第十一章 无穷级数

第十一章 无穷级数

第一节 常数项级数的概念与性质

1、 由P189性质2引出的类似问题（考研经常考到这类选择题）： （1）

1

n

n u

∞

=∑、

1n

n v

∞

=∑都为收敛级数

① 级数

1()n

n n u

v ∞

=±∑收敛

② 级数

1

()n

n n u

v ∞

=⋅∑收敛

（2）

1

n

n u

∞

=∑收敛，

1

n

n v

∞

=∑发散

①

1()n

n n u

v ∞

=±∑必发散

②

1

()n n

n u v ∞

=⋅∑不一定发散，有可能收敛。例如，当1()2n

n u =、1(1)n n v -=-时，级数231

1111

()()()2222

n n n u ∞

==

+++++∑ 必收敛（这是一个等比级数，公比1

112q -<=<），级数11(1)1(1)n n v ∞==+-++-+∑ 发散，但是对于级数1

()n n n u v ∞=⋅∑而

言，由于

1

1

||n

n n n n u

v u ∞

∞

==⋅=∑∑收敛，即1

()n n n u v ∞

=⋅∑绝对收敛，那么1

()n n n u v ∞

=⋅∑本身也收

敛。（关于绝对收敛P201页，你复习了后面的内容后就会理解这个例子了）

（3）

1

n

n u

∞

=∑、

1n

n v

∞

=∑都发散

①

1

()n

n n u

v ∞

=±∑不一定发散，有可能收敛。当n n u v =-，且1

n n u ∞=∑发散时，那么1

n n v ∞

=∑也发

散，而

1

()000n

n n u

v ∞

=+=++++∑ 必收敛。同样当n n u v =时，且1

n n u ∞

=∑发散时，

那么

1n

n v

∞

=∑也发散，而

1

()000n

n n u

v ∞

=-=++++∑ 必收敛

②

1

()n

n n u

v ∞

=⋅∑必发散

2、 注意P190性质4的逆命题不成立。

3、 柯西审敛原理不考。

4、 习题11—1第2、3、4

第二节 常数项级数的审敛法

1、 对P195推论的理解

当级数

1

n

n v

∞

=∑收敛时，

1

n

n kv

∞

=∑也收敛，这是P189性质1 的内容；“且存在自然数N ，使当n N

≥时有n n u kv ≤”这句话的意思是指，不管前面有限项（N 项）的n u 是否有n n u kv ≤，只要从N 开始后面的无穷项都满足n n u kv ≤，那么级数

n n N

u ∞

=∑（注意这里连加符号下是n N =，

不是1n =）是收敛的，根据P190性质3的内容，那么级数

n

n N

u

∞=∑中加上有限项（N 项）12,,,N u u u ，那

么级数的收敛性不变，故

1

n

n u

∞

=∑也是收敛的。

这个推论包含了所有情况，一般情况是：设

1

n

n u

∞

=∑、

1

n

n v

∞

=∑都是正项级数，如果级数

1

n

n v

∞

=∑收敛，

且n n u kv ≤（0k >）成立，则级数

1

n

n u

∞

=∑收敛；如果级数

1

n

n v

∞

=∑发散，且n n u kv ≥（0k >）成

立，则级数

1

n

n u

∞

=∑发散。

2、 两个重要的常数项级数的敛散性：

（1）p -

级数

1111111234p p p p p n n

n ∞

==++++++∑ （0p >）当1

11

111p n p n p n p n

∞

=∞

=>≤∑

∑时，级数收敛时，级数发散

（2） 等比级数

121

n n n aq a aq aq aq ∞

-==+++++∑ 当

1111

||1||1n n n n q aq q aq ∞

-=∞

-=<≥∑∑时，级数收敛

时，级数发散

3、 对P196比较审敛法极限形式的理解（只对第（1）条进行理解，第（2）条的理解类似）

(0)l ≤<+∞表示l 是一个大于等于0的有限常数。由于lim

lim lim n

n n n n n n

u l u lv v →∞→∞→∞

=⇔=，那么我

们可以得出，一定存在一个正整数N （这个正整数或许是非常非常大的数，但是不管它多大，它都是一个有限数字），使得当n N ≥时，n u 非常接近n lv ，即n n u lv ≈，由于这种约等于是非常非常接近的，所以我们完全可以看做n n u lv =，而

1

n

n v

∞

=∑收敛，故

n

n N

u

∞

=∑（注意这里连加符号下

是n N =，不是1n =）也收敛，根据P190性质3的内容，那么级数

n

n N

u

∞

=∑中加上有限项（N 项）

12,,,N u u u ，那么级数的收敛性不变，故1

n n u ∞

=∑也是收敛的。

从无穷小方面来说，当

1

n

n v

∞

=∑收敛时，由P191性质5可知，lim 0n n v →∞

=，即n v 是当n →∞时的

无穷小。那么n u 是当n →∞时比n v 高阶（0l =）或同阶（0l <<+∞）的无穷小。

1

n

n v

∞

=∑收敛，

那么

n

n N

u

∞

=∑收敛。

注意：这里的理解不需要你记住，这只不过是根据我个人的思维来理解的，也不一定严密完整。 4、 在P196比较收敛法的极限形式中，我们常常把

1

n

n v

∞

=∑选取为p -

级数，那么定理3就变为以下论

述： 设

1

n

n u

∞

=∑是正项级数