对数的运算
对数的运算法则及公式换底
对数的运算法则及公式换底
对数是一种数学运算，用来描述幂运算的指数。
对数运算有一些特殊的法则和公式，其中包括换底公式。
以下是对数的运算法则和公式：
1. 对数的定义
对数是指一个数在某个基数下的指数。
例如，2的以10为底的对数是0.30103，这意味着10的0.30103次方等于2。
2. 对数的性质
对数具有以下几个性质：
a. 对数是一个实数。
b. 对于任何正实数a和b，loga(ab) = loga a + loga b。
c. 对于任何正实数a、b和c，loga (b/c) = loga b - loga c。
d. 对于任何正实数a、b和c，loga b^c = c loga b。
e. 对于任何正实数a和b，loga b = ln b/ln a，其中ln表示以e为底的自然对数。
3. 换底公式
换底公式是指将一个对数的底数改变为另一个底数时使用的公式。
换底公式如下：
loga b = logc b / logc a
其中a、b、c都是正实数，且a、c不等于1。
这个公式可以用于计算任何底数的对数。
例如，要计算以2为底数的对数，可以使用换底公式将其转换为以10为底数的对数计算。
以上是对数的运算法则及公式换底的相关内容。
对数是数学中的基础概念，掌握好对数的性质和运算法则，对于解决数学问题会有很大的帮助。
对数函数公式运算大全
对数函数公式运算大全
对数函数是数学中一类重要的函数，它在很多领域有着重要的应用，比如物理学、电路学、工程学、统计学、金融学等等。
在数学中，对数函数是指以一个变量X为底，另一个变量Y为指数，以X为底Y的对数记为logX（Y），这就是对数函数的定义。
对数函数的公式表达方式为：logX（Y）=a，它表示X的a次幂为Y，其中a是常数，X是底数，Y是指数。
对数函数的运算大全主要有以下几类：
一、求底数：若已知logX（Y）=a，则X=Y^a，即X为Y的a次幂，故X称为logX（Y）的底数。
二、求指数：若已知logX（Y）=a，则Y=X^a，即Y为X的a次幂，故Y称为logX（Y）的指数。
三、求幂次：若已知logX（Y）=a，则a=logX（Y），即a称为logX（Y）的幂次。
四、同底数情况：若X，Y，Z均为同一个底数，则有logX（YZ）=logX（Y）+logX（Z），即Y的指数与Z的指数的和等于YZ的指数。
五、不同底数情况：若X，Y，Z均为不同的底数，则有logX（Y）＝logZ（Y）/logZ（X），即X，Y，Z三者之间的对数之比等于X，Z两者之间的对数之比。
以上就是对数函数公式运算大全的介绍，从上面的内容可以看出，对数函数具有简单、实用和可操作性，所以在数学方面有着广泛的应用。
在统计学、物理学、金融学等领域，对数函数可以用来求解复杂的问题，它被广泛应用在工程学、息学和其他学科中。
可以说，对数函数是一个重要的数学函数，它在很多领域中都可以发挥重要的作用。
对数的性质与运算
对数的性质与运算对数是数学中常用的一种运算工具，它在科学、工程和计算机等领域被广泛应用。
对数有许多独特的性质和运算规则，下面将对这些内容进行介绍。
一、对数的定义对数可以理解为指数的逆运算。
设 a 和 x 是正数，且a ≠ 1，那么以a 为底的 x 的对数表示为logₐx，满足 a 的 x 次幂等于 x，即a^logₐx = x。
其中，a 称为底数，x 称为真数。
二、对数的性质1. logₐ1 = 0：任何数以自身为底数的对数均为 0。
2. logₐa = 1：任何数以自身为底数的对数均为 1。
3. logₐ(a × b) = logₐa + logₐb：两个正数的乘积的对数等于各自对数之和。
4. logₐ(a / b) = logₐa - logₐb：两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数。
5. logₐaⁿ = n × logₐa：一个数的 n 次幂的对数等于该数的对数乘以 n。
6. logₐa = 1 / logₐa：等式左右两边互为倒数。
三、对数的运算1. 对数的乘法：logₐ(a × b) = logₐa + logₐb。
对数的乘法规则表明，两个正数的乘积的对数等于各自对数之和。
例如：log₂2 + log₂3 = log₂(2 × 3) = log₂6。
2. 对数的除法：logₐ(a / b) = logₐa - logₐb。
对数的除法规则表明，两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数。
例如：log₃8 - log₃2 = log₃(8 / 2) = log₃4。
3. 对数的幂：logₐaⁿ = n × logₐa。
对数的幂规则表明，一个数的n 次幂的对数等于该数的对数乘以n。
例如：log₄(2³) = 3 × log₄2。
4. 对数的换底公式：logₐb = logₓb / logₓa。
换底公式是用于将对数的底数从一个给定的底数转换为另一个给定的底数。
对数函数的运算法则
a
a
aloga N N
(2)公式的作用:
化简；求值；证明。
(3)作业：习题2.7 3, 4, 6.
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解：（1）log (47 25） log 47 log 25
2
2
2
7log 4 5log 2 14 5 19
2
2
(2) lg 5 100
1
lg 5 100 lg(100)5 1 lg102 2
5
5
练习：2 logog3 27
(3)
log 2
2
log 5
对数运算法则
一、对数的定义：
真数
ab N logaN b 对数
底数
loga 1 0
log a a 1
aloga N N (N>0)
注： 负数和零没有对数
二、对数运算法则 1、运算公式：a>0, a≠1, M>0;N>0 则：
① log(M • N ) logM logN
a
a
a
②
N
logM logN
a
a
2、应用举例：
例1、用
log
x a
,
log表ay ,示lo下g az列各式：
xy
x2 y
(1) log z a
(2) log 3 z a
解：
xy
(1) log z log( xy) log z
a
a
a
logx log y logz
a
a
a
x2 y
(2) log 3 z
logM a
N
logM logN
对数的基本性质和运算公式
对数的基本性质和运算公式对数是数学中非常重要和常用的概念，它在许多领域都有广泛的应用。
对数的基本性质和运算公式包括对数的定义、对数的性质、对数的运算规则以及一些常用的对数公式等。
本文将详细介绍这些基本性质和运算公式。
一、对数的定义：对数是指数运算的逆运算。
设a为一个正实数，b为一个正实数且不等于1，若满足b^x = a，其中x为实数，则称x为以b为底a的对数，记作x = log_b a。
其中，a称为真数，b称为底数，x称为对数。
在对数的定义中，底数和真数的位置可以互换，即x = log_b a等价于 a = b^x。
二、对数的性质：1.对数的定义保证了对数的唯一性，即对于给定的底数和真数，对数是唯一的。
2.对于不同的底数，同一个真数的对数是不同的。
3.当底数为1时，对数不存在，因为1的任何次幂都等于14. 当真数为1时，对数等于0，即log_b 1 = 0。
5.当底数为0时，对数不存在，因为0无法作为一个数的底数。
6.当0<b<1时，对数是负数；当b>1时，对数是正数；当b=1时，对数等于0。
三、对数的运算规则：1.对数的乘法法则：log_b (a * c) = log_b a + log_b c2.对数的除法法则：log_b (a / c) = log_b a - log_b c3.对数的幂法法则：log_b (a^p) = p * log_b a，其中p是任意实数。
这些运算规则可以用来简化对数运算或者将对数转化成乘法和除法的形式。
四、常用的对数公式：1.自然对数和常用对数之间的换底公式：log_b a = log_c a / log_c b，其中b和c是底数。
2.e为底的自然对数：自然对数是以e (自然常数)为底的对数，记作ln(x)。
3.常用对数：常用对数是以10为底的对数，记作log(x)。
4.对数性质的推广：log_b a^n = n * log_b alog_b √(a) = 1/2 * log_b a这些对数公式在计算和解决问题时都有常用的作用。
对数运算法则
一,对数的定义: 对数的定义:
b N a
真数
a = N log = b ←对数
底数
loga 1 = 0
loga a = 1
alogaຫໍສະໝຸດ N=N(N>0)
注: 负数和零没有对数
二,对数运算法则 1,运算公式:a>0, a≠1, M>0;N>0 则: 运算公式:
(M N) M + logN = log ① log a a a
n M = nlogM (n∈R) ③ log a a
a
loga N
=N
(2)公式的作用:
化简;求值;证明. 化简;求值;证明.
(3)作 : 题2.7 业 习 3, 4, 6.
�
2 + lg 2×lg50 + lg 25 (4)(lg2) 2 + lg2×(lg5×10) + lg52 解:原式= (lg2) 2 + lg 2(lg5 +1) + 2lg5 = (lg2)
2 + lg2×lg5 + lg2 + 2lg10 = (lg2) 2 2 + lg2× 1 lg2 + lg2 + 2 1 lg2 = (lg2) ( ) ( )
x a y a z a
2 y x 3z 3z x2 y (2) log = log log a a a x2 + log y log3 z = log a a a
x + 1 logy 1 logx = 2log a 2 a 3 a
习: 对数 的法则计算下列 各式. . 练 :用 习 各式 4 z3 y2 ) (x 1 ( log ) a 3 2 + y2 x (2)log 2 y2) a x(x
对数函数的运算公式
对数函数的运算公式对数函数是高中数学中最常见的函数之一，它在各种数学问题中都有广泛的应用。
本文将为大家介绍对数函数的运算公式，包括基本的对数公式、对数运算法则、对数换底公式等等。
一、基本的对数公式在我们熟知的自然对数 $\ln x$ 中，$e$ 是一个非常特殊的数，它的近似值约为 $2.718$。
在对数函数中，$10$ 也是一个特殊的数，因为我们使用的数码系统就是 $10$ 进制的。
下面是一些基本的对数公式：1. $\ln 1 = 0$，因为 $e^0 = 1$。
2. $\ln e = 1$，因为 $e^1 = e$。
3. $\ln a^x = x\ln a$，因为 $a^x = e^{x\ln a}$。
二、对数运算法则在讲解对数运算法则之前，我们先明确一下以下符号的含义：1. $a$，$b$，$x$，$y$ 是正实数。
2. $n$ 是正整数。
3. $k$ 是任意实数。
下面是一些对数运算法则：1. $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$。
2. $\log_a \left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y$。
3. $\log_a x^n = n \log_a x$。
4. $\log_a x^k = \frac{k}{\ln a} \log_a x$。
5. $\log_a a = 1$。
6. $\log_a 1 = 0$。
7. $\log_a a^x = x$。
8. $\log_a x^{\log_b a} = \frac{\log_a x}{\log_a b}$。
三、对数换底公式在学习对数函数时，我们经常需要将一个对数用另一个底数的对数表示出来。
这就是对数换底公式。
下面是对数换底公式的表述：$$\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}$$其中 $a$ 和 $b$ 表示不同的底数。
对数换底公式可以理解为转化一个数字在另一种记数法下的表达式。
对数计算公式
性质①loga(1)=0；②loga(a)=1；③负数与零无对数.2对数恒等式a^logaN=N (a>0 ，a≠1）3运算法则①loga(MN)=l ogaM+l ogaN；②loga(M/N)=l ogaM－logaN；③对logaM中M的n次方有=nlogaM；如果a=e^m，则m为数a的自然对数，即lna=m，e=2.718281828…为自然对数的底。
定义：若a^n=b(a>0且a≠1) 则n=log(a)(b)基本性质：1、a^(log(a)(b))=b2、log(a)(MN)=l og(a)(M)+l og(a)(N);3、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N);4、log(a)(M^n)=nl og(a)(M)5、log(a^n)M=1/nl og(a)(M)推导：1、因为n=log(a)(b)，代入则a^n=b，即a^(log(a)(b))=b。
2、MN=M×N由基本性质1(换掉M和N)a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)]由指数的性质a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]}又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N)3、与（2）类似处理 M/N=M÷N由基本性质1(换掉M和N)a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)]由指数的性质a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]}又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N)4、与（2）类似处理M^n=M^n 由基本性质1(换掉M) a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n由指数的性质a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n}又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(M^n)=nlog(a)(M)基本性质4推广log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]推导如下：由换底公式（换底公式见下面）[lnx是log(e)(x)，e称作自然对数的底] log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)换底公式的推导：设e^x=b^m,e^y=a^n 则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y x=ln(b^m),y=ln(a^n) 得：log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)由基本性质4可得 log(a^n)(b^m) = [m×ln(b)]÷[n×ln(a)] = (m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]}再由换底公式 log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)]4换底公式设b=a^m，a=c^n，则b=(c^n)^m=c^(mn)………………………………①对①取以a为底的对数，有：log(a)(b)=m……………………………..②对①取以c为底的对数，有：log(c)(b)=mn……………………………③③/②，得：log(c)(b)/log(a)(b)=n=log(c)(a)∴log(a)(b)=log(c)(b)/log(c)(a)注：log(a)(b)表示以a为底x的对数。
对数函数运算公式
log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)]
由指数的性质
a^[log(a)(MN)]=a^{[log(a)(M)]+[log(a)(N)]}
两种方法只是性质不同,采用方法依实际情况而定
又因为指数函数是单调函数，所以
log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N)
4、与（3）类似处理
MN=M÷N
由基本性质1(换掉M和N)
a^[log(a)(M÷N)]=a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)]
由指数的性质
a^[log(a)(M^n)]=a^{[log(a)(M)]*n}
又因为指数函数是单调函数，所以
log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
基本性质4推广
log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]
推导如下：
由换底公式（换底公式见下面）[lnx是log(e)(x)，e称作自然对数的底]
推导
1、因为n=log(a)(b)，代入则a^n=b，即a^(log(a)(b))=b。
2、因为a^b=a^b
令t=a^b
所以a^b=t，b=log(a)(t)=log(a)(a^b)
3、MN=M×N
由基本性质1(换掉M和N)
a^[log(a)(MN)]=a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)]=(M)*(N)
log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)
换底公式的推导：
设e^x=b^m,e^y=a^n
则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y
x=ln(b^m),y=ln(a^n)
得：log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)
对数函数的运算公式大全
对数函数的运算公式大全对数函数是一种常见的数学函数，可以用于解决许多问题。
下面是对数函数的一些常用运算公式。
1.对数函数的定义：y = logₐ(x),其中，y是以a为底的x的对数。
2.换底公式：如果我们需要计算以不同底的对数，可以使用换底公式：logₐ(x) = log_b(x) / log_b(a)其中，b是我们想要换成的底。
3.对数函数的性质：对数函数具有以下性质：a. log_a(1) = 0,b. log_a(a) = 1,c. log_a(x * y) = log_a(x) + log_a(y),d. log_a(x / y) = log_a(x) - log_a(y),e. log_a(x^k) = k * log_a(x),其中，x,y是正实数，a是大于0且不等于1的实常数，k是任意实数。
4.对数函数的基本公式：a. log_a(1) = 0,b. log_a(a) = 1,c. log_a(a^x) = x,d. a^log_a(x) = x其中，a是大于0且不等于1的实常数，x是正实数。
5.常用对数和自然对数：6.对数函数的反函数：y=a^x其中，a和x的关系可以表示为：x = log_a(y)。
7.对数函数的图像：8.对数函数的应用：对数函数可以用于解决各种问题，例如：a.在复利计算中，可以使用对数函数计算收益率；b.在实际问题中，可以使用对数函数解决指数增长或衰减问题；c.在科学和工程领域，对数函数可以用于测量物理量的幅度范围。
以上是对数函数的一些常用运算公式，它们在数学和实际问题中都有广泛的应用。
对数的运算性质
对数的运算性质对数的运算性质是解决各种计算问题的基础，它是数学中的一个重要分支。
对数的运算性质包括：加法公式、减法公式、乘法公式、除法公式、幂运算、指数运算等。
下面，我们将详细介绍这些内容。
一、加法公式对数的加法公式是对数学中两个数的和进行求解的公式。
对数的加法公式是：logab + logac = loga(bc)其中，a、b、c分别代表底数、被加数、加数，bc为和。
加法公式的解释：如果幂运算a^{x}=b，那么对数运算是x=log_{a}(b)。
如果对a^{x}和a^{y}取对数，那么可以得到：x=log_{a}(b)y=log_{a}(c)将两式相加可以得到：x+y=log_{a}(b)+log_{a}(c)将b和c用求和的形式表示可以得到：a^{x+y}=a^{log_{a}{(b+c)}}移项可以得到：log_{a}(b)+log_{a}(c)=log_{a}(bc)因此上述公式就是加法公式。
二、减法公式减法公式是对数学中两个数的差进行求解的公式。
对数的减法公式是：logab - logac = loga(b/c)其中，a、b、c分别代表底数、被减数、减数，b/c为差。
减法公式的解释：如果幂运算a^{x}=b，那么对数运算是x=log_{a}(b)。
如果对a^{x}和a^{y}求差，那么可以得到：x=log_{a}(b)y=log_{a}(c)将两式相减可以得到：x-y=log_{a}\\frac{b}{c}因此，上述公式就是减法公式。
三、乘法公式乘法公式是对数学中两个数的乘积进行求解的公式。
对数的乘法公式是：logab * logac = loga(b * c)其中，a、b、c分别代表底数、被乘数、乘数，bc为积。
乘法公式的解释：如果幂运算a^{x}=b，那么对数运算是x=log_{a}(b)。
如果对a^{x}和a^{y}取对数，那么可以得到：x=log_{a}(b)y=log_{a}(c)将两式相乘可以得到：xy=(log_{a}(b))*(log_{a}(c))展开可以得到：log_{a}(b*c)=(log_{a}(b))*(log_{a}(c))因此，上述公式就是乘法公式。
常见对数运算公式
常见对数运算公式对数运算在数学中可是个相当重要的“家伙”，咱们今天就来好好唠唠常见的对数运算公式。
先来说说对数的定义吧。
如果 a 的 x 次方等于 N（a>0，且 a 不等于 1），那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作x=logₐN。
常见的对数运算公式那可是不少，咱们一个一个来看。
第一个就是“logₐ(MN) = logₐM + logₐN”。
这就好比是把两个数相乘的对数，拆分成了两个数各自对数的和。
比如说，计算 log₂(4×8)，就可以变成 log₂4 + log₂8，也就是 2 + 3 = 5。
再看“logₐ(M/N) = logₐM - logₐN”。
这就像是把两个数相除的对数，变成了两个数各自对数的差。
比如说算 log₃(9÷3)，那就是 log₃9 - log₃3，结果是 2 - 1 = 1。
还有“logₐMⁿ = nlogₐM”。
这个就像是给对数中的数来了个“乘方”的操作，结果就是把指数提到前面和对数相乘。
比如求 log₅25²，那就是2×log₅25 = 4。
我想起之前给学生们讲这部分内容的时候，有个学生特别有意思。
当时我在黑板上写了一道题：log₄(2×8)。
我就叫了这位同学上来做，他站在黑板前，皱着眉头，嘴里还念念有词：“这俩数相乘，应该是相加！”然后信心满满地写下“log₄2 + log₄8”，算出来是 5/2。
我笑着问他：“你再好好想想，log₄2 和 log₄8 分别等于多少呀？”他一拍脑袋，恍然大悟：“哎呀，老师，我算错啦，log₄2 是 1/2，log₄8 是 3/2，加起来应该是 2 才对！”全班同学都被他这可爱的反应逗得哈哈大笑。
咱们接着说对数运算公式。
“logₐb × logₓb = logₐx”。
这个公式有点绕，但多做几道题熟悉熟悉就好理解啦。
“logₐb = 1 / logₓa”。
对数四则运算公式
对数四则运算公式
1.对数加法：logaM+logaN=loga(MN)。
即同底数下对数相加，等于对数所代表的数的乘积的对数。
2. 对数减法：logaM - logaN = loga(M/N)。
即同底数下对数相减，等于对数所代表的数的商的对数。
3. 对数乘法：logaM × logaN = loga(MN)。
即不同底数下对数相乘，等于对数所代表的数的乘积的对数，底数取其中任意一个。
4. 对数除法：logaM / logaN = loga(M/N)。
即不同底数下对数相除，等于对数所代表的数的商的对数，底数取其中任意一个。
对数四则运算可以简化计算，也能够将对数运算转化为数字运算，使得对数运算变得更加方便和高效。
- 1 -。
对数的运算规律
对数的运算规律对数的运算规律：在数学中，对数的运算有着特定的规律。
若有两个正数 M 和 N，以 a 为底数，那么对数的加法运算规律为：logₐ(M×N) = logₐM + logₐN；对数的减法运算规律为：logₐ(M÷N) = logₐM - logₐN；对数的幂运算规律为：logₐMⁿ = n×logₐM 。
咱们来想象一下，对数就像是一个神奇的密码箱。
这个密码箱里藏着数的秘密，而对数的运算规律就是打开这些秘密的钥匙。
先来说说加法运算规律，logₐ(M×N) = logₐM + logₐN 。
咱们把 M 和N 想象成两个小伙伴，M 带着自己的小秘密进入了密码箱，N 也带着自己的小秘密进去了。
这时候，要想知道他俩合起来的秘密，就等于分别知道 M 的秘密和 N 的秘密然后加起来。
是不是有点像两个小伙伴各自有一袋糖果，要知道他俩糖果总数，就是把各自的糖果数加起来一样。
再看看减法运算规律，logₐ(M÷N) = logₐM - logₐN 。
这就好比 M 和N 这两个小伙伴一起去分一堆宝贝，M 先拿到了一部分，N 又拿走了一部分，那 M 比 N 多出来的宝贝数量，就是 M 的宝贝秘密减去 N 的宝贝秘密。
还有幂运算规律，logₐMⁿ = n×logₐM 。
这就好像 M 这个小伙伴有 n 把同样的钥匙，每把钥匙能打开的秘密都是一样的，那总的秘密数量就是一把钥匙能打开的秘密数量乘以钥匙的数量。
给您举个例子吧。
假设我们要计算log₂(8×16)，根据加法运算规律，log₂(8×16) = log₂8 + log₂16 。
因为 8 = 2³，16 = 2⁴，所以 log₂8 = 3，log₂16 = 4，那么 log₂(8×16) = 3 + 4 = 7 ，而实际上 8×16 = 128 ，log₂128 也正好等于 7 。
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课标A版·数学·必修第一册
[解] (1)①原式＝llgg92·llgg43＝lglg322··llgg322 ＝2llgg32··2lgl3g2＝4. ②原式＝lologg55132·lologg73794＝log13 2·log3 49
1 ＝lglg132·lglg394＝－2llgg23··223llgg32＝－32.
第四章 4.3 4.3.2
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1．我们知道 am＋n＝am·an，那么 loga(M·N)＝logaM·logaN 正确 吗？举例说明．
[答案] 不正确，例如 log24＝log2(2×2)＝log22·log22＝1×1 ＝1，而 log24＝2
第四章 4.3 4.3.2
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[答案] －12
第四章 4.3 4.3.2
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题型三 对数的综合应用 【典例 3】 (1)一种放射性物质不断变化为其他物质，每经 过一年剩余的质量约是原来的 75%，估计约经过多少年，该物质 的剩余量是原来的13(结果保留 1 位有效数字)？(lg2≈0.3010， lg3≈0.4771) (2)已知 log189＝a,18b＝5，用 a、b 表示 log3645. [思路导引] 应用换底公式化简求值．
5＝lg4
2×7 7×4
5
＝lg( 2× 5)＝lg 10＝12.
第四章 4.3 4.3.2
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题型二 对数换底公式的应用 【典例 2】 (1)计算：①log29·log34； ②log5 2×log79 .
log513×log73 4 (2)证明：①logab·logba＝1(a>0，且 a≠1；b>0，且 b≠1)； ②loganbn＝logab(a>0，且 a≠1，n≠0)． [思路导引] 利用换底公式计算、证明．
第四章 4.3 4.3.2
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[解析] log512＝lglg152＝lg13－＋l2gl2g2＝b1＋－2aa.
[答案]
b＋2a 1－a
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5．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度 v(单位： m/s)和燃料的质量 M(单位：kg)，火箭(除燃料外)的质量 m(单位： kg)满足 ev＝1＋Mm2000(e 为自然对数的底)．当燃料质量 M 为火箭 (除燃料外)质量 m 的两倍时，求火箭的最大速度(单位： m/s)．(ln3≈1.099)
第四章 4.3 4.3.2
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对数式化简与求值的基本原则和方法 (1)基本原则 对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理， 选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化 简的原则进行． (2)两种常用的方法 ①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．
应用换底公式应注意的 2 个方面 (1)化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变 形应用． (2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统 一成一种形式．
第四章 4.3 4.3.2
[针对训练]
2.
·log227等于(
)
2 A.3
3 B.2
C．6 D．－6
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[解] 由 ev＝1＋Mm2000 及 M＝2m，得 ev＝32000，两边取以 e 为底的对数，
v＝ln32000＝2000ln3≈2000×1.099 ＝2198(m/s)． ∴火箭的最大速度为 2198 m/s.
第四章 4.3 4.3.2
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[针对训练] 1．计算： (1)log535－2log573＋log57－log51.8； (2)log2 478＋log212－12log242－1； (3)12lg3429－43lg 8＋lg 245.
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第四章 4.3 4.3.2
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(1)积、商的对数可以化为对数的和、差．( )
(2)loga(xy)＝logax·logay.( ) (3)log2(－5)2＝2log2(－5)．( )
(4)由换底公式可得 logab＝lloogg－－22ba.(
)
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×
第四章 4.3 4.3.2
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第
四
指数函数与对数函数
章
第四章 指数函数与对数函数
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对数
4.3
第四章 4.3 4.3.2
4．3.2
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对数的运算
第四章 4.3 4.3.2
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课前自主预习
第四章 4.3 4.3.2
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第四章 4.3 4.3.2
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解对数综合应用问题的 3 条策略 (1)统一化：所求为对数式，条件转为对数式． (2)选底数：针对具体问题，选择恰当的底数． (3)会结合：学会换底公式与对数运算法则结合使用． [针对训练] 4．若 lg2＝a，lg3＝b，则 log512 等于________．
[解] (1)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log595＝ log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2.
(2)原式＝log2 478＋log212－log2 42－log22 ＝log2 48×7×4122×2＝log2212
第四章 4.3 4.3.2
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[解] (1)设最初的质量是 1，经过 x 年，剩余量是 y，则： 经过 1 年，剩余量是 y＝0.75； 经过 2 年，剩余量是 y＝0.752； … 经过 x 年，剩余量是 y＝0.75x； 由题意得 0.75x＝13，
1 ∴x＝log0.7513＝llgg334＝lg－3－lgl3g4≈4. ∴估计经过 4 年，该物质的剩余量是原来的13.
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[解] (1)log345－log35＝log3455＝log39＝log332＝2. (2)log24·log28＝log222·log223＝2×3＝6. (3)原式＝lg2＋lg7－2(lg7－lg3)＋lg7－(lg2＋lg9) ＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－lg2－2lg3＝0. (4)原式＝2lg5＋23lg23＋lg5·lg(22×5)＋(lg2)2 ＝2lg5＋2lg2＋lg5·(2lg2＋lg5)＋(lg2)2 ＝2(lg5＋lg2)＋2lg5·lg2＋(lg5)2＋(lg2)2 ＝2lg10＋(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2 ＝2＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.
2．你能推出 loga(MN)(M>0，N>0)的表达式吗？ [答案] 能．令 am＝M，an＝N，∴MN＝am＋n，由对数定义 知，logaM＝m， logaN＝n，loga(MN)＝m＋n， ∴loga(MN)＝logaM＋logaN
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3．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
第四章 4.3 4.3.2
课标A版×32lg2＋12(2lg7＋lg5)＝52
lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5
＝12lg2＋12lg5＝12(lg2＋lg5)＝12lg10＝12.
解法二：原式＝lg4 7 2－lg4＋lg7
第四章 4.3 4.3.2
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温馨提示：对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中 所有的对数都有意义时，等式才成立．例如，log2[(－3)·(－5)]＝ log2(－3)＋log2(－5)是错误的．
2．对数换底公式 若 c>0，且 c≠1，则 logab＝llooggccba(a>0，且 a≠1，b>0)． 3．由换底公式推导的重要结论 (1)loganbn＝logab. (2)loganbm＝mn logab. (3)logab·logba＝1. (4)logab·logbc·logcd＝logad.
(2)若本例(2)②改为“loganbm＝mn logab”如何证明？
[证明] (1)logab·logbc·logcd ＝llggba·llggbc·llggdc＝llggda＝logad. (2)loganbm＝llggbamn ＝mnllggab＝mn logab.
第四章 4.3 4.3.2
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解法二：设 log3645＝x，则 36x＝45，即 62x＝5×9， 从而有 182x＝5×9x＋1，对这个等式的两边都取以 18 为底的 对数， 得 2x＝log185＋(x＋1)log189， 又 18b＝5，所以 b＝log185. 所以 2x＝b＋(x＋1)a， 解得 x＝a2＋－ba，即 log3645＝a2＋－ba.
第四章 4.3 4.3.2
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(2)解法一：由 18b＝5，得 log185＝b，又 log189＝a，
所以 log3645＝lloogg11884356＝
log189×5 18×2×9
log18 9
＝lologg1811898＋2－lologg181589＝2a＋－ba.