人教A版数学必修五《等差数列》课件

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人教A版高中数学必修五课件：2.2.1 等差数列(2) (共17张PPT)

(2) 若 m 、n 、p 、q N* 且 m n p q
则 am an ap aq (反之不成立)
证明：由通项公式得：
am an a1 (m 1)d a1 (n 1)d 2a1 (m n 2)d
ap aq a1 ( p 1)d a1 (q 1)d
2a1 ( p q 2)d
2.2.2 等差数列（2）
1、定义:
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么
这个数列就叫做等差数列. 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用 d 表示.
即 an an1 d （n 2）
2、通项公式：
an a1 (n 1)d.
推广：an am (n m)d
故a，A，b 成等差数列 A a b 2
3、等差中项：
如果a ，A ，b成等差数列，那么 A叫做a与b的等差中项，且 A a b .
2
由此得,在等差数列a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , … an , …中,
an
an1 an1 2
（n 2）
即 2an an1 an1 （n 2）
(2) 若 m n p q，则 am an ap aq . (3) ak ，akm ，ak2m ，组成的数列仍然是等差数列，且公差为 md .
(4) Sk ，S2k Sk ，S3k S2k ，组成的数列仍然是等差数列 .
(5) 若数列{an}与{bn}均为等差数列，则数列{man kbn}(m，k 为常数)仍为等差数列 .
∴ a3+ a6+a9=3a6 = 27.
练习：在等差数列{an } 中 . (1) 已知 a2 a3 a11 a12 76，求 a7 ； (2) 已知 a2 a3 a4 a5 34，a2a5 52，且 d 0，求 d ，an .

高中数学人教A版必修5《等差数列》PPT课件

本节课主要学习：
一个定义： an-an-1=d（d是常数，n≥2， n∈N*）一个公式：an=a1+（n-1）d 一种思想：方程思想一个概念： A=a+b/2
方法二
由递推公式：an－an－1=d （d是常数，n≥2，n∈N*）
可得:
a2-a1=d
a3-a2=d a4-a3=d
……
an-an-1=d
列。这也是判断，证明一个数列是等差数列的一种方法。等差中项法
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5.证明数列为等差数列的方法： (1)定义法： an an1 d (n 2) (2)等差中项法：2an an1 an1(n 2)
解法一
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证明： 1 , 1 , 1 成等差数列 abc
2 11 b ac
bcba bcabac2
ac
a
c
(a b c)(1 1) 2 ac
(a b c) 2 2 b
2(a c) 2b 2 bb
4
4 an1
(n
1)记bn
1 an 2
（1）求证：数列bn 是等差数列；
（2）求数列an 的通项公式
构造法
解：（2）由（1）知，b n
1 2
(n 1)
1 2
n 2
bn
1 an 2
an
1 bn
2
2 n
2
求数列通项公式的方法：
（1）公式法；
（2）累加法；an1 an f (n)
（3）累乘法；an1 f (n)

人教A版高中数学必修五教学课件：2.2等差数列 (共23张PPT)

人教版数学必修5
2.2.1等差数列的定义及通项公式
复习回顾: 数列的有关概念一、请回答下列概念：
1. 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.
2. 数列的通项公式：如果数列 an 的第n项 an 与n之间
的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 3.数列的分类：（1）有穷数列和无穷数列
an a1 (n 1)d
a1 4d 10 a1 11d 31
这是一个以 a和1 为d未知数的二元一次方程组，解这个
方程组，得
a1 2 d 3
即这个等差数列的首项是-２，公差是３.
练一练
2. 在等差数列中
(1)已知a4 10, a7 19,求a1与d. a1 1, d 3
(2)已知a3 9, a92)
经检验，当n=1时上面的式子也成立。
所以an a1 (n 1)d (n 1)
迭加法
等差数列通项公式
an a1 (n 1)d
an a1 n d
这四个变量，知道其中三个量就可以求余下的一个量．
知三求一
用一下
an a1 (n 1)d
例1 (1) 求等差数列8，5，2，…，的第20项。
解： a1 8, d 5 8 3, n 20 , a20 8 (20 1) (3) 49
(2) 等差数列 -5，-9，-13，…，的第几项是 –401？
解： a1 5, d 9 (5) 4, an 401,
因此， 401 5 (n 1) (4)
解得 n 100
练一练
你能根据以上规律在（）内填上合适的数吗？
(1) 10，15，20，25，30，（35 ），…
(2) 50， 60， 70，（ 8 0 ），… （3）1682，1758，1834，1910，1986，（ 2062）

课件_人教版高中数学必修五等差数列PPT课件_优秀版

个）变量。
小结：判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行判断：
a 2 这时，A叫做a与b的等差中项.
1 ∴a4=4×4-1=15,
∴a4=4×4-1=15,
已知等差数列{an}的首项为30，这个数列从第12项起为负数，求公差d的范围。
d 3 在等差数列{an}中，已知a5=10,a12=31,求首
解：（1）根据题意得：（2）由题意得：
a1=3,d=7-3=11-7=4,
a1=2,d=9-2=16-9=7 ∴这个数列的通项公式是：
∴这个数列的通项公式是： an=2+ (n-1) × 7
an=a1+(n-1)d=4n-1
=7n-5(n≥1)
∴a4=4×4-1=15,
令100=7n-5,得 n=15
（2）判断100是不是等差数列`2，9，16，…的项？如果是，是第几项，如果不是，说明理由。（2）9，6，3，0，-3…
2.2 等差数列这种题型还有别的方法吗？
=7n-5(n≥1) 已知等差数列{an}的首项为30，这个数列从第12项起为负数，求公差d的范围。
a1=8,d=5-8=-3,n=20 ( 4 ) 2，0，-2，-4，-6，（ -8 ）,… a10=4×10-1=39. 1、等差数列的概念。 ∴这个数列的通项公式是：
练习：在等差数列{an}中，
（1）已知 a =10 , a =19 ，求 a 与 d 5, 19, 12.
∵d∈Z ∴d=-4 数列:按一定顺序排列的一列数叫做数列.
4
7
1
已知等差数列｛an｝的首项是a1，公差是d
（2）已知 a =9 , a =3 ，求 a 。 an=a1+(n-1)d=-3n+11

人教A版高中数学必修五2.2《等差数列》课件

•
13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。2021/ 8/3202 1/8/320 21/8/3 2021/8/ 38/3/2 021
•
14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。2021 年8月3 日星期二2021/ 8/3202 1/8/320 21/8/3
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15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。。2 021年8 月2021 /8/320 21/8/32 021/8/ 38/3/20 21
a1,an,n,d 知三求一
例2 、在等差数列{an}中，已知a6=12 ，a18=36 ,
求{an}的通项公式解：由题意可得 a1+5d=12
a1+17d=36 ∴ d = 2 ，a1 =2
∴ an = 2+(n-1) ×2 = 2n
求通项公式的关键:
求基本量a1和d
方程思想
等差数列的通项公式为：
通项公式应用
例1（1）求等差数列7，4，1，-2，…的第100项；（2）判断-401是不是等差数列 –5,-9 ,-13…
的项?如果是，是第几项，如果不是，说明理由。
变式：《九章算术•均输章》——等差数列问题今有金箠(chui)，长五尺。斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤。问次一尺各重几何。
a2=a1+d, a3=a2+d = (a1+d) + d = a1+ 2d
a4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3d
…
归纳： an=a1+(n-1)d
当n=1时，上式也成立。
观察归纳
已知等差数列｛an｝的首项是a1，公差是d

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an=a1+(n－1)d (n∈N*)
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②问－400是不是等差数列－5，－9，－13,… 的项？如果是，是第几项？解：a1=－5,d=－4 an=－5+(n－1)·(－4),则由题意知，本题是要回答是否存在正整数n，使得－401=－5+(n－1)·(－4)成立解之得 n= 399
4
所以－400不是这个数列的项
an=a1+(n－1)d (n∈N*)
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练习：1 100是不是等差数列2，9，16，…的项？如果人教A版数学必修五《等差数列》课件PPT
0
是，是第几项？如果不是，说明理由.
20 在正整数集合中，有多少个三位数？
30 在三位正整数集合中有多少个是7的倍数？
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（一）求通项an
若已知一个等差数列的首项a1和公差d，即可求出an 例如：①a1=1, d=2, 则 an=1+(n－1)·2=2n－1
②已知等差数列8，5，2，…求 an及a20
解：∴∵aan1==88+,(dn=－5－1)·8(=－－3)3=－3n+11
这就是说，这些数列具有这样的共同特点：从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。
定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每
一项与它的前一项的差等于同一常数，那么
这个数列就叫做等差数列, 通常用A · P表示。这个常数叫等差数列的公差，用字母d表示。
数学语言： an－an－1=d
（d是常数，n≥2，n∈N*）
由此得到 a n=a1+(n－1)d

人教A版高中数学必修5课件：2.2等差数列定义及通项公式(共37张PPT)

证明．在求{an}通项公式时，要用到{an－2}是等差数列，先求 1
{an－2}的通项，再求{an}的通项公式．
➢ 等差数列的判定与证明等差数列的判定方法有以下二种： (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列； (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数列．如果要证明一个数列是等差数列，必须用定义法或等差中项法．
(2)注意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算要求，它的含义也有两个：其一是强调作差的顺序，即后面的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻．
(3)注意定义中的“同一常数”这一要求，否则这个数列不能称为等差数列．
2．怎样认识等差数列通项公式 (1)确定 a1 和 d 是确定通项的一般方法． (2)由方程思想，根据 an，a1，n，d 中任何三个量可求解另一个量，即知三求一． (3)通项公式可变形为 an＝dn＋(a1－d)，可把 an 看作自变量为 n 的一次函数．
∴294<d≤3.又 d 为整数， ∴d＝3. ∴an＝a1＋(n－1)·d＝－24＋3(n－1)＝3n－27. ∴通项公式为 an＝3n－27.
10．如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差．
(1)设数列{an}是公方差为 p 的等方差数列，求 an 和 an－ 1(n≥2)的关系式；
项公式是
.
3．等差中项
如果 a，A，b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差
中项．
1.正确理解等差数列的定义 (1)注意定义中“从第 2 项起”这一前提条件的两层含义，其一，第 1 项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合；其二，定义中包括首项这一基本量，且必须从第 2 项起保证使数列中各项均与其前面一项作差．

高中数学必修五课件：2.2-1(1)《等差数列》(人教A版必修5)

(3) 1，4，7，10，（ 13 ），16，…
(4) 2， 0， -2， -4， -6，（-8 ）…
它们的共同的规律是？
d=76
( 1 ) 1682，1758，1834，1910，1986，（2062） ( 2 ) 32, 25.5, 19, 12.5, 6, …, （ -20）. ( 3 ) 1，4，7，10，（ 13 ），16，… ( 4 ) 2，0，-2，-4，-6，（ -8 ）,…
(7)
公差 d= 2x
你会求它们的通项公式吗？
(3) 1，4，7，10，13，16，…
(4) 2，0，-2，-4，-6，-8 …
等差数列的通项公式
如果一个数列
…， …
是等差数列，它的公差是d，那么
n=1时亦适合
…
等差数列的通项公式
迭加得
用一下
例1 (1) 求等差数列8，5，2，…，的第20项。
等差数列
在过去的三百多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星：
相差76
（1）1682，1758，1834，1910，1986，（ 2062）
你能预测出下一次的大致时间吗？
主持人问: 最近的时间什么时候可以看到哈雷慧星？
天文学家陈丹说: 2062年左右。
通常情况下，从地面到10公里的高空，气温随高度的变化而变化符合一定的规律，请你根据下表估计一下珠穆朗玛峰峰顶的温度。
例2 在等差数列中,已知a5=10,a12=31, 求首项a1与公差d.
解：由题意可知
这是一个以和为未知数的二元一次方程组，解这个方程组，得
即这个等差数列的首项是-２，公差是３ .
练一练
4. 在等差数列中

人教版A版高中数学必修5：等差数列_课件26

等差数列
1
1.等差数列的定义及等差中项 (1)如果一个数列从第2项起,每一项与前一项的差都等于同一
个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫等差数列的公差,通常用字母d表示.定义的表达式为an+1an=d(n∈N*).
2
(2)对于正整数m、n、p、q,若m+n=p+q,则等差数列中am
、an、ap、aq的关系为am+an=ap+aq;如果aa,A,bb成等差数

10n n2 n2 10n

50
(n≤5), (n 5).
38
错源二
忽略为零的项
【典例2】在等差数列{an}中,已知a1=10,前n项和为Sn,且 S10=S15,求n取何值时,Sn有最大值,并求出最大值.
39
[错解]设公差为d,由S10 S15, 得
10a1

10 9 2
A.5
B.-5
C.1
D.-1
解析:解法一:a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(n∈N*)可得该数列为 1,5,4,-1,-5,-4,1,5,4,…
由此可得a1000=-1.
15
解法二:∵an+2=an+1-an,an+3=an+2-an+1(n∈N*),两式相加可得 an+3=-an,an+6=an,
通项公式,则可以利用定义法,否则,可以利用等差中项法.
18
【典例1】已知数列{an}的通项公式an=pn2+qn(p、q∈R,且 p、q为常数).
(1)当p和q满足什么条件时,数列{an}是等差数列; (2)求证:对任意实数p和q,数列{an+1-an}是等差数列. [解](1)an+1-an=[p(n+1)2+q(n+1)]-(pn2+qn)=2pn+p+q,要使

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不完全归纳法：
这种导出公式的方法不够严密
an=an-1+d=a1+(n – 1)d ∴an=a1+(n – 1)d
又，当n=1时,等式成立
∴ n∈N*时， an=a1+(n – 1)d
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法二
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∵{an}是等差数列，则有
分析：判断{an}是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看an–an-1(n>1)是不是一个与n无关的常数
解：取数列{an}中的任意相邻两项an与an-1(n>1)
求差得 an an1 ( pn q) [ p(n 1) q]
p
它是一个与n无关的数，所以{an}是等差数列问：这个等差数列的首项与公差分别是多少？
an–an-1=d an-1–an-2=d an-2–an-3=d ……
累加法：
这一推导思想在今后的数列求和问题中也
a2–a1=d
有重要的应用
相加得：an – a1=(n–1)d
∴an=a1+(n–1)d
又，当n=1时,等式成立
∴ n∈N*时， an=a1+(n – 1)d
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（2）同一个常数:一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的差，尽管等于一个常数，这个数列可不一定是等差数列，因为这些常数可以不同，当常数不同时，当然不是等差数列，因此定义中“同一个”常数，这个“同一个”十分重要。
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例1 等差数列人教A版高中数学必修五PPT课件

22等差数列 (人教A版必修5)PPT课件

[点评] 在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．
变式训练2 在等差数列{an}中， (1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1和d； (2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9； (3)已知a1＝1，d＝3，an＝2 005，求n.
[解] (1)∵a1＝6，d＝3， ∴an＝6＋3(n－1)＝3n＋3. ∴a8＝3×8＋3＝27. (2)∵a4＝10，a10＝4，∴d＝a1100－－a44＝－66＝－1， ∴an＝a4＋(n－4)×(－1)＝－n＋14. ∴a7＝－7＋14＝7.
(3)∵a2＝12，d＝－2， ∴a1＝a2－d＝12－(－2)＝14. ∴an＝14－2(n－1)＝16－2n＝－20，∴n＝18. (4)∵a7＝a1＋6d＝a1－12＝12，∴a1＝225.
(3)通项公式可变形为an＝dn＋(a1－d)，可把an看作自变量为n的一次函数.
课堂互动探究
例练结合 ········································· 素能提升
典例导悟
类型一等差数列的判定与证明
[例1]
已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－
解：(1)由题意知：aa11＋＋58－－11dd＝＝－2，1，解得ad1＝＝1－. 5，
(2)由题意知：aa14＋＝aa61＝＋23ad1＝＋75，d＝12，解得ad1＝＝21. ， ∴a9＝a1＋(9－1)d＝1＋8×2＝17. (3)∵an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×3＝2 005， ∴n＝669.

人教版A版高中数学必修5：等差数列_课件3

2．(2014·河北省质量监测)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，
a4＝15，S5＝55，则数列{an}的公差是
()
1 A.4
B．4
C．－4
D．－3
解析：∵{an}是等差数列，a4＝15，S5＝55，
∴a1＋a5＝22，∴2a3＝22，a3＝11，
∴公差 d＝a4－a3＝4. 答案：B
1．(2013·全国卷Ⅰ)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 Sm－1＝
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝ a1＋(n－1)d .
(2)前 n 项和公式：Sn＝
na1＋nn2－1d
＝
a1＋ann 2
.
1．要注意概念中的“从第 2 项起”．如果一个数列不是从第 2 项起，而是从第 3 项或第 4 项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．
达到最大的 n 是怎样求公差d及首项a1?
A．18
B．19
()
C．20
D．21
(2)设数列{an}，{bn}都是等差数列，若 a1＋b1＝7，a3＋b3＝
21，则 a5＋b5＝________. 思考
a1+b1，a2+b2,···， an+bn是否是等差数列？
[解析] (1)a1＋a3＋a5＝105⇒a3＝35，a2＋a4＋a6＝99⇒a4 ＝33，则{an}的公差 d＝33－35＝－2，a1＝a3－2d＝39，Sn＝－n2＋40n，因此当 Sn 取得最大值时，n＝20.
等差数列及其前 n 项和
1．等差数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为 an＋1－an＝d (n∈N*，d 为常数)．

高中数学必修五课件：2.2-1(2)《等差数列》(人教A版必修5)

一、等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一常数，那么这个数列就叫做等
差数列。(an+1-an=d)
二、等差数列的通项公式
an=a1+(n-1)d (n∈N*)
等差数列的图象1
10
●
9 （1）数列：-2，0，2，4，6，8，10，…
8
●
7
6
●
5
4
●
3
2
●
பைடு நூலகம்
1
●
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
§2.2 等差数列（第一课时）
一、等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一常数，那么这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫等差数列的公差，用字母d表示。
观察下列数列是否是等差数列
不是
d=1 d=0
不是
不是
d= -3
定义：一般地，如果一个数列从第2项起，
每一项与它的前一项的差等于同一常数，那么这个数列就叫做等差数列。
列{an}的通项公式。
等差数列中a1 =1,d=2
an = 1+（n-1）×2=2n-1
关键求出a1和d
通项公式中有几个量？
a1 ,d, an ，n
已知其中三个量就可以求出第四个
等差数列中a4=15，d=3
a1 = 15-（4-1）×3=6
求等差数列8，5，2，…，的第20项。
-401是不是等差数列-5，-9，-13… 的项？如果是，是第几项？
●
研究与探讨：
通过以上观察，你能发现首项 a1和公差d对{an}的图象的影响吗？
等差数列的的作业

人教A版数学必修5等差数列PPT课件

➢课前预备清单
【学习目标】
1．理解等差数列的概念； 2．掌握等差数列的通项公式． 3．能在具体问题中发现数列的等差关系，并能用相关知识解决相应问题。
➢课前预备清单
旧知复习
按一定次序排成的一列数叫做数列。
一般写成a1,a2,a3,…,an,…，简记为{an}。如果数列{an}的第n项an与n的关系可以用一个公式来表示
人教A版数学必修5等差数列PPT课件
【合作探究二】通问通a过项n=观?公察：式a2的，推a3，导a4都可
设一个等差数列{an}的首以项用是aa11与,公d差表是示d,出则来有：；a1与d
a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,的…系数有什么特点？
所以有：
a2=a1+d,
a3=a2+d = (a1+d) + d = a1+ 2d
练一练
➢课堂展示清单
【精讲点拨】：独立十分钟完成，上台展示
例1 （1）求等差数列8，5，2，…的第20项；（2）判断-401是不是等差数列 –5,-9 ,-13…的项?
如果是，是第几项，如果不是，说明理由。
例2:在等差数列中,已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d。
下面我们看看正规书写！
一个方法
归纳法
一个
an a1 (n 1)d
公式
一个
知三求一的方程思想
思想
【高考链接】【课后作业】
要完成哟！
见课后评价清单！
谢谢大家！
an a1 (n 1)d
= am (m 1)d (n 1)d am (n m)d 即得第二通项公式
an am (n m)d
∴ d= am an mn

人教A版高中数学必修五2.2.1等差数列课件

得到数列： 6000，6500，7000，7500， 8000，8500，9000
引例三
耐克运动鞋（女）的尺码（鞋底长，单位是cm）
1 22
2
，23，
1 23
2
，24，
24
1 2
，25，
25 1 ，26 2
得到数列：
22 1 2
，23，
23
1 2
，24，
24
1 2
，25，
25 1 ，26 2
引例四
如果三个数a,A,b组成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。
如果A是a和b的等差中项，则2A=a+b.
容易看出，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；
反之，如果一个数列从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项，那么这个数列是等差数列。
答：需要支付车费23.2元。
例已知数列 an 的通项公式是an 3n 1 ，求证：数列 an 为等差数列.
证明： an1 an 3(n 1) 1 3n 1
3(常数）
数列 an 为等差数列.
an = a1+(n-1)d=dn+(a1-d) 令 d=p , a1-d=q 则 an = pn+q
另解: 由 an=am+(n－m)d 得 a20-a5=(20-5)d=-15 即 d=-1
所以 an=a5+(n-5)(-1)=-n-15
例2 某市出租车的计价标准为1.2元/km,起步价为10元，即最初的4km（不含4km）计费10元。如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？