第十一章 无穷级数

第十一章 无穷级数第一节 常数项级数的概念与性质1、 由P189性质2引出的类似问题（考研经常考到这类选择题）： （1）1nn u∞=∑、1nn v∞=∑都为收敛级数① 级数1()nn n uv ∞=±∑收敛② 级数1()nn n uv ∞=⋅∑收敛（2）1nn u∞=∑收敛，1nn v∞=∑发散①1()nn n uv ∞=±∑必发散②1()n nn u v ∞=⋅∑不一定发散，有可能收敛。

例如，当1()2nn u =、1(1)n n v -=-时，级数2311111()()()2222n n n u ∞==+++++∑ 必收敛（这是一个等比级数，公比1112q -<=<），级数11(1)1(1)n n v ∞==+-++-+∑ 发散，但是对于级数1()n n n u v ∞=⋅∑而言，由于11||nn n n n uv u ∞∞==⋅=∑∑收敛，即1()n n n u v ∞=⋅∑绝对收敛，那么1()n n n u v ∞=⋅∑本身也收敛。

（关于绝对收敛P201页，你复习了后面的内容后就会理解这个例子了）（3）1nn u∞=∑、1nn v∞=∑都发散①1()nn n uv ∞=±∑不一定发散，有可能收敛。

当n n u v =-，且1n n u ∞=∑发散时，那么1n n v ∞=∑也发散，而1()000nn n uv ∞=+=++++∑ 必收敛。

同样当n n u v =时，且1n n u ∞=∑发散时，那么1nn v∞=∑也发散，而1()000nn n uv ∞=-=++++∑ 必收敛②1()nn n uv ∞=⋅∑必发散2、 注意P190性质4的逆命题不成立。

3、 柯西审敛原理不考。

4、 习题11—1第2、3、4第二节 常数项级数的审敛法1、 对P195推论的理解当级数1nn v∞=∑收敛时，1nn kv∞=∑也收敛，这是P189性质1 的内容；“且存在自然数N ，使当n N≥时有n n u kv ≤”这句话的意思是指，不管前面有限项（N 项）的n u 是否有n n u kv ≤，只要从N 开始后面的无穷项都满足n n u kv ≤，那么级数n n Nu ∞=∑（注意这里连加符号下是n N =，不是1n =）是收敛的，根据P190性质3的内容，那么级数nn Nu∞=∑中加上有限项（N 项）12,,,N u u u ，那么级数的收敛性不变，故1nn u∞=∑也是收敛的。

这个推论包含了所有情况，一般情况是：设1nn u∞=∑、1nn v∞=∑都是正项级数，如果级数1nn v∞=∑收敛，且n n u kv ≤（0k >）成立，则级数1nn u∞=∑收敛；如果级数1nn v∞=∑发散，且n n u kv ≥（0k >）成立，则级数1nn u∞=∑发散。

2、 两个重要的常数项级数的敛散性：（1）p -级数1111111234p p p p p n nn ∞==++++++∑ （0p >）当111111p n p n p n p n∞=∞=>≤∑∑时，级数收敛时，级数发散（2） 等比级数121n n n aq a aq aq aq ∞-==+++++∑ 当1111||1||1n n n n q aq q aq ∞-=∞-=<≥∑∑时，级数收敛时，级数发散3、 对P196比较审敛法极限形式的理解（只对第（1）条进行理解，第（2）条的理解类似）(0)l ≤<+∞表示l 是一个大于等于0的有限常数。

由于limlim lim nn n n n n nu l u lv v →∞→∞→∞=⇔=，那么我们可以得出，一定存在一个正整数N （这个正整数或许是非常非常大的数，但是不管它多大，它都是一个有限数字），使得当n N ≥时，n u 非常接近n lv ，即n n u lv ≈，由于这种约等于是非常非常接近的，所以我们完全可以看做n n u lv =，而1nn v∞=∑收敛，故nn Nu∞=∑（注意这里连加符号下是n N =，不是1n =）也收敛，根据P190性质3的内容，那么级数nn Nu∞=∑中加上有限项（N 项）12,,,N u u u ，那么级数的收敛性不变，故1n n u ∞=∑也是收敛的。

从无穷小方面来说，当1nn v∞=∑收敛时，由P191性质5可知，lim 0n n v →∞=，即n v 是当n →∞时的无穷小。

那么n u 是当n →∞时比n v 高阶（0l =）或同阶（0l <<+∞）的无穷小。

1nn v∞=∑收敛，那么nn Nu∞=∑收敛。

注意：这里的理解不需要你记住，这只不过是根据我个人的思维来理解的，也不一定严密完整。

4、 在P196比较收敛法的极限形式中，我们常常把1nn v∞=∑选取为p -级数，那么定理3就变为以下论述： 设1nn u∞=∑是正项级数（1） 当1p >时，且lim pn n n u l →∞=(0)l ≤<+∞，那么级数1nn u∞=∑收敛；（2） 当01p <≤时，且lim 0p n n n u l →∞=>或lim pn n n u →∞=+∞，那么级数1nn u∞=∑发散。

这包含了P199定理6的情况。

5、 由P201定理8可得，如果正项级数1nn u∞=∑收敛，那么级数123n u u u u ±±±±± 必收敛，这个级数中的加减号是任意的，不一定要有一定规律。

6、 P203从定理9（含）到本节结束部分不考。

7、 习题11—2第1、2、3、4、58、 补充——常数项级数敛散性的判断方法（见下页，页面方向为横向），注意下页中的所有级数的形式都是1231nn n uu u u u ∞==+++++∑ ，当1n n u ∞=∑表示正项级数时，那么0n u ≥；当它表示交错级数时，210n u ->，20n u <，这和书上的表示方法不一样，主要是为了统一，书上表示交错级数时：11231(1)n nn n uu u u u ∞-==-+--+∑ 且0n u >- 5 -第三节 幂级数1、 弄清楚这两个名词的含义：收敛区间、收敛域。

考研填空题有时会让你求某个幂级数的收敛区间或者收敛域，收敛域是包含收敛端点的“区间”，收敛区间就是(,)R R - 2、 对于缺少奇次幂或偶次幂的幂级数的收敛半径的求法：缺少奇次幂的幂级数的一般形式为：20nn n a x∞=∑（或者220n nn ax ∞=∑）；缺少偶次幂的幂级数的一般形式为21n n n a x∞+=∑（或者2121n n n ax ∞++=∑） 把这种缺少奇次幂或偶次幂的幂级数看成是常数项级数，那由于该常数项级数收敛（因为如果幂级数的收敛半径大于0，那么该幂级数一定会在某个区间内收敛，所以，说“常数项级数收敛”是由一定道理的），由P197定理4可知，那么必定有232211121lim ||lim ||lim ||1n n n n n n n n n n na x a x a x a x a a +++++→∞→∞→∞==⋅<（缺奇次幂），或者232211121lim ||lim ||lim ||1n n n n n n n n n n na x a x a x a x a a +++++→∞→∞→∞==⋅<（缺偶次幂），由21lim ||1n n n a x a +→∞⋅<解出x 的取值范围。

这里需要注意的是：① 极限1lim ||n n n a a +→∞是一定存在的，也就是说一定能求出1lim ||n n naa +→∞的具体数值；②P197定理4是针对正项级数而言，这里的幂级数的一般项不一定在它的收敛区间内都大于0，为什么还能用于定理4？关于这一点你不要深究，总之要记住方法，这里是加了绝对值符号的，定理4中没有绝对值符号。

3、 P213—P214的性质1、2、3非常重要，性质2是在收敛域上可积、性质3是在收敛区间上可导，一定要记住这一点。

注意，性质3说的是在收敛区间上可导，并没有说在端点（x R =±）一定不可导，这具体情况具体分析。

性质2、3是用来求幂级数的和函数的最有用的方法。

一定要检验端点（当然我说的端点，包括前面提到的端点，是指收敛的端点，如果幂级数在该端点不收敛，则没有检验的必要）处的值是否也满足和函数。

例如，我们由性质2、3求出的和函数为()s x(,)x R R ∈-，且该幂级数的收敛域为(,]R R -，那么我们要检验()s R 是否等于0n n n a R ∞=∑，如果()s R 等于0n n n a R ∞=∑那么该幂级数在收敛域上的和函数为()s x (,]x R R ∈-；如果()s R 不等于nn n a R∞=∑，那么该幂级数在收敛域上的和函数（在收敛域上的和函数我们用()S x 表示，前面()s x 指的是在收敛区间上的和函数）应该写成分段函数：当然在具体题目中，nn n a R∞=∑是一个具体的数值。

4、 对于和函数我再说一点，如果求出的和函数()s x 在0x =处没有定义，那么该幂级数在收敛域上的和函数结合第3点，应该更新为以下形式：所以我们不光要注意收敛端点处的指，还要注意0x =这一特殊点的指。

5、 例1—6都是重点，习题11—3第1、2第六节 函数展开成幂级数1、 知道什么是泰勒级数，什么是麦克劳林级数。

2、 了解P216定理，知道常用函数的麦克劳林级数：xe 、sin x 、cos x 、ln(1)x +，并且注意这里函数的麦克劳林级数的收敛域。

本节例题习题不要求掌握3、 第五节及本章以后的部分不考。

4、 总习题十一第1—9。

()S x =(),(,0)(0,)s x x R R ∈-⋃0,0a x =,n n n a R x R ∞==∑()S x =(),(,)s x x R R ∈-0,nn n a R x R ∞==∑。