学习等差数列求和公式的四个层次

学习等差数列求和公式的四个层次黑龙江大庆实验中学(163311)毕明黎等差数列前n 项和公式d n n na na a Sn n2)1(2)(11-+=+=,是数列部分最重要公式之一,学习公式并灵活运用公式可分如下四个层次: 1.直接套用公式从公式d n n na na a na a S m n m n n 2)1(2)(2)(111-+=+=+=+-中,我们可以看到公式中出现了五个量,包括,,,,,1n n S n a d a 这些量中已知三个就可以求另外两个了.从基本量的观点认识公式、理解公式、掌握公式这是最低层次要求.例1 设等差数列{}n a 的公差为d,如果它的前n 项和2n S n -=,那么( ).(1992年三南高考试题)(A)2,12-=-=d n a n (B)2,12=-=d n a n (C)2,12-=+=-d n a n (D)2,12=+-=d n a n解法1 由于2n S n -=且1--=n n n S S a 知,,12)1(22+-=-+-=n n n a n],1)1(2[121+---+-=-=-n n a a d n n ,2-=d 选(C).解法2 ,2)1(21n d n n na S n -=-+= 对照系数易知,2-=d此时由21)1(n n n na -=--知,11-=a 故,12+-=n a n 选(C).例2 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,已知331S 与441S 的等比中项为551S ,331S 与441S 的等差中项为1,求等差数列{}n a 的通项n a .(1997年全国高考文科)解 设{}n a 的通项为,)1(1d n a a n -+=前n 项和为.2)1(1d n n na S n -+=由题意知⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅24131)51(4131432543S S S S S ,即⎪⎩⎪⎨⎧=⨯++⨯+⨯+=⨯+⨯⨯+2)2344(41)2233(31)2455(251)2344(41)2233(31112111d a d a d a d a d a化简可得,2252053121⎪⎩⎪⎨⎧=+=+d a d d a 解得⎩⎨⎧==101a d 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=45121a d由此可知1=n a 或.512532)512)(1(4n n a n -=--+=经检验均适合题意,故所求等差数列的通项为1=n a 或.512532n a n -=2.逆向活用公式在公式的学习中,不仅要从正向认识公式,而且要善于从反向分析弄清公式的本来面目.重视逆向地认识公式,逆向运用公式,无疑将大大地提高公式的解题功效,体现了思维的灵活性.例3 设,N n ∈求证:.2)3()1(32212)1(+<+++⋅+⋅<+n n n n n n(1985年全国高考文科)证明 ,3212)1(n n n ++++=+ 又,211⋅<,322⋅<,)1(,+<n n n.)1(32212)1(+++⋅+⋅<+∴n n n n又),1(4322)3(+++++=+n n n且,221<⋅,332<⋅,443<⋅,1)1(,+<+n n n.2)3()1(3221+<+++⋅+⋅∴n n n n例4 数列{}n a 对于任意自然数n 均满足2)(1na a S n n +=,求证: {}n a 是等差数列. (1994年全国高考文科)证明 欲证n n a a -+1为常数, 由2)(1na a S n n +=及2)1)((111++=++n a a S n n 可得11)1(+-+=n n a n a na 推出,)1(211+++=+n n na a a n作差可得,221+++=n n n na na na 因此.112n n n n a a a a -=-+++由递推性可知: d d a a a a a a n n n n (12112=-==-=-+++ 为常数),所以命题得证.这是九四年文科全国高考试题,高考中得分率极低,我们不得不承认此为公式教学与学习中的一个失误,倘若能重视逆向地认识公式,理解公式,应用公式,还“和”为“项”,结局还能如此惨重吗?3.横向联系,巧用公式在公式的学习过程中,还要从运动、变化的观点来认识公式,从函数及数列结合的角度分析透彻理解公式,公式d n n na S n 2)1(1-+=表明是关于n 的二次函数,且常数项为0,同时也可以看出点列),(n S n 均在同一条抛物线上,且此抛物线过原点,体现了思维的广阔性,请再看例2.解 设bn an S n +=2,则可得⎪⎩⎪⎨⎧=++++⨯=⨯+⨯⨯⨯+⨯2)416(41)39(31)]55(51[)44(41)33(312222b a b a b a b a b a 解得⎩⎨⎧==10b a 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=52656b a ,所以n S n=或,526562n n S n +-= 从而1=n a 或.512532n a n -= 例5 设等差数列{}n a 的前项和为n S ,已知,0,0,1213123<>=S S a 指出12321,,,,S S S S 中哪一个值最大,并说明理由. (1992年全国高考试题)解 由于d n n na S n 2)1(1-+=表明点列),(n S n都在过原点的抛物线上,再由,0,01312<>S S 易知此等差数列公差d<0,且,01>a 图象如图所示, 易知其对称轴为)5.6,6(,00∈=x x x , 于是0,076<>a a ,故6S 最大.4.恰当变形妙用公式对公式进行适当变形,然后再运用公式是公式应用的较高层次,从而丰富了公式本身的内涵,往往给解题带来捷径,体现了思维的深刻性.对于公式2)(1na a S n n +=,变形可得2))((2)(2)(111m n a a ma a na a S n m m m n m n -+++=+=++-,对于公式d n n na S n 2)1(1-+=,变形可得,211d n a n S n -+= 它表明对于任意N n ∈,点列),(nS n n 都在同一直线)2(2:1d a x d y l -+=上.例6 等差数列{}n a 的前m 项和为30,前2m 项和为100,则它的前3m 项和为( ) (A)130 (B)170 (C)210 (D)260(1996年全国高考试题) 解法1 23)(313m a a S m m +=又由于100230212=⋅++=+m a a S m m m ,140)(21=+∴+m m a a m ,=+∴)(31m a a m 140)(21=++m m a a m ,从而,210231403=⨯=m S 选(C). 解法2 由于点),(m S m m )2,2(2mS m m )3,3(3mS m m 在同一直线)2(21d a x d y -+=上,因此mm m S m S m m m S m S mmmm--=--222323223,化简可得:210)(323=-=mm m S S S ,选(C).在上文我们曾给出97年高考试题两个解法, 这里我们再给出两个解法. 解法3 由于点列),(n S n n均在同一直线上,说明数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 成等差数列,从而可得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=⋅⋅=+ 243)5(434253432543453S S S S S S S S ,解得⎪⎩⎪⎨⎧=== 5S 43543S S 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-===458524543S S S 从而可求得⎩⎨⎧==1154a a 或⎪⎩⎪⎨⎧-=-=52851654a a , 故等差数列{}n a 通项为1=n a 或.512532n a n -=解法4 由于点列),(nS n n 均在同一直线上如图所示,由2413143=+S S 知A 点坐标为(3.5,1).若直线l 与x 轴无交点,即平行于x 轴,则 d=0,,,1N n nS n ∈=,显然也满足条件2543)51(4131S S S =⋅,从而.,1,N n a n S n n ∈==若直线l 与x 轴相交,设其交点为B(x,0),),3,3(31S P ),4,4(42S P ),5,5(53S P 由2543)51(4131S S S =⋅及2413143=+S S 知,033>S ,044>S 且.055<S 若不然,033>S,044>S .055>S ,由单调性知不可能有2543)51(4131S S S =⋅,因此点B 应落在(4,0),(5,0)之间.由2543)51(4131S S S =⋅可得,45534553S S S S =即有,4553xx xx --=--解得313=x .由A 、B 两点坐标可求),(nS n n 所在直线方程为,52656)313(56+-=--=n n n S n,526562n n S n +-=∴.512532n a n -=综上所述所求等差数列通项公式为1=n a 或.512532n a n -=从以上可以看出,对公式的学习不应仅仅停留在公式的表面.对公式深刻而丰富的内涵忽视或视而不见,而应充分挖掘出这些隐藏在内部的思想方法为我所用,提高公式的解题功效,才能达到灵活运用公式的较高境界.含参变量的对数高考高考试题解法综述黑龙江大庆实验中学(163311)毕明黎含参变量的对数问题常常在高考试题中出现,本文对这一类问题的解法作以总结,以揭示这类问题的一般解题规律.1.直接转换直接转换:即把已知条件等价变形,而使问题获解,这里一定要注意等价变形. 例1 已知1,0≠>a a ,试求使方程)(log )(log 222a x ak x aa -=-有解的k 的取值范围.(1989年全国高考试题)解:原方程等价于⎪⎩⎪⎨⎧>->--=-③a x ②ak x a x ak x 0 0① )(22222由①可得a kkx 212+=④显然④满足不等式③,将④代入②可得1-<k 或10<<k 即为所求. 例2 解不等式1)11(log >-xa .(1996年全国高考试题)解(Ⅰ)当1>a 时原不等式等价不等式组 ⎪⎩⎪⎨⎧>->-ax x 11011,11xa >-⇒从而.011<<-x a(Ⅱ)当10<<a 时原不等式等价于不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-<<<-<>>-ax ②a x x x x 110 ② 1101① ① 011得由或知由.111ax -<<∴综上所述,当1>a 时原不等式解集为{}011|<<-x a x , 当10<<a 时原不等式解集为{}111|ax x -<<2.消参策略根据题目特征,消去参数可大大减少不必要的讨论.例 3 设10<<x 且1,0≠>a a ,试比较)1(log x a -与)1(log x a +的大小. (1982年全国高考试题)解:xx x x x -<+<∴<-<-<∴<<1110,11,110,102于是1)1(log11log )1(log )1(log)1(log )1(log )1()1()1()1(=+>-=--=-=+-++++x xx x x x x x x x a a因此)1(log x a ->)1(log x a + 3.引参策略恰当地设立参数,使问题得到简化,计算量减少,这是解题中常用技巧. 例4 设对所有实数x,不等式04)1(log12log2)1(4log 222222>+++++aa a ax aa x 恒成立,求a 的取值范围. (1987年全国高考试题)解:令aa t a21log+=,则原不等式可转化为022)3(2>+-+t tx x t .要使原不等式恒成立,必须有φ⎪⎩⎪⎨⎧∈⇒>==+t t t t 020203或⎩⎨⎧>⇒<+-=∆>+00)3(84 032t t t t t 即,021log2>+aa 解之.10<<a适当地引入参数,另辟蹊径解题十分巧妙,请再看例1. 解:原方程等价于)(22a x a x ak x >-=-.,,022a x aa x x k a >--=∴≠设)2,0()0,2(,csc ππθθ -∈=a x ,则θθctg k -=sin 1当)0,2(πθ-∈时2sin cos 1θθθctgk =+=又.1),0,4(2-<∴-∈k πθ当)2,0(πθ∈时2sin cos 1θθθtgk =-=又.10),4,0(2<<∴∈k πθ综上所述可知k 的范围为1-<k 或.10<<k 4.分类讨论分类讨论是解决含参变量问题的重要手段之一,值得注意的是在分类讨论中要准确地确定分类标准逐级分类讨论.例5 已知自然数n,实数a>1,解关于x 的不等式).(log 3)2(1log)2(log12log)4(log2132a x x n x x x a nan aaan--->-+++-+- (1991年全国高考试题)解:原不等式等价于).(log 3)2(1log3)2(12a x x a nan--->--(1)n 为奇数时)(log log2a x x a a->即2141++<<a x a(2)n 为偶数时)(log log 2a x x a a -<即2141++>a x例 6 设0,1,0>≠>t a a ,比较t alog21与21log+t a的大小,并证明你的结论. (1988年全国高考试题)解:当t>0时,由均值不等式有t t ≥+21,当且仅当t=1时取“=”号,所以①t=1时t alog21=21log+t a②1≠t 时 若,10<<a 则t alog21>21log+t a若1>a 则t alog21<21log+t a分类讨论应注意: ①对于多个参变量应分清主参变量与次参变量, ②按先主后次顺序分层次讨论,③必须确定讨论的全集及分类标准,各类必须互不相容,否则产生重复讨论各类子集的并集必须是全集,否则产生遗漏现象. 5.数形结合数和形是整个数学发展过程中的两大柱石,数形结合是数学中十分重要的思想方法,某些问题,不妨可借助于几何图形来考虑,因为几何图形直观、形象,易于求解,请再看例1. 解:原方程等价于)(log)(log 22a x ak x aa -=-转化为考虑曲线)0(>-=y ak x y 与曲线 )0(22>-=y a x y ,要使原方程有解,只须上半直线和上半双曲线有交点,由ak x y -=平行于双曲线一条渐近线x y =,如图,a ka <<0 或a ak -<从而解得1)<<k 或1-<k 时原方程有解. 对例5也可有如下解法.原不等式等价于).(log 3)2(1log3)2(12a x x a nan--->--,在同一坐标系中作出y=x(y>0),)0(2>-=y a x y 的 图象.由图象知a x >,由a x x -=2求得交点P 横坐标为2141++=a x ,2141+-=a x (舍)当n 为奇数时,由03)2(1>--n知(log log2a x x a a->a>1由图象知2141++<<a x a .当n 为偶数时,由03)2(1<--n知)(log log2a x x a a-<因a>1,由图象知2141++>a x .仿上方法同理可求解例2,这里从略.步骤:①把原不等式(方程)等价变形为)),()()(()(x g x f x g x f =>②作出)(x f y =与)(x g y =图象,③由)()(x g x f =求交点,④由图象及函数性质确定范围,从而求解. 6.分离参数(主次转化)更换问题中的参变量和变量位置,常常得到新颖简洁的解法,请再看例4. 解:将原不等式变形为,021log)22(3222>++-+aa x x x,01)1(2222>+-=+-x x x 1)1(321log222+-->+∴x xaa ,又对于任意R x ∈,01)1(322≤+--x x,因此必须且只须,021log2>+aa即,121>+aa 解之0<a<1.∴所求a 的取值范围为0<a<1.例7 设,)1(321lg)(nan n x f xx x x +-++++= 其中a 是实数,2,≥∈n N n ,如果当)1,(-∞∈x 时,)(x f 有意义,求a 的取值范围. (1990年全国高考试题)解:由题设知)1,(-∞∈x 时不等式0)1(321>+-++++a n n xxxx恒成立,即])1()3()2()1[(xx x x nn nnna -++++-> 恒成立.令])1()3()2()1[()(xx x x n n nnnx -++++-= ϕ,)1,(-∞∈x 时为增函数. 因此x=1时21)121()(max n nn n nx -=-+++-= ϕ.)(x a ϕ> 恒成立,21n a ->∴.仿上述解法可对例1再给出如下两个解法: 解法1 以k 为主参数考虑由)1(22k a kx +=,知ax kk =+212,ax x f =)(在),(+∞ak 为增函数,故k ax x f >=)(即k kk >+212,解之1-<k 或.10<<k解法2 以a 为主参数,由0122>+=kkx a 知k 与x 同号,代入0>-ak x 知2212kx k x +>①当x>0时,则k>0,故1011222<<⇒<+k k k②当x<0时,则k<0,故111222-<⇒>+k kk综上可知)1,0()1,( --∞∈k .分离参数一般步骤为:①将含参数t 的关于x 的方程或不等式变形为g(t)与 )(x ϕ的等式或不等式,②根据方程或不等式的解(x)的范围确定函数)(x ϕ的取值范围D,③由D 以及g(t)与)(x ϕ的相等与不等关系确定为g(t)的取值范围,从而求出参数t 的范围.说明:这里①是前提,②是关键从以上数例可以看出,只要我们从多角度、多方位、多层次上去挖掘隐含条件,从而获得问题的最佳解决方法,不断提高自己的解题能力.。