弹性与塑性力学基础-第4章广义虎克定律和弹性力学解题

弹性与塑性 力 学 基 础
第四章 广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法
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§4-1 广义虎克定律
4.1.3 广义虎克定律的不同形式 各向同性体的虎克定律(4-4)是以应力表示应变，在求解某些问题 是以应力表示应变， 各向同性体的虎克定律 是以应力表示应变 应变表示应力关系 时，有时需要用应变表示应力关系。将式 有时需要用应变表示应力关系。将式(4-4)第一式作如下改变 第一式作如下改变
ε0 =
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§4-1 广义虎克定律
4.1.4 广义虎克定律的不同形式 引入以上表达式后，广义虎克定律又可写为： 引入以上表达式后，广义虎克定律又可写为：
1 1 ε x = [(1 + µ )σ x − µΘ], γ xy = τ xy E G 1 1 ε y = [(1 + µ )σ y − µΘ], γ yz = τ yz E G 1 1 ε z = [(1 + µ )σ z − µΘ], γ zx = τ zx E G
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第 四 章
广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法
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§4-1 广义虎克定律
4.1.1 应力与应变关系的提出 4.1.3 波桑比 4.1.2 虎克定律 4.1.4 广义虎克定律
γ xy =
式中， 式中，G =
τ xy
G
为剪切弹性模量 纯剪应力状态
E 2 (1 + µ )
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§4-1 广义虎克定律
4.1.3 广义虎克定律 用相同的方法， 用相同的方法，可以导 出三维应力状态下的各 三维应力状态下的各 向同性均匀材料的广义 虎克定律，其形式为： 虎克定律，其形式为：
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§4-1 广义虎克定律
4.1.1 问题的提出 弹性力学问题中，物体的受力与变形情况，需用15个变量来 弹性力学问题中，物体的受力与变形情况，需用15个变量来 15 描述。 个应力分量， 个位移分量， 个应变分量。 描述。即：6个应力分量，3个位移分量，6个应变分量。 已学的基本方程－ 已学的基本方程－9个。包括：变形体的平衡微分方程（微元 包括：变形体的平衡微分方程（ 体的力平衡） 几何方程（应变－位移关系） 体的力平衡）3个，几何方程（应变－位移关系）6个。 未知变量的个数（15）多于方程数（ 未知变量的个数（15）多于方程数（9）→必须研究受力物体 的应力与应变之间的关系→物理方程。对于弹性问题，即广义 的应力与应变之间的关系→物理方程。对于弹性问题， 虎克定律。 虎克定律。
1 [(σ x + σ y + σ z ) − 2 µ (σ x + σ y + σ z )] E 1 − 2µ = (σ x + σ y + σ z ) E
1 − 2µ Θ E
如令
εx + ε y + ε z = θ = 3ε0 ,σ x +σ y +σ z = Θ= 3σm
θ=
则上式可写为
1 − 2µ σm (4-5) 或 E (4-5)表明：弹性变形时，体积变化与三个正应力之和即应力张量的 表明： 表明 弹性变形时， 球张量成正比，而与应力偏量无关。 球张量成正比，而与应力偏量无关。
因此，弹性阶段应力莫尔圆和应变莫尔圆是成比例的，因为： 因此，弹性阶段应力莫尔圆和应变莫尔圆是成比例的，因为：
1+ µ
ey γ xy γ yz ex γ zx ez 1 = = = = = = σ ′ σ ′ σ ′ 2τ xy 2τ yz 2τ zx 2G x y z
(4-7)
弹性阶段应力主轴和应变主轴重合（注意： 弹性阶段应力主轴和应变主轴重合（注意：应力或应变球张量对 应力主轴或应变主轴无影响） 应力主轴或应变主轴无影响）
平面双向拉（ 平面双向拉（压）应力
纯剪应力状态
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哈工大（威海） 哈工大（威海） 材料学院 平 面 应 力 时 的 虎 克 定 律
§4-1 广义虎克定律
3、平面应力状态: 平面应力状态: 的作用： 由于应力σx的作用： x方向应变为 方向应变为 y方向应变为 方向应变为
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§4-1 广义虎克定律
4.1.2 虎克定律 1、单向拉伸（压缩）： 单向拉伸（压缩） 材料的应变小于弹性比例极限时， 材料的应变小于弹性比例极限时，应力和应变之间的关系是线弹 性的，两者之间满足虎克定律。其表达式如下： 性的，两者之间满足虎克定律。其表达式如下： 拉伸或压缩方向： 拉伸或压缩方向：σx =Ε·εx 与拉伸或压缩垂直的方向： 与拉伸或压缩垂直的方向： 2、纯剪： 纯剪： 在小变形情况下，由实验可知，正应力与剪应变无关， 在小变形情况下，由实验可知，正应力与剪应变无关，剪应力与 正应变无关。剪应力与剪应变的关系为： 正应变无关。剪应力与剪应变的关系为：
（各向同性均匀材料的 含义， 含义，即材料内部各处 的不同方向具有相同的 μ、E、G 值）
1 ε x = [σ x − µ (σ y + σ z )] E 1 ε y = [σ y − µ (σ x + σ z )] E 1 ε z = [σ z − µ (σ x + σ y )] E τ xy γ xy = G τ yz γ yz = G τ zx γ zx = G
(4-4)
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4.1.4 广义虎克定律的不同形式 将式(4-4)的前三式左右两边相加后，则有 的前三式左右两边相加后， 将式 的前三式左右两边相加后
εx +εy +εz =
σx
σy
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3、平面应力状态： 平面应力状态： 作用下， 方向的应变 在σx和σy作用下，z方向的应变
εz= -µ(σx＋σy)/E
在剪应力作用下， X-Y 平面内的剪 平面内的剪 在剪应力作用下， 应变与纯剪时相同， 应变与纯剪时相同，即：
1 ε x = [σ x + µσ x − µ (σ x + σ y + σ z )] E 即得式(4-6)的第一式 ε = 1 [(1 + µ )σ − µΘ] 即得式 的第一式 x x E 1 − 2µ 利用式(4-5) 利用式 θ= Θ
E
便可得 由上式可得
1 E ε x = [(1 + µ )σ x − µ θ] (1 − 2 µ ) E E µE σx = εx + θ 1+ µ (1 + µ )(1 − 2 µ )
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4.1.4 广义虎克定律的不同形式
1 ex = σ′ = σ′ x x E 2G 1+ µ 1 ′ = ey = σy σ′ y E 2G 1+ µ 1 ez = σ′ = σ′ z z E 2G
(4-9)
E 3(1 − 2 µ )
则式(4-9)可写成 可写成(K—体积弹性模量 体积弹性模量) 则式 可写成 体积弹性模量
Θ = 3Kθ
(4-9')
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§4-2 基本方程
4.2.1 弹性阶段本构关系 在弹性问题中，本构关系即广义虎克定律（ 个方程） 在弹性问题中，本构关系即广义虎克定律（6个方程） 4.2.2 平衡方程（3个方程） 平衡方程（ 个方程）
即：
1 σ′ = σ′ ex = x x 2G E
1+ µ
式中： 为应变偏量分量， x 为应力偏量分量。 式中： ex=εx- ε0 为应变偏量分量，σ ′ = σ x − σ m 为应力偏量分量。 用相同的方法，可得： 用相同的方法，可得：
ey =
1+ µ 1 σ′ = σ′ y y E 2G
1+ µ 1 ′ = ez = σz σ′ z E 2G
§4-2 基本方程
Байду номын сангаас4.2.1 弹性阶段本构关系 4.2.3 几何方程 4.2.2 平衡方程 4.2.4 本构方程
§4-3 边界条件
4.3.1 边界问题类型 4.3.3 应力边界问题 4.3.2 位移边界问题 4.3.4 混合边界问题
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用相同的方法可以求出其他的关系式， 用相同的方法可以求出其他的关系式，归纳如下
σ x = λθ + 2Gε x τ xy = Gγ xy σ y = λθ + 2Gε y τ yz = Gγ yz σ z = λθ + 2Gε z τ zx = Gγ zx
(4-8)
弹性常数。 λ称为拉梅(Lamé)弹性常数。用体积应变表示应力时则有 称为拉梅 弹性常数 E Θ= θ = (3λ + 2G )θ 1 − 2µ 如令， 如令， K =
σx
E
−µ
σx
E
的作用： 由于应力σy的作用： y方向应变为 方向应变为 x方向应变为 方向应变为
σy
E
作用在x方向及 方向的应变为 方向及y方向 同时有σx和σy作用在 方向及 方向的应变为
−µ
σy
E
1 εx = −µ = (σ x − µσ y ) (4-3) E E E σy σ 1 εy = − µ x = (σ y − µσ x ) E E E
3、平面应力状态: 平面应力状态: 对于各向同性的均匀材料，根据实验结果，在小变形的情况下， 对于各向同性的均匀材料，根据实验结果，在小变形的情况下， 正应力和剪应变没有关系，而剪应力只与剪应变有关， 正应力和剪应变没有关系，而剪应力只与剪应变有关，且应力的 叠加原理是适用的 是适用的。 叠加原理是适用的。
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§4-1 广义虎克定律
4.1.3 广义虎克定律的不同形式 µE E 如引用λ 如引用λ= 并注意到 2G = 则有 (1 + µ )(1 − 2 µ ) 1+ µ
σ x = λθ + 2Gε x
(4-6)
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§4-1 广义虎克定律
4.1.4 广义虎克定律的不同形式 由式(4-6)及式 及式(4-5)，可得 由式 及式 ，
ε x − ε0 =
1 1 − 2µ [(1 + µ )σ x − µΘ] − σm E E 1 1 − 2µ = [(1 + µ )σ x − 3µσ m ] − σm E E 1+ µ = (σ x − σ m ) E
或
∂σ x ∂τ yx ∂τ zx + + + Kx = 0 ∂x ∂y ∂z ∂σ y ∂τ zy ∂τ xy + + + K y = 0 ∂y ∂z ∂x ∂σ z ∂τ xz ∂τ yz + + + Kz = 0 ∂z ∂x ∂y
(4-10)
εy = εz =-μ·εx
式中： 式中： Ε－弹性模量， μ－泊松比
τxy=
G · γxy
G 式中： －剪切模量， 式中：G－剪切模量， =
E 2 (1 + µ )
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