圆心角_弧_弦_的关系课件

圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理 （圆心角定理）
• 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等 所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等.
A
A
D
D
B
●O
B
●O
●O′
┏
A′ D′ B′
由条件: ①∠AOB=∠A′O′B′
可推出
┏
⌒ ⌒A′ D′ B′
②AB=A′B′ ③AB=A′B′
④ OD=O′D′
同圆或等圆中两个圆心角 有二倍关系；问：它们所 对的两条弦之间有二倍关 系么？
思考
如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相
等，∠A=70°，则∠BOC= ＿1＿25＿ 度。
A
D PO
E B FQ
N H
MБайду номын сангаасGC
思考
已知：如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB与CD不平行， M、N分别是AB、CD的中点，AB=CD，那么∠AMN与 ∠CNM的大小关系是什么？为什么？
A
C
M N
O
B
D
又∠ACB=60°，
B
∴ △ABC是等边三角形.
∴ AB=BC=CA.
O·
C
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
练习
C
1.如图, AB、CD为⊙O的两条弦，
AD=BC,求证AB＝CD.
2. 已知：如图，AD=BC. C
求证：AB＝CD
E
B
O
B O
D A
A
D
例2：已知如图（1）⊙O中，AB、CD为⊙O的弦，
学习目标
1、了解圆的旋转不变性。 2、理解圆心角、弦心距的概念。 3、掌握圆心角、弧、弦、弦心距
之间的关系。
我们知道圆是轴对称图形，经过圆心的 每一条直线都是它的对称轴。
O
那么圆是中心对称图形吗？
顺时针旋转90°
顺时针旋转180°
圆即是轴对称图形也是中心对称图形
它的圆心就是对称中心。其实圆旋 转任意角度都能与自身重合。
A′ B
B′
A′
B
B′
·
O
A
·
O
A
根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位 置时， ∠AOB＝∠A′OB′，射线 OA与OA′重合，OB与OB′重 合．而同圆的半径相等，OA=OA′，OB=OB′，∴点 A与 A′重 合，B与B′重合．
∴AB与A’B’ 重合，AB与A′B′重合．
Ｂ
Ｃ
∠COD=35°， 则∠AOCE=＿＿7＿5 ＿度。
E
D
解： BC=CD=DE
C
A
BOC=COD=DOE=35
o
B
AOE 180 335 75
四、例题选讲
例1.如图, 在⊙O中， AB AC，∠ACB=60°，
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
A
证明：∵ AB=AC．
∴ AB=AC．
∠1= ∠2，求证：AB=CD
C
B
变式练习1： 如图（1），已知弦AB=CD， 求证： ∠1= ∠2
A
21
D
O
变式练习2：如图（2）， ⊙O中，弦AB=CD， 求证：BD=AC
（1）
A
D
变式练习3：如图（2）， ⊙O中，弦BD=AC，
猜测∠A与∠D的数量关系。
B
O C
（２）
3.已知：AB是⊙O的直径,M.N是AO.BO 的中点。CM⊥AB,DN⊥AB,分别与圆交 于C.D点。
结论
在同圆或等圆中 如果圆心角相等
那么
圆心角所对的弧相等
圆心角所对的弦相等 圆心角所对的弦的 弦心距相等
在同圆或等圆中 如果弧相等
那么
弧所对的圆心角相等 弧所对的弦相等 弧所对的弦的弦心距相等
在同圆或等圆中 如果弦相等
那么
弦所对的圆心角相等 弦所对的弧相等 弦的弦心距相等
在同圆或等圆中 如果弦心距相等
变式2：如图（3），P为⊙O上一点，PO平分∠APB，
求证：PA=PB
A
P
O
(3) B
变式3：如图（4），当P在⊙O内时，PO平分∠BPD，在⊙中还 存在相等的弦吗？
B
C PO
A
D （４）
已知：如图， ⊙O的两条半径OA⊥OB， C、D是弧AB的三等分点。
求证：CD＝AE＝BF。
A C
E
FD
O
B
∠C=250，求圆心角∠DOB的度数.
Ａ
Ｄ
Ｏ
ＢＣ
例3：已知：如图（1），已知点O在∠BPD的角平分线PM
上，且⊙O与角的两边交于A、B、C、D，
求证：AB=CD
B
A P
C
O
M
D
（1）
变式1：如图（2），∠P的两边与⊙O交与 A、B、C、D，AB=CD 求证：点O在∠BPD的平分线上
B
A
P
O
C
D
（2）
推论
• 在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧, ③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么 它们所对应的其余各组量都分别相等.
A
A
D
D
B
●O
B
●O
●O′
┏
A′ D′ B′
如由条件: ③AB=A′B′
可推出
┏
A′ D′ B′
①∠⌒AOB⌒=∠A′O′B′
②AB=A′B′
④ OD=O′D′
条件
求证：AC=BD
Ｄ
Ｍ
Ａ
O·Ｎ Ｂ
Ｃ
4.如图所示，CD为⊙O的弦，在CD上取CE=DF， 连结OE、OF，并延长交⊙O于点A、B。
（1）试判断△OEF的形状，并说明理由；
O
（2）求证：AC=BD
EF
C
D
A
B
5.如图：已知OA，OB是⊙O中的两条半径，且OA⊥OB,
D是弧AB上的一点，AD的延长线交OB延长线于C。已知
拓展与深化
• 在同圆或等圆中,如果轮换下面四组条件: • ①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距,
你能得出什么结论?与同伴交流你的想法和理由.
A
A
D
D
B
●O
B
●O
●O′
┏
A′ D′ B′
⌒⌒
如由条件: ②AB=A′B′
可推出
┏
A′ D′ B′
①∠AOB=∠A′O′B′
③AB=A′B′
④ OD=O′D′
一、概念
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
如:∠AOB
A
O·
O
BA DB
圆心到弦的距离，叫弦心距 , 右图中， OD为AB弦的弦心距。
判别下列各图中的角是不是圆心角， 并说明理由。
O
O
①
②
O
O
③
④
二、探究
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你 能发现哪些等量关系？为什么？
∴ AB=A’B’ AB A' B '.
弧、弦、圆心角之间的关系： 在同圆或等圆中，相等的圆心角 所对的弧相等，所对的弦相等。
A CO
B C/
A/
B/
如图，作OC⊥AB于C， OC/⊥A /B /于C/
在上述定理的条件下，OC=OC/是否成立？
可通过△AOB≌△ A∕OB∕ 然后利用全等的性质得到
A
E
B
O·
D
F C
下列说法正确吗？为什么？
在⊙O和⊙O’中，∵∠AOB＝∠A’O’B’∴AB＝A’B’ 在⊙O和⊙O’中，∵弦AB＝弦A’B’ ∴弧AB＝弧A’B’
注意前提： 在同圆或等圆中
下面的说法正确吗?为什么?
如图,因为AOB AOB
根据圆心角、弧、弦 的关系定理可知：
︵︵
AB AB
O
A
B
A
B
牛刀小试
1.下列命题中真命题是（ C ）
A、相等的弦所对的圆心角相等。
B、圆心角相等，所对的弧相等。
C、在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等。
D、长度相等的弧所对的圆心角相等。
Ａ
2、在⊙O中， AB = AＣ ，∠B=70°，则∠A= ＿4＿0 ＿°
Ｏ
３、如图：AB为⊙O的直径，B = CD = DE ，
那么
弦心距所对应的圆心角相等 弦心距所对应的弧相等 弦心距所对应的弦相等
推论：(圆心角定理的逆定理)
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、 两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有 一组量相等，那么它们所对应的其余的 各组量都分别相等。
练习
如图,AB、CD是⊙O的两条弦，OE、OF为AB、CD的弦心距， 如果AB＝CD，那么 ， ， ； 如果OE＝OF，那么 ， ， ； 如果弧AB＝弧CD，那么 ， ， ； 如果∠AOB＝∠COD，那么 ， ， 。