2=−2，∴QA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1+k)，PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−1,y 1)∵QA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPA⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴(x 1,y 1+k)=λ(x 1−1,y 1)， ∴y 1+k =λy 1， 即λ=y 1+k y 1，同理可得μ=y 2+k y 2，∴λ+μ=y 1+k y 1+y 2+k y 2=2y 1y 2+k(y 1+y 2)y 1y 2=2+k2k−2=1．故λ+μ是定值．【解析】(Ⅰ)由抛物线的定义可得32+p2=2，∴p =1，得出抛物线的方程，把M 点的横坐标代入求出M 点纵坐标．(Ⅱ)设直线l 的方程为y =k(x −1)(k ≠0)，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由题意得点Q 坐标为(0,−k)，由{y =kx −ky 2=2x 得ky 2−2y −2k =0∵k ≠0，∴△=4+8k 2>0，由韦达定理得y 1+y 2=2k ,y 1y 2=−2，用向量坐标表示QA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPA⃗⃗⃗⃗⃗ ，得λ=y 1+k y 1，同理可得μ=y 2+k y 2，再分析化简λ+μ得出常数．本题主要考察了利用抛物线的定义求抛物线的方程，直线和曲线相交的应用以及方程根与系数关系应用，和向量坐标表示，还考查了一定的逻辑推理与运算能力．21.【答案】解：(Ⅰ)证明：连接BE ，在等腰梯形ABCD 中，AD =AB =BC =2，CD =4，E 为CD 中点，∴四边形ABED 为菱形，∴BD ⊥AE ，∴OB ⊥AE ，OD ⊥AE ，即OB ⊥AE ，OP ⊥AE ，且OB ∩OP =O ，OB ⊂平面POB ，OP ⊂平面POB ，∴AE ⊥平面POB ， 又AE ⊂平面ABCE ，∴平面POB ⊥平面ABCE ．(Ⅱ)解：由(Ⅰ)可知四边形ABED 为菱形，∴AD =DE =2， 在等腰梯形ABCD 中AE =BC =2，∴△PAE 正三角形， ∴OP =√3，同理OB =√3，∵PB =√6， ∴OP 2+OB 2=PB 2，∴OP ⊥OB ， 由(Ⅰ)可知OP ⊥AE ，OB ⊥AE ，以O 为原点，OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别为x 轴，y 轴，为z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，由题意得，各点坐标为P(0,0,√3)，A(−1,0，0)，B(0,√3,0)，C(2,√3,0)，E(1,0，0)，∴PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,−√3),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,√3,−√3)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0)，设PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB⃗⃗⃗⃗⃗ (0<λ<1)，AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3λ,√3−√3λ)， 设平面AEQ 的一个法向量为n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2x =0x +√3λy +(√3−√3λ)z =0 取x =0，y =1，得z =λλ−1，∴n ⃗ =(0,1，λλ−1)， 设直线PC 与平面AEQ 所成角为θ,θ∈[0,π2]， 则sinθ=|cos <PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√155，即|√3+√3λ1−λ|√10√1+(λλ−1)2=√155，化简得：4λ2−4λ+1=0，解得λ=12，∴存在点Q 为PB 的中点时，使直线PC 与平面AEQ 所成角的正弦值为√155．【解析】(Ⅰ)连接BE ，推导出四边形ABED 为菱形，BD ⊥AE ，OB ⊥AE ，OP ⊥AE ，从而AE ⊥平面POB ，由此能证明平面POB ⊥平面ABCE ．(Ⅱ)由四边形ABED 为菱形，推导出OP ⊥OB ，以O 为原点，OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别为x 轴，y 轴，为z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，利用向量法能求出存在点Q 为PB 的中点时，使直线PC 与平面AEQ 所成角的正弦值为√155．本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．22.【答案】解：(I)∵椭圆C ：x 2a +y 2b =1(a >b >0)的离心率为√22， ∴b =c ，a =2b ，当x =1时，y 2=(1−1a 2)⋅b 2=12，∴a 2=2，b 2=1， ∴椭圆的方程是x 22+y 2=1．(II)解法一：设P(x 0,y 0)，M(0,m)，N(0,n)，由{x 22+y 2=1(x −1)2+y 2=1得x =2−√2，∴x 0∈[−√2,0)∪(0,2−√2)．直线PM 的方程：y −m =y 0−m x 0x ，化简得(y 0−m)x −x 0y +x 0m =0．又圆心(1,0)到直线PM 的距离为1，∴00√(y0−m)2+x 0=1，∴(y 0−m)2+x 02=(y 0−m)2+2x 0m(y 0−m)+x 02m 2，化简得(x 0−2)m 2+2y 0m −x 0=0， 同理有(x 0−2)n 2+2y 0n −x 0=0． ∴m +n =−2y 0x 0−2，mn =−x 0x 0−2， ∴|MN|=|m −n|=√(m −n)2=√4x 02+4y 02−8x 0(x 0−2)2．∵P(x 0,y 0)是椭圆上的点，∴x 022+y 02=1，∴|MN|=√2x 02−8x 0+4(x 0−2)2=√2(x 0−2)2−4(x 0−2)2=√2−4(x0−2)2，∴f(x)=√2−4(x−2)2在[−√2,0)上单调递减， 在(0,2−√2)内也是单调递减，∴f(x)∈(0,1)∪(1,2√√2−1)，当x 0=−√2时，|MN|取得最大值2√√2−1， 此时点P 位置是椭圆的左顶点(−√2,0)．解法二：由{x 22+y 2=1(x −1)2+y 2=1得x =2−√2，∴x 0∈[−√2,0)∪(0,2−√2)．设过点P 的圆的切线方程为y =kx +b ，∵圆心(1,0)到直线PM 的距离为1， ∴√k 2+1=1，化简得k =1−b 22b，∴y =1−b 22bx +b ．设p(x 0,y 0)则(2−x 0)b 2−2y 0b +x 0=0， ∴b 1+b 2=−2y 0x 0−2，b 1b 2=−xx 0−2， ∴|MN|=|b 1−b 2|=√(b 1−b 2)2=√4x 02+4y 02−8x 0(x 0−2)2．∵P(x 0,y 0)是椭圆上的点，∴x 022+y 02=1，∴∴|MN|=√2x 02−8x 0+4(x 0−2)2=√2(x 0−2)−4(x 0−2)2=√2−4(x0−2)2，∴f(x)=√2−4(x−2)2在[−√2,0)上单调递减， 在(0,2−√2)内也是单调递减，∴f(x)∈(0,1)∪(1,2√√2−1)，当x 0=−√2时，|MN|取得最大值2√√2−1， 此时点P 位置是椭圆的左顶点(−√2,0)．【解析】(Ⅰ)由离心率为√22，椭圆C 截直线x =1所得线段的长度为√2，得a ，b 的值，进而得方程．(Ⅱ)设P(x 0,y 0)，M(0,m)，N(0,n)，求出直线PM 的方程，再由F 到直线的距离为1，列出关于x0、y0和m的式子，化简整理得到(x0−2)m2+2y0m−x0=0，同理可得(x0−2)n2+2y0n−x0=0，利用根与系数的关系，配方可得|MN|=|m−n|=√(m−n)2=√4x02+4y02−8x0取得最大值时的x0．(x0−2)2本题给出椭圆满足的条件，求椭圆的标准方程并探索椭圆与圆的位置关系，着重考查了椭圆的标准方程、简单几何性质、一元二次方程根与系数的关系和利用导数研究函数的单调性等知识，属于中档题．第9页，共21页。
福建省福州市八县(市)协作校2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题
福建省福州市八县（市）协作校2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题二、多选题9．下列说法正确的有（）A ．三棱锥11C GB B -B ．平面1BC F 截正方体所得的截面面积为C ．平面1BC F 将正方体分成的两部分的体积比为三、填空题四、未知17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱PA 的长为4，且PA 与AB AD 、的夹角都等于60°，N 是PC 的中点，设AB a=，AD b = ，AP c = .(1)用基底{},,a b c 表示向量AN；(2)求AN 的长.五、解答题18．已知ABC 的顶点(3,2)B ，AB 边上的高所在直线方程为220x y -+=.(1)求直线AB 的一般式方程；(2)在下列两个条件中任选一个，求直线AC 的一般式方程.①角A 的平分线所在直线方程为20x y +-=；②BC 边上的中线所在直线方程为1011160x y +-=.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）六、未知19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PD 的中点.(1)求证：AE ∥平面PBC ；(2)求直线AE 与平面PBD 所成角的正弦值.七、解答题20．已知圆C 经过()3,0A 和()5,2B 两点，且圆心在直线240x y --=上.(1)求圆C 的方程；(2)若一条光线从点(4,3)M --射出，经直线40x y --=反射后，恰好与圆C 相切，求反射后光线所在直线的方程.八、未知21．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面是边长为4的等边三角形，14CC =，160ACC ∠=︒，,D E 分别是线段1,AC CC 的中点，平面ABC ⊥平面11C CAA .(1)求证：1A C ⊥平面BDE ；(2)若点P 为线段11B C 上的动点，求平面PBD 与平面BDE 的夹角的余弦值的取值范围.九、解答题。
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福建省福州市八县（市）一中2020-2021学年高二上学期期中联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、未知1．某单位有业务员和管理人员构成的职工160人，现用分层抽样方法从中抽取一个容量为20的样本，若样本中管理人员有7人，则该单位的职工中业务员有多少人（ ） A ．32人B ．56人C ．104人D ．112人2．袋内装有8个红球､2个白球，从中任取2个，其中是互斥而不对立的两事件是（ ） A ．至少有一个白球；全部都是红球 B ．至少有一个白球；至少有一个红球 C ．恰有一个白球；恰有一个红球D ．恰有一个白球；全部都是红球3．阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C 的中心为原点，焦点1F ，2F 在x 轴上，椭圆C 的面积为，且离心率为12，则C 的标准方程为（ ） A ．22143x y +=B ．22112x y +=C ．22134x y +=D ．221163x y +=4．在区间11[,]22-上任取一个数x R ∀∉，使直线20x x -≤与圆0x R ∃∈相交的概率为（ ）A ．2000x x -≤B ．20x x -≤C ．0x R ∃∉D ．25．永泰县全域旅游地图如图所示，它的外轮廓线是椭圆，根据图中的数据可得该椭圆的离心率为（ ）A ．25B ．35C ．5D 6．已知双曲线C ：22221y x a b-=(a >0，b >0)，斜率为1的直线l 与双曲线C 交于不同的,A B两点，且线段AB 的中点为P (2，4)，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．12y x =±C．y = D．2y x =±7．第七届世界军运会于2019年10月18日至27日在中国武汉举行.某电视台在19日至24日六天中共有7场直播(如下表所示)，张三打算选取其中的三场观看.则观看的任意两场直播中间至少间隔一天(如第一场19日观看直播则20日不能观看直播)的概率是（ ）A ．835B ．635C ．17D ．4358．已知椭圆和双曲线有共同的焦点12,F F ，,P Q 分别是它们的在第一象限和第三象限的交点，且2=60QF P ∠︒，记椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则221231e e +等于（ ） A ．4B ．C ．2D ．39．某校对甲､乙两个数学兴趣小组的同学进行了知识测试，现从两兴趣小组的成员中各随机选取15人的测试成绩(单位：分)用茎叶图表示，如图，根据以上茎叶图，对甲､乙两兴趣小组的测试成绩作比较，下列统计结论正确的有（ ）A ．甲兴趣小组测试成绩的平均分高于乙兴趣小组测试成绩的平均分.B ．甲兴趣小组测试成绩较乙兴趣小组测试成绩更分散.C ．甲兴趣小组测试成绩的中位数大于乙兴趣小组测试成绩的中位数.D ．甲兴趣小组测试成绩的众数小于乙兴趣小组测试成绩的众数. 10．下列说法中错误的是（ ）A ．“8m =”是“椭圆2214x y m +=的离心率为2”的充要条件 B ．设,x y R ∈，命题“若220x y +≠，则0xy ≠”是真命题；C ．“42k -<<”是“方程2214+2x y k k+=-表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件D ．命题“若3x =，则2430x x -+=”的否命题是真命题11．某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据如表，现发现表中有个数据看不清，已知回归直线方程为ˆ 6.3 6.8yx =+，下列说法正确的是（ ）A ．看不清的数据★的值为34B ．回归直线ˆ 6.3 6.8yx =+必经过样本点(4，★) C ．回归系数6.3的含义是产量每增加1吨，相应的生产能耗实际增加6.3吨 D ．据此模型预测产量为7吨时，相应的生产能耗为50.9吨12．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：22221x y a b-=(a >0，b >0)，抛物线2y =的准线过双曲线的左焦点，A ，B 分别是双曲线C 的左，右顶点，点P 是双曲线C 的右支上位于第一象限的动点，记P A ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则下列说法正确的是（ ）A ．双曲线C 的渐近线方程为y =±2xB ．双曲线C 的方程为2214x y -=C ．1k 2k 为定值14D ．存在点P ，使得1k +2k =213．某印刷厂的工人师傅为了了解112个印张的质量，采用系统抽样的方法抽取若干个印张进行检查，为此先对112个印章进行编号为：01,02,03,,112，已知抽取的印张中最小的两个编号为05,13，则抽取的印张中最大的编号为_______.14．已知命题“2,(1)10x R x a x ∃∈+-+≤”是真命题，则a 的取值范围为____________.15．如图所示，抛物线形拱桥的跨度是20米，拱高是4米，在建桥时，每隔4米需要用一支柱支撑，则其中最长的支柱的长度为____________米.16．已知抛物线24y x =的焦点为F ，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点()2,4A ，过点F 的动直线l 与抛物线交于,M N 不同的两点，点M 在y 轴上的射影为点B ，设直线KM KN ,的斜率分别为1k 和2k .则MA MB +的最小值为_____________，12k k +的值为_____________.17．已知命题p ：对于任意x ∈R ，不等式()244210x m x --+>恒成立.命题q ：实数m 满足的方程221(0)2m x m a ay a +=>--表示双曲线；（1）当2a =时，若“p 或q ”为真，求实数m 的取值范围. （2）若⌝p 是⌝q 的充分不必要条件，求a 的取值范围.18．小张准备在某县城开一家文具店，为经营需要，小张对该县城另一家文具店中的某种水笔在某周的周一至周五的销售量及单支售价进行了调查，单支售价x 元和销售量y 支之间的数据如下表所示：（1）根据表格中的数据，求出y 关于x 的回归直线方程；（2）请由（1）所得的回归直线方程预测销售量为18支时，单支售价应定为多少元？如果一支水笔的进价为0.56元，为达到日利润(日销售量×单支售价—日销售量×单支进价)最大，在（1）的前提下应该如何定价？(其中：回归直线方程ˆybx a =+，1221ni ii nii x y nx yb xnx ==-=-∑∑，5167i ii x y==∑，52116.6i i x ==∑)19．已知椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)的左右焦点分别为12,F F ，焦距为2，且经过点Q 12⎛- ⎝⎭，.直线l 过右焦点且不平行于坐标轴，l 与椭圆C 有两个不同的交点A ，B ，线段AB 的中点为M .（1）点P 在椭圆C 上，求12PF PF ⋅的取值范围； （2）证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值；20．为让学生适应新高考的赋分模式某校在一次校考中使用赋分制给高二年段学生的生物成绩进行赋分，具体方案如下：A 等级，排名等级占比7%，分数区间是83-100；B 等级，排名等级占比33%，分数区间是71-82；C 等级，排名等级占比40%，分数区间是59-70；D 等级，排名等级占比15%，分数区间是41-58；E 等级，排名等级占比5%，分数区间是30-40；现从全年段的生物成绩中随机抽取100名学生的原始成绩(未赋分)进行分析，其频率分布直方图如图所示：（1）求图中a 的值；（2）以样本估计总体的办法，估计该校本次生物成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的C 等级及以上(含C 等级)？（3）若采用分层抽样的方法，从原始成绩在[40，50)和[50,60)内的学生中共抽取5人，查看他们的答题情况来分析知识点上的缺漏，再从中选取2人进行调查分析，求这2人中至少一人原始成绩在[40，50)内的概率.21．如图所示，已知圆221:(1)16F x y ++=上有一动点Q ，点2F 的坐标为(1,0)，四边形12QF F R 为平行四边形，线段1F R 的垂直平分线交2F R 于点P ，设点P 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）过点2F 的直线l 与曲线C 有两个不同的交点,A B ，问是否存在实数λ，使得2222AF BF AF BF λ+=⋅成立，若存在求出λ的值；若不存在，请说明理由.二、解答题22．已知双曲线C 的离心率为3，点()在双曲线上，且抛物线22y px =()0p >的焦点F 与双曲线的一个焦点重合.（1）求双曲线和抛物线的标准方程；（2）过焦点F 作一条直线l 交抛物线于A ，B 两点，当直线l 求线段AB 的长度.。