第三章 力系的平衡(陆)
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《工程力学：第三章-力系的平衡条件和平衡方程》解析
工程力学 1. 选择研究对象。以吊车大梁 AB为研究对象，进行受力分析 （如图所示） 2.建立平衡方程
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
FAX FTB cos 0 Fy 0
F
x
0
： （1）
M
FAy FQ FP FTB sin 0
A
(F ) 0
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
§3.3 考虑摩擦时的平衡问题
3.3.1 滑动摩擦定律
概念：
静摩擦力：F 最大静摩擦力：Fmax 滑动摩擦力： Fd
静摩擦因数：
水平拉力： Fp
Fmax f s FN
fs
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
3.3.2 考虑摩擦时构件的平衡问题
考虑摩擦力时与不考虑摩擦力时的平衡 解题方法和过程基本相同， 但是要注意摩擦力的方向与运动趋势方向相反；且在滑动之前摩擦 力不是一个定值，而是在一定范围内取值。
l l sin 0
（3）
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
• 联立方程（1）（2）（3）得：
FAX
FQ FP 3 l x 2
（2）由FTB结果可以看出，当x=L时，即当电动机移动到大梁右 端B点时，钢索所受的拉力最大，最大值为
非静定问题：未知数的数目多于等于独立的平衡方程的数目，不能 解出所有未知量。相应的结构为非静定结构或超静定结构。
会判断静定问题和非静定问题
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
3.2.2 刚体系统平衡问题的特点与解法
1.整体平衡与局部平衡的概念 系统如果整体是平衡的，则组成系统的每一个局部以及每一个 2.研究对象有多种选择 刚体也必然是平衡的。
第三章力系的平衡介绍
工 程 力 学
§3-2
平面力系的平衡条件
F1 Fn F3
1、平面任意力系的平衡方程 F2 平面任意力系平衡的充要条件是： 力系的主矢和对任意点的主矩都等于零。
0 FR
第 三 章 力 系 的 平 衡
Mo 0
平面任意力系
FR ( Fx ) 2 ( Fy ) 2
M O M O (F )
2
0
F
x
0,
F
y
0,
F
z
0
即:汇交力系的平衡条件是力系中所有各力在各个坐
标轴中每一轴上的投影的代数和分别等于零。
工 程 力 学
三、空间平行力系的平衡方程
第 三 章 力 系 的 平 衡
F
z
0,
M (F ) 0, M (F ) 0
x
y
工 程 力 学
四、空间力偶系的平衡方程
第 三 章 力 系 的 平 衡
工 程 力 学
例：如图所示为一种起吊装置的结构简图。图中尺寸d , 载荷F， <FAD =60均为已知。若不计各杆自重，试求杆AF与杆AD在各 自的约束处所受的约束力。
第 三 章 力 系 的 平 衡
工 程 力 学
第 三 章 力 系 的 平 衡
工 程 力 学
例：滑轮支架系统如图所示。已知G，a,r,θ ,其余物体重 量不计,试求A和B的约束力。
工 程 力 学
3、平面汇交力系的平衡方程
F
x
0,
F
y
0
4、平面力偶系的平衡条件
第 三 章 力 系 的 平 衡
M 0
即：力偶系各力偶力偶矩的代数和等于零。
工 程 力 学
工程力学3-力系的平衡条件和平衡方程
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在 作用面内两个任选的坐标轴上投影的代数和等于零。 上式称为平面汇交力系的平衡方程。
[例2] 已知 P=2kN 求SCD , RA
解: 1. 取AB杆为研究对象
2. 画AB的受力图
3. 列平衡方程
X0 R A c oS sCD co 40 s 50
Y0 P R A si n S Cs D 4 i0 n 5 0
的代数和等于零，即 n
Mi0
i1
思考：从力偶理论知道，一 力不能与力偶平衡。图示轮 子上的力P为什么能与M平 衡呢？
M
OR
P
[例3] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径 的孔,每个钻头的力偶矩为 m 1 m 2 m 3 m 4 1N 5 m ,求工件的 总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
静定（未知数三个） 静不定（未知数四个）
静不定问题在强度力学（材力,结力,弹力）中用位移谐 调条件来求解。
判断各图的超静定次数
P
P
P
P
P
F
F
例5 例5 求图示三铰刚架的支座反力。
解：先以整体为研究对象，受力如图。
FAy
FB
例题3
悬臂式吊车结构中AB为吊车大梁，BC为钢索， A、处为固定铰链支座，B处为铰链约束。已知起重 电动电动机E与重物的总重力为FP(因为两滑轮之间 的距离很小，FP可视为集中力作用在大梁上)，梁的 重力为FQ。已知角度θ=30º。 求：1. 电动机处于任意位置时，钢索BC所受的力和 支座A处的约束力； 2. 分析电动机处于什么位置时，钢索受力最大，并 确定其数值。
前几章中，实际上已经遇到过一些简单刚体系统的问题，只 不过由于其约束与受力都比较简单，比较容易分析和处理。
[例2] 已知 P=2kN 求SCD , RA
解: 1. 取AB杆为研究对象
2. 画AB的受力图
3. 列平衡方程
X0 R A c oS sCD co 40 s 50
Y0 P R A si n S Cs D 4 i0 n 5 0
的代数和等于零，即 n
Mi0
i1
思考：从力偶理论知道，一 力不能与力偶平衡。图示轮 子上的力P为什么能与M平 衡呢？
M
OR
P
[例3] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径 的孔,每个钻头的力偶矩为 m 1 m 2 m 3 m 4 1N 5 m ,求工件的 总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
静定（未知数三个） 静不定（未知数四个）
静不定问题在强度力学（材力,结力,弹力）中用位移谐 调条件来求解。
判断各图的超静定次数
P
P
P
P
P
F
F
例5 例5 求图示三铰刚架的支座反力。
解：先以整体为研究对象，受力如图。
FAy
FB
例题3
悬臂式吊车结构中AB为吊车大梁，BC为钢索， A、处为固定铰链支座，B处为铰链约束。已知起重 电动电动机E与重物的总重力为FP(因为两滑轮之间 的距离很小，FP可视为集中力作用在大梁上)，梁的 重力为FQ。已知角度θ=30º。 求：1. 电动机处于任意位置时，钢索BC所受的力和 支座A处的约束力； 2. 分析电动机处于什么位置时，钢索受力最大，并 确定其数值。
前几章中，实际上已经遇到过一些简单刚体系统的问题，只 不过由于其约束与受力都比较简单，比较容易分析和处理。
力系的平衡
i =1 i =1
n
n
∑M
i =1
n
O
( Fi ) = 0
Oy
∑M
i =1
n
Ox
(Fi ) = 0 ,
∑M
i =1
n
(Fi ) = 0 ,
∑M
i =1
n
Oz
(Fi ) = 0
3个平衡方程 个平衡方程 平面力偶系
2011年6月21日 理论力学CAI 静力学 6
∑M
i =1
n
Oz
(Fi ) = 0
1个平衡方程 个平衡方程
E
∑F
i =1
n
F
q C a a
M D
求支承处对梁的约束力
2011年6月21日 理论力学CAI 静力学 14
力系的平衡/刚体系平衡
[解] 解
定研究对象： 定研究对象：梁OBD 定问题性质： 定问题性质：平面 建立参考基： 建立参考基： 受力分析 主动力简化
y
O
F
q C a
FCy
M D
A a
FAy
B a a F1 F
2011年6月21日 理论力学CAI 静力学 8
力系的平衡/力系的平衡方程
[例] 例
图示长为l的简支梁上作用一分布 图示长为 的简支梁上作用一分布 上作用一 载荷， 载荷，其单位长度上受力的大小 称为载荷集度 单位为牛顿/米 载荷集度(单位为牛顿 称为载荷集度 单位为牛顿 米) 其左端的集度为零， 其左端的集度为零，右端集度为 q。载荷的长度为 l，载荷的方向 。 ， 垂直向下。 垂直向下。 O l
2011年6月21日 理论力学CAI 静力学
力系的平衡/力系的平衡方程
n
n
∑M
i =1
n
O
( Fi ) = 0
Oy
∑M
i =1
n
Ox
(Fi ) = 0 ,
∑M
i =1
n
(Fi ) = 0 ,
∑M
i =1
n
Oz
(Fi ) = 0
3个平衡方程 个平衡方程 平面力偶系
2011年6月21日 理论力学CAI 静力学 6
∑M
i =1
n
Oz
(Fi ) = 0
1个平衡方程 个平衡方程
E
∑F
i =1
n
F
q C a a
M D
求支承处对梁的约束力
2011年6月21日 理论力学CAI 静力学 14
力系的平衡/刚体系平衡
[解] 解
定研究对象： 定研究对象：梁OBD 定问题性质： 定问题性质：平面 建立参考基： 建立参考基： 受力分析 主动力简化
y
O
F
q C a
FCy
M D
A a
FAy
B a a F1 F
2011年6月21日 理论力学CAI 静力学 8
力系的平衡/力系的平衡方程
[例] 例
图示长为l的简支梁上作用一分布 图示长为 的简支梁上作用一分布 上作用一 载荷， 载荷，其单位长度上受力的大小 称为载荷集度 单位为牛顿/米 载荷集度(单位为牛顿 称为载荷集度 单位为牛顿 米) 其左端的集度为零， 其左端的集度为零，右端集度为 q。载荷的长度为 l，载荷的方向 。 ， 垂直向下。 垂直向下。 O l
2011年6月21日 理论力学CAI 静力学
力系的平衡/力系的平衡方程
第3章力系平衡方程
FR
F F
2 x y
2
38.822 3.82
（kN） 33
主矢FR′的方向为
tan
F F
y
3.8 32.82
0.1158
6 .6
x
主矢FR′在第四象限内，与x轴的夹角为6.6°。
2019/1/5
（2）求主矩MO 力系对点O的主矩为 MO=∑MO(F) =－F1sin20°· b－F2cos30°· b + F2sin30°· a +m =－20×0.342×10－ 30×0.866×10+30×0.5×6+100 =－138(kN· m) 顺时针方向。
图3-5
2019/1/5
【例3-2】图
【解】 （1）建立直角坐标系，计算合力在x轴和y轴 上的投影
FRx Fx F1 cos30 F2 cos60 F3 cos45 F4 cos45
=200×0.866－300×0.5－100×0.707+250×0.707 =129.25N
MO（FR）= MO（F1）+ MO（F2）+…+ MO（Fn） =∑MO（F）
（3-6）
2019/1/5
【例3-5】 如图3-9所示，每1m长挡土墙所受土压 力的合力为FR，如FR=200kN，求土压力FR使挡土墙倾覆的 力矩。 【解】土压力FR可使挡土墙绕 A点倾覆，故求土压力FR使墙倾覆 的力矩，就是求FR对A点的力矩。 由已知尺寸求力臂d比较麻烦，但 如果将FR分解为两个力F1和F2，则 两分力的力臂是已知的，故由式 （3-6）可得
图3-16
力的平移定理
2019/1/5
F F
2 x y
2
38.822 3.82
（kN） 33
主矢FR′的方向为
tan
F F
y
3.8 32.82
0.1158
6 .6
x
主矢FR′在第四象限内，与x轴的夹角为6.6°。
2019/1/5
（2）求主矩MO 力系对点O的主矩为 MO=∑MO(F) =－F1sin20°· b－F2cos30°· b + F2sin30°· a +m =－20×0.342×10－ 30×0.866×10+30×0.5×6+100 =－138(kN· m) 顺时针方向。
图3-5
2019/1/5
【例3-2】图
【解】 （1）建立直角坐标系，计算合力在x轴和y轴 上的投影
FRx Fx F1 cos30 F2 cos60 F3 cos45 F4 cos45
=200×0.866－300×0.5－100×0.707+250×0.707 =129.25N
MO（FR）= MO（F1）+ MO（F2）+…+ MO（Fn） =∑MO（F）
（3-6）
2019/1/5
【例3-5】 如图3-9所示，每1m长挡土墙所受土压 力的合力为FR，如FR=200kN，求土压力FR使挡土墙倾覆的 力矩。 【解】土压力FR可使挡土墙绕 A点倾覆，故求土压力FR使墙倾覆 的力矩，就是求FR对A点的力矩。 由已知尺寸求力臂d比较麻烦，但 如果将FR分解为两个力F1和F2，则 两分力的力臂是已知的，故由式 （3-6）可得
图3-16
力的平移定理
2019/1/5
C·A上传 【理论力学】第三章 力系的平衡
BE CE FDC =0 0; ∑ Fix =FDB DB DC
FDC FDB
P
BE = CE DB = DC 则:FDB = FDC
DO DO DO ∑ Fiy FDB = 0; FDC FDA =0 DB DC DA
cm DB = 20 3, , DA = 20 5;cm
FDA
EO AO 0; ∑ Fiz = FDB 2 FDA P=0 DB DA
汇交力系
√2 FA = FC = — F = FB 力多边形自行封闭
2
r F r F
C
B
r FB
例3-2:已知物体的重量为 .求:(a)平衡时铅垂力 , - :已知物体的重量为P )平衡时铅垂力F, (b)维持平衡时 的最小值及其相应方向.不计构件自重. )维持平衡时F 的最小值及其相应方向.不计构件自重. 讨论题
3 联立求解 FDA = P = 745N , 3 FDB = FDC = 289N
避免解联立方程 改变坐标方向
立柱AB与绳 与绳BC 例3-8:起重机起吊重量 =1kN.求:立柱 与绳 ,BD,BE - :起重机起吊重量P . x' 的受力. 的受力.
解: B点有四个未知力汇交, 点有四个未知力汇交, 点有四个未知力汇交
§3-1 汇交力系的平衡 -
汇交力系简化的结果
汇交力系平衡的充要条件: 汇交力系平衡的充要条件: 充要条件 力系的合力等于零
r FR = 0
各力全部 汇交力系平衡的几何条件 力多边形自行封闭 首尾相连 几何条件: 汇交力系平衡的几何条件: 仅适用于平 力多边形法则 解析条件: 汇交力系平衡的解析条件 平衡方程 汇交力系平衡的解析条件: 面汇交力系 几何法 空间汇交力系: 合力投影定理
FDC FDB
P
BE = CE DB = DC 则:FDB = FDC
DO DO DO ∑ Fiy FDB = 0; FDC FDA =0 DB DC DA
cm DB = 20 3, , DA = 20 5;cm
FDA
EO AO 0; ∑ Fiz = FDB 2 FDA P=0 DB DA
汇交力系
√2 FA = FC = — F = FB 力多边形自行封闭
2
r F r F
C
B
r FB
例3-2:已知物体的重量为 .求:(a)平衡时铅垂力 , - :已知物体的重量为P )平衡时铅垂力F, (b)维持平衡时 的最小值及其相应方向.不计构件自重. )维持平衡时F 的最小值及其相应方向.不计构件自重. 讨论题
3 联立求解 FDA = P = 745N , 3 FDB = FDC = 289N
避免解联立方程 改变坐标方向
立柱AB与绳 与绳BC 例3-8:起重机起吊重量 =1kN.求:立柱 与绳 ,BD,BE - :起重机起吊重量P . x' 的受力. 的受力.
解: B点有四个未知力汇交, 点有四个未知力汇交, 点有四个未知力汇交
§3-1 汇交力系的平衡 -
汇交力系简化的结果
汇交力系平衡的充要条件: 汇交力系平衡的充要条件: 充要条件 力系的合力等于零
r FR = 0
各力全部 汇交力系平衡的几何条件 力多边形自行封闭 首尾相连 几何条件: 汇交力系平衡的几何条件: 仅适用于平 力多边形法则 解析条件: 汇交力系平衡的解析条件 平衡方程 汇交力系平衡的解析条件: 面汇交力系 几何法 空间汇交力系: 合力投影定理
工程力学第三章-力系的平衡
将上式两边向x、y、z 轴投影，可得平衡方程
F F F
可以求解3个未知量。
x y
z
0 0 0
• 2.平面汇交力系
力系的平衡
• 力偶系的平衡方程 • 1.空间力偶系
平衡的充要条件（几何条件） M Mi 0 将上式两边向x、y、z 轴投影，可得平衡方程
M M M
可以求解3个未知量。
ix iy iz
0 0 0
• 2.平面力偶系
力系的平衡
• 平衡的充要条件:力偶系中各力偶矩的代数和等于零.
m 0
i
• 任意力系的平衡方程 空间任意力系： • 平衡的充要条件:力系的主矢和对任一点的主矩均为零。
FR 0
MO 0
G3 a
e
G 3(a b) FNAb G1e G 2L 0 G 3(a b) G1e G 2L FNA 2 b
由(1)、(2)式 得：
G1 G2 L
G1e G 2L G3 ab
3
A FN A b
B FN B
(2)空载时
不翻倒条件：FNB≥0 (4) 由 mA 0 得：
FAB = 45 kN
600
y B TBC 15 15 30 TBD
0 0 0
x
C
D
150
B
300
TBD=G E
A
E
FAB G
解题技巧及说明：
1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。 2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或特殊， 都用解析法。 3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一 个未知数。
工力C第三章力系的平衡方程及应用
M
静力学
第三章 力系的平衡方程及其应用
静力学
例3-3 伸臂式起重机，已知匀质梁AB 重P =4kN，吊车连 同吊起重物重P1=10kN。有关尺寸如图。
y
试求：拉索BD 的拉力及铰链 A 的约束力。
D
解：取AB梁连同重物为研究对象，
FAy
FT
C 30°
A
FAx
画受力图。 取坐标，列平衡方程。
B
x由： X 0
• 空间任意力系平衡方程：基本形式、四矩式、五矩式 和六矩式。
• 应当注意：每一种形式最多只能列6个独立平衡方程， 解6个未知数，任何多于6个的方程都是这些方程的线性 组合。
• 空间任意力系平衡方程是平衡方程的一般形式。汇交 力系、平行力系、力偶系及平面力系是其特殊形式。
第三章 力系的平衡方程及其应用
对图（d）:
FT1
由 M B (F ) 0 0.4FT cos 1YH 0
(d)
X H
H
由 X 0
FT sin X H X B 0
(e)
YH
FT2 由 Y 0
FT cos YH YB 0
(f )
(c)
YB E X B
B
F'T
但若系统的n物体中，有n1个物体为二力构件或受平面 力偶系， n2个受平面汇交力系或平面平行力系、n3个受平 面任意力系作用，则最多可列的独立平衡方程的数目m为
m n1 2n2 3n3
可解m个未知数。
第三章 力系的平衡方程及其应用
静力学
设k为物体系统的未知量数目
若k = m，未知量数目等于可列独立平衡方程的数
FB
理论力学第3章 力系的平衡
基础部分——静力学第3 章力系的平衡主要内容：§3-7 重心即：力系平衡的充分必要条件是，力系的主矢和对任一点3-2-1 平衡方程的一般形式∑=iF F R ∑=)(i O O F M M 已知∑=iF F R ∑=)(i O O F M M 投影式：平衡方程i即：力系中所有力在各坐标轴上投影的代数和分别等于零；所有力对各坐标轴之矩的代数和分别等于零。
说明：¾一般¾6个3个投影式，3个力矩式；¾一般形式基本形式3-2-2 平面一般力系的平衡方程xy zOF1F2Fn平面内，¾一般形式¾3个2个投影式，1个力矩式；¾ABAzzCC附加条件：不垂直附加条件：不共线Bx二矩式的证明必要性充分性合力平衡AA 点。
B 点。
过ABBx故必有合力为零，力系平衡证毕平面问题3个3个 解题思路BAMFo45l l[例3-1] 悬臂梁，2解：M A 校核：0)(=∑F MB满足！解题思路？AyF AxF[例3-2] 伸臂梁F AxF AyF BF q 解：0=∑x F 0)(=∑F AM3(F −+0=∑yF3(F −+(F −+0)(=∑F AM=∑yF0=∑x F F AxF AyF BF q 思考：如何用其他形式的平衡方程来求解？0=∑x F 3(F −+0)(=∑F AMF AxF F BF q 0)(=∑F BM(F −+二矩式思考练习][练习FFlll F ACB DlllACB DM=F l[思考][思考]lll F ACB DlllACB DF见书P54例3-1—约束lllACB DF—约束CBADEFM—约束—约束—整体平衡局部平衡CB ADEFM研究对象的选取原则¾仅取整体或某个局部，无法求解；¾一般先分析整体，后考虑局部；¾尽量做到一个方程解一个未知力。
qCBAm2m2m2m2MBCM[例3-3] 多跨梁，求：如何选取研究对象？F CqF CFAxF AyM ABAqF'BxF'ByM A F Ax F AyF Bx F By解：先将分布力用合力来代替。
力系的平衡条件与平衡方程资料课件
然后，利用微分性质和平衡条 件求解微分方程。
最后，将微分方程的解代回原 方程进行验证。
积分法求解平衡方程
积分法是通过对方程进行积分，然后 利用积分性质和平衡条件求解平衡方 程的方法。
然后，利用积分性质和平衡条件求解 积分方程。
首先，将平衡方程表示为积分方程。
最后，将积分方程的解代回原方程进 行验证。
空间力系平衡方程的形式
空间力系平衡方程的一般形式为FX=0、FY=0和FZ=0，其中FX、FY和FZ分别表示X轴、Y 轴和Z轴上的合力矩。
特殊力系的平衡方程
01
特殊力系平衡方程 的概念
特殊力系平衡方程是在研究特殊 情况下物体受力情况时，根据力 的平衡条件建立起来的方程。
02
特殊力系平衡方程 的建立方法
THANKS
感谢观看
3
平衡方程
对于特殊力系，需要结合具体问题进行分析和求 解。
03
平衡方程的建立
平面力系的平衡方程
01
平面力系平衡方程的概念
平面力系平衡方程是在研究平面物体受力情况时，根据力的平衡条件建
立起来的方程。
02
平面力系平衡方程的建立方法
通过分析物体的受力情况，列出所有力的正负号，然后根据力的平衡条
件建立方程。
弹性力学问题
弹性力学问题主要研究物体在受到外力作用时发生的形变 和应力分布情况。平衡方程在弹性力学问题中同样发挥着 重要的作用。
弹性力学问题中，平衡方程的应用包括分析物体的形变情 况、求解物体的应力分布和应变等参数，以及判断物体的 稳定性和平衡状态等。
05
平衡方程的求解方法
代数法求解平衡方程
01
空间力系的平衡条件
空间力系中，所有力的矢量和为零，即合力为零。
工程力学：第3章 力系的平衡
解得 MA 1188kN m
已知： P1 700kN, P2 200kN, 尺寸如图；
求：（1）起重机满载和空载时不翻倒，平衡载重P3； （2）P3=180kN，轨道AB给起重机轮子的约束力。
解：取起重机，画受力图。 满载时，FA 0, 为不安全状况
MB 0
P3min 8 2P1 10P2 0
外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。 内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。
物系平衡的特点： ①物系静止 ②物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列3个 平衡方程，整个系统可列3n个方程（设物系中 有n个物体）
解物系问题的一般方法： 由整体 局部（常用），由局部
整体（用较少）
[例] 已知：OA=R, AB= l , 当OA水平时，冲压力为P时， 求：①M=？②O点的约束反力？③AB杆内力？ ④冲头给导轨的侧压力？
解得 P3min=75kN
空载时， FB 0, 为不安全状况
M A 0 4P3max-2P1=0
解得
解得 解得
F3max=350kN
75kN P3 350kN
P3=180kN时
MA 0 FB=870kN
4P3 2P1 14P2 4FB 0
Fiy 0 FA FB P1 P2 P3 0
解得 FAx 32.89kN
Fiy 0 FAy FB sin 600 2ql F cos300 0
解得
FAy 2.32kN
M A 0 M A M 2ql 2l FB sin 600 3l F cos300 4l 0
解得
M A 10.37kN
平面一般力系的平衡方程
一矩式
解：研究B
由 Fx 0 N SB sin 0
已知： P1 700kN, P2 200kN, 尺寸如图；
求：（1）起重机满载和空载时不翻倒，平衡载重P3； （2）P3=180kN，轨道AB给起重机轮子的约束力。
解：取起重机，画受力图。 满载时，FA 0, 为不安全状况
MB 0
P3min 8 2P1 10P2 0
外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。 内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。
物系平衡的特点： ①物系静止 ②物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列3个 平衡方程，整个系统可列3n个方程（设物系中 有n个物体）
解物系问题的一般方法： 由整体 局部（常用），由局部
整体（用较少）
[例] 已知：OA=R, AB= l , 当OA水平时，冲压力为P时， 求：①M=？②O点的约束反力？③AB杆内力？ ④冲头给导轨的侧压力？
解得 P3min=75kN
空载时， FB 0, 为不安全状况
M A 0 4P3max-2P1=0
解得
解得 解得
F3max=350kN
75kN P3 350kN
P3=180kN时
MA 0 FB=870kN
4P3 2P1 14P2 4FB 0
Fiy 0 FA FB P1 P2 P3 0
解得 FAx 32.89kN
Fiy 0 FAy FB sin 600 2ql F cos300 0
解得
FAy 2.32kN
M A 0 M A M 2ql 2l FB sin 600 3l F cos300 4l 0
解得
M A 10.37kN
平面一般力系的平衡方程
一矩式
解：研究B
由 Fx 0 N SB sin 0
工程力学 第3章 力系的平衡
6
解 ：1. 受力分析, 确定平衡对象 圆弧杆两端 A 、 B 均为铰链，中间无外力作用，因此圆弧杆为二力杆。 A 、 B 二处的 约束力 FA 和 FB 大小相等、 方向相反并且作用线与 AB 连线重合。 其受力图如图 3－6b 所示。 若 以圆弧杆作为平衡对象，不能确定未知力的数值。所以，只能以折杆 BCD 作为平衡对象。 ' 折杆 BCD ， 在 B 处的约束力 FB 与圆弧杆上 B 处的约束力 FB 互为作用与反作用力， 故 二者方向相反； C 处为固定铰支座，本有一个方向待定的约束力，但由于作用在折杆上的 ' 只有一个外加力偶，因此，为保持折杆平衡，约束力 FC 和 FB 必须组成一力偶，与外加力 偶平衡。于是折杆的受力如图 3－6c 所示。 2．应用平衡方程确定约束力 根据平面力偶系平衡方程（3－10） ，对于折杆有 M + M BC = 0 （a） 其中 M BC 为力偶（ FB , FC ）的力偶矩代数值
图 3－8 例 3－3 图
解 ：1. 选择平衡对象 本例中只有平面刚架 ABCD 一个刚体（折杆） ，因而是唯一的平衡对象。 2 受力分析 刚架 A 处为固定端约束， 又因为是平面受力， 故有 3 个同处于刚架平面内的约束力 FAx、 FAy 和 MA 。 刚架的隔离体受力图如图 3－8b 所示。 其中作用在 CD 部分的均布荷载已简化为一集中 力 ql 作用在 CD 杆的中点。 3. 建立平衡方程求解未
习 题
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2
第 3 章 力系的平衡
§３－１ 平衡与平衡条件
３－１－１ 平衡的概念
物体静止或作等速直线运动，这种状态称为平衡。平衡是运动的一种特殊情形。
平衡是相对于确定的参考系而言的。例如，地球上平衡的物体是相对于地球上固定参 考系的， 相对于太阳系的参考系则是不平衡的。 本章所讨论的平衡问题都是以地球作为固定 参考系的。 工程静力学所讨论的平衡问题，可以是单个刚体，也可能是由若干个刚体组成的系统， 这种系统称为刚体系统。 刚体或刚体系统的平衡与否，取决于作用在其上的力系。
《工程力学：第三章-力系的平衡条件和平衡方程》
受 力 图 为 ：
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
§3.4 结果与讨论
3.4.1 关于坐标系和力矩中心的选择 3.4.2 关于受力分析的重要性 3.4.3 关于求刚体系统平衡问题时要注意的几个方面 3.4.4 摩擦角与自锁的概念
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
平面一般力系平衡的充要条件是： 力系的主矢和对任意点的主矩都等于零
FR 0
MO 0
M O M O ( Fi )
因为 FR
( Fx ) 2 ( Fy ) 2
平面任意力系的平衡方程
Fx 0 Fy 0 M O 0
平面任意力系平衡的解析条件 是： 一般式 所有各力在两个任选的坐标轴 上 的投影的代数和分别等于零， 以
FQ l x FAy FP 2 l 2 FP x FTB FQ l
FTB 2 FP FQ
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
例题3-2 如图所示，为悬梁臂AB，A端固定，B端
自由。梁的全长上作用有集度为q的均布荷载，自 由段B处承受一集中力FP和一力偶M的作用。已知 FP=qL，M=qL2，L为梁的长度。试求固定端A处的 约束力。
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
例题3-10 如图示是放置在斜面上的物体，物体重
FW=1000N；斜面倾角为30°，物体承受一向右的水平 推力，其数值为FP=400N，若已知物体和斜面之间的摩 擦因数fs=0.2，试求：（1）物体处于静止时，静摩擦 力的大小和方向；（2）使物体向上滑动时，力FP的最 小值。
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
§3.4 结果与讨论
3.4.1 关于坐标系和力矩中心的选择 3.4.2 关于受力分析的重要性 3.4.3 关于求刚体系统平衡问题时要注意的几个方面 3.4.4 摩擦角与自锁的概念
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
平面一般力系平衡的充要条件是： 力系的主矢和对任意点的主矩都等于零
FR 0
MO 0
M O M O ( Fi )
因为 FR
( Fx ) 2 ( Fy ) 2
平面任意力系的平衡方程
Fx 0 Fy 0 M O 0
平面任意力系平衡的解析条件 是： 一般式 所有各力在两个任选的坐标轴 上 的投影的代数和分别等于零， 以
FQ l x FAy FP 2 l 2 FP x FTB FQ l
FTB 2 FP FQ
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
例题3-2 如图所示，为悬梁臂AB，A端固定，B端
自由。梁的全长上作用有集度为q的均布荷载，自 由段B处承受一集中力FP和一力偶M的作用。已知 FP=qL，M=qL2，L为梁的长度。试求固定端A处的 约束力。
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
例题3-10 如图示是放置在斜面上的物体，物体重
FW=1000N；斜面倾角为30°，物体承受一向右的水平 推力，其数值为FP=400N，若已知物体和斜面之间的摩 擦因数fs=0.2，试求：（1）物体处于静止时，静摩擦 力的大小和方向；（2）使物体向上滑动时，力FP的最 小值。
第三章-力系的平衡(理论力学武清玺版)讲解
解得 SBC 9063N
SBC
T
3、取坐标轴分别与SBC,TAB垂直
东 华
列平衡方程
x
理
工 大
Fx
0
SBC cos60 T cos 25 0
学
长
y 60°
30° B
江 学
解得
SBC 9063N
TAB
院
机
电 系
Fy 0
TAB cos60 T cos55 0
东 B及绳索CE支撑成水平位置，试求绳索及A、B处的
华 理
约束力。
工 大
解：取板为研究对象
学
长 江 学
M iy
P
a 2
FC
sin 300 ·a
0
FC 20kN
院
机
Miz FBx 0
电
系
M ix
FBz
a
P
a 2
FC
sin 300
a
0
a
FBz 0
华
理
工
大 学
a
aB
长
江 学
aM
D
M
院
机
电
系
A
45° C
FA
FB
M
FA
FB FDC
FDC
东 请你思考：
华
理
工 大
带有铅垂和水平光滑
学 长
槽的矩形平板，其上作用
江 学
一已知力偶，其矩为M，
院 机
欲使平板平衡，若用二固
电
系 定销钉A，B穿入槽内，
理论力学第三章 任意力系的简化与平衡条件
例3-2 已知：涡轮发动机叶片轴向力F=2kN，力偶矩
M=1kN.M, 斜齿的压力角=20 ,螺旋角 。 =10 ,齿轮节圆半径 r=10cm。不计发动 机自重。 O1O2=L1=50cm, O2A=L2=10cm. 求： FN, O1,O2处的约束力。
。
第三章 力系的简化与平衡条件
§3-5 力系的平衡条件
3
F2 F3
1
F'
F1
1 O 200 1
x
2
1 3 1 FRy F1 F2 F3 = -161.6(N) 2 10 5
第三章 任意力系的简化与平衡条件
§3-4 力系简化计算
解：(1)先将力系向O点简化，求主矢和主矩。 FRx FRy =466.5(N) 2 2 FR
Xi 0 F x F2x Fr 0 1
F y F2y F 0 1
Zi 0
F z Fa F 0 1
第三章 力系的简化与平衡条件
§3-5 力系的平衡条件
例3-2 解： 3、列平衡方程
Mx (F) 0
F2 y L1 F (L1 L2 ) 0
y
100 1
F
80
3
Байду номын сангаас
F2 F3
1
F'
F1
1 O 200 1
x
2
第三章 任意力系的简化与平衡条件
§3-4 力系简化计算
例3-1 (1)先将力系向O点简 解： 化，求主矢和主矩。 1 1 F2 FRx F1 10 2 2 F3 5 = -437 .6（N）
y
100 1
F
力系的平衡ppt课件
A
x
A、B 连线不垂直于x 轴
（两矩式）
MA（F）= 0 MB（F）= 0 MC（F）= 0 （三矩式）
C B
A
C
A、B、C三点不
在同一条直线上 17
平面任意力系平衡方程讨论：
Fx = 0 Fy = 0 MO= 0
平面任意力系：三个独立的平衡方程，可解3个未知量 平面汇交力系：二个独立的平衡方程，可解2个未知量 平面平行力系：二个独立的平衡方程，可解2个未知量
y
F’Cy
F
F’Cx C
E
G
O FBx
B x
FBy
Fx 0,
FCx FBx 0
Fy 0,
FCy FBy F G 0
MC F 0,
FAx 32.89 kN, FAy 2.32 kN, M A 10.37 kN 3m9
例9 图示三铰拱桥，由左右两段借铰链C连
接，又用铰链A，B与基础相连接。已知每 段重G = 40 kN，重心分别在D，E处，且桥 面受一集中载荷F =10 kN。设各铰链都是光 滑的，试求平衡时各铰链约束力。
注意：对任意一点的主矩为零。
平衡方程：
Fx 0
Mx(F )0
Fy 0
My(F )0
Fz 0
Mz( F ) 0
3
一、平面汇交力系
力系的平衡条件：主矢为零
平面汇交力系平衡方程：
Fx 0
平衡几何条件：
Fy 0
汇交力系的力多边形自行封闭
求解方法： 1、 几何法：利用力多边形自行封闭求解 2、 解析法：利用平衡方程求解
第三章 力系的平衡
本章重点：
1、力系平衡方程及其应用 2、物体系统平衡问题分析 3、桁架内力分析
力系的平衡条件与平衡方程资料
mB (F ) 0
X 0
可否求出T、YA、XA；
T
XA A YA
D 300
B
E
PQ
思考题2
C
（2）由下图所示的受力图，试按
mA(F) 0 mB (F) 0 mc (F ) 0
可否求出T、YA、XA。
T
XA A YA
D 300
B
E
PQ
由下图所示的受力图，可否列出下列四 思考题3 个独立的平衡方程？
YB
- 4 × 3 × 1.5 - 20 × 3 + 4 YB = 0
YB = 19.5 kN
P 1m
q
C
XA
2m
2m
A
YA
Fy = 0 YA - 20 + 19.5 = 0
XB B YB
YA = 0.5 kN
( 2 ) 取 BC 为研究对象画受力图
P 1m
XC
C
YC
XB B
YB
MC ( F ) = 0
Fy 0
FN P cos j 0 FN P cos j
考虑极限平衡状态有： F Fmax fs FN
从而得到： FT P ( fs cos j sin j). 当 FT P ( fs cos j sin j) 时, 物块才能下滑。
(3) 画受力图如右 列平衡方程
P
(c) j
解： 取起重机，画受力图.
Fx 0 FAx FB 0
F y
0
FAy P1 P2 0
M A 0 FB 5 1.5 P1 3.5 P2 0
FAy 50kN FB 31kN FAx 31kN
•利用“力偶只能由力偶来平衡”的概念解题有时较方 便：
X 0
可否求出T、YA、XA；
T
XA A YA
D 300
B
E
PQ
思考题2
C
（2）由下图所示的受力图，试按
mA(F) 0 mB (F) 0 mc (F ) 0
可否求出T、YA、XA。
T
XA A YA
D 300
B
E
PQ
由下图所示的受力图，可否列出下列四 思考题3 个独立的平衡方程？
YB
- 4 × 3 × 1.5 - 20 × 3 + 4 YB = 0
YB = 19.5 kN
P 1m
q
C
XA
2m
2m
A
YA
Fy = 0 YA - 20 + 19.5 = 0
XB B YB
YA = 0.5 kN
( 2 ) 取 BC 为研究对象画受力图
P 1m
XC
C
YC
XB B
YB
MC ( F ) = 0
Fy 0
FN P cos j 0 FN P cos j
考虑极限平衡状态有： F Fmax fs FN
从而得到： FT P ( fs cos j sin j). 当 FT P ( fs cos j sin j) 时, 物块才能下滑。
(3) 画受力图如右 列平衡方程
P
(c) j
解： 取起重机，画受力图.
Fx 0 FAx FB 0
F y
0
FAy P1 P2 0
M A 0 FB 5 1.5 P1 3.5 P2 0
FAy 50kN FB 31kN FAx 31kN
•利用“力偶只能由力偶来平衡”的概念解题有时较方 便：
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解得:
FAx 316.4kN
FAy P F cos 60 0 FAy 300kN
Fy 0
解得:
M
A
0
MA M F 1 l F cos 60 l F sin 60 3l 0
解得:
MA 1188kN m
固定端
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=
=
=
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二、物体系的平衡· 静定和超静定问题
Fx Fy
M
q
Fx
M
q
FB
Fy
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如果所考察的问题的未知量数目恰好等于独立平衡方程的 数目，那些未知数就可全部由平衡方程求得，这类问题称为静 定问题（statically determinate problem）。
F 0 F 0
ix iy
3、研究对象选取次序。
HOHAI UNIVERSITY
例题： 对于共面不平行的三个力成平衡，有如下结论：若不平行 的三个力成平衡，则三力作用线必汇交于一点。这就是所谓的 三力平衡定理。 F2 FR
o
F1 F3
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例题 梁支承和受力情况如图所示，求支座A、B的反力。
M 0
c
l FB sin 60 l ql F cos 300 2l 0 2
0
解得: FB=45.77kN
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② 取整体,画受力图.
F 0
ix
FAx FB cos 600 F sin 300 0
解得： FAx 32.89kN
Fx 超静定结构 Fy
M
q
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如果所考察的问题的未知力的数目多于独立平衡方程的 数目，仅仅用平衡方程就不可能完全求得那些未知力，这类 问题称为超静定问题或静不定问题（statically indeterminate problem）。
独立平衡方程个数6；未知 量个数7。称1次超静定。
P 3 FAy qa 4 2
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已知：P=100kN, M=20kNm, F=4kN, q=20kN/m, l=1m.
求：固定端A处约束力.
解：取T型刚架，画受力图.
其中:
1 F1 q 3l 30kN 2 FAx F1 F sin 600 0 Fx 0
MC 0
FBy 2a 0
解得： FBy 0 2.取DEF杆，画受力图
MD 0
FE sin 45 a F 2a 0
得： FE sin 45 2 F
F1 cos 45 sin 30 F2 cos 45 sin 30 FA cos 30 P 0
结果： F1 F2 3.54kN
FA 8.66kN
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§3－２
力偶系的平衡
力偶系平衡的必要与充分条件是： 合力偶矩等于零，即力偶系中所有力偶矩的矢量和等于零 .
F
x
0 : FAx FCx 0
解得： FCx 20kN
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2.取BDC杆（带着轮）：
M 0:
iB
4aF F 3a F a F 4a 0
Cy T T1 Cx
解得： FCy 15kN
3. 对整体受力图：
Fiy 0
3 5
FDC 4 M 0
解得：FDC=-25kN （3）分析节点D
Fix 0 :
F
iy
0:
4 4 FDC FED FAD 0 5 5 3 3 FAD FBD FDC 0 5 5
解得：FAD =80kN，FBD=-33kN
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F 0 基本型 Ⅰ F 0 M ( F ) 0
x y o i
x
Fx 0 Ⅱ M A 0 二力矩式 M 0 B
A、B两点连线不得与投影 轴垂直。
M A 0 Ⅲ M B 0 M 0 C
三矩式
ix iy
F 0
iz
即力系中各力在x、y、z三轴中的每一轴上的投影之代 数和均等于零。这三个方程称为汇交力系的平衡方程 。
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空间汇交力系平衡方程
F 0 F 0
ix iy
F 0
iz
平面汇交力系平衡方程 平衡方程应用的注意点： 1、求解未知量个数； 2、投影轴的选取；
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例题：已知：物重P=10kN，C,D,B高度一样，CB=DB且互相 垂直，θ =300。 求：杆受力及绳拉力
解：画受力图如图，列平衡方程
F
x
0
F1 sin 45 F2 sin 45 0
F F
z
y
0 0
FA sin 30 F1 cos 45 cos 30 F2 cos 45 cos 30 0
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物体系统的平衡问题：
1、分析未知量的个数；
2、分析能建立的独立平衡方程的个数。
方法——受力分析
物体系统平衡问题，由于包含的未知量较多，为简化计 算，常进行适当的分析。
1、研究对象顺序的选取；
2、平衡方程的选取。
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例题 已知: F=20kN, q=10kN/m,M=20kNm， L=1m。 求: A,B处的约束力. 解: ① 取CD梁,画受力图.
FAy FCy FT P 0
解得：FAy 10kN
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取BDC 杆（不带着轮）。
取ABE（带着轮）。 取ABE杆（不带着轮）。
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例题 已知：F , a ,各杆重不计； 求：B 、E铰处约束反力.
解：1.取整体，画受力图。
独立平衡方程个数6；未知 量个数8。称2次超静定。
工程中的结构大多数为超静定结构，为什么？
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超静定问题能求解吗？
超静定问题并不是不能解决的问题，而只是不能仅用平 衡方程来解决的问题。问题之所以成为超静定的，是因为静 力学中把物体抽象成为刚体，略去了物体的变形；如果考虑 到物体受力后的变形，在平衡方程之外，再列出某些补充方 程，问题也就可以解决。
例题 已知: DC=CE=CA=CB=2l, R=2r=l, P,θ =450，各构件自 重不计. 求: A,E支座处约束力及BD杆受力. 解:① 取整体,画受力图.
5 M E 0 FA 2 2l P 2 l 0 5 2 解：得 FA P 8
Fix 0
绳中拉力FK=P/2。 解：得 FDB
3 2 P (拉) 8
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例已知：P=10kN , a ,杆，轮重不计；
求： A ,C支座处约束力. 解：1.取整体，画受力图。
M
C
0 : 4aFAx 8.5aP FT a 0
其中FT=P/2。 解得： FAx 20kN
F F /2
B
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平衡的几何条件是：力多边形闭合。
解得： FA 3F / 2,
F F /2
B
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例题：系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小，P=20kN；
求：系统平衡时，杆AB、BC受力.
解：AB、BC杆为二力杆，
取滑轮B（或点B），画受力图.
例题 已知：P，q，a，M=qa。
求：支座A、B处的约束力. 解：取AB梁，画受力图.
FAx FAy FB
Fx 0
FAx 0
M
A
0 FB 4a M P 2a q 2a a 0
解得:
3 1 FB P qa 4 2
Fy 0
解得:
FAy q 2a P FB 0
M M M M M 0
1 2 n i
空间力偶系：
z
M
i
M 0 平衡方程： M 0 M 0
ix iy iz
y x
平面力偶系： M i 0
Mi
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例题 三铰拱的左半部上作用一力偶，其矩为M ，转向如图所 示，求铰A和B处的反力。 解：选择研究对象，受力分析画示力图。
解：得 FEx
5 P 8
FEx FA cos 450 0
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F
iy
0
FEy P FA sin 450 0
13 解：得 FEy P 8
② 取DCE杆,画受力图.
MC 0
FDB cos 450 2l FK l FEx 2l 0
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第三章
§3－１ 汇交力系的平衡
力系的平衡
汇交力系平衡的必要与充分条件是：力系的合力等于零 。
即： F F F F F 0
R i 1 2 n
平衡几何条件：力的多边形闭合。 平衡的代数方程条件：
F 0 F 0
立平衡方程求解。
M
i
0
FA 2a cos 45 M 0
FA FB M /( 2a)
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FAx 316.4kN
FAy P F cos 60 0 FAy 300kN
Fy 0
解得:
M
A
0
MA M F 1 l F cos 60 l F sin 60 3l 0
解得:
MA 1188kN m
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二、物体系的平衡· 静定和超静定问题
Fx Fy
M
q
Fx
M
q
FB
Fy
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如果所考察的问题的未知量数目恰好等于独立平衡方程的 数目，那些未知数就可全部由平衡方程求得，这类问题称为静 定问题（statically determinate problem）。
F 0 F 0
ix iy
3、研究对象选取次序。
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例题： 对于共面不平行的三个力成平衡，有如下结论：若不平行 的三个力成平衡，则三力作用线必汇交于一点。这就是所谓的 三力平衡定理。 F2 FR
o
F1 F3
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例题 梁支承和受力情况如图所示，求支座A、B的反力。
M 0
c
l FB sin 60 l ql F cos 300 2l 0 2
0
解得: FB=45.77kN
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② 取整体,画受力图.
F 0
ix
FAx FB cos 600 F sin 300 0
解得： FAx 32.89kN
Fx 超静定结构 Fy
M
q
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如果所考察的问题的未知力的数目多于独立平衡方程的 数目，仅仅用平衡方程就不可能完全求得那些未知力，这类 问题称为超静定问题或静不定问题（statically indeterminate problem）。
独立平衡方程个数6；未知 量个数7。称1次超静定。
P 3 FAy qa 4 2
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已知：P=100kN, M=20kNm, F=4kN, q=20kN/m, l=1m.
求：固定端A处约束力.
解：取T型刚架，画受力图.
其中:
1 F1 q 3l 30kN 2 FAx F1 F sin 600 0 Fx 0
MC 0
FBy 2a 0
解得： FBy 0 2.取DEF杆，画受力图
MD 0
FE sin 45 a F 2a 0
得： FE sin 45 2 F
F1 cos 45 sin 30 F2 cos 45 sin 30 FA cos 30 P 0
结果： F1 F2 3.54kN
FA 8.66kN
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§3－２
力偶系的平衡
力偶系平衡的必要与充分条件是： 合力偶矩等于零，即力偶系中所有力偶矩的矢量和等于零 .
F
x
0 : FAx FCx 0
解得： FCx 20kN
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2.取BDC杆（带着轮）：
M 0:
iB
4aF F 3a F a F 4a 0
Cy T T1 Cx
解得： FCy 15kN
3. 对整体受力图：
Fiy 0
3 5
FDC 4 M 0
解得：FDC=-25kN （3）分析节点D
Fix 0 :
F
iy
0:
4 4 FDC FED FAD 0 5 5 3 3 FAD FBD FDC 0 5 5
解得：FAD =80kN，FBD=-33kN
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F 0 基本型 Ⅰ F 0 M ( F ) 0
x y o i
x
Fx 0 Ⅱ M A 0 二力矩式 M 0 B
A、B两点连线不得与投影 轴垂直。
M A 0 Ⅲ M B 0 M 0 C
三矩式
ix iy
F 0
iz
即力系中各力在x、y、z三轴中的每一轴上的投影之代 数和均等于零。这三个方程称为汇交力系的平衡方程 。
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空间汇交力系平衡方程
F 0 F 0
ix iy
F 0
iz
平面汇交力系平衡方程 平衡方程应用的注意点： 1、求解未知量个数； 2、投影轴的选取；
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例题：已知：物重P=10kN，C,D,B高度一样，CB=DB且互相 垂直，θ =300。 求：杆受力及绳拉力
解：画受力图如图，列平衡方程
F
x
0
F1 sin 45 F2 sin 45 0
F F
z
y
0 0
FA sin 30 F1 cos 45 cos 30 F2 cos 45 cos 30 0
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物体系统的平衡问题：
1、分析未知量的个数；
2、分析能建立的独立平衡方程的个数。
方法——受力分析
物体系统平衡问题，由于包含的未知量较多，为简化计 算，常进行适当的分析。
1、研究对象顺序的选取；
2、平衡方程的选取。
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例题 已知: F=20kN, q=10kN/m,M=20kNm， L=1m。 求: A,B处的约束力. 解: ① 取CD梁,画受力图.
FAy FCy FT P 0
解得：FAy 10kN
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取BDC 杆（不带着轮）。
取ABE（带着轮）。 取ABE杆（不带着轮）。
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例题 已知：F , a ,各杆重不计； 求：B 、E铰处约束反力.
解：1.取整体，画受力图。
独立平衡方程个数6；未知 量个数8。称2次超静定。
工程中的结构大多数为超静定结构，为什么？
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超静定问题能求解吗？
超静定问题并不是不能解决的问题，而只是不能仅用平 衡方程来解决的问题。问题之所以成为超静定的，是因为静 力学中把物体抽象成为刚体，略去了物体的变形；如果考虑 到物体受力后的变形，在平衡方程之外，再列出某些补充方 程，问题也就可以解决。
例题 已知: DC=CE=CA=CB=2l, R=2r=l, P,θ =450，各构件自 重不计. 求: A,E支座处约束力及BD杆受力. 解:① 取整体,画受力图.
5 M E 0 FA 2 2l P 2 l 0 5 2 解：得 FA P 8
Fix 0
绳中拉力FK=P/2。 解：得 FDB
3 2 P (拉) 8
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例已知：P=10kN , a ,杆，轮重不计；
求： A ,C支座处约束力. 解：1.取整体，画受力图。
M
C
0 : 4aFAx 8.5aP FT a 0
其中FT=P/2。 解得： FAx 20kN
F F /2
B
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平衡的几何条件是：力多边形闭合。
解得： FA 3F / 2,
F F /2
B
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例题：系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小，P=20kN；
求：系统平衡时，杆AB、BC受力.
解：AB、BC杆为二力杆，
取滑轮B（或点B），画受力图.
例题 已知：P，q，a，M=qa。
求：支座A、B处的约束力. 解：取AB梁，画受力图.
FAx FAy FB
Fx 0
FAx 0
M
A
0 FB 4a M P 2a q 2a a 0
解得:
3 1 FB P qa 4 2
Fy 0
解得:
FAy q 2a P FB 0
M M M M M 0
1 2 n i
空间力偶系：
z
M
i
M 0 平衡方程： M 0 M 0
ix iy iz
y x
平面力偶系： M i 0
Mi
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例题 三铰拱的左半部上作用一力偶，其矩为M ，转向如图所 示，求铰A和B处的反力。 解：选择研究对象，受力分析画示力图。
解：得 FEx
5 P 8
FEx FA cos 450 0
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F
iy
0
FEy P FA sin 450 0
13 解：得 FEy P 8
② 取DCE杆,画受力图.
MC 0
FDB cos 450 2l FK l FEx 2l 0
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第三章
§3－１ 汇交力系的平衡
力系的平衡
汇交力系平衡的必要与充分条件是：力系的合力等于零 。
即： F F F F F 0
R i 1 2 n
平衡几何条件：力的多边形闭合。 平衡的代数方程条件：
F 0 F 0
立平衡方程求解。
M
i
0
FA 2a cos 45 M 0
FA FB M /( 2a)
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