九年级思维拓展：面积问题(讲义及答案)

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九年级思维拓展：面积问题

【知识点睛】

初中数学几乎所有章节内容都可以与面积结合（甚至是代数领域的整式乘法、因式分解、勾股定理等），考查学生应用数学知识分析问题、解决问题的能力，依据特征、原理设计方案，数形结合、化归转化等数学思想。

处理面积问题，首先要研究对应图形的形状特征，再结合背景图形信息、特殊位置关系等设计方案求解．常见的求解面积方法有三种：公式法、割补法、转化法．

1. 公式法

主要适应于规则图形．．．．，注意几种常考几何图形面积的推导证明．．．．，解决问题时更方便．

60°

60°

a

C B

A 3a A

B

C a 30°

120°

n

R

2S =

2S = 弧长180

n R

l π=；23602

n R lR

S π==扇形

2. 割补法

主要适应于不规则图形或者规则图形．．．．．．．．．．．面积．．不易表达．．．．的情形．借助分割求和、补形作差等手段转化为规则图形面积之间的关系求解，割补转化时要充分考虑图．形所处的背景．．．．．．

． （1）与弧有关的不规则图形，先从圆弧出发找规则图形（弧——扇形）；

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2

1

（2）坐标系下，分割图形时，常考虑利用横平竖直线段，便于计算；如铅垂法．

B

1

()2APB B A S PM x x =⋅⋅-△

3. 转化法

主要适用于有线段倍分、面积倍分、两直线平行、图形相似等条件的面积问题．通过分析将面积间的关系转化为线段间的关系．．．．．．．．．．．．．．．．进行求解．有时也会利用背景图形的中心对称性和轴对称性转化．

①利用平行转移面积

如图，满足S △ABP =S △ABC 的点P 都在直线l 1，l 2上．

应用举例：平行四边形中有关面积的三个“一半”

S 2

S 1

A B

C

D

P

D C

B A

D

1212ABCD S S S ==□ 12PBC ABCD S S =△□ 121

2

ABCD S S S ==□（本质

是中心对称）

##中心对称图形：过中心对称图形对称中心的直线，平分其面积．

②利用等分点转移面积（背靠背模型）

两个三角形底相等时，面积比等于高之比；高相等时，面积比等于底之比．

【精讲精练】

1.（2016·呼和浩特）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的

表面积为（）

A．4πB．3πC．2π+4D．3π+4

主视图

左视图

俯视图

【注1】内蒙、山东部分地区中考常考几何体三视图与表面积结合

的题目，如呼和浩特、菏泽．

2.（2019·河北）图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，

=x2+2x，S左=x2+x，

且S

主

则S

=（）

俯

A．x2+3x+2 B．x2+2 C．x2+2x+1 D．2x2+3x

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正面图

1

俯视图

左视图

主视图

图2

3. （2014·河北）如图，将长为8 cm 的铁丝AB 首尾相接围成半径为2

cm 的扇形，则

S 扇形=______cm 2．

4.

（2019·河北中考说明；2014·葫芦岛）如图，用两根等长的金属

丝，各自首尾相接，分别围成正方形ABCD 和扇形A 1D 1C 1，使A 1D 1=AD ，D 1C 1=DC ，正方形面积为P ，扇形面积为Q ，那么P 和Q 的关系是（ ） A ．P ＜Q B ．P =Q C ．P ＞Q D ．无法

确定

A

1

C 1

D 1

D C

B A

5. （2018·唐山模拟；2016·巴中）如图，将边长为3的正六边形铁丝

框ABCDEF 变形为以点A 为圆心，AB 为半径的扇形（忽略铁丝的粗细）．则所得扇形AFB （阴影部分）的面积为_______．

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D F

E

C

B A

【注2】注意课程标准中的要求——“正多边形与圆”．

6. （2019·河南）如图，在扇形AOB 中，∠AOB =120°，半径OC 交弦

AB 于点D ，且OC ⊥OA ．若OA

=_________．

第6题 第7题 7.

（2019·鄂尔多斯）如图，△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O

分别与BC ，AC 交于点D ，E ，连接DE ，过点D 作DF ⊥AC 于点F ．若AB =6，∠CDF =15°，则阴影部分的面积是_______．

8.

（2015·河南）如图，在扇形AOB 中，∠AOB =90°，点C 为OA 的中

点，CE ⊥OA 交AB ︵于点E ，以点O 为圆心，OC 的长为半径作CD ︵

交OB 于点D ，若OA =2，则阴影部分的面积为 .

D

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C

A

第8题 第9题 9.

（2016·河南备用）如图，在圆心角为90°的扇形AOB 中，半径OA =2，

点C 、D 分别是OA 、OB 的中点，点E 是AB ︵

的一个三等分点．将△COD 沿CD 折叠，点O 落在点F 处，则图中阴影部分的面积为________．

10. （2018·河南备用）如图，在矩形ABCD 中，BC =2，CD

B 为圆心，B

C 的长为半径作CE 交A

D 于点

E ；以点A 为圆心，AE 的长为半径作

EF 交AB 于点F ，则图中阴影部分的面积为__________．

D

第10题 第11题 11. （2015·河南备用）如图，在□ABCD 中，∠BCD =60°，AB =2BC =4．将

□ABCD 绕点B 逆时针旋转一定角度得到□A′B′C′D′，其中点C 的对应点C′落在边CD 上，则图中阴影部分的面积为_______．