量子力学期末试题及答案

只有当量子数 m 相差 ±1时矩阵元才不为零，即
1, −1 Lˆx 1, 0
= 1, 0 Lˆx 1, −1 = 1, 0 Lˆx 1,1 =
1,1 Lˆx 1, 0
=
ℏ 2
1, 0
Lˆy
1, −1
=
1,1 Lˆy
1, 0
=−
iℏ 2
1, −1 Lˆy
1, 0
=
1, 0
Lˆy
1,1
=
iℏ 2
（5） （6）
ψ pˆn ϕ = ψ n n ϕ
而投影算符 pˆn 的共軛算符 pˆn+ 的矩阵元为
ψ
pˆn+ ϕ
=ψ
�pˆn* ϕ
= ⎡⎣ ϕ
pˆn ψ
*
⎤⎦ =
{ϕ n
}*
*
*
n ψ = ⎣⎡ ϕ n ⎦⎤ ⎣⎡ n ψ ⎦⎤ = ψ n
nϕ
显然，两者的矩阵元是相同的，由 ψ 与 ϕ 的任意性可知投影算符 pˆn
于是得到算符 Lˆx 、 Lˆy 的矩阵形式如下
Lˆx =
ℏ 2
⎛ ⎜ ⎜ ⎜⎝
0 1 0
1 0 1
0⎞ 1 ⎟⎟ ; 0 ⎟⎠
Lˆy =
ℏ 2
⎛ ⎜ ⎜ ⎜⎝
0 i 0
−i 0 i
0⎞
−i
⎟ ⎟
0 ⎟⎠
Lˆ y 满足的本征方程为
（7）
ℏ
⎛0 ⎜
⎜i
2
⎜ ⎝
0
相应的久期方程为
将其化为
−i
0
⎞ ⎟
⎛ ⎜
Lz = ℏ; Lz = 0; Lz = −ℏ;
⎛1⎞
ψ1
=
⎜ ⎜
0
⎟ ⎟
⎜⎝ 0⎟⎠
⎛0⎞
ψ0
=
⎜ ⎜
1 ⎟⎟
⎜⎝ 0⎟⎠
⎛0⎞
ψ −1
=
⎜ ⎜
0 ⎟⎟
⎜ ⎝
1
⎟ ⎠
对于算符 Lˆx 、 Lˆy 而言，需要用到升降算符，即
（2）
( ) Lˆx
=
1 2
Lˆ+ + Lˆ−
( ) Lˆy
=
1 2i
Lˆ+ − Lˆ−
⎟ ⎟
=
λ
⎜ ⎜
c2
⎟ ⎟
0 ⎟⎠ ⎜⎝ c 3 ⎟⎠
⎜⎝ c 3 ⎟⎠
（13）
ℏ
−λ
0
2
ℏ −λ
2
ℏ =0
2
ℏ
0
−λ
2
（14）
λ3 − ℏ 2λ = 0
（15）
得到三个本征值分别为 λ1 = ℏ; λ 2 = 0; λ 3 = −ℏ
将它们分别代回本征方程，得到相应的本征矢为
（16）
⎛1⎞
1⎜ ⎟
α
⎛
tan
⎜ ⎜
⎝
mV 0 ℏ
⎞
a
⎟ ⎟
⎠
=
−
mV 0 ℏ = −1 mV 0 ℏ
（5）
mV 0 ℏ
a
=
nπ
−π 4
(n = 1, 2 ,3 , ⋯ )
最后得到势阱的宽度
（7）
a
=
⎛ ⎜
n
−
1
⎞ ⎟
πℏ
⎝ 4 ⎠ mV 0
（8） 三、（20 分） 证明如下关系式 （1）任意角动量算符 �ˆj 满足 �ˆj × �ˆj = iℏ�ˆj 。
9
+
2 9
+
4⎞
9
⎟ ⎠
c
2
=
7 9
c
2
于是，归一化后的波函数为
−
2 3
ϕ1*
(
x
)
⎞ ⎟⎟⎠
⋅
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
1 3
ϕ
2
(x
−
)+
2 3 ϕ1
2 3
(x
ϕ3
)
(
x
)
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
（3）
ψ (x,0) =
9
⎛ ⎜
⎜
1 3
ϕ2
(
x
)
+
2 3
ϕ
3
(
x
)
⎞ ⎟
⎟
=
⎛ ⎜
⎜
7⎜ ⎜⎝
−
2 3
ϕ1
对于基态而言， n1 = n2 = n = 0 ， f0 = 1，体系无简并。
（1） （2） （3） （4）
（5）
利用公式
可知
ϕm x ϕn
1⎡
=
α
⎢ ⎣
n
δ 2
m,n−1
+
n
+ 2
1δ
m,n
+1
⎤
⎥ ⎦
E0(1) = ψ 0 Wˆ ψ 0 = 0
∑ ∑ E
(2
0
)
=
fn n≠0 α =1
ψ0
Wˆ ψ nα ψ nα E00 − En0
是厄米算符。
( ) ( ) ∑ ∑ { } 利用
ψ
* k
x' ψk (x) = δ
x' − x 证明 ( xpˆ x )mn =
xmk ( pˆ x )kn ，其中， ψ k ( x) 为
k
k
任意正交归一完备本征函数系。
证明
∞
∫ ( xpˆ x )mn =
d xψ
* m
(
x
)
xpˆ xψ
n
(
x
)
=
En
=
−
µe4 2ℏ2
1 n2
，
n = 1,2,3,⋯
（1）
将 t = 0 时的波函数写成矩阵形式
利用归一化条件
ψ
(
x,
0)
=
⎛ ⎜
⎜
1 3
ϕ
2
(
x
)
+
2 3
ϕ3
(
x
)
⎞ ⎟
⎟
⎜ ⎜⎝
−
2 3
ϕ1
(
x
)
⎟ ⎟⎠
（2）
∫ c
2
∞ −∞
dx
⎛ ⎜⎜⎝
1 3
ϕ
* 2
(
x)
+
2 3
ϕ
* 3
(
x
)
=
⎛1
⎜ ⎝
ψ 2 (a) = ψ 3 (a)
ψ
' 2
(a
)
=
ψ
' 3
(a
)
得到
Asin(ka + nπ ) = B exp(−αa) Ak cos(ka + nπ ) = −Bα exp(− αa)
于是有
（1） （2） （3） （4）
此即能量满足的超越方程。
当E
=
−
1 2
V
0
时，由于
（6） 故
tan(ka) = − k
ψ1
=
2
⎜ ⎜
⎝
2 ⎟;
1
⎟ ⎠
ψ2 =
⎛1⎞
1 2
⎜ ⎜ ⎜⎝
0
⎟ ⎟
;
− 1 ⎟⎠
⎛1⎞
1⎜
⎟
ψ3
=
2
⎜− 2
⎜ ⎝
1
⎟ ⎟ ⎠
（17）
五、（20 分） 由两个质量皆为 µ 、角频率皆为 ω 的线谐振子构成的体系，
加上微扰项 Wˆ = − λ x 1 x 2 （ x 1 , x 2 分别为两个线谐振子的坐标）后，用微扰论
+ 1 µω 2 2
x12
+
x
2 2
Wˆ = −λ x1x2
已知 Hˆ 0 的解为
E
0 n
=
(n +1)ℏω
ψ nα (x1, x2 ) = ϕ n1 (x1 )ϕ n2 (x2 )
其中
n1, n2 , n = 0,1,2,⋯ α = 1,2,3,⋯, fn
将前三个能量与波函数具体写出来 E00 = ℏω; E10 = 2ℏω,
解 在 L2 与 Lz 表象下，当轨道角动量量子数 l = 1时， m = 1, 0, −1，显然，算
符 Lˆx 、 Lˆy 与 Lˆz 皆为三维矩阵。
由于在自身表象中，故 Lˆz 是对角矩阵，且其对角元为相应的本征值，于是
有
⎛1 0 0 ⎞
Lˆz
=
⎜ ⎜
0
0
0
⎟ ⎟
⎜⎝ 0 0 −1⎟⎠
（1）
相应的本征解为
c1
⎞ ⎟
⎛ ⎜
c1
⎞ ⎟
0 − i⎟ ⎜ c2 ⎟ = λ ⎜ c2 ⎟
i
0
⎟ ⎠
⎜ ⎝
c3
⎟ ⎠
⎜ ⎝
c3
⎟ ⎠
iℏ
−λ −
0
2
iℏ
−λ
− iℏ = 0
2
2
0
iℏ
−λ
2
（8） （9）
λ3 − ℏ 2λ = 0
（10）
得到三个本征值分别为 λ1 = ℏ; λ 2 = 0; λ 3 = −ℏ
将它们分别代回本征方程，得到相应的本征矢为
−∞
∞
∞
( ) ∫ ∫ dxψ
* m
(
x
)
x
dx 'δ x ' − x pˆ xψ n ( x ) =