专题训练(一) 分式化简求值常见题型归纳

专题训练(一) 分式化简求值常见题型归纳

► 类型一 代入求值型

一、直接代入型

1．先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2

a －1＋11－a ·1a

，其中a ＝－12. 二、选择代入型

2．先化简：x 2＋x x 2－2x ＋1÷⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1－1x ，再从－2＜x ＜3的范围内选取一个你喜欢的x 值代入求值．

3．若a 满足－3≤a≤3，请你选取一个合适的数a 使得代数式a 2－1a ÷⎝ ⎛⎭

⎪⎫1－1a 的值是一个奇数．

三、整体代入型

4．已知x ，y 满足x ＝5y ，求分式x 2－2xy ＋3y 2

4x 2＋5xy －6y 2的值． 5．已知a ＋b b ＝52，求a －b b

的值． 6．若1a －1b ＝12，求a －b ab －ab a －b

的值． 7．已知1x ＋1y ＝5，求2x －3xy ＋2y x ＋2xy ＋y

的值． 8．已知a 满足a 2＋2a －15＝0，求1a ＋1－a ＋2a 2－1÷（a ＋1）（a ＋2）a 2－2a ＋1

的值． 9．已知t ＋1t ＝3，求t 2＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫1t 2的值． 10．已知x ＋1x ＝4，求x 2x 4＋x 2＋1

的值． ► 类型二 设比例系数或用消元法求值

11．已知2a －3b ＋c ＝0，3a －2b －6c ＝0，abc ≠0，则a 3－2b 3＋c 3a 2b －2b 2c ＋3ac 2＝________． 12．已知x 2＝y 3＝z 4≠0，求xy ＋yz ＋zx x 2＋y 2＋z 2的值．

► 类型三 利用非负数的性质挖掘条件求值

13．已知x 2

－4x ＋4与|y －1|互为相反数，则式子⎝ ⎛⎭⎪⎫x y －y x ÷(x ＋y)的值为________． 14．已知⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12x －3＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫3y ＋1y ＋42

＝0，求32x ＋1－23y －1的值． ► 类型四 值恒不变形

15．已知y ＝x 2＋6x ＋9x 2－9÷x ＋3x 2－3x

－x ＋3，试说明不论x 为任何使原式有意义的值，y 的值均不变． 详解详析

1．解：原式＝⎝⎛⎭⎫a 2

a －1－1a －1·1a ＝a 2－1a －1·1a ＝（a ＋1）（a －1）a －1·1a ＝a ＋1a . 当a ＝－12时，a ＋1a ＝－12＋1－12

＝－1. 2．解：原式＝x （x ＋1）（x －1）2÷2x －（x －1）x （x －1）＝x （x ＋1）（x －1）2·x （x －1）x ＋1＝x 2x －1

. 由题意，可取x ＝2代入上式，得x 2x －1＝22

2－1

＝4.(注意：x 不能为0和±1) 3．解：原式＝a ＋1.由原代数式有意义，得a ≠0且a ≠1，又代数式的值是奇数，且－3≤a ≤3，所以a ＝±2.

4．解：由已知可得y ≠0，将分式的分子、分母同除以y 2，得原式＝⎝⎛⎭⎫x y 2

－2·x y ＋34·⎝⎛⎭⎫x y 2＋5·x y

－6. 又已知x ＝5y ，变形得x y ＝5，将其代入原式，得⎝⎛⎭⎫x y 2－2·x y ＋34·⎝⎛⎭⎫x y 2＋5·x y －6

＝52－2×5＋34×52＋5×5－6＝18119. 5．[解析] 由a －b b ＝a ＋b －2b b ＝a ＋b b －2，再将已知条件代入该式即可求解．

解：a －b b ＝a ＋b －2b b ＝a ＋b b

－2， 又知a ＋b b ＝52

，将其代入上式，得 a －b b ＝52－2＝12

. 6．解：由1a －1b ＝12

， 得b －a ab ＝12

， 所以a －b ab ＝－12，ab a －b

＝－2， 所以a －b ab －ab a －b

＝－12＋2＝32. 7．[解析] 由条件1x ＋1y ＝5，通分化简，得x ＋y ＝5xy ，代数式可化为2（x ＋y ）－3xy x ＋2xy ＋y

，从而整体代入求值．

解：∵1x ＋1y ＝x ＋y xy

＝5， ∴x ＋y ＝5xy ，

∴2x －3xy ＋2y x ＋2xy ＋y ＝2（x ＋y ）－3xy x ＋2xy ＋y ＝10xy －3xy 5xy ＋2xy

＝1. 8．[解析] 对要求的式子进行计算，先进行因式分解，再把除法转化成乘法，然后进行约分，得到一个最简分式，最后把a 2＋2a －15＝0进行配方，得到a ＋1的值，再把它整体代入即可求出答案．

解：1a ＋1－a ＋2a 2－1÷（a ＋1）（a ＋2）a 2－2a ＋1

＝1a ＋1－a ＋2（a ＋1）（a －1）·（a －1）2（a ＋1）（a ＋2）

＝1a ＋1－a －1（a ＋1）2＝2（a ＋1）2

. ∵a 2＋2a －15＝0，∴(a ＋1)2＝16，

∴原式＝216＝18

. 9．[解析] 利用t 2＋

⎝⎛⎭⎫1t 2＝⎝⎛⎭⎫t ＋1t 2

－2的形式，将已知条件整体代入求解． 解：因为t 2＋⎝⎛⎭⎫1t 2＝⎝⎛⎭

⎫t ＋1t 2－2， 又t ＋1t

＝3，将其代入上式，得原式＝32－2＝7. 10．解：因为x ＋1x

＝4，所以⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2

＝42， 即x 2＋2＋1x 2＝16，所以x 2＋1x 2＝14. 因为x 4＋x 2＋1x 2＝x 2＋1＋1x 2＝x 2＋1x 2

＋1＝14＋1＝15， 所以x 2x 4＋x 2＋1＝115

. 11.1142

[解析] 由已知条件不能求出a ，b ，c 的具体值，但是我们可以把已知等式组成方程组，用其中一个字母(如c)来表示另两个字母，把分式转化为只含一个字母的分式，再约分．

由已知，得⎩⎨⎧2a －3b ＝－c ，3a －2b ＝6c ，

解这个方程组得 ⎩⎨⎧a ＝4c ，b ＝3c ，

代入原式，得a 3－2b 3＋c 3

a 2

b －2b 2

c ＋3ac 2＝ （4c ）3－2·（3c ）3＋c 3（4c ）2·3c －2·（3c ）2c ＋3×4c·c 2＝11c 342c 3＝1142

. 12．解：设x 2＝y 3＝z 4＝k ，则x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k ，所以xy ＋yz ＋zx x 2＋y 2＋z 2＝6k 2＋12k 2＋8k 24k 2＋9k 2＋16k 2

＝2629

. 13.12

[解析] 代数式x 2－4x ＋4＝(x －2)2.因为x 2－4x ＋4与|y －1|互为相反数，所以由非