数学建模-第二章
数学建模：第二章 古典模型
（4）设有n个人参加一宴会，已知没有 人认识所有的人，问是否有两个人，他们 认识的人一样多？
27
二、椅子问题
问题：将4条腿长相同的方椅子 放在不平的地上，怎样才能放平？
28
假定椅子中心不动，每条腿的着地点视 为几何上的点，用A、B、C、D表示，把AC 和BD连线看作坐标系中的x轴和y轴，把转 动椅子看作坐标的旋转如图2-6所示：
7
思考题： 在一个边长为1的正三角形内， 1 若要彼此间距离大于 ，最多不超过 n 多少个点？
8
问题２：
能否在8×8的方格表ABCD各个空格中分别 填写1、2、3这三个数中的任一个，使得每行、 每列及对角线AC、BD上的各个数的和都不相同？ 为什么？
A D
B 图 2-2
C
9
如图2-2，因为每行、每列及对角线上的 数都是8个,所以8个数的和最小值是1×8＝8， 最大值是3×8=24，共有17个不同的和。而由 题意知，每行、每列及对角线AC、BD上各个 数的和应有8+8+2=18个，所以要想使每行、 每列及两对角线上18个和都不相同是办不到 的。
10
三、学会估算 问题：能否将一张纸对折100次？
对折100次共2 层
100
2 1024 1000 10
10
3
所以 2 10 30 10 层就有 若每层纸厚度为0.05毫米，
100 30
5 1022 千米
即五万亿亿千米，而从地球到太阳也不过1.5亿 千米。 对折100次就无法办到了。
Fn 2 1
2n
进行试算：
F0 3
F1 5 F2 17
F3 257 都是素数
F 费尔马断言：“对任意自然数n，n 都是 素数。”，这是著名的费尔马猜想。
章绍辉数学建模第二章
第二章 习题二1.（1）按照“两秒准则”表明前后车距与车速成正比，这和“一车长度准则”是类似的。
在2.2节的基础上引入下面的符号: D ～前后车距（m ） v ～车速（m/s ）K ～按照“两秒准则”，D 与v 之间的比例系数（s ）,在“两秒准则”中，K=2 于是“两秒准则”的数学模型为（2）D K v K =⨯=而刹车距离的数学模型为212d kv k v =+ 要考虑“两秒准则”是否安全，即要比较D 与d 的大小212d D kv k v K v -=+-⨯（1） 代入k 1=0.75v ，k 2=0.082678，K=2，所以当d>D ，即刹车距离的理论大于前后车距时，认为不够安全；当d<D ，即刹车距离的理论小于前后车距时，认为足够安全。
计算得到当速度超过15.12 m/s 时，“两秒准则”就不安全了，也就是说“两秒准则”适用于车速不是很快的情况。
另外，还可以通过绘图直观解释为什么“两秒准则”不够安全，用以下程序把刹车距离实测数据与“两秒准则”都画在同一幅图中：v=(20:5:80).*0.44704;d2=[18,25,36,47,64,82,105,132,162,196,237,283,334 22,31,45,58,80,103,131,165,202,245,295,353,41820,28,40.5,52.5,72,92.5,118,148.5,182,220.5,266,318,376]; d2=0.3048.*d2;k1=0.75; k2=0.082678; K=2; d1=[v;v;v].*k1;d=d1+d2;plot([0,40],[0,K*40],'k')hold onplot(0:40,polyval([k2,k1,0],0:40),':k')plot([v;v;v],d,'ok')title('比较刹车距离实测数据、理论值和两秒准则')legend('两秒准则','刹车距离理论值',...'刹车距离的最小值、平均值和最大值',2)xlabel('车速v（m/s）')ylabel('距离（m）')hold off（2）“两秒准则”的不安全性在于，其刹车距离随着车速增长的速度赶不上理论刹车距离的增长速度，为此我们提出一个“t秒准则”，通过不断增加t的值使得刹车距离总是大于理论刹车距离。
数学建模第二章
精品PPT
参数估计
w0=100 kg, g=2kg, p0=7.5 元, r=(7.8-7.5)/5=0.06 元, k=7.1 元 P(t) = R(t) – C(t) = (7.5－0.06 t)(100 + 2t) – (500+7.1t) P(t) = 250 + 1.9t – 0.12 t2.
第二章 数学(shùxué) 建模
精品PPT
回顾(huígù )
数学模型： 通过抽象和化简， 使用数学语言， 对实际问题的一个(yī ɡè)近似描述， 以便于人们更深刻地认识所研究的对象。 数学模型的特点： 实践性；应用性；综合性。
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数学(shùxué)建模 (Mathematical modelling)
数学建模是一种数学的思考方 法，用数学的语言和方法，通过 抽象、简化建立能近似刻画并" 解决(jiějué)"实际问题的路径。
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构建(ɡòu jiàn)数学模型的基本 步骤：
识别问题：什么是要探究的问题？要将不 同学科(xuékē)对问题的语言陈述用数学 方式表达。
做出假设：抓住主要因素，降低问题的复 杂性，确定所考虑到的因素之间的关系。 这包括引入参量、自变量、因变量。
度 v*, 使得疏散的时间最短？
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精品PPT
V=ad/(b+d) =7.83d/(75.60+d)
精品PPT
例6. 生猪饲养
一头重量是100 kg的猪， 在上一周每天增重约2 kg。 五天前售价为7.8元/kg，但现在猪价下降到
7.5元/kg， 饲料每天需花费(huāfèi)7.1元。 前期育肥的投入大约500元。 求出售猪的最佳时间。 目标（求什么）？ 实现目标的关键？ 有关的因素？
数学建模第二章图形绘制
-0.1
0.1
y2=x.*x.*log(x);
-0.2
0
plot(x,y2,'r-'),grid on -0.3
-0.1
-0.4
-0.2
0
0.5
1
1.5
0
0.5
1
1.5
三、曲面绘制
命令 plot3(x,y,z) mesh(x,y,z) surf(x,y,z) meshc(x,y,z) surfc(x,y,z) surfl(x,y,z) hidden on/off
contourf(x,y,z)
绘制正投影于xoy面上的经过填充的等高线。
[c,h]=contour(z)
z为曲面s上的点阵，c为xoy面上的等高线阵，h为高度列向量， c和h将作为下面语句中的输入参数。
clabel(c)
给xoy面上的等高线增添标注，位置任意，但十分粗略，欠清 晰
clabel(c,h)
plot3(x,y,z)
0 5
4
0
2
0
-2
-5 -4
[x,y]=meshgrid(-4:0.4:4,-5:0.5:5); z=0.3*exp(-0.15*(x.^2+y.^2)); mesh(x,y,z)
0.4
0.3
0.2
0.1
0 5
4
0
2
0
-2
-5 -4
0.4
surf(x,y,z) 0.3
0.2
100
80
60
40
20
0 1000
500
0
-500
0
-1000 -500
1000 500
数学建模第二章
方程的根：实根、虚根。全局的根、 方程的根：实根、虚根。全局的根、局部 的根。单根、重根。 的根。单根、重根。
介值定理 若函数 则方程
] f ( x在 [ a , b连续，且 ) 连续，
f ( a ) f (b ) < 0
f ( x ) = 0 ( a , b内至少有一个实根。 ) 内至少有一个实根。 在
x k +1
f ( xk ) ,k = 0,1,2, L = xk − f ′( x k )
2.1.2 非线性方程求解的MATLAB实现 非线性方程求解的MATLAB实现 MATLAB
MATLAB是matrix laboratory(矩阵实验室 的缩 是 矩阵实验室)的缩 矩阵实验室 软件包是由美国MathWorks公司 写， MATLAB软件包是由美国 软件包是由美国 公司 推出的。目前最为流行的版本MATLAB6.5，其最 推出的。目前最为流行的版本 ， 高版本已达到MATLAB7.7。 高版本已达到 。 对计算机编程与数值计算，之所以感到困难是因 对计算机编程与数值计算， 为受到编程技术与数学算法的制约 MATLAB对于问题的表达方式几乎与问题的数学 对于问题的表达方式几乎与问题的数学 表达形式完全一致，是效率较高，功能较强， 表达形式完全一致，是效率较高，功能较强，便 于进行科学工程计算的应用软件。 于进行科学工程计算的应用软件。
模型求解
利用MATLAB软件求解，见MATLAB界面操作 软件求解， 利用 软件求解 界面操作 第二问： 第二问：反复利用递推式可得
xn +1 = (1 + p ) xn − Q = (1 + p ) 2 xn −1 − (1 + p )Q − Q = (1 + p ) n x1 − [(1 + p ) n −1 + (1 + p ) n − 2 + L + (1 + p ) + 1]Q (1 + p ) n − 1 = (1 + p ) n x1 − Q p
数学建模 第二章
25.6
19.8
1318603Fra bibliotek.435.0
26.5
1870
38.6
47.8
35.4
1880
50.2
65.5
43.5
1890
1 2
1900
:
1910
3
4
1920
62.9 76.6 92.0 106.5
89.6 122.5 167.6 229.3
56.2 70.2 84.7 102.5
泰州学院数学建模教案
1 2
Logistic 模型在经济领域中的应用(如耐用消费品
: 3
的售量)
4
泰州学院数学建模教案
2.3 数学建模的方法和步骤
数学建模的基本方法
机理分析 根据对客观事物特性的认识，找出反 映内部机理的数量规律
测试分析 将对象看作“黑箱”，通过对测量数 据的统计分析，找出与数据拟合最好的
15
模型
用机理分析建立模型结构, 二者结合 用测试分析确定模型参数
模型假设 针对问题特点和建模目的 作出合理的、简化的假设 在合理与简化之间作出折中
模型构成
17
用数学的语言、符号描述问题
发挥想像力
使用类比法
1
2 :
尽量采用简单的数学工具
3
4
泰州学院数学建模教案
模型求解
各种数学方法、软件和计算机技术
模型分析
如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的 稳定性分析
18
3
4
泰州学院数学建模教案
例3 商人们怎样安全过河
问题(智力游戏)
随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 河
数学建模第二章课件
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
初等模型
从现实对象到数学模型 数学建模的重要意义 数学建模步骤和示例 数学建模的分类 数学模型与能力的培养
问题一： 汽车租赁费用模型
• 国庆长假期间，小王租用了某汽车租赁公司一辆 桑塔纳汽车外出旅游。汽车租赁公司与小王签订 的租车合同中约定：次日下午6时前交车按一天计， 交车时验车。租车的收费标准见表： 车型 桑塔纳 基本租金（元∕辆•天） 200 里程收费（元 ∕km） 5
B出版社给作者的稿酬为：前4000册不支付版 税，但超过4000册部分支付10%的版税和每本3元 的稿酬。 请问作者选择哪家出版社？
一、模型假设与变量说明
•假设该书的定价是固定的，与选择的出版社无关。 •假设该书的销售量是固定的，即选择哪家出版社 对销售量没有影响。 •假设出版社的稿酬均按销售数量计。
问题二：理财模式
刘艳红老人最近以1百万元的价格卖掉自己的房屋 搬进养老院。有人向她建议将1百万用来投资，并将 投资回报用于支付各种保险。经过再三考虑，她决 定用其中一部分购买公司债券，剩余部分存入银行。 公司债券的年回报率是5.5%，银行的存款年利率是 3%。 （1）假设老人购买了 万元的公司债券试着建立 她的年收入模型。 （2）如果她希望收获45000元的年收入，则她至少 要购买多少公司债券。
解之，得
x 360 km
由此可知，国庆期间小王驾车行驶了360km。
拓展思考：
如果一辆新桑塔纳的售价为9万元（含购臵税等），汽车的保 险费用为3000元∕年。根据国家规定：车的报废年限为15年。 公司估计该车一年中约有200天被租用。若不考虑维修费燃油 费等其他费用，试着确定使公司不亏损的最低租赁价格，并 为汽车租赁公司提供一个该款汽车的租赁方案。
初中数学建模案例集精之2第二章 角平分线四大模型
N MOA B P 2图4321A CP B D AB C图1A B D C AB D CPP ONM BA 第二章 角平分线四大模型模型1 角平分线上的点向两边作垂线如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点P 作PA ⊥OM 于点A ，PB ⊥ON 于点B 。
结论：PB=PA 。
模型分析利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。
模型实例（1）如图①，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，BC=6，BD=4，那么点D到直线AB 的距离是 ； （2）如图②，∠1=∠2，+∠3=∠4。
求证：AP 平分∠BAC 。
热搜精练1．如图，在四边形ABCD 中，BC>AB ，AD=DC ，BD 平分∠ABC 。
求证：∠BAD+∠BCD=180°。
2．如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点 P ，若∠BPC=40°，则∠CAP= 。
模型2 截取构造对称全等如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点A 是射线OM 上任意一点，在ON 上截取OB=OA ，连接PB 。
结论：△OPB ≌△OPA 。
图2DP AB C D C 1图P B A ABC DA BC DE DC B AP ONM B A 模型分析利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。
利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。
模型实例（1）如图①所示，在△ABC 中，AD 是△ABC 的外角平分线，P 是AD 上异于点A 的任意一点，试比较PB+PC 与AB+AC 的大小，并说明理由；（2）如图②所示， AD 是△ABC 的内角平分线，其他条件不变，试比较 PC-PB 与AC-AB 的大小，并说明理由。
第二章 初等数学建模
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
赌场如战场，有胜亦有败。 例5 常胜的赌徒 ，那么赌徒到底至少要 。但 要做到长胜， 要做到长胜 赌场如战场，有胜亦有败
假如每次赢的概率为p，则输的概率为q=1-p,显 k . = 2[ln(1−ξ )/ln q]+1 −1 然连输K次的概率为 q 因此开k次至少有一次赢 不难解出：QMIN k 的概率为 − q。不论“常胜的概率p0有多大，只 1 . k 要p0 >0且q <1,只要K充分大,必有 1− q > p0 。 即只要赌徒有足够多的本钱，则可百赌百胜。
是不是花6分钱 准可以得到 是不是花 分钱,准可以得到 粒红色的糖 分钱 准可以得到2粒红色的糖 或者她花去8分钱准可得到 粒白色的糖, 或者她花去 分钱准可得到2粒白色的糖 分钱准可得到 粒白色的糖 所以她需要花8分钱是吗 分钱是吗? 所以她需要花 分钱是吗 ---
如果出售机内有6粒红色的 粒白色 如果出售机内有 粒红色的,4粒白色 显然只要花4分钱即可 分钱即可. 显然只要花粒红色的 分钱即可 粒蓝色的.琼斯夫人最多要花多少 的,5粒蓝色的 琼斯夫人最多要花多少 粒蓝色的 如果琼斯夫人的孩子是三 钱? 胞胎 那该怎样呢 胞胎,那该怎样呢 那该怎样呢?
然应当把水池、 盘子大小相同， 然应当把水池、 ，你还应当调查 可见 ，假设条件 的提出不 ：盘子大小相同， 易回答了，当然， 易回答了，当然 假设我们了解到 空气等吸热的因 我们了解到： 假设我们了解到 仅和你 研的 洗过的， 洗过的，其后可能还会再用清水 （4） ，素都考虑进去，但餐馆老板的原 ） 均为瓷质菜盘， 是一 有关，素都考虑进去， 问题 有关每个盘子的洗涤时间 △T是一 、 还和 ，更换热水并非因为水太脏 你准备利用哪些知 识 一下一池水的质量是多少， 一下一池水的质量是多少，查一 均为瓷质菜盘，洗涤时先将一叠 冲洗， 冲洗 个常数。（ 。（这一假设甚至可以去掉 个常数。（这一假设甚至可以去掉 。 意只是想了解一下一池热水平均 准备建立什么样的模型以及你准 备研 一 下瓷盘的吸热系数和质量等。 下瓷盘的吸热系数和质量等 盘子浸泡在热水中， 盘子浸泡在热水中，然后 。 水不够热了。 了，而是因为 水不够热了 不要） 清洗。 即在你提出假设时， 不要） 清洗。 ，即在你提出假设时， 大约可以洗多少盘子， 大约可以洗多少盘子， 杀鸡 究的深入程度有关， 究的深入程度有关 焉用牛刀？ 焉用牛刀？ 你建模的框架已经基本搭好了。 你建模的框架已经基本搭好了。
数学建模课后习题第二章参考答案
数学建模第二章课后习题第5题参考答案5.(1)at m me w w w w w t w --+=)()(000，要使,只需。
联系：在目前的情况下，当时，两个模型中猪的体重的变化都一样，当时，新的假设中猪的体重增长的比较快，当时，新的假设猪的体重增长的比较慢。
因为，所以函数为增函数，即当t 增大时，猪的体重会随着增加，这与原来的假设是一致的。
两个假设都满足'(0)w r =，在最佳出售时机附近误差微小。
区别：150200250300当a=1/60时两个假设模型的比较由图可知，新假设是阻滞增长模型，体重w 是t 的增函数，体重增加的速率先快后慢，时间充分长后，体重趋于w m 。
而原假设w(t)=0w +rt 只假设体重匀速增加。
从长时间来看，新假设比原假设更符合实际。
(2) 则t 天之后比现在出售多赚的纯利润为：0000((0))()()()()(0)(0)(0)()matm p gt w w Q t p t w t C t p w ct p w w w w e--=--=--+- 其中p(0)=12,g=0.08, 900=w ，270=m w ,,c=3.2,代入数据并用matlab 中的fminbnd 函数运算得到： 在t=14.4336时，纯利润到达最大值：Qm =12.1513。
代码如下：Q=@(t)((12-0.08*t)*90.*270)./(90+(270-90).*exp(-(1/60)*t))-3.2*t-12*90;nQ=@(t)-Q(t);[t,Q1]=fminbnd(nQ,0,100), Qm=-Q1 t = 14.4336 Q1 = -12.1513 Qm =12.1513 （3）所以，如果生猪体重wm 增加1%，灵敏度S(tm,dwm)= 3.7669，最佳出售时间tm 就推迟0.038%。
灵敏度比较小，所以wm 对tm 不灵敏。
程序如下：Q=@(t,wm)((12-0.08*t)*90.*wm)./(90+(wm-90).*exp(-(1/60)*t))-3.2*t-12*90;数值计算W m 对t m 的灵敏度（W m =270，t m =14.4336）m m w w +∆ ()/%m m w w ∆ m m t t +∆ ()/%m m t t ∆ (,)m m S w t272.70001.000014.9773 0.0377 3.7669 283.5000 5.0000 17.0565 0.1817 3.6345 297.0000 10.0000 19.46010.34833.4825数值计算W m 对Q m 的灵敏度（W m =270，Q m =12.1513） m m w w +∆ ()/%m m w w ∆ m m Q Q +∆ ()/%m m Q Q ∆ (,)m m S w Q272.7000 1.0000 13.1078 0.0787 7.8720 283.5000 5.0000 17.1208 0.4090 8.1794 297.0000 10.0000 22.47540.84968.4963d=[.01;.05;.1];dwm=d*270;Q1=@(t)-Q(t,270+dwm(1));[t1,Q1]=fminbnd(Q1,0,30);Q2=@(t)-Q(t,270+dwm(2));[t2,Q2]=fminbnd(Q2,0,30);Q3=@(t)-Q(t,270+dwm(3));[t3,Q3]=fminbnd(Q3,0,30);Qm1=-Q1;Qm2=-Q2;Qm3=-Q3;tm=14.4336;Qm=12.1513;Sw_t=@(t,w)((t-tm)/tm)./(w/270);Sw_Q=@(Q,w)((Q-Qm)/Qm)./(w/270);t=[t1;t2;t3],Q=[Qm1;Qm2;Qm3],a=[270+d.*270,d.*100,t,(t-tm)./tm,Sw_t(t,d.*270)],b=[270+d.*270,d.*100,Q,(Q-Qm)./Qm,Sw_Q(Q,d.*270)], t =14.977317.056519.4601Q =13.107817.120822.4754a =272.7000 1.0000 14.9773 0.0377 3.7669 283.5000 5.0000 17.0565 0.1817 3.6345 297.0000 10.0000 19.4601 0.3483 3.4825b =272.7000 1.0000 13.1078 0.0787 7.8720 283.5000 5.0000 17.1208 0.4090 8.1794297.0000 10.0000 22.4754 0.8496 8.4963 (4)由图可知，新假设模型是一个阻滞增长模型，比原来的模型更符合实际，可以在较长时间内使用。
数学建模 - 第二章 线性规划及单纯形法
T
max s.t.
p
j 1
n
j
xj b
x0
13
§2 线性规划问题的图解法
max s.t.
z cx Ax b x0
(1) (2) (3)
定义1 在LP 问题中，凡满足约束条件(2)、(3)的 解 x = (x1,x2,…,xn)T 称为LP 问题的可行解， 所有可行解的集合称为可行解集（或可行域）。 记作 D={ x | Ax = b ,x≥0 }。 定义2 设LP问题的可行域为D，若存在x*∈D，使得 对任意的x∈D 都有c x*≥c x，则称x*为LP 问题
设 xj 没有非负约束，若 xj ≤0，可令 xj = - xj’ ，
则 xj’ ≥0；
又若 xj 为自由变量，即 xj 可为任意实数，
可令 xj = xj’ - xj’’，且 xj’ , xj’’ ≥0
11
第二章
线性规划及单纯形法
max z’= x1-2x2+3x4- 3x5 s.t. x1+x2+x4-x5+x6=7 x1-x2+x4-x5-x7=2 3x1-x2-2x4+2x5=5 x1,x2,x4,x5,x6,x7≥0
x2
2x1 x2 2
x1 4x2 4
max z = 2x1 + 2x2 s.t. 2x1 – x2 ≥ 2 -x1 + 4x2≤ 4 x1，x2 ≥ 0
Note:
可行域为无界区域，
目标函数值可无限
增大，即解无界。
(１,0)
O
A
x1
称为无最优解。
数学建模-第二章
注:几何相似性和比例性是建模过程中非常强有力的简化工具
划艇比赛的成绩
问
对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠 军的成绩进行比较，发现与浆手数有某种关系。试建立
题 数学模型揭示这种关系。
赛艇 2000米成绩 t (分) 艇长l 艇宽b
二、数学模型
1、数学语言及其功能 1）简明性： 能以较小的篇幅容纳更多的研究对象的信息。 2）可运算性：能用需要的数学方法作运算或推理处理。 3）广泛性： 同一种数学表达能表现很多类现象或现象的
内部关系。
2. 数学模型 用数学语言对实物或实际问题所作的抽象表
达，被称之为数学模型。
三、数学建模
1、数学建模含义 数学建模是指从实际问题出发经数学方法的处理再
3. 某人家住T市在他乡工作，每天下班后乘火车 于6:00抵达T市车站，他的妻子驾车准时到车站 接他回家。一日他提前下班搭早一班火车于5:30 抵达T市车站，随即步行回家，他的妻子像往常一 样驾车前来，在半路上遇到他接回家时，发现比 往常提前了10分钟。问他步行了多长时间？
5：30
5：55
车 站 5分钟
刹车时间 （秒） 1.5 1.8 2.1 2.5 3.0 3.6 4.3
最小二乘法 k=0.06
计算刹车距离、刹车时间
模型
d t1 v k2v 0 .7v 5 0 .0v 2 6
车速
刹车时间
(英里/小时) （秒）
20
1.5
30
1.8
40
2.1
50
2.5
60
3.0
70
3.6
数学建模第二章 非线性规划
数学建模
线性规划与非线性规划的区别 如果线性规划的最优解存在，其最优解只能在其可行 域的边界上达到（特别是可行域的顶点上达到）；而非线 性规划的最优解（如果最优解存在）则可能在其可行域的 任意一点达到。 3.1.2 非线性规划的Matlab 解法 Matlab 中非线性规划的数学模型写成以下形式
数学建模
数学建模
解 设投资决策变量为
则投资总额为
，投资总收益为
因为该公司至少要对一个项目投资，并且总的投资金 额不能超过总资金A ，故有限制条件
由于) xi (i = 1,…. , n 只取值0 或1，所以还有
数学建模
最佳投资方案应是投资额最小而总收益最大的方案， 所以这个最佳投资决策问题归结为总资金以及决策变量 （取0 或1）的限制条件下，极大化总收益和总投资之比。 因此，其数学模型为：
就可以求得当x1=0.5522, x2=1.2033, x3=0.9478 时，最小 值 y = 10.6511 。
3.2 Matlab 求无约束极值问题 3.2.2 无约束极值问题的数值解 在Matlab 工具箱中，用于求解无约束极值问题的函数有 fminunc 和fminsearch，用法介绍如下。
数学建模
例2 求下列非线性规划
数学建模
解 （i）%编写M 文件fun1.m 定义目标函数
function f=fun1(x); f=sum(x.^2)+8;
（ii）编写M文件fun2.m定义非线性约束条件 function [g,h]=fun2(x); G=-x(1)^2+x(2)-x(3)^2 x(1)+x(2)^2+x(3)^3-20; %非线性不等式约束
h=[-x(1)-x(2)^2+2 x(2)+2*x(3)^2-3; %非线性等式约束
数学建模II第2章4-7
艇长l (米) 7.93 9.76 11.75 18.28
艇宽b (米) 0.293 0.356 0.574 0.610
l/b 27.0 27.4 21.0 30.0
空艇重w0(kg) 浆手数n 16.3 13.6 18.1 14.7
可以看出，当浆手数增加时，艇的尺寸、艇重 都随之增加，但比值l /b, w0/n 变化不大，如果假 定l /b是常数，即各种艇的形状一样，则可以得到 艇浸没面积与排水体积的关系，若假定w0/n 是常 数，则可以得到艇和浆手的总重量与浆手数之间的 关系。
乙的无差别曲线族 g(x,y)=c2具有相同性质
y
g(x,y)=c2 c2
O
x
为得到双方满意的交换方案，将双方的无 差别曲线族画在一起，其中乙的无差别曲线 族圆点在O/，且x、y轴均反向，于是当乙的 满意度c2增加时无差别曲线向下移动。
双方的交换路径 甲的无差别曲线族 f=c1 乙的无差别曲线族 g=c2 (坐标系x’O’y’, 且反向）
等价交换准则是指：两种物品用同一货币 衡量其价值，进行等价交换。
设交换前甲占有物品X（数量为x0)与乙占 有物品Y(数量为y0)具有相同的价值，则等价 交换原则下交换路径为(x0,0), (0,y0) 两点的 连线CD,于是双方满意的交换方案为CD与AB 的交点p。
y yo
.
D
B
p
0
A
.
C
xo x
实例： 设玉米的价格为每千克p元，山羊的价格 为每只q元，则有交换前甲方拥有玉米的价 值为pX, 乙方拥有山羊的价值为qY。若交换 前甲乙拥有物品的价值相同，即pX=qY。
则交换发生后，甲方拥有玉米和山羊的价 值为px+qy, 乙方拥有玉米和山羊的价值为 p(X-x)+q(Y-y)，按按等价交换的原则应该有 px+qy=p(X-x)+q(Y-y)。利用关系pX=qY， 可以得出实际交换的点（x,y）满足关系式： x/X+y/Y = 1 此曲线是一条直线，在交换路径坐标系中 画出此曲线与AB相交，就得到实际交换发生 的点。
章绍辉数学建模第二章第四题解析
4.继续考虑2.3节的“生猪出手时机”案例,假设在第t 天的生猪出售的市场价格（元/公斤）为2)0()(ht gt p t p +-= （1）其中h 为价格的平稳率,取0002.0=h .其他模型假设和参数取值保持不变. （1）试比较（1）式与（2.3.1）式,解释新的假设和原来的假设的区别与联系; （2）在新的假设下求解最佳出售时机和多赚的纯利润;（3）作灵敏度分析,分别考虑h 对最佳出售时机和多赚的纯利润的影响; （4）讨论模型关于价格假设的强健性. 解:（1）两个假设的区别与联系 由课本的内容,我们有()1.3.2)0()(ΛΛgt p t p -=()1)0()(2ΛΛht gt p t p +-=这两个式子的区别与联系如下: ①区别 i ）（2.3.1）式所表示的是递减的一次函数,而（1）式所表示的则是一个开口向上的二次函数,如图1. 绘图程序：p=@(t)12-0.08*t+0.0002*t.^2; t=input('请输入t 值')plot([0,t],[12,12-0.08*t],'k:',0:.1:t,p(0:.1:t),'k') axis([0,t,0,20])title('模型假设（1）式与（2.3.1）式的比较') legend('p(0)-gt (2.3.1)式','p(0)-gt+ht^2 (1)式') xlabel('时间t （天)'),ylabel('市场价格p(元/公斤)') 图像t=400 图1ii ）（2.3.1）式表示价格匀速下降,（1）式表示价格先下降到一定程度再增加,故（2.3.1）更加符合实际的情况,如图1.iii ）（2.3.1）式中,市场价格降低的幅度为g t p -=)('错误!未找到引用源。
,而（1）式中,市场价格的降低值为ht g t p 2)('+-=错误!未找到引用源。
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背 景 与 问 题
常识： 常识：刹车距离与车速有关
问 题 分 析
刹 车 距 离
10英里 小时 ≈16公里 小时 车速下 秒钟行驶 英 英里/小时 公里/小时 车速下2秒钟行驶 英里 小时(≈ 公里 小时)车速下 秒钟行驶29英 尺(≈ 9米) ≈ 米 >>车身的平均长度 英尺 车身的平均长度15英尺 车身的平均长度 英尺(=4.6米) 米 “2秒准则”与“10英里 小时加一车身”规则不同 秒准则” 英里/小时加一车身 秒准则 英里 小时加一车身”
四、数学建模的简单实例
问题1：杀羊方案 现有26只羊，要求7天杀完且每天必须杀奇数只， 问各天分别杀几只？ 分析： 1). 这是一个有限问题，解决此类问题的一 类方法是枚举，你可以试试。 2). 依题意，设第 i 天杀 2ki + 1 (ki为自然数) 只， 建模： 则所提问题变为在自然数集上求解方程
t
7.21 6.88 6.32 5.84
• • • •
8 n
1
2
4
t = an
b
log t = a′ + b log n
最小二乘法
t = 7.21n
−0.11
与模型符合！ 与模型符合！
钓鱼比赛
问题: 问题
出于保护的目的,垂钓俱乐部想鼓励其他会员在钓 出于保护的目的 垂钓俱乐部想鼓励其他会员在钓 到鱼后马上把它们放生.该俱乐部还希望根据钓到鱼的 到鱼后马上把它们放生 该俱乐部还希望根据钓到鱼的 总重量来给予以下奖励:100磅俱乐部的荣誉会员 大奖 磅俱乐部的荣誉会员,大奖 总重量来给予以下奖励 磅俱乐部的荣誉会员 赛期间的钓鱼总重量的冠军,等等 等等.垂钓者怎么确定所钓 赛期间的钓鱼总重量的冠军 等等 垂钓者怎么确定所钓 到的鱼的重量.你可能会建议每位垂钓者带一个便挟秤 到的鱼的重量 你可能会建议每位垂钓者带一个便挟秤, 你可能会建议每位垂钓者带一个便挟秤 但是这样的秤用起来不方便,特别是对小鱼也并不准确 特别是对小鱼也并不准确. 但是这样的秤用起来不方便 特别是对小鱼也并不准确
车速 (英里 小时 英里/小时 英尺/秒 英里 小时) (英尺 秒) 英尺 20 30 40 50 60 70 80 29.3 44.0 58.7 73.3 88.0 102.7 117.3
最小二乘法 ⇒ k=0.06
计算刹车距离、 计算刹车距离、刹车时间
模型
d = t 1 v + kv 2 = 0 . 75 v + 0 . 06 v 2
2
d = d1 + d 2
d 1 = t1 v
d 2 = kv
d = t1 v + kv 2
d = t1v + kv 2 模型
参数估计 • 反应时间 t1的经验估计值为 的经验估计值为0.75秒 秒 • 利用交通部门提供的一组实际数据拟合 k
实际刹车距离 英尺） （英尺） 42（44） （ ） 73.5（78） 73.5（78） 116（124） （ ） 173（186） （ ） 248（268） （ ） 343（372） （ ） 464（506） （ ） 计算刹车距离 英尺） （英尺） 39.0 76.6 126.2 187.8 261.4 347.1 444.8 刹车时间 （秒） 1.5 1.8 2.1 2.5 3.0 3.6 4.3
c)
4)所有鲈鱼都是几何相似的 任何鲈鱼的体积都和某个特征 所有鲈鱼都是几何相似的,任何鲈鱼的体积都和某个特征 所有鲈鱼都是几何相似的 量的立方成正比. 量的立方成正比.
建立模型: 建立模型 选取鱼的长度 l作为特征量
模型建立 : V ∝ l3 V = kl 3 利用所给数据对上述模 型中 的参数进行拟合
划艇比赛的成绩
问 题
赛艇 种类 单人 双人 四人 八人 对四种赛艇（单人、双人、四人、八人） 次国际大赛冠 对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠 军的成绩进行比较，发现与浆手数有某种关系。 军的成绩进行比较，发现与浆手数有某种关系。试建立 数学模型揭示这种关系。 数学模型揭示这种关系。 2000米成绩 t (分) 米成绩 分 艇长l 艇长 1 2 3 4 平均 (米) 米 7.16 7.25 7.28 7.17 7.21 7.93 6.87 6.92 6.95 6.77 6.88 9.76 6.33 6.42 6.48 6.13 6.32 11.75 5.87 5.92 5.82 5.73 5.84 18.28 艇宽b 艇宽 (米) 米 0.293 0.356 0.574 0.610 l/b 27.0 27.4 21.0 30.0 空艇重w 空艇重 0(kg) 浆手数n 浆手数 16.3 13.6 18.1 14.7
准 备
调查赛艇的尺寸和重量
l /b, w0/n 基本不变
பைடு நூலகம்
问题分析
分析赛艇速度与浆手数量之间的关系 赛艇速度由前进动力和前进阻力决定 • 前进动力 ~ 浆手的划浆功率 • 前进阻力 ~ 浸没部分与水的摩擦力 前进 划浆 动力 浆手 功率 数量 艇 浸没 前进 重 面积 阻力 赛艇 速度 赛艇 速度
• 对浆手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定 对浆手体重、功率、 • 运用合适的物理定律建立模型
6：00 5分钟 共走了25分钟。
4. 某人由A处到B处去，途中需到河边取些水，如 下图。问走那条路最近？（用尽可能简单的办 法求解。）
A B 河 d
初等模型
1 汽车刹车距离 2 划艇比赛的成绩 3 钓鱼比赛 4 席位分配
汽车刹车距离
美国的某些司机培训课程中的驾驶规则： 美国的某些司机培训课程中的驾驶规则： • 正常驾驶条件下 车速每增 英里 小时， 正常驾驶条件下, 车速每增10英里 小时， 英里/小时 后面与前车的距离应增一个车身的长度。 后面与前车的距离应增一个车身的长度。 • 实现这个规则的简便办法是 “2秒准则” ： 秒准则” 秒准则 • 后车司机从前车经过某一标志开始默数 2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何 秒钟后到达同一标志， 秒钟后到达同一标志 秒准则” 车身” 判断 “2秒准则” 与 “车身”规则是否一 秒准则 样； 建立数学模型，寻求更好的驾驶规则。 建立数学模型，寻求更好的驾驶规则。
三、数学建模
1、数学建模含义 数学建模是指从实际问题出发经数学方法的处理再 回到实际问题的若干次循环。这是一个双向翻译过程。 实际问题 数学模型 模型求解 实际问题
2. 数学建模的重心 数学建模的重心是“建”，建好了模型才能为数学处 理打好基础。 3.数学建模工作者的知识结构 实际问题的专业知识；广博的数学理论；熟练使用 数学计算软件并具有一定的计算机编程能力。
数学建模
z
x
y
z
x
y
一、模型的概念和种类
我们常见 的模型 玩具、照片…... 风洞中的飞机….. 地图、电路图…..
-----实物模型 -----物理模型 -----符号模型
模型是为了一定的目的，对客观事物的一部分进行简缩、 抽象、提炼出来的原型的替代物。 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。
3. 某人家住T市在他乡工作，每天下班后乘火车 于6:00抵达T市车站，他的妻子驾车准时到车站 接他回家。一日他提前下班搭早一班火车于5:30 抵达T市车站，随即步行回家，他的妻子像往常一 样驾车前来，在半路上遇到他接回家时，发现比 往常提前了10分钟。问他步行了多长时间？ 5：30 车 站 5分钟 5：55 相遇 家 早10钟
模型假设
符号： 符号：艇速 v, 浸没面积 s, 浸没体积 A, 空艇重 w0, 阻力 f, 浆手数 n, 浆手功率 p, 浆手体重 w, 艇重 W 1）艇形状相同(l/b为常数 w0与n成正比 ）艇形状相同 为常数 为常数), 成正比 2）v是常数，阻力 f与 sv2成正比 ） 是常数 是常数， 与 3）w相同，p不变，p与w成正比 ） 相同 相同， 不变 不变， 与 成正比 艇的静态特性 艇的动态特性 浆手的特征
二、数学模型
1、数学语言及其功能 1）简明性： 能以较小的篇幅容纳更多的研究对象的信息。
能用需要的数学方法作运算或推理处理。 2）可运算性：
3）广泛性： 同一种数学表达能表现很多类现象或现象的
内部关系。
2. 数学模型 用数学语言对实物或实际问题所作的抽象表 达，被称之为数学模型。 数学模型。 数学模型
7
∑ (2k
i =1
i
+ 1) = 26
于是，我们有了该问题的数学语言表达——数学模型 求解： 用反证法容易证明本问题的解不存在。
问题2 问题2：哥尼斯堡七桥问题
五、数学建模过程
数学建模流程图解
问题分析 模型评价 模型应用
模型假设 符号设定 建立模型
Y
模型检验
N
模型求解
练习题：考察想象力、 练习题：考察想象力、洞察力和判断力 1. 某甲早8时从山下旅店出发沿一条路径上山， 下午5时到达山顶并留宿；次日早8时沿同一条路 径下山，下午5时回到旅店。某乙说，甲必在两天 中的同一时刻经过路径中的同一地点。为什么？ 甲 A B 甲
问题分析: 问题分析 根据某一个容易测量的量来预测鱼的重量 影响因素: 影响因素 鱼的种类
性别 季节…… 季节
问题假设: 问题假设 1).单一鱼种 平均重量密度一致 忽略性别和 单一鱼种;2)平均重量密度一致 单一鱼种 平均重量密度一致;3)忽略性别和
季节
总长度 l
总长度 l’
总长度 l’’
a)
b)
长度,l(英寸) 重量,w(盎司)
14.5 27
车速 (英里 小时 英里/小时 英里 小时) 20 30 40 50 60 70 80 刹车时间 （秒） 1.5 1.8 2.1 2.5 3.0 3.6 4.3
“2秒准则”应修正为 “t 秒准 秒准则” 秒准则 则” 0~10 10~40 40~60 车速（英里/小时 小时） 车速（英里 小时）