对数的运算
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第四章 4.3 4.3.2
课标A版·数学·必修第一册
[解] (1)①原式＝llgg92·llgg43＝lglg322··llgg322 ＝2llgg32··2lgl3g2＝4. ②原式＝lologg55132·lologg73794＝log13 2·log3 49
1 ＝lglg132·lglg394＝－2llgg23··223llgg32＝－32.
第四章 4.3 4.3.2
课标A版·数学·必修第一册
(2)解法一：由 18b＝5，得 log185＝b，又 log189＝a，
所以 log3645＝lloogg11884356＝
log189×5 18×2×9
log18 9
＝lologg1811898＋2－lologg181589＝2a＋－ba.
第四章 4.3 4.3.2
第四章 4.3 4.3.2
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对数式化简与求值的基本原则和方法 (1)基本原则 对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理， 选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化 简的原则进行． (2)两种常用的方法 ①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．
1．掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成 立条件．
2．掌握换底公式及其推论． 3．能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．
第四章 4.3 4.3.2
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1．对数运算性质 如果 a>0，且 a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(M·N)＝__l_o_g_aM__＋__l_o_ga_N____； (2)logaMN ＝__lo_g_a_M_－__l_o_g_aN_____； (3)logaMn＝__n_lo_g_a_M__ (n∈R)．
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解法二：设 log3645＝x，则 36x＝45，即 62x＝5×9， 从而有 182x＝5×9x＋1，对这个等式的两边都取以 18 为底的 对数， 得 2x＝log185＋(x＋1)log189， 又 18b＝5，所以 b＝log185. 所以 2x＝b＋(x＋1)a， 解得 x＝a2＋－ba，即 log3645＝a2＋－ba.
[解] (1)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log595＝ log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2.
(2)原式＝log2 478＋log212－log2 42－log22 ＝log2 48×7×4122×2＝log2212
第四章 4.3 4.3.2
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(3)解法一：原式＝12(5lg2－2lg7)－43×32lg2＋12(2lg7＋lg5)＝52
lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5
＝12lg2＋12lg5＝12(lg2＋lg5)＝12lg10＝12.
解法二：原式＝lg4 7 2－lg4＋lg7
第四章 4.3 4.3.2
(2)证明：①logab·logba＝llggba·llggba＝1. ②loganbn＝llggbann＝nnllggba＝llggba＝logab.
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第四章 4.3 4.3.2
课标A版·数学·必修第一册
[变式] (1)若本例(2)①改为“logab·logbc·logcd＝logad”如何 证明？
第四章 4.3 4.3.2
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1．我们知道 am＋n＝am·an，那么 loga(M·N)＝logaM·logaN 正确 吗？举例说明．
[答案] 不正确，例如 log24＝log2(2×2)＝log22·log22＝1×1 ＝1，而 log24＝2
第四章 4.3 4.3.2
课标A版·数学·必修第一册
第四章 4.3 4.3.2
[针对训练] 1．计算： (1)log535－2log573＋log57－log51.8； (2)log2 478＋log212－12log242－1； (3)12lg3429－43lg 8＋lg 245.
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第四章 4.3 4.3.2
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第四章 4.3 4.3.2
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[解析] log512＝lglg152＝lg13－＋l2gl2g2＝b1＋－2aa.
[答案]
b＋2a 1－a
第四章 4.3 4.3.2
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5．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度 v(单位： m/s)和燃料的质量 M(单位：kg)，火箭(除燃料外)的质量 m(单位： kg)满足 ev＝1＋Mm2000(e 为自然对数的底)．当燃料质量 M 为火箭 (除燃料外)质量 m 的两倍时，求火箭的最大速度(单位： m/s)．(ln3≈1.099)
第四章 4.3 4.3.2
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[解] (1)log345－log35＝log3455＝log39＝log332＝2. (2)log24·log28＝log222·log223＝2×3＝6. (3)原式＝lg2＋lg7－2(lg7－lg3)＋lg7－(lg2＋lg9) ＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－lg2－2lg3＝0. (4)原式＝2lg5＋23lg23＋lg5·lg(22×5)＋(lg2)2 ＝2lg5＋2lg2＋lg5·(2lg2＋lg5)＋(lg2)2 ＝2(lg5＋lg2)＋2lg5·lg2＋(lg5)2＋(lg2)2 ＝2lg10＋(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2 ＝2＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.
[解] 由 ev＝1＋Mm2000 及 M＝2m，得 ev＝32000，两边取以 e 为底的对数，
v＝ln32000＝2000ln3≈2000×1.099 ＝2198(m/s)． ∴火箭的最大速度为 2198 m/s.
第四章 4.3 4.3.2
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第四章 4.3 4.3.2
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2．你能推出 loga(MN)(M>0，N>0)的表达式吗？ [答案] 能．令 am＝M，an＝N，∴MN＝am＋n，由对数定义 知，logaM＝m， logaN＝n，loga(MN)＝m＋n， ∴loga(MN)＝logaM＋logaN
第四章 4.3 4.3.2
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3．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)积、商的对数可以化为对数的和、差．( )
(2)loga(xy)＝logax·logay.( ) (3)log2(－5)2＝2log2(－5)．( )
(4)由换底公式可得 logab＝lloogg－－22ba.(
)
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×
第四章 4.3 4.3.2
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第四章 4.3 4.3.2
[解析] [答案] D
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第四章 4.3 4.3.2
3．log2215·log318·log519＝________.
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第四章 4.3 4.3.2
1 11 [解析] 原式＝llgg225·llgg38·llgg59 ＝－2lg5·lg－2lg33lgl2g5·－2lg3＝－12.
第四章 4.3 4.3.2
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[解] (1)设最初的质量是 1，经过 x 年，剩余量是 y，则： 经过 1 年，剩余量是 y＝0.75； 经过 2 年，剩余量是 y＝0.752； … 经过 x 年，剩余量是 y＝0.75x； 由题意得 0.75x＝13，
1 ∴x＝log0.7513＝llgg334＝lg－3－lgl3g4≈4. ∴估计经过 4 年，该物质的剩余量是原来的13.
5＝lg4
2×7 7×4
5
＝lg( 2× 5)＝lg 10＝12.
第四章 4.3 4.3.2
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题型二 对数换底公式的应用 【典例 2】 (1)计算：①log29·log34； ②log5 2×log79 .
log513×log73 4 (2)证明：①logab·logba＝1(a>0，且 a≠1；b>0，且 b≠1)； ②loganbn＝logab(a>0，且 a≠1，n≠0)． [思路导引] 利用换底公式计算、证明．
请做：随堂巩固验收
第四章 4.3 4.3.2
应用换底公式应注意的 2 个方面 (1)化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变 形应用． (2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统 一成一种形式．
第四章 4.3 4.3.2
[针对训练]
2.
·log227等于(
)
2 A.3
3 B.2
C．6 D．－6
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第四章 4.3 4.3.2
课标A版·数学·必修第一册
解对数综合应用问题的 3 条策略 (1)统一化：所求为对数式，条件转为对数式． (2)选底数：针对具体问题，选择恰当的底数． (3)会结合：学会换底公式与对数运算法则结合使用． [针对训练] 4．若 lg2＝a，lg3＝b，则 log512 等于________．
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[答案] －12
第四章 4.3 4.3.2
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题型三 对数的综合应用 【典例 3】 (1)一种放射性物质不断变化为其他物质，每经 过一年剩余的质量约是原来的 75%，估计约经过多少年，该物质 的剩余量是原来的13(结果保留 1 位有效数字)？(lg2≈0.3010， lg3≈0.4771) (2)已知 log189＝a,18b＝5，用 a、b 表示 log3645. [思路导引] 应用换底公式化简求值．
课堂互动探究
第四章 4.3 4.3.2
课标A版·数学·必修第一册
题型一 对数运算性质的应用 【典例 1】 求下列各式的值： (1)log345－log35； (2)log24·log28； (3)lg14－2lg73＋lg7－lg18； (4)lg52＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2. [思路导引] 解题关键是弄清各式与对数运算积、商、幂中 的哪种形式对应．
课标A版·数学·必修第一册
第
四
指数函数与对数函数
章
第四章 指数函数与对数函数
课标A版·数学·必修第一册
对数
4.3
第四章 4.3 4.3.2
4．3.2
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对数的运算
第四章 4.3 4.3.2
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课前自主预习
第四章 4.3 4.3.2
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(2)若本例(2)②改为“loganbm＝mn logab”如何证明？
[证明] (1)logab·logbc·logcd ＝llggba·llggbc·llggdc＝llggda＝logad. (2)loganbm＝llggbamn ＝mnllggab＝mn logab.
第四章 4.3 4.3.2
课标A版·数学·必修第一册
第四章 4.3 4.3.2
课标A版·数学·必修第一册
温馨提示：对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中 所有的对数都有意义时，等式才成立．例如，log2[(－3)·(－5)]＝ log2(－3)＋log2(－5)是错误的．
2．对数换底公式 若 c>0，且 c≠1，则 logab＝llooggccba(a>0，且 a≠1，b>0)． 3．由换底公式推导的重要结论 (1)loganbn＝logab. (2)loganbm＝mn logab. (3)logab·logba＝1. (4)logab·logbc·logcd＝logad.
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[解] (1)①原式＝llgg92·llgg43＝lglg322··llgg322 ＝2llgg32··2lgl3g2＝4. ②原式＝lologg55132·lologg73794＝log13 2·log3 49
1 ＝lglg132·lglg394＝－2llgg23··223llgg32＝－32.
第四章 4.3 4.3.2
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(2)解法一：由 18b＝5，得 log185＝b，又 log189＝a，
所以 log3645＝lloogg11884356＝
log189×5 18×2×9
log18 9
＝lologg1811898＋2－lologg181589＝2a＋－ba.
第四章 4.3 4.3.2
第四章 4.3 4.3.2
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对数式化简与求值的基本原则和方法 (1)基本原则 对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理， 选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化 简的原则进行． (2)两种常用的方法 ①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．
1．掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成 立条件．
2．掌握换底公式及其推论． 3．能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．
第四章 4.3 4.3.2
课标A版·数学·必修第一册
1．对数运算性质 如果 a>0，且 a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(M·N)＝__l_o_g_aM__＋__l_o_ga_N____； (2)logaMN ＝__lo_g_a_M_－__l_o_g_aN_____； (3)logaMn＝__n_lo_g_a_M__ (n∈R)．
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解法二：设 log3645＝x，则 36x＝45，即 62x＝5×9， 从而有 182x＝5×9x＋1，对这个等式的两边都取以 18 为底的 对数， 得 2x＝log185＋(x＋1)log189， 又 18b＝5，所以 b＝log185. 所以 2x＝b＋(x＋1)a， 解得 x＝a2＋－ba，即 log3645＝a2＋－ba.
[解] (1)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log595＝ log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2.
(2)原式＝log2 478＋log212－log2 42－log22 ＝log2 48×7×4122×2＝log2212
第四章 4.3 4.3.2
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(3)解法一：原式＝12(5lg2－2lg7)－43×32lg2＋12(2lg7＋lg5)＝52
lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5
＝12lg2＋12lg5＝12(lg2＋lg5)＝12lg10＝12.
解法二：原式＝lg4 7 2－lg4＋lg7
第四章 4.3 4.3.2
(2)证明：①logab·logba＝llggba·llggba＝1. ②loganbn＝llggbann＝nnllggba＝llggba＝logab.
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第四章 4.3 4.3.2
课标A版·数学·必修第一册
[变式] (1)若本例(2)①改为“logab·logbc·logcd＝logad”如何 证明？
第四章 4.3 4.3.2
课标A版·数学·必修第一册
1．我们知道 am＋n＝am·an，那么 loga(M·N)＝logaM·logaN 正确 吗？举例说明．
[答案] 不正确，例如 log24＝log2(2×2)＝log22·log22＝1×1 ＝1，而 log24＝2
第四章 4.3 4.3.2
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第四章 4.3 4.3.2
[针对训练] 1．计算： (1)log535－2log573＋log57－log51.8； (2)log2 478＋log212－12log242－1； (3)12lg3429－43lg 8＋lg 245.
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第四章 4.3 4.3.2
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第四章 4.3 4.3.2
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[解析] log512＝lglg152＝lg13－＋l2gl2g2＝b1＋－2aa.
[答案]
b＋2a 1－a
第四章 4.3 4.3.2
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5．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度 v(单位： m/s)和燃料的质量 M(单位：kg)，火箭(除燃料外)的质量 m(单位： kg)满足 ev＝1＋Mm2000(e 为自然对数的底)．当燃料质量 M 为火箭 (除燃料外)质量 m 的两倍时，求火箭的最大速度(单位： m/s)．(ln3≈1.099)
第四章 4.3 4.3.2
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[解] (1)log345－log35＝log3455＝log39＝log332＝2. (2)log24·log28＝log222·log223＝2×3＝6. (3)原式＝lg2＋lg7－2(lg7－lg3)＋lg7－(lg2＋lg9) ＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－lg2－2lg3＝0. (4)原式＝2lg5＋23lg23＋lg5·lg(22×5)＋(lg2)2 ＝2lg5＋2lg2＋lg5·(2lg2＋lg5)＋(lg2)2 ＝2(lg5＋lg2)＋2lg5·lg2＋(lg5)2＋(lg2)2 ＝2lg10＋(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2 ＝2＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.
[解] 由 ev＝1＋Mm2000 及 M＝2m，得 ev＝32000，两边取以 e 为底的对数，
v＝ln32000＝2000ln3≈2000×1.099 ＝2198(m/s)． ∴火箭的最大速度为 2198 m/s.
第四章 4.3 4.3.2
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第四章 4.3 4.3.2
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2．你能推出 loga(MN)(M>0，N>0)的表达式吗？ [答案] 能．令 am＝M，an＝N，∴MN＝am＋n，由对数定义 知，logaM＝m， logaN＝n，loga(MN)＝m＋n， ∴loga(MN)＝logaM＋logaN
第四章 4.3 4.3.2
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3．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)积、商的对数可以化为对数的和、差．( )
(2)loga(xy)＝logax·logay.( ) (3)log2(－5)2＝2log2(－5)．( )
(4)由换底公式可得 logab＝lloogg－－22ba.(
)
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×
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第四章 4.3 4.3.2
[解析] [答案] D
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3．log2215·log318·log519＝________.
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1 11 [解析] 原式＝llgg225·llgg38·llgg59 ＝－2lg5·lg－2lg33lgl2g5·－2lg3＝－12.
第四章 4.3 4.3.2
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[解] (1)设最初的质量是 1，经过 x 年，剩余量是 y，则： 经过 1 年，剩余量是 y＝0.75； 经过 2 年，剩余量是 y＝0.752； … 经过 x 年，剩余量是 y＝0.75x； 由题意得 0.75x＝13，
1 ∴x＝log0.7513＝llgg334＝lg－3－lgl3g4≈4. ∴估计经过 4 年，该物质的剩余量是原来的13.
5＝lg4
2×7 7×4
5
＝lg( 2× 5)＝lg 10＝12.
第四章 4.3 4.3.2
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题型二 对数换底公式的应用 【典例 2】 (1)计算：①log29·log34； ②log5 2×log79 .
log513×log73 4 (2)证明：①logab·logba＝1(a>0，且 a≠1；b>0，且 b≠1)； ②loganbn＝logab(a>0，且 a≠1，n≠0)． [思路导引] 利用换底公式计算、证明．
请做：随堂巩固验收
第四章 4.3 4.3.2
应用换底公式应注意的 2 个方面 (1)化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变 形应用． (2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统 一成一种形式．
第四章 4.3 4.3.2
[针对训练]
2.
·log227等于(
)
2 A.3
3 B.2
C．6 D．－6
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解对数综合应用问题的 3 条策略 (1)统一化：所求为对数式，条件转为对数式． (2)选底数：针对具体问题，选择恰当的底数． (3)会结合：学会换底公式与对数运算法则结合使用． [针对训练] 4．若 lg2＝a，lg3＝b，则 log512 等于________．
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[答案] －12
第四章 4.3 4.3.2
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题型三 对数的综合应用 【典例 3】 (1)一种放射性物质不断变化为其他物质，每经 过一年剩余的质量约是原来的 75%，估计约经过多少年，该物质 的剩余量是原来的13(结果保留 1 位有效数字)？(lg2≈0.3010， lg3≈0.4771) (2)已知 log189＝a,18b＝5，用 a、b 表示 log3645. [思路导引] 应用换底公式化简求值．
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题型一 对数运算性质的应用 【典例 1】 求下列各式的值： (1)log345－log35； (2)log24·log28； (3)lg14－2lg73＋lg7－lg18； (4)lg52＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2. [思路导引] 解题关键是弄清各式与对数运算积、商、幂中 的哪种形式对应．
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第
四
指数函数与对数函数
章
第四章 指数函数与对数函数
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对数
4.3
第四章 4.3 4.3.2
4．3.2
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对数的运算
第四章 4.3 4.3.2
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(2)若本例(2)②改为“loganbm＝mn logab”如何证明？
[证明] (1)logab·logbc·logcd ＝llggba·llggbc·llggdc＝llggda＝logad. (2)loganbm＝llggbamn ＝mnllggab＝mn logab.
第四章 4.3 4.3.2
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第四章 4.3 4.3.2
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温馨提示：对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中 所有的对数都有意义时，等式才成立．例如，log2[(－3)·(－5)]＝ log2(－3)＋log2(－5)是错误的．
2．对数换底公式 若 c>0，且 c≠1，则 logab＝llooggccba(a>0，且 a≠1，b>0)． 3．由换底公式推导的重要结论 (1)loganbn＝logab. (2)loganbm＝mn logab. (3)logab·logba＝1. (4)logab·logbc·logcd＝logad.