第1章 电磁场的特性及其数学模型

1.4 电磁场的基本规律——麦克斯韦方程组
在静止媒质中麦克斯 韦方程组的微分形式
J c D H Jv t
媒质的构成关系式
D = εE B = μH J = γE
电荷守恒定律
J t 0
E
B t
B=0 D=
电磁场力公式
f = q（E+V×B）
1.6 位函数的微分方程
一个场向量的微分方程对应于由其三个分量所描述的三个 标量微分方程。换句话说，在任一场点上，待求的自由度数是 三个，因此，经离散化处理后所得等价的离散数学模型的自由 度数，一般是相当可观的。为了有效地减少待求自由度数，提 高电磁场数值计算的效率，同时，也为了简化概念，更简便地 构造数学模型，引入和应用各种位函数在电磁场理论的发展进 程中起到了重要的作用。 1.6.1 动态场中的动态位方程 在动态电磁场情况下，根据向量微积分法则，任意向量旋度 的散度与任意标量梯度的旋度均恒等于零，因此易于验证:
在以上讨论的基础上，分别运用场论中的斯托克斯定理和 高斯散度定理，就能导出各种状态下电磁场基本方程组的积分 表达形式。以动态电磁场为例，与麦克斯韦方程组的微分形式 相对应的积分表达式为：
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1.5 场向量的微分方程
鉴于工程电磁场问题分析的需要，若直接基于麦克斯韦方 程组求解，则因在数学上该多重耦合、多变量的微分方程组较 难着手处理，因此，人们乐于面对在解耦情况下分别由单个场 向量所给定的微分方程。为此，基于麦克斯韦方程组导出由场 向量H、B、E、D或 J 所满足的偏微分方程。现首先推导关于 场向量 H 的导出方程。对于线性、均匀且各向同性媒质，设场 域中无自由电荷分布，对式 取旋度运算，并 以
第1章 电磁场的特性及其数学模型
第1章 电磁场的特性及其数学模型
本章基于宏观电磁理论描述表征电磁场特性的数学方程和
关系式，形成建立工程电磁场数学模型和实施数值计算方法的
数学物理基础。为适应工程问题分析计算的需要，阐述中特别 强调在数学和物理意义上静态、准静态和动态电磁场之间的场 特性的区别，并讨论了媒质不连续性和不均匀性的特征描述。
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1.4.1 动态电磁场
对应于动态情况下的时变电磁场，其基本方程即为一般形 式的麦克斯韦方程组。 麦克斯韦方程组的四个方程并不都是独立的。如对磁场的旋 度方程取散度，并代入连续性方程［电荷守恒定律］，即导得 电场的散度方程；同理，如对电场的旋度方程取散度，即导得 磁场的散度方程。因此，只有两个旋度方程是独立方程。鉴于 每一个旋度方程对应于三个标量方程，所以麦克斯韦方程组给 出了六个独立的标量方程。这样，在给定场源与相应的定解条 件下，求解时变电磁场时，面对待求场向量（E、B、D、H） 共十二个独立的待求分量，麦克斯韦方程组必须与媒质的构成 关系式相结合，才能完成数学模型的构造。
导电媒质而言，应满足所谓良导体条件，即该媒质的电导 率γ>>ωε。按这一条件可见，相应的磁准静态场的激励源频 率将可扩展至Χ射线的频率段。电工技术中的涡流问题就是这 类磁准静态场的典型应用实例，它广泛地伴随在电机、变压器、 感应加热装臵、磁悬浮系统、磁记录头和螺线管传动机构等工 程问题之中。
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H J B 0
称为磁准静态场。可见，磁准静态场与恒定磁场类似。 与磁准静态场对应的时变电场满足：
E D B t
磁准静态下电荷守恒定律归结为：
第1章 电磁场的特性及其数学模型 正弦稳态情况下，时谐磁准静态电磁场的麦克斯韦方程组 的相量形式为：
电荷守恒定律表示成：
结合实际问题中千变万化的定解条件（边界条件与初始 条件），在引用相应的数学方法后，常用的各类电磁场问题 的数学模型可以归结为微分方程模型、积分方程模型和属于 优化模型的变分方程模型三大类。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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1.2 电磁场正问题数值分析的任务和内容
电磁场的正问题：
归属电磁场分析研究领域的各类电磁装臵中的电磁场问题， 其共同的基本点在于给定场的计算区域、各区域材料（媒质） 组成和特性，以及激励源的特性，求其场域中场量随时间、空 间分布的规律（场分布），即构成为电磁场的正问题。
由麦克斯韦方程组知，时变电场由时变电荷和时变磁场产 生的感应电压产生。时变电荷产生库仑电场，时变磁场产生感 应电场。在低频情况下，一般时变磁场产生的感应电场远小于 时变电荷产生的库仑电场，可以忽略。此时，时变电场满足
E 0 D
称为电准静态场。可见，电准静态场与静电场类似。 与电准静态场对应的时变磁场满足
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1.4.4 静态场 静态电磁场(微分形式）
J c D H Jv t
E B t
H Jc
E 0
B=0
B=0
D=
D=
可见，在静止条件下电场和磁场之间没有相互耦合的关系， 可以分别对电场和磁场进行分析和讨论。由于此时电场或磁场的 源量与场量都不随时间变化，故统称为静态电磁场。
和 代入，便得:
第1章 电磁场的特性及其数学模型 由于:
代入式（1-27），即得:
同理可证:
式（1-28）、式（1-29）便是分别由一个场向量（H、B、 E或D）所描述的一般化齐次波动方程。在特定情况下，基于 以上各场向量的导出方程可进一步分别归结为:
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（1）理想介质（γ=0）中的电磁波方程（波动方程）:
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1.4.2 时谐电磁场
正弦稳态情况下的时变电磁场（时谐电磁场），由麦克斯 韦方程组可推得其对应的相量形式为：
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1.4.3 准静态场
由麦克斯韦方程组知，时变磁场由时变传导电流和时变电 场产生的位移电流产生。在低频情况下，一般位移电流密度远 小于时变传导电流密度，可以忽略。此时，时变磁场满足
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工程电磁场问题
理想化假设 电磁场基本方程组 及其导出方程 定解条件：初始条 件、边界条件 各种数值计算方法 线性、非线性的连续系统
理想化的物理模型
偏微分方程的定解问题（已知 媒质、场源分布、求场分布）
数学模型
（前处理）
积分方程问题（已知媒质、定 解条件、求场源分布） 变分问题（已知能量泛函，求 极值） 线性、非线性的离散系统
第1章 电磁场的特性及其数学模型 以上两式分别定义了动态向量位函数A（r,t）和动态标量位 函数φ（r,t）,它们自动满足麦克斯韦方程组。应当指出，这里引 用位函数来表示场量B和E，其中含有任意性的成分,因为如果令
则可给出同样的B和E。位函数按照式（1-37）和式（1-38）的变 换，称为规范变换，而保持B和E不变性，则称为规范不变性。由 于存在这一规范不变性，所以对应于一组B和E的值，可以有无穷 多组A和φ的取值，即位函数不是惟一的。不难证明，这一任意性 可以导致随意规定 · A，也就是所谓采用规范对A的散度施加约 束条件。这样，规范的选择，不仅在于惟一地确定相应的位函数 值，而且还在于可简化相应的位函数方程。通常，对自由空间中 的动态电磁场，引入如下的洛仑兹规范：
H E B 0 D t
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电力传输系统和装臵中的高压电场，各种电子器件、设备 和天线近区的电场等，均属这类电准静态场的工程应用实例。
应该指出，无论是忽略电磁感应效应的电准静态，还是忽 略位移电流效应的磁准静态，它们都满足所谓准静态条件： L<<λ［或（L/c）<<T］。也就是说，电磁波以速度c传播通过 所论电磁系统的最大线度尺寸L，其所需时间应远小于该电磁 波变动一个周期所对应的时间T。显然，准静态下的源量和场 量都是时间和空间的函数，但电磁波传播的推迟作用可以忽略 不计，这表明给定某一瞬间的源，即决定了同一瞬间的场分布， 而该场分布与稍早瞬间的源状态并无关联。同样，这也表明， 对于给定瞬间准静态场的分析计算，完全等同于相应的静态场 问题。
式中， V =
1 με
，称为相位速度；ω为正弦激励的角频率。
第1章 电磁场的特性及其数学模型 1.6.2 磁准静态场中的动态位方程 对于磁准静态场，在忽略位移电流的前提下，式(1-39)即成为
上式所示对 A 的散度施加的约束条件，被称之为库仑规范。相 应地， 式（1-40）也就简化为: 但是，必须指出，由于此时在导电媒质内伴随有涡流与集肤 效应，因而无从预先给定载流导体内电流密度 J 的分布。 代入式（1-36）， 可得
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宏观电磁场的数学模型：
麦克斯韦（J.C.Maxwell，1831～1879）在1865年提出电 磁场基本方程组，并预言了电磁波的存在。至今，一百多年 来电磁学科领域科技发展的进程证明麦克斯韦方程组是宏观 电磁现象与电磁过程普遍适用的数学模型，奠定了经典电磁 理论的基础。
因而，对应于电磁场正问题的电磁场数值分析的任务是根据电磁场的 基本特性，即基于麦克斯韦方程组，首先，建立逼近实际工程电磁场正问 题的连续型的数学模型；然后，采用相应的数值计算方法，经离散化处理， 把连续型数学模型转化为等价的离散型数学模型———由离散数值构成的 联立代数方程组（离散方程组），应用有效的代数方程组解法，计算出待 求离散数学模型的离散解（即场量的数值解）；最后，在所得该电磁场正 问题的场量（含位函数）离散解的基础上再经各种后处理过程，就可以求 出所需的场域中任意点处的场强、任意区域的能量、损耗分布，以及力、 力矩和各类电磁参数与性能指标等，以达到对给定的工程电磁场正问题进 行理论分析、工程判断乃至优化设计等目的。
所谓数学模型，指的是对客观事物的一种抽象的模拟， 它遵循事物固有的规律性，通过数学语言（数学符号、数 学表达式、图形等）刻画出客观事物的本质属性及其与周 围事物的内在联系。
应当指出，通常与客观事物完全吻合的数学表述并不多见，因此实 际的数学模型往往是在对实际问题进行理想化假设后所给出的数学描述。 此外，数学模型的确立，还必须要求它的分析计算结果能为实验、测试 所证实，或者它能被推广说明许多事实，乃至可以预测为人们所公认的 结果。
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静态电场
E 0
静态磁场：
H J
D= 其媒质的构成方程为: D=E 显然，静态电场是有散(有 源)、无旋场。
B 0
媒质的构成方程为
B H
显然，静态磁场是有旋 、 无散场。
第1章 电磁场的特性及其数学模型
1.4.5 电磁场基本方程组的积分形式
离散的数学模型 （代数方程）
代数方程组解法
（数据处理）
电磁场正问 题数值分析 流程图
离散解 （数值解）
（后处理）
结果的检验、实验比较和校验
待求各物理量和电 磁参数解答，图形 显示等
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1.3 电磁场逆问题数值分析的任务和内容
电磁场逆问题数值分析流程图
第1章 电磁场的特性及其数学模型
（2）良导电媒质（γ>>ωε）中的涡流方程 （扩散或热传导方程）:
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（3）正弦稳态时变场中的涡流方程 （相量形式的扩散或热传导方程）:
（4）没有自由电荷分布区域中的静电场方程（拉普拉斯方程）:
（5）没有传导电流分布区域中的恒定磁场方程（拉普拉斯方程）:
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第1章 电磁场的特性及其数学模型
1.1 数学模型
当应用数学方法解决上述各类物理或非物理问题时， 首先必须建立数学模型，然后得以在此模型的基础上进行 实际问题的理论分析和科学研究。显然，建立的数学模型 必须精确地逼近实际问题，否则，在理论分析中即使采用 最巧妙的数学处理，其结果也未必有用。因此，建立一个 完善的数学模型乃是解决各类实际问题的关键。
第1章 电磁场的特性及其数学模型 由此即可导出如下简单而对称的位函数方程组:
式（1-40）和式（1-41）是分别关于动态向量位A和动态标量 位φ的非齐次波动方程，常称为达朗贝尔方程。这两个方程和式 （1-39）一起构成了与麦克斯韦方程组等价的一个方程组。
对于时谐电磁场，场空间中各场点的动态位A(r,t)和φ(r,t)也 可分别用复相量表示,而相应的达朗贝尔方程的相量形式就成为: