《123直线与平面的位置关系——2直线与平面垂直》同步练习2.docx
高一数学必修二2.1.3 2.1.4 直线与平面 平面与平面之间的位置关系练习题(解析版)
2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4 空间中平面与平面之间的位置关系一、选择题1．若a ∥α，b ∥α，则直线b a ,的位置关系是 （ ）A.平行B.相交C.异面D.A 、B 、C 、均有可能2.直线与平面平行式指 （ ）A.直线与平面内的无数条直线都无公共点B.直线上的两点到直线的距离相等C.直线与平面无公共点D.直线不在平面内3.有下列命题：①若直线在平面外，则这条直线与平面没有公共点②若直线与一个平面平行，则这条直线与平面内的任何一条直线都平行③若直线a 与平面α的一条直线平行，则直线a 与平面α也平行④两个平面有无数个公共点，则这两个平面的位置关系为相交或重合则正确命题的个数为 （ ）A.0B.1C.2D.34.若三个平面两两相交，则它们交线的条数 （ ）A ．1条 B.2条 C.3条 D.1条或3条5.过平面外一条直线作与平面的平行平面 （ ）A.必定可以且只能作一个B.至少可以作一个C.至多可以作一个D.一定不能作6.给出下列命题：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行②垂直于同一个平面的两个平面互相平行③若直线b a ,与同一个平面所成的角相等，则b a ,互相平行④若直线b a ,是异面直线，则与b a ,都相交的两条直线是异面直线其中假命题的个数是 （ ）A.1B.2C.3D.4二、填空题7.面α∥面β，直线α⊂a ，则直线a 与平面β的位置关系是＿＿＿＿＿＿8.两直线a ,b 相互平行,且a ∥α,则b 与α的位置关系是＿＿＿＿＿＿9.若平面α和这个平面外的一条直线m 同时垂直于直线n ,则直线m 与面α的位置关系是 ＿＿＿＿＿＿＿10.一个平面内有无数条直线平行于另外一个平面,那么两个平面的位置关系为＿＿＿＿＿三、解答题11.用符号语言表述语句:“直线l 经过平面α内一定点P,但l 在平面α外”,并画图12.a a ,α⊄已知∥a b b 求证：,,α⊂∥α13.平面α内有无数条直线与平面β平行,那么α∥β是否正确?说明理由.答案2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系1.D2.C3.A4.D5.C6.D7.β//a 8.αα⊂b b 或// 9.平行 10.平行或相交11.略 12.略 13.略 14.略2.2.1 直线与平面平行的判定2.2.2 平面与平面平行的判定1.C2.A3.A4.C5.D6.C7.相交与或ααb b ,// 8.平行或相交 9.无数 110.M D BM M A A ACE BD 111,,,//连接中点取平面证明：CE BM BMEC ME BC ////为平行四边形，故，则易证= ACE BM MD AE 平面即同理//,//1M MD BM ACE MD =11// ，又平面111,//BMD BD ACE BMD 平面又平面故平面⊂ACE BD 平面所以//111.证明：连接AC C A ,11,,,,11O BD AC Q P EF MN C A 于交于分别交设 OQ AP ACC A OQ AP //,,11中，易证在矩形连接 1111//,//,//D B EF D B MN EFDB AP 又平面从而 MN EF //所以EFDB MN 平面所以//EFDB AMN 平面所以平面//12.略13.证明：如图所示，作相交两平面分别与γβα,,相交 f b e a //,////∴γαd b c a f de c //,////,//∴同理ββ//,//b a ∴βα//∴14.略。
最新人教A版数学必修二同步练习2.3.3直线与平面垂直的性质(含答案解析)
直线与平面垂直的性质一、选择题 ( 每题 6 分, 共 30 分)1.直线 l 垂直于梯形ABCD 的两腰 AB 和 CD, 直线 m 垂直于 AD 和 BC,则 l 与 m 的地点关系是()A. 订交B. 平行C.异面D.不确立2.已知平面α与平面β订交 ,直线 m⊥ α ,则()A. β内必存在直线与m 平行 ,且存在直线与m 垂直B. β内不必定存在直线与m 平行 ,不必定存在直线与m 垂直C.β内不必定存在直线与m 平行 ,但必存在直线与m 垂直D. β内必存在直线与m 平行 ,不必定存在直线与m 垂直3.设 m,n 是两条不一样的直线 ,α ,β是两个不一样的平面. ()A. 若 m∥α ,n∥ α ,则 m∥ nB. 若 m∥ α,m∥ β ,则α∥ βC.若 m∥ n,m⊥α ,则 n⊥αD. 若 m∥α ,α ⊥ β,则 m⊥β4.如图 ,已知△ ABC 为直角三角形,此中∠ ACB=90 ° ,M 为 AB 的中点 ,PM 垂直于△ ABC 所在平面,那么()A.PA=PB>PCB.PA=PB<PCC.PA=PB=PCD.PA≠ PB≠ PC5., ABC, ACB=90,l A ABC,P l,P点 A 时,∠PCB的大小()A. 变大B. 变小C.不变D.有时变大有时变小二、填空题 (每题 8 分 ,共 24 分 )6.已知直线m平面α,直线n平面α ,m∩ n=M,直线a⊥m,a⊥ n,直线b⊥ m,b⊥ n,则直线a,b 的地点关系是.7.AB 是☉ O 的直径 ,点 C 是☉ O 上的动点线 VC 垂直于☉ O 所在的平面 ,D,E 分别是是(填写正确结论的序号 ).(点 C 不与 A,B 重合 ),过动点 C 的直VA,VC 的中点 ,则以下结论中正确的(1)直线 DE ∥平面 ABC.(2)直线 DE ⊥平面 VBC.(3)DE ⊥VB.(4)DE ⊥AB.8.阅读相关球的基天性质回答以下问题球的性质 :(1)假如用平面截球面 ,那么截得的是圆 .(2)球心与截面圆心的连线垂直于截面.(3) 设球心到截面的距离为d,截面圆的半径为r,球的半径为R,则 r=.(4)球的表面积公式 :S=4π R2. 问题 :已知点 P,A,B,C,D 是球 O 表面上的点 ,PA⊥平面形 .若 PA=2,则球 O 的表面积是三、解答题 (9 题 ,10 题 14 分 ,11 题 18 分)9.如下图 ,四边形ABCD是平行四边形,直线BDE ⊥平面 ABCD.ABCD, 四边形 ABCD.SC⊥平面ABCD,E是是边长为2SA 的中点的正方,求证 :平面10.如图 ,已知平面α∩平面β =AB,PQ ⊥ α于 Q,PC⊥ β于 C,CD⊥ α于 D.(1)求证 :P,C,D,Q 四点共面 .(2)求证 :QD ⊥ AB.11.(能力挑战题 )如图 ,四边形 ABCD 为矩形 ,AD ⊥平面 ABE,F 为 CE 上的点 ,且 BF⊥平面 ACE.(1)求证 :AE ⊥平面 BCE.(2)设 M 在线段 AB 上 ,且知足 AM=2MB, 试在线段 CE 上确立一点 N,使得 MN ∥平面 DAE.答案分析1.【分析】选 D.由于 l⊥ AB,l ⊥ CD 且 AB 与 CD 订交 ,因此 l ⊥平面 ABCD, 固然 m⊥ AD,m ⊥ BC,可是 AD ∥BC,因此 m 与平面 ABCD 不必定垂直 ,因此 l 与 m 订交、平行、异面都有可能.2.【分析】选 C.若β内存在直线l 与 m 平行 ,则由 m⊥ α可知 l⊥ α ,于是α ⊥β .由此可知当平面α与平面β订交但不垂直 ,直线 m⊥ α时 ,β内不必定存在直线与 m 平行 .由于 m⊥ α,因此m 和平面α与平面β的交线垂直 ,因此β内必存在直线与 m 垂直 .3.【分析】选 C.A 选项中 m 与 n 还有可能订交、异面;B 选项中α与β 还有可能订交;D 选项中 m 与β还有可能平行或mβ .4.【分析】选 C.由于△ ABC 为直角三角形,M 为斜边 AB 的中点 ,因此 MA=MB=MC,由于 PM 垂直于△ ABC 所在平面 ,因此 Rt△PMA ≌Rt△ PMB ≌ Rt△ PMC,因此 PA=PB=PC.【变式备选】已知直线PG⊥平面α于 G,直线 EFα,且PF⊥ EF于F,那么线段PE,PF,PG 的关系是()A.PE>PG>PFB.PG>PF>PEC.PE>PF>PGD.PF>PE>PG【分析】选 C.Rt△ PFE 中 ,PE>PF;Rt △ PFG 中,PF>PG,因此 PE>PF>PG.5.【分析】选 C.由于 l⊥平面 ABC, 因此 BC ⊥ l.由于∠ ACB=90 ° ,因此 BC⊥ AC.又 l∩ AC=A, 因此 BC ⊥平面 PAC,因此 BC⊥ PC,因此∠ PCB=90 ° .6.【分析】由于直线a⊥ m,a⊥ n,直线 m平面α,直线n平面α ,m∩ n=M,因此 a⊥ α ,同理可证直线b⊥ α,因此 a∥b.答案 : a∥ b7.【分析】由于AB 是☉ O 的直径 ,点 C 是☉ O 上的动点 (点 C 不与 A,B 重合 ),因此 AC ⊥ BC,由于 VC 垂直于☉ O 所在的平面 ,因此 AC ⊥ VC, 又 BC∩ VC=C,因此 AC ⊥平面 VBC.由于 D,E 分别是 VA,VC 的中点 ,因此 DE∥ AC,又 DE?平面 ABC,AC平面ABC,因此 DE∥平面 ABC,DE ⊥平面 VBC,DE ⊥ VB,DE 与 AB 所成的角为∠ BAC 是锐角 ,故 DE ⊥AB 不建立 .由以上剖析可知(1)(2)(3) 正确 .答案 :(1)(2)(3)8.【解题指南】确立球心的地点是解题的重点,由球的性质可知球心在过正方形ABCD的中心与正方形ABCD 所在平面垂直的直线上.【分析】如下图,取正方形ABCD 的中心 O1,连结 OO 1,则 OO1⊥平面 ABCD,又由于 PA⊥平面 ABCD,因此 PA∥OO 1,因此 P,A,O,O1四点共面 .过 O 作 OE⊥ PA,由 OP=OA 知 E 是 PA 的中点 ,因此 PE= PA=,由于 O1A ⊥ PA,因此 OE∥O1A,因此四边形EAO 1O 是平行四边形,因此 OE=O1A=×AB=× 2=,PO==2,即球的半径为2,因此球的表面积S=4π (2)2=48 π .答案 :48π9.【解题指南】要证面面垂直,需证线面垂直.这里需要找寻已知条件“SC⊥平面ABCD ”与.需证结论“平面BDE ⊥平面 ABCD ”之间的桥梁【证明】连结AC,BD, 交点为 F,连结 EF,因此 EF 是△ SAC 的中位线 ,因此 EF∥ SC.由于 SC⊥平面 ABCD, 因此 EF⊥平面 ABCD.又 EF 平面 BDE,因此平面BDE ⊥平面 ABCD.【拓展提高】解决立体几何问题的基来源则空间问题转变成平面问题是解决立体几何问题的一个基来源则,解题时要抓住几何图形自己的特色,如等腰三角形三线合一、中位线定理、菱形对角线相互垂直、勾股定理及其逆定理等 .10.【证明】 (1) 由于 PQ⊥ α ,CD⊥ α ,因此 PQ∥ CD,于是 P,C,D,Q 四点共面 .(2) 由于 ABα ,因此PQ⊥ AB,又由于 PC⊥ β,ABβ ,因此 PC⊥ AB,又由于 PQ∩ PC=P,设 P,C,D,Q 四点共面于γ ,则 AB ⊥ γ ,又由于 QDγ ,因此QD⊥ AB.11.【分析】 (1) 由于 AD ⊥平面 ABE,AD ∥BC,因此 BC⊥平面 ABE, 则 AE ⊥ BC,又由于 BF⊥平面 ACE, 则 AE ⊥ BF,BC ∩ BF=B,因此 AE ⊥平面 BCE.(2)在三角形 ABE 中过 M 点作 MG∥ AE 交 BE 于 G 点,在三角形 BEC 中,过 G 点作 GN∥BC 交 EC 于 N 点,连结 MN,由比率关系易得CN= CE,由于 MG ∥ AE,MG ?平面 ADE,AE平面ADE,因此 MG ∥平面 ADE, 同理 ,GN ∥平面 ADE, 又 MG ∩GN=G,因此平面 MGN ∥平面 ADE,又 MN 平面 MGN,因此 MN ∥平面 ADE,因此 N 点为线段CE 上凑近 C 点的一个三平分点.。
【人教A版】高中数学必修2教学同步讲练第二章《直线与平面垂直的判定》练习题(含答案)
第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定A级基础巩固一、选择题1．下列说法中正确的个数是()①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l⊥α；②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．A．0B．1C．2D．32．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面()A．有且只有一个B．至多一个C．有一个或无数个D．不存在3．如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是()①三角形的两边②梯形的两边③圆的两条直径④正六边形的两条边A．①③B．②C．②④D．①②③4.如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD 的位置关系是()A．平行B．垂直相交C．垂直但不相交D．相交但不垂直5.如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数是()A．1 B．2C．3 D．4二、填空题6．已知△ABC所在平面外一点P到△ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影是△ABC的____________________ (填“重心”、“外心”、“内心”、“垂心”)．7．已知正三棱锥S-ABC的所有棱长都相等，则SA与平面ABC 所成角的余弦值为________．8．如图所示，平面α∩β＝CD，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，则CD与AB的位置关系是________．三、解答题9.(2015·重庆卷)如图所示，三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，∠ACB＝90°.D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD＝DE＝2，CE＝2.证明：DE⊥平面PCD.10．如图所示，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BE⊥平面ACE.求证：AE⊥BE.B级能力提升1．如图①所示，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是边G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个如图②所示的几何体，使G1、G2、G3三点重合于点G，则下面结论成立的是()图①图②A．SG⊥平面EFG B．SD⊥平面EFGC．GF⊥平面SEF D．GD⊥平面SEF2．在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中点，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是________．3.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝2，D是A1B1的中点．(1)求证：C1D⊥平面A1B.(2)当点F在BB1上什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？证明你的结论．.参考答案第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定A级基础巩固一、选择题1．下列说法中正确的个数是()①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l⊥α；②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．A．0B．1C．2D．3解析：由直线和平面垂直的定理知①正确；由直线与平面垂直的定义知，②正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条直线垂直，故③错误，④正确．答案：D2．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面()A．有且只有一个B．至多一个C．有一个或无数个D．不存在解析：若异面直线m、n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．答案：B3．如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是()①三角形的两边②梯形的两边③圆的两条直径④正六边形的两条边A．①③B．②C．②④D．①②③解析：由线面垂直的判定定理可知①③是正确的，而②中线面可能平行、相交．④中由于正六边形的两边不一定相交，所以也无法判定线面垂直．答案：A4.如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD 的位置关系是()A．平行B．垂直相交C．垂直但不相交D．相交但不垂直解析：因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交．答案：C5.如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数是()A ．1B ．2C ．3D ．4解析： ⎭⎬⎫PA ⊥平面ABC BC ⊂平面ABC ⇒ ⎭⎪⎬⎪⎫PA ⊥BC AC ⊥BC PA ∩AC ＝A ⇒BC ⊥平面PAC ⇒BC ⊥PC ，所以直角三角形有△PAB ，△PAC ，△ABC ，△PBC .答案：D二、填空题6．已知△ABC 所在平面外一点P 到△ABC 三顶点的距离都相等，则点P 在平面ABC 内的射影是△ABC 的____________________(填“重心”、“外心”、“内心”、“垂心”)．解析：P 到△ABC 三顶点的距离都相等，则点P 在平面ABC 内的射影到△ABC 三顶点的距离都相等，所以是外心．答案：外心7．已知正三棱锥S -ABC 的所有棱长都相等，则SA 与平面ABC 所成角的余弦值为________．解析：因为S -ABC 为正三棱锥，所以设点S 在底面ABC 上的射影为△ABC 的中心O ，连接SO ，AO ，如图所示，则∠SAO 为SA 与底面ABC 所成的角，设三棱锥的棱长为a ，在Rt △SOA 中，AO ＝23·a sin60°＝33a ，SA ＝a ，所以cos ∠SAO ＝AO SA ＝33. 答案：338．如图所示，平面α∩β＝CD ，EA ⊥α，垂足为A ，EB ⊥β，垂足为B ，则CD 与AB 的位置关系是________．解析：因为EA ⊥α，CD ⊂α，根据直线和平面垂直的定义，则有CD ⊥EA .同样，因为EB ⊥β，CD ⊂β，则有EB ⊥CD . 又EA ∩EB ＝E ，所以CD ⊥平面AEB .又因为AB ⊂平面AEB ，所以CD ⊥AB .答案：CD ⊥AB三、解答题9.(2015·重庆卷)如图所示，三棱锥P -ABC 中，PC ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°.D ，E 分别为线段AB ，BC 上的点，且CD ＝DE ＝2，CE ＝2.证明：DE ⊥平面PCD .证明：由PC⊥平面ABC，DE⊂平面ABC，故PC⊥DE.由CE＝2，CD＝DE＝2，得△CDE为等腰直角三角形，故CD⊥DE.由PC∩CD＝C，故DE⊥平面PCD.10．如图所示，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BE⊥平面ACE.求证：AE⊥BE.证明：因为AD⊥平面ABE，AD∥BC，所以BC⊥平面ABE.又AE⊂平面ABE，所以AE⊥BC.因为BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，所以AE⊥BF.又因为BF⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BF∩BC＝B，所以AE⊥平面BCE.又BE⊂平面BCE，所以AE⊥BE.B级能力提升1．如图①所示，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是边G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个如图②所示的几何体，使G 1、G 2、G 3三点重合于点G ，则下面结论成立的是( )图① 图②A ．SG ⊥平面EFGB ．SD ⊥平面EFGC ．GF ⊥平面SEFD ．GD ⊥平面SEF解析：在图①是，SG 1⊥G 1E ，SG 3⊥G 3F ，因此在图②中，SG ⊥GE ，SG ⊥GF ，又GE ∩GF ＝G ，所以SG ⊥平面EFG .答案：A2．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB 1C 1C 的中点，则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是________．解析：如图所示，取BC 的中点E ，连接DE ，AE ，则AE ⊥面BB 1C 1C .所以AE ⊥DE ，因此AD 与平面BB 1C 1C 所成角即为∠ADE ，设AB ＝a ，则AE ＝32a ，DE ＝a 2， 有tan ∠ADE ＝3，所以∠ADE ＝60°.答案：60°3.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝2，D是A1B1的中点．(1)求证：C1D⊥平面A1B.(2)当点F在BB1上什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？证明你的结论．证明：(1)因为直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC，所以A1C1＝B1C1.又D是A1B1的中点，所以C1D⊥A1B1.因为AA1⊥平面A1B1C1，C1D⊂平面A1B1C1，所以AA1⊥C1D.又AA1，A1B1⊂平面A1B，AA1∩A1B1＝A1，所以C1D⊥平面A1B.(2)当点F为BB1的中点时，AB1⊥平面C1DF.证明如下：作DE⊥AB1交AB1于点E，延长DE交BB1于点F，连接C1F，此时AB1⊥平面C1DF，点F即为所求．事实上，因为C1D⊥平面A1B，AB1⊂平面A1B，所以C1D⊥AB1.又AB1⊥DF，DF∩C1D＝D，所以AB1⊥平面C1DF.由已知得A1B1＝ 2.连接A1B，在矩形A1B1BA中，A1B1＝A1A，所以四边形A1B1BA是正方形，所以A1B⊥AB1，所以DF∥A1B.又D为A1B1的中点，所以F为BB1的中点．故当F为BB1的中点时，AB1⊥平面C1DF.。
高中数学 必修二 同步练习 直线与平面垂直的判定、平面与平面垂直的判定(解析版)
在 中， ，
同理，得 ，又 ，则 即 ，
又 ，故 平面 ．
又 平面 ，故 ．
17．如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，侧棱 底面 ，点 是 的中点，作 ，交 于点 ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求证：平面 平面 ；
（3）求证： 平面 ．
【解析】（1）连接 ，与 相交于 ，连接 ，则 为 的中位线， ，又 平面 平面 ，由线面平行的判定定理知 平面 ．
③如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交；
④若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β．
其中表述正确的个数是
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
5．正四面体 中， 分别是 的中点，下面四个结论中不成立的是
A． 平面 B．平面 平面
C． 平面 D．平面 平面
【答案】B
【解析】因为 分别是 的中点，所以DF//BC，所以 平面 ，则A正确；
C．∠BPC是直线EF与直线PC所成的角
D．∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角
【答案】D
【解析】易知FG∥平面PBC，GE∥平面PBC，且FG∩GE＝G，故平面EFG∥平面PBC，A正确；
由题意知PC⊥平面ABC，FG∥PC，所以FG⊥平面ABC，故平面EFG⊥平面ABC，B正确；
根据异面直线所成角的定义可知，C正确；
（2）∵ ，且 底面 ，∴ 为等腰直角三角形，
是 的中点， ，又底面 为正方形， ，
由 ，得 平面 ，而 平面 ，
又 平面 ，又 平面 ，故平面 平面 ．
（3）由（2）知， 平面 平面 ，
又 ， 平面 ．
7．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝ ，若PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角是
直线与平面的位置关系练习题
直线与平面的位置关系练习题直线和平面是几何中常见的基本要素，它们之间的位置关系也是我们在学习几何时需要掌握的重要内容。
下面我们来做一些关于直线与平面的位置关系的练习题。
1. 已知直线l与平面α相交于点A，直线l上的一点B在平面α内部。
则直线l和平面α的位置关系是________。
解析：直线l与平面α相交于点A，说明直线l与平面α有交集。
又由于直线上的一点B在平面α内部，说明直线l与平面α也有一些其他的点在平面α内部。
综上所述，直线l和平面α的位置关系是“有交集”。
2. 平面β包含直线m，且直线l与直线m平行，则直线l和平面β的位置关系是________。
解析：直线l与直线m平行，说明直线l与平面β没有交点。
但由于直线l和直线m的位置关系，直线l和平面β的位置关系可以是以下三种情况之一：1) 直线l在平面β内部；2) 直线l与平面β重合；3) 直线l与平面β平行但不重合。
根据题意，我们可以确定直线l和平面β的位置关系是“直线l在平面β内部”。
3. 直线n与平面γ相交于点P，直线n与平面δ相交于点Q，点P 与点Q在空间中重合，则直线n和平面γ、δ的位置关系是________。
解析：由于点P与点Q在空间中重合，说明直线n与平面γ、δ有一个公共的点。
因此直线n必然与平面γ和平面δ都有交点。
综上所述，直线n和平面γ、δ的位置关系是“有交集”。
4. 直线p与平面η相交于点M，直线p包含于平面η内。
则直线p和平面η的位置关系是________。
解析：直线p与平面η相交于点M，说明直线p与平面η有交集。
并且由于直线p包含于平面η内部，说明直线p上的其他点也在平面η内部。
综上所述，直线p和平面η的位置关系是“直线p包含于平面η内”。
5. 直线q与平面ζ平行但不在平面ζ内，直线r与平面ζ相交于点N，则直线q和直线r的位置关系是________。
解析：直线q与平面ζ平行但不在平面ζ内，说明直线q与平面ζ没有交点。
而直线r与平面ζ相交于点N，说明直线r与平面ζ有交点。
直线平面垂直 练习题
直线平面垂直练习题直线平面垂直练习题在几何学中，直线和平面是最基本的几何概念之一。
直线是由无数个点组成的，它们在同一条直线上排列。
而平面则是由无数个直线组成的，它们在同一个平面上展开。
直线和平面之间的关系也是几何学中的重要内容之一。
本文将通过一些练习题，来深入探讨直线和平面的垂直关系。
练习题1：已知直线l与平面P相交于点A，直线l上的一点B不在平面P上。
证明：直线l与平面P垂直。
解析：我们可以通过反证法来证明这个命题。
假设直线l与平面P不垂直，即存在一点C在直线l上，且点C与平面P的法向量n不垂直。
由于点A在直线l上，那么向量AC与直线l平行。
而向量AC与法向量n的点积不为零，说明向量AC与法向量n不垂直。
这与直线l与平面P的定义相矛盾，因此假设不成立，直线l与平面P垂直。
练习题2：已知平面P1与平面P2垂直，平面P2与平面P3垂直。
证明：平面P1与平面P3垂直。
解析：我们可以通过向量的性质来证明这个命题。
设平面P1的法向量为n1，平面P2的法向量为n2，平面P3的法向量为n3。
由题意可知，n1与n2垂直，n2与n3垂直。
我们知道，两个向量垂直的充分必要条件是它们的点积为零。
因此，我们可以得到以下等式：n1·n2=0，n2·n3=0。
将这两个等式相乘，得到n1·n2·n2·n3=0。
由于点积的交换律成立，我们可以得到n1·n2·n2·n3=n1·n2·n3·n2=0。
这说明n1与n3的点积为零，即平面P1与平面P3垂直。
练习题3：已知直线l与平面P垂直，平面P与平面Q垂直。
证明：直线l与平面Q平行。
解析：我们可以通过反证法来证明这个命题。
假设直线l与平面Q不平行，即存在一点D在直线l上，且点D在平面Q上。
由于直线l与平面P垂直，那么直线l在平面P上的投影为点A。
由于点A在直线l上，那么向量AD与直线l平行。
【优质文档】必修二第二章点、直线、平面之间的位置关系全章练习题(含答案)
§2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1 平 面
一、基础过关
1．下列命题： ①书桌面是平面；
②有一个平面的长是 50m，宽是 20m；
③平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．
其中正确命题的个数为
()
A．1 个
B．2 个
C． 3 个
D．0 个
2．下列图形中，不一定是平面图形的是 A ．三角形
B．菱形
()
C ．梯形
D ．四边相等的四边形
3．空间中，可以确定一个平面的条件是
()
A ．两条直线
B ．一点和一条直线
C ．一个三角形
D ．三个点
4．已知平面 α与平面 β、 γ都相交，则这三个平面可能的交线有
()
A ． 1 条或 2 条
B． 2 条或 3 条
即点 S 在交线上， 由于 AB>CD ，则分别延长 AC 和 BD 交于点 E，如图所示． ∵E∈ AC， AC? 平面 SAC， ∴E∈ 平面 SAC. 同理，可证 E∈ 平面 SBD. ∴ 点 E 在平面 SBD 和平面 SAC 的交线上，连接 SE，直线 SE 是平面 SBD 和平面 SAC 的 交线． 8． 证明 ∵ l 1? β， l2? β， l1D ∥ l 2， ∴ l 1、 l 2 交于一点，记交点为 P. ∵ P∈ l 1? α， P∈ l2? γ， ∴P∈ α∩ γ＝ l3， ∴ l 1， l 2， l3 交于一点． 9． C 10.C 11．③ 12．证明 因为 AB∥ CD，所以 AB，CD 确定平面 AC，AD∩ α＝ H，因为 H ∈ 平面 AC，H ∈α， 由公理 3 可知， H 必在平面 AC 与平面 α的交线上．同理 F、G、E 都在平面 AC 与平面 α 的交线上，因此 E， F ， G， H 必在同一直线上． 13． 证明 (1)∵ C1、 O、 M ∈平面 BDC1， 又 C1、 O、 M ∈ 平面 A1ACC1，由公理 3 知，点 C1、 O、 M 在平面 BDC 1 与平面 A1ACC1 的交线上， ∴ C1、 O、 M 三点共线． (2) ∵ E， F 分别是 AB， A1A 的中点， ∴ EF∥ A1B.∵ A1B∥CD 1， ∴ EF∥ CD 1. ∴ E、 C、 D1、 F 四点共面．
直线与平面的位置关系练习题
直线与平面的位置关系练习题直线与平面的位置关系是几何学中的基础概念之一，理解和掌握这一概念对于解决几何题目非常重要。
本文将为你提供一些直线与平面的位置关系的练习题，帮助你巩固这一知识点。
练习题1：已知直线l与平面α相交于点A，点B在直线l上。
连接点B与平面α的交点为点C，若AB的垂直平分线交平面α于点D，则下列哪个选项是正确的？A) 线段CD平分线段BC的长度。
B) 线段AD平分线段AB的长度。
C) 三角形BCD垂直于平面α。
D) 线段CD平分角A。
练习题2：已知平面α与平面β垂直，直线p在平面α上，点A在直线p上。
连接点A与平面β的交点为点B，在平面β上取一点C。
若AB平行于平面β，那么以下哪个选项是正确的？A) 直线p与平面β交于一条直线上的所有点。
B) 线段BC与线段AB平行。
C) 线段AC垂直于平面α。
D) 线段CB平分角A。
练习题3：已知平面α与平面β相交于直线l，点A在平面α上且不在直线l上。
连接点A与平面β的交点为点B，连接点A与直线l的交点为点C。
以下哪个选项是正确的？A) 点A、点B、点C不共线。
B) 线段AC在平面β上的投影是线段BC。
C) 直线l是平面α与平面β的交线。
D) 点A在直线BC上。
练习题4：已知平面α与平面β相交于直线l，点A在直线l上，点B在平面β上，且线段AB平行于平面α。
连接点B与直线l的交点为点C。
若点D是线段AC的中点，那么下列哪个选项是正确的？A) 直线BC平分线段AD。
B) 线段CD平行于平面β。
C) 三角形ABC垂直于平面β。
D) 点D在直线l上。
练习题5：已知平面α与平面β相交于直线l，点A在平面α上，点B在平面β上，且线段AB垂直于直线l。
连接点A与平面β的交点为点C。
以下哪个选项是正确的？A) 点B、点C、点A共线。
B) 线段CB平分线段AB。
C) 点C、点B、点A不共面。
D) 三角形ABC是等腰三角形。
以上是直线与平面的位置关系练习题，通过解答这些题目，你可以巩固理解直线与平面的位置关系的概念，并提高解决几何问题的能力。
直线与平面的关系练习题
直线与平面的关系练习题在我们学习几何的过程中，直线与平面的关系是一个非常重要的知识点。
为了帮助大家更好地理解和掌握这部分内容，下面我们一起来做一些练习题。
首先，来看这样一道题：已知直线 l 平行于平面α，直线 m 在平面α内，判断直线 l 与直线 m 的位置关系。
对于这道题，我们知道直线l 平行于平面α，而直线m 在平面α内，但是直线 l 与直线 m 既可能平行，也可能异面。
因为直线 l 与平面α没有公共点，而直线 m 在平面α内，所以它们不可能相交。
接下来，再看这道题：直线a 垂直于平面β，直线b 垂直于平面β，判断直线 a 与直线 b 的位置关系。
当两条直线都垂直于同一个平面时，这两条直线是平行的。
所以直线 a 与直线 b 平行。
然后，还有这样一道题：平面γ内有一条直线与平面δ平行，判断平面γ与平面δ的位置关系。
如果平面γ内有一条直线与平面δ平行，那么平面γ与平面δ可能平行，也可能相交。
再看下面这道题：已知直线 l 与平面α相交，且直线 l 与平面α内过交点的直线都垂直，判断直线 l 与平面α的关系。
因为直线 l 与平面α内过交点的直线都垂直，所以直线 l 垂直于平面α。
接下来这道题有点难度：在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，直线A1C 与平面 ABCD 的关系是什么？我们可以通过正方体的性质来分析，直线 A1C 与平面 ABCD 是斜交的关系。
下面这道题：已知平面α与平面β相交，直线 a 在平面α内，直线b 在平面β内，且直线 a 与直线 b 平行，判断平面α与平面β的关系。
因为直线 a 与直线 b 平行，所以平面α与平面β是平行的。
继续看这道题：平面α内有两条相交直线分别平行于平面β内的两条直线，判断平面α与平面β的关系。
如果平面α内有两条相交直线分别平行于平面β内的两条直线，那么平面α与平面β是平行的。
再来看这道题：直线 l 平行于平面α，平面α内有无数条直线与直线 l 平行，判断这种说法是否正确。
点直线平面之间的位置关系练习题含答案
点直线平⾯之间的位置关系练习题含答案直线平置关系强化练⼀、选择题 1 ?已知平⾯外不共线的三点 A, B,C 到的距离都相等，则正确的结论是（ A.平⾯ABC 必平⾏于 C.平⾯ABC 必不垂直于2?给出下列关于互不相同的直线 B. D. l 、m 、 n 平⾯ABC 必与相交存在和平⾯ ABC 的⼀条中位线平⾏于 B Y 的三个命题：或在内 a 、①若l 与m 为异⾯直线,l a ,m ②若 all B ,l a ,m B 则 I ll m; ③若 aQ=B l, BA m, Y Q 菇 n,l ll Y 则 m ll n. 其中真命题的个数为（） B; A.3 B.2 3?如果⼀条直线与⼀个平⾯垂直，那么，称此直线与平⾯构成⼀个“正交线⾯对”。
在⼀个正⽅体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平⾯构成的“正交线⾯对”的个数是（）（A ） 484. 已知⼆⾯⾓ C.1 D.O(B ) 18 ( C ) 24 (D ) 36 l 的⼤⼩为600，m 、n 为异⾯直线，且 m (B ) 600 (C ) 90° (D 1200 ，则m 、n 所成的⾓为（（A ）300 5.如图，点P 在正⽅形ABCD 所在的平⾯外，PD 丄平⾯ABCD,PD = AD,则PA 与BD 所成⾓的度数为 A.30 ° B.45 ° C.60° D.90 ° )7.设m 、n 是两条不同的直线, 是两个不同的平⾯.考查下列命题, 其中正确的命题是 A. m ,n ,m B . // ,m ,n // C. 8 设 A 、B ,m , n // C 、D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是（ D. m, n m )A. AC 与 BD 共⾯，_则 C.若 AB=AC D&DC AD 与 BC 共⾯ B ?若AC 与 BD 是异⾯直线，贝U AD=BC D . 若 ABAC D&DC 贝U AD BCAD 与 BC 是异⾯直线9.若I 为⼀条直线,为三个互不重合的平⾯，给出下⾯三个命题: :② ll:③ l ll ，l 其中正确的命题有（ .1个 C . 2个 P — ABC 中,E 、F 分别是PA 、 A. 0 个 B 10.如图，在正三棱锥 AB .3个的中点，/ CEF = 90°,若AB = a 则该三棱锥的全⾯积为（） A.』a 2 2B. C. 3a 24 D.6 43 2--------- a 411 .如图，正三棱柱 ABC A 1B 1C 1的各棱长都为BE 、F 分别为ABAC 的中点，贝U EF 的长是（）(A ) 2(B) 73 (C ) 75 (D ) 7712 ?若P 是平⾯外⼀点，则下列命题正确的是( (A )过P 只能作⼀条直线与平⾯ (C )过P 只能作⼀条直线与平⾯ 13 ?对于任意则 mil 15 .关于直线m 、 n 与平⾯①若 m// ，n // // ③若m ，n// // 其中真命题的序号式( A.①② B .③④ P 可作⽆数条直线与平⾯P 可作⽆数条直线与平⾯ ) 相交平⾏内必有直线m ，使m 与I ( (C )垂直 (B ) (D ) (B )若 m// (D )右 m 、，有下列四个命题: 互为异⾯直线 ( ) ,n // ,则 m// n n 与所成的⾓相等, ，则m// n ;②若m ，则m n ；④若m // ，n ①④ D .②③ 16.给出下列四个命题：①垂直于同⼀直线的两条直线互相平⾏②垂直于同⼀平⾯的两个平⾯互相平⾏③若直线与同⼀平⾯所成的⾓相等，则l 1,l 2互相平⾏④若直线l 1,l 2是异⾯直线，则与 11 ,12都相交的两条直线是异⾯直线其中假命题的个数是( (A ) 1 (B ) 2(C ) 3 (D ) 4 17 .如图平⾯平⾯ ,B ,AB 与两平⾯所成的⾓分别为垂直平⾏m// n，则 m n ;，则 m//n 。
高一数学必修2同步训练 1.2.3 直线与平面的位置关系
AB C D M 1.2.3 直线与平面的位置关系一、选择题:1. 下列命题正确的个数是（ ）①若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α ②若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行 ③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行 ④若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点A.0个B.1个C.2个D.3个2. 若直线m 不平行于平面α，且m ⊄α，则下列结论成立的是（ ）A.α内的所有直线与m 异面B.α内不存在与m 平行的直线C.α内存在唯一的直线与m 平行D.α内的直线与m 都相交3. 已知直线a ⊂平面α，直线b 与a 没有公共点，则（ ）A.b ⊂αB.b ⊄αC.b ∥αD.以上都有可能4. 若AB 是平面α的斜线，CB 是AB 在α上的射影，l 是α内任意一条直线，设∠ABC ＝1θ，AB 与l 所成的角为θ2，(0°＜θ2≤90°)，那么 （ ）A.θ1＞θ2B.θ1＜θ 2C.θ1=θ 2D.θ1≤θ25. 下列六个命题，其中正确命题的个数是几个 ( )①过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 ②过已知平面外一点，有且只有一条直线与已知平面平行 ③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ④过一点有且只有一条直线与已知平面垂直 ⑤过一点有且只有一个平面与已知直线垂直 ⑥过已知直线外一点，有且只有一个平面与已知直线平行.A.6B.5C.4D.36.设如图所示，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD的中点，G 是EF 的中点，现在沿AE 、AF 及EF 把这个正方形折成一个空间图形，使B 、C 、D 三点重合，重合后的点记为H ，那么，在这个空间图形中必有 ( )A 、AH ⊥△EFH 所在平面B 、AD ⊥△EFH 所在平面C 、HF ⊥△AEF 所在平面D 、HD ⊥△AEF 所在平面二、填空题:7．下列5个正方体图形中,l 是正方体的一条对角线,点M 、N 、P 分别为其所在棱的中点,能得出l ⊥面MNP 的图形的序号是 (写出所有符合要求的图形序号).8. 如图所示，正方体的棱长为1，C 、D 分别是两条棱的中点，A 、B 、M 是顶点，那么点M 到截面ABCD 的距离是 .9. 正三角形ABC 的边长为a ，AD ⊥BC 于D ，沿AD 把△ABC 折起， 使∠BDC ＝90°，折起后点B 到AC 的距离是 ．10. 与空间四个点距离相等的平面有______个． 二、解答题:11．如图所示,已知：a ∥α, A ∈α，A ∈b ，且b ∥a .求证：b ⊂α.ABCD 12. 如图所示，AC ∥平面MNPQ ，BD ∥面MNPQ .,（1）求证：MNPQ 是平行四边形；（2）如果AC =BD =a ，求证：四边形MNPQ 的周长为定值.13. 如图所示, 设ABCD 是空间四边形，AB ＝AD ，CB ＝CD ，求证：AC ⊥BD .14. 如图所示, Rt △ABC 在平面α内，∠C ＝90°，AC ＝16，P 为α外一点，PA ＝PB ＝PC ，如果P 到BC 的距离为17，求点P 到平面α的距离．15. 如图所示，正△ABC 边长为a ，O 为外心，PO ⊥面ABC ，PA=PB=PC=b ，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，且PA ∥面DEFG ．求：四边形DEFG 的面积．拓展创新——练能力16.已知如图所示, a ∥b ，直线a 平面α，直线b 平面α，直线c 平面α，c ∥a ．若直线a 与直线b 的距离为6cm ，直线b 与直线c 的距离5cm ，直线c 与平面α的距离为4cm ．求直线a 与直线c 的距离．17. 一条河有一段笔直的河岸，从南岸可以望到北岸的电视塔CD ，测量者在南岸，工具有皮尺和测角仪（可测水平角及仰、俯角），不过河怎样测出电视塔顶端C 到南岸的距离？18. 如图所示,设P 是△ABC 所在平面M 外一点，当P 分别满足下列条件时，判断点P 在M 内的射影的位置．（1）P 到三角形各边的距离相等．（2）P 到三角形各顶点的距离相等．（3）PA 、PB 、PC 两两垂直．1 参考答案:1. 借助长方体模型分析. A 1A 上有无数个点在平面ABCD 外，但AA 1与平面ABCD 相交，①不正确；A 1B 1∥平面ABCD ，显然A 1B 1不平行于BD ， ②不正确；A 1B 1∥AB ，A 1B 1∥平面ABCD ，但AB ⊂平面ABCD ，③不正确； l 与平面α平行，则l 与平面α无公共点，即l 与平面α内的所有直线都没有公共点，所以④正确.应选B.2. ∵m 不平行于平面α，且m ⊄α，∴m 和平面α相交，即m 和平面α有且只有一个公共点.∴m ⊄α，由异面直线判定定理，知平面内的直线和m 成异面直线或相交直线.故选B.3.D4.D5.D6. ∵AH ⊥EH ，AH ⊥FH ，∴AH ⊥平面EFH ．选择A.7. 显然由三垂线定理可得①符合要求，但其余几个不容易判断， 不妨虚拟在正方体中已作出与l 垂直的平面,过正方体中六个棱 中点作一个正六边形平面EFGHIJ,直线l 在各个面上的射影分 别与对应的边相垂直,即直线l ⊥面EFGHIJ, 而图④⑤中的截面分别为正六边形上 对应的三点IFH 、JFH 的平面.又②③中 MN 、PN 与直线l 均不垂直,故应填①④⑤ .8. 记正方体的顶点中，位于M 点正上方位置的顶点为N ，延长AD 与MN 的延长线相交于点P ，则PN = NM 由对称性，P 也是BC 与MN 的延长线的交点.设AB 中点为Q ，连接MQ 、PQ .过M 做MO 垂直于PQ ，垂直为O ，则MO 的长度即为所求.至此，我们完成了立体问题平面化的过程.下面进行计算： △MPQ 的面积为：1122PQ MO PM MQ ⨯=⨯ 其中：2PM =，MO =，PQ 代入得：23MO = 9. 作BE ⊥AC 于E ，连结DE ．∵BD⊥DC ，BD ⊥AD ．∴BD⊥平面ADC ．又∵BE⊥AC ，∴DE⊥AC．可解得4DE a =, 如图所示,2AD =DE AD =,4BE a == .10. 分为两类:E lH F GI JA BC D K 第一类: 空间的四个点中有一个点在平面的一侧,另外三个点在平面的另一侧,如左图所示, 经过有公共顶点V 的三条棱的中点作截面α，则可以证明可以证明AC ∥α,AB ∥α, BC ∥α,三点A,B,C 到平面α的距离相等,另外AV 的中点在平面α上,则点V,A 到平面α的距离也相等, 从而此平面符合条件．由此四面体的特殊位置关系可得,这样的平面还有3个,即共得4个这样的平面.第二类: 空间四个点中两个点在平面的一侧,另外两个点在平面的另一侧,如右图所示,取四条棱的中点,得一平面β, 可以证明VC ∥β,AB ∥β, 点V,C 与平面β的距离相等, 点A,B 与平面β的距离也相等,另外VA 的中点中平面β内,可得A,V 到平面β的距离相等,的从而此平面符合条件．上此可得这样的平面共有3个.综上所述共有4+3=7个平面满足上述条件.11. 证明：假设b ⊄α,设经过点A 和直线a 的平面为β，α∩β=b ′∵a ∥α,∴a ∥b ′（线面平行则线线平行）又a ∥b ，∴b ∥b ′这与b ∩b ′=A 矛盾.∴假设错误，故b ⊂α.12. （1）欲证MNPQ 是平行四边形，只要证明MNPQ 有一组对边平行且相等，或两组对边分别平行就可以了，结合已知易证两组对边分别平行，因为AC 平行于面MNPQ ，过AC 的平面ACB 交面MNPQ 于MN ，所以AC 平行于MN ，同理AC 平行于PQ ，由平行公理得MN 平行于PQ ，同理可证MQ 平行于NP ，所以四边形MNPQ 是平行四边形.（2）因为MN 平行于AC ，所以BA BM AC MN =，又AC =a ，所以MN =BABM =a ，因为MQ 平行于BD .所以BD MQ =ABAM .又BD =a ，所以MQ =AB AM a ，所以四边形MNPQ 的周长=2（MN +MQ ）=2a （AB AM BA BM +）=2a （定值） 13. 设BD 的中点为K ，连结AK 、CK ，∵AB ＝AD ，K 为BD 中点 ∴AK ⊥BD同理CK ⊥BD ，且AK ∩KC ＝K∴BD ⊥平面AKC∴BD 垂直于平面AKC 内的所有直线 ∴BD ⊥AC 14. 作PO ⊥平面α，∵ PA ＝PB ＝PC ，∴ OA ＝OB ＝OC ． ∴ O 为Rt △ABC 的外心．取BC 中点D ，连结PD 、OD ．则OD 是△ABC 中位线．∴OD ⊥BC, 且OD=182AC =, ∵PO⊥平面α , ∴PO ⊥BC, ∴BC ⊥平面POD, ∴PD ⊥BC, 即得PD 的长即为点P 到BC 的距离.∴PD ＝17，在Rt△ABC 中，OP 15=,∴点P 到平面α的距离为15. 15. ∵PA ∥面EFGD ，由线面平行的性质可得：EF ∥PA ，GD ∥PA ，∴EF ∥DG ．由D ，E 分别是AB ，AC 的中点，DE ∥BC ，∴ BC ∥面DEFG ．进一步得出BC ∥FG ．综上可得DEFG 是平行四边形．且11,22DE a EF b ==. ∵PA=PB=PC ,△ABC 为等边三角形, PO ⊥面ABC∴点O 是△ABC 的外心，它也是等边△ABC 的垂心．即BC ⊥AO ，又PO ⊥面ABC ，得PO ⊥BC ,∴BC ⊥平面PAO , ∴ BC ⊥PA ．又EF ∥PA ， BC ∥DE ，∴EF ⊥DE ，即得EFGD 为一矩形，∴它的面积等于111224a b ab ⋅=. 16. 若直线c 在平面α上的射影在直线b,a 之间,则在直线c 上任取一点A ，作AB ⊥α于B ，则AB ⊥a,过B 作BC ⊥a 于C ，反向延长交b 于D ，因为a ∥b ，∴BC ⊥b ．分别连结AC 、AD ， 则有a ⊥平面ABC, 即得a ⊥AC ，b ⊥AD ．∴AC,AD 的长分别为直线b 与直线c 的距离,直线a 与直线b 的距离.据题意知：CD=6cm ，AD=5cm ，AB=4cm ，在Rt △ABD 中，求得BD=3cm ，所以BC=3cm ，在Rt △ABC 中，求出AC=5cm ．若该直线c 的平面α上的射影在直线直线b,a 之同侧,其图形还有以下两种可能如图1, 如图2两种情形,由图可解得直线a 与直线c若直线c 在平面α内射影与直线a 重合或直线c 在平面α内射影与直线b 重合,此两种情形无解.17. 如图所示, 电视塔CD 与地面重垂直,在南岸上取一点A 和另一点B ，∠DAB =90°,∠ABD =45°，使可以测量得AB =a m ，用测角仪测得作∠CAD =θ .则CD ⊥平面ABD , ∴CD ⊥AB , 又AD ⊥AB∴ AB ⊥平面ADC , ∴AB ⊥AC即AC 的长就是点C 到南岸的距离，由测量得AB =a m ，∠CAD =θ于是有AD =AB =a m ，AC =θcos cos a CAD AD =m. 18. 设P 在平面M 内的射影是O ．（1）O 是△ABC 的内心；（2）O 是△ABC 的外心；（3）O 是△ABC 的垂心．。
人教A版高中数学必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3直线、平面垂直的判定及其性质习题
16．如图，在长方体 AC1 中，已知 AB＝ BC＝ a，BB 1＝ b（b＞ a），连结 BC1，过 Bl 作 B1⊥BC1 交 CC1 于 E，交 BC1 于 Q，求证： AC ⊥平面 EBlD1
17．如图在△ ABC 中，已知∠ ABC＝ 90°， SA⊥△ ABC 所在平面，又点 A 在 SC 和 SB 上的射影分别 是 P、 Q．
其中，正确的命题有（
）
A ．1 个 B ．2 个 C． 3 个 n 4 个
6．在下列四个命题中，假命题为（
）
A ．如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直
B ．垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边
C．过点 A 垂直于直线 a 的所有直线都在过点 A 垂直于 a 的平面内 D ．如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面
又∵ AQ⊥ SC，
∴由三垂线定理的逆定理可得 PQ⊥ SC．
18．证明：∵ PO⊥α， PE＝ PF ， ∴ OE＝ OF ，
又∵ PE⊥ AB、 PF⊥ AC，
∴ OE⊥ AB、 OF ⊥ AC．
故 Rt△ AOE≌ Rt△ AOF ，
∴∠ BAO＝∠ CAO ．
19．证明：如图，在点 P 和直线 a 所在的平面β内，过点 P 作直线 a 的垂线 b，设垂足为 A．设过点 P 与 β垂直的直线为 c，则必有 c⊥a，再设由 b、 c 确定的平面为α，则必有 a⊥α．
11．在空间四面体的四个面中，为直角三角形的最多有
____________个．
12．如图，正方形 ABCD ，P 是正方形平面外的一点， 且 PA⊥平面 A BCD 则在△ PAB、△ PBC、△ PCD 、
高中数学人教B版必修二同步练习：直线与平面垂直的性质 Word版含答案
人教B 版 数学 必修2：平面与平面垂直的判定、直线与平面垂直的性质一、选择题1. 已知l a a ⊥⊥,α，则l 与α的位置关系是 ( D )A ．l // αB ． α⊥lC ． α⊂lD ． l 与α不相交2. 一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角(D)A ．相等B ．互补C ．相等或互补D ．不定3. 平面α，β分别过两条互相垂直的异面直线l 、m ，则下列情况：⑴α∥β；⑵α⊥β；⑶l ∥β；⑷m ⊥α中，可能发生的有 ( D )A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种4. (2003年上海卷)在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（ D ）A ．α、β都垂直于平面r .B ．α内存在不共线的三点到β的距离相等.C ．l ，m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥β.D ．l ，m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α, l ∥β，m ∥β.5. 已知a ，b 是直线，α，β，γ是平面. 给出下列命题：①a ∥α，a ∥β，α∩β=b ，则a ∥b ；②α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③a ⊥α，b ⊥β，a ⊥b ，则α⊥β；④α∥β， β∥γ，a ⊥α，则a ⊥γ.其中错误命题的序号是 （ B ）A ．①B ．②C ．③D ．④二、填空题6. 如图，已知矩形ABCD 中，AB =1，BC =a ，PA ⊥平面ABCD ，若在BC 上只有一点Q 满足PQ ⊥DQ ，则a 的值等于 2 .7. (2003年上海卷)在正四棱锥P —ABCD 中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA 与BC 所成角的大小等于 .（结果用反三角函数值表示）．8. 对四面体ABCD ，给出下列四个命题：①若AB=AC ，BD=CD ，则BC ⊥AD ②若AB=CD ，AC=BD ，则BC ⊥AD③若AB ⊥AC ，BD ⊥CD ，则BC ⊥AD ④若AB ⊥CD ，BD ⊥AC ，则BC ⊥AD其中真命题的序号是________（写出所有真命题的序号）三、解答题9.已知正三棱锥ABC P -证明：BC PA ⊥.10. 如图，在空间四边形ABCD 中，DA ⊥平面ABC ，∠ABC=90°，AE ⊥CD ，AF ⊥DB ． 求证：(1)EF ⊥DC ；(2)平面DBC ⊥平面AEF ．11. S 是△ABC 所在平面外一点，SA=SB=SC ，∠ASC=90°，∠ASB=∠BSC=60°，求证平面ASC ⊥平面ABC ．12. 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥平面ABC ，EC ⊥平面ABC，且CE=2AD ． 求证：平面BDE ⊥平面BCE ．【课时40答案】1.D.2.D3.D4.D5.B6.27. arctg2.8. ①④9. 取BC 边的中点D ，连接AD 、PD ，则BC AD ⊥，BC PD ⊥，故⊥BC 平面APD ． ∴BC PA ⊥．10.11.12.。
数学苏教版必修二同步课堂精练-1.2.3 直线与平面的位置关系 Word版含答案
．对于不重合的两直线，和平面α，下面命题中的真命题是． (填序号)①如果⊂α，α，，是异面直线，那么∥α②如果⊂α，∥α，，共面，那么∥③如果⊂α，α，，是异面直线，那么与α相交④如果∥α，∥α，，共面，那么∥．在正方体中，为的中点，则与过点，，的平面的位置关系是．．若是平面α外一点，则下列命题正确的是．(填序号)①过只能作一条直线与平面α相交②过可作无数条直线与平面α垂直③过只能作一条直线与平面α平行④过可作无数条直线与平面α平行．设，是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的个数是．①若⊥，⊂α，则⊥α②若⊥α，∥，则⊥α③若∥α，⊂α，则∥④若∥α，∥α，则∥．()已知正三棱锥(底面为正三角形，顶点在底面的正投影为底面中心)的侧棱长是底面边长的倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于．()已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则与侧面所成角的正弦值等于．(正三棱柱是底面为正三角形，侧棱与底面垂直的三棱柱)．下列命题中，正确的个数是．①直线∥平面α，则平行于α内任何一条直线②直线与平面α相交，则不平行于α内的任何一条直线③直线不平行于平面α，则不平行于α内任何一条直线④直线不垂直于平面α内的某一条直线，则不垂直于α内任何一条直线．如图，已知垂直⊙所在的平面，是⊙的直径，是⊙上任意一点，过作⊥于.求证：⊥平面.．如图，在四棱锥中，⊥平面，⊥，平分∠，为的中点，＝＝，.()证明∥平面；()证明⊥平面；()求直线与平面所成的角的正切值．.如图，在四棱台中，⊥平面，底面是平行四边形，＝，＝，∠＝°.()证明⊥；()证明∥平面.参考答案．②①中与α可以相交；③中与α可能平行；④中与可能相交；由线面平行的性质知，②正确．．∥平面连结，相交于一点，连结，，，∵四边形为正方形，∴＝.而＝，∴为△的中位线．∴.∴平面.．④过可作无数条直线与平面α相交，①错；过只能作一条直线与平面α垂直，②错；过可作无数条直线与平面α平行，所以④正确；③错．．对于①，若⊥，⊂α，则⊂α可能成立，⊥α不一定成立，∴①不正确；对于②，若⊥α，∥，则⊥α，正确．对于③，与可能异面，不一定平行，故③不正确；对于④，与可能相交，也可能异面，故④不正确．．()()()如图，设正三棱锥的顶点在底面的正投影为，底面边长为，则侧棱＝.连结并延长交于点为在底面上的射影，∴∠即为侧棱与底面所成的角．。
人教版高中数学高二数学《直线与平面的位置关系》同步练习
考点解说疑难解析课前训练 1.(08年上海)给定空间中的直线l 及平面α,条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的 条件. 必要不充分2.给出下列命题:(1)直线a 与平面α不平行,则a 与平面α内的所有直线都不平行;(2)直线a 与平面α不垂直,则a 与平面α内的所有直线都不垂直;(3)异面直线,a b 不垂直,则过a 的任何平面与b 都不垂直;(4)若直线a 和b 共面,直线b 和c 共面,则a 和c 共面.其中假命题的个数为 . 33.正方体1AC 中,E 为1DD 的中点,则1BD 与面ACE 的位置关系为 .1//BD 面ACE4.对于平面α和共面的直线,m n ,下列命题中:(1)若,m m n α⊥⊥,则//n α; (2)若//,//m n αα,则//m n ; (3)若,//m n αα⊂,则//m n ; (4)若,m n 与α所成角相等,则//m n ,假命题的序号是 . (1)(2)(4)5.设三棱锥P ABC -的顶点P 在平面ABC 上的射影是H ,给出下列命题:(1)若,PA BC PB AC ⊥⊥,则H 是ABC ∆的垂心;(2)若,,PA PB PC 两两垂直,则H 是ABC ∆的垂心;(3)若90ABC ︒∠=,H 是AC 的中点,则PA PB PC ==;(4)若PA PB PC ==,则H 是ABC ∆的外心.其中正确的命题是 . (1)(2)(3)(4)6.空间四边形ABCD 的两条对角线4,6AC BD ==,则平行于两对角线的截面四边形的周长的取值范围为 . (8,12)典型例题1.//,//,a b a b αα⊄,求证://b α.2.如图,S 为直角三角形ABC 所在平面外一点,且SA SB SC ==,点D 是斜边AC 的中点.(1)求证:SD ⊥平面ABC ; (2)若AB BC =,求证:BD ⊥平面SAC .3.如图,PA ⊥矩形ABCD 所在的平面,,M N 分别为,AB PC 的中点.(1)求证:MN CD ⊥; (2)求证://MN 平面PAD ;(3)若45PDA ︒∠=,求证:MN ⊥平面PCD .4.如图,已知正三棱柱111ABC A B C -中,12AB AA =,点D 为11A C 的中点.求证:(1)1//BC 平面1AB D ; (2)1AC ⊥平面1AB D .5.如图,在底面是菱形的四棱锥P ABCD-中,60ABC ︒∠=,,PA AC a ==2PB PD a ==,点F 是CD 的中点,点E 在PD 上,且:2:1PE ED =.求证:(1)AF PB ⊥; (2)//PB 平面AFE .学生作业班级 姓名 学号_______________等第__________1.已知直线,m n 和平面α满足//,//m n m α,则n 与α的位置关系是 . //n α或n α⊂2.已知直线,,l m n ,平面α满足//,,l m m n αα⊥⊥,直线,l n 的位置关系是 .平行3.已知l 与m 是两条不同的直线,l ⊥α,(1)若m l ⊥,则//m α;(2)若m α⊥,则//m l ;(3)若m α⊂,则m l ⊥;(4)若//m l ,则m α⊥.上述判断正确的序号 . (2)(3)(4) 4.对于直线,m n 和平面α,下列命题中真命题的是 . (3)(1)若,,,m n m n αα⊂⊄是异面直线,那么//n α;(2)若,,,m n m n αα⊂⊄是异面直线,那么n 与α相交;(3)若,//,,m n m n αα⊂共面,那么//m n ;(4)若//,//,,m n m n αα共面,那么//m n .5.若直线a 与平面α不垂直,则在平面α内与直线a 垂直的直线有 条. 无数6.四面体的四个面中,直角三角形的个数最多有 个. 47.不共面的四个定点到平面α的距离相等,这样的平面α有 个. 78.(07年江苏)已知两条直线,m n ，两个平面,αβ，给出下面四个命题：(1)//,m n m n αα⊥⇒⊥ (2)//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒(3)//,////m n m n αα⇒ (4)//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥其中真命题的序号是 . (1)(4)9.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是梯形,//AB CD且2CD AB =,F 为PD 的中点,求证:AF //面PBC .10.如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,,,M N G 分别是11,,A A D C AD 的中点. 求证:(1)//MN 平面ABCD ; (2)MN ⊥平面1B BG .11.(06年北京)如图,在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中,AB AC ⊥,PA ⊥平面ABCD ,且PA AB =,点E PD 是的中点. 求证:(1)AC PB ⊥; (2)//PB 平面AEC .12.如图,三角形ABC 是正三角形,AE 和CD 都垂直于平面ABC ,且2AE AB CD ==,F 是BE 的中点.求证:(1)//DF 平面ABC ; (2)AF BD ⊥.。
2021年高中数学 2.1.3空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系练习 新人教A版必修2
2021年高中数学 2.1.3空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系练习新人教A版必修2基础梳理1．直线和平面的位置关系．练习1：正方体ABCDA1B1C1D1的六个面中，与AB相交的面有多少个？答案：两个练习2：直线在平面外，则直线与平面的关系是什么？答案：平行或相交练习3：直线与平面有公共点，则直线与平面的关系是什么？答案：直线与平面相交或直线在平面内练习4：直线与平面没有公共点，则直线与平面的关系是什么？答案：直线与平面平行练习5：当直线与平面相交时，平面上是否存在与该直线平行的直线？答案：不存在2．两个平面的位置关系．位置关系图示表示法公共点个数1．直线a与平面α平行，直线b与平面α也平行，则a与b有怎样的位置关系？解析：直线a与b平行，相交或异面．2．一条直线在两个平行平面中的一个平面内，则该直线与另一个平面具有怎样的位置关系？解析：该直线与另一个平面无公共点，故该直线与另一个平面平行．自测自评1．a∥α，b⊂α，那么a，b的位置关系是(D)A．平行B．异面C．相交或平行或异面D．平行或异面解析：a与α无公共点，a与b也无公共点，故a∥b或a与b异面．2．直线m∥平面α，则m与α的公共点有(A)A．0个B．1个C．2个D．无数个3．若直线a平行于直线b，则过a且与b平行的平面有无数个．4．直线l与平面α有两个公共点，则(D)A．l⊄αB．l∥αC．l与α相交D．l⊂α基础达标1．已知两条相交直线a，b，a∥平面α，b与α的位置关系是(D)A．b∥αB．b与α相交C．b⊂αD．b∥α或b与α相交解析：b⊄α，否则a与b异面或平行．2．直线a在平面γ外，则(D)A．a∥γB．a与γ至少有一个公共点C．a∩γ＝AD．a与γ至多有一个公共点解析：a在平面γ外，包括两种情况：一是直线a与平面γ相交，二是直线a与平面γ平行，故至多有一个公共点．3．若两个平面平行，则分别在这两个平行平面内的直线(D)A．平行B．异面C．相交D．平行或异面4．直线a∥平面α，直线b∥平面α，则a与b的位置关系为(D)A．相交B．平行C．异面D．平行或异面或相交解析：∵a∥平面α，∴a与α无公共点．又∵b∥α，∴b与α也无公共点，∴a∥b或a与b异面或a与b相交．5．若不在同一直线上的三点A，B，C到平面α的距离相等，且A∉α，则(B)A．α∥平面ABCB．△ABC中至少有一条边平行于αC．△ABC中至少有两条边平行于αD．△ABC中只可能有一条边与α相交解析：由题意，△ABC所在平面与平面α只可能为相交或平行的关系，若相交，则只有一边与α平行；若平行，则三边与α均平行．6．下列命题：①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.其中错误命题的序号为________．解析：对于①，两个平面相交，则有一条交线，也有无数多个公共点，故①错误；对于②，借助于正方体ABCDA1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB与B1C1异面，而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交，故②错误．答案：①②巩固提升7．若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是(D)A．α内的所有直线均与直线a异面B．α内不存在与a平行的直线C．α内的直线均与a相交D．直线a与平面α有公共点解析：依题意知，直线a可能位于平面α内，也可能与平面α相交．当直线a位于平面α内时，A，B，C均不正确，因此选D.8．证明：如果一条直线经过平面内的一点，又经过平面外的一点，则此直线和平面相交．证明：原题可化为已知：A∈α，A∈a，B∉α，B∈a.求证：直线a与平面α相交．证明：假设直线a和平面α不相交，即a∥α或a⊂α.假设a∥α，就与A∈a，A∈α矛盾．假设a⊂α，就与B∈a，B∉α矛盾．∴假设不成立．∴直线a和平面α相交．9．如图1是一个正方体(如图2)的表面展开图的示意图，MN和PQ是两个面的对角线，请在正方体中将MN和PQ画出来，并就这个正方体解答下列问题：(1)求MN和PQ所成角的大小；(2)求四面体MNPQ的体积与正方体的体积之比．解析：(1)MN与PQ是异面直线，如图，在正方体中，PQ∥NC，∠MNC为MN与PQ所成角．∵MN＝NC＝MC，∴∠MNC＝60°.(2)设正方体的棱长为a，则正方体的体积V＝a3.而三棱锥MNPQ 的体积与三棱锥NPQM 的体积相等，且NP⊥面MPQ.∴V NPQM ＝13×12MP ·MQ ·NP ＝16a 3， 即四面体MNPQ 的体积与正方体的体积之比为16.1．直线与直线的位置关系有三种，直线与平面的位置关系有三种，平面与平面的位置关系有两种，在判断其位置关系时，要善于采取逐一判断的方法，以免漏掉一种情形．2．要充分借助长方体、正方体和现实生活中实物模型的辅助作用，研究、解决相关问题．*37854 93DE 鏞37407 921F 鈟27838 6CBE 沾`$e24543 5FDF 忟oZ?-40702 9EFE 黾。
直线与平面垂直练习题
直线与平面垂直练习题直线与平面垂直是几何学中一个重要的概念。
在解决相关题目时，我们需要掌握一些基本原理和方法。
本文将通过一些练习题来帮助读者更好地理解直线与平面垂直的概念。
1. 题目一：已知直线l与平面α垂直，直线l过点A(1, 2, 3)，平面α的法向量为n(2, -1, 4)。
求直线l的方程。
解析：由于直线l与平面α垂直，所以直线l的方向向量与平面α的法向量垂直。
设直线l的方向向量为m(a, b, c)，则有：a * 2 +b * (-1) +c * 4 = 0又直线l过点A(1, 2, 3)，所以直线l的方程为：x - 1 = a * ty - 2 = b * tz - 3 = c * t其中t为参数。
2. 题目二：已知直线l与平面α垂直，直线l过点A(1, 2, 3)，平面α过点B(4, 5, 6)。
求直线l的方程。
解析：由于直线l与平面α垂直，所以直线l的方向向量与平面α的法向量垂直。
设直线l的方向向量为m(a, b, c)，平面α的法向量为n(d, e, f)，则有：a * d +b * e +c * f = 0又直线l过点A(1, 2, 3)，所以直线l的方程为：x - 1 = a * ty - 2 = b * tz - 3 = c * t其中t为参数。
3. 题目三：已知直线l与平面α垂直，直线l过点A(1, 2, 3)，平面α过点B(4, 5, 6)，C(7, 8, 9)。
求直线l的方程。
解析：由于直线l与平面α垂直，所以直线l的方向向量与平面α的法向量垂直。
设直线l的方向向量为m(a, b, c)，平面α的法向量为n(d, e, f)，则有：a * d +b * e +c * f = 0又直线l过点A(1, 2, 3)，所以直线l的方程为：x - 1 = a * ty - 2 = b * tz - 3 = c * t其中t为参数。
通过以上三个练习题，我们可以看出直线与平面垂直的关系。
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《1・2・3直线与平面的位置关系（3）》同步练习
第3课时直线与平面垂直的判定
课时目标
1.理解直线与平面垂直的定义.
2.掌握直线与平面垂直的判定定理并能灵活应用.
知识梳理
1._________________________________ 如果直线a与平面a内的,我们就说直线a与平面a互相垂直，记
作：________ .
图形如图所示.
2.从平面外一点引平面的垂线，这个点和_________ 间的距离，叫做这个点到这个平面的距离.
3.直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条直线垂直, 那么这条直线_____ 于这个平面.
图形表示：
用符号表示为: _______________________________________________________________
作业设计
一、选择题
1.下列命题中正确的是________ （填序号）.
①如果直线/与平面a内的无数条直线垂直，则/丄心
②如果直线/与平面a内的一条直线垂直，贝M丄心
③如果直线/不垂直于贝临内没有与/垂直的直线；
④如杲直线/不垂直于a,贝临内也可以有无数条直线与/垂直.
2.直线Q丄直线b, b丄平面0,贝归与"的关系是________ .
3.若a、b、c表示直线，a表示平面，下列条件中能使。
丄a为______ .（填序号）
①a 丄b, b 丄c, bUa, cUa ；②Q 丄b, b//a ；
③aQb = A, bUa, a±b ； ®a//b, b 丄u.
4. 如图所示，定点A 和B 都在平面a 内，定点P 年u, PB 丄a, C 是平面a 内异于A 和B 的动
5. ___________________ 如图①所示，在正方形SG1G2G3屮，E 、F 分别是边GG 、G2G3的屮点，D 是EF 的屮 点，现沿SE 、SF 及E 片巴这个正方形折成一个儿何体（如图②使①、G2、G3三点重合于一点G ）, 则下列结论中成立的有 （填序号）.
\
Gi E G 2
①
①SG 丄面EFG ；②SD 丄面EFG ；③GF 丄面SEF ；
④GD 丄面SEF.
6. Z\ABC 的三条边长分别是5、12、13,点P 到三点的距离都等于7,那么尸到平面ABC 的距离为 ____________________________________________________________________ .
7. 如图所示，PA 丄平而ABC, AABC 中BC 丄AC,则图中直角三角形的个数为 ______ .
点，且PC 丄AC,则AABC 的形状为 三角形
.
8.在直三棱柱ABC—A]B]Ci中，BC = CCi，当底面A）B1C1满足条件____ 时，有AB】
丄BCi （注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）.
9.如图所示，在正方体ABCD-A J B J C J D I中，M、N分别是棱AA|和AB上的点，若ZB iMN是直角，则ZC、MN= _______ .
二、解答题
10.如图所示，在正方体ABCD—AiBiCiDi中，E、F分别是棱BiC】、B】B的中点.求证:
CF丄平面EAB.
11.如图所示，在四棱锥F—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、
F 分别是AB, PC的屮点，PA=AD・
求证：(1)CD丄PD；
(2)EF丄平面PCD.
p
能力提升
12.如图所示，在正方体ABCD-AiBiCiD］中，P为DD】的中点，0为ABCD的中心，求证BQ丄平面PAC.
13.如图所示，AABC中，ZABC=90°, SA丄平面ABC,过点A向SC和SB引垂线，垂足分别是户、Q,求证：(1)A0丄平面SBC；
(2)P0 丄SC.
反思感悟
1.直线和平面垂直的判定方法
(1)利用线面垂直的定义.
(2)利用线面垂直的判定定理.
(3)利用下面两个结论：①若a〃b, Q丄a,贝肪丄么；②若a〃“，a丄a,则°丄〃.
2.在线面垂直的问题中，通过直线与直线垂直，可以证明直线与平面垂直；直线与平面垂直后，直线和平面内的任何直线都垂直.这样，就形成了线线垂直与线面垂直连环使用的思维形式，它对解题方法、策略乃至人们的思维，无疑都是一种提示.
答案
知识梳理
1.任意一条直线都垂直Q丄G
2.垂足
3.相交垂直加，wCa, tnC\n = O f /丄加，/丄丄a
作业设计
1.④
2. au”或a〃0
3.④
4.直角
解析易证AC丄面PBC,所以AC丄BC.
5.①
解析由P到三个顶点距离相等.可知，P为AABC的外心，又AABC为直角三角形, ・•. P到平面A B C的距离为/?=PD =寸7"_（京）=丸5.
7. 4
PA丄平面ABC'
解析BCU平面ABC.
PA 丄BC
a AC丄BC今BC丄平面PAC3BC丄PC,
・•・直角三角形有APAB、APAC、AABC> APBC.
8.ZAiCiBi=90°
解析
如图所示，连结B|C,
由BC=CCi，可得BCi丄BiC,
因此，要证ABi丄BCi，则只要证明BC】丄平面ABiC,
即只要证AC丄BCi即可，由直三棱柱可知，只要证AC丄BC即可. 因为AiCi〃AC, B1C1/7BC,
故只要证AiG丄BiG即可.
（或者能推出AQi丄BiG的条件，如ZA|C|B】=90。
等）
9.90°
解析VB I C J丄面ABBiA,,
AB1C1 丄MN.
又9：MN丄BiM,
:・MN丄面C]B]M,
・・・MALLC]M.
AZC|W=90°.
10.证明在平面BiBCCi中，
・・•£、F分别是BiC]、BiB的中点，
AABBiE^ACBF,
.-.ZB|B£=ZBCF,
・・・ZBCF+ZEBC=90。
，:.CF丄BE,
又AB±平面BjBCCp CFU平面BiBCCi，[来源：学科网ZA宓]
A A
B 丄CF, ABABE=B, :.CF丄平面EAB.
11.证明（DTPA丄底面ABCD,
A CD ±PA.
又矩形ABCD中，CD丄AD,且ADCPA=A,
・・・CD丄平面PAD,
・・・CD丄PD.
⑵取PD的中点G,连结AG, FG.又・・・G、尸分别是PD, PC的中点,
丄
・・・GF魏CD, ・・・GF^A£,
・・・四边形AEFG是平行四边形，・・・AG〃EF.
・・・PA = AD, G是PD的中点，
・・・AG丄PD, AEF1PD,
VCD丄平面PAD, AGU平面PAD.
ACD丄AG. ・・・EF丄CD.
•・・PDQCD=D, ・・・EF丄平面PCD.
12.证明连结ABi，CB],设AB=1.
.\ABi=CB|=J2,
•・・AO=CO, ・・・BiO丄AC.
连结PBi.
3
VOB? = OB2 + BBi=2，
9
PB?=PDl + B|D?=4，
3
6）P2 = PD2+DO2=4，
A OB2+OP2=PBt
・・・BQ丄PO,
又・.・POQAC = O,
・・・BQ丄平面PAC.
13.证明（l）TSA丄平面ABC, BCU平面ABC, ・・・SA丄BC.
又TBC丄AB, SAQAB = A,
・・・BC丄平面SAB.
又TA0 U平面SAB,
・・・BC丄A0.又TAQ丄5B, BCn5B=B,
・・・A0丄平面5BC.
⑵ TA0丄平面5BC, SCU平面5BC,[来源:Zxxk. Com}・・・A0丄SC.
又TAP丄SC, A0QAP=A,
・・・SC丄平jffiAPQ・
・・・P0U平面AP0, :.PQ丄SC.。