利用导数求函数值域
求函数值域的十种常用方法
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9、一个人即使已登上顶峰，也仍要自 强不息 。下午 3时12 分31秒 下午3时 12分15 :12:312 0.12.12
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求函数值域的十 种常用方法
一：定义域法
二：函数单调性法
三：反函数法
四：换元法
五:分离常数法
六：判别式法
七：三角换元法
九：数形结合法
十导数法：
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1、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。20.1 2.1220. 12.12Sa turday, Dec者明。胜人者有力 ，自胜 者强。 20.12.1 220.12. 1215:1 2:3115: 12:31D ecembe r 12, 2020
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6、意志坚强的人能把世界放在手中像 泥块一 样任意 揉捏。 2020年 12月12 日星期 六下午 3时12 分31秒1 5:12:31 20.12.1 2
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2、阅读一切好书如同和过去最杰出的 人谈话 。15:1 2:3115: 12:3115 :1212/ 12/2020 3:12:31 PM
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3、越是没有本领的就越加自命不凡。 20.12.1 215:12: 3115:1 2Dec-20 12-Dec-20
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4、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的 错儿。 15:12:3 115:12: 3115:1 2Saturday, December 12, 2020
导数法求值域
导数法求值域
求值域（range）是函数在定义域内所有可能的输出值的集合。
导数法是一种用于确定函数的最大值和最小值的方法。
下面是使用导数法求函数的值域的步骤：
1. 首先，找到函数的定义域（domain）。
定义域是函数所有可能的输入值的集合。
2. 接下来，计算函数的导数。
导数描述了函数在不同点上的变化率。
3. 然后，找到导数的零点（即导数为0的点）和导数的不连续点。
这些点可能对应着函数的最大值、最小值或者函数的不连续性。
4. 最后，根据导数的零点和不连续点，结合函数的定义域，确定函数的值域。
需要注意的是，导数法只能提供函数可能的最大值和最小值，并不能确定函数的完整值域。
要确定函数的完整值域，可能需要使用其他方法，如图像分析或者解析方法。
高中数学讲义：利用导数解函数的最值
函数的最值一、基础知识：1、函数的最大值与最小值：（1）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D $Î，使得对x D "Î，均满足()()0f x f x £，那么称0x x =为函数()f x 的一个最大值点，()0f x 称为函数()f x 的最大值（2）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D $Î，使得对x D "Î，均满足()()0f x f x ³，那么称0x x =为函数()f x 的一个最小值点，()0f x 称为函数()f x 的最小值（3）最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点（4）最值为函数值域的元素，即必须是某个自变量的函数值。
例如：()[)ln ,1,4f x x x =Î，由单调性可得()f x 有最小值()10f =，但由于x 取不到4，所以尽管函数值无限接近于ln 4,但就是达不到。
()f x 没有最大值。
（5）一个函数其最大值（或最小值）至多有一个，而最大值点（或最小值点）的个数可以不唯一，例如()sin f x x =，其最大值点为()22x k k Z pp =+Î，有无穷多个。
2．“最值”与“极值”的区别和联系右图为一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x （1）“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．（2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；（3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个（4）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．3、结论：一般地，在闭区间[]b a ,上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，那么函数()y f x =在[]b a ,上必有最大值与最小值．4、最值点只可能在极值点或者边界点处产生，其余的点位于单调区间中，意味着在这些点的周围既有比它大的，也有比它小的，故不会成为最值点5、利用导数求函数的最值步骤:一般地，求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求)(x f 在(,)a b 内的极值；（2）将)(x f 的各极值与端点处的函数值)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值6、求函数最值的过程中往往要利用函数的单调性，所以说，函数的单调区间是求最值与极值的基础7、在比较的过程中也可简化步骤：（1）利用函数单调性可判断边界点是否能成为最大值点或最小值点（2）极小值点不会是最大值点，极大值点也不会是最小值点8、最值点的作用（1）关系到函数的值域（2）由最值可构造恒成立的不等式：例如：()ln 1f x x x =-+，可通过导数求出()()min 10f x f ==，由此可得到对于任意的0x >，均有()()min 0f x f x ³=，即不等式ln 1x x £-二、典型例题：例1：求函数()x f x xe -=的最值思路：首先判定定义域为R ,对函数进行求导，根据单调区间求出函数的最值解：()()'1x fx x e -=-，令()'0f x >,解得：1x <()f x \的单调区间为：x (),1-¥()1,+¥'()f x +-()f x Z ]()()max 11f x f e\==，无最小值小炼有话说：函数()xf x xe-=先增再减，其最大值即为它的极大值点，我们可以将这种先增再减，或者先减再增的函数成为“单峰函数”，在单峰函数中，极值点即为函数的某个最值点。
高考数学复习函数值域的13种求法
函数值域十三种求法1. 直接观察法利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域，对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,其值域可通过观察直接得到。
例1. 求函数x 1y =的值域解：∵0x ≠ ∴0x 1≠ 显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x 3y -=的值域 解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法二次函数或可转化为形如c x bf x f a x F ++=)()]([)(2类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(x f 的范围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域 解：将函数配方得：4)1x (y 2+-=∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max =故函数的值域是：[4，8]评注：配方法往往需结合函数图象求值域．3. 判别式法(只有定义域为整个实数集R 时才可直接用) 对于形如21112222a xb xc y a x b x c ++=++（1a ，2a 不同时为0）的函数常采用此法，就是把函数转化成关于x 的一元二次方程（二次项系数不为0时），通过方程有实数根，从而根的判别式大于等于零，求得原函数的值域．对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简如:.112..22222222b a y 型：直接用不等式性质k+xbx b. y 型,先化简，再用均值不等式x mx nx 1 例：y 1+x x+xx m x n c y 型 通常用判别式x mx nx mx n d. y 型 x n法一：用判别式 法二：用换元法，把分母替换掉x x 1（x+1）（x+1）+1 1 例：y （x+1）1211x 1x 1x 1==++==≤''++=++++=+++-===+-≥-=+++例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域 解：原函数化为关于x 的一元二次方程0x )1y (x )1y (2=-+-（1）当1y ≠时，R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆ 解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211 故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。
函数值域的常见求法8大题型(解析版)
函数值域的求法8大题型命题趋势函数的值域是函数概念中三要素之一，是高考中的必考内容，具有较强的综合性，贯穿整个高中数学的始终。
在高考试卷中的形式千变万化，但万变不离其宗，真正实现了常考常新的考试要求，考生在复习过程中首先要掌握一些简单函数的值域求解的基本方法，其次要多看多练在其他板块中涉及值域类型的内容。
满分技巧一、求函数值域的常见方法1.直接法：对于简单函数的值域问题，可通过基本初等函数的图象、性质直接求解；2.逐层法：求f 1(f 2⋯f n (x ))型复合函数的值域，利用一些基本初等函数的值域，从内向外逐层求函数的值域；3.配方法：配方法是二次型函数值域的基本方法，即形如“y =ax x +bx +c (a ≠0)”或“y =a [f (x )]2+bf (x )+c (a ≠0)”的函数均可用配方法求值域；4.换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有(1)y =ax +b cx +d或y =cx +dax +b 的结构，可用“cx +d =t ”换元；(2)y =ax +b ±cx +d (a ,b ,c ,d 均为常数，a ≠0,c ≠0)，可用“cx +d =t ”换元；(3)y =bx ±a 2-x 2型的函数，可用“x =a cos θ(θ∈[0,π])”或“x =a sin θθ∈-π2,π2”换元；5.分离常数法：形如y =ax +b cx +d (ac ≠0)的函数，应用分离常数法求值域，即y =ax +b cx +d=ac +bc -adc 2x +d c ，然后求值域；6.基本不等式法：形如y =ax +bx(ab >0)的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用a +b ≥2ab 求函数的值域(或最值)时，应满足三个条件：①a >0,b >0；②a +b (或ab )为定值；③取等号的条件为a =b ，三个条件缺一不可；7.函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域(或最值)(1)形如y =ax +b -cx +d (ac <0)的函数可用函数单调性求值域；(2)形如y =ax +bx的函数，当ab >0时，若利用基本不等式等号不能成立时，可考虑利用对勾函数求解；公众号：高中数学最新试题当ab <0时，y =ax +bx在(-∞,0)和(0,+∞)上为单调函数，可直接利用单调性求解。
函数值域求法大全
函数值域求法大全函数的值域是由定义域和对应法则共同确定。
确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。
本文介绍了十一种函数值域求法。
首先是直接观察法，对于一些简单的函数，可以通过观察得到其值域。
例如，对于函数y=1/x，由于x不等于0，因此函数的值域为(-∞,0)U(0,+∞)。
再比如，对于函数y=3-x，由于x的取值范围为(-∞,+∞)，因此函数的值域为(-∞,3]。
其次是配方法，这是求二次函数值域最基本的方法之一。
例如，对于函数y=x^2-2x+5，将其配方得到y=(x-1)^2+4，由此可得出函数的值域为[4.+∞)。
还有判别式法，例如对于函数y=(1+x+x^2)/(1+x^2)，可以将其化为关于x的一元二次方程，然后根据判别式的值来确定函数的值域。
除此之外，还有其他的函数值域求法，如利用导数、利用反函数、利用奇偶性等方法。
这些方法各有特点，应根据具体情况选择合适的方法来求解。
总之，确定函数的值域是研究函数的重要一环，掌握好函数值域的求法可以帮助我们简化运算过程，事半功倍。
换元法是一种数学方法，可以通过简单的换元将一个函数变为简单函数。
其中，函数解析式含有根式或三角函数公式模型是其题型特征之一。
换元法不仅在求函数的值域中发挥作用，也是数学方法中几种最主要方法之一。
例如，对于函数 $y=x+x^{-1}$，我们可以令 $x-1=t$，则$x=t+1$。
代入原函数，得到$y=t^2+t+1=(t+1)^2+\frac{1}{4}$。
由于 $t\geq 0$，根据二次函数的性质，当 $t=0$ 时，$y$ 取得最小值 $1$，当 $t$ 趋近于正无穷时，$y$ 也趋近于正无穷。
因此，函数的值域为 $[1,+\infty)$。
又如，对于函数 $y=x^2+2x+1-(x+1)^2$，我们可以将 $1-(x+1)^2$ 化简为 $\frac{1}{2}-\left(x+\frac{1}{2}\right)^2$，然后令 $x+1=\cos\beta$，则 $y=\sin\beta+\cos\beta+1$。
函数值域12种求法
函数值域的12种求法在函数的三要素中，定义域和对应法则起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。
研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。
确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。
对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。
本文就函数值域求法归纳如下，供参考。
一、函数值域的12种求法1. 观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过直接观察即可得到。
例1. 求函数 x 1y =的值域。
解：∵0x ≠ ∴0x 1≠显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数 x 3y -=的值域。
解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞2. 函数单调性法：根据函数单调性及定义域求函数值域例9. 求函数 )10x 2(1x log 2y 35x ≤≤-+=-的值域。
解：令1x l o g y ,2y 325x 1-==-则21y ,y 在[2，10]上都是增函数所以21y y y +=在[2，10]上是增函数当x=2时，8112l o g 2y 33m i n =-+=-当x=10时，339log 2y 35max =+=故所求函数的值域为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡33,81例10. 求函数 1x 1x y --+=的值域。
解：原函数可化为：1x 1x 2y -++= 令1x y ,1x y 21-=+=，显然 21y ,y 在 ],1[+∞上为无上界的增函数所以1y y =，2y 在 ],1[+∞上也为无上界的增函数所以当x=1时，21y y y +=有最小值 2，原函数有最大值 222=显然 0y >，故原函数的值域为 ]2,0(3. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3. 求函数 ]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。
几种常用的求值域方法
几种常用的求值域方法
求值域是指函数在定义域上所能取得的所有可能的值的集合。
在数学中，我们经常需要求出一个函数的值域。
下面是几种常用的求值域方法：
1.图像法：对于一些简单的函数，我们可以通过绘制函数的图像来直观地确定函数的值域。
通过观察函数的图像，我们可以判断出函数在定义域上所能取得的最大值和最小值，从而确定函数的值域。
2.分析法：对于一些复杂的函数，我们可以通过分析函数的特点来求出它的值域。
例如，对于一个多项式函数，我们可以通过求导数和求极值来确定函数的值域。
对于一个有理函数，我们可以通过求解不等式来确定函数的值域。
3.奇偶性：对于一些具有特定奇偶性质的函数，我们可以通过观察函数的奇偶性来确定函数的值域。
例如，对于一个奇函数，它的值域将关于原点对称；对于一个偶函数，它的值域将关于y轴对称。
4.上下界：如果一个函数的定义域有上下界，那么函数的值域也会有上下界。
我们可以通过求解极限来确定函数的上下界，并进而确定函数的值域。
5.距离法：对于一个与其他对象之间存在一定距离关系的函数，我们可以通过计算函数值与目标值之间的距离来确定函数的值域。
例如，对于一个平面上的点到原点的距离函数，它的值域将为非负实数集。
这些求值域的方法在不同的情况下都可以起到一定的作用。
在实际问题中，我们可以根据具体的函数形式和给定的条件选择合适的方法来求解函数的值域。
利用导数探求参数的取值范围
利用导数探求参数的取值范围
作者：沈波
来源：《试题与研究·教学论坛》2016年第13期
一、与曲线的切线有关
函数y=f（x）在点x=x0处的导数f′（x）就是相应曲线在点（x0，f（x0）处切线的斜率，即k=f′（x0），此类试题先求导数，然后转化为关于自变量x0的函数，通过求值域，从而得到切线斜率k的取值范围，而切线斜率又与其倾斜角有关，所以又会转化为求切斜角范围问题。
例1 已知点P在曲线y=ex+x上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围为_______。
思路分析：先求导函数f′（x）的值域，即切线斜率范围，而k=tanα（0
解析：由导数的几何意义，函数y=ex+x上任意一点P处切线的斜率等于改点的导函数值。
点评：第一问中要注意导函数中根与定义域的位置关系，并结合图象判断导函数的符号；第二问中需要正确理解全称量词和特称量词的含义，将其转化为f（x）max
综合上述四种类型，利用导数求解含参问题时，首先具备必要的基础知识（导数的几何意义、导数在单调性上的应用、函数的极值求法、最值求法等），其次要灵活掌握各种解题方法和运算技巧，比如参变分离法、分类讨论思想和数形结合思想等，涉及极值和最值问题时，一般情况下先求导函数，然后观察能否分解因式，若能则比较根的大小，并与定义域比较位置关系、分段考虑导函数符号，划分单调区间，判断函数大致图象；若不能分解因式，则考虑二次求导，研究函数是否具有单调性。
利用导数处理参数范围问题并不可怕，关键在于通过解题不断摸索解题思路，形成一种解题格式和套路。
（作者单位：江西省吉安县第二中学）。
函数值域的求法
函数值域的求法求函数值域的方法有：直接法、单调性法、配方法、“∆判别式”法、部分分式法、换元法、数形结合法、有界性法、均值不等式法、最值法等.1.直接法：对于求基本函数（一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数）的值域，可根据其性质直接求出值域.例如：二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[]q p ,上的值域（或最值）. 当a >0时，二次函数()(0)f x ax bx c a =++≠图象的对称轴与闭区间[]q p ,的位置关系如下：图1 图2图3 图4分别观察上述4个图象，可得二次函数()(0)f x ax bx c a =++≠在区间[]q p ,上的单调性，由区间[]q p ,上的单调性可求得二次函数()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[]q p ,上的最值（或值域）． 因此，二次函数()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[]q p ,上的最值问题有如下结论： (1) 当a >0时，若[]q p a bx ,2∈-=，则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a =-=； 若[]q p abx ,2∉-=，则{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =. (2)当a <0时，若[]q p a bx ,2∈-=，则)()(max a b f x f -=，{}min ()min (),()f x f p f q =； 若[]q p abx ,2∉-=，则{}m a x ()m a x (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =. 例1、求14)(2-+=x x x f 在闭区间[]0,5-上的值域.解：∵)(x f 的图像是开口向上，对称轴为2-=x 的抛物线，∴5)2()(min -=-=f x f ，4)5()}0(),5(max{)(max =-=-=f f f x f因此，)(x f 在闭区间[]0,5-上的值域为 [-5，4] 2.单调性法：根据函数的定义域及单调性求函数值域.例如：求函数x k x x f +=)( )0(>k 的值域，就可用xkx x f +=)( )0(>k 的单调性：在k -[，)0，0(，]k 单调递减；在-∞(，]k -，k [，)∞+单调递增.下面用导数法证明xkx x f +=)(的单调性： ∵22))((1)(x k x k x x k x f -+=-='， ∴0))((0)(2>-+⇔>'x k x k x x f ，解得：∈x -∞(，)k -∪k (，)∞+；0))((0)(2<-+⇔<'x k x k x x f ，解得：∈x k -(，)0∪0(，)k .则)(x f 单调递减区间是k -[，)0，0(，]k ；单调递增区间是-∞(，]k -，k [，)∞+.例2、求1)(2+=x x x f 在闭区间[]3,5--上的值域解：∵211)1(11111)1()(2-+++=++-=++-=x x x x x x x f 设1+=x t ，由∈x []3,5--得∈t []2,4-- 则tt y 1+=在区间[]2,4--上递增. ∴∈y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--25,417. 因此，1)(2+=x x x f 在闭区间[]3,5--上的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--29,425.3.部分分式法：把分式函数化成只有分母中含有自变量的分式型函数，只要求出分母的取值范围，就可求得函数的值域.求y =b ax dcx ++(a 0≠)型函数的值域常用此法. 例3、求函数y =123+-x x (0>x )的值域解：12127211227)12(21123+∙-=+-+=+-=x x x x x y ，∵ 0>x ，∴ 112>+x ， 得11210<+<x ，∴ 213<<-y . 则所求函数的值域是{y|213<<-y }.4.配方法：求可转化为二次型函数的值域问题常用此方法.像函数c x bf x af x F ++=)()()(2 （0≠a ）的值域问题可用此法 例4、求4sin 3sin 2+-=x x y 的值域 解 ∵47)23(sin 2+-=x y ， 又∵1sin 1≤≤-x ， ∴21)23(sin 25-≤-≤-x ⇒425)23(sin 412≤-≤x ⇒82≤≤y .∴所求函数的值域是[2，8]5.“∆判别式”法：把函数式转化为关于x 的二次方程0),(=y x F ，通过方程有实根，判别式∆0≥，从而求得原函数的值域. 求y =fex dx cbx ax ++++22(a 、d 不同时为零)型函数的值域常用此法.例5、求122+--=x x xx y 的值域.解：由122+--=x x xx y ，得 0)1()1(2=+-+-y x y x y .① 当1=y 时，方程无解， ∴1≠y .② 当1≠y 时，∵R x ∈，∴ 必须 △0)1(4)1(2≥---=y y y ，解得 131≤≤-y . 又∵1≠y ，∴所求函数的值域是{y|131<≤-y } 6.换元法：通过换元，把求复杂函数值域的问题转化为求基本函数值域的问题.例6、函数12+-=x x y 的值域 解：令012≥+=x t ，则)1(212-=t x ；∴1)1(21)1(2122--=--=t t t y ， ∵ 0≥t ，∴ 1-≥y .则所求函数的值域是{y|1-≥y }.7.数形结合法：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法来求函数的值域.例7、求函数y =xx cos 2sin +的值域解：∵ y =x x cos 2sin +的值可理解为动点A(cos x ，sin x )与定点P(-2，0)连线的斜率.而动点A 的轨迹为单位圆O ，∴当PA 与⊙O 相切时，y 有最值。
求值域常用的七种方法
2、换元法
• 此法特点：函数的解析式含有根式或者三角函数 模型的.
• 求下列函数的值域
x 1 (1) y 2 (2) y x x 1 x 1 (3) y cos 2 x cos x 1
2
(4) y 9 3 2( x [0,1])
x x
3、基本不等式法
( x [0,3])
求值域常用的七种方法
1、二次函数配方法（图像法） 2、换元法 3、基本不等式法 4、利用函数的单调性法 5、分离常数法 6、数形结合法 7、导数法
1、配方法
• 求下列函数的值域
(1) y x 2 x
2
( 2) y x 2 x ( x [0,3])
2
(3) y x 4 x 1( x [ 4,4])
2
(2) y | x 2 | | x 8 | (3) y | x 1 | | x 3 | (4) y | x 3 | | x 1 |
(5) y x 6 x 13 x 4 x 5
2 2
(6) y x 6 x 13 x 4 x 5
2 2
注：求两距离之和时，要函数式变 形，使A、B在x轴的两侧，而求两 距离之差时，则使A、B两点在x轴 的同侧。
sin x (7 ) y cos x 2
7、导数法
• 求下列函数的值域
x (1) y x ( x [0,4]) e
3 2
(2) f ( x) 2 x 3 x 12 x 5
• 求下列函数的值域
1 (1) y x 1 x 2 x 2x 2 (2) y ( x 1) x 1 (3) y log 3 x log x 3 1
函数的定义域与值域知识点及题型总结
函数的定义域与值域知识点及题型总结函数的定义域与值域知识点及题型总结知识点精讲一、函数的定义域求解函数的定义域应注意：1) 分式的分母不为零；2) 偶次方根的被开方数大于或等于零；3) 对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；4) 零次幂或负指数次幂的底数不为零；5) 三角函数中的正切$y=\tan x$的定义域是$x\neqk\pi+\frac{\pi}{2}$，其中$k\in Z$；6) 已知$f(x)$的定义域求解$f(g(x))$的定义域，或已知$f(g(x))$的定义域求解$f(x)$的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则下，括号内式子的范围相同；7) 对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域。
二、函数的值域求解函数值域主要有以下十种方法：1) 观察法；2) 配方法；3) 图像法；4) 基本不等式法；5) 换元法；6) 分离常数法；7) 判别式法；8) 单调性法；9) 有界性法；10) 导数法。
需要指出的是，定义域或值域的结果必须写成区间或集合的形式。
题型归纳及思路提示题型1 函数定义域的求解思路提示：对求函数定义域问题的思路是：1) 先列出使式子$f(x)$有意义的不等式或不等式组；2) 解不等式组；3) 将解集写成集合或区间的形式。
二、给出函数解析式求解定义域例 2.10 函数$y=\frac{\ln(x+1)-x}{-3x+4}$的定义域为（）。
A。
$(-4,-1)$ B。
$(-4,1)$ C。
$(-1,1)$ D。
$(-1,1]$分析本题考查对数、分式根式有关的函数定义域的求解。
解：$x+1>0$，$-3x+4\neq 0$，即$x\neq\frac{4}{3}$。
解不等式$\ln(x+1)>x-4$，得$-1<x<1$。
故选C。
变式1 函数$y=x\ln(1-x)$的定义域为（）。
A。
常用求函数值域的几种方法
函 数 值
域
的 几
种 方
法
金 万金
（ 陇西 县 文 峰 巾学 ， 甘肃 陇 西 函数 是中学 数学 的重要 基本 概念 之一 ， 它与代 数式 、 方 程、 不等式 、 三角函数 、 微 积 分 等 内 容有 着 密 切 的 联 系 ， 应 用 十 分广 泛． 函数 的 基 础 性 强 、 概念多 ， 其 中函数 的定义域 、 值域、 奇偶性等是难点之 一 ， 是高考 的常见题型． 下 面 就 函数 值 域 的 求法举例说明如下．
二、 换 元 法
， 所 以原 函数 的值 域 为 ｛ ｙ １ ０ ＜ ｙ ≤
｝ ．
将 原 函数 化 为 ｆ （ ｘ ） ＋ — ， （ ａ ＞ ０ ） 型， 应 用 均 值 不 等式 及 其
ｔ （ Ｘ）
换 元 法 分 代 数 换 元 和 ｊ 角 换 元 ．代 数 换 元 是 将 一个 整 式 ＿ Ｆ Ｉ ＝ Ｊ 一个变量代换 ， 转 化 为 受 限 的 二 次 函数 等 求 值 域 ， 三 角 换 元 是利 用 三 角 代 换 ， 根 据 角 函数 间 的关 系 及 其 有 界 性 求 值 域 ． 例２ ． 求 函ｍ ｙ ＝ ｘ ＋ ｘ ／ ｘ 一 ３的 值 域
条 件 求 函 数 的值 域． 例６ ． 在 平 面直 角 坐 标 系 ｘ ｏ ｙ ， 过 原 点 的一 条 直 线 ｆ （ ｘ ） ＝
的图 像 交 与 Ｐ ， Ｑ 两点 ， 则线段Ｐ Ｑ 长的最小值是 分析 ： 由 已知 可 知 两 点 Ｐ ， Ｑ 必关 于原点对称 ， 从 而 设 出 交
ｘ 一 ｘ＋１
＋ （ １ － ｙ ） ｘ ＋ ｙ ＝ ０（ ＊ ） ， 。 ． ‘ ｙ ＝ ｌ 时， 方程（ ） 无 解 ． ｙ≠１ ， ‘ ． ‘ Ｘ∈Ｒ ． 方 程
求函数值域的8种方法带例题
求函数值域的8种方法带例题嘿，伙计们！今天我们来聊聊一个很有趣的话题——求函数值域的8种方法。
你们知道吗，学习数学的时候，我们经常会遇到一些让我们头疼的问题，比如求一个函数的值域。
别着急，我今天就来教你们8种简单易懂的方法，让你轻松搞定这个难题。
我们来看第一种方法：观察法。
这种方法很简单，就是直接观察函数在哪些区间内取值。
比如，我们来看一个例子：求函数f(x) = x^2在区间[-1, 2]内的值域。
我们可以看到，当x = 0时，f(x) = 0;当x = 1时，f(x) = 1;当x = 2时，f(x) = 4。
所以，这个函数在这个区间内的值域是[0, 4]。
接下来，我们来看第二种方法：图像法。
这种方法需要用到一些图形工具，比如Excel或者Python的matplotlib库。
我们可以通过绘制函数的图像来直观地看到函数在哪些区间内取值。
比如，我们还是以f(x) = x^2为例。
我们可以在Excel中输入x和f(x)的值，然后通过“插入”->“散点图”功能绘制出函数图像。
从图像中，我们可以看出函数在[-1, 0]和[2, +\infty)内都单调递增，所以这两个区间都是函数的值域。
而在[0, 2]内，函数是先单调递减再单调递增的，所以这个区间也是函数的值域。
因此，这个函数的值域是[0, 4]。
第三种方法：分段法。
这种方法适用于那些在某个区间内单调递增或单调递减的函数。
比如，我们还是以f(x) = x^2为例。
我们可以发现，当x在[-1, 0]和[2, +\infty)内时，函数都是单调递增的；而当x在[0, 2]内时，函数是先单调递减再单调递增的。
所以，我们可以将这个问题分成两个子问题：求f(x)在区间[-1, 0]和[2, +\infty)内的值域；以及求f(x)在区间[0, 2]内的值域。
通过分段法，我们可以分别求出这两个子问题的解，然后将它们合并起来得到原问题的解。
因此，这个函数的值域是[0, 4]。
函数定义域值域求法(全十一种)
函数定义域值域求法(全十一种)高中函数定义域和值域的求法总结一、常规型常规型是指已知函数的解析式，求函数的定义域和值域。
解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。
例如，对于函数 $y=\frac{x^2-2x-15}{|x+3|-8}$，要使函数有意义，则必须满足 $x^2-2x-15\geq 0$ 且 $|x+3|\neq 8$。
解得$x\leq -3$ 或 $x\geq 5$，且 $x\neq -11$ 或 $x\neq 5$。
将两个条件求交集得 $x\leq -3$ 且 $x\neq -11$ 或 $x>5$，即函数的定义域为 $\{x|x\leq -3\text{ 且 }x\neq -11\}\cup\{x|x>5\}$。
二、抽象函数型抽象函数型是指没有给出解析式的函数，需要根据已知条件求解。
一般有两种情况：1）已知 $f(x)$ 的定义域，求 $f[g(x)]$ 的定义域。
解法是：已知 $f(x)$ 的定义域为 $[a,b]$，则 $f[g(x)]$ 的定义域为解$a\leq g(x)\leq b$。
例如，已知 $f(x)$ 的定义域为 $[-2,2]$，求 $f(x^2-1)$ 的定义域。
令 $-2\leq x^2-1\leq 2$，得 $-1\leq x^2\leq 3$，即 $-|x|\leq x\leq |x|$。
因此，$-3\leq x\leq 3$，即函数的定义域为$\{x|-3\leq x\leq 3\}$。
2）已知 $f[g(x)]$ 的定义域，求 $f(x)$ 的定义域。
解法是：已知 $f[g(x)]$ 的定义域为 $[a,b]$，则 $f(x)$ 的定义域为$g(x)$ 的值域。
例如，已知 $f(2x+1)$ 的定义域为 $[1,2]$，求 $f(x)$ 的定义域。
因为 $1\leq x\leq 2$，所以 $2\leq 2x\leq 4$，$3\leq2x+1\leq 5$。
求函数值域问题—7类题型16种方法(二)
求函数值域问题—7类题型16种方法（二）（8）函数单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。
例如，.当利用不等式法等号不能成立时，可考虑利用函数的单调性解题。
例1：求函数的值域。
解：∵当增大时，随的增大而减少，随的增大而增大，∴函数在定义域上是增函数。
∴，∴函数的值域为。
例2．求函数在区间上的值域。
分析与解答：任取，且，则，因为，所以：，当时，，则；当时，，则；而当时，于是：函数在区间上的值域为。
构造相关函数，利用函数的单调性求值域。
例3：求函数的值域。
分析与解答：因为，而与在定义域内的单调性不一致。
现构造相关函数，易知在定义域内单调增。
，，，，又，所以：，。
（9）基本不等式法利用基本不等式求函数值域, 其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值。
利用基本不等式，用此法求函数值域时，要注意条件“一正，二定，三相等”.如利用求某些函数值域（或最值）时应满足三个条件①;②为定值；③取等号成立的条件.三个条件缺一不可。
此外，有时需要合理地添项和拆项和两边平方等技巧, 添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量,比如求函数的值域。
例1 求函数的值域.解: , 当且仅当时成立. 故函数的值域为.此法可以灵活运用, 对于分母为一次多项式的二次分式, 当然可以运用判别式法求得其值域, 但是若能变通地运用此法, 可以省去判别式法中介二次不等式的过程.例2：求函数的值域：.解：当且仅当时，即时等号成立，，所以元函数的值域为.例3. 求函数的值域。
解：原函数变形为：当且仅当即当时，等号成立故原函数的值域为：例4. 求函数的值域。
解：当且仅当，即当时，等号成立。
由可得：故原函数的值域为：（10）函数有界性法：利用某些函数有界性求得原函数的值域。
对于对形如，由于正余弦函数都是有界函数，值域为[-1，1]，利用这个性质可求得其值域。
例1：求函数的值域。
解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为，对函数进行变形可得，∵，∴（，），∴，∴，s∴函数的值域为形如可解出Yr范围,从而求出其值域或最值。
求值域的方法
函数值域的求解函数值域的求法主要有以下10种方法：（1）观察法：根据各种非负数的特点及函数的图像、性质、简单的计算、推理，评观察能直接得到一些简单的复合函数的值域.（2）配方法：对于形如()20y ax bx c a=++≠的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义域求出函数的值域.（3）几何法：根据所给数学式子的特征，构造合适的集合模型.（4）均值不等式法.（5）换元法：分为三角换元法与整体换元法，对于形如y ax b=++问题可通过换元将原问题转化为二次型.（6）分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化而便于分析.（7）判别式法：把函数解析式化为关于x的一元二次方程，利用一元二次方程的跟的判别式求值域.一般地，形如y Ax=+22ax bx cydx ex f++=++的函数值域问题可运用判别式法（注意x的取值范围须为实数集R）.（8）单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域.对于形如y=y ax b=+0ac>时可利用单调性法.（9）有界限法：利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域.因为常出现反解出y的表达式的过程，故我们又常称此种方法为“反解有界性法”. （10）导数法：先利用导数求出函数的极大值和极小值，再确定最大（小）值，从而求出函数的值域.一、观察法函数值的集合叫做函数的值域，根据定义，由函数的映射法则和定义域，直接求出函数的值域。
例题1 已知函数()112--=x y ，{}2,1,0,1-∈x ，求函数的值域。
解：因为{}2,1,0,1-∈x ，而()()331==-f f ，()()020==f f ，()11-=f 所以：{}3,0,1-∈y ，注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该例的定义域为R x ∈，则函数的值域为{}1|-≥y y 。
请体会两者的区别。
例题2求函数1y =的值域.解析：0≥，所以函数的值域为[)1,+∞.变式1 函数()221x y x R x =∈+的值域是________.二、配方法对解析式配方，然后求函数的值域。
十种求初等函数值域的方法
十种求初等函数值域的方法函数的值域是函数的三要素之一, 掌握好求函数值域的方法, 对理解函数的概念意义重大, 而函数概念是贯穿于整个高中课程的, 因此, 掌握求函数值域的方法对整个高中数学课程而言, 具有至关重要的意义. 而整个高中课程所讨论的函数几乎全部是初等函数, 所以本文试图对常见的求初等函数值域的方法作一简要总结.一 观察法观察法是最简单的求函数值域的方法, 此法适用于那些形式比较简单的函数, 例如对于函数23+=x y , 显然其值域为),0()0,(+∞⋃-∞∈y .此法虽然简单, 而且对于形式稍显复杂的函数, 此法常难奏效, 但是此法却是求函数值域最基本的方法, 对于其他形式稍繁的函数, 也是通过施加变换, 最终化成形式简单的函数, 从而应用此法求得.二 分离常数法此法常适用于那些分式形式且分子与分母同为一次多项式的函数, 或能够化成上述形式的函数, 即形如dcx b ax y ++=形式的函数. 解决的办法是通过添项或减项, 在分子中分解出与分母相同的式子, 约分后应用观察法即可得函数的值域.例如对于函数231--=x x y , 利用恒等变形, 得到:)23(31312331)23(31--=---=x x x y ,容易观察得出此函数的值域为),(),(3131+∞⋃-∞∈y . 三 配方法对于二次函数, 可利用配方法求解其值域, 对于与二次函数复合而成的函数, 可尝试对二次函数进行配方, 进而利用与其复合的函数的性质求其值域.例1 求函数342-+-=x x ey 的值域.解答: 此题可以看作是u e y =和342-+-=x x u 两个函数复合而成的函数, 对u 配方可得: 1)2(2+--=x u , 得到函数u 的最大值1=u , 再根据u e y =得到y 为增函数且0>y , 故函数342-+-=x xey 的值域为: ],0(e y ∈.四 判别式法此法适用于二次分式形式的函数, 尤其适用于分母为二次多项式的函数, 解决的办法是先将函数化成方程, 即隐函数0),(=y x f 的形式, 再利用一元二次方程的理论求解问题.例2 求函数2212+++=x x x y 的值域.解答: 先将此函数化成隐函数的形式得:012)12(2=-+-+y x y yx, (1)这是一个关于x 的一元二次方程, 原函数有定义, 等价于此方程有解, 即方程(1)的判别式0)12(4)12(2≥---=∆y y y ,解得: 2121≤≤-y .故原函数的值域为: ],[2121-∈y . 五 基本不等式法利用基本不等式ab b a 222≥+和)0,(2>≥+b a ab b a 是求函数值域的常用技巧之一, 利用此法求函数的值域, 要合理地添项和拆项, 添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量, 同时, 利用此法时应注意取""=成立的条件.例3 求函数12++=x x y 的值域.解答: 211112≥++==+++x x x x y , 当且仅当1=x 时""=成立. 故函数的值域为),2[+∞∈y .此法可以灵活运用, 对于分母为一次多项式的二次分式, 当然可以运用判别式法求得其值域, 但是若能变通地运用此法, 可以省去判别式法中介二次不等式的过程.例4 求函数1222+++=x x x y 的值域.解答: 此题可以利用判别式法求解, 这里考虑运用基本不等式法求解此题, 此时关键是在分子中分解出)"1("+x 项来, 可以一般的运用待定系数法完成这一工作, 办法是设:22))(1(2++=+++x x c b x x , (2)将上面等式的左边展开, 有:)()1(2c b x b x ++++,故而21=+b , 2=+c b . 解得1=b , 1=c . 从而原函数1111)1)(1()1(+++++++==x x x x x y ;ⅰ)当1->x 时, 01>+x ,011>+x , 此时2≥y , 等号成立, 当且仅当0=x .ⅱ)当1-<x 时, 0)1(>+-x , 011>-+x , 此时有211)1(11)1(11)1)(1(-≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+--=+++=++++=x x x x x x x y , 等号成立, 当且仅当2-=x .综上, 原函数的值域为: ),2[]2,(+∞⋃--∞∈y . 六 换元法利用换元改变了原函数表达式的”面貌”, 使原来性质不明显的函数变得清晰, 从而易于求得原函数的值域. 运用换元法时应注意所引进的参数变量的取值范围.例5 求函数x x y 21-+=的值域. 分析: 若设x t 21-=, 则)1(212t x -=(其中),0[+∞∈t ). 原函数变为1)1(21)1(2122+--=+-=t t t y .由于),0[+∞∈t , 故]1,(-∞∈y . 七 反函数法对于存在反函数且易于求得其反函数的函数, 可以利用”原函数的定义域和值域分别为其反函数的值域和定义域”这一性质, 先求出其反函数, 进而通过求其反函数的定义域的方法求原函数的值域.例 6 求函数11+-=x xe e y 的值域.解答: 对于此题来说,我们尝试用反函数方法求解此题. 先证明11xx e e y -+=有反函数, 为此, 设21x x <且R x x ∈21,,0)1)(1(211112121221121<++-=+--+-=-x x x x x x x x e eee ee ee y y .所以y 为减函数, 存在反函数. 可以求得其反函数为:xx y -+-=111ln. 此函数的定义域为)1,1(-∈x , 故原函数的值域为)1,1(-∈y .其实, 此题也可以用分离常数法来解, 这里就不再冗述了. 八 图像法对于一些能够准确画出函数图像的函数来说, 可以先画出其函数图像, 然后利用函数图像求其值域.例 7 求函数13y x x =-+-的值域.分析: 此题首先是如何去掉绝对值,将其做成一个分段函数. 24,(,1],2,(1,3),24,[3,),x x y x x x -+∈-∞⎧⎪=∈⎨⎪-∈+∞⎩在对应的区间内, 画出此函数的图像, 如图1所示, 易得出函数的值域为),2[+∞.九 利用函数的单调性当函数f 在),(b a 上单调, 譬如f 在),(b a 上递增时, 自然有函数f 在),(b a 上的值域为))0(),0((-+b f a f (其中图1y=-2x+4y=2x-4YX4O231)(lim )0(),(lim )0(x f b f x f a f bx ax -+→→=-=+,当+→a x 时,±∞→)(x f 也称其存在,记为)0(+a f ); 若f 在),(b a 上递减, 函数f 在),(b a 上的值域为))0(),0((+-a f b f . 在闭区间],[b a 上也有相应的结论.例 8 求函数x x y --+=863 的值域.分析: 此题可以看作v u y +=和63+=x u ,x v --=8的复合函数, 显然函数63+=x u 为单调递增函数, 易验证x v --=8亦是单调递增函数, 故函数x x y --+=863也是单调递增函数. 而此函数的定义域为]8,2[-.当2-=x 时, y 取得最小值10-.当8=x 时, y 取得最大值30. 故而原函数的值域为]30,10[-.十 利用导数求函数的值域若函数f 在),(b a 内可导, 可以利用导数求得f 在),(b a 内的极值, 然后再计算f 在a ,b 点的极限值. 从而求得f 的值域.例 9 求函数x x x f 3)(3-=在)1,5(-内的值域.分析:显然f 在)3,5(-可导，且33)(2-='x x f . 由0)(='x f 得f 的极值点为1,1-==x x .,2)1(=-f 2)01(-=-f . 140)05(=+-f .所以, 函数f 的值域为)140,2(-.。
高代求值域和核的例题
高代求值域和核的例题高代中,求值域和核的概念非常重要。
在求解函数值域时,我们需要考虑函数的导数和积分;而在求解核时,我们需要考虑函数的构造和性质。
本文将介绍这些概念的例题和拓展。
### 求值域求值域是求解函数的零点、边界值和极大值等的关键步骤。
下面是求解函数值域的一些例题:1. 函数 $f(x) = x^2 + 2x + 1$ 的值域。
首先求导数 $f"(x)$,得到:$$f"(x) = 2x + 1$$然后根据导数的定义,求出函数的最大值和最小值:$$f"(x_0) = 0, quad f(x_0) = 1$$$$f"(x_n) = 2, quad f(x_n) = frac{3}{2}$$最后,将两个值代入求导数公式,得到值域为:$$[1, frac{3}{2}]$$2. 函数 $f(x) = sqrt{1 - x^2}$ 的值域。
首先求导数 $f"(x)$,得到:$$f"(x) = frac{1}{xsqrt{1 - x^2}}$$然后根据导数的定义,求出函数的最大值和最小值:$$f"(x_0) = -frac{1}{x_0sqrt{1 - x_0^2}} = 0$$$$f"(x_n) = -frac{1}{x_nsqrt{1 - x_n^2}} = frac{1}{x_n}$$ 最后,将两个值代入求导数公式,得到值域为:$$[0, frac{1}{2sqrt{3}}]$$3. 函数 $g(x) = frac{1}{1 + x}$ 的值域。
首先求导数 $g"(x)$,得到:$$g"(x) = -frac{1}{1 + x}$$然后根据导数的定义,求出函数的最大值和最小值:$$g"(x_0) = -frac{1}{1 + x_0} = 0$$$$g"(x_n) = -frac{1}{1 + x_n} = -frac{1}{1 + x_0}$$ 最后,将两个值代入求导数公式,得到值域为:$$[-1, 1]$$### 求核求核是求解函数的极值、零点和开口方向等的关键步骤。
导数法求值域
导数法求值域
导数法求值域：首先求出函数的导函数，然后通过分析导函数的增减性和极限情况，来确定函数的值域。
1. 首先求函数的导函数。
2. 分析导函数的增减性。
当导函数大于0时，函数递增；当导函数小于0时，函数递减。
3. 分析导函数的极限情况。
当导函数趋于正无穷时，函数趋于正无穷；当导函数趋于负无穷时，函数趋于负无穷。
4. 根据函数的递增、递减性和极限情况，确定函数的值域。
举例说明：假设函数为f(x)，首先求出它的导函数f'(x)。
然后分析f'(x)的增减性和极限情况，来确定f(x)的值域。
例如，对于函数f(x) = x^2 + 2x + 1，求其值域。
首先求导函数f'(x) = 2x + 2。
然后分析f'(x)的增减性和极限情况：
- 当x取负无穷时，f'(x)趋于负无穷。
- 当x取正无穷时，f'(x)趋于正无穷。
- 当x= -1时，f'(x)等于0。
由此可知，函数f(x)在x < -1时递减，在x > -1时递增，且在x = -1处取得极小值。
根据这些信息，我们可以确定f(x)的值域为：f(x) >= f(-1)。
代入f(-1)得：f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) + 1 = 0。
因此，f(x)的值域为f(x) >= 0。
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利用导数求函数最值
高二苏庭
导数是对函数的图像与性质的总结与拓展，导数是研究函数单调性极佳、最佳的重要工具，在掌握求函数的极值和最值的基础上学习用导数解决生产生活中的有关最大最小最有效等类似的应用问题广泛运用在讨论函数图像的变化趋势及证明不等式等方面。
导数是初等数学与高等数学的重要衔接点，是高考的热点，高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，高考对这部分内容的考查将仍会以导数的应用题为主，如利用导数处理函数的极值、最值和单调性问题和曲线的问题等，考题不难，侧重知识之意。
导数应用主要有以下三个方面：
①运用导数的有关知识研究函数的单调性和最值问题，
②利用导数的几何意义，研究曲线的切线斜率。
函数y=f(x)在x=x0处的导数，表示曲线在点P（x0 , y0）处的切线斜率。
由导数来求最值问题的方法可知，解这类实际问题需先建立函数关系，再求极值点，确定最值点及最值．在设变量时可采用直接法也可采用间接法．
求函数极值时，导数值为0的点是该点为极值点的必要条件，但不是充分条件。
运用导数确定函数单调区间的一般步骤为：
（1）求出函数y=f(x)的导函数；
（2）在函数定义域内解不等式得函数y=f(x)的单调增区间；解不等式得函数y=f(x)的单调减区间。
例题剖析
例1、求函数的值域.
分析：
求函数的值域以前学过一些方法，也可利用求导的方法，根据函数的单调性求解.
解答：
函数的定义域由求得，即x≥－2.
当x>－2时，y′>0，即函数，在（－2，＋∞）上是增函数，又f(－2)=－1，∴所求函数的值域为[－1，＋∞）.
点评：
（1）从本题的解答过程可以看到，当单调区间与函数的值域相同时，才可使用此法，否则会产生错误.
（2）求值域时，当x=－2，函数不可导，但函数
在[－2，＋∞）上是连续的，函数图象是连续变化的，因此在x=－2时，取得最小值.
例2、把长度为16cm的线段分成两段，各围成一个正方形，它们的面积之和的最小值为多少？
分析：建立面积和与一正方形的周长的函数关系，再求最小值．
解答：设一段长为xcm，则另一段长(16－x)cm．
∴面积和
∴S′＝－2，令S′＝0有x＝8．
列表：
∴当x＝8时，S有最小值8cm2．
点评：这是解实际应用题的一般方法．先构造函数关系，再求满足条件的解，极值或最值．
例3、如图所示，在二次函数f(x)=4x-x2的图象与x轴所围成图形中有个内接矩形ABCD，求这个矩形面积的最大值。
解析：设点B的坐标为(x,0)且0<x<2,
∵f(x)=4x-x2图象的对称轴为x=2, ∴点C的坐标为(4-x,0), ∴ |BC|=4-2x, |BA|=f(x)=4x-x2。
∴矩形面积为y=(4-2x)(4x-x2)=16x-12x2+2x3
y'=16-24x+6x2=2(3x2-12x+8)
令y'=0，解得，∵ 0<x<2, ∴取。
∵极值点只有一个，当时，矩形面积的最大值。