九年级思维拓展：面积问题(讲义及答案)
2019学年度九年级数学二次函数综合题题型归类之面积问题(附答案详解)
2019学年度九年级数学二次函数综合题题型归类之面积问题一（附答案详解）1．综合与探究如图1，平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴分别交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C，点D是y轴负半轴上一点，直线BD与抛物线y=ax2+bx+3在第三象限交于点E（﹣4，y）点F是抛物线y=ax2+bx+3上的一点，且点F在直线BE上方，将点F沿平行于x轴的直线向右平移m个单位长度后恰好落在直线BE上的点G处．（1）求抛物线y=ax2+bx+3的表达式，并求点E的坐标；（2）设点F的横坐标为x（﹣4＜x＜4），解决下列问题：①当点G与点D重合时，求平移距离m的值；②用含x的式子表示平移距离m，并求m的最大值；（3）如图2，过点F作x轴的垂线FP，交直线BE于点P，垂足为F，连接FD．是否存在点F，使△FDP与△FDG的面积比为1：2？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，说明理由．2．如图，在平面直角坐标系xOy中，以直线x=对称轴的抛物线y=ax2+bx+c与直线l：y=kx+m（k＞0）交于A（1，1），B两点，与y轴交于C（0，5），直线l与y轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设直线l与抛物线的对称轴的交点为F，G是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若，且△BCG与△BCD面积相等，求点G的坐标；（3）若在x轴上有且仅有一点P，使∠APB=90°，求k的值．3．如图，二次函数y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C （0，3）．（1）求该二次函数的表达式；（2）过点A的直线AD∥BC且交抛物线于另一点D，求直线AD的函数表达式；（3）在（2）的条件下，请解答下列问题：①在x轴上是否存在一点P，使得以B、C、P为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；②动点M以每秒1个单位的速度沿线段AD从点A向点D运动，同时，动点N以每秒个单位的速度沿线段DB从点D向点B运动，问：在运动过程中，当运动时间t为何值时，△DMN的面积最大，并求出这个最大值．4．在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是（0，4），（﹣1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′C′D′.（1）若抛物线经过点C、A、A′，求此抛物线的解析式；（2）点M是第一象限内抛物线上的一动点，为点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此到点M的坐标.5．已知，抛物线y=ax2+2ax+c与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC=3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）当a＞0时，如图所示，若点D是第三象限抛物线上方的动点，设点D的横坐标为m，三角形ADC的面积为S，求出S与m的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围；请问当m为何值时，S有最大值？最大值是多少．6．如图，抛物线y=﹣（x﹣1）2+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，已知A（﹣1，0）．（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）判断△CDB的形状并说明理由；（3）将△COB沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t＜3）得到△QPE与△CDB重叠部分（如图中阴影部分）面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．7.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l与抛物线相交于A（1，），B（4，0）两点．（1）求出抛物线的解析式；（2）在坐标轴上是否存在点D，使得△ABD是以线段AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；（3）点P是线段AB上一动点，（点P不与点A、B重合），过点P作PM∥OA，交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，若△BCN、△PMN的面积S△BCN、S△PMN满足S△BCN=2S△PMN，求出的值，并求出此时点M的坐标．8．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（-1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点．（1）求该二次函数的解析式；（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；（3）点P是该二次函数图象上位于一象限上的一动点，连接PA分别交BC，y轴与点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2，求S1-S2的最大值．9．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0）、C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P 的坐标；（3）设点M（3，n），求使MN+MD取最小值时n的值．答案详解：1．（1）（﹣4，﹣6）；（2）①-1；②8；（3）见解析．（1）先将A（﹣2，0），B（4，0），代入y=ax2+bx+3求出a，b的值即可求出抛物线的表达式，再将E点坐标代入表达式求出y的值即可；（2）①设直线BD的表达式为y=kx+b，将B（4，0），E（﹣4，﹣6）代入求出k，b的值，再将x=0代入表达式求出D点坐标，当点G与点D重合时，可得G点坐标，GF∥x轴，故可得F的纵坐标，再将y=﹣3代入抛物线的解析式求解可得点F的坐标，再根据m=FG即可得m的值；②设点F与点G的坐标，根据m=FG列出方程化简可得出m的二次函数关系式，再根据二次函数的图象可得m的取值范围；（3）分别分析当点F在x轴的左侧时与右侧时的两种情况，根据△FDP与△FDG的面积比为1：2，故PD：DG=1：2．已知FP∥HD，则FH：HG=1：2．再分别设出F,G点的坐标，再根据两点关系列出等式化简求解即可得F的坐标.解：（1）将A（﹣2，0），B（4，0），代入y=ax2+bx+3得：，解得：，∴抛物线的表达式为y=﹣x2+x+3，把E（﹣4，y）代入得：y=﹣6，∴点E的坐标为（﹣4，﹣6）．（2）①设直线BD的表达式为y=kx+b，将B（4，0），E（﹣4，﹣6）代入得：，解得：，∴直线BD的表达式为y=x﹣3．把x=0代入y=x﹣3得：y=﹣3，∴D（0，﹣3）．当点G与点D重合时，G的坐标为（0，﹣3）．∵GF∥x轴，∴F的纵坐标为﹣3．将y=﹣3代入抛物线的解析式得：﹣x2+x+3=﹣3，解得：x=+1或x=﹣+1．∵﹣4＜x＜4，∴点F的坐标为（﹣+1，﹣3）．∴m=FG=﹣1．②设点F的坐标为（x，﹣x2+x+3），则点G的坐标为（x+m，（x+m）﹣3），∴﹣x2+x+3=（x+m）﹣3，化简得，m=﹣x2+8，∵﹣＜0，∴m有最大值，当x=0时，m的最大值为8．（3）当点F在x轴的左侧时，如下图所示：∵△FDP与△FDG的面积比为1：2，∴PD：DG=1：2．∵FP∥HD，∴FH：HG=1：2．设F的坐标为（x，﹣x2+x+3），则点G的坐标为（﹣2x，﹣x﹣3），∴﹣x2+x+3=﹣x﹣3，整理得：x2﹣6x﹣16=0，解得：x=﹣2或x=8（舍去），∴点F的坐标为（﹣2，0）．当点F在x轴的右侧时，如下图所示：∵△FDP与△FDG的面积比为1：2，∴PD：DG=1：1．∵FP∥HD，∴FH：HG=1：1．设F的坐标为（x，﹣x2+x+3），则点G的坐标为（2x，x﹣3），∴﹣x2+x+3=x﹣3，整理得：x2+2x﹣16=0，解得：x=﹣1或x=﹣﹣1（舍去），∴点F的坐标为（﹣1，）．综上所述，点F的坐标为（﹣2，0）或（﹣1，）．2．（1）y=x2﹣5x+5，（2）G（3，﹣1），G（，）．（3）﹣1+（1）根据二次函数的图象与系数的关系列出方程组解出a，b，c的值即得二次函数的解析式；（2）作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足分别为M，N，可得出B点的坐标即可列出方程组求出一次函数解析式，再根据S△BCD=S△BCG列出等式即可求得G；（3）根据题意列出等式求出x的值，则B（k+4，k2+3k+1），再根据以AB为直径的圆与x轴只有一个交点，且P为切点，得出O′P⊥x轴，P（，0），根据△AMP∽△PNB，得出AM•BN=PN•PM，代入数值即可求出k的值.解：（1）由题意可得，解得a=1，b=﹣5，c=5；∴二次函数的解析式为：y=x2﹣5x+5，（2）作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足分别为M，N，则，∵MQ=，∴NQ=2，B（，）；∴，解得，∴，D（0，），同理可求，，∵S△BCD=S△BCG，∴①DG∥BC（G在BC下方），，∴=x2﹣5x+5，解得，，x2=3，∵x＞，∴x=3，∴G（3，﹣1）．②G在BC上方时，直线G2G3与DG1关于BC对称，∴=，∴=x2﹣5x+5，解得，，∵x＞，∴x=，∴G（，），综上所述点G的坐标为G（3，﹣1），G（，）．（3）由题意可知：k+m=1，∴m=1﹣k，∴y l=kx+1﹣k，∴kx+1﹣k=x2﹣5x+5，解得，x1=1，x2=k+4，∴B（k+4，k2+3k+1），设AB中点为O′，∵P点有且只有一个，∴以AB为直径的圆与x轴只有一个交点，且P为切点，∴O′P⊥x轴，∴P为MN的中点，∴P（，0），∵△AMP∽△PNB，∴，∴AM•BN=PN•PM，∴1×（k2+3k+1）=（k+4﹣）（），∵k＞0，∴k==﹣1+．3．（1）y=﹣x2+2x+3；（2）y=﹣x﹣1；（3）P（）或P（﹣4.5，0）；当t=时，S△MDN的最大值为．（1）把A（-1，0），C（0，3）代入y=ax2+2x+c即可得到结果；（2）在y=-x2+2x+3中，令y=0，则-x2+2x+3=0，得到B（3，0），由已知条件得直线BC的解析式为y=-x+3，由于AD∥BC，设直线AD的解析式为y=-x+b，即可得到结论；（3）①由BC∥AD，得到∠DAB=∠CBA，全等只要当或时，△PBC∽△ABD，解方程组得D(4,−5)，求得设P的坐标为（x，0），代入比例式解得或x=−4.5,即可得到或P(−4.5,0)；②过点B作BF⊥AD于F，过点N作NE⊥AD于E，在Rt△AFB中，∠BAF=45°，于是得到sin∠BAF求得求得由于于是得到即可得到结果．解：(1)由题意知：解得∴二次函数的表达式为(2)在中,令y=0,则解得：∴B(3,0)，由已知条件得直线BC的解析式为y=−x+3，∵AD∥BC，∴设直线AD的解析式为y=−x+b，∴0=1+b，∴b=−1，∴直线AD的解析式为y=−x−1；(3)①∵BC∥AD，∴∠DAB=∠CBA，∴只要当：或时,△PBC∽△ABD，解得D(4,−5)，∴设P的坐标为(x,0)，即或解得或x=−4.5,∴或P(−4.5,0)，②过点B作BF⊥AD于F，过点N作NE⊥AD于E，在Rt△AFB中,∴sin∠BAF∴∴∵又∵∴∴当时,的最大值为4．（1）y=﹣x2+3x+4；（2）M的坐标为（2，6）.（1）由平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′，且点A的坐标是（0，4），可求得点A′的坐标，然后利用待定系数法即可求得经过点C、A、A′的抛物线的解析式；（2）首先连接AA′，设直线AA′的解析式为：y=kx+b，利用待定系数法即可求得直线AA′的解析式，再设点M的坐标为：（x，-x2+3x+4），继而可得△AMA′的面积，继而求得答案. 解：（1）∵平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′，且点A的坐标是（0，4），∴点A′的坐标为：（4，0），∵点A、C的坐标分别是（0，4）、（﹣1，0），抛物线经过点C、A、A′，设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，∴，解得：，∴此抛物线的解析式为：y=﹣x2+3x+4；（2）连接AA′，设直线AA′的解析式为：y=kx+b，∴，解得：，∴直线AA′的解析式为：y=﹣x+4，设点M的坐标为：（x，﹣x2+3x+4），则S△AMA′=×4×[﹣x2+3x+4﹣（﹣x+4）]=﹣2x2+8x=﹣2（x﹣2）2+8，∴当x=2时，△AMA′的面积最大，最大值S△AMA′=8，∴M的坐标为：（2，6）；5．(1) y=﹣x2﹣2x+3或y=x2+2x﹣3;(2) S=﹣（m2+3m）（﹣3＜m＜0）;当m=﹣时，S取最大值，最大值为.（1）根据点B的坐标及OC=3OB可得出点C的坐标，再根据点B、C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）过点D作DE⊥x轴，交AC于点E，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A、C的坐标，进而即可得出线段AC所在直线的解析式，由点D的横坐标可找出点D、E的坐标，再利用三角形的面积公式即可得出S与m的函数关系式，利用配方法可找出S的最大值．解：（1）∵点B的坐标为（1，0），OC=3OB，∴点C的坐标为（0，3）或（0，﹣3），将点B（1，0）、C（0，3）或（0，﹣3）代入y=ax2+2ax+c，或解得：或，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3或y=x2+2x﹣3．（2）过点D作DE⊥x轴，交AC于点E，如图所示．∵a＞0，∴抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3，∴点C的坐标为（0，﹣3）．当y=0时，有x2+2x﹣3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，∴点A的坐标为（﹣3，0），利用待定系数法可求出线段AC所在直线的解析式为y=﹣x﹣3．∵点D的横坐标为m，∴点D的坐标为（m，m2+2m﹣3），点E的坐标为（m，﹣m﹣3），∴DE=﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）=﹣m2﹣3m，∴S=DE×|﹣3﹣0|=﹣（m2+3m）（﹣3＜m＜0）．∵﹣＜0，且S=﹣（m2+3m）=﹣（m+）2+，∴当m=﹣时，S取最大值，最大值为．6．（1）B的坐标为（3，0）；（2）△CDB为直角三角形，理由详见解析；（3）S=．（1）由点A的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式，在代入y=0求出x值，由此可得出点B的坐标；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，由二次函数的解析式可得出点D的坐标，利用两点间的距离公式可得出BC、CD、BD的长度，由AC2+CD2=BD2利用勾股定理的逆定理可证出△CDB为直角三角形；（3）利用待定系数法可求出直线BC、BD的解析式，进而可得出直线QE的解析式，分0＜t≤和＜t＜3两种情况，利用切割法结合三角形的面积可得出S与t的函数关系式，此题得解．解：（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线y=﹣（x﹣1）2+c上，∴0=﹣（﹣1﹣1）2+c，解得：c=4，∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4．当y=0时，有﹣（x﹣1）2+4=0，解得：x1=﹣1，x2=3，∴点B的坐标为（3，0）．（2）△CDB为直角三角形，理由如下：当x=0时，y=﹣（x﹣1）2+4=3，∴点C的坐标为（0，3）．∵抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4，∴点D的坐标为（1，4），∴AC=，CD=，BD=．∵AC2+CD2=20=BD2，∴△CDB为直角三角形．（3）设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），将B（3，0）、C（0，3）代入y=kx+b中，得：，解得：，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3．∵直线QE是直线BC向右平移t个单位得到，∴直线QE的解析式为y=﹣（x﹣t）+3=﹣x+3+t．设直线BD的解析式为y=mx+n（m≠0），将B（3，0）、D（1，4）代入y=mx+n中，得：，解得：，∴直线BD的解析式为y=﹣2x+6．连接CQ并延长，射线CQ交BD于点G，则点G的坐标为（，3）．在△COB向右平移的过程中：①当0＜t≤时，如图1所示．设PQ与BC交于点K，则QK=CQ=t，PB=PK=3﹣t，设QE与BD交于点F，则：，解得：，∴点F的坐标为（3﹣t，2t），∴S=S△PQE﹣S△PBK﹣S△FBE，=PE•PQ﹣PB•PK﹣BE•y F，=×3×3﹣（3﹣t）2﹣t•2t，=﹣t2+3t；②当＜t＜3时，如图2所示．设PQ分别与BC、BD交于点K、J，∵CQ=t，∴KQ=t，PK=PB=3﹣t．当x=t时，y=﹣2x+6=6﹣2t，∴点J的坐标为（t，6﹣2t），∴S=S△PBJ﹣S△PBK，=PB•PJ﹣PB•PK，=（3﹣t）（6﹣2t）﹣（3﹣t）2，=t2﹣3t+．综上所述，S与t的函数关系式为S=．71．（1）；（2）D（1，0）或（0，）或（0，）；（3），M （，）．（1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）分D在x轴上和y轴上，当D在x轴上时，过A作AD⊥x轴，垂足D即为所求；当D点在y轴上时，设出D点坐标为（0，d），可分别表示出AD、BD，再利用勾股定理可得到关于d的方程，可求得d的值，从而可求得满足条件的D点坐标；（3）过P作PF⊥CM于点F，利用Rt△ADO∽Rt△MFP以及三角函数，可用PF分别表示出MF和NF，从而可表示出MN，设BC=a，则可用a表示出CN，再利用S△BCN=2S△PMN，可用PF表示出a的值，从而可用PF表示出CN，可求得的值；借助a可表示出M点的坐标，代入抛物线解析式可求得a的值，从而可求出M点的坐标．解：（1）∵A（1，），B（4，0）在抛物线的图象上，∴，解得，∴抛物线解析式为；（2）存在三个点满足题意，理由如下：①当点D在x轴上时，如图1，过点A作AD⊥x轴于点D，∵A（1，），∴D坐标为（1，0）；②当点D在y轴上时，设D（0，d），则，，且，∵△ABD是以AB为斜边的直角三角形，∴，即，解得d=，∴D点坐标为（0，）或（0，）；综上可知存在满足条件的D点，其坐标为（1，0）或（0，）或（0，）；（3）如图2，过P作PF⊥CM于点F，∵PM∥OA，∴Rt△ADO∽Rt△MFP，∴=，∴MF=PF，在Rt△ABD中，BD=3，AD=，∴tan∠ABD=，∴∠ABD=60°，设BC=a，则CN=a，在Rt△PFN中，∠PNF=∠BNC=30°，∴tan∠PNF=，∴FN=PF，∴MN=MF+FN=PF，∵S△BCN=2S△PMN，∴，∴a=PF，∴NC=a=PF，∴==，∴MN=NC==a，∴MC=MN+NC=（）a，∴M点坐标为（4﹣a，（）a），又M点在抛物线上，代入可得=（）a，解得a=或a=0（舍去），OC=4﹣a=，MC=，∴点M的坐标为（，）．8．（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）当点D在x轴上方时，则可知当CD∥AB时，满足条件，由对称性可求得D点坐标；当点D在x轴下方时，可证得BD∥AC，利用AC的解析式可求得直线BD的解析式，再联立直线BD和抛物线的解析式可求得D点坐标；（3）过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，可设出P点坐标，从而可表示出PH的长，可表示出△PEB的面积，进一步可表示出直线AP的解析式，可求得F点的坐标，联立直线BC 和PA的解析式，可表示出E点横坐标，从而可表示出△CEF的面积，再利用二次函数的性质可求得S1-S2的最大值．解：（1）由题意可得，解得，∴抛物线解析式为y=-；（2）当点D在x轴上方时，过C作CD∥AB交抛物线于点D，如图1，∵A、B关于对称轴对称，C、D关于对称轴对称，∴四边形ABDC为等腰梯形，∴∠CAO=∠DBA，即点D满足条件，∴D（3，2）；当点D在x轴下方时，∵∠DBA=∠CAO，∴BD∥AC，∵C（0，2），∴可设直线AC解析式为y=kx+2，把A（-1，0）代入可求得k=2，∴直线AC解析式为y=2x+2，∴可设直线BD解析式为y=2x+m，把B（4，0）代入可求得m=-8，∴直线BD解析式为y=2x-8，联立直线BD和抛物线解析式可得，解得或，∴D（-5，-18）；综上可知满足条件的点D的坐标为（3，2）或（-5，-18）；（3）过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，如图2，设P（t，-t+2），由B、C两点的坐标可求得直线BC的解析式为y=- ，∴H（t，-），∴PH=y P-y H=-=-，设直线AP的解析式为y=px+q，∴，解得，∴直线AP的解析式为y=（-t+2）（x+1），令x=0可得y=2-t，∴F（0，2-t），∴CF=2-（2-t）=t，联立直线AP和直线BC解析式可得，解得x=，即E点的横坐标为，∴S1=PH（x B-x E）=（-t2+2t）（5-），S2=••，∴S1-S2=（-t2+2t）（5-）-••，=-t2+5t=-（t-）2+，∴当t=时，有S1-S2有最大值，最大值为．9．（1）y═﹣x2+2x+3，y=x+1；（2）P（，）；（3）．（1）利用待定系数法，以及点A（﹣1，0）、C（2，3）即可求得二次函数解析式、一次函数解析式；（2）过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H，设P（m，﹣m2+2m+3），，则点Q（m，m+1），则可求得线段PQ=﹣（m﹣）2+，最后由图示以及三角形的面积公式表示出△APC 的面积，由二次函数最值的求法可知△APC的面积的最大值；（3）根据两点之间线段最短过点N作与直线x=3的对称点N′，连接DN′，，当M（3，n）在直线DN′上时，MN+MD的值最小.解：（1）∵将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：b=2，c=3．∴抛物线的解析式为y═﹣x2+2x+3．设直线AC的解析式为y=kx+b．∵将点A和点C的坐标代入得，解得k=1，b=1．∴直线AC的解析式为y=x+1．（2）如图，设点P（m，﹣m2+2m+3），∴Q（m，m+1），∴PQ=（﹣m2+2m+3）﹣（m+1）=﹣m2+m+2=﹣（m﹣）2+，∴S△APC=PQ×|x C﹣x A|= [﹣（m﹣）2+]×3=﹣（m﹣）2+，∴当m=时，S△APC最大=，y=﹣m2+2m+3=，∴P（，）；（3）如图1所示，过点N作与直线x=3的对称点N′，连接DN′，交直线x=3与点M．∵当x=0时y═3，∴N（0，3）．∵点N与点N′关于x=3对称，∴N′（6，3）．∵y═﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴D（1，4）．设DN的解析式为y=kx+b．将点N′与点D的坐标代入得：，解得：k=﹣，b=．∴直线DN′的解析式为y=﹣x+．当x=3时，n=+=．。
九年级面积问题知识点
九年级面积问题知识点在九年级学习数学时，面积问题是一个非常重要的知识点。
面积是描述平面图形内部的覆盖面积大小的概念，通过学习面积问题，我们可以更好地理解图形的属性和关系，进一步提升解决实际问题的能力。
本文将介绍九年级面积问题的几个重要知识点，并提供例题进行讲解和练习。
一、长方形的面积计算长方形是最基本的平面图形之一，我们先来学习如何计算长方形的面积。
长方形的面积等于它的长度乘以它的宽度。
假设一个长方形的长度为L，宽度为W，则它的面积S可以通过以下公式计算得出：S = L × W例如，如果一个长方形的长度是5厘米，宽度是3厘米，那么它的面积为：S = 5 × 3 = 15平方厘米通过这个例子，我们可以看出计算长方形面积的方法是相对简单和直接的。
二、正方形的面积计算正方形是一种特殊的长方形，它的四条边相等。
正方形的面积计算同样也非常简单，因为它的长度和宽度相等。
我们可以使用以下公式计算正方形的面积：S = 边长 ×边长例如，如果一个正方形的边长是6厘米，那么它的面积为：S = 6 × 6 = 36平方厘米正方形的面积计算方法和长方形类似，只不过边长相等。
三、三角形的面积计算接下来我们来学习如何计算三角形的面积。
三角形是由三条边围成的平面图形，它的面积计算方法稍微复杂一些。
我们可以使用以下公式计算三角形的面积：S = 1/2 ×底边长 ×高其中，三角形的底边长是指与高垂直的一条边的长度，高是指从底边向垂直方向作垂线的长度。
例如，如果一个三角形的底边长是5厘米，高是4厘米，那么它的面积为：S = 1/2 × 5 × 4 = 10平方厘米通过这个例子我们可以看到，计算三角形的面积需要明确底边长和高的长度。
四、圆的面积计算圆是一个非常特殊的图形，它的面积计算方式与之前所学的长方形、正方形和三角形不同。
圆的面积计算需要使用圆的半径，而不是直接使用线段的长度。
人教版初三数学上册 二次函数应用题 面积问题 讲义
面积问题解题技巧：1、用含有x的式子表示矩形的长和宽2、根据矩形面积公式列出方程3、根据“边长大于0”和题目限制条件得出x的取值范围例1、在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB、BC两边），设AB=x（m）（1）求这个花园面积S的解析式，并指出x的取值范围（2）若花园的面积为192m2，求x的值（3）求花园面积S的最大值（4）若在P处有一棵树与墙CD、AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值1、学校有一块长为30米，宽为20米的长方形空地，准备在这块空地上修筑两条互相垂直的通道，将这块空地分成四个小长方形，在这些小长方形空地上种植花草。
设道路的宽都是x米（1）请你用含x的代数式表示花草的种植面积y（2）当x=1.5米时，y是多少？2、如图，在一幅长50cm，宽30cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为ycm2，金色纸边的宽为xcm（1）求y与x的关系式（2）当5≤x≤10，求y的最大值3、如图，某学校要修建一个矩形ABCD的花圃，花圃的一边AD靠教学楼，其它三边用总长为24米的篱笆围成，设AB边的长为x（单位：米），矩形花圃ABCD的面积为S（单位：平方米）（1）求S与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围（2）当x取多少时，矩形花圃ABCD的面积最大，最大面积为多少？4、如图，用一段长为24米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园ABCD，中间开一个宽6米的入口，墙的最大长度为12米，设BC的长度为x米（1）求菜园的面积y（平方米）与x（米）的关系式（2）当x取多少时，取得最大面积？这个最大面积是多少？5、某养鸡场要用100米的篱笆搭4间鸡舍，如图所示，其中一面靠墙（墙足够长）。
若设另一面篱笆的长为x米，则整个鸡舍的面积S（平方米）与x（米）之间的函数关系式是__________，鸡舍的最大面积为________平方米6、用一根长度为100cm的细绳围成一个矩形（1）求这个矩形面积S的解析式（2）当矩形的面积为525cm2时，求矩形的长和宽（3）能围成面积为639cm2的矩形吗？若能，求出矩形的长和宽，若不能，请说明理由（4）能用它围成的矩形面积的最大值是多少？7、在综合实践课上，小明要用如图所示的矩形硬纸板做一个装垃圾的无盖纸盒。
中考复习题面积问题(解析版)
专题04 面积问题求解平面直角坐标系中由动点生成的图形的面积问题，是初中数学一种重要的题型，它主要结合函数图形的相关知识点，在平面直角坐标中的框架中构建图形求面积，求图形面积常常转化为三角形、特殊的四边形，求面积常用的方法有以下几种：方法1：直接法，求出三角形底边和底边上的高，进而求出其面积；方法2：补形法，将三角形面积转化为若干个特殊的四边形和三角形的和或差；方法3：分割法，选择一种恰当的直线，将三角形分割成两个便于计算的面积的三角形。
一、填空题1．在平面直角坐标系中，，，若的面积为，且点在坐标轴上，则符合条件的点的坐标为__________．【答案】或或或【解析】解：①如图所示，若点C在x轴上，且在点A的左侧时，∵∴OB=3∴S△ABC=AC·OB=6 解得：AC=4∵，∴此时点C的坐标为：；②如图所示，若点C在x轴上，且在点A的右侧时，同理可得：AC=4 ∴此时点C的坐标为：；图①图②③如图所示，若点C在y轴上，且在点B的下方时，∵∴AO=2 ∴S△ABC=BC·AO=6 解得：BC=6∵∴此时点C的坐标为：；④如图所示，若点C在y轴上，且在点B的上方时，同理可得：BC=6 ∴此时点C的坐标为：. 故答案为：或或或.图③图④【点拨】此题考查的是平面直角坐标系中已知面积求点的坐标，根据C点的位置分类讨论是解决此题的关键.2．在平面直角坐标系中，的位置如图所示，则的面积是________.【答案】9.【解析】如图，.【点拨】利用网格特点，将所求的的面积转化为规则图形面积的差即可.本题考查了坐标系中三角形面积的计算，属于常考题型，掌握求解的方法是关键.二、解答题3．如图，在平面直角坐标系中，、．求的面积．【答案】【解析】如图，过点A、B分别作x轴的垂线交x轴于点C、D．根据面积公式求得S△BOD、S梯形ACDB、S△AOC的值，然后由图形可以求得S△AOB= S△AOC +S梯形ACDB- S△BOD．解：过点A、B分别作x轴的垂线交x轴于点C、D．∵A（3，4），B（5，1），∴OC=3，AC=4，OD=5，BD=1.∴S△AOC=×OC•AC=×3×4=6，S△BOD=OD•BD=×5×1=，S梯形ACDB=( BD+AC)•CD=×(1+4)×2=5，∴S△AOB= S△AOC +S梯形ACDB- S△BOD =6+5-=.【点拨】本题考查了三角形的面积、坐标与图形性质．通常采用“割补法”解答此类题目．4．在平面直角坐标系中描出点A（﹣2，0）、B（3，1）、C（2，3），将各点用线段依次连接起来，并解答如下问题：（1）在平面直角坐标系中画出△ A′B′C′，使它与△ ABC 关于x 轴对称，并直接写出△ A′B′C′三个顶点的坐标；（2）求△ABC的面积．【答案】(1)作图见解析；A'（-2，0）、B'（3，-1）C'（2，-3）；（2）5.5【解析】（1）在坐标系内画出△ABC，再作出各点关于x轴的对称点，顺次连接各点即可；（2）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可．【详解】（1）如图所示，由图可知A'（-2，0）、B'（3，-1）C'（2，-3）；2）由图可知，S△ABC=5×3-×5×1-×3×4-×2×1，=15--6-1=5.5．【点拨】本题考查的是作图-轴对称变换，熟知关于x轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．5．如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1）B（2，0）C（4，3），（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，并求△ABC的面积（2）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标。
数学中考专题 解题模型 《与面积有关的计算》专题讲义(解析版)
数学中考专题 解题模型 《与面积有关的计算》专题讲义类型1 利用面积公式直接求面积计算规则图形的面积时，常常直接利用面积公式进行计算．常见的面积公式有：①三角形的面积＝12×底×高＝12×周长×内切圆的半径；②等边三角形的面积＝34×边长的平方；③平行四边形的面积＝底×高；④矩形的面积＝长×宽；⑤菱形的面积等于对角线之积的一半；⑥正方形的面积等于边长的平方；⑦圆的面积＝πR 2；⑧扇形的面积＝nπR 2360＝12lR ；⑨相似三角形面积的比等于相似比的平方.1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，将△ABC 沿CB 向右平移得到△DEF.若平移距离为2，则四边形ABED 的面积等于(B)A ．2B ．6C ．7D ．102．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 为边CD 的中点．若菱形ABCD 的周长为16，∠BAD ＝60°，则△OCE 的面积是(A)A. 3 B ．2 C ．2 3 D ．43．(2019·乐山)把边长分别为1和2的两个正方形按如图的方式放置．则图中阴影部分的面积为(A)A.16B.13C.15D.14类型2 利用和差法间接求面积所求图形的面积不能直接求出时，可通过转化为规则图形的面积的和或差进行求面积．4．(2019·枣庄)如图，在边长为4的正方形ABCD 中，以点B 为圆心，AB 为半径画弧，交对角线BD 于点E ，则图中阴影部分的面积是(结果保留π)(C)A ．8－πB ．16－2πC ．8－2πD ．8－12π5．如图为两个正方形ABCD ，BPQR 重叠的情形，其中R 点在AD 上，CD 与QR 相交于S 点．若个两正方形ABCD ，BPQR 的面积分别为64，100，则四边形RBCS 的面积为(C)A ．8 B.172C.772D.7786．(2019·泰安)如图，∠AOB ＝90°，∠B ＝30°，以点O 为圆心，OA 长为半径作弧交AB 于点A ，点C ，交OB于点D.若OA ＝3，则阴影部分的面积为34π．7．如图，D ，E 分别是△ABC 边AB ，BC 上的点，AD ＝2BD ，BE ＝CE ，设△ADF 的面积为S 1，△CEF 的面积为S 2.若S △ABC ＝6，则S 1－S 2的值为1．提示：利用三角形一条中线将三角形分成面积相等的两部分得出三角形之间面积的倍数关系．8．(2019·天水)如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D 经过原点O ，与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，B 点坐标为(0，23)，OC 与⊙D 相交于点C ，∠OCA ＝30°，则图中阴影部分面积为(结果保留根号和π)9．(2018·凉山州)如图，将△ABC 绕点B 逆时针旋转得到△A′BC′，使A ，B ，C′在同一直线上．若∠BCA ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝4 cm ，则图中阴影部分面积为4πcm 2.10．(2019·河南)如图，在扇形AOB 中，∠AOB ＝120°，半径OC 交弦AB 于点D ，且OC ⊥OA.若OA ＝23，类型3 利用整体思想求阴影部分面积11．(2018·巴中)如图所示，以六边形的每个顶点为圆心，1为半径画圆，则图中阴影部分的面积为2π．12．(2019·宿迁)如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和(阴影部分面积)是(A)A ．63－πB ．63－2πC ．63＋πD ．63＋2π类型4 利用等积变换法间接求面积当直接求面积较麻烦或根本求不出时，可通过图形的平移、旋转、割补等，为公式法或和差法创造条件，从而求面积．方法1 通过轴对称变换求面积13．(2018·宜昌)如图，正方形ABCD 的边长为1，点E ，F 分别是对角线AC 上的两点，EG ⊥AB ，EI ⊥AD ，FH ⊥AB ，FJ ⊥AD ，垂足分别为G ，I ，H ，J ，则图中阴影部分的面积等于(B)A ．1 B.12 C.13 D.14方法2 通过平移变换求面积14．如图，抛物线的顶点为P(－2，2)，与y 轴交于点A(0，3)．若平移该抛物线使其顶点P 沿直线移动到点P′(2，－2)，点A 的对应点为A′，则抛物线上PA 段扫过的区域(阴影部分)的面积为12．方法3 通过旋转变换求面积15．如图，直线a ，b 垂直相交于点O ，曲线C 关于点O 成中心对称，点A 的对称点是点A′，AB ⊥a 于点B ，A′D ⊥b 于点D.若OB ＝3，OD ＝2，则阴影部分的面积之和为6．方法4 利用全等三角形进行转换求面积16．(2019·宜宾)如图，∠EOF 的顶点O 是边长为2的等边△ABC 的重心，∠EOF 的两边与△ABC 的边交于E ，F ，∠EOF ＝120°，则∠EOF 与△ABC 的边所围成的阴影部分的面积是(C)方法5 利用“等底等高等积”进行转换17．运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB 是⊙O 的直径，CD ，EF 是⊙O 的弦，且AB ∥CD ∥EF ，AB ＝10，CD ＝6，EF ＝8.则图中阴影部分的面积是(A)A.252π B ．10π C ．24＋4π D ．24＋5π。
九年级数学一元二次方程的应用之面积问题(解答版)
A B CD16米草坪 一元二次方程应用一、同步知识梳理列方程解应用题的步骤及注意的问题： （1）设未知数和做答时，单位要写清楚。
（2）列方程时，方程两边的量应该相同，并且各项的单位应该一致。
（3）在找相等关系时，对题中所给出的条件应该充分利用，不要漏掉。
（4）对于求得的方程的解，还要看它是否有实际意义。
因此在学习时要特别注意以上几个方面的问题，在今后的学习中逐步体会到用方程解决问题的优越性。
二、同步题型分析题型一：面积问题判断清楚要设什么是关键例1、如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x 米，则可列方程为（ ）A ．100×80－100x －80x ＝7644B ．（100－x ）（80－x ）＋x 2＝7644C ．（100－x ）（80－x ）＝7644D ．100x ＋80x ＝356答案：C例2、兰州某广场准备修建一个面积为200平方米的矩形草坪，它的长比宽多10米，设草坪的宽为x 米，则可列方程为（ ）A ．x （x －10）＝200B ．2x ＋2（x －10）＝200C ．2x ＋2（x ＋10）＝200D ．x （x ＋10）＝200解析：矩形草坪的长比宽多10米，设草坪的宽为x 米，则长为（x ＋10）米，由矩形草坪的面积为200平方米，可列方程为x （x ＋10）＝200。
故选D 。
点评：本题考查列一元二次方程；由实际问题转化成几何图形，再根据长方形的面积公式得到一元二次方程是解决本题的基本思路，难度较小。
例3、如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD ．求该矩形草坪BC 边的长。
解：设BC 边的长为x 米，根据题意得321202xx-=， 解得：121220x x ==，， ∵20＞16， ∴220x =不合题意，舍去答：该矩形草坪BC 边的长为12米。
2020初中数学竞赛 初三集训 面积问题与面积方法专题(含答案)
与 BE 之交点，延长 PQ 交 BC 于 R ，求 BR . RC
解析 如图，由梅氏定理 AB DQ CE = 1 ，即 DQ = 10 ，又 AC EQ BD = 1 ，即 EQ = 12 .
DB CQ EA
CQ 27 CE QB DA
QB 25
5/7
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
QAP = QAB + BAP = PAC + BAP = BAC = 60 ，
结合 AQ : AP = 2 :1知， APQ = 90 ，于是 PQ = 3AP = 3 .
所以 BP2 = 25 = BQ2 + PQ2 ，从而 BQP = 90 .于是
AB2 = PQ2 + ( AP + BQ)2 = 28 + 8 3 ， 故
（ 90 ），则由四边形的“余弦定理”（见题 13.1.7）：
A
a
d
θ
B O
D
b
c
C
cos = a2 + c2 − b2 − d 2 ， 2 AC BD
于是
S四边形ABCD
=
1 2
AC BD sin
=
1 (a2 4
+
c2
− b2
−
d 2 ) tan
.
一般地，有
S四边形
=
1 4
|
(a2
−
b2
A
E α
θ
D
θ
B
C
由三角形内角和，
−
+
2(2
+)
= 180 ，得
+
=
60
九年级面积问题知识点归纳总结
九年级面积问题知识点归纳总结面积是数学中一个重要的概念，它在日常生活中的应用广泛。
九年级学生需要掌握与面积有关的几何图形的计算方法，理解面积的性质和应用。
本文将对九年级面积问题的知识点进行归纳总结。
一、矩形的面积计算方法矩形是最基础的几何图形之一，其面积可以通过长度和宽度相乘得到。
设矩形的长度为l，宽度为w，则矩形的面积S为S = l * w。
二、平行四边形的面积计算方法平行四边形是另一个常见的几何图形，它的面积可以通过底边和高的乘积得到。
设平行四边形的底边为b，高为h，则平行四边形的面积S为S = b * h。
三、三角形的面积计算方法三角形也是常见的几何图形，它的面积计算稍微复杂一些。
九年级学生需要掌握两种计算三角形面积的方法：通过底边和高的乘积，以及通过三边的长度计算。
1. 通过底边和高的乘积：设三角形的底边为b，高为h，则三角形的面积S为S = 0.5 * b * h。
2. 通过三边的长度计算：设三角形的三边分别为a、b、c，则可以使用海伦公式计算三角形的面积。
海伦公式为S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]，其中s = (a + b + c) / 2。
利用海伦公式，可以根据三边的长度计算出三角形的面积。
四、圆的面积计算方法圆是一个特殊的几何图形，九年级学生需要掌握圆的面积计算方法。
圆的面积可以通过半径的平方乘以圆周率π来计算。
设圆的半径为r，则圆的面积S为S = π * r^2。
五、复合图形的面积计算方法复合图形是由两个或多个基本图形组成的图形。
计算复合图形的面积需要将其分解为基本图形的面积之和。
九年级学生需要学会计算常见的复合图形，如矩形与三角形的组合、矩形与圆的组合等。
六、面积性质和应用九年级学生还需要了解面积的性质和应用。
以下是一些常见的性质和应用：1. 对于相似的图形，其面积与边长的比例为平方关系。
即如果两个图形的边长之比为a：b，那么它们的面积之比为a^2：b^2。
2. 面积可以应用于解决实际问题，如计算土地面积、涂料要求以及物体的表面积等。
中考数学专题探究-----面积问题(含详细解答)
中考数学专题探究-----面积问题面积问题在中考中占有很重要的地位，一般情况下，计算一些基本图形的面积，可以直接运用图形的面积公式，对于一些不规则的图形面积的计算，可以对图形进行转化，这类问题虽然解题方法比较灵活多样，但难度一般不太大。
但是，在中考压轴题中，有关面积的问题常常以动态的方式出现，经常与函数知识联系起来，有时还需要分类讨论。
因此，对考生要求较高，在解题时，要注意分清其中的变量和不变量，并把运动的过程转化成静止的状态，做到动静结合，以静求动。
考点一：面积的函数关系式问题典型例题：1、（2009年湖南衡阳）如图12，直线4+-=x y 与两坐标轴分别相交于A 、B 点，点M 是线段AB 上任意一点（A 、B 两点除外），过M 分别作MC ⊥OA 于点C ，MD ⊥OB 于D ． （1）当点M 在AB 上运动时，你认为四边形OCMD 的周长是否发生变化？并说明理由；（2）当点M 运动到什么位置时，四边形OCMD 的面积有最大值？最大值是多少？（3）当四边形OCMD 为正方形时，将四边形OCMD 沿着x 轴的正方向移动，设平移的距离为)40<<a a （，正方形OCMD 与△AOB 重叠部分的面积为S ．试求S 与a 的函数关系式并画出该函数的图象．解：（1）设点M 的横坐标为x ，则点M 的纵坐标为－x+4（0<x<4，x>0，－x+4>0）； 则：MC ＝∣－x+4∣＝－x+4，MD ＝∣x ∣＝x ；∴C 四边形OCMD ＝2（MC+MD ）＝2（－x+4+x ）＝8∴当点M 在AB 上运动时，四边形OCMD 的周长不发生变化，总是等于8； （2）根据题意得：S 四边形OCMD ＝MC ·MD ＝（－x+4）· x ＝－x 2+4x ＝－(x-2)2+4∴四边形OCMD 的面积是关于点M 的横坐标x （0<x<4）的二次函数，并且当x ＝2，即当点M 运动到线段AB 的中点时，四边形OCMD 的面积最大且最大面积为4； （3）如图10（2），当20≤<a 时，42121422+-=-=a aS ； 如图10（3），当42<≤a 时，22)4(21)4(21-=-=a a S ；∴S 与a 的函数的图象如下图所示：图12（1）图12（2）图12（3）2、（2009宁夏）已知：等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在ABC △的边A B 上沿A B 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M N 、分别作A B 边的垂线，与ABC △的其它边交于P Q 、两点，线段MN 运动的时间为t 秒．（1）线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形M N Q P 恰为矩形？并求出该矩形的面积； （2）线段MN 在运动的过程中，四边形M N Q P 的面积为S ，运动的时间为t ．求四边形M N Q P的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围． 解：（1）过点C 作CD AB ⊥，垂足为D ． 则2A D =，当MN 运动到被CD 垂直平分时，四边形M N Q P 是矩形， 即32A M =时，四边形M N Q P 是矩形，32t ∴=秒时，四边形M N Q P 是矩形．tan 60PM AM = °=，M N Q P S ∴=四边形（2）1°当01t <<时，1()2M N Q P S P M Q N M N =+四边形·11)2t ⎤=++⎦2=+))4<≤aC PQBA M NC PQBA MN2°当12t ≤≤时1()2M N Q P S P M Q N M N =+四边形·1)12t ⎤=+-⎦·= 3°当23t <<时，1()2M N Q P S P M Q N M N =+四边形·1))2t t ⎤=-+-⎦=+3、（2010年辽宁丹东）如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH ，点H 的坐标为（－8，0），点N 的坐标为（－6，－4）．（1）画出直角梯形OMNH 绕点O 旋转180°的图形OABC ，并写出顶点A ，B ，C 的坐标（点M 的对应点为A ， 点N 的对应点为B ， 点H 的对应点为C ）； （2）求出过A ，B ，C 三点的抛物线的表达式；（3）截取CE =OF =AG =m ，且E ，F ，G 分别在线段CO ，OA ，AB 上，求四边形．．．BEFG 的面积S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；面积S 是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；（4）在（3）的情况下，四边形BEFG 是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接．．写出此时m 的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．解：（1） 利用中心对称性质，画出梯形OABC ． ∵A ，B ，C 三点与M ，N ，H 分别关于点O 中心对称， ∴A （0，4），B （6，4），C （8，0）CPQA M N CPQA MN（2）设过A ，B ，C 三点的抛物线关系式为2y ax bx c =++， ∵抛物线过点A （0，4），∴4c =．则抛物线关系式为24y ax bx =++． 将B （6，4）， C （8，0）两点坐标代入关系式，得3664464840a b a b ++=⎧⎨++=⎩，． 解得1432a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，．所求抛物线关系式为：213442y x x =-++．（3）∵OA =4，OC =8，∴AF =4－m ，OE =8－m ．∴AG F EO F BEC EFG B ABC O S S S S S =---△△△四边形梯形 21=OA （AB +OC ）12-AF ·AG 12-OE ·OF 12-CE ·OAm m m m m 421)8(21)4(2186421⨯-----+⨯⨯=）（2882+-=m m （ 0＜m ＜4）∵2(4)12S m =-+． ∴当4m =时，S 的取最小值． 又∵0＜m ＜4，∴不存在m 值，使S 的取得最小值． （4）当2m =-+GB =GF ，当2m =时，BE =BG ．4、如图所示，菱形ABCD 的边长为6厘米，60B ∠=°．从初始时刻开始，点P 、Q 同时从A 点出发，点P 以1厘米/秒的速度沿A C B →→的方向运动，点Q 以2厘米/秒的速度沿A B C D →→→的方向运动，当点Q 运动到D 点时，P 、Q 两点同时停止运动，设P 、QO MN HA CE FDB↑→ －8(－6，－4)x y运动的时间为x 秒时，APQ △与ABC △重叠部分．．．．的面积为y 平方厘米（这里规定：点和线段是面积为O 的三角形），解答下列问题：（1）点P 、Q 从出发到相遇所用时间是 秒；（2）点P 、Q 从开始运动到停止的过程中，当APQ △是等边三角形时x 的值是 秒； （3）求y 与x 之间的函数关系式． 解：（1）6． （2）8．（3）①当03x <≤时，2111sin 6022222AP Q y S AP AQ x x x ==︒==13△1·····． ②当3x <≤6时，1222222121sin 6021(12-2)22A P Q y S A P P Q A P C Q x x ==︒=△= ····=2.2x -+③当69x ≤≤时，设33P Q 与AC 交于点O ． (解法一)过3Q 作3,Q E CB ∥则3CQ E △为等边三角形．33333212..Q E C E C Q x Q E C B C O P EO Q ∴===-∴ ∥△∽△（第28题）Q 1B C D Q 2 P 3 Q 3 EP 2 P 1 O3361,212211(212),33C P O C x O EEQ x O C C E x -∴===-∴==-3333311sin 60sin 6022AQ P AC P C O P y S S C P AC O C C P ===-△△△-S ··°··°111(6)(212)(6)22232x x x =-⨯-⨯--⨯·6．262x x =-+-．（解法二）如右图，过点O 作3OF CP ⊥于点F ，3O G C Q ⊥，于点,G 过点3P 作3P H DC ⊥交DC 延长线于点H ．,.A CB ACD O F O G ∠=∠∴=又33,6,2122(6),C P x C Q x x =-=-=-3312C Q P C O Q S S ∴=△△3333321,3113211(212)(6)322(6).6C O P C P Q S S C Q P H x x x ∴==⨯=⨯--=-△△···又331sin 602AC P S C P AC =△··°1(6)6226).2x x =-⨯⨯=-P 3OABC DQ 3G H F3A O P y S ∴=△3326)6)26AC P O C P S S x x =-=---△△262x x =-+-考点2、面积最值问题典型例题：1、（2008年广东广州）如图11，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD=DC=2cm ，BC=4cm ，在等腰△PQR 中，∠QPR=120°，底边QR=6cm ，点B 、C 、Q 、R 在同一直线l 上，且C 、Q 两点重合，如果等腰△PQR 以1cm/秒的速度沿直线l 箭头所示方向匀速运动，t 秒时梯形ABCD 与等腰△PQR 重合部分的面积记为S 平方厘米 （1）当t=4时，求S 的值（2）当4t ≤≤10，求S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值解．（1）t ＝4时,Q 与B 重合，P 与D 重合， 重合部分是BDC ∆＝3232221=⋅⋅(2)当时，如图104≤≤tQB=DP=t-4,CR=6-t,AP=6-t 由PQR ∆∽BQM ∆∽CRN ∆图11得2)324(-=∆∆t S S PQRBQM2)326(t S S PQRCRN -=∆∆22)4(43)324(-=-=∆∆t S t S PQR BQM ,22)6(43)326(t S t S PQR CRN -=-=∆∆S ＝3255)-(t 23t)-(6434t 4333222+-=---）（当t 取5时，最大值为325当t 取6时，有最大值32 综上所述，最大值为325二、名题精练：1、（2009湖南永州）如图，在平面直角坐标系中，点A C 、的坐标分别为(10)(0--，、，，点B在x 轴上．已知某二次函数的图象经过A 、B 、C 三点，且它的对称轴为直线1x =，点P 为直线BC 下方的二次函数图象上的一个动点（点P 与B 、C 不重合），过点P 作y 轴的平行线交BC 于点F ．（1）求该二次函数的解析式；（2）若设点P 的横坐标为m ，用含m 的代数式表示线段P F（3）求PBC △面积的最大值，并求此时点P 的坐标． 解：（1）设二次函数的解析式为2(0)y ax bx c a a b c =++≠，、、为常数，由抛物线的对称性知B 点坐标为(30)，，依题意得：093a b c a b c c ⎧-+=⎪++=⎨⎪=⎩（第25题）解得：33a b c ⎧=⎪⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪⎪=⎪⎩∴所求二次函数的解析式为233y x x =--（2）P 点的横坐标为m ，P ∴点的纵坐标为233m m --设直线BC 的解析式为(0)y kx b k k b =+≠，、是常数，依题意，得30k b b +=⎧⎪⎨=⎪⎩3k b ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩ 故直线BC的解析式为3y x =-∴点F的坐标为3m ⎛-⎝⎭2(03)3PF m ∴=-+<<（3）PBC △的面积12C P F B P F S S S P F B O =+=△△·=2213323228m ⎛⎫⎫⨯-+⨯=--+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴当32m =时，PBC △的最大面积为8把32m =代入233y m m =--4y =-∴点P的坐标为324⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，（第25题）2、（2007年淮安）在平面直角坐标系中，放置一个如图所示的直角三角形纸片AOB ，已知OA=2 ∠AOB=30°,D 、E 两点同时从原点O 出发，D 点以每秒3个单位长度的速度沿x 轴的正方向运动，E 点以每秒1个单位长度的速度沿y 轴的正方向运动，设D 、E 两点运动的时间为t 秒。
人教版九年级数学上册 一元二次方程应用题 面积问题 讲义
面积问题矩形面积问题解法：1、用含有x式子表示矩形的长和宽2、根据“长×宽=矩形面积”列出方程3、遇到不规则的图形时，可以通过割补或平移形成矩形4、解方程并作答例1、小明要在一幅长80 cm、宽40 cm的油画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求油画的面积是整个挂图面积的60%，那么金色纸边的宽应该是多少？例2、如图，邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m。
若矩形的面积为4m2，求AB的长度是多少米？例3、如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路，两条道路各与矩形的一条边平行，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米.求道路宽为多少米？1、如图，在宽为20m ，长为32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽． 如果设小路宽为x ，根据题意，所列方程正确的是（ ）A ．(20-x)(32-x)= 540B ．(20-x)(32-x)=100C ．(20+x)(32-x)=540D ．(20+x)(32-x)= 5402、用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x 米，则根据题意可列出关于x 的方程为（ ）A ．x （5+x ）=6B ．x （5-x ）=6C ．x （10-x ）=6D ．x （10-2x ）=63、如图，有一块长30m ，宽20m 的矩形田地，现要修两条等宽的道路，要使剩下的耕地面积为504m 2，则两2540m条道路在矩形的长和宽上截得的线段宽x为______m．4、一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，它的长为8 m，宽为5 m. 如果地毯中央长方形图案的面积为182m，那么花边有多宽？5、有一条长为16 m的绳子，你能否用它围出一个面积为15m2的矩形？若能，则矩形的长、宽各是多少？6、在一块长35m、宽26m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，且两条道路各与矩形的一条边平行，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850m2，道路的宽应为多少？。
人教版数学九年级上册21.3.3 面积问题课件(共25张PPT)
20-x x
-x
32
解得 x1=2，x2=50
当x=50时，32-x=-18（不合题意，舍去）.
x
∴取x=2. 答：道路的宽为2米.
20 20-x 32-x
x
32
例2 如下图，利用一面墙(墙的长度不限)，用20 m长的篱笆，怎样围 成一个面积为50m2的矩形场地？
解：设与墙垂直的篱笆长为xm，则与墙平行的 篱笆长为(20-2x)m. 由题意得：x(20-2x)=50， 整理得： x2-10x+25=0， 解得： x1=x2=5，所以20-2x=10. 答： 用20m长的篱笆围成一个长为10m，宽为5m的矩形(其中一边长 10m，另外两边长5m).
道路的宽为多少？
利用“图形经过移动，它的面积 大小不会改变”的性质，把纵、 20 横两条路移动一下，使图形变 成规则的，则列方程就容易些
x
20-x x
32-x 32
x
解：设道路的宽为 x 米，则实际宽为
(32-x)cm，实际长为(20-x)cm.
20
(32-x)(20-x)=540
整理，得 x2-2x+100=0
中央图形长×中央图形宽= 3 27 21
4
21cm
上下边衬 ：左右边衬=9 ：7
分析：封面的长宽之比是 27:21＝9:7，中央的矩形的长宽之比也应是 9:7. 设中央的矩形的长和宽分别是 9a cm和 7a cm，由此得上、下边衬 与左、右边衬的宽度之比是
27－9a ∶21－7a ＝9:7
2
新知学习
封面长 ：封面宽=9 ：7
探究
中央图形长 ：中央图形宽=9a ：7a
如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽
中考数学《面积的计算》专题复习考点讲解(含答案)
中考数学《面积的计算》专题复习考点讲解(含答案)2面积的计算考点图解技法透析面积法是一种重要方法，计算图形面积是平面几何中最常见的基本问题之一，与面积相关的知识有：(1)常见图形的面积计算公式：正方形面积＝边长×边长；矩形的面积＝长×宽；平行四边形面积＝底×高；三角形面积＝底×高÷2；梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2；圆的面积＝×半径的平方；扇形面积＝2360nr （n 为圆心角，r 为半径）(2)计算面积常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形的面积相等；②等底的两个三角形的面积比等于对应高的比；③等高的两个三角形的面积比等于对应底的比；④三角形一边上的中线平分这个三角形的面积．(3)面积计算常用到以下方法：①和差法：把所求图形的面积转化为常见图形面积的和、差表示，运用常见图形的面积公式；②等积法：找出与所求图形面积相等的或者关联的特殊图形，通过代换转化来求出图形的面积；③运动法：通过平移、旋转、割补等方式，将图形中的部分图形运动起来，把图形转化为容易观察或解决的形状；④代数法：通过寻求图形面积之间的关系列方程（组）；把几何问题转化为代数问题．(4)非常规图形的面积计算往往采用“等积变换”，所谓“等积变换”3就是不改变几何图形的面积，而是把它的形状改变成能够直接求出面积的图形，等积变换的主要目的，是把复杂的图形变成简单的图形，把不规则的图形变成规则的图形．(5)“等积变换”的方法①公式法，即运用某些图形的面积公式及其有关推论．②分割法，即把一个图形分割成熟知的若干部分图形．③割补法，即把一个图形的某一部分分割出来，然后用与其等积图形填补到某一位置．名题精讲考点1用面积公式计算常规图形面积例1 如图，将直角三角形BC沿着斜边AC 的方向平移到△DEF的位置（A、D、C、F四点在同一条直线上）．直角边DE交BC于点G．如果BG＝4，EF＝12，△BEG4的面积等于4，那么梯形ABGD的面积是( )A．16 B．20 C．24 D．28 【切题技巧】【规范解答】 B【借题发挥】把不能直接求出面积的图形通过转化或找出与它面积相等的特殊图形，从而能够求解．【同类拓展】1．如图所示，A是斜边长为m的等腰直角三角形，B，C，D都是正方形，则A，B，C，D的面积的和等于( )A．94m2B．52m2C．114m2D．3m2考点2用面积的和、差计算非常规图形有面积例2 如图，P是平行四边形ABCD内一56点，且S △PAB ＝5，S △PAD ＝2，请你求出S △PAC （即阴影部分的面积）．【切题技巧】 △APC 的底与高显然无法求，则应用已知三角形的面积的和或差来计算△APC 的面积．【规范解答】【借题发挥】 对于不能直接求的图形可以把图形进行分解和组合，通过图形的面积和或差进行计算．【同类拓展】 2．如图，长方形ABCD 中，△ABP 的面积为a ，△CDG 的面积为b ，则阴影四边形的面积等于( )A ．a ＋bB ．a －bC ．2a b D ．无法确定考点3 列方程（组）求面积例 3 如图所示，△ABC的面积是1cm2．AD＝DE＝EC，BG＝GF＝FC，求阴影四边形的面积．【切题技巧】条件中有两组等分点，易知△BCE，△ACF的面积为13，但仍然不能求阴影部分面积，因此，只要求出△BCE中另两块面积即可，【规范解答】如图，设AG与BE交于N，AF与BE交于P，连接NC，ND，PC，PD．设△NGB的面积为x，△NDE的面积为y，则有△NCG的面积为2x，△NEA的面积为2y．因为△ABC的面积是1cm2，且AD＝AE＝EC，BG＝GF＝FC．7【借题发挥】求一些关系复杂的图形面积，列方程是一个重要方法，它不但可以使我们熟悉列方程和了解方程在几何中的应用，而且能清晰地表明图形面积之间的关系，从而可以化解或降低解题的难度．【同类拓展】3．如图，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，AE、DE、BF、AF把正方形分成8小块，各小块的面积分别为S1、S2、…、S8，试比较S3与S2＋S7＋S8的大小，并说明理由．考点4面积比与线段比的转化例4 如图所示，凸四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O点，若△AOD的面积是2，△COD的面积是1，89△COB 的面积是4，则四边形ABCD 的面积是 ( )A ．16B ．15 C．14 D ．13【切题技巧】 分析△AOD ，△DOC ，△AOB ，△COB 四个三角形的面积，只有通过线段比联系起来，相邻两个三角形的面积都存在着一种比例关系．【规范解答】【借题发挥】 两三角形的高相等时，面积比等于对应底之比，则可以将面积比与对应线段比相互转化，这是．解答面积问题、线段比等问题的常用技巧．【同类拓展】 4．如图，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF 、CE 交于点G ，则AGCD ABCD SS四边形矩形等于 ( )A．56B．45C．34D．23考点5例5如图所示，在四边形ABCD中，AM＝MN＝ND，BE＝EF＝FC，四边形ABEM、MEFN、NFCD 的面积分别记为S1，S2和S3．求213?S S S =+【切题技巧】把四边形分割成多个三角形，运用三角形等积变换定理即可求出，【规范解答】连接A．E、EN、PC和AC．【借题发挥】等积变形的题目中，常将多边形面积转化为三角形面积，再运用等底同10高来进行等积代换，因此，在转化时只要抓住题设中的等分点，就可以将多边形面积进行等积变换了．【同类拓展】5．如图，张大爷家有一块四边形的菜地，在A处有一口井，张大爷欲想从A处引一条笔直的水渠，且这条笔直的水渠将四边形菜地分成面积相等的两部分，请你为张大爷设计一种引水渠的方案，画出图形并说明理由．考点6格点多边形的面积例6如图，五边形ABCDE的面积为多少？我们把方格纸上两组互相平行且垂直的直线的交点叫格点．顶点在格点上的多边形叫格点多边形．可以通过图形的分割，转化为规则图形，再求面积．【规范解答】如图，标上字母F、G、H、I、J点，使得△ABF，△BCG，△CDH，△DEI，△EAJ为直角三角形，【借题发挥】格点多边形面积有如下计算规律：格点多边形的面积等于其所包含有格点个数，加上由其边界上的格点的个数之半，再减去1．此规律对凹多边形也适用．即：若格点多边形的面积为S，格点多边形内部有且只有n个格点，它各边上格点的个数x＋n－1．和为x．则S＝12【同类拓展】6．如图，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分面积与正方形ABCD面积的比是( )A．3：4 B．5：8 C．9：16 D．1：2参考答案1．A2．A3．S3＝S2＋S7＋S8．4．D5．S S四边形AFCD．6．B△ABF＝。
2024年人教版数学九年级上册专题7 面积问题-课件
故 S＝S△PAH－S△PAK＝12PA·PH－12PA2＝12(3－m)·(6－2m)－12(3－m)2＝ 12m2－3m＋92.综上可知，当 0＜m≤32时，S＝－32m2＋3m； 当32＜m＜3 时，S＝12m2－3m＋92
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝4，点M，N在CB，CA 上，有CM＝CN＝t, 过点N作AC的垂线交AB于点F，将△MNF关于直线NF对 称后得到△ENF，△ENF与△ANF重叠部分的面积为y.
①当 0＜t＜1 时，EN＝1－t，由EANE＝EEHF得，1－2 t＝3E4H， ∴EH＝23(1－t) ，∴S△ONH＝12ON·EH＝13t(1－t)，即 S＝13t－13t2； ②当 1≤t<3 时，EN＝t－1，由EANE＝EEHF得，t－2 1＝3E4H， ∴EH＝23(t－1)，∴S△ONH＝12ON·EH＝13t(t－1)，
与 x 轴交于 A，B 两点(点 A 在点 B 左侧)，与 y 轴交于点 C(0，－83)， 顶点为 D，对称轴与 x 轴交于点 H.过点 H 的直线 l 与抛物线交于两点． (1)求 a 的值及点 A，B 的坐标； (2)当直线 l 将四边形 ABCD 分为面积比为 3∶7 的两部分时，求直线 l 的函 数解析式．
解：(1)将 A(3，0)，M(1，－83)代入抛物线，解得 a＝23，b＝－43
3k＋b＝0， (2)设直线 AC 的解析式为 y＝kx＋b(k≠0)由题意得：b＝－2 ， 解得：k＝23，b＝－2，∴yAC＝23x－2. 由(1)得抛物线的函数解析式为 y＝23x2－43x－2＝23(x－1)2－83，设抛物线的对称 轴直线 x＝1 与 AC 交于点 F，与 x 轴交于 E 点，则 F(1，－43)，E(1，0)．
九年级暑假班拓展-第20讲-面积问题巧解II
第二十讲.面积问题巧解II【教学目标】1.复习面积的概念及意义；2.掌握面积的几个公式及性质；3.掌握求面积（比）的几种常见方法【知识、方法梳理】1．面积公理：(1) 全等形的面积相等；(2) 一个图形的面积等它各部分面积之和； 2．面积公式(1) 矩形面积S=长⨯宽(2) 三角形面积S=21⨯底⨯高(3) 平行四边形面积S=底⨯高(4) 梯形面积=21⨯(上底+下底)⨯高3．相关定理(1) 等底等高的两个三角形面积相等；(2) 等底（或等高）的两三角形面积之比等于其高（或底）之比；(3) 在两个三角形中，若两边对应相等，其夹角互补，则这两个三角形面积相等； (4) 若在同一线段的同侧有底边相等面积相等的两个三角形，则连结两个三角形的顶点的直线与底边平行。
4．利用相关面积公式，定理，等底等高面积相等，等有关面积的性质， 求一些特殊图形的面积（比）【典例精讲】例1. 如图，把ABC ∆的各边按顺时针方向延长一倍，得DEF ∆，求证：7DEF ABC S S ∆∆=例2. 如图，在ABC ∆的各边AB 、BC 、CA 上依次取三分之一等分点D 、E 、F ，得DEF ∆，求证：13DEF ABC S S ∆∆=CAD BEFABDEFC例3. 如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是DC 、AB 边上的三等分点，求证：3ABCD EFGH S S =例4. 如图，过ABC ∆三顶点A 、B 、C 分别作三条平分线AP BQ CR ∥∥，它们同其对边(或对边延长线)交于P 、Q 、R ，求证：AQR BRP CPQ S S S ∆∆∆==。
ABCDEFGHABCQPR例5. 如图，已知2AOE S ∆=，3AOB S ∆=，1BOD S ∆=，求：CDE S ∆。
例6. 试证明：在同底且面积相等的三角形中，等腰三角形的周长最短。
例7. 若一条直线平分三角形的周长和面积，那么该直线必通过三角形三条角平分线交点。
中考数学角度、长度和面积的计算讲义及答案
中考数学角度、长度和面积的计算（讲义）一、知识点睛●几何计算、证明的基本思考流程1．标注条件，合理转化2．分析结构，整合信息3．由因导果，执果索因●几何中常见的思考角度1．角①同位角、内错角、同旁内角常用来证；②内角、外角、对顶角、余角、补角，常用来；③圆中，常找的角是、_________________；④直角，常考虑、、、、______；⑤特殊角30°、45°、60°等，常放在中，求三角形关系．2．中点的常用方法有_____________、____________________、________________________、_________________________．3．角平分线、垂直平分线常考虑性质．4．面积①公式法（规则图形）；②割补转化法（分割求和、补形作差）；③性质法（相似类、同底类、共高类、构造平行同底等高转移类）．二、精讲精练1．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是__________．ADOE CF B2．如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，将△ABE沿AE 折叠，使点B 落在AC 上的点B'处，又将△CEF 沿EF 折叠，使点C 落在直线EB'与AD 的交点'C 处，则BC :AB 的值为 ．B 'C 'FEDC BAADFEBC第2题图 第3题图 3．如图，在平行四边形ABCD 中，BC =2AB ，CE ⊥AB 于E ，F为AD 的中点，若∠AEF =54°，则∠B =___________． 4．如图，四边形ABCD 是矩形，点E 在线段CB 的延长线上，连接DE 交AB 于点F ，∠AED =2∠CED ，点G 是DF 的中点，若BE =1，AG =4，则AB 的长为________．FEBAGDC G FB ECD A第4题图 第5题图5．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90°，∠C =60°，BC =2AD =23，点E 是BC 边的中点，△DEF 是等边三角形，DF 交AB 于点G ，则△BFG 的周长为_____________． 6．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以斜边AB 为边向外作正方形ABDE ，且正方形对角线交于点O ，连接OC ，已知AC ＝5，OC ＝62，则另一直角边BC 的长为 ．C BOAED7．如图，已知A 、B 两点的坐标分别为(32，0)、（0，2），P 是△AOB 外接圆上第一象限内的一点，且∠AOP =45°，则点P 的坐标为 ． OAxPyBADEBC F第7题图 第8题图8．如图，△ABC 中，AB =AC ，D 是AB 上的一点，且AD =23AB ，DF ∥BC ，E 为BD 的中点．若EF ⊥AC ，BC =6，则四边形DBCF 的面积为 ．9．如图，△ABC 的面积为63，D 是BC 上的一点，且BD ∶CD ＝2∶1，DE ∥AC 交AB 于点E ，延长DE 到F ，使FE ∶ED ＝2∶1，则△CDF 的面积为 ．EBDCAF OF GE DCB A第9题图 第10题图10．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，DF 过EC 的中点G 并与BC 的延长线交于点F ，BE 与DF 交于点O ．若△ADE 的面积为S ，则四边形BOGC 的面积为 ．11．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90°，BD ⊥DC ，BD =DC ，CE 平分∠BCD ，交AB 于点E ，交BD 于点H ，EN ∥DC 交BD 于点N ，下列结论：①BH =DH ；②EH CH )12(+=；③ECEHS S EBH ENH =，其中正确的是 ．A DH N EBCCFM PND AEB第11题图 第12题图12．如图，已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90°，AB =BC =2AD ，点E 、F 分别是AB 、BC 边的中点．连接AF 、CE 交于点M ，连接BM 并延长交CD 于点N ，连接DE 交AF 于点P ，则下列结论：①∠ABN =∠CBN ；②DE ∥BN ；③△CDE 是等腰三角形；④EM ∶BE =5∶3； ⑤18EPM ABCD S S =△梯形，其中正确的是 ．三、回顾与思考__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】一、知识点睛1．①平行②转化计算③圆周角、圆心角④互余、勾股定理、高、距离、直径⑤直角三角形、边角2．倍长、三线合一、中位线、直角三角形斜边中线等于斜边的一半3．轴对称二、精讲精练1．50°2．33．72°4．155．3+36．77．()31,31++8．159．42 10．74S11．②③12．①②③④。
人教版初中数学九年级 微专题4 一元二次方程的应用(二)——面积问题
答：这个养鸡场的长为9 m，宽为5 m．
4．如图，靠着两面足够长的墙（图中虚线部分），用总长度37 m的篱笆（图中 实线部分）围成一个矩形鸡舍ABCD，并在中间共留三个1 m的小门． （1）若矩形鸡舍ABCD的面积为150 m2，求篱笆BC的长； （2）矩形鸡舍ABCD的面积是否有可能达到210 m2？若有可能，求出相应x的值； 若不可能，请说明理由．
微专题4 一元二次方程的应用（二） ——面积问题
1．如图是一块长12 cm，宽10 cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两 个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积为24 cm2的有盖的长方体铁 盒，则剪去的正方形的边长为（ D ）
B．1 cm
D．2 cm
2．如图，某工程队在工地利用互相垂直的两面墙AE，AF，用铁栅栏围成一个矩 形场地ABCD，中间再用铁栅栏将矩形场地分割成两个小矩形．已知墙AE的长为 90 m，墙AF的长为60 m，铁栅栏总长为180 m． （1）设BC＝x m，则CD的长为 （180－2x） m，四边形ABCD的面积为 x （180－2x） m2； （2）若矩形场地ABCD的面积为4 000 m2，问BC的长为多少米？
解：（1）设篱笆BC的长为x m，则AB的长为（37＋3－2x）m．由题意，得（37 ＋3－2x）x＝150，解得x1＝15，x2＝5． 答：篱笆BC的长为15ห้องสมุดไป่ตู้m或5 m．
（2）不可能．理由如下： 假设矩形鸡舍ABCD的面积是210 m2， 由题意，得（37＋3－2x）x＝210， 整理，得x2－20x＋105＝0． ∵此方程中Δ＝（－20）2－4×105＝－20＜0， ∴方程无实数解， ∴矩形鸡舍ABCD的面积不可能达到210 m2．
解：由题意，得x（180－2x）＝4 000， 解得x1＝40，x2＝50． 当x＝40时，180－2x＝100＞90，不符合题意，舍去； 当x＝50时，180－2x＝80＜90，符合题意． 答：若矩形场地的面积为4 000 m2，则BC的长为50 m．
九年级数学妙用勾股定理巧求图形面积知识精讲
九年级数学妙用勾股定理巧求图形面积勾股定理是我国古代文化的伟大成就，是极其重要的定理，它揭示了直角三角形的三PD 即CA m BC m AB m ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅212121 24721⨯⨯= 由勾股定理知2524722=+=AC所以247)25247(⨯=++m进而想到构造长和宽分别为2a ，2b 的矩形，再由面积的割补来求解。
解：作矩形ABCD ，使，，b AD a AB 22==E 、F 分别是AB 、AD 的中点。
由勾股定理知2222b a AF AE EF +=+=22224b a FD CD CF +=+=22224b a BE BC CE +=+=从而可知，EFC S ∆就是题目所要求的三角形面积，即)(DFC BEC AEF ABCD EFC S S S S S ∆∆∆∆++-=矩形ab a b b a ab ab 23221221214=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅+-=例3. 已知一个梯形的四条边的长分别为1，2，3，4，求此梯形的面积。
分析：要求梯形的面积，先确定上、下底的长，再求其高。
解：以1，2，3，4为边作梯形有以下六种可能：（1）以1，2为底的长；（2）以1，3为底的长；（3）以（5）以BC=4，CD=2因为2121=AE 所以AH 于是21024)41(1=⨯+⨯=ABCD S 梯形。
例形ABCD理及其它知识易于解决。
解：延长BC 交AD 的延长线于E ，则△ABE 和△CDE 均为直角三角形。
因为∠A=60°所以∠E=30°又2=AB ，CD=1所以AE=2AB=4，CE=2CD=2 由勾股定理得322=-=CD CE DE3222=-=AB AE BE所以CDE ABE ABCD S S S ∆∆ -=四边形312132221⨯⨯-⨯⨯= 323=例5.则四边形=AB 所以2∆S ABC 522=+=BC AB AC在△ACD 中，因为13125===AD CD AC ，，所以222AD CD AC =+可知△ACD 也是直角三角形，∠ACD ＝90°所以3021=⋅=∆CD AC S ACD 于是36=+∆∆ACD ABC ABCD S S S ＝四边形。
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1 / 13九年级思维拓展：面积问题【知识点睛】初中数学几乎所有章节内容都可以与面积结合（甚至是代数领域的整式乘法、因式分解、勾股定理等），考查学生应用数学知识分析问题、解决问题的能力，依据特征、原理设计方案，数形结合、化归转化等数学思想。
处理面积问题，首先要研究对应图形的形状特征，再结合背景图形信息、特殊位置关系等设计方案求解．常见的求解面积方法有三种：公式法、割补法、转化法．1. 公式法主要适应于规则图形．．．．，注意几种常考几何图形面积的推导证明．．．．，解决问题时更方便．60°60°aC BA 3a ABC a 30°120°nR2S =2S = 弧长180n Rl π=；23602n R lRS π==扇形2. 割补法主要适应于不规则图形或者规则图形．．．．．．．．．．．面积．．不易表达．．．．的情形．借助分割求和、补形作差等手段转化为规则图形面积之间的关系求解，割补转化时要充分考虑图．形所处的背景．．．．．．． （1）与弧有关的不规则图形，先从圆弧出发找规则图形（弧——扇形）；2 / 1321（2）坐标系下，分割图形时，常考虑利用横平竖直线段，便于计算；如铅垂法．B1()2APB B A S PM x x =⋅⋅-△3. 转化法主要适用于有线段倍分、面积倍分、两直线平行、图形相似等条件的面积问题．通过分析将面积间的关系转化为线段间的关系．．．．．．．．．．．．．．．．进行求解．有时也会利用背景图形的中心对称性和轴对称性转化．①利用平行转移面积如图，满足S △ABP =S △ABC 的点P 都在直线l 1，l 2上．应用举例：平行四边形中有关面积的三个“一半”S 2S 1A BCDPD CB AD1212ABCD S S S ==□ 12PBC ABCD S S =△□ 1212ABCD S S S ==□（本质是中心对称）##中心对称图形：过中心对称图形对称中心的直线，平分其面积．②利用等分点转移面积（背靠背模型）两个三角形底相等时，面积比等于高之比；高相等时，面积比等于底之比．【精讲精练】1.（2016·呼和浩特）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．4πB．3πC．2π+4D．3π+4主视图左视图俯视图【注1】内蒙、山东部分地区中考常考几何体三视图与表面积结合的题目，如呼和浩特、菏泽．2.（2019·河北）图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，=x2+2x，S左=x2+x，且S主则S=（）俯A．x2+3x+2 B．x2+2 C．x2+2x+1 D．2x2+3x3/ 134 / 13正面图1俯视图左视图主视图图23. （2014·河北）如图，将长为8 cm 的铁丝AB 首尾相接围成半径为2cm 的扇形，则S 扇形=______cm 2．4.（2019·河北中考说明；2014·葫芦岛）如图，用两根等长的金属丝，各自首尾相接，分别围成正方形ABCD 和扇形A 1D 1C 1，使A 1D 1=AD ，D 1C 1=DC ，正方形面积为P ，扇形面积为Q ，那么P 和Q 的关系是（ ） A ．P ＜Q B ．P =Q C ．P ＞Q D ．无法确定A1C 1D 1D CB A5. （2018·唐山模拟；2016·巴中）如图，将边长为3的正六边形铁丝框ABCDEF 变形为以点A 为圆心，AB 为半径的扇形（忽略铁丝的粗细）．则所得扇形AFB （阴影部分）的面积为_______．5 / 13D FECB A【注2】注意课程标准中的要求——“正多边形与圆”．6. （2019·河南）如图，在扇形AOB 中，∠AOB =120°，半径OC 交弦AB 于点D ，且OC ⊥OA ．若OA=_________．第6题 第7题 7.（2019·鄂尔多斯）如图，△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O分别与BC ，AC 交于点D ，E ，连接DE ，过点D 作DF ⊥AC 于点F ．若AB =6，∠CDF =15°，则阴影部分的面积是_______．8.（2015·河南）如图，在扇形AOB 中，∠AOB =90°，点C 为OA 的中点，CE ⊥OA 交AB ︵于点E ，以点O 为圆心，OC 的长为半径作CD ︵交OB 于点D ，若OA =2，则阴影部分的面积为 .D6 / 13CA第8题 第9题 9.（2016·河南备用）如图，在圆心角为90°的扇形AOB 中，半径OA =2，点C 、D 分别是OA 、OB 的中点，点E 是AB ︵的一个三等分点．将△COD 沿CD 折叠，点O 落在点F 处，则图中阴影部分的面积为________．10. （2018·河南备用）如图，在矩形ABCD 中，BC =2，CDB 为圆心，BC 的长为半径作CE 交AD 于点E ；以点A 为圆心，AE 的长为半径作EF 交AB 于点F ，则图中阴影部分的面积为__________．D第10题 第11题 11. （2015·河南备用）如图，在□ABCD 中，∠BCD =60°，AB =2BC =4．将□ABCD 绕点B 逆时针旋转一定角度得到□A′B′C′D′，其中点C 的对应点C′落在边CD 上，则图中阴影部分的面积为_______．7 / 1312. （2018·河南）如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =2，将△ABC 绕AC 的中点D 逆时针旋转90°得到△A′B′C′，其中点B 的运动路径为BB'︵，则图中阴影部分的面积为____________．C′【注3】注意核心素养中的要求——“思维的严谨性与批判性”；面积与旋转知识的综合应用．13. （1）如图1，在△ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，斜边AB =2，O 是AB 的中点，以O 为圆心，线段OC 的长为半径画圆心角为90°的扇形OEF ，EF ︵经过点C ，则图中阴影部分的面积为______．（2）如图2，在菱形ABCD 中，∠B =60°，AB =2，扇形AEF 的半径为2，圆心角为60°，则阴影部分的面积是________．图1图214. （2013·河南）如图，抛物线的顶点为P (-2，2)，与y 轴交于点A (0，3)．若平移该抛物线使其顶点P 沿直线移动到点P′(2，-2)，点A 的对应点为A′，则抛物线上PA 段扫过的区域（阴影部分）的面积为____________．15.（2019·通辽改编）如图，抛物线y=-x2+2x+8的顶点为M(1，9)，直线y=2x-1与抛物线交于点A(-3，-7)和B(3，5)，交抛物线的对称轴于点C．在抛物线上A，M两点之间的部分（不包含A，M两点），是否存在点D，使得S△DAC=2S△DCM？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．16.（2018·包头）如图，在ABCD中，AC是一条对角线，EF∥BC，且EF与AB相交于点E，与AC相交于点F，3AE=2EB，连接DF，若S△AEF=1，则S 的值为_______．△ADF8/ 139 / 13A BCDEFGF ED CBA第16题 第17题 17. （2019·绍兴）正方形ABCD 的边AB 上有一动点E ，以EC 为边作矩形ECFG ，且边FG 过点D ．在点E 从点A 移动到点B 的过程中，矩形ECFG 的面积（ ）A ．先变大后变小B ．先变小后变大C ．一直变大D ．保持不变18. （2019·湖州）在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，P 是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点P 的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（ ） A．BC．2D10 / 1319. （2018·鄂尔多斯改编）如图，抛物线2134y x x =--与x 轴交于A （-2，0）、B （6，0）两点，与y 轴交于点C ，直线132y x =-经过点B ，C ，连接AC ．在抛物线上是否存在点D （与点A 不重合），使得S △DBC =S △ABC ，若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；【思考题】（2017·河南）如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60°，点O ，B 的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．23π B．3π C．23πD．23π【思考题】（2017·郑州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为_______（结果保留π）【注4】注意“容斥原理”的应用．【思考题】（2019·河北中考说明）已知，直线1y x=+与x轴,y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，且点P(1，a)为坐标系中的一个动点．（1）求三角形ABC的面积S△ABC．（2）证明不论a取任何实数，△BOP的面积是一个常数．（3）要使得△ABC和△ABP的面积相等，求实数a的值．11/ 1312 / 13【参考答案】1.D2.A3.44.B5.186.π7. 3π8.12π+9.2132π-10.512π+ 11.23π 12.5342π- 13.（1）142π-，（2）23π-14.12 15.（-1，5）16. 5 217.D18.D19.（8，5）思考题（2017·河南）.C思考题（2017·郑州模拟）. 54 2π-思考题（2019·河北中考说明）.（1）2；（2）证明略，面积为常数12；（3）1或13-+13/ 13。