线性空间ppt课件
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11线性空间
例 3 在实数域上，次数不超过 n 的多项式的全体
P[x]n {an xn an1xn1 a1x a0 an , an1,, a0 R}
对于通常的多项式加法，数与多项式的乘法构成线性空 间．
例 4 在实数域上， m n 矩阵全体 Rmn 按照通常矩阵的
加法，数与矩阵的乘法构成一个线性空间.
例 1. 实数域 R 按照实数间的加法与乘法，构成一 个自身上的线性空间，仍记为 R ．
例 2 分量属于数域 P 的全体 n 元数组 (x1, x2 , , xn )T 按照通常的加法与数与 n 元数组的乘法，构成 P 上的一个 线性空间，记作 Pn ．当 P = C 时，Pn 称为 n 元复线性空间， 记作 C n ；当 P = R 时，Pn 称为 n 元实线性空间，记作 Rn ．
S x Ax , x Cn 是否构成线性空间？
例 9 设 an ,bn 是两个收敛于 0 的实数无穷序列，则
lnim(an
bn
)
lim
n
an
lim
n
bn
0；
且 a R, 有
lim
n
aan
a
lim
n
an
0；
并且易证八条性质也成立． 所以，一切收敛于 0 的实序列对于如上
此基称为 R n 的标准基． 因对于任意的 (a1, a2 , , an )T R n ，
有
a11 a2 2 an n ，
所以 在基1, 2 ,, n 下的坐标为 (a1, a2 ,, an )T ．
例 15 在 Rn 中如下的 n 个向量
1 (1,1,1,,1),T 2 (0,1,1,,1)T , ， n (0,0,,0,1)T 也是 R n 的一个基，因为对于任意的 (a1, a2 , , an )T R n ，有
P[x]n {an xn an1xn1 a1x a0 an , an1,, a0 R}
对于通常的多项式加法，数与多项式的乘法构成线性空 间．
例 4 在实数域上， m n 矩阵全体 Rmn 按照通常矩阵的
加法，数与矩阵的乘法构成一个线性空间.
例 1. 实数域 R 按照实数间的加法与乘法，构成一 个自身上的线性空间，仍记为 R ．
例 2 分量属于数域 P 的全体 n 元数组 (x1, x2 , , xn )T 按照通常的加法与数与 n 元数组的乘法，构成 P 上的一个 线性空间，记作 Pn ．当 P = C 时，Pn 称为 n 元复线性空间， 记作 C n ；当 P = R 时，Pn 称为 n 元实线性空间，记作 Rn ．
S x Ax , x Cn 是否构成线性空间？
例 9 设 an ,bn 是两个收敛于 0 的实数无穷序列，则
lnim(an
bn
)
lim
n
an
lim
n
bn
0；
且 a R, 有
lim
n
aan
a
lim
n
an
0；
并且易证八条性质也成立． 所以，一切收敛于 0 的实序列对于如上
此基称为 R n 的标准基． 因对于任意的 (a1, a2 , , an )T R n ，
有
a11 a2 2 an n ，
所以 在基1, 2 ,, n 下的坐标为 (a1, a2 ,, an )T ．
例 15 在 Rn 中如下的 n 个向量
1 (1,1,1,,1),T 2 (0,1,1,,1)T , ， n (0,0,,0,1)T 也是 R n 的一个基，因为对于任意的 (a1, a2 , , an )T R n ，有
线性空间PPT课件
( 1 , … , n ) = ( 1 , … , n ) A 得
( 1 , … , n ) B = ( 1 , … , n ) A B 即 { j } 能线性表出 V = < 1 , … , n > . 又向量组 { j } 的向量个数 = n = dim V , 故 { j } 也是 V 的一组基 .
7) 右分配律
k(+) = k+k
8) 结合律
k(l)=(kl)
公理的推论:
1) 对 α V, 0α 0
2) k 0 0, k K 3) k α 0 k 0或 α 0
4) (1) α α , α V
简单推论:
1) V , 有 0 = 0 . 证: 0 = 0 + 0
例: 将实数域 R 看成 Q-线性空间, 证明: 1, 2 , 3 , 6 Q-线性无关.
想法: 先取空间的一组基底 记 = 2 3 . 首先证明向量组
1 , , 2, 3 Q -线性无关.
注意到 是 f ( x ) = ( x 2 3 )(x 2 3 ) ( x 2 3 )(x 2 3 )
x2
yn
xn
坐标同构 V K n
线性空间 V 取定基底 1 , 2 , … , n 后, V 中每个元素
= k1 1 + k2 2 + … + kn n 与其坐标列向量 [ k1 , k2 , … , kn ]T Kn 一一对应. 这种对应保持两个空间的运算.
线性空间的元素是抽象的向量. 对这样的 向量做计算 (例如判断相关性, 求极大无关组), 先取定空间的一组基. 基底一旦取定, 向量 都用坐标表示, 线性空间的计算问题就转化 成我们熟悉的向量空间的计算.
( 1 , … , n ) B = ( 1 , … , n ) A B 即 { j } 能线性表出 V = < 1 , … , n > . 又向量组 { j } 的向量个数 = n = dim V , 故 { j } 也是 V 的一组基 .
7) 右分配律
k(+) = k+k
8) 结合律
k(l)=(kl)
公理的推论:
1) 对 α V, 0α 0
2) k 0 0, k K 3) k α 0 k 0或 α 0
4) (1) α α , α V
简单推论:
1) V , 有 0 = 0 . 证: 0 = 0 + 0
例: 将实数域 R 看成 Q-线性空间, 证明: 1, 2 , 3 , 6 Q-线性无关.
想法: 先取空间的一组基底 记 = 2 3 . 首先证明向量组
1 , , 2, 3 Q -线性无关.
注意到 是 f ( x ) = ( x 2 3 )(x 2 3 ) ( x 2 3 )(x 2 3 )
x2
yn
xn
坐标同构 V K n
线性空间 V 取定基底 1 , 2 , … , n 后, V 中每个元素
= k1 1 + k2 2 + … + kn n 与其坐标列向量 [ k1 , k2 , … , kn ]T Kn 一一对应. 这种对应保持两个空间的运算.
线性空间的元素是抽象的向量. 对这样的 向量做计算 (例如判断相关性, 求极大无关组), 先取定空间的一组基. 基底一旦取定, 向量 都用坐标表示, 线性空间的计算问题就转化 成我们熟悉的向量空间的计算.
第四章_线性空间_S1_线性空间的概念[1][1]
![第四章_线性空间_S1_线性空间的概念[1][1]](https://img.taocdn.com/s3/m/b343aeff81c758f5f61f67ae.png)
所以, R+对所定义的运算构成线性空间.
线性空间V具有的性质
1. 零元素是唯一的. 证明: 假设01, 02是线性空间V中的两个零元素. 则对任何V有, +01=, +02= , 由于01, 02V, 则有 02+01=02, 01+02=01.
所以
01=01+02 =02+01 =02.
(6) (k+l) · a = ak+l = ak al = ak al = k· a l · a. (7) k·(ab) = k·(a b) = (a b)k = ak bk = akbk = k· a k· b; (8) k·(l · a) = k· a l = (al)k = ak l = (k l) · a;
例1.实数域上的全体m n矩阵，对于 矩阵的加法和数乘运算构成实数域上
n 的线性空间，记作R m （或 M mn ( R )） .
例2.所有次数不超过n(n是自然数)的实系数多项式 的全体，关于通常多项式的加法以及实数与多项 式的乘法构成一个实线性空间，记作Pn [ x]。 即：Pn [ x] ={ p ( x) a0 a1x L an x n | a0 , a1 ,· · · , an R }
以下用 F(或P) 泛指一般的数域。
Q（有理数），R（实数），C（复数）
二、线性空间的定义
•几个例子
解析几何中，二（三）维向量及其运算 ： 向量的基本属性：可以按平行四边形规律相加， 也可以与实数作数量乘法。 不少几何和力学对象的性质是可以通过向量的这 两种运算来描述的。
F1
F3
F2
所有n阶实矩阵：也定义了加法和数量乘法
§7.1 线性空间的定义与性质
例1 在实数域 R 和 R 集合（正实数全体）
上定义运算 a b aba,b R
o a a R, R
验证 R 对上述定义的加法 与数乘 o 。
运算构成实数域上的线性空间。
解 对加法封闭：对任意的 a,b R ，有
a b ab R 对数乘封闭：对任意的 R, a R ，有 o a a R
⑦ o a a aa a a oa oa
⑧ oa b oab ab ab a b o a ob 经验证 R 所定义的运算构成了线性空间。
例2 设集合 V 为：与向量 0,0,1 不平行的全体
三维数组向量。定义两种运算为：数组向量的加 法和数乘运算。验证集合 V 是否为实数域 R 上 的线性空间。
说明 求差的运算称为减法运算。
定义3 设 W 是线性空间 V 的一个非空子集，若 W 对于 V 中定义的加法与数乘运算也构成一个 线性空间，称 W 是 V 的子空间。
对于子空间，有如下定理加以判别。
定理 设 W 是线性空间 V 的一个非空子集，则 W 是 V 的子空间充要条件是 W 对于 V 的加 法与数乘运算具有封闭性，即
下面再验证满足8条规律： ① a b ab ba b a
② a b c ab c abc abc a b c
③ R 存在零元素1，对 a R 有 a 1 a1 a ④ 对 a R ，有负元素 a1 R ，使
a a1 aa1 1
⑤ 1 a a1 a
⑥ o o a o a a a o a , R
证（6）由 0 0 得
0 0 ，根据加法消去律有 0 0 证（8）若 0 ，据性质（5）可知 0 ；
若 0 ，则 1 存在，有 1 10 ，故
1 1 0 ，证毕
线性代数-线性空间与线性变换PPT课件
例1
次数不超过
n
的多项式的全体，记作
P
x
，
n
即
P x n p x anx n a1x a0 an, ,a1,a0 ,
对于通常的多项式加法、数乘多项式的乘法构成线性空间.
这是因为：通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算显然满足线性运算规律，
故只要验证
P
x
对运算封闭.
n
一、线性空间的定义
1
0 ,
E 22
0
1
线性无关，所以 E11, E12 , E21, E22 是 M2
的一个基，向量
A
a11 a21
a12 a22
在这个基下的
坐标就是 a11, a12, a21, a22 T .
二、基变换与坐标变换
设1,2, ,n 与 1, 2, , n 是线性空间Vn 中的两个基，且
第5章 线性空间与线性变换 20
目录/Contents
第5章 线性空间与线性变换 21
5.2 维数、基与坐标
一、线性空间的基、维数与坐标 二、基变换与坐标变换
一、线性空间的基、维数与坐标
第5章 线性空间与线性变换 22
定义 1 在线性空间V 中，如果存在n 个元素1,2, ,n 满足
(i) 1,2, ,n 线性无关； (ii) V 中任一元素 总可由1,2, ,n 线性表示，
x1, x2, , xn ，使
x11 x22 xnn ，
x1, x2, , xn 这组有序数就称为元素 在基1,2, ,n 下的坐标，并记作
x1, x2,
,xn
T
.
一、线性空间的基、维数与坐标
第5章 线性空间与线性变换 25
线性空间
注: 这是对第四章中子空间定义的修正.
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定义2 设V是一个线性空间, L是V的一个非空子集, 如果L对于V 中所定义的加法和乘数两种运算也构成一个线性空间, 则称L 为V的子空间. 定理1 线性空间V的非空子集L构成子空间的充分必要条件是: L对于V中的线性运算封闭. 这是因为: L是V的一部分, V中的运算对于L而言, 规律(i), (ii), (v), (vi), (vii), (viii)显然是满足的, 因此只要L对运算封闭且满足规 律即(iii)、(iv)可. 但由线性空间的性质知, 或L对运算封闭, 则 即能满足干规律(iii)、(iv).
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例3 正弦函数的集合 S[x]={s=Asin(x+B)|A, B∈R} 对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成向量空间. 说明: 检验一个集合是否构成向量空间, 当然不能只检验对运 算的封闭性(如上面二例). 若所定义的加法和乘数运算不是通 常的实数间的加乘运算, 则就应仔向量检验是否满足八条线 性运算规律.
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例1 次不超过n的多项式的全体, 记作P[x]n , 即 P[x]n={p=anxn+an−1xn−1+ ⋅ ⋅ ⋅ +a1x+a0|an, ⋅ ⋅ ⋅, a1, a0∈R}, 对于通常的多项式加法、数乘多项式的乘法构成向量空间. 这是因为: 通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算显然满 足线性运算规律, 故只要验证P[x]n对运算封闭: (anxn+ ⋅ ⋅ ⋅ +a1x+a0)+(bnxn+ ⋅ ⋅ ⋅ +b1x+b0) =(an+bn)xn+ ⋅ ⋅ ⋅ +(a1+b1)x+(a0+b0)∈P[x]n;
第一节线性空间概念
+ a0 | an , an−1 ,..., a1 , a0 ∈ R}
对于通常的多项式加法、数乘多项式 的乘法构成实数域上的线性空间。 通常的多项式加法、数乘多项式的乘 法满足线性运算规律。
( an x n + an−1 x n−1 + ... + a1 x + a0 ) + (bn x n + bn−1 x n−1 + ... + b1 x + b0 ) = (an + bn ) x n + (an−1 + bn−1 ) x n−1 + ... + (a1 + b1 )x + (a0 + b0 )
n
例7. 正实数的全体，记作R , 在其中定 义加法及数乘运算为 a ⊕ b = ab λ ⊗ a = a (a, b ∈ R , λ ∈ R )
+
+
λ
验证，R 对上述加法及数乘运算构成线 性空间。 证明：∀a、b ∈ R + ⇒ a ⊕ b = ab ∈ R + ∀a ∈ R +，∀λ ∈ R ⇒ λ ⊗ a = a λ ∈ R + ∴ 对定义的加法与数乘运算封闭。
λ (an x n + an−1 x n−1 + ... + a1 x + a0 )
= λ an x n + λ an−1 x n−1 + ... + λ a0 P [ x]n 对加法和数乘都封闭。
判别下列集合是否为向量空间. 例3 判别下列集合是否为向量空间
V = x = (0,x2,L,xn ) x2,L,xn ∈R 1
例5. 在区间 [a, b] 上个体实连续函数， 对函数的加法与数和函数的数量乘法， 构成实数域上的线性空间。
高等代数第六章 线性空间
线性空间的维数
定义7 如果在线性空间V中有n个线性无关 的向量，但是没有更多数目的线性无关的向 量，那么V就称为n维的；如果在V中可以找 到任意多个线性无关的向量，那么V就称为 无限维的。
按照这个定义，几何空间中向量所成的 线性空间是三维的；n元数组所成的空间是n 维的；
由所有实系数多项式所成的线性空间是 无限维的，因为对于任意的N，都有N个线
线性空间的元素也称为向量. 当然，这里 所谓向量比几何中所谓向量的涵义要广泛得 多。线性空间有时也称为向量空间。以下我 们经常是用小写的希腊字母 , , ,代表线 性空间V中的元素，用小写的拉丁字母 k,l, p, 代表数域F中的数
线性空间的性质
1.零元素是唯一的。 假设01，02是线性空间V中的两个元素。
（1，0，，0），
显然
2 （0，1，，0），
n (0,0,,1)
是一组基。对每一个向量 (a1, a2,, an ) ，
都有 a11 a22 ann
所以
(a , 1
a 2
,,
a n
)
就是向量
在这组基下的坐
标。不难证明，
1 ' （1，1，，1）， 2 '（0，1，，1）， n ' (0,0,,1)
2.如果向量组
线性无关，而且
可以被
线1,性2 ,表出,，r 那么
。
, ,,
1
2
s
rs
由此推出，两个等价的线性无关的向量
组，必定含有相同个数的向量。
3.如果向量组
1
,
2
,,
r
线性无关，但向
量组
1
,
2
,,
r
矩阵理论课件 第一章 线性空间与线性变换
a1n
a2n
ann
前述关系可以表示为 AT 或 T T A
则称矩阵 A 为基 到基 的过渡矩阵（唯一且可逆）
定义2 （坐标变换）
设x V L(P) ，向量 x 在 基 和基 下的
坐标之间的关系，称之为坐标变换。
坐标变换与过渡矩阵的关系：
设 x k1x1 k2 x2 kn xn 和 x t1 y1 t2 y2 tn yn
和 W W1 W2 为直和，记为 W W1 W2 。
例6 设 R4的3个子空间：
① V1 (a, b, 0, 0)T a, b R ② V2 (0,0,c, 0)T c R ③ V3 (0,d,e, 0)T d,e R
容易验证V1 是V2直和， V1 V3不,V是2 直 V和3。
事实上 不妨设简单基为 (III )e1, e2 , , en ( x1, x2 , , xn ) (e1, e2 , , en )C1 ( y1, y2 , , yn ) (e1, e2 , , en )C2
( x1, x2 , , xn )C11C2
C C11C2
例4 设线性空间P3[t] 的两个基为： (I ) f1(t) 1, f2(t) 1 t, f3(t) 1 t t 2,
表示，不妨记
y1 a11x1 a21x2
y2
a12 x1
a22 x2
yn a1n x1 a2n x2
称上述关系为两组基的基变换。
an1xn an2 xn
ann xn
x1
y1
a11 a12
若记
x2
,
y2
A
a21
a22
xn
yn
an1 an2
线性代数第三章 线性空间
组，通常称为矩阵 A 的列向量组；若对 A 按行进行
分块，即
A
1T
T 2
T m
其全体行向量构成一个含有 m 个 n 维行向量的向量
组，称为矩阵的行向量组．
并且，矩阵和含有有限个向量的有序向量组是一 一对应的．
定义5 设 ,1,2, ,s Rn， s 1． 如果存在数
k R，则
1）称向量 与 相等，记作 ，如果 与
对应的分量均相等，即 ai bi , i 1, 2, , n;
2）称向量
(a1 b1, a2 b2 , , an bn )T 为向量 与 的和，并记 ；
3）称向量
k (ka1, ka2 , , kan )T
a11 a2 2 an n ;
另外，零向量 0 是任何向量组的线性组合．
定义7 设 I :1,2 , ,s 和 II : 1, 2, , t 是两个向 量组． 如果向量组 I 中的每一个向量 i ( i 1, 2, , s )
均可以由向量组 II : 1, 2, , t 线性表出，则称向量 组 I 可以由向量组 II 线性表出．
k1, k2 , , ks R ，使得 k11 k22 kss ,
则称向量 是向量组 I :1,2, ,s 的一个线性组合， 或者说，向量 可以由向量组 I :1,2, ,s 线性表 出（或线性表示）．此时，k1, k2 , , ks 相应地被称 为组合系数或者表出系数．
在本书中，如果没有特别说明，我们涉及的向量 均指分量为实数的列向量，即列形式的实向量．
将所有 n 维实向量的全体记为 Rn，即
第一章 线性空间和线性映射
子集合构成 R 上的线性空间。 Hilbert条件是：级数
a
n 1
2 n
收敛
线性空间的基本概念及其性质
基本概念：线性组合；线性表示；线性相关；线性无关； 向量组的极大线性无关组；向量组的秩。 基本性质：
（1）含有零向量的向量组一定线性相关； （2）整体无关则部分无关；部分相关则整体相关； （3）如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向量
R 22 中，向量组 例4 在4维线性空间
与向量组
0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 , 1 1 , 0 1 , 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 , 0 0 , 1 0 , 1 1
组线性表出，那么含有向量多的向量组一定线性相关； （4）向量组的秩是唯一的，但是其极大线性无关组并不 唯一； （5）如果向量组（I）可以由向量组（II）线性表出，那 么向量组（I）的秩小于等于向量组（II）的秩； （6）等价的向量组秩相同。
例1
实数域 R上的线性空间 RR 中，函数组
常用数域有：有理数域、实数域、复数域
映射
映射：集合S到集合S‘的一个映射是指一个法则(规则) f : S
→ S’，对S中任何元素a，都有S’中的元素a‘与之对应，记为：
f(a)=a’ 或 a→a’。一般称a’为a的像，a为a’的原像。
变换：若S=S‘，则称映射为变换。 映射的相等：设有两个映射 f : S → S’和 g: S → S’，若对任 何元素 a∈S 都有 f(a)=g(a) 则称 f 与 g 相等。
的过渡矩
1 2 阵，并求向量 A 在这两组基下的坐标。 3 4 解：容易计算出下面的矩阵表达式
a
n 1
2 n
收敛
线性空间的基本概念及其性质
基本概念：线性组合；线性表示；线性相关；线性无关； 向量组的极大线性无关组；向量组的秩。 基本性质：
（1）含有零向量的向量组一定线性相关； （2）整体无关则部分无关；部分相关则整体相关； （3）如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向量
R 22 中，向量组 例4 在4维线性空间
与向量组
0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 , 1 1 , 0 1 , 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 , 0 0 , 1 0 , 1 1
组线性表出，那么含有向量多的向量组一定线性相关； （4）向量组的秩是唯一的，但是其极大线性无关组并不 唯一； （5）如果向量组（I）可以由向量组（II）线性表出，那 么向量组（I）的秩小于等于向量组（II）的秩； （6）等价的向量组秩相同。
例1
实数域 R上的线性空间 RR 中，函数组
常用数域有：有理数域、实数域、复数域
映射
映射：集合S到集合S‘的一个映射是指一个法则(规则) f : S
→ S’，对S中任何元素a，都有S’中的元素a‘与之对应，记为：
f(a)=a’ 或 a→a’。一般称a’为a的像，a为a’的原像。
变换：若S=S‘，则称映射为变换。 映射的相等：设有两个映射 f : S → S’和 g: S → S’，若对任 何元素 a∈S 都有 f(a)=g(a) 则称 f 与 g 相等。
的过渡矩
1 2 阵，并求向量 A 在这两组基下的坐标。 3 4 解：容易计算出下面的矩阵表达式
高等代数-线性空间
负向量存在性
(5) 1 ; (6) a( ) a a ,a K;
数乘与加法的协调
(7) (a b) a b,a,b K;
(8) a(b ) (ab).
线性空间_例
例4 Kmn {A (aij )mn | aij K, i 1,2,..., m, j 1,2,..., n}
(2) 数乘
若k K, (a1, a2 ,L , an ) , 则 k (ka1, ka2 ,L , kan ).
n维向量_3
向量运算规则（八条运算规则）
(1) 加法交换律 ;
0向量存在性
(2) 加法结合律 ( ) ( );
(3) 0,, 0 ; (4) , , 0;
例6. 所有偶数集合是数环, 不是数域.
例7. Q( 3) {a b 3 a,b Q}是数域. Q(3 2) {a b3 2 a,b Q} 不是数域, 是数环. W {a3 2 a Q}不是数环, 也非数域.
命题 任一数域必包含0, 1. 命题 任一数域必包含有理数域Q. 命题 R和C之间不存在任何其他数域.
线性映射和线性变换
线性空间理论的应用
矩阵的秩——对矩阵分类 线性方程组解的结构
目的要求
• 掌握数域的定义, 正确判断数域和数环 • 熟练掌握线性空间的概念、基本性质； • 正确判断一个集合对于给定的运算是否构
成一个线性空间
集合
➢ 若干个事物的整体称为集合(记作A, B, C等) ➢ 组成集合的事物称为元素(记作a, b, c等) ➢ 集合具有：确定性、互异性、无序性
a11 a22 L amm ,
则称 是1,2 ,L
,
的
m
线性组合,
或称向量 可
线性空间一(1-3).
是V的向量组。
则称x可由x1 ,x2 , …,x p线性表示，称x是 x1 ,x2 , …,x p的线性组合。 例１ 在二维空间R2中，任意一个二维向量 都可由标准单位向量e1 , e2 线性表示。
例2、在线性空间
中，
例3 在三维空间R3中，求k1 , k2 , k3 ,使得
求解
注：讨论向量组的线性表示可化为讨论线性方程组的求
则称向量组 x1 ,x2 , …,xp 是线性相关的； 否则，就称向量组 x1 ,x2 , …,xp 是线性无关的。
等价命题
命题一 向量组x1 ,x2 , …, xp是线性无关的充要条件 是仅当k1 = k2 = … = kp= 0 时成立
命题二 向量组 x1 ,x2 , …,xp 是线性相关的充 要条件是其中的一个向量可由其余的向量线性表 示。
定义 设V是一个非空集合，F是一个数域（如实数域R或 [1]加法运算
“和”
复数域C），如果在V上规定了下列两种运算， 则称V是数域F上的一个线性空间
对V的任意两个元素x、y，都有V的 唯一的 ，且满足
•（1）交换律 x+y=y+x; •（2）结合律 x+(y+z)=(x+y)+z; •（3）存在0元 x+0=x; •（4）存在负元-x x+(-x)=0 .
当F是实数域时，V称为实线性空间； 当F是复数域时，V称为复线性空间。
可以验证：
n维实向量空间是线性空间，仍记作
n维复向量空间是线性空间，仍记作
；
。
线性空间实例
•例1 所有 型矩阵在矩阵加法和数乘运算下 构成一个线性空间，记为 •例2 所有次数不超过n 的多项式在多项式加法 和数乘运算下构成一个线性空间,记为 •例3 二阶齐次线性微分方程的解集合对于函数加 法与数与函数的乘法构成一个线性空间。 •例4 闭区间[a,b]上所有连续函数的集合在函数加 法和数乘运算下构成一个线性空间,记为
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V1 ∩V2 ，因而 V1 ∩V2 是非空的. 其次，如果, V1 ∩V2 , 即 , V1 ，而且 , V2 ， 那么
+ V1 ， + V2 ， 因此 + V1 ∩V2 .
对数量乘积可以同样地证明. 所以V1 ∩V2 是 V 的
子空间.
V1 V2 { V1 or V2 },
有
证明：
V1 V2 V1 V2 .
V1 V2 V1 or V2,
V1 0 V1 V2 V1 V2 V1 V2
V2 0 V1 V2 V1 V2 V1 V2
性质 2 对于子空间 V1 , V2 , 以下三个论断是
等价的： 1) V1 V2 ；2) V1 ∩ V2 = V1 ；3) V1 + V2 = V2 .
13
性质 3
设 V1 , V2 , W 都是子空间， V1 V2 ，
若 W ∩ V1 = W ∩ V2 ，
W +V1 = W +V2，
则
并不是R3的子空间. 因为它对R3的运算不封闭，如 (1,0,0), (0,1,0) V1 V2
但是 (1,0,0) (0,1,0) (1,1,0) V1 V2
12
三、子空间的交与和的性质
性质 1 设 V1 , V2 , W 都是子空间，那么由
W V1 与 W V2 可推出W V1 ∩ V2 ； 而由 W V1 与 W V2可推出 W V1 + V2 .
的平面， V1 ∩ V2 是这两个平面的交线， V1 + V2 是整个 3 维空间. 如图 6-6 所示.
16
例 2 设 V1 , V2 分别是 R3 过原点的直线和平
面(直线不在平面上)上的全体向量构成的子空间， 求 V1 ∩ V2 和 V1 + V2 ，并指它们的几何意义.
= 1 + 2 , 1 V1 , 2 V2 ,
= 1 + 2 , 1 V1 , 2 V2 ,
那么
+ = (1 + 1 ) + (2 + 2 ) .
8
又因为 V1 , V2 是子空间，故有
1 + 1 V1 ，2 + 2 V2 .
第六章 线性空间
1
§1 集合·映射
§5 线性子空间
§2 线性空间的定义 与简单性质
§6 子空间的交与和
§3 维数·基与坐标
§7 子空间的直和
§4 基变换与坐标变换 §8 线性空间的同构
2
第六节 子空间的交与和
主要内容
子空间的交 子空间的和 子空间的交与和的性质 例题 子空间的交与和的维数
3
一、子空间的交
因此
+ V1 + V2 .
同样，
k = k1 + k2 V1 + V2 .
所以， V1 + V2 是 V规律
1) 交换律 V1 + V2 = V2 + V1 ；
2) 结合律 (V1 + V2 ) + V3 = V1+ (V2 + V3 ) .
i 1
也为V的子空间，称为 V1,V2 , ,Vs 的交空间.
6
二、子空间的和
1. 定义 定义 2 设 V1 , V2 是线性空间 V 的两个子空 间, 所谓 V1 与 V2 的和，是指由所有能表示成1 +
2 ，而1 V1 ，2 V2 的向量组成的子集合，记
作 V1 + V2 ，即
1. 定义 定义1 设 V1 , V2 是线性空间 V 的两个子空
间, 称
V1 ∩V2 ={ | V1 且 V2 }
为 V1 , V2 的交.
4
2. 性质
定理 1 如果V1 , V2 是线性空间 V 的两个子空
间, 那么它们的交V1 ∩V2 也是 V 的子空间.
证明 首先，由 0 V1 ， 0 V2 ，可知 0
11
2）V的两子空间的并集未必为V的子空间. 例如
V1 {(a,0,0) a R}, V2 {(0,b,0) b R} 皆为R3的子空间，但是它们的并集
V1 V2 {(a,0,0),(0,b,0) a,b R} {(a,b,0) a,b R 且a,b中至少有一是0}
证毕
5
3. 子空间的交的运算规律
1) 交换律 V1 ∩V2 = V2 ∩V1 ；
2) 结合律 (V1∩V2 ) ∩V3 = V1∩(V2 ∩V3 ) .
推广
多个子空间的交
V1,V2 , V1 V2
,Vs 为线性空间V的子空间，则集合
s
Vs Vi | Vi ,i 1,2,3, , s
从而 V1 = V2 与题设矛盾. 于是由子空间的交与和
的定义可得 V1 ∩ V2 = L(1 )，V1 + V2 = L(1 , 2 ,
3 ) = R3 .
15
其几何意义是：V1 = L(1 , 2 ) 是向量 1 , 2 所 确定的平面， V2 = L(1 , 3 ) 是向量 1 , 3 所确定
V1 + V2 = { | = 1 + 2 , 1 V1 , 2 V2 }
7
2. 性质
定理 2 如果V1 , V2 是线性空间 V 的两个子空
间，那么它们的和 V1 + V2 也是 V 的子空间.
证明 首先， V1 + V2 显然是非空的. 其次
如果 , V1 + V2 , 即
V1 =V2 .
14
四、例题
例 1 设 V1 = L(1 , 2 ) , V2 = L(1 , 3 ) 是 R3
两个不同的 2 维子空间，求 V1 ∩ V2 和 V1 + V2 ， 并指它们的几何意义.
解 因为 V1 和 V2 是两个不同的子空间，所以
1 , 2 , 3 线性无关，否则 3 可由 1 , 2 线性表示
推广
多个子空间的和
V1,V2 , ,Vs 为线性空间V的子空间，则集合
s
Vi V1 V2 Vs
i 1
1 2 s | i Vi ,i 1,2,3, , s
也为V的子空间，称为 V1,V2 , ,Vs 的和空间.
10
注 意：
1) V的两子空间的并集
+ V1 ， + V2 ， 因此 + V1 ∩V2 .
对数量乘积可以同样地证明. 所以V1 ∩V2 是 V 的
子空间.
V1 V2 { V1 or V2 },
有
证明：
V1 V2 V1 V2 .
V1 V2 V1 or V2,
V1 0 V1 V2 V1 V2 V1 V2
V2 0 V1 V2 V1 V2 V1 V2
性质 2 对于子空间 V1 , V2 , 以下三个论断是
等价的： 1) V1 V2 ；2) V1 ∩ V2 = V1 ；3) V1 + V2 = V2 .
13
性质 3
设 V1 , V2 , W 都是子空间， V1 V2 ，
若 W ∩ V1 = W ∩ V2 ，
W +V1 = W +V2，
则
并不是R3的子空间. 因为它对R3的运算不封闭，如 (1,0,0), (0,1,0) V1 V2
但是 (1,0,0) (0,1,0) (1,1,0) V1 V2
12
三、子空间的交与和的性质
性质 1 设 V1 , V2 , W 都是子空间，那么由
W V1 与 W V2 可推出W V1 ∩ V2 ； 而由 W V1 与 W V2可推出 W V1 + V2 .
的平面， V1 ∩ V2 是这两个平面的交线， V1 + V2 是整个 3 维空间. 如图 6-6 所示.
16
例 2 设 V1 , V2 分别是 R3 过原点的直线和平
面(直线不在平面上)上的全体向量构成的子空间， 求 V1 ∩ V2 和 V1 + V2 ，并指它们的几何意义.
= 1 + 2 , 1 V1 , 2 V2 ,
= 1 + 2 , 1 V1 , 2 V2 ,
那么
+ = (1 + 1 ) + (2 + 2 ) .
8
又因为 V1 , V2 是子空间，故有
1 + 1 V1 ，2 + 2 V2 .
第六章 线性空间
1
§1 集合·映射
§5 线性子空间
§2 线性空间的定义 与简单性质
§6 子空间的交与和
§3 维数·基与坐标
§7 子空间的直和
§4 基变换与坐标变换 §8 线性空间的同构
2
第六节 子空间的交与和
主要内容
子空间的交 子空间的和 子空间的交与和的性质 例题 子空间的交与和的维数
3
一、子空间的交
因此
+ V1 + V2 .
同样，
k = k1 + k2 V1 + V2 .
所以， V1 + V2 是 V规律
1) 交换律 V1 + V2 = V2 + V1 ；
2) 结合律 (V1 + V2 ) + V3 = V1+ (V2 + V3 ) .
i 1
也为V的子空间，称为 V1,V2 , ,Vs 的交空间.
6
二、子空间的和
1. 定义 定义 2 设 V1 , V2 是线性空间 V 的两个子空 间, 所谓 V1 与 V2 的和，是指由所有能表示成1 +
2 ，而1 V1 ，2 V2 的向量组成的子集合，记
作 V1 + V2 ，即
1. 定义 定义1 设 V1 , V2 是线性空间 V 的两个子空
间, 称
V1 ∩V2 ={ | V1 且 V2 }
为 V1 , V2 的交.
4
2. 性质
定理 1 如果V1 , V2 是线性空间 V 的两个子空
间, 那么它们的交V1 ∩V2 也是 V 的子空间.
证明 首先，由 0 V1 ， 0 V2 ，可知 0
11
2）V的两子空间的并集未必为V的子空间. 例如
V1 {(a,0,0) a R}, V2 {(0,b,0) b R} 皆为R3的子空间，但是它们的并集
V1 V2 {(a,0,0),(0,b,0) a,b R} {(a,b,0) a,b R 且a,b中至少有一是0}
证毕
5
3. 子空间的交的运算规律
1) 交换律 V1 ∩V2 = V2 ∩V1 ；
2) 结合律 (V1∩V2 ) ∩V3 = V1∩(V2 ∩V3 ) .
推广
多个子空间的交
V1,V2 , V1 V2
,Vs 为线性空间V的子空间，则集合
s
Vs Vi | Vi ,i 1,2,3, , s
从而 V1 = V2 与题设矛盾. 于是由子空间的交与和
的定义可得 V1 ∩ V2 = L(1 )，V1 + V2 = L(1 , 2 ,
3 ) = R3 .
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其几何意义是：V1 = L(1 , 2 ) 是向量 1 , 2 所 确定的平面， V2 = L(1 , 3 ) 是向量 1 , 3 所确定
V1 + V2 = { | = 1 + 2 , 1 V1 , 2 V2 }
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2. 性质
定理 2 如果V1 , V2 是线性空间 V 的两个子空
间，那么它们的和 V1 + V2 也是 V 的子空间.
证明 首先， V1 + V2 显然是非空的. 其次
如果 , V1 + V2 , 即
V1 =V2 .
14
四、例题
例 1 设 V1 = L(1 , 2 ) , V2 = L(1 , 3 ) 是 R3
两个不同的 2 维子空间，求 V1 ∩ V2 和 V1 + V2 ， 并指它们的几何意义.
解 因为 V1 和 V2 是两个不同的子空间，所以
1 , 2 , 3 线性无关，否则 3 可由 1 , 2 线性表示
推广
多个子空间的和
V1,V2 , ,Vs 为线性空间V的子空间，则集合
s
Vi V1 V2 Vs
i 1
1 2 s | i Vi ,i 1,2,3, , s
也为V的子空间，称为 V1,V2 , ,Vs 的和空间.
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注 意：
1) V的两子空间的并集