高中数学专题：抛物线

抛物线专题复习

一、抛物线的知识点：

标准方程

图形

顶点

对称轴

焦点

准线

离心率

焦半径

焦点弦公式

()

022

>=p px

y

x

y

O

F

l

()

0,0

x 轴 ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2p 2

p x -= 1=e 0

2x p

PF +=

)(21x x p AB ++=

()

022>-=p px

y

x

y

O F l

()

0,0

x 轴 ⎪

⎭⎫

⎝⎛-0,2p

2

p x = 1=e 02

x p PF -=

)(21x x p AB +-=

()

022>=p py

x

()

0,0

y

轴

⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0p 2

p y -= 1=e 02y p

PF +=

)(21y y p AB ++=

()

022>-=p py

x

()

0,0

y

轴

⎪

⎭⎫ ⎝

⎛

-2,0p

2

p y = 1=e 0

2

y p

PF -=

)(21y y p AB +-=

通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 通径：d 2=

AB 为抛物线px y 22

=的焦点弦，则=B A x x 4

2p ，=B A y y 2

p -，||AB =p x x B A ++

考点1 抛物线的定义

[例1 ]已知点P 在抛物线x y 42

=上，则点P 到点)1,2(-Q 的距离与点P 到抛物线焦点距离之和的最小值为 考点2 抛物线的标准方程

[例2 ] 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： (1)过点)2,3(-； (2)焦点在直线240x y --=上 考点3 抛物线的几何性质

[例3 ]设B A ,为抛物线px y 22

=上的点,且O AOB (2

π

=

∠为原点),则直线AB 必过的定点坐标为_______

[例4 ]设F 是抛物线2

:4G x y =的焦点．（I ）过点(04)P -，

作抛物线G 的切线，求切线方程； （II ）设A B ，为抛物线G 上异于原点的两点，且满足,0=⋅→

→FB FA 延长AF ,BF 分别交抛物线G 于点C D ，，求四边形ABCD 面积的最小值．

二．基本题型

1．过抛物线x y 42

=的焦点作直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，如果621=+x x ，那么||AB =( )

（A ）10 （B ）8 （C ）6 （D ）4

2．已知抛物线2

2(0)y px p =>的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且||1F P 、||2F P 、||3F P 成等差数列， 则有 （ ）

A ．321x x x =+

B ． 3

21y y y =+

C ．2312x x x =+ D. 2312y y y =+

3．已知M 为抛物线x y 42

=上一动点，F 为抛物线的焦点，定点()1,3P ，则||||MF MP +的最小值为（ ） （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 4．过抛物线()02

>=a ax

y 的焦点F 作直线交抛物线于P 、Q 两点，则

=+|

|1

||1QF PF （ ） （A ）a 2 （B ）

a 21 （C ）a 4 （D ）a 4 5．已知抛物线C ：2

4y x =的焦点为,F 准线为,l 过抛物线C 上的点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，若△AMF 与△

AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3：1，则点A 的坐标为( )

A ．(2,22)

B ．(2，－22)

C ．(2，±2)

D ．(2，±22)

6．过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于两点A 、B,若A 、B 在抛物线准线上的射影为11,B A ,则=∠11FB A （ ） A.

45 B.

60 C.

90 D.

120

7．两个正数a 、b 的等差中项是

92

，一个等比中项是,b a >则抛物线2

()y b a x =-的焦点坐标为（ ） A ．1

(0,)4- B ．1(0,)4

C ．1(,0)2

- D ．1(,0)4

-

8．抛物线,42

F x y 的焦点为=准线为l l ,与x 轴相交于点,E 过F 且倾斜角等于3

π

的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点,,l AB A ⊥垂足为,B 则四边形ABEF 的面积等于（ ）

A ．33

B ．34

C ．36

D ．38

9．已知抛物线C ：2

1

2

x y =

,过点(0,4)A -和点(,0)B t 的直线与抛物线C 没有公共点，则实数t 的取值范围是( )

A ．(,1)(1,)-∞-+∞ B. 2

(,)(,)22

-∞-

+∞ C ．(,(22,)-∞-+∞ D ．(,(2,)-∞-+∞ 10．如果1P ，2P ，…，8P 是抛物线2

4y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，8x ，F 是抛物线的焦点，

若)(,,,21*

∈N n x x x n 成等差数列且45921=+++x x x ，则||5F P =（ ）．

A ．5

B ．6

C ． 7

D ．9

11．设O 是坐标原点，F 是抛物线2

4y x =的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为60，则OA 为 ．

12．若直线10ax y -+=经过抛物线2

4y x =的焦点，则实数a =