学习等差数列求和公式的四个层次

学习等差数列求和公式的四个层次

黑龙江大庆实验中学(163311)毕明黎

等差数列前n 项和公式d n n na n

a a S

n n

2

)1(2

)(11-+

=+=

,是数列部分最重要公式之一,学习

公式并灵活运用公式可分如下四个层次: 1.直接套用公式

从公式d n n na n

a a n

a a S m n m n n 2

)1(2

)(2

)(111-+

=+=

+=

+-中,我们可以看到公式中出现了五

个量,包括,,,,,1n n S n a d a 这些量中已知三个就可以求另外两个了.从基本量的观点认识公式、理解公式、掌握公式这是最低层次要求.

例1 设等差数列{}n a 的公差为d,如果它的前n 项和2

n S n -=,那么( ).(1992年三南高考试

题)

(A)2,12-=-=d n a n (B)2,12=-=d n a n (C)2,12-=+=-d n a n (D)2,12=+-=d n a n

解法1 由于2n S n -=且1--=n n n S S a 知,,12)1(2

2+-=-+-=n n n a n

],1)1(2[121+---+-=-=-n n a a d n n ,2-=d 选(C).

解法2 ,2

)

1(2

1n d n n na S n -=-+

= 对照系数易知,2-=d

此时由2

1)1(n n n na -=--知,11-=a 故,12+-=n a n 选(C).

例2 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,已知33

1S 与

44

1S 的等比中项为

55

1S ,

33

1S 与

44

1S 的等

差中项为1,求等差数列{}n a 的通项n a .(1997年全国高考文科)

解 设{}n a 的通项为,)1(1d n a a n -+=前n 项和为.2

)1(1d n n na S n -+=

由题意知⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅

241

3

1)51(4131432

54

3S S S S S ,

即⎪⎩⎪⎨⎧=⨯+

+

⨯+⨯+

=

⨯+⨯⨯+

2)2

344(4

1)2233(3

1)

2

455(25

1)2344(4

1)2233(31

112

111d a d a d a d a d a

化简可得,2252053121⎪⎩

⎪⎨⎧=+=+d a d d a 解得⎩⎨⎧==101a d 或⎪⎩⎪⎨⎧=-

=45

121a d

由此可知1=n a 或.5

125

32)5

12)(1(4n n a n -

=

-

-+=

经检验均适合题意,故所求等差数列的通项为1=n a 或.512532n a n -=

2.逆向活用公式

在公式的学习中,不仅要从正向认识公式,而且要善于从反向分析弄清公式的本来面目.重视逆向

地认识公式,逆向运用公式,无疑将大大地提高公式的解题功效,体现了思维的灵活性.

例3 设,N n ∈求证:.2

)

3()1(32212

)

1(+<

+++⋅+⋅<+n n n n n n

(1985年全国高考文科)

证明 ,3212

)

1(n n n ++++=+ 又,211⋅<

,322⋅<,)1(,+<

n n n

.)1(32212)

1(++

+⋅+⋅<+∴

n n n n

又),1(4322

)

3(+++++=+n n n

且,

221<⋅,

332<⋅,443<⋅,1)1(,

+<+n n n

.2

)

3()1(3221+<

+++⋅+

⋅∴n n n n

例4 数列{}n a 对于任意自然数n 均满足2

)(1n

a a S n n +=,求证: {}n a 是等差数列. (1994年全

国高考文科)

证明 欲证n n a a -+1为常数, 由2

)(1n

a a S n n +=

及2

)

1)((111++=

++n a a S n n 可得

11)1(+-+=n n a n a na 推出,)1(211+++=+n n na a a n

作差可得,221+++=n n n na na na 因此.112n n n n a a a a -=-+++

由递推性可知: d d a a a a a a n n n n (12112=-==-=-+++ 为常数),所以命题得证.

这是九四年文科全国高考试题,高考中得分率极低,我们不得不承认此为公式教学与学习中的一

个失误,倘若能重视逆向地认识公式,理解公式,应用公式,还“和”为“项”,结局还能如此惨重吗?

3.横向联系,巧用公式

在公式的学习过程中,还要从运动、变化的观点来认识公式,从函数及数列结合的角度分析透彻理解公式,公式d n n na S n 2

)

1(1-+

=表明是关于n 的二次函数,且常数项为0,同时也可以看出点列

),(n S n 均在同一条抛物线上,且此抛物线过原点,体现了思维的广阔性,请再看例2.

解 设bn an S n +=2,则可得

⎪⎩⎪⎨⎧=++++⨯=⨯+⨯⨯⨯+⨯

2)416(41

)39(3

1)]55(51[)44(41)33(312

222b a b a b a b a b a 解得⎩⎨⎧==10b a 或⎪⎩

⎪⎨⎧=-=52656b a ,所以n S n

=或,526562n n S n +-= 从而1=n a 或.5

12

532n a n -= 例5 设等差数列{}n a 的前项和为n S ,已知,0,0,1213123<>=S S a 指出12321,,,,S S S S 中哪一个值最大,并说明理由. (1992年全国高考试题)

解 由于d n n na S n 2

)

1(1-+

=表明点列),(n S n

都在过原点的抛物线上,再由,0,01312<>S S 易知此等差数列公差d<0,且,01>a 图象如图所示, 易知其对称轴为)5.6,6(,00∈=x x x , 于是0,076<>a a ,故6S 最大.

4.恰当变形妙用公式

对公式进行适当变形,然后再运用公式是公式应用的较高层次,从而丰富了公式本身的内涵,往往

给解题带来捷径,体现了思维的深刻性.

对于公式2)(1n

a a S n n +=

,变形可得

2)

)((2)(2

)(111m n a a m

a a n

a a S n m m m n m n -++

+=

+=

++-,

对于公式d n n na S n 2

)

1(1-+

=,变形可得,2

1

1d n a n S n -+

= 它表明对于任意N n ∈,点列),(n

S n n 都在同一直线)2(2

:1d a x d y l -

+=

上.