赢在高考数学高考模拟题

第3讲 函数y=Asin ()x ωϕ+的图像与性质

1.下列函数中,周期为π,且在[]42

ππ,上为减函数的是…… ( ) A.y=sin (2)2

x π+ B.y=cos (2)2

x π+ C.y=sin ()2x π+

D.y=cos ()2

x π+

【答案】 A

【解析】 由于y=sin (2)2x π+=cos2x 的最小正周期为π,且在[]42

ππ,上是减函数,故选A.

2.四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间,各自作出三个函数

()

6x π+()3

x π-的图像如下,结果发现恰有一位同学作出的图像有错

误,那么有错误的图像是( )

【答案】 C 【解

析

】

当

x=2k

π(k ∈

Z )

时,y=sin2x=sin[2(2k π

()6x π+=sin(2k π1)062y π+=>,=sin ()3

x π-=

π)03π-=<,显然周期最小的函数为y=sin2x,过函数y=sin2x 的图像上的点

(2k π0)(k ,∈Z )作一直线x=2k π(k ∈Z ),则此直线与另外两条曲线的两个交点的纵坐标分别

为12,结合各选项可知有错误的图像为C.

3.(2011辽宁协作体,6)已知f(x)=cos )ϕ+sin +)ϕ为偶函数,则ϕ可以取的一个

值为( ) A.6

π

B.3

π

C.6

π-

D.3

π-

【答案】 D

【解析】 f(x)=2cos )3πϕ++,则3

k

πϕ+=πk ϕ,=π3

k π-,∈Z ,令03

k πϕ=,=-,故选

D.

4.函数f(x)=sin 2

(2)4

x π-的最小正周期是 .

【答案】

2

π

【解析】 1cos2(2x )

411()222

f x π--=

=-sin4x,故其最小正周期为242ππ=. 5.(2011江苏高考,9)函数f(x)=Asin ()(x A ωϕωϕ+,,为常数

00)ω,>的部分图象如图所

示,则f(0)的值是 .

【答案】

【解析】 由图可知741234

T A πππ=

=-=,∴T=π. 又2T πω=,∴22πωπ

==.

根据函数图象的对应关系得23

k

πϕ⨯+=π(k ∈Z ),

∴k

ϕ=π2(3

k π-∈Z ).

取3

πϕ=,则()f x =

(2)3x π+,

∴(0)f =3π=

.

1.函数f(x)=2sinxcosx 是( )

A.最小正周期为2π的奇函数

B.最小正周期为2π的偶函数

C.最小正周期为π的奇函数

D.最小正周期为π的偶函数 【答案】 C

【解析】 因为f(x)=2sinxcosx=sin2x 是奇函数,T=π,所以选C.

2.右图是函数y=Asin ()(00x A ωϕω+>,>,|ϕ|2x π≤,∈R )在区间5[]66

ππ-,上的图像.为了得到这个函数的图像,只要将

x ∈

)的图像上所有的点( )

A.向左平移3

π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的

12

倍,纵坐标不变 B.向左平移3

π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变

C.向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的12

倍,纵坐标不变

D.向左平移6

π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变

【答案】 A

【解析】 观察图像可知,函数y=Asin ()x ωϕ+中21A πω

=,=

π,故2()06

πωωϕ=,⨯-+=,得

3

πϕ=,所以函数y=sin(2x )3

f

π

+,故只要把y=sinx 的图像向左平移3π个单位长度,再把各点

的横坐标缩短到原来的12

倍即可.

3.定义行列式运算: 1234 a a a a 1423a a a a =-,将函数

f(x)=

sin x

x

ωω| (0)ω>的图像向左平移56

π个单位长度,所得图像对应的函数为偶函数,则ω的最小值是( )

A.15

B.1

C.115

D.2 【答案】 B

【解析】

由题意知()f x =x ω-sin 2x ω=cos ()6

x πω+.将函数f(x)的图像向左平移56

π个单位长度后所得图像对应的函数y=2cos 5()6

6

x π

πωω++为偶函数,所以

5πω+π=πk ,∈Z 61k k ω,=-,∈Z ,∵0ω>,∴min

1ω=,故选

4.

已知函数()f x =x x ,∈R ,若()1f x ≥,则x 的取值范围为( )

A.{x|2k π23

x k

π+≤≤π+πk ,∈Z }

B.{x|k π3

x k

π+≤≤π+πk ,∈Z }

C.{x|2k π26

x k π+≤≤π56

k π+,∈Z }

D.{x|k π6

x k

π+≤≤π56

k π+,∈Z }

【答案】 A

【解析】 f(x)=2sin ()6

x π-,若()1f x ≥, 即2sin ()16

x π-≥,

∴sin 1()62x π-≥,得2k π266

x k

ππ+≤-≤π56

π+(k ∈Z ),

即2k π23

x k

π+≤≤π+π(k ∈Z ).故选A.

5.(2011北京西城二模,6)函数y=sin(π)(0)x ϕϕ+>的部分图像如图所示,设P 是图像的最高点,A,B 是图像与x 轴的交点,则tan APB ∠等于( )