线性空间ppt课件

V1 =V2 .
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四、例题
例 1 设 V1 = L(1 , 2 ) , V2 = L(1 , 3 ) 是 R3
两个不同的 2 维子空间，求 V1 ∩ V2 和 V1 + V2 ， 并指它们的几何意义.
解 因为 V1 和 V2 是两个不同的子空间，所以
1 , 2 , 3 线性无关，否则 3 可由 1 , 2 线性表示
证毕
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3. 子空间的交的运算规律
1) 交换律 V1 ∩V2 = V2 ∩V1 ；
2) 结合律 (V1∩V2 ) ∩V3 = V1∩(V2 ∩V3 ) .
推广
多个子空间的交
V1,V2 , V1 V2
,Vs 为线性空间V的子空间，则集合
s
Vs Vi | Vi ,i 1,2,3, , s
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2）V的两子空间的并集未必为V的子空间. 例如
V1 {(a,0,0) a R}, V2 {(0,b,0) b R} 皆为R3的子空间，但是它们的并集
V1 V2 {(a,0,0),(0,b,0) a,b R} {(a,b,0) a,b R 且a,b中至少有一是0}
第六章 线性空间
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§1 集合·映射
§5 线性子空间
§2 线性空间的定义 与简单性质
§6 子空间的交与和
§3 维数·基与坐标
§7 子空间的直和
§4 基变换与坐标变换 §8 线性空间的同构
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第六节 子空间的交与和
主要内容
子空间的交 子空间的和 子空间的交与和的性质 例题 子空间的交与和的维数
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一、子空间的交
V1 + V2 = { | = 1 + 2 , 1 V1 , 2 V2 }
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2. 性质
定理 2 如果V1 , V2 是线性空间 V 的两个子空
间，那么它们的和 V1 + V2 也是 V 的子空间.
证明 首先， V1 + V2 显然是非空的. 其次
如果 , V1 + V2 , 即
因此
+ V1 + V2 .
同样，
k = k1 + k2 V1 + V2 .
所以， V1 + V2 是 V 的子空间.
证毕
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3. 子空间的和的运算规律
1) 交换律 V1 + V2 = V2 + V1 ；
2) 结合律 (V1 + V2 ) + V3 = V1+ (V2 + V3 ) .
的平面， V1 ∩ V2 是这两个平面的交线， V1 + V2 是整个 3 维空间. 如图 6-6 所示.
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例 2 设 V1 , V2 分别是 R3 过原点的直线和平
面(直线不在平面上)上的全体向量构成的子空间， 求 V1 ∩ V2 和 V1 + V2 ，并指它们的几何意义.
从而 V1 = V2 与题设矛盾. 于是由子空间的交与和
的定义可得 V1 ∩ V2 = L(1 )，V1 + V2 = L(1 , 2 ,
3 ) = R3 .
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其几何意义是：V1 = L(1 , 2 ) 是向量 1 , 2 所 确定的平面， V2 = L(1 , 3 ) 是向量 1 , 3 所确定
并不是R3的子空间. 因为它对R3的运算不封闭，如 (1,0,0), (0,1,0) V1 V2
但是 (1,0,0) (0,1,0) (1,1,0) V1 V2
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三、子空间的交与和的性质
性质 1 设 V1 , V2 , W 都是子空间，那么由
W V1 与 W V2 可推出W V1 ∩ V2 ； 而由 W V1 与 W V2可推出 W V1 + V2 .
性质 2 对于子空间 V1 , V2 , 以下三个论断是
等价的： 1) V1 V2 ；2) V1 ∩ V2 = V1 ；3) V1 + V2 = V2 .
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性质 3
设 V1 , V2 , W 都是子空间， V1 V2 ，
若 W ∩ V1 = W ∩ V2 ，
W +V1 = W +V2，
则
1. 定义 定义1 设 V1 , V2 是线性空间 V 的两个子空
间, 称
V1 ∩V2 ={ | V1 且 V2 }
为 V1 , V2 的交.
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2. 性质
定理 1 如果V1 , V2 是线性空间 V 的两个子空
间, 那么它们的交V1 ∩V2 也是 V 的子空间.
证明 首先，由 0 V1 ， 0 V2 ，可知 0
V1 ∩V2 ，因而 V1 ∩V2 是非空的. 其次，如果, V1 ∩V2 , 即 , V1 ，而且 , V2 ， 那么
+ V1 ， + V2 ， 因此 + V1 ∩V2 .
对数量乘积可以同样地证明. 所以V1 ∩V2 是 V 的
子空间.
V1 V2 { V1 or V2 },
有
证明：
V1 V2 V1 V2 .
V1 V2 V1 or V2,
V1 0 V1 V2 V1 V2 V1 V2
V2 0 V1 V2 V1 V2 V1 V2
推广
多个子空间的和
V1,V2 , ,Vs 为线性空间V的子空间，则集合
s
Vi V1 V2 Vs
i 1
1 2 s | i Vi ,i 1,2,3, , s
也为V的子空间，称为 V1,V2 , ,Vs 的和空间.
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注 意：
1) V的两子空间的并集
i 1
也为V的子空间，称为 V1,V2 , ,Vs 的交空间.
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二、子空间的和
1. 定义 定义 2 设 V1 , V2 是线性空间 V 的两个子空 间, 所谓 V1 与 V2 的和，是指由所有能表示成1 +
2 ，而1 V1 ，2 V2 的向量组成的子集合，记
作 V1 + V2 ，即
= 1 + 2 , 1 V1 , 2 V2 ,
= 1 + 2 , 1 V1 , 2 V2 ,
那么
+ = (1 + 1 ) + (2 + 2 ) .
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又因为 V1 , V2 是子空间，故有
1 + 1 V1 ，2 + 2 V2 .