第三章 力系的平衡(陆)
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解：1、明确研究对象； 2、取脱离体，受力分析画受力图； 3、立平衡方程求解。
F 0:
ix
FA cos30 FB cos 60 F cos 60 0
F 0:
iy
FA sin 30 FB sin 60 F sin 60 0
解得： FA 3F / 2,
F F /2
B
HOHAI UNIVERSITY
平衡的几何条件是：力多边形闭合。
解得： FA 3F / 2,
F F /2
B
HOHAI UNIVERSITY
例题：系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小，P=20kN；
求：系统平衡时，杆AB、BC受力.
解：AB、BC杆为二力杆，
取滑轮B（或点B），画受力图.
用解析法，建图示坐标系
Fix 0
FBA F1 cos 60 F2 cos 30 0
F1 F2 P
解得：
FBA 7.321kN
HOHAI UNIVERSITY
Fiy 0
FBC F1 cos 30 F2 cos 60 0
解得：
FBC 27.32kN
ix iy
F 0
iz
即力系中各力在x、y、z三轴中的每一轴上的投影之代 数和均等于零。这三个方程称为汇交力系的平衡方程 。
HOHAI UNIVERSITY
空间汇交力系平衡方程
F 0 F 0
ix iy
F 0
iz
平面汇交力系平衡方程 平衡方程应用的注意点： 1、求解未知量个数； 2、投影轴的选取；
绳中拉力FK=P/2。 解：得 FDB
3 2 P (拉) 8
HOHAI UNIVERSITY
例已知：P=10kN , a ,杆，轮重不计；
求： A ,C支座处约束力. 解：1.取整体，画受力图。
M
C
0 : 4aFAx 8.5aP FT a 0
其中FT=P/2。 解得： FAx 20kN
HOHAI UNIVERSITY
例题：已知：物重P=10kN，C,D,B高度一样，CB=DB且互相 垂直，θ =300。 求：杆受力及绳拉力
解：画受力图如图，列平衡方程
F
x
0
F1 sin 45 F2 sin 45 0
F F
z
y
0 0
FA sin 30 F1 cos 45 cos 30 F2 cos 45 cos 30 0
独立平衡方程个数6；未知 量个数8。称2次超静定。
工程中的结构大多数为超静定结构，为什么？
HOHAI UNIVERSITY
超静定问题能求解吗？
超静定问题并不是不能解决的问题，而只是不能仅用平 衡方程来解决的问题。问题之所以成为超静定的，是因为静 力学中把物体抽象成为刚体，略去了物体的变形；如果考虑 到物体受力后的变形，在平衡方程之外，再列出某些补充方 程，问题也就可以解决。
例题 已知：P，q，a，M=qa。
求：支座A、B处的约束力. 解：取AB梁，画受力图.
FAx FAy FB
Fx 0
FAx 0
M
A
0 FB 4a M P 2a q 2a a 0
解得:
3 1 FB P qa 4 2
Fy 0
解得:
FAy q 2a P FB 0
Fiy 0
MA 0
FAy FB sin 600 2ql F cos 300 0
解得： FAy 2.32kN
M A M 2ql 2l FB sin 600 3l F cos 300 4l 0
解得： M A 10.37kN
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P 3 FAy qa 4 2
HOHAI UNIVERSITY
已知：P=100kN, M=20kNm, F=4kN, q=20kN/m, l=1m.
求：固定端A处约束力.
解：取T型刚架，画受力图.
其中:
1 F1 q 3l 30kN 2 FAx F1 F sin 600 0 Fx 0
=
=
=
返回
HOHAI UNIVERSITY
二、物体系的平衡· 静定和超静定问题
Fx Fy
M
q
Fx
M
q
FB
Fy
HOHAI UNIVERSITY
如果所考察的问题的未知量数目恰好等于独立平衡方程的 数目，那些未知数就可全部由平衡方程求得，这类问题称为静 定问题（statically determinate problem）。
F 0 基本型 Ⅰ F 0 M ( F ) 0
x y o i
x
Fx 0 Ⅱ M A 0 二力矩式 M 0 B
A、B两点连线不得与投影 轴垂直。
M A 0 Ⅲ M B 0 M 0 C
三矩式
解：得 FEx
5 P 8
FEx FA cos 450 0
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F
iy
0
FEy P FA sin 450 0
13 解：得 FEy P 8
② 取DCE杆,画受力图.
MC 0
FDB cos 450 2l FK l FEx 2l 0
y FB
解：取起重机，画受力图.
Fy 0
FAy P P2 0 1
P1 P2 x FAy
FAy 50kN
M
A
0
FB 5 1.5 P 3.5 P2 0 F 1 Ax FB 31kN
FAx FB 0
Fx 0
FAx 31kN
HOHAwenku.baidu.com UNIVERSITY
3 5
FDC 4 M 0
解得：FDC=-25kN （3）分析节点D
Fix 0 :
F
iy
0:
4 4 FDC FED FAD 0 5 5 3 3 FAD FBD FDC 0 5 5
解得：FAD =80kN，FBD=-33kN
HOHAI UNIVERSITY
HOHAI UNIVERSITY
物体系统的平衡问题：
1、分析未知量的个数；
2、分析能建立的独立平衡方程的个数。
方法——受力分析
物体系统平衡问题，由于包含的未知量较多，为简化计 算，常进行适当的分析。
1、研究对象顺序的选取；
2、平衡方程的选取。
HOHAI UNIVERSITY
例题 已知: F=20kN, q=10kN/m,M=20kNm， L=1m。 求: A,B处的约束力. 解: ① 取CD梁,画受力图.
例题 已知: DC=CE=CA=CB=2l, R=2r=l, P,θ =450，各构件自 重不计. 求: A,E支座处约束力及BD杆受力. 解:① 取整体,画受力图.
5 M E 0 FA 2 2l P 2 l 0 5 2 解：得 FA P 8
Fix 0
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第三章
§3－１ 汇交力系的平衡
力系的平衡
汇交力系平衡的必要与充分条件是：力系的合力等于零 。
即： F F F F F 0
R i 1 2 n
平衡几何条件：力的多边形闭合。 平衡的代数方程条件：
F 0 F 0
M 0
c
l FB sin 60 l ql F cos 300 2l 0 2
0
解得: FB=45.77kN
HOHAI UNIVERSITY
② 取整体,画受力图.
F 0
ix
FAx FB cos 600 F sin 300 0
解得： FAx 32.89kN
F1 cos 45 sin 30 F2 cos 45 sin 30 FA cos 30 P 0
结果： F1 F2 3.54kN
FA 8.66kN
HOHAI UNIVERSITY
§3－２
力偶系的平衡
力偶系平衡的必要与充分条件是： 合力偶矩等于零，即力偶系中所有力偶矩的矢量和等于零 .
例题 图示悬臂平台结构，已知荷载M=60kN· m，q=24kN/m，各 杆件自重不计。试求杆BD的内力。 解： （1）先取ACD部份
M A ( Fi ) 0 : FED 3 4q 2 M 0
解得：FED =-84kN
HOHAI UNIVERSITY
(2) 分析BC M B ( Fi ) 0 :
A、B、C三点不得共线
HOHAI UNIVERSITY
平面平行力系的平衡方程
平面平行力系的方程为两个，有两种形式:
Fy 0 M A 0
M 0 M 0
A B
各力不得与投影轴垂直
两点连线不得与各力平行
方程的应用!
HOHAI UNIVERSITY
例题：已知P1=10kN，P2=40kN，尺寸如图。 求：轴承A、B处的约束力.
F 0 F 0
ix iy
3、研究对象选取次序。
HOHAI UNIVERSITY
例题： 对于共面不平行的三个力成平衡，有如下结论：若不平行 的三个力成平衡，则三力作用线必汇交于一点。这就是所谓的 三力平衡定理。 F2 FR
o
F1 F3
HOHAI UNIVERSITY
例题 梁支承和受力情况如图所示，求支座A、B的反力。
FAy FCy FT P 0
解得：FAy 10kN
HOHAI UNIVERSITY
取BDC 杆（不带着轮）。
取ABE（带着轮）。 取ABE杆（不带着轮）。
HOHAI UNIVERSITY
例题 已知：F , a ,各杆重不计； 求：B 、E铰处约束反力.
解：1.取整体，画受力图。
解得:
FAx 316.4kN
FAy P F cos 60 0 FAy 300kN
Fy 0
解得:
M
A
0
MA M F 1 l F cos 60 l F sin 60 3l 0
解得:
MA 1188kN m
固定端
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M M M M M 0
1 2 n i
空间力偶系：
z
M
i
M 0 平衡方程： M 0 M 0
ix iy iz
y x
平面力偶系： M i 0
Mi
HOHAI UNIVERSITY
例题 三铰拱的左半部上作用一力偶，其矩为M ，转向如图所 示，求铰A和B处的反力。 解：选择研究对象，受力分析画示力图。
立平衡方程求解。
M
i
0
FA 2a cos 45 M 0
FA FB M /( 2a)
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§3-３
任意力系的平衡
一、平面任意力系的平衡
平衡的充要条件是： 力系的主矢和对任意点的主矩都等于零。
即： F F 0, M M ( F ) 0
R i O O i
等价的平衡方程：
F 0 F 0 M ( F ) 0
x y o i
y
F
i
x
平面任意力系平衡的解析条件是：所有各力在两个任选 的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意 一点的矩的代数和也等于零.
HOHAI UNIVERSITY 平衡方程的形式：
Fx 超静定结构 Fy
M
q
HOHAI UNIVERSITY
如果所考察的问题的未知力的数目多于独立平衡方程的 数目，仅仅用平衡方程就不可能完全求得那些未知力，这类 问题称为超静定问题或静不定问题（statically indeterminate problem）。
独立平衡方程个数6；未知 量个数7。称1次超静定。
MC 0
FBy 2a 0
解得： FBy 0 2.取DEF杆，画受力图
MD 0
FE sin 45 a F 2a 0
得： FE sin 45 2 F
F
x
0 : FAx FCx 0
解得： FCx 20kN
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2.取BDC杆（带着轮）：
M 0:
iB
4aF F 3a F a F 4a 0
Cy T T1 Cx
解得： FCy 15kN
3. 对整体受力图：
Fiy 0
F 0:
ix
FA cos30 FB cos 60 F cos 60 0
F 0:
iy
FA sin 30 FB sin 60 F sin 60 0
解得： FA 3F / 2,
F F /2
B
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平衡的几何条件是：力多边形闭合。
解得： FA 3F / 2,
F F /2
B
HOHAI UNIVERSITY
例题：系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小，P=20kN；
求：系统平衡时，杆AB、BC受力.
解：AB、BC杆为二力杆，
取滑轮B（或点B），画受力图.
用解析法，建图示坐标系
Fix 0
FBA F1 cos 60 F2 cos 30 0
F1 F2 P
解得：
FBA 7.321kN
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Fiy 0
FBC F1 cos 30 F2 cos 60 0
解得：
FBC 27.32kN
ix iy
F 0
iz
即力系中各力在x、y、z三轴中的每一轴上的投影之代 数和均等于零。这三个方程称为汇交力系的平衡方程 。
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空间汇交力系平衡方程
F 0 F 0
ix iy
F 0
iz
平面汇交力系平衡方程 平衡方程应用的注意点： 1、求解未知量个数； 2、投影轴的选取；
绳中拉力FK=P/2。 解：得 FDB
3 2 P (拉) 8
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例已知：P=10kN , a ,杆，轮重不计；
求： A ,C支座处约束力. 解：1.取整体，画受力图。
M
C
0 : 4aFAx 8.5aP FT a 0
其中FT=P/2。 解得： FAx 20kN
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例题：已知：物重P=10kN，C,D,B高度一样，CB=DB且互相 垂直，θ =300。 求：杆受力及绳拉力
解：画受力图如图，列平衡方程
F
x
0
F1 sin 45 F2 sin 45 0
F F
z
y
0 0
FA sin 30 F1 cos 45 cos 30 F2 cos 45 cos 30 0
独立平衡方程个数6；未知 量个数8。称2次超静定。
工程中的结构大多数为超静定结构，为什么？
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超静定问题能求解吗？
超静定问题并不是不能解决的问题，而只是不能仅用平 衡方程来解决的问题。问题之所以成为超静定的，是因为静 力学中把物体抽象成为刚体，略去了物体的变形；如果考虑 到物体受力后的变形，在平衡方程之外，再列出某些补充方 程，问题也就可以解决。
例题 已知：P，q，a，M=qa。
求：支座A、B处的约束力. 解：取AB梁，画受力图.
FAx FAy FB
Fx 0
FAx 0
M
A
0 FB 4a M P 2a q 2a a 0
解得:
3 1 FB P qa 4 2
Fy 0
解得:
FAy q 2a P FB 0
Fiy 0
MA 0
FAy FB sin 600 2ql F cos 300 0
解得： FAy 2.32kN
M A M 2ql 2l FB sin 600 3l F cos 300 4l 0
解得： M A 10.37kN
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P 3 FAy qa 4 2
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已知：P=100kN, M=20kNm, F=4kN, q=20kN/m, l=1m.
求：固定端A处约束力.
解：取T型刚架，画受力图.
其中:
1 F1 q 3l 30kN 2 FAx F1 F sin 600 0 Fx 0
=
=
=
返回
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二、物体系的平衡· 静定和超静定问题
Fx Fy
M
q
Fx
M
q
FB
Fy
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如果所考察的问题的未知量数目恰好等于独立平衡方程的 数目，那些未知数就可全部由平衡方程求得，这类问题称为静 定问题（statically determinate problem）。
F 0 基本型 Ⅰ F 0 M ( F ) 0
x y o i
x
Fx 0 Ⅱ M A 0 二力矩式 M 0 B
A、B两点连线不得与投影 轴垂直。
M A 0 Ⅲ M B 0 M 0 C
三矩式
解：得 FEx
5 P 8
FEx FA cos 450 0
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F
iy
0
FEy P FA sin 450 0
13 解：得 FEy P 8
② 取DCE杆,画受力图.
MC 0
FDB cos 450 2l FK l FEx 2l 0
y FB
解：取起重机，画受力图.
Fy 0
FAy P P2 0 1
P1 P2 x FAy
FAy 50kN
M
A
0
FB 5 1.5 P 3.5 P2 0 F 1 Ax FB 31kN
FAx FB 0
Fx 0
FAx 31kN
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3 5
FDC 4 M 0
解得：FDC=-25kN （3）分析节点D
Fix 0 :
F
iy
0:
4 4 FDC FED FAD 0 5 5 3 3 FAD FBD FDC 0 5 5
解得：FAD =80kN，FBD=-33kN
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物体系统的平衡问题：
1、分析未知量的个数；
2、分析能建立的独立平衡方程的个数。
方法——受力分析
物体系统平衡问题，由于包含的未知量较多，为简化计 算，常进行适当的分析。
1、研究对象顺序的选取；
2、平衡方程的选取。
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例题 已知: F=20kN, q=10kN/m,M=20kNm， L=1m。 求: A,B处的约束力. 解: ① 取CD梁,画受力图.
例题 已知: DC=CE=CA=CB=2l, R=2r=l, P,θ =450，各构件自 重不计. 求: A,E支座处约束力及BD杆受力. 解:① 取整体,画受力图.
5 M E 0 FA 2 2l P 2 l 0 5 2 解：得 FA P 8
Fix 0
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第三章
§3－１ 汇交力系的平衡
力系的平衡
汇交力系平衡的必要与充分条件是：力系的合力等于零 。
即： F F F F F 0
R i 1 2 n
平衡几何条件：力的多边形闭合。 平衡的代数方程条件：
F 0 F 0
M 0
c
l FB sin 60 l ql F cos 300 2l 0 2
0
解得: FB=45.77kN
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② 取整体,画受力图.
F 0
ix
FAx FB cos 600 F sin 300 0
解得： FAx 32.89kN
F1 cos 45 sin 30 F2 cos 45 sin 30 FA cos 30 P 0
结果： F1 F2 3.54kN
FA 8.66kN
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§3－２
力偶系的平衡
力偶系平衡的必要与充分条件是： 合力偶矩等于零，即力偶系中所有力偶矩的矢量和等于零 .
例题 图示悬臂平台结构，已知荷载M=60kN· m，q=24kN/m，各 杆件自重不计。试求杆BD的内力。 解： （1）先取ACD部份
M A ( Fi ) 0 : FED 3 4q 2 M 0
解得：FED =-84kN
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(2) 分析BC M B ( Fi ) 0 :
A、B、C三点不得共线
HOHAI UNIVERSITY
平面平行力系的平衡方程
平面平行力系的方程为两个，有两种形式:
Fy 0 M A 0
M 0 M 0
A B
各力不得与投影轴垂直
两点连线不得与各力平行
方程的应用!
HOHAI UNIVERSITY
例题：已知P1=10kN，P2=40kN，尺寸如图。 求：轴承A、B处的约束力.
F 0 F 0
ix iy
3、研究对象选取次序。
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例题： 对于共面不平行的三个力成平衡，有如下结论：若不平行 的三个力成平衡，则三力作用线必汇交于一点。这就是所谓的 三力平衡定理。 F2 FR
o
F1 F3
HOHAI UNIVERSITY
例题 梁支承和受力情况如图所示，求支座A、B的反力。
FAy FCy FT P 0
解得：FAy 10kN
HOHAI UNIVERSITY
取BDC 杆（不带着轮）。
取ABE（带着轮）。 取ABE杆（不带着轮）。
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例题 已知：F , a ,各杆重不计； 求：B 、E铰处约束反力.
解：1.取整体，画受力图。
解得:
FAx 316.4kN
FAy P F cos 60 0 FAy 300kN
Fy 0
解得:
M
A
0
MA M F 1 l F cos 60 l F sin 60 3l 0
解得:
MA 1188kN m
固定端
HOHAI UNIVERSITY
M M M M M 0
1 2 n i
空间力偶系：
z
M
i
M 0 平衡方程： M 0 M 0
ix iy iz
y x
平面力偶系： M i 0
Mi
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例题 三铰拱的左半部上作用一力偶，其矩为M ，转向如图所 示，求铰A和B处的反力。 解：选择研究对象，受力分析画示力图。
立平衡方程求解。
M
i
0
FA 2a cos 45 M 0
FA FB M /( 2a)
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§3-３
任意力系的平衡
一、平面任意力系的平衡
平衡的充要条件是： 力系的主矢和对任意点的主矩都等于零。
即： F F 0, M M ( F ) 0
R i O O i
等价的平衡方程：
F 0 F 0 M ( F ) 0
x y o i
y
F
i
x
平面任意力系平衡的解析条件是：所有各力在两个任选 的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意 一点的矩的代数和也等于零.
HOHAI UNIVERSITY 平衡方程的形式：
Fx 超静定结构 Fy
M
q
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如果所考察的问题的未知力的数目多于独立平衡方程的 数目，仅仅用平衡方程就不可能完全求得那些未知力，这类 问题称为超静定问题或静不定问题（statically indeterminate problem）。
独立平衡方程个数6；未知 量个数7。称1次超静定。
MC 0
FBy 2a 0
解得： FBy 0 2.取DEF杆，画受力图
MD 0
FE sin 45 a F 2a 0
得： FE sin 45 2 F
F
x
0 : FAx FCx 0
解得： FCx 20kN
HOHAI UNIVERSITY
2.取BDC杆（带着轮）：
M 0:
iB
4aF F 3a F a F 4a 0
Cy T T1 Cx
解得： FCy 15kN
3. 对整体受力图：
Fiy 0