第1章 电磁场的特性及其数学模型
电磁场的数学建模与解答技巧
电磁场的数学建模与解答技巧电磁场是电荷和电流所产生的相互作用效应，它在工程学、物理学以及计算机模拟中都扮演着重要角色。
为了更好地理解和分析电磁场，数学建模和解答技巧是必不可少的。
本文将从电磁场的数学建模入手，介绍几种常用的数学建模方法，并给出解答技巧的实例。
一、电磁场的数学建模方法之一：微分方程微分方程是描述电磁场的一种常用数学工具。
通常，通过麦克斯韦方程组可以得到电磁场满足的偏微分方程。
对于静电场，可以使用拉普拉斯方程描述，表示为：∇²ϕ = -ρ/ε₀其中ϕ是电势，ρ是电荷密度，ε₀是真空介电常数。
对于静磁场，则可以使用斯托克斯方程描述，表示为：∇×B = μ₀J其中B是磁感应强度，J是电流密度，μ₀是真空磁导率。
通过求解这些微分方程，可以得到电磁场的分布情况。
二、电磁场的数学建模方法之二：有限元法有限元法是一种常用的数值解法，可用于求解任意形状的电磁场问题。
该方法将电磁场区域划分为有限个小单元，并在每个小单元内以多项式函数逼近电磁场的分布。
通过建立离散的代数方程组，并求解该方程组，可以得到电磁场的近似解。
三、电磁场的数学建模方法之三：有限差分法有限差分法是一种离散方法，通过将连续的电磁场问题转化为离散的代数问题进行求解。
该方法将连续的电磁场区域划分为网格，并在每个网格节点上进行逼近。
通过近似微分算子，将偏微分方程转化为差分方程，并通过迭代求解差分方程得到电磁场的解。
四、电磁场解答技巧实例为了更好地展示电磁场解答技巧，以下给出一个实例。
考虑一个带有一根无限长直导线的无限大平面问题。
已知导线的电流密度为I，求解该情况下的磁场分布。
根据安培环路定理，可以得到这个问题的微分方程为：∇×B = μ₀Iδ(x)δ(y)ez其中δ表示狄拉克δ函数，ez表示z轴方向上的单位向量。
通过对微分方程进行求解，可以得到在导线周围的磁场强度为：B = μ₀I/2πr其中r表示距导线的径向距离。
电磁学的基本原理与电磁场的性质
电磁学的基本原理与电磁场的性质电磁学是物理学中的一个重要分支，研究电荷与电流产生的电磁现象及其相互作用。
电磁学的基本原理是麦克斯韦方程组，它描述了电场和磁场的变化规律。
本文将介绍电磁学的基本原理和电磁场的性质。
一、电磁学的基本原理电磁学的基本原理是由麦克斯韦方程组所描述的，它由四个方程组成，分别是：1. 麦克斯韦第一定律（电场发散定理）：电场的发散（divergence）与电荷密度的关系为∇·E = ρ/ε₀其中E为电场强度，ρ为电荷密度，ε₀为真空介电常数。
2. 麦克斯韦第二定律（电场环路定理）：电场的旋度（curl）与磁场的变化率之间存在关系∇×E = -∂B/∂t其中B为磁感应强度，t为时间。
3. 麦克斯韦第三定律（磁场环路定理）：磁场的旋度与电流密度之间存在关系∇×B = μ₀J + μ₀ε₀∂E/∂t其中J为电流密度，μ₀为真空磁导率。
4. 麦克斯韦第四定律（磁场发散定理）：磁场的发散与零电荷情况下的磁荷密度之间存在关系∇·B = 0通过麦克斯韦方程组，我们可以推导出电磁波的传播方程和其他重要的电磁学定律。
二、电磁场的性质1. 电场的性质电场是由电荷产生的一种物理场，具有以下性质：（1）电荷是电场的源，电场在无电荷的空间中不存在。
（2）电场遵循叠加原理，不同电荷产生的电场可以相互叠加。
（3）电场强度与电荷量成正比，与距离的平方成反比。
2. 磁场的性质磁场是由电流产生的一种物理场，具有以下性质：（1）电流是磁场的源，不存在无电流的空间中。
（2）磁场也遵循叠加原理，不同电流产生的磁场可以相互叠加。
（3）磁场强度与电流量成正比，与距离成反比。
3. 电磁场的相互作用电场和磁场之间存在相互作用，它们的变化会相互影响。
当电流发生变化时，会产生磁场，而变化的磁场又会影响附近的电荷产生电场，从而形成电磁波的传播。
电磁场的相互作用还体现在电磁感应现象中，当磁场穿过一个闭合线圈时，会在线圈中产生感应电动势。
电磁场的数学描述
电磁场的数学描述电磁场是物理学中的重要概念之一，广泛应用于电磁学、电动力学、电磁感应等领域。
数学描述电磁场的方程组包括麦克斯韦方程组和洛伦兹力公式，能够准确描述电磁场的行为和性质。
1. 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组由四个方程组成，分别是电场的高斯定律、磁场的高斯定律、法拉第电磁感应定律和安培环路定理。
这四个方程描述了电场和磁场之间的耦合关系，以及它们与电荷和电流的相互作用。
（1）电场的高斯定律：∇·E = ρ/ε₀其中，E是电场强度，ρ是电荷密度，ε₀是真空介电常数。
（2）磁场的高斯定律：∇·B = 0其中，B是磁感应强度。
（3）法拉第电磁感应定律：∇×E = -∂B/∂t该方程描述了磁场的变化引起的电场感应。
（4）安培环路定理：∇×B = μ₀J + ε₀μ₀∂E/∂t其中，B是磁感应强度，J是电流密度，μ₀是真空磁导率。
这四个麦克斯韦方程组可以描述电场和磁场如何随时间和空间变化，以及它们与电荷和电流之间的关系。
2. 洛伦兹力公式洛伦兹力公式描述了电荷在电磁场中所受到的力。
根据洛伦兹力公式，电荷在电场和磁场的作用下会受到力的作用，其大小和方向由以下公式给出：F = q(E + v×B)其中，F是所受到的力，q是电荷量，E是电场强度，v是电荷的速度，B是磁感应强度。
利用洛伦兹力公式，可以进一步探讨电荷在电磁场中的运动规律和相互作用。
3. 应用与实例电磁场的数学描述在电磁学、电动力学、电磁感应等领域有着广泛的应用。
例如，在电磁波的传播过程中，通过麦克斯韦方程组可以精确地描述电场和磁场的传播特性。
在电动力学中，可以利用洛伦兹力公式研究电荷在电磁场中的受力情况和运动轨迹。
而在电磁感应中，通过法拉第电磁感应定律可以解释电磁感应现象的发生原理。
总结：电磁场的数学描述通过麦克斯韦方程组和洛伦兹力公式来准确地描述了电场和磁场的特性和行为。
这些方程能够描述电场和磁场随时间和空间变化的规律，并揭示了它们与电荷和电流之间的相互作用关系。
电磁场 第一讲 电磁场物理模型构成
什么是场？
温度场、电场、磁场、电磁场、重力场、引 力场……
什么是场？
物理场 研究对象？
一种客观存在的特殊形式物质
如何描述？
如果在全部空间或部分空间里的每一点，都对 应着某个物理量的一个确定值，就可以说在这 个空间里确定了该物理量的一个场。 数学场 描述上述物质状态、变化、关系的方 法与工具 一般的，作为空间坐标的函数（有时还是时 间的函数）的任何物理量都叫做一个数学场
Sichuan University
为什么要学习电磁场？
上述一切应用均源自电磁场基本理论，因此，电磁 场理论是理解、发展和实现一切与电磁现象与电磁 效应相关技术必不可少的知识本源。
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Sichuan University
为什么要学习电磁？指南针的教训
美国第一任物理学会会长 亨利· 奥古斯特· 罗兰 （ 1883年8月15日在美国国家科学促进会的讲话：为纯科学呼吁) “……我常常被问及这样的问题：纯科学和应用科学究竟哪个对 世界更重要？为了应用科学，纯科学本身必须存在！假如我们停 止纯科学的进步而只留意科学的应用，我们很快就会退化成为中 国人那样！多少代以来中国人没有什么进步，因为他们只满足于 科学的应用，却从来没有追问过他们祖先所做事情中的原理。这 些原理就构成了纯科学！中国人很早就知道火药的应用，如果他 们能用正确的方法来探索“火药应用”的原理，中国人就能够在 实现众多应用的同时还能够发展出化学，甚至物理学！因为只满 足于火药爆炸的事实和应用，而没有寻根问底，中国人已经远远 落后于世界进步；以至于我们现在只将世界上所有众多民族中这 个最古老、人口最多的民族视为野蛮人！……”
手续： 作业要求—课后布置，次周交，独立完成，注重过程； 成绩构成—平时（出勤、作业）20%+半期考试20%+考试成绩60% 考试方式—闭卷笔试（名词解释，概念叙述，计算题）
电磁场的基本特性
电磁场的基本特性电磁场是由电荷或电流引起的物理现象，在日常生活中处处可见。
通过探索电磁场的基本特性，我们可以更好地理解电磁现象的本质和其在各个领域中的应用。
本文将系统地介绍电磁场的基本特性，以及其在电磁学和电磁工程等领域中的重要作用。
一、电磁场的定义电磁场是一种物理场，它由电荷和电流所产生的相互作用所导致。
电磁场包括静电场和磁场两个方面。
静电场是由静止的电荷产生的，而磁场则是由运动电荷（电流）产生的。
根据麦克斯韦方程组，电磁场遵循着电场和磁场的相互作用规律。
通过对电磁场的研究，我们可以更好地理解电磁波和光的行为。
二、电磁场的特点1. 电场特性电场是由电荷引起的物理现象。
正电荷和负电荷之间存在着相互吸引或相互排斥的力。
根据库仑定律，电荷之间的相互作用力与其距离的平方成反比。
电场的强度是一个矢量量值，它的大小与电荷量成正比，与距离的平方成反比。
通过在电场中引入一个测试电荷，可以测量电场的强度和方向。
2. 磁场特性磁场是由电流引起的物理现象。
当电流通过导线时，周围会形成一个环绕导线的磁场。
根据安培定律，电流之间的相互作用力与其距离成正比，与电流的大小成正比。
磁场的强度也是一个矢量量值，其大小与电流大小成正比，与距离成正比。
磁场的方向可通过右手定则确定。
3. 电磁感应特性电磁场中的变化会引起电磁感应现象。
根据法拉第电磁感应定律，当电磁场中的磁通量发生变化时，会产生感应电动势。
电磁感应通过变压器、电磁铁和电动机等设备中得到广泛应用。
电磁感应是电磁场与电路的重要联系，也是电磁现象的基础之一。
三、电磁场的应用电磁场作为一种基本的物理现象，在许多领域中发挥着重要的作用。
以下是一些电磁场应用的示例：1. 通信技术无线电、电视、手机和卫星通信等都是基于电磁场的传输原理。
电磁波作为一种能量传输的手段，通过电磁场的传播而实现信息的传递。
2. 医学成像磁共振成像（MRI）和计算机断层扫描（CT）等医学成像技术利用电磁场的特性对人体进行影像的获取。
电磁场的数学模型推导
电磁场的数学模型推导电磁场（Electromagnetic field）是自然界中非常重要的物理现象之一。
它在我们的日常生活中扮演着重要的角色，从电灯的亮起到手机的通信，电磁场的应用无处不在。
为了深入了解电磁场的本质和特点，科学家们提出了一种数学模型推导的方法。
首先，我们知道电磁场由电场和磁场组成。
电场存在于电荷周围，是由电荷所产生的力场。
而磁场则是由运动的电荷所产生的，也可以由电流所产生。
在推导电磁场的数学模型时，我们需要运用一些基本的物理定律和公式。
根据麦克斯韦方程组，我们可以得到电磁场的数学模型。
其中最为重要的方程是麦克斯韦方程的积分形式，也称为麦克斯韦定理。
该定理告诉我们电场和磁场的变化率与周围电荷和电流的关系。
在麦克斯韦方程的推导中，电场方程和磁场方程是非常重要的组成部分。
电场方程由库仑定律给出，它描述了电荷相互作用所产生的力。
磁场方程则由安培定律给出，描述了电流所产生的磁场。
这两个方程提供了电磁场相互作用的基础。
除了电场和磁场方程，麦克斯韦方程还包括了法拉第电磁感应定律和高斯电磁感应定律。
这两个定律描述了电磁感应现象，即电磁场对电荷和电流的作用。
通过对这些定律的积分形式进行推导和分析，我们可以得到电磁场的数学模型。
基于麦克斯韦方程的数学模型，我们可以进一步研究电磁场的性质和行为。
例如，通过数学模型的推导，我们可以得到电磁波的存在和传播方程。
电磁波是由电场和磁场的相互作用所产生的一种能量传递方式，它是电磁场的重要表现形式之一。
在推导电磁场的数学模型的过程中，我们不仅要运用物理定律和公式，还需要运用数学工具。
例如，对于大部分情况下的电磁场模型，我们可以采用矢量微积分的方法进行求解。
通过矢量微积分的运算，我们可以对电磁场的强度、方向和分布进行数学描述和计算。
在实际应用中，电磁场的数学模型被广泛应用于各个领域。
例如，无线通信技术依赖于电磁场的传播和干扰特性，通过对电磁场的数学模型进行分析和优化，可以提高无线通信的可靠性和效率。
电磁场的数学模型
电磁场的数学模型电磁场是物质与电磁相互作用的结果，它在物理学中具有重要的地位。
为了描述和分析电磁场的行为，科学家们发展了一系列的数学模型。
本文将介绍几种常用的电磁场的数学模型。
一、麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组是描述电磁场的基本方程，由麦克斯韦在19世纪提出。
它包含四个方程，分别是高斯定律、法拉第电磁感应定律、安培环路定律和法拉第电磁感应定律。
这四个方程描述了电荷分布、电场、磁场以及它们之间的相互作用。
二、电势和矢量场在电磁场的数学模型中，电势和矢量场也是重要的概念。
电势是描述电场的标量场，它满足拉普拉斯方程。
矢量场用来表示电场和磁场的空间分布情况，包括大小和方向两个信息。
三、波动方程电磁场中的波动现象是一种重要的现象，可以通过波动方程来描述。
对于电磁场来说，波动方程是齐次的二阶偏微分方程。
电磁波的传播速度等于真空中光速。
四、参考系变换在描述电磁场的数学模型中，参考系的变换也是必要的。
变换后的麦克斯韦方程组能够适应不同的参考系，因为电磁场的行为在不同的参考系中可能有所不同。
五、边界条件电磁场的数学模型还需要满足边界条件。
边界条件是指在介质界面上，电场和磁场的连续性和边界条件的关系。
这些条件对于求解电磁场的分布和传播都起着重要的作用。
六、数值计算方法为了求解电磁场的分布和传播问题，科学家们发展了一系列的数值计算方法。
有限差分法、有限元法以及边界元法等都可以用来求解电磁场的数学模型。
这些方法将电磁场的问题转化为求解偏微分方程的数值问题。
通过以上介绍，我们了解了电磁场的数学模型及其应用。
麦克斯韦方程组是描述电磁场的基本方程，电势和矢量场用于描述电场和磁场的分布情况，波动方程描述了电磁波的传播行为。
在求解电磁场的问题中，边界条件和参考系变换都是必要的。
数值计算方法则为我们提供了一种有效的求解电磁场问题的途径。
总结起来，电磁场的数学模型是对电场和磁场的描述和分析，它是物理学研究中的重要工具。
通过电磁场的数学模型，我们可以更好地理解和预测电磁场的行为。
电磁场的数学物理基础
• 宏观分析时，场源电荷常是数以亿计的电子电荷e的组合，故 可不考虑其量子化的事实，而认为电荷量q可任意连续取值。 • 类同于由物质密度 给定物质的质量m一样，现引入关 于电荷的平滑的平均密度函数概念，即以电荷密度分布的 方式来给定带电体的电荷量。 • 理想化实际带电系统的电荷分布形态为如下四种形式： （1）点电荷 q(r,t)： 单位：C。 （2）电荷体密度 (r,t)： 单位：C/m3 （3）电荷面密度 (r,t)： 单位：C/m2 （4）电荷线密度 (r,t)： 单位：C/m
由此可知，穿出前、后两侧面的净通量值为
D x x x D x , y , z D x , y , z y z x y z x 0 00 0 00 x x 2 2
方向导数值与所选取的方向 dl 有关。记该 dl 方向的 单位矢量为el，可知
e e cos e cos e cos l x y z
grad e e e x y z x y z
定义
为标量场的梯度，记作 其中，
3．场量
电场强度：E、单位：N/C,V/m。
F (r ) E(r ) lim qt 0 q t
磁感应强度（磁通密度）：B、单位：T。
d F d qv ( B )
( dF ) max B dqv
d F I( d l B )
§1.1.2 电磁场中的媒质及其电磁性能参数
1. 电磁性能参数
1．2 矢量分析
1.2.1矢量运算 标量积（点积）：
A B AB cos AB
A B A B A B A B x x y y z z
电磁场的计算与分析
电磁场的计算与分析一、引言电磁场是电学和磁学研究的核心内容，是科学技术和工程技术发展的重要领域之一。
电磁场计算与分析是研究电磁场的重要手段，其核心思想是根据电磁场本质特征和规律，运用数学和物理方法建立电磁场的数学模型，进而计算和分析电磁场在空间中的分布和变化，为电学、磁学以及电磁工程学等领域的研究和应用提供了重要理论和技术基础。
本文主要从电磁场计算与分析的基本原理、数学模型、计算方法、应用等方面进行论述。
二、电磁场计算与分析基本原理电磁场的基本特征是电荷体系的空间分布和运动状态引起的电场和磁场变化，电磁场的本质规律是由麦克斯韦方程组描述的。
麦克斯韦方程组包括四个方程式，分别是高斯定理、法拉第定律、安培环路定理和法拉第电磁感应定律，它们描述了电荷和电流体系所产生的电场和磁场的产生、传播、相互作用和变化规律。
在电磁场的计算与分析中，基本原理是通过麦克斯韦方程式建立电场和磁场的数学模型，再根据边值条件和物理特征进行计算和分析，得到电磁场在空间中的分布和变化规律。
因此，电磁场计算与分析是一种把物理实验和理论相结合的方法，既需要物理实验参数的支持，又需要数学模型建立和计算方法的选择和应用。
三、电磁场的数学模型电磁场的数学模型建立是电磁场计算与分析的重要基础，目前常用的计算方法主要有有限元法、有限差分法、谱方法、边界元法等。
在这些方法中，有限元法和有限差分法是应用最广泛的两种方法。
1. 有限元法有限元法是一种将连续物理问题离散成有限个子域，用有限元方法近似求解得到数值解的方法。
该方法具有广泛的应用领域，如物理学、机械工程、结构力学、电磁学等，在电磁场计算和分析方面也得到了广泛的应用。
有限元法的主要思路是根据问题所在的物理区域，将区域内的物理量和模型分离成若干离散的单元，每个单元内的物理量按一定方式近似处理，然后利用计算机求解数值解。
该方法的核心是构建有限元模型，即如何选取合适的单元类型、单元尺寸和适当的外部条件等，这对于解决电磁场的复杂问题具有重要意义。
电磁场的数学物理基础
( , , z)
• 球(global)坐标系
见P330附录一
(r , , )
• 1. 直角坐标系 x, y, z 坐标变量
坐标单位矢量 ex , e y , ez r ex x e y y ez z 位置矢量 线元矢量 dl ex dx ey dy ez dz 面元矢量 dS x exdl y dlz exdydz
A B Ax Bx Ay By Az Bz
• 4、矢量积
ex A B C AB sin( AB )eC Ax Bx
ey Ay By
ez Az Bz
M rF
二、坐标系统
常用的正交(quadrature)坐标系统(coordinate
system)有： • 直角(rectangular)坐标系 • 圆柱(cylinder)坐标系
dS z ez dlxdl y ez dxdy
体积元
dS y ey dl x dl z ey dxdz
o
z z z0 （平面 ）
ez
ex
P
ey
点 P(x0,y0,z0)
y y y0（平面）
x
x x0 （平面）
直角坐标系
z
dz
dS z ez dxdy
图.1 三维高度场的梯度
指向地势升高的方向。
例 2 电位场的梯度 电位场的梯度与过该点的 等位线垂直； 数值等于该点的最大方向导数； 指向电位（potential）增加的 方向。
图2 电位场的梯度
五、矢量场的通量与散度
（Flux and Divergence of Vector） 1 通量 ( Flux ) 矢量E 沿有向曲面 S 的面积分
电磁场课件第一章时变电磁场与电磁波优秀课件
2 规范
• 对于给定电磁场，按照定义势函数不唯一。 • 为了消除这种多值性，常对势函数施以合
理的限制条件，称为规范。 • 常用的规范有库仑和洛仑兹规范。
A 0
t
3 达朗贝尔方程
2A 2A J t2
2
2 t2
A 0 t
达朗贝尔方程，是关于势函数的波动方程。
4 达朗贝尔方程解－推迟势
Eax3ejkzay3ejkzj3V/m
试求：
(1)均匀平面电磁波的相速度vp、波长λ、相移常数k和波阻抗Z；
(2)电场强度和磁场强度的瞬时值表达式； (3) 与电磁波传播方向垂直的单位面积上通过的平均功率。
解： (1)
vp
1
v p 1m f
c 3 108 108m / s
r r
H 0
22A22tt2A2 00,
A
t
0
2 理想介质Helmhottz方程
E r,t E r e jt, H r,t H r e jt
2E k2E 0, E 0, H j E
2H k2H 0, H 0, E j H
k2 2
3 导电介质Helmhottz方程
J
E, H
EExx,y,zaz Eyx,y,zay Ez x,y,zaz
2 k2 x,y,z0,Ex,Ey,Ez
2 标量波动方程的分离变量解法
2 k 2 x , y , z 0, X x Y y Z z
1 X
d 2X dx2
1 Y
d 2Y dy 2
1 Z
d 2Z dz2
k2 0
3 相位常数和相速度
k 2
vp
k
1 ,c
1
电磁场理论中的电场线和磁场线的数学模型推导
电磁场理论中的电场线和磁场线的数学模型推导电磁场理论是物理学中的重要分支，研究电场和磁场的性质和相互作用。
在电磁场理论中，电场线和磁场线是描述电场和磁场分布的重要工具。
本文将从数学模型推导的角度，探讨电场线和磁场线的数学模型。
首先，我们来讨论电场线的数学模型推导。
电场是由电荷引起的力场，电场线是描述电场强度和方向的曲线。
根据库仑定律，两个电荷之间的作用力与它们之间的距离成反比，与电荷的大小成正比。
因此，电场强度的大小与电荷的大小成正比，与距离的平方成反比。
设有一个正电荷Q，我们希望推导出以该电荷为中心的电场线的数学模型。
假设该电荷位于原点O，我们取一点P(x, y)处的电场强度为E。
根据库仑定律，该点处的电场强度可以表示为：E = k * Q / r^2其中，k为库仑常数，r为点P到原点O的距离。
由于电场强度的方向与力的方向一致，我们可以得到一个重要结论：电场线与径向线（由原点指向点P）垂直。
为了推导出电场线的数学模型，我们可以引入一个参数t。
假设电场线上的任意一点P(x, y)的坐标可以表示为：x = f(t)y = g(t)其中，f(t)和g(t)是关于参数t的函数。
我们希望找到f(t)和g(t)的具体形式。
由于电场线与径向线垂直，我们可以利用导数的性质来推导出f(t)和g(t)的关系。
考虑点P(x, y)在电场线上的邻近点P'((x+dx), (y+dy))，其中dx和dy是无穷小量。
根据导数的定义，我们可以得到：dy/dx = -dx/dy由于dx和dy是无穷小量，我们可以忽略它们的高阶无穷小项。
进一步化简，我们可以得到：dy/dx = -f'(t)/g'(t)其中，f'(t)和g'(t)分别表示f(t)和g(t)对t的导数。
将上式与电场线与径向线垂直的条件相结合，我们可以得到一个重要的结论：f'(t)和g'(t)之间满足以下关系：f'(t) * g'(t) = -1这是电场线的数学模型的一个重要性质。
电磁感应的数学模型与方程
电磁感应的数学模型与方程电磁感应是电与磁之间相互作用的基本现象之一。
通过数学建模和方程的推导，我们可以更好地理解电磁感应的原理，并应用于实际问题的解决。
本文将介绍电磁感应的数学模型与方程，帮助读者深入理解电磁感应现象。
1. 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律是电磁感应领域的基础法则之一，它描述了导体中产生电动势的原理。
根据法拉第电磁感应定律，当磁通量穿过一个导线圈时，导线中就会产生感应电动势。
其数学表达式为：ε = -N * dΦ/dt其中，ε表示感应电动势，N为导线圈的匝数，Φ表示穿过导线圈的磁通量，dt表示时间的微小变化量。
2. 洛伦兹力洛伦兹力是描述带电粒子在电磁场中运动受力的重要概念。
根据洛伦兹力的定义，当带电粒子以速度v在磁感应强度为B的磁场中运动时，它将受到一个与速度方向垂直的力。
洛伦兹力的表达式为：F = q * (v × B)其中，F表示受力大小和方向，q为带电粒子的电荷量，v为带电粒子的速度，B为磁场的磁感应强度。
3. 法拉第电磁感应定律的应用：发电机法拉第电磁感应定律的重要应用之一是发电机的工作原理。
发电机通过转动的磁场诱导导线圈中的电流，进而产生电能。
发电机可以看作是利用电磁感应现象将机械能转化为电能的装置。
其数学模型如下：ε = -N * dΦ/dt其中，ε表示感应电动势，N为导线圈的匝数，Φ表示穿过导线圈的磁通量，dt表示时间的微小变化量。
4. 法拉第电磁感应定律的应用：电感另一个重要的应用是电感。
电感是一种储存电磁能量的元件，它的工作原理也基于电磁感应定律。
当电流通过电感产生磁场时，磁场的变化会引起电感中的感应电动势，从而阻碍电流的变化。
电感的数学模型可以表示为：ε = -L * di/dt其中，ε表示感应电动势，L为电感的感应系数，di表示电流的微小变化量，dt表示时间的微小变化量。
5. 法拉第电磁感应定律的应用：变压器变压器是通过电磁感应的原理实现电能的输送与变换。
第一章 电磁场的基本性质2
ω
ωt
φ0
A
实际波一般用它的实部表示：R e = A cos(ω t + φ 0 )
简谐振动表示 ：r = Aei (ωt +φ0 ) = Aeiφ0）eiωt （ Aeiφ0 −复振幅，eiωt − 时间周期因子
1.2.1 波的数学表示
波动
一维波动
设存在某一扰动，以恒速v沿正x方向传播
条件：无限大的各向同性均匀介质，即均为常数，不存在 自由电荷和传导电流（远离辐射源的区域，或变化的电磁 场脱离产生它的源后的情况）
∂B ∇× E = − ∂t
（1） 法拉第电磁感应定律
∂D ∂D ∇× H = J + = ∂t ∂t
∇iD ρ=0 ＝
∇iB = 0
（2） 全电流定律 （3） 高斯定律 （4） 磁场高斯定律
1.2.2 电磁场的波动性
麦克斯韦方程组得出的假设： 变化的电磁场可以以一定的速度向周围空间传播出去。 设在空间某一区域内电场有变化，那么就在临近的区域 内引起变化的磁场，这种变化的磁场又在较远的区域引 起变化的电场，这样电场与磁场交替产生，便使之传播 到更远的区域；这种电磁场在空间以一定的速度由近及 远的传播就是电磁波。 如何证明电磁波的存在？------波动方程 如何证明电磁波的存在？------波动方程
1 ∂2Ψ ∇2Ψ = 2 2 υ ∂t 1 ∂2Ψ ∇2Ψ − 2 2 = 0 υ ∂t
∂2 E ∇ E − µε 2 = 0 ∂t 2 ∂ H ∇ 2 H − µε 2 = 0 ∂t
2
结论 ？ 确实有电磁波存在
1.2.2 电磁场的波动性
取 v＝ 1
εµ
第1章 电磁场的特性及其数学模型
称为磁准静态场。可见，磁准静态场与恒定磁场类似。 与磁准静态场对应的时变电场满足：
E D B t
磁准静态下电荷守恒定律归结为：
第1章 电磁场的特性及其数学模型 正弦稳态情况下，时谐磁准静态电磁场的麦克斯韦方程组 的相量形式为：
电荷守恒定律表示成：
第1章 电磁场的特性及其数学模型 以上两式分别定义了动态向量位函数A（r,t）和动态标量位 函数φ（r,t）,它们自动满足麦克斯韦方程组。应当指出，这里引 用位函数来表示场量B和E，其中含有任意性的成分,因为如果令
则可给出同样的B和E。位函数按照式（1-37）和式（1-38）的变 换，称为规范变换，而保持B和E不变性，则称为规范不变性。由 于存在这一规范不变性，所以对应于一组B和E的值，可以有无穷 多组A和φ的取值，即位函数不是惟一的。不难证明，这一任意性 可以导致随意规定 · A，也就是所谓采用规范对A的散度施加约 束条件。这样，规范的选择，不仅在于惟一地确定相应的位函数 值，而且还在于可简化相应的位函数方程。通常，对自由空间中 的动态电磁场，引入如下的洛仑兹规范：
和 代入，便得:
第1章 电磁场的特性及其数学模型 由于:
代入式（1-27），即得:
同理可证:
式（1-28）、式（1-29）便是分别由一个场向量（H、B、 E或D）所描述的一般化齐次波动方程。在特定情况下，基于 以上各场向量的导出方程可进一步分别归结为:
第1章 电磁场的特性及其数学模型
（1）理想介质（γ=0）中的电磁波方程（波动方程）:
第1章 电磁场的特性及其数学模型
第1章 电磁场的特性及其数学模型
本章基于宏观电磁理论描述表征电磁场特性的数学方程和
关系式，形成建立工程电磁场数学模型和实施数值计算方法的
第一章 电磁场的基本性质1
∫∫ Σ
B ⋅ ds = 0
- 磁场中任一点处的磁感应强度之散度恒等于零。
∇•B =0
1.1 电磁场
1.1.1 麦克斯韦方程组 微分形式：
∂B ∇× E = − ∂t ∇× H = J + ∂D ∂t ∇• D = ρ ∇• B = 0
ρ 自由电荷密度 J 传导电流密度矢量
洛仑兹力:
带电粒子或系统在电磁场中 所受的力所受的力-洛仑兹力 电场力 磁场力
dFe=QE
电场力密度：f 电场力密度：
m
dFm=Idl×B =Idl×
= dFm = J×B dV
磁场力密度： 磁场力密度： f e
= ρE
系统受电磁场力的总和： 系统受电磁场力的总和： f=f e +f m = ρ E + J × B 单个带电粒子受电磁场力的总和： 单个带电粒子受电磁场力的总和：
∫
H ⋅ dl = ∫∫ ( J +
Σ
∂D ) ⋅ ds ∂t
- 磁场强度的旋度等于引起该磁场的传导电流密度和位移电 流密度（即电位移矢量随时间的变化率）之和。
∇× H = J + ∂D ∂t
二、对于磁场强度H（磁场矢量）
d 麦克斯韦方程：∫ H idl = I + ∫S DidS dt
积分区域dl-横跨界面的小矩形
.
D r) = ε r)E r) （ （ （ （ （ B r) = µ r)H r) （
ε r) ，（r) 为位置的函数。 （ µ
1.1 电磁场
1.1.2 电磁场的物质方程 均匀、 各向异性介质 中的物质方程
ε ij 为二阶张量。
.
D = ε ij E
第一章 电磁场的基本性质
麦克斯韦方程揭示了电场、磁场的性质及电、 麦克斯韦方程揭示了电场、磁场的性质及电、磁场之间的联系 同济大学物理系
17
1.1.1 麦克斯韦方程组（国际单位制）
* 积分形Leabharlann 的麦克斯韦方程组v r ∫∫ D⋅ dσ = ∫∫∫ ρdV v r ∫∫ B ⋅ dσ = 0 Σ v v r ∂B r E ⋅ dl = −∫∫ ⋅ dσ ∫ ∂t ∑ v v r v ∂D r ∫ H ⋅ dl = ∫∫ J + ∂t ⋅ dσ Σ
同济大学物理系
10
第0章 数学工具
（3）无旋场必可表示为标量场的梯度 ）
v ∇× f = 0
v f = ∇ϕ
（4）无源场必可表示为另一矢量的旋度 ）
v ∇⋅ f = 0
v v f = ∇× A
同济大学物理系
11
第0章 数学工具
* 算符运算公式
∇(ϕψ ) = ϕ∇ψ +ψ∇ϕ v v v ∇ ⋅ (ϕf ) = (∇ϕ ) ⋅ f + ϕ∇ ⋅ f v v v ∇ × (ϕf ) = (∇ϕ ) × f + ϕ∇ × f v v v v v v ∇ ⋅ ( f × g) = (∇ × f )⋅ g − f ⋅ (∇ × g)
Σ Ω
高斯定理的数学表示 磁场是无源场 法拉第电磁感应定律的数学描述 在交变的电磁场中， 在交变的电磁场中，磁场包含 传导电流和位移电流产生的磁场
∑: 表示曲面面积
v 表示传导电流密度 J:
ρ :表示自由电荷密度
Ω:表示曲面所包围空间的体积
同济大学物理系
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1.1.1 麦克斯韦方程组
电流连续性方程：
同济大学物理系
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第1章 电磁场的特性及其数学模型 由此即可导出如下简单而对称的位函数方程组:
式（1-40）和式（1-41）是分别关于动态向量位A和动态标量 位φ的非齐次波动方程，常称为达朗贝尔方程。这两个方程和式 （1-39）一起构成了与麦克斯韦方程组等价的一个方程组。
对于时谐电磁场，场空间中各场点的动态位A(r,t)和φ(r,t)也 可分别用复相量表示,而相应的达朗贝尔方程的相量形式就成为:
导电媒质而言，应满足所谓良导体条件，即该媒质的电导 率γ>>ωε。按这一条件可见，相应的磁准静态场的激励源频 率将可扩展至Χ射线的频率段。电工技术中的涡流问题就是这 类磁准静态场的典型应用实例，它广泛地伴随在电机、变压器、 感应加热装臵、磁悬浮系统、磁记录头和螺线管传动机构等工 程问题之中。
第1章 电磁场的特性及其数学模型
H J B 0
称为磁准静态场。可见，磁准静态场与恒定磁场类似。 与磁准静态场对应的时变电场满足：
E D B t
磁准静态下电荷守恒定律归结为：
第1章 电磁场的特性及其数学模型 正弦稳态情况下，时谐磁准静态电磁场的麦克斯韦方程组 的相量形式为：
电荷守恒定律表示成：
第1章 电磁场的特性及其数学模型 以上两式分别定义了动态向量位函数A（r,t）和动态标量位 函数φ（r,t）,它们自动满足麦克斯韦方程组。应当指出，这里引 用位函数来表示场量B和E，其中含有任意性的成分,因为如果令
则可给出同样的B和E。位函数按照式（1-37）和式（1-38）的变 换，称为规范变换，而保持B和E不变性，则称为规范不变性。由 于存在这一规范不变性，所以对应于一组B和E的值，可以有无穷 多组A和φ的取值，即位函数不是惟一的。不难证明，这一任意性 可以导致随意规定 · A，也就是所谓采用规范对A的散度施加约 束条件。这样，规范的选择，不仅在于惟一地确定相应的位函数 值，而且还在于可简化相应的位函数方程。通常，对自由空间中 的动态电磁场，引入如下的洛仑兹规范：
由麦克斯韦方程组知，时变电场由时变电荷和时变磁场产 生的感应电压产生。时变电荷产生库仑电场，时变磁场产生感 应电场。在低频情况下，一般时变磁场产生的感应电场远小于 时变电荷产生的库仑电场，可以忽略。此时，时变电场满足
E 0 D
称为电准静态场。可见，电准静态场与静电场类似。 与电准静态场对应的时变磁场满足
（2）良导电媒质（γ>>ωε）中的涡流方程 （扩散或热传导方程）:
第1章 电磁场的特性及其数学模型
（3）正弦稳态时变场中的涡流方程 （相量形式的扩散或热传导方程）:
（4）没有自由电荷分布区域中的静电场方程（拉普拉斯方程）:
（5）没有传导电流分布区域中的恒定磁场方程（拉普拉斯方程）:
第1章 电磁场的特性及其数学4 静态场 静态电磁场(微分形式）
J c D H Jv t
E B t
H Jc
E 0
B=0
B=0
D=
D=
可见，在静止条件下电场和磁场之间没有相互耦合的关系， 可以分别对电场和磁场进行分析和讨论。由于此时电场或磁场的 源量与场量都不随时间变化，故统称为静态电磁场。
式中， V =
1 με
，称为相位速度；ω为正弦激励的角频率。
第1章 电磁场的特性及其数学模型 1.6.2 磁准静态场中的动态位方程 对于磁准静态场，在忽略位移电流的前提下，式(1-39)即成为
上式所示对 A 的散度施加的约束条件，被称之为库仑规范。相 应地， 式（1-40）也就简化为: 但是，必须指出，由于此时在导电媒质内伴随有涡流与集肤 效应，因而无从预先给定载流导体内电流密度 J 的分布。 代入式（1-36）， 可得
因而，对应于电磁场正问题的电磁场数值分析的任务是根据电磁场的 基本特性，即基于麦克斯韦方程组，首先，建立逼近实际工程电磁场正问 题的连续型的数学模型；然后，采用相应的数值计算方法，经离散化处理， 把连续型数学模型转化为等价的离散型数学模型———由离散数值构成的 联立代数方程组（离散方程组），应用有效的代数方程组解法，计算出待 求离散数学模型的离散解（即场量的数值解）；最后，在所得该电磁场正 问题的场量（含位函数）离散解的基础上再经各种后处理过程，就可以求 出所需的场域中任意点处的场强、任意区域的能量、损耗分布，以及力、 力矩和各类电磁参数与性能指标等，以达到对给定的工程电磁场正问题进 行理论分析、工程判断乃至优化设计等目的。
结合实际问题中千变万化的定解条件（边界条件与初始 条件），在引用相应的数学方法后，常用的各类电磁场问题 的数学模型可以归结为微分方程模型、积分方程模型和属于 优化模型的变分方程模型三大类。
第1章 电磁场的特性及其数学模型
1.2 电磁场正问题数值分析的任务和内容
电磁场的正问题：
归属电磁场分析研究领域的各类电磁装臵中的电磁场问题， 其共同的基本点在于给定场的计算区域、各区域材料（媒质） 组成和特性，以及激励源的特性，求其场域中场量随时间、空 间分布的规律（场分布），即构成为电磁场的正问题。
第1章 电磁场的特性及其数学模型
1.4.2 时谐电磁场
正弦稳态情况下的时变电磁场（时谐电磁场），由麦克斯 韦方程组可推得其对应的相量形式为：
第1章 电磁场的特性及其数学模型
1.4.3 准静态场
由麦克斯韦方程组知，时变磁场由时变传导电流和时变电 场产生的位移电流产生。在低频情况下，一般位移电流密度远 小于时变传导电流密度，可以忽略。此时，时变磁场满足
1.4 电磁场的基本规律——麦克斯韦方程组
在静止媒质中麦克斯 韦方程组的微分形式
J c D H Jv t
媒质的构成关系式
D = εE B = μH J = γE
电荷守恒定律
J t 0
E
B t
B=0 D=
电磁场力公式
f = q（E+V×B）
第1章 电磁场的特性及其数学模型
1.4.1 动态电磁场
对应于动态情况下的时变电磁场，其基本方程即为一般形 式的麦克斯韦方程组。 麦克斯韦方程组的四个方程并不都是独立的。如对磁场的旋 度方程取散度，并代入连续性方程［电荷守恒定律］，即导得 电场的散度方程；同理，如对电场的旋度方程取散度，即导得 磁场的散度方程。因此，只有两个旋度方程是独立方程。鉴于 每一个旋度方程对应于三个标量方程，所以麦克斯韦方程组给 出了六个独立的标量方程。这样，在给定场源与相应的定解条 件下，求解时变电磁场时，面对待求场向量（E、B、D、H） 共十二个独立的待求分量，麦克斯韦方程组必须与媒质的构成 关系式相结合，才能完成数学模型的构造。
离散的数学模型 （代数方程）
代数方程组解法
（数据处理）
电磁场正问 题数值分析 流程图
离散解 （数值解）
（后处理）
结果的检验、实验比较和校验
待求各物理量和电 磁参数解答，图形 显示等
第1章 电磁场的特性及其数学模型
1.3 电磁场逆问题数值分析的任务和内容
电磁场逆问题数值分析流程图
第1章 电磁场的特性及其数学模型
第1章 电磁场的特性及其数学模型
工程电磁场问题
理想化假设 电磁场基本方程组 及其导出方程 定解条件：初始条 件、边界条件 各种数值计算方法 线性、非线性的连续系统
理想化的物理模型
偏微分方程的定解问题（已知 媒质、场源分布、求场分布）
数学模型
（前处理）
积分方程问题（已知媒质、定 解条件、求场源分布） 变分问题（已知能量泛函，求 极值） 线性、非线性的离散系统
第1章 电磁场的特性及其数学模型
宏观电磁场的数学模型：
麦克斯韦（J.C.Maxwell，1831～1879）在1865年提出电 磁场基本方程组，并预言了电磁波的存在。至今，一百多年 来电磁学科领域科技发展的进程证明麦克斯韦方程组是宏观 电磁现象与电磁过程普遍适用的数学模型，奠定了经典电磁 理论的基础。
第1章 电磁场的特性及其数学模型
第1章 电磁场的特性及其数学模型
本章基于宏观电磁理论描述表征电磁场特性的数学方程和
关系式，形成建立工程电磁场数学模型和实施数值计算方法的
数学物理基础。为适应工程问题分析计算的需要，阐述中特别 强调在数学和物理意义上静态、准静态和动态电磁场之间的场 特性的区别，并讨论了媒质不连续性和不均匀性的特征描述。
在以上讨论的基础上，分别运用场论中的斯托克斯定理和 高斯散度定理，就能导出各种状态下电磁场基本方程组的积分 表达形式。以动态电磁场为例，与麦克斯韦方程组的微分形式 相对应的积分表达式为：
第1章 电磁场的特性及其数学模型
1.5 场向量的微分方程
鉴于工程电磁场问题分析的需要，若直接基于麦克斯韦方 程组求解，则因在数学上该多重耦合、多变量的微分方程组较 难着手处理，因此，人们乐于面对在解耦情况下分别由单个场 向量所给定的微分方程。为此，基于麦克斯韦方程组导出由场 向量H、B、E、D或 J 所满足的偏微分方程。现首先推导关于 场向量 H 的导出方程。对于线性、均匀且各向同性媒质，设场 域中无自由电荷分布，对式 取旋度运算，并 以
第1章 电磁场的特性及其数学模型
1.1 数学模型
当应用数学方法解决上述各类物理或非物理问题时， 首先必须建立数学模型，然后得以在此模型的基础上进行 实际问题的理论分析和科学研究。显然，建立的数学模型 必须精确地逼近实际问题，否则，在理论分析中即使采用 最巧妙的数学处理，其结果也未必有用。因此，建立一个 完善的数学模型乃是解决各类实际问题的关键。
第1章 电磁场的特性及其数学模型
静态电场
E 0
静态磁场：
H J
D= 其媒质的构成方程为: D=E 显然，静态电场是有散(有 源)、无旋场。
B 0
媒质的构成方程为
B H
显然，静态磁场是有旋 、 无散场。
第1章 电磁场的特性及其数学模型
1.4.5 电磁场基本方程组的积分形式