人教备战中考数学备考之一元二次方程压轴突破训练∶培优篇及详细答案

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．已知关于x 的方程24832x nx n --=和()223220x n x n -+-+=，是否存在这样的

n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n 值；若不存在，请说明理由？

【答案】存在，n=0.

【解析】

【分析】

在方程①中，由一元二次方程的根与系数的关系，用含n 的式子表示出两个实数根的差的平方，把方程②分解因式，建立方程求n ，要注意n 的值要使方程②的根是整数.

【详解】

若存在n 满足题意.

设x1，x2是方程①的两个根，则x 1+x 2=2n ，x 1x 2=324

n +-

，所以(x 1-x 2)2=4n 2+3n+2， 由方程②得，(x+n-1)[x-2(n+1)]=0， ①若4n 2+3n+2=-n+1，解得n=-

12

，但1-n=32不是整数，舍. ②若4n 2+3n+2=2(n+2)，解得n=0或n=-14

(舍)， 综上所述，n=0.

2．机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台设备润滑用油量为90kg ，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台设备的实际耗油量为36kg ，为了倡导低碳，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关．

（1）甲车间通过技术革新后，加工一台设备润滑油用油量下降到70kg ，用油的重复利用率仍然为60%，问甲车间技术革新后，加工一台设备的实际油耗量是多少千克？

（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑油用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1kg ，用油的重复利用率将增加

1.6%，例如润滑用油量为89kg 时，用油的重复利用率为61.6%．

①润滑用油量为80kg ，用油量的重复利用率为多少？

②已知乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg ，问加工一台设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？

【答案】（1）28（2）①76%②75，84%

【解析】

试题分析：（1）直接利用加工一台设备润滑油用油量下降到70kg ，用油的重复利用率仍然为60%，进而得出答案；

（2）①利用润滑用油量每减少1kg ，用油的重复利用率将增加1.6%，进而求出答案； ②首先表示出用油的重复利用率，进而利用乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg ，得

出等式求出答案．

试题解析：（1）根据题意可得：70×（1﹣60%）=28（kg）；

（2）①60%+1.6%（90﹣80）=76%；

②设润滑用油量是x千克，则

x{1﹣[60%+1.6%（90﹣x）]}=12，

整理得：x2﹣65x﹣750=0，

（x﹣75）（x+10）=0，

解得：x1=75，x2=﹣10（舍去），

60%+1.6%（90﹣x）=84%，

答：设备的润滑用油量是75千克，用油的重复利用率是84%．

考点：一元二次方程的应用

3．“父母恩深重，恩怜无歇时”，每年5月的第二个星期日即为母亲节，节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们．

（1）经过和花店卖家议价，可在原标价的基础上打八折购进，若在花店购买80个礼盒最多花费7680元，请求出每个礼盒在花店的最高标价；（用不等式解答）

（2）后来学生会了解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在（1）中花店最高售价的基础上降价25%，学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒，但实际购买过程

中，“大众点评”网上的购买价格比原有价格上涨5

2

m%，购买数量和原计划一样：“美团”网

上的购买价格比原有价格下降了9

20

m元，购买数量在原计划基础上增加15m%，最终，在

两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了15

2

m%，求出m的值．

【答案】（1）120；（2）20．

【解析】

试题分析：（1）本题介绍两种解法：

解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x•80≤7680，解出即可；

解法二：根据单价=总价÷数量先求出1个礼盒最多花费，再除以折扣可求出每个礼盒在花店的最高标价；

（2）先假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，表示在“大众点评”

网上的购买实际消费总额：120a（1﹣25%）（1+5

2

m%），在“美团”网上的购买实际消费

总额：a[120（1﹣25%）﹣9

20

m]（1+15m%）；根据“在两个网站的实际消费总额比原计划

的预算总额增加了15

2

m%”列方程解出即可．

试题解析：（1）解：解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x•80≤7680，x≤120；解法二：7680÷80÷0.8=96÷0.8=120（元）．

答：每个礼盒在花店的最高标价是120元；

（2）解：假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，由题意得：

120×0.8a（1﹣25%）（1+5

2

m%）+a[120×0.8（1﹣25%）﹣

9

20

m]（1+15m%）=120×0.8a

（1﹣25%）×2（1+ 15

2

m%），即72a（1+

5

2

m%）+a（72﹣

9

20

m）（1+15m%）=144a

（1+ 15

2

m%），整理得：0．0675m2﹣1.35m=0，m2﹣20m=0，解得：m1=0（舍），

m2=20．

答：m的值是20．

点睛：本题是一元二次方程的应用，第二问有难度，正确表示出“大众点评”或“美团”实际消费总额是解题关键．

4．已知：关于的方程有两个不相等实数根．

（1）用含的式子表示方程的两实数根；

（2）设方程的两实数根分别是，（其中），且，求的值．【答案】（I）kx2+（2k－3)x+k－3 = 0是关于x的一元二次方程．

∴

由求根公式，得

．∴或

（II），∴．

而，∴，．

由题意，有

∴即（﹡）

解之，得

经检验是方程（﹡）的根，但，∴

【解析】

（1）计算△=（2k-3）2-4k（k-3）=9＞0，再利用求根公式即可求出方程的两根即可；（2）有（1）可知方程的两根，再有条件x1＞x2，可知道x1和x2的数值，代入计算即可．

一位数学老师参加本市自来水价格听证会后，编写了一道应用题，题目如下：节约用水、