第二章理解练习知识题及参备考资料答案解析

第二章 静电场 练习题及参考答案

1、均匀带电导体球，半径为a ，带电量为Q 。试求 （1） 球内任一点的电场 （2） 球外任一点的电位移矢量 解：（1）

（2）a r e ˆr

Q

e

ˆD D r r >==2

04π

2、放在坐标原点的点电荷在空间任一点r

处产生的电场强度表达式为

r e

r q E ˆ42

0πε=

（1）求出电力线方程；（2）画出电力线。 解:（1）

y

C z x C y 21== 式中，21,C C 为任意常数。

（2）电力线图所示。

3、用球坐标表示的场225

ˆr

e

E r =

，求 （1） 在直角坐标中点（-3，4，5）处的E ； （2） 在直角坐标中点（-3，4，5）处的x E 分量

解：（1）21

252

==

r

E

（2）3

25r

x E x =

，2023-=x E a

r E <=0

图18-2

4、两点电荷C 41-=q ，位于x 轴上4=x 处，C 42=q 位于轴上4=y 处，求空间点()4,0,0 处的（1）电位；（2）该点处的电场强度矢量。 解：（1）()0400=,,φ （2）()y x

e

e

r r

q r r

q E ˆˆ642440

232

0213

1

01-=

+

=

πεπεπε

5、一个点电荷q +位于()0,0,a -处，另一个点电荷q 2-位于()0,0,a 处，其中0>a 。求 （1） 求出空间任一点()z y x ,,处电位的表达式； （2） 求出电场强度为零的点。 解：（1）建立如图18-1所示坐标

空间任一点的电位 ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=

120214r r q πεφ 其中，()2221z y a x r ++-=

，()2

222z y a x r +++=

（2）根据分析可知，电场等于零的位置只能位于两电荷的连线上的q +的左侧，设位于x 处，则在此处电场强度的大小为 ()()⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+--=

220214a x a x q E πε 令上式等于零得

()

()

2

2

2

1

a x a x +=

-

求得 ()

a x 223+-=

6、真空中均匀带电球体，其电荷密度为ρ，半径为a ，试求 （1） 球内任一点的电位移矢量 （2） 球外任一点的电场强度

解：（1）r D

3

ρ= a r <

（2）当a r >时，r r

a E

3

033ερ= 7、设无限长直线均匀分布有电荷，已知电荷密度为l ρ，如图所示，求 （1） 空间任一点处的电场强度； （2） 画出其电力线，并标出其方向。 解（1）

（2）其电力线如图2所示。

8、设0=z 为两种媒质的分界面，0>z 为空气，其介电常数为01εε=，0

025εε=的媒质2。已知空气中的电场强度为z x e e

E ˆˆ41+=

，求 （1）空气中的电位移矢量。 （2）媒质2中的电场强度。

解：（1）空气中的电位移矢量 101E D

ε=

z x e e

ˆˆ400εε+= r

e

E l

r 02ˆπερ=

图2

图1

（2）由边界条件

切向分量 412==x x E E 法向分量 012ε==z z D D

故： 5

1/222=

=εz z D E 得媒质2中的电场强度为： z x e e

E ˆ5

1

ˆ42+=

9、电偶极子电量为q ，正、负电荷间距为d ，沿z 轴放置，中心位于原点，求出空间任一点P ()z ,y ,x 处的电位表达式。 解：()1

02

044r q r q z ,y ,x πεπεφ-

=

其中，

()

()

2

2

2

222212/2/d z y x r d z y x r +++=-++=

10、同轴线内导体半径为a ，外导体半径为b ，内、外导体间介质为空气，其间电压为U （1）求a r <处的电场强度 （2）求b r a <<处的电位移矢量

解：（1）导体内部没有电荷分布，故内导体内部a r <处

的电场强度处处为零。

（2）设单位长内导体表面电荷密度为l ρ，由电荷的分布对

称性可知，离导线等距离处的电场大小处处相等，方向为沿柱面径向r e

ˆ，在底面半径为r 长度为L 的柱体表面使用高斯定理得：

002ερπ/L rLE S

d E S d E S d E S d E l r s

=++=⋅+

⋅+

⋅=

⋅⎰⎰⎰⎰底面

顶面

侧面

图1

图2

可得b r a <<任一点处的电场强度为：

r

e

ˆE l

r 02περ=

再由 a b

dr r r d E U l b

a

r l b a

r ln 2200περπερ==

⋅=⎰⎰==

得b r a <<任一点处的电位移矢量为：

()

a /

b r U

e

ˆE D r ln 00εε==

11、自由空间中一点电荷电量为2C ，位于()1,2,1S 处，设观察点位于()5,4,3P 处，求 （1）观察点处的电位 （2）观察点处的电场强度。 解：（1）任意点()z y x ,,处的电位

()()

()()

2

2

2

1214,,-+-+-=

z y x q

z y x πεφ

将观察点代入

()()()()0

2

220641

15241342

5,4,3πεπεφ=

-+-+-=

（2）源点位置矢量 z y x s e e e

r ˆˆ2ˆ++=

场点位置矢量 z y x f e e e

r ˆ5ˆ4ˆ3++=

点电荷到场点的距离矢量

z y x s f e e e

r r R ˆ4ˆ2ˆ2++=-=

62=R